2016_2017学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵1逆矩阵的概念课件苏教版
2016_2017学年高中数学第三讲逆变换与逆矩阵本讲整合课件
3
11 13 ,
10 1 (-1) × (-1) + 3 × 3 (-1) × 2 + 3 × 1 11 13 ∴det(AB)= = 11 − 130 = −119. 10 1
∴(AB)-1=
- 119
10 119
1
13 119 11 119
.
专题一
专题二
专题三
专题四
4 方法二:∵A= -1 3
3
1
提示:要求(AB)-1,可以先求出AB,再求det(AB),最后求出(AB)-1;也 可以先求A-1,B-1,再由逆矩阵的性质(AB)-1=B-1A-1,求出(AB)-1.
专题一
专题二
专题三
专题四
4 5 解:方法一:∵AB= -1 (-1) × 4 + 5 × 3
-1
2 =
3 1 2×4+5× 1 =
= n
������ = ,∴ ������ =
②当
-������������+������������ . ������������-������������ ������ ������ ������ ������ ad-cb=0 时,若 = = , 有无穷多解;若 ������ ������ ������ ������
2 11
专题一
专题二
专题三
专题四
专题四 转化思想 转化思想是指在研究和解决有关问题时采用某种手段将问题通 过变换使之转化,进而使问题得到解决的一种解题策略.本讲中用 到转化思想的有:判断某矩阵A是否可逆,可转化成判断|A|=ad-bc 是否为0,判断某二元一次方程组是否有唯一解可转化为判断系数 矩阵的行列式是否为零.
2016_2017学年高中数学第三讲逆变换与逆矩阵3.2二阶行列式与逆矩阵课件
-3 10
∴det(AB)= -5 12 = (−5) × 10 − (−3) × 12 = −14. ∴
-3 10
(AB)-1=
-
5 7
-
3 14
6
7 5
.
14
答案:
-
5 7
-
3 14
6
7 5
14
1234 5
5.判断所给矩阵是否有逆矩阵,若有,则求出逆矩阵.
31
m2
(1)A=
; (2)B=
.
0 -1
������ ������
≠0
时,A
存在逆矩阵
A-1=
det������ -������
det������
-������
det������ .
������ det������
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
行列式的计算
【例 1】
计算下列行列式:(1)
3 -1
2 5
;
(2) 7 -9 . 84
分析:根据行列式的定义,把对角线上的数相乘再相减即可.
解:(1)
32 -1 5
= 3 × 5 − (−1) × 2 = 17.
(2) 7 -9 = 7 × 4 − (−9) × 8 = 100. 84
题型一 题型二 题型三 题型四
反思二阶行列式 ������ ������
������ ������
的展开式为ad-bc,它是位于两条对角线
上的元素的乘积之差.若行列式的两行或两列元素相同或对应成比
-������ ������-2������
-2
������-2������ .
������ ������-2������
(苏教版)2017-2018学年高中2.4逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念课件选修4-2(数学)
2 A＝ 0
1 0 ， B ＝ 0 5
3 ， 求矩阵 AB 的逆矩阵． 1
x －3
13 ＝ 得 －1 y 5 13 3 －1×13＋3×5 2 ＝ ＝ ， －1×13＋2×5 －3
2
5
x＝2， 故 y＝－3，
即 A(2，－3)为所求．
2 －1 ，求矩阵 A B. 6
0 a b c d ＝ 2
解：设矩阵 A
1 0
a 的逆矩阵为 c
－a －b 1 0 0 ，即 ＝ 1 2c 2d 0 1 1 故 a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2，从而 A 的逆矩阵为 A－1 －1 0 ＝ 1 ， 0 2 －1 0 1 2 －1 －1 －2 所以 A B＝ ＝ . 1 3 0 2 0 6 0
(2)矩阵 B 为旋转变换矩阵，它对应的几何变换为将平面内 的点绕原点顺时针旋转 90° .它存在逆变换 TB－1：将平面内的点 绕原点逆时针旋转 90° ，所对应的变换矩阵为 B
－1
0 ＝ 1
－1 . 0
从几何角度考虑矩阵对应的变换是否存在逆变换，就是观 察在变换下是否能“走过去又能走回来”，即对应的变换是一 一映射． 关键是熟练掌握反射变换、伸缩变换、旋转变换、切变变 换等常用变换对应的矩阵，根据矩阵对应的几何变换找出其逆 变换，再写出逆变换对应的矩阵，即为所求逆矩阵．
b d － ad － bc ad － bc －c a ad－bc －1 ad － bc 可逆，且A ＝__________________.
b ，若ad－bc≠0，则A必 d
2016_2017学年高中数学第三讲逆变换与逆矩阵3.3逆矩阵与二元一次方程组课件
-2
x =
-4
y
y 分析:先将方程组改写为齐次方程组的形式,再判断.
题型一
题型二
题型三
3 解:二元一次方程组 1 3x-2y 即为 x-4y = my mx
-2
x = ������
x , y
-4
y
3������-2������ = ������������, ,∴ ������-4������ = ������������, 3-m -2 x = 1 -(4 + m) y 0 0 .
1
2
3
2.定理 如果关于变量 x,y 的二元一次方程组(线性方程组) a b ������������ + ������������ = ������, 的系数矩阵A= 可逆, ������������ + ������������ = ������ c d x a b -1 e 那么该方程组有唯一解, y = .
三
逆矩阵与二元一次方程组
1.能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义. 2.会用系数矩阵的逆矩阵解方程组. 3.会通过具体的系数矩阵,从几何上说明线性方程组解的存在性 和唯一性.
1
2
3
1.二元一次方程组的矩阵形式 一般地,关于变量 x,y 的二元一次方程组 ������������ + ������������ = ������, 其中������, ������, ������, ������均为常数 的矩阵形式为 ������������ + ������������ = ������ x e a b a b = , 其中矩阵������ =
名师点拨常数项都为零的线性方程组为齐次线性方程组,显然 ������0 0 是其一个解,称为零解; 0 的一个非零解. ������0 (������0, ������0 不全为零)称为该方程组
苏教版数学选修4-2课件：2.4 2.4.1 逆矩阵的概念
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4.逆矩阵的求法
一般地，对于二阶矩阵 A＝ac db，当 ad－bc≠0，矩阵 A 可逆，且它的逆 矩阵
A－1＝ad－－dcbc ad－bc
ad－－abbc. ad－bc
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[思考·探究] 1.2.2 节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什 么？
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
B－1＝10 21.
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(3)矩阵 C 对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线 y＝x 上，它 不是一一映射，在这个变换下，直线 y＝x 上的点有无穷多个原象，而平面上除 直线 y＝x 外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵 C 不存在逆矩阵.
(4)矩阵 D 对应的是绕原点逆时针方向旋转 90°的旋转变换，因此它存在逆 变换：绕原点顺时针旋转 90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为
2017_2018学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组课件苏教版选修4_2
ax＋by＝m 2．方程组 写成矩阵形式为 AZ＝B，其中 A＝ cx＋dy＝n a b x m c d ，称为系数矩阵， Z ＝ ， B ＝ ，当 ________ A 可逆 时，方 _______ y n
∴3x2－54≠0. ∴ x≠ ± 3 2. 故 x 的取值范围是{x|x∈R 且 x≠± 3 2}.
二元一次方程组的行列式解法及矩阵解法
[ 例 3]
3x－2y＝1， －x＋4y＝3.
分别利用行列式及逆矩阵解二元一次方程组
[思路点拨]
Dx Dy 求出相应行列式的值，利用 x＝ D ，y＝ D 求
0 . 1
－1 解：(1)二阶行列式 1
1 ＝－1－1＝－2≠0，所以矩阵 1
1 －2 可逆，逆矩阵为 1 2
1 2 . 1 2
1 (2)二阶行列式 0 a (3)二阶行列式 0
1 a ＝ 1 ≠ 0 ， 所以矩阵可逆， 逆矩阵为 1 0
a b b 与它的行列式 det( A ) ＝ c d 的意义是 d
不同的． 矩阵 A 不是一个数， 而是 4 个数按顺序排列成的一个 数表，行列式 det(A)是由矩阵 A 算出来的一个数，不同的矩阵 可以有相同的行列式的值．
a (2) c
b ＝ad－bc，它是位于两条对角线上的元素的乘积 d
ax＋by＝0 4．对于方程组 cx＋dy＝0
，令
a D＝ c
b ，当 D＝0 时， d
非零解 ． 此方程组有_______
5．二阶矩阵 ＝
a A＝ c
b －1 det( A ) ≠ 0 可逆的充要条件是 __________ 且 A d
逆矩阵PPT课件
2、掌握逆矩阵的求法
学习重点：会判别逆矩阵是否存在；如何求逆矩阵 学习难点：熟练运用公式求逆矩阵
一、概念的引入
当数 在数的运算中， 其中 为 时， 有
的倒数， （或称
的逆）；
在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵 , 使得
证明： 若设
可得 所以 的逆矩阵是唯一的,即
(2)、
(3)、
证明
例
设
目前只能利用定义，用待定系数法解决！
解 则 设 是 的逆矩阵,
又因为
所以
显然当阶数大时，很繁！深切渴望好 方法！！！
三、逆矩阵的求法
定理 矩阵 可逆的充要条件是 ，且
牢 记 这 个 定 理
注：
现在有两种方法：待定系数法（略）和公式法。 例1 求方阵 的逆矩阵.
逆矩阵的计算方法
思考题
思考题解答
答Leabharlann 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵.
二、逆矩阵的概念和性质
1、 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并 ,使得 把矩阵 称为 的逆矩阵. 例 设
注意：
要同时成立！
现在要解决的问题：1. 方阵 满足什么条件时可逆? 2. 可逆时，逆阵怎样求？
2、性质 若 (1)、 是可逆矩阵，则 和 是 的逆矩阵是唯一的. 的可逆矩阵，则有
解
同理可得
用伴随阵求三阶以上 矩阵的逆阵计算量大
故
显然当阶数大时，还是有点很繁哦！继续 渴望好方法！！！
例2
解
用伴随阵求三阶以上矩阵的逆阵计算量大
例3
设
解
于是
高中数学2.4逆变换与逆矩阵1逆矩阵的概念学业分层测评苏教版选修4_2
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 1 逆矩阵的概念学业分层测评 苏教版选修4-2学业达标]1.已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵.【解】 这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos （－π4） －sin （－π4）sin （－π4） cos （－π4）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 －22－22 －22. 2.求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0111的逆矩阵.【导学号：30650038】【解】 法一 待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 1的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.法二 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111中，0×1－1×1＝－1≠0， ∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 －1－1－1－1 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.3.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵. 【证明】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵.4.已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵.【解】 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12， 所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2d 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c 2＝0，d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 5.已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1，2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0，5).(1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由.【解】 (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2. (2)变换矩阵A 是可逆的. 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6.(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B .【导学号：30650039】【解】 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 7.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，所以A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，所以(A －1A )X ＝A －1B ，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 能力提升]8.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2). (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程. 【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.。
2016-2017学年高中数学2.4逆变换与逆矩阵1逆矩阵的概念学业分层测评苏教版选修
【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 2.4 逆变换与逆矩阵 1 逆矩阵的概念学业分层测评 苏教版选修4-2学业达标]1.已知直角坐标平面xOy 上的一个变换是先绕原点逆时针旋转π4，再作关于x 轴反射变换，求这个变换的逆变换的矩阵.【解】 这个变换的逆变换是作关于x 轴反射变换，再作绕原点顺时针旋转π4变换，其矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos （－π4） －sin （－π4）sin （－π4） cos （－π4）⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 －22－22 －22. 2.求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0111的逆矩阵.【导学号：30650038】【解】 法一 待定矩阵法：设矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 1的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ z w x ＋z y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝1，w ＝0，x ＋z ＝0，y ＋w ＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，z ＝1，w ＝0，故所求逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.法二 A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111中，0×1－1×1＝－1≠0， ∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1 －1－1－1－1 0－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1 1 0.3.已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－1 1，求证B 是A 的逆矩阵. 【证明】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1， 所以AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤111 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，BA ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－1 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，所以B 是A 的逆矩阵.4.已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12，求矩阵MN 的逆矩阵.【解】 因为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12， 所以MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12. 设矩阵MN 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 00 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a 2b c 2d 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，2b ＝0，c 2＝0，d 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝0，d ＝2.故所求的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2. 5.已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)，Q (－1，2)分别变换成点P 1(3，－4)，Q 1(0，5).(1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1；如不可逆，请说明理由.【解】 (1)设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2.所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2. (2)变换矩阵A 是可逆的. 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy zw ， 则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋z ＝1，2y ＋w ＝0，－x ＋2z ＝0，－y ＋2w ＝1.解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x ＝25，y ＝－15，z ＝15，w ＝25.故矩阵A 的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤25 －1515 25. 6.(江苏高考)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 206，求矩阵A －1B .【导学号：30650039】【解】 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 02·⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12，所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3. 7.已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，求满足AX ＝B 的二阶矩阵X .【解】 因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1.因为AX ＝B ，所以A －1(AX )＝A －1B .又因为(A －1A )X ＝A －1(AX )，所以(A －1A )X ＝A －1B ，所以X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 12 2 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1. 能力提升]8.二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2). (1)求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x －y ＝4，求l 的方程. 【解】 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，从而M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(2)设直线l 上任意一点(x ，y )，在变换M 作用下对应直线m 上任意一点(x ′，y ′)，因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：2x ′－y ′＝4，所以2(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即直线l 的方程为x ＋4＝0.。
高中数学2.2.4逆变换与逆矩阵旋转变换课件苏教版选修40
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2.2.4 旋转 变换
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
2．2.4 旋转变换
1．旋转变换
将一个图形 F 绕某个定点 O 旋转角度 θ 所得图形 F′的变
换称为_旋__转__变__换__．其中点 O 称为旋转中心，角度 θ 称为_旋__转__角__．
解：由题意得旋转变换矩阵为
cos－60° sin－60°
1 3
－csoins－ －6600°°＝－223
2
，
1
2
故对应的坐标变换公式为x′＝12x＋ 23y
.
y′＝－ 23x＋12y
令
x＝－1，y＝0
得x′＝－12
y′＝
3 2
.
所以所求的点 A′的坐标为－12， 23.
曲线在旋转变换作用下的象
2
M＝scions
45° 45°
－sin cos
4455°°＝
2 2
2
－
2
2
，
2
2
任意选取双曲线 x2－y2＝1 上的一点 P(x0，y0)，它在变换作
用下变为 P′(x，y)，
x＝ 则有
22x0－
22y0，
y＝ 22x0＋ 22y0，
那么
x0＝
22x＋y，
y0＝ 22y－x，
又因为点 P 在曲线 x2－y2＝1 上，
因为绕原点逆时针旋转 90°的变换所对应的矩阵为
M＝csions
90° 90°
－sin cos
9900°°＝01
－10.
所以10
－1 0
－02＝－20，
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【解析】
∵AA－1＝x1
y2－21
1313＝2x－0 y
13x＋131y＝E＝10
01，
∴132xx＋－13y＝y＝10，. ∴xy＝ ＝13－，13.
∴x＋y＝0.
【答案】 0
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________
思路二：利用公式 A－1＝ad－－dcbc ad－bc
－b ad－a bc求解. ad－bc
【自主解答】 法一 设矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝xz
则25
3x 6z
wy ＝10
01，
即25xx＋ ＋36zz 25yy＋ ＋36ww＝10 01，
2x＋3z＝1，
x＝－2， y＝1，
所以25yx＋＋36wz＝＝00，，解得z＝53，
【命题意图】 通过矩阵转换求逆矩阵.
【解】 因为|A|＝2×3－1×4＝2，
所以 A－1＝32－24－2122＝32－2－12
. 1
1.对任意的二阶非零矩阵 A，B，C，考察下列说法： ①(AB)－1＝B－1A－1； ②A(BC)＝(AB)C； ③若 AB＝AC，则 B＝C. 其中正确的是________.
(4)矩阵 D 表示的是将平面内所有点的横坐标不变，纵坐标沿垂直于 x 轴方
向拉伸为原来 2 倍的伸压变换，其逆变换为将平面内所有点的横坐标不变，纵
坐标沿垂直于
x
轴方向压缩为原来的12的伸压变换，故
1 D－1＝0
0 1 . 2
求矩阵A的逆矩阵
求矩阵 A＝25 36的逆矩阵.
【精彩点拨】 思路一：设出 A－1，利用 AA－1＝E，构建方程组求解.
(2)B＝10 00；
(3)C＝10 11；
(4)D＝10 02.
【解】
(1)A＝csions
30° 30°
－cossin303°0°，它表示的变换为将平面内的点绕原
点逆时针旋转 30°的旋转变换，其逆变换为将平面内的点绕原点顺时针旋转 30
3 1
°的旋转变换，故 A－1＝
2Leabharlann 2 .－123 2
－11 1 0
02＝10
－22.
法二
1 因为 A＝0
120，B＝10
11，
1 ∴AB＝0
01210
11.＝10× ×11＋ ＋012× ×00
1×1＋0×1 1 0×1＋12×1＝0
1 1. 2
且 1×12－0×1＝12≠0，
1 21 ∴(AB)－1＝2 0 1 2
－1
1 2
1
＝10
1
2
－22.
【解析】 ①中只有当 A，B 都可逆方可，对任意的非零矩阵不一定成立， 故①不正确.
②为矩阵乘法的结合律故正确. ③中只有当 A 存在逆矩阵方可，故③不正确.
【答案】 ②
2.矩阵10 bd可逆的条件是________. 【解析】 当 1×d－0×b＝d≠0 时可逆. 【答案】 d≠0
3.已知 A＝1k 10(k≠0)，则 A－1 等于________. 【导学号：30650037】
(2)矩阵 B 表示的是将平面内所有点垂直投影到 x 轴上的投影变换，它不是
一一对应的变换，所以不存在逆变换，故不存在逆矩阵.
(3)矩阵 C 表示的是将平面内所有点的纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增
加，且xy→x＋yy的切变变换，其逆变换为将平面内所有点的纵坐标保持不变， 横坐标依纵坐标比例减少，且xy→x－yy的切变变换，故 C－1＝10 －11.
5y＋6w＝1，
w＝－23.
－2 1
故所求的逆矩阵 A－1＝5 3
－23
.
wy ，
法二 注意到 2×6－3×5＝－3≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，且 A－1＝
－63 －5 －3
－ － －2333＝－ 53 2－231.
求一个矩阵 A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法. 法一：待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义 AB＝BA＝E，应 用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程 组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法.
4.逆矩阵的求法
一般地，对于二阶矩阵 A＝ac db，当 ad－bc≠0，矩阵 A 可逆，且它的逆 矩阵
A－1＝ad－－dcbc ad－bc
ad－－abbc. ad－bc
[思考·探究] 1.2.2 节中六种常见的平面变换哪几个存在逆变换？哪几个不存在？为什 么？
【提示】 恒等、反射、伸压、旋转、切变变换存在逆变换，而投影变换 不存在；因为只有一一映射的变换才存在逆变换，而恒等、反射、伸压、旋转、 切变变换为一一映射、投影变换不是一一映射.
4 53，
5 5
B－1＝12 01， (AB)－1＝B－1A－1＝
1 2
01－354 5
4535＝－ －3525
4 5 11. 5
[真题链接赏析] (教材第 65 页习题 2.4 第 5 题)已知 A＝13 24，试求 A－1. (福建高考)已知矩阵 A＝24 13，B＝10 －11. 求 A 的逆矩阵 A－1.
【精彩点拨】 法一：A，B→A－1，B－1→ （AB）－1 ＝B－1A－1 法二：A，B→ AB → （AB）－1
【自主解答】
法一
1 因为 A＝0
0 1 ，且 2
1×12－0＝12≠0，
1 21 ∴A－1＝2 0 1 2
0121＝10 1 2
02，同理 B－1＝10
－11.
因此(AB)－1＝B－1A－1＝10
已知矩阵 A，B，求矩阵 AB 的逆矩阵的一般思路： 先求 A－1，B－1，再求(AB)－1＝B－1A－1 或先求 AB，再求(AB)－1.
已知关于直线 y＝2x 的反射变换对应的矩阵为 A＝－354 5
4 53，切变变换对应 5
的矩阵为 B＝－12 01，试求出(AB)－1.
【解】
反射变换和切变变换对应的矩阵都是可逆的，且 A－1＝－354
阶
阶
段
段
一
三
2.4.1 逆矩阵的概念
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件. 2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB)－1＝B－1A－1 等简单性质. 3.会从几何变换的角度求出 AB 的逆矩阵.
[基础·初探] 1.逆变换 二阶矩阵 A 对应着平面上的一个几何变换，它把点(x，y)变换到点(x′，y′). 反过来，如果已知变换后的结果(x′，y′)，有的变换能“找到回家的路”，让它 变回到原来的 (x，y) ，我们称它为原变换的逆变换.
2.是否每个二阶矩阵都可逆？
【提示】 不是，只有当ac db中 ad－bc≠0 时，才可逆，如当 A＝10 00， 因为 1×0－0×0＝0，
找不到二阶矩阵 B，使得 BA＝AB＝E 成立， 故 A＝10 00不可逆.
3.若二阶矩阵 A，B，C 都是可逆矩阵，如何求(ACB)－1?
【提示】 根据逆矩阵的性质及矩阵乘法的结合律得： (ACB)－1＝（AC）B－1＝B－1(AC)－1＝B－1C－1A－1.
法二：利用逆矩阵公式，对矩阵 A＝ac db：
①若 ad－bc＝0，则 A 的逆矩阵不存在.
②若 ad－bc≠0，则 A－1＝ad－－dcbc ad－bc
－b ad－a bc. ad－bc
判断下列矩阵是否可逆，并当它可逆时求出逆矩阵. (1)11 － 1 1；(2)a0 0b.
1 1
【解】
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
B－1＝10 21.
(3)矩阵 C 对应的是投影变换，它将平面内的点垂直投影到直线 y＝x 上，它 不是一一映射，在这个变换下，直线 y＝x 上的点有无穷多个原象，而平面上除 直线 y＝x 外其他点没有原象，它的逆变换不存在，因此矩阵 C 不存在逆矩阵.
(4)矩阵 D 对应的是绕原点逆时针方向旋转 90°的旋转变换，因此它存在逆 变换：绕原点顺时针旋转 90°的旋转变换，所对应的变换矩阵记为
D－1＝－01 01.
用几何变换的观点判断矩阵的逆矩阵的存在及求解问题，一般思路是：(1) 弄清矩阵所对应的几何变换；(2)根据逆变换的定义判断该变换是否具有逆变换； (3)若有逆变换，找到逆变换；(4)将逆变换写成逆矩阵.
若将本例中矩阵变为下列矩阵，情况如何？