《课堂新坐标》2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题2突破点5数列的通项

合集下载

2017年高考数学理科山东专版二轮专题复习与策略课件第1部分专题6 突破点18 导数的应用酌情自选

(1)可导函数__________________，但导数为 0 的点_________________，如
函数极值的判别注意点函数 f(x)＝x3，当 x＝0 时就不是极值点，但 f′(0)＝0.
(2)极值点______一个___，而是一个______，当 x＝x0 时，函数取得极值．在
(2016·山东高考)设 f(x)＝xln x－ax2＋(2a－1)x，a∈R. (1)令 g(x)＝f′(x)，求 g(x)的单调区间； (2)已知 f(x)在 x＝1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围．
[解] (1)由 f′(x)＝ln x－2ax＋2a，1 分可得 g(x)＝ln x－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)．所以 g′(x)＝1x－2a＝1－x2ax.2 分当 a≤0，x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，函数 g(x)单调递增；3 分当 a>0，x∈0，21a时，g′(x)>0，函数 g(x)单调递增， x∈21a，＋∞时，函数 g(x)单调递减.5 分所以当 a≤0 时，g(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当 a>0 时，g(x)的单调增区间为0，21a，单调减区间为21a，＋∞.6 分
故 f(x)为增函数；当 x＞x2 时，g(x)＜0，即 f′(x)＜0，故 f(x)为减函数．由 f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知 x2＝6－a＋6 a2＋36≤3，解得 a≥－92，故 a 的取值范围为－92，＋∞.12 分
热点题型 2 利用导数研究函数的极值、最值问题题型分析：利用导数研究函数的极值、最值是高考重点考查内容，主要以解答题的形式考查，难度较大.
不符合题意，排除 A、C.
(1)
当 a＝－43时，f′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当 x∈－∞，－32时， f′(x)<0，x∈－32，0时，f′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，注意 f(0)＝1，f－32 ＝－54，则 f(x)的大致图象如图(2)所示．

《课堂新坐标》2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略教师用书名师寄语第2点回避套路解题强化

第2点回避“套路”解题，强化思维训练 “思维”是数学的体操，从近几年来看，高考试题稳中有变，变中求新．其特点是：稳以基础为主体，变以选拔为导向，增大试题的思维量，倡导理性思维．因此，在复习备考时，应回避用“套路”解题，强化通过多观察、多分析、多思考来完成解题．
(2014·江苏高考)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，
f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．
[解题指导]
――→――→
[解析] 作出函数y ＝f (x )在[－3,4]上的图象，f (－3)＝f (－2)＝f (－1)＝f (0)＝
f (1)＝f (2)＝f (3)＝f (4)＝12，观察图象可得0<a <12.
[答案] ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 【名师点评】解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．从以上典例我们可以看出，考能力不是考解题套路，而是考动手操作、深入思考、灵活运用的能力(即分析问题和解决问题的能力)，考生需要通过眼、手、脑高度的配合才能完成解题．因此，在二轮专题复习中，把握考查方向，强化思维训练非常重要．。

2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题6突破点17函数与方程Word版含解析

突破点17 函数与方程(对应学生用书第167页)(1)f (x )＝0的实数根．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．(3)定理法：利用函数零点的存在性定理，即如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )＜0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点.已知函数零点个数，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题．要注意观察是否需要将一个复杂函数转化为两个相对较为简单的函数，常转化为定曲线与动直线问题．回访1 函数零点个数的判断1．(2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．]2．(2014·福建高考)函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．2 [当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，f (2)·f (3)<0，所以f (x )在(2,3)内有一个零点．综上，函数f (x )的零点个数为2.]回访2 已知函数零点个数，求参数的值或取值范围3．(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(3，＋∞) [作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.]4．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]5．(2014·山东高考改编)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.](对应学生用书第167页)热点题型1 函数零点个数的判断题型分析：函数零点个数的判断常与函数的奇偶性、对称性、单调性相结合命题，难度中等偏难.(1)(2016·秦皇岛模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足：①图象关于(1,0)点对称；②f (－1＋x )＝f (－1－x )；③当x ∈[－1,1]时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0]，cos π2x ，x ∈(0，1]，则函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)(2016·青岛模拟)已知定义在R 上的奇函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当0＜x ≤1时，f (x )＝log 12x ，则方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为( )【导学号：67722062】A ．8B ．10C ．12D ．16(1)A (2)C [(1)因为f (－1＋x )＝f (－1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称，又函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，如图所示，画出f (x )以及g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在[－3,3]上的图象，由图可知，两函数图象的交点个数为5，所以函数y ＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |在区间[－3,3]上的零点个数为5，故选A.(2)因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数，所以当－1≤x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－log 12(－x )，又因为函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以函数f (x )的图象的对称轴为x ＝2k ＋1，k ∈Z ，在平面直角坐标系内画出函数f (x )的大致图象如图所示，由图易得直线y ＝1与函数f (x )的图象在(0,6)内有四个交点，且分别关于直线x ＝1和x ＝5对称，所以方程f (x )－1＝0在(0,6)内的零点之和为2×1＋2×5＝12，故选C.]求解此类函数零点个数的问题时，通常把它转化为求两个函数图象的交点个数问题来解决．函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的实数根，也就是函数y ＝g (x )的图象与函数y ＝f (x )的图象交点的横坐标．其解题的关键步骤为：①分解为两个简单函数；②在同一坐标系内作出这两个函数的图象；③数交点的个数，即原函数的零点的个数．提醒：在画函数图象时，切忌随手一画，注意“草图不草”，画图时应注意基本初等函数图象的应用，以及函数性质(如单调性、奇偶性、对称性等)的适时运用，可加快画图速度，从而将问题简化．[变式训练1] (1)(2016·合肥二模)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)已知函数f (x )＝cos π2x ，g (x )＝2－34|x －2|，x ∈[－2,6]，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的所有零点之和为( )A ．6B ．8C ．10D ．12(1)D (2)D [(1)在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝a (0＜a ＜1)的图象，如图所示：两图象共有5个交点，所以F (x )有5个零点．(2)函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点之和可转化为f (x )＝g (x )的根之和，即转化为y 1＝f (x )和y 2＝g (x )两个函数图象的交点的横坐标之和．又由函数g (x )＝2－34|x －2|与f (x )的图象均关于x ＝2对称，可知函数h (x )的零点之和为12.]热点题型2 已知函数的零点个数求参数的取值范围题型分析：已知函数的零点个数求参数的取值范围，主要考查学生的数形结合思想和分类讨论思想，对学生的画图能力有较高要求.(1)(2016·枣庄模拟)已知函数f (x )＝|x |＋a －x 2－2(a ＞0)没有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，2)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(0，2)∪(2，＋∞)(2)(名师押题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x ≥0，1＋4x cos (2π－πx )，x ＜0，g (x )＝kx ＋1(x ∈R)，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[－2,3]内有4个零点，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，113 B ．(22，＋∞) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤22，113 D ．(23，4](1)C (2)C [(1)令f (x )＝0，得a －x 2＝2－|x |，令y ＝2－|x |＝⎩⎨⎧2－x ，x ≥0，2＋x ，x ＜0.由y ＝a －x 2，得x 2＋y 2＝a (y ≥0)，在同一坐标系中分别画出y ＝2－|x |和y ＝a －x 2的图象．如图所示：要使函数f (x )没有零点，则a ＜|0－0＋2|2＝1或a ＞2，即0＜a ＜1或a ＞2.(2)当x ＝0时，显然有f (x )≠g (x )，即x ＝0不是y ＝f (x )－g (x )的零点．当x ≠0时，y ＝f (x )－g (x )在x ∈[－2,3]内的零点个数即方程f (x )＝g (x )(－2≤x ≤3)的实根的个数．当0＜x ≤3时，有kx ＋1＝x 2＋3，即k ＝x ＋2x ；当－2≤x ＜0时，有kx ＋1＝1＋4x cos πx ，即k ＝4cos πx .则y ＝f (x )－g (x )(－2≤x ≤3)的零点个数等价于函数y ＝k 与y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ，0＜x ≤3，4cos πx ，－2≤x ＜0的图象的交点个数，作出这两个函数的图象，如图所示，由图知22＜k ≤113，故选C.]求解此类逆向问题的关键有以下几点：一是将原函数的零点个数问题转化为方程根的个数问题，并进行适当化简、整理；二是构造新的函数，把方程根的个数问题转化为新构造的两个函数的图象交点个数问题；三是对新构造的函数进行画图；四是观察图象，得参数的取值范围．提醒：把函数零点转化为方程的根，在构造两个新函数的过程中，一般是构造图象易得的函数，最好有一条是直线，这样在判断参数的取值范围时可快速准确地得到结果．[变式训练2] (1)(2016·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )【导学号：67722063】A.14B.18 C ．－78D ．－38(2)(2016·汕头一模)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有f (x )－f (－x )＝0，当x ∈[－1,0]时，f (x )＝x 2，若g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为( )A ．[3,5]B ．[4,6]C ．(3,5)D ．(4,6)(1)C (2)C [(1)令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，且f (x )是奇函数，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，又因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个零点，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个零点，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78，故选C.(2)因为f (x )－f (－x )＝0，所以f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，根据函数的周期性和奇偶性作出f (x )的图象如图所示：因为g (x )＝f (x )－log a x 在x ∈(0，＋∞)上有且仅有三个零点，所以y ＝f (x )和y ＝log a x 的图象在(0，＋∞)上只有三个交点，所以⎩⎨⎧log a 3＜1，log a 5＞1，a ＞1，解得3＜a ＜5.]专题限时集训(十七) 函数与方程[A 组高考达标]一、选择题1．(2016·泰安一模)函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)C [由于函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＋18＞0，故函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在区间(2,3)上有唯一的零点．]2．(2016·张掖一模)已知函数f (x )＝e x＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝x －14x的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜cB [由f (x )＝0得e x ＝－x ，由g (x )＝0得ln x ＝－x .由h (x )＝0得x ＝1，即c ＝1.在坐标系中，分别作出函数y ＝e x ，y ＝－x ，y ＝ln x 的图象，由图象可知a ＜0,0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c .]3．(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎨⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x ＞0 ＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]4．(2016·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．[－1,0)D [当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x ＋a ＝0有一个根即可，即e x ＝－a .当x ≤0时，e x ∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.]5．(2016·安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1.若函数g (x )＝f (x )－k仅有一个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2 B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2D [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x (1－x )2，x ≤1，函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，即f (x )＝k 只有一个解，在平面直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，故选D.]二、填空题6．(2016·济南模拟)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(x －1)2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根．由图可知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.]7．(2016·西安模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．10 [问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]8．(2016·南宁二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【导学号：67722064】3 [依题意得⎩⎨⎧ c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧ b ＝－4，c ＝－2，令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎨⎧ x ＞0，－2＋x ＝0，或②⎩⎨⎧ x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]三、解答题9．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R)．(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －6，x ≥12，－x －4，x ＜12.2分由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜12，－x －4≥0，解得x ≤－4.所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}.6分(2)由f (x )＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.作出y＝|2x－1|和y＝－ax＋5的图象，10分观察可以知道，当－2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y＝f(x)有两个不同的零点．故a的取值范围是(－2,2).12分10．(名师押题)已知函数f n(x)＝x ln x－x2n(n∈N*，e＝2.718 28…为自然对数的底数)．(1)求曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程；(2)讨论函数f n(x)的零点个数．[解](1)因为f1(x)＝x ln x－x2，所以f1′(x)＝ln x＋1－2x，所以f1′(1)＝1－2＝－1.又f1(1)＝－1，所以曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为y＋1＝－(x －1)，即y＝－x.4分(2)令f n(x)＝0，得x ln x－x2n＝0(n∈N*，x＞0)，所以n ln x－x＝0.令g(x)＝n ln x－x，则函数f n(x)的零点与函数g(x)＝n ln x－x的零点相同．因为g′(x)＝nx－1＝n－xx，令g′(x)＝0，得x＝n，所以当x＞n时，g′(x)＜0；当0＜x＜n时，g′(x)＞0，所以函数g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减．所以函数g(x)在x＝n处有最大值，且g(n)＝n ln n－n.8分①当n＝1时，g(1)＝ln 1－1＝－1＜0，所以函数g(x)＝n ln x－x的零点个数为0；②当n＝2时，g(2)＝2ln 2－2＜2ln e－2＝0，所以函数g(x)＝n ln x－x的零点个数为0；③当n≥3时，g(n)＝n ln n－n＝n(ln n－1)≥n(ln 3－1)＞n(ln e－1)＝0，因为g(e2n)＝n ln e2n－e2n＜2n2－4n＝2n2－(1＋3)n＜2n2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋3n ＋n (n －1)2×9＜2n 2－[1＋3n ＋3n (n －1)]＝－n 2－1＜0，且g (1)＜0，所以由函数零点的存在性定理，可得函数g (x )＝n ln x －x 在区间(1，n )和(n ，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为2.综上所述，当n ＝1或n ＝2时，函数f n (x )的零点个数为0；当n ≥3且n ∈N *时，函数f n (x )的零点个数为2.12分[B 组名校冲刺]一、选择题1．(2016·南昌二模)若函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －2m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．0＜m ＜13B ．0＜m ≤13 C.13＜m ＜1 D.13＜m ≤1B [当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1，所以f (x ＋1)＝x ＋1，从而f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ＋1－1(－1＜x ＜0)，x (0≤x ≤1)，f (x )－mx －2m ＝0⇔f (x )＝m (x ＋2)，由图象可知0＜m ≤k AB ＝13.]2．(2016·临沂模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：①对任意x ，都有f (x＋3)＝f (x )成立；②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32时f (x )＝32－⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2x ，则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [∵f (x ＋3)＝f (x )成立，∴奇函数f (x )是周期等于3的周期函数．当0≤x ≤32时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ＜34，3－2x ，34≤x ≤32.则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数就是函数f (x )与函数y ＝1|x |的交点的个数，如图所示．故选B.]3．(2016·临汾模拟)函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( ) 【导学号：67722065】A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)C [函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥0)，f (x ＋1)(x ＜0)的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 有两个交点，则方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，a ＜1，故选C.]4．(2016·衡阳模拟)函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图17-1(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图17-1(2)所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )(1) (2)图17-1A ．14B ．12C ．10D ．8A [由题图(1)可知，若f (g (x ))＝0，由g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1，由题图(2)知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0时，x 的值有3个；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0，由题图(1)知，f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5时，x 的值各有2个；f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7.故m ＋n ＝14.故选A.]二、填空题5．(2016·中原名校联考)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 13(x ＋1)，x ∈[0，2)，1－|x －4|， x ∈[2，＋∞)，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为________．1－3a [函数f (x )和y ＝a 的图象如图所示，由图可知，f (x )的图象与直线y ＝a 有5个交点，所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＝－8，x 4＋x 5＝8.当－2≤x ＜0时，0＜－x ≤2，所以f (－x )＝log 13(－x ＋1)＝－log 3(1－x )，即f (x )＝log 3(1－x )，－2≤x ＜0，由f (x )＝log 3(1－x )＝a ，解得x ＝1－3a ，即x 3＝1－3a ，所以函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－3a .]6．(2016·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎨⎧g (x )，f (x )≤g (x )，f (x )，f (x )＞g (x )，则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________． 5 [由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.] 三、解答题7．已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数．(1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若方程f (x )＝g (x )有且仅有一解，求实数a 的取值范围．[解] (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4 (4－x ＋1)－kx ，所以log 44x ＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.4分(2)由已知f (x )＝g (x )，有且仅有一解，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x －43a )有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x －43a 有且只有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根.8分①当a＝1时，则t＝－34不合题意；②当a≠1时，Δ＝0，解得a＝34或－3.若a＝34，则t＝－2，不合题意；若a＝－3，则t＝1 2；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a－1＜0，解得a＞1.综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪(1，＋∞).12分8．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x＞0)．(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.【导学号：67722066】[解](1)∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，g(x)＝m有实根.4分(2)g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋e2x(x＞0)和f(x)的图象如图．8分∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，∴m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1.12分。

【课堂新坐标】2017年高考数学理科山东专版二轮专题复习与策略课件第1部分专题2突破点4等差数列等比数列

2017版高三二轮复习与策略
(2)(2015· 东北三校联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S15>0， S1 S2 S3 S15 S16<0，则a ，a ，a ，…，a 中最大的项为( 1 2 3 15 S6 A.a 6 S8 C.a 8 S7 B.a 7 S9 D.a 9 )
2017版高三二轮复习与策略
回访 2 等比数列基本量的运算 3．(2015· 全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足 a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则 a3＋ a5＋a7＝( A．21 C．63 ) B．42 D．84
B [∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21， ∴1＋q2＋q4＝7，解得 q2＝2 或 q2＝－3(舍去)． ∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选 B.]
2017版高三二轮复习与策略
数列中项的最值的求法
(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数 f(n)＝an，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制． (2)利用数列的单调性求解，利用不等式 an＋1≥an(或 an＋1≤an)求解出 n 的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而确定相应的最值． (3)转化为关于 n 的不等式组求解，若求数列{an}的最大项，则可解不等式组
n 1＋2＋…＋(n－1) 3n 1 a1a2…an＝a1q ＝2 ·
2
2017版高三二轮复习与策略
＝
.
n2 7n 1 2 记 t＝－ 2 ＋ 2 ＝－2(n －7n)，结合 n∈N*可知 n＝3 或 4 时，t 有最大值 6. 又 y＝2t 为增函数，从而 a1a2…an 的最大值为 26＝64.]

《课堂新坐标》2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题7第26讲选修4-5不等

第26讲选修4－5：不等式选讲题型一| 绝对值不等式的解法已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．[解] (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎨⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x <4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2<x <4时，f (x )≥4－|x －4|无解；3分当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5.所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}. 5分(2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，则h (x )＝⎩⎨⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0<x <a ，2a ，x ≥a .由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 8分又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2.于是a ＝3. 10分【名师点评】 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．1．已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.2分当x ≤2时，由f (x )≥3，得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；3分当x ≥3时，由f (x )≥3，得2x －5≥3，解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}. 5分(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 8分由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]. 10分2．设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．[解] (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x ≥3或x ≤－1. 2分故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}. 4分(2)由f (x )≤0，得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，6分即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x ≤－a 2. 8分因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－a 2. 由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2. 10分题型二| 不等式的证明(1)(2016·南通模拟)已知x ，y 均为正数，且x ＞y .求证：2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3.(2)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，求证：|y |＜518.[证明] (1)因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，1分2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1(x －y )2＝(x －y )＋(x －y )＋1(x －y )2≥ 33(x －y )21(x －y )2＝3，4分所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3， 5分 (2)因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |， 8分由题设知|x ＋y |＜13，|2x －y |＜16，从而3|y |＜23＋16＝56，所以|y |＜518. 10分【名师点评】 1.作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：(1)作差；(2)分解因式；(3)与0比较；(4)结论．关键是代数式的变形能力．2．均值不等式的应用：(1)利用均值不等式时必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合不等式的特征；(2)注意检验等号成立的条件，特别是多次使用均值不等式时，必须保证使等号同时成立．1．已知x ，y ，z 都是正数且xyz ＝8，求证：(2＋x )(2＋y )(2＋z )≥64.【导学号：19592067】[证明] 因为x 为正数，所以2＋x ≥22x ，同理2＋y ≥22y ，2＋z ≥22z ， 5分所以(2＋x )(2＋y )(2＋z )≥22x ·22y ·22z ＝88xyz .因为xyz ＝8，所以(2＋x )(2＋y )(2＋z )≥8. 10分2．设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a .[证明] 因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，3分所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a 3＝a . 10分3．证明下列不等式：(1)设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2；(2)a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2；(3)a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .[证明] (1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2(a －b )＝(a －b )(3a 2－2b 2). 2分∵a ≥b >0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0，∴3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. 5分(2)a 6＋8b 6＋127c 6≥33827a 6b 6c 6＝3×23a 2b 2c 2＝2a 2b 2c 2. 6分∴a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2. 7分 (3)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ，a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ，4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ， 9分∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ，∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc . 10分题型三| 柯西不等式的应用已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －－b |＋c 的最小值为4.(1)求a ＋b ＋c 的值；(2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．【导学号：19592068】[解] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ，当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立. 2分又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b .所以f (x )的最小值为a ＋b ＋c .又已知f (x )的最小值为4，所以a ＋b ＋c ＝4. 4分(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2＋b 3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16，即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 8分当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时等号成立．故14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87. 10分【名师点评】 1.使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．2．利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3.[解] (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.。

2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略课件：第1部分专题6 突破点16 函数的图象和性质

m
与 y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xm，ym)，则 ∑ (xi＋yi)＝(
i＝1
)
A．0 C．2m
B．m D．4m
(1)D
(2)B [(1)∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[ －2,2] 是偶函数，
又 f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除 A，B. 设 g(x)＝2x2－ex，则 g′(x)＝4x－ex. 又 g′(0)＜0，g′(2)＞0， ∴g(x)在(0,2)内至少存在一个极值点， ∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)内至少存在一个极值点，排除 C.故选 D.
函数的图象
化简函数解析式，利用函 (1)由解析式确定函数图象．此类问题往往需要_________________ _______ 数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用________ 排除法． ________________________________________
(2)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查_______________ 函数图象的变换
关于原点成中心对称，关于y轴对称． (4)奇函数的图象____________________ 偶函数的图象________________ 单调性相同，偶函数在关于原点 (5)奇函数在关于原点对称的区间上的______________ 单调性相反对称的区间上的______________.
－x＋x f－x＋fx (2)因为 f(－x)＝2－f(x)，所以 f(－x)＋f(x)＝2.因为 2 ＝0，＝ 2 x＋1 1 1，所以函数 y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数 y＝ x ＝1＋x ，故其图象也 x＋1 关于点(0,1)对称．所以函数 y＝ x 与 y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，„， m (xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以 ∑ xi＝0， ∑ yi＝2× 2 ＝ i ＝1 i ＝1

《课堂新坐标》2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略专题限时集训第1部分专题5突破点15圆锥曲

专题限时集训(十五)圆锥曲线中的综合问题[建议用时：45分钟]1．(2016·中原名校联盟二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点B (0，3)为短轴的一个端点，∠OF 2B ＝60°.图15-4(1)求椭圆C 的方程；(2)如图15-4，过右焦点F 2，且斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AD 分别交直线x ＝3于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线PF 2的斜率为k ′.试问k ·k ′是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．[解] (1)由条件可知a ＝2，b ＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)设过点F 2(1,0)的直线l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.5分因为点F 2(1,0)在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即Δ＞0恒成立．设点E (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.6分因为直线AE 的方程为y ＝y 1x 1－2(x －2)，直线AD 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，令x ＝3，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 1x 1－2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y 2x 2－2，所以点P 的坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2.8分直线PF 2的斜率为k ′＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1x 1－2＋y 2x 2－2－03－1＝14·x 1y 2＋x 2y 1－2(y 1＋y 2)x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝14·2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝14·2k ·4k 2－124k 2＋3－3k ·8k 24k 2＋3＋4k 4k 2－124k 2＋3－2·8k 24k 2＋3＋4＝－34k ，所以k ·k ′为定值－34.12分2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2是左右焦点，A ，B 是长轴两端点，点P (a ，b )与F 1，F 2围成等腰三角形，且S △PF 1F 2＝ 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点Q 是椭圆上异于A ，B 的动点，直线x ＝－4与QA ，QB 分别交于M ，N 两点．(i)当QF 1→＝λMN →时，求Q 点坐标；(ⅱ)过点M ，N ，F 1三点的圆是否经过x 轴上不同于点F 1的定点？若经过，求出定点坐标，若不经过，请说明理由．[解] (1)F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由题意可得F 1F 2＝PF 2，∴(a －c )2＋b 2＝4c 2.1分由S △PF 1F 2＝3可得，12·2c ·b ＝bc ＝ 3.2分两式联立解得a ＝2，b ＝3，∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)(ⅰ)∵QF 1→＝λMN →，∴QF 1∥MN ，∴QF 1⊥x 轴.5分由(1)知，c 2＝1，∴F 1(－1,0)．设Q (－1，y )，则有14＋y 23＝1，∴y ＝±32，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，±32.7分 (ⅱ)设Q (x 0，y 0)，则k QA ＝y 0x 0＋2，直线QA 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)．令x ＝－4得M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－4，－2y 0x 0＋2.9分同理k QB ＝y 0x 0－2，直线QB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，得N 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－4，－6y 0x 0－2，10分 MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6y 0x 0－2－－2y 0x 0＋2＝3(x 0＋4)|y 0|.11分设圆心坐标为O (m ，n )，若x 轴上存在定点E (λ，0)满足条件，则有m ＝λ－12，n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－6y 0x 0－2＋－2y 0x 0＋2＝3(x 0＋1)y 0.12分由题意可得(m ＋4)2＋MN 24＝n 2＋EF 214，13分代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12＋42＋14·9(x 0＋4)2y 20＝9(x 0＋1)2y 20＋(λ＋1)24. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－12＋42－(λ＋1)24＝36(x 0＋1)2－9(x 0＋4)24y 20＝9(3x 20－12)4y 20＝－9，整理得λ＝－7，∴x 轴上存在点E (－7,0)满足题意.14分3．(2016·淄博二模)已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，64是等轴双曲线C ：y 2a 2－x 2a 2＝1上一点，抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点与双曲线C 的一个焦点重合．图15-5(1)求抛物线的方程；(2)若点P 是抛物线上的动点，点A ，B 在x 轴上，圆x 2＋(y －1)2＝1内切于△P AB ，求△P AB 面积的最小值．[解] (1)将⎝ ⎛⎭⎪⎫12，64代入双曲线可得，38a 2－14a 2＝1，解得a 2＝18，c 2＝a 2＋a 2＝14，2分由题意可知，p 2＝12，p ＝1，所以抛物线方程为x 2＝2y .4分(2)设P (x 0，y 0)，A (m,0)，B (n,0)，不妨设n ＞m .直线P A 的方程：y ＝y 0x 0－m(x －m )，化简得y 0x ＋(m －x 0)y －my 0＝0.6分又圆心(0,1)到P A 的距离为1，|m －x 0－my 0|y 20＋(m －x 0)2＝1，上式化简得(y 20－2y 0)m 2＋2x 0y 0m －y 20＝0，同理有(y 20－2y 0)n 2＋2x 0y 0n －y 20＝08分所以m ＋n ＝－2x 0y 0y 20－2y 0＝－2x 0y 0－2，mn ＝－y 20y 20－2y 0＝－y 0y 0－2，则(m －n )2＝4x 20＋4y 20－8y 0(y 0－2)2.10分因P (x 0，y 0)是抛物线上的点，有x 20＝2y 0，则(m －n )2＝4y 20(y 0－2)2，易知y 0＞2，所以n －m ＝2y 0y 0－2. 所以S △P AB ＝12(n －m )·y 0＝y 0y 0－2·y 0＝(y 0－2)＋4y 0－2＋4≥24＋4＝8.12分当(y 0－2)2＝4时，上式取等号，此时y 0＝4，x 0＝±2 2. 因此S △P AB 的最小值为8.13分4．(2016·开封二模)已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22.图15-6(1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围. 【导学号：67722057】[解] (1)由题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c ＞0)，且2a 2＋12b 2＝1，故a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0.故可设直线l ：y ＝kx ＋m (m ≠0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，5分则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1)＝16(4k 2－m 2＋1)＞0，且x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2.6分故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，7分因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0.8分又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.9分由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得0＜m 2＜2，且m 2≠1. 设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，10分 |PQ |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)，11分所以S ＝12|PQ |d ＝m 2(2－m 2)＜m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)，故△OPQ 面积的取值范围为(0,1).12分。

【课堂新坐标】2017高考数学(理,江苏)二轮专题复习与策略(教师用书) 第1部分专题2 第7讲平面向量

专题2 三角函数、解三角形、平面向量第7讲平面向量题型一| 平面向量的概念与运算(1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB→＋FC→＝________.(2)已知向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，若(λa ＋b )∥b ，则λ＝________. (3)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． (1)AD→ (2)0 (3)12 [(1)设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB→＋FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →. (2)由题意得λa ＋b ＝λ(1，－3)＋(4，－2)＝(λ＋4，－3λ－2)，由(λa ＋b )∥b 得，(λ＋4)×(－2)－(－3λ－2)×4＝0，解得λ＝0.(3)如图，DE→＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.]【名师点评】 1.运用向量加减法解决几何问题时，需要发现或构造三角形或平行四边形．使用三角形加法法则要特别注意“首尾相接”；使用减法法则时，向量一定“共起点”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3.OA→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.1．如图7－1，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，BG →＝2GO →，设CD →∥AG →，若AD→＝15AB →＋λAC →(λ∈R )，则λ的值为________．图7－165 [因为BG →＝2GO →，所以AG →＝13AB →＋23AO →＝13AB →＋13AC →. 又CD→∥AG →，可设CD →＝mAG →.从而AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋m 3AB →＋m 3AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 3AC→＋m 3AB →.因为AD→＝15AB →＋λAC →，所以m 3＝15，λ＝1＋m 3＝65.]2．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图7－2所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.图7－24 [以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋μb ，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4.]3．如图7－3，在△ABC 中，AF ＝13AB ，D 为BC 的中点，AD 与CF 交于点E .若AB→＝a ，AC →＝b ，且CE →＝x a ＋y b ，则x ＋y ＝________.图7－3－12 [如图，设FB 的中点为M ，连结MD .因为D 为BC 的中点，M 为FB 的中点，所以MD ∥CF .因为AF ＝13AB ，所以F 为AM 的中点，E 为AD 的中点．法一：因为AB →＝a ，AC →＝b ，D 为BC 的中点，所以AD→＝12(a ＋b )．所以AE→＝12AD →＝14(a ＋b )．所以CE →＝CA →＋AE →＝－AC →＋AE → ＝－b ＋14(a ＋b )＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，所以x ＋y ＝－12.法二：易得EF ＝12MD ，MD ＝12CF ，所以EF ＝14CF ，所以CE ＝34CF . 因为CF →＝CA →＋AF →＝－AC →＋AF → ＝－b ＋13a ，所以CE→＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫－b ＋13a ＝14a －34b . 所以x ＝14，y ＝－34，则x ＋y ＝－12.]题型二| 平面向量的数量积(1)(2014·江苏高考)如图7－4，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD→的值是________．图7－4(2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．【导学号：19592023】(1)22 (2)712 [(1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB→，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →. 因为AP →·BP→＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB→－316AB 2→＝2.又因为AD 2→＝25，AB 2→＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC→＝0，所以(λAB →＋AC →)·BC →＝0，即(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB 2→＋AC 2→－AC →·AB→＝0. 因为向量AB →与AC →的夹角为120°，|AB →|＝3，|AC →|＝2，所以(λ－1)|AB →||AC →|·cos 120°－9λ＋4＝0，解得λ＝712.] 【名师点评】求平面向量的数量积的两种方法1．定义法：a ·b ＝|a ||b |·cos θ，其中θ为向量a ，b 的夹角； 2．坐标法：当a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.1．(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a ＝(4，－3)，|b |＝1，|a －b |＝21，则向量a ，b 的夹角为________．π3 [∵a ＝(4，－3)，∴|a |＝5，又|b |＝1，|a －b |＝21， ∴|a －b |2＝a 2－2a·b ＋b 2，∴a·b ＝52.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b|a ||b |＝525×1＝12.又〈a ，b 〉∈[0，π]， ∴〈a ，b 〉＝π3.]2．如图7－5，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，cos ∠BAC ＝13，DC →＝2BD →，则AD →·BC →的值为________．图7－5－2 [∵BC→＝AC →－AB →， ∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋13AC →－13AB →·(AC →－AB →) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →·(AC →－AB →) ＝－23AB →2＋13AC →2＋13AB →·AC → ＝－23×9＋13×9＋13×3×3×13 ＝－6＋3＋1＝－2.]3．(2016·南通调研一)已知边长为4的正三角形ABC ，BD →＝12BC →，AE→＝13AC →，AD 与BE 交于点P ，则PB →·PD→的值为________．图7－63 [法一：设AB →＝a ，AC →＝b .则a·b ＝8.设AP →＝λAB →＋μAE →＝λa ＋μ3b ，AP →＝ηAD →＝η2a ＋η2b, 又B ，P ，E 三点共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝η2，μ3＝η2，λ＋μ＝1，解得λ＝14，μ＝34，η＝12，PB →＝AB →－AP →＝34a －14b ，PD→＝14a ＋14b ，PB →·PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a －14b ⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ＋14b ＝116(3a 2＋2a·b －b 2)＝3.法二：以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，P (0，3)．所以PB →·PD →＝(－2，－3)·(0，－3)＝3.]题型三| 数量积的综合应用(1)已知O 为△ABC 的外心，AB ＝2a ，AC ＝2a ，∠BAC ＝120°，若AO→＝αAB→＋βAC →，则α＋β的最小值为________．(2)已知点R (－3,0)，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M (x ，y )在直线PQ 上，且 2 PM →＋3 MQ →＝0，RP →·PM →＝0，则4x ＋2y －3的最小值为________．(1)2 (2)－4 [(1)如图，以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立直角坐标系，则A (0,0)，B (2a,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，3a ，∵O 为△ABC 的外心，∴O 在AB 的中垂线m ：x ＝a 上，又在AC 的中垂线n 上，AC 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，32a ，AC 的斜率为tan 120°＝－3，∴中垂线n 的方程为y －32a ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a ，把直线m 和n 的方程联立方程组 ⎩⎨⎧x ＝a ，y －32a ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a ，解得△ABC 的外心O ⎝⎛⎭⎪⎫a ，33a ＋233a ，由条件AO →＝αAB→＋βAC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，33a ＋233a ＝α(2a,0)＋β⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，3a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2aα－βa ，3a β， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2aα－βa ，33a ＋233a ＝3a β，解得α＝23＋13a 2，β＝a 23＋23，∴α＋β＝23＋13a 2＋a 23＋23＝43＋13a 2＋a 23≥43＋2×13＝2，当且仅当a ＝1时取等号．(2)由2PM →＋3MQ →＝0，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－y 2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，0.由RP →·PM →＝0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－y 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，3y 2＝0，即y 2＝4x ，∴4x ＋2y －3＝y 2＋2y －3＝(y ＋1)2－4，因此，当y ＝－1时，4x ＋2y －3取得最小值，最小值为－4.]【名师点评】两类平面向量综合问题的解决方法1．用向量解决平面几何问题，主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐标化，然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题；2．在平面向量与平面解析几何的综合问题中，应先根据平面向量知识把向量表述的解决几何问题的几何意义弄明白，再根据这个几何意义用代数的方法研究解决．1．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＝4分别交x 轴正半轴及y 轴正半轴于M ，N 两点，点P 为圆C 上任意一点，则PM →·PN→的最大值为________． 4＋42 [根据题意得：M (2,0)，N (0,2)．设P (2cos θ，2sin θ)，则PM→＝(2－2cos θ，－2sin θ)，PN→＝(－2cos θ，2－2sin θ)，所以PM →·PN →＝－4cos θ＋4cos 2θ－4sin θ＋4sin 2θ ＝4－4(sin θ＋cos θ) ＝4－42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，因为－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，所以4－42≤PM →·PN→≤4＋42，所以PM →·PN→的最大值为4＋4 2.]2．(2016·苏锡常镇调研一)在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数f (x )＝x 2＋4x (x ＞0)的图象上任意一点，过M 点向直线y ＝x 和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA →·MB→＝________.图7－7－2 [设M (a ，b )，则b ＝a 2＋4a (a ＞0)，据题设得B (0，b )，向量MB →＝(－a,0)，设A (m ，m )，则直线MA 的斜率为－1，即b －m a －m＝－1，得m ＝a ＋b 2，向量MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 2，a －b 2，MA →·MB →＝a 2－ab 2，把b ＝a 2＋4a (a ＞0)代入得MA →·MB →＝a 2－a 2－42＝－2.]3．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的函数f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x 在R 上有极值，则向量a 与b 的夹角的范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π [设a 与b 的夹角为θ. ∵f (x )＝13x 3＋12|a |x 2＋a ·b x ， ∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b . ∵函数f (x )在R 上有极值，∴方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两个不同的实数根，即Δ＝|a |2－4a ·b >0，∴a ·b <a24，又∵|a |＝2|b |≠0，∴cos θ＝a ·b |a ||b |< a 24 a 22＝12，即cos θ<12，又∵θ∈[0，π]， ∴θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π.]。

2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题5突破点14圆锥曲线的定义、方程、几

突破点14圆锥曲线的定义、方程、几何性质(对应学生用书第167页)(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a (212(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M (l 为抛物线的准线).(1)①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca ＝1－b 2a 2； ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝ca ＝1＋b 2a 2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c,0)，F 2(c,0)；②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±ab x ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c )．(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝±2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±p 2，0，准线方程为x ＝∓p 2； ②抛物线x 2＝±2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，±p 2，准线方程为y ＝∓p 2.(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长斜率为k 的直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2或|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2|y 1－y 2|＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.(2)抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；③1|F A |＋1|FB |＝2p ；④以弦AB 为直径的圆与准线相切．回访1 圆锥曲线的定义与方程1．(2016·天津高考)已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1D [由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b4＋b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2. 由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b 4＋b2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.]2．(2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.303 B ．6 C ．12D ．7 3C [∵F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点， ∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，∴AB 的方程为y －0＝tan 30°⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即y ＝33x －34. 联立⎩⎨⎧y 2＝3x ，y ＝33x －34，得13x 2－72x ＋316＝0.∴x 1＋x 2＝－－7213＝212，即x A ＋x B ＝212.由于|AB |＝x A ＋x B ＋p ， ∴|AB |＝212＋32＝12.]回访2 圆锥曲线的几何性质3．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．2 [如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c . 又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得，2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．]4．(2015·山东高考)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．32 [双曲线的两条渐近线方程为y ＝±ba x ，与抛物线方程联立得交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2pb a ，2pb 2a 2，抛物线焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，由三角形垂心的性质，得BF ⊥OA ，即k BF ·k OA ＝－1，又k BF ＝p 2－2pb 2a 22pb a ＝a 4b －b a ，k OA ＝b a ，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4b －b a ba ＝－1，即b 2a 2＝54，故C 1的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝1＋54＝32.] 5．(2013·山东高考改编)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝________.433 [∵双曲线C 2：x 23－y 2＝1，∴右焦点为F (2,0)，渐近线方程为y ＝±33x . 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p ＞0)，焦点为F ′⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2.设M (x 0，y 0)，则y 0＝12px 20.∵k MF ′＝k FF ′，∴12p x 20－p 2x 0＝p2－2.①又∵y ′＝1p x ，∴y ′|x ＝x 0＝1p x 0＝33.② 由①②得p ＝433.] 回访3 弦长问题6．(2015·全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12B [抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，∴椭圆中c ＝2，又c a ＝12，∴a ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12，从而椭圆方程为x 216＋y 212＝1. ∵抛物线y 2＝8x 的准线为x ＝－2， ∴x A ＝x B ＝－2，将x A ＝－2代入椭圆方程可得|y A |＝3，由图象可知|AB |＝2|y A |＝6.故选B.]7．(2013·全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A．2 B．2 2C．2 3 D．4C[设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋2＝42，∴x0＝32，∴y20＝42x0＝42×32＝24，∴|y0|＝2 6.∵F(2，0)，∴S△POF ＝12|OF|·|y0|＝12×2×26＝2 3.](对应学生用书第167页)热点题型1 圆锥曲线的定义、标准方程题型分析：圆锥曲线的定义、标准方程是高考常考内容，主要以选择、填空的形式考查，解题时分两步走：第一步，依定义定“型”，第二步，待定系数法求“值”.(1)(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)(2)(2016·通化一模)已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52D ．2(1)A (2)B [(1)若双曲线的焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧m 2＋n ＞0，3m 2－n ＞0.又∵(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4，∴m 2＝1，∴⎩⎨⎧1＋n ＞0，3－n ＞0，∴－1<n <3.若双曲线的焦点在y 轴上，则双曲线的标准方程为y 2n －3m 2－x 2－m 2－n ＝1，即⎩⎨⎧n －3m 2＞0，－m 2－n ＞0，即n >3m 2且n <－m 2，此时n 不存在．故选A.(2)如图所示，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ ||PF |＝34，过点Q 作QM ⊥l 垂足为M ，则MQ ∥x 轴，所以|MQ |4＝|PQ ||PF |＝34，所以|MQ |＝3，由抛物线定义知|QF |＝|QM |＝3.]求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”1．定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．2．计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn ＞0)．[变式训练1] (1)(2016·威海模拟)已知双曲线M ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y ＝18x 2有公共焦点F ，F 到M 的一条渐近线的距离为3，则双曲线方程为( )A ．y 2－x 23＝1B.x 23－y 2＝1 C.x 27－y 23＝1D.y 23－x 27＝1(2)(2016·合肥二模)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M 到焦点F 的距离等于2p ，则直线MF 的斜率为( )【导学号：67722050】A ．±3B ．±1C ．±34D ．±33(1)A (2)A [(1)抛物线y ＝18x 2，即x 2＝8y 的焦点为F (0,2)，即c ＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±ab x ，可得F 到渐近线的距离为d ＝bca 2＋b 2＝b ＝3，即有a ＝c 2－b 2＝4－3＝1，则双曲线的方程为y 2－x 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)，由题意x 0＋p2＝2p ，则x 0＝3p 2，从而y 20＝3p 2，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，3p 或M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，－3p ，又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则k MF ＝±3.]热点题型2 圆锥曲线的几何性质题型分析：圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点和热点，其中求圆锥曲线的离心率是最热门的考点之一，建立关于a ，c 的方程或不等式是求解的关键.(1)(2016·全国丙卷)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34(2)(2016·泰安三模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B ，C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x(1)A (2)C [(1)如图所示，由题意得 A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)．由PF ⊥x 轴得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .设E (0，m )，又PF ∥OE ，得|MF ||OE |＝|AF ||AO |，则|MF |＝m (a －c )a .①又由OE ∥MF ，得12|OE ||MF |＝|BO ||BF |，则|MF |＝m (a ＋c )2a .②由①②得a －c ＝12(a ＋c )，即a ＝3c ，所以e ＝c a ＝13. 故选A.(2)由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为ab ，cos ∠CF 1F 2＝bc ，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得|CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －2＝0⇒ba ＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .]1．求椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的方法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca 的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或ab 的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[变式训练2] (1)(2016·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32 C.3D ．2(2)(名师押题)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( ) 【导学号：67722051】A.22 B ．2－ 3 C.5－2D.6－ 3(1)A (2)D [(1)法一：如图，因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b 2a ，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2，所以离心率e ＝ca ＝ 2.法二：如图，因为MF 1⊥x 轴，所以|MF 1|＝b 2a . 在Rt △MF 1F 2中，由sin ∠MF 2F 1＝13得 tan ∠MF 2F 1＝24.所以|MF 1|2c ＝24，即b 22ac ＝24，即c 2－a 22ac ＝24，整理得c 2－22ac －a 2＝0，两边同除以a 2得e 2－22e －1＝0.解得e ＝2(负值舍去)． (2)设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， ∴|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义可知△F 1AB 的周长为4a ， ∴4a ＝2m ＋2m ，m ＝2(2－2)a . ∴|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a . ∵|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，∴4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2＝4c 2， ∴e 2＝9－62，e ＝6－ 3.]专题限时集训(十四)圆锥曲线的定义、方程、几何性质[A 组高考达标]一、选择题1．(2016·全国甲卷)设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k ＞0)与C交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2D [∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝kx (k ＞0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，∴P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝kx (k ＞0)得k ＝2.故选D.]2．(2016·石家庄一模)过点A (0,1)作直线，与双曲线x 2－y 29＝1有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为( )A ．0B ．2C ．4D ．无数C [过点A (0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A (0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点．]3．(2016·唐山二模)椭圆y 2＋x 2m 2＝1(0＜m ＜1)上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B [当点P 是短轴的顶点时∠F 1PF 2最大，因此若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则∠F 1PF 2≥90°，所以∠F 2PO ≥45°(O 是原点)，从而c a ≥22，即1－m 2≥12，又0＜m ＜1，所以0＜m ≤22.]4．(2016·济宁模拟)设点P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＋S △IPF 2＝2S △IF1F 2，则该椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.3－12A [因为S △IPF 1＋S △IPF 2＋S △IF 1F 2＝S △PF 1F 2，所以3S △IF 1F 2＝S △PF 1F 2，设△PF 1F 2内切圆的半径为r ，则有32×2c ×r ＝12×(|PF 1|＋|PF 2|＋2c )×r ，整理得|PF 1|＋|PF 2|＝4c ，即2a ＝4c ，所以e ＝12.]5．(2016·兰州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) 【导学号：67722052】A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1D [椭圆的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.因为双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，所以渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫255b ，255b ，所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，所以b 2＝5，所以a 2＝4b 2＝20.所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.故选D.] 二、填空题6．(2016·合肥二模)双曲线M ：x 2－y2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，记|F 1F 2|＝2c ，以坐标原点O 为圆心，c 为半径的圆与双曲线M 在第一象限的交点为P ，若|PF 1|＝c ＋2，则P 点的横坐标为________．3＋12 [根据双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，又|PF 1|＝c ＋2，所以|PF 2|＝c ，由勾股定理得(c ＋2)2＋c 2＝4c 2，即c 2－2c －2＝0，解得c ＝3＋1，根据△OPF 2是等边三角形得P 点的横坐标为3＋12.]7．(2016·邯郸二模)已知F 1，F 2为x 2a 2＋y 216＝1的左、右焦点，M 为椭圆上一点，则△MF 1F 2内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则a 2＝________.【导学号：67722053】25 [由题意得内切圆的半径等于32，因此△MF 1F 2的面积为12×32×(2a ＋2c )＝3(a ＋c )2，即3(a ＋c )2＝12×|y M |×2c ，因为满足条件的点M 恰好有2个，所以M 为椭圆短轴端点，即|y M |＝4，所以3a ＝5c 而a 2－c 2＝16，所以a 2＝25.]8．(2016·枣庄模拟)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线与椭圆C 2：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)交于第一、二象限内的两点分别为A ，B ，若△OAB 的外接圆的圆心为(0，2a )，则双曲线C 1的离心率为________．6－2 [由双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1，可得渐近线为y ＝±ba x ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，b 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－2a 2＝2a ，化为b 2－4ab ＋a 2＝0，解得ba ＝2－ 3. ∴双曲线C 1的离心率为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝6－ 2.]三、解答题9．(2016·莱芜模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(2，2)，其焦点在⊙O ：x 2＋y 2＝4上，A ，B 是椭圆的左右顶点．图14-1(1)求椭圆C 的方程；(2)M ，N 分别是椭圆C 和 ⊙O 上的动点(M ，N 不在y 轴同侧)，且直线MN 与y 轴垂直，直线AM ，BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，求证：PN ⊥QN .[解] (1)由椭圆焦点在⊙O ：x 2＋y 2＝4上可知，c ＝2，1分 ∴b 2＝a 2－4，将点(2，2)代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得4a 2＋2a 2－4＝1，即a 4－10a 2＋16＝0，解得a 2＝8，或a 2＝2(舍)，3分 ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.4分(2)证明：设M (x 0，y 0)，直线AM 的斜率显然存在，设直线AM 方程为y ＝k (x ＋22)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y24＝1，y ＝k (x ＋22)，可得(1＋2k 2)x 2＋82k 2x ＋16k 2－8＝0.6分∴－22x 0＝16k 2－81＋2k 2，得x 0＝22－42k 21＋2k 2，y 0＝42k1＋2k 2，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22－42k 21＋2k2，42k 1＋2k 2，8分直线BM 的斜率为42k1＋2k 222－42k 21＋2k 2－22＝－42k 82k 2＝－12k ，9分∴直线BM 的方程为y ＝－12k (x －22)．令x ＝0，可得P (0,22k )，Q ⎝⎛⎭⎪⎫0，2k ，10分设N (x N ，y 0)，则PN →＝(x N ，y 0－22k )，QN →＝⎝⎛⎭⎪⎫x N ，y 0－2k ，PN →·QN →＝x 2N ＋y 20－⎝⎛⎭⎪⎫22k 2＋2k y 0＋4，11分又x 2N ＋y 20＝4，y 0＝42k 1＋2k 2，∴PN →·QN →＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫22k 2＋2k 42k 1＋2k 2＋4＝8－8＝0，12分 ∴PN ⊥QN .13分10．(2016·全国甲卷)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA .(1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围． [解] 设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.(1)当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2,0).2分由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4. 因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0. 解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.4分因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.5分 (2)由题意t ＞3，k ＞0，A (－t ，0)．将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得 (3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t (3－tk 2)3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t (1＋k 2)3＋tk 2.7分由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t (1＋k 2)3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)．当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k (2k －1)k 3－2.9分t ＞3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝(k －2)(k 2＋1)k 3－2＜0，即k －2k 3－2＜0.10分由此得⎩⎨⎧ k －2＞0，k 3－2＜0，或⎩⎨⎧k －2＜0，k 3－2＞0，解得32＜k ＜2.因此k 的取值范围是(32，2).12分[B 组名校冲刺]一、选择题1．(2016·唐山二模)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上一点，O 为坐标原点，若以点M (0,8)为圆心，|OA |的长为半径的圆交抛物线C 于A ，B 两点，且△ABO 为等边三角形，则p 的值是( )A.38B ．2C ．6D.23D [由题意知|MA |＝|OA |，所以点A 的纵坐标为4，又△ABO 为等边三角形，所以点A 的横坐标为433，又点A 是抛物线C 上一点，所以163＝2p ×4，解得p＝23.]2．(2016·安庆二模)已知焦点在x 轴上的椭圆方程为x 24a ＋y 2a 2＋1＝1，随着a的增大该椭圆的形状( )A ．越接近于圆B ．越扁C ．先接近于圆后越扁D ．先越扁后接近于圆D [由题意知4a ＞a 2＋1且a ＞0，解得2－3＜a ＜2＋3，又e 2＝1－b 2a 2＝1－a 2＋14a ＝1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a .因此当a ∈(2－3，1)时，e 越来越大，当a ∈(1,2＋3)时，e 越来越小，故选D.]3．(2016·济宁二模)如图14-2，已知点P 在以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，若四边形F 1F 2PQ 为菱形，则该双曲线的离心率为( )图14-2A. 3B.3＋12C ．2D ．23－1B [由题意知四边形F 1F 2PQ 的边长为2c ，连接QF 2(图略)，由对称性可知，|QF 2|＝|QF 1|＝2c ，则三角形QPF 2为等边三角形．过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，则∠PF 2H ＝60°，因为|PF 2|＝2c ，所以在直角三角形PF 2H 中，|PH |＝3c ，|HF 2|＝c ，则P (2c ，3c )，连接PF 1，则|PF 1|＝23c .由双曲线的定义知，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝23c －2c ＝2(3－1)c ，所以双曲线的离心率为c a ＝13－1＝3＋12.] 4．(2016·武汉二模)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( ) 【导学号：67722054】A.33B ．1 C.233D ．2A [设AF ＝a ，BF ＝b ，由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝34(a ＋b )2.∵a ＋b ＝AF ＋BF ＝2MN ，∴|AB |2≥34|2MN |2，∴|MN ||AB |≤33.]二、填空题5．(2016·哈尔滨二模)设F 1，F 2是椭圆x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|AF 1|＝3|F 1B |，且AF 2⊥x 轴，则b 2＝________.23[由题意F 1(－c,0)，F 2(c,0)，AF 2⊥x 轴，∴|AF 2|＝b 2，∴A 点坐标为(c ，b 2)，设B (x ，y )，则|AF 1|＝3|F 1B |，∴(－c －c ，－b 2)＝3(x ＋c ，y )，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c ，－13b 2，代入椭圆方程可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－53c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13b 22b 2＝1.∵1＝b 2＋c 2，∴b 2＝23.]6．过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交其于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．322 [设直线AB 的倾斜角为θ(0＜θ＜π)及|BF |＝m ， ∵|AF |＝3，∴点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3， ∴2＋3cos θ＝3，即cos θ＝13，则sin θ＝223. ∵m ＝2＋m cos(π－θ)，∴m ＝21＋cos θ＝32，∴△AOB 的面积为S ＝12×|OF |×|AB |×sin θ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32×223＝322.]三、解答题7．如图14-3，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |.图14-3(1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1617，217在椭圆C 内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP ⊥OQ .求直线l 的方程及椭圆C 的方程．[解] (1)由已知|AB |＝52|BF |，即a 2＋b 2＝52a ，2分4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，∴e ＝c a ＝32.4分 (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b 2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由x 214b 2＋y 21b 2＝1，x 224b 2＋y 22b2＝1，可得x 21－x 224b 2＋y 21－y 22b 2＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4b 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即－3217(x 1－x 2)4＋417(y 1－y 2)＝0，从而k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2，6分 ∴直线l 的方程为y －217＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1617，即2x －y ＋2＝0.8分由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1⇒x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0，9分Δ＝322＋16×17(b 2－4)＞0⇔b ＞21717，x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217. ∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0,5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0，11分从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.12分 8．(2016·全国丙卷)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ，R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.2分(1)由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .4分(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2.6分由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，8分所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，9分由k AB＝k DE可得2a＋b＝yx－1(x≠1)．而a＋b2＝y，所以y2＝x－1(x≠1).10分当AB与x轴垂直时，E与D(1,0)重合.11分所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.12分。

《课堂新坐标》2017年高考数学(理科江苏专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题5第15讲直线与圆Word

专题5解析几何第15讲直线与圆题型一| 直线与方程(1)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|P A|·|PB|的最大值是________．(2)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是________．(1)5(2)x＋y－2＝0[(1)∵直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B，∴A(0,0)，B(1,3)．当点P与点A(或B)重合时，|P A|·|PB|为零；当点P与点A，B均不重合时，∵P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直，∴△APB为直角三角形，∴|AP|2＋|BP|2＝|AB|2＝10，∴|P A|·|PB|≤|P A|2＋|PB|22＝102＝5，当且仅当|P A|＝|PB|时，上式等号成立．(2)由垂直于直线y＝x＋1可设直线方程为x＋y＋b＝0，则有|b|12＋12＝1，b＝±2，又∵切点在第一象限，故直线方程为x＋y－2＝0.]【名师点评】两直线位置关系的判定方法：(1)给定两条直线l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，则有下列结论：l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.(2)若给定的方程是一般式，即l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则有下列结论：l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.1．(2016·南京二模)若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为________．23 [由题意得：m 1＝2－m 2≠－3－4⇒m ＝23.] 2．(2016·南通调研一)在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (4,0)．若直线x －y ＋m ＝0上存在点P ，使得P A ＝12PB ，则实数m 的取值范围是________．[－22，22] [法一：设满足条件PB ＝2P A 的P 点坐标为(x ，y )，则(x －4)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，化简得x 2＋y 2＝4.要使直线x －y ＋m ＝0有交点，则|m |2≤2.即－22≤m ≤2 2.法二：设直线x －y ＋m ＝0有一点(x ，x ＋m )满足PB ＝2P A ，则(x －4)2＋(x ＋m )2＝4(x －1)2＋4(x ＋m )2.整理得2x 2＋2mx ＋m 2－4＝0.(*)方程(*)有解，则Δ＝4m 2－8(m 2－4)≥0，解得－22≤m ≤2 2.]3．过点P (－4,0)的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝5相交于A ，B 两点，若点A 恰好是线段PB 的中点，则直线l 的方程为________．【导学号：19592045】x ±3y ＋4＝0 [如果直线l 与x 轴平行，则A (1－5，0)，B (1＋5，0)，A 不是PB 中点，则直线l 与x 轴不平行；设l ：x ＝my －4，圆心C 到直线l 的距离d ＝5m 2＋1，令AB 中点为Q ，则AQ ＝5－d 2，PQ ＝3AQ ＝35－d 2，在Rt △CPQ 中，PQ 2＋CQ 2＝PC 2，得d 2＝52＝251＋m 2，解得m ＝±3，则直线l 的方程为x ±3y ＋4＝0.]题型二| 圆的方程(1)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程是__________________．(2)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2－4x －8y ＋19＝0关于直线l ：x ＋2y －5＝0对称的圆C 2的方程为________．(1)(x －2)2＋(y －1)2＝4 (2)x 2＋y 2＝1 [(1)设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.(2)由圆C 1：x 2＋y 2－4x －8y ＋19＝0化简可得该圆圆心为(2,4)，半径为1，则圆心(2,4)关于直线l ：x ＋2y －5＝0的对称点满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－4x ′－2＝2，x ′＋22＋2×y ′＋42－5＝0，可解得⎩⎨⎧x ′＝0，y ′＝0，故圆C 2的方程为x 2＋y 2＝1.] 【名师点评】求圆的方程的两种方法1．几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．1．(2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．(x －1)2＋y 2＝2 [直线mx －y －2m －1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r 满足r 2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.]2．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为________．【导学号：19592046】(x －3)2＋y 2＝4 [设圆心坐标为(a,0)(a >0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|a －1|，圆心到直线x －y －1＝0的距离为d ＝|a －1|2. 由弦长为22可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＝(a －1)2－2，解得(a －1)2＝4，所以a ＝3或a ＝－1(舍去)．故圆心为(3,0)，半径为2，所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝4.]3．当且仅当a <r <b 时，圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上恰好有两点到直线3x ＋4y －15＝0的距离为2，则以(a ，b )为圆心，且和直线4x －3y ＋1＝0相切的圆的方程为________．(x －1)2＋(y －5)2＝4 [因为圆心(0,0)到直线3x ＋4y －15＝0的距离d ＝|－15|32＋42＝3.结合图形可知，圆上恰好有两点到直线3x ＋4y －15＝0的距离为2的充要条件是|r －3|<2，即1<r <5，由题意知a ＝1，b ＝5，所以圆心为(1,5)，则圆心(1,5)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为|4×1＋5×(－3)＋1|42＋(－3)2＝2.所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －5)2＝4.]题型三| 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)(2016·苏中三市二调)在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2,0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a )2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________．(2)(2016·南京三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为________．(1)4 (2)3 [(1)由题意得PT ＝22－1＝3，k PT ＝33，PT ：y ＝33(x ＋2)，即x －3y ＋2＝0，又RS ＝PT ＝3，所以圆(x －a )2＋(y －3)2＝3的圆心到直线PT 的距离为3－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝32，从而|a －1|2＝32，因此正数a 的值为4. (2)由题意得圆N 与圆M 内切或内含，即MN ≤ON －1⇒ON ≥2，又ON ≥OM －1，所以OM ≥3.a 2＋(a －3)2≥3⇒a ≥3或a ≤0(舍)．因此a 的最小值为3.]【名师点评】 1.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l 2构成直角三角形的关系来处理．2．讨论点与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．1．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________. 4±15 [由△ABC 为等边三角形知，圆心C 到直线AB 的距离为3，所以|a ＋a －2|a 2＋1＝3，解得a ＝4±15.] 2．已知方程x 2＋x tan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a 和b ，那么过点A (a ，a 2)，B (b ，b 2)的直线与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是________．相切 [可求出过A ，B 两点的直线方程为(a ＋b )x －y －ab ＝0，圆心到直线AB 的距离为d ＝|ab |(a ＋b )2＋1，而a ＋b ＝－1tan θ，ab ＝－1sin θ，因此d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1sin θ1tan 2θ＋1，化简后得d ＝1，故直线与圆相切．] 3．已知圆x 2＋y 2＝4，点M (4,0)，过原点的直线(不与x 轴重合)与圆O 交于A ，B 两点，则△ABM 的外接圆的面积的最小值为________．254π [如图，设∠AMB 为α.在△ABM 中，∵AB ＝4，由正弦定理可知，△ABM 的外接圆半径R ＝AB 2sin α＝2sin α.要使R最小，只需sin α最大，显然当且仅当AB与y轴重合时，α最大，此时tan α2＝12，∴tan α＝43，sin α＝45.∴R＝52，故△ABM的外接圆的面积为254π.]。

(山东专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略第2部分.解答

必考增补专题技法篇6 招巧解客观题，省时、省力得高分教师用书理必考增补专题中的 4 个打破点在高考考察中较为简单，题型为选择、填空题，属送分题型，经过一轮复习，大部分考生已能娴熟掌握，为节俭可贵的二轮复习时间，逢迎教师与考生的需求，本部分只简单提炼核心知识，建立知识系统，解说客观题解法，其他以练为主.建知识网络明内在联系[ 高考点拨] 必考增补专题波及的知识点比较集中，多为新增内容，在高考取常以“四小”的形式体现．本专题的考察也是高考取见义勇为的高频考点，考察考生应用新知识解决问题的能力和转变与化归能力等．综合最近几年高考命题规律，本专题主要从“会合与常用逻辑用语”“不等式与线性规划”“算法初步、复数、推理与证明”“摆列组合、二项式定理”四大角度进行精练，引领考生明确考情，高效备考．技法篇：6 招巧解客观题，省时、省力得高分[ 技法概括] 选择题、填空题是高考必考的题型，共据有75 分，所以，商讨选择题、填空题的特色及解法是特别重要和必需的．选择题的特色是灵巧多变、覆盖面广，突出的特点是答案就在给出的选项中．而填空题是一种只需求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完好的结果．解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自己的特色决定选择题及填空题会有一些独到的解1法．解法 1 直接法直接法是直接从题设出发，抓住命题的特色，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得出结果. 直接法是求解填空题的常用方法. 在用直接法求解选择题时，可利用选项的表示性作出判断，同时应注意：在计算和论证时尽量简化步骤，合理跳步，还要尽可能地利用一些常用的性质、典型的结论，以提升解题速度.π(1)(2016 ·北京高考) 将函数y＝sin 2x－3 图象上的点P π4 ，t 向左平移s( s>0) 个单位长度获取点P′. 若P′位于函数y＝sin 2 x 的图象上，则( )1A．t ＝，s 的最小值为2 π6B．t ＝3，s 的最小值为2π6 1C．t ＝，s 的最小值为2 π3D．t ＝3，s 的最小值为2π3(2)(2015 ·江苏高考) 已知向量a＝(2,1) ，b＝(1 ，－2) ，若m a＋n b＝(9 ，－8)( m，n ∈R)，则m－n 的值为______．[ 解题指导] (1) 先求点P坐标，再求点P′的坐标，最后将点P′的坐标代入y＝sin 2x 求s 的最小值．(2) 能够利用向量的坐标运算，经过坐标相等，直接得出参量m，n 的值．(1)A (2) －3 [(1) 因为点P π4，t 在函数y＝sin 2x－π3的图象上，所以t ＝sin 2×π4π－3＝sinπ6＝12. 所以Pπ41，2 . 将点P 向左平移s( s>0) 个单位长度得P′π4－s，12.因为P′在函数y＝sin 2 x 的图象上，所以sin 2π－s ＝41 1，即cos 2 s＝，所以2s2 2＝2kπ＋5ππ或2s＝2kπ＋π，即s＝kπ＋3 3 65π或s＝kπ＋6( k∈Z) ，所以s 的最小值为π6.(2) ∵m a＋n b＝(2 m＋n，m－2n) ＝(9 ，－8) ，∴2m＋n＝9，m－2n＝－8，∴m＝2，n＝5，∴m－n＝－3.][ 变式训练1] (2015·福建高考)为认识某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机检查了该社区 5 户家庭，获取以下统计数据表：2收入 x ( 万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y ( 万元)6.27.58.08.59.8^ ^ ^ ^ ^ ^ 依据上表可得回归直线方程 y ＝bx ＋a ，此中 b ＝0.76 ，a ＝ y －b x . 据此预计，该社区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为 ()A ．11.4 万元B ．11.8 万元C ．12.0 万元D ．12.2 万元8.2 ＋8.6 ＋10.0 ＋11.3 ＋11.9 B [ 由题意知， x ＝5＝10，y ＝ 6.2 ＋7.5 ＋8.0 ＋8.5 ＋9.8 5 ＝8，^∴a ＝8－0.76 ×10＝ 0.4 ，^∴当 x ＝15 时，y ＝0.76 ×15＋ 0.4 ＝11.8( 万元) ．] 解法 2 等价转变法所谓等价转变法，就是经过“化复杂为简单、化陌生为熟习”，将问题等价地转变成便于解决的问题，进而得出正确的结果 .→ →(1)(2016 ·成都模拟 ) 设四边形 ABCD 为平行四边形， | AB | ＝6，| AD | ＝4，若点→→ → → → →M ，N 知足BM ＝3MC ，D N ＝2N C ，则AM ·N M ＝()A ．20B ．15C ．9D ． 6(2)(2015 ·湖南高考 ) 若直线 3x －4y ＋5＝0 与圆 x2＋y 2＝r2＋y 2＝r2(r >0) 订交于 A ，B 两点，且∠AOB ＝120°( O 为坐标原点 ) ，则 r ＝__________.→ → → → [ 解题指导 ] (1) 把向量AM ，N M 用AB ，BC表示，再求数目积．(2) 利用∠ AOB ＝120°，获取圆心到直线的距离，最后用点到直线的距离公式求解．→ → → → (1)C (2)2 [(1) 依题意有 AM ＝AB ＋BM ＝AB＋ → → → → → → 31 1 BC ，N M ＝N C ＋C M ＝ D C － BC ＝ 4 3 4 → →1 1 AB － BC，3 4→ → → 所以AM ·NM＝ AB ＋ →3 4BC · → → 1 1 AB BC 3 4－1 →2 ＝－ 3AB3 → 2 ＝9. 应选 C. 16BC(2) 如图，过点 O 作 OD ⊥AB 于点 D ，则 | OD | ＝5 ＝1. 3 2＋－ 22＋－ 23∵∠AOB＝120°，OA＝OB，∴∠OBD＝30°，∴| OB| ＝2| OD| ＝2，即r ＝2.][ 变式训练2] (1) 在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为C D的中点，若→→AC·BE＝1，则AB的长为( ) 【导学号：67722071】A．2 B. 3 2C．1 D. 1 2(2) 若直线y＝kx＋1( k∈R)与圆x2 ＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0 恒有交点，则实数 a 的取值范围是________．→→→→→→→→→→→1(1)D (2)[ －1,3] [(1) 因为AC＝AD＋D C，BE＝BC＋C E＝AD D C，所以AC·BE＝(AD－＋2→→→→→1 1→ 2D C) ·AD DC AD·DC＝AD －－＋2 2 →1 1DC | D C| ·cos 60 °－2 ，所以1＋2 ，所以1＋2 2→1| D C|2→12＝1，| DC| ＝，| ＝，2故AB的长为1 . 2(2) 直线y＝kx＋1 恒过定点(0,1) ，则直线与圆恒有交点等价于点(0,1) 在圆内或圆上，即02＋12－2a×0＋a2－2a－4≤0，即a2－2a－3≤0，解得－1≤a≤3.]解法 3 特别值法在解决选择题和填空题时，能够取一个或一些特别数值或特别地点、特别函数、特别点、特别方程、特别数列、特别图形等来确立其结果，这类方法称为特值法. 特值法因为只需对特别数值、特别情况进行查验，省去了推理论证、繁琐演算的过程，提升认识题的速度. 特值法是考试中解答选择题和填空题时常常用到的一种方法，应用适当能够起到“四两拨千斤”的功能.a＋b (1)(2015 ·陕西高考) 设 f ( x) ＝ln x, 0<a<b，若p＝f ( ab) ，q＝f2 ，r1＝2( f ( a) ＋f ( b)) ，则以下关系式中正确的选项是( )A．q＝r <p B．q＝r >pC．p＝r <q D．p＝r >q4(2)(2015 ·福建高考) “对随意x∈0，π2，k sin x cos x<x”是“k<1”的( )A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充分必需条件D．既不充分也不用要条件[ 解题指导] (1) 从条件看这应是波及利用基本不等式比较函数值大小的问题，若不等式在惯例条件下建立，则在特别状况下更能建立，所以不如对a，b 取特别值办理，如a＝1，b＝e.(2) 正常来说剖析不等式k sin x cos x＜x 建立的条件很复杂，也没必需，所以能够试试在知足条件的状况下对x 取特别值进行剖析，这样既快又正确．(1)C (2)B [(1) 依据条件，不如取a＝1，b＝e，则p＝f ( e) ＝ln e＝12，q＝f1＋e2＞f ( e) ＝1 1 1，r ＝( f (1) ＋f (e)) ＝，在这类特例状况下知足p＝r ＜q，所以选 C.2 2 2(2) 若对随意x∈0，π2ππ，k sin x cos x＜x 建立，不如取x＝，代入可得k＜4 2，不可以推出k＜1，所以是非充分条件；因为x∈0，π2，恒有sin x＜x，若k＜1，则k cos x＜1，必定有k sin x cos x＜x，所以选 B.][ 变式训练3] (1) 假如a1，a2，⋯，a8 为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，那么( ) A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＞a4＋a5 D．a1a8＝a4a5(2)(2016 ·衡水模拟) 在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则cos A＋cos C1＋cos A cos C＝________.(1)B (2) 45[(1) 取特别数列1,2,3,4,5,6,7,8 ，明显只有1×8＜4×5建立．1(2) 令a＝b＝c，则A＝C＝60°，cos A＝cos C＝.2进而cos A＋cos C＝1＋cos A cos C45.]解法 4 数形联合法数形联合法是指在办理数学识题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机联合起来思虑，促进抽象思想和形象思想有机联合，经过对规范图形或表示图形的察看剖析，化抽象为直观，化直观为精准，进而使问题获取简捷解决的方法.5x －y ≥0， x ＋y －4≤0，(1)(2016 ·合肥模拟 ) 已知 x ，y 知足拘束条件则 z ＝－ 2xy ≥1，＋y 的最大值是 ()【导学号： 67722072】A ．－1B ．－ 2C ．－5D ． 1(2)(2015 ·湖北高考 ) 函数 f ( x ) ＝4cos 2x2cos π －x －2sin x －|ln( x ＋1)| 的零点个数 2为______．[ 解题指导 ](1) 要确立目标函数的最大值，需知道相应的 x ，y 的值，从拘束条件中不可能解出对应的 x ，y 的值，所以只有经过图解法作出拘束条件的可行域，据可行域数形结合得出目标函数的最大值．(2) 函数的零点即对应方程的根，但求对应方程的根也比较困难，所以进一步转变为求两函数的图象的交点，所以作出两函数的图象确立交点个数即可．(1)A(2)2[(1) 二元一次不等式组表示的平面地区为以下图的△ABC 内部及其边界，当直线 y ＝2x ＋z 过 A 点时 z 最大，又 A (1,1) ，所以 z 的最大值为－ 1.(2) f ( x ) ＝4cos 2x2cos π 2 －x －2sin x －|ln( x ＋1)| ＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln( x ＋1)|＝2sin x cos x －|ln( x ＋1)| ＝sin 2 x －|ln( x ＋1)|. 由 f ( x ) ＝0，得 sin 2 x ＝|ln( x ＋1)|.设 y 1＝sin 2x ，y 2＝|ln( x ＋1)| ，在同一平面直角坐标系中画出两者的图象，以下图．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数 f ( x ) 有两个零点． ][ 变式训练 4](1)(2016 ·郑州模拟 ) 方程 x lg( x ＋2) ＝1 的实数根的个数为6( ) A．1 B． 2C．0 D．不确立(2) 已知偶函数y＝f ( x)( x∈R)在区间[0,2] 上单一递加，在区间(2 ，＋∞) 上单一递减，3f ( x) ＜0 的解集为________．且知足 f (－3) ＝f (1) ＝0，则不等式x1(1)B (2)( －3，－1) ∪(0,1) ∪(3 ，＋∞)[(1) 方程x lg( x＋2) ＝1? lg( x＋2) ＝，x在同一坐标系中画出函数y＝lg( x＋2) 与y＝1x的图象，可得两函数图象有两个交点，故所求方程有两个不一样的实数根．(2) 由题意可画出y＝f ( x) 的草图，如图．①x＞0，f ( x) ＜0 时，x∈(0,1) ∪(3 ，＋∞) ；②x＜0，f ( x) ＞0 时，x∈( －3，－1) ．故不等式x3f ( x) ＜0 的解集为( －3，－1) ∪(0,1) ∪(3 ，＋∞) ．]解法 5 结构法用结构法解客观题的重点是利用已知条件和结论的特别性结构出新的数学模型，进而简化推理与计算过程，使较复杂的数学识题获取解决，它需要对基础知识和基本方法进行累积，需要从一般的方法原理中进行提炼归纳，踊跃联想，横向类比，从以前碰到的近似问题中寻找灵感，结构出相应的详细的数学模型，使问题简化.(1)(2016 ·福州一模) 已知 f ( x) 为定义在(0 ，＋∞) 上的可导函数，且 f ( x) ＞xf ′(x) 恒建立，则不等式x2f2f 1x －f ( x) ＞0 的解集为( )A．(0,1) B．(1,2)C．(1 ，＋∞)D．(2 ，＋∞)(2) 如图1，已知球O的面上有四点A，B，C，D，D A⊥平面ABC，AB⊥BC，D A＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．7图1[ 解题指导] (1) 结构函数g(x) ＝f xx，可证明函数g( x) 在(0 ，＋∞) 上是减函数，再利用x 2f2f 1x－f ( x) ＞0?f1x1xf x＞x ? g1x＞g( x)求解．(2) 以D A，AB，BC为棱长结构正方体，则球O是此正方体的外接球，进而球O的直径是正方体的体对角线长．f xx (1)C (2) 6π[(1) 设g( x) ＝xf x －f x，则g′(x) ＝ 2 ，又因为 f ( x)x＞xf ′(x) ，所以g′(x) ＝x f x －f x2 ＜0 在(0 ，＋∞) 上恒建立，所以函数g( x) ＝xf xx 为(0 ，＋∞) 上的减函数，又因为x2f2f1x1fx－f ( x) ＞0?＞1xf xx ? g1x＞g( x) ，则1有＜x，解得x＞1，应选 C.x(2) 如图，以 D A，AB，BC为棱长结构正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以 C D＝ 2 2＋ 2 2＋ 2 2＝2R，所以R＝6，故球O的体积V＝234πR＝6π.]3[ 变式训练5] (1)(2016 ·兰州高三诊疗) 已知定义在R上的可导函数 f ( x) 的导函数为x 的解集为f ′(x) ，知足 f ′(x) ＜f (x) ，且f ( x＋2) 为偶函数， f (4) ＝1，则不等式 f ( x) ＜e ( )A．( －2，＋∞)B．(0 ，＋∞)8C．(1 ，＋∞)D．(4 ，＋∞)(2) 已知a，b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b 在α上的射影有可能是：①两条平行直线；②两条相互垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上边的结论中，正确结论的序号是________( 写出全部正确结论的序号) ．(1)B (2) ①②④[(1) 因为f ( x＋2) 为偶函数，所以f ( x＋2) 的图象对于x＝0 对称，所以f ( x) 的图象对于x＝2 对称，所以f (4) ＝f (0) ＝1，设g( x) ＝f xx ( x∈R)，e则g′(x) ＝f x x －f xx 2x＝f x －f xx ，e又因为 f ′(x) ＜f ( x) ，所以g′(x) ＜0( x∈R)，所以函数g( x) 在定义域上单一递减，x因为 f ( x) ＜ e? g( x) ＝f xx ＜1，e而g(0) ＝f0 ＝1，ex所以f ( x) ＜e ? g( x) ＜g(0) ，所以x＞0，应选 B.(2) 用正方体ABCD- A1B1 C1D1 实例说明A1D与BC1 在平面ABCD上的射影相互平行，AB1 与BC1在平面ABCD上的射影相互垂直，BC1 与D D1 在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点．故正确的结论为①②④.]解法 6 清除法清除法就是充分运用选择题中单项选择题的特色，即有且只有一个正确选项这一信息，从选项下手，依据题设条件与各选项的关系，经过剖析、推理、计算、判断，对选项进行挑选，将此中与题设相矛盾的扰乱项逐个清除，进而获取正确结论的方法. 使用该法的前提是“答9案独一”，即四个选项中有且只有一个答案正确. 清除法合用于定性型或不宜直接求解的选择题，当题目中的条件多于一个时，先依据某些条件，在选项中找到明显与之矛盾的予以否定，再依据另一些条件，在节余的选项内找出矛盾，这样逐渐挑选，直至得出正确的答案.cos 6 x(1)(2016 ·北师大附中模拟)函数y＝－x的图象大概为( )2x－2【导学号：67722073】A BC D1，x>0，(2)(2015 ·湖北高考) 设x∈R，定义符号函数sgn x＝0，x＝0，则( )－1，x<0，A．| x| ＝x|sgn x| B．| x| ＝x sgn| x|C．| x| ＝| x|sgn x D．| x| ＝x sgn x[ 解题指导] (1) 依据函数的奇偶性和x→＋∞时函数值的正负，以及x→0且x＞0 时函数值的正负，清除可得答案．(2) 可考证当x＜0 时，等式建立的状况．(1)D (2)D [(1) 函数y＝cos 6x 为偶函数，函数y＝2x－2－x 为奇函数，故原函数为奇函数，清除 A.x －x 又函数y＝2 －2cos 6 xx －x为增函数，当x→＋∞时，2 －2 →＋∞且|cos 6x| ≤1，∴y＝－x2x－2→0( x→＋∞) ，清除 C.cos 6 x 2x·cos 6 x∵y＝为奇函数，不如考虑x＞0 时函数值的状况，当x→0时，－x＝2 4x－2 x－ 14x→1,4x－1→0,2 x→1，cos 6 x→1，x→1,4∴y→＋∞，故清除B，综上知选 D.(2) 当x<0 时，| x| ＝－x，x|sgn x| ＝x，x sgn| x| ＝x，| x|sgn x＝( －x) ·( －1) ＝x，清除A，B，C，应选 D.]1c os x( －π≤x≤π且x≠0)x[ 变式训练6] (1)(2015 ·浙江高考) 函数 f ( x)＝x－10的图象可能为( )(2)(2015 ·北京高考) 设{a n} 是等差数列，以下结论中正确的选项是( )A．若a1＋a2>0，则a2＋a3>0B．若a1＋a3<0，则a1＋a2<0C．若0<a1<a2，则a2> a1a3D．若a1<0，则( a2－a1)( a2－a3)>01(1)D (2)C [(1) 函数f ( x) ＝x－x cos x( －π≤x≤π且x≠0) 为奇函数，清除选项1 A，B；当x＝π时，f ( x) ＝π－πcos π＝1π－π<0，清除选项C，应选 D.(2) 设等差数列{ a n} 的公差为d，若a1＋a2>0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝( a1＋a2) ＋2d，由于d 正负不确立，因此a2＋a3 符号不确立，应选项 A 错；若a1＋a3 <0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝( a1 ＋a3) －d，因为 d 正负不确立，因此a1＋a2 符号不确立，应选项 B 错；若0<a1<a2，可知2a1>0，d>0，a2>0，a3>0，∴a2－a1a3＝( a1＋d) 2－a 2>0，∴a1( a1＋2d)＝d 2> a1a3，应选项 C 正2－a 2>0，∴a确；若a1<0，则( a2－a1)( a2－a3) ＝d·( －d) ＝－d2≤0，应选项D错．] 客观题常用的 6 种解法已初步掌握，在打破点19～22 的训练中一展身手吧！11。

(山东专版)2017年高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题6 函数与导数突破点17 函数

专题限时集训(十七) 函数与方程[A 组高考达标]一、选择题1．(2016·泰安一模)函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)C [由于函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＋18＞0，故函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在区间(2,3)上有唯一的零点．]2．(2016·张掖一模)已知函数f (x )＝e x＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝x －14x的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜cB [由f (x )＝0得e x＝－x ，由g (x )＝0得ln x ＝－x .由h (x )＝0得x ＝1，即c ＝1.在坐标系中，分别作出函数y ＝e x，y ＝－x ，y ＝ln x 的图象，由图象可知a ＜0,0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c .]3．(2016·武汉模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋－x －1，1－x ≤0，－x－1，1－x ＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，－x －1，x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]4．(2016·山东实验中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．[－1,0)D [当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x＋a ＝0有一个根即可，即e x＝－a .当x ≤0时，e x∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.]5．(2016·安庆二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x －x 2，x ≤1.若函数g (x )＝f (x )－k仅有一个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 D [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x －x 2，x ≤1，函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，即f (x )＝k 只有一个解，在平面直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，故选D.]二、填空题6．(2016·济南模拟)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根．由图可知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.] 7．(2016·西安模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．10 [问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cosπx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]8．(2016·南宁二模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为________．【导学号：67722064】3 [依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2，令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2＋x ＝0，或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.]三、解答题9．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －6，x ≥12，－x －4，x ＜12.2分由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，－x －4≥0，解得x ≤－4.所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}.6分 (2)由f (x )＝0，得|2x －1|＝－ax ＋5.作出y ＝|2x －1|和y ＝－ax ＋5的图象，10分观察可以知道，当－2＜a ＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y ＝f (x )有两个不同的零点．故a 的取值范围是(－2,2).12分10．(名师押题)已知函数f n (x )＝x ln x －x 2n(n ∈N *，e ＝2.718 28…为自然对数的底数)．(1)求曲线y ＝f 1(x )在点(1，f 1(1))处的切线方程； (2)讨论函数f n (x )的零点个数． [解] (1)因为f 1(x )＝x ln x －x 2，所以f 1′(x )＝ln x ＋1－2x ，所以f 1′(1)＝1－2＝－1.又f 1(1)＝－1，所以曲线y ＝f 1(x )在点(1，f 1(1))处的切线方程为y ＋1＝－(x －1)，即y ＝－x .4分(2)令f n (x )＝0，得x ln x －x 2n＝0(n ∈N *，x ＞0)，所以n ln x －x ＝0.令g (x )＝n ln x －x ，则函数f n (x )的零点与函数g (x )＝n ln x －x 的零点相同．因为g ′(x )＝n x －1＝n －xx，令g ′(x )＝0，得x ＝n ，所以当x ＞n 时，g ′(x )＜0；当0＜x ＜n 时，g ′(x )＞0，所以函数g (x )在区间(0，n ]上单调递增，在区间[n ，＋∞)上单调递减．所以函数g (x )在x ＝n 处有最大值，且g (n )＝n ln n －n .8分①当n ＝1时，g (1)＝ln 1－1＝－1＜0，所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为0； ②当n ＝2时，g (2)＝2ln 2－2＜2ln e －2＝0，所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为0；③当n ≥3时，g (n )＝n ln n －n ＝n (ln n －1)≥n (ln 3－1)＞n (ln e －1)＝0，因为g (e 2n)＝n ln e 2n－e 2n＜2n 2－4n ＝2n 2－(1＋3)n ＜2n 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋3n ＋n n －2×9＜2n 2－[1＋3n ＋3n (n －1)]＝－n 2－1＜0，且g (1)＜0，所以由函数零点的存在性定理，可得函数g (x )＝n ln x －x 在区间(1，n )和(n ，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g (x )＝n ln x －x 的零点个数为2.综上所述，当n ＝1或n ＝2时，函数f n (x )的零点个数为0；当n ≥3且n ∈N *时，函数f n (x )的零点个数为2.12分[B 组名校冲刺]一、选择题1．(2016·南昌二模)若函数f (x )满足f (x )＋1＝1fx ＋，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －2m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．0＜m ＜13B ．0＜m ≤13C.13＜m ＜1 D.13＜m ≤1 B [当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1，所以f (x ＋1)＝x ＋1，从而f (x )＝1fx ＋－1＝1x ＋1－1，于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－－1＜x ＜，xx ，f (x )－mx －2m ＝0⇔f (x )＝m (x ＋2)，由图象可知0＜m ≤k AB ＝13.]2．(2016·临沂模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：①对任意x ，都有f (x ＋3)＝f (x )成立；②当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32时f (x )＝32－⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2x ，则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7B [∵f (x ＋3)＝f (x )成立，∴奇函数f (x )是周期等于3的周期函数．当0≤x ≤32时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ＜34，3－2x ，34≤x ≤32.则f (x )＝1|x |在[－4,4]上根的个数就是函数f (x )与函数y ＝1|x |的交点的个数，如图所示．故选B.]3．(2016·临汾模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x ，f x ＋x ＜，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( ) 【导学号：67722065】A ．(－∞，0)B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)C [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x ，f x ＋x ＜的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 有两个交点，则方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，a ＜1，故选C.]4．(2016·衡阳模拟)函数f (x )的定义域为[－1,1]，图象如图171(1)所示，函数g (x )的定义域为[－2,2]，图象如图171(2)所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )(1) (2)图171A ．14B ．12C ．10D ．8A [由题图(1)可知，若f (g (x ))＝0，由g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1，由题图(2)知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0时，x 的值有3个；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0，由题图(1)知，f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5时，x 的值各有2个；f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7.故m ＋n ＝14.故选A.] 二、填空题5．(2016·中原名校联考)定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ＋，x ∈[0，，1－|x －4|， x ∈[2，＋，则关于x 的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为________．1－3a[函数f (x )和y ＝a 的图象如图所示，由图可知，f (x )的图象与直线y ＝a 有5个交点，所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＝－8，x 4＋x 5＝8.当－2≤x ＜0时，0＜－x ≤2，所以f (－x )＝log 13(－x ＋1)＝－log 3(1－x )，即f (x )＝log 3(1－x )，－2≤x ＜0，由f (x )＝log 3(1－x )＝a ，解得x ＝1－3a，即x 3＝1－3a，所以函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－3a.]6．(2016·衡水模拟)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，g (x )＝log 12x ，记函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ，f x g x ，fx ，f x ＞g x ，则函数F (x )＝h (x )＋x －5的所有零点的和为________．5 [由题意知函数h (x )的图象如图所示，易知函数h (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数F (x )所有零点的和就是函数y ＝h (x )与函数y ＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别为x 1，x 2，因为两函数图象的交点关于直线y ＝x 对称，所以x 1＋x 22＝5－x 1＋x 22，所以x 1＋x 2＝5.]三、解答题7．已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R)是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若方程f (x )＝g (x )有且仅有一解，求实数a 的取值范围． [解] (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x＋1)＋kx ＝log 4(4－x＋1)－kx ，所以log 44x＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.4分(2)由已知f (x )＝g (x )，有且仅有一解，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－43a )有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x－43a 有且只有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根.8分①当a ＝1时，则t ＝－34不合题意；②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3.若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1＜0，解得a ＞1. 综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞).12分 8．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)．(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；(2)试确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根.【导学号：67722066】[解] (1)∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)．因而只需m ≥2e，g (x )＝m 有实根.4分(2)g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点．作出g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)和f (x )的图象如图．8分∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根，∴m的取值范围是m＞－e2＋2e＋1.12分。

2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略教师用书第2部分技法篇4大思想提前看渗透整本提时效Word

技法篇：4大思想提前看，渗透整本提时效高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录与描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．这些在一轮复习中都有所涉及，建议二轮复习前应先学习此部分．带着方法去复习，这样可以使理论指导实践，“一法一练”“一练一过”，既节省了复习时间又能起到事半功倍的效果，而市面上有些资料把方法集中放于最后，起不到”依法训练”的作用，也因时间紧造成学而不透、学而不深，在真正的高考中不能从容应对．不过也可根据自身情况选择学完后再复习此部分．思想1函数与方程思想函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想.,方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.(1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立，则() 【导学号：67722000】A．3f(ln 2)＜2f(ln 3)B．3f(ln 2)＝2f(ln 3)C．3f(ln 2)＞2f(ln 3)D．3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小不确定(2)(名师押题)直线y＝kx＋2和椭圆x24＋y23＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，直线l过点P(0，－2)和线段AB的中点M，则l在x轴上的截距a的取值范围为________．(1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－63，0 [(1)令F (x )＝f (x )e x ，则F ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x .因为对∀x ∈R 都有f (x )＞f ′(x )，所以F ′(x )＜0，即F (x )在R 上单调递减．又ln 2＜ln 3，所以F (ln 2)＞F (ln 3)，即f (ln 2)e ln 2＞f (ln 3)e ln 3，所以f (ln 2)2＞f (ln 3)3，即3f (ln 2)＞2f (ln 3)，故选C.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，直线l 与x 轴的交点为N (a,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0.因为直线y ＝kx ＋2和椭圆x 24＋y 23＝1在y 轴左侧部分交于A ，B 两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(16k )2－4×4(3＋4k 2)＞0，x 1＋x 2＝－16k 3＋4k2＜0，x 1x 2＝43＋4k 2＞0，解得k ＞12.又M 为线段AB 的中点，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 1＋x 22＝－8k 3＋4k 2，y 0＝y 1＋y 22＝63＋4k 2.由P (0，－2)，M (x 0，y 0)，N (a,0)三点共线，所以63＋4k 2＋2－8k 3＋4k 2＝0－(－2)a －0，所以－4a ＝2k ＋3k .又因为k ＞12，所以2k ＋3k ≥26，当且仅当k ＝62时等号成立，所以－4a ≥26，则－63≤a ≤0.]函数与方程思想在解题中的应用1．函数与不等式的相互转化，对函数y ＝f (x )，当y ＞0时，就化为不等式f (x )＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．2．数列的通项与前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．3．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．[变式训练1] 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值为________. 【导学号：67722001】5π24 [把y ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象上所有的点向左平移m 个单位长度后，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4(x ＋m )－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋4m －π3的图象，而此图象关于y 轴对称，则4m －π3＝k π＋π2(k ∈Z)，解得m ＝14k π＋5π24(k ∈Z)．又m ＞0，所以m 的最小值为5π24.]思想2 数形结合思想数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.其应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质.(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(3，＋∞) [作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.]数形结合思想在解题中的应用1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式． 2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围． 3．构建解析几何模型求最值或范围．4．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．[变式训练2] (1)若方程x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ＝0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则ba 的取值范围是( )A ．(－2，－1)B ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12D.()－∞，－2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ (2)(2015·吉林模拟)若不等式4x 2－log a x <0对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1256，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1256 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256 (1)C (2)B [(1)由题意可知，方程的一个根位于(0,1)之间，另一根大于1. 设f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋1＋a ＋b ，则 ⎩⎨⎧f (0)＞0，f (1)＜0，即⎩⎨⎧1＋a ＋b ＞0，2a ＋b ＋3＜0.作出可行域如图阴影部分所示．b a 可以看作可行域内的点(a ，b )与原点(0,0)连线的斜率，由图可知k OA ＝－12，∴－2＜b a ＜－12.(2)由已知4x 2<log a x 对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立，相当于在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上，函数y ＝log a x 的图象恒在函数y ＝4x 2图象的上方，显然当a >1时，不成立，当a <1时，如图，只需log a 14≥4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142⇒a 14≥14⇒a ≥1256，又a <1，故a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，1.故选B.]思想3 分类讨论思想分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想.(1)(2015·山东高考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)(2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1||PF 2|的值为________．(1)C (2)2或72 [(1)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C. (2)若∠PF 2F 1＝90°，则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，∴|PF1||PF2|＝72.若∠F2PF1＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1||PF2|＝2.综上所述，|PF1||PF2|＝2或72.]分类讨论思想在解题中的应用1．由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．3．由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．4．由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类，如：角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．[变式训练3](1)已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值为4，则a等于()A．－3B．－3 8C ．3D.38或－3(2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.(1)D (2)32或6 [(1)当a ＞0时，f (x )在[－3，－1]上单调递减，在[－1,2]上单调递增，故当x ＝2时，f (x )取得最大值，即8a ＋1＝4，解得a ＝38.当a ＜0时，易知f (x )在x ＝－1处取得最大，即－a ＋1＝4，∴a ＝－3.综上可知，a ＝38或－3.故选D. (2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32， S 3＝3a 1＝92，显然成立；当q ≠1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝a 3＝32，a 1(1－q 3)1－q＝S 3＝92.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1(1＋q ＋q 2)＝92，②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0，所以q ＝－12或q ＝1(舍去)．当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6. 综上可知，a 1＝32或a 1＝6.]思想4 转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.(1)(2016·洛阳模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是( ) 【导学号：67722002】A.12B.22 C.32D.232(2)(名师押题)已知函数f (x )＝3e |x |.若存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得对任意的x ∈[1，m ]，m ∈Z 且m >1，都有f (x ＋t )≤3e x ，则m 的最大值为________．[解题指导] (1)利用抛物线的定义把|PF ||P A |的最值问题等价转化成直线P A 的斜率问题．(2)f (x ＋t )≤3e x ――→x ＋t ≥0e x ＋t ≤e x ――――→两边取对数t ≤1＋ln x －x ―――――――→令h (x )＝1＋ln x －xh (x )min ≥－1.(1)B (2)3 [(1)如图，作PH ⊥l 于H ，由抛物线的定义可知，|PH |＝|PF |，从而|PF ||P A |的最小值等价于|PH ||P A |的最小值，等价于∠P AH 最小，等价于∠P AF 最大，即直线P A 的斜率最大．此时直线P A 与抛物线y 2＝4x 相切，由直线与抛物线的关系可知∠P AF ＝45°，所以|PF ||P A |＝|PH ||P A |＝sin 45°＝22.(2)因为当t ∈[－1，＋∞)且x ∈[1，m ]时，x ＋t ≥0，所以f (x ＋t )≤3e x ⇔e x ＋t ≤e x ⇔t ≤1＋ln x －x .所以原命题等价转化为：存在实数t ∈[－1，＋∞)，使得不等式t ≤1＋ln x －x 对任意x ∈[1，m ]恒成立．令h (x )＝1＋ln x －x (x ≥1)．因为h ′(x )＝1x －1≤0，所以函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数．又x ∈[1，m ]，所以h (x )min ＝h (m )＝1＋ln m －m . 所以要使得对x ∈[1，m ]，t 值恒存在，只需1＋ln m －m ≥－1.因为h (3)＝ln 3－2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·3e >ln1e ＝－1， h (4)＝ln 4－3＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ·4e 2<ln 1e ＝－1，且函数h (x )在[1，＋∞)上为减函数，所以满足条件的最大整数m 的值为3.]转化与化归思想在解题中的应用1．在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．2．换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解． 5．在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f ′(x )构成的方程．[变式训练4] (1)(2016·杭州二模)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是AA 1的中点，则异面直线BE 与B 1D 1所成角的余弦值等于________，若正方体的边长为1，则四面体B -EB 1D 1的体积为________．(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．(1)105 16 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 [(1)连接BD ，DE ，因为BD ∥B 1D 1，所以∠EBD就是异面直线BE 与B 1D 1所成的角，设A 1A ＝1，则DE ＝BE ＝52，BD ＝2，cos ∠EBD ＝54＋2－542×52×2＝105，由V 三棱锥B -EB 1D 1＝V 三棱锥D 1-BEB 1得V 三棱锥B -EB 1D 1＝13×12×1＝16.(2)g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t －3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. 所以若函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数，则m 的取值范围为－373＜m ＜－5.]课后对应完成技法强化训练(一)～(四)，见P 167～P 170(注：因所练习题知识点比较整合，难度比较大，建议部分学生学完“第一部分重点强化专题”后再做此部分训练)技法强化训练(一) 函数与方程思想题组1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．(2016·济南模拟)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 是其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8的值为( )A ．16B ．32C ．64D ．62C [由题意可知a 22＝a 1a 5，即(1＋d )2＝1×(1＋4d )，解得d ＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. ∴S 8＝(a 1＋a 8)×82＝4×(1＋15)＝64.]2．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0B [原不等式可化为2x －5－x ≤2－y －5y ，构造函数y ＝2x －5－x ，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，即x ＋y ≤0.]3．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 B [构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，因为关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，所以⎩⎨⎧f (－1)≥0，f (0)＜0，f (2)＞0，即⎩⎨⎧－2k ≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，所以－34＜k ≤0，所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0.]4．(2016·菏泽模拟)已知数列{a n }满足a 1＝60，a n ＋1－a n ＝2n (n ∈N *)，则a nn 的最小值为________．292 [由a n ＋1－a n ＝2n ，得a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋60 ＝n 2－n ＋60.∴a n n ＝n 2－n ＋60n ＝n ＋60n －1.令f (x )＝x ＋60x －1，易知f (x )在(0,215)上单调递减，在(215，＋∞)上单调递增．又n ∈N *，当n ＝7时，a 77＝7＋607－1＝1027，当n ＝8时，a 88＝8＋608－1＝292. 又292＜1027，故a n n 的最小值为292.]5．(2016·郑州模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋a ，g (x )＝12x 2＋ax ，其中a ≥0. (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )也相切，求a 的值； (2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立．【导学号：67722003】 [解] (1)由f (x )＝x ln x ＋a ，得f (1)＝a ， f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1.1分所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y ＝x ＋a －1.因为直线y ＝x ＋a －1与曲线y ＝g (x )也相切，所以两方程联立消元得12x 2＋ax ＝a ＋x －1，即12x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0，3分所以Δ＝(a －1)2－4×12×(1－a )＝0，得a 2＝1.因为a ≥0，所以a ＝1.4分(2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立，等价于12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立．令h (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则h (1)＝0且h ′(x )＝x ＋a －ln x －1.6分令φ(x )＝x －ln x －1，则φ(1)＝0且φ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，8分所以x ＞1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增，所以φ(x )＞φ(1)＝0.又因为a ≥0，所以h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )＞h (1)＝0，所以x ＞1时，12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立，11分即x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立.12分题组2 利用函数与方程思想解决几何问题6．(2016·山西四校联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16xC [由抛物线的定义可知MF ＝x M ＋3p 4＝5，∴x M ＝5－3p 4，y 2M ＝15p －9p 24，故以MF 为直径的圆的方程为(x －x M )(x －x F )＋(y －y M )(y －y F )＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0－5＋3p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3p 4＋(2－y M )(2－0)＝0. ∴y M ＝2＋15p 8－9p 232＝2＋y 2M8⇒y M ＝4，p ＝43或163. ∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .]7．如图1所示，在单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP ＋D 1P 最短，则AP ＋D 1P 的最小值是( )图1A ．2＋ 2B ．2＋2 2 C.2＋ 2D.2＋2 2C [设A 1P ＝x (0≤x ≤2)．在△AA 1P 中，AP ＝12＋x 2－2×1×x ×cos 45°＝x 2－2x ＋1，在Rt △D 1A 1P 中，D 1P ＝1＋x 2.于是令y ＝AP ＋D 1P ＝x 2－2x ＋1＋x 2＋1，下面求对应函数y 的最小值．将函数y 的解析式变形，得y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－222＋(x －0)2＋[0－(－1)]2，其几何意义为点Q (x,0)到点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22与点N (0，－1)的距离之和，当Q ，M ，N 三点共线时，这个值最小，且最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋ 2.] 8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，并且经过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12. (1)求椭圆E 的方程；(2)问：是否存在直线y ＝－x ＋m ，使直线与椭圆交于A ，B 两点，且满足OA →·OB →＝125？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)由e ＝c a ＝32且3a 2＋14b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝1，即椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x ＋m⇒x 2＋4(m －x )2－4＝0⇒5x 2－8mx ＋4m 2－4＝0.(*)所以x 1＋x 2＝8m5，x 1x 2＝4m 2－45，8分y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝m 2－85m 2＋4m 2－45＝m 2－45，由OA →·OB →＝125得(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝125，即x 1x 2＋y 1y 2＝125，4m 2－45＋m 2－45＝125，m ＝±2.又方程(*)要有两个不等实根，所以Δ＝(－8m )2－4×5(4m 2－4)＞0，解得－5＜m ＜5，所以m ＝±2.12分9．如图2，直三棱柱ABC -A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝5，AA ′＝AB ＝6，D ，E 分别为AB 和BB ′上的点，且AD DB ＝BEEB ′＝λ.图2(1)求证：当λ＝1时，A ′B ⊥CE ；(2)当λ为何值时，三棱锥A ′-CDE 的体积最小，并求出最小体积． [解] (1)证明：∵λ＝1，∴D ，E 分别为AB 和BB ′的中点.1分又AA ′＝AB ，且三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴平行四边形ABB ′A ′为正方形，∴DE ⊥A ′B .2分 ∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB .3分 ∵三棱柱ABC -A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴CD ⊥平面ABB ′A ′，∴CD ⊥A ′B ，4分又CD ∩DE ＝D ，∴A ′B ⊥平面CDE . ∵CE ⊂平面CDE ，∴A ′B ⊥CE .6分(2)设BE ＝x ，则AD ＝x ，DB ＝6－x ，B ′E ＝6－x .由已知可得C 到平面A ′DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对应的高h ＝AC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝4，8分∴V A ′-CDE ＝V C -A ′DE＝13(S 四边形ABB ′A －S △AA ′D －S △DBE －S △A ′B ′E )·h ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤36－3x －12(6－x )x －3(6－x )·h＝23(x 2－6x ＋36)＝23[(x －3)2＋27](0＜x ＜6)，11分 ∴当x ＝3，即λ＝1时，V A ′CDE 有最小值18.12分技法强化训练(二) 数形结合思想题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [∵a ＞0，∴a 2＋1＞1.而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点．] 2．已知函数f (x )＝|log 2|x ||－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则下列结论正确的是( )A ．f (x )有三个零点，且所有零点之积大于－1B ．f (x )有三个零点，且所有零点之积小于－1C ．f (x )有四个零点，且所有零点之积大于1D ．f (x )有四个零点，且所有零点之积小于1 A [在同一坐标系中分别作出f 1(x )＝|log 2|x ||与f 2(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，如图所示，由图象知f 1(x )与f 2(x )有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是x 1，x 2，x 3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＞0，所以－12＜x 1＜－14，同理12＜x 2＜1,1＜x 3＜2，即－1＜x 1x 2x 3＜－18，即所有零点之积大于－1.]3．(2016·广州二模)设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的所有零点的和为( )A ．7B ．6C ．3D ．2A [函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点为函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )的交点的横坐标．因为f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )为关于x ＝1对称的偶函数，又因为当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则在平面直角坐标系内画出函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有7个交点，不妨设从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则由图易得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 5＝2，x 4＝1，x 6＋x 7＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝7，即函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点的和为7，故选A.]4．(2016·合肥二模)若函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，则实数a ＝________.1 [函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程a ＋sin x ＝0在[π，2π]上只有一解，即函数y ＝－a 与y ＝sin x ，x ∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得a ＝1.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是______________．(－∞，0)∪(1，＋∞) [函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点． ①若a ＜0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点．③若a ＞1，则a 3＞a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．综上，a ＜0或a ＞1.]题组2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围6．若不等式log a x ＞sin 2x (a ＞0，a ≠1)对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4都成立，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2 D ．(0,1)A [记y1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为y 1＞y 2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y 1＝log a x 的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1时，a ＝π4，所以当π4＜a ＜1时，对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4都有y 1＞y 2.]7．(2016·黄冈模拟)函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的奇函数，且f (1)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，当x ＞0时，f (x )＋xf ′(x )＞1x ，则不等式xf (x )＞1＋ln|x |的解集是( ) 【导学号：67722004】A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1,1)A [令g (x )＝xf (x )－ln|x |，则g (x )是偶函数，且当x ＞0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－1x ＞0， ∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增．故不等式xf (x )＞1＋ln|x |⇔g (|x |)＞g (1)， ∴|x |＞1，解得x ＞1或x ＜－1.故选A.]8．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 [作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．(10,12) [作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a ＜b ＜c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c . 由图知10＜c ＜12，∴abc ∈(10,12)．]10．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3的相邻两条对称轴之间的距离为π4，将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到g (x )的图象，若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数根，则k 的取值范围是________.【导学号：67722005】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫k ⎪⎪⎪－12＜k ≤12或k ＝－1[因为f (x )相邻两条对称轴之间的距离为π4，结合三角函数的图象可知T 2＝π4，即T ＝π2.又T ＝2π2ω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3.将f (x )的图象向右平移π8个单位得到f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．所以方程为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋k ＝0.令2x －π6＝t ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以－π6≤t ≤5π6.若g (x )＋k ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数根，即y ＝sin t 与y ＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图所示，由正弦函数的图象可知－12≤－k ＜12或－k ＝1，即－12＜k ≤12或k ＝－1.]题组3 利用数形结合解决解析几何问题11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4B [根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.]12．(2016·衡水模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线的准线交于点A ，且|AF |＝6，AF→＝2FB →，则|BC |＝( ) A.92 B ．6 C.132D ．8A [如图所示，直线与抛物线交于B ，C 两点，与抛物线的准线交于A 点．∵AF→＝2FB →，∴F 在A ，B 中间，C 在A ，F 之间，分别过B ，C 作准线的垂线BB 1，CC 1，垂足分别为B 1，C 1.由抛物线的定义可知|BF |＝|BB 1|，|CF |＝|CC 1|.∵AF→＝2FB →，|AF |＝6， ∴|FB |＝|BB 1|＝3. 由△AFK ∽△ABB 1可知， |FK ||BB 1|＝|AF ||AB |，∴|FK |＝2. 设|CF |＝a ，则|CC 1|＝a ，由△ACC 1∽△AFK ，得|CC 1||FK |＝|AC ||AF |.∴a 2＝6－a 6，∴a ＝32.∴|BC |＝|BF |＋|FC |＝3＋32＝92.]13．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．22 [从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|PA |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝2 2.]14．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．[解] (1)圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0).2分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)， M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程，化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0.5分由题意，可得Δ＝36－20(1＋t 2)＞0(*)，x 1＋x 2＝61＋t 2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t1＋t 2.6分因为x 20＋y 20＝9(1＋t 2)2＋9t 2(1＋t 2)2＝9(1＋t 2)(1＋t 2)2＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94.由(*)解得t 2＜45，又t 2≥0，所以53＜x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3.8分(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上的一段圆弧．如图，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－253，F (3,0)，直线L 过定点G (4,0)．联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得(1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0.令判别式Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x H ，I ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3.11分由图可知：要使直线L 与曲线C 只有一个交点，则k ∈[k DG ，k EG ]∪{k GH ，k GI }，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34.12分技法强化训练(三) 分类讨论思想题组1 由概念、法则、公式引起的分类讨论1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝P n －1(P 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列 B ．等比数列 C ．等差数列或等比数列 D ．以上都不对D [∵S n ＝P n －1，∴a 1＝P －1，a n ＝S n －S n －1＝(P －1)P n －1(n ≥2)．当P ≠1且P ≠0时，{a n }是等比数列；当P ＝1时，{a n }是等差数列；当P ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．]2．(2016·长春模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax ，x ≤1，2ax －5，x ＞1.若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，4)C ．[2,4]D ．(2，＋∞)B [当－a－2＜1，即a ＜2时，显然满足条件；当a ≥2时，由－1＋a ＞2a －5得2≤a ＜4，综上可知a ＜4.]3．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)＞1的解集为( )图1A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A [由导函数图象知，当x ＜0时，f ′(x )＞0，即f (x )在(－∞，0)上为增函数，当x ＞0时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又不等式f (x 2－6)＞1等价于f (x 2－6)＞f (－2)或f (x 2－6)＞f (3)，故－2＜x 2－6≤0或0≤x 2－6＜3，解得x ∈(－3，－2)∪(2,3)．]4．已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m ＝1的离心率为( )A. 2B.32C. 5D.5或32D [由题意可知，m 2＝2×8＝16，∴m ＝±4. (1)当m ＝4时，曲线为双曲线x 2－y 24＝1.此时离心率e ＝ 5.(2)当m ＝－4时，曲线为椭圆x 2＋y 24＝1.此时离心率e ＝32.]5．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________．(－1,0)∪(0，＋∞) [因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q>0，即1－q n 1－q >0(n ∈N *)，则有⎩⎨⎧1－q >0，1－q n >0 ① 或⎩⎨⎧1－q <0，1－q n<0，② 由①得－1<q <1，由②得q >1.故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．]6．若x ＞0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________． (－∞，－2]∪[2，＋∞) [当x ＞1时，y ＝lg x ＋1lg x ≥2lg x ·1lg x ＝2，当且仅当lg x ＝1，即x ＝10时等号成立；当0＜x ＜1时，y ＝lg x ＋1lg x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－lg x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ≤－2(－lg x )·1(－lg x )＝－2，当且仅当lg x ＝1lg x ，即x ＝110时等号成立．∴y ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]题组2 由参数变化引起的分类讨论7．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32 C ．(－∞，－1]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞ C [因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎨⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②得a ≤－1.]8．(2016·保定模拟)已知不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1y ≥0，所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为( )【导学号：67722006】A ．[－3,3]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13C [满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝kx －3过定点(0，－3)，∴当y ＝kx －3过点C (1,0)时，k ＝3；当y ＝kx －3过点B (－1,0)时，k ＝－3.∴k ≤－3或k ≥3时，直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，故选C.]9．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，试讨论函数f (x )的单调性． [解] 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，1分 f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.2分①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增.4分 ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减.6分 ③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a ，7分则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减.10分综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减.12分题组3 根据图形位置或形状分类讨论10．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为( )A.54B.53C.54或53D.35或45C [若双曲线的焦点在x 轴上，则b a ＝34，e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝54；若双曲线的焦点在y 轴上，则b a ＝43，e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53，故选C.] 11．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.【导学号：67722007】43或833 [若侧面矩形的长为6，宽为4，则V＝S底×h＝12×2×2×sin 60°×4＝4 3.若侧面矩形的长为4，宽为6，则V＝S底×h＝12×43×43×sin 60°×6＝833.]12．已知中心在原点O，左焦点为F1(－1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为77|OB|.图2(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C1的方程为：x2m2＋y2n2＝1(m＞n＞0)，椭圆C2的方程为：x2m2＋y2 n2＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．如图2，已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M，N，试求弦长|MN|的取值范围．[解](1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，∴直线AB的方程为x－a ＋yb＝1，∴F1(－1,0)到直线AB的距离d＝|b－ab|a2＋b2＝77b，2分a2＋b2＝7(a－1)2，又b2＝a2－1，解得a＝2，b＝3，3分故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.4分(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为x212＋y29＝1，5分①若切线l垂直于x轴，则其方程为x＝±2，易求得|MN|＝2 6.6分②若切线l不垂直于x轴，可设其方程y＝kx＋b，将y＝kx＋b代入椭圆C的方程，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－12＝0，7分∴Δ＝(8kb)2－4(3＋4k2)(4b2－12)＝48(4k2－3－b2)＝0，即b2＝4k2＋3，(*)8分记M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．将y＝kx＋b代入椭圆C2的方程，得(3＋4k2)x2＋8kbx＋4b2－36＝0，9分此时x1＋x2＝－8kb3＋4k2，x1x2＝4b2－363＋4k2，|x1－x2|＝43(12k2＋9－b2)3＋4k2，10分∴|MN|＝1＋k2×43(12k2＋9－b2)3＋4k2＝461＋k23＋4k2＝261＋13＋4k2.∵3＋4k2≥3，∴1＜1＋13＋4k2≤43，即26＜261＋13＋4k2≤4 2.综合①②得：弦长|MN|的取值范围为[26，42].12分技法强化训练(四)转化与化归思想题组1正与反的相互转化1．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是()A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．1 D．2C[命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m＞0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a＝1.]2．(2016·开封模拟)若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A.15B.35C.710D.910D [甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－110＝910.]3．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 [如果在[－1,1]内没有值满足f (c )＞0，则⎩⎨⎧f (－1)≤0，f (1)≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的p的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32.] 4．若椭圆x 22＋y 2＝a 2(a ＞0)与连接两点A (1,2)，B (3,4)的线段没有公共点，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞ [易知线段AB 的方程为y ＝x ＋1，x ∈[1,3]，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝a 2，得a 2＝32x 2＋2x ＋1，x ∈[1,3]， ∴92≤a 2≤412.又a ＞0，∴322≤a ≤822.故当椭圆与线段AB 没有公共点时，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞.] 5．已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，当|AB |最大时，求证：A ，B 两点关于原点O 不对称．[解] (1)由椭圆定义，知2a ＝4，所以a ＝2.所以x 24＋y 2b 2＝1.2分把A (1,1)代入，得14＋1b 2＝1，得b 2＝43，所以椭圆方程为x 24＋y 243＝1.4分所以c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，即c ＝263.故两焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0.6分 (2)反证法：假设A ，B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，7分此时|AB |＝22，而当点B 取椭圆上一点M (－2,0)时，则|AM |＝10，所以|AM |>|AB |.10分从而知|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立.12分题组2 主与次的相互转化6．设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________. 【导学号：67722008】(－∞，－1]∪[0，＋∞) [∵f (x )是R 上的增函数，∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．①①式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1，则⎩⎨⎧g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1.即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．]7．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 [由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5，令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1.对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎨⎧ φ(1)＜0，φ(－1)＜0，即⎩⎨⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0.] 8．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3，＋∞) [设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则当x ＝1时，f (p )＝0，所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎨⎧ f (0)＞0，f (4)＞0，即⎩⎨⎧(x －3)(x －1)＞0，x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1.] 9．已知函数f (x )＝13x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a x (0＜a ＜1，x ∈R)．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围．[解] 因为f ′(x )＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －83x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23(x ＋a －2)，2分所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a .3分由0＜a ＜1，知1＜2－a ＜2.所以令f ′(x )＞0，得x ＜23或x ＞2－a ；4分令f ′(x )＜0，得23＜x ＜2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增.5分所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a 6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .6分因为当0＜a ≤25时，13－a 6≥23a ；7分当25＜a ＜1时，23a ＞13－a 6，8分由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，得2f (x )min ＞f (x )max (x ∈[1,2])．所以当0＜a ≤25时，必有2×a 6(2－a )2＞13－a 6，10分结合0＜a ≤25可解得1－22＜a ≤25；当25＜a ＜1时，必有2×a 6(2－a )2＞23a ，结合25＜a ＜1可解得25＜a ＜2－ 2.综上，知所求实数a 的取值范围是1－22＜a ＜2－ 2.12分。

2017年高考数学(理科山东专版)二轮专题复习与策略教师用书第1部分专题5突破点13直线与圆Word版含解析

专题五平面解析几何建知识网络明内在联系[高考点拨]平面解析几何是高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系．双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题．基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升．突破点13直线与圆(对应学生用书第167页)(1)圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.(2)圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆.(1)(2)两个公式：点到直线的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，弦长公式|AB |＝2r 2－d 2(弦心距d ).(1)上的点距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中r 为圆的半径．(2)圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ，最小距离是d －r ，其中d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径．(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．回访1 圆的方程1．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 [由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎨⎧ m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.] 2．(2014·山东高考)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为______________________．(x －2)2＋(y －1)2＝4 [设圆C 的圆心为(a ，b )(b >0)，由题意得a ＝2b >0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]回访2 直线与圆的位置问题3．(2016·山东高考)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离B [法一：由⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )． ∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)，∴M (0，a )，r 1＝a . 依题意，有a 2＝a 2－2，解得a ＝2. 以下同方法1.]4．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34D [由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.](对应学生用书第167页)热点题型1 圆的方程题型分析：求圆的方程是高考考查的重点内容，常用的方法是待定系数法或几何法.(1)(2016·黄山一模)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．(2)(2016·郑州二模)已知⊙M 的圆心在第一象限，过原点O 被x 轴截得的弦长为6，且与直线3x ＋y ＝0相切，则圆M 的标准方程为________．(1)x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 (2)(x －3)2＋(y －1)2＝10 [(1)因为圆C 关于y 轴对称，所以圆C 的圆心C 在y 轴上，可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋(－b )2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r 2＝43，b ＝±33. 所以圆C 的方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.(2)法一：设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(a ＞0，b ＞0，r ＞0)，由题意知⎩⎨⎧ b 2＋9＝r 2，|3a ＋b |32＋12＝r ，a 2＋b 2＝r 2，解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1，r 2＝10，故⊙M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.法二：因为圆M 过原点，故可设方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，又被x 轴截得的弦长为6且圆心在第一象限，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 22＝32，故D ＝－6，与3x ＋y ＝0相切，则－E 2－D 2＝13，即E ＝13D ＝－2，因此所求方程为x 2＋y 2－6x －2y ＝0.故⊙M 的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.]求圆的方程的两种方法1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．[变式训练1] (1)已知圆M 的圆心在x 轴上，且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧，若圆M 截直线l 1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x ＋1)2＋y 2＝4C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋(y ＋1)2＝4 (2)(2016·青岛一模)抛物线y 2＝4x 与过其焦点且垂直于x 轴的直线相交于A ，B 两点，其准线与x 轴的交点为M ，则过M ，A ，B 三点的圆的标准方程为________．(1)B (2)(x －1)2＋y 2＝4 [(1)由已知，可设圆M 的圆心坐标为(a,0)，a ＞－2，半径为r ，得⎩⎨⎧ (a ＋2)2＋(3)2＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎨⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B.(2)由题意知，A (1,2)，B (1，－2)，M (－1,0)， △AMB 是以点M 为直角顶点的直角三角形，则线段AB 是所求圆的直径，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.]热点题型2 直线与圆、圆与圆的位置关系题型分析：直线与圆、圆与圆的位置关系是高考考查的热点内容，解决的方法主要有几何法和代数法.(1)(2016·全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.4 [由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23＝4.](2)(2016·开封一模)如图13-1，已知圆G ：(x －2)2＋y 2＝r 2是椭圆x 216＋y 2＝1的内接△ABC 的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点．(1)求圆G 的半径r ；(2)过点M (0,1)作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．图13-1[解] (1)设B (2＋r ，y 0)，过圆心G 作GD ⊥AB 于D ，BC 交长轴于H . 由GD AD ＝HB AH 得r 36－r 2＝y 06＋r ，即y 0＝r 6＋r 6－r， ①2分而B (2＋r ，y 0)在椭圆上，y 20＝1－(2＋r )216＝12－4r －r 216＝－(r －2)(r ＋6)16， ②3分由①②式得15r 2＋8r －12＝0，解得r ＝23或r ＝－65(舍去).5分(2)证明：设过点M (0,1)与圆(x －2)2＋y 2＝49相切的直线方程为y ＝kx ＋1，③则23＝|2k ＋1|1＋k 2，即32k 2＋36k ＋5＝0，④解得k1＝－9＋4116，k2＝－9－4116.将③代入x216＋y2＝1得(16k2＋1)x2＋32kx＝0，则异于零的解为x＝－32k16k2＋1.8分设F(x1，k1x1＋1)，E(x2，k2x2＋1)，则x1＝－32k116k21＋1，x2＝－32k216k22＋1，9分则直线FE的斜率为k EF＝k2x2－k1x1x2－x1＝k1＋k21－16k1k2＝34，于是直线FE的方程为y＋32k2116k21＋1－1＝34⎝⎛⎭⎪⎫x＋32k116k21＋1.即y＝34x－73，则圆心(2,0)到直线FE的距离d＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－731＋916＝23，故结论成立.12分1．直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点的距离，利用勾股定理计算．2．弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，l＝2r2－d2(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l＝1＋k2|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间距离公式求解．[变式训练2] (1)(2016·哈尔滨一模)设直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程为________. 【导学号：67722047】y ＝x ＋1 [直线l 恒过定点M (0,1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4，易知点M (0,1)在圆C 的内部，依题意当l ⊥CM 时直线l 被圆C 截得的弦最短，于是k ·1－00－1＝－1，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.] (2)(2016·泉州一模)已知点M (－1,0)，N (1,0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 距离的3倍．①求曲线E 的方程；②已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．C ，D 两点均在x 轴下方．当CD 的斜率为－1时，求线段AB 的长．[解] ①设曲线E 上任意一点坐标为(x ，y )，由题意，(x ＋1)2＋y 2＝3(x －1)2＋y 2，2分整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求.4分②由题知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1,0)，设曲线E 的圆心为E ，则E (2,0)，线段CD 的中点为P ，则直线EP ：y ＝x －2，设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎨⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22.7分由圆的几何性质，|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，解得t ＝0或t ＝3，又C ，D 两点均在x 轴下方，直线CD ：y ＝－x .由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－4x ＋1＝0，y ＝－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－22，y ＝22－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋22，y ＝－22－1.9分设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，22－1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，－22－1，由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4x ＋1＝0，y ＝u (x －1)消去y 得： (u 2＋1)x 2－2(u 2＋2)x ＋u 2＋1＝0，(*)方程(*)的两根之积为1，所以点A 的横坐标x A ＝2＋2，又因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，22－1在直线l 1：x －my －1＝0上，解得m ＝2＋1，11分直线l 1：y ＝(2－1)(x －1)，所以A (2＋2，1)，同理可得，B (2－2，1)，所以线段AB 的长为2 2.12分专题限时集训(十三) 直线与圆[建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组高考达标]一、选择题1．(2016·济南模拟)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210C [圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋a ×1－1＝0，所以a ＝－1，从而A (－4，－1)，|AB |＝|AC |2－r 2＝(－4－2)2＋(－1－1)2－4＝6.]2．(2016·衡水一模)已知圆x 2＋y 2＋mx －14＝0与抛物线y ＝14x 2的准线相切，则m ＝( )A ．±2 2B ．±3 C. 2 D. 3B [抛物线的准线为y ＝－1，将圆化为标准方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝1＋m 24，圆心到准线的距离为1＝1＋m 24⇒m ＝±3.]3．(2016·长春一模)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离最小值为( ) A. 2B ．2 2C ．3 2D ．4 2C [由题意知AB 的中点M 的集合为到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在的直线方程为：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得， |m ＋7|2＝|m ＋5|2，解得m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，再根据点到直线的距离公式得点M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.] 4．与圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y －26＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0都相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条A [把已知两圆化为标准方程，C 1：(x ＋1)2＋(y －3)2＝36，C 2：(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故圆心分别为C 1(－1,3)，C 2(2，－1)．两圆圆心距|C 1C 2|＝(－1－2)2＋[3－(－1)]2＝5，等于两圆半径之差，故两圆相切，它们只有一条公切线．]5．(2016·湘潭二模)两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( )【导学号：67722048】A ．1B ．3 C.19 D.49A [x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，即x 2＋(y －2b )2＝1，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋(2b )2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋4b 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋a 2b 2＋4b 2a 2≥19⎝⎛⎭⎪⎫5＋2a 2b 2·4b 2a 2＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2a 2即a ＝±2b 时取等号，故选A.]二、填空题 6．(2016·赤峰高三统考)已知⊙O ：x 2＋y 2＝1，若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－1]∪[1，＋∞) [因为圆心为O (0,0)，半径R ＝1.设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形P AOB 为正方形，故有PO ＝2R ＝2，由题意知圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离小于或等于PO ＝2，即|2|1＋k 2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.]7．(2016·合肥一模)设点P 在直线y ＝2x ＋1上运动，过点P 作圆(x －2)2＋y 2＝1的切线，切点为A ，则切线长|P A |的最小值是________． 2 [圆心C (2,0)到直线2x －y ＋1＝0的距离d ＝5，所以|P A |＝|PC |2－1≥d 2－1＝2.]8．(2016·长沙二模)若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.18 [由题意得直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 截得圆的弦所对圆周角相等，皆为直角，因此圆心到两直线距离皆为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2⇒a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(－22＋1)2＝18.]三、解答题9．(2016·南昌一模)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.[解](1)由圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，配方得(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆心C(2,3).2分当斜率存在时，设过点A的圆的切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.由d＝|2k－3＋5－3k|k2＋1＝1，得k＝34.4分又斜率不存在时直线x＝3也与圆相切，5分故所求切线方程为x＝3或3x－4y＋11＝0.6分(2)直线OA的方程为y＝53x，即5x－3y＝0，8分点C到直线OA的距离为d＝|5×2－3×3|52＋32＝134.10分又|OA|＝32＋52＝34，∴S＝12|OA|d＝12.12分10．(2016·洛阳一模)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．[解](1)如图所示，|AB|＝43，将圆C方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16，2分所以圆C的圆心坐标为(－2,6)，半径r＝4，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，所以|AD|＝23，|AC|＝4，C点坐标为(－2,6)．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由点C 到直线AB 的距离公式：|－2k －6＋5|k 2＋(－1)2＝2，得k ＝34. 故直线l 的方程为3x －4y ＋20＝0.4分直线l 的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x ＝0.6分所以所求直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋20＝0.7分(2)设过P 点的圆C 的弦的中点为D (x ，y )，则CD ⊥PD ，即CD →·PD →＝0，所以(x ＋2，y －6)·(x ，y －5)＝0，10分化简得所求轨迹方程为x 2＋y 2＋2x －11y ＋30＝0.12分[B 组名校冲刺]一、选择题1．(2016·淄博模拟)已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37D [如图，易知AC 所在直线的方程为x ＋2y －4＝0.点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d ＝|－4|5＝455＞1，OA ＝(－2)2＋32＝13，OB ＝(－2)2＋(－1)2＝5，OC ＝62＋(－1)2＝37，∴以原点为圆心的圆若与三角形ABC 有唯一的公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，∴圆的半径为1或37，则该圆的方程为x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37.故选D.]2．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为( )A. 5B ．5C ．25D ．10B [由题意，知圆心M 的坐标为(－2，－1)，所以－2a －b ＋1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离的平方，而(a －2)2＋(b －2)2的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.故选B.] 3．命题p ：4＜r ＜7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r ＞0)上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离等于5，所以圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1时，4＜r ＜6，所以p 是q 的必要不充分条件．]4．(2016·兰州二模)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，22)C ．[2，＋∞)D ．[3，22)B [由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2，由k ＞0，得0＜k ＜2 2.①如图，又由|OA →＋OB →|≥33|AB →|，得|OM |≥33|BM |⇒∠MBO ≥π6，因|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |1＋1≥1⇒k ≥ 2.② 综①②得2≤k ＜2 2.]二、填空题5．已知直线x ＋y －a ＝0与圆x 2＋y 2＝2交于A ，B 两点，O 是坐标原点，向量OA →，OB →满足|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →|，则实数a 的值为________.【导学号：67722049】 ±2 [由|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →|得OA →·OB →＝0，即OA ⊥OB ，则直线x ＋y －a ＝0过圆x 2＋y 2＝2与x 轴，y 轴正半轴或负半轴的交点，故a ＝±2.]6．(2016·滨州二模)在平面直角坐标系xOy 中，以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．(x －2)2＋(y －1)2＝1 [直线mx ＋y －2m ＝0过定点(2,0)，则以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，∴半径最大的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.]三、解答题7．已知半径为2，圆心在直线y ＝－x ＋2上的圆C .(1)当圆C 经过点A (2,2)，且与y 轴相切时，求圆C 的方程；(2)已知E (1,1)，F (1，－3)，若圆C 上存在点Q ，使|QF |2－|QE |2＝32，求圆心的横坐标a 的取值范围．[解] (1)∵圆心在直线y ＝－x ＋2上，半径为2，∴可设圆的方程为(x －a )2＋[y －(－a ＋2)]2＝4，2分其圆心坐标为(a ，－a ＋2)．∵圆C 经过点A (2,2)，且与y 轴相切，∴有⎩⎨⎧(2－a )2＋[2－(－a ＋2)]2＝4，|a |＝2，解得a ＝2，4分∴圆C 的方程是(x －2)2＋y 2＝4.5分(2)设Q (x ，y )，由|QF |2－|QE |2＝32，得(x －1)2＋(y ＋3)2－[(x －1)2＋(y －1)2]＝32，解得y ＝3，∴点Q 在直线y ＝3上.7分又∵点Q 在圆C ：(x －a )2＋[y －(－a ＋2)]2＝4上，∴圆C 与直线y ＝3必须有公共点．∵圆C 圆心的纵坐标为－a ＋2，半径为2，∴圆C 与直线y ＝3有公共点的充要条件是1≤－a ＋2≤5，即－3≤a ≤1.10分∴圆心的横坐标a 的取值范围是[－3,1].12分8．已知△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为⊙H .(1)若直线l 过点C ，且被⊙H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以点C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求⊙C 的半径r 的取值范围．[解] (1)线段AB 的垂直平分线方程为x ＝0，线段BC 的垂直平分线方程为x ＋y －3＝0，所以外接圆圆心为H (0,3)，半径为(－1)2＋32＝10，⊙H 的方程为x 2＋(y －3)2＝10.设圆心H 到直线l 的距离为d ，因为直线l 被⊙H 截得的弦长为2，所以d ＝10－1＝3.3分当直线l 垂直于x 轴时，显然符合题意，即x ＝3为所求；4分当直线l 不垂直于x 轴时，设直线方程为y －2＝k (x －3)，则|3k ＋1|1＋k 2＝3，解得k ＝43，直线方程为4x －3y －6＝0.综上，直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.5分(2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，设P (m ，n )(0≤m ≤1)，N (x ，y )，因为点M 是线段PN 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2，n ＋y 2，又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x －3)2＋(y －2)2＝r 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋y 2－22＝r 2，即⎩⎨⎧(x －3)2＋(y －2)2＝r 2，(x ＋m －6)2＋(y ＋n －4)2＝4r 2.7分因为该关于x ，y 的方程组有解，即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心，2r 为半径的圆有公共点，所以(2r －r )2≤(3－6＋m )2＋(2－4＋n )2≤(r ＋2r )2，8分又3m ＋n －3＝0，所以r 2≤10m 2－12m ＋10≤9r 2对∀m ∈[0,1]成立．而f (m )＝10m 2－12m ＋10在[0,1]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤325，10，故r 2≤325且10≤9r 2.10分又线段BH 与圆C 无公共点，所以(m －3)2＋(3－3m －2)2＞r 2对∀m ∈[0,1]成立，即r 2＜325.故⊙C 的半径r 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，4105.12分。

《课堂新坐标》2017届高三理科数学(通用版)二轮复习教师用书第1部分专题1突破点2解三角形Word版含解析

突破点2 解三角形(1)(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一．(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解．(4)已知三边，利用余弦定理求解.(1)(2)从角出发，全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形，再判断．注意：要灵活选用正弦定理或余弦定理，且在变形的时候要注意方程的同解性，如方程两边同除以一个数时要注意该数是否为零，避免漏解.设△ABC S . (1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)． (2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ca sin B ．(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形ABC 内切圆的半径)．回访1 正、余弦定理的应用1．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.2113在△ABC 中，∵cos A ＝45，cos C ＝513， ∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又∵a sin A ＝b sin B ，∴b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113.]2．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．(6－2，6＋2) 如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.]回访2 三角形的面积问题3．(2014·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．3 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，a ＝2，又(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴∠A ＝60°.∵△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.]题型分析：关键是合理应用正、余弦定理实现边角的互化.(2016·四川高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a＋cos B b ＝sin C c .(1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．解] (1)证明：根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin Ck sin C ，2分即sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).4分在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C ．6分(2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35，8分所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.9分由(1)知sin A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，所以45sin B＝45cos B＋35sin B，11分故tan B＝sin Bcos B＝4.12分关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．变式训练1](1)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a＝2，c＝3，cos B＝14，则sin Acos C＝__________.【导学号：85952013】2155由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝22＋32－2×2×3×14＝10，所以b＝10.由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝4＋10－92×2×10＝108.因为B是△ABC的内角，所以sin B＝1－cos2B＝15 4.由正弦定理asin A＝bsin B，得sin A＝64，所以sin Acos C＝2155.](2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a cos B＋b cos(B ＋C)＝0.①证明：△ABC为等腰三角形；②若2(b2＋c2－a2)＝bc，求cos B＋cos C的值．解]①证明：∵a cos B＋b cos (B＋C)＝0，∴由正弦定理得sin A cos B＋sin B cos(π－A)＝0，即sin A cos B－sin B cos A＝0，3分∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝kπ，k∈Z.4分∵A，B是△ABC的两内角，∴A －B ＝0，即A ＝B ，5分∴△ABC 是等腰三角形.6分②由2(b 2＋c 2－a 2)＝bc ，得b 2＋c 2－a 22bc ＝14，7分由余弦定理得cos A ＝14，8分cos C ＝cos(π－2A )＝－cos 2A ＝1－2cos 2 A ＝78.10分∵A ＝B ，∴cos B ＝cos A ＝14，11分∴cos B ＋cos C ＝14＋78＝98.12分题型分析：重要命题点之一，本质上还是考查利用正、余弦定理解三角形，难度中等.(2015·山东高考)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．【解题指导】 (1)f (x )――→恒等变换化归思想 f (x )＝A sin (ωx ＋φ)＋k ―→求f (x )的单调区间(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0――→锐角三角形求A ――→余弦定理建立b ，c 的等量关系――→基本不等式求bc 的最大值――→正弦定理求△ABC 的面积解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.2分由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .4分所以f (x )的单调递增区间是－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ).6分 (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，7分由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.8分由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，10分即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立．因此12bc sin A ≤2＋34，所以△ABC 面积的最大值为2＋34.12分1．在研究三角函数的图象与性质时常先将函数的解析式利用三角恒等变换转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B ，y ＝A tan(ωx ＋φ)＋B )的形式，进而利用函数y ＝sin x (或y ＝cos x ，y ＝tan x )的图象与性质解决问题．2．在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 中，有a 2＋c 2和ac 两项，二者的关系a 2＋c 2＝(a ＋c )2－2ac 经常用到，有时还可利用基本不等式求最值．变式训练2] (名师押题)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a ＝4cos C ，b ＝1.(1)若sin C ＝217，求a ，c ；(2)若△ABC 是直角三角形，求△ABC 的面积．解] (1)∵sin C ＝217，∴cos 2C ＝1－sin 2C ＝47，cos C ＝27.1分∵4cos C＝a＋1 a，∴87＝a＋1a，解得a＝7或a＝77.3分又1a＋a＝4cos C＝4×a2＋b2－c22ab＝4×a2＋1－c22a，∴a2＋1＝2(a2＋1－c2)，即2c2＝a2＋1.5分∴当a＝7时，c＝2；当a＝17时，c＝27.6分(2)由(1)可知2c2＝a2＋1.又△ABC为直角三角形，C不可能为直角．①若角A为直角，则a2＝b2＋c2＝c2＋1，∴2c2－1＝c2＋1，∴c＝2，a＝3，8分∴S＝12bc＝12×1×2＝22.9分②若角B为直角，则b2＝a2＋c2，a2＋c2＝1. ∴2c2＝a2＋1＝(1－c2)＋1，∴c2＝23，a2＝13，即c＝63，a＝33，11分∴S＝12ac＝12×63×33＝26.12分。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

突破点5 数列的通项与求和(对应学生用书第167页)若a n 为数列{a n }的通项，S n 为其前n 项和，则有a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.在使用这个关系式时，一定要注意区分n ＝1，n ≥2两种情况，求出结果后，判断这两种情况能否整合在一起.(1)n ＋1n 列．②形如a n ＋1＝ka n (k 为非零常数)且首项不为零，直接利用定义判断其为等比数列．(2)叠加法：形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，利用a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)，求其通项公式．(3)叠乘法：形如a n ＋1a n ＝f (n )≠0，利用a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1，求其通项公式．(4)待定系数法：形如a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p，再转化为等比数列求解．(5)构造法：形如a n ＋1＝pa n ＋q n (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)，先在原递推公式两边同除以q n ＋1，得a n ＋1q n ＋1＝p q ·a n q n ＋1q，构造新数列{b n }⎝ ⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a n q n ，得b n ＋1＝p q ·b n ＋1q ，接下来用待定系数法求解．(6)取对数法：形如a n ＋1＝pa m n (p >0，a n >0)，先在原递推公式两边同时取对数，再利用待定系数法求解.(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等，而裂项相消法，错位相减法是常用的两种方法．回访1 a n 与S n 的关系1．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________.－1n [∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.又S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列，∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，即S n ＝－1n .]2．(2013·全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.(－2)n －1 [当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23(a n －a n －1)，∴a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2，∴{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2， ∴a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.]3．(2014·全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________.12 [∵a n ＋1＝11－a n，∴a n ＋1＝11－a n＝11－11－a n －1＝1－a n －11－a n －1－1＝1－a n －1－a n －1＝1－1a n －1＝1－111－a n －2＝1－(1－a n －2)＝a n －2， ∴周期T ＝(n ＋1)－(n －2)＝3. ∴a 8＝a 3×2＋2＝a 2＝2. 而a 2＝11－a 1，∴a 1＝12.]回访2 数列求和4．(2015·全国卷Ⅰ改编)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，则(1){a n }的通项公式为__________； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为__________． (1)a n ＝2n ＋1 (2)n3(2n ＋3)[(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知 b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3).]5．(2014·全国卷Ⅰ改编)已知{a n }是递增的等差数列，a 2，a 4是方程x 2－5x ＋6＝0的根，则(1){a n }的通项公式为__________；(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为__________．(1)a n ＝12n ＋1 (2)2－n ＋42n ＋1 [(1)方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2,3，由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而a 1＝32.所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＝n ＋22n ＋1，则S n ＝322＋423＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12S n ＝323＋424＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2. 两式相减得12S n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2. 所以S n ＝2－n ＋42n ＋1.](对应学生用书第167页)热点题型1 数列中的a n 与S n 的关系题型分析：以数列中a n 与S n 间的递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，以及推理论证的能力.数列{an }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足2a na n S n －S 2n ＝1(n ≥2)．求数列{a n }的通项公式．【导学号：67722024】[解] 由已知，当n ≥2时，2a na n S n －S 2n ＝1，所以2(S n －S n －1)(S n －S n －1)S n －S 2n ＝1，2分即2(S n －S n －1)－S n －1S n＝1，所以1S n －1S n －1＝12.4分又S 1＝a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为12的等差数列，6分所以1S n＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.8分所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1).10分因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2.12分给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .提醒：在利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求通项公式时，务必验证n ＝1时的情形． [变式训练1] (1)(2016·合肥三模)已知数列{a n }前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －2n ，则S n ＝__________.(2)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且2S n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则a n ＝__________.(1)n ·2n (n ∈N *) (2)2×3n －1(n ∈N *) [(1)由S n ＝2a n －2n 得当n ＝1时，S 1＝a 1＝2；当n ≥2时，S n ＝2(S n －S n －1)－2n，即S n 2n －S n －12n －1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，则S n2n ＝n ，S n ＝n ·2n (n ≥2)，当n ＝1时，也符合上式，所以S n ＝n ·2n (n ∈N *)．(2)因为2S n ＋2＝3a n ，① 所以2S n ＋1＋2＝3a n ＋1，②由②－①，得2S n ＋1－2S n ＝3a n ＋1－3a n ，所以2a n ＋1＝3a n ＋1－3a n ，即a n ＋1a n ＝3.当n ＝1时，2＋2S 1＝3a 1，所以a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．] 热点题型2 裂项相消法求和题型分析：裂项相消法是指把数列与式中的各项分别裂开后，某些项可以相互抵消从而求和的方法，主要适用于⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和.(2016·威海二模)设单调数列{an }的前n 项和为S n,6S n ＝a 2n ＋9n －4，a 1，a 2，a 6成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝6n －1(3n ＋1)2·a 2n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由已知6S n ＝a 2n ＋9n －4可得，当n ≥2时，6S n －1＝a 2n －1＋9(n －1)－4，两式相减得6a n ＝a 2n ＋9n －a 2n －1－9(n －1)＝a 2n －a 2n －1＋9，2分整理得(a n －3)2＝a 2n －1，即a n －a n －1＝3或a n ＋a n －1＝3，n ≥2.3分∵{a n }为单调数列，∴a n ＋a n －1＝3(舍去)，即{a n }为等差数列．当n ＝1时，6a 1＝a 21＋5，解得a 1＝1或a 1＝5.4分若a 1＝1，则a 2＝a 1＋3＝4，a 6＝a 1＋15＝16，满足a 1，a 2，a 6成等比数列；若a 1＝5，则a 2＝a 1＋3＝8，a 6＝a 1＋15＝20，不满足a 1，a 2，a 6成等比数列.5分∵a 1＝1，a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2(n ∈N *)．∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.6分(2)由已知，a n ＝3n －2，b n ＝6n －1(3n ＋1)2(3n －2)2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(3n －2)2－1(3n ＋1)2.9分设{b n }的前n 项和为T n ，T n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－142＋142－172＋172－…＋1(3n －2)2－1(3n ＋1)2＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(3n ＋1)2＝n (3n ＋2)(3n ＋1)2(n ∈N *).12分裂项相消法的基本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，常见的裂项方式有：(1)1n (n ＋k )＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1； (3)1n ＋n ＋k＝1k (n ＋k －n )．提醒：在裂项变形时，务必注意裂项前的系数．[变式训练2] 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n <38.[解] (1)由已知及等差数列的性质得S 5＝5a 3，∴a 3＝14，1分又a 2，a 7，a 22成等比数列，即a 27＝a 2·a 22.2分由(a 1＋6d )2＝(a 1＋d )(a 1＋21d )且d ≠0，解得a 1＝32d ，∴a 1＝6，d ＝4.4分故数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2，n ∈N *.6分 (2)证明：由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝2n 2＋4n ，1S n ＝12n 2＋4n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，8分∴T n ＝141－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.10分又T n ≥T 1＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＝16，所以16≤T n <38.12分热点题型3 错位相减法求和题型分析：限于数列解答题的位置较为靠前，加上错位相减法的运算量相对较大，故在近5年中仅有1年对该命题点作了考查，但其仍是命题的热点之一，务必加强训练.(2016·山东高考)已知数列{an }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，1分当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，满足上式，2分所以a n ＝6n ＋5.设数列{b n }的公差为d .3分由⎩⎨⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎨⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ，5分可解得⎩⎨⎧b 1＝4，d ＝3，所以b n ＝3n ＋1.6分(2)由(1)知c n ＝(6n ＋6)n ＋1(3n ＋3)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1.7分又T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，得T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]，8分2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差，得－T n ＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n ＋1－(n ＋1)×2n ＋2] ＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋4(1－2n )1－2－(n ＋1)×2n ＋211分＝－3n ·2n ＋2，所以T n ＝3n ·2n ＋2.12分运用错位相减法求和应注意：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }中一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置，一般先乘以公比，再把前n 项和退后一个位置来书写，这样避免两式相减时看错列；三是相减，相减时一定要注意式中最后一项的符号，考生常在此步出错，一定要细心．提醒：为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．[变式训练3] (2016·潍坊模拟)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1＋S n ＝a 2n ＋1，数列{b n }满足b n ·b n ＋1＝3a n ，且b 1＝1. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a n b 2＋a n －1b 4＋…＋a 1b 2n ，求T n . [解] (1)∵S n ＋1＋S n ＝a 2n ＋1，① S n ＋S n －1＝a 2n (n ≥2)，② ①－②得：a n ＋1＋a n ＝a 2n ＋1－a 2n ，∴(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0， ∵a n ＋1＞0，a n ＞0，∴a n ＋1＋a n ≠0， ∴a n ＋1－a n ＝1(n ≥2).2分又由S 2＋S 1＝a 22，得2a 1＋a 2＝a 22，即a 22－a 2－2＝0，∴a 2＝2，a 2＝－1(舍去)． ∴a 2－a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝n .3分又∵b n ·b n ＋1＝3a n ＝3n ，③ b n －1b n ＝3n －1(n ≥2)，④ ③④得：b n ＋1b n －1＝3(n ≥2).4分又由b 1＝1，可求b 2＝3，故b 1，b 3，…，b 2n －1是首项为1，公比为3的等比数列，b 2，b 4，…，b 2n 是首项为3，公比为3的等比数列，∴b 2n －1＝3n －1，b 2n ＝3·3n －1＝3n ，6分 ∴b n ＝ 7分(2)由(1)得：T n ＝3a n ＋32a n －1＋33a n －2＋…＋3n a 1，⑤3T n ＝32a n ＋33a n －1＋34a n －2＋…＋3n ＋1a 1， ⑥8分⑥－⑤得：2T n ＝－3a n ＋32(a n －a n －1)＋33(a n －1－a n －2)＋…＋3n (a 2－a 1)＋ 3n ＋1a 1，由a n ＝n ，∴2T n ＝－3n ＋32＋33＋…＋3n ＋3n ＋1 ＝－3n ＋32(1－3n )1－3＝－3n －92＋12·3n ＋2，11分 ∴T n ＝3n ＋24－3n 2－94.12分专题限时集训(五) 数列的通项与求和[建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组高考达标]一、选择题1．(2016·济南模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2A [由S n ＝2a n －4可得S n －1＝2a n －1－4(n ≥2)，两式相减可得a n ＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．又a 1＝2a 1－4，a 1＝4，所以数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A.]2．数列{a n }满足a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝n －1n a n －1，则a 5＝( )A.15B.16 C ．5D ．6A [因为a 1＝1，且当n ≥2时，a n ＝n －1n a n －1，则a n a n －1＝n －1n ，所以a 5＝a 5a 4·a 4a 3·a 3a 2·a 2a 1·a 1，即a 5＝45×34×23×12×1＝15.故选A.] 3.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为( ) A.n ＋12(n ＋2)B.34－n ＋12(n ＋2) C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2C [∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2.] 4．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 012，其前n 项和为S n ，若S 2 0122 012－S 1010＝2 002，则S 2 014的值等于( )A ．2 011B ．－2 012C ．2 014D ．－2 013C [等差数列中，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n n ＝a 1＋(n －1)d2，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1＝－2 012，公差为d 2的等差数列．因为S 2 0122 012－S 1010＝2 002，所以(2 012－10)d2＝2 002，d2＝1，所以S 2 014＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1] ＝2 014，选C.]5．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 014等于( ) A.4 0282 015 B.4 0242 013 C.4 0182 012D.2 0102 011A [令m ＝1，得a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1，于是a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，上述n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，所以a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，因此1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 014＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋12 014－12 015＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 015＝4 0282 015.故选A.] 二、填空题6．(2016·西安模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，a n ＝4S n －3，则S 4＝__________. 【导学号：67722025】2027 [∵a n ＝4S n －3，∴当n ＝1时，a 1＝4a 1－3，解得a 1＝1，当n ≥2时，∵4S n ＝a n ＋3，∴4S n －1＝a n －1＋3，∴4a n ＝a n －a n －1，∴a n a n －1＝－13，∴{a n }是以1为首项，－13为公比的等比数列，∴S 4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1341＋13＝8081×34＝2027.] 7．(2016·广州二模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n ∈N*)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为__________．n2n ＋1[令n ＝1得a 1＝S 1＝k －1，令n ＝2得S 2＝4k －1＝a 1＋a 2＝k －1＋12，解得k ＝4，所以S n ＝4n 2－1，1S n ＝14n 2－1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.] 8．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝1，则通项公式a n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，n ∈N * [由S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)可得S n －1＝2a n (n ≥2，n ∈N *)两式相减得：a n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1a n ＝32(n ≥2，n ∈N *)．又由a 1＝1及S n ＝2a n ＋1(n ∈N *)可得a 2＝12，所以数列{a n }从第二项开始成一个首项为a 2＝12，公比为32的等比数列，故当n >1，n ∈N *时有a n ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －2，n ≥2，n ∈N *.]三、解答题9．(2016·太原二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .[解] (1)∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，1分当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，2分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a na n －1＝2，4分∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，a n ＝2n －2(n ∈N *).6分 (2)∵b n ＝log 2a 2n ＋1×log 2a 2n ＋3＝log 222n ＋1－2×log 222n ＋3－2 ＝(2n －1)(2n ＋1)，8分 ∴1b n＝12n －1×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，10分 ∴T n ＝121－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.12分10．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a nb n，求数列{c n }的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .[解] (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0(b n ≠0，n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n ＝2，2分即c n ＋1－c n ＝2.3分又c 1＝a 1b 1＝1，所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.5分 (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，7分于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n －1)·3n －1，8分 3S n ＝1·31＋3·32＋…＋(2n －3)·3n －1＋(2n －1)·3n ，9分相减得－2S n ＝1＋2·(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)·3n ＝－2－(2n －2)3n ，11分所以S n ＝(n －1)3n ＋1.12分[B 组名校冲刺]一、选择题1．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a >0，a ≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于( )A.911B.1011C.811D.1211B [y ＝log a (x －1)＋3恒过定点(2,3)，即a 2＝2，a 3＝3，又{a n }为等差数列， ∴a n ＝n ，∴b n ＝1n (n ＋1)，∴T 10＝1－111＝1011，故选B.]2．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．3 105B [∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }是以－60为首项，3为公差的等差数列，∴a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63.令a n ≤0，得n ≤21，∴前20项都为负值．∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋a 21＋…＋a 30＝－2S 20＋S 30.∵S n ＝a 1＋a n 2n ＝－123＋3n 2×n ，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝765，故选B.]3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1B.2n (n ＋1)C.6(n ＋1)(n ＋2)D.5－2n 3B [由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，有a n＝2n (n ＋1)，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n (n ＋1).故选B.]4．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为12的等比数列，则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.] 二、填空题5．(2016·山西四校联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2016＝__________.【导学号：67722026】3×21 008－3 [∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ①，∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1②，∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2，∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S 2 016＝1－21 0081－2＋2×(1－21 008)1－2＝3×21 008－3.]6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝__________，S 5＝__________.1 121 [∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3. 又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121.] 三、解答题7．设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n，求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，① 所以当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，②2分①－②得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2).4分在①中，令n ＝1，得a 1＝13，满足a n ＝13n ，所以a n ＝13n (n ∈N *).6分 (2)由(1)知a n ＝13n ，故b n ＝na n＝n ×3n .则S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，③ 3S n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1，④8分 ③－④得－2S n ＝3＋32＋33＋34＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3(1－3n )1－3－n ×3n ＋1，11分所以S n ＝34＋(2n －1)×3n ＋14(n ∈N *).12分8．(2016·烟台二模)已知函数f (x )＝x2x ＋1，数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S n ＋1＝f (S n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S 21＋S 22＋…＋S 2n ，当n ≥2时，求证：4T n ＜2－1n .[解] (1)由题意可知，S n ＋1＝S n 2S n ＋1，两边取倒数得：1S n ＋1＝2S n ＋1S n ＝1S n＋2，即1S n ＋1－1S n ＝2，又1S 1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列.3分故1S n＝2＋2(n －1)＝2n ，所以S n ＝12n ，5分当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1).7分所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.8分(2)证明：由(1)可知，S 2n ＝14n 2，当n ≥2时，14n 2＜14n (n －1)，10分所以T n ＜14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ，即4T n ＜2－1n .12分。