【精选3份合集】重庆市江津区2019-2020学年高一数学下学期期末联考试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若222b a c ac =++，且sin sin 1A C +=，则ABC ∆的形状为（ ）A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．最大角为锐角的等腰三角形D ．最大角为钝角的等腰三角形2．已知向量()()2,1,,2a b x ==-，若//a b ，则a b +=（ ）A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，2AB =，1AD =，60DAB ∠=，PD BD =，且PD ⊥平面ABCD ，Q 为PC 的中点，则下列结论错误．．的是（ ）A ．AD PB ⊥ B ．PQ DB ⊥C ．平面PBC ⊥平面PBD D ．三棱锥D PBQ -的体积为144．不等式的解集是（ )A ．B ．C ．D ．5．若点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，则l 的方程为（ ）A ．10x y -+=B ．10x y +-=C ．2210x y -+=D ．220x y +-=6．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若22cos sin sin cos a A B b A B =，则ABC ∆是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形7．从某健康体检中心抽取了8名成人的身高数据（单位：厘米），数据分别为172，170，172，166，168，168，172，175，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A ．171 172B ．170 172C ．168 172D ．170 1758．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的正弦值为（ ）A ．2B ．5C ．52D ．3 9．已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A ．16B ．3C ．13D ．3310．已知全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1,2,2,3U M N ===则U C M N ⋂= ( )A ．{}2B ．{}3C ．{}2,3,4D ．{}0,1,2,3,411．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．212．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（ ）A ．8B ．8πC ．4πD ．2π二、填空题：本题共4小题13．一艘轮船按照北偏西30°的方向以每小时21海里的速度航行，一个灯塔M 原来在轮船的北偏东30°的方向，经过40分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75°的方向，则灯塔和轮船原来的距离是_____海里． 14．若直线20ax y a -+=与直线()1420a a x y +-+=平行，则实数a 的值是________．15．（如下图）在正方形ABCD 中，E 为BC 边中点，若AE AB AD λμ=+，则λμ+=__________．16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 2＝2a 1，且S n ＝2n n a +1（n≥2），则数列{a n }的通项公式为_______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()()22f x sin x cos x 23sin x cos x x R =--∈ （I ）求2f 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值 （II ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.18．若n S 是各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和，且()22210n n S n S n ---=． （1）求1a ，2a 的值；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（6分）如图，已知圆M ： ()2219x y -+=，点()2,1A -.（1）求经过点A 且与圆M 相切的直线l 的方程；（2）过点()3,2P -的直线与圆M 相交于D 、E 两点，F 为线段DE 的中点，求线段AF 长度的取值范围.20．（6分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3221S S =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 为递增数列，数列{}n b 满足()*212n nn b n a -=∈N ，求数列n b 的前n 项和n T . （3）在条件（2）下，若不等式30n n nT n b λλ-+<对任意正整数n 都成立，求λ的取值范围.21．（6分）已知5cos sin αα+=，(,)42αππ∈ （1）求tan2α；（2）若15tan()πβ-=，求tan(2)αβ+. 22．（8分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足222a b c bc =+-.（1）求角A ；（2）若2a =，4ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D【解析】【分析】先由余弦定理，结合题中条件，求出120B =︒，再由sin sin sin sin(60)A C A A +=+︒-，求出A ，进而可得出三角形的形状.【详解】因为222b a c ac =++， 所以2221cos 22c a b B ac +-==-，120B =︒，所以sin sin sin sin(60)A C A A +=+︒-1sin sin sin 123A A A A π⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭. 又03A π<<，所以6A C π==，则ABC ∆的形状为最大角为钝角的等腰三角形.故选D【点睛】本题主要考查三角形的形状的判定，熟记余弦定理即可，属于常考题型.2．A【解析】【分析】先根据向量的平行求出x 的值，再根据向量的加法运算求出答案．【详解】向量()()2,1,,2a b x ==-， //a b ，22x ∴⨯-=（），解得4x =-， ∴214221a b +=+--=--（，）（，）（，）， 故选A ．【点睛】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．3．B【解析】【分析】根据余弦定理可求得23BD =，利用勾股定理证得AD DB ⊥，由线面垂直性质可知PD AD ⊥，利用线面垂直判定定理可得AD ⊥平面PBD ，利用线面垂直性质可知A 正确；假设B 正确，由DB BC ⊥和假设可证得DB ⊥平面PBC ，由线面垂直性质可知DB PB ⊥，从而得到//PB PD ，显然错误，则B 错误；由面面垂直判定定理可证得C 正确；由1122D PBQ D PBC C PBD V V V ---==可求得三棱锥体积，知D 正确，从而可得选项.【详解】 1AD =，2AB =，60DAB ∠= 2222cos 3BD AD AB AD AB DAB ∴=+-⋅∠=222AD BD AB ∴+= AD DB ∴⊥PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD PD AD ∴⊥又,PD DB ⊂平面PBD ，PD DB D = AD ∴⊥平面PBDPB ⊂平面PBD AD PB ∴⊥，则A 正确；若PQ DB ⊥，又//AD BC 且AD DB ⊥ DB BC ∴⊥,PQ BC ⊂平面PBC ，PQ BC C = DB ∴⊥平面PBCPB ⊂平面PBC DB PB ∴⊥又DB PD ⊥ //PB PD ∴，与PB PD P =矛盾，假设错误，则B 错误；AD ⊥平面PBD ，//AD BC BC ∴⊥平面PBD又BC ⊂平面PBC ∴平面PBC ⊥平面PBD ，则C 正确； Q 为PC 中点 111226D PBQ D PBC C PBD PBD V V V S BC ---∆∴===⋅PD BD ==PD DB ⊥ 1322PBD S PD BD ∆∴=⋅= 1311624D PBQ V -∴=⨯⨯=，则D 正确 本题正确选项：B【点睛】本题考查立体几何中相关命题的判断，涉及到线面垂直的判定与性质定理的应用、面面垂直关系的判定、三棱锥体积的求解等知识，是对立体几何部分的定理的综合考查，关键是能够准确判定出图形中的线面垂直关系.4．D 【解析】试题分析：且 且，化简得解集为考点：分式不等式解法5．A【解析】【分析】根据A ，B 关于直线l 对称，直线l 经过AB 中点且直线l 和AB 垂直，可得l 的方程.【详解】由题意可知AB 中点坐标是2121,22a a -+⎛⎫ ⎪⎝⎭， (1)1(1)AB a a k a a -+==---， 因为A ，B 关于直线l 对称，所以直线l 经过AB 中点且直线l 和AB 垂直，所以直线l 的斜率为11l AB k k -==， 所以直线l 的方程为212122a a y x +--=-， 即10x y -+=，故选：A.【点睛】本题考查直线位置关系的应用，垂直关系利用斜率之积为1-求解，属于简单题.6．D【解析】【分析】根据正弦定理sin sin a b A B=，将等式中的边a,b 消去，化为关于角A,B 的等式，整理化简可得角A,B 的关系，进而确定三角形ABC ∆．【详解】由题得22sin cos sin sin sin cos A A B B A B =，整理得sin cos sin cos A A B B =，因此有11sin 2sin 222A B =，可得22A B =或22A B π=-，当22A B =时，ABC ∆为等腰三角形；当22A B π=-时，有2A B π+=，ABC ∆为直角三角形，故选D ．【点睛】 这一类题目给出的等式中既含有角又含有边的关系，通常利用正弦定理将其都化为关于角或者都化为关于边的等式，再根据题目要求求解．7．A【解析】【分析】由中位数和众数的定义，即可得到本题答案.【详解】把这组数据从小到大排列为166，168，168，170，172，172，172，175，则中位数为1701721712+=，众数为172.故选：A【点睛】本题主要考查中位数和众数的求法.8．B【解析】【分析】由异面直线所成角的定义及求法，得到ECD ∠为所求，连接ED ，由CDE ∆为直角三角形，即可求解．【详解】在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，可得ECD ∠即为异面直线AB 与CE 所成角，连接ED ，则CDE ∆为直角三角形，不妨设2AB a =，则5,3DE a EC a ==，所以5sin DE ECD EC ∠==, 故选B ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的作法及求法，其中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．B 【解析】 试题分析：如图，取AD 中点F ，连接,EF CF ，因为E 是AB 中点，则//EF BD ，CEF ∠或其补角就是异面直线,CE BD 所成的角，设正四面体棱长为1，则32CE CF ==，12EF =，11322cos 3CEF ⨯∠==．故选B ．考点：异面直线所成的角．【名师点睛】求异面直线所成的角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊的点的选取，选取特殊点时要尽可能地使它与题设的所有相减条件和解题目标紧密地联系起来．如已知直线上的某一点，特别是线段的中点，几何体的特殊线段．10．B【解析】【分析】先求M 的补集，再与N 求交集．【详解】∵全集U ＝{0，1，2，3，4}，M ＝{0，1，2}，∴∁U M ＝{3，4}．∵N ＝{2，3}，∴（∁U M ）∩N ＝{3}．故选：B ．【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题．11．C【解析】【分析】利用等比数列{}n a 的前n 项和公式列出方程组，能求出首项．【详解】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，33S =，621S =-， ∴313616(1)31(1)211a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==-⎪-⎩， 解得11a =，2q =-．故选：C ．【点睛】本题考查等比数列的首项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12．B【解析】【分析】分别讨论当圆柱的高为4时，当圆柱的高为2时，求出圆柱轴截面面积即可得解.【详解】解：当圆柱的高为4时，设圆柱的底面半径为r ，则22r π=，则1r π=，则圆柱轴截面面积为18224rh ππ=⨯⨯=，当圆柱的高为2时，设圆柱的底面半径为r ，则24r π=，则2r π=，则圆柱轴截面面积为28222rh ππ=⨯⨯=， 综上所述，圆柱的轴截面面积为8π， 故选：B.【点睛】 本题考查了圆柱轴截面面积的求法，属基础题.二、填空题：本题共4小题13．1)【解析】【分析】画出示意图，利用正弦定理求解即可.【详解】如图所示：M 为灯塔，C 为轮船180753045MBC ∠=︒-︒-︒=︒，180756075MCB ∠=︒-︒-︒=︒，则在MBC △中有：sin 75sin 45MC MB =︒︒，且221143MB =⨯=海里，则解得：7(31)MB =海里. 【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是能通过题意将航海问题的示意图画出，然后选用正余弦定理去分析问题.14．0【解析】【分析】解方程(4)21)0a a a ⨯-++=（即得解. 【详解】因为直线20ax y a -+=与直线()1420a a x y +-+=平行，所以(4)21)0a a a ⨯-++=（， 所以0a =或1a =.当1a =时，两直线重合，所以舍去.当0a =时，两直线平行，满足题意.故答案为：0【点睛】本题主要考查两直线平行的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 15．32【解析】 ∵AD BC = ，根据向量加法的三角形法则，得到1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+ AB AD λμ=+ ∴λ=1，12μ= ．则λ+μ=32．故答案为32． 点睛：此题考查的是向量的基本定理及其分解，由条件知道，题目中要用AB 和AD ，来表示未知向量，故题目中要通过正方形的边长和它特殊的直角，来做基底，表示出要求的向量，根据平面向量基本定理，系数具有惟一性，得到结果． 16．1(1)2(1)(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【解析】 【分析】推导出a 1＝1，a 2＝2×1＝2，当n≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣11122n n n n a a --=-，即112n n a n a n --=-，由此利用累乘法能求出数列{a n }的通项公式． 【详解】∵数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：a 2＝2a 1，且S n 2n na =+1（n≥2）， ∴a 2＝S 2﹣S 1＝a 2+1﹣a 1， 解得a 1＝1，a 2＝2×1＝2， ∴33331212S a a =++=+，解得a 3＝4， 444412412S a a =+++=+，解得a 4＝6，当n≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣11122n n n n a a --=-，即112n n a n a n --=-， ∴n≥2时，342231nn n a a a a a a a a -=⨯⨯⨯⨯=2231122n n -⨯⨯⨯⨯=-2n ﹣2， ∴数列{a n }的通项公式为11222n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，，．故答案为：11222n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，，．【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的通项公式与前n 项和公式的关系，考查运算求解能力，分类讨论是本题的易错点，是基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。