塑性应力应变关系

加载或中性变载
卸载
f<0 and f>0是什么？
3 强化模型
各向同性强化：假设屈服面均匀膨胀，没有崎 变和移动，此时屈服面可表达为
f ( ij , k ) f ( ij ) k ( ) 0
强化模型实际上表示后继屈服面的变化规律， 即如何随硬化参数而变。强化参数可以取累积 塑性变形。
2 sx 3G 2 y
sx s y
2 sy
sx sz s y sz s z2
s x s xy s y s xy s z s xy
2 s xy
s x s yz s y s yz s z s yz s xy s yz
2 s yz
C
p
对称
对称
s x s zx s y s zx s z s zx s xy s zx s yz s zx 2 s zx
6、增量理论弹塑性矩阵通式
7、A的确定
A
F T F K
1、如已知F与K之间的显示表达式，A就是一个确定的 量。 2、对金属材料，M ises屈服准则，等向强化材料，A 就是单轴拉伸应力与塑性应变曲线的斜率。
8 J2 理论矩阵显示表达式
对J2理论：
2 加载条件
单轴情况
f 0, 且 f 0, 且 f 0, 且
多轴情况
f d ij 0时，加载 ij f d ij 0时，中性变载 ij f d《0时，卸载 ij ij
对理想塑性材料，则为
f f 0, and d ij 0 ij f f 0, and d ij 0 ij
5 塑性应力应变关系的推导
有
0
p ii
（塑性体积应变为零）
令
f f n / σ σ
（屈服面外法向单位向量）
f f f f f : σ σ σ ij ij
n :n 1
f d nij σ
p ij
（流动法则）
作为塑性变形的度量，引进等效塑性变形及其增量
e
3 k ( p ) H ( p ) 2
从上式有 d e d e H ( p )d p或d p H ' ( p )
'
其中H ' d e / d p . 最后有 d 3 1 d e ( )( ) 2 H' e
应力应变增量关系为
3sij 1 1 d ij dsij d kk ij d e 2G 9K 2 H ' e
此式的逆关系存在，见后面的矩阵表达式
H‘的确定
H '
d e
p
d 1 1 1 E p Et E
Ep
为塑性模量，与累积塑性变形有关
由此式，可由图1－5（a)求塑性模量
用矩阵表示
1、总应变分解 2、弹性应变增量与应力增量关系 3、塑性应变增量由流动法则确定
4、由一致性条件求λ
5、增量应力应变关系
注意： 1、应力增量d ij 可由应变增量d ij唯一确定； 2、对于一个给定的应力增量d ij，只有在待定因子 d范围内才能定义应变增量d ij，即 C ep 的逆矩阵不存在。

d的确定 各向同性强化
对加功强化，屈服函数为 f [ ij , k (W p )] 0 式中W p为塑性功, W p ij d ijp。 对应变强化，屈服函数为 f [ ij , k ( p )] 0 式中 p为等效塑性应变，其定义为 d p 2 p p deij deij 3 (5)
3 强化模型
随动强化：假设在塑性变形过程中，后继屈服面在应力 空间作刚体移动而没有转动，因此初始屈服面的大小、 形状和方向仍然保持不变。
f ( ij , ij ) f 0 ( ij ij ) k 0
式中的张量称为背应力张量，与塑性变 形有关；而k为常数。
4 流动法则
i 3G i
于是胡克定律可用下面等价形式描述：
kk
1 2 kk E 3 eij i sij 2 i
i 3G i
形变理论是弹塑性小变形理论的简称。它仅适应简单 加载（在加载过程中一点的应力各分量是按比例增长 的）。但它在数学上简单，而且在比例加载下通常可 得到满意结果。 形变理论假定：（1) 体积变形是弹性的；（2）在物 体所有各点，应力偏量与应变偏量平行（也即塑性应 变的方向与应力偏量平行，注意与增量理论的区别）； （3）应力强度与应变强度有确定的关系（从而可由单 轴拉伸标定，可把单向拉伸图形作为它们的曲线）； （4）卸载是弹性的 1 2 kk kk E i i eij sij
1、J 2流动理论 d ijp 3 nij nkl d kl 2E p
3 1 3 1 sij sij 2Y 2 2 1 1 因为skl d kl ( d 11 d 22 d 33 ) 3 3 3 有 式中nij
p d 11
由式（ ）有 1 2 2 sij deij y d 3 3 2 所以 d sij deij / y 2 代入（3）求出dsij sij 3 dsij 2G (deij skl dekl 2 ) 2 y
最后得理想塑性材料的应力应变增量关系为 sij 3 d ij 2G ( deij skl dekl 2 ) Kd kk ij 2 y
2 p 2 p p p d dε : dε d ij d ij 3 3
p
有

t
3 d 2 f / σ
p
p
等效塑性变形
d dt
p t0
一致性条件
在时刻t，应力σ的点P处于后继屈服面； f (σ, Y ) 0 在时刻t dt, 应力为 σ dσ, 位于点P ' , 后继屈服面为 f (σ dσ, Y dY ) 0 式中dY为硬化参量在dt时间内的增量， 两式相减，有 df f f : dσ dY 0 σ Y
( )
下面说明的求法： 有eij eij 2 sij sij 3 i 固有＝ sij sij 2 i eij eij
于是形变理论可写为： 1 2 kk kk E 3 i eij sij 2 i
i ( i )
形变理论矩阵形式：
逆关系：用应变增量表示应力增量
ep d ij Cijkl d kl ep Cijkl Cijkl * H ij Cijmn
1 * H ij H kl H g ( g为塑性势） mn C pqkl
f g H h Cijkl ij kl
H kl
f pq
设Y以下列演化方程依赖于累积塑性变形 dY Y ' ( )d 有 1 f d : dσ f Y ' σ Y
p p p
p
从而有 1 f : dσ h σ
式中 1 3 1 h 2 f f Y' σ Y
最后有
这一关系只适应硬化材料，可由给定的应力增量求解应变增量。 对软化材料，给定应力增量，不能判断是加载还是卸载，如 下图单轴拉伸所示。因此，对软化材料必须在应变空间中讨 论，即给定应变增量，求解应力增量。
用矩阵表示为
d [C ep ]d T 其中d d x d y d z d xy d yz d zx d d x d y d z d xy d yz d zx T
[C ep ] [C p C ]
4 K 3 G [C ] 2 K G 3 4 K G 3 2 K G 3 2 K G 3 4 K G 3 0 0 0 0 0 0 0 G G G 0 0
e d ij
1 1 d ij dsij d kk ij dsij 2G 9K 对刚塑性材料，不计弹性部分，为 d ij dsij 此为Levy Mises方程
d的确定 理想塑性
对理想塑性J 2材料，有 2 2 2 sij sij e2 y (1) 3 3 两边求导，有 2 sij dsij 0 (2) 偏应变增量可写为 1 dsij dsij (3) 2G 上式两边同乘以sij并求和有 deij sij deij 1 sij dsij dsij sij dsij sij 2G ( 4)
塑性应力应变关系
存在一个屈服条件 有一个加载条件 有一个强化模型 流动法则
1 屈服条件
f ( ij , Y1 ,, Yn ) 0
Y1,….,Yn依赖于材料的当前状态，为硬化 参量，可以是标量，也可以是张量，如累 积塑性变形，累积塑性功等。上式决定应 力空间中的一曲面，称为后继屈服面。当 式中硬化参量都为零时，叫初始屈服面。
Dep
d11 d 12 d12 0 0 0 d11 d12 0 0 0 d11 0 0 0 d 33 0 0 d 33 0 sym d 33
D
ep
where d11
4 E i 3(1 2 ) 9 i
以下只讨论应变强化情形
有deijp deijp d2 sij sij 3 2 (d p ) 2 e2 d2 2 3 固d为 d 3 d p 2 e (8)
( 6)
利用式（ ）和式（5），上式可写为 1 (7 )
对J 2材料，应变强化参数为 sij sij k ( p ) 固有效应力 e ( 3 sij sij )为 2
Cijkl ij kl ( ik jl il jk )
逆关系适应范围更广，不但适应理想塑性（h=0)，也适应应变软 化材料，由应变增量的方向判断加载或卸载。
6 J2 理论（Prandtl-Reuss增量方程）
Y2 1 Y2 f ( ij , Y ) J 2 sij sij 0 3 2 3
2 i E d12 3(1 2 ) 9 i d 33
i 3 i
例题
d ij 。请用 J 2 流动理论（各向同性强化）求出相应的塑性应变增量 d ijp
。（设 E p E p ( eq ) 是已知的）。
p 设一试件先受单向拉伸进入塑性，到达一定的塑性应变 p 11 ，然后施加一应力增量
给定一个应力增量，各塑性应变分量的增量的比率即 塑性应变增量的方向由流动法则确定，该法则可由 Drucker公设推出
f d d ij
p ij
此为相关联的流动法则，它表明塑性应变增量的方向与屈服 面外法线一致。 塑性应变增量的大小则由一致性条件确定：塑 性变形时，应力点停留在屈服面上
9 形变理论
弹性应力应变关系
3 ij m ij 2G E 1 2 m m E 1 eij sij , sii 0, 只有5个独立 2G
ij
i 3J 2 i
有
3 sij sij , 应力强度 2
Байду номын сангаас
2 eij eij ，应变强度 3
where
3J 2 eq is the Mises equivalentstress
固上式表示Y等于mises 等效应力。进一步 假设Y只依赖于累积塑性变形，且
Y Y ( )
p
为材料函数，可由单向拉伸试验确定（见后）
f 有 sij ij 固d ijp deijp dsij 对弹性部分，假设为线性各向同性 1 1 dsij d kk ij 2G 9K 总的应力应变增量关系为