李永乐.线代冲刺笔记

线代冲刺笔记【例题1】B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡5030021a ，A 2－2AB ＝ E ，r(AB －2BA ＋3A ) ＝（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）与a 有关 【解】 ∵ A (A －2B ) ＝ E ∴ A 可逆，且A －1 ＝ A －2B⇒ A (A －2B ) ＝ (A －2B ) A (A A －1＝ A －1 A ) ⇒ AB ＝ BA那么，AB －2BA ＋3A ＝ 3A －AB ＝ A (3E －B ) 又，A 可逆，知r(AB －2BA ＋3A ) ＝ r(A (3E －B )) ＝ r(3E －B )∀a 有|3E －B |＝0，又3E －B 有二阶子式不得零，从而r(3E －B ) ＝ 2.【例题2】A m ×n ，ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝ 0的基础解系，α是Ax ＝ b 的一个解.(I)证明α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关.(II)证明Ax ＝ b 的任意一个解都可以由α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性表出.【分析】ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝0的基础解系，那么ε1，ε2，…，εt 必定线性无关，从而证明α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关可以用定义法。

【证】(I)（用定义，重组，同乘）设 k 0α＋k 1 (α＋ε1)＋k 2(α＋ε2)＋…＋ k T (α＋εt )＝0 (1) 即 （k 0＋k 1＋k 2＋…＋k T ）α＋k 1ε1＋k 2ε2＋…＋k T εt ＝0(2)由A α＝b ， A εi ＝0（i ＝1，…，t ），用A 左乘（2），有(k 0＋k 1＋k 2＋…＋k t )A α＋k 1A ε1＋k 2A ε2＋…＋k t A εt ＝0即 (k 0 ＋k 1＋k 2 ＋…＋k t )b ＝0 又b ≠0，有k 0＋k 1＋k 2＋…＋k T ＝0 (3)带入(2)有 k 1ε1＋k 2ε2＋…＋k t εt ＝0，而ε1，ε2，…，εt 是Ax ＝0的基础解系，那么ε1，ε2，…，εt 必定线性无关，从而k 1 ＝k 2 ＝…＝k t ＝0，带入(3)有k 0＝0.所以 k 0＝k 1＝k 2＝…＝k t ＝0⇒α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关.（或用秩）∵ε1，ε2，…，εt 线性无关，α是Ax ＝b 的解⇒α不能由ε1，ε2，…，εt 线性表出.⇒x 1ε1＋x 2ε2＋…＋x t εt ＝α无解⇒r(ε1，ε2，…，εt )≠r(ε1，ε2，…，εt ，α)∵r(ε1，ε2，…，εt ) ＝t ⇒r(ε1，ε2，…，εT ，α)＝t ＋1⇒r(α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt )＝t ＋1⇒α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 线性无关.(II)设β是Ax ＝b 的任意一个解，则β－α是Ax ＝0的解. 从而 β－α＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t εt.⇒β＝α＋l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t εt⇒β＝(1－l 1 －l 2 －…－l t )α＋l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l t εt即β可由α，α＋ε1，α＋ε2，…，α＋εt 表出.【评注】本题考查矩阵逆的概念以及矩阵的乘法.设矩阵A －n 阶，B －n 阶，若AB ＝ BA ＝E ，则称矩阵A 可逆，且B 为A 的逆矩阵.由此有A A －1＝ A －1 A .【例题3】A m ×n ，r(A )＝n ，α1，α2，…，αs 是n 维列向量.证明：α1，α2，…，αs 线性无关的充分必要条件是A α1，A α2，…，A αs 线性无关.【证】必要性（用定义）设k 1A α1＋k 2A α2＋…＋k s A αs ＝0，即A (k 1α1＋k 2α2＋… ＋k s αs )＝0. 由A m ×n ，r(A )＝n ⇒Ax ＝0只有零解.故k 1α1＋k 2α2＋…＋k s αs ＝0，又α1，α2，…，αs 线性无关⇒k 0＝k 1＝k 2＝…＝k s ＝0. 从而A α1，A α2，…，A αs 线性无关. 充分性（用秩）因为A α1，A α2，…，A αs ＝A (α1，α2，…，αs )，所以r(A α1，A α2，…，A αs )＝r(A (α1，α2，…，αs ))≤r(α1，α2，…，αs )由A α1，A α2，…，A αs 线性无关知r(A α1，A α2，…，A αs )＝s.而r(α1，α2，…，αs )≤s ，从而r(α1，α2，…，αs )＝s ⇒α1，α2，…，αs 线性无关.【例题4】设A ＝[α1，α2，α3，α4]，Ax ＝β的通解是[1，－2，1，－1] T＋k[1，3，2，0]T，B ＝[α3，α2，α1，β＋α4]，γ＝α1－3α2＋5α3，(I) α1能否由α2，α3线性表出？ (II) α4能否由α1，α2，α3线性表出？ (III) Bx ＝γ求的通解.【分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构.并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的结构抽象地求解方程组.用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的. 【证】(I) Ax ＝β解的结构知r(A )＝3.由A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0231＝0 ⇒α1＋3α2＋2α3＝0⇒α1能由α2，α3线性表出.(II) 设x 1α1＋x 2α2＋x 3α3＝α4由(I)知r(α1，α2，α3)＜3，而r(α1，α2，α3，α4)＝4，知方程组无解，故α4不能由α1，α2，α3线性表出.(III)由A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1121＝β⇒α 1 －2α 2 ＋α3－α4＝β， 那么B ＝[α3，α2，α1，β＋α4]＝[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4]⇒ r(B )＝4. 从而n －r(B )＝2.【评注】本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的概念：设有向量小组η1，η2，…，ηt 满足： (1) A ηi ＝ 0（i =1，…，t ），即ηi 是Ax ＝ 0的解. (2) Ax ＝ 0的任意一个解都可以由η1，η2，…，ηt 表出. (3) η1，η2，…，ηt 线性无关.那么称η1，η2，…，ηt 为Ax ＝ 0的基础解系.也就是说若η1，η2，…，ηt 是Ax ＝ 0的基础解系，那么η1，η2，…，ηt 必满足上述3条。

因为[α3，α2，α1，α 1 －2α2＋α3－α4]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-0135＝α1－3α2＋5α3所以[5，－3，1，0] T 是Bx ＝γ的一个解.由(I)知α1＋3α2＋2α3＝0，从而[α3，α2，α1，α1－2α 2 ＋α3－α4]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0132＝0，用观察法，取另一个向量使得它与[2，3，1，0] T线性无关，即[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1121＝0，所以Bx ＝γ的通解是 [5，－3，1，0] T ＋k 1[2，3，1，0] T ＋k 2[－1，－2，1，－1] T ，其中k 1，k 2为任意常数.【例题5】A ＝ [α1，α2，α3]，α1≠0满足AB ＝0.其中B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡k 63642321，求α1，α2，α3的一个极大线性无关组,并用它表出其他向量.【分析】从AB ＝0要得想到两方面的信息：(I) r(A )＋r(B )≤n (II) B 的列向量均是Ax ＝0的解. 【解】由AB ＝0⇒r(A )＋r(B )≤3. 因为A ≠0，B ≠0知1≤r(A )≤2，1≤r(A )≤2当k ≠9时，r(B )＝2，从而r(A )＝1，此时极大无关组为α1.由AB ＝0得⎪⎩⎪⎨⎧⇒=++=++=++0640642032321321321αααααααααk (k －9)α3＝0 又k ≠9，故α3＝0，α3＝0α1.当k ＝9时，r(B )＝1，从而r(A )＝1或2. 若r(A )＝1，则极大无关组为α1，由α1＋2α2＋3α3－α4＝0()1312t 2131αααα+-==⇒，t若r(A )＝2，则极大无关组为α1，α2（α1，α2必定线性无关，否则r(A )＝1）2133131ααα--=⇒【评注】本题考查了方程组解的结构以及在方程组矩阵未具体给出的时候如何求解方程组的通解.根据题目信息求出系数矩阵的秩后，会用方程组解的理论拼出解得基本形式，要会用观察法得到特解，和线性无关的解向量.例如本题在选取齐次方程组基础解系时，先由已知条件得到一个解向量[2，3，1，0] T ，然后只要另一个解向量的形式为[□，□，1，－1] T ，那么这两个向量必定线性无关，从而可以作为基础解系.【例题6】设A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--a a41210321，r(A )＝2，则A * x ＝0的通解是______. 【分析】若A 为n 阶方阵，则⎪⎩⎪⎨⎧--===1101*n A r n A r n A r n A r ）＜（）（）（，，，）（，从而由r(A )＝2知r(A *)＝1，又|A |＝0，得A * A ＝A A *＝|A |E ＝0⇒ A 的列向量是A * x ＝0解.由解的结构知应填k 1[□，□，□] T ＋k 2[□，□，□] T 的形式. 【解】而由r(A )＝2知r(A *)＝1，所以通解由n －r(B )＝3－1＝2个解向量构成. 又|A |＝0，得A * A ＝A A *＝|A |E ＝0⇒A 的列向量是A * x ＝0解. 即 [1，0，－1] T ，[2，1，a] T ，[3，2，4－a] T .又[2，1，a] T ＋[3，2，4－a] T ＝[5，4，3] T ，显然[1，0，－1] T 与[5，4，3] T 线性无关，故k 1[1，0，－1] T ＋k 2[5，4，3] T 是A * x ＝0的通解，其中k 1，k 2为任意常数.【例题7】设α1，α2，α3是Ax ＝b 的解，r(A )＝3，若α1＋α2＝[1，2，3，4] T，α2＋2α3＝[2，3，4，5] T，则Ax ＝b 的通解是______. 【解】由r(A )＝3知Ax ＝0的通解由n －r(B )＝4－3＝1个解向量构成.从而 3(α1＋α2)－2(α2＋2α3)是Ax ＝0的解，即[－1，0， 1，2] T(α2＋2α3)－(α1＋α2)是Ax ＝b 的解，即[1，1， 1，1] T从而，[1，1，1，1] T ＋k[－1，0， 1，2] T 是Ax ＝b 的通解，其中k 为任意常数.【例题8】设A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---31311111a 只有2个线性无关的特征向量.求A 的特征值与特征向量.【解】3阶矩阵只有2个线性无关的特征向量，则特征值必有重根.|λE －A |＝31311111------λλλa ＝311111-----λλλλa ＝λ(λ－a)(λ－4)＝0.(1)若a ＝0，则λ1＝λ2＝0. 对[0E －A ] x ＝0，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----00010101313101111，从而α1＝[1，0，1] T ，k 1α1，其中k 1为任意常数. 对[4E －A ] x ＝0，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---004110141113141113，从而α2＝[－5，4，－11] T ，k 2α2，其中k 2为任意常数. (2)若a ＝4，则λ1＝λ2＝4. 对[0E －A ] x ＝0，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----00010101313101111，从而α3＝[1，0，1] T ，k 3α3，其中k 3为任意常数. 对[4E －A ] x ＝0，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---004110141113141113，从而α4＝[1，4，1] T ，k 4α4，其中k 4为任意常数. 【例题9】设A 是3阶矩阵，且αT β＝21，A ＝αβT ＋βαT .(I)证明 0是A 的特征值.(II)证明α＋β，α－β是A 的特征向量. (III)求二次型x T Ax 的正负惯性指数. 【证】(I)∵ αT β＝βT α＝21.∴ βαT，βαT是秩为1的矩阵.从而r(A )＝r(αβT ＋βαT )≤r(αβT )＋r(βαT )＝2＜3.即|A |＝0⇒0是A 的特征值. (II) A (α＋β)＝(αβT ＋βαT )(α＋β)＝αβT α＋βαT α＋αβT β＋βαT β ＝21α＋β＋α＋21β＝23(α＋β)，又(α＋β)≠0，否则α＋β＝0⇒α＝－β⇒αT β＝βTα＝－1≠21（α，β是3维单位列向量）.从而α＋β是A 的属于特征值23的特征向量.同样有A (α－β)＝－21(α－β)，且(α－β)≠0，从而α－β是A 的属于特征值－21的特征向量.(III)由(I)、 (II)知A 的特征值是：0，23，－21，又A T ＝A （否则A 不是二次型的矩阵）⇒p ＝1，q ＝1【例题10】设A 是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，α1是Ax ＝0的解，A α2＝α1＋2α2，A α3＝α1－3α2＋2α3.(I)求A 的特征值，特征向量. (II)判断A 是否和Λ相似？【分析】由A α2＝α1＋2α2，A α3＝α1－3α2＋2α3，α1是Ax ＝0的解，得到A [α1，α2，α3] [0，α1＋2α2，α1－3α2＋2α3]＝[α1，α2，α3]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20320110.记B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20320110，若[α1，α2，α3]可逆，则必有A ＝[α1，α2，α3]B [α1，α2，α3]－1，现在问题是[α1，α2，α3]可不可逆呢？题目中又给出了α1，α2，α3线性无关，故三阶矩阵[α1，α2，α3]必可逆，所以A和B 相似.所以求A 的特征值和特征向量就转为求B 的特征值与特征向量.记A 的特征向量为δ，则B 的特征向量为P －1δ ，所以知道了P －1δ，就可以求出δ.而问A 是否和Λ相似，由于已经求出了A 的特征值，特征向量，则可以从相似对角化的充分必要条件给予推断.也可以根据相似的传递性，由于上一步中已经得到了A 和B 相似，故若有B 和Λ相似，则有A 是否和Λ相似.【解】(I) A [α1，α2，α3]＝[0，α1＋2α2，α1－3α2＋2α3]＝[α1，α2，α3]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20320110.因为α1，α2，α3线性无关，故[α1，α2，α3]可逆，从而[α1，α2，α3]－1A [α1，α2，α3]＝B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20320110，即A 和B 相似.由B 的特征值为0，2，2（B 为上三角矩阵，或者用定义，由|λE －B |＝λ(λ－2)2＝0⇒λ＝0，2，2.）知A 的特征值为0，2，2.由已知，k 1α1是A 的属于特征值0的特征向量，其中k 1为不等于零的任意常数.对于B 的属于特征值2的特征向量，有δ1＝[1，2，0]T=[α1，α2，α3]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021＝[α1＋2α2]，⇒k 2[α1＋2α2]是A 的属于特征值2的特征向量，其中k 2为不等于零的任意常数.(II) 由(I)知A 只有2个线性无关的特征向量，故A 不和Λ相似.【评注】这是特征值与特征向量的另一种考法，由A α2＝α1＋2α2，A α3＝α1－3α2＋2α3要想到相似的信息.这里缺少A α1，如果有A α1的话，就可以构成分块矩阵的乘法，从而可以得到相似的信息，而这里题目中又给出了α1是Ax ＝0的解，所以可以做分块矩阵的乘法，有A [α1，α2，α3] [0，α1＋2α2，α1－3α2＋2α3]＝[α1，α2，α3]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20320110.记B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-20320110，若[α1，α2，α3]可逆，则必有A ＝[α1，α2，α3]B [α1，α2，α3]－1，现在问题是[α1，α2，α3]可不可逆呢？题目中又给出了α1，α2，α3线性无关，故三阶矩阵[α1，α2，α3]必可逆，所以A 和B 相似.所以求A 的特征值和特征向量就转为求B 的特征值与特征向量.记A 的特征向量为ζ，则B 的特征向量为P －1ζ ，所以知道了P －1ζ，就可以求出ζ.【例题11】设A 2＋2A ＝0，r(A )＝r. (I)证明 A 和Λ相似. (II)求|A ＋3E |.【分析】由λ2＋2λ＝0⇒λ＝0，－2.即A 的特征值是，但是各有几个是不知道的，还需要具体分析. 【证】(I)（用秩）r(A )＝r ⇒A ＝[α1，α2，…，αn ]中有r 个向量线性无关. 由A 2＝－2A ⇒A [α1，α2，…，αn ]＝－2[α1，α2，…，αn ]⇒α1，α2，…，αn 是A 的属于特征值－2的特征向量⇒－2有r 个线性无关的特征向量. 由r(A )＝r 知β1，β2，…，βn －r 是Ax ＝0的基础解系⇒A βi ＝0（i ＝1，2，…n －r ）⇒特征值0有n －r 个线性无关的特征向量.故A 和Λ相似. Λ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯-⋯--00222 (II)由(I)知|A ＋3E |＝3 n －r .【例题12】已知A 是3阶矩阵，各行元素之和为2，且AB ＝0，其中B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---521311210，若β＝[2，3，4]T ，求A n β.【解】因为A 各行元素之和为2，所以A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111＝2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111⇒2是A 的特征值，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111是对应的特征向量，记α1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111. 由AB ＝0，有A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110＝0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111，A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-211＝0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-211，记α2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110，α3＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-211.即A 的特征值是2，0，0，且0有2个线性无关的特征向量. 5，x 2＝－5，x 3＝－3， β＝5α1－5α2 －3α3A β＝5A α1－5A α2 －3A α3＝10α1⇒A n β＝An －1A ＝10 An －1α1＝10λ1n －1α1＝5·2nα1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅n n n 252525. 【评注】若矩阵A 满足f (A )，f (A )为A 的多项式，那么A 的特征值由f (λ)给出，但是各有几个是不知道的.还需要其他信息加以判断.r 个n －r 个处理β，4个3维向量必相关.【例题13】已知A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00000321，B ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0011422a 相似， 求可逆矩阵P 使P－1AP ＝B .【解】因为A 和B 相似，所以r(A )＝r(B )⇒a ＝2.又|λE －A |＝λλλ321---＝λ2(λ－1)＝0⇒λ＝0，0，1.对λ＝0，有[0E －A ] x ＝0，→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---00321α1＝[－2，1，0]T ，α2＝[－3，0，1]T . 对λ＝1有[E －A ] x ＝0，→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11320α3＝[1，0，0]T . 令P 1＝[α1，α2，α3]，有P －11AP 1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10. 由|λE －B |＝λλλ00211422-+---＝λλλλ02142-+-＝λλλ021042--＝λ2(λ－1)＝0⇒λ＝0，0，1.对λ＝0，有[0E －A ] x ＝0，→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0000021100211422β1＝[1，1，0]T ，β2＝[－2，0，1]T . 对λ＝1，有[E －A ] x ＝0，→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1020042110221421β3＝[2，1，0]T . 令P 2＝[β1，β2，β3]，有P －12BP 2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100. 由P－11AP 1＝P－12BP 2⇒ P 2P－11AP 1P－12＝B ，记P ＝P 1P－12，则P ＝P 1 P －12＝10110122101001132-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---10221333为所求.【例题14】已知α＝[1，k ，－2]T 是二次型x TAx ＝ax 12＋ax 22＋kx 32－2 x 1x 3－2 x 2x 3矩阵A 的特征向量.用坐标变换化二次行为标准型，并写出所用的坐标变换. 【解】二次型的矩阵为A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----k a a111010.设A α＝λα，有⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=+→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----）（）（）（3212312221211110101111λλλλk k ak a k k k a ak(1)－(2)⇒2k －2＝0⇒k ＝1，带入(3)有λ1＝2，带入(1)有a ＝0.由|λE －A |＝111110-λλλ＝λ(λ－2)(λ＋1)＝0⇒λ＝0，2，－1.对λ＝0，有[0E －A ] x ＝0，→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-00100111111100100α2＝[1，－1，0]T . 对λ＝－1有[－E －A ] x ＝0，→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0011021111110211211110101α3＝[1，1，1]T .因为正定矩阵不同特征值的特征向量已正交，故只需单位化，得γ1＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-21161，γ2＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-01121，γ3＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡11131. 那么，令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32132131062312161312161y y y x x x ，有x T Ax ＝y T Λy ＝2y 12－y 32.【例题15】已知n 阶矩阵A ，B 均正定.证明：AB 正定的充分必要条件是AB 可交换，即AB ＝BA .【分析】设n 阶矩阵A 为正定矩阵，隐含着潜台词：A 是对称的，所以必要性由此推得。