大连理工大学测试技术第五章

一、两随机变量的相关系数
通常,两个变量之间若存在着一一对应的确定关系,则称两者 存在着函数关系。当两个随机变量之间具有某种关系时,随 着某一个变量数值的确定,另一变量却可能取许多不同值,但 取值有一定的概率统计规律,这时称两个随机变量存在着相 关关系。 图514表示由两个随机变量x和y组成的数据点的分布情况。 图514a中各点分布很散,可以说变量x和变量y之间是无关的。 图5,14b中x和y虽无确定关系,但从统计结果、从总体看,大 体上具有某种程度的线性关系,因此说它们之间有着相关关 系。
2 Rx (τ ) x
σ x2
显然， 和 均随τ而变化，且两者成线性关 系。如果随机过程的均值
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
例5-1 求正弦函数x(t)=x0sin(ωt+φ)的自相关函数。 初始相角 φ为一随机变量。 解: 此正弦函数,是一个零均值的各态历经随机 过程,其各种平均值可以用一个周期内的平均值 表示之。该正弦函数的自相关函数为:
第五章信号处理初步
测试工作的任务之一：从噪声背景下提取有用信息。 信号处理的目的: 信号处理的目的 （1）分离信、噪，提高信噪比。 （2）从信号中提取有用的特征信号。 （3）修正测试系统误差,如传感器的线性误差、温度影响等。 对随机信号的处理： 对随机信号的处理： （1）幅值域描述：均值、均方值、方差、概率密度函数 （2）时域描述：自相关函数、互相关函数 （3）频域描述：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数
概率密度函数提供了随机信号幅值分布的 信息，不同随机信号有不同的概率密度函 数图形，可借此来识别信号的性质。
§5－2 相关分析及其应用 －
在测试技术领域中,无论分析两个随机变量之间的关系,还是 分析两个信号或一个信号在一定时移前后之间的关系,都需 要应用相关分析。例如在振动测试分析、雷达测距、声发 射探伤等都用到相关分析。
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三、信号的互相关函数
两个各态历经过程的随机信号x(t)和y(t)的互相关函数Rxy(τ)定 义为
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
当时移τ足够大或τ→∞时,x(t)和y(t)互不相关,ρxy→0, Rxy(τ)→xy。 τ τ→∞ ,x(t) y(t) ,ρ →0,而R Rxy(τ)的最大变动范围在xy±σxσy之间,
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
T0 — 正弦函数的周期，T0 = 令ωt + = θ , 则dt = dθ
2π
ω
ω
可见正弦函数的自相关函数是一个余弦函数,在τ=0时具有最大值, 但它不随τ的增加而衰减至零。 保留了原正弦信号的幅值和频率信息,而丢失了初始相位信息。
σ =ψ
2 x 2 x
2 x
对于集合平均的均值和均方值
x ,t
1 = lim M →∞ M
1
∑ x (t )
i =1 i 1
M
1 M 2 ψ x ,t1 = lim ∑ xi (t1 ) M →∞ M i =1 M样本记录总数，i样本记录号，t1观测时刻
（二）概率密度函数 表示信号落在指定区间的概率。 x(t)值落在（x,x+Δx）区间内的时间为Tx
自相关函数性质 1）自相关函数为偶函数,即 Rx(τ)=Rx(-τ)
2） τ→∞时,随机变量x(t)和x(t+τ)之间不存在内在联系了,彼此 无关，故
2 Rx (τ ) → x
τ →∞
3)自相关函数在τ=0时为最大值,并等于该随机信号的均方值
2 2 2 Rx (0) = X + σ X = ψ x
Tx = t1 + t 2 + ... + t n = ∑ ti
i =1 n
当样本函数的记录时间T趋于无穷大时，Tx/T的 比值就是幅值落在（x,x+Δx）区间的概率
Tx Pr [x < x(t ) ≤ x + x ] = lim T →∞ T
定义幅值概率密度函数为
Pr [x < x(t ) ≤ x + x ] p( x) = lim x →0 x
σ x2
对各态历经随机信号及功率信 号可定义自相关函数Rx(τ)
1 Rx (τ ) = lim T →∞ T
则
∫
T
0
x(t ) x(t + τ )dt
ρ x (τ ) =
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重 新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。 无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然 后重新打开该文件。如果仍然显示红色“x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
二、信号的自相关函数
假如x(t)是某各态历经随机过程的一个样本记录,x(t+τ)是 x(t)时移τ后的样本(图5-15),在任何t=ti时刻,从两个样本上可 以分别得到两个量值x(ti)和x(ti +τ),而且x(t)和x(t+τ)具有相 同的均值和标准差。
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无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
两个均值为零且具有相同频率的周期信号,其互相关函数中保留 了这两个信号的圆频率ω、对应的幅值x0和y0以及相位差值φ 的 信息。
互相关函数性质
1）互相关函数Rxy(τ)不是偶函数,也不是奇函数，但有： Rxy(τ)＝ Ryx(-τ) 2） τ→∞时,
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
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5)周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数, 其幅值与原周期信号的幅值有关,而丢失了原信 号的相位信息。
图514是四种典型信号的自相关函数,稍加对比就可以看到自 相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段。只要信号 中含有周期成分,其自相关函数在τ很大时都不衰减,并具有明 显的周期性。不包含周期成分的随机信号,当τ稍大时自相关 函数就将趋近于零。宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到 零,窄带随机噪声的自相关函数则有较慢的衰减特性。
= E [( x ) ] = E [( x ) ]
2 x 2 y
E ( x x )( y y ) ≤ E ( x x ) E ( y y )
2 2
[
]
[
][
2
]
| ρ xy |≤ 1 相关程度愈好,将这样的数据回归成直线才愈
有意义。 ρxy的正负号则是表示一变量随另一变量的增加 而增或减。当ρxy接近于零,则可认为x、y两一变量之间完 全无关,但仍可能存在着某种非线性的相关关系甚至函数 关系。
将分子展开并注意到
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
从而得
1 lim T →∞ T ρ x (τ ) =
∫
T
0
2 x(t ) x(t + τ )dt x
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对于变量x和y之间的相关程度常用相关系数表示：
ρ xy =
E ( x x )( y y )
[
σ xσ y
]
式中：E — 数学期望；
x — 随机变量x的均值， x = E[ x]; y — 随机变量x的均值， y = E[ y ]; σ x、σ y — 随机变量x、y的标准差 σ
Baidu Nhomakorabea2 x 2 σy
3)当τ=τ0时，Rxy(τ0)有最大值
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4）Rx(τ)的取值范围
x(t ) = x0 sin(ωt + θ ) y (t ) = y0 sin(ωt + θ )
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1 = T0
∫
T0
0
x 0 sin( ω t + θ ) y 0 sin[ ω ( t + τ ) + θ ] dt
§5－1 随机信号的幅值域分析 －
一、随机信号的基本概念 随机信号是不能用确定的数学关系式来描述的，不能预 测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动 范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规 律。
样本函数： 样本函数 ： 对随机信号按时间历程所作的各次长时 间观测记录，记作x (t)。 间观测记录，记作xi(t)。 样本记录： 样本记录：样本函数在有限时间上的部分 随机过程： 相同试验条件下 ， 全部样本函数的集合 随机过程 ： 相同试验条件下， 总体） 记作{x(t)} （总体），记作{x(t)} (t),… (t),… 即{x(t)}={x1(t), x2(t),… xi(t),…}
均值表示信号的常值分量 方差描述随机信号的波动分量 方差的平方根叫标准偏差σx
1 σ = lim T →∞ T
2 x
[x(t ) x ]2 dt ∫0
T
1 ψ = lim T →∞ T
2 x
∫
T
0
x 2 (t )dt
均方值描述随机信号的强度 均方值的正平方根称为均方根 值xrms
均值、方差、均方值的相互关系是
例5-2设有两个周期信号x(t)和y(t) 式中θ——x(t)相对于t=0时刻的相位角 φ——x(t)与y(t)的相位差 试求其互相关函数Rxy(τ)
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平稳随机过程 是指其统计特征参数不随时间而变化的随 机过程，否则为非平稳随机过程。 各态历经 在平稳随机过程中，若任一单个样本函数 的时间平均统计特征等于该过程的集合平 均统计特征，叫各态历经（遍历性）随机 过程。
二、随机信号的主要特征参数 （一）均值、方差和均方差 对于各态历经信号：
1 T x = lim ∫ x(t )dt 0 T →∞ T x (t )样本函数，T观测时间
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图515a是某一机械加工表面粗糙度的波形,经自相关分析后所 得到的自相关图(图5-15b)呈现出周期性。这表明造成表面粗 糙度的原因中包含有某种周期因素。从自相关图可以确定该 周期因素的频率,从而可以进一步分析其起因。
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
4）Rx(τ)的取值范围
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x” ，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
随机过程的各种平均值（均值、方差、均方值 和均方根值等）是按集合平均来计算的。 集合平均不是沿某个样本的时间轴进行的，而 是将集合中所有样本函数对同一时刻ti的观测值 取平均。 把按单个样本的时间历程进行平均的计算叫时 间平均。