3022+高等数学(1)
2022高等数学教材答案
2022高等数学教材答案第一章：导数与微分1. 函数的概念及性质2. 限制与极限3. 导数的定义与性质4. 基本函数的导数5. 高阶导数与导数的应用第二章：不定积分与定积分1. 不定积分的基本概念与性质2. 常见函数的不定积分公式3. 定积分的概念与性质4. 定积分的计算方法5. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用第三章：微分方程1. 微分方程的基本概念与分类2. 一阶常微分方程的解法3. 高阶线性常微分方程的解法4. 微分方程的应用第四章：无穷级数1. 数列与数列极限2. 数项级数的概念与性质3. 收敛级数的收敛判别法4. 幂级数的收敛半径第五章：多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续2. 偏导数与全微分3. 隐函数的导数与多元函数的极值问题4. 多元函数的泰勒展开与极值问题第六章：重积分1. 二重积分的概念与性质2. 二重积分的计算方法3. 三重积分的概念与性质4. 三重积分的计算方法5. 重积分应用：质心、质量、坐标变换第七章：曲线与曲面积分1. 曲线积分的定义与性质2. 曲线积分的计算方法3. 曲面积分的定义与性质4. 曲面积分的计算方法5. 双重积分与曲线、曲面积分的关系第八章：常微分方程1. 二阶线性常微分方程2. 高阶线性常微分方程与解的结构3. 线性非齐次常微分方程与常数变易法4. 常微分方程的数值解法第九章：函数序列与函数级数1. 函数列的概念与极限2. 函数列的一致收敛与一致收敛级数3. 傅里叶级数及其应用第十章：矢量代数与空间解析几何1. 空间直线与平面的方程2. 矢量的点乘与点积3. 矢量的叉乘及应用4. 空间曲线与曲面的参数方程总结：2022年高等数学教材内容包括导数与微分、不定积分与定积分、微分方程、无穷级数、多元函数微分学、重积分、曲线与曲面积分、常微分方程、函数序列与函数级数、矢量代数与空间解析几何等方面的知识。
通过学习这些内容，学生们将掌握数学分析的基本方法和应用技巧，为进一步学习和研究数学提供坚实的基础。
高等数学第一章第一课-2022年学习资料
空集为任意集合A的子集，即Φ cA-若A与B互为子集，即AcB,且BCA,则称集合-A与B相等，记作A=B或 =A.-五、集合的运算-交集：A∩B={xxeA且xeB}:-→∩
并集：AUB={xx∈A或x∈B；-例5设A={1,2,4,6,B={2,4,7}-则AUB={1,2,3 4,6,7-A∩B={2,4-6设A={x-1≤x≤2，B={xx>0,-则AUB={xx≥-1，AnB= x0<x≤2-例7设A={xx≤1，B={x2≤x≤5}-则AUB={xx≤1，或2x≤5}，AnB=D. →∩
例4设fx=x2+x-1,求f1,fa,fx+1-〔》奶-解f1=1+1-1=1-fa=a2+a-1-fx =x++x+-1-=x2+3x+1-→
f[fx]=[fx]+[fx]-1-=x2+x-1+x2+x--1-=x4+2x3-1-→∩
如果自变量在定义域内任取一个数值时-对应的函数值总是只有一个，叫做单值函数，-否则叫做多值函数.-例如：y ±V2-x2-定义：点集C={x,yy=∫x,x∈D}称为-函数y=fx的图形-→∩
第一章-函数-极限与连续-§1.1-集合-一、概念-具有某种特定性质并且可以彼此区别的事物的-总体，称为集 -集合里的每一个事物称为集合的元素。-例1方程x2-3x+2=0的根.-有限集合-→∩
例2-全体实数.常记为R.-例3-全体正实数.常记为R-例4-全体自然数.常记为N.-无限集合-若某个元素 属于集合A,则记作x∈A;-若某个元素x不属于集合A,则记作xEA.-例如：-2R,4∈N.-二、集合的表 法-1.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素-并用花括号括起来，
《高等数学》（一）第一章同步辅导
难点：函数的复合。
典型例题分析与详解
一、单项选择题 1 下列集合中为空集的「」 A ｛ ｝B ｛0 ｝ C 0D ｛x ｜x2+1=0，x ∈R ｝ 「答案」选D 「解析」因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合，因此是非空集合；0 是一个数，不是集合，故C 也不是空集。在 实数集合内，方程x2+1=0无解，所以D 是空集 2 设A=｛x ｜x2-x-6>0 ｝，B=｛x ｜x-1 ≤1 ｝， 则A ∩B=「」 A ｛x ｜x >3 ｝B ｛x ｜x C ｛x ｜-2 「答案」选B 「解析」由x2-x-6>0 得x >3 或 x3 或x 3 设A 、B 是集合{1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}的子集，且A ∩B={1，3 ，7 ，9}，则A ∪B 是「」 A {2，4 ，5 ，6 ，8}B {1，3 ，7 ，9} C {1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 ，9}D {2，4 ，6 ，8} 「答案」选A 「解析」由A ∪B=A ∩B={1，3 ，7 ，9}，得A ∪B={2，4 ，5 ，6 ，8} 4 设M={0，1 ，2}，N={1，3 ，5}，R={2，4 ，6}，则下列式子中正确的是「」 A M ∪N={0，1} B M ∩N={0，1} C M ∪N ∪R={1，2 ，3 ，4 ，5 ，6} D M ∩N ∩R= （空集） 「答案」选D 「解析」由条件得M ∪N={0，1 ，2 ，3 ，5}，M ∩N={1} ，M ∪N ∪R={0，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6}，M ∩N ∩R= . 5 设A 、B 为非空集合，那么A ∩B=A 是A=B 的「」 A 充分但不是必要条件 B 必要但不是充分条件 C 充分必要条件
专升本考试：2022高等数学一真题及答案(1)
专升本考试：2022高等数学一真题及答案(1)1、方程x 2+y 2-2z=0表示的二次曲面是（）（单选题）A. 柱面B. 球面C. 旋转抛物面D. 椭球面试题答案：C2、国际标准化委员会（1SO）、国际电工委员会（1Ec）等制定的针对产品和服务的质量及技术要求的标准是（）（单选题）A. 国家标准B. 国际公约C. 国际惯例D. 国际标准试题答案：D3、封口机按照封口方式的不同，额分为（）封口机。
（多选题）A. 手压式B. 脚踏式C. 热压式D. 熔焊式E. 液压式试题答案：C,D,E4、（）是入库商品堆存的操作及其方式、方法的总称。
（单选题）B. 翻垛C. 倒堆D. 堆码试题答案：D5、组织对人力资源的开发过程主要包括（）等环节。
（多选题）A. 招聘B. 专业定向C. 岗位培训D. 脱产培训试题答案：B,C,D6、在计算机中，bit含义是（）。
（单选题）A. 字B. 字长C. 字节D. 二进制位试题答案：D7、（）（单选题）A.B. ƒ(2x)+CC. 2ƒ(2x)+CD.试题答案：A8、GIS系统定位的精度取决于对信号传播（）的测定。
（单选题）B. 范围C. 频率D. 时间试题答案：D9、选择合作伙伴的评价指标体系设置原则有（）。
（多选题）A. 系统全面性B. 简明科学性C. 稳定可比性D. 灵活可操作性E. 距离相近性试题答案：A,B,C,D10、若y=1+cosx，则dy= （）（单选题）A. (1+sinx)dxB. (1-sinx)dxC. sinxdxD. -sinxdx试题答案：D11、在下拉菜单里的各个操作命令项中有一类命令项的右面标有省略号（…）这类命令项的执行特点是（）。
（单选题）A. 被选中执行时会要求用户加以确认B. 被选中执行时会弹出菜单C. 被选中执行时会弹出对话框D. 当前情况下不能执行试题答案：C12、（）的四个阶段首尾相接，不断循环，每一次循环都会有新的内容和要求，他把计划的编制、执行与控制有机地结合在一起，有利于提高计划管理的水平。
高等数学(一)00020_历年试卷_真题及答案
;
z
两边关于 y 求偏导 e
3 z
z z 3xy 3 0 y y
z 3xy 所以 。因此： y 1 e y z z dx dy dz= x y 1 e
3 z
dx
3xy 2 1 ez
dy
。
6.解：ex= xn!
n n0
x ( ,),
x 0
)
A. 2a2x C. 2xa2x－1 15.下列式子中正确的是(
B. a2xlna D. 2a2xlna )
A. e dx e C. e dx e
1 x 1 0 0 1 x 1 0 0
1
x2
dx dx
x2
B. e dx e dx D.以上都不对
1 x 1 x2 0 0
yylnlnxxxxx????????????1122lnxxxxxxx???????111222lnxxxxxxx???????1111222lnxxxx????11223
浙江省 2002 年 1 月高等教育自学考试 高等数学(一)试题 课程代码：00020 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确 答案，并将正确答案的序号填 在题干的括号内。第 1—10 题，每小题 1 分，第 11—20 小题，每小题 2 分，共 30 分) 1.函数 y= 5 x +ln(x－1)的定义域是( ) A. (0，5］ B. (1，5］ C. (1，5) D. (1，+ ∞) 2. lim sinx2 x 等于( )
x
n 1
四、应用题(每小题 8 分，共 16 分) 1.某商店以每条 100 元的价格购进一批牛仔裤，已知市场 的需求函数为 Q=400－2P， 问怎样选择牛仔裤的售价 P(元 /条)，可使所获利润最大，最大利润是多少。 1 2.设抛物线 y2=2x 与该曲线在 ,1 处的法线所围成的平面图 2 形为 D，求 D 的面积。 五、证明题(4 分) 证明：xln (x 1 x ) 1 x 1, (x 0) 。
2022年考研数学一真题解析
2022年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．（1）已知()f x 满足1()lim1ln x f x x→=，则（）（A ）(1)0f =.（B ）1lim ()0x f x →=.（C ）(1)1f '=.（D ）1lim ()1x f x →'=.【答案】（B ）.【解析】11()lim ()lim ln 0ln x x f x f x x x →→⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦，（B ）正确，但()f x 连续性未知，故(1)f 未知，其他三项均错.（2）已知()yz xyf x=，且()f u 可导，2(ln ln )z zxy y y x x y∂∂+=-∂∂，则（）（A ）1(1),(1)02f f '==.（B ）1(1)0,(1)2f f '==.（C ）1(1),(1)12f f '==.（D ）(1)0,(1)1f f '==.【答案】（B ）.【解析】21z z y y y y y xy x yf xyf y xf xyf x y x x x x x x ∂∂⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''+=+-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦212ln ln ()ln ,22y y y yy xyf y f f u u u x x x x x ⎛⎫⎛⎫==⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111(1)0,(1)ln 222u f f u =⎛⎫'∴==+=⎪⎝⎭，选（B ）.（3）设有数列{}n x ，其中n x 满足ππ22n x -，则（）（A ）若lim cos(sin )n n x →∞存在，则lim n n x →∞存在.（B ）若lim sin(cos )n n x →∞存在，则n n x ∞→lim 存在.（C ）若)cos(sin lim n n x ∞→存在，则n n x sin lim ∞→存在，但n n x ∞→lim 不一定存在.（D ）若)sin(cos lim n n x ∞→存在，则n n x cos lim ∞→存在，但n n x ∞→lim 不一定存在.【答案】（D ）.【解析】取π(1)2nn x =-，则（A ）、（B ）、（C ）均错，且（D ）的“lim n n x →∞不一定存在”是正确的；（D ）的“lim cos n n x →∞存在”的原因：当ππ22n x - 时，0cos 1n x ，而sin x 在[0,1]上单调，故lim cos n n x →∞存在.（4）已知110d 2(1cos )x I x x =+⎰，120ln(1)d 1cos x I x x +=+⎰，1302d 1sin xI x x=+⎰，则（）（A ）321I I I <<.（B ）312I I I <<.（C ）231I I I <<.（D ）123I I I <<.【答案】（A ）.【解析】令()ln(1)2x f x x =-+，111()212(1)x f x x x -'=-=++，当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在[0,1]上单调递减，当01x <<时()(0)0f x f <=，所以ln(1)2x x <+，ln(1)2(1cos )1cos x x x x +<++，12I I <；又01x 时，ln(1)2111cos 1cos 11sin sin 22x x x x xx x xx +<=++++ ，故23I I <，选（A ）.（5）下列4个条件中，3阶矩阵A 可以相似对角化的一个充分但不必要条件为()（A ）A 有3个不相等的特征值.（B ）A 有3个线性无关的特征向量.（C ）A 有3个两两线性无关的特征向量.（D ）A 的属于不同特征值的特征向量相互正交.【答案】（A ）.【解析】选项（A ）：A 有3个互不相同特征值,则A 可对角化,但是A 可相似对角化,A 的特征值可能有重根，正确;选项（B ）：A 有3个线性无关的特征向量是A 可对角化的充要条件;选项（C ）：3个特征向量两两线性无关,不能保证整体线性无关,故不能推出A 可对角化;选项（D ）：实对称矩阵不同特征值的特征向量正交,可对角化的矩阵不一定是实对称矩阵.(6)设A ,B 均为n 阶矩阵，若方程组=0Ax 与x =0B 同解，则()（A ）方程组⎛⎫=⎪⎝⎭0A O y E B 只有零解.（B ）方程组⎛⎫=⎪⎝⎭0EA y OAB 只有零解.（C ）方程组⎛⎫=⎪⎝⎭0A B y O B 与⎛⎫=⎪⎝⎭0BA y OA 同解.（D ）方程组⎛⎫=⎪⎝⎭0ABB y OA 与⎛⎫= ⎪⎝⎭0BA A y O B 同解.【答案】(C).【解析】由,A B 为n 阶实矩阵,0=Ax 与0Bx =同解,则⎛⎫==⎪⎝⎭()()A r A r B r B ,即,A B 行向量组等价.由⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 行行A B A O B A B O O B O B OA O A ,则0⎛⎫=⎪⎝⎭A B y O B 与0⎛⎫= ⎪⎝⎭A O y O B 同解,0⎛⎫=⎪⎝⎭BA y O A 与0⎛⎫= ⎪⎝⎭B O y O A 同解,令12⎛⎫= ⎪⎝⎭y y y ,12,y y 均为n 维向量,则12000⎧⎛⎫=⇔⎨⎪⎝=⎭⎩=By Ay A O y O B ,12000⎧⎛⎫=⇔⎨ ⎪⎝=⎭⎩=Ay By B O y O A .由1100==,By Ay 同解,2200==,By Ay 通解,故0⎛⎫=⎪⎝⎭A B y O B 与0⎛⎫=⎪⎝⎭BA y O A 同解.故选(C).(7)设向量组123241111111λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,,αααα,若向量组123,,ααα与412,,ααα等价,则λ可取()（A ）01{,}.（B ）2λλλ∈≠-R {|,}.（C ）12λλλλ∈≠-≠-{|,,}R .（D ）1λλλ∈≠-{|,}R .【答案】(C).【解析】记123ααα=(,,)A ,142ααα=(,,)B ,由222211λλλ==+--||()(),||()A B ,当21λλ≠-≠±,时,00≠≠,||||B A ,即3==()()r A r B ,则123,,ααα与412,,ααα均为3R 的基,故等价;当1λ=-时,33=<(),()r A r B ,故123,,ααα与412,,ααα不等价;当2λ=-时,33<=(),()r A r B ,故123,,ααα与412,,ααα不等价;当1λ=时,1===()()(,)r A r B r A B ,故123ααα,,,124ααα,,等价;故选(C).(8)设随机变量(0,3)X U ，随机变量Y 服从参数为2的泊松分布，且X 与Y 协方差为1-，则(21)D X Y -+=（）（A ）1.（B ）5.（C ）9.（D ）12.【答案】（C ）.【解析】(21)4()()4(,)D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-由(0,3)X U ，2(30)3()124D X -==；(2)Y P ，()2D Y =所以(21)4()()4(,)9D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-=，选（C ）.（9）设随机变量1234,,,X X X X 独立同分布,且1X 的4阶矩存在.设1(),1,2,3,4kk E X k μ==,则由切比雪夫不等式,对于任意的0ε>,有2211n i i P X n με=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑ ()（A ）2422n μμε-.（B2.（C ）2212n μμε-.（D2.【答案】（A ）.【解析】记211n i i X Y n ==∑，显然可得2()E Y μ=；则22211()n i i D Y P X n μεε=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑ ；又22422211142211111()()[()()]()n i i D Y D X D X E X E X n nn n μμ=⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭∑所以22422211n i i P X n n μμμεε=⎧⎫--⎨⎬⎩⎭∑ ，选（A ）.(10)设随机变量(0,1)X N ，在X x =条件下随机变量(,1)Y N x ，则X 与Y 的相关系数为（）（A ）14.（B ）12.（C）3.（D）2.【答案】（D ）.【解析】由题意22(),xf x x -=-∞<<+∞且2()2(),,y x Y X f y x y --=-∞<<+∞所以22()21(,)()()e ,,2x y x X Y X f x y f x f y x x y +--==-∞<<+∞π又22()22()(,)d d d d xy x E XY xyf x y x y xx yy---+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰222d 1xxx -+∞-∞==⎰又因为222222()2211()(,)d ed eed 22y x xyyx xy Y f y f x y x x x+---+∞+∞+∞---∞-∞-∞===ππ⎰⎰⎰222()4241eed ,2yy yx x y ----+∞-∞==-∞<<+∞π⎰故(0,2),()2Y N D Y = ；所以2XY ρ--==，选（D ）.二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分．(11)函数22(,)2f x y x y =+在点(0,1)的最大方向导数为_______.【答案】4.【解析】(,)f x y 在某一点处的最大方向导数是其梯度的模，(0,1)(0,1)20f xx∂==∂,(0,1)(0,1)44f yy∂==∂4=.(12)2e 1x =⎰_______.【答案】4.【解析】2e 1x⎰2e1ln 2d t t t t⋅e 14ln d t t =⎰e14(ln )4t t t =-=(13)当0,0x y 时,22e x yx k y ++ 恒成立,则k 的取值范围是_______.【答案】)24e ,-⎡+∞⎣.【解析】原不等式即22()(0,0)e ,,x y k y y x x -++ 令22()(,))(0,0,e ,x y x y f x y y x -+=+ 当0,0x y >>时,直接求驻点,22()22()(2)e 0(2)e 0x y x y x y f x x y f y x y -+-+''=--==--=，,解得1x y ==,且2(1,1)2e f -=.当0x =时,2e (0()),yf y yg y -==,2()2e e 0,0y y g y y y y --'=-==或2,且2(0)0,(2)4e g g -==.当0y =时,同理解得2(0,0)0,(2,0)4e f f -==.比较可得,(,)f x y 的最大值为2(0,2)(2,0)4e f f -==.于是24e k - .(14)已知级数1!e nnxn n n-=∞∑的收敛域为(),a +∞,则a =_______.【答案】1-.【解析】令e xt -=，11!!e nx nn n n n n n t n n ∞-∞===∑∑,1(1)!11(1)!(1)e1lim lim lim 1n n nn n n nn n n n n n n n +→∞→∞→∞++===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭,于是1!n nnn t n =∞∑的收敛区间为e e t -<<,那么e e e x--<<,解得1x >-,于是1a =-.(15)已知矩阵A 和-E A 可逆,其中E 为单位矩阵,若矩阵B 满足1---=(())E E A B A ,则-=_____B A .【答案】-E .【解析】由1---=(())E E A B A ⇒1----=()()E A E A E B A⇒2-=-AB A A ⇒-=-B E A ⇒-=-B A E .(16)设,,A B C 随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立.若1()()()3P A P B P C ===,则()P B C A B C =【答案】58.【解析】因为B 与C 相互独立，有)()()(C P B P BC P ==111339= .又因A 与B 互不相容，A 与C 互不相容,有()()()0P AB P AC P ABC ===.[()()]()(|)()()P B C A B C P B C P B C A B C P A B C P A B C ==()()()()()()()()()()P B P C P BC P A P B P C P AB P BC P AC P ABC +-=++---+1115339111180003339+-==++---+.三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)(本题满分10分)设函数()y x是微分方程2y y '=+的满足()13y =的解，求曲线()y y x =的渐近线.【答案】斜渐近线2y x =.【解析】(e2ed xxy x C -⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰2e x C =+.将()13y =代入可得e C =，即()12e0y x x =+>.由函数解析式可知，曲线没有垂直渐近线；又由于()(12e lim lim x x y x x →+∞→+∞+==+∞，曲线没有水平渐近线；又()1limlim 2e 2x x y x k xx x→+∞→+∞=+==，()()1lim lim 20e 2x x b y x kx x x →+∞→+∞=-==⎡⎤⎣⎦+-，故曲线有斜渐近线2y x =.(18)(本题满分12分)已知平面区域{}(,)22D x y y x y =- ，计算222()d d Dx y I x y x y -=+⎰⎰.【答案】2(π1)-.【解析】将积分区域D 分为两部分12D D D =+，其中：1{(,)2,20,02}D x y y x x y =+- ，222{(,)4,0,0}D x y x y x y =+ ，故1222122222()()d d d d =+D D x y x y I x y x y I I x y x y --=+++⎰⎰⎰⎰记.其中：()()()2ππ22sin cos ππ12222=d cos sin d cos sin d πsin cos I r r θθθθθθθθθθ-⋅-=-⋅=-⎰⎰⎰，()()()πππ22222220=d cos sin d 2cos sin d 21sin 2d π2I r r θθθθθθθθ⋅-=-=-=-⎰⎰⎰⎰---故：()π2π2π1I =-+=-.(19)(本题满分12分)L 是曲面∑：22241x y z ++=，0,0,0x y z 的边界，曲面方向朝上，已知曲线L 的方向和曲面的方向符合右手法则，求()()22cos d 2d 2sin d LI yzz x xz y xyz x z z=-+++⎰ 【答案】0.【解析】由斯托克斯公式可得：()222d d d d d d 2d d d d cos 22sin y zz x x yI xz y z z x yx y z yz zxz xyz x z∑∑∂∂∂==-+∂∂∂-+⎰⎰⎰⎰令1∑：2241,0,0x y x y + ，指向z 轴负向，2∑：2241,0,0x z x z + ，指向y 轴负向，3∑：221,0,0y z y z + ，指向x 轴负向，则()()1231222d d d d 2d d d d I xz y z z x y xz y z z x y ∑+∑+∑+∑∑=-+--+⎰⎰⎰⎰ ()()23222d d d d 2d d d d xz y z z x y xz y z z x y ∑∑--+--+⎰⎰⎰⎰(22)d d d 0000z z x y z Ω=----=⎰⎰⎰.(20)(本题满分12分)设()f x 在()-∞+∞，有二阶连续导数，证明：0()f x '' 的充要条件为对不同实数,a b ()1(d 2b a a b f f x x b a+-⎰ .【证明】()21()()()((22222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++'''=+-+-，ξ介于x 与2a b+之间，()21()d (()(()d 22222bbaa a ba b a b a b f x x f f x f x xξ++++⎡⎤'''=+-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()21()(d 222b a a b a b f b a f x xξ++⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰必要性：若()0f x '' ，则()0f ξ'' ，有()d (()2baf x x a b f b a +-⎰ .充分性：若存在0x 使得0()0f x ''<，因为()f x 有二阶连续导数，故存在0δ>使得()f x ''在[]00,x x δδ-+内恒小于零，记00,a x b x δδ=-=+,此时()21()d ()()()d 222bb aa ab a b f x x f b a f x xξ++⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()2a bf b a +<-，矛盾！故()0f x '' .综上，充分性必要性均得证.(21)(本题满分12分)已知二次型3312311(,,)iji j f x x x ij x x===⋅∑∑.（1）写出123(,,)f x x x 对应的矩阵；（2）求正交变换x =Qy ,将123(,,)f x x x 化为标准形；（3）求123(,,)0f x x x =的解.【答案】（1）123246369⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;（2）令正交矩阵0⎛⎝Q =，利用正交变换x =Qy ,化为标准形2314f y =；（3）12231605c c --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，（12,c c 为任意常数）【解析】（1）3312311(,,)iji j f x x x ij x x===⋅∑∑22211213212233132323246369x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++222123121323494612x x x x x x x x x =+++++112323123(,,)246369x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）123246369----=------E A λλλλ2(14)0=-=λλ得1230,14===λλλ;1230000000r⎛⎫ ⎪-−−→ ⎪ ⎪⎝⎭E A ,解得12231,001αα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;153********r-⎛⎫ ⎪-−−→- ⎪ ⎪⎝⎭E A ,解得3123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;将12,αα进行施密特正交化可得211221123(,)11,6(,)505αβββαβββ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;将123(,,)ββα单位化,可得123,,,0γγγ⎛⎛⎪=== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令正交矩阵0⎛⎝Q =，利用正交变换x =Qy ,将123(,,)f x x x 化为标准形2314f y =；（3）令21233(,,)140f x x x y ==，则112230y k y k y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，12kk⎛⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝x=Qy=1212231605k k c c⎛⎛---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-=+-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（12,c c为任意常数）(22)(本题满分12分)设12,,,nX X X来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本，设12,,,mY Y Y来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中()0θθ>为未知数，利用样本1212,,,,,,,n mX X X Y Y Y，求θ的最大似然估计量θ∧，并求()Dθ∧.【答案】（1）1122ˆ2()2()θ==++==++∑∑n mi ji jX YnX mYm n m n；（2）2m nθ+.【解析】（1）由题意知12,,,nX X X的总体X服从1Eθ⎛⎫⎪⎝⎭，12,,,mY Y Y的总体Y服从12θ⎛⎫⎪⎝⎭E，从而X的概率密度为1e,0,()0,其他.θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩xXxf x，Y的概率密度为21e,0,()20,其他.θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩yYyf y构造最大似然函数为()1111211e e(2)θθθθθ==--∑∑=⋅mnjijiyxn mL，()1111ln ln ln(2)2θθθθθ===----∑∑n mi ji jL n x m y()2211d ln 110d 2θθθθθθ===-+-+=∑∑n mi j i j L n m x y 1122ˆ2()2()θ==++==++∑∑nmi ji j X Y nX mYm n m n （2）221ˆ()(2)2()4()nX mY D D D nX mY m n m n θ⎡⎤+==+⎢++⎣⎦；2222222221144()()44()4()n D X m D Y n m m n m n n m m nθθθ⎡⎤⎡⎤=+=⋅+⋅=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦。
《高等数学(一)》(课程代码00020)
1、函数f(x)= 与g(x)=x表示同一函数，则它们的定义域是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B2、设函数f(x)在[-a, a](a>0)上是偶函数，则f(-x)在[-a, a]上是（）∙ A.奇函数∙ B.偶函数∙ C.非奇非偶函数∙ D.可能是奇函数，也可能是偶函数参考答案：B3、∙ A.1∙ B.0∙ C.∞∙ D.2参考答案：A4、设则m=（）∙ A.∙ B.2∙ C.-2∙ D.参考答案：C5、设f(x)= ,则（）∙ A.2∙ B.∞∙ C.1∙ D.4参考答案：D6、设是无穷大量，则x的变化过程是（）∙ A.x→0+∙ B.x→0-∙ C.x→+∞∙ D.x→-∞参考答案：B7、函数在一点附近有界是函数在该点有极限的（）∙ A.必要条件∙ B.充分条件∙ C.充分必要条件∙ D.无关条件参考答案：A8、定义域为[-1，1]，值域为（-∞，+∞）的连续函数（）∙ A.存在∙ B.不存在∙ C.存在但不唯一∙ D.在一定条件下存在参考答案：B9、下列函数中在x=0处不连续的是（）∙ A.f(x)=∙ B.f(x)=∙ C.f(x)=∙ D.f(x)=参考答案：A10、设函数f(x)=，则（） , ∙ A.-1∙ B.-∞∙ C.+∞∙ D.1参考答案：C11、设总收益函数R(Q)=40Q-Q2，则当Q=15时的边际收益是（）∙ A.0∙ B.10∙ C.25∙ D.375参考答案：B12、设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f＇(0)=（）∙ A.0∙ B.1∙ C.3∙ D.3!参考答案：C13、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D14、f＇(x)<0,x∈(a, b) ，是函数f(x)在(a, b)内单调减少的（）∙ A.充分条件∙ B.必要条件∙ C.充分必要条件∙ D.无关条件参考答案：A15、函数y=|x-1|+2的极小值点是（）∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.3参考答案：B16、函数y=2ln的水平渐近线方程为（）∙ A.y=2∙ B.y=1∙ C.y=-3∙ D.y=0参考答案：C17、设f(x)在[a, b](a<b)上连续且单调减少，则f(x)在[a, b]上的最大值是( ) ∙ A.f(a)∙ B.f(b)∙ C.∙ D.参考答案：A18、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D19、设f(x)在（-∞，+∞）上有连续的导数，则下面等式成立的是（）, ∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B20、∙ A.tgxlnsinx-x+C∙ B.tgxlnsinx+x+C∙ C.tgxlnsinx-∙ D.tgxlnsinx+参考答案：A21、∙ A.-1-3ln2∙ B.-1+3ln2∙ C.1-3ln2∙ D.1+3ln2参考答案：B22、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：C23、经过变换，( )∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D24、∙ A.∙ B.-∙ C.2e ∙ D.-2e 参考答案：A25、∙ A.2 ∙ B.1 ∙ C.∞∙ D.参考答案：A26、级数的和等于 ( )∙ A.∙ B.-∙ C.5∙ D.-5参考答案：B27、下列级数中，条件收敛的是( )∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：C28、幂级数的收敛区间是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：A29、点（－1，－1，1）在下面哪一张曲面上 ( ) ∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D30、设 f(u,v)=(u+v)2，则 =( )∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B31、设，则( )∙ A.∙ B.1∙ C.2∙ D.0参考答案：A32、设，则 ( )∙ A.6∙ B.3∙ C.-2∙ D.2参考答案：B33、下列函数中为微分方程的解的是( ) ∙ A.∙ B.-∙ C.∙ D.参考答案：C34、下列微分方程中可分离变量的是( )∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B35、设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则 =( ) ∙ A.ln2∙ B.2+ln2∙ C.2∙ D.2ln2参考答案：D36、函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（）∙ A.(-1,1)∙ B.[-1,1]∙ C.[-1,0]∙ D.[0,1]参考答案：D37、设f(x)= , 则（） ,∙ A.0∙ B.1∙ C.-1∙ D.不存在参考答案：B38、设函数f(x)满足=0, 不存在, 则（） , ∙ A.x=x0及x=x1都是极值点∙ B.只有x=x0是极值点∙ C.只有x=x1是极值点∙ D.x=x0与x=x1都有可能不是极值点参考答案：D39、设f(x)在[-a,a](a>0)上连续, 则（）∙ A.0∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：C40、设供给函数S=S(p)(其中p为商品价格), 则供给价格弹性是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B41、设 ,则x=0是f(x)的（）∙ A.可去间断点∙ B.跳跃间断点∙ C.无穷间断点∙ D.连续点参考答案：A42、设函数y=f(x)在点x0的邻域V(x0)内可导，如果∀x∈V(x0)有f(x)≥f(x0)，则有（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：C43、已知某商品的成本函数为，则当产量Q=100时的边际成本为（） , ,∙ A.5∙ B.3∙ C.3.5∙ D.1.5参考答案：C44、在区间(-1,0)内，下列函数中单调增加的是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B45、无穷限积分（）∙ A.1∙ B.0∙ C.-∙ D.参考答案：D46、下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（） ,∙ A.(-1， )∙ B.(- ,5)∙ C.(0, )∙ D.( ,+参考答案：C47、设函数g (x)在x = a连续而f (x) = (x-a)g(x),则(a) =（）∙ A.0∙ B. (a)∙ C.f (a)∙ D.g (a)参考答案：D48、设函数f (x)定义在开区间Ｉ上， I,且点(x0, f (x0) )是曲线y= f (x)的拐点,则必有（）∙ A.在点(x0,f (x0))两侧,曲线y=f (x)均为凹弧或均为凸弧.∙ B.当xx0时,曲线y=f (x)是凸弧(或凹弧).∙ C.xx0时,f(x)>f(x0).∙ D.xf(x0) 而x>x0时,f(x)<f(x0).< li=""></f(x0).<>参考答案：B49、设某商品的需求函数为D(P)=475-10P-P2,则当P = 5时的需求价格弹性为（）∙∙ B.-0.25∙ C.100∙ D.-100参考答案：A50、,∙ A.-1∙ B.1∙ C.-∙ D.参考答案：B51、设，则f (x)=（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B52、下列极限存在的是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D53、曲线上拐点的个数是（）∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.3参考答案：C54、∙ A.∙ B.0∙ C.∙ D.参考答案：B55、∙ A.∙ B.-∙ C.1∙ D.-1参考答案：A56、数列的极限是（）∙ A.0∙ B.∙ C.1∙ D.不存在参考答案：C57、广义积分（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.0参考答案：B58、设函数f(x)的定义域为[0，4]，则函数f(x2)的定义域为（）∙ A.[0，2]∙ B.[0，16]∙ C.[-16，16]∙ D.[-2，2]参考答案：C59、=（）∙ A.0∙ B.1∙ C.-1∙ D.不存在参考答案：A60、设f(x)为可微函数，且n为自然数，则 =（）∙ A.0∙ B.∙ C.-∙ D.不存在参考答案：B61、设f(x)是连续函数，且f(0)=1，则（）∙ A.0∙ B.∙ C.1∙ D.2参考答案：C62、已知某商品的产量为x时，边际成本为，则使成本最小的产量是（）∙ A.23∙ B.24∙ C.25∙ D.26参考答案：B63、设f(x)=ln4,则（）∙ A.4∙ B.∙ C.0∙ D.参考答案：C64、∙ A.16!∙ B.15!∙ C.14!∙ D.0参考答案：D65、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B66、已知生产某商品x个的边际收益为30-2x，则总收益函数为（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D67、函数y=1-cosx的值域是（）∙ A.[-1,1]∙ B.[0,1]∙ C.[0,2]∙ D.(-∞,+∞)参考答案：C68、∙ A.0∙ B.1∙ C.不存在∙ D.参考答案：D69、下列各式中，正确的是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D70、下列广义积分中，发散的是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：A71、（） , ∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B72、（）∙ A.|x|≤1∙ B.|x|<1∙ C.0<|x|≤1∙ D.0<|x|<1参考答案：C73、（）∙ A.∙ B.△y=0∙ C.dy=0∙ D.△y=dy参考答案：A74、（）∙ A.0∙ B.1∙ C.-1∙ D.不存在参考答案：A75、（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D76、（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：C77、（）∙ A.[a,3a]∙ B.[a,2a]∙ C.[-a,4a]∙ D.[0,2a]参考答案：B78、（）∙ A.1∙ B.∙ C.不存在∙ D.0参考答案：D79、设D=D（p）是市场对某一商品的需求函数，其中p是商品价格，D是市场需求量，则需求价格弹性是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B80、（）∙ A.0∙ B.1∙ C.-1∙ D.参考答案：C81、（）∙ A.π∙ B.4∙ C.2π∙ D.2参考答案：C82、（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D83、（）∙ A.∙ B.5∙ C.2∙ D.参考答案：A84、∙ A.0∙ B.1∙ C.-0.5∙ D.-4参考答案：C85、下列无穷限积分中，发散的是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B86、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D87、( ) ∙ A.∙ B.∙ C.(0,1]∙ D.(0,1)参考答案：D88、∙ A.无定义∙ B.无极限∙ C.不连续∙ D.连续参考答案：D89、∙ A.必要条件∙ B.充分条件∙ C.充分必要条件∙ D.既非充分条件又非必要条件参考答案：A90、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B91、下列广义积分中，收敛的是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：C92、下列集合中为空集的是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D 93、∙ A.0 ∙ B.1 ∙ C.∙ D.-参考答案：C 94、∙ A.△x ∙ B.∙ C.∙ D.0 参考答案：D 95、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：C96、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D97、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D98、∙ A.x(x-1)∙ B.x(x+1)∙ C.∙ D.(x+1)(x-2)参考答案：B99、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：C100、∙ A.5∙ B.3∙ C.3.5∙ D.1.5参考答案：C101、在区间(-1,0)内，下列函数中单调增加的是（）∙ A.y=-4x+1∙ B.y=5x-3∙ C.∙ D.y=|x|+2参考答案：B102、∙ A.1∙ B.0∙ C.∙ D.参考答案：D103、∙ A.0∙ B.1∙ C.-1∙ D.不存在参考答案：B104、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D105、设供给函数S=S(p)(其中p为商品价格), 则供给价格弹性是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：B106、设函数y=f (x)的定义域为(1，2)，则f (ax)(a<0)的定义域是( ) ∙ A.∙ B.∙ C.(a，2a)∙ D.参考答案：B107、设f (x)=x|x|，则f ′(0)=( )∙ A.1∙ B.-1∙ C.0∙ D.不存在参考答案：C108、设f (x)是连续函数，且，则f (x)=( )∙ A.cos x—xsin x∙ B.cos x + xsin x∙ C.sin x—xcos x∙ D.sin x + xcos x参考答案：A109、函数f(x)=lnx— ln(x—1)的定义域是（）∙ A.(-1,+∞)∙ B.(0,+∞)∙ C.(1,+∞)∙ D.(0,1)参考答案：C110、极限（）∙ A.0∙ B.∙ C.∙ D.3参考答案：B111、x=0是函数f(x)= 的（）∙ A.零点∙ B.驻点∙ C.极值点∙ D.非极值点参考答案：D112、初值问题的隐式特解为（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：A113、函数f(x)=是（）∙ A.奇函数∙ B.偶函数∙ C.有界函数∙ D.周期函数参考答案：C114、函数f(x)= —x的极大值点为（）∙ A.x= —3∙ B.x= —1∙ C.x= 1∙ D.x= 3参考答案：B115、正弦曲线的一段与x 轴所围平面图形的面积为（）∙ A.1∙ B.2∙ C.3∙ D.4参考答案：B116、函数f(x)= 的定义域为（）∙ A.[-1,1]∙ B.[-1,3]∙ C.(-1,1)∙ D.(-1,3)参考答案：B117、设函数f(x)= 在x=0点连续，则k=（）∙ A.0∙ B.1∙ C.2∙ D.3参考答案：C118、曲线y=的渐近线的条数为（）∙ A.1∙ B.2∙ C.3∙ D.4参考答案：B119、设sin x 是f(x)的一个原函数，则（）∙ A.sin x+C∙ B.cos x+C∙ C.—cos x+C∙ D.—sin x+C参考答案：A120、下列反常积分收敛的是（）∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D 121、∙ A.∙ B.∙ C.∙ D.参考答案：D。
2022年4月高等教育自考考试《高等数学(一)》
2022年4月高等教育自考考试《高等数学（一）》1. 【单选题】下列函数中为偶函数的是A. x3（江南博哥）sinxB. x3|sinx|C. x3cosxD. x3|cosx|正确答案：A参考解析：2. 【单选题】设x>0，y>0，则下列等式不成立的是A. ln(x2)=2lnxB. ln(xy)=ln(x)+ln(y)C. ln(x+y)=ln(x)+ln(y)D. ln(x/y)=ln(x)-ln(y)正确答案：C参考解析：根据性质确定，也可以带入x=e，y=eln(e+e)≠ln(e)+ln(e)=23. 【单选题】A. 0B. 1C. 2D. ∞正确答案：C参考解析：4. 【单选题】A. 0B. 1/2C. 1D. 2正确答案：B参考解析：5. 【单选题】曲线y=2x2-x在x=1时的切线方程为A. y=2x-4B. y=2x-2C. y=3x-4D. y=3x-2正确答案：D参考解析：6. 【单选题】设某商品的需求函数q=35-p2，其中p，q分别是价格和需求量，则p=5时的需求价格弹性为A. -9B. -7C. -5D. -3正确答案：C参考解析：7. 【单选题】函数f(x)=x5+2x3-5在区间(-∞，+∞)上A. 单调减少B. 单调增加C. 有增有减D. 不增不减正确答案：B参考解析：8. 【单选题】曲线y=x3-6x2+10x-1的拐点为A. (2,3)B. (3,2)C. (2,5)D. (5,2)正确答案：A参考解析：9. 【单选题】A.B.C.D.正确答案：A参考解析：10. 【单选题】A. 3dx+6dyB. 6dx+3dyC. 6dx+5dyD. 5dx+6dy正确答案：D参考解析：11. 【简单计算题】求抛物线y=x2-x与直线y=x+3的交点参考解析：12. 【简单计算题】参考解析：由定义知，x=0，1，2都为间断点13. 【简单计算题】参考解析：14. 【简单计算题】参考解析：14. 【简单计算题】参考解析：15. 【简单计算题】参考解析：16. 【计算题】参考解析：17. 【计算题】设函数y=f(x2)，且f(x)满足f'(x)=arctanx，求微分dy 参考解析：18. 【计算题】参考解析：19. 【计算题】参考解析：20. 【计算题】参考解析：21. 【综合题】某商品售价为P（万元）时，市场对商品的需求量Q=f(P)=20-P （吨），产品为Q时的边际成本C'(Q)=2Q+2（万元/吨），固定成本为10（万元）（1）求总成本函数C(Q);（2）当产量Q为多少时利润最大？参考解析：22. 【综合题】设D是由曲线y=xe x与直线x=1及x轴所围成的平面图形，如图所示，求：（1）D的面积A：（2）D绕x轴旋转一周的旋转体体积V x参考解析：23. 【综合题】求函数z=x2+5y2-3xy参考解析：24. 【综合题】参考解析：。
2022年自考00020高等数学(一)核心考点资料
2.函数的性质
（1）有界性
设函数 f(x)在 D 上有定义，如果存在两个实数 m 和 M 满足条件：对 D 中所有的 x 都有不等式
m≤f(x)≤M，则称 f(x)在 D 上是有界函数，m 叫做 f(x)的下界，M 叫做 f(x)的上界.
如果对于任意 M＞0，在 D 中均存在 x，使得|f(x)|＞M,则称 f(x)在 D 上是无界函数.
限趋于”一个确定的数 A，则称函数 f(x)在 x→x0 时的极限是 A，记作
.
2.函数在一点的单侧极限
（1）函数在一点的左极限
设函数 f(x)在 x0 的左侧附近有定义，若当 x＜x0 且“无限趋于”x0 时，其对应的函数值 f(x)
“无限趋于”一个确定的常数 A，则称函数 f(x)在 x0 点的左极限是 A，记作
§1.4 函数运算
1.函数的四则运算 设函数 f(x)，g(x)都在 D 上有定义，k∈R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它 们的定义域不变（除法运算时除数为 0 的点除外），而函数值的对应定义如下： （1）加法运算(f+g)(x)=f(x)+g(x)，x∈D. （2）数乘运算(kf)(x)=kf(x)，x∈D. （3）乘法运算(fg)(x)=f(x)g(x)，x∈D.
f(x)=o(1)(x→x0).
2.无穷大量的概念
若函数
在 x→x0 时是一个无穷小量，则称函数 f(x)在 x→x0 时是一个无穷大量，记作 .
当 x 无限趋于 x0 时，若 量，记作
且无限趋于 0，则称函数 f(x)在 x→x0 时是一个正无穷大 .
当 x 无限趋于 x0 时，若
量，记作 3.无穷小量的比较
格函数.
平均收益函数为
自考公共课考试：2022 高等数学(一)真题及答案(1)
自考公共课考试：2022 高等数学（一）真题及答案(1)共68道题1、极限=（单选题）A. 0B. 1C. eD. +∞试题答案：B2、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为: （单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C3、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A4、函数y=(x-2)/(x2-3x+2)的间断点是: （单选题）A. x=1,x=-2B. x=-1,x=2C. x=-1,x=-2D. x=1,x=2试题答案：D5、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C6、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A7、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：A8、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）A. x=-2, x=3B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B9、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A10、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)= （单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A11、设∫f(x)dx=sin2x+C,则f(0)= （单选题）A. 2B. 1/2C. -1/2D. -2试题答案：A12、不定积分∫(x2cosx)＇dx= （单选题）A. 2xcosx-x<sup>2</sup>sinx+C<br />B. 2xcosx-x<sup>2</sup>sinx<br />C. x<sup>2</sup>cosx+C<br />D. x<sup>2</sup>cosx<br />试题答案：C13、极限=（单选题）A. 0B. 1C. eD. +∞试题答案：B14、某产品的成本函数C(Q)=20+2Q+1/2Q²，则Q=298时的边际成本为: （单选题）A. 100B. 200C. 300D. 400试题答案：C15、微分方程2ydy-dx=0的通解为：（单选题）B.C. y²=-x+CD. y²=x+C试题答案：D16、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x</span><sup>2D. 2x<sup>2</sup><br />试题答案：C17、下列无穷限反常积分收敛的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A18、不定积分∫(x2cosx)＇dx= （单选题）A. 2xcosx-x<sup>2</sup>sinx+C<br />B. 2xcosx-x<sup>2</sup>sinx<br />C. x<sup>2</sup>cosx+C<br />D. x<sup>2</sup>cosx<br />试题答案：C（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D20、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A21、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上: （单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A22、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是: （单选题）A. (-∞,-1]B. (-∞,1]D. [1,+∞)试题答案：D23、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D24、（单选题）A. cos(ax²+b)B. cos(at²+b)C. sin(ax²+b)D. sin(at²+b)试题答案：C25、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)= （单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D26、函数y=2x2 -4x +1的单调增加区间是: （单选题）B. (-∞,1]C. [-1,+∞)D. [1,+∞)试题答案：D27、已知x=0是函数y=asinx＋1/3sin3x的驻点，则常数a= （单选题）A. -2B. -1C. 0D. 1试题答案：B28、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B29、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：D30、函数的定义域是：（单选题）A. (-∞,-1]B. [1,+∞)C. [-1,1]D. (-∞,-1]U[1,+∞)试题答案：D31、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz= （单选题）A. 1/(x+y<sup>2</sup>) (dx+2ydy)B. 1/(x+y<sup>2</sup>) (2dx+dy)C. 1/(x+y<sup>2</sup>) (2xdx+dy)D. 1/(x+y<sup>2</sup>) (dx+2dy)试题答案：A32、已知x=0是函数y=asinx＋1/3sin3x的驻点，则常数a= （单选题）A. -2B. -1C. 0D. 1试题答案：B33、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D34、当x→0时，下列变量中与tan(x2)等价的无穷小量是：（单选题）A. xB. 2xC. x</span><sup>2D. 2x<sup>2</sup><br />试题答案：C35、设函数f(x,y)=y1nx+x2,则¶f/¶x|(2,-2)= （单选题）A. 0B. 1C. 2D. 3试题答案：D36、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D37、设函数y=x2+e2x,则二阶导数y"=2+2e2x（单选题）A. 2+2e<sup>2</sup><sup>x</sup>B. 2+4e<sup>2</sup><sup>x</sup>C. 2x+2e<sup>2</sup><sup>x</sup>D. 2x+4e<sup>2</sup><sup>x</sup>试题答案：B38、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B39、下列各式中正确的是：（单选题）A.B.C.D.试题答案：D40、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B41、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C42、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e<sup>-1</sup>)<br />C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D43、设函数y=x2+e2x,则二阶导数y"=2+2e2x（单选题）A. 2+2e<sup>2</sup><sup>x</sup>B. 2+4e<sup>2</sup><sup>x</sup>C. 2x+2e<sup>2</sup><sup>x</sup>D. 2x+4e<sup>2</sup><sup>x</sup>试题答案：B44、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x<sup>2/3</sup>+CB. 3/2x<sup>2/3</sup>+CC. 2/3x<sup>3/2</sup>+CD. 3/2x<sup>3/2</sup>+C试题答案：C45、函数y=(x-2)/(x2-3x+2)的间断点是: （单选题）A. x=1,x=-2B. x=-1,x=2C. x=-1,x=-2D. x=1,x=2试题答案：D46、微分方程sinxdx+cosydy=0的通解为：（单选题）A. cosy+sinx=CB. cosy-sinx=CC. siny+cosx=CD. siny-cosx=C试题答案：D47、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：B48、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)= （单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D49、设函数z=sin(2x+3y)，则全微分dz|(0,0)= （单选题）A. dx+dyB. 2dx+2dyC. 3dx+2dyD. 2dx+3dy试题答案：D50、下列无穷限反常积分收敛的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A51、若f＇(x)=x1/2，则f(x)=（单选题）A. 2/3x<sup>2/3</sup>+CB. 3/2x<sup>2/3</sup>+CC. 2/3x<sup>3/2</sup>+CD. 3/2x<sup>3/2</sup>+C试题答案：C52、方程x²+x-6=0的根是：（单选题）B. x=2, x=-3C. x=2, x=3D. x=-2, x=-3试题答案：B53、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x<sup>1/3</sup>D. y=2<sup>x</sup>试题答案：C54、设函数f(x)=x2，g(x)=tanx，则当x→0时，（单选题）A. f(x)是比g(x)高阶的无穷小量B. f(x)是比g(x)低阶的无穷小量C. f(x)是比g(x)是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D. f(x)是比g(x)是等价无穷小量试题答案：A55、微分方程2ydy-dx=0的通解为：（单选题）A.B.C. y²=-x+CD. y²=x+C试题答案：D56、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (e<sup>x</sup>-e<sup>-x</sup>)/2D. |x|试题答案：C57、下列函数中在点x=0处导数不存在的是：（单选题）A. y=sinxB. y=tanxC. y=x<sup>1/3</sup>D. y=2<sup>x</sup>试题答案：C58、函数y=2x+1的反函数是：（单选题）A. y=x/2+1/2B. y=x/2-1/2C. y=x/2+1D. y=x/2-1试题答案：B59、若极限，则常数k=（单选题）A. 1B. 2C. 3D. 4试题答案：B60、若曲线y=x-e x在点(x0,y0)处的切线斜率为0,则切点(x0,y0)是：（单选题）A. (1,1-e)B. (-1,-1-e<sup>-1</sup>)<br />C. (0,1)D. (0,-1)试题答案：D61、下列函数中为奇函数的是：（单选题）A. (1+x²)/(1-x²)B. sin(x²)C. (e<sup>x</sup>-e<sup>-x</sup>)/2D. |x|试题答案：C62、设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则下列等式正确的是:（单选题）A.B.C.D.试题答案：A63、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C64、设函数z=ln(x+y2), 则全微分dz= （单选题）A. 1/(x+y<sup>2</sup>) (dx+2ydy)B. 1/(x+y<sup>2</sup>) (2dx+dy)C. 1/(x+y<sup>2</sup>) (2xdx+dy)D. 1/(x+y<sup>2</sup>) (dx+2dy)试题答案：A65、（单选题）A. AB. BC. CD. D试题答案：C66、设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f＇(x)<0,>0,则在[a,b]上: （单选题）A. f(x)>0B. f(x)<0C. f(x)=0D. f(x)的值有正有负试题答案：A67、函数y=x5+1在定义域内：（单选题）A. 单调增加B. 单调减少C. 不增不减D. 有增有减试题答案：A68、曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程为（单选题）A. y=1B. y=xC. y=x+1D. y=x-1试题答案：C。
2022年高等数学1一考试复习试题及答案
《高等数学(一) 》复习资料一、选择题1. 若23lim53xx x kx，则k （）A. 3B.4 C.5 D.62. 若21lim21x xkx ，则k（）A. 1B.2C.3 D.43. 曲线3sin 1xy ex 在点（0，2）处的切线方程为( )A.22yxB.22yxC.23yxD.23yx4. 曲线3sin 1xy ex 在点（0，2）处的法线方程为( )A.122yxB.122yxC.132yxD.132yx5. 211limsin x xx( )A.0B.3C.4 D.56.设函数0()(1)(2)x f x t tdt ，则(3)f =（）A 1 B2 C3 D47. 求函数43242yxx的拐点有（）个。
A 1B 2C 4D 0 8. 当x时，下列函数中有极限的是（）。
A.sin xB.1xe C.211x xD. arctan x9.已知'(3)=2f ，0(3)(3)lim2h f h f h ( )。
A.32B. 32C.1D. -110. 设42()=35f x xx,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]上的（）。
A.极小值B. 极大值C. 最小值D. 最大值11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f 则()f x 在(1,2)内()A.至少有两个零点B. 有且只有一个零点C. 没有零点D. 零点个数不能确定12.[()'()]f x xf x dx().A.()f x CB. '()f x CC. ()xf x CD. 2()f x C13.已知22(ln )y f x ，则y( C )A.2222(ln )(ln )f x f x xB.24(ln )f x xC.224(ln )(ln )f x f x xD.222(ln )()f x f x x14.()df x =( B) A.'()f x C B.()f x C.()f x D.()f x C15.2ln x dxx( D ) A.2ln x xC B.ln x C xC.2ln x C D.2ln xC16. 211limln x xx( )A.2B.3C.4 D.517. 设函数0()(1)(2)x f x t tdt ，则(2)f =（）A 1B 0 C2 D218. 曲线3yx 的拐点坐标是( )A.(0,0)B.( 1,1)C.(2,2)D.(3,3)19.已知(ln )y f x ，则y ( A )A.(ln )f x xB.(ln )f xC.(ln )f x D.(ln )f x x20. ()d df x ( A)A.()df x B.()f x C.()df x D.()f x C21. ln xdx ( A )A.ln x xxC B.ln xx C C.ln xx D.ln x二、求积分（每题8分，共80分）1．求cos sin x xdx．2. 求343ln x dx x．3. 求arctan xdx ．4. 求3e xdx5. 求2356x dx xx．6. 求定积分831dx x．7. 计算2cos x xdx ．8. 求2128dx xx ．9. 求312dxx ．11. 求2212xxe dx12. 求2333xx dx13. 求21ln ex dxx14.求23x x dx三、解答题1. 若21lim 316xxaxx ,求a2.讨论函数321()2333f x xx x的单调性并求其单调区间3. 求函数22()2xx f x x的间断点并确定其类型4. 设2sin ,.xyxy xe y 求5. 求35(1)2(3)x x yx 的导数．6. 求由方程cos sin x a t y b t确定的导数x y .7. 函数1,0()1,0tan ,0xe xf x xx x在0x 处是否连续？8. 函数1,0()1,0tan ,0xe xf x xx x在0x 处是否可导？9.求抛物线2yx 与直线yx 所围成图形D 的面积A .10.计算由抛物线22y x 与直线4y x 围成的图形D 的面积A .11. 设y 是由方程sin yyyxe 确定的函数，求y12.求证：ln 1,1xx x13. 设y 是由方程1yy xe 确定的函数，求y14.讨论函数32()29123f x xxx 的单调性并求其单调区间15.求证：21,xe x 16. 求函数3(1)()x x f x xx的间断点并确定其类型五、解方程1. 求方程0)(22dyxy x dx y 的通解.2.求方程20yyy的通解.3. 求方程22y y y x 的一个特解. 4. 求方程3595xyyyxe的通解.高数一复习资料参考答案一、选择题1-5：DABAA 6-10：DBCDD 11-15：BCCBD 16-21：ABAAAA 二、求积分1．求cos sin x xdx．解：33222cos sin sin (sin )sin sin 33x xdx xd x xCxC2. 求343ln x dx x．解：13343ln (43ln )(ln )x dx x d x x131(43ln )(43ln )3x d x 431(43ln )4x C ．3. 求arctan xdx ．解：设arctan ux ，dvdx ，即v x ，则a r c t a n a r c t a n (a r c x d x x x x d x 2arctan 1x x x dx x 21arctan ln(1)2x xx C ．4. 求3e xdx解：332222e e 33e 3e3e 23e6e xt tttttx tdxt dtt dtt tdtt t dt223e6e6e 3e6e6ettttttt t dt t t C33233e (22)x xxC ．5. 求2356x dx xx ．解：由上述可知23565623x xxx x ，所以2356()5623x dx dx xx xx 115623dx dxx x 5ln 26ln 3xx C ．6. 求定积分831dx x．解：令3x t ，即3xt ，则23dxt dt ，且当0x时，0t；当8x 时，2t ，于是282223313ln(1)3ln3121dx t dt tt t tx．7. 计算2cos x xdx ．解：令2ux ，cos dvxdx ，则2du xdx ，sin vx ，于是222cos sin (sin )2sin 2sin x xdxx d xx x x xdx x xdx ．再用分部积分公式，得2cos 2cos 2(cos )cos x xdxxd xx x xdx2(cos )sin 2x x x．8. 求2128dx xx ．解：221113(1)(1)ln28(1)963(1)x dx d x Cxx x x 12ln 64x C x．9. 求312dx x ．解：令32ux ，则32xu，23dx u du ，从而有22331131112dx uudu duuux 213(1)3(ln 1)12uu duu u Cu11. 求2212x xe dx解：2222222411112x x x xe dxe dxeee12. 求2333x x dx解：32333322333(3)(3)3x x dx x d x x C13. 求21ln ex dxx解：22111ln 111ln (ln )ln ln 333eeex dxxd x xex14.求23x x dx解：332222222112133(3)(3)(3)2233x x dxx d x x Cx C三、解答题1. 若21lim 316x x axx ,求a 解：因为2222913131x axx xax x xaxx ，所以9a否则极限不存在。
自考高等数学一教材全解
自考高等数学一教材全解高等数学一是大多数自考学生必须要通过的一门重要的数学课程。
本文将对《高等数学一》教材进行全面解析，帮助自考学生更好地理解和掌握这门课程的知识点。
一、函数与极限1. 函数的概念与性质函数是研究数与数之间的映射关系的工具。
本章将介绍函数的定义、性质以及常见的函数类型，例如多项式函数、指数函数和对数函数等。
2. 三角函数与反三角函数三角函数是数学中重要的函数之一，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
本章将详细介绍三角函数的性质以及它们的图像变换规律，同时讲解反三角函数的定义与应用。
3. 一元函数的极限极限是函数研究中的核心概念之一，本章将详细介绍一元函数极限的定义、性质以及计算方法。
同时，会讲解极限的应用，如利用极限求函数的渐近线和函数的连续性等。
4. 函数的连续性连续性是函数研究中的重要概念，本章将深入探讨函数的连续性以及连续函数的性质。
此外，会介绍函数极限存在性与连续性的关系，并结合具体例子进行讲解。
二、导数与微分1. 导数的概念与基本性质导数是描述函数变化率的重要工具，本章将详细介绍导数的定义、性质以及计算方法。
同时，会解答常见的导数计算题目，并讲解导数的几何意义。
2. 不定积分与定积分积分是导数的逆运算，也是数学中的重要工具之一。
本章将介绍不定积分与定积分的概念、性质以及计算方法。
同时，会讲解定积分在几何和物理问题中的应用。
3. 微分学基本定理与导数应用微分学基本定理是微积分的重要定理之一，本章将对微分学基本定理进行详细解析，并结合具体例子进行讲解。
此外，会介绍导数在最值问题、曲线图形和函数作图等方面的应用。
三、一元函数的积分学1. 定积分的计算方法与应用定积分是积分学中的重要内容，本章将介绍定积分的计算方法，如换元积分法、分部积分法以及定积分的性质。
同时，会讲解定积分在几何和物理问题中的应用。
2. 反常积分与无穷级数反常积分和无穷级数是一元函数积分学的扩展内容，本章将详细讲解反常积分的概念、性质以及计算方法。
2022年高等数学课程考试试卷及答案
《高等数学1（一）》课程考试试卷(A 卷参考答案)注意：1、本试卷共3页； 2、考试时间:120分钟；3、姓名、学号必须写在指定地方。
一. 单项选择题，请将答案填入题后的方括号内(每小题2分， 共20分)1．与函数()f x =相同的函数是[ C ].A ．lnxB ．21()2ln x C ．lnx D ．ln x2．若(1)(2)(3)(4)(5)lim(32)x x x x x x x αβ→∞-----=-，则α与β的值为[ D ].A ．11,3αβ==B ．15,3αβ==C ．511,3αβ==D ．515,3αβ==3．设函数()y f x =在点0x 处可导，dy 为()f x 在0x 处的微分，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆时， 极限0lim x y dyx∆→∆-∆等于[ B ]. A ．－1 B ．0 C ．1 D ．∞4．若()f x 在x a =的某个邻域内有定义，则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是[ D ].A ．1lim [()()]h h f a f a h →+∞+-存在 B ．0(2)()limh f a h f a h h→+-+存在C ．0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 D ．0()()lim h f a f a h h→--存在5．已知函数1sin ,0(),0x x f x xax b x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞内连续，则a 与b 等于[ C ].A ．1,1a b ==B ．0,a b R =∈C ．,0a R b ∈=D ．,a R b R ∈∈6．若函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则下列结论中正确的是[ B ].A ．3,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极小值点B ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极小值点C ．1,0a b =-=，且1x =为函数()f x 的极大值点D ．0,3a b ==-，且1x =为函数()f x 的极大值点7．设1()1f x x=-，其n 阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项()n R x 等于[ C ]. A ．11,(01)(1)(1)n n x n x θθ++<<+- B ．11(1),(01)(1)(1)n n n x n x θθ++-<<+-C ．12,(01)(1)n n x x θθ++<<- D ．11(1),(01)(1)n n n x x θθ++-<<-8．若sin 2x 为函数()f x 的一个原函数，则()xf x dx ⎰等于[ D ].A ．sin 2cos2x x x C ++B ．sin 2cos2x x xC -+C ．1sin 2cos 22x x x C -+D ．1sin 2cos 22x x x C ++9．若非零向量,,a b c 满足0a b ⋅=与0a c ⨯=，则b c ⋅等于[ A ]. A ．0 B ．－1 C ．1 D ．310．直线2020x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面1x y z ++=的位置关系是[ C ].A ．直线在平面内B ．平行C ．垂直D ．相交但不垂直二．填空题(每小题2分，共10分)1．一质点作直线运动，其运动规律为426s t t t =-+，则速度增加的时刻t =1 .2．若21arctan (1)2y x x ln x =-+，则dy =arctan xdx .3．已知21adx xπ+∞-∞=+⎰，则a = 1 . 4．已知()x f x e =，则()f lnx dx x'=⎰ x C + . 5．设向量,,m n p 满足0m n p ++=，且6m =，8n =，10p =，则m n n p p m ⨯+⨯+⨯= 144 .三．求解下列各题（每小题5分，共10分)1．11lim(1)21n n n +→∞-+ 解：原式=((21)(1)1)/21lim(1)21n n n -+-+→∞-+ 2 =(21)(1/2)(1/2)11lim(1)lim(1)2121n n n n n -+-→∞→∞-⋅-++ 41/2e -= 52．20(13)lim (sec cos )x ln x x x →+-解：原式=203cos lim (1cos )(1cos )x x xx x →-+ 2=2023cos lim1(1cos )2x x x x x →+ 4=6 5四. 求解下列各题（每小题6分，共12分)1．若方程arctan 1xy y e =+确定了y 是x 的函数，求函数y 的微分dy . 解：原方程两边同时对x 求导，有2()1xyy e y xy y ''=++ 则22(1)1(1)xyxy y y e y x y e +'=-+ 4 则22(1)1(1)xyxyy y e dy dx x y e+=-+ 62．设参数方程21cos x t y t ⎧=+⎨=⎩确定了y 是x 的函数，求22d ydx .解：sin 2dy tdx t-= 3222cos sin 122t t td y t dx t-=- 5 3sin cos 4t t tt -=6五．求解下列各题（每小题6分，共18分)1．222()lnxdx xlnx +⎰ 解：原式=212()()d xlnx xlnx ⎰ 42C xlnx-=+ 6 2．222max{,}x x dx -⎰解：原式=01222201x dx xdx x dx -++⎰⎰⎰ 4323012201[][][]323x x x -=++ 5=11/2 63．设21sin ()x tf x dt t=⎰，求10()xf x dx ⎰解：21100()()()2x xf x dx f x d =⎰⎰ 2221100[()](())22x x f x d f x =-⎰ 422112200sin 02sin 2x x xdx x x dx x=-=-⎰⎰ 2101[cos ]2x =cos112-= 6六. （本题10分）y已知星形图所示，其中0a >， a1） 计算星形线的全长；a - 0a x2） 求星形线与坐标轴所围成图形的面积.解：1）长度 4L =⎰ 2 a - 4=⎰46a = 52）面积024202443sin cos aS ydx a t tdt π==-⎰⎰ 8242212sin cos at tdt π=⎰238a π= 10七. （本题7分）已知某直角三角形的边长之和为常数，求该直角三角形面积的最大值. 解：设两直角边与斜边分别为,,x y z ，其和为常数k ，所求面积为S因x y z k ++=及222x y z +=，则222()kx k y x k -=- 3则221224()kx xk S xy x k -==-，且222(24)()4()k x kx k S x x k -+'=-有驻点x = 5则22max34S k -==为所求 7八. （本题7分）求过点(2,1,3)M 且与直线11321x y z+-==-垂直相交的直线方程. 解：记直线111:321x y zL +-==-，设过点(2,1,3)M 且垂直相交于直线1L 的平面为π则平面π方程为3(2)2(1)(3)0x y z -+---= 2令11321x y zt +-===-则13,12,x t y t z t =-+=-+=- 代入平面π得3/7t =，即交点为2133(,,)777A - 4以12624(,,)777MA --=为所求直线的方向向量得到所求直线为：213214x y z ---==- 7九. （本题6分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上连续且0()1f x <<，试判断方程02()1xx f t dt -=⎰在(0,1)内有几个实根，并证明你的结论.证：记0()2()1xg x x f t dt =--⎰则10(0)10,(1)1()0g g f t dt =-<=->⎰ 2且0()1f x <<知()2()0g x f x '=->，即在闭区间[0,1]上单调增加4故02()1xx f t dt -=⎰在(0,1)内有一个实根6。
302数学 考试范围 参考书目
302数学考试范围参考书目
302数学考试范围包括高等数学和线性代数两部分。
高等数学部分主要包括函数与极限、导数与微分、定积分、不定积分等内容。
线性代数部分主要包括向量与矩阵、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、线性空间与线性变换等内容。
参考书目方面，高等数学部分可以参考《高等数学（上）》，线性代数部分可以参考《线性代数》。
这两本书都是302数学二的指定教材，有助于系统学习数学中的基本概念、基本理论和基本方法，掌握基本的计算技巧，培养数学思维能力和解决实际问题的能力。
以上信息仅供参考，建议查阅302数学考试大纲或者咨询相关专业人员以获取准确的信息。
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《高等数学(1)》期末复习指导第一部份 课程考核说明1、考题类型及比重考题类型及分数比重大致为：填空题(24%)；单项选择题(24％)；计算题(32％)；应用题 (20％)。
第二部份 期末复习要求第1章 函数一、重点掌握1．函数概念，函数的两要素−−定义域和对应关系，会判断两函数是否相同； 2．求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值； 3．六类基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形； 二、一般掌握1．函数的主要性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性），知道它们的几何特点； 2．复合函数概念，会对复合函数进行分解； 3．初等函数的概念；4．分段函数概念，求分段函数定义域和函数值的方法； 5．会列简单应用问题的函数关系式。
第2章 极限与连续一、重点掌握1．极限的概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道数列极限的“ε－Ｎ”定义和函数极限的描述性定义，会求左右极限； 2．极限的四则运算法则，两个重要极限，求简单极限的常用方法； 二、一般掌握1．无穷小量的概念，无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；2．函数连续性的定义，函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，会判断函数在某点的连续性； 3．函数间断点的概念，会求函数的间断点，会判别函数间断点的类型；4．“初等函数在定义区间内连续”的结论，知道闭区间上的连续函数的几个性质；第3章 导数与微分一、重点掌握1．熟记导数与微分的基本公式，导数与微分的四则运算法则； 2．复合函数的求导法则；3．隐函数的微分法，取对数求导数的方法； 二、一般掌握1．理解导数与微分概念（微分用d d y y x ='定义），导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程，知道可导与连续的关系；2．知道一阶微分形式的不变性；3．高阶导数概念，掌握求显函数的二阶导数的方法．第4章 导数的应用一、重点掌握1．洛比塔法则，能用它求“0”、“∞∞”型不定式极限； 2．用一阶导数求函数单调区间、极值与极值点（包括判别）的方法，可导函数极值存在的必要条件，知道极值点与驻点的区别与联系；3．用二阶导数求曲线凹凸（包括判别）的方法，会求曲线的拐点； 4．求解一些简单的实际问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主． 二、一般掌握1．拉格朗日中值定理的条件和结论，会用拉格朗日定理证明简单的不等式； 2．会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线；第5章 不定积分一、重点掌握1．积分基本公式和直接积分法； 2．第一换元积分法和分部积分法； 3．第二换元积分法． 二、一般掌握理解原函数与不定积分概念，不定积分的性质以及积分与导数（微分）的关系；第6章 定积分及其应用一、重点掌握1．牛顿—莱布尼兹公式；2．定积分的换元积分法和分部积分法；3．会用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积（直角坐标系）和绕坐标轴旋转生成的旋转体体积． 二、一般掌握1．定积分概念（定义、几何意义）和定积分的性质；2．原函数存在定理，知道变上限的定积分，会求变上限定积分的导数； 3．无穷积分收敛性概念，会判断无穷积分的收敛性或计算无穷积分；第7章 级数一、重点掌握1．正项级数收敛性的比值判别法； 2．知道几何级数和p -级数收敛的条件；3．理解幂级数收敛半径概念，求收敛半径的方法； 4．会求收敛区间．二、一般掌握1．级数收敛与发散概念及其主要性质； 2．级数收敛的必要条件；第8章 常微分方程一、重点掌握1．变量可分离微分方程的解法； 2．一阶线性方程的解法；3．特征方程和特征根概念，求二阶线性常系数齐次微分方程通解的特征根法； 二、一般掌握1．微分方程，阶，解（特解、通解），线性，初值问题等概念；2．二阶线性常系数非齐次方程（特殊自由项）的特解待定系数法，能求此类方程的通解．第三部份 综合练习题一、填空题 1．函数yx x x =--+-1642ln()的定义域为（—∞，—2）∪（3，4）。
2．函数y x x =-++321arcsin()的定义域为_[—1，0]_。
3.设13)2(-=x x f ，且4)(=a f ，则 a =310。
4．已知)x (f + )y (f = )z (f ,如果)x (f =1x ,则 z = yx xy + 。
5．若11)(2+=x x f 则 )1(x f = 122+x x。
6．曲线y e x =上与直线 x y =平行的切线方程为 x-y+1=0 。
7．曲线22-+=x x y 在点_ (1,0) _处的切线与直线13+=x y 平行。
8．极限94123lim 22++-+∞→n n n n n =43 。
9．xx x 2)1(lim -→=2-e 。
10．xe x x x 1sin 1lim0+→=_____0____。
11．___1__cos lim=⎰→xtdt xx ．12．设509920)(x x x f +=，则)()100(x f =_____0_____。
13．若f x x xx kx ()sin =≠=⎧⎨⎪⎩⎪300则当k = ＿＿3＿＿时, )x (f 是连续函数。
14．设函数f x ()在(,)a b 内连续,且'=''=f x f x ()()000,则函数f x ()在x x =0处___可能取得极值,也可能有拐点____。
15．若__0lim x x →f(x)=0_，则称变量f x x x ()()→0为无穷小量。
16．可微函数f x ()在x x =0取得极值,则函数)(0x f '=__0___。
17．21x y -=的向上凸区间是____(-∞,+∞) 。
18．函数3322---=x x x y 的间断点是 x=3 .19．已知⎰+-=-c e dx x f x 221)(,则f x ()= x 2x e -20．已知f x dx e c x ()=-+-⎰122,则f x ()= x 2x e - 。
21．微分方程()d y dx dydx xy 22231-+=是 二 阶微分方程。
22．微分方程1)(34222=+-xy dx dy x dxy d 是 二 阶微分方程。
23．微分方程02=+'-''y y y 的通解为 y = (+1c )2x c x e 。
24．二阶方程032=-'-''y y y 的通解是 y = 1c x e - + 2c x e 3 。
25．已知f x dx e c x ()=-+-⎰122,则f x ()= x 2x e - 。
26．若⎰+-=c x dx x f cos )(，则)()(x f n = sin()2x n +π。
27．已知c x dx x f +-=⎰2)(，则⎰'dx x f x )(=241x +c 。
28．[()]df x dx dx⎰= )(x f 。
29．'⎪⎭⎫⎝⎛+⎰10211dx x =___0______。
30．若函数f x ()在[,]-a a 上连续,且f x f x ()()-=-,则⎰-=aadx x f )(＿0＿。
31．设f x te dt t xa()=⎰ 则)(x f ' - x xe。
32．若函数f x ()在[,]-a a 上连续,且)()(x f x f -=-,则f x dx aa()=-⎰ 0 。
33．在区间]2,0[π上，曲线x y sin =和x 轴所围图形的面积为 4 。
34．幕函数n xn n x ∑+=02的收敛半径是21 。
35．函数2xey -=的麦克劳林级数是∑=xn 0nn x !)2( 。
36．∑=xn nu和∑=xn nv0为两无穷项级数，若∑=xn nu和∑=xn nv皆收敛，则∑=+xn n nv u)(收敛 。
37．若正项级数∑∞=1n na收敛，则=∞→nn a lim 0 ．二、单项选择题1．下列每组函数中，( C )中的两个函数是相等的。
A ．2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==B ．x x g x x f ==)(,)(2C ．xx x g xx x x f 323341)(,)(-=-=D ．1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f2．下列函数对中，属于相同的是（ C ）。
A ．x x f cos )(=，x x g 2sin )(=B ．31)(-=x x f ，xx x x g 334)(-=C ．1)(=x f ，x x x g 22cos sin )(+=D ．1)(=x f ，xx x g =)(3．若函数 )(x f y =在定义域内有0)(,0)(<''>'x f x f ,则(A )。
A ．)(x f 单调增加且曲线)(x f y =是凸的B ．)(x f 单调减少且曲线)(x f y =是凸的C ．)(x f 单调增加且曲线)(x f y =是凹的D ．)(x f 单调减少且曲线)(x f y =是凹的4．函数xx y -+=21)ln(ln 的定义域是（ A ）。
A ．)2,1(B ．)2,0(C ．]2,1(D ．]2,1[ 5．)(1)1sin(lim21D x x x =--→。
A ．0B ．2C ．1D ．216．xx x 10)1(lim -→=（ B ）。
A ．eB ．1-e C ．e - D ．17.当0→x 时，下列变量中是无穷小量的是（C ）。
A ．x 1B.xx sin C. 1-xe D.2x x8．当x →0时,变量x +-11与(A )是同阶无穷小量。
A ．xB ．x 2C ． x 3D ．x 49．设函数)x (f 是在(a,b)内连续，x a b 0∈(,)且f x f x '()"()000==，则函数在x x =0处( D )。
A ．取得极小值B ．得极大值C ．一定有拐点D ．可能取得极值,也可能有拐点。
10．若函数f x ()在[,]a b 上连续,在(a,b)内可微,则至少有一点ξ∈(a,b),使得（ A ）成立。
A ．f b f a f b a ()()()()-='-ξB ．f b f a f a b ()()()()-='-ξC ．'=f ()ξ0D ．''=f ()ξ011．设)(x f '存在，))((sin x f f y =，则dxdy =（ D ）。
A ．)(sin )())((sin x f x f x f f ''B ．)())((cos x f x f f ''C ．)())((sin x f x f f ''D ．)(cos )())((sin x f x f x f f ''12．设函数|1|)(-=x x f ，则)(x f 在1=x 处的导数是（B ）。