chapter11_2 清华大学《现代信号处理》讲义-胡广书

该多项式六个零点：
z1 = 0.3289 z3 = 0.2841 + j 0.2432 z5 = 2.0311 + j1.7390
z2 = 3.0407 z4 = 0.2841 − j0.2432 z6 = 2.0311 − j1.7390
db小波 ： sym4小波 ：
z1 , z3 , z4 z2 , z3 , z4
11.4 Daubechies正交小波构造 φ (t )
思路：由
H 0 ( z)
ψ (t )
ψ (t ) ：高阶消失矩
要 求：
φ (t ) ψ (t ) ：正交、紧支撑 φ (t ) ψ (t ) ：好的规则性，
即尽可能平滑
已给 定：
1+ z p H 0 ( z ) = 2( ) Q( z ) 2
−1
⇒ Q( z ) ⇒ Q( z )
φ (t )
⎛ 1+ z ⎞ H 0 ( z) = 2 ⎜ ⎟ Q( z ) ⎝ 2 ⎠
−1
4
ψ (t )
利用MATLAB的有关文件可给出 N＝2～10 时的滤波器的系数及相应的尺度函数、小波函 数。
N = 4, 6,8,10 时， N 小波的 ψ (t ) 和 φ (t ) Sym
p p
Bezout方程
n Bezout定理指出:若Q1 ( y ), Q2 ( y ) 为阶次 n1， 2
的多项式，且二者之间没有共同的零点， 那么，唯一地存在两个阶次分别为 n1 − 1 ， n2 − 1 的多项式 P1 ( y ) P2 ( y ) ，使得
Q1 ( y ) P1 ( y ) + Q2 ( y ) P2 ( y ) = 1
例
令 p = 4 ，求db小波ψ (t )及尺度函数 φ (t )
−1 3 −1
⎛ 3 + n ⎞⎛ 2 − z − z Q ( z )Q ( z ) = ∑ ⎜ ⎜ n ⎟⎜ ⎟⎜ 4 n =0 ⎝ ⎠⎝
−1
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
n
5 5 −1 2 = 1 + ( 2 − z − z ) + ( 2 − z − z ) + ( 2 − z − z −1 ) 3 8 16 = ( −5z 3 + 40 z 2 − 131z + 208 − 131z −1 + 40 z −2 − 5z −3 ) / 16
p −1
0 ≤ω ≤ 2π
sup Q(ω ) < 2
p − m −1
规则性要求， m 越 大越好
1 + z −1 p ) Q( z ) H 0 ( z ) = 2( 2
若 p, Q( z ) 能确 H z) 定，0 ( 则 也 就确定
Q( z ) : 系数是实数,
Q(e jω ) = Q(e − jω )
对小波函数和尺度函数的要求转化为对滤波器的要 求： 1 + z −1
H 0 ( z ) = 2(
z =1
2
) p Q( z )
1. 2.
H 0 ( z)
= 2
低通特性的要求
H 0 ( z ) 在 z = −1 要有零点，且零点
的阶次（ p ）越高越好;
3.
要保证
0 ≤ω ≤ 2π
sup Q(ω ) < 2
20 20
关于coif N”小波的构造
在“dbN”中，小波函数 ψ (t ) 具有最大的消失矩( N )， 但尺度函数 φ (t ) 的消失矩没有考虑。Coifman感到这一 类小波在数值分析中的应用中尚不能满足要求，因此 要求Daubechies构造一类使 φ (t ) 也具有和 ψ (t ) 一样 消失矩的正交紧支撑小波。 Daubechies构造了这样的 小波，并称之为“coiflet 小波”。特点：
2 2
(1 − y ) P( y ) + y P(1 − y ) = 1
p p
Bezout 方程
y ∈ [ 0,1]
P( y ) = Q( y ) ≥ 0
2
任务： 求 P( y)
y = sin ( ) 2
2
ω
2
P ( y ) = Q (sin
ω
2
2
)
(1 − y ) P( y ) + y P(1 − y ) = 1
1
1 0.5
0.5 N=8
0 -0.5 -1
0
-0.5
0
5
10
-1.5
0
5
10
15
1
1 0.5
0.5 N=9
0 -0.5 -1
0
-0.5
0
5
10
-1.5
0
5
10
15
11.5 接近于对称的正交小波 及Coiflet小波 问题
db小波是紧支撑的正交小波，但它们不是对 称的,也即H 0 ( z ) 和 H 1 ( z ) 不具有线性相位。 SymN小波和db小波构造的方法基本相同 使序列较为对称的办法是令 Q(z ) 为混合相 位系统，即其零点有的在单位圆内，有的 在单位圆外。
2 H 0 ( z) = (1 + z −1 ) 2
求 出：
h0 (0) = 2 2 h0 (1) = 2 2
由滤波器系数 ⇒ φ (t ) :
h0
[2]
2 2 2 2 (n) = ( ) {1,1} * {1, 0,1} = ( ) {1,1,1,1} 2 2
[2] 0
h
[3] 0
( n) = h
2 2 3 ( n) * {1, 0, 0, 0,1} = ( ) {1,1,1,1,1,1,1} 2 2
M
h0
[J ]
2 J (n) = ( ) {1,1, L ,1} 2 2 J (n) ( ) 2
h0 ( n ) = [0, 1]
φ (t ) : t = 0 ~ 1
h0
[J ]
压缩到 t = 0 ~ 1 的范围内， 得：
0 ≤ t < 1/ 2 1/ 2 ≤ t < 1 其它
Haar小波
例
令 p = 2 ，求db小波ψ (t )及尺度函数 φ (t )
⎡ 2 − z − z −1 ⎤ 1 1 −1 −1 Q ( z )Q ( z ) = 1 + 2 ⎢ ⎥ =2− 2 z− 2 z 4 ⎣ ⎦
1⎡ = ⎣ (1 + 3) + (1 − 3) z ⎤ ⎡ (1 + 3) + (1 − 3) z −1 ⎤ ⎦⎣ ⎦ 4
55
-0.5 -0.5 00 1.5 1.5
11 N=10 N=10
10 10
15 15
-1 -1 00 1.5 1.5
11
55
10 10
15 15
0.5 0.5
00
0.5 0.5
00
-0.5 -0.5
55
-0.5 -0.5 00
10 10
15 15
20 20
-1 -1 00
55
10 10
15 15
jω 2 − jω jω p
Daubechies算法的导出：
⎣
2⎦
⎡ 2 ω ⎤ jω 2 H 0 ( e ) = 2 ⎢ cos ⎥ Q (e ) 2⎦ ⎣
jω 2 p
ω
的偶函数，可 表为 cos ω 的函数
也是 ω 的偶函数，故 也可表为 cos ω 的函数
2
因为
(1 − cos ω ) sin ω = 2 2
2
ω
Q(sin
2
ω
2
2
) ⇒ Q( y )
2
2
再令
P ( y ) = Q(sin
jω 2
ω
2
2
) = Q( y )
2
则
H 0 (e ) = 2(1 − y ) p P ( y ) H 0 (e
j ( ω +π )
) = 2 y p P (1 − y )
2
由 有
H 0 (ω ) + H 0 (ω + π ) = 2
令
Q1 ( y ) = (1 − y ) p , n1 = p
Q2 ( y ) = y p , n2 = p
则
P ( y ) = P( y ) : 1
p −1
P2 ( y ) = P (1 − y ) :
p −1
无共同零点
可以 求 出：
⎛ p + n − 1⎞ n P( y) = ∑ ⎜ y + y p R(1 − 2 y ) ⎟ n ⎠ n =0 ⎝
p −1
R ( y ) 是一奇对称多项式，即 R ( y ) = − R (1 − y ) R ( y ) 的不同选择可构造出不同类型的小 R( y 波，在构造正交小波时，Daubechies选择) = 0
因此 有：
因 为
⎛ p + n − 1⎞ n P( y) = ∑ ⎜ ⎟y n ⎠ n =0 ⎝
Q( z ) :阶次为 m H 0 ( z ) :阶次为m +
p
Daubechies证明了： 满足要求的 Q( z ) 的 最小阶次为：m = 这样，H 0 ( z ) 的阶次为 2 p − 1 ； 即
p −1
h0 (n) 有 N = 2 p 个系数。
⎡1 + e 1 + e ⎤ jω 2 H 0 (e ) = 2 ⋅ 2 ⎢ ⎥ Q (e ) 2 ⎦ ⎣ 2 p ⎡ 2 ω ⎤ jω 2 = 2 ⎢ cos ⎥ Q (e )
可以求出
例
由
令 p = 1 ，求db小波 ψ (t ) 及尺度函数 φ (t )