2013年全国高考理科数学试题及答案-山东卷
2013山东高考数学理科试题与答案1
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 (A) 2i + (B) 2i - (C)5i + (D)5i -2． 已知集合A ={0,1,2}，则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 (B) 3 (C)5 (D)93．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -= (A) 2- (B) 0 (C) 1 (D) 2 4．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94，的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为(A) 512π (B) 3π (C)4π (D)6π 5．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为(A)34π (B) 4π(C)0 (D) 4π- 6．在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（A ）2 （B ）1 （C ）13-（D ）12- 7．给定两个命题p ，q .若p ⌝是q 的必要而不充分条件，则p 是q ⌝的（A ）充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件 8．函数cos sin y x x x =+的图象大致为9．过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（A ）230x y +-= （B ）230x y --= （C ）430x y --= （D ）430x y +-= 10．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 （A ）243 （B ） 252 （C ） 261 （D ）27911．已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M 。
2013年高考理科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共6页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位,若i a -与2i b +互为共轭复数,则2(i)a b += ( )A .54i -B .54i +C .34i -D .34i + 2.设集合{||1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}x B y y x ==∈,则A B =( ) A .[0,2] B .(1,3)C .[1,3)D .(1,4) 3.函数()f x( )A .1(0,)2B .(2,)+∞C .1(0,)(2,)2+∞D .1(0,][2,)2+∞4.用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A .方程30x ax b ++=没有实根B .方程30x ax b ++=至多有一个实根C .方程30x ax b ++=至多有两个实根D .方程30x ax b ++=恰好有两个实根5.已知实数x ,y 满足x y a a <（01a <<）,则下列关系式恒成立的是( )A .221111x y >++ B .22ln(1)ln(1)x y +>+ C .sin sin x y >D .33x y >6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B.C .2D .47.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 ( )A .6B .8C .12D .188.已知函数()|2|1f x x =-+,()g x kx =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A .1(0,)2B .1(,1)2C .(1,2)D .(2,)+∞9.已知x ,y 满足约束条件10,230,x y x y --⎧⎨--⎩≤≥当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值时,22a b +的最小值为( )A .5B .4CD .210.已知>0a b >,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C 与2C 的则2C 的渐近线方程为 ( )A.0x = B0y ±= C .20x y ±= D .20x y ±=第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为 .12.在ABC △中,已知t a n A B A C A = ,当π6A =时,ABC △的面积为 .13.三棱锥P ABC -中,D ,E 分别为PB ,PC 的中点,记三棱锥D ABE -的体积为1V ,P ABC -的体积为2V ,则12V V = . 14.若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20,则22a b +的最小值为 .15.已知函数()()y f x x =∈R .对函数()()y g x x I =∈,定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈,()y h x =满足：对任意x I ∈,两个点(,())x h x ,(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”,且()()h x g x >恒成立,则实数b 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.16.（本小题满分12分）已知向量a (,cos2)m x =,b (sin 2,)x n =,函数()f x =a b ,且()y f x =的图象过点π(12和点2π(,2)3-. （Ⅰ）求m ,n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ(0π)ϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图象,若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.17.（本小题满分12分）姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,60DAB ∠= ,AB =22CD =,M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：1C M 平面11A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.18.（本小题满分12分）乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A ,B ,乙被划分为两个不相交的区域C ,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次,落点在C 上记3分,在D 上记1分,其它情况记0分.对落点在A 上的来球,队员小明回球的落点在C 上的概率为12,在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为15,在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-,求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）设函数2e 2()(ln )x f x k x x x =-+（k 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时,ADF △为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1l l ,且1l 和C 有且只有一个公共点E . （ⅰ）证明：直线AE 过定点,并求出定点坐标；（ⅱ）ABE △的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.3 / 15数学试卷 第10页（共45页） 数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）5 / 15数学试卷第16页（共45页）数学试卷第17页（共45页）数学试卷第18页（共45页）7 / 15数学试卷第22页（共45页）数学试卷第23页（共45页）数学试卷第24页（共45页）59 / 15数学试卷第28页（共45页）数学试卷第29页（共45页）数学试卷第30页（共45页）。
2013年高考理科数学山东卷试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013山东，理1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )．A ．2＋iB ．2－IC ．5＋iD ．5－i2．(2013山东，理2)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )．A ．1B ．3C ．5D ．9 3．(2013山东，理3)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝21x x+，则f (－1)＝( )． A ．－2 B ．0 C ．1 D ．24．(2013山东，理4)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )．A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π65．(2013山东，理5)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )．A ．3π4B ．π4C ．0D ．π4-6．(2013山东，理6)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220,210,380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )．A ．2B ．1C ．13-D ．12-7．(2013山东，理7)给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．(2013山东，理8)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．9．(2013山东，理9)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )．A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝010．(2013山东，理10)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )．A ．243B ．252C ．261D ．27911．(2013山东，理11)抛物线C 1：y ＝212x p(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )．A． B． C． D．12．(2013山东，理12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为( )．A ．0B ．1C ．94 D ．3第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(2013山东，理13)执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为__________．14．(2013山东，理14)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为__________．15．(2013山东，理15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC |＝2，若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC，则实数λ的值为__________．16．(2013山东，理16)定义“正对数”：ln ＋x ＝0,01,ln ,1,x x x <<⎧⎨≥⎩现有四个命题：①若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ；②若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ； ③若a ＞0，b ＞0，则ln ＋a b ⎛⎫⎪⎝⎭≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．(2013山东，理17)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．18．(2013山东，理18)(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值．19．(2013山东，理19)(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．20．(2013山东，理20)(本小题满分12分)设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}的前n项和为T n，且12nn naTλ++=(λ为常数)．令c n＝b2n(n∈N*)．求数列{c n}的前n项和R n.21．(2013山东，理21)(本小题满分13分)设函数f (x )＝2e xx＋c (e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈R )．(1)求f (x )的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数．22．(2013山东，理22)(本小题满分13分)椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(山东卷) 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 答案：D解析：由题意得z －3＝52i-＝2＋i ，所以z ＝5＋i.故z ＝5－i ，应选D. 2． 答案：C解析：当x ，y 取相同的数时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1；当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时，x －y ＝1；当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；其他则重复．故集合B 中有0，－1，－2,1,2，共5个元素，应选C. 3． 答案：A解析：因为f (x )是奇函数，故f (－1)＝－f (1)＝2111⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－2，应选A. 4． 答案：B解析：如图所示，由棱柱体积为94.设P 在平面ABC上射影为O ，则可求得AO 长为1，故AP 2=故∠PAO ＝π3，即PA 与平面ABC 所成的角为π3. 5． 答案：B解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数πsin 28y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝πsin 24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象，又πsin 24y x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝为偶函数，故πππ42k ϕ+=+，k ∈Z ，∴ππ4k ϕ=+，k ∈Z .若k ＝0，则π4ϕ=.故选B. 6． 答案：C解析：不等式组表示的区域如图阴影部分所示，结合斜率变化规律，当M 位于C 点时OM 斜率最小，且为13-，故选C.7． 答案：A解析：由题意：q ⇒⌝p ，⌝pq ，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．故选A. 8． 答案：D解析：因f (－x )＝－x ·cos(－x )＋sin(－x )＝－(x cos x ＋sin x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，排除B ，又x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，y ＞0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D. 9． 答案：A解析：该切线方程为y ＝k (x －3)＋1，即kx －y －3k ＋1＝0＝1，得k ＝0或43，切线方程分别与圆方程联立，求得切点坐标分别为(1,1)，93,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故所求直线的方程为2x ＋y －3＝0.故选A.10． 答案：B解析：构成所有的三位数的个数为11191010C C C ＝900，而无重复数字的三位数的个数为111998C C C ＝648，故所求个数为900－648＝252，应选B. 11． 答案：D解析：设M 2001,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21''2x y x p p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故在M点处的切线的斜率为03x p =，故M 1,6p p ⎫⎪⎪⎝⎭.由题意又可知抛物线的焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线右焦点为(2,0)，且1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)三点共线，可求得pD.12． 答案：B解析：由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得2234x xy y z-+，即xy z≤1，当且仅当x 2＝4y 2时成立，又x ，y 为正实数，故x ＝2y .此时将x ＝2y 代入x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得z ＝2y 2，所以222121211+1x y z y y y ⎛⎫+-=-+=-- ⎪⎝⎭，当1=1y ，即y ＝1时，212x y z+-取得最大值为1，故选B. 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．答案：3解析：第1次运行将F 0＋F 1赋值给F 1，即将3赋值给F 1，然后将F 1－F 0赋值给F 0，即将3－1＝2赋值给F 0，n 增加1变成2，此时1113F =比ε大，故循环，新F 1为2＋3＝5，新F 0为5－2＝3，n 增加1变成3，此时1115F =≤ε，故退出循环，输出n ＝3. 14．答案：13解析：设y ＝|x ＋1|－|x －2|＝3,2,21,12,3,1,x x x x ≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩利用函数图象(图略)可知|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为[1，＋∞)．而在[－3,3]上满足不等式的x 的取值范围为[1,3]，故所求概率为311333-=-(-).15．答案：712解析：∵AP ＝λAB ＋AC ，AP ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ，∴(AC －AB )·(AC ＋λAB)＝0.∴AC 2＋λAB ·AC －AB ·AC －λAB 2＝0，即4＋(λ－1)×3×2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝712.16．答案：①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，sin B9=. 由正弦定理得sin A＝sin 3a Bb =因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A13=. 因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B＝27. 18．(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC .又EF 平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH .(2)解法一：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ .因为PB ⊥平面ABQ ， 所以AB ⊥PB.又BP ∩BQ ＝B ， 所以AB ⊥平面PBQ .由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ . 又FH ⊂平面PBQ ，所以GH ⊥FH . 同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D －GH －E 的平面角． 设BA ＝BQ ＝BP ＝2，连接FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC在Rt △PBC 中，由勾股定理得PC又H 为△PBQ 的重心，所以HC＝13PC =同理FH.在△FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝5524995529+-=-⨯.故二面角D －GH －E 的余弦值为45-.解法二：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)．所以EQ ＝(－1,2，－1)，FQ＝(0,2，－1)，DP＝(－1，－1,2)，CP ＝(0，－1,2)．设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·EQ ＝0，m ·FQ＝0，得1111120,20,x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·DP＝0，n ·CP ＝0， 得2222220,20,x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝4||||5=·m n m n .因为二面角D －GH －E 为钝角， 所以二面角D －GH －E 的余弦值为45-. 19．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝328327⎛⎫= ⎪⎝⎭，P (A 2)＝2232228C 133327⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， P (A 3)＝22242214C 133227⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝22242214C 1133227⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， 又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427， P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327. 故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×27＋3×27＝9.20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得11114684,21221 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+(-)=+(-)+⎩ 解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由题意知，T n ＝12n nλ--， 所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝12112222n n n n n n ------+=. 故c n ＝b 2n ＝21222n n --＝11(1)4n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭，n ∈N *.所以R n ＝0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭0＋1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋3×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1，则14R n ＝0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋(n －2)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1＋(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n ， 两式相减得34R n ＝14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1－(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n ＝11144(1)1414nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭--⨯ ⎪⎝⎭-＝1131334nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 整理得R n ＝1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以数列{c n }的前n 项和R n ＝1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭.21．解：(1)f ′(x )＝(1－2x )e －2x， 由f ′(x )＝0，解得x ＝12. 当x ＜12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以，函数f (x )的单调递增区间是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，最大值为111e 22f c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)令g (x )＝|ln x |－f (x )＝|ln x |－x e －2x－c ，x ∈(0，＋∞)．①当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＞0，则g (x )＝ln x －x e －2x－c ， 所以g ′(x )＝22e e21x xx x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 因为2x －1＞0，2e xx＞0，所以g ′(x )＞0.因此g (x )在(1，＋∞)上单调递增．②当x ∈(0,1)时，ln x ＜0，则g (x )＝－ln x －x e －2x－c . 所以g ′(x )＝22e e21x xx x -⎛⎫-+- ⎪⎝⎭. 因为e 2x∈(1，e 2)，e 2x＞1＞x ＞0，所以2e xx -＜－1.又2x －1＜1，所以2e xx-＋2x －1＜0，即g ′(x )＜0.因此g (x )在(0,1)上单调递减．综合①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g (x )≥g (1)＝－e －2－c .当g (1)＝－e －2－c ＞0，即c ＜－e －2时，g (x )没有零点， 故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当g (1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g (x )只有一个零点， 故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当g (1)＝－e －2－c ＜0，即c ＞－e －2时， 当x ∈(1，＋∞)时，由(1)知g (x )＝ln x －x e －2x －c ≥11ln e 2x c -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞ln x －1－c ，要使g (x )＞0，只需使ln x －1－c ＞0，即x ∈(e 1＋c，＋∞)；当x ∈(0,1)时，由(1)知g (x )＝－ln x －x e －2x －c ≥11ln e 2x c -⎛⎫--+ ⎪⎝⎭＞－ln x －1－c ，要使g (x )＞0，只需－ln x －1－c ＞0，即x ∈(0，e －1－c)；所以c ＞－e －2时，g (x )有两个零点，故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为2. 综上所述，当c ＜－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当c ＝－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当c ＞－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为2. 22．(1)解：由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程2222=1x y a b+，得2b y a =±，由题意知22=1b a ，即a ＝2b 2.又2c e a ==，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)解法一：设P (x 0，y 0)(y 0≠0)． 又F 1(0)，F 2，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0y0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0y0＝0..由于点P 在椭圆上，所以220014x y +=，=.因为m2＜x 0＜2，=. 所以m ＝034x .因此3322m -<<.解法二：设P (x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时，①当0x =时，直线PF 2的斜率不存在，易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭.若P 12⎫⎪⎭，则直线PF 1的方程为0x -=.m =，因为m所以m =. 若P 12⎫-⎪⎭，同理可得m =.②当x 0时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x，y ＝k 2(x)．=，2122111k k +=+.因为220014x y +=， 并且k 1k 2==，=.因为为m，0≤x 0＜2且x 0=.整理得m ＝34x ， 故0≤m ＜32且m≠4综合①②可得0≤m ＜32.当－2＜x 0＜0时，同理可得32-＜m ＜0. 综上所述，m 的取值范围是33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立22001,4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=(-)⎩整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(20y －2kx 0y 0＋220k x －1)＝0. 由题意Δ＝0，即220(4)x k -＋2x 0y 0k ＋1－20y ＝0.又220014x y +=， 所以22016y k ＋8x 0y 0k ＋20x ＝0，故k ＝004xy -.由(2)知12000211x k k y +=+=， 所以121211111kk kk k k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ ＝000042=8y xx y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭， 因此1211kk kk +为定值，这个定值为－8.。
2013年高考数学山东理(word版含答案)
2013年山东卷理 【选择题】【1】．复数z 满足(3)(2i)5z --=（z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为 A. 2i + B.2i - C. 5i + D. 5i -【2】．已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是 A.1 B. 3 C. 5 D. 9【3】．已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f A. -2 B. 0 C. 1 D.2【4】．已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 A.512π B. 3π C. 4π D. 6π【5】．将函数sin(2)ϕ=+y x 的图像沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为 A.34π B. 4π C. 0 D. 4π- 【6】．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为A. 2B. 1C. 13-D. 12- 【7】．给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【8】．函数cos sin =+y x x x 的图像大致为【9】．过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为A. 230+-=x yB.230--=x yC.430--=x yD.430+-=x y【10】．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A.243 B.252 C. 261 D.279【11】．抛物线211:(0)2=>C y x p p的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M 若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p【12】．设正实数,,x y z 满足22340.-+-=xxy y z 则当xy z 取得最大值时，212+-x y z的最大值为 A. 0 B. 1 C. 94D.3 【填空题】【13】．执行下图所示的程序框图，若输入ε的值为0.25，则输出的n 的值为_______.【14】．在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为______.【15】．已知向量AB 与AC 的夹角为0120，且||3,|| 2.AB AC ==若λ=+AP AB AC ，且⊥AP BC ，则实数λ的值为____________.【16】．定义“正对数”：0,01,lnln ,1.+<<⎧=⎨≥⎩x x x x 现有四个命题：①若0,0>>a b ，则ln ()ln ++=b a b a ； ②若0,0>>a b ，则ln()ln ln +++=+ab a b ；③若0,0>>a b ，则ln ()ln ln +++≥-a a b b； ④若0,0>>a b ，则ln()ln ln ln 2++++≤++a b a b .其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号） 【解答题】【17】． (本小题满分12分)设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且76,2,cos .9+===a c b B . （1）求,a c 的值； （2）求sin()-A B 的值.【18】． (本小题满分12分)如下图所示，在三棱锥-P ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，==BA BP BQ ，,,,D C E F 分别是,,,AQ BQ AP BP 的中点，2=AQ BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .（1）求证：//AB GH ；（2）求二面角--D GH E 的余弦值。
2013年山东省高考数学试题及答案
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013山东，理1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( )．A ．2＋iB ．2－IC ．5＋iD ．5－i2．(2013山东，理2)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( )．A ．1B ．3C ．5D ．9 3．(2013山东，理3)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝21x x+，则f (－1)＝( )． A ．－2 B ．0 C ．1 D ．24．(2013山东，理4)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )．A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π65．(2013山东，理5)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )．A ．3π4B ．π4C ．0D ．π4-6．(2013山东，理6)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220,210,380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )．A ．2B ．1C ．13-D ．12-7．(2013山东，理7)给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．(2013山东，理8)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．9．(2013山东，理9)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )．A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝010．(2013山东，理10)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )．A ．243B ．252C ．261D ．27911．(2013山东，理11)抛物线C 1：y ＝212x p(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )．A． B． C． D．12．(2013山东，理12)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，212x y z+-的最大值为( )．A ．0B ．1C ．94 D ．3第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(2013山东，理13)执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为__________．14．(2013山东，理14)在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为__________．15．(2013山东，理15)已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且|AB |＝3，|AC |＝2，若AP ＝λAB ＋AC ，且AP ⊥BC ，则实数λ的值为__________．16．(2013山东，理16)定义“正对数”：ln ＋x ＝0,01,ln ,1,x x x <<⎧⎨≥⎩现有四个命题：①若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ；②若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ； ③若a ＞0，b ＞0，则ln ＋a b ⎛⎫⎪⎝⎭≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a ＞0，b ＞0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．(2013山东，理17)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．18．(2013山东，理18)(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥P －ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH . (1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D －GH －E 的余弦值．19．(2013山东，理19)(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望．20．(2013山东，理20)(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且12n n na T λ++=(λ为常数)．令c n ＝b 2n (n ∈N *)．求数列{c n }的前n 项和R n .21．(2013山东，理21)(本小题满分13分)设函数f (x )＝2e xx＋c (e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈R )．(1)求f (x )的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数．22．(2013山东，理22)(本小题满分13分)椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为2，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k ≠0，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(山东卷) 第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 答案：D解析：由题意得z －3＝52i-＝2＋i ，所以z ＝5＋i.故z ＝5－i ，应选D. 2． 答案：C解析：当x ，y 取相同的数时，x －y ＝0；当x ＝0，y ＝1时，x －y ＝－1；当x ＝0，y ＝2时，x －y ＝－2；当x ＝1，y ＝0时，x －y ＝1；当x ＝2，y ＝0时，x －y ＝2；其他则重复．故集合B 中有0，－1，－2,1,2，共5个元素，应选C. 3． 答案：A解析：因为f (x )是奇函数，故f (－1)＝－f (1)＝2111⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝－2，应选A. 4． 答案：B解析：如图所示，由棱柱体积为94设P 在平面ABC上射影为O ，则可求得AO 长为1，故AP 2=故∠PAO ＝π3，即PA 与平面ABC 所成的角为π3. 5． 答案：B解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数πsin 28y x ϕ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝πsin 24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象，又πsin 24y x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝为偶函数，故πππ42k ϕ+=+，k ∈Z ，∴ππ4k ϕ=+，k ∈Z .若k ＝0，则π4ϕ=.故选B. 6． 答案：C解析：不等式组表示的区域如图阴影部分所示，结合斜率变化规律，当M 位于C 点时OM 斜率最小，且为13-，故选C.7． 答案：A解析：由题意：q ⇒⌝p ，⌝pq ，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以等价于所以p 是⌝q 的充分而不必要条件．故选A. 8． 答案：D解析：因f (－x )＝－x ·cos(－x )＋sin(－x )＝－(x cos x ＋sin x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，排除B ，又x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，y ＞0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D. 9． 答案：A解析：该切线方程为y ＝k (x －3)＋1，即kx －y －3k ＋1＝0＝1，得k ＝0或43，切线方程分别与圆方程联立，求得切点坐标分别为(1,1)，93,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故所求直线的方程为2x ＋y －3＝0.故选A.10． 答案：B解析：构成所有的三位数的个数为11191010C C C ＝900，而无重复数字的三位数的个数为111998C C C ＝648，故所求个数为900－648＝252，应选B. 11． 答案：D解析：设M 2001,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21''2x y x p p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故在M点处的切线的斜率为0x p =故M 1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.由题意又可知抛物线的焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线右焦点为(2,0)，且1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,0)三点共线，可求得pD. 12． 答案：B解析：由x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得2234x xy y z -+，即xy z≤1，当且仅当x 2＝4y 2时成立，又x ，y 为正实数，故x ＝2y .此时将x ＝2y 代入x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0得z ＝2y 2，所以222121211+1x y z y y y ⎛⎫+-=-+=-- ⎪⎝⎭，当1=1y ，即y ＝1时，212x y z+-取得最大值为1，故选B. 第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．答案：3解析：第1次运行将F 0＋F 1赋值给F 1，即将3赋值给F 1，然后将F 1－F 0赋值给F 0，即将3－1＝2赋值给F 0，n 增加1变成2，此时1113F =比ε大，故循环，新F 1为2＋3＝5，新F 0为5－2＝3，n 增加1变成3，此时1115F =≤ε，故退出循环，输出n ＝3. 14．答案：13解析：设y ＝|x ＋1|－|x －2|＝3,2,21,12,3,1,x x x x ≥⎧⎪--<<⎨⎪-≤-⎩利用函数图象(图略)可知|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为[1，＋∞)．而在[－3,3]上满足不等式的x 的取值范围为[1,3]，故所求概率为311333-=-(-).15．答案：712解析：∵AP ＝λAB ＋AC ，AP ⊥BC ，又BC ＝AC －AB ，∴(AC －AB )·(AC ＋λAB )＝0.∴AC 2＋λAB ·AC －AB ·AC －λAB 2＝0，即4＋(λ－1)×3×2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭－9λ＝0，即7－12λ＝0，∴λ＝712.16．答案：①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分．17．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79， 所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，sin B=. 由正弦定理得sin A＝sin 3a Bb =因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A13=. 因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B＝27. 18．(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF ∥AB ，DC ∥AB .所以EF ∥DC .又EF 平面PCD ，DC ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH .(2)解法一：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ .因为PB ⊥平面ABQ ， 所以AB ⊥PB.又BP ∩BQ ＝B ， 所以AB ⊥平面PBQ .由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ . 又FH ⊂平面PBQ ，所以GH ⊥FH . 同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D －GH －E 的平面角． 设BA ＝BQ ＝BP ＝2，连接FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC在Rt △PBC 中，由勾股定理得PC又H 为△PBQ 的重心，所以HC＝13PC =. 同理FH在△FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝5524995529+-=-⨯.故二面角D －GH －E 的余弦值为45-.解法二：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)． 所以EQ ＝(－1,2，－1)，FQ ＝(0,2，－1)，DP ＝(－1，－1,2)，CP ＝(0，－1,2)．设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 由m ·EQ ＝0，m ·FQ ＝0， 得1111120,20,x y z y z -+-=⎧⎨-=⎩取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由n ·DP ＝0，n ·CP ＝0， 得2222220,20,x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩取z 2＝1，得n ＝(0,2,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝4||||5=·m n m n .因为二面角D －GH －E 为钝角， 所以二面角D －GH －E 的余弦值为45-. 19．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝328327⎛⎫= ⎪⎝⎭，P (A 2)＝2232228C 133327⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P (A 3)＝22242214C 133227⎛⎫⎛⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝22242214C 1133227⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3， 根据事件的互斥性得P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627， 又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427， P (X ＝2)＝P (A 4)＝427， P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327. 故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×27＋3×27＝9.20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得11114684,21221 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+(-)=+(-)+⎩ 解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *. (2)由题意知，T n ＝12n nλ--， 所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝12112222n n n n n n ------+=. 故c n ＝b 2n ＝21222n n --＝11(1)4n n -⎛⎫- ⎪⎝⎭，n ∈N *.所以R n ＝0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭0＋1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋3×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1，则14R n ＝0×14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋1×14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋2×14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋(n －2)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1＋(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n ， 两式相减得34R n ＝14⎛⎫ ⎪⎝⎭1＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭3＋…＋14⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1－(n －1)×14⎛⎫ ⎪⎝⎭n ＝11144(1)1414nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭--⨯ ⎪⎝⎭- ＝1131334nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭， 整理得R n ＝1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以数列{c n }的前n 项和R n ＝1131494n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭.21．解：(1)f ′(x )＝(1－2x )e －2x， 由f ′(x )＝0，解得x ＝12. 当x ＜12时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ＞12时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以，函数f (x )的单调递增区间是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，最大值为111e 22f c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)令g (x )＝|ln x |－f (x )＝|ln x |－x e －2x－c ，x ∈(0，＋∞)．①当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＞0，则g (x )＝ln x －x e －2x－c ， 所以g ′(x )＝22e e21x xx x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭. 因为2x －1＞0，2e xx＞0，所以g ′(x )＞0.因此g (x )在(1，＋∞)上单调递增．②当x ∈(0,1)时，ln x ＜0，则g (x )＝－ln x －x e －2x－c . 所以g ′(x )＝22e e21x xx x -⎛⎫-+- ⎪⎝⎭. 因为e 2x∈(1，e 2)，e 2x＞1＞x ＞0，所以2e xx -＜－1.又2x －1＜1，所以2e xx-＋2x －1＜0，即g ′(x )＜0.因此g (x )在(0,1)上单调递减．综合①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g (x )≥g (1)＝－e －2－c .当g (1)＝－e －2－c ＞0，即c ＜－e －2时，g (x )没有零点， 故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当g (1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g (x )只有一个零点， 故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当g (1)＝－e －2－c ＜0，即c ＞－e －2时， 当x ∈(1，＋∞)时，由(1)知g (x )＝ln x －x e －2x －c ≥11ln e 2x c -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＞ln x －1－c ，要使g (x )＞0，只需使ln x －1－c ＞0，即x ∈(e 1＋c，＋∞)；当x ∈(0,1)时，由(1)知g (x )＝－ln x －x e －2x －c ≥11ln e 2x c -⎛⎫--+ ⎪⎝⎭＞－ln x －1－c ，要使g (x )＞0，只需－ln x －1－c ＞0，即x ∈(0，e －1－c)；所以c ＞－e －2时，g (x )有两个零点，故关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为2. 综上所述，当c ＜－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当c ＝－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当c ＞－e －2时，关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数为2. 22．(1)解：由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程2222=1x y a b+，得2b y a =±，由题意知22=1b a ，即a ＝2b 2.又2c e a ==，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为2214x y +=. (2)解法一：设P (x 0，y 0)(y 0≠0)． 又F 1(0)，F 20)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为lPF 1：y 0x －(x 0y0＝0， lPF 2：y 0x －(x 0y0＝0..由于点P 在椭圆上，所以220014x y +=，=.因为m2＜x 0＜2，=所以m ＝034x . 因此3322m -<<. 解法二：设P (x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时，①当0x =时，直线PF 2的斜率不存在，易知P 12⎫⎪⎭或P 12⎫-⎪⎭. 若P 12⎫⎪⎭，则直线PF 1的方程为0x -=.由题意得|7m m =，因为m所以m =若P 12⎫-⎪⎭，同理可得m =②当x 0设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x，y ＝k 2(x．=21221111k k +=+. 因为220014x y +=， 并且k 1，k 2，222=22==.因为为mx 0＜2且x 0=.整理得m ＝034x ， 故0≤m ＜32且m≠4. 综合①②可得0≤m ＜32. 当－2＜x 0＜0时，同理可得32-＜m ＜0. 综上所述，m 的取值范围是33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. (3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 联立22001,4x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=(-)⎩整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(20y －2kx 0y 0＋220k x －1)＝0. 由题意Δ＝0，即220(4)x k -＋2x 0y 0k ＋1－20y ＝0. 又220014x y +=， 所以22016y k ＋8x 0y 0k ＋20x ＝0，故k ＝004x y -. 由(2)知00012000211x x x k k y y y +=+=， 所以121211111kk kk k k k ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭＝000042=8y x x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭， 因此1211kk kk +为定值，这个定值为－8.。
2013年高考山东卷试题及答案解析(理科数学)
2013年山东卷高考理数真题（解析版）理 科 数 学注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所胡题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，将试题卷与答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A. 2+I B.2-I C. 5+I D.5-i【答案】D【解析】由(z-3)(2-i)=5，得55(2)5(2)3332352(2)(2)5i i z i i i i i ++=+=+=+=++=+--+，所以5z i =-，选D.2.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A. 1B. 3C. 5D.9【答案】C【解析】因为,x y A ∈,所以2,1,0,1,2x y -=--，即{2,1,0,1,2}B =--,有5个元素，选C.3.已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+1x,则f(-1)= ( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2【答案】A【解析】因为函数为奇函数，所以(1)(1)(11)2f f -=-=-+=-，选A.4.已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为 3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 ( ) A. 512πB.3πC. 4πD. 6π【答案】B【解析】取正三角形ABC 的中心，连结OP ,则PAO ∠是PA 与平面ABC 所成的角。
2013年高考真题——理科数学(山东卷)含答案
2013年山东高考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( D )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C )A. 1B. 3C. 5D.9（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：2x y20x2y103x y80--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为C（7）给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的 B （A）充分而不必条件（B）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 D（A ） （B ） (C) (D)（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 A（A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0（10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 B（A ）243 （B ）252 （C ）261 （D ）279于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p= D（15）已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||3,||2,AB AC ==若 ,AP AB AC λ=+且AP BC ⊥,则实数λ的值为712（16）定义“正对数”：0,01ln ln ,1x x x x +<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题： ①若0,0a b >>，则ln ()ln b a b a ++=②若0,0a b >>，则ln ()ln ln ab a b +++=+③若0,0a b >>，则ln ()ln ln a a b b +++≥-④若0,0a b >>，则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++其中的真命题有： ①③④ （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.（Ⅰ）求证：AB//GH ；（Ⅱ）求二面角D-GH-E 的余弦值 .解答：（1）因为C 、D 为中点，所以CD//AB同理：EF//AB ，所以EF//CD ，EF ⊂平面EFQ ，所以CD//平面EFQ ，又CD ⊂平面PCD,所以CD//GH ，又AB//CD ，所以AB//GH.(2)由AQ=2BD ，D 为AQ 的中点可得，△ABQ 为直角三角形，以B 为坐标原点，以BA 、BC 、BP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平面GCD 的一个法向量为1(0,2,1)n =，平面EFG 的一个法向量为2(0,1,2)n =，可得4cos5α==,（2）由题意可知X的可能取值为：3,2,1,0相应的概率依次为：14416,,,，所以EX=7解答：（1）由S4=4S2，a2n=2a n+1，｛a n｝为等差数列，可得，11,2a d==所以21na n=-2.71828是自然对数的底数，（1）求()f x的单调区间，最大值；（2）讨论关于x的方程|ln|()x f x=根的个数.直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1、PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线 PM 交C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公定值. 1||||PF PM PF PM ⋅=2||||PF PM PF PM ⋅,1||PF PM PF ⋅=2||PF PM PF ⋅,设204x ≠，将向量坐标代入并化简得：m （23000416)312x x x -=-，因为204x ≠，。
2013年高考山东卷理科数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题（山东卷）1．复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i答案 D解析 由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝52－i＝2＋i ，∴z ＝5＋i ，∴z ＝5－i. 2．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1B ．3C ．5D ．9答案 C解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2答案 A解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.4．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6答案 B解析 如图所示：S ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VADC -A 1B 1C 1＝S ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP ＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1， ∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，又0<∠OAP <π2，∴∠OAP ＝π3.5．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4. 6．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时线OM 的斜率最小，且为：－13.7．给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈p .8．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )答案 D解析 函数y ＝x cos x ＋sin x 为奇函数，排除B.取x ＝π2，排除C ；取x ＝π，排除A ，故选D.9．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0答案 A解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2，∴直线AB 的方程为：y－1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.10．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279答案 B解析 不重复的三位数字有：A 39＋A 12A 29＝648个．则有重复数字的三位数有：900－648＝252个．11．抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ) A.316B.38C.233D.433答案 D解析 抛物线C 1的标准方程为：x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为：y ＝±33x .由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6.由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.12．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94 D ．3答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1. 第Ⅱ卷二、填空题13．执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________． 答案 3解析 第一次循环：F 1＝3，F 0＝2，n ＝2；第二次循环：F 1＝5，F 0＝3，n ＝3. 14．在区间[－3,3]上随机取一个数x 使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 答案 13解析 由绝对值的几何意义知：使|x ＋1|－|x －2|≥1成立的x 值为x ∈[1,3]，由几何概型知所求概率为P ＝3－13＋3＝26＝13.15．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若A P →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________． 答案712解析 由AP →⊥BC →知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λA B →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. 16．定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x <1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a >0，b >0，则ln ＋(a b )＝b ln ＋a ； ②若a >0，b >0，则ln ＋(ab )＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a >0，b >0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a >0，b >0，则ln ＋(a ＋b )≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①③④解析 ①0<a b <1时(0<a <1)，ln ＋(a b )＝0＝b ln ＋a ； ab >1时(a >1)，ln ＋(a b )＝ln a b ＝b ln a ＝b ln ＋a ；正确． ②设a ＝15，b ＝3，则0＝0＋ln 3不成立，不正确；③(a >b )ln ab ⎩⎪⎨⎪⎧≥ln a －ln b (a ，b ≥1)，≥ln a (0<b <1≤a )，≥0(0<a ，b <1).(a <b )0⎩⎪⎨⎪⎧≥ln a －ln b (a ，b ≥1)，≥－ln b (0<a <1≤b )，≥0(0<a ，b <1).④(1)a ＋b >1，a ，b >1：ln(a ＋b )≤ln a ＋ln b ＋ln 2＝ln 2ab 成立； (2)a ＋b >1，a >1,0<b <1：ln(a ＋b )≤ln a ＋ln 2＝ln 2a 成立； (3)a ＋b >1,0<a ，b <1：ln(a ＋b )≤ln 2成立； (4)0<a ＋b <1,0<a ，b <1：0≤ln 2成立．三、解答题17．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值； (2)求sin(A －B )的值． 解 (1)由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－42ac ＝79，即a 2＋c 2－4＝149ac .∴(a ＋c )2－2ac －4＝149ac ，∴ac ＝9.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝6，ac ＝9得a ＝c ＝3. (2)在△ABC 中，cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫792＝429.由正弦定理得：a sin A ＝bsin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝3×4292＝223.又A ＝C ，∴0<A <π2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，∴sin (A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.18．如图所示，在三棱锥P -ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH .(1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D -GH -E 的余弦值．(1)证明 因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB . 所以EF ∥DC .又EF ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD .又EF ⊂平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH .(2)解 方法一 在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ . 因为PB ⊥平面ABQ ，所以AB ⊥PB .又BP ∩BQ ＝B ，所以AB ⊥平面PBQ . 由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ .又FH ⊂平面PBQ ，所以GH ⊥FH . 同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D -GH -E 的平面角．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，连接FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC ＝2，在Rt △PBC 中，由勾股定理PC ＝ 5.又H 为△PBQ 的重心，所以HC ＝13PC ＝53.同理FH ＝53.在FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝59＋59－22×59＝－45.即二面角D -GH -E 的余弦值为－45.方法二 在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90° 又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E (1,0,1)，F (0,0,1)，Q (0,2,0)，D (1,1,0)， C (0,1,0)，P (0,0,2)．所以EQ →＝(－1,2，－1)，FQ →＝(0,2，－1)，DP →＝(－1，－1，2)，CP →＝(0，－1,2)． 设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·EQ →＝0，m ·FQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得m ＝(0,1,2)． 设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，由n ·DP →＝0，n ·CP →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0，取z 1＝1，得n ＝(0,2,1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝45.因为二面角D -GH -E 为钝角，所以二面角D -GH -E 的余弦值为－45.19．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望． 解 (1)设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A ，B ，C 则P (A )＝23×23×23＝827P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827 P (C )＝C 24⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427(2)X 的可能的取值为0,1,2,3 则P (X ＝0)＝P (A )＋P (B )＝1627P (X ＝1)＝P (C )＝427P (X ＝2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫1－232×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫132＋C 23⎝⎛⎭⎫132×23×13＝19 ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×19＝79.20．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)．令C n ＝b 2n ，(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .解 (1)设公差为d ，令n ＝1，则a 2＝2a 1＋1，a 1＝d －1① 又S 4＝4S 2，即2a 1＝d ②由①②得：a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)由题意知，T n ＝λ－n 2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝λ－n 2n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－n －12n －2＝n －22n －1.∴C n＝b 2n ＝n －14n －1(n ∈N *)．∴R n ＝C 1＋C 2＋…＋C n －1＋C n ＝0＋14＋242＋…＋n －14n －1①14R n ＝142＋243＋…＋n －24n －1＋n －14n ② ①－②得：34R n ＝14＋142＋…＋14n －1－n －14n ＝14⎝⎛⎭⎫1－14n －11－14－n －14n＝13⎝⎛⎭⎫1－14n －1－n －14n ＝13⎝⎛⎭⎫1－3n ＋14n ∴R n ＝49⎝⎛⎭⎫1－3n ＋14n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.21．设函数f (x )＝xe 2x ＋c (e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈R .(1)求f (x )的单调区间、最大值．(2)讨论关于x 的方程|ln x |＝f (x )根的个数． 解 (1)f ′(x )＝e 2x －2x e 2x (e 2x )2＝1－2xe 2x ，由f ′(x )>0得x <12，由f ′(x )<0得x >12.所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，12，递减区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12e＋c .(2)由已知|ln x |＝f (x )得|ln x |－xe 2x＝c ，x ∈(0，＋∞)， 令g (x )＝|ln x |－xe 2x，y ＝c . ①当x ∈(1，＋∞)时，ln x >0，则g (x )＝ln x －xe 2x .所以g ′(x )＝1x ＋2x －1e 2x >0.所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增．②当x ∈(0,1)时，ln x <0，则g (x )＝－ln x －xe 2x .所以g ′(x )＝－1x －1－2x e 2x ＝1e 2x ⎣⎡⎦⎤－e 2xx ＋(2x －1). 因为e 2x ∈(1，e 2)，e 2x >1>x >0，所以－e 2xx<－1，而2x －1<1.所以g ′(x )<0，即g (x )在(0,1)上单调递减．由①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g (x )≥g (1)＝－1e 2.由数形结合知，当c <－1e 2时，方程|ln x |＝f (x )根的个数为0；当c ＝－1e 2时，方程|ln x |＝f (x )根的个数为1；当c >－1e2时，方程|ln x |＝f (x )根的个数为2.22．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M (m,0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．解 (1)由已知e ＝c a ＝32，b 2a ＝12， 又c 2＝a 2－b 2，所以a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的方程为：x 24＋y 2＝1.(2)方法一 如图，由题意知|F 1M ||MF 2|＝|PF 1||PF 2|即|PF 1|4－|PF 1|＝c ＋m c －m ＝3＋m 3－m，整理得：m ＝32(|PF 1|－2)． 又a －c <|PF 1|<a ＋c ，即2－3<|PF 1|<2＋ 3.∴－32<m <32.故m 的取值范围为m ∈⎝⎛⎭⎫－32，32. 方法二 由题意知：PF 1→·PM →|PF 1→||PM →|＝PF 2→·PM →|PF 2→||PM →|，即PF 1→·PM →|PF 1→|＝PF 2→·PM →|PF 2→|. 设P (x 0，y 0)，其中x 20≠4，将向量坐标化得：m (4x 20－16)＝3x 30－12x 0.所以m ＝34x 0，而x 0∈(－2,2)，所以m ∈⎝⎛⎭⎫－32，32. (3)设P (x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k (x －x 0)，整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0. 所以Δ＝64(ky 0－k 2x 0)2－16(1＋4k 2)(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1，所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0. 故k ＝－x 04y 0，又1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0. 所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·⎝⎛⎭⎫2x 0y 0＝－8. 所以1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为－8.。
2013年山东高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1、答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2、第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3、第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
4、填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B +=； 如果事件A 、B 独立，那么()()()P AB P A P B = 。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满组(3)(2i)5z --=（z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为 （ ） A. 2i + B. 2i - C.5i + D. 5i - 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的等式，求它的共轭复数. 【难易程度】容易. 【参考答案】D【试题解析】由(3)(2i)5z --=，得5(2i)35i,5i.(2i)(2i)z z +=+=+∴=--+故选D.2.已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是 （ ） A. 1 B.3 C.5 D. 9【测量目标】集合的含义.【考查方式】给出集合的关系，求集合的元素. 【难易程度】容易. 【参考答案】C【试题解析】当x =0，y =0时，0x y -=；当x =0，y =1时，1x y -=-；当x =0，y =2时，2x y -=-；x =1，y =0时，1x y -=；当x =1，y =1时，0x y -=；当x =1，y =2时，1x y -=-；当x =2，y =0时，2x y -=，当x =2，y =1时，1x y -=；当x =2，y =2时，0x y -=.根据集合中元素的互异性知，B 中点的元素有0，1,2,1,2,--共5个.3.已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f （ ） A.-2 B.0 C. 1 D.2【测量目标】函数的奇偶性.【考查方式】利用函数的奇偶性质求函数值. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】当x >0时，21(),(1) 2.f x x f x=+∴=而f （x ）为奇函数，(1)(1) 2.f f ∴-=-=-4.已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 （ ）A.5π12 B. π3 C. π4 D. π6【测量目标】二面角的大小和柱的体积.【考查方式】给出几何体的相关性质，求二面角的大小. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】如图所示，P 为正三角形111A B C 的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ,ABC ⊥平面连接OA ，则PAO ∠即为P A 与平面ABC 所成的角.在正三角形ABC 中，AB BC AC ==则2S ==,1119,4ABC A B C V S PO PO -=⨯=∴=又1,tan POAO PAO AO==∴∠==π.3PAO =故选B ．第4题图Twj825.将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 （ ）A.3π4 B.π4 C. 0 D. π4-【测量目标】三角函数的平移问题.【考查方式】通过得到是偶函数求平移的距离. 【难易程度】中等. 【参考答案】B【试题解析】A 选项得到sin 2y x =-为奇函数；B 选项得到cos 2y x =为偶函数.C 选项得到πsin(2)4y x =+为非奇非偶函数.D 选项得到sin 2y x =为奇函数.故选B.6.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380x y x y x y --⎧⎪+-⎨⎪+-⎩，………所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为 （ ） A. 2 B. 1 C. 13-D.12-【测量目标】二元线性规划求最值.【考查方式】给出限制条件方程，求最小斜率. 【难易程度】中等. 【参考答案】C【试题解析】画出如图可行域可知，由210,380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得(3,1)C -当M 与C 重合时，OM 的斜率最小，13OM k =-.第6题图Twj847.给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【测量目标】充分必要条件.【考查方式】推测命题之间的关系. 【难易程度】容易. 【参考答案】A【试题解析】p 是q 的必要不充分条件,则q 是p 充分不必要条件.8.函数cos sin =+y x x x 的图象大致为Twj77 Twj78 Twj79 Twj80第8题图A B C D【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】给出函数解析式判断函数的图象. 【难易程度】中等. 【参考答案】D 【试题解析】当π2x =时，y =1，排除C,当π2x =-时，1y =-，排除B ，当πx =时，π<0,A,y =-排除故选D.9.过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为 （ ）A. 230+-=x yB. 230--=x yC. 430--=x yD. 430+-=x y【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出直线和圆的位置关系，求直线的方程. 【难易程度】中等. 【参考答案】A【试题解析】设(3,1),P 圆心(1,0)C ，切点为A,B ,则P ,A,C,B 四点共圆，且PC 为圆的直径，∴四边形P ABC 的外接圆的方程为2215(2)+()24x y --=，圆C:22(1)1x y -+=,相减的230x y +-=，即为直线的方程.10.用0，1，⋅⋅⋅，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( )A. 243B. 252C. 261D. 279【测量目标】排列组合的应用.【考查方式】用数字的组合来考查排列组合. 【难易程度】较难. 【参考答案】B【试题解析】9位数一共可以组成900个数，其中无重复的三位数为998648⨯⨯=（个），∴有重复数字的三位数有900648=252-（个）.11.抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p ( )A.B. C.D.【测量目标】圆锥曲线的综合问题.【考查方式】通过限制条件求曲线基本要素. 【难易程度】较难. 【参考答案】D【试题解析】 双曲线222:1,3x C y -=∴又焦点为(2,0),F渐近线方程为y x =.抛物线方程1C ：21(0),2y x p p=>焦点为(0)2p F '，.设00(,),M x y 则22001201122.24o px p p y x k k p x -==∴=-又0011,,33x x y x y x p pp =''=∴===联立解的.12.设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xy z 取得最大值时，212+-x y z的最大值为 ( ) A. 0 B. 1 C.94D. 3 【测量目标】基本不等式最值.【考查方式】给出关系式，求不等式的最大值. 【难易程度】较难. 【参考答案】B【试题解析】2234(0,0,0),x x xy y x y z =-+>>>22111434433xy xy x y z x xy y y x∴===-+-+-=?,当且仅当42x y x y y x==时，即时等号成立，此时222222122121342,+(1)1,22z x xy y y x y z y y y y =-+=∴-=+-=--+∴当y =1时，211x y z+-的最大值为1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2013山东高考数学理科试题及答案1
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第I 卷(共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足(3)(2)5z i --=(i 为虚数单位）,则z 的共轭复数z 为 (A) 2i + （B) 2i - (C ）5i + （D ）5i - 2． 已知集合A ={0，1,2｝，则集合B ={},x y x A y A -∈∈中元素的个数是 (A) 1 （B ） 3 (C ）5 （D ）93．已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时,21()f x x x=+,则(1)f -= (A) 2- (B) 0 (C ） 1 (D) 2 4．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 （A ）512π （B) 3π (C ）4π （D)6π 5．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象,则ϕ的一个可能取值为（A ） 34π (B) 4π (C)0 （D ） 4π- 6．在平面直角坐标系xoy 中，M 为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（A)2 （B ）1 （C ）13-（D ）12- 7．给定两个命题p ，q 。
若p ⌝是q 的必要而不充分条件,则p 是q ⌝的（A ）充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D ） 既不充分也不必要条件 8．函数cos sin y x x x =+的图象大致为9．过点(3,1)作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别为A ,B ，则直线AB 的方程为 （A ）230x y +-= (B ）230x y --= （C)430x y --= （D ）430x y +-= 10．用0，1,…,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 （A)243 (B) 252 （C) 261 (D ）27911．已知抛物线1C ：212y x p =(0)p >的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M 。
【数学】2013年高考真题山东卷(理)解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( D )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C )A. 1B. 3C. 5D.9（3）已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x2+1x,则f(-1)= ( A )（A）-2 （B）0 （C）1 （D）2（4）已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为三角形，若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( B )（A）512π（B）3π（C）4π（D）6π（5）将函数y=sin（2x +ϕ）的图像沿x轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为 B（A）34π（B）4π（C）0 （D）4π-（6）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组：2x y20 x2y10 3x y80 --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 C（A）2 （B）1 （C）13-（D）12-（7）给定两个命题p、q，若﹁p是q的必要而不充分条件，则p是﹁q的 B（A ）充分而不必条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 D（A ） （B ） (C) (D) （9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为 A（A ）2x+y-3=0 （B ）2x-y-3=0 （C ）4x-y-3=0 （D ）4x+y-3=0（10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 B（A ）243 （B ）252 （C ）261 （D ）279（11）抛物线C1：y= 12p x2(p ＞0)的焦点与双曲线C2： 2213x y -=的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M 处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=D（12）设正实数x,y,z 满足x2-3xy+4y2-z=0.则当xy z 取得最大值时，212x y z +-的最大值为 B（A ）0 （B ）1（C ） 94（D ）3二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 （13）执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输入的n 的值为 3(14)在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得 |x+1 |- |x-2 |≥1成立的概率为 13（15）已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||3,||2,AB AC ==若,AP AB AC λ=+且AP BC⊥,则实数λ的值为7 12（16）定义“正对数”：0,01lnln,1xxx x+<<⎧=⎨≥⎩，现有四个命题：①若0,0a b>>，则ln()lnba b a++=②若0,0a b>>，则ln()ln lnab a b+++=+③若0,0a b>>，则ln()ln lnaa bb+++≥-④若0,0a b>>，则ln()ln ln ln2a b a b++++≤++其中的真命题有：①③④（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.（17）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，cosB= 7 9.（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）求sin（A-B）的值.解答：（1）由cosB= 79与余弦定理得，221449a c ac+-=，又a+c=6，解得3a c==（2）又a=3,b=2，sin B=与正弦定理可得，sin A=,1cos3A=，所以sin（A-B）（18）（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ=2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH。
2013年高考理科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共6页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位,若i a -与2i b +互为共轭复数,则2(i)a b += ( )A .54i -B .54i +C .34i -D .34i +2.设集合{||1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}x B y y x ==∈,则A B = ( )A .[0,2]B .(1,3)C .[1,3)D .(1,4) 3.函数()f x( )A .1(0,)2B .(2,)+∞C .1(0,)(2,)2+∞D .1(0,][2,)2+∞4.用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A .方程30x ax b ++=没有实根B .方程30x ax b ++=至多有一个实根C .方程30x ax b ++=至多有两个实根D .方程30x ax b ++=恰好有两个实根5.已知实数x ,y 满足x y a a <（01a <<）,则下列关系式恒成立的是( )A .221111x y >++ B .22ln(1)ln(1)x y +>+ C .sin sin x y >D .33x y >6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B.C .2D .47.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 ( )A .6B .8C .12D .188.已知函数()|2|1f x x =-+,()g x kx =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A .1(0,)2B .1(,1)2C .(1,2)D .(2,)+∞9.已知x ,y 满足约束条件10,230,x y x y --⎧⎨--⎩≤≥当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值时,22a b +的最小值为( )A .5B .4CD .210.已知>0a b >,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C 与2C则2C 的渐近线方程为 ( )A.0x = B0y ±= C .20x y ±= D .20x y ±=第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为 .12.在ABC △中,已知t a n A B A C A =,当π6A =时,ABC △的面积为 .13.三棱锥P ABC -中,D ,E 分别为PB ,PC 的中点,记三棱锥D ABE -的体积为1V ,P ABC -的体积为2V ,则12V V = . 14.若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20,则22a b +的最小值为 .15.已知函数()()y f x x =∈R .对函数()()y g x x I =∈,定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈,()y h x =满足：对任意x I ∈,两个点(,())x h x ,(,())x g x关于点(,())x f x 对称.若()h x 是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”,且()()h x g x >恒成立,则实数b 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.16.（本小题满分12分）已知向量a (,cos2)m x =,b (sin 2,)x n =,函数()f x =a b ,且()y f x =的图象过点π(12和点2π(,2)3-. （Ⅰ）求m ,n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ(0π)ϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图象,若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.17.（本小题满分12分）姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,60DAB ∠=,AB =22CD =,M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：1C M 平面11A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.18.（本小题满分12分）乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A ,B ,乙被划分为两个不相交的区域C ,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次,落点在C 上记3分,在D 上记1分,其它情况记0分.对落点在A 上的来球,队员小明回球的落点在C 上的概率为12,在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为15,在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-,求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）设函数2e 2()(ln )x f x k x x x =-+（k 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时,ADF △为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）若直线1l l ,且1l 和C 有且只有一个公共点E .（ⅰ）证明：直线AE 过定点,并求出定点坐标；（ⅱ）ABE △的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.3 / 15数学试卷 第10页（共45页）数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）5 / 15【解析】双曲线2012k k = 又1y x p'=数学试卷第16页（共45页）数学试卷第17页（共45页）数学试卷第18页（共45页）7 / 15+AP AB AC λ=，AP BC ⊥，又B C A C A B =-，∴()(+)0AC AB AC AB λ-=.22+0AC AB AC AB AC AB λλ--=，即4+132902()-⨯⨯⨯-- ⎪⎝⎭，即7120λ-=，∴12λ=【提示】利用AB ，AC ，表示BC 向量，通过数量积为【考点】平面向量的四则运算． 【答案】①③④数学试卷 第22页（共45页）数学试卷 第23页（共45页） 数学试卷 第24页（共45页）EFQPCD 平面（步骤3）2AQ BD =BPBQ B =，所以，又FH ⊂D GH E --9 / 155(1,2,EQ =-，(0,2,FQ =，(1,DP =-，(0,CP =-设平面EFQ 的一个法向量为1(,)m x y z =，（步骤由0m EQ =，0m FQ =，11120,20,x y z y z -+-=⎧⎨-= ，得(0,1,2)m =的一个法向量为(,,n x y =，由0n DP =，0n CP =， ，得(0,2,1)n =4,5||||m n m n m n <>==，因为二面角所以二面角D GH E --的余弦值为数学试卷第28页（共45页）数学试卷第29页（共45页）数学试卷第30页（共45页）数学试卷第34页（共45页）数学试卷第40页（共45页）。
2013山东高考数学试卷(理科)及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()+()P A B P A P B += 如果事件A 、B 独立，那么()()()=∙P AB P A P B 。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数z 满组(3)(2)5--=z i （z 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为(A) 2+i (B) 2-i (C) 5+i (D) 5-i2、已知集合{}0,1,2=A ，则集合{},=-∈∈B x y x A y A 中元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 93、已知函数()f x 为奇函数，且当0>x 时，21(),=+f x x x则(1)-=f (A) -2 (B) 0 (C) 1 (D) 2 4、已知三棱柱111-ABC A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94，的正三角形，若P 为底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 (A)512π (B) 3π (C) 4π (D) 6π 5、将函数sin(2)ϕ=+y x 的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为 (A)34π (B) 4π (C) 0 (D) 4π- 6、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210,380，--≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩x y x y x y 所表示的区域上一动点，则直线OM的斜率的最小值为(A) 2 (B) 1 (C) 13- (D) 12- 7、给定两个命题,.p q若⌝p 是q 的必要不充分条件，则p 是⌝q 的(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件8、函数cos sin =+y x x x 的图象大致为(A)(B) (C) (D)9、过点(3,1)作圆22(1)1-+=x y 的两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为(A) 230+-=x y (B) 230--=x y (C) 430--=x y (D) 430+-=x y 10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911、抛物线211:(0)2=>C y x p p 的焦点与双曲线222:13-=x C y 的右焦点的连线交1C 于第一象限的点.M若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则=p(A)(B)(C)(D)12、设正实数,,x y z 满足22340.-+-=x xy y z 则当xy z取得最大值时，212+-的最大值为(A) 0 (B) 1 (C) 94(D) 3第Ⅱ卷（共90二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
2013年高考试题——数学理(山东卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟，参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。
第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 若复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为 （A ） 2+i （B ） 2-i （C ） 5+i （D ） 5-i(2) 已知集合A ={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A}中元素的个数是 (A ） 1 (B ） 3 (C ） 5 (D ） 9(3）已知函数f(x) 为函数设且x ＞0时， f(x)= x 2+x1，则f(-1)= (A ） -2 (B ） 0 (C ） 1 (D ） 2（4）已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为49，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 （A ）125π （B ）3π （C ）4π （D ）6π （5）将函数y=sin(2x+Φ)的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则Φ的一个可能取值为 （A ）43π （B ）4π （C ）0 （D ）-4π（6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组220210380x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（ ） （A ）2（B ）1（C ）31-（D ）21- (7)给定两个命题p,q.若﹃p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹃q 的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）函数y=xcosx+sinx 的图象大致为(9过点（3,1）作圆(x-1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为A ．032=-+y xB ． 032=--y xC ．034=--y x D ．034=-+y x(D)（A ）243 (B)252 (C)261 (D)279（11）抛物线C1：221x py =(p ＞0)的焦点与双曲线C2：1322=-y x 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M 。
2013年普通高等学校招生全国统一考试山东卷理科数学(2013年山东省高考理科数学试卷)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，如果事件A ，B 独立，那么P (AB )＝P (A )·P (B ).第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z 满足(z ﹣3)(2﹣i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ). A ．2＋i B ．2﹣i C ．5＋i D ．5﹣i 答案：D解析：由题意得z ﹣3＝52﹣i＝2＋i ，所以z ＝5＋i .故z ＝5﹣i ，应选D ．2.已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x ﹣y|x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ). A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 答案：C解析：当x ，y 取相同的数时，x ﹣y ＝0;当x ＝0，y ＝1时，x ﹣y ＝﹣1;当x ＝0，y ＝2时，x ﹣y ＝﹣2;当x ＝1，y ＝0时，x ﹣y ＝1;当x ＝2，y ＝0时，x ﹣y ＝2;其他则重复.故集合B 中有0，﹣1，﹣2，1，2，共5个元素，应选C ．3.已知函数f (x )为奇函数，且当x>0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (﹣1)＝( ). A ．﹣2 B ．0C ．1D ．2答案：A解析：因为f (x )是奇函数，故f (﹣1)＝﹣f (1)＝﹣(12＋11)＝﹣2，应选A ．4.已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为√3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( ). A ．5π12 B ．π3 C ．π4 D ．π6答案：B解析：如图所示，由棱柱体积为94，底面正三角形的边长为√3，可求得棱柱的高为√3.设P 在平面ABC 上射影为O ，则可求得AO 长为1，故AP 长为√12＋(√3)2＝2.故∈P AO ＝π3，即PA 与平面ABC 所成的角为π3.5.将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ). A ．3π4B ．π4C ．0D ．﹣π4答案：B解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数y ＝sin [2(x ＋π8)＋φ]＝sin (2x ＋π4＋φ)的图象，又y ＝sin (2x ＋π4＋φ)为偶函数，故π4＋φ＝π2＋kπ，k ∈Z ，∈φ＝π4＋k π，k∈Z .若k ＝0，则φ＝π4.故选B ．6.在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组{2x ﹣y ﹣2≥0，x ＋2y ﹣1≥0，3x ＋y ﹣8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ). A ．2B ．1C ．﹣13D ．﹣12答案：C解析：不等式组表示的区域如图阴影部分所示，结合斜率变化规律，当M 位于C 点时OM 斜率最小，且为﹣13，故选C ．7.给定两个命题p ，q ，若 p 是q 的必要而不充分条件，则p 是 q 的( ). A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A解析：由题意：q∈ p ， p q ，根据命题四种形式之间的关系，互为逆否的两个命题同真同假，所以{q⇒∈p ，∈pq 等价于{p⇒∈q ，∈qp ，所以p 是 q 的充分而不必要条件.故选A ．8.函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( ).答案：D解析：因f(﹣x)＝﹣x ·cos (﹣x)＋sin (﹣x)＝﹣(x cos x ＋sin x)＝﹣f(x)，故该函数为奇函数，排除B ，又x∈(0，π2)，y>0，排除C ，而x ＝π时，y ＝﹣π，排除A ，故选D ．9.过点(3，1)作圆(x ﹣1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ). A ．2x ＋y ﹣3＝0 B ．2x ﹣y ﹣3＝0 C ．4x ﹣y ﹣3＝0 D ．4x ＋y ﹣3＝0 答案：A解析：该切线方程为y ＝k(x ﹣3)＋1，即kx ﹣y ﹣3k ＋1＝0，由圆心到直线距离为√k ＋(﹣1)＝1，得k ＝0或43，切线方程分别与圆方程联立，求得切点坐标分别为(1，1)，(95，﹣35)，故所求直线的方程为2x ＋y ﹣3＝0.故选A ．10.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ). A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 答案：B解析：构成所有的三位数的个数为C 91C 101C 101＝900，而无重复数字的三位数的个数为C 91C 91C 81＝648，故所求个数为900﹣648＝252，应选B ．11.抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23﹣y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( ). A ．√316B ．√38C ．2√33D ．4√33答案：D解析：设M (x 0，12p x 02)，y'＝(12p x 2)'＝x p ，故在M 点处的切线的斜率为x 0p＝√33，故M (√33p ，16p).由题意又可知抛物线的焦点为(0，p 2)，双曲线右焦点为(2，0)，且(√33p ，16p)，(0，p2)，(2，0)三点共线，可求得p ＝43√3，故选D ．12.设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy ＋4y 2﹣z ＝0，则当xyz 取得最大值时，2x ＋1y −2z 的最大值为( ). A ．0 B ．1C ．9D ．3答案：B 解析：由x 2﹣3xy ＋4y 2﹣z ＝0得x 2﹣3xy ＋4y 2z ＝1≥2√x 2·4y 2﹣3xy z，即xyz ≤1，当且仅当x 2＝4y 2时成立，又x ，y 为正实数，故x ＝2y.此时将x ＝2y 代入x 2﹣3xy ＋4y 2﹣z ＝0得z ＝2y 2，所以2x ＋1y −2z ＝﹣1y 2＋2y ＝﹣(1y ﹣1)2＋1，当1y ＝1，即y ＝1时，2x ＋1y −2z 取得最大值为1，故选B ．第Ⅱ卷(共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13.执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为__________. 答案：3解析：第1次运行将F 0＋F 1赋值给F 1，即将3赋值给F 1，然后将F 1﹣F 0赋值给F 0，即将3﹣1＝2赋值给F 0，n 增加1变成2，此时1F 1＝13比ε大，故循环，新F 1为2＋3＝5，新F 0为5﹣2＝3，n 增加1变成3，此时1F 1＝15≤ε，故退出循环，输出n ＝3.14.在区间[﹣3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|﹣|x ﹣2|≥1成立的概率为__________. 答案：1解析：设y ＝|x ＋1|﹣|x ﹣2|＝{3，2x ﹣1，﹣3，x ≥2，﹣1<x <2，x ≤﹣1，利用函数图象(图略)可知|x ＋1|﹣|x ﹣2|≥1的解集为[1，＋∞).而在[﹣3，3]上满足不等式的x 的取值范围为[1，3]，故所求概率为3﹣13﹣(﹣3)＝13.15.已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝2，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为__________. 答案：712解析：∈AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∈(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＋λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝0.∈AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2＋λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹣λAB⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝0，即4＋(λ﹣1)×3×2×(﹣12)﹣9λ＝0，即7﹣12λ＝0，∈λ＝712.16.定义“正对数”：ln＋x＝{0，0<x<1，lnx，x≥1，现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln＋(a b)＝b ln＋a;②若a>0，b>0，则ln＋(ab)＝ln＋a＋ln＋b;③若a>0，b>0，则ln＋(ab)≥ln＋a﹣ln＋b;④若a>0，b>0，则ln＋(a＋b)≤ln＋a＋ln＋b＋ln2.其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号)答案：①③④三、解答题：本大题共6小题，共74分.17.(本小题满分12分)设∈ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝79.(1)求a，c的值;(2)求sin(A﹣B)的值.解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2﹣2ac cos B，得b2＝(a＋c)2﹣2ac(1＋cos B)，又b＝2，a＋c＝6，cos B＝79，所以ac＝9，解得a＝3，c＝3.(2)在∈ABC中，sin B＝√1﹣cos2B＝4√2.由正弦定理得sin A＝asinBb ＝2√23.因为a＝c，所以A为锐角.所以cos A＝√1﹣sin2A＝13.因此sin(A﹣B)＝sin A cos B﹣cos A sin B＝10√227.18.(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥P﹣ABQ中，PB∈平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：AB∈GH;(2)求二面角D﹣GH﹣E的余弦值.(1)证明：因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EF∈AB，DC∈AB．所以EF∈DC．又EF∈平面PCD，DC∈平面PCD，所以EF∈平面PCD．又EF∈平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，所以EF∈GH.又EF∈AB，所以AB∈GH.(2)解法一：在∈ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∈ABQ ＝90°，即AB∈BQ. 因为PB∈平面ABQ ， 所以AB∈PB ． 又BP∩BQ ＝B ， 所以AB∈平面PBQ.由(1)知AB∈GH ，所以GH∈平面PBQ. 又FH∈平面PBQ ，所以GH∈FH. 同理可得GH∈HC ，所以∈FHC 为二面角D ﹣GH ﹣E 的平面角. 设BA ＝BQ ＝BP ＝2，连接FC ，在Rt ∈FBC 中，由勾股定理得FC ＝√2， 在Rt ∈PBC 中，由勾股定理得PC ＝√5. 又H 为∈PBQ 的重心， 所以HC ＝13PC ＝√53.同理FH ＝√53.在∈FHC 中，由余弦定理得cos ∈FHC ＝59＋59﹣22×59＝﹣45. 故二面角D ﹣GH ﹣E 的余弦值为﹣45.解法二：在∈ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∈ABQ ＝90°. 又PB∈平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直.以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E(1，0，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2).所以EQ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣1，2，﹣1)，FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(0，2，﹣1)， DP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(﹣1，﹣1，2)，CP ⃗⃗⃗⃗ ＝(0，﹣1，2). 设平面EFQ 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，由m ·EQ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，m ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0， 得{﹣x 1＋2y 1﹣z 1＝0，2y 1﹣z 1＝0，取y 1＝1，得m ＝(0，1，2).设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由n ·DP⃗⃗⃗⃗⃗ ＝0，n ·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝0， 得{﹣x 2﹣y 2＋2z 2＝0，﹣y 2＋2z 2＝0，取z 2＝1，得n ＝(0，2，1). 所以cos <m ，n >＝m ·n|m ||n |＝45. 因为二面角D ﹣GH ﹣E 为钝角， 所以二面角D ﹣GH ﹣E 的余弦值为﹣45.19.(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立.(1)分别求甲队以3∈0，3∈1，3∈2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∈0或3∈1，则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∈2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望.解：(1)记“甲队以3∈0胜利”为事件A 1，“甲队以3∈1胜利”为事件A 2，“甲队以3∈2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A 1)＝(23)3＝827，P(A 2)＝C 32(23)2(1﹣23)×23＝827， P(A 3)＝C 42(23)2(1﹣23)2×12＝427.所以，甲队以3∈0胜利、以3∈1胜利的概率都为827，以3∈2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∈2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A 4)＝C 42(1﹣23)2(23)2×(1﹣12)＝427.由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3， 根据事件的互斥性得P(X ＝0)＝P(A 1＋A 2)＝P(A 1)＋P(A 2)＝1627， 又P(X ＝1)＝P(A 3)＝427， P(X ＝2)＝P(A 4)＝427，P(X ＝3)＝1﹣P(X ＝0)﹣P(X ＝1)﹣P(X ＝2)＝327. 故X 的分布列为所以EX ＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.20.(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n＝λ(λ为常数).令c n ＝b 2n (n ∈N *).求数列{c n }的前n 项和R n .解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得{4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋(2n ﹣1)d ＝2a 1＋2(n ﹣1)d ＋1.解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n ﹣1，n ∈N *. (2)由题意知，T n ＝λ﹣n 2n ﹣1，所以n≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1＝﹣n2n ﹣1＋n ﹣12n ﹣2＝n ﹣22n ﹣1.故c n ＝b 2n ＝2n ﹣222n ﹣1＝(n ﹣1)(14)n ﹣1，n ∈N *.所以R n ＝0×(14)0＋1×(14)1＋2×(14)2＋3×(14)3＋…＋(n ﹣1)×(14)n ﹣1，则14R n ＝0×(14)1＋1×(14)2＋2×(14)3＋…＋(n ﹣2)×(14)n ﹣1＋(n ﹣1)×(14)n，两式相减得34R n ＝(14)1＋(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ﹣1﹣(n ﹣1)×(14)n＝14﹣(14)n1﹣14﹣(n ﹣1)×(14)n ＝13−1＋3n 3(14)n， 整理得R n ＝19(4﹣3n ＋14n ﹣1)，所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19(4﹣3n ＋14n ﹣1).21.(本小题满分13分)设函数f(x)＝xe 2x ＋c (e ＝2.71828…是自然对数的底数，c∈R ). (1)求f(x)的单调区间、最大值;(2)讨论关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数.解：(1)f'(x)＝(1﹣2x)e ﹣2x ，由f'(x)＝0，解得x ＝12.当x<12时，f'(x)>0，f(x)单调递增; 当x>12时，f'(x)<0，f(x)单调递减.所以，函数f(x)的单调递增区间是(﹣∞，12)，单调递减区间是(12，＋∞)， 最大值为f (12)＝12e ﹣1＋C ．(2)令g(x)＝|ln x|﹣f(x)＝|ln x|﹣x e ﹣2x ﹣c ，x∈(0，＋∞).①当x∈(1，＋∞)时，ln x>0，则g(x)＝ln x ﹣x e ﹣2x ﹣c ， 所以g'(x)＝e﹣2x(e 2xx＋2x ﹣1). 因为2x ﹣1>0，e 2xx>0， 所以g'(x)>0.因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增.②当x∈(0，1)时，ln x<0，则g(x)＝﹣ln x ﹣x e ﹣2x ﹣C ． 所以g'(x)＝e﹣2x(﹣e 2x＋2x ﹣1). 因为e 2x ∈(1，e 2)，e 2x >1>x>0， 所以﹣e 2xx<﹣1.又2x ﹣1<1，所以﹣e 2xx ＋2x ﹣1<0，即g'(x )<0.因此g(x)在(0，1)上单调递减.综合①②可知，当x∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝﹣e ﹣2﹣C ．当g(1)＝﹣e ﹣2﹣c>0，即c<﹣e ﹣2时，g(x)没有零点， 故关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数为0;当g(1)＝﹣e ﹣2﹣c ＝0，即c ＝﹣e ﹣2时，g(x)只有一个零点， 故关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数为1;当g(1)＝﹣e ﹣2﹣c<0，即c>﹣e ﹣2时， 当x∈(1，＋∞)时，由(1)知 g(x)＝ln x ﹣x e﹣2x﹣c≥ln x ﹣(12e ﹣1＋c)>ln x ﹣1﹣c ，要使g(x)>0，只需使ln x ﹣1﹣c>0，即x∈(e 1＋c ，＋∞); 当x∈(0，1)时，由(1)知 g(x)＝﹣ln x ﹣x e﹣2x﹣c≥﹣ln x ﹣(12e ﹣1＋c)>﹣ln x ﹣1﹣c ，要使g(x)>0，只需﹣ln x ﹣1﹣c>0，即x∈(0，e ﹣1﹣c );所以c>﹣e ﹣2时，g(x)有两个零点， 故关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数为2.综上所述，当c<﹣e ﹣2时，关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数为0;当c ＝﹣e ﹣2时，关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数为1;当c>﹣e ﹣2时，关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数为2. 22.(本小题满分13分)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为√32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1，PF 2.设∈F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围;(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2.若k≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值. (1)解：由于c 2＝a 2﹣b 2，将x ＝﹣c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1，得y ＝±b 2a，由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝√32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)解法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0).又F 1(﹣√3，0)，F 2(√3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为 l PF 1：y 0x ﹣(x 0＋√3)y ＋√3y 0＝0， l PF 2：y 0x ﹣(x 0﹣√3)y ﹣√3y 0＝0. 由题意知0＋√3y 0√y 0＋(x 0＋√3)0﹣√3y 0√y 0＋(x 0﹣√3).由于点P 在椭圆上，所以x 024＋y 02＝1，所以√3|√(√32x 0＋2)√3|√(√32x 0﹣2).因为﹣√3<m<√3，﹣2<x 0<2， 可得√3√32x 0＋2√3﹣2﹣√32x 0.所以m ＝34x 0. 因此﹣32<m<32. 解法二：设P(x 0，y 0). 当0≤x 0<2时，①当x 0＝√3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P (√3，12)或P (√3，﹣12). 若P (√3，12)，则直线PF 1的方程为x ﹣4√3y ＋√3＝0. 由题意得|m ＋√3|7＝√3﹣m ， 因为﹣√3<m<√3，所以m ＝3√34. 若P (√3，﹣12)，同理可得m ＝3√34. ②当x 0≠√3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋√3)，y ＝k 2(x ﹣√3). 由题意知1√3k 1√1＋k 12√3k 2√1＋k 2， 所以√3)2(m ﹣3)21＋1k 121＋1k 22. 因为x 024＋y 02＝1， 并且k 1＝0x ＋3，k 2＝0x ﹣3， 所以√3)2(m ﹣3)20√3)2024(x ﹣3)2＋4﹣x 02 ＝02√3x 03x 02√3x 02(3x ﹣4)2， 即|√3m ﹣3|＝|√3x 03x |. 因为﹣√3<m<√3，0≤x 0<2且x 0≠√3， 所以√3＋√3﹣m √3x 04﹣√3x .整理得m ＝3x 04， 故0≤m<3且m≠3√3. 综合①②可得0≤m<32.当﹣2<x 0<0时，同理可得﹣32<m<0.综上所述，m 的取值范围是(﹣3，3).(3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y ﹣y 0＝k(x ﹣x 0). 联立{x 24＋y 2＝1，y ﹣y 0＝k (x ﹣x 0)， 整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0﹣k 2x 0)x ＋4(y 02﹣2kx 0y 0＋k 2x 02﹣1)＝0.由题意Δ＝0，即(4﹣x 02)k 2＋2x 0y 0k ＋1﹣y 02＝0. 又x 024＋y 02＝1，所以16y 02k 2＋8x 0y 0k ＋x 02＝0， 故k ＝﹣x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋√3y 0＋x 0﹣√3y 0＝2x 0y 0， 所以11＋12＝1(11＋12) ＝(﹣4y 0x 0)·2x0y 0＝﹣8，因此1kk 1＋1kk 2为定值，这个定值为﹣8.。
2013年山东省高考理科数学试卷解析版
2013年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）（2013•山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位)，则z的共轭复数为(）A．2+i B．2﹣i C．5+i D．5﹣i考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．解答:解：∵(z﹣3）(2﹣i)=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．点评:本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题．2．(5分）（2013•山东）已知集合A=｛0,1，2｝，则集合B=｛x﹣y｜x∈A，y∈A｝中元素的个数是（）A．1B．3C．5D．9考点：集合中元素个数的最值．专题：计算题．分析：依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0,1，2｝,从而可得答案．解答：解:∵A={0，1，2｝,B={x﹣y|x∈A，y∈A｝，∴当x=0,y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1,﹣2;当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0,1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2｝，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键,考查分析运算能力,属于中档题．3．（5分）（2013•山东)已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f(﹣1）=（）A．﹣2 B．0C．1D．2考点: 函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f(﹣1）=﹣f（1）,即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f(x)=x2+,∴f（﹣1）=﹣f(1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．考点: 直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P,在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解:如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角,∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V 三棱柱ABC﹣A1B1C1==,解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键．5．（5分）（2013•山东）函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（）A．B．C．0D．考点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析:利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f(x）=sin（2x+φ)，则f(x+）=sin［2(x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f(x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题．6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为（）A．2B．1C．D．考点: 简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题,对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点(0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解:不等式组表示的区域如图，当M取得点A(3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．7．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断,其中将已知利用互为逆否命题真假性相同,转化为q是¬p的充分不必要条件,是解答的关键．8．（5分)（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（)A．B．C．D．考点：函数的图象．专题: 函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数,奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质,考查了函数的值，是基础题．9．(5分）(2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B，则直线AB的方程为（）A．2x+y﹣3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．4x﹣y﹣3=0 D．4x+y﹣3=0考点：圆的切线方程;直线的一般式方程．专题：计算题；直线与圆．分析:由题意判断出切点（1，1)代入选项排除B、D,推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．解答:解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1,切点之一为(1,1)，显然B、D选项不过（1，1）,B、D不满足题意;另一个切点的坐标在（1,﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．点评:本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．10．（5分)（2013•山东)用0，1，2,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252 C．261 D．279考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．解答：解：用0，1，2，…,9十个数字,所有三位数个数为:900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有:9×9×8=648,所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B．点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用,利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．11．（5分)（2013•山东)抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程;双曲线的简单性质．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标,由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系,把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．解答：解：由，得x2=2py（p＞0），所以抛物线的焦点坐标为F（）．由，得，．所以双曲线的右焦点为（2，0）．则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为，即①．设该直线交抛物线于M(）,则C1在点M处的切线的斜率为．由题意可知，得,代入M点得M（）把M点代入①得:．解得p=．故选D．点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．12．（5分)(2013•山东）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0B．1C．D．3考点：基本不等式．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0,∴z=x2﹣3xy+4y2，又x,y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“="），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1．∴的最大值为1．故选B．点评：本题考查基本不等式，由取得最大值时得到x=2y是关键,考查配方法求最值，属于中档题．二、填空题13．（4分）（2013•山东)执行右面的程序框图，若输入的ɛ值为0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2013年山东高考数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数为( D )
A、2+i
B、2-i
C、5+i
D、5-i
（2）设集合A={0,1,2},则集合B={x-y |x∈A, y∈A }中元素的个数是( C )
A、1
B、3
C、5
D、9
（6）在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组：2x y 20
x 2y 103x y 80--≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
，所表示的区域上一动点，
则直线OM 斜率的最小值为 C
（7）给定两个命题p 、q ，若﹁p 是q 的必要而不充分条件，则p 是﹁q 的
B
（A ）充分而不必条件 （B ）必要而不充分条件
（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为 D
（A ） （B ）
(C) (D)
（9）过点（3，1）作圆（x-1）2+y 2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程
为 A （A）2x+y-3=0 （B）2x-y-3=0 （C）4x-y-3=0 （D）4x+y-3=0
（10）用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 B （A）243 （B）252 （C）261 （D）279
第一象限的点M、若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p= D
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
（13）执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0、25，则输入的n 的值为 3
（15）已知向量AB 与AC 的夹角为120
，且||3,||2,AB AC == 若 ,AP AB AC λ=+ 且AP BC ⊥ ,则实数λ的值为 7
12
（16）定义“正对数”：0,01
ln ln ,1x x x x +
<<⎧=⎨≥⎩
，现有四个命题：
①若0,0a b >>，则ln ()ln b a b a ++
=
②若0,0a b >>，则ln ()ln ln ab a b +++=+ ③若0,0a b >>，则ln ()ln ln a a b b
+
++
≥-
④若0,0a b >>，则ln ()ln ln ln 2a b a b ++++≤++
其中的真命题有： ①③④ （写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分、
（18）（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA=BP=BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的
中点，AQ=2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。
（Ⅰ）求证：AB//GH ；
（Ⅱ）求二面角D-GH-E 的余弦值 、 解答：（1）因为C 、D 为中点，所以CD//AB 同理：EF//AB ，所以EF//CD ，EF ⊂平面EFQ ， 所以CD//平面EFQ ，又CD ⊂平面PCD,所以 CD//GH ，又AB//CD ，所以AB//GH 、
(2)由AQ=2BD ，D 为AQ 的中点可得，△ABQ 为直角三角形，以B 为坐标原点，以BA 、BC 、BP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB=BP=BQ=2，可得平面GCD 的一个法向量为1(0,2,1)n =
，平面EFG 的一个法向量为
2(0,1,2)n =
，可得4
cos 5
α=
=,所以二面角D-GH-E 的余弦值为
（2）由题意可知X 的可能取值为：3,2,1,0
相应的概率依次为：14416,
,,，所以EX=7
解答：（1）由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1，｛a n ｝为等差数列，可得，11,2a d ==
所以21n a n =-
（1）求()f x 的单调区间，最大值；
（2）讨论关于x 的方程|
ln |()x f x =根的个数、
x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l 、
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接PF 1、PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线 PM 交C 的长轴于点M （m ，0），求m 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点p 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 设
将向量坐标代入并化简得：m （23000416)312x x x -=-，因为2
04x ≠，。