连续性间断点,连续函数的运算

无穷间断点 左右极限至少有一 第二类间断点 振荡间断点 个不存在
思考与练习
讨论函数
f
(x)
x2
x2 1 3x
2
间断点的类型.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
x = 2 是第二类无穷间断点 .
备用题 确定函数 f (x)
1 间断点的类型. x
1 e1x
解: 间断点 x 0, x 1
证: x ( , )
y sin(x x) sin x
2
sin
x 2
cos(
x
x 2
)
y
2
sin
x
2
cos(
x
x
2
)
2
x
2
1
x
x 0
0
即 lim y 0
x0
这说明 y sin x 在 ( , )内连续 .
同样可证: 函数 y cos x 在( , )内连续 .
二、 函数的间断点
y
y f (x)
y x
0 x0 x0 x x
y
y f (x)
y
x
0 x0 x0 x x
2. 连续的定义
定义 1：设 f (x) 在U (x0 , )内有定义，若
lim y
x0
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0,
则称 f (x) 在 x0 点连续，x0 称为 f (x)的连续点.
设 x x x0 ,
y
y f (x)
y f ( x) f ( x0 ),
y
x 0 就是 x x0,
x
0 x0 x0 x x
y 0 就是 f ( x) f ( x0 ).
定义2: 设函数 y f (x) 在 x0 的某邻域内有定义 , 且
lim
x x0
f (x)
f (x0 ),
f (x0 ) 及 f (x0 ) 中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 ,称 x0 为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡, 称 x0 为振荡间断点 .
例如:
(1) y tan x
x
π 2
为其无穷间断点
.
(2) y sin 1 x
x 0 为其振荡间断点 .
y y tan x
O
x
2
y y sin 1 x
(3)
lim
x x0
f (x)
f (x0 ).
若 f (x) 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
在闭区间 [a , b] 上的连续函数的集合记作 C [ a , b ].
例如, P(x) a0 a1x an xn ( 有理整函数 ) 在 ( , ) 上连续 .
一、连续函数的运算法则
定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,
商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 .
( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, sin x , cos x 连续 tan x , cot x 在其定义域内连续
若 f ( x )在 [ x0 , b )内 有 定 义 ， 且 f ( x0 ) f ( x0 )， 则 称 f (x)在 x0 处 右 连 续.
定理：f (x)在 x0 处连续
f (x)在 x0 处既左连续又右连续，即，f (x0 ) f (x0 ) f (x0 ).
9
例. 证明函数 y sin x 在( , )内连续 .
lim f (x) , x 0为无穷间断点;
x0
当 x 1 时,
x 1
x
,
f (x) 0
当 x 1 时,
x , 1 x
f (x) 1
故 x 1 为跳跃间断点.
在 x 0, 1处, f (x) 连续.
第九节
第一章
连续函数的运算与
初等函数的连续性
一、连续函数的运算法则 二、初等函数的连续性
O
x
(3) y x2 1
y
x 1
x 1 为可去间断点 . O 1 x
x , x 1
(4)
y
f
(x)
1 2
,
x 1
y
1
1
显然 lim f (x) 1 f (1)
2
x1
O
x 1 为其可去间断点 .
(5)
y
f
(x)
x
0
1
, ,
x0 x0
x 1 , x 0
f (0 ) 1,
f (0 ) 1
x 0 为其跳跃间断点 .
1x
y
1
O
x
1
内容小结
1. f (x) 在点 x0 连续的等价形式
lim
x x0
பைடு நூலகம்
f
(x)
f
(x0 )
lim [
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
0
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
左连续 右连续
2. f (x) 在点 x0 间断的类型
可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 左右极限都存在
设 f (x) 在点 x0 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 之一, 函数 f (x) 在点 x0不连续 :
(1) 函数 f (x) 在 x0 无定义 ;
(2) 函数
f (x)
在
x0
虽有定义
,
但
lim
x x0
f (x) 不存在;
(3) 函数 f (x)在 x0 虽有定义 , 且 lim f (x) 存在 , 但
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
x x0
这样的点 x0 称为间断点 .
间断点分类:
第一类间断点:
f (x0 ) 及 f (x0 ) 均存在 ,
若 f (x0 ) f (x0 ) , 称 x0 为可去间断点 . 若 f (x0 ) f (x0 ) , 称 x0 为跳跃间断点 .
第二类间断点:
第八节
第一章
函数的连续性与间断点
一、 函数连续性的定义 二、 函数的间断点
引例：
一、函数的连续性
1. 函数的增量
设 f (x)在U (x0 , )内有定义， x U (x0 , ),
x x x0，称为自变量 x 在点 x0 的增量.
y f (x) f (x0 )，称为 f (x)相应于x的增量.
则称函数
f (x) 在 x0 连续.
0, 0, 当 x x0 x
f (x) f (x0 ) y
可见 , 函数 f (x) 在点 x0 连续必须具备下列条件:
(1) f (x) 在点 x0 有定义 , 即 f (x0 ) 存在 ;
(2) 极限 lim f (x) 存在 ;
x x0
又如, 有理分式函数 R(x) P(x) Q(x)
在其定义域内连续.
只x要0 Q((x0
,)0),
,
都lim有
x x0
Pli(mx)
x x0
R(
Px)(
x0R) (
x0
c)ontinue
3. 左右连续 若 f ( x)在(a, x0 ]内 有 定 义 ， 且 f ( x0 ) f ( x0 )， 则称 f (x) 在 x0 处左连续;