中考点睛3-二次函数三个表达式的转化
中考复习函数专题19 二次函数的性质与图象判断问题(老师版)
专题19 二次函数的性质与图象判断问题知识对接考点一、二次函数的概念及表达式考点二、二次函数的性质与图象2. 抛物线c bx ax y ++=2与系数a,b,c 的关系一、单选题1．抛物线y＝（x﹣5）2的顶点坐标是（）A．（0，﹣5）B．（﹣5，0）C．（0，5）D．（5，0）【答案】D【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解．【详解】解：抛物线y=（x-5）2的顶点坐标是（5，0）．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用顶点式解析式求顶点坐标，是基础题，需熟记．2．对于二次函数y＝2（x＋3）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝﹣3C．当x＜﹣3时，y随x的增大而增大D．与x轴仅有一个交点【答案】C【分析】根据抛物线的性质由a＝2得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣3，当x＜﹣3时，y随x的增大而增减小．【详解】解：二次函数y＝2（x＋3）2的图象开口向上，顶点坐标为（﹣3，0），与x轴仅有一个交点，对称轴为直线x ＝﹣3，当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而减小，故A 、B 、D 说法正确，C 说法不正确，故选：C ．【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a （x −h ）2＋k 中，其顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x ＝h ．当a ＞0时，抛物线开口向上，当a ＜0时，抛物线开口向下．3．如图1，在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，2BC AB =；动点P 以每秒1个单位的速度从点A 出发沿线段AB 运动到点B ，同时动点Q 以每秒4个单位的速度从点B 出发，沿折线B C D --运动到点D ．图2是点P 、Q 运动时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化关系的图象，则a 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】 根据题意计算得4AB =；再结合题意，得当动点Q 在BC 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现二次函数关系；当动点Q 在CD 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现一次函数关系，从而得a 对应动点Q 和点C 重合；通过计算BPC S △，即可得到答案．【详解】根据题意，得4t =时到达点B∵动点P 以每秒1个单位的速度从点A 出发沿线段AB 运动到点B∵4AB =∵28BC AB ==结合题意，当动点Q 在BC 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现二次函数关系 当动点Q 在CD 上时，BPQ 的面积S 随运动时间t 变化呈现一次函数关系∵a 对应动点Q 和点C 重合，如下图：∵动点Q 以每秒4个单位的速度从点B 出发∵48t =∵2t =∵2AP t ==∵2BP AB AP =-=如图，过点A 作AM CD ⊥，交CD 于点M∵2BC AB =，60B ∠=︒∵2AD BC AB ==,60D B ∠=∠=︒∵sin 8AM AD D =⨯∠==∵11222BPC S BP AM =⨯⨯=⨯⨯=，即a = 故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形、二次函数、一次函数、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、三角函数的性质，从而完成求解．4．已知二次函数2()y x h =-（h 为常数），当自变量x 的值满足1≤x ≤3时，其对应的函数值y 的最小值为1，则h 的值为（ ）A ．2或4B ．0或4C ．2或3D ．0或3【答案】B【分析】根据函数的对称轴为：x=h 和13x ≤≤的位置关系，分三种情况讨论即可求解．【详解】解：函数的对称轴为：x=h ，∵当3h ≥时，x =3时，函数取得最小值1，即2(3)1h -=，解得h =4或h =2（舍去）；∵当1h ≤时，x =1时，函数取得最小值1，即2(1)1h -=，解得h =0或h =2（舍去）；∵当13h <<时，x=h 时，函数取得最小值1，不成立，综上，h =4或h =0，故选：B ．【点睛】此题考查函数的最值，函数的对称轴，分情况讨论解决问题是解此题的关键． 5．二次函数()213y x =--+图象的顶点坐标是（ ）A ．()1,3-B ．()1,3C ．()1,3--D ．()1,3- 【答案】B【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标．【详解】解：∵二次函数的解析为2(1)3y x =--+，∵二次函数图像顶点坐标为（1，3）.故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y =a （x -h ）2+k 中，对称轴为x =h ，顶点坐标为（h ，k ）．6．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）A ．抛物线y ＝ax 2的开口向上B ．抛物线y ＝（x ﹣2）2+1中y 有最小值2C ．相似三角形的面积比等于相似比的平方D ．三边对应成比例的两个三角形全等【答案】B【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、抛物线y ＝ax 2的开口向上是随机事件；B 、抛物线y ＝（x ﹣2）2+1中y 有最小值2是不可能事件；C 、相似三角形的面积比等于相似比的平方是必然事件；。
2021年九年级中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质(含答案)
2021中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质一、选择题1. 已知二次函数y ＝x 2－x ＋14m －1的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是( )A ．m ≤5B ．m ≥2C ．m ＜5D ．m ＞22. 如图，抛物线的函数解析式是()A ．y ＝x 2－x ＋2B ．y ＝x 2＋x ＋2C ．y ＝－x 2－x ＋2D ．y ＝－x 2＋x ＋23. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向左平移8个单位长度D ．向右平移8个单位长度4. (2019•成都)如图，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点1,0A ，()5,0B ，下列说法正确的是A ．0c <B ．240b ac -<C ．0a b c -+<D ．图象的对称轴是直线3x =5. 若二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴是x ＝3，则关于x 的方程x 2＋mx ＝7的解为( )A. x 1＝0，x 2＝6B. x 1＝1，x 2＝7C. x 1＝1，x 2＝－7D. x 1＝－1，x 2＝76. (2019•咸宁)已知点()()()()1,,1,,2,0A m B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是 A ．y x ＝ B ．2y x=-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣7. (2019•嘉兴)小飞研究二次函数y=–(x –m)2–m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=–x+1上；②存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1，y1)与点B(x2，y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m ，则y1<y2；④当–1<x<2时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是 A ．① B ．② C ．③ D ．④8.关于二次函数)0(542≠--=a ax ax y 的三个结论：①对任意实数m ，都有m x +=21与m x -=22对应的函数值相等；②若3≤x ≤4，对应的y 的整数值有4个，则134-≤<-a 或341<≤a ；③若抛物线与x 轴交于不同两点A,B ，且AB≤6，则45-<a 或1≥a .其中正确的结论是（ ）A.①②B.①③C.②③D.①②③二、填空题9. 如图，抛物线y=ax 2与直线y=bx+c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，则方程ax 2=bx+c 的解是 .10. 某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝12x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数解析式为________________．11. 已知二次函数的图象经过原点及点(－12，－14)，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为________________．12. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x …－1 0 1 2 3 4 …y …10 5 2 1 2 5 …则该二次函数的解析式为____________________．13. 如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2－mx＋c＞n的解集是________．14. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x和y满足下表:x…-1 0 1 2 3 …y… 3 0 -1 0 m…(1)观察上表可求得m的值为;(2)这个二次函数的解析式为;(3)若点A(n+2，y1)，B(n，y2)在该抛物线上，且y1>y2，则n的取值范围为.15. 已知函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x >0），－x （x ≤0）的图象如图所示，若直线y ＝x ＋m 与该图象恰有三个不同的交点，则m 的取值范围为________．16. 已知实数x ，y 满足x2＋3x ＋y －3＝0，则x ＋y 的最大值为________．三、解答题17. 若关于x 的函数y ＝(m 2－1)x 2－(2m ＋2)x ＋2的图象与x 轴只有一个公共点，求m 的值．18. 如图，足球场上守门员徐杨在O 处抛出一高球，球从离地面1 m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4 m ，最高处距离飞出点的水平距离是6 m ，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点．(参考数据：4 3≈7)(1)求足球的飞行高度y (m)与飞行的水平距离x (m)之间的函数关系式；(不必写出自变量的取值范围)(2)在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？(精确到1 m) (3)若对方一名1.7 m 的队员在距落地点C 3 m 的点H 处跃起0.3 m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？19. 如图①，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(0，3)，B(3，0)，C(4，3)．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S(图②中阴影部分)．20. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．21. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝34x＋m与x轴、y轴分别交于点A、点B(0，－1)，抛物线y＝12x2＋bx＋c经过点B，交直线AB于点C(4，n)．(1)分别求m、n的值；(2)求抛物线的解析式；(3)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0＜t＜4)，DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形(如图)，若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式和p的最大值．22. (2019·四川资阳)如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值； (3)设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2021中考数学 三轮专题突破：二次函数的图象及其性质-答案一、选择题1. 【答案】A[解析] ∵抛物线y ＝x 2－x ＋14m －1与x 轴有交点，∴b 2－4ac≥0，即(－1)2－4×1×(14m －1)≥0，解得m≤5.2. 【答案】D[解析] 先设出函数解析式，然后把(0，2)，(－1，0)，(2，0)分别代入函数解析式，列出方程组，求出各系数即可．3. 【答案】B [解析] y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)．y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，故选B.4. 【答案】D【解析】由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0，A 选项错误； 函数图象与x 轴有两个交点，所以24b ac ->0，B 选项错误； 观察图象可知x=-1时y=a-b+c>0，所以a-b+c>0，C 选项错误； 根据图象与x 轴交点可知，对称轴是(1，0)，(5，0)两点的中垂线，1532x +==， 即x=3为函数对称轴，D 选项正确， 故选D ．5. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝x 2＋mx 的对称轴为x ＝－m2＝3，解得m ＝－6，则关于x 的方程为x 2－6x ＝7，解得，x 1＝－1，x 2＝7.6. 【答案】D【解析】()()1,,1,A m B m -， ∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x y x==-，的图象关于原点对称，因此选项A ，B 错误；∵0n >，∴m n m -<，由()()1,,2,B m C m n -可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， 对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确，故选D ．7. 【答案】C【解析】把(m ，–m+1)代入y=–x+1，–m+1=–m+1，左=右，故①正确；当–(x –m)2–m+1=0时，x1=m x2=m 若顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 则1–m+(1–m)2+1–m+(1–m)2=4(1–m)，即m2–m=0，∴m=0或1时，∴存在一个m 的值，使得函数图象的顶点与x 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正确； 当x1<x2，且x1、x2在对称轴右侧时，∵–1<0，∴在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，即y1>y2，故③错误； ∵–1<0，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而增大， ∴m≥2，故④正确， 故选C ．8. 【答案】D【解析】∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣5的对称轴为直线x ＝422aa-=，∴x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 关于直线x ＝2对称，∴对任意实数m ，都有x 1＝2+m 与x 2＝2﹣m 对应的函数值相等，所以①正确；因为二次函数在3≤x ≤4上y 随x 的增大而增大，或增大而减小，而且x =3时y =-3a -5，x =4时y =-5,所以y 要有4个整式值，则-9＜-3a -5≤-8,或-2≤-3a -5＜-1，所以134-≤<-a 或341<≤a ，故②正确；因为A B≤6，则21212212124)()x -(x |x -x |x x x x -+===2(5)2044166aa--⨯=+≤，则45-<a 或1≥a .所以③正确.故选D.二、填空题9. 【答案】x 1=-2，x 2=1 [解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点坐标分别为A (-2，4)，B (1，1)，∴的解为即方程ax 2=bx +c的解是x 1=-2，x 2=1.10. 【答案】y ＝12(x ＋2)2＋1 [解析] 已知抛物线的顶点坐标，可以设顶点式y ＝a(x －h)2＋k.又因为该抛物线的形状、开口方向与抛物线y ＝12x 2－4x ＋3相同，所以a ＝12，所以该抛物线的函数解析式是y ＝12(x ＋2)2＋1.11. 【答案】y ＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x 【解析】依题意，所求函数有可能经过(－1，0)，(－12，－14) 或(1，0)，(－12，－14) .设所求函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，图象经过原点，则c ＝0，当图象经过(－1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝b＝1，即所求解析式为y ＝x 2＋x ; 当图象经过(1，0)，(－12，－14)时，代入可求得a ＝－13，b ＝13，即所求解析式为y ＝－13x 2＋13x .综上所述，所求函数的解析式为y＝x 2＋x 或y ＝－13x 2＋13x .12. 【答案】y ＝x2－4x ＋5 [解析] 从表格中的数据可以看出，当x ＝1和x ＝3时，函数值y ＝2，可见，抛物线的顶点坐标为(2，1)，故可设二次函数的解析式为y ＝a(x －2)2＋1，再由二次函数图象过点(1，2)，得2＝a(1－2)2＋1，解得a ＝1，故二次函数的解析式为y ＝(x －2)2＋1，即y ＝x2－4x ＋5.13. 【答案】．x ＜－1或x ＞314. 【答案】解:(1)3[解析]观察表格，根据抛物线的对称性可得x=3和x=-1时的函数值相等，∴m 的值为3，故答案为:3.(2)y=(x -1)2-1 [解析]由表格可得，二次函数y=ax 2+bx +c 图象的顶点坐标是(1，-1)，∴y=a (x -1)2-1.又当x=0时，y=0，∴a=1，∴这个二次函数的解析式为y=(x -1)2-1.(3)n>0 [解析]∵点A (n +2，y 1)，B (n ，y 2)在该抛物线上，且y 1>y 2，∴结合二次函数的图象和性质可知n>0.15. 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23，00<m<14 [解析] 联立y ＝x ＋m 与y ＝－x 2＋2x ，得x ＋m ＝－x2＋2x ，整理得x 2－x ＋m ＝0，当有两个交点时，b 2－4ac ＝(－1)2－4m>0，解得m<14.当直线y ＝x ＋m 经过原点时，与函数y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x （x>0）x （x≤0）的图象有两个不同的交点，再向上平移，有三个交点，∴m>0， ∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.16. 【答案】4 [解析] x ＋y ＝－x2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，∴当x ＝－1时，x ＋y 有最大值，最大值是4.三、解答题17. 【答案】解：①当m 2－1＝0且2m ＋2≠0，即m ＝1时，该函数是一次函数，其图象与x 轴只有一个公共点；②当m 2－1≠0，即m ≠±1时，该函数是二次函数，则 Δ＝[－(2m ＋2)]2－8(m 2－1)＝0， 解得m 1＝3，m 2＝－1(舍去)． 综上所述，m 的值是1或3.18. 【答案】解：(1)由题意，设y ＝a(x －6)2＋4. ∵A(0，1)在抛物线上， ∴1＝a(0－6)2＋4， 解得a ＝－112， ∴y ＝－112(x －6)2＋4.(2)令y ＝0，则0＝－112(x －6)2＋4，解得x 1＝4 3＋6≈13，x 2＝－4 3＋6＜0(舍去)，∴在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离约是13 m. (3)当x ＝13－3＝10时，y ＝83＞1.7＋0.3＝2， ∴这名队员不能拦到球．19. 【答案】解：(1)把(0，3)，(3，0)，(4，3)代入y ＝ax2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝x2－4x ＋3.(2)因为y ＝x2－4x ＋3＝(x －2)2－1，所以抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴是直线x ＝2.(3)阴影部分的面积为2.20. 【答案】解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．∴⎩⎨⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝3.(4分) (2)如解图①，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点D(2，0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为点E ，点F ，则S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×4×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x ，则S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋(2x －4)＋(－x 2＋6x)＝－x 2＋8x.∴S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)．(10分)∵S ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.(12分)解图①【一题多解】解法一：由(1)知y ＝－12x 2＋3x ，如解图②，连接AB ，则S ＝S △AOB ＋S △ABC ，其中S △AOB ＝12×6×4＝12，设直线AB 解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，将点A(2，4)，B(6，0)代入，易得，y 1＝－x ＋6，过C 作直线l ⊥x 轴交AB 于点D ，∴C(x ，－12x 2＋3x)，D(x ，－x ＋6)，∴S △ABC ＝S △ADC ＋S △BDC ＝12·CD·(x －2)＋12·CD·(6－x)＝12·CD·4＝2CD ，其中CD ＝－12x 2＋3x －(－x ＋6)＝－12x 2＋4x －6，∴S △ABC ＝2CD ＝－x 2＋8x －12，∴S ＝S △ABC ＋S △AOB ＝－x 2＋8x －12＋12＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)， 即S 关于x 的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.解图②解法二：∵点C 在抛物线y ＝－12x 2＋3x 上，∴点C(x ，－12x 2＋3x)，如解图③，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为点E ，则点D 的坐标为(2，0)，点E 的坐标为(x ，0)，∴S ＝S △OAD ＋S 梯形ADEC ＋S △CEB ＝12×2×4＋12(4－12x 2＋3x)(x －2)＋12(6－x)(－12x 2＋3x)＝－x 2＋8x ，∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16(2<x<6)，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 取最大值，最大值为16.解图③21. 【答案】(1)∵直线y ＝34x ＋m 与y 轴交于点B (0，－1)，∴m ＝－1，∴直线解析式为y ＝34x －1，∵直线经过点C (4，n )，∴n ＝34×4－1＝2；(2)∵抛物线经过点C 和点B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－54x －1；(3)∵点D 的横坐标为t (0＜t ＜4)，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，∴D (t ，12t 2－54t －1)，E (t ，34t －1)， ∴DE ＝34t －1－(12t 2－54t －1)＝－12t 2＋2t ，∵DE ∥y 轴，∴∠DEF ＝∠ABO ，且∠EFD ＝∠AOB ＝90°，∴△DFE ∽△AOB ，∴DF OA ＝EF OB ＝DE AB ，在y ＝34x －1中，令y ＝0可得x ＝43，∴A (43，0)，∴OA ＝43，在Rt △AOB 中，OB ＝1，∴AB ＝53，∴DF 43＝EF 1＝DE 53，∴DF ＝45DE ，EF ＝35DE ，∴p ＝2(DF ＋EF )＝2×(45＋35)DE ＝145DE ＝145(－12t 2＋2t )＝－75t 2＋285t ＝－75(t －2)2＋285(0＜t ＜4)， ∵－75＜0，∴当t ＝2时，p 有最大值285.22. 【答案】(1)将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+，71422m =-+=-， ∴B 的坐标为1(4,)2-，将(3,2)A ，1(4,)2B -代入212y x bx c =-++， 2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩，解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++； (2)设217(,)22D m m m ++，则7(,)2E m m -+， 22217711()()2(2)222222DE m m m m m π=-++--+=-+=--+， ∴当2m =时，DE 有最大值为2，此时7(2,)2D ， 作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小，∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，2273(12)(2)522A D '=--+-= 即PD PA +352(3)作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++，∴(1,4)M ， ∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ︒∠=，90AHM ︒∠=，∴12AQM AHM ∠=∠， 可知AQM ∆外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，则22(01)(2)2t -+-=，23t =23∴符合题意的点Q 的坐标：1(0,23)Q 、2(0,23)Q ．【名师点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．。
【重点突围】2023学年九年级数学上册专题提优训练(人教版) 用二次函数解决实际问题(解析版)
用二次函数解决实际问题考点一 用二次函数解决增长率问题 考点二 用二次函数解决销售问题考点三 用二次函数解决拱桥问题 考点四 用二次函数解决喷水问题考点五 用二次函数解决投球问题 考点六 用二次函数解决图形问题考点七 用二次函数解决图形运动问题考点一 用二次函数解决增长率问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造 产量年均增长率为x 已知2020年产量为1万件 那么2022年的产量y （万件）与x 间的关系式为___________．【答案】2(1)y x =+【解析】【分析】因为产量的平均增长率相同 所以2021的产量为()11+x ⨯ 2022年的产量为()()11+1+x x ⨯⨯ 由此即可知道2022年的产量y （万件）与x 间的关系式．【详解】解：∵2020年产量为1万件 且产量年均增长率为x ．∴2021年产量为()11+x ⨯；2022年的产量为()()()211+1+=1x x x ⨯⨯+． ∴2022年的产量y （万件）与x 间的关系式为2(1)y x =+．故答案为：2(1+)y x =【点睛】本题考查二次函数的实际问题 能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件 计划今后两年增加产量 如果每年都比上一年的产量增加x 倍 那么两年后这种产品的产量y （万件）将随计划所定的x 的值而确定 那么y 与x 之间的关系式应表示为________．【答案】2242y x x =++或22(1)y x =+【解析】【分析】根据平均增长问题 可得答案．【详解】解：y 与x 之间的关系应表示为y ＝2（x +1）2．故答案为：y ＝2（x +1）2．【点睛】本题考查了函数关系式 利用增长问题获得函数解析式是解题关键 注意增加x 倍是原来的（x +1）倍． 2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程 该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设 改善民生 优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户 求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造 如果计划改造300户 计划投入改造费用平均20000元/户 且计划改造的户数每增加1户 投入改造费平均减少50元/户 求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【解析】【分析】（1）设平均增长率为x 根据题意列式求解即可；（2）设多改造y 户 最高投入费用为w 元 根据题意列式()()()230020000505050612500w a a a =+⨯-=--+ 然后根据二次函数的性质即可求出最大值．【详解】解：（1）设平均增长率为x 则x >0由题意得：()231+ 4.32x =解得：x =0.2或x =-2.2（舍）答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；（2）设多改造a 户 最高投入费用为w 元由题意得：()()()230020000505050612500w a a a =+⨯-=--+∵a =-50 抛物线开口向下∴当a -50=0 即a =50时 w 最大 此时w =612500元答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用 解题的关键是正确读懂题意列出式子 然后根据二次函数的性质进行求解．考点二 用二次函数解决销售问题例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品 平均每天可售出20件 每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利 该店采取了降价措施 在每件盈利不少于25元的前提下 经过一段时间销售 发现销售单价每降低1元 平均每天可多售出2件．(1)若降价3元 则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时 该商店每天销售利润最大？【答案】(1)26(2)当每件商品降价15元时 该商店每天销售利润最大．【解析】【分析】（1）由题意可直接进行求解；（2）设每件商品降价x 元 每天销售利润为w 元 由题意可列出函数关系式 进而问题可求解．(1)解：由题意得：平均每天销售数量为202326+⨯=（件）；故答案为26；(2)解：设每件商品降价x 元 每天销售利润为w 元 由题意得：()()()22402022608002151250w x x x x x =-+=-++=--+∵每件盈利不少于25元∴4025x -≥ 解得：15x ≤∵-2＜0 对称轴为直线15x =∴当15x 时w有最大值答：当每件商品降价15元时该商店每天销售利润最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）某商场要经营一种新上市的文具进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价是25元/件时每天的销售量为250件销售单价每上涨1元每天的销售量就减少10件．求销售单价为多少元时该文具每天的销售利润最大；最大利润为多少元？【答案】x＝35时w最大值2250元【解析】【分析】设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）利用每件利润×销量＝总利润进而得出w与x的函数关系式；再利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．【详解】解：设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）由题意可得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣20）（x﹣50）＝﹣10x2+700x﹣10000；∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250∴当x＝35时w取到最大值2250即销售单价为35元时每天销售利润最大最大利润为2250元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．2．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500 在销售过程中销售单价不低于成本价而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设每月获得利润为w（元）求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(2)如果想要每月获得的利润为2000元那么每月的单价定为多少元？(3)当销售单价定为多少元时 每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【答案】(1)w =-10x 2+700x -10000（20≤x ≤32）(2)如果张明想要每月获得的利润为2000元 张明每月的单价定为30元(3)当销售单价定为32元时 每月可获得最大利润 最大利润是2160元【解析】【分析】（1）由题意得 每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数 利润=（定价-进价）×销售量 从而列出关系式；（2）把2000元代入上述二次函数关系式 根据函数性质 确定单价；（3）首先确定二次函数的对称轴 然后根据其增减性确定最大利润即可．(1)解：由题意得：w =（x -20）•y=（x -20）•（-10x +500）=-10x 2+700x -10000即w =-10x 2+700x -10000（20≤x ≤32）；(2)由题意可知：-10x 2+700x -10000=2000解这个方程得：x 1=30 x 2=40．由（1）得 20≤x ≤32∴如果张明想要每月获得的利润为2000元 张明每月的单价定为30元；(3)对于函数w =-10x 2+700x -10000的图象的对称轴是直线x =()700210-⨯-=35．又∵a =-10＜0 抛物线开口向下．∴当20≤x ≤32时 w 随着x 的增大而增大∴当x =32时 w =2160答：当销售单价定为32元时 每月可获得最大利润 最大利润是2160元．【点睛】此题考查了二次函数的应用 还考查抛物线的性质 另外将实际问题转化为求函数最值问题 从而来解决实际问题．考点三 用二次函数解决拱桥问题例题：（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥 当拱顶离水面2米时 水面宽6米 水面下降________米 水面宽8米．【答案】149##519【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系 通过代入A 点坐标（-3 0） 求出二次函数解析式 再根据把x =4代入抛物线解析式得出下降高度 即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系 设横轴x 通过AB 纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点 则通过画图可得知O 为原点 由题意可得：AO =OB =3米 C 坐标为（0 2）通过以上条件可设顶点式y =ax 2+2 把点A 点坐标（-3 0）代入得∴920a +=∴29a =- ∴抛物线解析式为：2229y x =-+； 当水面下降 水面宽为8米时 有把4x =代入解析式 得2221442162999y =-⨯+=-⨯+=-； ∴水面下降149米； 故答案为：149； 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用 根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·山东德州·九年级期末）如图是抛物线型拱桥 当拱顶高距离水面2m 时 水面宽4m 如果水面上升1.5m 则水面宽度为________．【答案】2m【解析】【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系 设出抛物线的解析式 从而可以求得水面的宽度增加了多少 本题得以解决．【详解】解：如图建立平面直角坐标系设抛物线的解析式为y =ax 2由已知可得 点（2 -2）在此抛物线上则-2=a ×22 解得12a =-∴212y x =- 当y =-0.5时 210.52x解得x =±1 此时水面的宽度为2m故答案为：2m ．【点睛】本题考查二次函数的应用 解题的关键是明确题意 找出所求问题需要的条件 建立合适的平面直角坐标系．2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞 桥洞离水面的最大高度为4m 跨度为10m 如图所示 把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)如图 在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是多少？【答案】(1)()245425y x =--+ (2)在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是9625m 【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式 然后根据抛物线过点()0,0 代入即可求解；（2）根据对称轴为：5x = 得出对称轴右边1m 处为：6x = 代入即可求解．(1)解：由题意可得：抛物线顶点坐标为()5,4设抛物线解析式为：()254y a x =-+∵抛物线过点()0,0∴()20054a =-+ 解得：425a =- ∴这条抛物线所对应的函数关系式为：()245425y x =--+． (2)解：对称轴为：5x = 则对称轴右边1m 处为：6x =将6x =代入()245425y x =--+ 可得：()2465425y =--+ 解得：9625y = 答：在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是9625m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用 解答此题的关键是明确题意 求出抛物线的解析式．考点四 用二次函数解决喷水问题例题：（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观 喷出的水柱呈抛物线形状 她对此展开研究：测得喷水头P 距地面0.7m 水柱在距喷水头P 水平距离5m 处达到最高 最高点距地面3.2m ；建立如图所示的平面直角坐标系 并设抛物线的表达式为()2y a x h k =-+ 其中x （m ）是水柱距喷水头的水平距离 y （m ）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方 且距喷水头P 水平距离3m 身高1.6m 的小红在水柱下方走动 当她的头顶恰好接触到水柱时 求她与爸爸的水平距离．【答案】(1)()20.15 3.2y x =--+(2)2或6m【解析】【分析】（1）根据顶点()5,3.2 设抛物线的表达式为()25 3.2y a x =-+ 将点()0,0.7P 代入即可求解； （2）将 1.6y =代入（1）的解析式 求得x 的值 进而求与点()3,0的距离即可求解．(1)解：根据题意可知抛物线的顶点为()5,3.2设抛物线的解析式为()25 3.2y a x =-+将点()0,0.7代入 得0.725 3.2a =+解得0.1a =-∴抛物线的解析式为()20.15 3.2y x =--+ (2)由()20.15 3.2y x =--+ 令 1.6y =得()21.60.15 3.2x =--+解得121,9x x ==爸爸站在水柱正下方 且距喷水头P 水平距离3m∴当她的头顶恰好接触到水柱时 她与爸爸的水平距离为312-=(m ) 或936-=(m )． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用 掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川南充·中考真题）如图 水池中心点O 处竖直安装一水管 水管喷头喷出抛物线形水柱 喷头上下移动时 抛物线形水柱随之竖直上下平移 水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现 喷头高2.5m 时 水柱落点距O 点2.5m ；喷头高4m 时 水柱落点距O 点3m ．那么喷头高_______________m 时 水柱落点距O 点4m ．【答案】8【解析】【分析】由题意可知 在调整喷头高度的过程中 水柱的形状不发生变化 则当喷头高2.5m 时 可设y =ax 2+bx +2.5 将（2.5 0）代入解析式得出2.5a +b +1=0；喷头高4m 时 可设y =ax 2+bx +4 将（3 0）代入解析式得9a +3b +4=0 联立可求出a 和b 的值 设喷头高为h 时 水柱落点距O 点4m 则此时的解析式为y =ax 2+bx +h 将（4 0）代入可求出h ．【详解】解：由题意可知 在调整喷头高度的过程中 水柱的形状不发生变化当喷头高2.5m 时 可设y =ax 2+bx +2.5将（2.5 0）代入解析式得出2.5a +b +1=0①喷头高4m 时 可设y =ax 2+bx +4将（3 0）代入解析式得9a +3b +4=0② 联立可求出23a =- 23b = 设喷头高为h 时 水柱落点距O 点4m∴此时的解析式为22233y x x h =-++ 将（4 0）代入可得22244033h -⨯+⨯+= 解得h =8．故答案为：8．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用 重点是二次函数解析式的求法 直接利用二次函数的平移性质是解题关键．2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1 灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2 可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG其水平宽度3mDE=竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m高出喷水口0.5m灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．(1)若 1.5h=0.5mEF=；①求上边缘抛物线的函数解析式并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带求d的取值范围；(2)若1mEF=．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带请直接写出h的最小值．【答案】(1)①6m；②(2,0)；③2231d≤≤(2)65 32【解析】【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；②设根据对称性求出平移规则再根据平移规则由C点求出B点坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带则上边缘抛物线至少要经过F点下边缘抛物线OB d≤计算即可；（2）当喷水口高度最低且恰好能浇灌到整个绿化带时点D F恰好分别在两条抛物线上设出D、F 坐标计算即可．(1)（1）①如图1 由题意得(2,2)A 是上边缘抛物线的顶点设2(2)2y a x =-+．又∵抛物线经过点(0,1)5.∴1.542a =+∴18a =-． ∴上边缘抛物线的函数解析式为21(2)28y x =--+． 当0y =时 21(2)208x --+= ∴16x = 22x =-（舍去）．∴喷出水的最大射程OC 为6m ．图1②∵对称轴为直线2x =∴点(0,1)5.的对称点的坐标为(4,1.5)． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的即点B 是由点C 向左平移4m 得到 则点B 的坐标为(2,0)．③如图2 先看上边缘抛物线∵0.5EF =∴点F 的纵坐标为0.5．抛物线恰好经过点F 时21(2)20.58x --+=． 解得223x =±∵0x >∴223x =+当0x >时 y 随着x 的增大而减小∴当26x ≤≤时 要使0.5y ≥则223x ≤+∵当02x ≤<时 y 随x 的增大而增大 且0x =时 1.50.5y =>∴当06x ≤≤时 要使0.5y ≥ 则023x ≤≤+∵3DE = 灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带∴d 的最大值为(23)331+-=．再看下边缘抛物线 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB d ≤∴d 的最小值为2．综上所述 d 的取值范围是231d ≤≤．(2)h 的最小值为6532． 由题意得(2,0.5)A h +是上边缘抛物线的顶点∴设上边缘抛物线解析式为2(2)0.5y a x h =-++．∵上边缘抛物线过出水口（0 h ）∴40.5y a h h =++= 解得18a =- ∴上边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =--++ ∵对称轴为直线2x =∴点(0,)h 的对称点的坐标为(4,)h ．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的∴下边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =-+++． 当喷水口高度最低 且恰好能浇灌到整个绿化带时 点D F 恰好分别在两条抛物线上∵DE =3∴设点(),0D m ()3,0E m + 213,(32)0.58F m m h ⎛⎫+-+-++ ⎪⎝⎭∵D 在下边缘抛物线上∴21(2)0.508m h -+++= ∵EF =1∴21(32)0.518m h -+-++= ∴21(32)0.58m h -+-++-21(2)0.518m h ⎡⎤-+++=⎢⎥⎣⎦解得 2.5m =代入21(2)0.508m h -+++= 得6532h =． 所以h 的最小值为6532． 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题 构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．考点五 用二次函数解决投球问题例题：（2022·上海市张江集团中学八年级期末）如图 以地面为x 轴 一名男生推铅球 铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是___米．【答案】10【解析】【分析】成绩就是当高度y =0时x 的值 所以解方程即可求解本题． 【详解】 解：当y =0时 212501233x x -++= 解得：x 1=10 x 2=-2（不合题意 舍去）所以推铅球的距离是10米；故答案为：10．【点睛】本题主要考查二次函数的应用 把函数问题转化为方程问题来解 渗透了函数与方程相结合的解题思想．【变式训练】 1．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+ 其中y 是实心球飞行的高度 x 是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A 的坐标为16(0,)9则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m【答案】C【解析】【分析】 根据题意待定系数法求解析式 再令0y = 即可求解．【详解】解：∵实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+ 点A 的坐标为16(0,)9 ∴2161399k =-⨯+ 解得259k =∴2125(3)99y x =--+令0y = 2125(3)099x --+= 即()2325x -=解得12x =-（舍去）2,8x =故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用 待定系数法求解析式 求二次函数与坐标轴的交点 掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O 处长抛篮球的路线示意图 球在点A 处离手 且1m OA =．第一次在点D 处落地 然后弹起在点E 处落地 篮球在距O 点6m 的点B 处正上方达到最高点 最高点C 距地面的高度4m BC = 点E 到篮球框正下方的距离2m EF = 篮球框的垂直高度为3m ．据试验 两次划出的抛物线形状相同 但第二次的最大高度为第一次的12 以小明站立处点O 为原点 建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线ACD 的函数解析式；(2)求篮球第二次的落地点E 到点O 的距离．（结果保留整数）(3)若小明想一次投中篮球框 他应该向前走多少米？（结果精确到0.1m ）（参考数据：36 2.45≈）【答案】(1)()()2164043612y x x =--+≤≤ (2)篮球第二次的落地点E 到点O 的距离为23m ；(3)小明想一次投中篮球框 他应该向前走15.3m ．【解析】【分析】（1）设抛物线ACD 的函数解析式为()()20y a x k h a =-+≠ 将()()0164A C ，、，代入即可求解； （2）将()216412y x =--+向下平移两个单位得 ()216212y x =--+ 令0y =得12626626x x =+=-，（3）令3y =得 ()2136412x =--+ 解得：12623623x x =+=-， 由()43468m OF OE EF =+=即可求解．(1)解：由题意知 ()()0164A C ，、， 设抛物线ACD 的函数解析式为()()20y a x k h a =-+≠； 将()()0164A C ，、，代入表达式得 ()21064a =-+ 解得：112a =-； ∴()216412y x =--+； 令0y =得 ()4360D ，∴抛物线ACD 的函数解析式为()()2164043612y x x =--+≤≤； (2)由题意 将()216412y x =--+向下平移两个单位得 ()216212y x =--+ 令0y =得 ()2106212x =--+ 解得：12626626x x =+=-，∴(4366264326--= ∴432662643466+= ∴()434660E ，∴()4346623m OE =≈(3)令3y =得 ()2136412x =--+ 解得：12623623x x =+=-，()43468m OF OE EF =+=(()434686234623215.3m -+=≈∴小明想一次投中篮球框 他应该向前走15.3m ．【点睛】本题主要考查二次函数的图形及性质正确解读题意并结合二次函数图像及性质进行解答是解题的关键．考点六用二次函数解决图形问题例题：（2021·江苏镇江·九年级期中）如图利用一面墙（墙长26米）用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD且中间共留两个1米的小门设栅栏BC长为x米．(1)AB＝米（用含x的代数式表示）；(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米求栅栏BC的长；(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能请求出最大面积；如果不能请说明理由．【答案】(1)（51﹣3x）(2)10米(3)能最大面积为867 4【解析】【分析】（1）设栅栏BC长为x米根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门即可用含x的代数式表示出AB 的长；（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米即可得出关于x的一元二次方程解之取其较大值即可得出结论；（3）根据矩形围栏ABCD面积为S=(51-3x)x＝-3(x-172)2+8674,利用二次函数最值即可求解．(1)解：设栅栏BC长为x米∵栅栏的全长为49米且中间共留两个1米的小门∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米）故答案为：（51﹣3x）；(2)解：依题意得：（51﹣3x）x＝210整理得：x2﹣17x+70＝0解得：x1＝7 x2＝10．当x＝7时AB＝51﹣3x＝30＞26 不合题意舍去当x＝10时AB＝51﹣3x＝21 符合题意答：栅栏BC的长为10米；(3)解：能S=(51-3x)x＝-3(x-172)2+8674,∵-3<0∴当x=172时S有最大值最大值为8674即最大面积为8674∵8674>210∴能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用列代数式以及根的判别式解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系正确列出一元二次方程；（3）正确列出面积与BC的二次函数关系．【变式训练】1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．(1)求s与x的函数关系式并求出x的取值范围；(2)若矩形场地的面枳最大应该如何设计长与宽．【答案】(1)2220(510)s x x x=-+<．(2)当矩形场地长为10米 宽为5米时 矩形的面积最大．【解析】【分析】（1）由AD x = 可得出202AB x =- 由墙长10米 可得出关于x 的一元一次不等式组 解之即可得出x 的取值范围 再利用矩形的面积公式即可得出s 关于x 的函数关系式；（2）根据（1）可利用二次函数的性质可进行求解． (1)解：AD BC x ==202AB x ∴=-．又墙长10米∴20210220x x -⎧⎨<⎩ 510x ∴<．2(202)220(510)s x x x x x ∴=-=-+<．(2)解：由（1）可知：()222202550s x x x =-+=--+∴当5x =时 矩形的场地面积最大 最大值为50；答：当矩形场地长为10米 宽为5米时 矩形的面积最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用 熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2022·山东烟台·九年级期中）某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE 为正方形）的三条边围成 已知城门宽度为4米 最高处距地面6米．如图1所示 现以O 点为原点 OM 所在的直线为x 轴 OE 所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(1)求上半部分抛物线的函数表达式 并写出其自变量的取值范围；(2)有一辆宽3米 高4.5米的消防车需要通过该城门 请问该消防车能否正常进入？(3)为营造节日气氛 需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD 该“装饰门”关于抛物线对称轴对称 如图2所示 其中AB AD CD 为三根承重钢支架 A 、D 在抛物线上 B C 在地面上 已知钢支架每米70元 问搭建这样一个矩形“装饰门” 仅钢支架一项 最多需要花费多少元？【答案】(1)2124(04)2y x x x =-++ (2)能正常进入 理由见解析(3)910元【解析】【分析】（1）根据所建坐标系知顶点和与y 轴交点E 的坐标 可设解析式为顶点式 进行求解 由城门宽度为4米知x 的取值范围是0≤x ≤4；（2）根据对称性当车宽3米时 x ＝12 求此时对应的纵坐标的值 与车高4.5米进行比较得出结论； （3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和 再运用性质求最大值 可设点B 的坐标 表示三段的长度从而得出表达式．(1)解：由题意知 抛物线的顶点(2,6)∴设抛物线的表达式为2(2)6y a x =-+ 抛物线过点(0,4)E446a ∴=+12a ∴=- ∴抛物线的表达式为21(2)62y x =--+ 即2124(04)2y x x x =-++； (2)解：由题意知 当消防车走最中间时 进入的可能性最大 即当12x =时 211124 4.875 4.5222y ⎛⎫=-⨯+⨯+=> ⎪⎝⎭∴消防车能正常进入；(3)解：设B 点的横坐标为m AB AD CD ++的长度为l由题意知42BC m =-即42AD m =- 21242CD AB m m ==-++221224(42)2122l m m m m m ⎛⎫∴=⨯-+++-=-++ ⎪⎝⎭当212(1)m =-=⨯-时 l 最大 l 最大21211213=-+⨯+= ∴费用为1370910⨯=（元）答：仅钢支架一项 最多需要花费910元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．正确地求得函数解析式是解题的关键．考点七 用二次函数解决图形运动问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 已知点P 在直角边AB 上 以1cm/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在直角边BC 上 以2cm/s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处．图2是BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系图像（点M 为图像的最高点） 根据相关信息 计算线段AC 的长为（ ）A ．35cmB ．45cmC ．55cmD ．65cm【答案】B【解析】【分析】根据题意 得出()cm PB a t =- 2cm BQ t = 在Rt PBQ ∆中 根据面积公式得到BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系2y t at =-+ 利用顶点式2224a a y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得出当2a t =时 y 有最大值为244a = 从而求出P Q 、运动时间是4t s = 求出4cm,8cm AB BC == 根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设运动时间()s t cm AB a = 则cm AP t = 2cm BQ t =∴在Rt PBQ ∆中 90ABC ∠=︒ ()cm PB a t =- 2cm BQ t = 则()2221122224a a y PB BQ t a t t at t ⎛⎫=⋅=⨯-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ∴当2a t =时 y 有最大值为244a = 解得4a = 即2t =根据BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系可知抛物线与x 轴交于()0,0和()4,0两点 即P Q 、运动时间是4t s =4cm,8cm AB BC ∴==在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 4cm,8cm AB BC == 根据勾股定理可得22224845cm AC AB BC +=+故选：B ．【点睛】本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题 涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点 看懂题意 将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图 在矩形ABCD 中 BC ＞CD BC 、CD 分别是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根 连接BD 并过点C 作CN ⊥BD 垂足为N 点P 从B 出发 以每秒1个单位的速度沿BD 方向匀速运动到D 为止；点M 沿线段DA 以每秒1个单位的速度由点D 向点A 匀速运动 到点A 为止 点P 与点M 同时出发 设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)求线段CN 的长；(2)在整个运动过程中 当t 为何值时△PMN 的面积取得最大值 最大值是多少？【答案】(1)125(2)当4t =时 2425S =最大 【解析】【分析】（1）首先解一元二次方程得到BC =4 CD =2 然后利用等积法求出CN ；（2）分0＜t ≤165 和165＜t ≤4两种情况列出函数解析式 利用二次函数的性质求出最大值． (1)解：27120x x -+=解得13x = 24x =∵BC CD >∴4BC = 3CD =∵四边形ABCD 是矩形 4BC = 3CD =∴5BD =∴113422BD CN ⋅=⨯⨯ ∴125CN =； (2) 由题可知 165BN =①当1605t <≤时 过点M 作MH ⊥BD 垂足为H设△PMN 的面积为S 则221116331638962255105105125S PN MH t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵816055<≤ ∴当85t =时96125S =最大 ②当1645t ≤＜时 111632255S PN MH t t ⎛⎫=⋅=-⋅ ⎪⎝⎭ 此时 S 随t 的增大而增大∴当4t =时 2425S =最大 综合①②知 当t =4时 △PMN 的面积取得最大值 最大值是2425 ． 【点睛】本题考查利用二次函数解决面积最大问题 解决问题的关键是根据t 值分情况列出函数解析式． 2．（2021·北京·九年级期中）如图 Rt ABC ∆中 90C ∠=︒ 6AC = 8BC =．动点P Q 分别从A C 两点同时出发 点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动 点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动 当P Q 到达终点C B 时 运动停止．设运动时间为()t s ．(1)①当运动停止时 t 的值为 ．②设P C 之间的距离为y 则y 与t 满足 （选填“正比例函数关系” “一次函数关系” “二次函数关系” )．(2)设PCQ ∆的面积为S。
押浙江卷第23题(二次函数的应用与综合)(解析版)-备战2024年中考数学临考题号押题
押浙江卷第23题（二次函数的应用与综合）押题方向：二次函数应用及综合问题2023年浙江真题考点命题趋势2023年湖州卷第21题二次函数的应用从近几年浙江各地中考来看，解答题中二次函数考查内容主要是二次函数的实际应用、二次函数综合，其中二次函数的综合题经常以压轴题出现，试题的整体难度比较高，预计2024年浙江卷还将重视二次函数综合问题的考查。
2023年湖州卷、衢州卷、绍兴卷、舟山、嘉兴卷、丽水卷第23题、杭州卷第22题、金华卷第24题二次函数综合1．（2023•杭州）设二次函数y ＝ax 2+bx +1（a ≠0，b 是实数）．已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：x …﹣10123…y…m1n1p…（1）若m ＝4，①求二次函数的表达式；②写出一个符合条件的x 的取值范围，使得y 随x 的增大而减小．（2）若在m ，n ，p 这三个实数中，只有一个是正数，求a 的取值范围．【思路点拨】（1）①利用待定系数法即可求得；②利用二次函数的性质得出结论；（2）根据题意m ≤0，由﹣＝1，得出b ＝﹣2a ，则二次函数为y ＝ax 2﹣2ax +1，得出m ＝a +2a +1≤0，解得a ≤﹣．【解析】解：（1）①由题意得，∴二次函数的表达式是y＝x2﹣2x+1；②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；（2）∵x＝0和x＝2时的函数值都是1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴（1，n）是顶点，（﹣1，m）和（3，p）关于对称轴对称，若在m，n，p这三个实数中，只有一个是正数，则抛物线必须开口向下，且m≤0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函数为y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a+2a+1≤0，∴a≤﹣．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意得出m＝a+2a+1＜0是解题的关键．2．（2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；【思路点拨】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【解析】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），∴，∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝m，∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，∴由图象的对称性得n＝2m，∴m＝，∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∴﹣4＜n＜﹣2；（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴﹣＝m，∴b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：，①×3+②得：12am2+12＝0，∴am2+1＝0，∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【点睛】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用．3．（2023•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围．【思路点拨】（1）用待定系数法求出函数表达式，配成顶点式即可得顶点坐标；（2）求出A关于对称轴的对称点坐标，由图象直接可得答案．【解析】解：（1）把A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣5，∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∴顶点坐标为（﹣1，﹣6）；（2）如图：∵点A（1，﹣2）关于对称轴直线x＝﹣1的对称点C（﹣3，﹣2），∴当y≤﹣2时，x的范围是﹣3≤x≤1．【点睛】本题考查二次函数图象及性质，解题的关键是掌握待定系数法，求出函数表达式．4．（2023•绍兴）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．（1）当b＝4，c＝3时，①求该函数图象的顶点坐标；②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．【思路点拨】（1）先把解析式进行配方，再求顶点；（2）根据函数的增减性求解；（3）根据函数的图象和系数的关系，结合图象求解．【解析】解：（1）①∵b＝4，c＝3时，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴顶点坐标为（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），∴当x＝2时，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴当x＝﹣1时，y有最小值为：﹣2，∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，∴c＝2，又∵，∴b＝±2，∵b＞0，∴b＝2．∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握数形结合思想是解题的关键．5．（2023•湖州）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜60）存在一次函数关系，部分数据如表所示：销售价格x（元/千克）5040日销售量y（千克）100200（1）试求出y关于x的函数表达式．（2）设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？【思路点拨】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由表中数据即可得出结论；（2）根据每日总利润＝每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．【解析】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．将x＝50，y＝100和x＝40，y＝200分别代入，得：，解得：，∴y关于x的函数表达式是：y＝﹣10x+600．（2）W＝（x﹣30）（﹣10x+600）＝﹣10x2+900x﹣18000．当x＝﹣＝45时，在30≤x＜60的范围内，W取到最大值，最大值是2250．答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元．【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式．6．（2023•温州）一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？【思路点拨】（1）求出抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，用待定系数法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【解析】解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2+3；当x＝0时，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决．7．（2023•湖州）如图1，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），图象的顶点为M．矩形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，顶点B的坐标为（1，5）．（1）求c的值及顶点M的坐标．（2）如图2，将矩形ABCD沿x轴正方向平移t个单位（0＜t＜3）得到对应的矩形A′B′C′D′．已知边C′D′，A′B′分别与函数y＝x2﹣4x+c的图象交于点P，Q，连接PQ，过点P作PG⊥A′B′于点G．①当t＝2时，求QG的长；②当点G与点Q不重合时，是否存在这样的t，使得△PGQ的面积为1？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用待定系数法将（0，5）代入y＝x2﹣4x+c，即可求得c的值，再利用配方法将抛物线的解析式化为顶点式或运用顶点公式即可求得答案；（2）①当t＝2时，D′，A′的坐标分别是（2，0），（3，0）．进而可求得点P、Q的纵坐标，利用QG ＝y Q﹣y G，即可求得答案；②根据题意，得：P（t，t2﹣4t+5），Q（t+1，t2﹣2t+2），G（t+1，t2﹣4t+5），分两种情况：当点G在点Q的上方时，当点G在点Q的下方时，分别求得t的值即可．【解析】解（1）∵二次函数y＝x2﹣4x+c的图象与y轴的交点坐标为（0，5），∴c＝5，∴y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∴顶点M的坐标是（2，1）．（2）①如图1，∵A在x轴上，B的坐标为（1，5），∴点A的坐标是（1，0）．当t＝2时，D′，A′的坐标分别是（2，0），（3，0）．当x＝3时，y＝32﹣4×3+5＝2，即点Q的纵坐标是2．当x＝2时，y＝1，即点P的纵坐标是1．∵PG⊥A′B′，∴点G的纵坐标是1，∴QG＝2﹣1＝1．②存在．理由如下：∵△PGQ的面积为1，PG＝1，∴QG＝2．根据题意，得：P（t，t2﹣4t+5），Q（t+1，t2﹣2t+2），∴G（t+1，t2﹣4t+5），如图2，当点G在点Q的上方时，QG＝t2﹣4t+5﹣（t2﹣2t+2）＝3﹣2t＝2，此时（在0＜t＜3的范围内）．如图3，当点G在点Q的下方时，QG＝t2﹣2t+2﹣（t2﹣4t+5）＝2t﹣3＝2，此时（在0＜t＜3的范围内）．综上所述，存在t，使得△PGQ的面积为1，此时t的值为或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点，平移变换的性质，三角形面积等，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．8．（2023•金华）如图，直线y＝与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线的顶点P在直线AB上，与x轴的交点为C，D，其中点C的坐标为（2，0），直线BC与直线PD相交于点E．（1）如图2，若抛物线经过原点O．①求该抛物线的函数表达式；②求的值．（2）连结PC，∠CPE与∠BAO能否相等？若能，求符合条件的点P的横坐标；若不能，试说明理由．【思路点拨】（1）①由抛物线经过原点O（0，0）、C（2，0），可得抛物线的顶点P（1，），利用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x；②先求出A（﹣2，0），B（0，），运用待定系数法可得直线OP的解析式为y＝x，过点B作BF∥x轴交OP于点F，F（，），可得BF＝，再由BF∥OC，得出△BEF∽△CEO，进而可得＝＝＝；（2）分四种情形，分别作出图形求解即可．【解析】解：（1）①∵抛物线经过原点O （0，0）、C （2，0），∴对称轴为直线x ＝1，当x ＝1时，y ＝×1+＝，∴抛物线的顶点P （1，），设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣1）2+，把C （2，0）代入，得a +＝0，解得：a ＝﹣，∴y ＝﹣（x ﹣1）2+＝﹣x 2+3x ，∴该抛物线的函数表达式为y ＝﹣x 2+3x ；②∵直线y ＝与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，∴A （﹣2，0），B （0，），设直线OP 的解析式为y ＝kx ，把P （1，）代入，得：k ＝，∴直线OP 的解析式为y ＝x ，如图，过点B 作BF ∥x 轴交OP 于点F ，则点F 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，∴＝x ，解得：x ＝，∴F （，），∴BF＝，∵BF∥OC，∴△BEF∽△CEO，∴＝＝＝，∴的值为．（2）设点P的横坐标为t，①如图2﹣1，当t＞2，存在∠CPE＝∠BAO，设∠CPE＝∠BAO＝α，∠APC＝β，则∠APD＝α+β，∵∠PCD＝∠PAO+∠APC＝α+β，∵PC＝PD，∴∠PDC＝∠PCD＝∠APD，∴AP＝AD＝2t，过点P作PF⊥x轴于点F，则AF＝t+2，在Rt△APF中，cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝6．②如图2﹣2中，当0＜t≤2时，存在∠CPE＝∠BAO．过点P作PF⊥x轴于点F，同法cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝．③如图2﹣3中，当﹣2＜t≤0时，存在∠CPE＝∠BAO＝α，∵PC＝PD，∴∠CPE＝α，∴∠BAO﹣∠PDC＝α，∴∠APD＝∠PDA，∴AD＝AP＝﹣2t，同法cos∠BAO＝＝，∴＝，∴t＝﹣．④当t≤﹣2时，同法cos∠BAO＝＝，＝，∴t＝﹣【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二次函数综合运用，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．9．（2023•浙江）在二次函数y＝x2﹣2tx+3（t＞0）中．（1）若它的图象过点（2，1），则t的值为多少？（2）当0≤x≤3时，y的最小值为﹣2，求出t的值；（3）如果A（m﹣2，a），B（4，b），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3．求m的取值范围．（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为x＝t．若0＜t≤3，有t2﹣2t2+3＝﹣2，若t＞3，有9﹣6t+3＝﹣2，解方程并检验可得t的值为；（3）根据A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，可得二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，由t＞0，得m＞1，因m﹣2＜m，知A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），其关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），由b＜3，知4＜2m﹣2，m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，y随x的增大而减小，有4＜m﹣2，可得m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，故4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），得：m＜4，m满足的条件是3＜m＜4．【解析】解：（1）将（2，1）代入y＝x2﹣2tx+3得：1＝4﹣4t+3，（2）抛物线y＝x2﹣2tx+3对称轴为x＝t．若0＜t≤3，当x＝t时函数取最小值，∴t2﹣2t2+3＝﹣2，解得t＝；若t＞3，当x＝3时函数取最小值，∴9﹣6t+3＝﹣2，解得（不符合题意，舍去）；综上所述，t的值为；（3）∵A（m﹣2，a），C（m，a）都在这个二次函数的图象上，∴二次函数y＝x2﹣2tx+3的对称轴直线x＝t即为直线x＝＝m﹣1，∴t＝m﹣1，∵t＞0，∴m﹣1＞0，解得m＞1，∵m﹣2＜m，∴A在对称轴左侧，C在对称轴右侧，在y＝x2﹣2tx+3中，令x＝0得y＝3，∴抛物线y＝x2﹣2tx+3与y轴交点为（0，3），∴（0，3）关于对称轴直线x＝m﹣1的对称点为（2m﹣2，3），∵b＜3，∴4＜2m﹣2，解得m＞3；①当A（m﹣2，a），B（4，b）都在对称轴左侧时，∵y随x的增大而减小，且a＜b，∴4＜m﹣2，解得m＞6，此时m满足的条件为m＞6；②当A（m﹣2，a）在对称轴左侧，B（4，b）在对称轴右侧时，∵a＜b，∴B（4，b）到对称轴直线x＝m﹣1距离大于A（m﹣2，a）到对称轴直线x＝m﹣1的距离，∴4﹣（m﹣1）＞m﹣1﹣（m﹣2），解得：m＜4，此时m满足的条件是3＜m＜4，综上所述，3＜m＜4或m＞6．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，解题的关键是分类讨论思想的应用．10．（2023•衢州）某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段．图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的近似函数图象．启航阶段的函数表达式为s＝kt2（k≠0）；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程s（m）与时间t（s）的函数表达式为s＝k（t﹣70）2+h（k≠0）．（1）求出启航阶段s（m）关于t（s）的函数表达式（写出自变量的取值范围）．（2）已知途中阶段龙舟速度为5m/s．①当t＝90s时，求出此时龙舟划行的总路程．②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时，t≤85.20s视为达标．请说明该龙舟队能否达标．（3）冲刺阶段，加速期龙舟用时1s将速度从5m/s提高到5.25m/s，之后保持匀速划行至终点．求该龙舟队完成训练所需时间（精确到0.01s）．【思路点拨】（1）把A（20，50）代入s＝kt2得出k的值，则可得出答案；（2）①设s＝5t+b，把（20，50）代入，得出50＝5×20+b，求得b＝﹣50，当t＝90时，求出s＝400，则可得出答案；②把s＝375代入s＝5t﹣50，求得t＝85，则可得出答案；（3）由（1）可知k＝，把（90，400）代入s＝，求得h＝350．求出s＝405.125，则可得出答案．【解析】解：（1）把A（20，50）代入s＝kt2得50＝400k，解得，∴启航阶段总路程s关于时间t的函数表达式为s＝（0＜t≤20）；（2）①设s＝5t+b，把（20，50）代入，得50＝5×20+b，解得b＝﹣50，∴s＝5t﹣50．当t＝90时，s＝450﹣50＝400．∴当t＝90s时，龙舟划行的总路程为400m．②500﹣125＝375，把s＝375代入s＝5t﹣50，得t＝85．∵85＜85.20，∴该龙舟队能达标．（3）加速期：由（1）可知k＝，把（90，400）代入s＝，得h＝350．∴函数表达式为s＝，把t＝91代入s＝，解得s＝405.125．∴（500﹣405.125）÷5.25≈18.07（s），∴90+1+18.07＝109.07（s）．答：该龙舟队完成训练所需时间为109，07s．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，一次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键．11．（2024•嘉善县一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），且a＞b＞c，a+b+c＝0．（1）当b＝0时，求方程ax2+bx+c＝0的根；（2）已知该二次函数的对称轴为x＝m，求证：；（3）已知该二次函数的图象与x轴，y轴分别交于A（x1，0），B（x2，0），C（0，c）三点（A在B的左侧），且x1+4x2＝0，若△ABC为直角三角形，求该二次函数表达式．【思路点拨】（1）当b＝0时，方程为：ax2+c＝0，即可求解；（2）证明a＞0且c＜0，即可求解；（3）若△ABC为直角三角形，则只存在∠ACB为直角，即可求解．【解析】（1）解：∵a＞b＞c，a+b+c＝0，则a＞0且c＜0，当b＝0时，方程为：ax2+c＝0，解得：x＝±；（2）证明：由（1）知，a＞0且c＜0，则a+b＝﹣c＞0，即a+b＞0，则﹣＜1，即﹣＜，∴；（3）解：∵a＞0且c＜0，且x1+4x2＝0，解：由（1）知，抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+（﹣a﹣b），则x1+x2＝﹣且x1x2＝﹣，将x1+4x2＝0代入上式两式得：4x2＝＝1+＝1+3x2，解得：x2＝1，则x1＝﹣4，即点A、B的坐标分别为：（﹣4，0）、（1，0），则可大致画出函数的图象如下：若△ABC为直角三角形，则只存在∠ACB为直角，则∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠ACO＝∠OBC，∴tan∠ACO＝tan∠OBC，则OC2＝OA×OB，即CO2＝1×4＝4，解得：CO＝2，则点C（0，﹣2），由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），则﹣4a＝﹣2，解得：a＝，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、直角三角形的性质等熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键．1．二次函数的应用：应用待定系数法，根据条件准确得到表达式是解题关键.2．二次函数的综合问题：熟练掌握待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，函数图象上点的特征是解题的关键．3．要重视数形结合在解决二次函数综合问题中的作用.1．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a，b是常数，a≠0）．（1）判断该函数图象与x轴的交点个数，并说明理由；（2）若该函数图象的对称轴为直线x＝2，A（x1，m），B（x2，m）为该函数图象上的任意两点，其中x1＜x2，求当x1，x2为何值时，m＝8a；（3）若该函数图象的顶点在第二象限，且过点（1，2），当a＜b时求3a+b的取值范围．【思路点拨】（1）依据题意，求出Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，进而结合a≠0可以判断Δ＞0，即可求解；（2）依据题意，也有对称轴为直线x＝2，可得b＝﹣4a，从而y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，当y1＝y2＝8a时，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，然后计算即可求解；（3）依据题意，由（1）知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶点在第二象限，则抛物线开口向下，即a＜0，进而求解．【解析】解：（1）由题意得，Δ＝b2﹣4a（﹣4a）＝b2+16a2，又a≠0，∴a2＞0．∴16a2＞0．又对于任意的b都有b2≥0，∴Δ＝b2+16a2＞0．∴函数图象与x轴的交点个数为2．（2）∵x＝2＝﹣，∴b＝﹣4a．∴抛物线表达式为y＝ax2+bx﹣4a＝ax2﹣4ax﹣4a，当y1＝y2＝8a时，即y＝ax2﹣4ax﹣4a＝8a，解得x＝6或﹣2，则x1＝﹣2，x2＝6．（3）将（1，2）代入抛物线表达式得：2＝a+b﹣4a，则b＝3a+2，∵a＜b，故a＜3a+2，∴解得a＞﹣1．∴抛物线的表达式为y＝ax2+（3a+2）x﹣4a，由（1）知，函数图象与x轴的交点个数为2且图象的顶点在第二象限，∴抛物线开口向下，即a＜0．∴函数的对称轴x＝﹣＝﹣﹣＜0，解得a＜﹣，∴﹣1＜a＜﹣．∴﹣3＜3a＜﹣2．故﹣1＜3a+2＜0，即﹣1＜b＜0．∴﹣4＜3a+b＜﹣2．∴3a+b的取值范围：﹣4＜3a+b＜﹣2．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点、函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．2．在二次函数y＝﹣x2+ax+1中（a≠0）．（1）当a＝2时，①求该二次函数图象的顶点坐标；②当0≤x≤3时，求y的取值范围；（2）若A（a﹣2，b），B（a，c）两点都在这个二次函数的图象上，且b＜c，求a的取值范围．【思路点拨】（1）①把解析式化成顶点式即可求得；②根据二次函数的性质，可以得到当0＜x＜3时，y的取值范围；（2）根据抛物线的对称性及增减性即可解决问题．【解析】解：（1）①把a＝2代入得y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线的顶点坐标为（1，2）；②∵y＝﹣x2+2x+1的开口向下，对称轴为直线x＝1，∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤3时，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y有最大值2．∵当x＝0时，y＝1；当x＝3时，y＝﹣2∴当0≤x≤3时，﹣2≤y≤2；（2）抛物线的对称轴为直线，①当，即0≤a≤4时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，∴，解得a＜2，∴0≤a＜2②当，即a＜0时，点B到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，∴成立，∴a＜0③对称轴在点A左侧不合题意，舍去，综上所述，a＜2．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．3．已知二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5）．（1）求二次函数的表达式．（2）若A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函数图象上的点，且x1+2x2＝2，求y1+y2的最小值．（3）若点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的最小值为1，则b﹣a的最大值为多少？【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求解；（2）根据图象上点的坐标特征得出y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，由x1+2x2＝2可知x1＝2﹣2x2，即可求得y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2＝5（x2﹣）2﹣，利用二次函数的性质即可求得最小值；（3）由题意可知当点P（a，n）和Q（b，n+2）在对称轴的同侧时b﹣a的值最小，当点P（a，n）和Q （b，n+2）在异侧是b﹣a的值最大，据此求解即可．【解析】解：（1）∵二次函数y＝x2﹣2kx+k﹣2的图象过点（5，5），∴5＝25﹣10k+k﹣2，∴k＝2，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x；（2）∵A（x1，y1）和B（x2，y2）都是二次函数图象上的点，∴y1＝﹣4x1，y2＝﹣4x2，∴y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2，∵x1+2x2＝2，∴x1＝2﹣2x2，∴y1+y2＝﹣4x1+﹣4x2＝（2﹣2x2）2﹣4（2﹣2x2）+﹣4x2＝5﹣4x2﹣4＝5（x2﹣）2﹣，∵5＞0，∴y1+y2的最小值是﹣；（3）∵抛物线y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴t图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵点P（a，n）和Q（b，n+2）都在二次函数的图象上，且a＜b．对于某一个实数n，若b﹣a的最小值为1，∴点P（a，n）和Q（b，n+2）在对称轴的右侧，此时b﹣a＝1，则b＝a+1，∴a2﹣4a＝n①，（a+1）2﹣4（a+1）＝n+2②，②﹣①得a＝，∴b＝a+1＝，∴此时点P（，n）和Q（，n+2），当点P是点（，n）的对称点时，则b﹣a的值最大，∵对称轴为直线x＝2，∴点（，n）的对称点为（，n），∴此时a＝，∴b﹣a的最大值为：﹣＝2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．4．定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内的最大值，记作M[x1，x2]．如函数y＝2x，在﹣1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[﹣1，3]＝6．请根据以上信息，完成以下问题：已知函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+a2﹣1（a为常数）．（1）若a＝2．①直接写出该函数的表达式，并求M[1，4]的值；②已知，求p的值．（2）若该函数的图象经过点（0，0），且M[﹣3，k]＝k，求k的值．【思路点拨】（1）①将a值代入运算即可，利用新定义的规定计算即可；②令y＝3，求得x值，再利用新定义的规定解答即可；（2）利用待定系数法求得a值，再利用分类讨论的方法，依据新定义的规定列出关于k的方程解答即可．【解析】解：（1）①∵a＝2，∴y＝x2﹣4x+3．∵[1，4]，∴1≤x≤4．∴当x＝4时，y＝x2﹣4x+3＝3，取得最大值，∴M[1，4]＝3；②∵，∴当p≤x≤时，函数y取得最大值3，令y＝3，则x2﹣4x+3＝3，∴x＝0或x＝4．∴p＝0．（2）∵该函数的图象经过点（0，0），∴a2﹣1＝0，∴a＝±1．当a＝1时，y＝﹣4x，∵M[﹣3，k]＝k，∴k＝﹣4×（﹣3）＝12，∴k＝12．当a＝﹣1时，y＝﹣2x2﹣4x．∵y＝﹣2（x+1）2+2，∴当x＝﹣1时，y取得最大值为2，∵M[﹣3，k]＝k，∴﹣2k2﹣4k＝k，∴k＝0（不合题意，舍去）或k＝﹣．∵当a＝﹣1时，y＝﹣2x2﹣4x．∵y＝﹣2（x+1）2+2，∴当x＝﹣1时，y取得最大值为2，∴k＝2．当﹣3≤x≤2时，函数的最大值为2，∴k＝2．综上，k的值为12或k＝﹣或k＝2．【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式，一次函数的性质，待定系数法，二次函数图象的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．5．设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝0时，求二次函数的表达式；（2）当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，求a的值；（3）若a＜﹣3，求证：n﹣m﹣p＞20．【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可；（2）利用抛物线的对称性得出抛物线的对称轴为直线x＝1，利用二次函数的性质得到当x＝1时，函数y取得最小值，再利用待定系数法解答即可；（3）利用抛物线的对称轴为直线x＝1，得到b＝﹣2a，则y＝ax2﹣2ax+1，利用表格求得m，np的值，并计算出n﹣m﹣p＝﹣7a﹣1，再利用不等式的性质解答即可得出结论．【解析】（1）解：当m＝0时，抛物线y＝ax2+bx+1经过（﹣1，0），（0，1），（2，1）三点，∴，∴，∴二次函数的表达式为y＝﹣x+1；（2）解：∵抛物线y＝ax2+bx+1经过（0，1），（2，1）两点，∴当x＝0或x＝2时，y＝1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴y＝ax2﹣2ax+1，∵当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，∴如果a＞0，当x＝1时，函数y取得最小值，∴，∴．∴a的值为；如果a＜0，则x＝﹣1或x＝3时，函数y取得最小值，∴a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝，∴a＝﹣．综上，a的值为或﹣．（3）证明：由（2）知：抛物线的对称轴为直线x＝1，∴＝1，∴b＝﹣2a．∴y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝3a+1，n＝a﹣2a+1＝﹣a+1，p＝m＝3a+1，∴n﹣m﹣p＝﹣a+1﹣（3a+1）﹣（3a+1）＝﹣7a﹣1．∵a＜﹣3，∴﹣7a＞21，∴﹣7a﹣1＞20．即：n﹣m﹣p＞20．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质和待定系数法是解题的关键．6．（2024•浙江模拟）已知点A（m，p），B（3，q），C（m+2，p）都在二次函数y＝2x2+bx+4的图象上．（1）若m＝1，求该二次函数的表达式；（2）求p+q的最大值；（3）若p＜q＜4，求m的取值范围．【思路点拨】（1）当m＝1时，根据二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝＝m+1求出b即可；（2）根据﹣＝m+1得出b＝﹣4（m+1），然后求出p+q关于m的二次函数解析式，根据函数的性质求最值；（3）根据p＜q＜4以及二次函数的性质求出m的取值范围．【解析】解：（1）根据题意得，二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝＝m+1，当m＝1时，﹣＝2，∴b＝﹣8，∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+4；（2）∵﹣＝m+1，∴b＝﹣4（m+1），把A，B坐标分别代入y＝2x2+bx+4得，p＝2m2﹣4（m+1）m+4＝﹣2m2﹣4m+4，q＝18﹣4（m+1）×3+4＝﹣12m+10，∴p+q＝﹣2m2﹣4m+4﹣12m+10＝﹣2m2﹣16m+14＝﹣2（m﹣4）2+46，∵﹣2＜0，∴m＝4时，p+q最大值为46；（3）∵p＜q，∴m＞3或m+2＜3，∵q＜4，∴﹣12m+10＜4，解得m＞，∴m的取值范围为＜m＜1或m＞3．【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的最值以及二次函数的性质，关键是利用二次函数的性质解答．7．已知二次函数y1＝ax（x+b）（a≠0）和一次函数y2＝ax+m．（1）若二次函数y1的图象过点（1，0）和（2，2），求二次函数的表达式．（2）若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点A，且A不是原点．①求证：m＝ab；②若二次函数y1与一次函数y2的另一个交点B为y1的顶点，求b的值．【思路点拨】（1）利用待定系数法解答即可；（2）①令y＝0，分别求得两个函数的图象与x轴的交点，依据已知条件列出关于a，b，m的等式，整理即可得出结论；②利用配方法求得抛物线的顶点坐标，将坐标代入一次函数的解析式，再利用①的结论得到关于b的方程，解方程即可得出结论．【解析】（1）解：∵二次函数y1的图象过（1，0），（2，2）点，∴，解得：，∴二次函数的表达式为y＝x2﹣x；（2）①证明：令y1＝0，则ax（x+b）＝0，解得：x＝0或x＝﹣b．∴抛物线y1＝ax（x+b）与x轴交于（0，0）（﹣b，0）．令y2＝0，则ax+m＝0，∴x＝﹣．∴直线y2＝ax+m与x轴交于（﹣，0），∵若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，∴﹣＝﹣b，∴m＝ab；②解：∵y1＝ax（x+b）＝ax2+abx＝a（x+）2﹣，∴二次函数的顶点为（﹣，﹣）．∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，∴a•（﹣）+m＝﹣．由①知：m＝ab，∴﹣+ab＝﹣，解得：b＝0（不合题意，舍去）或b＝﹣2．∴若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，b的值为﹣2．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法，函数图象的交点，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．8．（2024•宁波模拟）设一次函数y1＝a（x+m）的图象与x轴交于点A，二次函数的图象与x轴交于A，B两个不同的点，设函数y＝y1+y2．（1）设点Q（0，q）在函数y的图象上，若q＞c，求证：am＞0．（2）若函数y2，y的图象在x轴上截得的线段长分别为d1，d2，求d1，d2的数量关系式．（3）若函数y1的图象分别与函数y2的图象、函数y的图象交于点E（x1，e），F（x2，f），且点E，F不同于点A，求x1﹣x2的值．【思路点拨】（1）把y1与y2相加得y＝ax2+（a+b）x+am+c，把点Q代入y，再计算即可．（2）设A（t，0），代入y1得y1＝a（x﹣t）．设B（k，0），又A（t，0）得y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk，故y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，设y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk两根为p、q，再计算即可．（3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），计算得x1＝k+1．由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，计算得x2＝k．故x1﹣x2＝k+1﹣k＝1．【解析】解：（1）∵y1＝a（x+m），，∴y＝y1+y2＝a（x+m）+ax2+bx+c＝ax2+（a+b）x+am+c，∵点Q（0，q）在函数y的图象上，∴q＝am+c，即q﹣c＝am，∵q＞c，∴am＞0．（2）设A（t，0），代入y1＝a（x+m）得：0＝a（t+m），∵a≠0，∴t+m＝0，∴m＝﹣t，y1＝a（x﹣t）．设B（k，0），又A（t，0），∴y2＝a（x﹣t）（x﹣k）＝ax2﹣（at+ak）x+atk，∴y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at，设y2＝ax2﹣（at+ak）x+atk两根为p、q，∴p+q＝＝t+k，pq＝＝tk，∴＝（p﹣q）2＝（p+q）2﹣4pq＝（t+k）2﹣4tk＝t2+k2﹣2tk，即＝t2+k2﹣2tk＝（t﹣k）2，∴d1＝，设y＝ax2+（a﹣at﹣ak）x+atk﹣at两根为r、s，∴r+s＝＝k+t﹣1，rs＝＝kt﹣t，∴＝（r﹣s）2＝（r+s）2﹣4rs＝（k+t﹣1）2﹣4（kt﹣t）＝k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1，∴﹣＝|（t2+k2﹣2tk）﹣（k2+t2﹣2tk﹣2k+2t+1）|＝|2（k﹣t）﹣1|＝±2d1﹣1，答：d1，d2的数量关系式是：﹣＝±2d1﹣1．（3）由（2）知y1＝a（x﹣t），y2＝a（x﹣t）（x﹣k），得a（x﹣t）＝a（x﹣t）（x﹣k），∴a（x﹣t）（x﹣k）﹣a（x﹣t）＝0，∴a（x﹣t）（x﹣k﹣1）＝0，∴x＝t，x＝k+1，即A（t，0），x1＝k+1．由y1＝a（x﹣t），y＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，得a（x﹣t）＝a（x﹣t）+ax2﹣（at+ak）x+atk，∴ax2﹣（at+ak）x+atk＝0，∴x2﹣（t+k）x+tk＝0，∴（x﹣t）（x﹣k）＝0，∴x＝t，x＝k，即A（t，0），x2＝k．∴x1﹣x2＝k+1﹣k＝1．【点睛】本题考查了抛物线的知识，掌握抛物线的性质是解题关键．9．如图，小车从点A出发，沿与水平面成30°角光滑斜坡AB下滑，在下滑过程中小车速度逐渐增加，设小车出发点A离水平地面BE的高度为h，小车从点A滑行到最低点B所用的时间为t（秒），小车滑行到点B时的速度为v（厘米/秒）．速度v与时间t满足关系：v＝10t，高度h与时间t满足关系：（g≠0，g是常数），当小车出发点小车出发点A离水平地面BE的高度为20（厘米）时，小车从点A滑到最低点B需要2秒．（1）当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要几秒钟？此时小车到达B点时的速度是多少？（2）小车继续在粗糙的水平地面BE上滑行，设滑行的距离为s（厘米），小车从斜坡滑行到点B时速度为v（厘米/秒），小车在水平地面BE上滑行的时间为T（秒），若s与v，T之间满足以下关系：+vT （a≠0，a是常数），当v＝20（厘米/秒）时，s＝50（厘米），T＝5（秒）．如果把小车出发点A离水平地面BE的距离h提高到125厘米，那么当滑行到时间T＝4秒时，小车在水平地面BE上滑行的距离为多少？【思路点拨】（1）先根据已知条件求出g的值，求出高度h与时间t的函数解析式，再把h＝45代入解析式求出t，再把t的值代入y＝10t求出速度v；（2）先把v＝20，s＝50，T＝5代入+vT求出a的值，再根据h＝125求出t，再求出v，然后求出s即可．【解析】解：（1）当t＝2，h＝20时，20＝g×22，解得g＝10，∴h＝×10t2＝5t2；∴当h＝45时，5t2＝45，解得t＝3或t＝﹣3（舍去），此时v＝10×3＝30（cm/s），答：当小车出发点A离水平地面BE的高度为45（厘米）时，小车滑到最低点B需要3秒钟，此时小车到达B点时的速度是30厘米/秒；（2）把v＝20，s＝50，T＝5代入+vT，则50＝﹣a×52+20×5，解得a＝4，∴s＝﹣2T2+vT，当h＝125时，5t2＝125，。
部编数学九年级上册【单元复习】第二十二章二次函数(知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练)(解析版)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）【单元复习】第二十二章二次函数（知识精讲+考点例析+举一反三+实战演练）温馨提示：一分努力勤奋一份收获，必考重难点突破是培优最佳途径！知识精讲第二十二章二次函数一、二次函数的定义：1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.（2）函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.二、二次函数的解析式①一般式：(a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数。
冲刺2023年上海中考数学满分策略之一题多解第01讲 二次函数平移的应对方法(教师版)
第01讲 二次函数平移的应对方法【考点梳理】 一．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 二．坐标与图形变化-平移 （1）平移变换与坐标变化①向右平移a 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x +a ，y ） ①向左平移a 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ﹣a ，y ） ①向上平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ，y +b ） ①向下平移b 个单位，坐标P （x ，y ）⇒P （x ，y ﹣b ）（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a 个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 三、二次函数中的平移问题主要是点的平移和图形的平移：针对顶点式抛物线的平移规律是：“左加右减（括号内），上加下减”，同时保持a 不变。
【典型例题】一、解答题1．（2022·上海徐汇·九年级期末）二次函数()2f x ax bx c =++的自变量x 的取值与函数y 的值列表如下：x… ﹣2 ﹣1 0 … 2 3 4 … ()y f x =…﹣53…3﹣5…(2)请你写出两种平移的方法，使平移后二次函数图像的顶点落在直线y x =上，并写出平移后二次函数的解析式．【答案】(1)()223f x x x =-++；顶点坐标()1,4(2)把抛物线21+4f xx 向下平移3个单位长度，抛物线为：()()211f x x =--+，或把抛物线21+4f x x 向右平移3个单位长度，抛物线为：244f xx .【分析】（1）由二次函数()2f x ax bx c =++过()()1,0,3,0,-设抛物线的交点式为13,f xa x x 再把()0,3代入抛物线的解析式求解a 的值，再配方，求解顶点坐标即可；（2）平移后二次函数图像的顶点落在直线y x =上，顶点的横坐标与纵坐标相等，由顶点坐标为：()1,4, 再分两种情况讨论：当顶点坐标为：()1,1时，当顶点坐标为：()4,4时，再写出平移方式即可.(1)解： 二次函数()2f x ax bx c =++过()()1,0,3,0,-设13,f x a x x把()0,3代入抛物线的解析式可得：33,a -= 解得：1,a =- 所以抛物线为：2132 3.f x x x x x而2223211+3f xx x x x21+4,x所以顶点坐标为：()1,4.(2)解： 平移后二次函数图像的顶点落在直线y x =上， ∴ 顶点的横坐标与纵坐标相等，而顶点坐标为：()1,4, 当顶点坐标变为：()1,1时， 把抛物线21+4f xx 向下平移3个单位长度即可；此时抛物线为：21+1f xx当顶点坐标变为：()4,4时， 把抛物线21+4f xx 向右平移3个单位长度即可.此时抛物线为：244f x x .【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，利用配方法求解抛物线的顶点坐标，抛物线的平移，正比例函数图象上点的坐标特点，熟练的掌握抛物线的性质是解本题的关键.2．（2022·上海杨浦·九年级期末）已知二次函数 2245y x x =-+．(1)用配方法把二次函数 2245y x x =-+ 化为 2()y a x m k =++ 的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)如果将该函数图像沿y轴向下平移 5 个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点为C，求ABC的面积．∴ABC的面积为【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．．（2022·上海金山九年级期末）已知：抛物线经过点和，顶点为点P，抛物线的对称轴与x轴相交于点Q．（1）求抛物线的解析式；∠的度数；（2）求PAQ=，求平移后的抛（3）把抛物线向上或者向下平移，点B平移到点C的位置，如果BQ CP物线解析式．【答案】（1）241y x x =-++；（2） 90COM ∠=︒；（3）246y x x =-++或242y x x =-+-．【分析】（1）将,A B 两点的坐标代入解析式，解二元一次方组程，求出,b c 即可求解； （2）求出,,AP AQ PQ 的长度，根据勾股定理的逆定理求解即可；（3）分情况讨论，点C 在点B 的上方或下方两种情况，根据平移特征结合图形求解即可．【详解】解：（1）根据题意1114c b =⎧⎨-++=⎩ 解得：4b =，1c =，∴抛物线的表达式是241y x x =-++ （2）()224125y x x x =-++=--+，∴顶点P 的坐标是()2,5．对称轴是直线2x =，点Q 的坐标为()2,0． ∴25PA =，5QA =，5PQ =； ∴222PA QA PQ +=，∴PAQ 是R t∴90PAQ ∠=︒，（3）根据题意，BC ∥PQ如果点C 在点B 的上方，BC ∥PQ ，PC ∥BQ 时，四边形BCPQ 是平行四边形，∴BQ CP =，5BC PQ ==，即抛物线向上平移5个单位，平移后的抛物线解析式是246y x x =-++． 如果点C 在点B 的下方，四边形BCQP 是等腰梯形时BQ CP =，作BE PQ ⊥，CF PQ ⊥，垂足分别为E 、F ．根据题意可得，1PE QF ==，5PQ =，3BC EF ==，即抛物线向下平移3个单位，平移后的抛物线解析式是242y x x =-+-． 综上所述，平移后的抛物线解析式是246y x x =-++或242y x x =-+-．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，坐标系中求两点的距离，勾股定理的逆定理，图像的平移规律，正确理解平移的规律是解本题的关键． 4．（2022·上海闵行·九年级期末）如图， 在平面直角坐标系 xQy 中， 直线 5y x =-+ 与 x牰交于点 A ， 与 y 轴交于点 B ． 点C 为拋物线 223122y ax a x a a =-++ 的顶点．(1)用含 a 的代数式表示顶点 C 的坐标： (2)当顶点 C 在 AOB 内部， 且 52AOCS=时，求抛物线的表达式： (3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 12 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 P仍在 AOB 内， 求 a 的取值范围． 【答案】(1)2()1,C a a(2)2289y x x =-+； (3)1＜a ＜3【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答； （2）求出点A 、B 的坐标，利用三角形面积公式求解a 值即可解答；（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P 点坐标，再根据条件得出a 的一元一次不等式组，解不等式组即可求解(1)解：拋物线 2232112()22y ax a x a a a x a a =-++=-+，∴顶点C 的坐标为1(,)2a a ；(2)解：对于5y x =-+，当x =0时，y =5，当y =0时，x =5， ∴A （5，0），B （0，5）， ∵顶点 C 在 AOB 内部， 且 52AOCS =， ∴1155222a ⨯⋅=， ∴a =2，∴拋物线的表达式为 2289y x x =-+；(3)解：由题意，平移后的抛物线的顶点P 的坐标为11(1,)22a a +-，∵平移后的抛物线的顶 点 P 仍在 AOB 内，∴101102211(1)522a a a a ⎧⎪+>⎪⎪->⎨⎪⎪-++>-⎪⎩，解得：1＜a ＜3，即a 的取值范围为1＜a ＜3．【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．5．（2022·上海普陀·九年级期中）在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知抛物线y =x 2 - bx +c 经过A (-1．2)、B (0，-1)两点．(1)求抛物线的表达式及顶点P 的坐标；(2)将抛物线y =x 2 - bx +c 向左平移3个单位，设平移后的抛物线顶点为点P '． ①求∠BP 'P 的度数；②将线段P 'B 绕点B 按逆时针方向旋转150°，点P ’落在点M 处，点N 是平移后的抛物线上的一点，当△MNB 的面积为1时，求点N 的坐标．【答案】(1)221y x x =--，()1,2P -(2)①30BP P '∠=︒；②()0,1或()3,2--【分析】（1）根据题意待定系数法求解析式即可，然后化为顶点式即可求得顶点P 的坐标；（2）①连接PP '，则PP y '⊥轴，设交点为C ，则()0,2C -，根据平移求得点P '的坐标，进而即可求得∠BP 'P 的度数，②根据题意画出图形，过点M 作MD y ⊥轴于点D ，过点N 作NE y ⊥轴于点E ，根据△MNB 的面积为1建立方程，即可求得点N 的坐标． (1)解：∵抛物线y =x 2 - bx +c 经过A (-1．2)、B (0，-1)121b c c ++=⎧⎨=-⎩解得21b c =⎧⎨=-⎩221y x x ∴=--()212x =--()1,2P ∴-(2)将抛物线221y x x =--向左平移(3+1)个单位，设平移后的抛物线顶点为点P '()3,2P '∴--连接PP '，则PP y '⊥轴，设交点为C ，则()0,2C -()0,1B - 3,1P C BC '∴==在Rt P BC '中，13tan 33BC BP C P C '∠===' 30BP P BP C ''∴∠=∠=︒②过点M 作MD y ⊥轴于点D ，过点N 作NE y ⊥轴于点E ， 在Rt P BC '中，3,1P C BC '==，30BP C '∠=︒2P B '∴=，60P BC '∠=︒，则120P BD '∠=︒将线段P 'B 绕点B 按逆时针方向旋转150°，点P ’落在点M 处，15012030DBM ∴∠=︒-︒=︒ ∴BP C MBD '∠=∠在P BC '与BMD 中 90BP C MBDP CB BDM P B MB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒=''⎨'⎪⎩∴P BC '≌BMD1DM BC ∴==,3DB P C '==()0,1B -将抛物线D BNMDBMBENEDMN SSS S=+-梯形()1122DM DB DM EN ED ⨯++⨯12EB -⨯()2111312332n n n ⨯⨯++⨯+-+BNMS=112⨯⨯解得0n =6．（2022·上海·中考真题）已知：22y x bx c =++经过点()21A --，，()03B -，． (1)求函数解析式；(2)平移抛物线使得新顶点为(),P m n （m ＞0）．①倘若3OPB S =△，且在x k =的右侧，两抛物线都上升，求k 的取值范围； ②P 在原抛物线上，新抛物线与y 轴交于Q ，120BPQ ∠=时，求P 点坐标．根据题意，得新抛物线解析式为：y =12(x -m )2+n =12x 2-mx +m 2-3，∴Q (0，m 2-3)，∵B （0，-3），∴BQ =m 2，BP 2=2222411(33)24m m m m +-+=+， PQ 2=22222411[(3)(3)]24m m m m m +---=+， ∴BP =PQ ，如图，过点P 作PC ⊥y 轴于C ，则PC =|m |，∵BP =PQ ，PC ⊥BQ ，∴BC =12BQ =12m 2，∠BPC =12∠BPQ =12×120°=60°，∴tan ∠BPC = tan 60°=2123||m BC PC m ==，解得：∵m ＞0，∴m =23，∴n =2132m -=3， 故P 的坐标为（23，3）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的平移，抛物线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，本题属抛物线综合题目，属中考常考试题目，难度一般． 轴上，OB AB =（如图所示），二次函数的图像经过点O 、A 、B 三点，顶点为D ．(1)求点B 与点D 的坐标；(2)求二次函数图像的对称轴与线段AB 的交点E 的坐标；(3)二次函数的图像经过平移后，点A 落在原二次函数图像的对称轴上，点D 落在线段AB 上，求图像平移后得到的二次函数解析式． 【答案】(1)点B 的坐标为（5，0），点D 的坐标为（52，256） (2)（52，103） (3)()228333y x =--+ 【分析】（1）设点B 的坐标为（m ，0），经过A 、B 、O 三点的二次函数解析式为2y ax bx c =++，先根据OB =AB ，利用勾股定理求出点B 的坐标，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可求出点D 的坐标；（2）先求出直线AB 的解析式，再根据（1）所求得到抛物线对称轴，即可求出点E 的坐标；（3）只需要求出平移后的抛物线顶点坐标即可得到答案．(1)解：设点B 的坐标为（m ，0），经过A 、B 、O 三点的二次函数解析式为2y ax bx c =++，∵OB =AB ，∴()22224m m =-+，∴5m =，∴点B 的坐标为（5，0）， ∴42425500a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，8．（2022·上海奉贤·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A - 和 点()3,0B ，与y 轴交于点C , 顶点为D ．（1）求该抛物线的表达式的顶点D 的坐标；（2）将抛物线沿y 轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为M , 点C 的对应点为E ． ①如果点M 落在线段BC 上, 求DBE ∠的度数；②设直线ME 与x 轴正半轴交于点P , 与线段BC 交于点Q , 当2PE PQ =时, 求平移后新抛物线的表达式． 【答案】（1）2y x 2x 3=-++，()1,4D ；（2）①45DBE ∠=︒；②232.2y x x =-+- 【分析】（1）把点()1,0A - 和 点()3,0B 代入抛物线的解析式。
中考数学复习---《二次函数与三角形全等、相似(位似)有关的问题》PPT典型例 题讲解
本课结束
中考数学复习---《二次函数与三角形全等、相似（位似） 有关的问题》PPT典型例 题讲解
1、如图 1，已知二次函数 y ax2 bx ca 0 的图像与 x 轴交于点 A1,0 、 B2,0 ，与
y 轴交于点 C，且 tanOAC 2 ．
(1)求二次函数的解析式； (2)如图 2，过点 C 作 CD∥x 轴交二次函数图像于点 D，P 是二次函数图像上异于点 D 的一
示出△PBC 的面积，根据 S△PBC=S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当 P 在第一象限，同
样的方法求得结果；
（3）作 PN⊥AB 于 N，交 BC 于 M，根据 P（t， t2 t 2 ），M（t， t 2 ），表示出 PM 的长，
根据 PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出 PQ PM ，从而得出 PQ 的函数表达式，进一
2
∵抛物线的对称轴为 y= 1 ，CD∥x 轴，C（0，-2）， 2
∴点 D（1，-2），
∴CD=1，
∴S△BCD= 1 CD·OC， 2
∴ 1 PE·OC= 1 CD·OC，
2
2
∴a2-2a=1，
解得 a1=1+ 2 （舍去），a2=1- 2 ；
当 x=1- 2 时，y= a2 a 2 =a-1=- 2 ，
当 a=1+ 2 时，y= a2 a 2 = 2 ， ∴P（1+ 2 ， 2 ），
综上所述，P 点坐标为（1+ 2，2 ）或（1- 2， 2 ）；
(3) 如图，作 PN⊥AB 于 N，交 BC 于 M，
由题意可知，P（t， t2 t 2 ），M（t，t-2），
∴PM=（t-2）-（ t2 t 2 ）=- t2 2t ，
九年级数学第二十二章第1节《二次函数的图象和性质》解答题专题 (10)含解析
第二十二章第1节《二次函数的图象和性质》解答题专题 (10)1．已知关于x 的方程2(41)40kx k x -++=． （1）当k 取何值时，方程有两个实数根；（2）若二次函数2(41)4y kx k x =-++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值并用配方法求出抛物线的顶点坐标．2．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点．（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）若11,0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值．3．已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且12xx <，若222133x x k +=（k 为正整数），我们把该抛物线称为“B 系抛物线”．特例感知（1）当2b =，15c =-时，请判断抛物线2y x bx c =++是否是“B 系抛物线”，并说明理由． 推广验证 （2）若234c b =-，且b 为负整数，请判断抛物线2y x bx c =++是否是“B 系抛物线”，并说明理由． 拓展应用（3）在（2）的条件下，若M 为该抛物线的顶点，且ABM ∆为等腰直角三角形，求该抛物线的解析式．4．已知：如图抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ()2,0C -与y 轴交于点A ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点连结PA 、PB ．设PAB △的面积为S ．点P 的横坐标为m ．①试求S 关于m 的函数关系式；②请说明当点P 运动到什么位置时PAB △的面积有最大值？③过点P 作x 轴的垂线交线段AB 于点D 再过点P 做//PE x 轴交抛物线于点E 连结DE 请问是否存在点P 使PDE △为等腰直角三角形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy 中抛物线()2420y axax a a =-+≠的顶点为P 且与y 轴交于点A 与直线y a =-交于点BC （点B 在点C 的左侧）.（1）求抛物线()2420y axax a a =-+≠的顶点P 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点记抛物线与线段AC 围成的封闭区域（不含边界）为“W 区域”.①当2a =时请直接写出“W 区域”内的整点个数；②当“W 区域”内恰有2个整点时结合函数图象直接写出a 的取值范围.6．在平面直角坐标系xOy 中，已知，点A （3，0）、B （－2，5）、C （0，－3）．求经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线25y ax bx a =+-与y 轴交于点A ，将点A 向左平移4个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点()1,2P a --，()4,2Q -．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．8．如图1在平面直角坐标系xOy 中抛物线y=-（x-a ）（x-4）（a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C 点D 为抛物线的顶点．（1）若D 点坐标为（32524，）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）若点M 为抛物线对称轴上一点且点M 的纵坐标为a 点N 为抛物线在x 轴上方一点若以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形时求a 的值；（3）直线y=2x+b 与（1）中的抛物线交于点D 、E （如图2）将（1）中的抛物线沿着该直线方向进行平移平移后抛物线的顶点为D′与直线的另一个交点为E′与x 轴的交点为B′在平移的过程中求D′E′的长度；当∠E′D′B′=90°时求点B′的坐标．9．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y=x 2﹣2x+1，求：b ，c 的值． 10．在平面直角坐标系中，抛物线y 14=x 2沿x 轴正方向平移后经过点A （x 1，y 2），B （x 2，y 2），其中x 1，x 2是方程x 2﹣2x ＝0的两根，且x 1＞x 2， （1）如图．求A ，B 两点的坐标及平移后抛物线的解析式； （2）平移直线AB 交抛物线于M ，交x 轴于N ，且14AB MN =，求△MNO 的面积； （3）如图，点C 为抛物线对称轴上顶点下方的一点，过点C 作直线交抛物线于E 、F ，交x 轴于点D ，探究CD CDCE CF+的值是否为定值？如果是，求出其值；如果不是，请说明理由．11．已知：关于x 的二次函数2y x ax =-+（a ＞0），点A （n ，y 1）、B （n+1，y 2）、C （n+2，y 3）都在这个二次函数的图象上，其中n 为正整数．（1）y 1=y 2，请说明a 必为奇数；（2）设a=11，求使y 1≤y 2≤y 3成立的所有n 的值；（3）对于给定的正实数a ，是否存在n ，使△ABC 是以AC 为底边的等腰三角形？如果存在，求n 的值（用含a 的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．12．如图①定义：直线:(0,0)l y mx n m n =+<>与x 、y 轴分别相交于A 、B 两点将AOB ∆绕着点O 逆时针旋转90°得到COD ∆过点A 、B 、D 的抛物线P 叫做直线l 的“纠缠抛物线”反之直线l 叫做P 的“纠缠直线"两线“互为纠缠线”．（1）若:22l y x =-+则纠缠物线P 的函数解析式是____________． （2）判断并说明22y x k =-+与212y x x k k=--+是否“互为纠缠线”． （3）如图②若纠缠直线:24l y x =-+纠缠抛物线P 的对称轴与CD 相交于点E 点F 在l 上点Q 在P 的对称轴上当以点C 、E 、Q 、F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时求点Q 的坐标．13．已知二次函数y ＝ax 2（a ≠0）的图象经过点（﹣2，3） （1）求a 的值，并写出这个二次函数的解析式； （2）求出此抛物线上纵坐标为3的点的坐标． 14．关于x 的二次函数y 1＝x 2+kx+k ﹣1（k 为常数） （1）对任意实数k ，函数图象与x 轴都有交点（2）若当x≥75时，函数y 的值都随x 的增大而增大，求满足条件的最小整数k 的值 （3）K 取不同的值时，函数抛物线的顶点位置也会变化，但会在某一函数图象上，求该函数图象的解析式（4）若当自变量x 满足0≤x≤3时，与其对应的函数值y 的最小值为10，求此时k 的值． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+经过(2,4)A --，(2,0)B . （1）求抛物线2y ax bx =+的解析式.（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM OM的最小值.16．在同一个直角坐标系中作出y＝12x2，y＝12x2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y＝12x2－1与抛物线y＝12x2有什么关系？17．如图：已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3）与x轴交于C、D两点，点P是x轴上的一个动点.（1）求抛物线的解析式；（2）当PA+PB的值是最小时，求点P的坐标.18．在平面直角坐标系中xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+m+2的顶点在x轴上．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q是x轴上一点，①若在抛物线上存在点P，使得∠POQ＝45°，求点P的坐标．②抛物线与直线y＝1交于点E，F（点E在点F的左侧），将此抛物线在点E，F（包含点E和点F）之间的部分沿x轴向左平移n个单位后得到的图象记为G，若在图象G上存在点P，使得∠POQ＝45°，求n的取值范围．19．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．20．如图抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点交y轴正半轴于C点D为抛物线的顶点A （-10）B（30）．（1）求出二次函数的表达式．（2）点P在x轴上且∠PCB=∠CBD求点P的坐标．（3）在x轴上方抛物线上是否存在一点Q使得以QCBO为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在请直接写出点Q的坐标；如果不存在请说明理由．【答案与解析】1．（1）0k ≠；（2）k=1，（52，94-）.(1)要使方程有两个实数根，必须满足两个条件：[]2(41)440k k k ⎧∆=-+-⨯≥⎨≠⎩从而可求出k 的取值范围；(2)令y=0，得到一个一元二次方程，用含有k 的代数式表示方程的解，根据题意求出k 的值.(1)依题意得[]2(41)4400k k k ⎧∆=-+-⨯≥⎨≠⎩，整理得24k-100k ⎧∆=≥⎨≠⎩（）∵当k 取任何值时，2(41)0k -≥， ∴0k ≠∴当0k ≠时，方程总有两个实数根.(2)解方程2(41)40kx k x -++=，得14x =，21x k=． ∵12x x 和均为整数且k 为正整数，∴取k=1． ∴254y x x =-+222555()()422x x =-+-+ 259()24x =--∴抛物线的顶点坐标为（52，94-）．【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是掌握根的判别式和抛物线的顶点坐标的求法.2．（Ⅰ）()0,3A ，(1,4)E ；（Ⅱ）214y x x =-++；（Ⅲ）3b = （Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b 、c 的值，确定解析式，从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标，运用配方求出顶点E 的坐标即可；（Ⅱ）先运用配方求出顶点E 的坐标，再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A 位置最高，从而确定抛物线的解析式；（Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标，然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式，再根据点在直线AP 上，此时PA PE +值最小，从而求出b 的值.解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2y x bx c =-++，有10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩．解得2,3b c == 2223(1)4y x x x ∴=-++=--+(0,3),(1,4)A E ∴（Ⅱ）由222424b c b y x bx c x +⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，得24,24b c b E ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∵点E 在直线y x =上，2424b c b+∴=221111(1)4244c b b b ∴=-+=--+2110,(1)44A b ⎛⎫∴--+ ⎪⎝⎭ 当1b =时，点A 是最高点此时，214y x x =-++（Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)-，有10b c --+=1c b ∴=+24,,(0,)24b c b E A c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2(2),,(0,1)24b b E A b ⎛⎫+∴+ ⎪⎝⎭∴E 关于x 轴的对称点E '为2(2),24b b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭设过点A ，P 的直线为y kx t =+.把(0,1),(1,0)A b P +代入y kx t =+，得(1)(1)y b x =-+-把点2(2),24b b E '⎛⎫+- ⎪⎝⎭代入(1)(1)y b x =-+-.得2(2)(1)142b b b +⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，即2680b b --=解得，3b =0,3b b >∴=舍去.317b ∴=+ 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．3．（1）是；理由见解析；（2）是；理由见解析；（3）23y 4x x =--． （1）根据“B 系抛物线”代入2b =，15c =-，然后计算与x 轴交点坐标，然后判断22213x x +的值判断即可；（2）将234c b =-代入表达式后计算与x 轴交点坐标，然后判断22213x x +的值判断即可； （3）过M 作MH ⊥AB ，然后根据（2）得到AB 长度和M 的横坐标，然后计算即可．解：（1）当2b =，15c =-时，代入2y x bx c =++即2215y x x =+-令y =0，即20215x x +=-∴(3)(x 5)0x -+= ∴125,3x x =-=∴22213x x +=2233?(-5)3k +=即28k=∴是“B 系抛物线” （2）∵234c b =-∴2234y x bx b =+-令y =0，即22304x bx b =+-∴13()()022x b x b -+= ∵b 为非负数 ∴1213,22x b x b ==- ∴2231()3?()322b b k -+=即233b k =此时2k b = ∴是“B 系抛物线”；（3）如图，当△ABM 为等腰直角三角形时，过M 作MH ⊥AB ，其中AB=2b ，点M 横坐标为2b - 将2b x =-代入2234y x bx b =+-即2223()()224b b y b b b =-+--= ∴MH=-2b∵△ABM 为等腰直角三角形 ∴MH=12AB ∴21×22b b -=解的120(),1b b ==-舍去∴抛物线的解析式234y x x =--【点睛】本题主要考查二次函数性质，理解“B 系抛物线”是解题的关键． 4．（1）2162y x bx =-++；（2）①()2327322S m =--+②当m=3时S 有最大值③点P 的坐标为（4,6）或（55-）．（1）由()2(6)(2)412y a x x a x x =-+=-- 则-12a=6求得a 即可； （2）①过点P 作x 轴的垂线交AB 于点D 先求出AB 的表达式y=-x+6设点21,262P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则点D （m-m+6）然后再表示()222113327332669322222S PD OB PD m m m m m m ⎛⎫=⨯⨯==-+++-=-+=--+ ⎪⎝⎭即可；②由在()2327322S m =--+中32-＜0故S 有最大值；③△PDE 为等腰直角三角形则PE=PD 然后再确定函数的对称轴、E 点的横坐标进一步可得|PE|=2m-4即21266242m m m m -+++-=-求得m 即可确定P 的坐标． 解：（1）由抛物线的表达式可化为()22(6)6=(2)412y a x x a x ax bx x =+-++-=- 则-12a=6解得：a=12-故抛物线的表达式为：2162y x bx =-++； （2）①过点P 作x 轴的垂线交AB 于点D由点A(0,6)、B 的坐标可得直线AB 的表达式为：y=-x+6 设点21,262P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭则点D （m-m+6） ∴()222113327332669=322222S PD OB PD m m m m m m ⎛⎫=⨯⨯==-+++-=-+--+ ⎪⎝⎭； ②∵()2327322S m =--+32-＜0 ∴当m=3时S 有最大值； ③∵△PDE 为等腰直角三角形 ∴PE=PD ∵点21,262P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭函数的对称轴为：x=2则点E 的横坐标为：4-m 则|PE|=2m-4 即21266242m m m m -+++-=- 解得：m=4或-2或517+517-2和517 当m=4时21262m m -++=6； 当m=517-21262m m -++=3175． 故点P 的坐标为（4,6）或（5173175）． 【点睛】本题属于二次函数综合应用题主要考查了一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等知识点掌握并灵活应用所学知识是解答本题的关键． 5．（1）顶点P 的坐标为()2,2a -；（2）① 6个；② 112a <≤112a -≤<-． （1）由抛物线解析式直接可求；（2）①由已知可知A （02）C （2+2 -2）画出函数图象观察图象可得；②分两种情况求：当a ＞0时抛物线定点经过（2-2）时a=1抛物线定点经过（2-1）时a=12则12＜a≤1；当a ＜0时抛物线定点经过（22）时a=-1抛物线定点经过（21）时a=-12则-1≤a<-12． 解：（1）∵y=ax 2-4ax+2a=a （x-2）2-2a ∴顶点为（2-2a ）；（2）如图①∵a=2∴y=2x 2-8x+2y=-2 ∴A （02）C （2-2） ∴有6个整数点；②当a ＞0时抛物线定点经过（2-2）时a=1 抛物线定点经过（2-1）时12a =； ∴112a <≤． 当0a <时抛物线顶点经过点（22）时1a =-； 抛物线顶点经过点（21）时12a =-； ∴ 112a -≤<-． ∴综上所述：112a <≤112a -≤<-． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．6．223y x x =--设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ，再把三个已知点的坐标代入得到关于a 、b 、c 的方程组，解方程组即可得到二次函数的解析式．解：设经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠．则9304253a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩． ∴经过点A 、B 、C 的抛物线的表达式为223y x x =--． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 7．（1）()4,5B a --；（2）2x =-；（3）205a -≤< （1）根据解析式得到点A 的坐标，利用平移即可得到带你B 的坐标； （2）根据点A 、B 的对称性即可求出对称轴；（3）分两种情况：a>0或a<0时，分别确定点P 、Q 的位置，根据抛物线与线段PQ 恰有一个公共点求出答案.（1）∵抛物线25y ax bx a =+-与y 轴交于点A ，∴点A(0，-5a)，∵将点A 向左平移4个单位长度，得到点B ， ∴B(-4，-5a)； （2）对称轴是x=0422-=-； （3）如图：当a<0时，∵A(0，-5a), ()1,2P a --,且-5a>-2a ， ∴点P 在抛物线下方，∵()4,2Q -，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，B(-4，-5a)， ∴点Q 在抛物线上方或是在抛物线上，即25a ≥-， 解得25a ≥-， ∴205a -≤<时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点；当a>0时，∵A(0，-5a), ()1,2P a --，且-5a<-2a<0， ∴点P 在抛物线上方，在x 轴下方， ∵()4,2Q -，B(-4，-5a)， ∴点Q 在抛物线上方，∴此时抛物线与线段PQ 没有公共点；综上，205a -≤<时抛物线与线段PQ 恰有一个公共点. 【点睛】此题考查抛物线的性质，利用解析式求点坐标，点平移的规律，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题.8．（1）y=-x 2+3x+4C （04）；（2）a 11326221-；（3）D ′E ′5B′（-10）．（1）将点D 的坐标代入函数解析式求得a 的值；利用抛物线解析式来求点C 的值． （2）需要分类讨论：BC 为边和BC 为对角线两种情况根据“平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对角线相互平分”的性质列出方程组利用方程思想解答．（3）根据平移规律得到D ′E ′的长度、平移后抛物线的解析式然后由函数图象上点的坐标特征求得点B ′的坐标． （1）依题意得：254=-（32-a ）（32-4）． 解得a=-1．∴抛物线解析式为：y=-（x+1）（x-4）或y=-x 2+3x+4． ∴C （04）．（2）由题意知：A （a0）B （40）C （0-4a ）． 对称轴为直线x=42a +则M （42a +a ）． ①MN ∥BC 且MN=BC 根据点的平移特征可知N （42a --3a ）． 则-3a=-（42a --a ）（42a --4）． 解得：②当BC 为对角线时设N （xy ）．根据平行四边形的对角线互相平分可得：4424a x a y a +⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩．解得425a x y a-⎧=⎪⎨⎪=-⎩．则-5a=-（42a --a ）（42a --4）． 解得a=63±．（舍去正值） ∴a 12=63-． （3）把D （32524，）代入y=2x+b 得到：2×32+b=254．则b=134． 故直线解析式为：y=2x+134． 联立2132434y x y x x ⎧=+⎪⎨⎪=-++⎩．解得1132254x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）221294x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴E （-1294）∴．根据抛物线的平移规律则平移后线段D′E′始终等于 设平移后的D′（m2m+134）则E′（m-22m-34）． 平移后抛物线的解析式为：y=-（x-m ）2+2m+134． 则D′B′：y=-12x+n 过点（m2m+134） ∴y=-12x+52m+134则B′（5m+1320）． ∴-12（5m+132）+52m+134=0． 解得m 1=-32m 2=-138． ∴B ′1（-10）B′2（-1380）（与D′重合舍去）． 综上所述B′（-10）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来利用点的坐标的意义表示线段的长度从而求出线段之间的关系． 9．b=﹣10，c=22．此题实际上是将抛物线y=x 2﹣2x+1向下平移3个单位，向右平移4个单位得到抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0），由此求得b ，c 的值．解：将y=x 2﹣2x+1向下平移3个单位，向右平移4个单位， 得：y=（x ﹣1﹣4）2﹣3=（x ﹣5）2﹣3=x 2﹣10x+22． 故：b=﹣10，c=22． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用规律求函数解析式是关键．10．（1）点A 坐标为（2，0），点B 坐标为（0，1），21(2)4y x =-;（2）12或28；（3）CD CDCE CF+为定值，定值为1． （1）解方程x 2﹣2x ＝0得x 1＝2，x 2＝0．即可求得点A 坐标为（2，0），抛物线解析式为()2124y x =- ，把x ＝0代入抛物线解析式得y ＝1，即可得点B 坐标为（0，1）；（2）如图，过M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，由AB ∥MN ，即可得△ABO ∽△MHN ，根据相似三角形的性质可得14BO HN AB MH AO MN ===，由此求得MH ＝4，HN ＝8，将y ＝4代入抛物线()2124y x =-求得x 1＝﹣2，x 2＝6，所以M 1（﹣2，4），N 1（6，0），M 2（6，4），N 2（14，0）,由此求得△MNO 的面积即可；（3）设C （2，m ），求得CD 解析式为y ＝kx +m ﹣2k ，令y ＝0得kx +m ﹣2k ＝0，由此求得点D 为（2k mk-，0）；把CD 的解析式与抛物线的解析式联立221(2)4y kx m ky x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩，消去y 得，kx +m ﹣2k ＝14（x ﹣2）2．化简得x 2﹣4（k +1）x +4﹣4m +8k ＝0，由根与系数关系得，x 1+x 2＝4k +4，x 1•x 2＝4﹣4m +8k ．过E 、F 分别作EP ⊥CA 于P ，FQ ⊥CA 于Q ，由AD ∥EP ，AD ∥FQ ，可得CD CDCE CF+＝AD AD EP FQ AD EP FQ EP FQ ++=⋅⋅ ＝（2k mk -﹣2）×()()121212424x x x x x x +-⋅-++＝()()()4444482444k m k m k k +--⋅-+-++＝1，由此可得CD CD CE CF+为定值，定值为1． （1）解方程x 2﹣2x ＝0得x 1＝2，x 2＝0． ∴点A 坐标为（2，0），抛物线解析式为()2124y x =- ． 把x ＝0代入抛物线解析式得y ＝1． ∴点B 坐标为（0，1）．（2）如图，过M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ∵AB ∥MN ∴△ABO ∽△MHN∴14BO HN AB MH AO MN === ∴MH ＝4，HN ＝8将y ＝4代入抛物线()2124y x =- 可得x 1＝﹣2，x 2＝6∴M 1（﹣2，4），N 1（6，0），M 2（6，4），N 2（14，0）, ∴11164122M N O S ∆=⨯⨯= 221144282M N O S ∆=⨯⨯=（3）设C （2，m ），设直线CD 为y ＝kx +b 将C （2，m ）代入上式，m ＝2k +b ，即b ＝m ﹣2k ． ∴CD 解析式为y ＝kx +m ﹣2k ， 令y ＝0得kx +m ﹣2k ＝0， ∴点D 为（2k mk-，0） 联立221(2)4y kx m k y x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 消去y 得，kx +m ﹣2k ＝14（x ﹣2）2． 化简得，x 2﹣4（k +1）x +4﹣4m +8k ＝0由根与系数关系得，x 1+x 2＝4k +4，x 1•x 2＝4﹣4m +8k ．过E 、F 分别作EP ⊥CA 于P ，FQ ⊥CA 于Q ， ∴AD ∥EP ，AD ∥FQ ， ∴CD CD CE CF+＝AD ADEP FQ AD EP FQ EP FQ ++=⋅⋅ ＝（2k mk-﹣2）×()()121212424x x x x x x +-⋅-++＝()()()4444482444k mk m k k +--⋅-+-++ ＝1∴CD CDCE CF +为定值，定值为1． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数与二次函数图象的交点问题，解决第（3）问的关键是确定CD CD CE CF+＝AD ADEP FQ AD EP FQ EP FQ ++=⋅⋅，再利用根与系数的关系解决． 11．解：（1）∵点A （n ，y 1）、B （n+1，y 2）都在二次函数2y x ax =-+（a ＞0）的图象上，∴()()2212y n an y n 1a n 1=-+=-+++，． ∵y 1=y 2，∴()()22n an n 1a n 1-+=-+++，整理得：a=2n+1． ∵n 为正整数，∴a 必为奇数． （2）当a=11时，∵y 1＜y 2＜y 3，∴()()()()222n 11n n 111n 1n 211n 2-+≤-+++≤-+++． 化简得：0102n 184n ≤-≤-．解得：n 4≤． ∵n 为正整数，∴n=1、2、3、4． （3）存在． 假设存在，则AB=AC ，如图所示，过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，过点A 作AD ⊥BN 于点D ，CE ⊥BN 于点E ，∵x A =n ，x B =n+1，x C =n+2，∴AD=CE=1． 在Rt △ABD 与Rt △CBE 中，AB=BC ，AD=CE ， ∴Rt △ABD ≌Rt △CBE （HL ）．∴∠BAD=∠CBE ，即BN 为顶角的平分线． 由等腰三角形性质可知，点A 、C 关于BN 对称． ∴BN 为抛物线的对称轴，点B 为抛物线的顶点， ∴()a an 1212+=-=⨯-．∴a n 12=-．∴存在n ，使△ABC 是以AC 为底边的等腰三角形，an 12=-． （1）将点A 和点B 的坐标代入二次函数的解析式，利用y 1=y 2得到用n 表示a 的式子，即可得到答案；（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解． （3）本问为存在型问题，如图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A 、C 关于对称轴对称，于是得到()a a n 1212+=-=⨯-，从而可以求出a n 12=-． 12．答案见解析.（1）若l ：y=-2x+2则点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（10）、（02）、（01）、（-20）则抛物线的表达式为：y=a （x+2）（x-1）即可求解；（2）同理：点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（k0）、（02k ）、（0k ）、（-2k0）则抛物线的表达式为：y=a （x+2k ）（x-k ）即可求解；（3）以点C 、E 、Q 、F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时由题意得：|x Q -x F |=1即：m+1=±1即可求解．解：（1）若l ：y=-2x+2则点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（10）、（02）、（01）、（-20）则抛物线的表达式为：y=a （x+2）（x-1）将点B 的坐标代入上式得：2=a （0+2）（0-1）解得：a=-1故答案为：y=-x 2-x+2；(2)同理：点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（k0）、（02k ）、（0k ）、（-2k0） 则抛物线的表达式为：y=a （x+2k ）（x-k ）将点B 的坐标代入上式并解得：a=1-k 故抛物线的表达式为：y=211-(2)()2x k x k x x k k k +-=--+ 故y=-2x+2k 与y ＝212x x k k--+“互为纠缠线”； 点A 、B 、C 、D 的坐标分别为：（20）、（04）、（02）、（-40） 同理可得：抛物线的表达式为：y=21--42x x + 抛物线的对称轴为：x=-1设点F （m-2m+4）点Q （-1n ）将点C 、D 的坐标代入一次函数表达式并求得：直线CD 的表达式为：y=12x+2 点CE 横坐标差为1故纵坐标差为12以点C 、E 、Q 、F 为顶点的四边形是以CE 为一边的平行四边形时由题意得：|x Q -x F |=1即：m+1=±1解得：m=0或-2当m=0时点F （04）则点Q （-192）；同理当m=-2时点Q （-1172）； 综上点Q 坐标为：Q （-192）或Q （-1172）． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用涉及到一次函数、平行四边形性质等其中（3）要注意分类求解避免遗漏．13．（1）34，234y x = （2）（﹣2，3），（2，3） （1）根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式，把点（-2，3）代入解析式得到关于a 的方程，然后解方程即可；（2）把y=3代入解析式求出x 的值即可．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2经过点（﹣2，3），∴4a ＝3，∴a=34， ∴二次函数的解析式为234y x =； （2）∵抛物线上点的纵坐标为3， ∴3＝34x 2， 解得x ＝±2， ∴此抛物线上纵坐标为3的点的坐标为（﹣2，3），（2，3）．【点睛】考查了待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，函数解析式与图象上的点之间的关系，点在图象上，则满足解析式；反之，满足解析式则在函数图象上．14．（1）见解析；（2）﹣150；（3）y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1；（4）11．（1）计算△，根据△的值进行判断；（2）根据二次函数的增减性即可判断；（3）得到抛物线的顶点，写成方程组，消去k 得y =-x 2-2x -1，即可判断；（4）函数配方后得y =x 2+kx +k -1=22124k k x k ⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭，根据对称轴的位置分三种情况进行讨论可得结论.解：（1）∵△＝k 2﹣4（k ﹣1）＝k 2﹣4k+4＝（k ﹣2）2≥0，∴对任意实数k ，函数图象与x 轴都有交点；（2）∵a＝1＞0，抛物线的对称轴x b k 2a 2=-=-， ∴在对称轴的右侧函数y 的值都随x 的增大而增大，即当x k 2-＞时，函数y 的值都随x 的增大而增大， ∵x≥75时，函数y 的值都随x 的增大而增大， ∴k 2-≤75，k≥﹣150， ∴k 的最小整数是﹣150， ∴满足条件的最小整数k 的值是﹣150；（3）∵y＝x 2+kx+k ﹣1＝（x k 2+）22k 4-+k ﹣1， ∴抛物线的顶点为（k 2-，2k 4-+k ﹣1）， ∴2k x 2k y k 14⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩， 消去k 得，y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1，由此可见，不论k 取任何实数，抛物线的顶点都满足函数y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1，即抛物线的顶点在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x ﹣1的图象上； （4）∵y＝x 2+kx+k ﹣1＝（x k 2+）22k 4-+k ﹣1， ∴抛物线的顶点为（k 2-，2k 4-+k ﹣1）， 又∵0≤x≤3时，与其对应的函数值y 的最小值为10， ①当k 2-≤0时，即k≤0， 此时x ＝0时，y 取得最小值是10，则有10＝k ﹣1，k ＝11． ②当k 2-≥3时，即k≤﹣6， 此时x ＝3时，y 取得最小值是10，则有10＝32+3k+k ﹣1， k 12=，不符合题意； ③当0k 2-＜＜3时，即﹣6＜k ＜0， 此时x k 2=-时，y 取得最小值是10，即2k 4-+k ﹣1＝10， 此方程无实根，综上所述，k 的值是11．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解决本题的关键是要熟悉函数关系式和方程的关系、函数的性质.15．（1）抛物线的解析式为212y x x =-+；（2）AM OM +的最小值为42. （1）利用待定系数法可求出该抛物线的解析式； （2）根据O 、B 两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A 、B ，直线AB 和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M 点，而AM +OM 的最小值正好是AB 的长，过点A 作AN ⊥x 轴于点N ．在Rt △ABN 中，根据勾股定理即可得出结论．（1）把A （﹣2，﹣4），B （2，0）两点的坐标代入y =ax 2+bx 中，得：424420a b a b -=-⎧⎨+=⎩，解方程组，得：a 12=-，b =1，∴解析式为y 12=-x 2+x ． （2）由y 12=-x 2+x 12=-（x ﹣1）212+，可得抛物线的对称轴为直线x =1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∴OM =BM ，∴OM +AM =BM +AM ．连接AB 交直线x =1于M 点，则此时OM +AM 最小．过点A 作AN ⊥x 轴于点N ．在Rt △ABN 中，AB 222244AN BN =+=+=42，因此OM +AM 最小值为42．【点睛】本题是二次函数的综合题，难点在于点M 位置的确定，正确理解二次函数的轴对称性以及两点之间线段最短是解题的关键．16．见解析试题分析：观察图像结合函数表达式可以得到两个函数开口向上，对称轴也都是y 轴，顶点坐标分别是(0,0),（0，-1）；根据二次函数的性质及图像知道抛物线y＝12x2－1与抛物线y＝12x2形状相同，对称轴相同，但是位置不同，开口方向也相同，所以可以得到抛物线y＝12x2－1可由抛物线y＝12x2向下平移1个单位长度得到的．解：如图所示：(1)抛物线y＝12x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，0)；抛物线y＝12x2－1开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标(0，－1)．(2)抛物线y＝12x2－1可由抛物线y＝12x2向下平移1个单位长度得到．17．（1）y=﹣（x﹣1）2+4；（2）当PA+PB的值是最小时，点P的坐标是（37，0）.试题分析：（1）由题意可设抛物线解析式为“顶点式”，再代入点B的坐标可求得解析式；（2）由题意作出点B关于x轴的对称轴点E，连接AE交x轴于点P，P为所求的点，由A、E的坐标可求得直线AE的解析式，再由AE的解析式就可求得点P的坐标.试题解析：(1)∵抛物线的顶点A的坐标为（1，4），∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋4.∵抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2＋4.解得a＝－1.∴二次函数的表达式为y＝－(x－1)2＋4，即y＝－x2＋2x＋3.(2)作点B关于x轴的对称点E(0，－3)，连接AE交x轴于点P，点P即为所求点．设AE所在直线的表达式为y＝kx＋b，分别代入A，E坐标，得43k bb+=⎧⎨=-⎩，解得73kb=⎧⎨=-⎩，∴y＝7x－3.当y＝0时，x＝3 7 .∴点P 的坐标为(37，0)． 18．（1）y ＝x 2﹣4x +4；（2）①点P 的坐标为（1，1）或（4，4）；②在图象G 上存在点P ，使得∠POQ ＝45°，n 的取值范围为0≤n ≤4．（1）根据抛物线顶点在x 轴上，列式计算可得m 的值；（2）由∠POQ ＝45°，作直线y ＝x ，交抛物线y ＝x 2﹣4x +4于点P ，联立解析式求出P 点坐标即可；（3）分两种情况考虑：当点P ，Q 在y 轴右侧时与点P ，Q 在y 轴左侧时，列出不等式求解即可.解：（1）∵抛物线y ＝x 2﹣4x +m +2的顶点在x 轴上，∴()()2412441m ⨯⨯+--⨯＝0，解得：m ＝2， ∴抛物线的表达式为y ＝x 2﹣4x +4．（2）①作直线y ＝x ，交抛物线y ＝x 2﹣4x +4于点P ，如图1所示．联立直线OP 及抛物线的表达式成方程组，得：244y x y x x =⎧⎨=+⎩﹣， 解得：1111x y =⎧⎨=⎩，2244x y =⎧⎨=⎩， ∴点P 的坐标为（1，1）或（4，4）．②当y ＝1时，x 2﹣4x +4＝1，解得：x 1＝1，x 2＝3，∴点E 的坐标为（1，1），点F 的坐标为（3，1）．分两种情况考虑：（i ）当点P ，Q 在y 轴右侧时，∵抛物线y ＝x 2﹣4x +4与直线y ＝x 交于点（1，1）， ∴当1≤3﹣n ≤3时，图象G 上存在点P ，使得∠POQ ＝45°，解得：0≤n ≤2；（ii ）当点P ，Q 在y 轴左侧时，同①可得出，抛物线y ＝x 2﹣4x +4与直线y ＝﹣x 交于点（﹣1，﹣1）或（﹣4，﹣4），∴当﹣1≤3﹣n ≤1时，图象G 上存在点P ，使得∠POQ ＝45°，解得：2≤n ≤4． 综上所述：若在图象G 上存在点P ，使得∠POQ ＝45°，n 的取值范围为0≤n ≤4．【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，正确理解∠POQ＝45°的意义，运用数形结合的思想解决问题是解题关键.19．（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在，抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）△ACE的最大面积278，此时E点坐标为（52，34）．（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可．（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D．（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF ，再根据直线l 与x 轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC 间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+3经过点A （1，0），点C （4，3），∴a b 30{16a 4b 33++=++=，解得a 1{b 4==-． ∴抛物线的解析式为y=x 2﹣4x+3．（2）存在．∵点A 、B 关于对称轴对称，∴点D 为AC 与对称轴的交点时△BCD 的周长最小． ∵y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2．设直线AC 的解析式为y=kx+b （k≠0），则k b 0{4k b 3+=+=，解得：k 1{b 1==-．∴直线AC 的解析式为y=x ﹣1．当x=2时，y=2﹣1=1．∴抛物线对称轴上存在点D （2，1），使△BCD 的周长最小．（3）如图，设过点E 与直线AC 平行线的直线为y=x+m ，联立243y x my x x =+⎧⎨=-+⎩，消掉y 得，x 2﹣5x+3﹣m=0．由△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m ）=0得m=134-．∴m=134-时，点E 到AC 的距离最大，△ACE 的面积最大．此时x=52，y=5133244-=-．∴点E 的坐标为（52，34-）．设过点E 的直线与x 轴交点为F ，则F （134，0）．∴AF=139144-=．∵直线AC 的解析式为y=x ﹣1，∴∠CAB=45°．∴点F 到AC 的距离为9292428⨯=． 又∵223(41)32AC =+-=．∴△ACE 的最大面积192273228=⨯⨯=，此时E 点坐标为（52，34-）． 20．（1）y=-x 2+2x+3；（2）P （60）或P 3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在点Q 113113,⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或17,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． （1）将点A 、B 坐标代入解析式求出b 、c 的值即可得；（2）∠PCB=∠CBD 有两种情况①P 在B 的右侧时延长BD 交y 轴于点H 由∠OCB=∠OBC=45°可证明∠HCB=∠CBP 从而△PCB ≌△HBC 由直线BD 即可求得：OH=OP=6从而得到P 点坐标；②P 在B 的左侧时此时PC ∥BD 根据一次函数解析式即可求出P ； （3）分以下两种情况分别求解①点Q 在y 轴右侧时由OB=OC 可得出OQ 是∠BOC 的平分线联立二次函数解析式与直线OQ 的解析式即可求解；②点Q 在y 轴左侧时可得这条对角线只能是BQ 过点C 作x 轴的平行线EF 过点QB 分别作EF 的垂线垂足分别为FE 延长FQ 交x 轴于点G 设点Q 的坐标为(mn)根据S △BOQ =S △CBQ =S 梯形FQBE -S △FCQ -S △BEC 可得出关于mn 的关系式再与二次函数的解析式联立即可求解．解：（1）将点A （-10）B （30）代入y=-x 2+bx+c 得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩解得23b c =⎧⎨=⎩∴二次函数的表达式为y=-x 2+2x+3；（2）①当点P 在点B 右侧时延长BD 交y 轴于点H∵y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4∴点D 的坐标为（14）设直线BD 的解析式为y=kx+b 则304k b k b +=⎧⎨+=⎩解得26k b =-⎧⎨=⎩即直线BD 的解析式为y=-2x+6 ∴点H 的坐标为（06）∵OB=OC=3∴∠OBC=∠OCB=45°∴∠HCB=∠CBP=135°又∠PCB=∠CBDBC=BC∴△PCB ≌△HBC∴CH=PB∴OH=OB=6故此时点P 的坐标为（60）；②当点P （P′）在点B 左侧时直线BD 的表达式为：y=-2x+6∵∠P′CB=∠CBD 则P′C ∥BD则直线P′C 的表达式为：y=-2x+3当y=0x=32故此时点P′的坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭综上所述点P 的坐标为（60）或3,02⎛⎫⎪⎝⎭； （3）存在．理由如下：①当点Q 在y 轴右侧时以QCBO 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分这条对角线只能是OQS △COQ =S △BOQ 如图而OB=OC 故OQ 是∠BOC 的平分线即OQ 的函数表达式为：y=x将y=x 与y=-x 2+2x+3联立得-x 2+2x+3=x 解得113+ 故此时点Q 的坐标为（1132+1132+）； ②当点Q 在y 轴左侧时以QCBO 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分这条对角线只能是BQS △BOQ =S △CBQ 如图过点C 作x 轴的平行线EF 过点QB 分别作EF 的垂线垂足分别。
专题33 二次函数与平移问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题(全国通用版)(解析版)
专题33 二次函数与平移问题1．（2021·湖北武汉九年级阶段练习）如图1，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，OB ＝OC ＝3OA ． （1）求抛物线解析式；（2）如图2，点E 的坐标为（0，7），若过点E 作一条直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点H ，直线y ＝kx ﹣2k ﹣5（k ≠0）与抛物线交于F 、G 两点，求当k 为何值时，△FGH 面积最小，并求出面积的最小值；（3）如图3，已知直线l ：y ＝2x ﹣1，将抛物线沿直线l 方向平移，平移过程中抛物线与直线l 相交于E 、F 两点．设平移过程中抛物线的顶点的横坐标为m ，在x 轴上存在唯一的一点P ，使∠EPF ＝90°，求m 的值．【答案】（1）y ＝-x 2+2x +3；（2）k =-2，面积最小为（3）m 【分析】（1）令x =0，解得y =b ，求出OB ＝OC ＝b ，OA =13b ，得到A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0），把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b 即可求解；（2）设直线EH 的解析式为y =nx +7，联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+=，根据直线EH 与函数只有一个交点，求出H （2，3），再得到直线GH 过定点M （2，-5），利用S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x -，求出()12x x -的最小值即可求解；（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90°，设点E ，F的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），求出平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+2m +2，联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=，求出x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --，y 1+y 2=4m -6，表示出点R （m -1，2m -3），求出()12x x -2，利用PR =12EF ，得到EF 2=4PR 2，列出关于m 的方程即可求解． 【详解】（1）∵y ＝ax 2﹣2ax +b （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴的正半轴交于点C ， 令x =0，解得y =b ∴CO =b∴OB ＝OC ＝b ，OA =13b∴A （-13b ，0），C （0，b ），B （b ，0）把A （-13b ，0），B （b ，0）代入y ＝ax 2﹣2ax +b得22209302ab ab b ab ab b⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得13a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为y ＝-x 2+2x +3； （2）∵点E 的坐标为（0，7）， 可设直线EH 的解析式为y =nx +7联立2723y nx y x x =+⎧⎨=-++⎩，得()2240x n x +-+= ∵直线EH 与函数只有一个交点，且在对称轴右侧 ∴△=()224140n --⨯⨯= 解得n 1=-2，n 2=6（舍去） ∴直线EH 的解析式为y =-2x +7 解方程2440x x -+=得x 1=x 2=2 ∴H （2，3）∵直线GH 解析式y ＝kx ﹣2k ﹣5=k （x -2）-5 ∴直线GH 过定点M （2，-5） 如图，连接HM ∵H （2，3） ∴HM ⊥x 轴，MH =8 设F （x 2，y 2）、G （x 1，y 1）联立()22523y k x y x x ⎧=--⎨=-++⎩，得到()22280x k x k +---= ∴x 1+x 2=2-k ，x 1x 2=-2k -8∵S △FGH =S △FMH +S △GMH =()1212MH x x ⨯-=4()12x x -故当()12x x -最小时，S △FGH 最小∵()12x x -2=()()()()222121242428232x x x x k k k +-=----=++故当k =-2时，()12x x -2的最小值为32故()12x x -=∴此时S △FGH 最小为4()12x x -=（3）当以EF 为直径的R 与x 轴相切时，x 轴上存在点P 即切点，使∠EPF =90° 如图，R 与x 轴相切时，切点为点P ， ∵y ＝-x 2+2x +3=-（x -1）2+4设点E ，F 的坐标分别为F （x 1，y 1）、F （x 2，y 2），当平移后的抛物线的顶点的横坐标为m 时，则抛物线向右平移了m -1个单位，故相应地纵坐标向上平移了2（m -1）=个单位，则平移后的抛物线的解析式为y ＝-（x -m ）2+4+2（m -1）=-（x -m ）2+2m +2联立()22221y x m m y x ⎧=--++⎪⎨=-⎪⎩得到()2222230x m x m m -++--=∴x 1+x 2=2m +2，x 1x 2=223m m --∴y 1+y 2=2（x 1+x 2）-2=4m -6，则点R （m -1，2m -3），()12x x -2=()212124xx x x +-=（2m +2）2-4（223m m --）=16，PR =12EF 则EF 2=4PR 2∵EF 2=()12x x -2+()12y y -2=5()12x x -2=5×16=4PR 2 ∵PR =2m -3∴5×16=4×（2m -3）2解得m∴当m m【点睛】此题主要考查二次函数综合运用，解题的关键是熟知圆的切线的性质、勾股定理、二次函数的图像与性质、一元二次方程相关性质．2．（2021·四川资阳·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当N CN '+的值最小时，求MN 的长． 【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）(1,4)P 或(2,3)P ；（3）34．【分析】（1）利用待定系数法即可得；（2）设点P 的坐标为2(,23)P a a a -++，先利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再根据:1:2PE BE =可得点E 的坐标，代入直线AC 的解析式求解即可得；（3）先根据2DD CD '=求出点D 的坐标，再根据二次函数图象的平移规律得出平移后的函数解析式，设点M 的坐标，从而可得点N的坐标，然后根据两点之间的距离公式可得N CN '+，最后根据两点之间线段最短、垂线段最短求解即可得． 【详解】解：（1）由题意，将点()()1,0,0,3B C -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++； （2）对于二次函数2y x 2x 3=-++，当0y =时，2230x x -++=，解得1x =-或3x =， (3,0)A ∴，设点P 的坐标为2(,23)(03)P a a a a -++<<，点E 的坐标为11(,)E x y ， :1:2,(1,0)PE BE B =-，1121111223102a x x a a y y -⎧=⎪+⎪∴⎨-++-⎪=⎪-⎩，解得121213324233x a y a a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，22124(,2)3333E a a a ∴--++，设直线AC 的解析式为y kx t =+，将点(3,0),(0,3)A C 代入得：303k t t +=⎧⎨=⎩，解得13k t =-⎧⎨=⎩，则直线AC 的解析式为3y x =-+，将点22124(,2)3333E a a a --++代入得：22124323333a a a -++=-++，解得1a =或2a =，当1a =时，2231234a a -++=-++=，此时(1,4)P ， 当2a =时，22342233a a -++=-+⨯+=，此时(2,3)P ， 综上，点P 的坐标为(1,4)P 或(2,3)P ；（3）二次函数2223(1)4y x x x =-++=--+的顶点D 坐标为(1,4)D ， 设点D 的坐标为22(,)D x y '， 2,(0,3),(1,4)DD C D D C '=，2212104243x y -⎧=⎪⎪-∴⎨-⎪=⎪-⎩，解得2236x y =⎧⎨=⎩，(3,6)D '∴，则平移后的二次函数的解析式为22(3)663y x x x =--+=-+-， 设直线OD '的解析式为0y k x =，将点(3,6)D '代入得：036k =，解得02k =， 则直线OD '的解析式为2y x =，设点M 的坐标为2(,63)(3)M m m m m -+-<，则点N 的坐标为(,2)N m m ，如图，连接AD '，过点N 作NF AD '⊥于点F ，过点C 作CG AD '⊥于点G ，交OD '于点N '，连接CF ，(3,0),(3,6)D A '，AD x '∴⊥轴，3FN m ∴=-，3N CN CN m CN FN CN '+==-+=+， 由两点之间线段最短得：FN CN +的最小值为CF ，由垂线段最短得：当点F 与点G 重合时，CF 取得最小值CG ，此时点N 与点N '重合， 则点N '的纵坐标与点C 的纵坐标相等， 即23m =，解得32m =， 则2263243MN m m m m m =-+--=-+-，233()4322=-+⨯-，34=． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移规律、垂线段最短等知识点，较难的是题（3），正确求出平移后的抛物线的解析式是解题关键． 3．（2021—2022重庆实外九年级阶段练习）如图，已知抛物线212263y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，点P 是抛物线上位于直线BC 下方的一点．（1）如图1，连接,AP CP ，当点P 的横坐标为5时，求APCS；（2）如图2，连接AC ，过点P 作PG AC ∥交BC 于点G ，求PG 长度的最大值及此时点P 的坐标；（3）如图3，将抛物线212263y x x =--沿射线CB 的方向平移，使得新抛物线'y 经过点4(2,)3-，并记新抛物线'y 的顶点为D ，若点M 为新抛物线'y 对称轴上的一动点，点N 为坐标平面内的任意一点，直接写出所有使得以A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形的点N 的坐标，并把求其中一个点N 的坐标的过程写出来．【答案】（1）356；（2）PGP 点的坐标为（3，52-）；（3）当点N 的坐标为（10，0）或（-2，-10）或（-2，-2，-A ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形． 【分析】（1）设直线AP 与y 轴交点为E ，先求出P 点坐标，然后求出直线A 点坐标，即可求出直线AB 的解析式，从而得到E 点的坐标，再根据ACPACEECPSSS=+()()1122P C C A CE x x CE x x =⋅-+⋅-进行求解即可； （2）先求出直线BC 的解析式为123y x =-，过点P 作直线l ∥BC ，只有当直线l 与抛物线212263y x x =--相切（只有一个交点的时候）PG 有最大值，如图所示，此时P 、G 的位置分别为1P ，1G ；设此时直线l 的解析式为213y x b =+，联立221312263y x b y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩求得272b =-，从而求得点1P 的坐标为（3，52-），即点P 的坐标为（3，52-）；然后求出直线AC 的解析式为2y x =--，则可求出直线11PG 解析式为12y x =-+，然后求出1G 的坐标为（158，118-），再根据两点距离公式求出11PG 即可；（3）如图3-1所示，过点C 作直线CE ∥x 轴，过点B 作直线CE 的垂线，垂直为E ，求出BE 1CE 3=， 设抛物线212263y x x =--沿着射线CB 的方向平移使得C 点平移到G 点，过点G 作GH ⊥CE ，可证△CHG ∽△CEB ，得到1=3GH BE CH CE =，则可设抛物线()221218226363y x x x =--=--沿着射线CB 的方向向右平移t 个单位长度，向上平移13t 个单位长度得到抛物线()2182633t y x t '=---+，由此即可求出()21426y x '=--得到D 点坐标为（4，-2）；然后根据菱形的性质分别讨论：当DM ，AN 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的对角线时，当DM 和MA 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的边时，当AD 和MD 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的边时，利用属性结合的思想求解即可 【详解】解：（1）设直线AP 与y 轴交点为E ，∵点P 在抛物线212263y x x =--的函数图像上，且P 点横坐标为5， ∴P 点纵坐标为2127552636⨯-⨯-=-，∴P 点坐标为（5，76-），令0y =，则2122063x x --=，解得2x =-或6x =，∴A 点坐标为（-2，0），B 点坐标为（6，0）， 设直线AP 的解析式为y kx b =+，∴20756k b k b -+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴1613k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AP 的解析式为1163y x =--，∴E 点坐标为（0，13-），∵C 是抛物线212263y x x =--与y 轴的交点， ∴C 点坐标为（0，-2），∴()15233CE =---=，∴ACPACEECPSSS=+()()1122P C C A CE x x CE x x =⋅-+⋅- ()12P A CE x x =⋅- 15723=⨯⨯ 356=；（2）设直线BC 的解析式为11y k x b =+，∴111602k b b +=⎧⎨=-⎩，∴11132k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线BC 的解析式为123y x =-， 过点P 作直线l ∥BC ，只有当直线l 与抛物线212263y x x =--相切（只有一个交点的时候）PG 有最大值，如图所示，此时P 、G 的位置分别为1P ，1G ；设此时直线l 的解析式为213y x b =+，联立221312263y x b y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得221206x x b ---=，∴()22114206b ∆=+⨯+=，∴272b =-，∴2172062x x --+=即2690x x -+=，解得3x =，∴1P 点横坐标为3，∴1P 点纵坐标为1753322⎛⎫⨯+-=- ⎪⎝⎭， ∴ 点1P 的坐标为（3，52-），即点P 的坐标为（3，52-）； 设直线AC 的解析式为23y k x b =+，∴233202k b b -+=⎧⎨=-⎩， ∴2312k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为2y x =--，∴可设直线11PG 解析式为4y x b =-+， ∴4532y b =-+=-， ∴412b =， ∴直线11PG 解析式为12y x =-+， 联立12123y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得158118x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴1G 的坐标为（158，118-）；∴11PG == ∴PGP 点的坐标为（3，52-）；（3）如图3-1所示，过点C 作直线CE ∥x 轴，过点B 作直线CE 的垂线，垂直为E ， ∵C 点坐标为（-2，0），B 点坐标为（6，0），∴CE =OB =6，BE =OC =2， ∴BE 1CE 3=， 设抛物线212263y x x =--沿着射线CB 的方向平移使得C 点平移到G 点，过点G 作GH ⊥CE ， ∵GH ⊥CE ，BE ⊥CE ，∴GH ∥BE ，∴△CHG ∽△CEB ， ∴1=3GH BE CH CE =， ∵将抛物线沿着射线CB 平移的时候，可以看作先向右平移，再向上平移， ∴可设抛物线()221218226363y x x x =--=--沿着射线CB 的方向向右平移t 个单位长度，向上平移13t 个单位长度得到抛物线()2182633t y x t '=---+， ∵抛物线()182633t y x t '=---+经过点（2，43-）， ∴()2418223633t t -=---+， 解得2t =，∴()21426y x '=--； ∴D 点坐标为（4，-2）；如图3-2所示，当DM ，AN 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的对角线时，设AN 与MD 交于点Q ，∴点Q 的坐标为（4，0）∴AN ⊥MD ，且AQ =NQ =6，∴此时N 点坐标为（10，0）；设M 的坐标为（4，m ），如图3-3所示，当DM 和MA 为以A ，D ，M ，N 为顶点的菱形的边时，∴AN ∥MD ，MA =MD ，∴点N 在直线2x =-上，∵()22MD m m =--=+，MA =∴()22236m m +=+，解得8m =，∴MD =10，∴AN =MD =10，∴N 点坐标为（-2，-10）；如图3-4所示，当AD和MD为以A，D，M，N为顶点的菱形的边时，x=-，同理可得N在直线2∴AN AD===∴N点的坐标为（-2，-2，-，使得以A，D，M，N为顶点的四边形是菱形．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，菱形的性质，两点距离公式，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够根据数形结合和分类讨论的思想进行求解．4．（2021·四川遂宁·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和B（－3，0）两x=-，直线y＝－2x＋m经过点A，且与y轴点，与y轴交于C（0，－3），对称轴为直线1交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．（1）求抛物线的解析式和m的值；（2）在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y＝1上有M、N两点（M在N的左侧），且MN＝2，若将线段MN在直线y＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．【答案】（1）()214y x =+-；m =2；（2）存在，()0,12P 或()0,14.5；（3） 【分析】（1）根据抛物线的对称性求出A （1，0），再利用待定系数法，即可求解；再把点A 坐标代入直线的解析式，即可求出m 的值；（2）先求出E （-5，12），过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，从而得EDP ADO ∽，即可得到P 的坐标，过点E 作EP AE '⊥，交y 轴于点P '，可得P DE ADO '∽，再利用tan ∠ADO =tan ∠PE P '，即可求解；（3）作直线y =1，将点F 向左平移2个单位得到F '，作点E 关于y =1的对称点E '，连接E F ''与直线y =1交于点M ，过点F 作FN ∥E F ''，交直线y =1于点N ，在Rt EWF 中和 Rt E WF ''中分别求出EF ， E F ''，进而即可求解．【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，对称轴为直线1x =-， ∴A （1，0），设二次函数解析式为：y =a (x -1)(x +3)，把C （0，－3）代入得：-3=a (0-1)(0+3)，解得：a =1， ∴二次函数解析式为：y = (x -1)(x +3)，即：()214y x =+-，∵直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，∴0=-2×1+m ，解得：m =2；（2）由（1）得：直线AF 的解析式为：y =-2x +2，又∵直线y =-2x +2与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，∴当x =0时，y =2，即D （0，2），联立()22214y x y x =-+⎧⎪⎨=+-⎪⎩，解得：11512x y =-⎧⎨=⎩，2210x y =⎧⎨=⎩， ∵点E 在第二象限，∴E （-5，12），过点E 作EP ⊥y 轴于点P ，∵∠ADO =∠EDP ，∠DOA =∠DPE =90°，∴EDP ADO ∽，∴P （0，12）；过点E 作EP AE '⊥，交y 轴于点P '，可得P DE ADO '∽，∵∠ED P '+∠PED =∠PE P '+∠PED =90°，∴∠ADO =∠ED P '=∠PE P '，即：tan ∠ADO =tan ∠PE P '， ∴OA PP OD EP '=，即：125PP '=，解得： 2.5PP '=， ∴P '（0，14.5），综上所述：点P 的坐标为（0，12）或（0，14.5）；（3）∵点E 、F 均为定点，∴线段EF 长为定值，∵MN=2，∴当EM +FN 为最小值时，四边形MEFN 的周长最小，作直线y =1，将点F 向左平移2个单位得到F '，作点E 关于y =1的对称点E '，连接E F ''与直线y =1交于点M ，过点F 作FN ∥E F ''，交直线y =1于点N ，由作图可知：EM E M F M FN ''==，，又∵E M F ''，，三点共线，∴EM +FN =E M F M E F ''''+=，此时，EM +FN 的值最小，∵点F 为直线y =-2x +2与直线x =-1的交点，∴F （-1，4），∴F '（-3，4），又∵E （-5，12），∴E '（-5，-10），延长F F '交线段E E '于点W ，∵F F '与直线y =1平行，∴FW ⊥E E '，∵在Rt EWF 中，由勾股定理得：EF =，在Rt E WF ''中，由勾股定理得：E F ''∴四边形MEFN 的周长最小值=ME +FN +EF +MN =2E F EF MN ''++=．【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握待定系数法，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，利用轴对称图形的性质，构造线段和的最小值，是解题的关键．5．（2022·辽宁皇姑·九年级期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点C ，连接BC ，点D 是第四象限抛物线上一点，过点D 作DE ⊥x ，轴于点E ，交线段BC 于点F ，连接AD 、AF 、BD ．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D 的横坐标为m ，求四边形ADBF 面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将四边形ADBF 沿直线DE 向上平移得到四边形A 1D 1B 1F 1（A 、D 、B 、F 的对应点分别为A 1、D 1、B 1、F 1），直线A 1D 1与直线AF 交于点H ．点P 在B 点左侧的抛物线上，点Q 在直线B 1F 1上，当以点P 、Q 、B 、B 1为顶点的四边形是平行四边形，且D 1H 12=A 1H 时，请直接写出点P 的横坐标．【答案】（1）y ＝x 2-4x ＋3（2）94（3）0【分析】（1）把A （1，0）、B （3，0）代入y ＝x 2＋bx ＋c 即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式，设点D 的横坐标为m ，表示出四边形ADBF 面积与m 的关系式，故可求解；（3）根据D 1H 12=A 1H ，利用相似三角形的性质，求出平移的距离，再根据平行四边形的性质得到PQ =32，故可求出P 点的横坐标． 【详解】解：（1）把A （1，0）、B （3，0）代入y ＝x 2＋bx ＋c 得10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩解得43b c =-⎧⎨=⎩∴y ＝x 2-4x ＋3；（2）令x =0，得y ＝3∴C （0，3）设直线BC 的解析式为y =kx +b把B （3，0）、C （0，3）代入得303k b b +=⎧⎨=⎩解得13k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 的解析式为y =-x +3 ∵点D 的横坐标为m ，∴D （m ，m 2-4m ＋3）、F （m ，-m ＋3） ∴FD =（-m ＋3）-（m 2-4m ＋3）=- m 2+3m ∵A （1，0）、B （3，0） ∴AB =2∵四边形ADBF 面积为12AB DF ⨯=122DF ⨯⨯=- m 2+3m =-（m -32）2+94∴当m =32时，四边形ADBF 面积的最大值为94；（3）如图，由（2）可得D （32，34-）、F （32，32）将四边形ADBF 沿直线DE 向上平移得到四边形A 1D 1B 1F 1，设沿直线DE 向上平移h 个单位 故A 1（1，h ）、B 1（3，h ）、D 1（32，34-+h ）、F 1（32，32+h ）∵直线A 1D 1与直线AF 交于点H ，D 1H 12=A 1H ，AA 1∥DF ∴△AA 1H ∽△FD 1H ∴1111D H D F A H A A ==12 ∴1112D F A A = ∵1D F =32-（34-+h ）=94-h ，A 1A =h∴9142hh -= 解得h =32∴A 1（1，32）、B 1（3，32）、D 1（32，34）、F 1（32，3）设直线B 1F 1的解析式为y =px +q把B 1（3，32）、F 1（32，3）代入得332332p q p q ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得192p q =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴直线B 1F 1的解析式为y =-x +92设P 点的坐标为（x ，x 2-4x ＋3），∵点P 、Q 、B 、B 1为顶点的四边形是平行四边形 ∴PQ ∥BB 1，PQ =BB 1=32， ∴Q 点坐标为（x ，-x +92） ∵PQ =32， 故()2934322x x x ⎛⎫---+= ⎪⎝⎭＋解得x 1=0，x 2=3，x 3x 4 ∵点P 在B 点左侧的抛物线上，∴x 1=0，x 3故点P 的横坐标为0或32．【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、二次函数的最值求解、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质．6．（2021—2022重庆南开中学九年级阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴交于点A （0），点B （0），与y 轴交于点C ． （1）求该抛物线的解析式以及点C 的坐标；（2）点P 为直线BC 上方抛物线上的一点，过P 作PD //y 轴，交BC 于点D ，作PE //AB 交BC 于E ，EF 平分∠PED 并交PD 于F ，求△PFE 周长的最大值以及此时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，当△PFE 周长取得最大值时，过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，△PDE 沿射线EF 平移后得到△P 'D 'E '，当以点M ，D '，E '为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出此时点E '的坐标．【答案】（1）26y x =-+，C （0，6）；（2）PEFC 最大为3P 6）；（3）'E 112）． 【分析】（1）将点A （0），点B （0）代入2y x bx c =-++，解得b c =6，所以抛物线解析式为26y x =-+，C 点坐标为（0，6）．（2）将B （0）,C （0，6）代入y kx b =+，解得:6BC l y =+，设P 点坐标为（a ，26a -+），0a ≤≤E 点过直线BC ，则E 点坐标为2a -，26a -+），所以PE 长度为22a ，因为BC k =，所以∠OBC =60°，又因为PE //x 轴，所以∠PEB =60°，又因为EF 平分∠PED 所以∠PEF =∠EFD =30°，则PF 213a -，EF 223a -，PEF C PE EF PF =++△=22a 213a -223a -，化简得PEFC=2(2a a -++，0a ≤≤当PEFC 最大为3时，a P 点坐标为6）．（3）若''MD E △为等腰三角形，即'''MD D E ='''ME D E =''ME MD =这三种情况其中''D E =EF 解析式6y =+，为过'D 作EF 平行线，且解析时为4y x =+，设'E （m ，6+），'D （n ，4+），M 点坐标为（0，3），①令'''MD D E =有241103n -=，解得n 'D ，），因为''D E ='E ；②令'''ME D E =有24303m --=，解得m ，依题意得'E ；③''ME MD =有224()240n m -+--=，因为''D E k =且''D E =n m =m 'E 112）．【详解】（1）将将点A （0），点B （0）代入2y x bx c =-++有3020c c ⎧-+=⎪⎨-++=⎪⎩得6b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴抛物线解析式为26y x =-+ ∴C 点坐标为（0，6）（2）将B （0）,C （0，6）代入y kx b =+有06b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得6k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴:6BC l y =+设P 点坐标为（a ，26a -+），0a ≤≤PE //x 轴，故P 点和E 点纵坐标相等， E 点在直线BC 有，266a -+=+得x 2a -则E 2a -，26a -+）∴ 2)PE a a =--=22a∵BC k =∴∠OBC =60° 又∵PE //x 轴 ∴∠PEB =60又∵EF 平分∠PED 、 ∴∠PEF =∠EFD =30°∴PF 213a -，EF =2PF 223a -∴PEF C PE EF PF =++△=22a 213a -223a -整理得PEFC =2(2a a -++，0a ≤≤当PEFC最大为3a∴此时P 6）．（3）若''MD E △为等腰三角形，即'''MD D E ='''ME D E =''ME MD =这三种情况其中''D E =EF 解析式6y =+，为过'D 作EF 平行线，且解析时为4y x =+，设'E （m ，6+），'D （n ，4+），M 点坐标为（0，3）. ①令'''MD D E =有241103n -=解得n依题意得'D ）∵''D E =''D E k =∴ 'E ）②令'''ME D E =有24303m --=，解得m ，依题意得'E ，214）；③''ME MD =有224()240n m -+--=因为''D E k =''D E =有n m =代入得m∴'E 112）．综上所述'E 点坐标为或或112）．【点睛】本题考查了二次函数图象及性质，按照题意设未知数并列出对应的方程式是解题的关键． 7．（2021·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求PAD △面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线24(0)y ax bx a =+-≠沿射线AD 平移的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）y =x 2-3x -4；（2）8；（3）55(,)24G -或1525(,)24G -或25(,)247G -，过程见解析【分析】（1）将()1,0A -，()4,0B 的坐标代入函数式利用待定系数法求解即可；（2）先得出抛物线的对称轴，作PE ∥y 轴交直线AD 于E ，设P （m ，m 2-3m -4），用m 表示出△APD 的面积即可求出最大面积；（3）通过平移距离为4个单位，再向下平移4个单位，根据平移变化得出平移后的抛物线关系式和E 的坐标，分DE 为对角线、EG 为对角线、EF 为对角线三种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）将A （-1，0），B （4，0）代入y =ax 2+bx -4得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩， ∴该抛物线的解析式为y =x 2-3x -4，（2）把x =0代入y =x 2-3x -4中得：y =-4， ∴C （0，-4），抛物线y =x 2-3x -4的对称轴l 为3x=2∵点D 与点C 关于直线l 对称， ∴D （3，-4）， ∵A （-1，0），设直线AD 的解析式为y =kx +b ；∴3k+-4-k 0b b =⎧⎨+=⎩，解得：k 11b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AD 的函数关系式为：y =-x -1， 设P （m ，m 2-3m -4）， 作PE ∥y 轴交直线AD 于E ， ∴E （m ，-m -1），∴PE =-m -1-（m 2-3m -4）=-m 2+2m +3，∴221|x x |2(23)2462APD D A PE m m S m m ∆=⨯⨯-=-++=-++，∴()22246=21+8APD m m S m ∆=-++--， ∴当m =1时，PAD △的面积最大，最大值为：8（3）∵直线AD 的函数关系式为：y =-x -1， ∴直线AD 与x 轴正方向夹角为45°，∴抛物线沿射线AD 方向平移平移相当于将抛物线向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵()1,0A -，()4,0B ，平移后的坐标分别为（3，-4），（8，-4），设平移后的抛物线的解析式为21+y x dx e =+则9+3+-4648+-4d e d e =⎧⎨+=⎩，解得：1120d e =-⎧⎨=⎩，∴平移后y 1=x 2-11x +20， ∴抛物线y 1的对称轴为：112x =， ∵P （1，-6）， ∴E （5，-10），∵以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况： 设G （n ，n 2-11n +20），F （112，y ）， ①当DE 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴11n =23++522，∴n=52∴55(,)24G -②当EF 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴115=23++n22，∴n=152∴1525(,)24G -③当EG 为对角线时，平行四边形的对角线互相平分 ∴113=25++n 22，∴n=72∴25(,)247G -∴55(,)24G -或1525(,)24G -或25(,)247G -【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式和最值问题，求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质，注意分类讨论的数学思想．8．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，已知抛物线2:L y x bx c =++经过点(0,5),(5,0)A B -．（1）求,b c 的值；（2）连结AB ，交抛物线L 的对称轴于点M ．①求点M 的坐标；②将抛物线L 向左平移(0)m m >个单位得到抛物线1L ．过点M 作//MN y 轴，交抛物线1L 于点N ．P 是抛物线1L 上一点，横坐标为1-，过点P 作//PE x 轴，交抛物线L 于点E ，点E 在抛物线L 对称轴的右侧．若10PE MN +=，求m 的值．【答案】（1）4,5--；（2）①(2,3)-；②1． 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）①求出直线AB 的解析式，抛物线的对称轴方程，代入求解即可；②根据抛物线的平移方式求出抛物线1L 的表达式，再分三种情况进行求解即可．【详解】解：（1）把点(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入2y x bx c =++， 得5,2550.c b c =-⎧⎨++=⎩．解得4,5.b c =-⎧⎨=-⎩ ,b c ∴的值分别为4,5--．（2）①设AB 所在直线的函数表达式为()0y kx n k =+≠，把(0,5),(5,0)A B -的坐标分别代入表达式，得5,50.n k n =-⎧⎨+=⎩ 解得1,5.k n =⎧⎨=-⎩AB ∴所在直线的函数表达式为5y x =-．由（1）得，抛物线L 的对称轴是直线2x =，当2x =时，53y x =-=-．∴点M 的坐标是(2,3)-．②设抛物线1L 的表达式是2(2)9y x m =-+-，//MN y 轴，∴点N 的坐标是()22,9m -． ∵点P 的横坐标为1,-∴点P 的坐标是()21,6m m --， 设PE 交抛物线1L 于另一点Q ，∵抛物线1L 的对称轴是直线2,//x m PE x =-轴，∴根据抛物线的轴对称性，点Q 的坐标是()252,6m m m --．（i ）如图1，当点N 在点M 下方，即0m <≤时，52(1)62PQ m m =---=-，()22396MN m m =---=-，由平移性质得,QE m =，∴626PE m m m =-+=-10PE MN +=，∴26610m m -+-=，解得12m =-（舍去），21m =．（ii ）图2，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 右侧，3m <≤时，26,6PE m MN m =-=-，10PE MN +=，26610m m ∴-+-=，解得1m =（舍去），2m =． （ⅲ）如图3，当点N 在点M 上方，点Q 在点P 左侧，即3m >时，2,6PE m MN m ==-，10PE MN +=，2610m m ∴+-=，解得1m =，2m =．综上所述，m 的值是1． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、抛物线的平移规律和一元二次方程等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质是解题的关键．9．（2021—2022重庆九年级期中）如图，已知二次函数y ＝﹣x 2+mx +n （m ，n 均为常数）的图像顶点为A ，与x 轴交于B （﹣1，0）、C 两点，与y 轴交于点D （0，3）．（1）求该抛物线解析式．（2）如图1，连接AD 交x 轴于点E ，连接AB 交y 轴于点K ，点M 是抛物线四象限且位于对称轴右侧图像上一点，过点M 作MP ⊥AD 交直线AD 于点P ，连接MD ．若∠M ＝∠BKO ，求出点M 的坐标，以及此时△MDP 的周长，并写出解答过程．（3）如图2，将抛物线y 沿射线AE 方向平移得到一个新的二次函数记为y ′，令y ′与y 两函数图像相交于点Q ，连接CQ ，点R 为原抛物线图像上一动点，点F 为直线AE 上一动点，是否存在以点C ，Q ，R ，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点R 的坐标，并把求其中一个R 点的坐标的过程写出来．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）M （5，-12），△MDP 的周长=；（3）R 点的坐标为，54或，54或254-或，254-． 【分析】（1）利用待定系数法二次函数y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴交于B （﹣1，0），与y 轴交于点D （0，3）．代入得310n m n =⎧⎨--+=⎩组成方程组，解方程组即可； （2）连结DC ，MD 交x 轴于H ，过H 作HG ⊥DC 于G ，求出抛物线顶点A （1，4），抛物线与y 轴交点坐标为：点D （0，3）与x 轴交点C （3，0），根据勾股定理DC =待定系数法求AP 解析式为3y x ，AB 解析式为22y x =+，根据∠M ＝∠BKO ，∠M =∠CDH ，可得tan ∠BKO =tan ∠CDH=12OB HG KO DG ==， 可得DG =2HG ，再证GH =GC ，可得DG =2GC ，求出点H （1，0），待定系数法求DH 解析式为33y x =-+，然后22333y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩，求出M （5，-12），再求CD 解析式为3y x =-+，PM 解析式为7y x =--，联立方程组73y x y x =--⎧⎨=+⎩，求出点P （-5，-2）利用勾股定理DP ==DM =PM =（3）将抛物线y 沿射线AE 方向平移A′A ，过A′作A′S 垂直原抛物线的对称轴于S ，如图，求出点A ′（-3，0）求出新抛物线的解析式为()22369y x x x =-+=---，然后求出交点Q （3924--，），设点F （x F ,x F +3）,R (x R ，223R R x x -++)分两种情况，当CQ 为平行四边形的边时，2332930234F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪++=-++-⎪⎩，当CQ 为平行四边形的对角线时，2332932304F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+-++=-⎪⎩， 然后解方程组求出点R 坐标即可． 【详解】解：（1）二次函数y ＝﹣x 2+mx +n 与x 轴交于B （﹣1，0），与y 轴交于点D （0，3）．代入得310n m n =⎧⎨--+=⎩， 解得32n m =⎧⎨=⎩， 2y x 2x 3=-++；（2）连结DC ，MD 交x 轴于H ，过H 作HG ⊥DC 于G ，()222314y x x x =-++=--+， 点A （1，4），抛物线与y 轴交点坐标为：点D （0，3），2230y x x =-++=，解得x =-1或x =3，点C （3，0），∵OC =3，OD =3，∠COD =90°，∴∠ODC =∠OCD =45°，∴DC=设AP 解析式为11y k x b =+，经过点A ，D ，代入坐标得11143k b b +=⎧⎨=⎩， 解得：1113k b =⎧⎨=⎩， AP 解析式为3y x ，当y =0时，x =-3，点E （0，-3），∵OE =3，OD =3，∠EOD =90°，∴∠ODE =∠OED =45°，∴∠EDC =∠DEO +∠ODC =45°+45°=90°，∴CD ⊥AD ，∵MP ⊥AD ，∴MP ∥CD ，∴∠M =∠CDH ，设AB 解析式为y kx b =+，代入坐标得：40k b k b +=⎧⎨-+=⎩， 解得22k b =⎧⎨=⎩， AB 解析式为22y x =+，∴AB 与y 轴交点K （0，2），∴OK =2，OB =1，∵∠M ＝∠BKO ，∠M =∠CDH ，∴∠CDH =∠BKO ，∴tan ∠BKO =tan ∠CDH=12OB HG KO DG ==， ∴DG =2HG ，∵HG ⊥DC ，∠DCO =45°，∴∠GHC =180°-∠HGC -∠GCH =180°-90°-45°=45°=∠GCH ，∴GH =GC ，∴DG =2GC ，∵DG +GC =CD，∴GH =CG=13CD ∴CH2=，∴OH =OC -CH =3-2=1，∴点H （1，0），设DH 解析式为22y k x b =+，代入坐标得：22230b k b =⎧⎨+=⎩，解得2233b k =⎧⎨=-⎩， DH 解析式为33y x =-+，∴22333y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩， 消去y 得23323x x x -+=-++，解得x =0，x =5,x =0,y =3，x =5,y =-12，∴M （5，-12），设CD 解析式为33y k x b =+，∴333330b k b =⎧⎨+=⎩， 解得3331b k =⎧⎨=-⎩， CD 解析式为3y x =-+，设PM 解析式为y mx n =+，∵MP ∥CD ，∴m =-1,过M （5，-12），125n -=-+,解得n =-7,∴PM 解析式为7y x =--，∴73y x y x =--⎧⎨=+⎩， 解得52x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点P （-5，-2），∴DP=DMPM=△MDP 的周长=（3）将抛物线y 沿射线AE 方向平移A′A，过A′作A′S 垂直原抛物线的对称轴于S ，如图，∵AS ∥y 轴，∴∠EDO =∠A′AS =45°，∴△A′AS 为等腰直角三角形，AS =A′S =A′Acos 45°=4，点A ′的横坐标为1-4=-3,纵坐标4-4=0，点A ′（-3，0），新抛物线的解析式为()22369y x x x =-+=---， 222+369y x x y x x ⎧=-+⎨=---⎩， ∴3294x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， Q （3924--，）， 当CQ 为平行四边形的边时，设点F （x F ,x F +3）,R (x R ，223R R x x -++)，2332930234F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪++=-++-⎪⎩,消去x F 得2392324R R R x x x -+=-++-， 解得()22110R x -=，21R x -=R x =，R x =54y =R x =54y =， ∴点R5454，当CQ 为平行四边形的对角线时，2332932304F R F R R x x x x x ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+-++=-⎪⎩， 消去x F 得2393323024R R R x x x -+-+-++=-， ()22140R x -=，R x =R x25y 4=-R x =25y 4=-点R 254-254-，综合得R 点的坐标为，54或，54或254-254-． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，勾股定理两点距离公式，等腰直角三角形判定与性质，抛物线平移，平行四边形判定与性质，解一元二次方程，本题难度非常大，运算量太大，思维要清晰，解题经验丰富，才能解题，是中考压轴题．10．（2021—2022辽宁台安九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =+-（0a ≠）与 x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与 y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接 PA ，PD ，求PAD △面积的最大值；（3）在（2）中PAD △面积取最大值的条件下，将抛物线24y ax bx =+-（ 0a ≠）沿射线AD平移1y ，点 E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 确定一点 G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）234y x x =--；（2）8；（3）55,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭或725,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭或1525,24G ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）直接代入点A ，B 坐标即可；（2）作//PH y 轴交直线AD 于H ，PF AD ⊥于F ，通过点A ，点D 的坐标可求得直线AD 的函数关系式1y x =--，AD =可得直线AD 与x 轴正方向夹角为45︒，可得PF ，设23(),4--P m m m ，则()214PH m =--+，根据12APD PF S AD ∆=可求解；（3）通过平移距离为4个单位，再向下平移4个单位，得出平移后的抛物线关系式和E 的坐标，从而平行四边形中，根据线段DE ，分别为平行四边形的边，或者是对角线，分类讨论，通过点的平移得出 G 的横坐标所在的直线，然后代入抛物线1y 得函数关系式，即可求得坐标．【详解】解：（1）将(1,0)A -，(4,0)B 代入 24y ax bx =+-得4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩， ∴13a b =⎧⎨=-⎩，234y x x ∴=--，（2）如图示，作//PH y 轴交直线AD 于H ，PF AD ⊥于 F ，当0x =时，203044y =-⨯-=-，∴点C 的坐标是(0,4)-，点D 与点C 关于直线l 对称，∴4D y =-，∴2344D D x x --=-∴3D x =（取非零值）∴点D 的坐标是(3,4)-，∵点A 的坐标是(1,0)-，点D 的坐标是(3,4)-，∴直线AD 的函数关系式为：1y x =--，且AD ∴1AD k =-，∴直线AD 与x 轴正方向夹角为45︒，∴45AOE AEO ∠=∠=︒，则有：45PHD ∠=︒，∴PF ， 设23(),4--P m m m ，(,1)H m m ∴--，21(34)PH m m m ∴=-----223m m =-++()214m =--+，12APD S AD PF ∆∴=，12=⨯12=⨯ 2PH =()2218m =--+ ∴当1m =时，APD S ∆最大为8，（3）直线AD 与x 轴正方向夹角为45︒，∴沿AD 方向平移4个单位，再向下平移4个单位，由（2）可知，点P 的坐标是2,3)4(m m m --，且1m =∴点P 的坐标是(1,6)P -，∴平移后，点P 的对应点E 的坐标为(5,10)-， ∵抛物线223253424y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∴平移后222132511414411202424y x x x x ⎛⎫⎛⎫=----=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴抛物线1y 的对称轴为：直线1l ：112x =， 当3x =时，在抛物线1y 中，213113204y =-⨯+=-，即点D 在抛物线1y 上，当DE 为平行四边形的边时：如图1所示，若点D 平移到对称轴上F 点，即点D 往右平移115322-=个单位长度，到对称轴上1F 点，则，点E 往右平移52个单位长度， ∴点1G 的横坐标为515522+=， ∴点1G 在直线152x =上， 又∵点1G 在抛物线211120y x x =-+上，代入211120y x x =-+得254y =-， ∴点1G 的坐标是1525,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； 如图2所示，若E 平移到对称轴上2F 点，即点E 往右平移111522-=个单位长度，到对称轴上 2F 点， 则，点D 往右平移12个单位长度，∴点2G 的横坐标为17322+=， ∴点2G 在直线72x =上， 又∵点2G 在抛物线211120y x x =-+上，代入211120y x x =-+得254y =-， ∴点2G 的坐标是25,247⎛⎫- ⎪⎝⎭； 如图3示，若DE 为平行四边形的对角线时，若E 平移到对称轴上3F 点，即点E 往右平移111522-=个单位长度，到对称轴上 3F 点， 则，点D 往左平移12个单位长度，∴点3G 的横坐标为15322-=，∴点3G 在直线52x =上， 又∵点3G 在抛物线211120y x x =-+上，代入211120y x x =-+得54y =-， ∴点3G 的坐标是55,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； ∴综上所述，所有符合条件的点G 的坐标是55,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或 25,247⎛⎫- ⎪⎝⎭或1525,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数关系式，铅垂高求三角形的面积，以及平移的性质和平行四边形的性质和判定，将沿AD 平移4个单位，再向下平移4个单位是解决问题的关键．11．（2021·重庆实外中考二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣22433x +x ＋2与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点P 为直线BC 上方抛物线上一动点．（1）求直线BC 的解析式；（2）过点A 作AD ∥BC 交抛物线于D ，连接CA ，CD ，PC ，PB ，记四边形ACPB 的面积为S 1，△BCD 的面积为S 2，当S 1﹣S 2的值最大时，求P 点的坐标和S 1﹣S 2的最大值；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O ，G 为平移后的抛物线的对称轴直线l 上一动点，将线段AC 沿直线BC 平移，平移过程中的线段记为A ′C ′（线段A 'C '始终在直线l 左侧），是否存在以A ′，C ′，G 为顶点的等腰直角△A ′C ′G ？若存在，请写出满足要求的所有点G 的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝223x -+；（2）S 1﹣S 2的最大值为94，点P 的坐标为（35,22）；（3）存在，G 1（2，1），G 2（2，53-），G 3（2，13-）；见解析． 【分析】（1）令二次函数x ＝0，y ＝0，求出A 、B 、C 的坐标，再求直线BC 的解析式；（2）不能用常规的底和高，借助切割法求面积，再求出最大面积差和点P 的坐标；（3）等腰直角三角形可以利用“两圆一中垂”确定所有的情况，利用“K 型全等”求出对应的点G 的坐标．【详解】解：（1）对抛物线：224233y x x =-++， 当0x =时，2y =，∴点C （0，2），当0y =时，2242033x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点A （﹣1，0），点B （3，0），。
初中数学 函数模块3-4 二次函数讲义(含答案解析)
二次函数题型练题型一：二次函数的定义1.二次函数的概念：一般地，形如²y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b ，c 可以为零，二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数²y ax bx c =++的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2（2）a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．①二次函数的识别例1.1下列函数中，是二次函数的是（）A .261y x =+B .61y x =+C .8y x =D .281y x=-+【详解】解：A ．是二次函数，故本选项符合题意；B ．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；C ．是反比例函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；D ．等式的右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A ．变式1.11.下列各式中，y 是x 的二次函数的是（）A.31y x =-B.21y x =C.231y x x =+- D.212y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的定义：形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数求解可得．【详解】解：A 、y =3x -1是一次函数，不符合题意；B 、21y x =中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；C 、y =3x 2+x -1是二次函数，符合题意；D 、212y x x=+中右边不是整式，不是二次函数，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，解题的关键是掌握形如y =ax 2+bx +c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．②根据二次函数的定义求参数例1.2如果函数22(2)27my m x x -=-+-是二次函数，则m 的取值范围是（）A .2m =±B .2m =C .2m =-D .m 为全体实数【详解】解：由题意得：20m -≠，222m -=，解得：2m =-，故选：C ．变式1.22.已知函数y ＝（2﹣k ）x 2+kx +1是二次函数，则k 满足__．【答案】k ≠2【解析】【分析】利用二次函数定义可得2﹣k ≠0，再解不等式即可．【详解】解：由题意得：2﹣k ≠0，解得：k ≠2，故答案为：k ≠2．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键．题型二：二次函数表达式的图像和性质①2y ax =方的图像和性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上()0,0y 轴0x >时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x的增大而减小；0x =时，y 有最小值00a <向下()0,0y 轴0x >时，y 随着x 的增大而减小；0x <时，y 随着x的增大而增大；0x =时，y 有最大值0例2.1抛物线22y x =-的对称轴是（）A .直线12x =B .直线12x =-C .直线0x =D .直线0y =【详解】解：对称轴为y 轴，即直线0x =．故选C ．变式2.13.抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是（）A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最高点D.y 随x 的增大而增大【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质解题．【详解】抛物线y ＝2x 2，y ＝12x 2开口向上，对称轴是对称轴是y 轴，有最低点，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而增大，y ＝－2x 2，开口向下，对称轴是对称轴是y 轴，有最高点，在y 轴的左侧，y 随x 的增大而增大，故抛物线y ＝2x 2，y ＝－2x 2，y ＝12x 2的共同性质是对称轴是y 轴，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．②2y ax c =+方的图像和性质a 的符开口顶点坐对称性质号方向标轴a >向上()0,c y 轴0x >时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x的增大而减小；0x =时，y 有最小值c0a <向下()0,c y 轴0x >时，y 随着x 的增大而减小；0x <时，y 随着x的增大而增大；0x =时，y 有最大值c例2.24.将抛物线y ＝x 2＋3向右平移2个单位后，所得抛物线顶点是_______________．【答案】(2，3)【解析】【分析】根据题目给出的二次函数顶点式，以及“左加右减”的平移原则写出平移后的顶点式，再写出对应的顶点坐标．【详解】解：根据“左加右减”的平移原则，向右平移两个单位，平移后解析式应该是2(2)3y x =-+，∴顶点坐标是()2,3．故答案是：()2,3．【点睛】本题考查二次函数的平移，解题的关键是掌握二次函数平移的方法．【详解】解：根据“左加右减”的平移原则，向右平移两个单位，平移后解析式应该是2(2)3y x =-+，∴顶点坐标是()2,3．故答案是：()2,3．变式2.25.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：222111,2,2222y x y x y x ==+=-．【答案】见解析【解析】【分析】利用描点法可画出这三个函数的图象．【详解】解：列表：描点：见表中的数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的线连接，如图所示：【点睛】本题主要考查二次函数图象的画法，掌握基本的描点法作函数图象是解题的关键．③顶点式()2y a x h k =-+的性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上(),h k 直线x h=x h >时，y 随着x 的增大而增大；x h <时，y 随着x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k0a <向下(),h k 直线x h >时，y 随着x 的增大而减小；x h <时，y 随x h =着x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k例2.3若二次函数2()1y x m =--．当3x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A .3m =B .3m >C .3m ≥D .3m ≤【详解】解：由题知二次函数对称轴为x m =，开口向上，根据二次函数图像的性质：只需满足3x m ≤≤即可满足题意，故选C ．变式2.36.已知点P （m ，n ）在抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a ≠0）上，当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，则a 的值为（）A.1B.﹣1C.2D.﹣2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的解析式可以确定抛物线的顶点和增减性，再根据已知条件确定a 的符号和关于a 的不等式，从而得到a 的值．【详解】解：∵抛物线y ＝a （x ﹣5）2+9（a ≠0），∴抛物线的顶点为（5，9），∵当7＜m ＜8时，总有n ＜1，∴a 不可能大于0，则a ＜0，∴x ＜5时，y 随x 的增大而增大，x ＞5时，y 随x 的增大而减小，∵当3＜m ＜4时，总有n ＞1，当7＜m ＜8时，总有n ＜1，且x ＝3与x ＝7对称，∴m ＝3时，n≥1，m ＝7时，n≤1，∴491491a a +≥⎧⎨+≤⎩,∴4a+9＝1，∴a ＝﹣2，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、增减性及其与图象的关系是解题关键．④一般式2y ax bx c=++a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a >向上24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线2bx a=-2bx a >-时，y 随着x 的增大而增大；2b x a <-时，y 随着x 的增大而减小；2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -0a <向下24,24b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭直线2bx a=-2bx a>-时，y 随着x 的增大而增大；0x <时，y 随着x 的增大而增大；2b x a=-时，y 有最小值244ac b a -例2.4若()1–3.5,A y 、()2–1,B y 、()31,C y 为二次函数2––45y x x =+的图象上三点，则123,,y y y 的大小关系是__________．（用＞连接）【详解】对称轴为直线4222(1)b x a -==-=⨯-，∵–10a =<，∴当–2x <时，y 随x 的增大而增大，当–2x >时，y 随x 的增大而减小，∵2( 3.5)2 3.5 1.5,1(2)121,1(2)123---=-+=---=-+=--=+=，∴213y y y >>．故答案为：213y y y >>．变式2.47.某同学利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：序号①②③④⑤x 01234y3﹣23经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你找出错误的那组数据_____．（只填序号）【答案】③．【解析】【分析】由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，-2）；可选取其他四组数据中的任意三组，用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】解：选取（0，3）、（1，0）、（3，0）；设抛物线的解析式为y=a （x-1）（x-3），则有：a （0-1）（0-3）=3，a=1；∴y=（x-1）（x-3）=x 2-4x+3．当x ＝2时，y ＝22﹣4×2+3＝﹣1≠﹣2，所以③数据计算错误．故答案为：③．【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，能够正确的判断出错误的一组数据是解答此题的关键．⑤一般式与顶点式的转换将一般式进行配方变形得到224y 24b ac b a x a a -⎛⎫=±+⎪⎝⎭可以根据上述公式，实现二次函数的一般式与顶点式之间的转换．例2.5对于抛物线243y x x =-+．（1）将抛物线的一般式化为顶点式．（2）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．x……y ……（3）结合图象，当03x <<时，求出y 的取值范围．【详解】（1）()222434443(2)1y x x x x x =-+=-+-+=--．∴抛物线的顶点式为2(2)1y x =--．（2）x (012)34…y…31-03…函数图象如图所示：（3）根据函数图象可知，当03x <<时，y 的取值范围是13y -≤<．变式2.58.将抛物线223y x x =--变成顶点式为________．【答案】()214y x =--【解析】【分析】由于二次项系数是1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】解：223y x x =--2214x x =-+-()214x =--．故答案为：()214y x =--．【点睛】本题主要考查的是二次函数的顶点式，正确配方是解题的关键．⑥二次函数图象的平移例2.6将抛物线2y x =向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，它的解析式为（）A .2(1)3y x =++B .2(1)3y x =-+C .2(1)3y x =+-D .2(1)3y x =--【详解】解：将抛物线2y x =图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象解析式为2(1)3y x =-+故选择：B ．变式2.69.把抛物线y=-2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（）A.()2y 211x =-++ B.()2y 211x =--+C.()2y 211x =--- D.()2y 211x =-+-【答案】B【解析】【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式．【详解】抛物线22y x =-向上平移1个单位，可得221y x =-+，再向右平移1个单位得到的抛物线是()2211y x =--+．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．题型三：各项系数与函数图像的关系a 决定二次函数图象的开口方向，a ，b 决定对称轴的位置，（左同右异，即a 与b 同号，则对称轴在y 轴左侧，反之在y 轴右侧）c 决定抛物线与y 轴交点的位置．例3已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：①0,0b c <>；②0a b c ++<；③方程的两根之和大于0；④0a b c -+<，其中正确的个数是（）A .4个B .3个C .2个D .1个【详解】试题分析：∵抛物线开口向下，∴0a <，∵抛物线对称轴0x >，且抛物线与y 轴交于正半轴，∴0,0b c >>，故①错误；由图象知，当1x =时，0y <，即0a b c ++<，故②正确，令方程20ax bx c ++=的两根为1x 、2x ，由对称轴0x >，可知1202x x +>，即120x x +>，故③正确；由可知抛物线与x 轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：10x -<<，∴当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确．故选B ．变式310.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，②4ac<b 2，③2a+b=0，④a －b+c>2，其中正确的结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【详解】①∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x ==﹣1，∴b =2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0，∴abc ＞0，所以①正确；②∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，∴4ac <b 2，所以②正确；③∵b =2a ，∴2a ﹣b =0，所以③错误；④∵x =﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b +c ＞2，所以④正确．故选C ．视频题型四：待定系数法求二次函数解析式一般用待定系数法求解二次函数的解析式，再求解过程中需要注意其使用的形式，1.已知抛物线上的三点坐标，一般用一般式求解析式2.已知抛物线顶点或对称轴或最值，一般用顶点式进行求解，3.已知抛物线与x 轴的交点横坐标，一般用交点式进行求解，4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，一般用顶点式进行求解．例4已知二次函数2y x bx c =-++的图象经过(1,0),(0,5)-两点，则这个二次函数的解析式为_______．【详解】解：把()1,0、()0,5代入2y x bx c =-++，得105b c c --+=⎧⎨=⎩，解得45b c =⎧⎨=⎩，所以二次函数的解析式为245y x x =-++．故答案为：245y x x =-++．变式411.若二次函数的图象过（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点，则这个二次函数的解析式为________________．【答案】223y x x =+-．【解析】【分析】设出二次函数的解析式为2y ax bx c =++，将三点坐标代入二次函数解析式求出a ，b ，c 的值，即可确定出解析式．【详解】设二次函数的解析式为2y ax bx c =++，将（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）三点代入解析式得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩．则二次函数解析式为223y x x =+-．故答案为：223y x x =+-．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．题型五：二次函数与一元二次方程1.一元二次方程20ax bx c ++=，是二次函数2y ax bx c =++当0y =，即与x 轴相交的特殊情况2.二次函数与x 轴的交点个数当0∆>是，抛物线与x 轴有两个交点；当0∆=是，抛物线与x 轴有一个交点；当∆<0是，抛物线与x 轴没有交点；①抛物线与X 轴Y 轴的交点问题例5.1抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为（）A .()3,0B .()0,3C .D .【详解】当0x =时，3y =，则抛物线23y x =+与y 轴交点的坐标为()0,3，故选B ．变式5.112.抛物线y ＝2x 2﹣2x 与x 轴的交点坐标为___．【答案】（0，0），（1，0）．【解析】【分析】解方程2x 2﹣2x ＝0，即可求出抛物线与x 轴的交点坐标.【详解】当y ＝0时，2x 2﹣2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0），（1，0）．故答案为（0，0），（1，0）．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标与一元二次方程解的关系，二次函数与x 轴的交点横坐标是ax 2+bx +c =0时方程的解，纵坐标是y =0.②根据二次函数图象确定相应方程根的情况例5.2已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则关于x 的方程240ax bx c ++-=的根的情况是（）A .有两个相等的实数根B .有两个异号的实数根C .有两个不相等的实数根D .没有实数根【详解】∵函数的顶点的纵坐标为4，∴直线4y =与抛物线只有一个交点，∴方程240ax bx c ++-=有两个相等的实数根，故选A ．变式5.213.如图，抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20ax bx c --=的解为______．【答案】12x =-，21x =【解析】【分析】根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，于是易得关于x 的方程ax 2-bx-c=0的解．【详解】解：∵抛物线2y ax =与直线y bx c =+的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，∴方程组2y ax y bx c ⎧=⎨=+⎩的解为1124x y =-⎧⎨=⎩，2211x y =⎧⎨=⎩，即关于x 的方程20ax bx c --=的解为12x =-，21x =．故答案为x 1=-2，x 2=1．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴直线x=-2b a ．也考查了二次函数图象与一次函数图象的交点问题．③用图象求一元二次方程的近似根例5.3如表是一组二次函数23y x x =--的自变量和函数值的关系，那么方程230x x --=的一个近似根是（）x1234y 3-1-39A ．1.2B .2.3C .3.4D .4.5【解析】【分析】根据二次函数的图象特征解答．【详解】解：观察表格得：方程230x x --=的一个近似根在2和3之间，故选：B ．变式5.3.114.如图，以直线1x =为对称轴的二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴负半轴交于A 点，则一元二次方程20ax bx c ++=的正数解的范围是（）．A.23x << B.34x << C.45x << D.56x <<【答案】C【解析】【分析】先根据图象得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再利用对称轴1x =，可以算出右侧交点横坐标的取值范围．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =，而对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围是32x -<<-，∴右侧交点横坐标的取值范围是45x <<．故选：C ．【点睛】本题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象与x 轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围．变式5.3.215.若m 、n （n ＜m ）是关于x 的一元二次方程1﹣（x ﹣a ）（x ﹣b ）=0的两个根，且b ＜a ，则m ，n ，b ，a 的大小关系是（）A.m＜a＜b＜nB.a＜m＜n＜bC.b＜n＜m＜aD.n＜b＜a＜m【答案】D【解析】【详解】试题分析：如图抛物线y=（x ﹣a ）（x ﹣b ）与x 轴交于点（a ，0），（b ，0），抛物线与直线y=1的交点为（n ，1），（m ，1），由图象可知，n ＜b ＜a ＜m ．故选D ．考点：抛物线与x 轴的交点．③利用图象求不等式的取值范围例5.3如图是抛物线2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分．当0y <时，自变量x 的范围是___【详解】解：∵由函数图象可知，函数图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，对称轴为直线2x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()5,0，∴当0y <时，15x -<<．故答案为：15x -<<．变式5.316.二次函数2y x bx c =-++的部分图象如图所示，由图象可知，方程20x bx c -++=的解为___________________；不等式20x bx c -++<的解集为___________________．【答案】①.11x =-，25x =②.1x <-或5x >【解析】【分析】根据抛物线的对称轴和抛物线与x 轴一个交点求出另一个交点，再通过二次函数与方程的两根，二次函数与不等式解集的关系求得答案．【详解】∵抛物线的对称轴为2x =，抛物线与x 轴一个交点为（5，0）∴抛物线与x 轴另一个交点为（-1，0）∴方程20x bx c -++=的解为：11x =-，25x =由图像可知，不等式20x bx c -++<的解集为：1x <-或5x >．故答案为：11x =-，25x =；1x <-或5x >．【点睛】本题考查了二次函数的图像性质，掌握二次函数与方程的两根，二次函数与不等式的解集关系，是解决问题的关键．④求x 轴与抛物线的截线长例5.4已知二次函数24y x x m =-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，且点A 的坐标为()1,0，则线段AB 的长为（）A .1B .2C .3D .4【详解】将点()1,0A 代入24y x x m =-+，得到3m =，所以243y x x =-+，与x 轴交于两点，设()()1122,,,A x y b x y ∴2430x x -+=有两个不等的实数根，∴12124,3x x x x +=⋅=，∴122AB x x =-==；故选B ．变式5.417.已知方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，则抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点间距离为_________．【答案】72【解析】【详解】试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x 轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案.解：∵方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，∴抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点的横坐标分别为52，﹣1，∴两个交点间距离为57(1)22--=.故答案为72.题型六：实际问题与二次函数①图形问题例6.1如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（由两个小矩形花圃组成）．设花圃的一边AB 为m x ，面积为2m S ．（1）求S 与x 之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）．（2）如果要围成面积为245m 的花圃，那么AB 的长是多少米？（3）能围成面积比245m 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【详解】解：（1）∵024310x <-≤，∴1483x ≤<∴()21424332483S x x x x x ⎛⎫=-=-+≤< ⎪⎝⎭．（2）当45S =时，有232445x x -+=．解得123,5x x ==．∵1483x ≤<，∴5x =，即AB 的长为5m ．（3）能围成面积比245m 更大的花圃．∵()223243448S x x x =-+=--+，其函数图象开口向下，对称轴为直线4x =，当4x >时，y 随x 的增大而减小，∴在1483x ≤<的范围内，当143x =时，S 取得最大值，1403S =最大值．即最大面积为2140m 3，此时14m,10m 3AB BC ==．变式6.1设等边三角形的边长为()0x x >，面积为y ，则y 与x 的函数关系式是（）A .212y x =B .214y x =C .22y x =D .24y x =【详解】解：作出BC 边上的高AD ．∵ABC 是等边三角形，边长为x ，∴12CD x =，∴高为2=h x ，∴2124y x h x =⨯=．故选：D ．②图形运动问题例6.2如图，矩形ABCD 中，6cm,3cm AB BC ==，动点P 从A 点出发以1cm /秒向终点B 运动，动点Q 同时从A 点出发以2cm /秒按A D C B →→→的方向在边,,AD DC CB 上运动，设运动时间为x （秒），那么APQ 的面积()2cmy 随着时间x （秒）变化的函数图象大致为（）A .B .C .D .【详解】根据题意可知：,2AP x AQ x ==，①当点Q 在AD 上运动时，211222y AP AQ x x x =⋅⋅=⋅=，为开口向上的二次函数；②当点Q 在DC 上运动时，1133222y AP DA x x =⋅=⨯=，为一次函数；③当点Q 在BC 上运动时，211(122)622y AP BQ x x x x =⋅⋅=⋅⋅-=-+，为开口向下的二次函数．结合图象可知A 选项函数关系图正确．故选：A ．变式6.218.如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，12BC cm =，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，分别到达B ，C 两点就停止运动，则△PQB 的面积最大时，所用时间为（）A.2sB.3sC.4sD.5s【答案】B【解析】【分析】表示出PB ，BQ 的长，根据三角形面积公式列出函数关系式，然后配方求解即可.【详解】解：由题意得：AP=tcm ，则PB=(6-t)cm ，BQ=2tcm ，故S △PQB =221(6)26(3)92t t t t t ??-+=--+，∴当t=3s 时，△PQB 的面积最大，故选B.【点睛】本题考查的是二次函数的应用，根据题意表示出三角形的两直角边长是根本，得出面积并配方找最大值是关键．③拱桥问题例6.3如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．【详解】抛物线依坐标系所建不同而各异，如下图．（仅举两例）①如图1建立坐标系，∵顶点在原点，∴设函数解析式为2y ax =，∵图像过()20,6，∴2620a =⨯，解得：3200a =-，∴抛物线的表达式为23200y x =-．②如图2建立坐标系，∵图像相当于图1的图像向上平移6，∴抛物线的表达式为236200y x =-+．故正确，抛物线表达式为23200y x =-或236200y x =-+．变式6.319.如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m 时，拱高为2m ，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超过______m.【答案】1.2【解析】【详解】以水面所在水平线为x轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为y轴，建立坐标系，设水平面与拱桥的交点为A（-2，0），B（2，0），C（0，2），利用待定系数法设函数的解析式为y=a（x+2）（x-2）代入点C坐标，求得a=-12，即抛物线的解析式为y=-12（x+2）（x-2），令x=1，解得y=1.5，船顶与桥拱之间的间隔应不少于0.3，则木船的最高高度为1.5-0.3=1.2米.故答案为：1.2.④销售问题例6.4我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价时200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低5元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）求出月销售量y （单位：台）与售价x （单位：元/台）之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（2）当售价x 定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w （单位：元）最大？最大利润是多少？【详解】解：（1）根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，当售价为x 时，降了()400x -，所以月销售多了()10400x -台，则月销售量y （台）与售价x （元/台）之间的函数关系式；()10400200104200y x x =-+=-+∵空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台∴300104200450x x ≥⎧⎨-+≥⎩解得300375x ≤≤（2）由题意有：(200)w x y=-(200)(104200)x x =--+2106200840000x x =-+-210(310)121000x =--+∴当售价x 定为310元时，w 有最大值，为121000变式6.420.某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．【答案】（1）20元；（2）每件衬衫应降价15元，商场盈利最多，共1250元．【解析】【分析】（1）总利润=每件利润×销售量，根据题意可得利润表达式，再求当1200w =时x 的值；（2）根据函数关系式，运用二次函数的性质求最值．【详解】解：设每天利润为w 元，每件衬衫降价x 元，根据题意得()()()22402022608002151250w x x x x x =-+=-++=--+（1）当1200w =时，22608001200x x -++=，解之得121020x x ==，．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）解：商场每天盈利w=()()40202x x -+()22151250x =--+．∵-2＜0∴抛物线开口向下∴当x=15时，w 有最大值，w 的最大值为1250，所以当每件衬衫应降价15元时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．【点睛】本题考查二次函数应用的销售问题的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．⑤投球问题例6.5如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度()m y 与运行的水平距离()m x 满足关系式()2y a x k h =-+．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（）A .球不会过网B .球会过球网但不会出界C .球会过球网并会出界D .无法确定【详解】分析：（1）将点()0,2A 代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出9x =和18x =时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意，将点()0,2A 代入2(6) 2.6y a x =-+，得：362.62a +=，解得：160a =-，∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+；当9x =时，21(96) 2.6 2.45 2.4360y =--+=>，∴球能过球网，当18x =时，21(186) 2.60.2060y =--+=>，∴球会出界．故选C ．变式6.521.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（）A. 4.6mB. 4.5mC.4mD.3.5m【答案】B【解析】【分析】根据题意将篮圈高度y =3.05代入函数21 3.55y x =-+解得x ，再加上3即可求得L .【详解】如图，把y =3.05代入函数21 3.55y x =-+，解得：x ＝1.5或x ＝﹣1.5（舍），则L ＝3+1.5＝4.5m.故选B.⑥喷水问题例6.6如图，花坛水池中央有一喷泉，水管3m OP =，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m ，P 距抛物线对称轴1m ，则为使水不落到池外，水池半径最小为（）A .1B .1.5C .2D .3【详解】如图建立坐标系：抛物线的顶点坐标是()1,4，设抛物线的解析式是()214y a x =-+，把()0,3代入解析式得：43a +=，解得：1a =-，则抛物线的解析式是：()214y x =--+，当0y =时，()2140x --+=，解得：123,1x x ==-（舍去），则水池的最小半径是3米．故选：D ．变式6.622.如图，斜坡AB 长10米，按图中的直角坐标系可用53y x =-+表示，点A 、B 分别在x 轴和y 轴上，在坡上的A 处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B 处，抛物线可用213y x bx c =-++表示．（1）求抛物线的函数关系式；（2）求水柱离坡岗AB的最大高度．【答案】（1）21533y x x =-++；（2）254【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质求出点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）水柱离坡面的距离d=21553x x ⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭，整理成一般式，再配方成顶点式即可得.【详解】解：（1）∵AB=10、∠OAB=30°，∴OB=12AB=5、OA=ABcos ∠OAB=10×2=，则A（，0）、B （0，5），将A 、B 坐标代入213y x bx c =-++，得175035c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩，解得：35b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为21533y x x =-++；（2）水柱离坡面的距离d=21553x x ⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭，=2125324x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，∴当254.【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质等知识点，难度不大.⑦增长率问题例6.7共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放a 辆单车，计划第三个月投放单车y 辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，那么y 与x 的函数关系是（）A .2y x a=+B .()21y a x =+C .()21y x a=-+D .()21y a x =-【详解】解：设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x ，依题意得第三个月第三个月投放单车()21a x +辆，则()21y a x =+．故选：B ．变式6.723.某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x ，预计今年比去年的年增长率仍为x ，今年的总产值为y 万元．（1）求y 关于x 的函数关系式．（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？【答案】（1）210(1)y x =+；（2）14.4万元；（3）36.4万元．【解析】【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)²；(2)把x 的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可.【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)²；(2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)²=14.4万元；(3)依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+10(1＋x)²=36.4(万元).【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解．⑧其他问题例6.8小明和小丽先后从A 地出发同一直道去B 地，设小丽出发第min x 时，小丽、小明离B 地的距离分别为1y m 、2y m ，1y 与x 之间的数表达式11802250y x =-+，2y 与x 之间的函数表达式是22101002000y x x =--+．（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为m ．（2）小丽发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？【详解】解（1）当0x =时，122250,2000y y ==∴1222502000250(m)y y -=-=故答案为：250（2）设小丽出发第min x 时，两人相距m S ，则()21802250101002000S x x x =-+---+即21080250S x x =-+其中010x ≤≤因此，当8042210b x a -=-=-=⨯时S 有最小值，224410250(80)904410ac b a -⨯⨯--==⨯也就是说，当小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m变式6.824.如图，有一个横截面边缘为抛物线的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为8m ，两侧距底面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个隧道入口的最大高度为_________m ．。
2022中考数学冲刺专项3-方案设计问题
2022中考数学冲刺专项3-方案设计问题【备考点睛】方案设计问题是指解决问题的方案决策问题。
同一个问题往往有多种不同的解决方案，但其中最科学、合理的方案常常仅有一种。
随着课程改革的全面展开和逐步深化,有利于考察学生创新意识和实践能力的方案设计问题差不多成为中考命题的一大热点.方案设计问题大多取材于生活背景，富有浓厚的生活气息，能够让学生充分体验数学知识的应用价值，有利于激发学生学习数学的乐趣和学好数学的动力，因此，这类问题必定在中考中盛久不衰，它的显现改变了学生以往只依靠于仿照和经历的“重结果,轻过程”的学习方式,有利于培养学生重视动手操作和实践活动,更为重要的是能够让学生养成用数学的意识。
【经典例题】类型一 利用不等式进行设计例题1 （2010 福建德化）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：(注:获利=售价-进价)（1）若商店打算销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?（2）若商店打算投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案? 并直截了当写出其中获利最大的购货方案.解答：（1）设甲种商品应购进x 件，乙种商品应购进y 件.依照题意，得 1605101100.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：10060.x y =⎧⎨=⎩ 答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件.（2）设甲种商品购进a 件，则乙种商品购进(160-a )件.依照题意，得1535(160)4300510(160)1260.a a a a +-<⎧⎨+->⎩ 解不等式组，得 65＜a ＜68 . ∵a 为非负整数，∴a 取66，67.∴ 160-a 相应取94，93.答：有两种构货方案，方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件；方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件.其中获利最大的是方案一.例题2 整顿药品市场、降低药品价格是国家的惠民政策之一．依照国家《药品政府定价方法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．依照相关信息解决下列问题：（1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．通过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？（2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院依照实际情形决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院预备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品许多于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？解答：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x 元，乙种药品的出厂价格为每盒y 元．则依照题意列方程组得：⎩⎨⎧=+-=+8.3362.256.6y x y x解之得：⎩⎨⎧==36.3y x 5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元） 6×3=18（元）答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元（2）设购进甲药品x 箱（x 为非负整数），购进乙药品（100-x ）箱，则依照题意列不等式组得：⎩⎨⎧≥-≥-⨯⨯+⨯⨯40100900)100(10%10510%158x x x 解之得：607157≤≤x 则x 可取：58，59，60，现在100-x 的值分别是：42，41，40有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱；第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱；第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40箱；类型二 利用二次函数进行设计例题3 （2010 河北）某公司销售一种新型节能产品，现预备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =1001-x ＋150，成本为20元/件，不管销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素阻碍，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳1001x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．（1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元；（2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范畴）；（3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a 的值；（4）假如某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内依旧在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--． 解答：（1）140 57500；（2）w 内 = x （y -20）- 62500 = 1001-x 2＋130 x 62500-， w 外 = 1001-x 2＋（150a -）x ．（3）当x = )1001(2130-⨯-= 6500时，w 内最大；分由题意得 2214()(62500)1300(150)100114()4()100100a ⨯-⨯----=⨯-⨯-， 解得a 1 = 30，a 2 = 270（不合题意，舍去）．因此 a = 30．（4）当x = 5000时，w 内 = 337500， w 外 =5000500000a -+． 若w 内 ＜ w 外，则a ＜32.5；若w 内 = w 外，则a = 32.5；若w 内 ＞ w 外，则a ＞32.5．因此，当10≤ a ＜32.5时，选择在国外销售；当a = 32.5时，在国外和国内销售都一样；例题4 （2010湖北恩施）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在我州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据推测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多储存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为元，试写出与之间的函数关系式．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 解答：（1）由题意得与之间的函数关系式为y ＝()()x x 620005.010-+=2000094032++-x x （1≤x ≤110，且为整数）（2）由题意得：2000094032++-x x -10×2000-340x =22500解方程得：1x =50 2x =150（不合题意，舍去）李经理想获得利润2250元需将这批香菇存放50天后出售。
【常考压轴题】二次函数的定义五种模型全攻略—2023-2024学年九年级数学上册(浙教版)(解析版)
二次函数的定义五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 二次函数的识别】 ............................................................................................................................ 1 【考点二 二次函数中各项的系数】 ................................................................................................................ 3 【考点三 利用二次函数的定义求参数】 ........................................................................................................ 4 【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】 ................................................................................ 5 【考点五 列二次函数的关系式】 .................................................................................................................... 6 【过关检测】 .. (8)【典型例题】【考点一 二次函数的识别】【答案】B【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A ．函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； B ．函数是二次函数，故本选项符合题意；C ．，函数是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意； D ．函数不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如（、、为常数，）的函数，叫二次函数．22(1)21y x x x =+-=+2y ax bx c =++a b c 0a ¹【变式训练】【答案】D【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（a 、b 、c 是常数，）的函数叫做二次函数，进行判断．【详解】解：A 、当时，不是二次函数，故本选项错误；B 、由得到，是一次函数，故本选项错误；C 、该等式的右边是分式，不是整式，不符合二次函数的定义，故本选项错误；D 、由原函数解析式得到，符合二次函数的定义，故本选项正确．应选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的定义，掌握定义，会根据定义进行判断是解题的关键． 【答案】D【分析】将函数进行化简后，根据二次函数的定义进行判断．【详解】A 、，是二次函数，故A 不符合题意；B 、，是二次函数，故B 不符合题意； C 、，是二次函数，故C 不符合题意；D 、，不是二次函数，故D 符合题意； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的定义，正确识别二次函数是解题的关键． 2y ax bx c =++0a ¹0a =2y ax bx c =++()22214y x x =--41y x =-+232y x x =-+21y =()2214y x =+-()()2113142222y x x x x =-+=+-()221122y x x x =--+=-+【考点二 二次函数中各项的系数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）二次函数的二次项系数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a 、b 、c 是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项”作答即可．【详解】解：二次函数的二次项系数是． 故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【变式训练】1．（2023·浙江·九年级假期作业）二次函数的二次项系数与一次项系数的和为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】将函数解析式化简，得到各系数，计算即可．【详解】解：， ∴二次项系数是2，一次项系数是，∴，故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数定义，正确理解二次函数的各项的系数是解题的关键． 2．（2022·全国·九年级假期作业）二次函数的二次项系数是________． 【答案】2【分析】首先把二次函数化为一般形式，再进一步求得二次项系数． 【详解】解：y=2x （x-1） =2x2-2x ．所以二次项系数2． 故答案为：2．221y x x =--+11-22-2y ax bx c =++0a ¹221y x x =--+1-()32-=x x y 22-1-4-()23622x y x x x --==6-264-=-2(1)y x x =-【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．【考点三 利用二次函数的定义求参数】例题：（2023·全国·九年级假期作业）若函数是二次函数，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如（a ，b ，c 是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 【变式训练】【答案】C【分析】利用二次函数定义可得：，且，再解即可．【详解】由题意得：，且，解得：． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握形如(a 、b 、c 是常数，)的函数，叫做二次函数．2．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）是二次函数，则m 的值是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B()2231y m x mx =+++2m ³-2m ¹2m ¹-2m =-20m +¹2m ¹-2y ax bx c =++0a ¹22m -=0m ¹22m -=0m ¹4m =2y ax bx c =++0a ¹()211m y m x +=-0m =1m =-1m =1m =±【分析】根据二次函数的定义即可求解．【详解】解：是二次函数，∴，，解得，， ∴． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a 、b 、c 为常数，，自变量最高次数为2．【考点四 已知二次函数上一点，求字母或式子的值】例题：（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）若抛物线经过点，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】将点P 代入函数表达式中，解方程可得a 值．【详解】解：将代入中，得：， 解得：， 故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点，熟知二次函数图像上的点的坐标满足函数表达式是解题的关键． 【变式训练】1．（2022秋·天津西青·九年级校考阶段练习）抛物线过点（2，4），则代数式的值为（ ） A ．14 B ．2C ．－2D ．－14【答案】A【分析】将点（2，4）的坐标代入抛物线y=ax2+bx-3关系式，再整体扩大2倍，即可求出代数式的值． 【详解】解：将点（2，4）代入抛物线y=ax2+bx-3得： 4a+2b-3=4，()211m y m x +=-212m +=10m -¹1m =±1m ¹1m =-2y ax bx c =++0a ¹223y ax x =-+(1,2)P (1,2)P 223y ax x =-+22=121+3a -´´=1a 23y ax bx =+-84a b +.co整理得8a+4b=14. 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉整体思想是解题的关键．2．（2022秋·山东泰安·九年级统考阶段练习）若抛物线经过点，则的值是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【分析】先把点代入解析式，得到，然后化简，整体代入即可得到答案.【详解】解：把点代入，得：， ∵ ；故选择：B.【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是灵活运用整体代入法解题.【考点五 列二次函数的关系式】一边长为，用含有x 的代数式表示y 为______，自变量x 的取值范围是_____．【答案】【分析】先求出另一边长，再根据长方形的面积公式即可得出y 与x 的关系式． 【详解】解：①由题意可知，这个长方形的周长为 又因为一边长为，所以另一边长为又∵长方形面积长宽，2y x bx c =-++()2,3-247c b --67820()2,3-2=7c b -247=2c b --（c-4b ）-7()2,3-2y x bx c =-++2=7c b -247=2c b --（c-2b ）-7277=7=´-xcm ()5y x x =-05x <<10cm,cm x 10cm,2x æö-ç÷èø=´10y x x æö\=´-.所以．②∵，∴∴自变量x 的取值范围是．故答案为：①；②．【点睛】本题主要考查了列函数关系式，准确分析列式是解题的关键． 【变式训练】1．（2022秋·九年级单元测试）一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____．【答案】【分析】根据题意列出函数解析式即可．【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，∴与之间的函数关系式为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价．2．（2023·浙江·九年级假期作业）某市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，时，．在销售过程中，每天还要支付其它费用450元．(1)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．(2)求该公司销售该原料日获利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式． 【答案】(1)()；(2)()【分析】（1）根据与写成一次函数解析式，设为，把与的两对值代入求出与的值，即可确定出与的解析式，并求出的范围即可；25y x x =-1002x ->5x <05x <<25y x x =-05x <<50()0x x >y y x ()2501y x =-50()0x x >y y x ()2501y x =-()2501y x =-=()21x ´-y x 60x =8050y x ==；100y =y x x w x 2200y x =-+3070x ££222606450w x x =-+-3070x ££y x y kx b =+x y k b y x xz（2）根据利润=单价销售量列出关于的二次函数解析式即可． 【详解】（1）设与的函数关系式为．时，，时，，，解得，，根据部门规定，得．（2）【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．【过关检测】一、选择题【答案】D【分析】根据二次函数的一般形式，即(，且a ，b ，c 为常数)，即可一一判定．【详解】解：A.中含分式，不满足二次函数的一般形式，故该函数不是二次函数；B.在中，当时，不是二次函数，故该选项不符合题意；´w x y x y kx b =+60x =Q 80y =50x =100y =608050100k b k b +=ì\í+=î2200k b =-ìí=î2200y x \=-+3070x ££22(30)450(30)(2200)45030702260600045022606450w x y x x x x x x x =--=--+-=-+--=-£-£+（）2y ax bx c =++0a ¹2121y x x =-+2y ax bx c =++0a =C.，不是二次函数，故该选项不符合题意； D.，是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握和运用二次函数的一般形式是解决本题的关键． 2．（2022春·全国·九年级专题练习）函数的一次项系数是（ ） A ． B ．1 C ．3 D ．6【答案】A【分析】根据二次函数的相关概念即可得.【详解】解：函数的一次项系数是；故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的基本概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的基本知识是关键. 3．（2022·全国·九年级假期作业）在抛物线上的一个点的坐标为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【分析】将各个点的坐标代入抛物线解析式中，如等式成立，则点在抛物线上． 【详解】A ，(0,−4)的坐标代入抛物线解析式中,02-4×0-5≠-4,A 错误 B ，(2,0)的坐标代入抛物线解析式中，22-4×2-5≠0，B 错误C ，(1,0)的坐标代入抛物线解析式中，12-4×1-5≠0，C 错误D ，(-1,0)的坐标代入抛物线解析式中，（-1）2-4×（-1）-5=0，D 正确 故选：D【点睛】此题考查抛物线的解析式，将点的坐标一一代入抛物线解析式中，判断等式是否成立是解本题的关键．4．（2023·浙江·九年级假期作业）下列函数关系中，是二次函数的是（ ） A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系 B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系 C ．等边三角形的周长C 与边长a 之间的关系 D ．半圆面积S 与半径R 之间的关系()2271449y x x x =-+=--()()2131321y x x x x =+-=+-2361y x x =-+6-2361y x x =-+6-245y x x =--()0,4-()2,0()1,0()1,0-【答案】D【分析】根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可．二次函数定义：一般地，把形如（a 、b 、c 是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数 ，c 为常数项．x 为自变量，y 为因变量．【详解】解：A 、关系式为：y=kx+b ，是一次函数，不符合题意； B 、关系式为：，是反比例函数，不符合题意；C 、关系式为：，是正比例函数，不符合题意；D 、关系式为：，是二次函数，符合题意．故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 5．（2022秋·九年级单元测试）对于关于x 的函数，下列说法错误的是( )A ．当时，该函数为正比例函数B ．当时，该函数为一次函数C ．当该函数为二次函数时，或D ．当该函数为二次函数时， 【答案】C【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意；、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意；、当时，该函数为正比例函数，故符合题意；、当该函数为二次函数时，，故不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 二、填空题6．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）二次函数中，当时，y 的值是________． 【答案】0【分析】把代入计算即可． 【详解】解：当时，，2y ax bx c =++0a ¹st v =3C a =2S R p =2(1)3m my m x x -=++1m =-21m m -=2m =1m =-2m =A 1m =-3y x =B 21mm -=m =40m +¹C 1m =-3y x =D 2m =2=23y x x --=1x -=1x -2=23y x x --=1x -2=23=123=0y x x ---+故答案为：0．【点睛】本题考查了求二次函数的值，解题的关键是把代入计算．7．（2022春·全国·九年级专题练习）把y ＝（2－3x ）（6＋x ）变成y ＝ax ²＋bx ＋c 的形式，二次项为____，一次项系数为______，常数项为______．【答案】 －16 12【解析】略8．（2023秋·河南洛阳·九年级统考期末）已知函数是关于 的二次函数，则一次函数的图像不经过第_______象限．【答案】二【分析】先根据二次函数的定义得到，，解得，然后根据一次函数的性质进行判断． 【详解】∵函数是关于 的二次函数， ∴且，解得：，∴一次函数的图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二【点睛】本题考查了二次函数的定义以及一次函数的性质，求得是解题的关键．【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①为一次函数；②为二次函数； ③自变量次数为3，不是二次函数；④为二次函数； =1x -2=23y x x --23x -||1(1)45m y m x x +=++-x y mx m =-12m +=10m +¹1m =||1(1)45m y m xx +=++-x 12m +=10m +¹1m =y mx m =-1m =55y x =-231y x =-3343y x x =-2221y x x =-+z m ⑤函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．10．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图，矩形绿地的长和宽分别为和．若将该绿地的长、宽各增加，扩充后的绿地的面积为，则y 与x 之间的函数关系是______．（填“正比例函数关系”、“一次函数关系”或“二次函数关系”）【答案】二次函数关系【分析】根据矩形面积公式求出y 与x 之间的函数关系式即可得到答案．【详解】解：由题意得，∴y 与x 之间的函数关系是二次函数关系，故答案为；二次函数关系．【点睛】本题主要考查了列函数关系式和二次函数的定义，正确列出y 与x 之间的函数关系式是解题的关键．三、解答题11．（2023·浙江·九年级假期作业）下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数y =21x 30m 20m m x 2m y ()()2302050600y x x x x =++=++【答案】(1)不是二次函数，是一次函数(2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0 (3)不是二次函数(4)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是-3(5)时，不是二次函数 (6)时，不是二次函数【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数；（2）根据二次函数的定义即可判断；（3）根据二次函数的定义即可判断；（4）根据二次函数的定义即可判断； （5）根据二次函数的定义即可判断；（6）根据二次函数的定义即可判断．【详解】（1）不是二次函数，是一次函数； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是；（5）时，不是二次函数； （6）时，不是二次函数．【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 12．（2023·浙江·九年级假期作业）若．(1)m 取什么值时，此函数是二次函数？(2)m 取什么值时，此函数是一次函数？ 1y x =-+22x y =-12-222y x x =+-21233y x x =+-130a =2y ax bx c =++0m =2243y m x x =+-1y x =-+22x y =-12-222y x x =+-21233y x x =+-133-0a =2y ax bx c =++0m =2243y m x x =+-2y ax bx c =++a b c 、、0a ¹()22113m m y m +-=-+z【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二次函数的定义得出，进而即可求解；（2）根据一次函数的定义得出，进而即可求解．【详解】（1）解：(1)当是二次函数时，有，解得，∴当时，此函数是二次函数；（2）当是一次函数时，有，解得∴【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的定义，解一元二次方程，熟练掌握二次函数与一次函数的定义是解题的关键．13．（2022秋·浙江·九年级期末）荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x 元．(1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x 的代数式表示）．(2)设销售利润为y ，请写出y 关于x 的函数关系式．(3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？【答案】(1)3m =-1m =-1m =-210212m m m -¹ìí+-=î210211m m m -¹ìí+-=î()22113m m y m +-=-+210212m m m -¹ìí+-=î3m =-3m =-()22113m m y m +-=-+210211m m m -¹ìí+-=î1m =-1m =-1m =-1m =-()4010x +(2)(3)24元/千克【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论；（2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论；（3）令y=480，求出x 的值，再根据题意对x 的值进行取舍即可．【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x ）千克，故答案为：（40+10x ）．（2）根据题意得，整理得（3）令，代入函数得，解方程，得，因为要尽可能地清空库存，所以舍去取此时荔枝定价为（元/千克）答：应将价格定为24元/千克．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键．14．（2023秋·宁夏石嘴山·九年级统考期末）在矩形中，，E 是AB 边上一动点，以1cm /s 的速度从点B 出发，到A 停止运动；F 是BC 边上一动点，以2cm /s 的速度从点B 出发，到点C 停止运动．设动点运动的时间为t（s ），的面积为S （cm 2）(1)求S 关于t 的函数表达式，并求自变量t 的取值范围．(2)当△DEF 是直角三角形时，求△DEF 的面积．【答案】(1)21060400y x x =-++()()40102818y x x =+--21060400y x x =-++480y =21060400480x x -++=14x =22x =2x =4x =28424-=ABCD 6,12AB cm BC cm ==DEF !212,06S t t t =-+<£(2)或【分析】（1）先求出，再根据解答即可； （2）先求出，，，再分①当为直角时，②当为直角时，③当为直角时三种情况讨论，应用勾股定理求出t 的值，即可得答案．【详解】（1）解：， ，，根据题意得，解得：；（2）由勾股定理可得， ，，，①当为直角时，，即 解得，；②当为直角时，，即， 解得或， 23334cm 236cm ()(),2,6,122BE tcm BF tcm AE t cm CF t cm ===-=-D E F A E D B E F C D FA B C D S S S S S =---!!!!矩形22225E F B E B F t =+=2222448180D F C D C F t t =+=-+222212180D E A D A E t t =+=-+EDF ÐDEF ÐDFE Ð()()26122!!!B E t cmBF t cmA E t cmC F t cm ===-=-!D E F A E D B E F C D F A B C D S S S S S =---!!!!"矩形()()21111261262612212222S t t t t t t \=喘创--喘创-=-+0601220t t t >ìï-³íï-³î06t <£22225E F B E B F t =+=2222448180D F C D C F t t =+=-+222212180D E A D A E t t =+=-+EDF Ð222EF DE DF =+222512180448180t t t t t =-++-+6t =()22612636S cm \=-+´=DEF Ð222DF DE EF =+22612180448180t t t t -+=-+0=t 18-，都不符合；③当为直角时，，即， 解得（舍）或， ． 【点睛】本题考查了函数关系式，解题的关键是找到． 06t !\DFE Ð222DE DF EF =+222544818012180t t t t t +-+=-+0=t 92t =()229931233224S cm æö\=-+´=ç÷èøD E F A E D B E F C D F A B C D S S S S S =---!!!!矩形。
2023年中考数学--- a,b,c和二次函数图像的九种考法例题解析
2023年中考数学--- a ，b ，c 和二次函数图像的九种考法例题解析如图，二次函数的图像关于直线对称，与x 轴交于，两点，若考法解决方法本题结果①a,b,ca:二次函数图像开口向上时，a ＞0；开口向下，则a ＜0；b ：和a 共同决定了函数对称轴的位置，“左同右异”，当对称轴在y 轴左侧时，a ，b 同号，当对称轴在y 轴右侧时，a ，b 异号。
c ：c 为图像和y 轴交点的纵坐标。
a ＞0b ＜0c ＜0②b 2−4ac当图像和x 轴有两个交点时，b 2−4ac ＞0； 当图像和x 轴有一个交点时，b 2−4ac =0； 当图像和x 轴没有交点时，b 2−4ac ＜0。
b 2−4ac ＜0 ③a+b+c a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c 9a+3b+c 9a-3b+c 用特殊值进行判断：a+b+c 即为当x=1时的函数值； 4a-2b+c 即为当x=-2时的函数值。
a+b+c ＜0 a-b+c ＜0④3a+2b只有a ，b 时，用对称轴代换，消去一个未知数进行判断∵−b2a = 1，∴b=- 2а，∴3a ＋2b= 3a-4a= -a ，∵a ＞0，∴3a+2b<0⑤c+a 只有a ，c 或只有b ，c 时，先用对称轴代换，消去一个未知数，然后利用④中的结果判断结果∵a －b ＋c<0，∴a ＋c<b ，∵a ＞0， ∴b=-2a<0，∴a ＋c<0， ⑥b+2c若c 的系数不是1，可以先化成1再进行上述计算,或这把③中的某个式子中的c 的系数变成题里的形式。
∵−b 2a=1,∴2a =−b , ∵a+b ＋c<0，∴2a+2b ＋2c<0，-b+2b ＋2c<0，b ＋2c<0 ⑦am 2+bm 和a +b 的小小关系同时加上c ，am 2+bm+c ，a +b+c第一个式子是当x=m 时的函数值，第二个am 2+bm ≥a+b式子是当x=1时的函数值；由图可知，x=1时函数取最小值。
人教备战中考数学二次函数的综合热点考点难点含答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”. ①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围. 【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小； 【解析】 【分析】（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+⎪⎝⎭，当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，∴2b a =-．2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()2,B a b -，①当点A 和点B 重合，∴2b b =-． 解得0b =或1b =-． 当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭． ∴当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <．当12a <<时， ()22231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭ ．∴当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取322a ≤<． 综上，当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论2．如图1，在矩形ABCD 中，DB ＝6，AD ＝3，在Rt △PEF 中，∠PEF ＝90°，EF ＝3，PF ＝6，△PEF （点F 和点A 重合）的边EF 和矩形的边AB 在同一直线上．现将Rt △PEF 从A 以每秒1个单位的速度向射线AB 方向匀速平移，当点F 与点B 重合时停止运动，设运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）如图1，连接PD ，填空：PE ＝ ，∠PFD ＝ 度，四边形PEAD 的面积是 ；（2）如图2，当PF 经过点D 时，求△PEF 运动时间t 的值；（3）在运动的过程中，设△PEF 与△ABD 重叠部分面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围．【答案】（1）3009+93；（233）见解析. 【解析】分析：（1）根据锐角三角形函数可求出角的度数，然后根据勾股定理求出PE 的长，再根据梯形的面积公式求解.（2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，可得∠EPD=∠ADF=30°，用三角函数计算可得3（3）根据题意，分三种情况：①当0≤t 时，＜3时，③3≤t≤6时，根据三角形、梯形的面积的求法，求出S 与t 的函数关系式即可. 详解：（1）∵在Rt △PEF 中，∠PEF=90°，EF=3，PF=6∴sin ∠P=1=2EF PF ∴∠P=30° ∵PE ∥AD∴∠PAD=300，根据勾股定理可得所以S 四边形PEAD =12×（+3）； （2）当PF 经过点D 时，PE ∥DA ，由EF=3，PF=6，得∠EPF=∠ADF=30°，在Rt △ADF 中，由AD=3，得 ； （3）分三种情况讨论：①当0≤t PF 交AD 于Q ，∵AF=t ，t ，∴S=12；②＜3时，PF 交BD 于K ，作KH ⊥AB 于H ，∵AF=t ，∴-t ，S △ABD ，∵∠FBK=∠FKB ，∴，KH=KF×sin600,∴S=S △ABD ﹣S △FBK=29,424t -+-③当PE 与BD 交O ，PF 交BD 于K ，∵AF=t ，∴AE=t-3，-t+3，OE=BE×tan300∴S=2++． 点睛：此题主要考查了几何变换综合题，用到的知识点有直角三角形的性质，三角函数值，三角形的面积，图形的平移等，考查了分析推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，要熟练掌握，比较困难.3．如图1，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线212y x bx c =++经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点， ①连接BC 、CD 、BD ，设BD 交直线AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2．求：12S S 的最大值；②如图2，是否存在点D ，使得∠DCA ＝2∠BAC ？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1）213222y x x =--+；（2）①当2a =-时，12S S 的最大值是45；②点D的坐标是(2,3)- 【解析】 【分析】（1）根据题意得到A （-4，0），C （0，2）代入y=-12x 2+bx+c ，于是得到结论； （2）①如图，令y=0，解方程得到x 1=-4，x 2=1，求得B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴于M ，过B 作BN ⊥x 轴交于AC 于N ，根据相似三角形的性质即可得到结论；②根据勾股定理的逆定理得到△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，求得P （-32，0），得到PA=PC=PB=52，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延线于G ，∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：（1）根据题意得A （-4，0），C （0，2），∵抛物线y=-12x 2+bx+c 经过A ．C 两点， ∴1016422b c c ⎧-⨯-+⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴3b=-2c=2⎧⎪⎨⎪⎩， 抛物线解析式为：213222y x x =--+ ;（2）①令0y =， ∴2132022x x --+= 解得：14x =- ,21x = ∴B （1，0）过点D 作DM x ⊥轴交AC 于M ，过点B 作BN x ⊥轴交AC 于点N ，∴DM ∥BN ∴DME BNE ∆∆∽ ∴12S DE DM S BE BN== 设：213222D a a a ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，∴122M a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵()10B ， ∴51,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()22121214225552a aS DM a S BN --===-++ ∴当2a =-时，12S S 的最大值是45;②∵A （-4，0），B （1，0），C （0，2）， ∴55AB=5， ∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形， 取AB 的中点P ，∴P （-32，0）， ∴PA=PC=PB=52， ∴∠CPO=2∠BAC ， ∴tan ∠CPO=tan （2∠BAC ）=43， 过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ，如图，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG ， ∴∠CDG=∠BAC ， ∴tan ∠CDG=tan ∠BAC=12， 即RC ：DR=12， 令D （a ，-12a 2-32a+2）， ∴DR=-a ，RC=-12a 2-32a ， ∴（-12a 2-32a ）：（-a ）=1：2， ∴a 1=0（舍去），a 2=-2， ∴x D =-2，∴-12a 2-32a+2=3, ∴点D 的坐标是()2,3- 【点睛】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键，难度较大．4．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3yx .（2）(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--.【解析】分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．详解：（1）依题意得：1203ba abc c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--+. ∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ， ∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13m n =⎧⎨=⎩，∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得：13172t =，23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或317⎛+- ⎝⎭或317⎛-- ⎝⎭. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．5．抛物线L ：y=﹣x 2+bx+c 经过点A （0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B ． （1）直接写出抛物线L 的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx ﹣k+4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若△BMN 的面积等于1，求k 的值；（3）如图2，将抛物线L 向上平移m （m ＞0）个单位长度得到抛物线L 1，抛物线L 1与y 轴交于点C ，过点C 作y 轴的垂线交抛物线L 1于另一点D ．F 为抛物线L 1的对称轴与x 轴的交点，P 为线段OC 上一点．若△PCD 与△POF 相似，并且符合条件的点P 恰有2个，求m 的值及相应点P 的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）-3；（3）当m=22﹣1时，点P的坐标为（0，2）和（0，223）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．【解析】【分析】（1）根据对称轴为直线x=1且抛物线过点A（0，1）利用待定系数法进行求解可即得；（2）根据直线y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4知直线所过定点G坐标为（1，4），从而得出BG=2，由S△BMN=S△BNG﹣S△BMG=12BG•x N﹣12BG•x M=1得出x N﹣x M=1，联立直线和抛物线解析式求得x=2282k k-±-，根据x N﹣x M=1列出关于k的方程，解之可得；（3）设抛物线L1的解析式为y=﹣x2+2x+1+m，知C（0，1+m）、D（2，1+m）、F（1，0），再设P（0，t），分△PCD∽△POF和△PCD∽△POF两种情况，由对应边成比例得出关于t与m的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．【详解】（1）由题意知()1211bc⎧-=⎪⨯-⎨⎪=⎩，解得：21bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线L的解析式为y=﹣x2+2x+1；（2）如图1，设M点的横坐标为x M，N点的横坐标为x N，∵y=kx﹣k+4=k（x﹣1）+4，∴当x=1时，y=4，即该直线所过定点G 坐标为（1，4）， ∵y=﹣x 2+2x+1=﹣（x ﹣1）2+2， ∴点B （1，2）， 则BG=2，∵S △BMN =1，即S △BNG ﹣S △BMG =12BG•（x N ﹣1）-12B G•（x M -1）=1， ∴x N ﹣x M =1， 由2421y kx k y x x =-+⎧⎨=--+⎩得：x 2+（k ﹣2）x ﹣k+3=0， 解得：x=()()22243k k k -±---=228k k -±-，则x N =228k k -+-、x M =228k k ---，由x N ﹣x M =1得28k -=1， ∴k=±3， ∵k ＜0， ∴k=﹣3； （3）如图2，设抛物线L 1的解析式为y=﹣x 2+2x+1+m ， ∴C （0，1+m ）、D （2，1+m ）、F （1，0）， 设P （0，t ），（a ）当△PCD ∽△FOP 时，PC FOCD OP=， ∴112m t t+-=， ∴t 2﹣（1+m ）t+2=0①； (b)当△PCD ∽△POF 时，PC POCD OF=， ∴121m t t+-=，∴t=13（m+1）②；（Ⅰ）当方程①有两个相等实数根时，△=（1+m）2﹣8=0，解得：1（负值舍去），此时方程①有两个相等实数根t1=t2，方程②有一个实数根t=3，∴﹣1，此时点P的坐标为（0）和（0）；（Ⅱ）当方程①有两个不相等的实数根时，把②代入①，得：19（m+1）2﹣13（m+1）+2=0，解得：m=2（负值舍去），此时，方程①有两个不相等的实数根t1=1、t2=2，方程②有一个实数根t=1，∴m=2，此时点P的坐标为（0，1）和（0，2）；综上，当﹣1时，点P的坐标为（0）和（0，3）；当m=2时，点P的坐标为（0，1）和（0，2）．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及到待定系数法求函数解析式、割补法求三角形的面积、相似三角形的判定与性质等，（2）小题中根据三角形BMN的面积求得点N与点M的横坐标之差是解题的关键；（3）小题中运用分类讨论思想进行求解是关键．6．某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x （元/件）之间满足一次函数关系．（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？【答案】（1）y10000x80000=-+（2）当销售价格定为6元时，每月的利润最大，每月的最大利润为40000元【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，把（5，30000），（6，20000）代入得：5k b300006k b20000+=⎧⎨+=⎩，解得：k10000b80000=-⎧⎨=⎩。
二次函数的变换(热考题型)-解析版
专题06 二次函数的变换【思维导图】◎考点题型1二次函数的平移（1） 平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：（2） 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2例．（2021·内蒙古通辽·九年级期末）将抛物线y ＝﹣3x 2＋1向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得的抛物线解析式为（ ） A ．y ＝﹣3（x ＋2）2 B ．y ＝﹣3（x ﹣2）2﹣1 C ．y ＝﹣3（x ＋1）2﹣1 D ．y ＝﹣3（x ﹣1）2＋3【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的规律进行解答即可． 【详解】解：抛物线y ＝﹣3x 2＋1向左平移2个单位长度得y ＝﹣3(x+2)2＋1， 抛物线y ＝﹣3(x+2)2＋1向下平移1个单位长度得y ＝﹣3(x ＋2)2． 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数图象的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．变式1．（2021·山东烟台·九年级期中）将二次函数2y x bx c =++的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为（ ） A ．2b =，6c =- B ．6b =-，8c = C ．6b =-，2c = D ．2b =，0c【答案】D 【解析】 【分析】易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b ，c 的值． 【详解】由题意可得新抛物线的顶点为(1,4)-， ∴原抛物线的顶点为(1,1)--，设原抛物线的解析式为2()y x h k =-+， 代入得：22(1)12y x x x =+-=+，∴2b =，0c ． 故选：D ． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．变式2．（2022·广西·南宁市天桃实验学校八年级期末）将抛物线22(3)2y x =--图像先向上平移4个单位，再向左平移5个单位后的解析式是( ) A ．22(8)2y x =-+ B ．22(8)6y x =-- C ．22(2)6y x =+- D ．22(2)2y x =++【答案】D 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的规律，可得答案． 【详解】解：将抛物线22(3)2y x =--图像先向上平移4个单位，再向左平移5个单位后的解析式是22(35)24y x =-+-+，即22(2)2y x =++．故选：D ． 【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，主要考查的是函数图像的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．变式3．（2022·河北邢台·九年级期末）怎么样才能由22y x =的图像经过平移得到函数22(6)7y x =-+的图像呢？小亮说：先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度； 小丽说：先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度． 对于上述两种说法，正确的是（ ） A ．小亮对 B ．小丽对C ．小亮、小丽都对D ．小亮、小丽都不对【答案】B【解析】【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：小亮：由y=2x2的图象先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2（x+6）2+7，则小亮说法错误；小丽：由y=2x2的图象先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到抛物线解析式为：y=2（x-6）2+7，则小丽说法正确；故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．◎考点题型2 二次函数图象的对称（1）关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；（2）关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；（3）关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca =--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．例．（2022·河南周口·九年级期末）已知抛物线21y x mx =+-经过(1,)n -和(2,)n 两点，则n 的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据(1,)n -和(2,)n 可以确定函数的对称轴1x =，再由对称轴的12mx =-=，即可求解． 【详解】解：抛物线21y x mx =+-经过(1,)n -和(2,)n 两点， 可知函数的对称轴12122x -+==， 122m ∴-=， 1m ∴=-；21y x x ∴=--，将点(1,)n -代入函数解析式，可得1n =； 故选：B ． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数图象上点的对称性． 变式1．（2020·黑龙江·勃利县大四站镇中学九年级期中）已知4a -2b +c =0，9a +3b +c =0，则二次函数y =ax 2+bx +c 的图象顶点可能在（ ） A ．第一或第四象限 B ．第三或第四象限 C ．第一或第二象限 D ．第二或第三象限【答案】A 【解析】 【分析】首先由已知条件4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，得出此二次函数过点（-2，0），（3，0），然后根据二次函数的对称性求出抛物线的对称轴，进而得出二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能所在的象限．【详解】解：∴4a-2b+c=0，9a+3b+c=0，∴此二次函数过点（-2，0），（3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=12，∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点可能在第一或第四象限．故选：A．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数图象的对称性，掌握二次函数图象与性质求出对称轴为直线x=12是解题的关键．变式2．（2022·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）九年级阶段练习）已知二次函数y＝ax2＋bx ＋c，函数y与自变量x的部分对应值如表：x……﹣11234……y (10521)25……若A（m，y1）、B（m﹣1，y2）两点都在函数的图象上，则当m满足（）时，y1＜y2A．m≤2B．m≥3C．m52<D．m52>【答案】C【解析】【分析】根据表格中的数据先确定抛物线的对称轴为直线x=2，开口向下，然后根据二次函数图象的性质，列出m 的不等式，解不等式即可．【详解】解：由表格可知，该函数图象开口向上，对称轴为直线x042+==2，∴A（m，y1）、B（m﹣1，y2）两点都在函数的图象上，y1＜y2，∴2﹣（m ﹣1）＞m ﹣2， 解得：m 52＜，故C 正确．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据表格中的数据确定二次函数图象的对称轴，列出关于m 的不等式，是解题的关键．变式3．（2020·辽宁铁岭·九年级期中）点1P （－1，1y ），2P （3，2y ），3P （5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y =>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．23y y y <<【答案】A 【解析】 【分析】已知函数表达式里面二次项系数和一次项系数，可以求出该函数图像的对称轴2ba-，结合对称轴，分析函数的增减性即可．当a <0，x >2b a -时，y 随x 的增大而减小；当a <0，x <2ba-时，y 随x 的增大而增大． 【详解】 对称轴：x =2ba-=212(1)-=⨯- 11(1)P y -，到对称轴有1-（-1）=2个单位长度； 22(3)P y ，到对称轴有3-1=2个单位长度；∴12y y = ∴a =-1<0 ∴当x >2ba-时，y 随x 的增大而减小 ∴33(5)P y ，，5>3>2b a- ∴32<y y综上：321y y y <= 故选：A【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，结合函数表达式求出函数图像的对称轴，根据二次项系数的正负和对称轴分析函数的增减性是解题的关键．◎考点题型3 二次函数的图象与系数的关系二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的系数与图象的关系（1）a 的符号由抛物线c bx ax y ++=2的开口方向决定：0>⇔a 开口向上 ，0>⇔a 开口向上；（2）b 的符号由抛物线c bx ax y ++=2的对称轴的位置及a 的符号共同决定：对称轴在y 轴左侧b a ,⇔同号，对称轴在y 轴右侧b a ,⇔异号；（3）c 的符号由抛物线c bx ax y ++=2与y 轴的交点的位置决定：与y 轴正半轴相交0>⇔c ，与y 轴正半轴相交0<⇔c ⏹ 二次项系数a二次函数y =ax 2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠0．⑴ 当a >0时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑴ 当a <0时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．【总结起来】a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，|a |的大小决定开口的大小． ⏹ 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a >0的前提下，当b >0时，−b2a <0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧（a 、b 同号）； 当b =0时，−b 2a =0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b <0时，−b 2a >0，即抛物线对称轴在y 轴的右侧（a 、b 异号）． ⑵ 在a <0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b >0时，−b2a >0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧（a 、b 异号）； 当b =0时，−b 2a =0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b <0时，−b 2a <0，即抛物线对称轴在y 轴的左侧（a 、b 同号）． 【总结起来】在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．常数项c⑴ 当c >0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c =0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c <0时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 【总结起来】c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a ， b ， c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．例．（2021·山东烟台·九年级期中）在同一平面直角坐标系内，二次函数()20y ax bx c a =++≠与一次函数y ax b =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】逐图分析系数a ，b 的符号，即可判断． 【详解】A ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＞，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＞，0b ＞，此选项错误；B ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＜，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＞，0b ＜，此选项错误；C ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＞，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＞，0b ＜，此选项正确；D ．由()20y ax bx c a =++≠的图象可知，0a ＞，0b ＜，由y ax b =+的图象可知，0a ＜，0b =，此选项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的图象，解题关键是会根据图象判断系数a ，b 的符号．变式1．（2022·云南玉溪·九年级期末）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像如图所示，则下列结论中不正确的是( )A ．abc <0B ．b =－4aC ．4a +2b≥m (am +b )D ．a －b ＋c >0【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的开口向下可知a <0，与y 轴的交点在y 轴的负半轴可知c <0，由抛物线的对称轴x =2可得出a 、b 的关系，再对四个选项进行逐一分析． 【详解】∴抛物线的开口向下， ∴a ＜0，∴抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴c ＞0，∴抛物线的对称轴为直线2x =， ∴22ba-=，即4b a =- ∴4a +b =0，故B 正确，不符合题意；； ∴0b >，∴abc <0，故A 正确，不符合题意； ∴抛物线的对称轴为直线2x =，a ＜0， ∴当2x =时，y 取得最大值为42a b c ++ ∴对于任意实数m ，242a a c am bm c ++≥++∴4a +2b +c≥m (am +b )+ c ∴4a +2b ≥m (am +b )， 故C 正确，不符合题意；当x =﹣1时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上，即a ﹣b +c =0，故D 错误， 符合题意．故选D ． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键，二次函数y = ²+bx +c (a ≠0)的图象，当a <0时，抛物线向下开口，当a 与b 同号时(即ab >0，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时(即ab <0)，对称轴在y 轴右．变式2．（2022·湖北恩施·九年级期末）抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （-1，2），与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：∴240b ac -<；∴当1x >-时，y 随x 增大而减小；∴0a b c ++<；∴若方程20ax bx c m ++-=没有实数根，则2m >；∴0b c -+>．其中正确结论的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【解析】 【分析】利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：根据题意得：二次函数与x 轴有两个交点， ∴b 2-4ac >0，故∴错误；∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （-1，2）， ∴抛物线的对称轴为直线x =-1， ∴抛物线开口向下，∴当x >-1时，y 随x 增大而减小，故∴正确；∴抛物线与x 轴的一个交点A 在点（-3，0）和-2，0）之间，对称轴为直线x =-1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，∴x =1时，y =a +b +c <0，故∴正确；∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （－1，2），抛物线开口向下， ∴函数的最大值为2，∴当m >2时，抛物线与直线y =m 没有交点， ∴方程ax 2+bx +c -m =0没有实数根，故∴正确；∴抛物线2y ax bx c =++的顶点为D （-1，2），抛物线开口向下， ∴当x =-1时，2a b c -+=，0a <， ∴20b c a -+=->，故∴正确， ∴正确的有4个． 故选：C 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x 轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，利用数形结合思想解答，属于中考常考题型．变式3．（2022·湖北武汉·中考真题）二次函数()2y x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点在第四象限，得出m ＜0，n ＜0，即可得出一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限． 【详解】解：∴抛物线的顶点（-m ，n ）在第四象限，∴-m ＞0，n ＜0， ∴m ＜0，∴一次函数y =mx +n 的图象经过二、三、四象限， 故选：D ． 【点睛】此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n 、m 的符号．◎考点题型4二次函数与一次函数的综合判断例．（2022·全国·九年级课时练习）如图，一次函数1y x =与二次函数22y x bx c =++的图像相交于P 、Q 两点，则函数()21y x b x c =+-+的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象和二次函数的性质判断即可． 【详解】解： 由2y =x 2+bx +c 图象可知，对称轴x =2b-＞0，0c <，0b ∴<，抛物线21y x b x c =+-+（）与y 轴的交点在x 轴下方，故选项B ，C 错误，抛物线21y x b x c =+-+（）的对称轴为1122b bx --=-=， ∴102b-＞， ∴抛物线y =x 2+（b -1）x +c 的对称轴在y 轴的右侧，故选项D 错误， 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数图像和性质，明确二次函数2y ax bx c =++ 中各项系数的意义及利用数形结合的思想是解答本题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数2y ax =与一次函数y bx c =+的图象如图所示，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】题干中二次函数2y ax =的图象开口向下，可以判断出a 的符号为负，一次函数y bx c =+的图象与x 轴正方向夹角小于90°，且与y 轴交点在y 轴的正半轴，可以据此判断出b 、c 的符号皆为正，再去判断各选项哪个符合二次函数2y ax bx c =++的图象． 【详解】∴二次函数2y ax =的图象开口向下， ∴a <0，又∴一次函数y bx c =+的图象与x 轴正方向夹角小于90°，且与y 轴交点在y 轴的正半轴，∴b >0，c >0， 则2ba->0， 可知二次函数2y ax bx c =++开口方向向下，对称轴在y 轴右侧，且与y 轴交点在y 的正半轴，选项B 图象符合， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，题目比较简单，解决题目需要熟练掌握图象与系数的关系．变式2．（2021·河南驻马店·九年级期中）函数1y ax =+与()210y ax ax a =++≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数图象可确定a 的符号，再确定二次函数图象的大致形状和位置即可． 【详解】解：根据四个选项中一次函数图象在一、二、三象限，可以确定a ＞0时， ∴a ＞0，函数y ＝ax 2+ax +1（a ≠0）的图象开口向上， 对称轴为直线122a x a =-=-； 在y 轴左侧， 只有C 选项符合题意． 故选：C ． 【点睛】本题一次函数和二次函数图象与系数的关系，解题关键是明确函数图象与系数的关系，树立数形结合思想，准确进行判断推理．变式3．（2021·北京市第六十六中学九年级期中）如图，在同一坐标系中，二次函数2y ax c =+与一次函数y ax c =+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项判断,a c 符号，即可求解． 【详解】解：A 、由二次函数图象，可得0a < ，一次函数图象，可得0a > ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；B 、由二次函数图象，可得0a > ，一次函数图象，可得0a < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；C 、由二次函数图象，可得0c > ，一次函数图象，可得0c < ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意；D 、由二次函数图象，可得0a > ，0c <，一次函数图象，可得0a > ，0c <，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到,a c 符号是解题的关键．◎考点题型5 根据图像判断式子符号例．（2021·广东湛江·九年级期末）二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，下列结论：∴ac ＜0；∴a -b +c =0；∴4ac －b 2＜0；∴当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小，其中正确的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】【分析】根据二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．【详解】∴∴抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a> 0，c< 0∴ac<0故结论∴正确；∴从图中可以看出，抛物线经过点(-1，0)，当x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，故∴正确；∴∴抛物线与x轴有两个交点∴b2- 4ac> 0即4ac- b2< 0故结论∴正确；∴∴抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x =1所以当x < 1时，y随x的增大而减小故结论∴错误故正确的结论有∴∴∴共3个；故选：B．【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．变式1．（2022·河北唐山·九年级期末）如图，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，得出了下面四条信息：∴c＞0；∴b2﹣4ac＞0；∴a＋b＋c＜0；∴对于图象上的两点（﹣5，m）、（1，n），有m＜n．其中正确信息的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】【分析】由抛物线与y轴交点在x轴上方可判断∴，由抛物线与x轴交点个数可判断∴，由图象可得x=1时y＞0可判断∴，根据（-5，m）、（1，n）与对称轴的距离可判断∴．【详解】解：∴抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c＞0，∴正确．∴抛物线与x轴有2个交点，∴b2-4ac＞0，∴正确．由图象可得x=1时y＞0，∴a+b+c＞0，∴错误．∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-3，且1-（-3）＞-3-（-5），∴n＞m，∴正确．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．变式2．（2022·山东德州·九年级期末）1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣3010﹣3…下列结论正确的是（）∴ab＞0；∴a+b+c＜0；∴若点（﹣7，y1），点（7，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；∴方程ax2+bx+c＝﹣3有两个不相等的实数根.A．∴∴∴B．∴∴∴C．∴∴∴D．∴∴∴【答案】B【解析】【分析】根据表格中的数据，可以得到此二次函数具有最大值，对称轴为x=1，再根据二次函数的性质，即可判断题目中的各个小题是否正确．【详解】解：由表格可知，该二次函数有最大值，开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为（-1，1），∴a＜0，b＜0，∴ab＞0，故∴正确；由表格可知，当x=1时，y=a+b+c=-3＜0，故∴正确；∴点（-7，y1）到对称轴x=-1的距离小于点（7，y2）到对称轴的距离，∴y1＞y2，故∴错误，∴图象经过（-3，-3）和（1，-3）两个点，∴方程ax2+bx+c=-3有两个不相等的实数根，故∴正确，故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．变式3．（2020·黑龙江·北安市教育局九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：∴当x＞3时，y＜0；∴3a＋b＞0；∴﹣1≤a≤23；∴3≤n≤4中，其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【解析】 【分析】∴由抛物线的对称轴为直线x =1，一个交点A （-1，0），得到另一个交点坐标，利用图象即可对于选项∴作出判断；∴根据抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴方程求得b 与a 的关系是b =-2a ，将其代入（3a +b ），并判定其符号；∴利用一元二次方程根与系数的关系可得3c a =-，然后根据c 的的取值范围利用不等式的性质来求a 的取值范围；∴把顶点坐标代入函数解析式得到43n a b c c =++=，利用c 的取值范围可以求得n 的取值范围． 【详解】解：∴抛物线的顶点坐标为（1，n ）， ∴对称轴直线是x =1，∴抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （-1，0）， ∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0）， 观察图象得：当x >3时，y <0，故∴正确； ∴观察图象得：抛物线开口方向向下， ∴a <0， ∴对称轴12bx a=-=， ∴.2b a =-，∴3320a b a a a +=-=<，即3a ＋b ＜0，故∴错误； ∴抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点（-1，0），（3，0）， ∴方程ax 2+bx +c =0的两根为-1，3， ∴133c a =-⨯=-，即3ca =-， ∴抛物线与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），∴23c ≤≤， ∴2133c -≤-≤-，即213a -≤≤-，故∴正确； ∴.2b a =-，3c a =-， ∴223c b a =-=， ∴顶点坐标为（1，n ），∴当x =1时，43n a b c c =++=， ∴23c ≤≤， ∴84433c ≤≤，即843n ≤≤，故∴错误； 综上所述，正确的有∴∴，共2个．故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定是解题的关键．◎考点题型6 抛物线y =ax 2+bx +c 最值抛物线y =ax 2+bx +c 的三要素：开口方向、对称轴、顶点.求抛物线的顶点、对称轴的方法（难点）⏹ 公式法：y =ax 2+bx +c =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a ， ∴顶点是（−b 2a ，4ac−b 24a ），对称轴是直线x =−b 2a . ⏹ 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x −h )2+k 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线x =h .【抛物线的性质】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.例．（2022·浙江金华·九年级期末）飞机着陆后滑行的距离s （单位：米）关于滑行时间t （单位：秒）的函数表达式为2s at bt =+，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为（ ）A ．600米B ．800米C ．1000米D ．1200米【解析】【分析】先根据滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，求出函数的解析式，然后求出函数的最大值即可．【详解】解：∴10t =时，450s m =；20t =时，600s m =，∴1001045040020600a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：3260a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴23602S t t =-+， ∴()2233602060022S t t t =-+=--+， ∴当20t =时，S 最大，且最大值为600，即飞机的最大滑行距离为600米，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式和最大值，根据题意求出二次函数解析式，是解题的关键．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y （元）与降价x （元）之间的关系是y ＝－2x 2＋60x ＋800，则利润获得最多为（ ）A ．15元B ．400元C ．800元D ．1250元【答案】D【解析】【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润．【详解】解：y ＝－2x 2＋60x ＋800＝－2（x －15）2＋1250∴－2＜0故当x ＝15时，y 有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选：D ．此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键．变式2．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∴二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），∴1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，∴当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线y＝x2+（2a﹣1）x﹣3，当﹣1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为（）A．12-B．13-C．12-或13-D．﹣1或13-【答案】D 【解析】【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．【详解】解：2(21)3y x a x =+--，∴图象开口向上，对称轴为直线212a x -=-， ∵﹣1≤x ≤3， ∴当2112a --时，即12a -，3x =时有最大值1， 9(21)331a ∴+-⨯-=，13a ∴=-， 当2112a --时，即12-a ，1x =-时有最大值1， 1(21)(1)31a ∴+-⨯--=，1a ∴=-，1a ∴=-或13-， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．◎考点题型7 待定系数法求函数解析式例．（2022·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数225y x mx m =-+的图象经过点()1,2-．（1）求二次函数的表达式；（2）求二次函数图象的对称轴．【答案】（1）1m =-；（2）直线1x =-【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）利用对称轴公式2b x a=-求解即可． 【详解】解：（1）∴二次函数y ＝x 2－2mx ＋5m 的图象经过点(1，－2)，∴－2＝1－2m ＋5m ，解得1m =-；∴二次函数的表达式为y ＝x 2＋2x －5．（2）二次函数图象的对称轴为直线2122b x a =-=-=-； 故二次函数的对称轴为：直线1x =-；【点睛】本题考查了求二次函数解析式和对称轴，解题关键是熟练运用待定系数法求解析式，熟记抛物线对称轴公式．变式1．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)，求这个二次函数的表达式．【答案】二次函数的表达式为24y x =+．【解析】【分析】将点(﹣2，8)和(﹣1，5)代入二次函数表达式，列出二元一次方程组，进行求解即可．【详解】 解：二次函数y =ax 2+c 的图像经过点(﹣2，8)和(﹣1，5)， ∴485a c a c +=⎧⎨+=⎩，解得：14a c =⎧⎨=⎩． ∴二次函数的表达式为24y x =+．【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式，将已知点代入表达式，再解方程，然后确定二次函数的表达式．变式2．（2022·全国·九年级课时练习）已知抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，求该抛物线的函数关系式【答案】245y x x =-++【解析】【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入求解即可．【详解】解：∴抛物线经过点()1,0A -，()5,0B ，()0,5C ，∴设抛物线的表达式为()()15y a x x =+-，将点()0,5C 代入得：55a =-，解得：1a =-，∴()()21545y x x x x =-+-=-++．∴该抛物线的函数关系式为245y x x =-++．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式． 变式3．（2022·全国·九年级课时练习）已知二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0-，与y 轴的交点坐标为()0,3．（1）求此二次函数的解析式；（2）用配方法求此抛物线的顶点坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）()1,4 ．【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将(1,0)-，(0,3)两个点代入函数解析式求解即可确定函数解析式；（2）根据配方法将函数解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标．【详解】解：（1）把(1,0)-，(0,3)代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩， 所以抛物线解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）()222232113(1)4=-++=--+-+=--+y x x x x x ，。
中考热点-- 二次函数与方程、不等式,求参数范围(解析版)
中考热点01二次函数与方程、不等式，求参数范围一、解答题1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．【答案】(1)t=3 2(2)t=5(3)3<m<4或m>6【分析】(1)将坐标代入解析式，求解待定参数值；(2)确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，若0<t≤3，当x=t时，函数值最小，求得t=5，若t>3，当x=3时，函数值最小，解得t=73(不合题意，舍去)；(3)由A(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称得m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点(0,3)，此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3)；由a<3,b<3且t>0∴4<2m-2解得m>3；分类讨论：当A，B都在对称轴左边时，4<m-2，解得m>6，当A，B分别在对称轴两侧时，4-(m-1)>m-1-(m-2)，解得m<4,∴3<m<4．【解析】(1)将(2,1)代入y=x2-2tx+3中，得1=4-4t+3，解得，t=3 2；(2)抛物线对称轴为x=t．若0<t≤3，当x=t时，函数值最小，∴t2-2t2+3=-2，解得t=±5．∵t>0，∴t=5若t>3，当x=3时，函数值最小，∴-2=9-6t+3，解得t=73(不合题意，舍去)综上所述t=5．(3)∵A(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称∴m-2+m2=t,m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧∵抛物线与y轴交点为(0,3)，抛物线对称轴为直线x=t，∴此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3)∵a<3,b<3且t>0∴4<2m-2，解得m>3．当A，B都在对称轴左边时，∵a<b∴4<m-2，解得m>6，∴m>6当A，B分别在对称轴两侧时∵a<b∴B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离∴4-(m-1)>m-1-(m-2)，解得m<4∴3<m<4综上所述3<m<4或m>6．【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作完备的分类讨论是解题的关键．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．【答案】(1)a=-1,b=-2(2)-4<n<-2(3)见解析【分析】(1)由m=-1可得图像过点1,0和-3,0，然后代入解析式解方程组即可解答；(2)先确定函数图像的对称轴为直线x=m，则抛物线过点n,3,0,3，即n=2m，然后再结合-2 <m<-1即可解答；(3)根据图像的对称性得-b2a =m，即b=-2am，顶点坐标为m,am2+bm+3；将点-m,0和3m,0分别代入表达式并进行运算可得am2=-1；则am2+bm+3=am2-2am2+3=-am2+3=4，进而得到12a-b24a=4，然后化简变形即可证明结论．【解析】(1)解：当m=-1时，图像过点1,0和-3,0，∴0=a+b+30=9a-3b+3，解得a=-1b=-2，∴y=-x2-2x+3，∴a=-1,b=-2．(2)解：∵函数图像过点-m,0和3m,0，∴函数图像的对称轴为直线x=m．∵图像过点n,3,0,3，∴根据图像的对称性得n=2m．∵-2<m<-1，∴-4<n<-2．(3)解：∵图像过点-m,0和3m,0，∴根据图像的对称性得-b2a=m．∴b=-2am，顶点坐标为m,am2+bm+3．将点-m,0和3m,0分别代人表达式可得0=am2-bm+3①0=9am2+3bm+3②①×3+②得12am2+12=0，∴am2=-1．∴am2+bm+3=am2-2am2+3=-am2+3=4．∴12a-b24a=4．∴12a-b2=16a．∴b2+4a=0．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．3(2023·浙江杭州·统考二模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+bx+c(b，c是常数)．(1)当b=2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,-3)时，求n关于m的函数解析式．(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．【答案】(1)1,4(2)n=m2-2m-2(3)2【分析】(1)将二次函数化为顶点式求解即可；(2)根据二次函数的性质和已知条件得到m=b2，n=c+b24，b=2m，c=-2-2m，进而求解即可；(3)当b=2c+1时，二次函数y=-x2+2c+1x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，分0≤c+12≤2 、c+12<0、c+12>2三种情况，利用二次函数的性质求解即可．【解析】(1)解：当b=2，c=3时，y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴当b=2，c=3时，该函数图象的顶点坐标为1,4；(2)解：∵该函数图象经过点(1,-3)，∴-1+b+c=-3，则c=-2-b，∵该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，∴m=-b2×-1=b2，n=4×-1×c-b24×-1=4c+b24=c+b24，∴b=2m，c=-2-2m，∴n=-2-2m+4m24，即n=m2-2m-2；(3)解：当b=2c+1时，二次函数y=-x2+2c+1x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，∵0≤x≤2，∴当0≤c+12≤2即-12≤c≤32时，该函数的最大值为4×-1×c-2c+124×-1=c+2c+124=8，即4c2+8c-31=0，解得c1=-1+352，c2=-1-352，不合题意，舍去；当c+12<0即c<-12时，0≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x=0时，y有最大值为c=8，不合题意，舍去；当c+12>2即c>32时，0≤x≤2时，y随x的增大而增大，∴当x=2时，y有最大值为-22+22c+1+c=8，解得c=2，符合题意，综上，满足条件的c的值为2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第(3)问是解答的关键．4(2023·浙江宁波·校考三模)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A4,1，点B0,5．(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；(2)点C m,n在该二次函数图像上，当m≤x≤4时，n的最大值为294，最小值为1，请根据图像直接写出m的取值范围．【答案】(1)该二次函数表达式y=-x2+3x+5；顶点坐标：32,294(2)-1≤m≤32【分析】(1)根据待定系数法即可求得；(2)把y=1代入抛物线解析式求得对应的x的值，再根据函数最大值和最小值，即可得答案．【解析】(1)解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A4,1，点B0,5，∴-16+4b+c=1c=5，解得b=3c=5，∴该二次函数为y=-x2+3x+5，∵y=-x-322+294，∴顶点为32,29 4；(2)让y=1，则-x2+3x+5=1，解得：x1=-1,x2=4，当x=32时，y=294，∵当m≤x≤4时，n的最大值为294，最小值为3 2，∴-1≤x≤32．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．5(2023·浙江舟山·统考三模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b，c是常数)经过点A1，0，点B0，3．点P在此抛物线上，其横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式．(2)若-1≤x≤d时，-1≤y≤8，则d的取值范围是．(3)点P和点A之间(包括端点)的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．【答案】(1)y=x2-4x+3(2)2≤d≤5(3)m=2+5或m=2-6【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)先求出抛物线的顶点坐标，得出函数的最小值为-1，把y=8代入y=x2-4x+3求出x1=5，x2= -1，根据-1≤x≤d时，-1≤y≤8，得出-1≤x≤d时，函数能够取到最小值，从而得出d的取值范围；(3)分情况讨论，当点P在顶点的右侧，即m≥2时，当点P在顶点与点A之间，即1<m<2时，当点P在点A的左侧，即m≤1时，分别求出m的值即可．【解析】(1)解：把点A1，0，点B0，3，代入抛物线y=x2+bx+c得：1+b+c=0c=3，解得：b=-4 c=3，∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；(2)解：∵y=x2-4x+3=x-22-1，∴抛物线的顶点坐标为2,-1，∴y的最小值为-1，把y=8代入y=x2-4x+3得8=x2-4x+3，解得：x1=5，x2=-1，∵-1≤x≤d时，-1≤y≤8，∴-1≤x≤d时，函数能够取到最小值，∴2≤d≤5；故答案为：2≤d≤5．(3)解：当点P在顶点的右侧，即m≥2时，此时函数能够取到最小值-1，∵图象G的最大值和最小值差是5，∴此时点P的纵坐标y P=-1+5=4，即点P的坐标为m,4，把m,4代入y=x2-4x+3得，m2-4m+3=4，解得：m=2+5或m=2-5(舍去)；当点P在顶点与点A之间时，即1<m<2，图象G的最大值和最小值差不可能是5；当点P在点A的左侧，即m≤1时，此时函数的最小值为0，∵图象G的最大值和最小值差是5，∴此时点P的纵坐标y P=0+5=5，即点P的坐标为m,5，把m,5代入y=x2-4x+3得，m2-4m+3=5，解得：m=2-6或m=2+6(舍去)；综上分析可知，m=2+5或m=2-6．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．6(2023·浙江杭州·统考二模)在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2-2ax+1(a是常数)．(1)当a=2时，求函数图象的顶点坐标和对称轴．(2)若函数图象经过点(1，p)，(-1，q)，求证：pq≤4．(3)已知函数图象经过点A(-3，y1)，B(a+1，y2)，点C(m，y3)，若对于任意的4≤m≤6都满足y1>y3> y2，求a的取值范围．【答案】(1)顶点坐标(2，-3)，对称轴为直线x=2(2)见解析(3)3<a<3或a>72【分析】(1)当a=2时，y=x2-4x+1=x-22-3，进而可求顶点坐标与对称轴；(2)将(1，p)，(-1，q)，代入y=x2-2ax+1得，p=2-2a，q=2+2a，则pq=2-2a=42+2a-4a2≤4，进而结论得证；(3)由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线x =a ，则B (a +1，y 2)在对称轴右侧，由对于任意的4≤m ≤6都满足y 1>y 3>y 2，则点A ，B ，C 存在如下情况：情况1，如图1，根据二次函数的图象与性质，以及y 1>y 3>y 2，列不等式-3 2-2a ×-3 +1>62-2a ×6+1，a +1<4，求解集即可；情况2，如图2，由二次函数的图象与性质可得-3 2-2a ×-3 +1>42-2a ×4+1，6<a ；a +12-2a ×a +1 +1<62-2a ×6+1，分别求解满足要求的解集即可．【解析】(1)解：当a =2时，y =x 2-4x +1=x -2 2-3，∴顶点坐标(2，-3)，对称轴为直线x =2；(2)证明：将(1，p )，(-1，q )，代入y =x 2-2ax +1得，p =1-2a +1=2-2a ，q =1+2a +1=2+2a ，∴pq =2-2a 2+2a =4-4a 2≤4，∴pq ≤4；(3)解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线x =a ，则B (a +1，y 2)在对称轴右侧，∵对于任意的4≤m ≤6都满足y 1>y 3>y 2，∴点A ，B ，C 存在如下情况：情况1，如图1，由二次函数的图象与性质可得-3 2-2a ×-3 +1>62-2a ×6+1，解得a >32，a +1<4，解得a <3，∴32<a <3；情况2，如图2，由二次函数的图象与性质可得-3 2-2a ×-3 +1>42-2a ×4+1，解得a >12，又∵6<a ，a +1 2-2a ×a +1 +1<62-2a ×6+1，解得a <5或a >7，∴a >7；综上所述，a 的取值范围为32<a <3或a >7．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合．7(2023·浙江杭州·统考二模)已知函数y 1=x 2-m +2 x +2m +3,y 2=nx +k -2n (m ，n ，k 为常数且n ≠0)．(1)若y 1的图象经过点A -1,3 ，求该函数的表达式．(2)若函数y 1，y 2的图象始终经过同一定点M ．①求点M 的坐标和k 的值．②若m ≤2，当-1≤x ≤2时，总有y 1≤y 2，求m +n 的取值范围．【答案】(1)y 1=x 2-x +1(2)①M 2，3 ，k =3；②m +n ≤-1【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)①先求出函数y 1经过定点2，3 ，则M 2，3 ，且M 2，3 在函数y 2的图象上，由此把M 2，3 代入y 2解析式中求出k 的值即可；②先求出抛物线y 1的对称轴在定点M 2，3 的左侧，再结合函数图象可知当x =-1时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值，由此建立不等式求解即可．【解析】(1)解：把A -1,3 代入y 1=x 2-m +2 x +2m +3中得：-1 2+m +2 +2m +3=3，解得m =-1，∴y 1=x 2--1+2 x -2+3=x 2-x +1；(2)解：①在y 1=x 2-m +2 x +2m +3中，当x =2时，y 1=22-2m +2 +2m +3=4-2m -4+2m +3=3，∴函数y 1经过定点2，3 ，∵函数y 1，y 2的图象始终经过同一定点M ，∴M 2，3 ，且M 2，3 在函数y 2的图象上，∴2n +k -2n =3，∴k =3；②∵m≤2，抛物线y1的对称轴为直线x=m+2 2，∴抛物线y1的对称轴在定点M2，3的左侧，由①得y2=nx+3-2n，∵m≤2，当-1≤x≤2时，总有y1≤y2，∴如图所示，当x=-1时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值∴-12+m+2+2m+3≤-n+3-2n∴3m+3n≤-3，∴m+n≤-1．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8(2023·浙江杭州·统考二模)已知二次函数y1=ax x-ma≠0和一次函数y2=ax+b a≠0．(1)二次函数y1的图象过1,0,2,2点，求二次函数的表达式；(2)若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．①求证：b=-am；②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．【答案】(1)二次函数y1的表达式为y1=x x-1；(2)①证明见解析，②m=2【分析】(1)待定系数法，求出函数解析式即可．(2)①先求出二次函数y1=ax x-ma≠0与x轴的交点坐标，进而得到一次函数y2与二次函数y1的图象的交点坐标，代入一次函数，即可得出结论；②求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数即可得出结果．【解析】(1)解：∵二次函数y1=ax x-ma≠0过1,0,2,2，∴m=1，∴二次函数的表达式为y1=ax x-1，将2,2点代入，得2=2a，∴a=1；∴二次函数y1的表达式为y1=x x-1．(2)①∵当y=0时，ax x-m=0解得：x1=0,x2=m，∴二次函数y1=ax x-1与x轴交于0,0和m,0点，又一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，∴一次函数y2过m,0点，∴am +b =0，∴b =-am ；②∵b =-am ，∴y 2=ax -am ，∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，∵二次函数y 1=ax x -m 的顶点为m 2,-am 24，∴y 2=ax -am 过m 2,-am 24，∴-am 24=-am 2∵a ≠0,m ≠0，∴m 2=2m ，∴m =2．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，是解题的关键．9(2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模)在平面直角坐标系中，当x =-2和x =4时，二次函数y =ax 2+bx -2(a ，b 是常数，a ≠0)的函数值相等．(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)若该函数的图象与x 轴有且只有一个交点，求a ，b 的值．(3)记(2)中的抛物线为y 1，将抛物线y 1向上平移2个单位得到抛物线y 2，当-2≤x ≤m 时，抛物线y 2的最大值与最小值之差为8，求m 的值．【答案】(1)y =-3x -1 2+1，1，1 ；(2)a =-2，b =4；(3)1-5．【分析】(1)根据二次函数的性质及对称轴即可解答；(2)根据二次函数与x 轴的交点个数及二次函数的性质即可解答；(3)根据二次函数的平移规律及二次函数的性质即可解答．【解析】(1)解：∵当x =-2和x =4时，二次函数y =ax 2+bx -2(a ，b 是常数，a ≠0)的函数值相等，∴二次函数的对称轴为x =-2+42=1，4a -2b -2=16a +4b -2①，∵该函数的最大值为1，∴该函数的顶点坐标为1，1 ，∴1=a +b -2②，∴由①②可得：a =-3b =6 ，∴函数表达式为：y =-3x -1 2+1；(2)解：∵该函数的图象与x 轴有且只有一个交点，∴一元二次方程ax 2+bx -2=0，该函数的顶点坐标为1，0 ，∴Δ=b 2+8a =0①，a +b -2=0①，∴由①②可得a =0b =2(舍去)，a =-2b =4 ，∴a =-2，b =4；(3)解：由(2)可得y 1的解析式为：y 1=-2x 2+4x -2，∵将抛物线y 1向上平移2个单位得到抛物线y 2，∴y 2=-2x 2+4x ，∴当x =-2时，y 2=-16，∵y 2的顶点坐标为1，2 ，且当-2≤x ≤m 时，抛物线y 2的最大值与最小值之差为8，∴m <1，y 2随x 的增大而增大，∴-16+8=-8，∴-2m 2+4m =-8，∴m -1 2=5，∴m =1±5，∵m <1，∴m =1-5．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与x 轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．10(2023·浙江丽水·统考二模)二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A x 1,0 ,B x 2,0 且x 1≠x 2．(1)当x 1=2，且b +c =-6时，①求b ，c 的值②当t ≤x ≤t +2时，二次函数y =x 2+bx +c 的最小值为2t ，求t 的值；(2)若x 1=3x 2，求证：32b -c ≤3．【答案】(1)①b =2，c =-8；②t =4或t =22(2)见解析【分析】(1)①依题意，b +c =-64+2b +c =0 ，解方程组即可求解；②根据①得出解析式，对称轴为直线x =-1，进而分t +2≤-1，t <-1<t +2，t ≥-1，三种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解；(2)由题意得：x 12+bx 1+c =0，x 22+bx 2+c =0，将x 1=3x 2代入，得出 9x 22+3bx 2+c =0，得出x 2=-14b ，代入x 22+bx 2+c =0得c =316b 2，进而32b -c =-316b -4 2+3≤3，即可得证．【解析】(1)解：①依题意，b +c =-64+2b +c =0解得b =2，c =-8②y =x 2+2x -8=x +1 2-9若t +2≤-1，即t ≤-3，当x =t +2时，y =t +2+1 2-9=2t ，解得：t =0(舍去)或t =-4；若t <-1<t +2，即-3<t <-1，当x =-1时，y =-1+1 2-9=2t ，解得：t =-4.5(舍去)；若t ≥-1，当x =t 时，y =t +1 2-9=2t ，解得：t =-22(舍去)或t =22；综上所述：t =4或t =22．(2)∵x 1≠x 2，x 1=3x 2 ∴3x 2≠x 2 ∴x 2≠0由题意得：x 12+bx 1+c =0，x 22+bx 2+c =0，∴9x 22+3bx 2+c =0，∴8x 22+2bx 2=0∴2x 24x 2+b =0∵x 2≠0 ∴4x 2+b =0 即x 2=-14b∴把x 2=-14b ，代入x 22+bx 2+c =0得c =316b 2；∴32b -c =32b -316b 2=-316b 2-8b =-316b -4 2+3≤3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．11(2023·浙江杭州·统考二模)二次函数y =ax 2+bx -1(a ，b 为常数，a ≠0)的图像经过点A 1,2 ．(1)求该二次函数图像的对称轴(结果用含a 的代数式示)(2)若该函数图像经过点B 3,2 ；①求函数的表达式，并求该函数的最值．②设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 是该二次函数图像上两点，其中x 1，x 2是实数．若x 1-x 2=1，求证：y 1+y 2≤112【答案】(1)x =a -32a(2)①y =-x 2+4x -1，最大值为3；②见解析【分析】(1)首先将点A 1,2 代入表达式，然后利用对称轴公式求解即可；(2)①将点B 3,2 代入求出函数的表达式，然后转化成顶点式即可求出该函数的最值；②首先根据x 1-x 2=1得到x 1=x 2+1，然后表示出y 1+y 2利用二次函数的性质求解即可．【解析】(1)将点A 1,2 代入y =ax 2+bx -1得，a +b -1=2，∴b =3-a ，∴二次函数y =ax 2+3-a x -1，∴对称轴为x =-3-a 2a =a -32a；(2)①将B 3,2 代入y =ax 2+3-a x -1得，9a +9-3a -1=2，∴解得a =-1，∴二次函数y =-x 2+4x -1，∴y =-x 2+4x -1=-x 2-4x -1=-x -2 2+3，∵-1<0，∴抛物线开口向下，∴该函数的最大值为3；②∵x 1-x 2=1∴x 1=x 2+1，∴y 1+y 2=-x 12+4x 1-1-x 22+4x 2-1=-x 2+1 2+4x 2+1 -1-x 22+4x 2-1=-2x 22+6x 2+1=-2x 2-3 2+112∵-2<0，∴y 1+y 2的最大值为112，∴y 1+y 2≤112．【点睛】本题考查了根据对称性求对称轴，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．12(2023·浙江杭州·统考一模)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A (1,0),B (m ,0)两点．(1)当a =1,b =2时，求m 的值．(2)当0<a <2,c =2时，①求证：m >1．②点C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 在该抛物线上，且x 1>x 2,x 1+x 2<2，试比较y 1与y 2的大小．【答案】(1)-3；(2)①见解析；(2)y 1<y 2【分析】(1)当a =1,b =2时，y =x 2+2x +c ，把A (1,0)代入求得c =-3，得到y =x 2+2x -3，把B (m ,0)代入y =x 2+2x -3得，0=m 2+2m -3，解方程即可得到答案；(2)①把A (1,0),B (m ,0)代入y =ax 2+bx +c (a ≠0)得a +b +c =0，am 2+bm +c =0，由c =2得到a +b +2=0，am 2+bm +2=0进一步得am 2-a +2 m +2=0，则Δ=a +2 2-4a ×2=a -2 2≥0，由0<a <2,解方程求出m ，即可判断．②由①得b =-a -2，c =2，则y =ax 2-a +2 x +2，把C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 代入得y 1=ax 12-a +2 x1+2，y 2=ax 22-a +2 x 2+2，则y 1-y 2=x 1-x 2 a x 1+x 2 -a +2 ，由x 1>x 2,x 1+x 2<2，得到x 1-x 2>0,,a x 1+x 2 -a +2 <0，进一步即可得到答案．【解析】(1)解：当a =1,b =2时，y =x 2+2x +c ，把A (1,0)代入得，0=1+2+c ，解得c =-3，∴y =x 2+2x -3，把B(m,0)代入y=x2+2x-3得，0=m2+2m-3，解得m=1或-3；∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(1,0),B(m,0)两点，∴m=-3；(2)①把A(1,0),B(m,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)得，a+b+c=0，am2+bm+c=0，∵c=2，∴a+b+2=0，am2+bm+2=0，由b=-a-2得到am2-a+2m+2=0，则Δ=a+22-4a×2=a-22≥0，∴m=a+2±a-222a=a+2±a-22a，∴m1=1(舍去)，m2=2a，∵0<a<2,∴m>1．②由①得b=-a-2，c=2，∴y=ax2-a+2x+2，把C x1,y1,D x2,y2代入得，y1=ax12-a+2x1+2，y2=ax22-a+2x2+2，∴y1-y2=ax12-a+2x1+2-ax22-a+2x2+2=a x1-x2x1+x2-a+2x1-x2=x1-x2a x1+x2-a+2，∵x1>x2,x1+x2<2，∴x1-x2>0,a x1+x2-a+2<2a-a+2,∵0<a<2,∴2a-a+2=a-2<0，∴a x1+x2-a+2<0，∴y1-y2=x1-x2a x1+x2-a+2<0，∴y1<y2．【点睛】此题考查了二次函数的性质、解一元二次方程、比较函数值大小等知识，读懂题意并准确计算是解题的关键．13(2023·浙江绍兴·统考一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2tx+1．(1)求该抛物线的对称轴(用含t的式子表示)；(2)若点M t-2，m，N t+3，n在抛物线y=x2-2tx+1上，试比较m，n的大小；(3)P x1，y1，Q x2，y2是抛物线y=x2-2tx+1上的任意两点，若对于-1≤x1<3且x2=3，都有y1≤y2，求t的取值范围；(4)P t+1，y1，Q2t-4，y2是抛物线y=x2-2tx+1上的两点，且均满足y1≥y2，求t的最大值．【答案】(1)抛物线的对称轴为直线x=t；(2)n>m；(3)t≤1；(4)t的最大值为5．【分析】(1)把解析式化成顶点式即可求得；(2)根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可判断；(3)分3种情况求解即可；(4)分两种情况讨论，根据题意列出关于t的不等式，解不等式即可解决问题．【解析】(1)解：∵y=x2-2tx+1=x-t2-t2+1，∴抛物线的对称轴为直线x=t；(2)解：∵点M t-2，m在抛物线y=x2-2tx+1上，，N t+3，n∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t，又∵|t-(t-2)|=2，|t-(t+3)|=3，2<3，∴点N t+3，n离抛物线y=x2-2tx+1的对称轴距离较大，∴n>m；(3)解：∵抛物线的开口向上，∴离抛物线y=x2-2tx+1的对称轴距离较大，函数值越大．当t>3时，点P离对称轴远，不符合题意；当-1≤t≤3时，由题意得，3-t≥t--1，解得t≤1，∴-1≤t≤1时，都有y1≤y2；当t<-1时，点Q离对称轴远，都有y1≤y2．综上，当t≤1时，都有y1≤y2．(4)解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t，∴点P在抛物线y=x2-2tx+1对称轴的右侧，∵y1≥y2，①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，∴2t-4≥t且2t-4≤t+1，解得4≤t≤5；②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件，∴2t-4<t，t-2t-4≤t+1-t，解得3≤t<4，综上所述：当3≤t≤5时，满足题意．∴t的最大值为5．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．14(2023·浙江杭州·模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2mx+m2+1存在两点A m-1,y1．，B m+2,y2(1)求抛物线的对称轴；(用含m的式子表示)(2)记抛物线在A，B之间的部分为图象F(包括A，B两点)，y轴上一动点C0,a，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围；(3)若点M2,y3也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G(包括M，A两点)，记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若t≥y2-y1，求m的取值范围．【答案】(1)x=m(2)a=1或2<a≤5(3)m≤2-3或m≥4【分析】(1)将一般式转化为顶点式即可得解；(2)将A m-1,y1代入解析式，求出y1,y2，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即 ，B m+2,y2可；(3)分点M在点A的左侧；点A的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可．【解析】(1)解：y=x2-2mx+m2+1=x-m2+1，∴对称轴为：x=m；(2)解：由y=x2-2mx+m2+1=x-m2+1可知：抛物线的顶点坐标为：m,1，当x=m-1时：y1=m-1-m2+1=2，当x=m+2时：y1=m+2-m2+1=5，∴A m-1,2,B m+2,5，∵C0,a，∴过点C垂直于y轴的直线l：y=a，如图：由图象可知：当a=1或2<a≤5时，直线l与F有且仅有一个交点，∴a的取值范围为：a=1或2<a≤5；(3)解：∵A m-1,2，,B m+2,5∴t≥y2-y1=5-2=3，当x=2时，y3=m2-4m+5，∴M2,m2-4m+5①当M在点A的左侧，即：m-1>2，m>3时：在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，∴t=m2-4m+5-2=m2-4m+3≥3，解得：m≥4或m≤0(舍掉)；②当M在点A的右侧，对称轴的左侧时，此时t<2-1=1，不符合题意；③当M对称轴的右侧，即m<2时，当y3≤2时，此时A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：t=2-1=1<3不符合题意；③当M对称轴的右侧，即m<2时，当y3>2时，此时M 点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，∴t =m 2-4m +5-1=m 2-4m +4≥3，解得：m ≥2+3(舍)，或m ≤2-3；∴m ≤2-3；综上：m ≤2-3或m ≥4．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．二、填空题(共0分15(2022春·九年级课时练习)抛物线y =(k -1)x 2-x +1与x 轴有交点，则k 的取值范围是．【答案】k ≤54且k ≠1【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合k -1≠0，即可得到答案．【解析】解：∵抛物线y =(k -1)x 2-x +1与x 轴有交点，∴Δ=(-1)2-4×(k -1)×1≥0，∴k ≤54，又∵k -1≠0，∴k ≠1，∴k 的取值范围是k ≤54且k ≠1；故答案为：k ≤54且k ≠1．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．16(2020秋·九年级课时练习)抛物线y =x 2+8x -4与直线x =-4的交点坐标是．【答案】(-4，-20)【解析】解：∵当x =-4时，y =(-4)2+8×(-4)-4=-20，∴抛物线y =x 2+8x -4与直线x =-4的交点坐标是(-4，-20)．故答案为(-4，-20)．17(2023·安徽淮北·校考一模)若对称轴为直线x =-2的抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点(1,0)，则一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是．【答案】x 1=-5，x 2=1【分析】根据二次函数的对称性求出(1,0)的对称点，即可得到答案；【解析】解：∵对称轴为直线x =-2的抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点(1,0)，∴点(1,0)的对称点是：(-2×2-1,0)，即(-5,0)，∴方程ax 2+bx +c =0的根是x 1=-5，x 2=1，故答案为：x 1=-5，x 2=1；【点睛】本题考查抛物线的性质及二次函数与一元二次方程关系，解题的关键是根据对称性求出对称点．18(2021春·九年级课时练习)抛物线y =2x 2+2k -1 x -k (k 为常数)与坐标轴交点的个数是．【答案】3个【分析】先令y =0，得出关于x 的一元二次方程，由△>0得方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x 轴有两个不同的交点，与y 轴有一个交点．【解析】解：∵抛物线y =2x 2+2(k -1)x -k (k 为常数)，∴当y =0时，0=2x 2+2(k -1)x -k ，∴△=[2(k -1)]2-4×2×(-k )=4k 2+4>0，∴0=2x 2+2(k -1)x -k 有两个不相等的实数根，∴抛物线y =2x 2+2(k -1)x -k (k 为常数)与x 轴有两个交点，∴抛物线y =2x 2+2(k -1)x -k (k 为常数)与y 轴有一个交点，所以，抛物线y =2x 2+2k -1 x -k (k 为常数)与坐标轴交点有3个，故答案为：3个．【点睛】本题考查抛物线与x 、y 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知二次函数y =ax 2+bx +c a ≠0 的部分图象如图所示，图象过点-1,0 ，对称轴为直线x =1，下列结论：①2a +b =0；②当m ≠-1时，am 2-b m +1 <a ；③若点A -2,y 1 ，点B 12,y 2 ，点C 52,y 3 均在该图象上，则y 1<y 3<y 2；④若关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的两根都是整数，则这样的p 值有3个．其中正确的结论有(填序号)．【答案】①②③【分析】根据图象对称轴为直线x =1，可得2a =-b ；可判断①；设w =am 2-b m +1 ，可得w =am 2-b m +1 =am 2+2a m +1 =a m +1 2+a ，再由a <0，可得当m =-1时，w 取得最大值，最大值为a ，可判断②；根据1--2 >52-1>1-12，可得y 1<y 3<y 2，可判断③；根据题意可得关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的根即为抛物线与直线y =p p >0 的交点的横坐标，可判断④，即可．【解析】解：①∵图象对称轴为直线x =1，∴-b 2a=1，∴即2a +b =0，故①正确；②设w =am 2-b m +1 ，∴w =am 2-b m +1 =am 2+2a m +1 =am 2+2am +2a =a m +1 2+a ，∵二次函数y =ax 2+bx +c a ≠0 的图象开口向下，∴a <0，∴当m =-1时，w 取得最大值，最大值为a ，∴当m ≠1时，am 2-b m +1 <a ，故②正确；③∵点A -2,y 1 ，点B 12,y 2 ，点C 52,y 3 均在该图象上，且1--2 >52-1>1-12，∴y 1<y 3<y 2，故③正确；④∵图象过点-1,0 ，对称轴为直线x =1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为3,0 ，∴抛物线的解析式为y =a x +1 x -3 ，∴关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的根即为抛物线与直线y =p p >0 的交点的横坐标，∴当p >0且抛物线与直线y =p p >0 的有两个交点，且交点的横坐标为整数时，这样的点P 有1个，∴关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的两根都是整数，则这样的p 值有1个，故④错误．故答案为：①②③【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．三、单选题(共0分20(2023·浙江·校联考三模)已知点x 1，y 1 ，x 2，y 2 为二次函数y =-x 2图象上的两点(不为顶点)，则以下判断正确的是()A.若x 1>x 2，则y 1>y 2B.若x 1<x 2，则y 1<y 2C.若：x 1x 2<x 2 2，则y 1>y 2D.若x 1x 2>x 2 2，则y 1<y 2【答案】D【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．【解析】解：∵y =-x 2，a =-1<0，对称轴为y 轴，∴在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；A 、x 1>x 2，y 1不一定大于y 2，例如x 1=1时，y 1=-1，x 2=-1时，y 2=-1，此时x 1>x 2，但是y 1=y 2；故选项A 错误；B 、x 1<x 2，y 1不一定小于y 2，例如x 1=-1时，y 1=-1，x 2=1时，y 2=-1，此时x 1<x 2，但是y 1=y 2；故选项B 错误；C 、当x 1x 2<x 2 2，y 1不一定大于y 2，例如x 1=-3时，y 1=-9，x 2=1时，y 2=-1，此时x 1x 2=-3<x 22=1，但是y1<y2；故选项C错误；D、当x1x2>x22，即：x1x2>x2x2>0，∴x1<x2<0或x1>x2>0，当x1<x2<0时，y1<y2，当x1>x2>0时，y1<y2，∴当x1x2>x22时，y1<y2；故选项D正确；故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断．21(2023·浙江杭州·统考二模)已知二次函数y1=(ax+1)(bx+1)，y2=(x+a)(x+b)，(a，b为常数，且ab≠0)，则下列判断正确的是()A.若ab<1，当x>1时，则y1>y2B.若ab>1，当x<-1时，则y1>y2C.若ab<-1，当x<-1时，则y1>y2D.若ab>-1，当x>1时，则y1>y2【答案】B【分析】先计算y1-y2=ax+1x+1x-1，再根据各选项给=ab-1x+bbx+1-x+a定的条件逐一分析即可得到答案．【解析】解：∵ab<1，x>1，∴ab-1<0，x-1>0，x+1>0，∴y1-y2=ax+1bx+1x+b-x+a=abx2+ax+bx+1-x2-ax-bx-ab=ab-1x2+1-ab=ab-1，x-1x+1∴y1-y2<0；∴y1<y2；故A不符合题意；∵ab>1，x<-1，∴ab-1>0，x-1<0，x+1<0，∴y1-y2>0；∴y1>y2；故B符合题意；∵ab<-1，x<-1，∴ab-1<0，x-1<0，x+1<0，∴y1-y2<0；∴y1<y2；故C不符合题意；∵ab>-1，x>1，∴ab-1>-2，x-1>0，x+1>0，∴y1-y2可以比0大，也可以比0小；∴y1，y2的大小不确定；故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次函数的函数值的大小比较，因式分解的应用，熟练的利用作差的方法比较大小是解本题的关键．22(2023·浙江杭州·统考二模)点P m ,n 在二次函数y =ax 2-2ax a ≠0 的图象上，针对n 的不同取值，存在点P 的个数不同，甲乙两位同学分别得到如下结论：甲：若P 的个数为1，则n =-a ；乙：若P 的个数为2，则n ≥-a 则下列判断中正确的是()A.甲正确，乙正确B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确D.甲错误，乙错误【答案】B【分析】根据抛物线的对称性可知，当n 是顶点的纵坐标时，P 的个数为1，当n 不是顶点纵坐标时，P 的个数为2，即可得出结论．【解析】解：∵y =ax 2-2ax =a x -1 2-a ，∴抛物线的顶点坐标为：1,-a ，∵点P m ,n 在二次函数y =ax 2-2ax a ≠0 的图象上，∴当n =-a 时，点P 为抛物线的顶点，只有1个，当n ≠-a 时，根据抛物线的对称性，点P 的个数为2；∴甲正确，乙错误；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键．23(2023·浙江宁波·校考二模)已知点A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 在抛物线y =-(x -4)2+m (m 是常数)上．若x 1<4<x 2，x 1+x 2>8，则下列大小比较正确的是()A.y 1>y 2>mB.y 2>y 1>mC.m >y 1>y 2D.m >y 2>y 1【答案】C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =-(x -4)2+m 的开口向下，有最大值为m ，对称轴为直线x =4，根据x 1<4<x 2，x 1+x 2>8，设A x 1,y 1 的对称点为A 1(x 0，y 1)，得出x 1+x 0=8，则在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，则当4<x 0<x 2时，m >y 1>y 2．【解析】解：∵y =-x -4 2+m ，∴a =-1<0，∴当x =4时，有最大值为y =m ，∴抛物线开口向下，∵抛物线y =-x -4 2+m 对称轴为直线x =4，设A x 1,y 1 的对称点为A 1(x 0，y 1)，即x 0>4，∴x 1+x02=4，∴x 1+x 0=8，∵x 1+x 2>8，∴x 1+x 2>x 1+x 0，∴x 2>x 0，∴4<x 0<x 2，∴m >y 1>y 2．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a <0，抛物线开口向下；对称轴为直线x =-b2a，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小．24(2023·统考二模)已知二次函数y =x 2+bx +c 过点A x 1,y 1 ，B x 1+t ,y 2 ，C x 1+2t ,y 3 三点．记m =y 2-y 1，n =y 3-y 2，下列命题正确的是()A.若n -m >2，则t <-1B.若n -m <2，则t >-1C.若t >1，则n -m >2D.若t <1，则n -m <2【答案】C【分析】根据题意求出m 和n ，再计算n -m ，再分别分析各选项即可得出真命题．【解析】解：由题意可得：m =y 2-y 1=x 1+t 2+b x 1+t +c -x 12+bx 1+c =x 1+t 2+b x 1+t -x 12-bx 1=t 2+2tx 1+bt n =y 3-y 2=x 1+2t 2+b x 1+2t +c -x 1+t 2+b x 1+t +c =x 1+2t 2+b x 1+2t +c -x 1+t 2-b x 1+t -c =3t 2+2tx 1+bt∴n -m =3t 2+2tx 1+bt -t 2+2tx 1+bt =2t 2，若n -m >2，则2t 2>2，∴t >1或t <-1，故A 是假命题；若n -m <2，则2t 2<2，∴-1<t <1，故B 是假命题；若t >1，则n -m =2t 2>2，故C 为真命题；若t <1，则0<2t 2<2，即0<n -m <2，故D 为假命题，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像上的点，最值，解题的关键是将对应点代入，计算并化简得到n -m =2t 2．25(2023·浙江杭州·统考二模)已知y 关于x 的二次函数y =2mx 2+1-m x -1-m ，下列结论中正确的序号是()①当m =-1时，函数图象的顶点坐标为12,12；②当m ≠0时，函数图象总过定点：③当m >0时，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于32；④若函数图象上任取不同的两点P 1x 1,y 1 、P 2x 2,y 2 ，则当m <0时，函数在x >14时一定能使y 2-y 1x 2-x 1<0成立．A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④【答案】A【分析】求出当m =-1时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m ≠0时，二次函数y =m 2x 2-x -1 +x -1，当2x 2-x -1=0时，y 的值与m 无关，求出x 的值，即可得到定点，即可判断。
专题08二次函数的图象与性质(讲)-2019年中考数学二轮复习
备战2019年中考二轮讲练测（精选重点典型题）专题08 二次函数的图象与性质（讲案）一讲考点——考点梳理（一）二次函数的定义形如2y ax bx c =++(其中0a ≠，a 、b 、c 是常数)的式子，称y 是x 的二次函数. （二）二次函数的性质(1)a 决定抛物线的开口方向①0a >⇔开口向上；②0a <⇔开口向下． (2)c 决定抛物线与y 轴交点的位置①0c >⇔图象与y 轴交点在x 轴上方；②0c =⇔图象过原点；③0c <⇔图象与y 轴交点在x 轴下方． (3)a b 、决定抛物线对称轴的位置(对称轴：2bx a=-) ①a b 、同号⇔对称轴在y 轴左侧；②0b =⇔对称轴是y 轴；③a b 、异号⇔对称轴在y 轴右侧，简记为：左同右异中为0．(4)顶点坐标24()24b ac b a a --，．(5)24b ac ∆=-决定抛物线与x 轴的交点情况． ①△>0⇔抛物线与x 轴有两个不同交点； ②△=0⇔抛物线与x 轴有唯一的公共点(相切)； ③△<0⇔抛物线与x 轴无公共点．(6)二次函数是否具有最大、最小值由a 判断．①当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值；②当a<0时，抛物线有最高点，函数有最大值． （7）242a b a b c a b c ±±+±+、、 的符号的判定：x yO-112a-b 2a+b①若对称轴在直线x=1的左侧，则2a b +与a 同号，若对称轴在直线x=1的右侧，则2a b +与a 异号，若对称轴为直线x=1，则2a b +=0，简记为：1的两侧判2a b +，左同右异中为0；②若对称轴在直线1x =-的左侧，则2a b -与a 异号，若对称轴在直线1x =-的右侧，则2a b -与a 同号，若对称轴为直线1x =-，则2a b -=0，简记为：－1的两侧判2a b -，左异右同中为0； ③当1x =时，y a b c =++，所以a b c ++的符号由1x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当1x =-时，y a b c =-+，所以a b c -+的符号由1x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =时，42y a b c =++，所以42a b c ++的符号由2x =时，对应的函数值y 的符号决定； 当2x =-时，42y a b c =-+，所以42a b c -+的符号由2x =-时，对应的函数值y 的符号决定； 简记为：表达式，请代值，对应y 值定正负； 对称轴，用处多，三种式子a 相约；y 轴两侧判a b 、，左同右异中为0；1的两侧判2a b +，左同右异中为0； 1两侧判2a b -，左异右同中为0. （三）二次函数的解析式①一般式：2y ax bx c =++()0≠a ，用于已知三点，求抛物线的解析式.②顶点式：2()y a x h k =-+，用于已知顶点坐标或最值或对称轴，求抛物线的解析式.③交点式：()()21x x x x a y --=，其中1x 、2x 是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标.若已知对称轴和在x 轴上的截距，也可用此式. （四）二次函数的增减性当0a >时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大；当0a <时，在对称轴左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减少.（五）二次函数图象的平移 方法一：顶点法二次函数的平移实际上是顶点的平移，故可以把原抛物线化为顶点式，通过顶点的平移来寻找答案。
2020年中考数学考点一遍过考点11二次函数(含解析)
3．抛物线的移动主要看顶点的移动， y=ax2 的顶点是（ 0，0）， y=a（ x–h）2 的顶点是（ h，0）， y=a
（x–
h） 2+k 的顶点是（ h， k）．
4．抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移．
典例 7 如果将抛物线 y=–x2–2 向右平移 3 个单位长度，那么所得到的新抛物线的表达式是
左侧 y 随 x 的增大而增大，在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小
6．（ 2019 ·南通市启秀中学初三期中）关于下列说法：（
1）反比例函数 y 1 ，在每个象限内 y
3mx
随 x 的增大而减小； （ 2）函数 y
1 x ， y 随 x 的增大减小； （ 3）函数 y
3
12 x ，当 x 0 时，
A ． –1 【答案】 A
B．2
C． –1 或 2
【解析】依题意
m2 m 2
，解得 m=–1，故选 A.
m20
【名师点睛】此题主要考察二次函数的定义，需要注意
a 0.
典例 2 （ 2019·河北初三期中）下列函数是二次函数的是
D． m 不存在
A ． y=2x+2 【答案】 C
B ． y=﹣ 2x
【解析】直接根据二次函数的定义判定即可．
二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称 轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点 .
典例 3 函数 y=ax2+bx+a+b（ a≠0）的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【答案】 C
【解析】 A ，由图象可知，开口向下，则 a<0 ，又因为顶点在 y 轴左侧，则 b<0 ，则 a+b<0，而图象 与 y 轴交点为（ 0， a+b）在 y 轴正半轴，与 a+b<0 矛盾，故此选项错误； B，由图象可知，开口向下，则 a<0，又因为顶点在 y 轴左侧，则 b<0，则 a+b<0，而图象与 y 轴交 点为（ 0， 1）在 y 轴正半轴，可知 a+b=1 与 a+b<0 矛盾，故此选项错误； C，由图象可知，开口向上，则 a>0，顶点在 y 轴右侧，则 b<0， a+b=1 可能成立，故此选项正确； D，由图象可知，开口向上，则 a>0，顶点在 y 轴右侧，则 b<0 ，与 y 轴交于正半轴，则 a+b>0，而 图象与 x 轴的交点为 （1，0），则 a+b+a+b=0，显然 a+b=0 与 a+b>0 矛盾， 故此选项错误． 故选 C． 典例 4 如果二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是