高一数学期中总复习
高一数学期中复习题
高一数学期中复习题一、代数部分1. 代数基础- 理解实数的概念，包括有理数和无理数。
- 掌握数的四则运算，包括加、减、乘、除。
- 熟练掌握乘方和开方的运算。
2. 代数表达式- 理解代数表达式的概念，包括多项式和单项式。
- 掌握同类项和合并同类项的方法。
- 理解多项式的加减法则。
3. 代数方程- 理解一元一次方程的解法，包括移项、合并同类项、系数化为1。
- 掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法。
4. 不等式- 理解不等式的概念，包括不等式的解集和解不等式的方法。
- 掌握一元一次不等式的解法。
5. 指数与对数- 理解指数的概念，包括幂的运算法则。
- 掌握对数的定义，包括对数的运算法则。
二、几何部分1. 平面几何- 理解平面图形的基本性质，包括点、线、面、角、圆等。
- 掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理。
- 理解相似三角形的性质和判定方法。
2. 空间几何- 理解空间图形的基本性质，包括立体图形和空间角。
- 掌握空间图形的表面积和体积的计算方法。
3. 坐标几何- 理解坐标系的概念，包括直角坐标系和极坐标系。
- 掌握点的坐标表示方法，以及点与点之间的距离公式。
三、函数部分1. 函数的基本概念- 理解函数的概念，包括函数的定义、定义域和值域。
- 掌握函数的表示方法，包括解析法、列表法和图像法。
2. 函数的性质- 理解函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
- 掌握判断函数性质的方法。
3. 基本初等函数- 理解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的性质和图像。
4. 三角函数- 掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质。
- 理解三角函数的图像和周期性。
5. 函数的应用- 理解函数在实际问题中的应用，包括最值问题、优化问题等。
四、解析几何部分1. 直线与圆- 理解直线的方程，包括点斜式、斜截式和一般式。
- 掌握直线的斜率、截距的概念和计算方法。
- 理解圆的方程，包括标准式和一般式。
连云港市赣马高级中学2022-2023学年高一上学期期中复习数学试卷(4)(含答案)
江苏省连云港市赣马高级中学2022-2023学年高一上学期期中复习（4）高一数学(考试时间：120分钟 试卷满分：150分 范围：第1章∽第5章)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|11}{|02}A x x B x x =-<<=<，…，则A B = （ ）A ．{|12}x x -<<B ．{|01}x x <…C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<2．命题“2110x x ∃>+<，”的否定为 （ ） A ．2110x x ∃+<，… B ．2110x x ∃+<，… C ．2110x x ∀>+，… D ．2110x x ∀>+<，3．已知2310()10ax x f x x x +<⎧=⎨-⎩，，，，…若(4f f =，则实数a 的值为 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．24．我国著名数学家华岁庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数23()1xf x x =-的图象大致是（ ） A. B ．C. D ．5．“0ab ≠”是“0a ≠”的（ ）A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．下列命题正确的是 （ ）A ．函数1y x x=+的最小值是2B ．若a b ∈R ，且0ab >，则2b aa b+…C ．2y =D ．函数423y x x=--（0x >）的最小值为2-7．若关于x 的不等式0ax b -<的解集为(1)+∞，，则关于x 的不等式01ax bx +>-的解集为 （ ） A ．(1)+∞， B ．(1)-+∞， C ． (11)-， D ．(1)-∞-，8．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过一定时间t (单位：分)后的温度是T ，则0()e kt a a T T T T --=-⋅，其中a T 称为环境温度，k 为比例系数。
高一期中复习数学知识点
高一期中复习数学知识点数学是一门严谨而精妙的学科，对于每个高中生来说，学好数学是非常重要的。
期中考试是一个检验自己学习成果的时刻，为了帮助大家复习数学知识点，下面将从高一数学的各个方面进行综合复习。
一、函数和方程1. 函数的概念和性质：函数是一种特殊的关系，它将一个集合的每个元素都映射到另一个集合中唯一确定的元素。
函数的定义域、值域、图像等概念需要我们理解和掌握。
2. 一次函数和二次函数：一次函数是指函数的最高次项为一次的函数，常见的形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
而二次函数则是函数的最高次项为二次的函数，常见的形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
3. 方程与不等式：方程和不等式是解决数学问题的重要工具。
需要重点掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法，以及二次方程和二次不等式的解法。
二、平面几何1. 三角形：三角形是平面几何中最常见的形状之一。
需要了解三角形的定义、分类和性质，以及常见的三角形定理如勾股定理、正弦定理和余弦定理等。
2. 直线与圆：直线和圆是平面几何中的基本元素。
需要熟悉直线的斜率、截距等概念，以及直线与圆的位置关系和相交性质。
3. 向量与坐标：向量是用来描述平面上有方向和大小的量。
需要了解向量的定义、性质和运算法则，以及坐标系相关的知识，如直角坐标系和极坐标系等。
三、立体几何1. 空间几何体：空间几何体包括立方体、球体、圆柱体、圆锥体等常见的几何体。
需要了解它们的性质、表面积和体积的计算方法，以及投影和截面等相关概念。
2. 空间向量：空间向量是描述空间中有方向和大小的量。
需要掌握向量的定义、性质和运算法则，以及向量的点乘和叉乘等运算。
3. 空间坐标：空间中的点可以用坐标表示，常见的坐标系有直角坐标系和柱面坐标系。
需要了解坐标变换和坐标之间的关系。
四、数列和排列组合1. 等差数列和等比数列：数列是一组按照一定规律排列的数。
需要了解等差数列和等比数列的定义、性质和常见问题的解法。
2023—2024学年第一学期高一数学期中考试复习宝典
2023—2024学年第一学期高一数学期中考试复习宝典1.已知全集{}1,2,3,4,5U=，集合{}1,3,4A =，集合{}2,4B=，则()UA B=() A．{}2,4,5B．{}1,3,4C．{}1,2,4D．{}2,3,4,5【答案】A【解析】因为{}2,5UA=，{}2,4B=，所以(){}2,4,5UA B=2.已知集合{}(){}1,20M x x N x x x=<=−>，则M N=（）A. ()0,1 B. ()(),12,−∞+∞ C. ()1,0− D. ()(),21,−∞−−+∞【答案】B【解析】解绝对值不等式1x<得，11,x−<<解一元二次不等式()20x x−>得，0x<或2,x>故集合{}|11,M x x=−<<{}|02N x x x=<>或，()(),12,M N=−∞+∞，所以选B.已知集合{(,)|}A x y y x==，2{(,)|}B x y y x==，则A B的元素个数为()A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【时而习之】【不亦说乎】【考点一】集合与常用逻辑用语【解析】集合{(,)|}A x y y x==，2{(,)|}B x y y x==，{(A B x∴=，2)|}{(0,0)y xyy x=⎧=⎨=⎩，(1,1)}，元素个数为21.已知集合2{|60}A x x x=+−=，B{|10}x mx=+=，若B A⊆，则实数m的取值集合是()A．11,23⎧⎫−⎨⎬⎩⎭B．11,23⎧⎫−⎨⎬⎩⎭C．11,,023⎧⎫−⎨⎬⎩⎭D．11,,023⎧⎫−⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】{}A3,2=−因为B A⊆①当0m=时，B=∅，满足题意②当0m≠时，B中元素可表示为1xm=−若13m−=−，13m=若12m−=，12m=−∴m组成的集合是110,,23⎧⎫−⎨⎬⎩⎭，故选C．2.已知{|25}A x x=，{|121}B x m x m=+−，B A⊆，求m的取值范围．【答案】3m【解析】当121m m+>−，即2m<时，B=∅，满足B A⊆，即2m<；当121m m+=−，即2m=时，{}2B=，满足B A⊆，即2m=；当121m m+<−，即2m>时，由B A⊆得12{215mm+−−，即23m<．所以3m【时而习之】【考点二】根据集合间的关系求参已知集合3{|5}2A x x =−<，{|1B x x =<或2}x >，U R =． （1）求A B ，()U A C B ．（2）若{|2131}C x m x m =−<+，且BC U =，求m 的取值范围． 【答案】(1)322A B x x ⎧⎫=≤>⎨⎬⎩⎭或；()3{|1}2U A C B x x =(2)113m < 【解析】（1）集合3{|5}2A x x=−<，{|1B x x =<或2}x >， ∴322AB x x ⎧⎫=≤>⎨⎬⎩⎭或 U R =，{|1B x x =<或2}x >，{|12}UC B x x ∴=．∴()3{|1}2U A C B x x = （2）依题意得：2131211312m m m m −<+⎧⎪−<⎨⎪+⎩，即2113m m m ⎧⎪>−⎪<⎨⎪⎪⎩，∴113m <1.设,a b R ∈，则()20a b a −< 是a b <的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为()20a b a −<，20a ，所以有0a b −<，a b <；若a b <，当0a =时，有()20a b a −<，所以前者是后者的充分不必要条件【不亦说乎】【时而习之】【考点三】充分必要条件的判断2. 设 x ，y ∈R ，则“ 0x y >> ”是“ 1x y> ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“0x y >>”⇒“1x y >”，反之不成立，例如取 2x =−，1y =−． 因此“ 0x y >> ”是“1x y> ”的充分不必要条件．设集合{|0},{|03}1x A x B x x x =<=<<−，那么‘‘m A ∈''是‘‘m B ∈''的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】第一步：()0,1A =，()0,3B =；第二步：A 是B 的真子集，所以‘‘m A ∈''是‘‘m B ∈''的充分不必要条件，选A ．【不亦说乎】1. 命题“ x ∀∈Z ，使 2210x x +−< ”的否定为( )A ． x ∃∈Z ，2210x x +−≥B ． x ∃∈Z ，2210x x +−>C ． x ∀∈Z ，2210x x ++>D ． x ∀∈Z ，2210x x +−≥【答案】A【解析】由全称命题的否定为特称命题，可得命题“ x ∀∈Z ，使 2210x x +−< ”的否定为“ x ∃∈Z ，2210x x +−≥ ”2. 已知命题“[]1,2x ∃∈ 使得 220x x a ++“为真命题，则 a 的取值范围是________．【答案】[)8,∞−+【解析】根据题意可得：()2min2a x x −− 当 []1,2x ∈ 时，根据二次函数图象性质可得：()22min 22228x x −−=−−⨯=−，故 [)8,a ∞∈−+．若对任意x R ∈，不等式23324x ax x −≥−恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】[]11a ，∈−【解析】2233322344x ax x ax x x −≥−⇔≤−+ ①当0x >时，min 32314a x x ⎛⎫≤−+ ⎪⎝⎭，因为3331231244x x x x −+≥⋅−=，所有22a ≤，即1a ≤ ②当0x =时，不等式恒成立③当0x <时，max 32314a x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭，因为333113244x x x x ⎛⎫++=−−+≤− ⎪−⎝⎭，所有1a ≥− 综上，[]11a ，∈−【时而习之】【不亦说乎】【考点四】全称量词与存在量词1. 如果00a b c d <<>>，，那么一定有A. c d a b> B. c d a b< C. c d b a > D. c d b a < 【答案】D 【解析】由题意，不妨令2121a b c d =−=−==，，，，经检验A ，B ，C 错，故选D.2.下列不等式恒成立的是( )A ．222a b ab +B ．222a b ab +−C ．2||a b ab +D ．222a b ab +−【答案】B【解析】A ．显然当0a <，0b >时，不等式222a b ab +不成立，故A 错误；B ．2()0a b +，2220a b ab ∴++，222a b ab ∴+−，故B 正确；C ．显然当0a <，0b <时，不等式2||a b ab +不成立，故C 错误；D ．显然当0a >，0b >时，不等式222a b ab +−不成立，故D 错误．已知α，β满足11123αβαβ−+⎧⎨+⎩①②，试求3αβ+的取值范围． 【答案】略 【解析】解 设3()(2)v αβλαβαβ+=+++()(2)v v λαλβ=+++．比较α、β的系数，得123v v λλ+=⎧⎨+=⎩， 【时而习之】 【不亦说乎】 【考点五】不等式性质从而解出1λ=−，2v =． 分别由①、②得11αβ−−−，2246αβ+， 两式相加，得137αβ+．故3αβ+的取值范围是[1，7]．1. 已知x ，y R +∈，且满足131x y +=，则3x y +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．12D ．16 【答案】B【解析】解：131x y+=， 133(3)()x y x y x y ∴+=++33331010216y x y x x y x y=+++=， 当且仅当33y x x y=且131x y +=，即4x y ==时取等号，故选：D ．2.已知1x >，0y >，且1211x y +=−，则2x y +的最小值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．726+ 【答案】B【解析】解：1x >，10x ∴−>，又0y >，且1211x y +=−， 2(1)21x y x y ∴+=−++12[(1)2]()11x y x y=−+++−22(1)61y x x y −=++− 22(1)621y x x y−+−10=， 当且仅当22(1)1y x x y −=−，即4x =，3y =时等号成立，故2x y +的最小值为10．故选：B ．【时而习之】【考点六】基本不等式已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是______ ． 【答案】45【解析】解：方法一、由22451x y y +=，可得42215y x y −=， 由20x ，可得2(0y ∈，1]，则44222222211411(4)555y y x y y y y y y −++=+==+ 221142455y y =，当且仅当212y =，2310x =，可得22x y +的最小值为45； 方法二、222222222254254(5)4()()24x y y x y y x y ++=+=+，故2245x y +， 当且仅当222542x y y +==，即212y =，2310x =时取得等号，可得22x y +的最小值为45． 故答案为：45．1. 已知不等式20+−<x bx c 的解集为{}36<<x x ，则不等式()2120−++−>bx c x 的解集为( )A. 129或⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭x x x B.129⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭x x C.129或⎧⎫<−>⎨⎬⎩⎭x x x D.129⎧⎫−<<⎨⎬⎩⎭x x 【答案】C【解析】由题可得，20+−=x bx c 的两根为123,6==x x ，根据韦达定理可得9=18−⎧⎨=−⎩b c ，解得=918，−=−b c ，则原式可化简为291720−−>x x ，解得129或⎧⎫<−>⎨⎬⎩⎭x x x 。
2024年天一名校高一数学期中复习卷
2024-2025学年度上学期高一数学期中复习卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}21A y y x ==+，集合(){}2,1B x y y x ==+，下列关系正确的是（）A ．AB =B ．0A ∈C ．(1,2)B ∈D ．(0,0)B∈2.函数3y =的定义域为（）A ．{}|33x x -≤≤B ．{|33x x -<<且}1x ≠C ．{}|33x x -<<D ．{|3x x <-或}3x >3.已知)1fx =-()f x 的解析式为（）A ．2()1f x x =-B ．2()1(1)f x x x =+≥-C ．2()1(1)f x x x =-≥-D ．2()1f x x =+4.学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形ABCD 为矩形，BCE 为等腰直角三角形，设AB )0BC b a =≥>，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（）A ．2a b+≥B ．2aba b≤+C ．22a b +≥D ．2a b +≤5.幂函数()()233mf x m m x =--在区间()0,∞+上单调递减，则下列说法正确的是（）A ．4m =B ．4m =或1m =-C ．是奇函数D ．是偶函数6.在上定义运算：()1x y x y *=-.若关于x 的不等式()10x x *-≥的解集是集合{}12x a x +≤≤的子集，则实数a 的取值范围（）A. B. C. D.7.已知函数2()2+1,[0,2]f x x x x =-+∈，函数()1,[1,1]g x ax x =-∈-，对于任意1[0,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,3]-∞-B ．[3,)+∞C ．(,3][3,)-∞-+∞ D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞8.记号[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若()270x f x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则()()()()()1236970f f f f f +++++ 的值为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知p ：260x x +-=；q ：10ax +=.若p 是q 的必要不充分条件，则实数的值可以是（）A ．B ．12-C ．13D ．13-10.下列说法正确的有（）A ．若()f x 的定义域为[]22-,，则()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．()2x f x x=和()g x x =表示同一个函数C．函数2y x =-17,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．函数()f x 满足()()221f x f x x --=-，则()213f x x =+11.定义域为的函数()f x 满足：()()22,,22x y x y x y f x f y f f +-⎛⎫⎛⎫∀∈=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R ，当0x >时，()0f x <，则下列结论正确的有（）A ．()01f =B ．()12y f x =+-的图象关于点()1,2--对称C ．()()()()()()202320252024202220242023f f f f f f +=+D ．()f x 在s +∞上单调递增()f x ()f x R 1a <-2a <-1a ≤-1a ≥-4898489949004901a 2-第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知不等式²0ax bx c ++≤的解集为{|3x x ≤-或}4x ≥,则不等式²230bx ax c b +--≤的解集是______.13.设()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，则a b +的值是______；()f a =______.14.若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”.已知函数()()2325,(0)f x x x g x x x=-=<，若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线2y x b =-+，则实数b 的取值范围是______.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知关于x 的不等式()22237320x a x a a +-++-<的解集为．（1）若()7,3M =-，求不等式()22237320x a x a a -----+≤的解集；（2）若中的一个元素是，求实数的取值范围．16.（本小题满分15分）设全集，集合，集合.（1）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.M M 0a U =R {}|15A x x =≤≤{}122|B x a x a =--≤≤-17.（本小题满分15分）已知函数21()x f x x-=．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明；（2）用函数单调性的定义证明：在(0,)+∞上为增函数；（3）求函数在区间[]2,4--上的最大值和最小值．18.（本小题满分17分）某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为万元，每生产x 台，需另投入生产成本()R x 万元.当年产量不足25台时，()23R x x kx =+；当年产量不小于25台时()3200202133010R x x x =+-+，且当年产量为台时需另投入成本万元；若每台设备售价万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.（1）求的值；（2）求该企业投资生产这批新型机器的年利润所()W x （万元）关于年产量（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；（3）这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.19.（本小题满分17分）若函数()f x 与()g x 满足：对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x g x m =成立，则称()f x 是()g x 在区间D 上的“m 阶伴随函数”；对任意的1x D ∈，总存在唯一的2x D ∈，使()()12f x f x m =成立，则称()f x 是区间D 上的“m 阶自伴函数”．（1）判断()21f x x =+是否为区间[]0,3上的“阶自伴函数”？并说明理由；（2）若函数()31f x x =-为区间上的“阶自伴函数”，求b 的值；（3）若()42f x x =+是()2221g x x ax a =-+-在区间[]0,2上的“2阶伴随函数”，求实数a的取值范围．()f x ()f x 1000101100200k x 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡b ,211。
吉林省东北师范大学附属中学2021-2022高一上学期期中总复习数学(2) Word版含答案
必修1期中总复习（2）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是______________．2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.3．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)的大小关系是________．4．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必需按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元，则p ＝________.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x <2，log 3(x 2－1)， x ≥2.则f (f (2))的值为________．6．定义运算：如1*2=1，则函数f(x)的值域为________.7．若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则log 2xy＝________.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1x 2－4x ＋3， x >1，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是________．9．在下列四图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝(ba)x 的图象只可为________．10．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.x 1.5 3 5 6 8 9 lg x 4a －2b ＋c 2a －b a ＋c 1＋a －b －c 3[1－(a ＋c )] 2(2a －b )11．已知log a 12>0，若224x x a +-≤1a，则实数x 的取值范围为______________．12．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－||x ＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________________．13．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f (13)、f (2)、f (12)的大小关系为________．14．已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是________．三、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知函数f (x )＝12log [(12)x －1]， (1)求f (x )的定义域；(2)争辩函数f (x )的增减性．16．(14分)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； (3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．17．(14分)设函数f (x )＝ax －1x ＋1，其中a ∈R .(1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间[0,3]，求f (x )的最大值和最小值；(2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数．18．(16分)关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．。
高一数学复习资料总结
高一复习资料总结一、 函数1. 函数：①函数的周期()()f x T f x +=②函数的奇偶性：定义域关于圆点对称()()0f x f x +-=（奇函数） ()()0f x f x -=（偶函数） 若(0)f 有定义，则(0)0f =③函数的单调性（定义证明）设：12,x x D ∈,且12x x <； 证明：12()()0f x f x -<单调增函数（或12()()0f x f x ->单调减函数） 2．指数函数：①有理数幂的运算性质m na=nma②()(,1)xf x a a o a =>≠定义域R ，值域()0f x >图像：>1a 01a <<3．对数函数 ①对数的运算条件：0,0,01M N a a >>>≠且 log log log a a a M N MN+=log log log a a aMM N N-= 化简log log n a a M n M=log a NaN = log 10a = log 1a a = 求值换底公式log log log a a a bb a= (0,0c 1)b c >>≠且②()log a f x x = (0,1)a a >≠ 定义域0x > 值域 R 对数函数()log a f x x =图像1a > 01a <<二、三角函数弧长公式：l r α=（α弧度单位） 扇形面积：12S lr = 15718'57.3rad =︒=︒1.定义：sin yrα= cos x r α= tan y x α=2.同角三角函数的基本关系式：①平方关系：22sin cos 1αα+=②商的关系：sin tan cos ααα=cos cot sin ααα=3.诱导公式：sin(180)sin sin(180)sin sin(360)sin sin()sin sin(90)cos sin(90)cos sin(270)cos sin(270)cos αααααααααααααααα︒-=︒+=-︒-=--=-︒+=︒-=︒-=-︒+=-cos(180)cos cos(180)cos cos(360)cos cos()cos cos(90)sin cos(90)sin cos(270)sin cos(270)sin αααααααααααααααα︒-=-︒+=-︒-=-=︒+=-︒-=︒-=-︒+= 4.两角和与两角差的三角函数:sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=+=+-5.二倍角公式：2sin 22sin cos 2tan tan 21tan αααααα==- 2222cos 2cos sin 2cos 1 12sin ααααα=-=-=-降幂公式：21cos 2sin 2αα-= 21cos 2cos 2αα+=辅助角公式：sin cos )a b αααθ+=+tan baθ=6.正弦函数与余弦函数的图像及性质（周期性、增减性）：sin y x = 增区间2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ k Z ∈减区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k Z ∈cos y x = 增区间[]2,2k k πππ- k Z ∈减区间[]2,2k k πππ+ k Z ∈注意：在△ABC中，若1sin cos A A ≤+≤[]0,90A ∈︒︒若0sin cos 1A A ≤+≤，则[]90,135A ∈︒︒若1sin cos 0A A -≤+≤，则[]135,180A ∈︒︒7.函数sin()yA x ωθ=+的图像：①五点法作图②平移和交换：sin()y A x ωθ=+2T πω= ；tan()y x ωθ=+T πω=振幅：A 角速度：ω 初相：θ三．向量及其运算：1.向量的概念：既有大小又有方向的量。
苏教版高一数学期中复习题
苏教版高一数学期中复习题苏教版高一数学期中复习题涵盖了高中数学的基础知识和核心概念，以下是一些针对期中考试的复习要点和练习题，帮助学生巩固知识点。
# 第一部分：代数1. 集合与函数- 复习要点：- 集合的概念、表示法、运算（并集、交集、补集）- 函数的定义、性质（单调性、奇偶性、周期性）- 函数的图像和变换（平移、伸缩、对称）- 练习题：- 给定集合A={1, 2, 3}和B={2, 3, 4}，求A∪B，A∩B，以及A的补集。
- 判断函数f(x)=x^2是否具有奇偶性，并说明理由。
- 已知函数y=f(x)=3x-2，求其图像在y轴上的平移。
2. 指数与对数- 复习要点：- 指数函数的定义、性质、图像- 对数函数的定义、性质、图像- 指数与对数的运算法则- 练习题：- 计算2^8和log_2(256)的值。
- 解指数方程3^x = 27。
- 利用对数的换底公式计算log_5(125)。
3. 幂函数与多项式- 复习要点：- 幂函数的定义和性质- 多项式的定义、运算法则（加法、减法、乘法）- 多项式的因式分解- 练习题：- 判断函数f(x)=x^3是幂函数，并说明其性质。
- 将多项式x^3 - 3x^2 + 2x - 6进行因式分解。
# 第二部分：几何1. 平面几何- 复习要点：- 点、线、面的基本性质- 平行线的性质和判定- 相似三角形和全等三角形的判定- 练习题：- 证明如果两条直线平行，那么它们与第三条直线的交角相等。
- 给定两个相似三角形，求它们的边长比。
2. 空间几何- 复习要点：- 空间直线和平面的位置关系- 空间几何体的体积和表面积计算- 练习题：- 判断两条直线是否相交，并给出理由。
- 计算正方体的表面积和体积。
# 第三部分：解析几何1. 直线与圆- 复习要点：- 直线的斜率、方程（点斜式、斜截式、一般式）- 圆的标准方程和一般方程- 直线与圆的位置关系- 练习题：- 给定直线y=2x+3，求其斜率和截距。
高一数学期中考复习计划_高一数学学期教学工作总结
高一数学期中考复习计划_高一数学学期教学工作总结一、复习时间安排1. 复习时间：从期中考前一周开始，每天5个小时（早上3小时，下午2小时）。
2. 复习方法：早上进行基础知识的温故，下午进行练习题的解析和巩固。
二、复习内容1. 基础知识温故（1）复习高中数学的基础知识，包括数与式、三角恒等变换等。
（2）复习数学中的基本概念和定理，掌握其应用方法。
（3）复习数学中的常见题型，包括选择题、解答题等。
2. 练习题的解析和巩固（1）做期中考过的试题，找出自己的薄弱点，进行重点复习。
（2）做模拟试题，检验自己的掌握程度，找出需要加强的地方。
（3）做一些难度较高的题目，提高自己的解题能力和思维能力。
三、注意事项1. 复习时要保持良好的学习状态，避免干扰和分散注意力。
2. 复习时要进行自我评估，及时发现问题和纠正错误。
3. 复习时要注重总结和归纳，将知识点联系起来，形成完整的知识体系。
4. 复习时要有计划地进行，合理安排时间和任务。
5. 复习时要多做练习题，通过反复练习提高解题能力。
本学期，我所授教的高一数学课程已经结束。
在这个学期的教学中，我在教学设计、课堂教学和学生评价等方面做了一些努力，也取得了一些成绩。
以下是本学期高一数学教学工作的总结。
一、教学设计本学期，我以学生的学习兴趣和能力为出发点，设计了一系列的教学活动和任务。
我注重课堂教学与实际生活的联系，通过引入一些生活中的问题，使学生能够将数学知识应用到实际中去。
我还注重课堂教学与学习方法的结合，帮助学生培养良好的学习习惯和解题能力。
二、课堂教学在课堂教学中，我通过讲解、讨论和示范等方式，让学生能够理解和掌握数学知识。
我注重激发学生的学习兴趣和主动性，鼓励学生提问和思考，培养他们的独立解题能力。
我也注重培养学生的团队合作能力，通过小组活动和合作解题，促进学生的交流和合作。
三、学生评价在本学期的数学教学中，我积极倾听学生的意见和建议，并根据他们的需求进行调整和改进。
高一数学总复习题
高一数学总复习题# 高一数学总复习题## 一、函数与方程1. 函数的基本概念- 定义域与值域- 函数的单调性与奇偶性2. 一次函数与二次函数- 一次函数的图像与性质- 二次函数的图像与性质3. 指数函数与对数函数- 指数函数的定义与性质- 对数函数的定义与性质4. 方程的解法- 一元一次方程- 一元二次方程- 无理方程与分式方程## 二、不等式1. 不等式的基本性质- 不等式的基本运算规则- 不等式的性质2. 一元一次不等式的解法- 线性不等式的解集表示3. 一元二次不等式的解法- 判别式的应用- 一元二次不等式的解集4. 不等式组的解法- 线性不等式组的解集## 三、数列1. 数列的基本概念- 等差数列与等比数列的定义 - 数列的通项公式2. 等差数列的性质- 等差数列的求和公式3. 等比数列的性质- 等比数列的求和公式4. 数列的极限- 数列极限的概念## 四、三角函数1. 三角函数的定义- 正弦、余弦、正切的定义2. 三角函数的基本性质- 周期性、奇偶性3. 三角函数的图像- 正弦、余弦函数的图像4. 三角恒等变换- 基本的三角恒等式## 五、平面解析几何1. 直线的方程- 斜截式、点斜式、一般式2. 圆的方程- 圆的标准方程3. 直线与圆的位置关系- 切线、相切、相交4. 椭圆、双曲线、抛物线- 标准方程与性质## 六、立体几何1. 空间直线与平面的位置关系 - 平行、垂直2. 空间几何体的体积与表面积 - 长方体、圆柱、圆锥、球3. 向量在立体几何中的应用- 向量法解决立体几何问题## 七、概率与统计初步1. 概率的基本概念- 事件、概率的定义2. 概率的计算方法- 古典概型、条件概率3. 统计初步- 数据的收集与处理- 描述性统计## 八、综合应用题1. 函数与方程的综合应用- 函数的图像与方程的解2. 不等式与数列的综合应用- 不等式求解与数列求和3. 三角函数与解析几何的综合应用- 三角函数在解析几何中的应用4. 立体几何与向量的综合应用- 向量法解决立体几何问题通过上述复习题，可以全面地回顾高一数学的各个知识点，为进一步的学习打下坚实的基础。
高一数学期中复习题(3)
高一数学期中复习题（3）一、填空题：1、函数x y 2=图像关于x y =对称的函数是_2、函数212()log (log )f x x =的定义域是________________.3、函数)1(log )(221x x f -=的单调递增区间是_ _ .4、角α终边上有一点P cot 3α=-，0απ<<，则P 的坐标为5、A B C ∆中，已知cos cos sin sin A B A B >，则此三角形的形状是6、已知sin 5α=，则44sin cos αα-= 7、若1cot 2α=，则111sin 1cos αα+=+- 8、设2()lg()1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是9、若函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=411log 22x a ax y 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 10、给出下列命题，①存在一个角α，使得sin cos 0αα==；②存在一个锐角α，使得sin cos 1αα=<； ③存在一个锐角α，使得sin cos 1αα+<；④存在一个角α，使得3sin cos 2αα+=； ⑤如果,αβ都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>；⑥存在无数个角α，使得tan 0,cos 1αα==-.其中正确的命题是二、选择题：11、已知函数()23f x x =+，则函数1(1)fx -+的反函数是 ( ) A 、52x y -= B 、52x y += C 、25y x =+ D 、22y x =+12、下列函数中，同时满足：有反函数、是奇函数、定义域和值域相同的函数是（ ）A 、2x x e ey -+= B 、1lg 1xy x -=+ C 、3y x =- D 、y x =13m =，条件乙：sin cos 22ααm +=，则甲是乙的（ ）条件A 、充分不必要B 、必要不充分C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件三、解答题：14、化简：sin(3)cos(4)tan()sin(2)cos(5)tan()παπαααπαππα---++---+15、已知25log (22)0x x +-=，5512log (2)log 02x y +-+=，求y 的值.16、已知3sin()45πα+=，344ππα<<，求cos α.17、已知函数11()2()21x f x a =-+（0a >且1a ≠） （1）求1()f x -；（2）判断1()f x -的奇偶性；（3）解不等式1()1f x ->。
湖北省华中师范大学第一附属中学2021-2022学年高一下学期期中复习(新定义专题)数学试题
2021-2022高一下学期数学期中复习（新定义专题）一、选择题函数的新定义1．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可以应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L .E .J .Brouwer ），简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，如果存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A ．()sin f x x x=+B ．()23f x x x =--C ．()221,12,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．()1f x x x=-2．高斯是世界最具盛名的数学家之一，一生成就极为丰硕，以他们名字“高斯”命名的成果有110个之多，属数学家之最，其中有“高斯函数”的定义为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数，例如[-2.9]=-3，[2.6]=2.已知函数f (x )=sin|x |+|sin x |，函数g (x )=[f (x )]，则（）A ．g (x )的值域是{0，1，2}B ．g (x )是周期函数C ．g (x )的是偶函数D ．h (x )=π·g (x )-2x 只有一个零点7．已知函数()f x ，若在其定义域内存在实数x 满足()()f x f x -=-，则称函数()f x 为“局部奇函数”，若函数()423x xf x m =-⋅-是定义在R 上的“局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（）A．⎡⎤⎣⎦B ．[)2,-+∞C．(-∞D．⎡-⎣8．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”()1,0,R x Q y f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为A ．函数()f x 是偶函数B ．1x ∀,2R xC Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C ．任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形9．如果定义在R 上的奇函数()y f x =，对任意两个不相等的实数1x ，2x ，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()y f x =为“H 函数”.下列函数为“H 函数”的是（）A ．()sin f x x=B ．()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()33f x x x=-D ．()f x x x=向量的新定义3．定义：a ，b 两个向量的叉乘a b ⨯的模sin ,a b a b a b ⨯=⋅⋅ .（）A ．若平行四边形ABCD 的面积为4，则4AB AD ⨯= B ．在正ABC 中，若()AD AB AC AB AC =⨯+，则33AD BC =C．若a b ⨯= 1a b ⋅=，则2a b +的最小值为D ．若1a b ⨯= ，2b c ⨯= ，且b为单位向量，则a c ⨯的值可能为2+4．定义两个非零平面向量的一种新运算*sin ,a b a b a b =⋅⋅<> ，其中,a b <> 表示a ，b的夹角，则对于两个非零平面向量a ，b，下列结论一定成立的有（）A ．a 在b方向上的投影向量为sin ,b a a b b<>⋅B ．()()2222*a b a ba b+⋅=⋅ C ．若()()*a b a bλλ=⋅D ．若*0a b =，则a 与平行b5．设1234A A A A 、、、是平面直角坐标系中相异的四点，若1312()A A A A λλ=∈R ，1412()A A A A μμ=∈R，且112λμ+=，则称34,A A 调和分割12,A A ，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是（）A ．A 、B 、C 、D 四点共线B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上6．定义向量的外积：a b ⨯叫做向量a 与b 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：（1）()a a b ⊥⨯ ，()b a b ⊥⨯ ，且a ､b 和a b ⨯ 构成右手系(三个向量的方向依次与拇指､食指､中指的指向一致)；（2）a b ⨯的模sin ,a b a b a b⨯=⋅⋅(a b ，表示向量a ､b的夹角).如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，有以下四个结论中，不正确的有（）A ．1AB AC ⨯与1BD 方向相反B ．AB AC BC AB⨯=⨯C ．6||BC AC ⨯与正方体表面积的数值相等D ．1()AB AB CB ⨯⋅与正方体体积的数值相等二、非选择题（向量和函数综合应用新定义）10．设O 为坐标原点，定义非零向量(,)OM a b = 的“相伴函数”为()sin cos ()f x a x b x x R =+∈，(,)OM a b =称为函数()sin cos f x a x b x =+的“相伴向量”.(1)设函数()2sin cos 36g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求函数()g x 的相伴向量OM ．(2)记向量ON =的相伴函数为()f x ，求当8()5f x =且,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，sin x 的值；(3)已知(2,3)A -，(2,6)B ，(OT = 为()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的相伴向量，()23x x h πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．请问在()y x ϕ=的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥．若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．11．英国数学家泰勒发现了如下公式：357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，其中!1234n n =⨯⨯⨯⨯⨯L ，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin ,sin 3!x x x x x <>-，35sin ,3!5!x x x x <-+ .(1)证明：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 12x x >；(2)设()sin f x m x =，若区间[],a b 满足当()f x 定义域为[],a b 时，值域也为[],a b ，则称为()f x 的“和谐区间”.（i ）1m =时，()f x 是否存在“和谐区间”？若存在，求出()f x 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（ii ）2m =-时，()f x 是否存在“和谐区间”？若存在，求出()f x 的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.12．将所有平面向量组成的集合记作2R ，f 是从2R 到2R 的对应关系，记作()y f x =或()()1212,,y y f x x =，其中1x 、2x 、1y 、2y 都是实数，定义对应关系f 的模为：在1x = 的条件下y的最大值记作f ，若存在非零向量2x R ∈ ，及实数λ使得()f x x λ= ，则称λ为f 的一个特殊值；（1）若()12121,,2f x x x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求f ；（2）如果()()121212,,f x x x x x x =+-，计算f 的特征值，并求相应的x；（3）若()()1211221122,,f x x a x a x b x b x =++，要使f 有唯一的特征值，实数1a 、2a 、1b 、2b 应满足什么条件？试找出一个对应关系f ，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值λ，②f λ=，并验证f 满足这两个条件.13．在平行四边形OABC 中，过点C 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若OM xOA = ，ON yOB =；（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）定义函数()()11F x f x =-（01x <≤），点列()(),i i i P x F x （1,2,,i n = ，2n ≥）在函数()y F x =的图像上，且数列{}n x 是以1为首项，0.5为公比的等比数列，O 为原点，令12n OP OP OP OP =+++，是否存在点()1,Q m ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出Q 点的坐标，若不存在，说明理由；（3）设函数()G x 为R 上的偶函数，当[]0,1x ∈时，()()G x f x =，又函数()G x 的图像关于直线1x =对称，当方程()12G x ax =+在[)2,21x k k ∈+（k ∈N ）上有两个不同的实数解时，求实数a 的取值范围；14．若函数()f x 定义域为D ，且同时满足：①x D ∀∈，1()()f x f x=；②()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()f x 是“有趣的”．对于函数1()ln()n n n f x x x=+，其中*n N ∈．(1)判断1()f x 、2()f x 是否是“有趣的”，并写出它们的单调区间；(2)设0a >，若存在[0,]2πθ∈，使得不等式3333(sin cos )[(sin cos )]f f a θθθθ+≥+成立，求实数a 的取值范围．15．定义域为[],a b 的函数()y f x =的图象的两个端点为A ，B ，(),M x y 是()f x 图象上任意一点，其中()1x a b λλ=+-其中[]0,1λ∈，向量(1)ON OA OB λλ=+-（O 是坐标原点），若不等式MN k ≤ 恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上“k 阶线性近似”.若函数2y x x=-在[]1,2上“k 阶线性近似”，则实数k 的最小值为___________.16．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”.(1)求证：对任意正常数T ，2()f x x =都不是“T 同比不减函数”；(2)若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围.17．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[],n m 内是单调增函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域是[]2,2m n ，则称[],n m 是该函数的“翻倍区间”．(1)证明：[]1,2是函数()2xf x =的一个“翻倍区间”；(2)判断函数()3g x x =是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由；(3)已知函数()31x h x x a-=+有“翻倍区间”[],m n ，求实数a 的取值范围．18．已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量()OM a b =，为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM的伴随函数.(1)设函数()π))g x x x =---，试求()g x 的伴随向量OM ；(2)记向量(ON = 的伴随函数为()f x ，求当()85f x =且ππ36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时cos x 的值；(3)由（1）中函数()g x 的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到()h x 的图象，已知()23A -，，()26B ，，问在()y h x =的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.19．对于定义在区间[],m n 上的两个函数()f x 和()g x ，如果对任意的[],x m n ∈，均有不等式()()1f x g x -≤成立，则称函数()f x 与()g x 在[],m n 上是“友好”的，否则称为“不友好”的．（1）若()f x x =，()2g x x x =-，则()f x 与()g x 在区间[]1,2上是否“友好”；（2）现在有两个函数()()log 3a f x x a =-与()()1log 0,1ag x a a x a=>≠-，给定区间[]2,3a a ++．①若()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上都有意义，求a 的取值范围；②讨论函数()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是否“友好”．20．若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使()()124f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.(1)判断函数()2sin g x x =是否为“依赖函数”，并说明理由；(2)若函数()2xf x =在定义域[],(0)m n m >上为“依赖函数”，求mn 的取值范围；(3)已知函数()()2()3h x x a a =-≥在定义域[]3,4上为“依赖函数”，若存在实数：[]3,4x ∈，使得对任意的R t ∈，不等式()()24h x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最大值.期中复习新定义专题参考答案1．ABCD【分析】根据已知定义，将问题转化为方程()f x x =有解，然后逐项进行求解并判断即可.【解析】根据定义可知：若()f x 有不动点，则()f x x =有解.A ．令sin x x x +=，所以sin 0x =，所以,x k k Z π=∈，故()f x 是“不动点”函数；B ．令23x x x --=，所以3x =或1x =-，所以()f x 是“不动点”函数；C ．当1x ≤时，令221x x -=，所以12x =-或1x =，所以()f x 是“不动点”函数；D ．令1x x x -=，所以2x =±，所以()f x 是“不动点”函数.故选：ABCD.2．ACD【分析】结合正弦函数的图象变换性质分析函数()f x 的图象，据此依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解析】解：根据题意，()sin |||sin |f x x x =+，其定义域为R ，有()()f x f x -=，则函数()f x 为偶函数，对于0x >，当22k x k πππ<<+时，()2sin f x x =，当222k x k ππππ+<<+时，()0f x =，又由()f x 为偶函数，而()[()]g x f x =，则()f x 、()g x 的图象如图，据此依次分析选项：对于A ，易得()f x 的值域为[0，2]，则()[()]g x f x =的值域为{0，1，2}，A 正确；对于B ，sin ||x 不是周期函数，|sin |x 为周期函数，则()f x 不是周期函数，函数()g x 也不是周期函数，B 错误；对于C ，()f x 为偶函数，则()[()][()]()g x f x f x g x -=-==，函数()g x 为偶函数，C 正确；对于D ，函数()()2h x g x x π=⋅-的零点个数就是函数2y x π=与函数()g x 的交点的个数，设2()h x x π=，当0x =时，(0)0h =，当2x π=时，()12h π=，则2y x π=与()h x 只有(0,0)的1个交点，即()()2h x g x xπ=⋅-只有一个零点，D 正确，故选：ACD ．3．B【分析】将问题转化为()()2222280x xx x m --+-+-=有解，利用换元法，令222x x t -=+≥，进一步将问题转化为8m t t =-在2t ≥时有解，根据82t t-≥-可得m 范围.【解析】根据“局部奇函数”定义知：()()f x f x -=-有解，即方程()423423x x x xm m ---⋅-=--⋅-有解，则()()()244226222280x x x x x x x x m m ----+-⋅+-=+-+-=有解；设22x x t -=+，则2t ≥（当且仅当0x =时取等号），方程等价于280t mt --=在2t ≥时有解，8m t t∴=-在2t ≥时有解；8y t t =-在[)2,+∞上单调递增，82t t∴-≥-，2m ∴≥-，即实数m 的取值范围为[)2,-+∞.故选：B.4．ACD根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可．【解析】对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，()()120f x f x +=，故选项B 错误；对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A的纵坐标为1矛盾，故不成立；②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．综上，不存在三个点()()11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．5．BD【分析】对新定义进行变形得出函数为增函数，然后根据新定义检验各选项可得．【解析】根据题意，对于任意的不相等实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)＞x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，则有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数，则“H 函数”为奇函数且在R 上为增函数.对于A ，f (x )＝sin x 为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B ，f (－x )＝3－x －3x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数，由指数函数性质可得f (x )在R 上单调递增，符合题意；对于C ，f (x )＝x 3－3x 为奇函数，(()00f f f===，()f x 在R 上不是增函数，不符合题意；对于D ，f (x )＝x |x |＝22,0,,0,x x x x ⎧≥⎨-<⎩为奇函数且在R 上为增函数，符合题意，故选：BD.6．ACD【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的运算法则，结合向量的新定义，逐项判定，即可求解.【解析】若平行四边形ABCD 的面积为4，则sin 4AB AD AB AD BAD ⨯=⨯∠=，所以A 正确；设正ABC 的边BC 的中点为E ，则2AB AC AE +=，则2AD BC AE = ，故3322AD BCBC==，所以B 不正确；由a b ⨯= 1a b ⋅=，得tan ,a b = ,3a b π=r r ，则2a b ⋅= ，可得222244412a b a b +=++≥= ，当且仅当22a b == 时，等号成立，故2a b +的最小值为C 正确；若1a b ⨯= ，2b c ⨯= ，且b为单位向量，则当a =,4a b π= ，4c = ，,6b c π= 时，,a c 可以等于56412πππ+=，此时5sin 2212a c π==⨯+ .所以D 正确.故选：ACD 7．BD【分析】根据新定义运算，结合向量数量积的运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【解析】对于A 选项，a 在b方向上的投影向量为cos ,b a a b b<>⋅，A 错误.对于B 选项，()()2222222222sin ,c ,*os a b a ba b a b a b a b a b +⋅=⋅⋅+⋅⋅=⋅，B 正确.对于C 选项，由于()()a b a b λλ⋅=⋅，而()*a b a b ⋅≠ ，所以C 错误.对于D 选项，若*0a b =，则sin ,0a b <>= ，所以a,b 0<>= 或,a b π<>= ，则a 与平行b ，D 正确.故选：BD 8．AD【分析】根据题设条件可先判断出1A 、2A 、3A 、4A 四点共线，从而判断出选项A ，然后可设()0,0A 、()10B ,、(),0C c 、(),0D d ，结合题设条件可得112c d+=，然后对各选项一一判断即可.【解析】∵1312()A A A A λλ=∈R ，1412()A A A A μμ=∈R∴1312//A A A A ，1412//A A A A ∴1A 、2A 、3A 、4A 四点共线∵平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ∴A 、B 、C 、D 四点共线，故A 正确；由题意可设()0,0A 、()10B ,、(),0C c 、(),0D d ，则()(),01,0c λ=，()(),01,0d μ=.∴c λ=，d μ=∵112λμ+=∴112c d+=对于B ，若D 是线段AB 的中点，则12d =，代入到112c d+=，c 不存在，故B 错误；对于C ，若C 、D 同时在线段AB 上，则01c ≤≤，01d ≤≤，代入到112c d+=，可得1c d ==，此时C 、D 重合，与题意不符，故C 错误；对于D ，若C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则1c >，1d >，所以112c d +<，与112c d+=矛盾，故C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确.故选：AD.9．ABD【分析】由向量的外积的性质逐个分析判断即可【解析】A 选项，根据向量外积的第一个性质可知1AB AC ⨯与1BD 的方向相同，故A 错，B 选项，根据向量外积的第一个性质可知AB AC ⨯ 与BC AB ⨯的方向相反，不可能相等，故B 错，C 选项，根据向量外积的第二个性质可知正方形ABCD 的面积为sin 4BC AC BC AC π=⨯⨯⨯ ，则6||BC AC ⨯ 与正方体表面积的数值相等，故C 对，D 选项，1AB AB ⨯ 与CB的方向相反，则1()0AB AB CB ⨯⋅< ，故D 错，故选：ABD.10．(1)12OM ⎛=- ⎝⎭(3)存在，(0,2)P【分析】（1）先化简函数解析式，再由定义可得答案；（2）由定义得()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，再由已知得4sin 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭及3cos 35x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最后利用正弦的两角差可求解；（3）根据定义得2m =-，再化简()ϕx ，设1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用向量的数量积建立方程可求解.(1)1()2sin cos 36sin 22g x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()g x的相伴向量12OM ⎛=- ⎝⎭.(2)向量ON =的相伴函数为()sin f x x x =，8()sin cos 2sin 35f x x x x π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭ ，4sin 35x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ，0,32x ππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，3cos 35x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.14sin sin sin cos 33232310x x x x ππππ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.(3)由(OT =为1()sin sin cos 622h x m x m x m x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的相伴向量知：2m =-.所以()2sin 2sin 2cos 23236222x x x x x h ππππϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.设1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2,3)A - ，(2,6)B ，12,2cos 32AP x x ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭，12,2cos 62BP x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又AP BP ⊥ ，0AP BP ∴⋅= ，11(2)(2)2cos 32cos 6022x x x x ⎛⎫⎛⎫∴+-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.221144cos 18cos 18022x x x -+-+=，2219252cos (*)224x x ⎛⎫∴-=- ⎝⎭.122cos22x -≤≤ ，131952cos 2222x ∴-≤-≤-，225191692cos 4224x ⎛⎫∴≤-≤⎪⎝⎭.又2252544x -≤，∴当且仅当0x =时，2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2254x -同时等于254，这时（*）式成立．∴在()y h x =图像上存在点(0,2)P ，使得AP BP ⊥.11．(1)证明见解析(2)（i ）()f x 不存在“和谐区间”，理由见解析（ii ）存在，()f x 有唯一的“和谐区间”[]22-,【分析】（1）利用3sin 3!x x x >-来证得结论成立.（2）（i ）通过证明方程sin x x =只有一个实根来判断出此时()f x 不存在“和谐区间”.（ii ）对,a b 的取值进行分类讨论，结合()f x 的单调性以及（1）的结论求得()f x 唯一的“和谐区间”.(1)由已知当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，3sin 3!x x x >-，得222πsin π1211166242x x x ⎛⎫⎪⎝⎭>->-=->，所以当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 12x x >.(2)（i ）1m =时，假设存在，则由()11f x -≤≤知11a b -≤<≤，注意到π12<，故[]ππ,,22a b ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[],a b 单调递增，于是()()f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即,a b 是方程sin x x =的两个不等实根，易知π2x =±不是方程的根，由已知，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin x x <，令x t =-，则有,02πt ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()sin t t -<-，即sin t t >，故方程sin x x =只有一个实根0，故()f x 不存在“和谐区间”.（ii ）2m =-时，假设存在，则由()22f x -≤≤知22,a b -≤<≤若,0a b ≥，则由[][),0,πa b ⊆，知()0f x ≤，与值域是[][),0,πa b ⊆矛盾，故不存在“和谐区间”，同理，,0a b ≤时，也不存在，下面讨论0a b ≤≤，若π2b ≥，则[]π0,,2a b ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，故()f x 最小值为2-，于是2a =-，所以[]ππ,,22a b ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦，所以()f x 最大值为2，故2b =，此时()f x 的定义域为[]22-,，值域为[]22-,，符合题意.若π2b <，当π2a ≤-时，同理可得2,2a b =-=，舍去，当π2a >-时，()f x 在[],a b 上单调递减，所以2sin 2sin a bb a =-⎧⎨=-⎩，于是()2sin sin a b a b +=-+，若b a >-即0a b +>，则()sin sin b a >-，故()sin sin 0,2sin sin 0b a a b +>-+<，与()2sin sin a b a b +=-+矛盾；若b a <-，同理，矛盾，所以=-b a ，即sin 2bb =，由（1）知当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 2x x >，因为π0,2b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以0b =，从而，0a =，从而a b =，矛盾，综上所述，()f x 有唯一的“和谐区间”[]22-,.【点睛】对于“新定义”的题目，关键是要运用新定义的知识以及原有的数学知识来进行求解.本题有两个“新定义”，一个是泰勒发现的公式，另一个是“和谐区间”.泰勒发现的公式可以直接用于证明，“和谐区间”可转化为函数的单调性来求解.12．(1)1f =；(2)当λ=,)1,1x m=;当λ=,()1x m =-.其中m R ∈且0m ≠；(3)()2122140a b a b -+=,证明见解析【分析】(1)由新定义得2222121214y y x x +=+,再利用22121x x +=得22121y y +≤即可.(2)由特征值的定义可得121122x x x x x x λλ+=⎧⎨-=⎩,由此可得f 的特征值,及相应的x(3)解方程组1122111222a x a x x b x b x x λλ+=⎧⎨+=⎩,再利用平行向量的方法求解证明即可.【解析】(1)由于此时2222121214y y x x +=+,又因为是在22121x x +=的条件下,有22212213144y y x +=+≤,当21x =±时取最大值,所以此时有1f =;(2)由()()()12121212,,,f x x x x x x x x λ=+-=,可得：121122x x x x x x λλ+=⎧⎨-=⎩,解此方程组可得：()()111λλ-+=,从而λ=当λ=,解方程组121122x x x x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩,此时这两个方程是同一个方程,所以此时方程有无穷多个解,为)1,1x m= (写出一个即可),其中m R ∈且0m ≠.当λ=,同理可得,相应的()1x m =-(写出一个即可),其中m R ∈且0m ≠(3)解方程组1122111222a x a x x b x b x x λλ+=⎧⎨+=⎩,可得()()111222,,0x a b x a b λλ-+-=从而向量()11,a b λ-与()22,a b λ-平行,从而有1a 、2a 、1b 、2b 应满足：()2122140a b a b -+=.当()f x λλ=时,f 有唯一的特征值,且f λ=.具体证明为：由f 的定义可知：()()1212,,f x x x x λ=,所以λ为特征值.此时2112,0,0,b a a b λλ====满足：()2122140a b a b -+=,所以有唯一的特征值.在22121x x +=的条件下()()22212x x λλλ+=,从而有f λ=.【点睛】本题主要考查了新定义的内容,需要根据新定义的方法列出对应的关系式,再化简求解出对应的参数满足的条件进行分析.属于难题.13．（1）1x y x =+；（2）存在，111,2n Q -⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）()1,041k ⎡⎫-⎪⎢⎪+⎣⎭；【分析】（1）利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得x 与y 的关系；（2）由题意求出()F x 解析式，写出向量OP，利用向量0OP OQ ⋅= 列方程求出m 的值；（3）利用对称性和函数的奇偶性求出函数()G x 的解析式，根据方程1()2G x ax =+在[2x k ∈，22)k +上有两个不同的实数解时，转化为两个函数在同一坐标系下有两个交点，从而求出实数a 的取值范围．【解析】（1）利用平行四边形对边平行且相等以及平行线分线段成比例可得：||||||||||||OM OM ON OA CB NB == ，又由OM xOA = ，ON yOB =；1y x y ∴=-，解得1x y x=+，y ∴关于x 的函数解析式()1xy f x x ==+；（2）当(0x ∈，1]时，111()11()x F x f x x x+=-=-=，(i i P x ∴，1)i x ，又1110.5()2n n n x --==，∴112n n x -=，∴111(1()22n OP -=+++，1122)n -+++ 11(22n -=-，21)n-；又(1,)OQ m = ，且OP OQ ⊥ ，则0OP OQ ⋅=，112(21)02n n m -∴-+-=，2n ，121n m ∴=--，故存在1(1,)21n Q --满足条件；（3）当[0x ∈，1]时，()()1xG x f x x ==+，又由条件得(2)()G x G x -=，(2)()()G x G x G x ∴+=-=．当[1x ∈，2]时，021x - ，22(2)213x xG x x x--∴-==-+-，(2)()G x G x -= ，2()3xG x x-∴=-，从而,011()2,123xx x G x x x x ⎧⎪⎪+=⎨-⎪<⎪-⎩；由(2)()G x G x +=得2,[2,21]21()22,(21,22]23x kx k k x k G x x k x k k x k -⎧∈+⎪⎪-+=⎨--⎪∈++⎪--⎩．设1()y G x =，212y ax =+，在同一直角坐标系中作出两函数的图象，当函数212y ax =+图象经过点(22,0)k +时，14(1)a k =-+．由图象可知，当1[4(1)a k ∈-+，0)时，1y 与2y 的图象在[2x k ∈，22]()k k N +∈有两个不同交点，因此方程1()2G x ax =+在[2x k ∈，22]k +上有两个不同的解；∴实数a 的取值范围是1[,0)4(1)k -+．【点睛】本题考查平面向量与函数、数列问题知识的交会，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题．14．(1)1()f x 不是“有趣的”，单调递增区间为()∞1,+，单调递减区间为()0,1；2()f x 是“有趣的”，单调递增区间为(1,0)-，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞-，(0,1)(2)112≤≤a 【分析】(1)根据函数的新定义判断即可，结合复合函数的单调性可得函数的单调区间.(2)由题意331()()f x f x =，得出3()f x 的单调区间，分析出33sin cos θθ+，sin cos θθ+的范围，从而可得存在[0,]2πθ∈，使得33331sin cos (sin cos )sin cos a θθθθθθ+≤+≤+成立，然后分离参数七届即可.(1)11()ln(f x x x =+的定义域满足10x x+>，解得0x >所以1()f x 的定义域为()0,∞+，不具有奇偶性，所以1()f x 不是“有趣的”.1t x x=+在()0,1上单调递减，在()∞1,+上单调递增.所以1()f x 单调递增区间为()∞1,+，单调递减区间为()0,12221()ln()f x x x =+的定义域为{}|0x R x ∈≠，22211()ln()f x x x =+，满足221()()f x f x =又22221()ln()()f x x f x x -=+=，则2()f x 为偶函数.所以2()f x 是“有趣的”221t x x =+在(1,0)-，(1,)+∞上单调递增，在(,1)-∞-，(0,1)上单调递减所以2()f x 单调递增区间为(1,0)-，(1,)+∞，单调递减区间为(,1)-∞-，(0,1)(2)3331()ln()f x x x =+的定义域满足3310x x +>，解得解得0x >所以3()f x 的定义域为()0,∞+，则331()()f x f x=，且3()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.当[0,]2πθ∈时，[]sin ,cos 0,1θθ∈(sin ,cos θθ不可同时取得0或1)则3322220sin cos sin sin cos cos sin cos 1θθθθθθθθ<+=⋅+⋅<+=sin cos 1,4πθθθ⎛⎫⎡+=+∈ ⎪⎣⎝⎭由(sin cos )0a θθ+>，则0a >存在[0,]2πθ∈，使得3333(sin cos )[(sin cos )]f f a θθθθ+≥+成立即存在[0,]2πθ∈，使得33331sin cos (sin cos )sin cos a θθθθθθ+≤+≤+成立即存在[0,]2πθ∈，使得()()3333sin cos 1sin cos sin cos sin cos a θθθθθθθθ+≤≤+++成立.即存在[0,]2πθ∈，使得()()11sin cos 1sin cos 12sin cos a θθθθθθ-≤≤-+成立.设11sin cos sin 20,22t θθθ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦则原命题等价于，存在10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()211111221t a t t t t -≤≤=-+-++成立.令()1h t t =-，211()[0,]212g t t t t =∈-++，.2921[1,]8t t -++∈，18[,1](21)(1)9t t ∴∈+-，11[,1]2t -∈且min 11()()22h t h ==，max ()1g t =，112a ∴≤≤.15．3-【分析】由题设知：M ，N 横坐标相等且max MN k ≤ ，N 在23y x =-上，即有23N x xM =+-，结合x 的范围及基本不等式，求MN 的最大值即可得k 的最小值.【解析】由题意：M ，N 横坐标相等，MN k ≤恒成立，即max MN k ≤ ，由函数解析式知：(1,1)A -，(2,1)B ，且N 在AB ：23y x =-上，∴22(23)3x x x x N x M ⎛⎫=---=+- ⎪⎝⎭，∵[]1,2x ∈，∴2x x⎡⎤+∈⎣⎦，∴233x MN x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭∴3k ≥-故答案为：3-【点睛】关键点点睛：由题设，向量的线性关系及M 点横坐标与A 、B 横坐标的数量关系易得M ，N 横坐标相等且N 、A 、B 共线，则MN 为M ，N 纵坐标之差的绝对值.16．(1)详见解析；(2)[)π+∞【分析】（1）利用T 同比不减函数的定义证明；（2）根据T 同比不减函数的定义，由4k x π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立求解.(1)因为2()f x x =，所以()()22()f x T f x x T x +-=+-，()222xT T T x T =+=+，因为2x T +与0的大小不确定，所以对任意正常数T ，2()f x x =都不是“T 同比不减函数”；(2)因为函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，所以()sin sin 22()k x x kx f x x T f x ππ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭-⎝⎭+-=，24k x ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，恒成立，即4k x ππ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭恒成立，因为1sin 14x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以k ≥所以k 的取值范围是22[)π+∞17．(1)证明见解析(2)存在，][[,,⎡⎣(3)133(,()322--⋃+【分析】（1）根据新定义，求()2xf x =在[]1,2上的值域即可得证；（2）根据“翻倍区间”的定义，得到函数需满足的方程，求解方程组即可得解；（3）由题意转化为()31x h x x a-=+单调递增且()2,()2h m m h n n ==，再转化为一元二次方程根的分布问题，列出不等式求解即可.(1)证明：由函数()2xf x =在[]1,2上单调增函数知，()f x 的值域为[]2,4，故[]1,2是函数()2xf x =的一个“翻倍区间”；(2)假设()g x 存在一个“翻倍区间”[],m n ，由函数()g x 是R 上的单调增函数，有()()332,2,g m m m g n n n ⎧==⎪⎨==⎪⎩解得m =n =由m n <知所有“翻倍区间”为][[,,⎡⎣；(3)由函数()h x 有“翻倍区间”[],m n 知，()h x 为[],m n 上的单调增函数，而()()33131313x a a x a h x x a x a x a+-----===++++，可得310a --<，解得13a >-，由②知()()312,312,m h m m m a n h n n n a -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩可得m ，n 是方程312x x x a -=+的两个根，等价于方程312x x x a-=+在(,)a -∞-上有两个不等实根或者在(,)a -+∞上有两个不等实根，即方程()222310x a x +-+=在(,)a -∞-上有两个不等实根或者在(,)a -+∞上有两个不等实根，则有()()22Δ(23)803242()2310a a a a a a ⎧=-->⎪-⎪<-⎨⎪-+-⨯-+>⎪⎩或()()22Δ(23)803242()2310a a a a a a ⎧=-->⎪-⎪>-⎨⎪-+-⨯-+>⎪⎩，解得1332a -<<32a >+综上，实数a的取值范围为133(,()322-⋃+∞．18．(1)()OM =(3)存在点()0,2P ，使得AP BP ⊥ .【分析】（1）利用诱导公式求出()cos g x x x =+，从而得到()g x 的伴随向量；（2）根据向量得到()f x ，利用利用凑角法得到cos x ；（3）先求出()h x ，再设出P 点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，根据等式左右两边的取值范围，得到当且仅当0x =时，2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2254x -同时等于254，此时()0,2P .(1)()3π)sin(π)cos 2g x x x x x =---=+，故()OM = ；(2)由题意得：()π8sin 2sin 35f x x x x ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，故π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于ππ36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以ππ23x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭0，，所以π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππππππcos cos cos cos sin sin 333333x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭314525⨯+=.(3)()πcos 2cos3g x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以()12cos 2h x x =，假设存在点1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得AP BP ⊥ ，则2211112,2cos 32,2cos 644cos 18cos 1802222AP BP x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-⋅--=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 即2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因为122cos 22x -≤≤，所以131952cos 2222x -≤-≤-，所以225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，又因为2252544x -≤，所以当且仅当0x =时，2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭和2254x -同时等于254，此时()0,2P ，故在函数()y h x =的图象上存在点()0,2P ，使得AP BP ⊥ .19．（1）是；（2）①(0,1)；②见解析【分析】（1）按照定义，只需判断()()2(1)11f x g x x -=--≤在区间[]1,2上是否恒成立；（2）①由题意解不等式组23020a a a a +->⎧⎨+->⎩即可；②假设存在实数a ，使得()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的，即()()22log (43)1a f x g x x ax a -=-+≤，即221log (43)1a x ax a -≤-+≤，只需求出函数22log (43)a y x ax a =-+在区间[]2,3a a ++上的最值，解不等式组即可.【解析】（1）由已知，()()222(1)1f x g x x x x -=-=--，因为[]1,2x ∈时，2(1)1[1,0]y x =--∈-，所以()()2(1)11f x g x x -=--≤恒成立，故()f x 与()g x 在区间[]1,2上是“友好”的.（2）①()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上都有意义，则必须满足23020a a a a +->⎧⎨+->⎩，解得1a <，又0a >且1a ≠，所以a 的取值范围为(0,1).②假设存在实数a ，使得()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的，则()()22log (43)1a f x g x x ax a -=-+≤，即221log (43)1a x ax a -≤-+≤，因为(0,1)a ∈，则2(0,2)a ∈，22a +>，所以[]2,3a a ++在2x a =的右侧，又复合函数的单调性可得22log (43)a y x ax a =-+在区间[]2,3a a ++上为减函数，从而max 2,log (44)a x a y a =+=-，min 3,log (96)a x a y a =+=-，所以log (44)1log (96)101a a a a a -≤⎧⎪-≥-⎨⎪<<⎩，解得9012a <≤，所以当9012a <≤时，()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的；当9112a <<时，()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“不友好”的.【点睛】本题考查函数的新定义问题，主要涉及到不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想、数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.20．(1)()2sin g x x =不是“㖡赖函数"，理由见解析；(2)()0,1mn ∈；(3)34-.【分析】（1）根据“依赖函数”的定义，由16g π⎛⎫= ⎪⎝⎭时不存在2x 使()24g x =，即可判断；（2）由题设可得2m n +=，进而有()2mn m m =-且01m <<，结合二次函数的性质求范围；（3）根据“依赖函数”的定义易得4a >，结合()h x 的区间单调性求得5a =，再将题设恒(能)成立转化为[]3,4x ∈上()max 84410(3)s x x+≤+，即可求s 的最大值.(1)对于函数()2sin g x x =的定义域R 内存在1,6x π=此时()24g x =无解，故()2sin g x x =不是“依赖函数".(2)因为()2x f x =在[],m n 上递增，故()()224m n f m f n ==，即2m n +=，由0n m >>，故20n m m =->>，得01m <<，从而()2mn m m =-在()0,1m ∈上单调递增，故()0,1mn ∈.(3)①若34a ≤≤，故()2()h x x a =-在[]3,4上最小值为0，此时不存在2x 使2()()4h a h x =，舍；②若4a >，故()2()h x x a =-在[]3,4上单调递减，从而()()344h h ⋅=，解得2a =（舍）或5a =，从而存在[]3,4x ∈，使得对任意的R t ∈有()22(5)4x t s t x -≥-+-+恒成立，即()2210210t xt x s x ++-++≥恒成立，由()22Δ410210x x s x ⎡⎤=--++≤⎣⎦，得()2410384s x x +≤+.由[]3,4x ∈，可得()844103s x x+≤+，又843y x x =+在[]3,4x ∈单调递减，故当3x =时，max 84337x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而()41037s +≤，解得34s ≤-，综上，实数s 的最大值为34-.【点睛】关键点点睛：第三问，根据二次函数的性质及“依赖函数”的定义求出参数a ，再将不等式转化为关于t 的一元二次不等式恒成立，判别式、参变分离法进一步化为[]3,4x ∈上()max 84410(3)s x x +≤+.。
高一数学总复习知识点总结
高一数学总复习知识点总结数学作为一门基础学科，对于高中学生来说是非常重要的一门学科之一。
在高一阶段，学生们将接触到许多重要而基础的数学知识点。
然而，对于许多学生来说，高一数学常常让人感到困惑和困扰。
因此，在本文中我将总结高一数学的一些重要知识点，希望对学生们的复习有所帮助。
一. 代数与函数1. 线性方程- 一元一次方程- 一元一次方程组- 图像法解方程2. 二次函数- 函数图像与性质- 二次函数的最值问题- 二次函数与因式分解3. 不等式- 一元一次不等式- 一元二次不等式- 绝对值不等式4. 幂函数与对数函数- 幂函数与指数函数性质 - 对数函数与指数函数性质 - 对数函数的应用5. 复数- 复数的定义与运算- 复数的共轭与模- 复数的指数与三角形式二. 几何与图形1. 直线与平面- 直线的性质与方程- 平面的性质与方程- 直线与平面的位置关系2. 二次曲线- 抛物线的性质与方程 - 椭圆的性质与方程- 双曲线的性质与方程3. 三角形- 三角形的性质- 三角形的面积公式- 三角形的相似与共面4. 向量与坐标- 向量的表示与运算- 坐标与平面几何- 向量与图形的应用5. 空间几何- 空间中的直线与平面 - 空间中的向量运算- 空间中的图形与体积三. 概率与统计1. 概率基础- 随机事件的概率- 多个事件的概率- 条件概率与独立性2. 排列与组合- 排列与组合的基本原理 - 排列与组合的计算公式- 排列与组合的应用3. 统计与抽样- 数据的收集与整理- 统计指标的计算与分析- 抽样调查与统计推断以上是高一数学中的一些重要知识点的总结。
通过对这些知识点的复习和掌握，学生可以在高一数学中取得良好的成绩，为后续的学习打下坚实的基础。
对于学生来说，不仅要了解这些知识点的具体内容，还应该注重灵活运用并加强问题解决能力。
在复习过程中，可以多做一些相关的习题和例题，进行巩固和加深理解。
同时，也可以找一些适合自己的学习方法和技巧，例如制定合理的学习计划，结合实际问题进行分析和解决，与同学和老师积极交流等。
高一数学讲义(期中复习)
期中复习一、选择题1、等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 3+a 17=10，则S 19= （ ） A ．55 B ．95 C ．100 D ．不能确定2、下列不等式中解集为实数集R 的是 （ ）A ．2440x x ++>B 0>C ．012≥+-x xD ．xx 111<- 3、有分别满足下列条件的两个三角形：①7,14,300===∠b a B ；②9,10,600===∠b a B ，那么下列判断正确的是 ( )A ．①②都只有一解B ．①②都有两解C ．①两解，②一解D ．①一解②两解 4、不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是 （ ） A ．{}10<≤x x B ．{}1,0-≠<x x x C ．{}11<<-x x D ．{}1,1-≠<x x x 5、已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为 （ ） A ．8 B ．6 C ．22 D ．236、不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（－∞，－2） B ．（－２，２） C ．]2,2(- D ．（－∞ ，－２）7、已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，且sin 2cos sin A B C =，则 （ ） A ．B =CB ．B ＞C C ．B ＜CD ．B ,C 的大小与A 的值有关8、在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C 等于 （ ）2A.3 2B.-3 1C.-3 1D.-49. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k 的值为 ( )A.4 B 11 C.2 D 1210、给出下列三个命题：（1）若tan A tan B >1，则△ABC 一定是钝角三角形； （2）若sin 2A ＋sin 2B ＝sin 2C ，则△ABC 一定是直角三角形；（3）若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )＝1，则△ABC 一定是等边三角形以上正确命题的个数有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题11．在等差数列｛a n ｝中，已知公差d =21，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 1+a 2+a 3+…+a 99+a 100=______________．12．设等比数列｛a n ｝共有3n 项，它的前2n 项的和为100，后2n 项之和为200，则该等比数列中间n项的和等于___________________．13．设1≥x ，则函数1)3)(2(+++=x x x y 的最小值是 ．14．在△ABC 2sin b A =，则B 等于_____________．15．等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项之和，且S 6＜S 7，S 7＞S 8，则①等差数列的公差d ＜0 ②S 9一定小于S 6③a 7是各项中最大的一项 ④S 7一定是S n 中的最大值其中正确的是_______________________（填入你认为正确的所有序号）16．在等差数列{}n a 中，公差,0>d 2008a 、2009a 是方程0532=--x x 的两个根，n S 是数列{}n a 的前n 的和，那么满足条件0<n S 的最大自然数=n .17.设三角形ABC 的BC 边上的高AD=BC ，c b a 、、分别表示角A 、B 、C 对应的三边，则bc c b +的取值范围是 ．.三、解答题18、若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221x x ，求不等式01522>-+-a x ax 的解集．19已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,142n n S a +=-,且12a = (Ⅰ) 求证:对任意n N *∈,12n n a a +-为常数C ,并求出这个常数C ; （Ⅱ）11+=n n n a a b 如果,求数列{b n }的前n 项的和20.已知向量(3sin 2,cos 2),(cos 2,cos 2)a x x b x x ==-.设ABC ∆的三边,,a b c 满足2b ac =，且边b 所对应的角为x ，若关于x 的方程12a b m ⋅+=有且仅有一个实数根，求m 的值.21、△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是a , b , c，且tan tan tan A B A B +=72c =，又△ABC的面积为ABC S ∆. 求（1）角C ；（2）a +b 的值．22、小华准备购买一台价值6000元的电脑，但现款不够，商场允许分期付款，但必须在一年内将款全部付清，商场提供了两种付款方案，供小华选择：(1) 采用方案1，每期应付款多少？付款总额是多少？（精确到元） (2) 采用方案2，每期应付款多少？付款总额是多少？（参考数据：100.1008.112=）。
高一期中必考数学知识点
高一期中必考数学知识点在高一学年期中考试中，数学是必考科目之一。
为了帮助同学们复习，本文将重点讨论高一期中必考的数学知识点，以及如何准备和应对考试。
一、函数与方程1. 函数的定义与性质：函数的定义、定义域、值域、奇偶性、单调性等。
2. 一次函数与二次函数：一次函数的表达式与性质、二次函数的顶点与对称轴等。
3. 线性方程组：线性方程组的解法、解的存在唯一性等。
二、平面几何1. 三角形与四边形：角的概念、三角形的分类、四边形的性质等。
2. 圆的性质：圆的概念、圆的要素、切线与弦的关系等。
3. 相似与全等：相似三角形的判定、相似比例等。
三、立体几何1. 空间几何图形：长方体、正方体、棱柱、棱锥、球等的性质与计算。
2. 体积与表面积：立体图形的体积与表面积计算、圆柱、圆锥等的体积计算等。
3. 空间向量与坐标：向量的运算、向量的坐标表示等。
四、概率与统计1. 随机事件与概率：随机事件的概念、事件的概率计算、事件间的关系等。
2. 统计与统计图表：频数、频率、平均数、中位数、直方图、折线图等。
五、导数与微分1. 导数的定义与性质：导数的定义、导数的几何意义、导数的四则运算等。
2. 函数的求导：常见函数的导数、复合函数的求导等。
3. 微分的应用：极值问题、最值问题、曲线的切线与法线等。
了解了以上的数学知识点，接下来是如何有效地准备和应对期中考试。
首先，制定复习计划是非常重要的。
合理规划每天的学习时间，将重点放在掌握不熟悉的知识点上，同时也要留出时间进行综合性的复习。
其次，做大量的练习题是巩固知识的有效方式。
通过做题，可以发现自己的薄弱环节，并及时进行巩固。
同时，多做一些考试模拟题和历年试题，有助于熟悉考试的出题风格和难度。
此外，积极参加学校组织的教师辅导课程和自习班，与同学们一起讨论问题，相互学习，互相促进。
最后，考前要保持良好的心态，充分休息和放松。
相信自己平时的努力会有所回报，保持信心和冷静，按部就班地答题。
高一数学期中复习知识点
高一数学期中复习知识点数学是一门令人又爱又恨的学科。
对于学生来说，高一是数学学科中的一个重要节点，也是一个重要的转折点。
在高一，学生将接触到更加抽象和复杂的数学概念和方法，需要建立起扎实的基础，为后续学习奠定坚实的基础。
本文将从几个常见的数学知识点出发，进行高一数学期中复习的总结，帮助学生回顾和巩固相关的知识。
一、代数代数是数学中一个非常重要的分支，也是高中数学的基础。
高一的代数内容主要涉及到一元二次方程、函数和不等式等。
在一元二次方程的学习中，需要学会求解一元二次方程的根，掌握配方法和公式法等不同的求解技巧。
在函数的学习中，需要掌握函数的概念及其基本性质，学会画出函数的图象，理解函数之间的各种关系。
而在不等式的学习中，需要了解不等式的性质和解不等式的方法。
二、几何几何是高中数学中的另一个重要模块。
在高一的几何学习中，主要包括平面几何和立体几何两个部分。
平面几何内容包括平行线、垂线、三角形、四边形等的性质和定理的学习。
立体几何内容包括空间中的点、线、面及其位置关系的研究。
在几何学习中，需要掌握各种定理的证明方法，培养几何思维和推理能力。
三、概率与统计概率与统计是高中数学中的一个实用模块。
在概率的学习中，需要了解事件和样本空间的概念，学会计算概率，并掌握概率的性质和计算方法。
在统计的学习中，需要了解统计数据的收集和整理方法，掌握描述统计和推断统计的相关知识。
四、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高中数学中的一个重要内容。
数列的学习中，需要了解数列的概念和性质，掌握等差数列和等比数列的求和公式，能够应用数列来解决实际问题。
数学归纳法的学习中，需要掌握数学归纳法的基本思想和步骤，能够运用数学归纳法证明各种数学命题。
五、三角函数三角函数是高中数学中一个较为复杂的模块。
在三角函数的学习中，需要掌握正弦、余弦和正切等三角函数的定义和性质，能够运用三角函数解决实际问题。
此外，还需要掌握三角函数的图像和周期性等重要概念。
高一数学期中考试复习(拔高版)_看图王
，则向量
aG
，
G b
夹角的余
弦值为 ( ) A． 5 5
B． 2 5 5
C． 1 5
第 1页（共 42页）
D． 4 5
7．（2021•山西一模）设向量
aG
，
G b
满足：
|
aG
|
G 1，|b |
2
，
aG<(aG
G b)
0
，则
aG
与
G b
的夹角
是( ) A． 30q
B． 60q
C． 90q
D．120q
JJJG 则 AF ( )
1
JJJG BC
JJJG ，DF
3
1
JJJG DC
，
2
A．
5
JJJG BD
9
JJJG AE
8
8
B．
5
JJJG BD
1
JJJG AE
8
2
C．
1
JJJG BD
3
JJJG AE
4
4
D．
JJJG BD
1
JJJG AE
4
12．（2020 秋•宁县校级期末）设 a ， b ， c 分别是 'ABC 的角 A ， B ， C 所对的边， sin2 A sin2 B sin Asin B sin2 C ，且满足 ab 4 ，则 'ABC 的面积为 ( )
JJJG
JJJG
JJJG
8．（2021•桃城区校级模拟）已知 AB (1, cosD) ，BC (2, 0) ，CD (2, 2sin D) ，若 A ，B ，
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高一期中考试总复习第一部分 三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()s i n s i n c o s c o s s i n s i n 22s i n c o s 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→= ()()2222222c o s c o s c o s s i n s i n c o s2c o s s i n 2c o s 112s i n t a n t a n 1+c o s 2t a n c o s 1t a n t a n 21c o s 2s i n 22t a n t a n21t a n 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-（1）下列各式中，值为12的是 A 、1515s i n c o sB 、221212c o s s i n ππ-C 、22251225tan .tan .-D（2）已知35s i n ()c o s c o s ()s i n αβααβα---=，那么2cos β的值为____ （3）110sin ______ 2. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），（1） 已知2ta n ()5αβ+=，1ta n ()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（2）已知02πβαπ<<<<，且129c o s ()βα-=-，223s in ()αβ-=，求c o s ()αβ+的值(2)三角函数名互化(切化弦)，（1）求值s i n 50(a n 10)（2）已知s i nc o s 21,t a n ()1c o s 23αααβα=-=--，求t a n (2)βα-的值(3)公式变形使用（t a n t a n αβ±()()t a n 1t a n t a n αβαβ=± 。
（1）已知A 、B 为锐角，且满足t a n t a n t a n t a n 1A B A B =++，则c o s ()A B +＝_____ (2)设A B C ∆中，t a n A t a a n A t a n B +，s inAc o sA ，则此三角形是____三角形(4)三角函数次数的降升(降幂公式：21c o s2c o s 2αα+=，21c o s2s i n 2αα-=与 升幂公式 21c o s 22c o sα+=，21c o s 22s i n αα-=)。
(1)若32(,)αππ∈为_____ （2）函数25f (x )s i n x c o s o s =x R)∈的单调递增区间为___________ (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。
如（1）化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+(6)常值变换主要指“1”的变换（221s i n c o s x x =+t a n s i n 42ππ=== 等）， 已知t a n 2α=，求22s i n s i n c o s 3c o s αααα+-(7)正余弦—s i n c o s s i n c o s x x xx ±、”的内存联系――“知一求二”，（1）若 s i n c o s x x t ±=，则s i nc o s x x =__ （2）若1(0,),s i n c o s 2απαα∈+=，求tan α的值。
8、辅助角公式中辅助角的确定：()s i n c o s i n a x x θ++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan baθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用。
如（1）若方程s i n o s x c =有实数解，则c 的取值范围是___________. （2）当函数23y c o s x s i n x =-取得最大值时，tanx 的值是______ （3）如果()()s i n 2c o s ()f x x x ϕϕ=+++是奇函数，则tan ϕ= 4、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值）。
（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2560x x -+=的两根，则求αβ+的值______（2）A B C ∆中，3s i n 4c o s 6,4s i n 3c o s 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______ （3）若02αβγπ≤<<<且0s i n s i n s i n αβγ++=，0c o s c o s c o s αβγ++=，求βα-的值课后练习题1：(1)已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4πα+)等于（ ）A.71B.7C.－ 71D.－7 (2) sin163°sin223°+sin253°sin313°等于 （ ）A.－21 B.21 C.－23 D.233：设cos （α－2β）=－91，sin （2α－β）=32，且2π＜α＜π，0＜β＜2π，求cos （α+β）.4：在△ABC 中，角A 、B 、C 满足4sin 22CA +-- cos2B=27,求角B 的度数.5． 已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值.6．已知x x x x f cos sin sin 3)(2+-=；(1) 求)625(πf 的值； (2) 设2341)2(),,0(-=∈απαf ，求sinα的值．7：已知（1）求x tan 的值；（2）求xx x sin )4cos(22cos ⋅+π的值．8设函数f(x)=2)0(sin sin cos 2cos sin 2πϕϕϕ<<-+x x x 在π=x 处取最小值. （1）求ϕ.的值;（2）在∆ABC 中,c b a ,,分别是角A,B,C 的对边,已知,2,1==b a23)(=A f ,求角C..第二部分 解三角形一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。
（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A ＝cos B ＝c a ，cos A ＝sin B ＝c b ，tan A ＝ba。
2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。
（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。
2cos 22sin =-xx（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。
3．三角形的面积公式：（1）∆S＝21ah a ＝21bh b ＝21ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）； （2）∆S ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：第1、已知三边求三角.第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。
2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+；（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6．求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图； （3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。
例1．在∆A B C 中，s i n c o s A A +=22，A C =2，3=AB ，求A tan 的值和∆A B C 的面积。
例2．在A B C ∆中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知222a b c b+，则C =( )A.2π B.4π C.23π D.34π例3．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形例4．A B C ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，c o s 2c o s 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值。
练习： 1.若△ABC 的三个内角满足s i n :s i n :s i n 5:11:13A B C =，则△ABC （ ）（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2.在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22a b c -，s i n i n C B ，则A=( )（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）01504. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2=a ，b=2，sinB+cosB=2，则角A 的大小为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π5. 在A B C ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角2B=A+C ，且1,A B Ca S ∆=则=（ ）A BC D ．26. 在A B C ∆中，若2c o s c o s s i n2CA B =，则A B C ∆是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．直角三角形7. 在A B C △中, 已知,2,4,3===c b a 则=⋅+⋅C b B c cos cos ( ) A 2B 3C 4D 58.若(a+b+c)(b+c －a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B （ ） A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°10、D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 （ ）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-aD ．)cos(sin cos βαβα-a11.在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且ca bC B +-=2cos cos ,则角B 的大小为 12.A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是__ ____三角形.13、在ΔABC 中，若S ΔABC =41(a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 14、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.15.在锐角A B C ∆中，1,2,B C B A ==则c o s A CA的值等于 ， AC 的取值范围为 .ABD Cα β17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足s i n c o s.cA a C = （I ）求角C 的大小；（II ）求)cos(sin 3C B A +-的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．18.在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且2s i n (2)s i n (2)s i n .a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）求s i n s i n B C +的最大值.19.在A B C ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c，已知222a c b -=，且s i n c o s 3c o s s i n ,A C A C = 求b20.在A B C ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为ab c 、、，且s i n s i n A B（I ）求A B +的值；（II ）若1ab -，求ab c 、、的值。