高二数学选修11第三章导数综合练习(1)
高中数学(选修1-1)单元测试-第三章导数及其应用(一)
称点 ( x0, f ( x0)) 为函数 y f (x) 的“拐点”。现已知 f ( x) x3 3x2 2x 2 , 请解答
下列问题 :
（ 1）求函数 f (x) 的“拐点” A 的坐标 ;
（ 2）求证 f ( x) 的图象关于“拐点” A 对称 ; 并写出对于任意的三次函数都成立的有关
“拐点”的一个结论（此结论不要求证明） .
。
13. 设 P 为曲线 C： y x2 2x 3 上的点， 且曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范围
为 0， ，则点 P 横坐标的取值范围为
- 1，-1
.
4
2
14．设函数 f ( x) 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数， 则曲线 y f (x) 在 x 5
处
的切线的斜率为
0
15. 已知直线 x+2y－ 4=0 与抛物线 y2=4x 相交于 A、B 两点， O 是坐标原点， P
f (x) ， ) 上是增函数 . x1 0, x2 0 时，
y
y
y
y
y
O
xO
xO
x
O
xO
x
A
B
8、对于 R 上可导的任意函数
（C ） A、f （0）＋ f （ 2） 2f （ 1） C、f （0）＋ f （ 2） f ' (1) 0 若满足（ x－ 1） f （ x）>0，则必有
B
、f （0）＋ f （ 2） 2f （ 1）
16、[解析 ]（1） f ( x) 3x2 6x 2， f ( x) 6x 6.令 f ( x) 6x 6 0 得 x 1 ， f (1) 13 3 2 2 2 . 拐点 A(1, 2)
（ 2 ）设 P( x0 , y0) 是 y f (x) 图象上任意一点，则
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(包含答案解析)
一、选择题1．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B 5C ．55D ．63．已知：函数()cos f x x x =，其导函数()cos sin f x x x x '=-.若函数()g x 的导函数()sin g x x x '=，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()g π的值为（ ）A ．-1B ．1C ．1π-D ．1π+4．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'10f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'1n n f x f x +=，n N ∈，那么()2020f x =（ ）A ．cos sin x x -B ．sin cos x x -C ．sin cos x x +D ．sin cos x x --5．若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +126．已知函数()2bf x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭N 的前n项和是（ ） A ．1nn + B ．()121n n -+C ．()22nn +D ．()()12nn n ++7．已知函数2()2(0)f x x x a x =++<，点1122(,())(,())A x f x B x f x 、为函数()f x 图象上两点，且过A B 、两点的切线互相垂直，若12x x <，则21x x -的最小值为（ ） A ．1 B ．12C ．32D ．28．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则ab =（ ）A ．13 B ．13-C ．3D ．-39．已知函数1()1x e f x x -=+，则函数()f x 在1x =处的切线方程为（ ）A ．410x y -+=B ．410x y ++=C ．0x y -=D ．430x y -+=10．已知函数()1,0,3,0.x e a x f x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩（a R ∈），若方程()20f x -=恰有3个不同的根，则a 的取值范围是( ) A ．(,0)-∞ B ．(,1)-∞ C ．(,0]-∞ D ．(,1]-∞11．若直线l 与函数()x f x e =和()ln 2g x x =+的图象都相切，则k =（ ） A ．2或e B ．1或e C ．0或1 D ．e 12．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax +lnx 相切，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．曲线sin 2cos 1y x x =+-在点,02π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为_________．14．已知函数2()2ln f x x x =-，则()f x 在()()1,1f 处的切线方程_____________.15．已知函数()ln x ax f x x-=，若有且仅有一个整数k ，使()()20f k f k -⎤⎣⎦>⎡，则实数a 的取值范围是__________．16．若倾斜角为α的直线l 与曲线3y x =相切于点()1,1，则2cos sin2αα-的值为_____. 17．曲线y=sin2x 在点（0，0）处的切线方程为______．18．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是_____. 19．若函数()()3'2211f x x f x =++，则f(-1)=____.20．已知点P 在曲线41xy e =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则tan α的取值范围是________.三、解答题21．已知函数()ln f x x x a =+在0x x =处的切线方程为2y x e =-. （1）求实数a 及0x 的值; （2）若1()()kg x f x x x x=--有两个极值点,求实数k 的取值范围. 22．已知曲线31433y x =+ （1）求曲线在点(2,4)P 处的切线方程；（2）求曲线过点(2,4)P 的切线方程 23．设函数()()32xf x x e e =--.（1）求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当1x ≥时，()(1)f x a x ≤-，求a 的取值范围. 24．已知函数3()2f x x x =+-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(2,8)处的切线方程；（Ⅱ）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标.25．已知函数()243f x ax ax b =-+，()()12,11f f '==。
(压轴题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知函数()()xx af x e a R e=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x = 2．直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ） A ．-1B ．eC ．ln 2D ．13．已知函数()3213f x x bx =+在()()1,1A f 点处的切线与直线210x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬'⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ）A ．20192020B ．20192021C ．20202021D ．202120224．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e5．若直线l 与曲线yx 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12 C ．y =12x +1 D ．y =12x +126．已知,01,()11,1.x e x f x e x e x⎧<⎪=⎨+-<⎪⎩若方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解，则实数k的取值范围是（ ）A ．(0,]eB ．21,e e e -⎛⎤⎥⎝⎦C ．11,4e e-⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．211,4e e -⎛⎤-⎥⎝⎦7．函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ）A ．-2B ．2C ．12-D ．128．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞9．若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()2cos f x x = B ．()32f x x x =+C ．()sin cos 1f x x x =⋅+D ．()xf x e x =+10．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2009S 的值为（ ）A ．20072008 B ．20092010 C ．20082009D ．2010201111．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ）A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--12．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0B ．4C ．0或-4D ．0或4二、填空题13．若直线y kx b =+是曲线ln y x =的切线，也是曲线2x y e -=的切线，则k =________. 14．已知直线()()20y a x a =+> 与函数cos y x =的图像恰有四个公共点()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y ,()44,D x y ,其中1234x x x x <<<,则441tan x x +=________． 15．已知函数()()1,1ln ,1x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，若方程()=f x ekx 恰有两个实数解，其中e 是自然对数的底数，则实数k 的取值范围为________．16．曲线()12f x x x=-在点()()1,1f 处的切线与圆222x y R +=相切，则R =______． 17．曲线y ＝2ln （x +2）在点（﹣1，0）处的切线方程为_____.18．函数()ln f x x x =在x e =处的切线方程是____.(其中e 为自然对数的底数)19．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为___________．20．若函数()xxf x e ae -=+的导函数是奇函数,并且曲线()y f x =的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标是___． 三、解答题21．已知函数31(),3f x x ax a a =-+∈R . （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点（0，1）处的切线方程；（2）求函数()y f x =的单调区间. 22．已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+a （a ∈R ）．（1）若f （x ）的图象在（1，f （1））处的切线经过点（0，2），求a 的值；（2）若对任意x 1∈[0，2]，都存在x 2∈[2，3]使得f （x 1）+f （x 2）≤2，求实数a 的范围．23．已知函数()2()1xf x eax=+，其中12a >. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率；（2）记函数()()xg x f x xe =+的极大值为M ，若1M >，求实数a 的取值范围.24．设抛物线2:4C x y =的焦点为F ，P 为直线:2l y =-上的动点，过P 作C 的两条切线，切点分别为,M N .（1）若P 的坐标为()0,2-，求MN ； （2）证明：2PFMF NF =⋅.25．函数()()1ln xf x e x a =---．（Ⅰ）若函数()f x 在点()2(2)f ，处的切线过点()1,0，求a 的值； （Ⅱ）若不等式()0f x >在定义域上恒成立，求a 的取值范围． 26．已知函数322()2(63)1216f x x a x ax a =-+++.（1）若11a -≤≤，曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线经过点0(0,)y ，求0y 的最小值；（2）若()f x 只有一个零点0x ，且00x <，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1()xx f x e e=-，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】由题意，因为函数()()xxa f x e a R e =+∈为奇函数，则()000a f e e =+=，解得1a =-，即1()xx f x e e =-，则1()x x f x e e +'=，所以1(0)2f e e '=+=，即2k =， 且当0x =时，01(0)0f e e =-=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2．D解析：D 【解析】切线的斜率为1，令11,1y x x==='，故切点为()1,1，代入曲线方程得1a =. 3．C解析：C 【分析】由(1)2f '=得出2()f x x x '=+，进而得出111()1f n n n =-'+，利用裂项相消求和法得出答案. 【详解】由题意可得(1)2f '=，()22f x x bx '=+，则122b +=，12b =2()f x x x '∴=+，1111()(1)1f n n n n n ∴==-'++ 202011111112020112232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：C 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及裂项相消求和法的应用，属于中档题.4．C解析：C 【分析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =，()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，② 联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】 设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.6．D解析：D 【分析】采用数形结合的方法，作出()f x 图像，根据直线y kx e =+过定点()0,e 以及两函数图像有3个交点，可得结果. 【详解】由方程()f x kx e =+有且仅有3个实数解 等价于函数()f x ，y kx e =+图像有3个交点 且直线y kx e =+过定点()0,e 如图根据图形可知：0k < 当直线y kx e =+与()11g x e x=+-相切时 设切点001,1P x e x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又()'21g x x=-，所以()'0201g x x =-在点P 处的切线方程：()0200111y x x e x x =--++- 又过定点()0,e ，代入上式，可得02x = 所以()'124k g ==-当直线y kx e =+过点1,1A e e e ⎛⎫+- ⎪⎝⎭时则21110e ee e k e e +---==- 所以可知2114ek e--<≤故选：D 【点睛】本题考根据方程根的个数求参数，熟练使用等价转化的思想以及数形结合的方法，使问题化繁为简，考验对问题的分析能力，属中档题.7．A解析：A 【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案. 【详解】函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =，故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-' ∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y x θθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.8．A解析：A 【分析】首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式． 【详解】 令()()x f x G x e =，则()()()23xf x f x G x x e'-'==+， 可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5xf x e <，即()5x f x e<，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1- 故选A 【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．9．C解析：C 【分析】根据导函数关于y 轴对称知其为偶函数，对每个选线逐一判断得到答案. 【详解】若函数()f x 的导函数．．．的图象关于y 轴对称，则其导函数为偶函数. A. ()2cos '()2sin f x x f x x =⇒=-是奇函数，不满足.B. ()322'()32f x f x x x x x ==⇒++是非奇非偶函数，不满足C. ()sin cos 1'()cos2f x x x f x x =⋅+⇒=是偶函数，满足D. ()'()1xxf x e x f x e =+⇒=+是非奇非偶函数，不满足故答案选C 【点睛】本题考查了导函数与偶函数，综合性强，意在考查学生的计算能力.10．B解析：B 【分析】求出()f x '，将1x =代入，得到切线斜率，从而得到b 的值，利用裂项相消求和，得到n S ，从而得到答案.【详解】因为函数2()f x x bx =+， 所以()2f x x b '=+，代入1x =，得切线斜率2k b =+， 因为切线l 与直线320x y -+=平行， 所以23b +=，得1b = 所以()2f x x x =+所以21111()1f n n n n n ==-++， 所以11111112231n S n n =-+-+⋅⋅⋅+-+ 111n =-+ 所以200912009120102010S =-=. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，根据切线斜率求参数的值，裂项相消法求和，属于中档题.11．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.12．C解析：C 【解析】 【分析】求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即可． 【详解】设切点为000(,)xx x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)xy x e '=+⋅，所以000|(1)xx x y x e ='=+⋅，则切线方程为00000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，切线过点(,0)A a ，代入得00000(1)()x x x ex e a x -=+⋅-，所以2001x a x =+，即方程2000x ax a --=有两个相等的解，则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．1或【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标求出导数值得到两切线方程由两切线重合得斜率和截距相等从而求得切线方程的答案【详解】设与和的切点分别为由导数的几何意义可得曲线在在点处的切线方程为即曲线在点处解析：1或1e【分析】分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得斜率和截距相等，从而求得切线方程的答案． 【详解】设y kx b =+与ln y x =和2x y e-=的切点分别为12122(,),(,ln )x x e x x -，由导数的几何意义可得1221x k ex -==，曲线在2x y e -=在点121(,)x x e -处的切线方程为11221()x x y e e x x ---=-，即11221(1)x x y e x x e --=+-，曲线ln y x =在点22(,ln )x x 处的切线方程为2221ln ()y x x x x -=-，即221ln 1y x x x =+-，则11222121(1)ln 1x x e x x e x --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，解得21x =，或2x e =，所以1k =或1e． 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．14．【分析】因为直线恒过画出图像可知符合条件时点为切点此时则进而求得的值【详解】由题直线恒过则画出图像如图所示因为直线与函数的图像恰有四个公共点则是切点即与相切且则所以因为所以则所以故答案为：【点睛】本 解析：2-【分析】因为直线()()20y a x a =+>恒过()2,0-,画出图像,可知符合条件时,点()44,D x y 为切点,此时4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则444cos sin 2x a x x -==+,进而求得441tan x x +的值 【详解】由题,直线()()20y a x a =+>恒过()2,0-,则画出图像如图所示,因为直线()()20y a x a =+>与函数cos y x =的图像恰有四个公共点,则()44,x y 是切点,即()2y a x =+与cos y x =-相切,且4,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则()442cos a x x +=-,所以44cos 2x a x -=+, 因为()cos sin x x '-=,所以444cos sin 2x x x -=+,则4412tan x x --=, 所以4412tan x x +=- 故答案为：2-本题考查已知零点求参问题,考查导数几何意义的应用,考查数形结合思想15．【分析】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点利用导数求切线方程的斜率运用数形结合思想结合图象进行求解即可【详解】方程恰有两个实数解即曲线与直线有两个不同的交点设则设过原点的直线与相切的切点解析：1[e -，21]e【分析】方程()f x ekx =恰有两个实数解，即曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点， 利用导数求切线方程的斜率，运用数形结合思想结合图象进行求解即可. 【详解】方程()f x ekx =恰有两个实数解， 即曲线()y f x =与直线y ekx = 有两个不同的交点，设()ln g x x =，则1()g x x'=， 设过原点的直线与()ln g x x =相切的切点坐标为：(,)x y ''，则切线方程为：1()y y x x x ''-=-'， 又此切线过点(0,0)，求得：1y '=，即ln 1x '=，即x e '=，即1()g x e''=， 由图可知：曲线()y f x =与直线y ekx =有两个不同的交点时有：11eke-， 即实数k 的取值范围为：1[e -，21]e， 故答案为：1[e -，21]e本题考查了分段函数的性质、考查了利用导数求切线方程的斜率，考查了数形结合的思想，考查了数学运算能力.16．【解析】【分析】求切线的斜率和切点由点斜式方程得切线方程再由圆心到切线的距离等于半径计算可得所求值【详解】的导数为可得切线的斜率为切点为即有在处的切线方程为即为由切线与圆相切可得可得故答案为：【点睛【解析】 【分析】求切线的斜率和切点，由点斜式方程得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值． 【详解】()12f x x x=-的导数为()21'2f x x =+，可得切线的斜率为3k =，切点为()1,1， 即有在1x =处的切线方程为()131y x -=-， 即为320x y --=，由切线与圆222x y R +=相切，可得d R ==，可得R =．． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d r =，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17．2x ﹣y+2＝0【解析】【分析】求得函数的导数可得切线的斜率由点斜式方程可得所求切线方程【详解】的导数为可得切线的斜率为即有曲线在处的切线方程为即故答案为【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程考查直解析：2x ﹣y +2＝0 【解析】 【分析】求得函数y 的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线方程． 【详解】()2ln 2y x =+的导数为22y x '=+，可得切线的斜率为2k =， 即有曲线在()10-，处的切线方程为()21y x =+，即220x y -+=，故答案为220x y -+=． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．18．【解析】【分析】求导计算斜率计算切点坐标结合直线点斜式计算方法即可【详解】故切点为故切线方程为即【点睛】本道题考查了过曲线一点的切线方程计算方法关键结合导数计算斜率计算切点的坐标计算直线方程难度中等 解析：2y x e =-【解析】 【分析】求导，计算斜率，计算切点坐标，结合直线点斜式计算方法，即可。
高二数学选修11第三章导数综合练习(1)
高二数学选修1-1第三章导数综合练习(1)一、选择题1. 已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则 xf x f x 2)1()1(lim 0-+→=( ) A ．2 B ．1 C ． 21 D ．41 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且f ′(1)=2,则a 的值为A.1B.2C.－1D.03. 已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（ ）A ．(x-1)3+3(x-1)B ．2(x-1)2C ．2(x-1)D ．x-14. 曲线3x 2－y ＋6=0在x =－61处的切线的倾斜角是 A.4πB.－4π C.43π D.－43π 5. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是A.0B.1C.3D.66. 若函数y=x ·2x 且y ’=0，则x 的值为 （ ）A ．-2ln 1B ．2ln 1 C ．-ln 2 D ．ln 2 7．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为A ．（3，9）B ．（－3，9）C ．（49,23）D ．（49,23-） 8．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是A ．024=++πy xB ．024=+-πy xC ．024=--πy xD ．024=-+πy x9.曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0的坐标是A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(1,4)10.一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=41t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 11.函数 的导数是 A ． B ． C ． D ．12．函数 A ．4x +3 B ．4x -1 C ．4x -5 D ．4x -313．曲线y =x 3的切线中斜率等于1的直线A ．不存在B ．存在，有且仅有一条C ．存在，有且恰有两条D ．存在，但条数不确定14．下列命题正确的是（ ）（A ）(lgx )’=1x （B ）(lgx )’=ln10x（C ）(3x )’=3x （D ）(3x )’=3x ·ln3 15．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim 2x f f x x→--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是 （A ）2 （B ）－1 （C ）21 （D ）－2 16．若曲线y =f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线方程为2x －y +1=0，则（ ）x x y 12-=x x 12-x x 12+221x x -221x x -=-=-)(',2)1(2x f x x x f 则（A ）f ’(x 0)>0 （B ）f ’(x 0)<0 （C ）f ’(x 0)=0 （D ）f ’(x 0)不存在二、填空题17．函数y =sin x cos x 的导数为 .18曲线13++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是_____________________。
苏教版数学高二-数学苏教版选修1-1练测 第3章导数及其应用 本章练测
第3章 导数及其应用（苏教版选修1-1） 建议用时实际用时 满分 实际得分 120分钟160分一、填空题（每小题5分，共70分）1.函数()2π2)(x x f =的导数是 . 2．函数x x x f -⋅=e )(的单调递增区间是 .3.已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a = .4．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 上是增函数，则,,a b c 的关系式为 .5．曲线y =－2－4x +2在点（1，－3）处的切线方程是 . 6．函数y =x +2cos x 在[0,]上取得最大值时，x 的值为 .7．函数f(x)＝，已知f(x)有两个极值点，则等于 .8．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的长、宽、高各为 时，其体积最大.9．函数f (x )的定义域为开区间（a ,b ），导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ,b )内的极值点的个数是 .10．已知sin (ππ)1cos x y x x=∈-+，，，当2y '=时， x = .11．对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 . 12.已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，不等式恒成立. 若，，，则a 、b 、c 的大小关系 是 .13. 设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，，且g (－3)＝0，则不等式的解集是 . 14.已知函数f(x)＝12x 3－x 2－72x ，则f(－a 2)与f(－1)的大小关系为 . 二、解答题（共90分）15．（14分）求下列函数的导数：(1)y =5－4；(2)y =3+x cos x ；(3)y =tan x ；(4)y =x ；(5)y =lg x －.16．（14分）已知c bx ax x f ++=24)( 的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-.（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间.17．（14分）已知函数cbx x ax x f -+=44ln )(在处取得极值，其中cb a ,,为常数.（1）试确定b a ,的值；（2）讨论函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意x，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围.18．（16分）已知函数2()ln (0).f x x ax x a =-->（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为-2，求a 的值以及切线方程；（2）若()f x 是单调函数，求a 的取值范围.19．（16分）已知函数f (x )=a ln x ++1． （1）当a =－时，求f (x )在区间上的最值；（2）讨论函数f (x )的单调性.20．（16分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >． （1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1e x x ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．第3章 导数及其应用 答题纸（苏教版选修1-1）得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．11． 12． 13． 14．二、解答题15.16．17.18.19.20.第3章 导数及其应用 参考答案（苏教版选修1-1）一、填空题1．x x f 2π8)(=' 解析：∵()∴==,π4π2)(222x x x f =⋅='x x f 2π42)(x 2π8.2．解析：∵ ()e ex x x f x x -=⋅=∴，21e e ()e x xx x f x ⋅-⋅'=（）0,1x >∴<. ∴ 函数xx x f -⋅=e)(的单调递增区间是.3.41 解析：设切点为),(00y x P .因为2ax y =，所以y ′=2ax . 由题意知解得41=a ． 4．23b ac ≤ 解析：由题意知'2()320f x ax bx c =++≥恒成立，已知则，即5．5x +y －2=0 解析：∵y ′=3－4x －4，∴曲线在点（1，－3）处的切线斜率k =y ′=－5，∴切线方程为y +3=－5(x －1)，即5x +y －2=0. 6．解析：y ′=1－2sin x ，令1－2sin x =0，得sin x =.∵x ∈[0,]，∴x =.当x ∈[0,)时，y ′＞0；当x ∈[,]时，y ′≤0，∴f (). 7．1 解析：，由，得的两个解，则＝1.8．2 cm,1 cm, cm 解析：设长方体的宽为x cm ，则长为2x cm ，高为181293(3)(c m)0422x h x x -⎛⎫==- ⎪⎝⎭＜＜. 故长方体的体积为223393()2(3)(96(cm )(0).22V x x x x x x =-=-）＜＜ 从而).1(181818)(2x x x x x V -=-='令0)(='x V ，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，0)(>'x V ；当1＜x ＜32时，0)(<'x V ， 故在x =1处()V x 取得极大值，并且这个极大值就是()V x 的最大值. 从而体积最大时长方体的长为2 cm ，宽为1 cm ，高为32cm. 9． 3 解析：根据导函数图象，导数值异号的分界点有3个，故原函数有3个极值点. 10．解析：11．122n n S +=- 解析：()()11222,:222(2)n n n x y n y n x --='=-++=-+-切线方程为，令x =0，求出切线与y 轴交点的纵坐标为()012n y n =+，所以21n na n =+， 则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和()12122212n n n S +-==--. 12. 解析：设g(x)＝xf(x)，由y ＝f(x)为R 上的奇函数，可知g(x)为R 上的偶函数．而g ′(x)＝[xf(x)]′＝f(x)＋xf ′(x).由已知得，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x)>0，故函数g(x)在(－∞，0)上单调递增. 由偶函数的性质可知，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减． 因为＝g(－2)＝g(2)，且，故.13.(－∞，－3)∪(0，3) 解析：因为，则在x ＜0时递增.又因为分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 所以为奇函数，关于原点对称，所以在x ＞0时也是增函数．因为所以当时，可转化为，即；当时，可转化为，即.14.f(－a 2)f(－1) 解析：由题意可得.由＝12(3x －7)(x ＋1)＝0，得x ＝－1或x ＝73. 当时，为增函数；当时，为减函数；当x ＞时，为增函数.所以f(－1)是函数f(x)在(－∞，0]上的最大值. 又因为－a 2≤0，故f(－a 2)≤ f(－1)．二、解答题 15．解：(1)y ′=－12.(2)y ′=(3+x cos x )′=6x +cos x －x sin x .(3)y ′=()′==.(4)y ′ln x .(5)y ′=+.16．解：（1）因为c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，所以1c =. ①'3'()42,(1)421f x ax bx k f a b =+==+=. ②由题意得切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-，得. ③联立①②③得所以（2）令得当x 变化时，x 0－ 0 ＋ 0 － 0 ＋由上表可知，函数的单调递增区间为17．解：（1）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-．又对()f x 求导得3431()4ln 4f x ax x ax bx x'=+⋅+3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．（2）由（1）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '=，解得1x =． 当01x <<时，()0f x '<，此时()f x 为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时()f x 为增函数．因此()f x 的单调递减区间为(01)，，而()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．（3）由（2）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值， 要使2()2f x c -≥（0x >）恒成立，只需232c c ---≥． 即2230c c --≥，从而(23)(1)0c c -+≥，解得32c ≥或1c -≤． 所以c 的取值范围为3(1]2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，. 18. 解：(1)由题设，f '(1)＝－2a ＝－2，所以a ＝1，此时f(1)＝0，切线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0． (2)，令＝1－8a ．当a ≥18时，≤0，f '(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当0＜a ＜ 18时，＞0，方程＋1＝0有两个不相等的正根，不妨设，则当时，f '(x)＜0，当时，f '(x)＞0，这时f(x)不是单调函数．综上，a 的取值范围是[ 18，＋)． 19．解:（1）当a =－时，f (x )=－ln x ++1，∴ f ′(x )=+=．∵ f (x )的定义域为(0,+∞)，∴ 由f ′(x )=0,得x =1．∴ f (x )在区间上的最值只可能为f (1)，或f (e)，而f (1)，+，f (e)=+，∴ =f (e)=+,=f (1)=．（2）f ′(x )=，x ∈(0,+∞)．①当a +1≤0，即a ≤－1时，f ′(x )<0,∴ f (x )在(0,+∞)上单调递减； ②当a ≥0时，f ′(x )>0,∴ f (x )在(0,+∞)上单调递增；③当－1<a <0时，由f ′(x )>0,得>,∴ x >或x <－（舍去）,∴ f (x )在上单调递增，在上单调递减.综上，当a ≥0时，f (x )在(0,+∞)上单调递增；当－1<a <0时，f (x )在上单调递增，在上单调递减；当a ≤－1时，f (x )在(0,+∞)上单调递减.20．解：（1）方法1：∵ ()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0 +∞，，∴ ()2212a h x x x'=-+． ∵1x =是函数()hx 的极值点，∴ ()10h '=，即230a -=．∵ 0a >，∴ 3a =经检验当3a =1x =是函数()h x 的极值点，∴ 3a =方法2：∵ ()22ln a h x x x x =++，其定义域为()0+∞，，∴ ()2212a h x x x '=-+． 令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵ △2180a =+>，∴ ()0h x '=的两个实根为1x =（舍去），2x =，当x 变化时，()hx ，()h x '的变化情况如下表：依题意，114-+=，即23a =，∵ 0a >，∴ a = （2）对任意的[]12,1e x x ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1e x x ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦． 当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴ 函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数． ∴ ()()maxe e 1g x g ==+⎡⎤⎣⎦．∵ ()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,e x ∈，0a >．①01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴ 函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴ ()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥e 1+，得a 又01a <<，∴a 不合题意． ②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴ 函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]e a ，上是增函数．∴ ()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦. 由2a ≥e 1+，得a ≥e 12+.又1≤a ≤e ，∴e 12+≤a ≤e ．③当e a >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴ 函数()2a f x x x =+在[]1e ，上是减函数．∴ ()()2min e e e a f x f ==+⎡⎤⎣⎦.由2e ea +≥e 1+，得a ≥，又e a >，∴ e a >．综上所述，a 的取值范围为e 1,2+⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
高中数学选修1-1(人教版 练习)：第三章 导数及其应用含答案
第三章 学业质量标准检测 时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的瞬时变化率为k 1、k 2，则k 1、k 2的大小关系为导学号 03624941( A )A ．k 1>k 2B ．k 1<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定[解析] y ＝sin x ，y ′＝cos x ，∴k 1＝cos 0＝1，k 2＝cos π2＝0，k 1>k 2.2．y ＝x α在x ＝1处切线方程为y ＝－4x ，则α的值为导学号 03624942( B )A ．4B ．－4C ．1D ．－1[解析] y ′＝(x α)′＝αx α－1， 由条件知，y ′|x ＝1＝α＝－4.3．函数y ＝x 2cos x 的导数为导学号 03624943( A ) A ．y ′＝2xcos x －x 2sin x B ．y ′＝2xcos x ＋x 2sin x C ．y ′＝x 2cosx －2xsin xD ．y ′＝xcosx －x 2sin x [解析] y ′＝(x 2cos x)′＝(x 2)′cos x ＋x 2·(cos x)′＝2xcos x －x 2sin x. 4．函数y ＝12x －x 3的单调递增区间为导学号 03624944( C )A．(0，＋∞) B．(－∞，－2)C．(－2,2) D．(2，＋∞)[解析] y′＝12－3x2＝3(4－x2)＝3(2＋x)(2－x)，令y′>0，得－2<x<2，故选C．5．(2016·福建宁德市高二检测)曲线f(x)＝ln xx在x＝e处的切线方程为导学号 03624945( A )A．y＝1eB．y＝eC．y＝x D．y＝x－e＋1 e[解析] f′(x)＝1－ln xx2，∴f′(e)＝1－ln ee2＝0，∴曲线在x＝e处的切线的斜率k＝0.又切点坐标为(e，1e)，∴切线方程为y＝1e.6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝导学号 03624946( D )A．2 B．3C．4 D．5[解析] f ′(x)＝3x2＋2ax＋3，由条件知，x＝－3是方程f ′(x)＝0的实数根，∴a＝5.7．三次函数f(x)＝mx3－x在(－∞，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是导学号 03624947( C )A．m<0 B．m<1C．m≤0 D．m≤1[解析] f ′(x)＝3mx2－1，由题意知3mx2－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，当m＝0时，－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立；当m≠0时，由题意得m<0，综上可知m≤0.8．已知抛物线y＝－2x2＋bx＋c在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，则b＋c的值为导学号 03624948( C )A．20 B．9C．－2 D．2[解析] 由题意得y′|x＝2＝1，又y′＝－4x＋b，∴－4×2＋b＝1，∴b＝9，又点(2，－1)在抛物线上，∴c＝－11，∴b＋c＝－2，故选C．9．三次函数当x＝1时，有极大值4；当x＝3时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是导学号 03624949( B )A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x[解析] 设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，∵函数图象过原点，∴d＝0.f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c，。
数学选修1-1 第三章__导数及其应用 练习
3.1 导数的定义基础训练(1)：1. 在求平均变化率中，自变量的增量x ∆（ ）Ａ．0>∆x Ｂ．0<∆x Ｃ．0=∆x Ｄ．0≠∆x 2. 一质点的运动方程是，则在一段时间[]t ∆+1,1内相应得平均速度为：（ ） Ａ．63+∆t Ｂ．63+∆-t Ｃ．63-∆t Ｄ．63-∆-t3．在曲线y =x 2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx ,2+Δy ）,则yx ∆∆为（ ）A.Δx +x ∆1+2 B.Δx －x ∆1－2 C.Δx +2 D.2+Δx －x∆1 4.一物体位移s 和时间t 的关系是s=2t-32t ,则物体的初速度是5．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是 巩固训练(1)：1．若质点M 按规律3s t =运动，则3t =秒时的瞬时速度为（ ）A ．2 B ．9 C ．27 D ．812．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3 C －2 D t 23-3．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ）A ()x x f ∆+0B ()x x f ∆+0C ()x x f ∆⋅0D ()()00x f x x f -∆+ 4．物体的运动方程是=s t t 1642+-，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A ．=t 1 B ．=t 2 C ．=t 3 D ． =t 45．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（ ） A ．3米/秒 B ．2米/秒 C ．1米/秒 D ．4米/秒6．在曲线223x y =的图象上取一点（1,23）及附近一点⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+y x 23,1，则x y ∆∆为（ ） A x x ∆++∆1323 B x x ∆--∆1323 C 323+∆x D x x ∆-+∆1323 7．物体的运动规律是)(t s s =，物体在[]t t t ∆+,时间内的平均速度是（ ）Ａ．t t s t s v ∆∆=∆∆=)( Ｂ．t t s t t s v ∆-∆+=)()(Ｃ．t t s v )(= Ｄ．当0→∆t 时，0)()(→∆-∆+=tt s t t s v8.将边长为8的正方形的边长增加∆a,则面积的增量∆S 为（ ）A ．16∆a 2 B.64 C.2a +8 D.16∆a+∆a 29．已知一物体的运动方程是=s 7562+-t t ，则其在=t ________时刻的速度为7。
(压轴题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．已知()f x '是函数()f x 的导函数，对任意x ∈R ，都有()()()21xf x f x e x '=+-，且()01f =，则不等式()3xf x e <的解集为（ ）A ．()2,1--B ．()2,1-C ．()1,1-D ．()1,2-2．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =--D ．412y x =-3．设函数()4cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．4．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度()25731v t t t=-++（t 的单位:s ,v 的单位:/m s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ） A ．125ln5+ B ．11825ln3+ C ．425ln5+D ．450ln 2+5．直线:l y kx b =+是曲线()()ln 1f x x =+和曲线()()2ln g x e x =的公切线，则b =（ ） A ．2B ．12C ．ln2e D ．()ln 2e6．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，则a =（ ） A ．124 B ．38C ．34D ．327．已知P 与Q 分别为函数260x y -+=与函数2ln 2y x =+ 的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为（ ）A ．65B C D ．68．已知函数()f x 满足()11f =-，()12f '=，则函数()x y f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为（ ） A ．1B ．2C ．eD ．2e9．已知函数()ln af x x x =+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数sin a x y x =在点M (π，0)处的切线方程为xb y π-+=，则( ) A ．a ＝－1，b =1B ．a =－1，b =－1C ．a ＝1，b =1D ．a =1，b =－111．三次函数()323212f x ax x x =-++的图象在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间()1,3上的最小值是（ ）A ．83B ．116C ．113D ．5312．若直线2y x =是曲线()y f x =的一条切线，则()f x 的解析式不可能为（ ） A ．()22xf x e =-B ．()2sin f x x =C ．()13f x x x=+D ．()32f x x x =--二、填空题13．直线l 过坐标原点且与线x y e =相切，则l 的方程为___________. 14．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线9y x x=+（0x >）上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是________．15．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．16．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是______．17．曲线()12f x x x=-在点()()1,1f 处的切线与圆222x y R +=相切，则R =______． 18．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 都有2(1)2()1f x f x x --=-，则曲线()y f x =在(1,(1))f --处的切线方程为__________．19．若直线y x b =+是曲线x y e =的一条切线，则实数b 的值是_____.20．函数2()ln f x x x =在点()1,0处的切线方程为___．三、解答题21．已知函数()()x f x x k e =-，若1k =，求()f x 在1x =处的切线方程. 22．已知函数()ln 1f x ax x =+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程. （2）讨论()f x 的单调性.（3）若()0f x =有两个不相等的实根，求a 的取值范围.23．已知函数ln ()xf x x=，()g x ax =，a R ∈． （1）求曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程；（2）若不等式()()f x g x <对(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； （3）若直线y a =-与曲线()()y f x g x =-相切，求a 的值. 24．已知函数在处取得极值.（1）求函数在点处的切线方程；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 25．已知函数2()()xf x e x ax a =+-，其中a 是常数.(Ⅰ)当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k ，使得关于x 的方程()f x k =在[0,)+∞上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.26．设函数()()20f x ax bx c a =++≠，曲线()y f x =通过点()0,23+a ，且在点()()1,1f --处的切线垂直于y 轴.（1）用a 分别表示b 和c ；（2）当bc 取得最小值时，求函数()()-=-xg x f x e的单调区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】本题首先可以令()()xf xg x e=，然后根据()()()21xf x f x e x '=+-得出()21g x x '=-，再然后设2g x x x c ，通过()01f =求出1c =，最后将()3x f x e <转化为3g x，通过计算即可得出结果.【详解】 令()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=， 因为()()()21xf x f x e x '=+-，所以()21g x x '=-，设2g xx x c ，因为()01f =，所以0001f g c e ，()21g x x x =-+，因为()3xf x e <，所以()3xf x e<， 即213g x x x ，()()210x x -+<，解得12x -<<，故选：D. 【点睛】本题考查利用导函数求函数解析式以及不等式的解法，考查导函数与函数之间的转化，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.2．D解析：D 【分析】对多项式函数求导，结合导数的几何意义，可得选项. 【详解】设函数()(1)(2)(4)(5)g x x x x x =----，则'''()(3)()(3)()()(3)()f x x g x x g x g x x g x '=-+-=+-，所以'(3)(3)(31)(32)(34)(35)4f g ==----=，则曲线()y f x =在点(3,0)处的切线方程为()43412y x x =-=-. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属于中档题.3．D解析：D 【分析】求出导函数()g x ，然后研究()g x 的性质，用排除法确定正确选项． 【详解】因为()4cos f x x x =--，所以()3'sin 4f x x x =-，所以()3sin 4g x x x =-，所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查导数的运算，考查由函数解析式选择函数图象，解题时可根据解析式确定函数的性质，利用排除法得出正确选项．4．C解析：C 【详解】 试题分析：令得，故44203()725ln(1)425ln 52t s v t dt t t ⎡⎤==-++=+⎢⎥⎣⎦⎰，故选C考点：定积分的几何意义5．C解析：C 【分析】由()f x k '=可求得直线l 与曲线()()ln 1f x x =+的切点的坐标，由()g x k '=可求得直线l 与曲线()()2ln g x e x =的切点坐标，再将两个切点坐标代入直线l 的方程，可得出关于k 、b 的方程组，进而可求得实数b 的值. 【详解】设直线l 与曲线()()ln 1f x x =+相切于点()11,A x y ，直线l 与曲线()()2ln g x e x =相切于点()22,B x y ，()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，由()1111f x k x '==+，可得11k x k-=， 则()()111ln 1ln y f x x k ==+=-，即点1,ln k A k k -⎛⎫-⎪⎝⎭， 将点A 的坐标代入直线l 的方程可得1ln kk k b k--=⋅+，可得ln 1b k k =--，① ()()2ln 2ln g x e x x ==+，则()1g x x'=，由()221g x k x '==，可得21x k =，()222ln y g x k ==-，即点1,2ln B k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点B 的坐标代入直线l 的方程可得12ln 1k k b b k-=⋅+=+，1ln b k ∴=-，②联立①②可得2k =，1ln 2ln 2e b =-=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，要结合切点以及切线的斜率列方程组求解，考查计算能力，属于中等题.6．B解析：B 【分析】先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，得到k ≥.【详解】由题意，函数2ln (0)y a x x a =+>，可得2a y x x '=+≥=当且仅当2a x x=时，即x =时，等号成立，又由曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，可得切线的斜率的取值范围是k ≥=，解得38a =. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．C解析：C 【分析】求出函数2ln 2y x =+的图象上与直线260x y -+=平行的切线方程，由两平行线间距离公式可得结论． 【详解】由2ln 2y x =+得2y x'=，令22y x '==得1x =，2ln122y =+=，函数2ln 2y x =+的图象在点(1,2)处的切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=，直线20x y -=与直线260x y -+=间的距离为d ==∴线段||PQ的最小值为5． 故选：C ． 【点睛】本题考查直线与函数图象上点间距离的最小值，解题关键是掌握转化与化归思想，转化为求函数图象的切线，求两平行线间的距离．8．C解析：C 【分析】求得函数的导数)(()x x y f x e f x e ⋅+''⋅=，代入1x =，结合题设条件，代入即可求解. 【详解】由函数()x y f x e ⋅=，可得)(()xx y f x e f x e ⋅+''⋅=，所以函数在1x =的导数为111|(1)(1)x y f e f e =⋅+'⋅'=，又由()11f =-，()12f '=，所以11|2x e y e e =⨯-⨯'==， 即函数()xy f x e ⋅=在1x =处的瞬时变化率为e . 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的四则运算，以及瞬时变化率的概念与计算，其中解答中熟记瞬时变化率的概念，以及熟练应用导数的运算法则求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.9．B解析：B 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可. 【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =. 故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.10．C解析：C 【分析】先对函数求导，求得()af ππ'=-，(0)0f =，再由点斜式求得切线方程.【详解】 由题意可知2cos sin ax x a xy x -'=，故在点(π0)M ，处的切线方程为 1(π)ππa y x x -=-=-b +，11a b =⎧⎨=⎩，则，故选C ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，求切线的方程即函数()f x 在()()00,x f x 处的切线方程为()()()000y f x f x x x '-=-. 11．D解析：D 【分析】由()10f '=求出实数a 的值，然后利用导数能求出函数()y f x =在区间()1,3上的最小值. 【详解】()323212f x ax x x =-++，()2332f x ax x '∴=-+，由题意得()1310f a '=-=，解得13a =，()32132132f x x x x ∴=-++，()232f x x x '=-+，令()=0f x '，得1x =或2x =.当12x <<时，()0f x '<；当23x <<时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在区间()1,3上的最小值为()283522221323f =-⨯+⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用切线与直线平行求参数，同时也考查了利用导数求函数的最值，考查运算求解能力，属于中等题.12．C解析：C 【分析】由导数为2，求出斜率为2的切线的切点坐标，此切点在直线2y x =上，2y x =就是切线，不在，就不是切线． 【详解】若()22x f x e =-，则由()'22xf x e ==，得0x =，(0)0f =，点()0,0在直线2y x=上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()'2cos 2f x x ==，得()2x k k =π∈Z ，()20f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切； 若()13f x x x=+，则由()2'132f x x -==，得1x =±，(1)4,(1)4f f =-=-，点()1,4，()1,4--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； 若()32f x x x =--，则由()2'312f x x =-=，得1x =±，其中(1)2f -=-，()1,2--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切. 故选：C. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.二、填空题13．【分析】设切点为坐标为由导数几何意义求出切线方程由切线过原点得从而得切线方程【详解】设切点为由得时又所以切线方程为而切线过原点所以解得代入后得切线方程为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几 解析：y ex =【分析】设切点为坐标为00(,)P x y ，由导数几何意义求出切线方程，由切线过原点得0x ，从而得切线方程． 【详解】设切点为00(,)P x y ，由x y e =得e xy '=，0x x =时，0x y e '=，又0x y e =，所以切线方程为00()-=-x x y e e x x ，而切线过原点，所以000()x x ee x -=⨯-，解得01x =．代入后得切线方程为y ex =．故答案为：y ex =． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，在求函数图象的切线时要注意是求在某点处的切线不是求过某点的切线，如果求()y f x =在点00(,())x f x 处的切线，则只要求得()'f x 后可得切线方程000()()()y f x f x x x '-=-，若是求()y f x =过00(,)P x y 的切线方程，则设切点为11(,)Q x y ，由切点求出切线方程111()()()y f x f x x x '-=-，代入00(,)x y ，求出1x 后得切线方程．14．6【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离【详解】解：当直线平移到与曲线相切位置时切点即为点到直线的距离最小由得（负值舍去）即切点则切点Q 到直线的距离为故答案解析：6 【分析】将原问题转化为切点与直线之间的距离，然后利用导函数确定切点坐标可得最小距离 【详解】解：当直线0x y +=平移到与曲线9y x x=+相切位置时， 切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小. 由2911y x '=-=-，得x =y =，即切点22Q ⎛⎝⎭， 则切点Q 到直线0x y +=6=，故答案为：6． 【点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题，是中档题.解题的关键在于直线0x y +=平移到与曲线9y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P 到直线0x y +=的距离最小.15．【分析】求得函数的导数令求得得出函数的解析式再求得结合直线的点斜式方程即可求解【详解】由题意函数可得令可得解得所以可得所以曲线在点处的切线方程是即故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求 解析：3310x y -+=【分析】求得函数的导数()()211f x f x x ''=-+，令1x =，求得()11f '=，得出函数的解析式，再求得()413f =，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由题意，函数()()321111322f x f x x x '=-++，可得()()211f x f x x ''=-+， 令1x =，可得()()21111f f =-'+'，解得()11f '=，所以()32111322f x x x x =-++，可得()413f =， 所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是413y x -=-，即3310x y -+=. 故答案为：3310x y -+=. 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.16．【分析】设切点为求导得斜率然后利用点斜式得切线方程将点A 代入使得方程关于有两解即可【详解】设切点为则切线斜率为：切线方程为：将点代入切线方程得：又所以整理得有两个解所以解得或故答案为【点睛】本题主要 解析：()(),40,-∞-⋃+∞【分析】设切点为()00,x y ，求导得斜率，然后利用点斜式得切线方程，将点A 代入，使得方程关于0x 有两解即可. 【详解】设切点为()00,x y ，则切线斜率为：()00k 1xx e =+⋅.切线方程为：()()0000y 1x y x ex x -=+⋅-，将点(),0A a 代入切线方程得：()()00001x y x e a x -=+⋅-，又000xy x e=⋅.所以()()00001x x x e a x x e +⋅-=-⋅，整理得2000x ax a -+=有两个解.所以240a a =->，解得4a <-或0a >.故答案为()(),40,-∞-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义：求切线，求切线时要注意设过点作切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点，属于易错题型.17．【解析】【分析】求切线的斜率和切点由点斜式方程得切线方程再由圆心到切线的距离等于半径计算可得所求值【详解】的导数为可得切线的斜率为切点为即有在处的切线方程为即为由切线与圆相切可得可得故答案为：【点睛【解析】 【分析】求切线的斜率和切点，由点斜式方程得切线方程，再由圆心到切线的距离等于半径，计算可得所求值． 【详解】()12f x x x=-的导数为()21'2f x x =+，可得切线的斜率为3k =，切点为()1,1， 即有在1x =处的切线方程为()131y x -=-， 即为320x y --=，由切线与圆222x y R +=相切，可得d R ==，可得R =．． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查直线和圆相切的条件：d r =，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18．【解析】【分析】本题首先可以通过解出函数的函数解析式然后求出的值以及函数在点处的导数最后即可得出结果【详解】由可得曲线在处的切线：即故切线方程为【点睛】本题主要考查导数的相关性质曲线在某一点处的导数 解析：8350x y -+=【解析】 【分析】本题首先可以通过()()2121f x f x x --=-解出函数()y f x =的函数解析式，然后求出()1f -的值以及函数()y f x =在点()()11f ，--处的导数，最后即可得出结果。
高二文科数学选修1-1第三章导数的概念及运算带答案
导数的概念及运算[必备知识]考点1 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 1．定义称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δ x →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δ x →0 ΔyΔx为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ x →0ΔyΔx ＝lim Δ x →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 2．几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 考点2 基本初等函数的导数公式若y ＝f (x )，y ＝g (x )的导数存在，则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 考点4 复合函数的导数设函数u ＝φ(x )在点x 处有导数u ′＝φ′(x )，函数y ＝f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′＝f ′(u )，则复合函数y ＝f [φ(x )]在点x 处也有导数y ′x ＝f ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [必会结论]1．f ′(x 0)与x 0的值有关，不同的x 0，其导数值一般也不同． 2．f ′(x 0)不一定为0，但[f (x 0)]′一定为0.3．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 4．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 一、疑难辨析判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) 1．f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 2．曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) 3．与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )4．对于函数f (x )＝－x 2＋3x ，由于f (1)＝2，所以f ′(1)＝2′＝0.( )5．物体的运动方程是s ＝－4t 2＋16t ，则该物体在t ＝0时刻的瞬时速度是0.( ) 6．若f (x )＝f ′(a )x 2＋ln x (a ＞0)，则f ′(x )＝2xf ′(a )＋1x .( )答案 1.√ 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.√ 二、例题练习1．已知函数()y f x =，那么下列说法错误的是( ) A.()()00y f x x f x +∆=∆-叫做函数值的增量 B.()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫做函数在0x 到0x x +∆之间的平均变化率 C.()f x 在0x 处的导数记为y ' D.()f x 在0x 处的导数记为()0f x '【答案】C【解析】由导数的定义可知C 错误．故选C.2. 已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________.【答案】 －12【解析】 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 3.设函数()f x 在1x =处可导，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆--∆等于（）A ．()1f 'B ．()112f '- C ．()21f '-D ．()1f '- 【答案】B【解析】函数()f x 在1x =处()()()0111limx f x f f x ∆→+∆-'=∆()()0112lim 2x f x f x∆→+∆-=--∆，所以()()()0111lim122x f x f f x ∆→+∆-'=--∆．4．若函数()y f x =在区间(),a b 内可导，且()0,x a b ∈，若0()f x '=4，则()()0002limh f x f x h h→--的值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12 【答案】C【解析】由函数()y f x =在某一点处的导数的定义可知()()()()()000000022lim2lim 282h h f x f x h f x f x h f x h h→→----'===5.若()()0003lim1x f x x f x x∆→+∆-=∆，则()0f x '=__________．【答案】13【解析】由于()()()()()000000033lim 3lim 313x x f x x f x f x x f x f x x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆，所以()013f x '=． 6．[课本改编]曲线y ＝x 2在(1,1)处的切线方程是( ) A ．2x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y ＋1＝0 D ．2x －y －1＝0答案 D 解析 ∵y ′＝2x ，∴k ＝y ′| x ＝1＝2；故所求切线方程为：y －1＝2(x －1)即2x －y－1＝0，故选D.7．函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2. 8．函数y ＝x ·e x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．y ＝2e x B ．y ＝x －1＋eC ．y ＝－2e x ＋3eD ．y ＝2e x －e答案 D解析 函数y ＝x ·e x 的导函数是f ′(x )＝e x ＋x e x ，在点(1，e)处，把x ＝1代入f ′(x )＝e x ＋x e x ，得k ＝f ′(1)＝2e ，点斜式得y －e ＝2e(x －1)，整理得y ＝2e x －e.9．已知函数2()cos 3g x x x =+，则2()πg'=_______________．【答案】13． 【解析】因为2()sin 1g x x '=-+，所以2()πg'=2π21sin 113233-+=-=．故填13．10=')1(f _______________．【答案】e【解析】0x =得(0)1f =，∴(1)e f '=．11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>，1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ．12．若2()24ln f x x x x =--，则()0f x '>的解集为_______________． 【答案】(2,)+∞【解析】由()224ln f x x x x =--，得()()4220f x x x x'=-->，则由不等式()42200x x x-->>，得()2200x x x -->>，从而可解得2x >．故()0f x '>的解集为(2,)+∞．13.求下列函数的导数：(1)y ＝e x sin x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； (3)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)＝xx ln ；[解] (1)y ′＝(e x )′sin x ＋e x (sin x )′＝e x sin x ＋e x cos x . (2)因为y ＝x 3＋1x 2＋1，所以y ′＝3x 2－2x 3.(3)因为y ＝x －12sin x ，所以y ′＝1－12cos x .14．[2015·天津高考]已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数，若f ′(1)＝3，则a 的值为________．答案 3解析 因为f (x )＝ax ln x ，所以f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)．由f ′(1)＝3得a (ln1＋1)＝3，所以a ＝3.15．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，0)【解析】曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f ′(x )＝0有正实数解．又∵f ′(x )＝5ax 4＋1x ，∴方程5ax 4＋1x＝0有正实数解．∴5ax 5＝－1有正实数解．∴a <0.16．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( ) A ．26 B ．29 C ．212 D ．215 【答案】C【解析】因为f ′(x )＝x ′·[]x －a 1x －a 2…x －a 8＋[]x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋ []x －a 1x －a 2…x －a 8′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋0＝a 1a 2…a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.17．[2016·襄阳调研]曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°答案 B 解析 由y ′＝3x 2－2得y ′| x ＝1＝1，即曲线在点(1,3)处的切线斜率为1，所以切线的倾斜角为45°，故选B.18．[2016·大同质检]一点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π2B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4 答案 B 解析 ∵y ′＝3x 2－1，∴tan α＝3x 2－1≥－1，∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 19．[2016·深圳中学实战考试]函数y ＝x 33－x 2＋1(0<x <2)的图象上任意点处切线的倾斜角记为α，则α的最小值是( ) A.π4B.π6C.5π6D.3π4答案 D 解析 由于y ′＝x 2－2x ，当0<x <2时，－1≤y ′<0，据导数的几何意义得－1≤tan α<0，当tan α＝－1时，α取得最小值，即αmin ＝3π4. 20．[2016·山西师大附中质检]已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．解 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2，所以在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4.所以曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率为y ′| x ＝x 0＝x 20.所以切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.因为点P (2,4)在切线上，所以4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0，所以x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，所以x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，所以(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.21．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解 (1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上的任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6. 备用：1.函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0答案 C解析 f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.2.[2014·江西高考]若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 答案 (e ，e)解析 令f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1，设P (x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，此时y 0＝x 0ln x 0＝eln e ＝e ，∴点P 的坐标为(e ，e)．[2014·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________． 答案 －3解析 由曲线y ＝ax 2＋b x 过点P (2，－5)，得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x 2，所以当x ＝2时，4a －b 4＝－72，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.3. [2016·沈阳模拟]若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是( ) A ．1 B.164C ．1或164D ．1或－164[正解] 易知点O (0,0)在曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 上， (1)当O (0,0)是切点时，同上面解法．(2)当O (0,0)不是切点时，设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.[答案] C[2016·沈阳模拟]若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7答案 A解析 ∵y ＝x 3，∴y ′＝3x 2.设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为：y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，得a ＝－1. 综上，a ＝－1或a ＝－2564.故选A.。
人教新课标版(A)高二选修1-1 3.2.1导数的计算(一)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 3.2.1 导数的计算（一）同步练习题【基础演练】题型一：几个常用函数的导数 根据导数的定义，容易得到几个常用函数的导数公式：①c y =，0y ='；②x y =，1y ='；③2x y =，x 2y ='；④x 1y =，2x1y -='，请根据以上知识解决以下1~5题。
1. 函数3x y =的导数是A. x 3B. x 31C. 32x 31--D. 32x 31-2. 函数()x x1x f -=的导数是A. x 1x 12-B. x21x 12+-C.x21x 12- D. x21x 12--3. 曲线()2x x x f 3-+=在0P 点处的切线平行于直线1x 4y -=，则0P 点的坐标为A. （1，0）或（-1，-4）B. （0，1）C. （-1，0）D. （1，4）4. 抛物线2x y = 的点到直线02y x =--的最短距离为__________。
5. 给出下列命题，其中正确的命题是__________（填序号）①任何常数的导数都是零；②直线x y =上任意一点处的切线方程是这条直线本身；③双曲线x1y =任意一点处的切线斜率都是负值；④直线x 2y =和抛物线2x y =在()∞+∈,0x 上函数值增长的速度一样快。
题型二：基本初等函数的导数公式的应用 正确熟练的运用导数公式，方便快捷的处理与导数有关的问题，关键是熟记导数公式，请根据以上知识解决以下6~9题。
6. 2x y =的斜率为2的切线方程为A. 01y x 2=+-B. 01y x 2=+-或01y x 2=--C. 01y x 2=+-D. 0y x 2=-7. 已知()x f α=x ，若()41f -=-'，则α的值等于A. 4B. –4C. 5D. –58. 在曲线2x y =上的点（ ）处的切线倾角为43π。
A. （0，0） B. ()4,2C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛16141，D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4121，9. 曲线x cos y =在点A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛π23,6处的切线方程__________。
高二数学选修1-1第三章变化率与导数练习题4套(含答案北师大版)
高二数学选修1-1第三章变化率与导数练习题4套(含答案北师大版)一、选择题1. 已知函数y＝f(x)＝sin x，当x从π6变到π2时，函数值的转变量Δy＝( )A．－12 B.12 C.π3 D.32【解析】Δy＝f(π2)－f(π6)＝sinπ2－sin π6＝1－12＝12. 【答案】 B2. 一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋Δt]内相应的平均速度为( )A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6C．3Δt－6 D．－3Δt－6【解析】Δs＝5－3(1＋Δt)2－(5－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，∴ΔsΔt＝－6Δt －3〔Δt〕2Δt＝－6－3Δt.【答案】 D3. 函数f(x)＝2x2＋3在以下区间上的平均改变率最大的是( ) A．[1，1.5] B．[1，2]C．[1，3] D．[1，1.05]【解析】平均改变率为ΔyΔx＝f〔x0＋Δx〕－f〔x0〕Δx，把数据代入可知选C.【答案】 C4. 假如函数y＝f(x)＝ax＋b在区间[1，2]上的平均改变率为3，则( )A．a＝－3 B．a＝3C．a＝2 D．a的值不能确定【解析】依据平均改变率的定义可知ΔyΔx＝〔2a＋b〕－〔a＋b〕2－1＝a＝3.【答案】 B5. 一质点运动的方程为s＝5－3t2，且在一段时间[1，1＋Δt]内的平均速度为－3Δt－6，则估量质点在t＝1处的瞬时速度是( ) A．－3 B．3C．6 D．－6【解析】取Δt＝0.001，－3Δt－6＝－3×0.001－6＝－6.003.因此估量质点在x＝1处的瞬时速度是－6.【答案】 D二、填空题6. 运动方程为s＝t3的物体，在时刻t＝4的瞬时速度为________．【解析】Δs＝s(4＋Δt)－s(4)＝(4＋Δt)3－43＝48Δt＋12(Δt)2＋(Δt)3，∴ΔsΔt＝48＋12Δt＋(Δt)2.当Δt→0时，ΔsΔt→48，即在时刻t＝4的瞬时速度为48.【答案】487. 某日中午12时整，甲车自A处以40 km/h的速度向正东方向行驶，乙车自A处以80 km/h的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间距离对时间的平均改变率为________．【解析】ΔsΔt＝0.5×80＋0.5×400.5＝120(km/h)．【答案】120 km/h8. 经过讨论，某个婴儿从诞生到第24个月的体重改变如下图，那么该婴儿体重的平均改变率哪一年较大？________．(填“第一年”或“其次年”)图3－1－1【解析】由题图知，第一年该婴儿体重的平均改变率是11.25－3.7512－0＝0.625；其次年该婴儿体重的平均改变率是14.25－11.2524－12＝0.25.由于0.6250.25，所以第一年该婴儿体重的平均改变率较大．【答案】第一年三、解答题9. 某物体运动的路程s与时间t满意函数关系s(t)＝v0t－12gt2(v0，g是常数)．求在时间[1，1＋Δt]之间的平均速度v.【解】v＝ΔsΔt＝s〔1＋Δt〕－s〔1〕〔1＋Δt〕－1＝v0〔1＋Δt〕－12g〔1＋Δt〕2－〔v0－12g〕Δt＝v0－g－12gΔt，即在时间[1，1＋Δt]之间的平均速度为v0－g－12gΔt.10. 在F1赛车中，赛车位移与竞赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位：m，t的单位：s)，求当t＝20时的瞬时速度．【解】ΔsΔt＝10〔20＋Δt〕＋5〔20＋Δt〕2－2 200Δt＝210Δt ＋5〔Δt〕2Δt＝210＋5Δt.当Δt趋于0时其值为210.∴t＝20时的瞬时速度为210(m/s)．11. 已知一物体的运动方程是s＝3t2＋2，0≤t3，29＋3〔t－3〕2，t≥3.求此物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．【解】当t＝1时，ΔsΔt＝3〔1＋Δt〕2＋2－〔3×12＋2〕Δt ＝6＋3Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于6.故当t＝1时的瞬时速度为6.当t＝4时，ΔsΔt＝29＋3〔4＋Δt－3〕2－[29＋3×〔4－3〕2]Δt＝6＋3Δt，当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于6，故t＝4时的瞬时速度为6.。
导数综合练习(一)
【课题】导数综合练习（一）一、前置作业1．函数3223125y x x x =--+在[0,3]上的最大值为_________最小值为_________2．关于函数762)(23+-=x x x f ，下列说法不正确的是 （ ）()A 在区间(,0)-∞内，)(x f 为增函数 ()B 在区间(0,2)内，)(x f 为减函数()C 在区间(2,)+∞内,)(x f 为增函数()D 在区间(,0)(2,)-∞+∞ 内)(x f 为增函数3．设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如下图（1）所示，则()y f x =的图象最有可能的是 （ ）()A ()B ()C ()D 4、将边长为1m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记梯形的面积梯形的周长）2(=S ，则S 的最小值是__________________ 5．已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值．（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程．（1）二．例题分析：例1．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x （吨）与每吨的价格P （元/吨）之间的关系为21242005P x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+元，问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）例2．已知函数3()f x ax cx d =++(0)a ≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-，（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,(1,1)x x ∈-，不等式12|()()|4f x f x -<恒成立．例3．若函数c x bx ax x f +-+=3)(23为奇函数，且在)1,(--∞上单调递增，在)1,1(-上单调递减。
(选修1-1)第三章 导数及其应用综合训练(含答案
（数学选修1-1）第三章 导数及其应用综合训练姓名：___________ 学号：____________ 班次：____________ 成绩：__________一、选择题1．函数有（ ） ()323922y x x x x =---<<A ．极大值，极小值527-B ．极大值，极小值511-C ．极大值，无极小值5D ．极小值，无极大值27-2．若，则（ ） '0()3f x =-000()(3)lim h f x h f x h h→+--=A ．B ． 3-6-C ．D ．9-12-3．曲线在处的切线平行于直线，则点的坐标为3()2f x x x =+-0p 41y x =-0p （ ）A ．B ． (1,0)(2,8)C ．和D ．和(1,0)(1,4)--(2,8)(1,4)--4．与是定义在R 上的两个可导函数，若,满足,则()f x ()g x ()f x ()g x ''()()f x g x =与满足（ ）()f x ()g x A ． B ．为常数函数()f x =()g x ()f x -()g x C ． D ．为常数函数()f x =()0g x =()f x +()g x 5．函数单调递增区间是（ ） xx y 142+=A ．B ．C ．D ． ),0(+∞)1,(-∞),21(+∞),1(+∞6．函数的最大值为（ ） xx y ln =A ． B ． C ． D ． 1-e e 2e 310二、填空题1．函数在区间上的最大值是 。
2cos y x x =+[0,2π2．函数的图像在处的切线在x 轴上的截距为________________。
3()45f x x x =++1x =3．函数的单调增区间为，单调减区间为___________________。
32x x y -=4．若在增函数，则的关系式为32()(0)f x ax bx cx d a =+++>R ,,a b c 是 。
高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测卷含解析
选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )A ．7米/秒B ．5米/秒C ．6米/秒D ．4米/秒2．若二次函数y ＝f (x )的图像过原点，且它的导数y ＝f ′(x )的图像是经过第一、二、三象限的一条直线，则y ＝f (x )的图像顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°4．已知函数f (x )＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D ．－12或－325．已知物体的运动方程是S (t )＝t 2＋1t(t 的单位：s ，S 的单位：m)．则物体在时刻t ＝2时的速度v与加速度a 分别为( )A.154 m/s 94 m/s 2B.152 m/s 92m/s 2 C.92 m/s 154 m/s 2 D.94 m/s 154m/s 2 6．若函数y ＝f (x )在x 0处可导，则f ′(x )＝0是f (x )在x 0处取得极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．函数f (x )在其定义域内可导，y ＝f (x )的图像如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图像为( )8．定义在(0，＋∞)上的可导函数f (x )满足f ′(x )·x <f (x )，且f (2)＝0，则f xx>0的解集为( ) A ．(0,2) B ．(0,2)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．∅9．函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝1a处有极值，则ac ＋2b 的值为( )A ．－3B ．0C ．1D ．310．已知函数f (x )＝x －sin x ，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f (x 1)＋f (x 2)>0，则下列不等式中正确的是( )A ．x 1>x 2B ．x 1<x 2C ．x 1＋x 2>0D ．x 1＋x 2<011．曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°12．若a ，b 在区间[0, 3]上取值，则函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的概率是( ) A.12 B.33C.36D ．1－36第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0点处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0点处的切线互相平行，则x 0的值为________．14．已知函数f (x )＝x 3＋ax 在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是________． 15．若f ′(x )＝3x 2－6x ，且f (0)＝4，则不等式f (x )>0的解集是________．16．已知函数f (x )＝3x ＋a x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求函数f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]的最值．18．(本小题满分12分)若函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在(－∞，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋m 在区间(－∞，＋∞)上有极大值283.(1)求实数m 的值；(2)求函数f (x )在区间(－∞，＋∞)的极小值．20．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1，0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋a －22x 2－2ax －3，g (a )＝16a 3＋5a －7.(1)a ＝1时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在区间[－2,0]上不单调，且x ∈[－2,0]时，不等式f (x )<g (a )恒成立，求实数a 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)求f (x )的单调区间；(2)当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3是否恒成立，并说明理由．选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题参考答案【第4题解析】f (x )＝－(x ＋1)2＋4. f (x )的开口向下，对称轴为x ＝－1，当x ＝－1，f (－1)＝4>154，∴a >－1. ∴f (x )在[a,2]是减函数．∴f (a )＝154，解得a ＝－12，或a ＝－32(舍去)．故选C.【第5题解析】S ′(t )＝2t －1t 2 ∴v ＝S ′(2)＝2×2－14＝154. 令g (t )＝S ′(t )＝2t －1t2，∴g ′(t )＝2＋2t－3，∴a ＝g ′(2)＝94. 故选A .【第6题解析】f ′(x )＝0不一定能推出f (x )在x 0处取得极值，f (x )在x 0处取得极值一定能推出f ′(x )＝0，故选B.【第7题解析】由于函数先减后增再减，所以导函数的图像是先负后正再负，故选D. 【第8题解析】[f x x ]′＝f ′ x ·x －f x x 2<0，∴f x x 为减函数，∵f (2)＝0，∴f 22＝0.∴f xx>0的解为0<x <2，故选A. 【第9题解析】f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题可知f ′(1a)＝3a (1a)2＋2b 1a＋c ＝0，∴3a＋2b a＋c ＝0，∴ac ＋2b ＝－3，故选A.【第10解析】易知函数f (x )为奇函数，又f ′(x )＝1－cos x ≥0，所以函数f (x )为增函数，由f (x 1)＋f (x 2)>0⇒f (x 1)>－f (x 2)⇒f (x 1)>f (－x 2)⇒x 1>－x 2⇒x 1＋x 2>0. 故选C.【第11题解析】设B (x 0，x 30)，由于y ′＝3x 2，故切线l 的方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，令y ＝0得点A (2x 03，0)，由|OA |＝|AB |，得(2x 03)2＝(x 0－2x 03)2＋(x 30－0)2，当x 0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x 40＝13，故x 20＝33，直线l 的斜率为3x 20＝3，故直线l 的倾斜角为60°. 故选C.【第12题解析】易得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋a ，函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋ax 在R 上有两个相异极值点的充要条件是a ≠0，且其导函数的判别式大于0，即a ≠0，且4b 2－12a 2>0，又a ，b 在区间[0，3]上取值，则a >0，b >3a ，点(a ，b )满足的区域如图中阴影部分所示，其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为32，故所求的概率是36. 故选C.【第16题解析】由题可知，函数f (x )＝3x ＋ax ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以其导函数f ′(x )＝3 x ＋2 － 3x ＋a x ＋2 2＝6－ax ＋2 2在(－2，＋∞)上小于零，解得a >6.故填(6，＋∞).【第17题答案】f (x )的最小值为－12，最大值为2.【第17题解析】f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3>0， ∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )min ＝－12；x ＝1时，f (x )max ＝2.即f (x )的最小值为－12，最大值为2. 【第18题答案】a ≥13.【第18题解析】由f (x )在R 上为增函数知f ′(x )≥0，从而将问题转化为一元二次不等式问题求解．f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1.∵f (x )在R 上单调递增，所以f ′(x )≥0. 即3ax 2－2x ＋1≥0在R 上恒成立．即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a ≤0，∴a ≥13.∴a ≥13.(2)由(1)得f (x )＝13x 3－4x ＋4又当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.【第20题答案】单调递增区间是(0，π)与(3π2，2π)，单调递减区间是(π，3π2)，极小值为f (3π2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.【第20题解析】解 由f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，知f ′(x )＝1＋2sin(x ＋π4)．令f ′(x )＝0，从而sin(x ＋π4)＝－22，得x ＝π，或x ＝3π2， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：因此，由上表知f (x )的单调递增区间是(0，π)与(2，2π)，单调递减区间是(π，2)，极小值为f (2)＝3π2，极大值为f (π)＝π＋2.(2)f ′(x )＝x 2＋(a －2)x －2a ＝(x ＋a )(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2，或x ＝－a . ∵函数f (x )在区间[－2,0]上不单调， ∴－a ∈(－2,0)，即0<a <2. 又∵在(－2，－a )上，f ′(x )>0， 在(－a,0)上，f ′(x )<0，当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f ∴f (x )在[－2,0]上的最大值为f (－a )．∴当x ∈[－2,0]时，不等式f (x )<g (a )恒成立，等价于f (－a )<g (a )． ∴－13a 3＋a －22×a 2＋2a 2－3<g (a )．∴16a 3＋a 2－3<16a 3＋5a －7. ∴a 2－5a ＋4<0，解得1<a <4. 综上所述，a 的取值范围是(1,2)．【第22题答案】（1）当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )；（2）当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3恒成立．【第22题解析】解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由题意得f ′(x )＝x －ax(x >0)，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax＝x －a x ＋ax.∴当0<x <a 时，f ′(x )<0， 当x >a 时，f ′(x )>0.∴当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)，单调递减区间为(0，a )．。
(常考题)北师大版高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．设函数的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为k ,则函数k=g(t)的部分图象为（ ） A ． B ．C ．D ．2．曲线e cos ax y x 在0x =处的切线与直线20x y +=垂直，则a =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．23．函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，若()()g x xf x =，则()'1g =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．324．若点P 在函数3()3f x x x =-+的图象上，且函数3()3f x x x =-+的图象在点P 处的切线平行于直线21y x =+，则点P 的坐标为（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)和(1,3)-D ．(1)3-， 5．已知函数()()ln 211f x x f x '=+--，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．320x y --=B ．350x y --=C ．20x y ++=D ．10x y ++= 6．函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则()21sin 2θθθ+（ ） A ．-2B ．2C ．12-D ．12 7．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则a b =（ ） A ．13 B ．13- C ．3 D ．-38．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x '=++，()01f =，则不等式()5x f x e <的解集为（ ）A ．()4,1-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞9．已知函数21()ln f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则曲线()f x 在1x =-处切线方程为（） A ．230x y -+=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．20x y ++= 10．曲线3215()433f x x x =--在点()3,(3)f 处的切线的倾斜角为( )． A ．－135° B ．135° C ．45° D ．45-11．已知函数2()1f x x =-，()ln g x x =，下列说法中正确的是（ ）A ．(),()f x g x 在点(1,0)处有相同的切线B ．对于任意0x >，()()f x g x ≥恒成立C ．(),()f x g x 的图象有且只有一个交点D ．(),()f x g x 的图象有且只有两个交点12．已知()21cos 4f x x x =+，f x 为f （x ）的导函数，则()y f x ='的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知函数()3ln f x x x =-与3()g x x ax =-，若函数()f x 图象上存在点P ，且点P 关于x 轴对称点Q 在函数()g x 图象上，则实数a 的取值范围为__.14．已知f （x ）＝lnx ，g （x ）12=x 2+mx 72+（m ＜0），直线l 与函数f （x ），g （x ）的图象都相切，且与函数f （x ）的图象的切点为（1，f （1）），则m 的值为_____． 15．已知函数()()2f x f '1e x 1x =+-，其()f 'x 是()f x 的导函数，则曲线y f (x)=在点（1，f (1)）处的切线方程为____________________16．若曲线C 与直线l 满足：①l 与C 在某点P 处相切；②曲线C 在P 附近位于直线l 的异侧，则称曲线C 与直线l “切过”．下列曲线和直线中，“切过”的有________．（填写相应的编号）①3y x =与0y = ②2(2)y x =+与2x =- ③x y e =与1y x =+④sin y x =与y x = ⑤tan y x =与y x =17．过点()0,1且与曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线垂直的直线的方程为______． 18．已知函数()([1,))x x f x ax x e=-∈+∞，其图象上存在两点M ，N ，在这两点处的切线都与x 轴平行，则实数a 的取值范围是____．19．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 都有2(1)2()1f x f x x --=-，则曲线()y f x =在(1,(1))f --处的切线方程为__________．20．直线12y x b =+是曲线的一条切线，则实数b =___________．三、解答题21．已知函数()2()1x f x e ax =+，其中12a >. （1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率； （2）记函数()()x g x f x xe =+的极大值为M ，若1M >，求实数a 的取值范围.22．已知函数()()()211ln 2f x ax a x x a R =-++∈. （1）若0a =，求曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当0a >时，讨论函数()()211ln 2f x ax a x x =-++的单调区间. 23．已知函数f (x )=In(1+x )-x +22k x (k ≥0)． (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(Ⅱ)求f (x )的单调区间．24．已知函数()x f x e =，x ∈R ．（Ⅰ）求()f x 的反函数的图象上点（1，0）处的切线方程；（Ⅱ）证明：曲线()y f x =与曲线2112y x x =++有唯一公共点． 25．已知函数()ln 1x a f x x x=-- （I ）若()f x 在2x =处的切线的斜率为1ln2-，求a 的值； （Ⅱ）1x ∀>，不等式()11f x x >--恒成立，求整数a 的最大值. 26．已知函数()2e 2x f x ax x x =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【详解】 ∵，∴，∴， 可知应该为奇函数，且当02t π<<时，故选B ．考点：利用导数研究函数的单调性.2．D解析：D【解析】因为cos (sin )ax axy ae x e x =+-'，所以由导数的几何意义可得切线的斜率0cos0k ae a ==，由题设可得1122a a -=-⇒=，应选答案D ． 3．D解析：D【解析】分析：先求出()'g x 和(1)g '，再求(1)(1)f f '和即得()'1g .详解：由题得()()(),(1)(1)(1),g x f x xf x g f f =+∴'=+'''因为函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程是210x y -+=，所以1(1),(1)1,2f f =='所以13(1)(1)(1)1.22g f f =+'='=+ 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处的切线的斜率，相应的切线方程是000()()y y f x x x '-=- 4．B解析：B【分析】对()f x 求导，由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+，故2312m -=，求解m ，又点(1,3)在直线21y x =+，排除即得解.【详解】设P 点坐标为(,)P m n ，则33n m m =-+2()31x f x '=-由于在点P 处的切线平行于直线21y x =+故2312m -=，1m ∴=±，代入33n m m =-+，故点P 坐标为(1,3)和(1,3)-又点(1,3)在直线21y x =+，此时切线与21y x =+重合，排除故点P 坐标为(1,3)-故选：B【点睛】本题考查了导数在曲线切线中的应用，考查了学生概念理解，数学运算，综合分析的能力，属于中档题.5．A解析：A【分析】对函数求导，可得f x 的表达式，令1x =-，可得()1f '-的值，进而可求得()1f 、()1f '的值，即可得到切点及切线斜率，进而可求得切线方程.【详解】由题意，()()121f x f x''=+-，则()()1121f f ''-=-+-，解得()11f '-=， 所以()ln 21f x x x =+-，()12f x x '=+， 则()1ln1211f =+-=，()1123f '=+=，故切点为()1,1，切线斜率为3，所以切线方程为()131y x -=-，即320x y --=. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 6．A解析：A【分析】依题意，过原点的直线与函数()|cos |f x x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图像相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得1tan θθ=-，代入所求关系式即可得到答案.【详解】 函数()|cos |f x x =(0)x ≥的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数|cos |y x =(0)x ≥在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的图象相切， 在区间3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，y 的解析式为cos y x =， 故由题意切点坐标为(,cos )θθ，∴切线斜率sin sin ,x k y x θθ===-=-'∴由点斜式得切线方程为：cos sin (),y x θθθ-=--sin sin cos y x θθθθ∴=-++，直线过原点，sin cos 0θθθ∴+=，得1tan θθ=-， ()21sin 2θθθ+∴211sin 2tan =1tan θθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-1tan sin 2tan θθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ sin cos 2sin cos cos sin θθθθθθ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭()222sin cos 2θθ=-+=-.故选：A.【点睛】本题考查了导数的几何意义、点斜式方程、二倍角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.7．B解析：B【分析】 求得曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线的斜率，根据切线与直线0ax by c 垂直列方程，由此求得a b的值. 【详解】 依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】 本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两条直线垂直的条件，属于基础题. 8．A解析：A【分析】 首先构造函数()()x f x G x e=，利用导函数求出()G x 的解析式，即可求解不等式．令()()x f x G x e =，则()()()23x f x f x G x x e'-'==+， 可设2()3G x x x c =++，(0)(0)1G f ==，1c ∴=所以2()()31x f x G x x x e==++ 解不等式()5x f x e <，即()5x f x e <，所以2315x x ++< 解得41x -<<，所以不等式的解集为()4,1-故选A【点睛】本题考查利用导函数解不等式，解题的关键是根据问题构造一个新的函数，此题综合性比较强．9．A解析：A【分析】先求出0x <时，()f x 的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程。
高二数学人教版选修1-1第三章导数测试题
数学选修1-1第三章导数及其应用测试题一、选择题1．若()sin cos f x x α=-,则'()f α等于（ ） A ．sin α B ．cos α C ．sin cos αα+ D ．2sin α2．函数3y x x =+的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 3．函数xx y 142+=单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),21(+∞ D ．),1(+∞4．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)-- 5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0 7．函数xxy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．310 8．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞YB ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞YD ．)3,3(-9．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）A ． (0)(2)2(1)f f f +< B. (0)(2)2(1)f f f +≤ C.(0)(2)2(1)f f f +≥ D. (0)(2)2(1)f f f +>10．函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；12．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________；13．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_____，切线的方程为_______________； 14．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学选修1-1第三章导数综合练习(1)
一、选择题
1. 已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则 x
f x f x 2)1()1(lim 0-+→=( ) A ．2 B ．1 C ． 21 D ．4
1 2. 已知函数f (x )=ax 2＋c ,且f ′(1)=2,则a 的值为
A.1
B.2
C.－1
D.0
3. 已知函数f(x)在x=1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为（ ）
A ．(x-1)3+3(x-1)
B ．2(x-1)2
C ．2(x-1)
D ．x-1
4. 曲线3x 2－y ＋6=0在x =－
61处的切线的倾斜角是 A.4π
B.－4
π C.43π D.－43π 5. 函数y =(2x ＋1)3在x =0处的导数是
A.0
B.1
C.3
D.6
6. 若函数y=x ·2x 且y ’=0，则x 的值为 （ ）
A ．-2ln 1
B ．2
ln 1 C ．-ln 2 D ．ln 2 7．设曲线2x y =在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为
A ．（3，9）
B ．（－3，9）
C ．（49,23）
D ．（49,23-
） 8．函数)0,4(2cos π
在点x y =处的切线方程是
A ．024=++πy x
B ．024=+-πy x
C ．024=--πy x
D ．024=-+πy x
9.曲线y=x 3+x-2在点P 0处的切线平行于直线y=4x-1,则P 0的坐标是
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(-1,0)
D.(1,4)
10.一质点做直线运动,由始点起经过ts 后的距离为s=4
1t 4-4t 3+16t 2,则速度为零的时刻是 A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 11.函数 的导数是 A ． B ． C ． D ．
12．函数 A ．4x +3 B ．4x -1 C ．4x -5 D ．4x -3
13．曲线y =x 3的切线中斜率等于1的直线
A ．不存在
B ．存在，有且仅有一条
C ．存在，有且恰有两条
D ．存在，但条数不确定
14．下列命题正确的是（ ）
（A ）(lgx )’=1x （B ）(lgx )’=ln10x
（C ）(3x )’=3x （D ）(3x )’=3x ·ln3 x x y 12-=x x 12-x x 12+221x x -22
1x x -=
-=-)(',2)1(2x f x x x f 则
15．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim 2x f f x x
→--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是 （A ）2 （B ）－1 （C ）
21 （D ）－2 16．若曲线y =f (x )在点(x 0, f (x 0))处的切线方程为2x －y +1=0，则（ ）
（A ）f ’(x 0)>0 （B ）f ’(x 0)<0 （C ）f ’(x 0)=0 （D ）f ’(x 0)不存在
二、填空题
17．函数y =sin x cos x 的导数为 .
18曲线13++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是_____________________。
19.设函数f (x )=2x 3＋ax 2＋x , f ′(1)=9,则a =______.
20.物体的运动方程是s =－3
1t 3＋2t 2－5,则物体在t =3时的瞬时速度为______. 21．如果曲线03223x x x y x y =-=+=在与处的切线互相垂直，则x 0的值为 .
三、解答题
22．求函数的导数： y = (x + 1)(x + 2 )(x + 3)
23. 已知抛物线 y =x 2 -4与直线y = x + 2，求：（1）两曲线的交点； （2）抛物线在交点处的切线方程。
24 确定抛物线y =x 2＋bx ＋c 中的常数b 和c ,使得抛物线和直线y =2x 在x =2处相切.。