2018高考数学压轴卷山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)试卷

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精选2018届高三数学第二次12月联考试题理

山东省、湖北省部分重点中学2018届高三数学第二次（12月）联考试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（原创，容易）已知复数满足(1)3i z i -=-+，则在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】(1)3i z i -=-+321i z i i-+⇒==---,则2z i =-+.故选B 【考点】复数运算及几何意义.2．（原创，容易）已知全集{}{}2|560,12U x Z x x A x Z x =∈--<=∈-<≤，{}2,3,5B =，则()U A B =ð （）A ．{}2,3,5B ．{}3,5C ．{}2,3,4,5D ．{}3,4,5【答案】B【解析】{}{}0,1,2,3,4,5,0,1,2U A ==,则()U AB =ð{}3,5.【考点】二次不等式及集合运算.3.（原创，容易）在等差数列{}n a 中，7=14S ，则246a a a ++=（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】744=147142S a a ⇒=⇒=,则246436a a a a ++==.【考点】等差数列性质.4.（原创，容易）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．．．．【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥A BCD -，如左下图所示，则三棱锥A BCD -的表面积为A BCD S -=21422282⨯⨯⨯+⨯=+【考点】三视图还原及三棱锥的表面积.5.（原创，中档）已知 1.10.6122,3,log 3a b c ===,则,,a b c 的大小为（）A ．b c a >> B.a c b >> C.b a c >> D.a b c >>【答案】D 【解析】 1.10.61220,30,log 30a b c =>=>=<, 1.10.622,32a b =>==<=【考点】指数函数对数函数的性质.6.（原创，中档）若函数()sin(2)3f x x π=+图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移6π得到函数()g x 的图象，则有（） A ．()cos g x x =B ．()sin g x x =C ．()cos()3g x x π=+D ．()sin()3g x x π=+ 【答案】A【解析】：26sin(2)sin()sin()cos 332y x y x y x x ππππ=+−−−−−→=+−−−→=+=左移横坐标变为倍.【考点】正余弦型函数的图象变换.7.（原创，中档）已知命题若a c b c ⋅=⋅，则a b =，命题若2,a b a b +=<，则21b >，则有（）A ．为真B.为真 C.p q ∧为真D.p q ∨为真【答案】D 【解析】为假，2,a b a b +=<2211b b b b ⇒>-⇒>⇒>，为真.则p q∨为真，故选D【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑.8.2cos()4θθ=+，则sin 2θ=（）A ．13B ．23C ．23-D ．13- 【答案】C【解析】222(cos sin )22(cos sin )2cos sin θθθθθθθθ-=⇒+=⇒- 2244sin 23sin 2sin 23θθθ+=⇒=-或sin 22θ=(舍),故选C 考点：三角函数恒等变形．9.（原创，中档）如图所示，扇形AOB 的半径为，圆心角为，若扇形AOB 绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为（）A ．B ．C ．83πD ．163π 【答案】C【解析】扇形AOB 绕旋转一周所得几何体的体积为球体积的12，则321633V r ππ==，AOB ∆绕旋转一周所得几何体的体积为31833r ππ⨯=，阴影部分旋转所得几何体的体积为83π，故选C 【考点】旋转体体积、割与补.10．（原创，中档）函数22()41x x x f x ⋅=-的图象大致为（）A BC D。

湖北省部分重点中学2018届高三第二次联考数学试题

湖北省部分重点中学2018届高三第二次联考数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解析：因或，故，所以，应选答案A。

2. 复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解析：因，故，应选答案C。

3. 在等差数列中，，设数列的前项和为，则（）A. 18B. 99C. 198D. 297【答案】C【解析】解析：因，故，应选答案C。

4. 已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线平行，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解析：设双曲线的方程为，由题意，则，应选答案A。

5. 设，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A6. 已知的最大值为,若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解析：因，则；当时，，故，应选答案A。

7. 如图所示，在四边形中，,将沿折起，使得平面平面，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是（）A. 平面平面B. 平面平面C. 平面平面D. 平面平面【答案】D【解析】解析：因，则，又平面平面，所以平面，结合可得平面，故平面平面，应选答案D。

8. 若等边的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解析：因，则，即，应选答案A。

9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解析：从题设中三视图所提供的图形信息与数据信息可知该几何体是棱长为的长方体的一角所在三棱锥，其外接球与该长方体的外接球相同，其直径是该长方体的对角线，故球的半径为，所以该外接球的表面面积，应选答案B。

10. 若实数满足不等式，且的最大值为9，则实数（）A. B. C. 1 D. 2【答案】C11. 若抛物线上有一条长为6的动弦AB,则AB的中点到轴的最短距离为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】解析：设抛物线的焦点为的中点为，准线方程为，则点到准线的距离，即点到准线的距离的最小值为，所以点到轴的最短距离，应选答案D。

数学知识点山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(文)试卷Word版含解析-总结

山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次联考数学（文）试题命题学校：襄阳五中命题人：程玲本试卷共4页，共23题，满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.请将答题卡上交.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（原创，容易）已知命题q p ,，则“q p ∧为假命题”是“q p ∨为真命题”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】“q p ∧为假命题”包括“p 假q 假”，“p 真q 假”，“p 假q 真”，“q p ∨为真命题”包括“p 真q 真”，“p 真q 假”，“p 假q 真” 【考点】命题交并的真假，充分必要条件 2.（原创，容易）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤---=02)4)(1(x x x xA ，{}51≤≤-∈=x N xB ，则集合B A 的子集个数为（）A. 5B. 4C.32D.16 【答案】D【解析】{}421≤<≤=x x x A 或，{}5，4，3，2，1，0=B ，∴{}4，3，1，0=B A ，∴B A 的子集个数为1624=【考点】解不等式，交集的运算，集合子集的个数 3.（原创，容易）设i 为虚数单位，若复数)(1R a i i a Z ∈+-=的实部与虚部的和为43，则23)1()(-+-=x x x f a 定义域为（） A.），（），（∞+221 B.[)），（，∞+221 C. ()∞+，1 D. ()2,1 【答案】A 【解析】易知41-=a ，所以只需满足21≠>x x 且【考点】复数，具体函数的定义域.4.（原创，容易）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且3π=A ,4=c ，62=a ，则角C =( ) A ．43π B. 4π C. 4π或43π D.3π或32π 【答案】B【解析】C c A a sin sin = ，2262234sin =⋅=∴C ，又c a > ，所以角C =4π 【考点】正弦定理解三角形.5.（原创，容易）执行下列程序框图，若输入a ，b 分别为98，63，则输出的a =（）A ．12 B. 14 C. 7 D. 9 【答案】C【解析】“更相减损术”求最大公约数【考点】程序框图6.（原创，适中)已知31)(++-=x x x f ，3-1)(--=x x x g ，设)(x f 的最大值为M ，)(x g 的最大值为N ，则NM=（）A. 2B.1C.4D.3 【答案】A【解析】)(x f 的定义域是[]13-，，32-2431)(222+-+=++-=x x x x x f ）（，当1-=x 时，8)(m a x 2=x f ，所以M =22；)(x g 的定义域是[)∞+，3，3123-1)(-+-=--=x x x x x g ，所以2)(max ==N x g .N M=2【考点】函数的最值7.（原创，适中）曲线1)(3+-=x x x f 在点()11，处的切线方程是（） A.012=--y x 或054=-+y x B. 012=--y x C. 02=-+y x 或054=-+y x D. 02=-+y x【答案】B 【解析】因为切点为()11，，斜率为1320-=x k =2，则该切点处的切线为012=--y x 【考点】曲线上某点处的切线方程8.（原创，适中）已知函数x x x x f sin )1ln()(2--+=，则对于任意实数b a ,022-≠+⎪⎭⎫⎝⎛∈b a 且，ππ，则b a b f a f ++)()(的值（） A ．恒负 B. 恒正 C. 恒为0 D. 不确定【答案】A【解析】x x x x f sin )1ln()(2--+=在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上为奇函数且单调递减.所以)()(b f a f +与b a +同号【考点】函数的性质.9. （改编，适中）若函数()2df x ax bx c=++ （a ， b ，c ，d R ∈）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．0,0,0,0>>>>d c b a B. 0,0,0,0<>>>d c b a C. 0,0,0,0>><>d c b aD. 0,0,0,0<><>d c b a 【答案】D【解析】02=++c bx ax 的两根为1，5.所以b a ,异号，c a ,同号.又因为0)0(<f ，所以d c ,异号【考点】函数图像 10.（改编，较难）某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为5，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为 45的直角梯形，则该多面体的体积为（）A.1B.21C. 32 D. 2【答案】C【解析】，323131=+=+=--BCD F ADFE B V V V 【考点】三视图11.（改编，较难）若正数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-xy y y x x ln 2142，则xy x y 22+的取值范围为（） A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+417,1e e B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞+,1e e C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,2 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+e e 1,2 【答案】A【解析】因为+∈R y x ,，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-x y y y x x ln 2142可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-x y xy y x ln 0)211)(4(，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤x y x y ln 41又因为yxx y xy x y +=+22，所以设x y k =，则约束条件变为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥xkx k ln 41，进一步可知约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥ek k 141，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e k 1,41，目标函数为k k xy x y 122+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈417,1e e 【考点】线性规划，函数上过某点的切线方程，函数的值域12.（改编，较难）已知函数ax x x f -=2)(，x e x x g -=ln )(.在其共同的定义域内，)(x g 的图像不可能在)(x f 的上方，则求a 的取值范围（） A ． 110+<<e a B. 0>a C. 1+≤e a D. 0≤a 【答案】C【解析】由题意得x x x x e a x ln -+≤，令xx x x e x x ln )(-+=ϕ， 22ln 11)1()(x x x x e x x --+-=，ϕ22ln 1)1(xx x x e x +-+-=；令x x x e x t x ln 1)1()(2+-+-=，012)(>++⋅=xx x e x t x ，，所以)(x t 在),0(+∞上单调递增，又因为0)1(=t ；当)1,0(∈x 时，)(x ϕ单调递减；当)1(∞+∈，x 时，)(x ϕ单调递增.所以1)1()(+=≥e x ϕϕ，所以1+≤e a .C 正确.【考点】导数的应用.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． 13.（原创，容易）命题()”“xe x x ≤++∞∈∀2ln ,,0的否定是【答案】()02ln ,,000x e x x >++∞∈∃【解析】()”“02ln ,,000x e x x >++∞∈∃ 【考点】全称命题和特称命题14. （原创，容易）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥=++-)1()12()1()(322x m x m x x x f m m 在R 上是单调递增函数，则m 的取值范围是【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛3221，【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-≥>->++-1310120322m m m m 可得3221≤<m【考点】函数的性质15. （改编，容易）如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ， F 分别为棱AB ， AD+=_____；BC EF -=；【答案】5；3 【解析】()50142222=++=⋅++=+=,所以=5设BD 的中点为G ，则=-=-,所以BC EF -=3= 【考点】向量16. （改编，较难）对于集合{}12,,,n a a a 和常数0a ，定义：)(cos ....)(cos )(cos )(sin ....)(sin )(sin 0202201202022012a a a a a a a a a a a a t n n -++-+--++-+-=为集合{}12,,,n a a a 相对于0a 的“类正切平方”.则集合57,,266πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭相对于0a 的“类正切平方”t = 【答案】1 【解析】)67(cos )65(cos )2(cos )67(sin )65(sin )2(sin 020*********a a a a a a t -+-+--+-+-=ππππππ=)6(cos )6(cos sin )6(sin )6(sin cos 020*********a a a a a a -+++-+++ππππ=2002000220020002sin 21cos 23sin 21cos 23sin sin 23cos 21sin 23cos 21cos ）（）（）（）（a a a a a a a a a a ++-+-+++=020*********sin 21cos 23sin sin 23cos 21cos a a a a a a ++++=02020202sin 23cos 23sin 23cos 23a a a a ++=1【考点】创新题，三角函数三、解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. （原创，容易）（本小题12分）在数列{}n a 中，已知11=a ，121+=+n n a a (*N n ∈）（1）求证：{}1+n a 是等比数列（2）设11+⋅+=n n n n a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S解析：（Ⅰ）由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a （*N n ∈）又 211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列 (5)分(2) 由（1）知：n n n a 22211=⋅=+-，12-=n n a （*N n ∈）∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n nn n b （*N n ∈） ∴nS =nb b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n ………………………………12分.【考点】递推关系，等比数列，求前n 项和. 18.（原创，容易）（本小题12分）已知函数21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f （0>ω）的最小正周期为π.（1）求ω的值（2）将函数)(x f y =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g 的图象.求函数)(x g 在[]ππ,-上单调递减区间和零点. 【解析】（1）21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f =）（1)6cos()6sin(32)6(cos 2212---+-πωπωπωx x x =）（)32sin(3)32cos(21πωπω-+-x x =)62sin(πω-x 由πωπ==22T 得1=ω……………………………………5分（2） =)(x f )62sin(π-x ，∴)(x g =)6sin(π+x单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππ,3,32, 零点为60ππ-=k x （Z k ∈）,又因为[]ππ,0-∈x ，所以)(x g 在[]ππ,-上的零点是65,6ππ-………………………………………12分【考点】三角函数19.（改编，适中）（本小题12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，边长为1， 120=∠ADC ，⊥PA 平面ABCD ，PAD ∆是等腰三角形.（1）求证：平面⊥PBD 平面PAC（2）在线段,PC PD 上可以分别找到两点'A ， ''A ，使得直线PC ⊥平面'''AA A ，并分别求出此时''',PA PA PC PD的值．【解析】（1）因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又因为⊥PA 平面ABCD ，且⊂BD 平面ABCD ，所以BD PA ⊥;所以BD ⊥平面PAC ;又因为⊂BD 平面PBD ，所以平面⊥PBD 平面PAC ……………………………5分（2） PC ⊥平面'''AA A ，∴'AA PC ⊥,''AA PC ⊥在PACRT ∆,PCPA PA ⋅='2,又2,1==PC PA ,21'=∴PA .41'=∴PC PA ………………………8分在PDC ∆中，21,2,1,2'====PA PC DC PD ,又 '''cos PA DPC PA =∠⋅, 又 245241242cos 222=-+=⋅-+=∠PD PC CD PD PC DPC 522''=∴PA ,522522''==∴PD PA ………………………………………12分【考点】立体几何20.（改编，适中）（本小题12分）已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有())()12('x f x e x f x++=（e 是自然对数的底数），1)0(=f(1)求)(x f 的解析式 (2)求)(x f 的单调区间.【解析】（1）由())()12('x f x e x f x++=得12)()('+=-x e x f x f x，即12)('+=⎪⎭⎫⎝⎛x e x f x ，所以c x x ex f x++=2)( 所以()xe c x x xf ++=2)(，又因为1)0(=f ，所以1=c所以函数)(x f 的解析式是()xe x x xf 1)(2++=………………………………………7分（2）()xe x x xf 23)(2'++=∴ )(x f 的单调递增区间是：()()+∞--∞-,1,2,；)(x f 的单调递减区间是：()1,2--………………12分【考点】函数的性质21.（原创，较难）（本小题12分）已知函数)(x f =x x ax ln 2-，xx g 1)(=. （1）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值，并判断)(x f 在1=x 处取得极大值还是极小值.（2）若)()(x g x f ≥在(]10，上恒成立，求a 的取值范围. 【解析】（1）)(x f 的定义域是()∞+，0，)('x f =2ln 12x x ax --，由0)1('=f 得21=a . 当21=a 时，)(x f =x x x ln 212-，)('x f =2ln 1x x x --23ln 1xx x +-= 02>x 恒成立，∴ 令)(x t =x x ln 13+-，)('x t =xx 132+0>恒成立 ∴)(x t 在()∞+，0上单调递增，又因为0)1(=t ∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增.∴ 当21=a 时，)(x f 在1=x 处取得极小值.………………………………………5分（2）由)()(x g x f ≥得xx x ax 1ln 2≥-在(]10，上恒成立即1ln 3≥-x ax 在(]10，上恒成立. 解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：令x ax x ln )(3-=ϕ，①当0≤a 时，)(x ϕ在(]1,0上单调递减，+∞=+→)(lim 0x x ϕ，0)1(<=a ϕ，所以)(x ϕ的值域为：[)∞+，a ，因为0≤a ，所以)(x ϕ的值域为[)∞+，0；所以不成立. ②当0>a 时，易知0)(>x ϕ恒成立.)31(313)(32ax x a x ax x -=-=，ϕ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，a 313上单调递增.因为1)1(≥ϕ，所以1≥a ，所以1313<a ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1313，a 上单调递增.所以=m i n )(x ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 313ϕ，依题意，1313≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ϕ，所以32e a ≥. 综上：32e a ≥ 解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：命题“1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立”的否定是“1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解” 1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解⇒1ln 13<-<-x ax 在(]1,0上有解⇒33ln 1ln 1-x x a x x +<<+在(]1,0上有解令3ln 1-)(x x x t +=，(]1,0∈x . )(,x t ()6233ln 11x x x x x⋅+--⋅=0ln 3-44>=x x ，所以3ln 1-)(x x x t +=在(]1,0上单调递增，又 -∞=+→)(lim 0x t x ，所以)(x t 无最小值.所以R a ∈；令3ln 1)(x x x m +=，4623ln 323)ln 1(1)(xx x x x x x x m --=⋅+-⋅=，所以)(x m 在),0(32-e 上单调递增，在)1(32，-e 上单调递减. 所以3)()(223maxe e m x m ==-,所以32e a <. 因为1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解时，32e a <；所以1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立时，32e a ≥. ……………………………………12分【考点】导函数22. （原创，容易）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x C ：（α为参数），直线l 的参数方程是⎩⎨⎧=+-=ty t x 2（t 为参数）．（1）分别求曲线C、直线l 的普通方程；（2）直线l 与C 交于B A ,两点，则求AB 的值.【解析】（1）C ：1922=+y x ；l ：02=-+y x ………………………………………4分（2）直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=''22222t y t x ，（'t 为参数）将l 的标准参数方程代入C 的直角坐标方程得：05'22'52=--t t ，所以522''21=+t t ，1''21-=⋅t t ∴=-+=-=''4)''(21221'2'1t t t t t t AB 536………………………………………10分【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转换和直线参数方程.23. （原创，容易）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数212)(++-=x x x f ，()a a x x x g +--+=1（1）求解不等式3)(>x f ；（2）对于R x x ∈∀21,，使得)()(21x g x f ≥成立，求a 的取值范围.【解析】（1）由⎩⎨⎧>---≤3132x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-33212x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥31321x x 解得：0<x 或32>x ∴解集为：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,320, ………………………………………4分（2）当21=x 时，25)(min =x f ；a a x g ++=1)(max 由题意得max min )()(x g x f ≥，得251≤++a a 即a a -≤+251 ∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≥-22251025a a a 解得43≤a ………………………………………10分【考点】绝对值不等式齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次调研联考数学（文）参考答案及评分标准1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A9. 【答案】D10.【答案】C11.【答案】A12.【答案】C13.【答案】()02ln ,,000x e x x >++∞∈∃14.【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛3221， 15.【答案】5；316.【答案】117. 解析：（1）由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a （*N n ∈）又 211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列 (5)分(2) 由（1）知：n n n a 22211=⋅=+-，12-=n n a （*N n ∈） ∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n n n n b （*N n ∈） ∴n S =n b b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n ………………………………12分.18.【解析】（1）21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f =）（1)6cos()6sin(32)6(cos 2212---+-πωπωπωx x x =）（)32sin(3)32cos(21πωπω-+-x x =)62sin(πω-x 由πωπ==22T 得1=ω……………………………………5分 (2) =)(x f )62sin(π-x ，∴)(x g =)6sin(π+x单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππ,3,32, 零点为60ππ-=k x （Z k ∈）,又因为[]ππ,0-∈x ，所以)(x g 在[]ππ,-上的零点是65,6ππ-………………………………………12分19.【解析】（1）因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又因为⊥PA 平面A B C D ，且⊂BD 平面A B C D ，所以BD PA ⊥;所以BD ⊥平面PAC ;又因为⊂BD 平面PBD ，所以平面⊥PBD 平面PAC ……………………………5分（2） PC ⊥平面'''AA A ，∴'AA PC ⊥,''AA PC ⊥在PACRT ∆,PC PA PA ⋅='2,又 2,1==PC PA ,21'=∴PA .41'=∴PC PA ………………………8分在PDC ∆中，21,2,1,2'====PA PC DC PD ,又 '''cos PA DPC PA =∠⋅, 又 245241242cos 222=-+=⋅-+=∠PD PC CD PD PC DPC 522''=∴PA ,522522''==∴PD PA ………………………………………12分20.【解析】（1）由())()12('x f x e x f x ++=得12)()('+=-x e x f x f x ，即12)('+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x e x f x ，所以c x x ex f x ++=2)( 所以()x e c x x x f ++=2)(，又因为1)0(=f ，所以1=c所以函数)(x f 的解析式是()x e x x x f 1)(2++=………………………………………7分（2）()xe x x xf 23)(2'++=∴ )(x f 的单调递增区间是：()()+∞--∞-,1,2,；)(x f 的单调递减区间是：()1,2--………………12分21.（1）)(x f 的定义域是()∞+，0，)('x f =2ln 12x x ax --，由0)1('=f 得21=a . 当21=a 时，)(x f =x x x ln 212-，)('x f =2ln 1x x x --23ln 1xx x +-= 02>x 恒成立，∴ 令)(x t =x x ln 13+-，)('x t =xx 132+0>恒成立 ∴)(x t 在()∞+，0上单调递增，又因为0)1(=t ∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增.∴ 当21=a 时，)(x f 在1=x 处取得极小值.………………………………………5分（2）由)()(x g x f ≥得xx x ax 1ln 2≥-在(]10，上恒成立即1ln 3≥-x ax 在(]10，上恒成立. 解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：令x ax x ln )(3-=ϕ，①当0≤a 时，)(x ϕ在(]1,0上单调递减，+∞=+→)(lim 0x x ϕ，0)1(<=a ϕ，所以)(x ϕ的值域为：[)∞+，a ，因为0≤a ，所以)(x ϕ的值域为[)∞+，0；所以不成立. ②当0>a 时，易知0)(>x ϕ恒成立.)31(313)(32ax x a x ax x -=-=，ϕ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，a 313上单调递增.因为1)1(≥ϕ，所以1≥a ，所以1313<a ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1313，a 上单调递增.所以=min )(x ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 313ϕ，依题意，1313≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ϕ，所以32e a ≥. 综上：32e a ≥ 解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：命题“1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立”的否定是“1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解” 1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解⇒1ln 13<-<-x ax 在(]1,0上有解⇒33ln 1ln 1-xx a x x +<<+在(]1,0上有解令3ln 1-)(x x x t +=，(]1,0∈x . )(,x t ()6233ln 11x x x x x⋅+--⋅=0ln 3-44>=x x ，所以3ln 1-)(x x x t +=在(]1,0上单调递增，又 -∞=+→)(lim 0x t x ，所以)(x t 无最小值.所以R a ∈；令3ln 1)(x x x m +=，4623ln 323)ln 1(1)(xx x x x x x x m --=⋅+-⋅=，所以)(x m 在),0(32-e 上单调递增，在)1(32，-e 上单调递减. 所以3)()(223maxe e m x m ==-,所以32e a <. 因为1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解时，32e a <；所以1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立时，32e a ≥. ……………………………………12分22.【解析】（1）C ：1922=+y x ；l ：02=-+y x ………………………………………4分（2）直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=''22222t y t x ，（'t 为参数）将l 的标准参数方程代入C 的直角坐标方程得：05'22'52=--t t ，所以522''21=+t t ，1''21-=⋅t t ∴=-+=-=''4)''(21221'2'1t t t t t t AB 536………………………………………10分【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转换和直线参数方程. 23.【解析】（1）由⎩⎨⎧>---≤3132x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-33212x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥31321x x 解得：0<x 或32>x ∴解集为：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,320, ………………………………………4分（2）当21=x 时，25)(min =x f ；a a x g ++=1)(max 由题意得max min )()(x g x f ≥，得251≤++a a 即a a -≤+251 ∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≥-22251025a a a 解得43≤a ………………………………………10分。

2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷(理科)

2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A=(−∞, −1]∪[1, +∞)，B={y|y=log2x,x∈[12,4brack}，则A∩B=()A.[−1, 2]B.[1, 2]C.{−1}∪[1, 2]D.[−1, 1]∪{2}【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】B=[−1, 2]；∵A=(−∞, −1]∪[1, +∞)；∴A∩B={−1}∪[1, 2]．2. 已知复数z满足|z|=√2,z+z=2，（z为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z=()A.1+iB.1−iC.1+i或1−iD.−1+i或−1−i【答案】C【考点】复数的运算【解析】设z=a+bi(a, b∈R)，则z=a−bi，根据复数z满足|z|=√2,z+z=2，可得{a2+b2=22a=2，解出即可得出．【解答】设z=a+bi(a, b∈R)，则z=a−bi，∵复数z满足|z|=√2,z+z=2，∴{a2+b2=22a=2，得{a=1b=±1，∴z=1+i或z=1−i．3. 正项等比数列{a n}中，a3，a4的等比中项为∫e1e 1xdx，令Tn=a1⋅a2⋅a3⋯a n，则T6=( )A.6B.16C.32D.64【答案】D【考点】等比中项微积分基本定理【解析】由∫e1 e 1xdx=lnx|1ee=lne−ln1e=2，又a3，a4的等比中项为∫e1e1xdx，可得a3a4=4，又a1a6=a2a5=a3a4=4，即可得出．【解答】解：∵∫e1 e 1xdx=lnx|1ee=lne−ln1e=2，又a3，a4的等比中项为∫e1e 1x dx，∴a3a4=4，又a1a6=a2a5=a3a4=4，∴T6=a1⋅a2⋯⋯a6=(a3a4)3=43=64．故选D.4. 一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（）A.1 3B.53C.54D.2【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】利用三视图判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．【解答】依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成．长方体的体积为1×1×2=2，三棱锥的体积为13×12×1×1×2=13，所以几何体的体积为2−13=53．5. 已知如图所示的程序框图中输出的结果为a，则二项式(x−ax)6展开式中的常数项为（）A.15B.−15C.20D.−20【答案】C【考点】二项式定理的应用【解析】由程序框图运算求得a，然后写出二项展开式的通项，由x得指数为0求得r，则答案可求．【解答】由a=11−a赋值运算，a输入值为−1，则第1次运算结果为12，第2次结果为2，第3次结果为−1，结果数字以3为周期循环出现，要运算12次，此时输出的数为−(1)这样二项式(x−ax )6的展开通项为T k+1=C6k x6−k(1x)k=C6k∗x6−2k，当k=3时为常数项，∴常数项为C63=20．故选：C．6. 函数f(x)=sinx+|sinx|x的部分图象为（）A.B.C.D.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】当x∈[−π, 0)时，f(x)=0，所以排除C，D；当x∈(−2π, −π)时sinx>0，f(x)=2sinxx<0．即可【解答】当x∈(−2π, −π)时sinx>0，f(x)=2sinxx<0．故选A．故选：A．7. 一个圆形电子石英钟由于缺电，指针刚好停留在8:20整，三个指针（时针、分针、秒针）在射线将时钟所在圆分成了三个扇形，一只小蚊子（可看成是一个质点）随机地飞落在圆面上，则恰好落在时针与分针所夹扇形内的概率为（）A.11 36B.13C.1336D.718【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意求出分针与时针之间的扇形的圆心角，结合同圆中扇形面积比等于其圆心角的度数的比得答案．【解答】观察时钟所在圆被12个刻度十二等分，指针转过一等分就旋转30∘，时针转过一等分就是1小时，分针转过一等分就是5分钟，∴ 8:20的时候秒针指向12，分针指向4，时针的指向是从刻度8再转过一等分的三分之一即10∘．这样分针与时针之间的扇形的圆心角为4×30∘+10∘=130∘．又同圆中扇形面积比等于其圆心角的度数的比， ∴ P =130∘360∘=1336．8. 在△ABC 中，CA ⊥CB ，CA =CB =1，D 为AB 的中点，将向量CD →绕点C 按逆时针方向旋转90∘得向量CM →，则向量CM →在向量CA →方向上的投影为（） A.−1B.1C.−12D.12【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，以CA ，CB 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则CA →=(1,0)，CB →=(0,1)，CD →=(12,12)，且CM →=(−12,12)，所以向量CM →在向量CA →方向上的投影为CA →⋅CM →|CA 1→=−12+01=−12．故选C ．9. 在三棱锥S −ABC 中，AB ⊥AC ，AB =AC =SA ，SA ⊥平面ABC ，D 为BC 中点，则异面直线AB 与SD 所成角的余弦值为（） A.√55B.√66C.√306D.以上结论都不对【答案】B【考点】异面直线及其所成的角【解析】取AC中点为E，连结DE，SE，则DE // AB，∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，由此能求出异面直线AB与SD所成角的余弦值．【解答】如图，取AC中点为E，连结DE，SE，∵D，E分别为BC，AC的中点，所以DE // AB，∴∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，令AB=AC=SA=2，由勾股定理得SE=√5，又DE=(1)∴BA⊥平面SAC，∴DE⊥平面SAC，∴DE⊥SE，∴SD=√6．在Rt△SDE中，cos∠SDE=DESD =√6=√66．∴异面直线AB与SD所成角的余弦值为√66．故选：B．10. 下面有四个命题：①设X~N(1,1)，若P(−1≤X≤3)=0.9544，则P(X≥3)=0.0228．②已知a=lg2，则a<a a<a a a．③将y=2tan(x+π6)的图象向右平移π6个单位长度，再将所得图象的横坐标不变纵坐标缩短到原来的12，可得到y=tan x的图象．④设0<a<3，则函数f(x)=x3−ax(0<x<1)由最小值无最大值．其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：①∵ X~N(1,1)，P(−1≤X≤3)=0.9544，∴ P(X≥3)=0.5−0.95442=0.0228，命题正确．②可知0<a<1，∴a0>a a>a1，即1>a a>a，∴a1<a a a<a a，命题错误．③将y =2tan(x +π6)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数y =2tan[(x −π6)+π6]=2tan x 的图象，两将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，可得到y =tan x 的图象，命题正确．④∵ 0<x <1，∴ 由f ′(x)=3x 2−a =0得x =√a3．又∵ 0<a <3，∴ 0<√a 3<1，可知f(x)在(0,√a 3)上单调递减，在(√a3,1)上单调递增，则函数f(x)=x 3−ax(0<x <1)有最小值无最大值，命题正确．综上，正确命题的个数为3．故选C ．11. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右顶点分别为A 、 B.√3 A.√2C.2D.√5【答案】 A【考点】双曲线的特性【解析】设M(c, m)，求出cos∠APB 关于m 的函数式，根据不等式的性质和M 点位置得出a ，b 的关系，从而可得离心率．【解答】A(−a, 0)，B(a, 0)，F(c, 0)，直线l 的方程为x =c ，把x =c 代入双曲线方程得：y =±b 2a ，设P(c, m)，则PA →=(−a −c, −m)，PB →=(a −c, −m)， ∴ cos∠APB =PA →∗PB→|PA →|∗|PB →|=222√a 2+c 2+2ac+m 2√a 2+c 2−2ac+m 2=222222222=22√(b 2+m 2)2+4a 2m 2，令b 2+m 2=t(t ≥b)，则cos∠APB =222=√1+4a 2t−4a 2b 2t 2=√−(2ab t−a b)2+a 2b 2+1，∴ 当2ab t=ab 即t =2b 2时，cos∠APB 取得最小值，即∠APB 最大．此时，m 2=t −b 2=b 2=b 4a2，即a 2=b 2．∴ 双曲线的离心率为√2．12. 已知函数f(x)={mx −lnx,x >0mx +ln(−x),x <0 ．若函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，记过点A（x 1, f(x 1)）和B （x 2, f(x 2)）的直线斜率为k ，若0<k ≤2e ，则实数m 的取值范围为（） A.(1e,2] B.(1e,e] C.(e, 2e] D.(2,e +1e]【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值【解析】当x >0时，函数f(x)=mx −lnx 的导函数为f′(x)=m −1x=mx−1x，不妨设x 2=−x 1>0，则有x 2=1m ，∴ B(1m ,1+lnm)可得：A(−1m ,−(1+lnm))．由直线的斜率公式得k =f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=m(1+lnm)，m >0，又k >0，可得1+lnm >0，m >1e ，令k =ℎ(m)=m(1+lnm),m >1e ，得ℎ′(m)=2+lnm =1+(1+lnm)>0，得：ℎ(1e )<ℎ(m)≤ℎ(e)，所以1e <m ≤e ．【解答】当x >0时，函数f(x)=mx −lnx 的导函数为f′(x)=m −1x =mx−1x，由函数f(x)有两个极值点得m >0，又f(x)为奇函数，不妨设x 2=−x 1>0，则有x 2=1m ，∴ B(1m ,1+lnm)可得：A(−1m ,−(1+lnm))．由直线的斜率公式得k =f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=m(1+lnm)，m >0，又k >0，∴ 1+lnm >0，∴ m >1e ，（当0<m ≤1e 时，k ≤0，不合题意）令k =ℎ(m)=m(1+lnm),m >1e 得ℎ′(m)=2+lnm =1+(1+lnm)>0， ∴ ℎ(m)在(1e ,+∞)上单调递增，又ℎ(1e )=0,ℎ(e)=2e ，由0<k ≤2e 得：ℎ(1e )<ℎ(m)≤ℎ(e)，所以1e <m ≤e ．二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.已知抛物线y 2=2px 的准线方程为x =−2，点P 为抛物线上的一点，则点P 到直线y =x +3的距离的最小值为________．【答案】 √22【考点】抛物线的求解【解析】根据题意，由抛物线的准线方程分析可得−p2=−2，解可得p =4，即可得抛物线的方程，设P 点坐标为P(x, y)，结合点到直线的距离公式可得d =28√2，由二次函数的性质分析可得答案．【解答】根据题意，抛物线y 2=2px 的准线方程为x =−2，则有−p2=−2，解可得p =4，则抛物线方程为y 2=8x ，设P 点坐标为P(x, y)，则点P 到直线y =x +3的距离为d =2=82=282=282≥√22，当y =4时取最小值√22．我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”请你计算出海岛高度为________步．（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，当时是“三丈=5步”）【答案】 1255 【考点】解三角形【解析】作出示意图，根据相似三角形列比例式，即可求出岛高．【解答】如图，设岛高x 步，与前标杆相距y 步，则有{5x=123123+y 5x =127127+1000+y，解得：x =1255步．若实数x ，y 满足{y ≥x +a,y ≤−3|x|+3,z =x +y 的最小值为−7，则a =________．【答案】 −2【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】解：作出可行域如图所示，由目标函数的几何意义可知当直线y =−x +z 过点C 时， z 取最小值．由{y =3x +3,y =x +a 得C (a−32,3a−32)，则a−32+3a−32=−7，解得a=−2．故答案为：−2．已知数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，且满足S n+S n+1=2n2+n，若对∀n∈N∗，a n<a n+1恒成立，则首项a1的取值范围是________．【答案】(−14,3 4)【考点】数列递推式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为S n+S n+1=2n2+n，所以S n−1+S n=2(n−1)2+n−1(n≥2)，两式作差得a n+a n+1=4n−1(n≥2)①，所以a n−1+a n=4n−5(n≥3)②，①②两式作差得a n+1−a n−1=4(n≥3)，可得数列{a n}的偶数项是以4为公差的等差数列，从a3起奇数项也是以4为公差的等差数列．若对∀n∈N∗，a n<a n+1恒成立，当且仅当a1<a2<a3<a4．又a1+S2=3，∴a2=3−2a1，∴a3=7−a2=4+2a1，a4=11−a3=7−2a1，所以a1<3−2a1<4+2a1<7−2a1，解得−14<a1<34．即首项a1的取值范围是(−14,34 )．故答案为：(−14,34 )．三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.已知△ABC中，AB=BC=CA=2，P为△ABC内一点，且∠BPC=90∘．(1)当BP=√2时，求AP的长；(2)若∠APC=150∘，令∠PCB=θ，求tanθ的值．【答案】解：(1)如图，∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形．在△PBC中，∠BPC=90∘，BP=√2,BC=2，∴∠PBC=45∘．∴∠ABP=15∘，cos15∘=cos(45∘−30∘)=√6+√24．由余弦定理得：AP2=BA2+BP2−2BA⋅BP⋅cos15∘=4+2−4√2×√6+√24=4−2√3，∴AP=√3−1．(2)∵∠PCB=θ,∠ACP=60∘−θ,∠APC=150∘，由内角和定理得∠PAC=θ−30∘．在直角△PBC中，PC=BC⋅cosθ=2cosθ，在△APC中，由正弦定理得，AC sin∠APC =PCsin∠PAC即2sin150∘=2cosθsin(θ−30∘)，即4=√32sinθ−12cosθ，整理可得2√3sinθ=4cosθ，解得tanθ=2√33．【考点】解三角形【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图，∵AB=BC=CA，∴△ABC为等边三角形．在△PBC中，∠BPC=90∘，BP=√2,BC=2，∴∠PBC=45∘．∴∠ABP=15∘，cos15∘=cos(45∘−30∘)=√6+√24．由余弦定理得：AP2=BA2+BP2−2BA⋅BP⋅cos15∘=4+2−4√2×√6+√24=4−2√3，∴AP=√3−1．(2)∵∠PCB=θ,∠ACP=60∘−θ,∠APC=150∘，由内角和定理得∠PAC=θ−30∘．在直角△PBC中，PC=BC⋅cosθ=2cosθ，在△APC中，由正弦定理得，AC sin∠APC =PCsin∠PAC即2sin150∘=2cosθsin(θ−30∘)，即4=√32sinθ−12cosθ，整理可得2√3sinθ=4cosθ，解得tanθ=2√33．如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．(Ⅰ)当AB=√2时，证明：平面SAB⊥平面SCD；(Ⅱ)若AB＝1，求平面SCD与平面SBC所成二面角的余弦值的绝对值．【答案】证明：(Ⅰ)作SO⊥AD，垂足为O，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，又AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，AB⊥SA，AB⊥SD．……………2分利用勾股定理得SA=√SB2−AB2=√4−2=√2，同理可得SD=√2．在△SAD中，AD=2,SA=SD=√2，∴SA⊥SD……………4分∴SD⊥平面SAB，又SD⊂平面SCD，所以平面SAB⊥平面SCD．……………5分（2）连结BO，CO，∵SB＝SC，∴Rt△SOB≅Rt△SOC，BO＝CO，又四边形ABCD为长方形，∴Rt△AOB≅Rt△DOC，∴OA＝OD．取BC中点为E，得OE // AB，连结SE，∴SE=√3，其中OE＝1，OA＝OD＝1，OS=√3−12=√2⋯⋯⋯⋯⋯7分由以上证明可知OS，OE，AD互相垂直，不妨以OA，OE，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵OE＝1，∴OS=√2，∴DC→=(0,1,0),SC→=(−1,1,−√2),BC→=(−2,0,0)，……………8分设m →=(x 1,y 1,z 1)是平面SCD 的法向量，则有{m →⋅DC →=0m →⋅SC →=0 即{y 1=0−x 1+y 1−√2z 1=0 ，令z 1＝1得m →=(−√2,0,1)．……………9分设n →=(x 2,y 2,z 2)是平面SBC 的法向量，则有{n →⋅BC →=0n →⋅SC →=0 即{−2x 2=0−x 2+y 2−√2z 2=0 令z 1＝1得n →=(0,√2,1)．……………10分则|cos⟨m →,n →>|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3√3=13⋯⋯⋯⋯⋯11分所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13．……………12分【考点】二面角的平面角及求法【解析】(Ⅰ)作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ，从而SO ⊥AB ，SO ⊥CD ，进而AB ⊥平面SAD ，AB ⊥SA ，AB ⊥SD ，推导出SA ⊥SD ，从而SD ⊥平面SAB ，由此能证明平面SAB ⊥平面SCD ．(Ⅱ)连结BO ，CO ，以OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值．【解答】证明：(Ⅰ)作SO ⊥AD ，垂足为O ，依题意得SO ⊥平面ABCD ， ∴ SO ⊥AB ，SO ⊥CD ，又AB ⊥AD ，∴ AB ⊥平面SAD ，AB ⊥SA ，AB ⊥SD ．……………2分利用勾股定理得SA =√SB 2−AB 2=√4−2=√2，同理可得SD =√2．在△SAD 中，AD =2,SA =SD =√2，∴ SA ⊥SD ……………4分 ∴ SD ⊥平面SAB ，又SD ⊂平面SCD ，所以平面SAB ⊥平面SCD ．……………5分（2）连结BO ，CO ，∵ SB ＝SC ， ∴ Rt △SOB ≅Rt △SOC ，BO ＝CO ，又四边形ABCD 为长方形，∴ Rt △AOB ≅Rt △DOC ，∴ OA ＝OD ．取BC 中点为E ，得OE // AB ，连结SE ，∴ SE =√3，其中OE ＝1，OA ＝OD ＝1，OS =2=√2⋯⋯⋯⋯⋯7分由以上证明可知OS ，OE ，AD 互相垂直，不妨以OA ，OE ，OS 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．∵ OE ＝1，∴ OS =√2，∴ DC →=(0,1,0),SC →=(−1,1,−√2),BC →=(−2,0,0)，……………8分设m →=(x 1,y 1,z 1)是平面SCD 的法向量，则有{m →⋅DC →=0m →⋅SC →=0 即{y 1=0−x 1+y 1−√2z 1=0 ，令z 1＝1得m →=(−√2,0,1)．……………9分设n →=(x 2,y 2,z 2)是平面SBC 的法向量，则有{n →⋅BC →=0n →⋅SC →=0 即{−2x 2=0−x 2+y 2−√2z 2=0 令z 1＝1得n →=(0,√2,1)．……………10分则|cos⟨m →,n →>|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√3√3=13⋯⋯⋯⋯⋯11分所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13．……………12分我校为了更好地管理学生用手机问题，根据学生每月用手机时间（每月用手机时间总和）的长短将学生分为三类：第一类的时间区间在(0, 30]，第二类的时间区间在(30, 60]，第三类的时间区间在(60, 720]（单位：小时），并规定属于第三类的学生要进入“思想政治学习班”进行思想和心理的辅导．现对我校二年级1014名学生进行调查，恰有14人属于第三类，这14名学生被学校带去政治学习．由剩下的1000名学生用手机时间情况，得到如图所示频率分布直方图． ( I)求这1000名学生每月用手机时间的平均数；( II)利用分层抽样的方法从1000名选出10位学生代表，若从该10名学生代表中任选两名学生，求这两名学生用手机时间属于不同类型的概率；( III)若二年级学生长期保持着这一用手机的现状，学校为了鼓励学生少用手机，连续10个月，每个月从这1000名学生中随机抽取1名，若取到的是第一类学生，则发放奖品一份，设X 为获奖学生人数，求X 的数学期望E(X)与方差D(X)．【答案】(Ⅰ) 平均数为：5×0.010×10+15×0.030×10+25×0.040×10+35×0.010×10+45×0.006×10+55×0.004×10=23.4（小时）．(Ⅱ) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生，其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为C 81C 21C 102=1645．(Ⅲ) 由题可知，这1000名学生中第一类学生80%，则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数X ∼B(10, 0.8)，其数学期望E(X)=10×0.8=8（小时），方差D(X)=10×0.8×0.2=1.(6) 【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】（I ）以组中值代替各小组数据，利用加权平均数计算；(II)根据各组的频率比得出抽取的各类学生的人数，再利用组合数公式计算； (III)根据二项分布的性质计算．【解答】(Ⅰ) 平均数为：5×0.010×10+15×0.030×10+25×0.040×10+35×0.010×10+45×0.006×10+55×0.004×10=23.4（小时）．(Ⅱ) 由频率分布直方图可知，采用分层抽样抽取10名学生，其中8名为第一类学生，2名为第二类学生，从该10名学生代表中抽取2名学生且这两名学生不属于同一类的概率为C 81C 21C 102=1645．(Ⅲ) 由题可知，这1000名学生中第一类学生80%，则每月从1000名学生中随机抽取1名学生，是第一类学生的概率为0.8，则连续10个月抽取，获奖人数X ∼B(10, 0.8)，其数学期望E(X)=10×0.8=8（小时），方差D(X)=10×0.8×0.2=1.(6)已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点，△F 1PF 2面积的最大值为√3．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过点A(4, 0)作关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2分别交椭圆于M(x 1, y 1)与N(x 2, y 2)，且x 1≠x 2，证明直线MN 过定点，并求△AMN 的面积S 的取值范围．【答案】（1）根据题意，椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，则c a =√32，设P(x, y)，则S △F 1PF 2=c|y|，∵ |y|≤b ∴ S △F 1PF 2≤bc =√3．解得{a =2b =1 ．所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）设MN 方程为x ＝ny +m ，(n ≠0)，联立{x =ny +mx 2+4y 2−4=0 ，得(n 2+4)y 2+2nmy +m 2−4＝0，∴ y 1+y 2=−2nm n 2+4,y 1y 2=m 2−4n 2+4，因为关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2的斜率之和为0 即y 1x1−4+y 2x 2−4=0，即y 1ny 1+m−4+y 2ny2+m−4=0，得2ny 1y 2+m(y 1+y 2)−4(y 1+y 2)＝0，即2n(m 2−4)n 2+4−2nm 2n 2+4+8nm n 2+4=0．解得：m ＝1．直线MN 方程为：x ＝ny +1，所以直线MN 过定点B(1, 0)．又|y 1−y 2|=√(−2n n 2+4)2−4⋅(−3)n 2+4=4√n 2+3(n 2+4)2=4√1n 2+4−1(n 2+4)2令1n 2+4=t ，∴ t ∈(0,14)∴ |y 1−y 2|=4√−t 2+t ∈(0,√3) 又S =12|AB||y 1−y 2|=32|y 1−y 2|∈(0,3√32)．【考点】椭圆的离心率【解析】(Ⅰ)根据题意，由椭圆的离心率公式可得c a=√32，结合椭圆的几何性质可得bc =√3，解可得a 、b 的值，将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案；(Ⅱ)设MN 方程为x ＝ny +m ，与椭圆的方程联立可得(n 2+4)y 2+2nmy +m 2−4＝0，结合根与系数的关系分析可得即2n(m 2−4)n 2+4−2nm 2n 2+4+8nmn 2+4=0，解可得m 的值，分析可得直线过定点，结合三角形面积公式分析可得答案．【解答】（1）根据题意，椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，则c a =√32，设P(x, y)，则S △F 1PF 2=c|y|，∵ |y|≤b ∴ S △F 1PF 2≤bc =√3．解得{a =2b =1 ．所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）设MN 方程为x ＝ny +m ，(n ≠0)，联立{x =ny +mx 2+4y 2−4=0，得(n 2+4)y 2+2nmy +m 2−4＝0，∴ y 1+y 2=−2nm n 2+4,y 1y 2=m 2−4n 2+4，因为关于x 轴对称的两条不同直线l 1，l 2的斜率之和为0 即y 1x 1−4+y 2x 2−4=0，即y 1ny 1+m−4+y 2ny 2+m−4=0，得2ny 1y 2+m(y 1+y 2)−4(y 1+y 2)＝0，即2n(m 2−4)n 2+4−2nm 2n 2+4+8nm n 2+4=0．解得：m ＝1．直线MN 方程为：x ＝ny +1，所以直线MN 过定点B(1, 0)．又|y 1−y 2|=√(−2n n 2+4)2−4⋅(−3)n 2+4=4√n 2+3(n 2+4)2=4√1n 2+4−1(n 2+4)2令1n 2+4=t ，∴ t ∈(0,14)∴ |y 1−y 2|=4√−t 2+t ∈(0,√3) 又S =12|AB||y 1−y 2|=32|y 1−y 2|∈(0,3√32)．已知函数f(x)=ln(ax)−a ，a >0．(Ⅰ)若函数ℎ(x)=e x f(x)为单调函数，求a 的取值范围； (Ⅱ)当a =1时，证明：e x +f(x)sinx >0．【答案】（1）∵ ℎ(x)=e x (lnax −a)，x >0，∴ ℎ′(x)=e x (lnax +1x −a)， ℎ(x)为单调函数等价为ℎ′(x)≥0恒成立或ℎ′(x)≤0恒成立，令φ(x)=lnax +1x −a 得φ′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，所以φ(x)在(0, 1)单调递减，在(1, +∞)单调递增，……………………2分又φ(1a )=0，当0<a ≤1时1a ≥1，∴ x ∈(1a ,+∞)时，φ(x)>φ(1a )=0；当a >1时1a <1，∴ x ∈(0,1a )时，φ(x)>φ(1a )=0；∴ ℎ′(x)≤0不可能恒成立，归纳得ℎ′(x)≥0恒成立．……………………3分又φ(x)min =φ(1)=lna −a +1，所以lna −a +1≥(0)令p(a)=lna −a +1，a >0，p ′(a)=1a −1，得p(a)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减，p(a)≤p(1)=0，即lna −a +1≤0，……………………5分所以lna −a +1=0，即a =(1)……………………6分证明：(Ⅱ)令F(x)=e x +(lnx −1)sinx ，（1）当x ≥e 时，sinx ≥−1，所以F(x)=e x +(lnx −1)sinx ≥e x −lnx +1，x >(0)……………………7分因为[e x −(x +1)]′=e x −1≥0，所以e x −(x +1)>e 0−(0+1)=0即e x >x +1；因为[(x −1)−lnx]′=1−1x ，可知函数(x −1)−lnx 在x =1处取最小值即(x −1)−lnx ≥0，即−lnx≥1−x．由不等式的性质得e x−lnx+1>(x+1)+(1−x)+1=3>0，所以F(x)=e x+(lnx−1)sinx>(0)……………………9分（2）当0<x<e时，F(x)=e x+(lnx−1)sinx>1+(lnx−1)sinx，因为(x−sinx)′=1−cosx≥0，所以x−sinx>0−sin0=0，即sinx<x，∵lnx−1<0，∴(lnx−1)sinx>(lnx−1)x，即F(x)>1+x(lnx−1)=x(lnx+1x−1)由(Ⅱ)证明可知lnx+1x−1≥0，所以F(x)>(0)……………………11分由（1）（2）得e x+f(x)sinx>(0)……………………12分【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)ℎ′(x)=e x(lnax+1x−a)，ℎ(x)为单调函数等价为ℎ′(x)≥0恒成立或ℎ′(x)≤0恒成立，令φ(x)=lnax+1x −a，得φ′(x)=1x−1x2=x−1x2，由此利用导数性质能求出结果．(Ⅱ)令F(x)=e x+(lnx−1)sinx，当x≥e时，sinx≥−1，F(x)=e x+(lnx−1)sinx≥e x−lnx+1，x>0，函数(x−1)−lnx在x=1处取最小值，从而F(x)=e x+(lnx−1)sinx>0；当0<x<e时，F(x)=e x+(lnx−1)sinx>1+(lnx−1)sinx，由此能证明e x+f(x)sinx>(0)【解答】（1）∵ℎ(x)=e x(lnax−a)，x>0，∴ℎ′(x)=e x(lnax+1x−a)，ℎ(x)为单调函数等价为ℎ′(x)≥0恒成立或ℎ′(x)≤0恒成立，令φ(x)=lnax+1x −a得φ′(x)=1x−1x=x−1x，所以φ(x)在(0, 1)单调递减，在(1, +∞)单调递增，……………………2分又φ(1a)=0，当0<a≤1时1a ≥1，∴x∈(1a,+∞)时，φ(x)>φ(1a)=0；当a>1时1a <1，∴x∈(0,1a)时，φ(x)>φ(1a)=0；∴ℎ′(x)≤0不可能恒成立，归纳得ℎ′(x)≥0恒成立．……………………3分又φ(x)min=φ(1)=lna−a+1，所以lna−a+1≥(0)令p(a)=lna−a+1，a>0，p′(a)=1a−1，得p(a)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减，p(a)≤p(1)=0，即lna−a+1≤0，……………………5分所以lna−a+1=0，即a=(1)……………………6分证明：(Ⅱ)令F(x)=e x+(lnx−1)sinx，（1）当x≥e时，sinx≥−1，所以F(x)=e x+(lnx−1)sinx≥e x−lnx+1，x>(0)……………………7分因为[e x −(x +1)]′=e x −1≥0，所以e x −(x +1)>e 0−(0+1)=0即e x >x +1；因为[(x −1)−lnx]′=1−1x，可知函数(x −1)−lnx 在x =1处取最小值即(x −1)−lnx ≥0，即−lnx ≥1−x ．由不等式的性质得e x −lnx +1>(x +1)+(1−x)+1=3>0，所以F(x)=e x +(lnx −1)sinx >(0)……………………9分（2）当0<x <e 时，F(x)=e x +(lnx −1)sinx >1+(lnx −1)sinx ，因为(x −sinx)′=1−cosx ≥0，所以x −sinx >0−sin0=0，即sinx <x ，∵ lnx −1<0，∴ (lnx −1)sinx >(lnx −1)x ，即F(x)>1+x(lnx −1)=x(lnx +1x −1) 由(Ⅱ)证明可知lnx +1x −1≥0，所以F(x)>(0)……………………11分由（1）（2）得e x +f(x)sinx >(0)……………………12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =5+tcosαy =tsinα ，(t 为参数，0≤α<π)．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．(Ⅰ)当α=45∘时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点C 的直角坐标为C(2, 0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，当△ABC 面积最大时，求直线l 的普通方程．【答案】(Ⅰ)当α=45∘时，直线l 的参数方程为{x =5+√22t y =√22t，消去t 得直线l 的普通方程为x −y −5=(0)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，两边乘以ρ为ρ2=4ρcosθ，由{x =ρcosθy =ρsinθ得：x 2+y 2−4x =0，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =(0) (Ⅱ)曲线C 是以C(2, 0)为圆心，2为半径的圆， S △ABC =12|CA||CB|sin∠ACB =2sin∠ACB ．当∠ACB =90∘时面积最大．此时点C 到直线l:y =k(x −5)的距离为√2，所以√2=√k 2+1，解得：k =±√147，所以直线l 的普通方程为y =±√147(x −5)．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (Ⅱ)利用三角形的面积的最大值求出直线的方程．【解答】(Ⅰ)当α=45∘时，直线l 的参数方程为{x =5+√22t y =√22t，消去t 得直线l 的普通方程为x −y −5=(0)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，两边乘以ρ为ρ2=4ρcosθ，由{x =ρcosθy =ρsinθ得：x 2+y 2−4x =0，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =(0) (Ⅱ)曲线C 是以C(2, 0)为圆心，2为半径的圆， S △ABC =12|CA||CB|sin∠ACB =2sin∠ACB ．当∠ACB =90∘时面积最大．此时点C 到直线l:y =k(x −5)的距离为√2，所以√2=√k 2+1，解得：k =±√147，所以直线l 的普通方程为y =±√147(x −5)．[选修4-5：不等式选讲]设f(x)=a|x −1|+|x +3|． (Ⅰ)当a =1时，求f(x)的最小值；(Ⅱ)若g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，作出g(x)图象并根据图象写出a 的值（不要求证明）．【答案】（1）当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|≥|(x −1)−(x +3)|=4，当且仅当(x −1)(x +3)≤0，即−3≤x ≤1时等号成立．∴ f(x)的最小值为（4）……………………4分（2）g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．则g(x)的图象是夹在y =−5与y =5之间的周期为4的折线，如图，…………6分试卷第21页，总21页又f(x)={−(a +1)x +a −3,x ≤−3(1−a)x +a +3,−3<x <1(a +1)x −a +3,x ≥1，f(x)的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，则f(x)的图象的两条射线中至少有一条是平行于x 轴的，所以−(a +1)=0或(a +1)=0得a =−(1)此时f(x)={−4,x ≤−32x +2,−3<x <14,x ≥1，经验证符合题意，∴ a =−1……………………10分【考点】函数的最值及其几何意义函数的零点与方程根的关系【解析】(Ⅰ)当a =1时，化简f(x)的表达式，利用绝对值的几何意义求解函数的最小值；(Ⅱ)画出函数的图象，求解函数的解析式，利用函数的零点个数，转化求解即可．【解答】（1）当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|≥|(x −1)−(x +3)|=4，当且仅当(x −1)(x +3)≤0，即−3≤x ≤1时等号成立．∴ f(x)的最小值为（4）……………………4分（2）g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．则g(x)的图象是夹在y =−5与y =5之间的周期为4的折线，如图，…………6分又f(x)={−(a +1)x +a −3,x ≤−3(1−a)x +a +3,−3<x <1(a +1)x −a +3,x ≥1，f(x)的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，则f(x)的图象的两条射线中至少有一条是平行于x 轴的，所以−(a +1)=0或(a +1)=0得a =−(1)此时f(x)={−4,x ≤−32x +2,−3<x <14,x ≥1，经验证符合题意，∴ a =−1……………………10分。

山东省、湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次(12月)联考数学(理)试题+Word版含解析

山东、湖北部分重点中学2018年第二次联考(理)数学试题（理工农医类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】,则.故选B.2. 已知全集，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，..则.故选B.3. 在等差数列中，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在等差数列中，,则.故选C.4. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥，如图所示，则三棱锥的表面积为.故选A.5. 已知,则的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】,.所以.故选D.6. 若函数图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移得到函数的图象，则有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】.故选A.点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.7. 已知命题若，则，命题若，则，则有（）A. 为真B. 为真C. 为真D. 为真【答案】D【解析】为假，，为真. 则为真，故选D.8. 若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】或(舍),故选C.9. 如图所示，扇形的半径为，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】扇形绕旋转一周所得几何体的体积为球体积的，则，绕旋转一周所得几何体为圆锥，体积为，阴影部分旋转所得几何体的体积为，故选C.10. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】为奇函数，排除B；；排除D；，排除C.故选A.11. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】奇数数列，即为底1009个奇数.按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数,则第1行到第行末共有个奇数；第1行到第行末共有个奇数；则2017位于第45行；而第行是从右到左依次递增，且共有个奇数；故位于第45行，从右到左第19列，则，故选D.点睛：本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12. 已知函数，给出下列命题：①函数的最小正周期为；②函数关于对称；③函数关于对称；④函数的值域为，则其中正确的命题个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】的周期显然为；；；，故②正确.；，故③正确.，设，则，，故④正确.故选D.点睛：复杂函数求对称中心，如函数满足，则对称中心为，如函数满足，则对称轴为此处需要学生对函数的对称性非常熟悉，然后将具体函数代入计算，得到等式，等式成立的条件就是常数和含自变量的式子对应相等，最后解得答案。

2018高考数学压轴卷山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(文)试卷

山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次联考数学（文）试题命题学校：襄阳五中命题人：程玲本试卷共4页，共23题，满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.请将答题卡上交.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（原创，容易）已知命题q p ,，则“q p ∧为假命题”是“q p ∨为真命题”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】“q p ∧为假命题”包括“p 假q 假”，“p 真q 假”，“p 假q 真”，“q p ∨为真命题”包括“p 真q 真”，“p 真q 假”，“p 假q 真”【考点】命题交并的真假，充分必要条件 2.（原创，容易）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤---=02)4)(1(x x x x A ，{}51≤≤-∈=x N x B ，则集合B A 的子集个数为（）A. 5B. 4C.32D.16 【答案】D【解析】{}421≤<≤=x x x A 或，{}5，4，3，2，1，0=B ，∴{}4，3，1，0=B A ，∴B A 的子集个数为1624=【考点】解不等式，交集的运算，集合子集的个数 3.（原创，容易）设i 为虚数单位，若复数)(1R a i i a Z ∈+-=的实部与虚部的和为43，则23)1()(-+-=x x x f a 定义域为（） A.），（），（∞+221 B.[)），（，∞+221 C. ()∞+，1 D. ()2,1【答案】A 【解析】易知41-=a ，所以只需满足21≠>x x 且【考点】复数，具体函数的定义域.4.（原创，容易）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且3π=A ,4=c ，62=a ，则角C =( ) A ．43π B. 4π C. 4π或43π D.3π或32π 【答案】B【解析】C c A a sin sin = ，2262234sin =⋅=∴C ，又c a > ，所以角C =4π 【考点】正弦定理解三角形.5.（原创，容易）执行下列程序框图，若输入a ，b 分别为98，63，则输出的a =（）A ．12 B. 14 C. 7 D. 9 【答案】C【解析】“更相减损术”求最大公约数【考点】程序框图6.（原创，适中)已知31)(++-=x x x f ，3-1)(--=x x x g ，设)(x f 的最大值为M ，)(x g 的最大值为N ，则NM=（） A. 2 B.1 C.4 D.3 【答案】A【解析】)(x f 的定义域是[]13-，，32-2431)(222+-+=++-=x x x x x f ）（，当1-=x 时，8)(m a x 2=x f ，所以M =22；)(x g 的定义域是[)∞+，3，3123-1)(-+-=--=x x x x x g ，所以2)(max ==N x g .N M=2【考点】函数的最值7.（原创，适中）曲线1)(3+-=x x x f 在点()11，处的切线方程是（） A.012=--y x 或054=-+y x B. 012=--y x C. 02=-+y x 或054=-+y x D. 02=-+y x【答案】B 【解析】因为切点为()11，，斜率为1320-=x k =2，则该切点处的切线为012=--y x 【考点】曲线上某点处的切线方程8.（原创，适中）已知函数x x x x f sin )1ln()(2--+=，则对于任意实数b a ,022-≠+⎪⎭⎫⎝⎛∈b a 且，ππ，则b a b f a f ++)()(的值（） A ．恒负 B. 恒正 C. 恒为0 D. 不确定【答案】A【解析】x x x x f sin )1ln()(2--+=在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上为奇函数且单调递减.所以)()(b f a f +与b a +同号【考点】函数的性质.9. （改编，适中）若函数()2df x ax bx c=++ （a ， b ， c ， d R ∈）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．0,0,0,0>>>>d c b a B. 0,0,0,0<>>>d c b a C. 0,0,0,0>><>d c b aD. 0,0,0,0<><>d c b a 【答案】D【解析】02=++c bx ax 的两根为1，5.所以b a ,异号，c a ,同号.又因为0)0(<f ，所以d c ,异号【考点】函数图像10. （改编，较难）某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为5，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为 45的直角梯形，则该多面体的体积为（）A.1B.21C. 32 D. 2【答案】C【解析】，323131=+=+=--BCD F ADFE B V V V 【考点】三视图11. （改编，较难）若正数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-xy y y x x ln 2142，则xy x y 22+的取值范围为（） A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+417,1e e B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞+,1e e C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,2 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+e e 1,2 【答案】A【解析】因为+∈R y x ,，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-x y y y x x ln 2142可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-x y xy y x ln 0)211)(4(，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤x y x y ln 41又因为yxx y xy x y +=+22，所以设x y k =，则约束条件变为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥xkx k ln 41，进一步可知约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥ek k 141，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e k 1,41，目标函数为k k xy x y 122+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈417,1e e【考点】线性规划，函数上过某点的切线方程，函数的值域12.（改编，较难）已知函数ax x x f -=2)(，x e x x g -=ln )(.在其共同的定义域内，)(x g 的图像不可能在)(x f 的上方，则求a 的取值范围（） A ． 110+<<e a B. 0>a C. 1+≤e a D. 0≤a 【答案】C【解析】由题意得x x x x e a x ln -+≤，令xx x x e x x ln )(-+=ϕ， 22ln 11)1()(x x x x e x x --+-=，ϕ22ln 1)1(xxx x e x +-+-=；令x x x e x t x ln 1)1()(2+-+-=，012)(>++⋅=xx x e x t x ，，所以)(x t 在),0(+∞上单调递增，又因为0)1(=t ；当)1,0(∈x 时，)(x ϕ单调递减；当)1(∞+∈，x 时，)(x ϕ单调递增.所以1)1()(+=≥e x ϕϕ，所以1+≤e a .C 正确.【考点】导数的应用.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13. （原创，容易）命题()”“xe x x ≤++∞∈∀2ln ,,0的否定是【答案】()02ln ,,000x e x x >++∞∈∃ 【解析】()”“02ln ,,000x e x x >++∞∈∃ 【考点】全称命题和特称命题14. （原创，容易）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥=++-)1()12()1()(322x m x m x x x f m m 在R 上是单调递增函数，则m 的取值范围是【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛3221，【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-≥>->++-1310120322m m m m 可得3221≤<m【考点】函数的性质15. （改编，容易）如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ， F 分别为棱AB ， AD=_____；BC EF -=；【答案】5；3 【解析】()50142222=++=⋅++=+=,所以5设BD 的中点为G ，则=-=-,所以BC EF -=3=【考点】向量16. （改编，较难）对于集合{}12,,,n a a a 和常数0a ，定义：)(cos ....)(cos )(cos )(sin ....)(sin )(sin 0202201202022012a a a a a a a a a a a a t n n -++-+--++-+-= 为集合{}12,,,n a a a 相对于0a 的“类正切平方”.则集合57,,266πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭相对于0a 的“类正切平方”t = 【答案】1【解析】)67(co s )65(c o s )2(c o s )67(s i n )65(s i n )2(si n 020202020202a a a a a a t -+-+--+-+-=ππππππ=)6(cos )6(cos sin )6(sin )6(sin cos 020*********a a a a a a -+++-+++ππππ=2002000220020002sin 21cos 23sin 21cos 23sin sin 23cos 21sin 23cos 21cos ）（）（）（）（a a a a a a a a a a ++-+-+++=20202020202sin 21cos 23sin sin 23cos 21cos a a a a a a ++++ =02020202sin 23cos 23sin 23cos 23a a a a ++=1【考点】创新题，三角函数三、解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17. （原创，容易）（本小题12分）在数列{}n a 中，已知11=a ，121+=+n n a a (*N n ∈）（1）求证：{}1+n a 是等比数列（2）设11+⋅+=n n n n a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S解析：（Ⅰ）由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a （*N n ∈）又 211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列 (5)分(2) 由（1）知：n n n a 22211=⋅=+-，12-=n n a （*N n ∈）∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n nn n b （*N n ∈） ∴nS =nb b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n ………………………………12分.【考点】递推关系，等比数列，求前n 项和. 18. （原创，容易）（本小题12分）已知函数21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f （0>ω）的最小正周期为π.（1）求ω的值（2）将函数)(x f y =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g 的图象.求函数)(x g 在[]ππ,-上单调递减区间和零点.【解析】（1）21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f =）（1)6cos()6sin(32)6(cos 2212---+-πωπωπωx x x=）（)32sin(3)32cos(21πωπω-+-x x =)62sin(πω-x由πωπ==22T 得1=ω……………………………………5分（2） =)(x f )62sin(π-x ，∴)(x g =)6sin(π+x单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππ,3,32, 零点为60ππ-=k x （Z k ∈）,又因为[]ππ,0-∈x ，所以)(x g 在[]ππ,-上的零点是65,6ππ-………………………………………12分【考点】三角函数19.（改编，适中）（本小题12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，边长为1，120=∠ADC ，⊥PA 平面ABCD ，PAD ∆是等腰三角形.（1）求证：平面⊥PBD 平面PAC（2）在线段,PC PD 上可以分别找到两点'A ， ''A ，使得直线PC ⊥平面'''AA A ，并分别求出此时''',PA PA PC PD的值．【解析】（1）因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又因为⊥PA 平面ABCD ，且⊂BD 平面ABCD ，所以BD PA ⊥;所以BD ⊥平面PAC ;又因为⊂BD 平面PBD ，所以平面⊥PBD 平面PAC ……………………………5分（2） PC ⊥平面'''AA A ，∴'AA PC ⊥,''AA PC ⊥在PACRT ∆,PCPA PA ⋅='2,又2,1==PC PA ,21'=∴PA .41'=∴PC PA ………………………8分在PDC ∆中，21,2,1,2'====PA PC DC PD ,又 '''cos PA DPC PA =∠⋅, 又 245241242cos 222=-+=⋅-+=∠PD PC CD PD PC DPC 522''=∴PA ,522522''==∴PD PA ………………………………………12分【考点】立体几何20.（改编，适中）（本小题12分）已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有())()12('x f x e x f x++=（e 是自然对数的底数），1)0(=f(1)求)(x f 的解析式 (2)求)(x f 的单调区间.【解析】（1）由())()12('x f x e x f x++=得12)()('+=-x e x f x f x，即12)('+=⎪⎭⎫⎝⎛x e x f x ，所以c x x ex f x++=2)(所以()x e c x x x f ++=2)(，又因为1)0(=f ，所以1=c所以函数)(x f 的解析式是()x e x x x f 1)(2++=………………………………………7分（2）()x e x x x f 23)(2'++=∴ )(x f 的单调递增区间是：()()+∞--∞-,1,2,；)(x f 的单调递减区间是：()1,2--………………12分【考点】函数的性质21.（原创，较难）（本小题12分）已知函数)(x f =x x ax ln 2-，xx g 1)(=. （1）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值，并判断)(x f 在1=x 处取得极大值还是极小值.（2）若)()(x g x f ≥在(]10，上恒成立，求a 的取值范围. 【解析】（1）)(x f 的定义域是()∞+，0，)('x f =2ln 12x x ax --，由0)1('=f 得21=a . 当21=a 时，)(x f =x x x ln 212-，)('x f =2ln 1x x x --23ln 1xx x +-= 02>x 恒成立，∴ 令)(x t =x x ln 13+-，)('x t =xx 132+0>恒成立 ∴)(x t 在()∞+，0上单调递增，又因为0)1(=t ∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增. ∴ 当21=a 时，)(x f 在1=x 处取得极小值.………………………………………5分（2）由)()(x g x f ≥得xx x ax 1ln 2≥-在(]10，上恒成立即1ln 3≥-x ax 在(]10，上恒成立. 解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：令x ax x ln )(3-=ϕ，①当0≤a 时，)(x ϕ在(]1,0上单调递减，+∞=+→)(lim 0x x ϕ，0)1(<=a ϕ，所以)(x ϕ的值域为：[)∞+，a ，因为0≤a ，所以)(x ϕ的值域为[)∞+，0；所以不成立.②当0>a 时，易知0)(>x ϕ恒成立.)31(313)(32ax x a x ax x -=-=，ϕ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，a 313上单调递增.因为1)1(≥ϕ，所以1≥a ，所以1313<a ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1313，a 上单调递增.所以=m i n )(x ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 313ϕ，依题意，1313≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ϕ，所以32e a ≥. 综上：32e a ≥ 解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：命题“1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立”的否定是“1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解” 1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解⇒1ln 13<-<-x ax 在(]1,0上有解⇒33ln 1ln 1-x x a x x +<<+在(]1,0上有解令3ln 1-)(x x x t +=，(]1,0∈x . )(,x t ()6233ln 11x x x x x⋅+--⋅=0ln 3-44>=x x ，所以3ln 1-)(x x x t +=在(]1,0上单调递增，又 -∞=+→)(lim 0x t x ，所以)(x t 无最小值.所以R a ∈；令3ln 1)(x x x m +=，4623ln 323)ln 1(1)(x x x x x x x x m --=⋅+-⋅=，所以)(x m 在),0(32-e 上单调递增，在)1(32，-e 上单调递减. 所以3)()(223max e e m x m ==-,所以32e a <.因为1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解时，32e a <；所以1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立时，32e a ≥. ……………………………………12分【考点】导函数22. （原创，容易）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x C ：（α为参数），直线l 的参数方程是⎩⎨⎧=+-=t y t x 2（t 为参数）．（1）分别求曲线C、直线l 的普通方程；（2）直线l 与C 交于B A ,两点，则求AB 的值.【解析】（1）C ：1922=+y x ；l ：02=-+y x ………………………………………4分（2）直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=''22222t y t x ，（'t 为参数）将l 的标准参数方程代入C 的直角坐标方程得：05'22'52=--t t ，所以522''21=+t t ，1''21-=⋅t t ∴=-+=-=''4)''(21221'2'1t t t t t t AB 536………………………………………10分【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转换和直线参数方程.23. （原创，容易）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数212)(++-=x x x f ，()a a x x x g +--+=1（1）求解不等式3)(>x f ；（2）对于R x x ∈∀21,，使得)()(21x g x f ≥成立，求a 的取值范围.【解析】（1）由⎩⎨⎧>---≤3132x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-33212x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥31321x x 解得：0<x 或32>x ∴解集为：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,320, ………………………………………4分（2）当21=x 时，25)(min =x f ；a a x g ++=1)(max 由题意得max min )()(x g x f ≥，得251≤++a a 即a a -≤+251 ∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≥-22251025a a a 解得43≤a ………………………………………10分【考点】绝对值不等式齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次调研联考数学（文）参考答案及评分标准1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A9. 【答案】D10.【答案】C11.【答案】A12.【答案】C13.【答案】()02ln ,,000x e x x >++∞∈∃14.【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛3221， 15.【答案】5；316.【答案】117. 解析：（1）由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a （*N n ∈）又 211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.……………………5分(2) 由（1）知：n n n a 22211=⋅=+-，12-=n n a （*N n ∈） ∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n n n n b （*N n ∈） ∴n S =n b b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n ………………………………12分.18.【解析】（1）21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f =）（1)6cos()6sin(32)6(cos 2212---+-πωπωπωx x x =）（)32sin(3)32cos(21πωπω-+-x x =)62sin(πω-x 由πωπ==22T 得1=ω……………………………………5分 (2) =)(x f )62sin(π-x ，∴)(x g =)6sin(π+x单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππ,3,32, 零点为60ππ-=k x （Z k ∈）,又因为[]ππ,0-∈x ，所以)(x g 在[]ππ,-上的零点是65,6ππ-………………………………………12分19.【解析】（1）因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又因为⊥PA 平面ABCD ，且⊂BD 平面ABCD ，所以BD PA ⊥;所以BD ⊥平面PAC ;又因为⊂BD 平面PBD ，所以平面⊥PBD 平面PAC ……………………………5分（2） PC ⊥平面'''AA A ，∴'AA PC ⊥,''AA PC ⊥在PACRT ∆,PC PA PA ⋅='2,又 2,1==PC PA ,21'=∴PA .41'=∴PC PA ………………………8分在PDC ∆中，21,2,1,2'====PA PC DC PD ,又 '''cos PA DPC PA =∠⋅, 又 245241242cos 222=-+=⋅-+=∠PD PC CD PD PC DPC 522''=∴PA ,522522''==∴PD PA ………………………………………12分20.【解析】（1）由())()12('x f x e x f x ++=得12)()('+=-x e x f x f x ，即12)('+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x e x f x ，所以c x x ex f x ++=2)( 所以()xe c x x xf ++=2)(，又因为1)0(=f ，所以1=c所以函数)(x f 的解析式是()x e x x x f 1)(2++=………………………………………7分（2）()x e x x x f 23)(2'++=∴ )(x f 的单调递增区间是：()()+∞--∞-,1,2,；)(x f 的单调递减区间是：()1,2--………………12分21.（1）)(x f 的定义域是()∞+，0，)('x f =2ln 12x x ax --，由0)1('=f 得21=a . 当21=a 时，)(x f =x x x ln 212-，)('x f =2ln 1x x x --23ln 1xx x +-= 02>x 恒成立，∴ 令)(x t =x x ln 13+-，)('x t =xx 132+0>恒成立 ∴)(x t 在()∞+，0上单调递增，又因为0)1(=t ∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增.∴ 当21=a 时，)(x f 在1=x 处取得极小值.………………………………………5分（2）由)()(x g x f ≥得xx x ax 1ln 2≥-在(]10，上恒成立即1ln 3≥-x ax 在(]10，上恒成立. 解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：令x ax x ln )(3-=ϕ，①当0≤a 时，)(x ϕ在(]1,0上单调递减，+∞=+→)(lim 0x x ϕ，0)1(<=a ϕ，所以)(x ϕ的值域为：[)∞+，a ，因为0≤a ，所以)(x ϕ的值域为[)∞+，0；所以不成立. ②当0>a 时，易知0)(>x ϕ恒成立.)31(313)(32ax x a x ax x -=-=，ϕ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，a 313上单调递增.因为1)1(≥ϕ，所以1≥a ，所以1313<a ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1313，a 上单调递增.所以=m i n )(x ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 313ϕ，依题意，1313≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ϕ，所以32e a ≥. 综上：32e a ≥ 解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：命题“1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立”的否定是“1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解” 1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解⇒1ln 13<-<-x ax 在(]1,0上有解⇒33ln 1ln 1-xx a x x +<<+在(]1,0上有解令3ln 1-)(x x x t +=，(]1,0∈x . )(,x t ()6233ln 11xx x x x ⋅+--⋅=0ln 3-44>=x x ，所以3ln 1-)(x x x t +=在(]1,0上单调递增，又 -∞=+→)(lim 0x t x ，所以)(x t 无最小值.所以R a ∈；令3ln 1)(x x x m +=，4623ln 323)ln 1(1)(xx x x x x x x m --=⋅+-⋅=，所以)(x m 在),0(32-e 上单调递增，在)1(32，-e 上单调递减. 所以3)()(223max e e m x m ==-,所以32e a <. 因为1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解时，32e a <；所以1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立时，32e a ≥. ……………………………………12分22.【解析】（1）C ：1922=+y x ；l ：02=-+y x ………………………………………4分（2）直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=''22222t y t x ，（'t 为参数）将l 的标准参数方程代入C 的直角坐标方程得：05'22'52=--t t ，所以522''21=+t t ，1''21-=⋅t t ∴=-+=-=''4)''(21221'2'1t t t t t t AB 536………………………………………10分【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转换和直线参数方程. 23.【解析】（1）由⎩⎨⎧>---≤3132x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-33212x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥31321x x 解得：0<x 或32>x ∴解集为：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,320, ………………………………………4分（2）当21=x 时，25)(min =x f ；a a x g ++=1)(max 由题意得max min )()(x g x f ≥，得251≤++a a 即a a -≤+251 ∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≥-22251025a a a 解得43≤a ………………………………………10分。

山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(文)试题(解析版)

山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次联考数学（文）试题本试卷共4页，共23题，满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.请将答题卡上交.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知命题，则“为假命题”是“为真命题”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】“为假命题”，则假或假，包括假假，假真，真假；“为真命题”，则真或真，包括真真，假真，真假；则“为假命题”是“为真命题”的既不充分也不必要条件，故选D。

2.已知集合，，则集合的子集个数为（）A. 5B. 4C. 32D. 16【答案】D【解析】【详解】，，则，则子集个数为，故选D。

3.设为虚数单位，若复数的实部与虚部的和为，则定义域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，则，则，则，所以，且，即，故选A。

4.的内角的对边分别为,且,，，则角=( )A. B. C. 或 D. 或【答案】B【解析】由正弦定理，，所以，又，则，所以，故选B。

5.执行下列程序框图，若输入分别为77,63，则输出的（）A. 12B. 14C. 7D. 9【答案】C【解析】因为，则，则，所以，则，所以，则，所以，则，所以，则，所以，则，所以输出，故选C。

6.已知，，设的最大值为，的最大值为，则=（）A. 2B. 1C. 4D. 3【答案】A【解析】，则递增，递减，所以，，则递减，所以，所以，故选A。

2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷(文科)

2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|y=√x−1}，B={x|−1≤x≤2}，则A∩B=()A.[−1, 2]B.[1, 2]C.(1, 2]D.[−1, 1]∪{2}2. 已知复数z满足|z|=√2,z+z=2，（z为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z=()A.1+iB.1−iC.1+i或1−iD.−1+i或−1−i3. 当5个正整数从小到大排列时，其中位数为4，若这5个数的唯一众数为6，则这5个数的均值不可能为（）A.3.6B.3.8C.4D.4.24. 一给定函数y=f(x)的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈(0, 1)，由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1<a n．则该函数的图象可能是（）A. B.C. D.5. 按如图所示的算法框图，某同学在区间[0, 9]上随机地取一个数作为x输入，则该同学能得到“OK”的概率（）A.1 2B.19C.1318D.896. 已知直线x +2y +√5=0与直线x −dy +11√5=0互相平行且距离为m ．等差数列{a n }的公差为d ，且a 7⋅a 8＝35，a 4+a 10<0，令S n ＝|a 1|+|a 2|+|a 3|+...+|a n |，则S m 的值为（） A.36 B.44 C.52 D.607. 函数f(x)=cosx +2|cosx|−m ，x ∈[0, 2π]恰有两个零点，则m 的取值范围为（） A.(0, 1] B.{1} C.{0}∪(1, 3] D.[0, 3]8. 我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈=5步）．则海岛高度为（） A.1055步 B.1255步 C.1550步 D.2255步9. 一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（）A.13 B.53C.54D.210. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，左、右焦点分别为F 1(−c, 0)，F 2(c, 0)，B(−a, a)，C(−a, −a)，过A ，B ，C 三点的圆与直线x =−a 2c 相切，则此椭圆的离心率为（） A.13B.12C.√22D.2311. 已知D ，E 分别是△ABC 边AB ，AC 的中点，M 是线段DE 上的一动点（不包含D ，E 两点），且满足AM →=αAB →+βAC →，则1α+2β的最小值为（） A.4√2 B.8C.6−4√2D.6+4√212. 定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)={1−2x ,x ∈[0,1)1−|x −3|,x ∈[1,+∞). ，则关于x的函数F(x)＝f(x)−a(0<a <1)的所有零点之和为（） A.2a −1 B.1−2−a C.−log 2(1+a) D.log 2(1−a) 二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.在三棱锥S−ABC中，AB⊥AC，AB=AC=SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为________．已知双曲线x24−y2=1上一点P，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|⋅|ON|=________．实系数一元二次方程x2+ax−2b=0有两实根，一根在区间(0, 1)内，另一根在区间(1, 2)内．若z=ba−1，则z的取值范围为________．下面有四个命题：①在等比数列{a n}中，首项a1>0是等比数列{a n}为递增数列的必要条件．②已知a=lg2，则a<a a<a a a．③将y=2tan(x+π6)的图象向右平移π6个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，可得到y=tanx的图象．④设0<a<3，则函数f(x)=x3−ax(0<x<1)有最小值无最大值．其中正确命题的序号为________．（填入所有正确的命题序号）三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知abc +cab−bac=1a cosC+c cosA．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为3√32，其外接圆半径为√3，且c>a，求c．一批大学生和公务员为了响应我党提出的“精准扶贫”政策，申请报名参加新疆某贫困地区开展脱贫工作的“进村工作”活动，帮助当地农民脱贫致富．该区有A，B，C，D四个村，政府组织了四个扶贫小组分别进驻各村，开展“进村工作”，签约期两年．约期完后，统计出该区A，B，C，D四村的贫富情况条形图如图：(Ⅰ)若该区脱贫率为80%，根据条形图，求出B村的总户数；(Ⅱ)约期完后，政府打算从四个小组中选出两个小组颁发金星级奖与银星级奖，每个小组被选中的可能性相同．求进驻A村的工作小组被选中的概率．如图，在五边形ABSCD 中，四边形ABCD 为长方形，三角形SBC 为边长为2的正三角形，将三角形SBC 沿BC 折起，使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上．(1)当AB =√2时，证明：平面SAB ⊥平面SCD ；(2)当AB =1时，求四棱锥S −ABCD 的侧面积．已知过抛物线Ω:y 2=2px(0<p ≤8)的焦点F 向圆C ：(x −3)2+y 2=1引切线FT （T 为切点），切线FT 的长为√3． (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)作圆C ：(x −3)2+y 2=1的切线l ，直线l 与抛物线Ω交于A ，B 两点，求|FA|⋅|FB|的最小值．已知函数f(x)=13x 3+1−a 2x 2−a 2ln x +a 2ln a ，a >0（1）当a =1时，求f(x)的单调区间及极值；（2）若f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =5+tcosαy =tsinα ，(t 为参数，0≤α<π)．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ．(Ⅰ)当α=45∘时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)已知点C 的直角坐标为C(2, 0)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，当△ABC 面积最大时，求直线l 的普通方程． [选修4-5：不等式选讲]设f(x)=a|x −1|+|x +3|． (Ⅰ)当a =1时，求f(x)的最小值；(Ⅱ)若g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，作出g(x)图象并根据图象写出a 的值（不要求证明）．参考答案与试题解析2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求函数的定义域得出集合A，根据交集的定义写出集合B．【解答】由A={x|y=√x−1}，得A={x|x−1≥0}={x|x≥1}=[1, +∞)，B={x|−1≤x≤2}=[−1, 2]；∴A∩B=[1, 2]．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】设z=a+bi(a, b∈R)，则z=a−bi，根据复数z满足|z|=√2,z+z=2，可得{a2+b2=22a=2，解出即可得出．【解答】设z=a+bi(a, b∈R)，则z=a−bi，∵复数z满足|z|=√2,z+z=2，∴{a2+b2=22a=2，得{a=1b=±1，∴z=1+i或z=1−i．3.【答案】A【考点】众数、中位数、平均数【解析】根据题意设出五个数，由此求出符合题意的五个数的可能取值，计算平均数即可．【解答】设五个数从小到大为a1，a2，a3，a4，a5，依题意得a3=4，a4=a5=6，a1，a2是1，2，3中两个不同的数，符合题意的五个数可能有三种情形：“1，2，4，6，6”，“1，3，4，6，6”，“2，3，4，6，6”，其平均数分别为3.8，4，4.2，不可能的是3.(6)4.【答案】A【考点】函数的图象变化【解析】利用已知条件推出f(a n)<a n，判断函数的图象，推出选项即可．【解答】一给定函数y=f(x)的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈(0, 1)，由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1<a n．得f(a n)<a n，所以f(a1)<a1在∀a1∈(0, 1)上都成立，即∀x∈(0, 1)，f(x)<x，所以函数图象都在y=x的下方．5.【答案】C【考点】程序框图【解析】求出计算出y≥1的x的取值范围，代入几何概型概率计算公式，可得答案．【解答】当x∈[0,12brack，由算法可知y=−2x+2得y∈[1, 2]，得到“OK”；当x∈(12,1)，由算法可知y=−2x+2得y∈(0, 1)，不能得到“OK”；当x∈[1, 3)，由算法可知y=log3x得y∈[0, 1)，不能得到“OK”；当x∈[3, 9]，由算法可知y=log3x得y∈[1, 2]，能得到“OK”；∴P=12+69=1318．6.【答案】C【考点】数列的求和【解析】根据平行线的距离求出d＝−2，以及m＝10，再根据等差数列的定义求出通项公式，即可求出和．【解答】由两直线平行得d＝−2，由两平行直线间距离公式得m=√5−√5|√1+22=10，∵a7⋅(a7−2)＝35得a7＝−5或a7＝7．∵a4+a10＝2a7<0，∴a7＝−5，∴a n＝−2n+9，∴S n＝|a1|+|a2|+|a3|+...+|a10|＝|7|+|5|+|3|+|1|+|−1|+|−3|+|−5|+|−7|+|−9|+|−11|＝52． 7.【答案】 C【考点】函数的零点与方程根的关系函数与方程的综合运用【解析】画出函数的y =cosx +2|cosx|的图象，y =m 的图象，利用数形结合转化求解即可．【解答】f(x)=cosx +2|cosx|−m ， x ∈[0, 2π]的零点个数就是y =cosx +2|cosx|={3cosx,x ∈[0,π2brack ∪[3π2,2πbrack−cosx,x ∈(π2,3π2) 与y =m 的交点个数．作出y =cosx +2|cosx|的图象，由图象可知m =0或1<m ≤(3) 8.【答案】 B【考点】解三角形【解析】作出示意图，根据三角形相似求出海岛高度．【解答】如图，设岛高x 步，与前标杆相距y 步，则根据三角形相似可得：{5x=123123+y5x=127127+1000+y，解得x =1255步． 9.【答案】 B【考点】由三视图求体积【解析】利用三视图判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可．【解答】依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成．长方体的体积为1×1×2=2，三棱锥的体积为13×12×1×1×2=13，所以几何体的体积为2−13=53． 10.【答案】 D【考点】圆与圆锥曲线的综合问题椭圆的离心率直线与圆的位置关系【解析】画出图形．利用射影定理转化求解离心率即可；另解：设过A，B，C三点的圆的圆心为M(m, 0)，由|MA|=|MB|，列出方程，转化求解即可．【解答】射影定理可得：BE2=AE⋅ED，即a2=2a(a2c−a)，所以ca =23即椭圆的离心率e=23．故选：D．另设过A，B，C三点的圆的圆心为M(m, 0)，由|MA|=|MB|得：|m−a|=√(m+a)2+a2，解得：m=−a4，所以r=|MA|=54a，∴−a4−(−a2c)=54a,e=ca=23．故选：D．11.【答案】D【考点】基本不等式平面向量的基本定理【解析】通过向量的基本定理，推出2α+2β=1，利用基本不等式求解表达式的最小值．【解答】由于M是DE上的一动点（不包含D，E两点），且满足AM→=αAB→+βAC→=2αAD→+2βAE→，所以α，β>0且2α+2β=1，所以1α+2β=(1α+2β)(2α+2β)=6+2βα+4αβ≥6+4√2，（当且仅当α=√2−12,β=2−√22时取=）．12.【答案】C【考点】函数与方程的综合运用【解析】化简分段函数的解析式，画出函数的图象，判断函数的零点的关系，求解即可．【解答】当x ≥0时，f(x)={1−2x ,x ∈[0,1)x −2,x ∈[1,3)4−x,x ∈[3,+∞)又f(x)是奇函数，由图象可知：F(x)＝0⇒f(x)＝a ，(0<a <1)，有5个零点，其中有两个零点关于x ＝−3对称，还有两个零点关于x ＝3对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线y ＝a 与函数y =(12)x −1，x ∈(−1, 0]交点的横坐标，即方程a =(12)x −1的解，x ＝−log 2(1+a)，二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分. 【答案】√66【考点】异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，取AC 的中点E ，连结DE ，SE ，AD ．因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以DE // AC ，所以∠SDE 就是异面直线AB 与SD 所成角．令AB =AC =SA =2，由勾股定理得SE =√5，因为SA ⊥平面ABC ，所以SA ⊥AB ，又AB ⊥AC ，AC ∩SA =A ，AC ，SA ⊂平面SAC ，所以AB ⊥平面SAC ．因为D ，E 分别为BC ，AC 的中点，所以DE =1，DE // AB ．所以DE ⊥平面SAC ，所以DE ⊥SE ，SD =√6．在Rt △SDE 中，cos∠SDE =DE SD =√6=√66．故答案为：√66．【答案】 4【考点】双曲线的特性【解析】求出渐近线的斜率，设出P 的坐标，推出MN 的坐标，然后转化求解即可．【解答】双曲线x 24−y 2=1两渐近线的斜率为±12，设点P(x ∘, y ∘)，则l 1，l 2的方程分别为y −y∘=12(x −x ∘)，y −y∘=−12(x −x ∘)，所以M ，N 坐标为M(x ∘−2y ∘, 0)，N(x ∘+2y ∘, 0)，∴ |OM|∗|ON|=|x ∘−2y ∘|×|x ∘+2y ∘|=|x ∘2−4y ∘2|，又点P 在双曲线上，则x ∘24−y ∘2=1，所以|OM|⋅|ON|=(4) 【答案】(0,14) 【考点】简单线性规划【解析】令f(x)=x 2+ax −2b ，依题意得关于a ，b 的不等式组，作出可行域如图，再由z =b a−1表示的几何意义，即过可行域内一点与点P(1, 0)的直线的斜率求解．【解答】令f(x)=x 2+ax −2b ，依题意得，{f(0)>0f(1)<0f(2)>0 ，即{b <0a −2b +1<0a −b +2>0 ，作出可行域如图，可行域是△ABC 内部的部分．z =ba−1表示的几何意义是过可行域内一点与点P(1, 0)的直线的斜率，由{a −2b +1=0a −b +2=0 ，得A(−3, −1)，B(−1, 0)，C(−2, 0)． ∴ k PC =0,k PA =−1−0−3−1=14， ∴ z ∈(0,14)．【答案】 ③④ 【考点】命题的真假判断与应用【解析】①举例说明命题错误；②根据指数函数的单调性判断命题错误； ③由变换规律判断命题正确；④利用函数的导数判断f(x)的单调性，再判断命题正确．【解答】对于①，如首项a 1=−1，公比q =12的等比数列为递增数列，所以首项a 1>0不是等比数列{a n }为递增数列的必要条件，①错误；对于②，可知0<a <1时，a 0>a a >a 1，即1>a a >a ，所以a <a a a<a a ，②错误；对于③，将y =2tan(x +π6)的图象向右平移π6个单位，得y =2tan[(x −π6)+π6]=2tanx ；再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12，得y =2×12tanx =tanx ，即y =tanx ，③正确；对于④，0<x <1时，令f′(x)=3x 2−a =0，解得x =√a3，又0<a <3， ∴ 0<√a3<1，可知f(x)在(0,√a 3)上单调递减，在(√a3,1)单调递增，所以④正确；综上，正确的命题是③④．三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 【答案】解：（1）由余弦定理得a 2+c 2−b 2ac=2cosB ，∴ a +c −b =a 2+c 2−b 2=a 2+c 2−b 2=2cosB∴2cosB b=1a cosC+c cosA ，由正弦定理得2cosB sinB =1sinA cosC+sinC cosA =1sin(A+C)，又A +C =π−B ，∴ 2cosB sinB =sinB ，而sinB ≠0， ∴ cosB =12．∵ B ∈(0,π)，∴ B =π3．（2）由题意，bsinB =2√3，∴ b =3，由面积公式得S △ABC =12ac sinB =√34ac =3√32，即ac =6．①由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cosB =a 2+c 2−6=9，即a 2+c 2=15．② 由①②解得{a =2√3,c =√3或{a =√3,c =2√3,又c >a ，∴ a =√3，c =2√3．【考点】正弦定理余弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）由余弦定理得a 2+c 2−b 2ac=2cosB ，∴ a bc +c ab −b ab =a 2abc +c 2abc −b 2abc =a 2+c 2−b 2abc =2cosBb ∴2cosB b=1a cosC+c cosA ，由正弦定理得2cosB sinB =1sinA cosC+sinC cosA =1sin(A+C)，又A +C =π−B，∴ 2cosB sinB=sinB，而sinB≠0，∴ cosB=12．∵ B∈(0,π)，∴ B=π3．（2）由题意，bsinB=2√3，∴ b=3，由面积公式得S△ABC=12ac sinB=√34ac=3√32，即ac=6．①由余弦定理得b2=a2+c2−2ac cosB=a2+c2−6=9，即a2+c2=15．②由①②解得{a=2√3,c=√3或{a=√3,c=2√3,又c>a，∴ a=√3，c=2√3．【答案】(Ⅰ)设B村户数为x户，则：80%=80+60+60+40100+x+60+60=240220+x，………3分解得：x=80（户）．……………5分(Ⅱ)不妨用（金星级奖队，银星级奖队）表示获奖结果，则可能出现的结果为：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(B, A)，(B, C)，(B, D)，(C, A)，(C, B)，(C, D)，(D, A)，(D, B)，(D, C)，共12种等可能性结果．……………9分其中(A, B)，(A, C)，(A, D)，(B, A)，(C, A)，(D, A)符合题意，共6种．所以进驻A村的工作小组被选中的概率为p=612=12．……………12分【考点】频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】(Ⅰ)设B村户数为x户利用条形图列出方程，能求出x的值．(Ⅱ)不妨用（金星级奖队，银星级奖队）表示获奖结果，利用列举法能求出进驻A村的工作小组被选中的概率．【解答】(Ⅰ)设B村户数为x户，则：80%=80+60+60+40100+x+60+60=240220+x，………3分解得：x=80（户）．……………5分(Ⅱ)不妨用（金星级奖队，银星级奖队）表示获奖结果，则可能出现的结果为：(A, B)，(A, C)，(A, D)，(B, A)，(B, C)，(B, D)，(C, A)，(C, B)，(C, D)，(D, A)，(D, B)，(D, C)，共12种等可能性结果．……………9分其中(A, B)，(A, C)，(A, D)，(B, A)，(C, A)，(D, A)符合题意，共6种．所以进驻A村的工作小组被选中的概率为p=612=12．……………12分【答案】(1)证明：如图，过点S作SO⊥AD，垂足为O．依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD．∵四边形ABCD是长方形，∴AB⊥AD．又AD，SO⊂平面SAD，AD∩SO=O，∴AB⊥平面SAD，∴AB⊥SA，AB⊥SD．利用勾股定理得SA=√SB2−AB2=√4−2=√2，同理可得SD=√2．在△SAD中，AD=2，SA=SD=√2，∴SA2+SD2=AD2，∴ SA⊥SD．又AB∩SA=A，∴SD⊥平面SAB．又SD⊂平面SCD，∴平面SAB⊥平面SCD．(2)解：由(1)中可知AB⊥SA，同理CD⊥SD．∵AB=CD=1，SB=SC=2，∴由勾股定理可得SA=SD=√3，∴S△SBC =√34×BC2=√34×22=√3，S△SAB=S△SCD=12CD⋅SD=12×1×√3=√32，△SAD中，SA=SD=√3，AD=2，∴AD边上的高为√(√3)2−1=√2，∴S△SAD=12×2×√2=√2，S=S△SBC+S△SAB+S△SCD+S△SAD=√3+√32+√32+√2=2√3+√2，∴四棱锥S−ABCD的侧面积S=2√3+√2．【考点】平面与平面垂直组合几何体的面积、体积问题平面与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：如图，过点S作SO⊥AD，垂足为O．依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD．∵四边形ABCD是长方形，∴AB⊥AD．又AD，SO⊂平面SAD，AD∩SO=O，∴AB⊥平面SAD，∴AB⊥SA，AB⊥SD．利用勾股定理得SA=√SB2−AB2=√4−2=√2，同理可得SD=√2．在△SAD中，AD=2，SA=SD=√2，∴SA2+SD2=AD2，∴ SA⊥SD．又AB∩SA=A，∴SD⊥平面SAB．又SD⊂平面SCD，∴平面SAB⊥平面SCD．(2)解：由(1)中可知AB⊥SA，同理CD⊥SD．∵AB=CD=1，SB=SC=2，∴由勾股定理可得SA=SD=√3，∴S△SBC =√34×BC2=√34×22=√3，S△SAB=S△SCD=12CD⋅SD=12×1×√3=√32，△SAD中，SA=SD=√3，AD=2，∴AD边上的高为√(√3)2−1=√2，∴S△SAD=12×2×√2=√2，S=S△SBC+S△SAB+S△SCD+S△SAD=√3+√32+√32+√2=2√3+√2，∴四棱锥S−ABCD的侧面积S=2√3+√2．【答案】解；(Ⅰ)因为圆C：(x−3)2+y2=1的圆心为C(3, 0)，F(p2,0)，……………1分由切线长定理可得|FC|2=|FT|2+r2，即(3−p2)2=(√3)2+12=4，……………3分解得：p=2或p=10，又0<p≤8，∴p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．……………4分(Ⅱ)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l方程为x=ny+m，代入y2=4x得y2−4ny−4m=0，∴y1+y2=4n，y1y2=−4m，得x1+x2=n(y1+y2)+2m=4n2+2m，x1x2=y12y2216=m2，……………5分由抛物线的性质得：|FA|=x1+1，|FB|=x2+1，∴|FA||FB|=(x1+1)(x2+1)=m2+4n2+2m+1．……………8分又直线l与圆C相切，则有√1+n2=1，即|m−3|=√1+n2，∴(m−3)2=1+n2，因为圆C在抛物线内部，所以n∈R得：m∈(−∞, 2]∪[4, +∞)，……………10分此时|FA||FB|=m2+4(m−3)2−4+2m+1=5m2−22m+(33)由二次函数的性质可知当m=2时，|FA||FB|取最小值，即|FA||FB|的最小值为（9）……………12分【考点】抛物线的求解直线与抛物线的位置关系【解析】(Ⅰ)求出圆的圆心与抛物线的焦点坐标，利用勾股定理求出p，即可求抛物线C的方程；(Ⅱ)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l方程为x=ny+m，代入y2=4x利用韦达定理以及抛物线的性质得：|FA|=x1+1，|FB|=x2+1，求出|FA|⋅|FB|的表达式，然后求解最小值即可．【解答】解；(Ⅰ)因为圆C：(x−3)2+y2=1的圆心为C(3, 0)，F(p2,0)，……………1分由切线长定理可得|FC|2=|FT|2+r2，即(3−p2)2=(√3)2+12=4，……………3分解得：p=2或p=10，又0<p≤8，∴p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x．……………4分(Ⅱ)设A(x1, y1)，B(x2, y2)，直线l方程为x=ny+m，代入y2=4x得y2−4ny−4m=0，∴y1+y2=4n，y1y2=−4m，得x1+x2=n(y1+y2)+2m=4n2+2m，x1x2=y12y2216=m2，……………5分由抛物线的性质得：|FA|=x1+1，|FB|=x2+1，∴|FA||FB|=(x1+1)(x2+ 1)=m2+4n2+2m+1．……………8分又直线l与圆C相切，则有√1+n2=1，即|m−3|=√1+n2，∴(m−3)2=1+n2，因为圆C在抛物线内部，所以n∈R得：m∈(−∞, 2]∪[4, +∞)，……………10分此时|FA||FB|=m2+4(m−3)2−4+2m+1=5m2−22m+(33)由二次函数的性质可知当m=2时，|FA||FB|取最小值，即|FA||FB|的最小值为（9）……………12分【答案】解：（1）当a=1时，f(x)=13x3−ln x，x>0．f′(x)=x2−1x =x3−1x，x>0．当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0．∴f(x)的单调递减区间为(0,1)；单调递增区间为(1,+∞)．∴f(x)的极小值为f(1)=13；无极大值．（2）∵f′(x)=x2+(1−a)x−a2x=x3+(1−a)x2−a2x=x3−ax2+x2−a2x=x2(x−a)+(x−a)(x+a)x=(x−a)(x2+x+a)x．∵x>0，a>0，∴x2+x+a>0，当x>a时，f′(x)>0；当0<x<a时，f′(x)<0．f(x)在(0,a)上单调递减；在(a,+∞)上单调递增．所以f(x)min=f(a)=13a3+1−a2a2=16a2(3−a)，若f(x)有两个零点，必有f(x)min=16a2(3−a)<0，得a>3．又f(2a)=13(2a)3+1−a2(2a)2−a2ln(2aa)=23a3+(2−ln2)a2>0，f(1)=13×13+1−a2×12−a2ln(1a)=13+12−a2+a 2ln a >13+12−a2+a 2 =(a −14)2+3748>0，综上所述，当a >3时，f(x)有两个零点，所以符合题意的a 的取值范围为(3,+∞)．【考点】函数的零点与方程根的关系利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）当a =1时，f(x)=13x 3−ln x ，x >0． f ′(x)=x 2−1x =x 3−1x，x >0．当0<x <1时，f ′(x)<0；当x >1时，f ′(x)>0．∴ f(x)的单调递减区间为(0,1)；单调递增区间为(1,+∞)． ∴ f(x)的极小值为f(1)=13；无极大值．（2）∵ f ′(x)=x 2+(1−a)x −a 2x=x 3+(1−a)x 2−a 2x =x 3−ax 2+x 2−a 2x =x 2(x −a)+(x −a)(x +a)x =(x−a)(x 2+x+a )x．∵ x >0，a >0， ∴ x 2+x +a >0，当x >a 时，f ′(x)>0；当0<x <a 时，f ′(x)<0．f(x)在(0,a)上单调递减；在(a,+∞)上单调递增．所以f(x)min =f(a)=13a 3+1−a 2a 2=16a 2(3−a)，若f(x)有两个零点，必有f(x)min =16a 2(3−a)<0，得a >3．又f(2a)=13(2a)3+1−a 2(2a)2−a 2ln (2aa )=23a 3+(2−ln 2)a 2>0，f(1)=13×13+1−a 2×12−a 2ln (1a) =13+12−a2+a 2ln a >13+12−a2+a 2 =(a −14)2+3748>0，综上所述，当a >3时，f(x)有两个零点，所以符合题意的a 的取值范围为(3,+∞)．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】(Ⅰ)当α=45∘时，直线l 的参数方程为{x =5+√22t y =√22t，消去t 得直线l 的普通方程为x −y −5=(0)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，两边乘以ρ为ρ2=4ρcosθ，由{x =ρcosθy =ρsinθ得：x 2+y 2−4x =0，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =(0) (Ⅱ)曲线C 是以C(2, 0)为圆心，2为半径的圆， S △ABC =12|CA||CB|sin∠ACB =2sin∠ACB ．当∠ACB =90∘时面积最大．此时点C 到直线l:y =k(x −5)的距离为√2，所以√2=√k 2+1，解得：k =±√147，所以直线l 的普通方程为y =±√147(x −5)．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (Ⅱ)利用三角形的面积的最大值求出直线的方程．【解答】(Ⅰ)当α=45∘时，直线l 的参数方程为{x =5+√22t y =√22t，消去t 得直线l 的普通方程为x −y −5=(0)曲线C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，两边乘以ρ为ρ2=4ρcosθ，由{x =ρcosθy =ρsinθ得：x 2+y 2−4x =0，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4x =(0) (Ⅱ)曲线C 是以C(2, 0)为圆心，2为半径的圆， S △ABC =12|CA||CB|sin∠ACB =2sin∠ACB ．当∠ACB =90∘时面积最大．此时点C 到直线l:y =k(x −5)的距离为√2，所以√2=√k 2+1，解得：k =±√147，所以直线l 的普通方程为y =±√147(x −5)．[选修4-5：不等式选讲]【答案】（1）当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|≥|(x −1)−(x +3)|=4，当且仅当(x −1)(x +3)≤0，即−3≤x ≤1时等号成立．∴ f(x)的最小值为（4）……………………4分（2）g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．则g(x)的图象是夹在y =−5与y =5之间的周期为4的折线，如图，…………6分又f(x)={−(a +1)x +a −3,x ≤−3(1−a)x +a +3,−3<x <1(a +1)x −a +3,x ≥1 ，f(x)的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，则f(x)的图象的两条射线中至少有一条是平行于x 轴的，所以−(a +1)=0或(a +1)=0得a =−(1)此时f(x)={−4,x ≤−32x +2,−3<x <14,x ≥1 ，经验证符合题意，∴ a =−1……………………10分【考点】函数的最值及其几何意义函数的零点与方程根的关系【解析】(Ⅰ)当a =1时，化简f(x)的表达式，利用绝对值的几何意义求解函数的最小值； (Ⅱ)画出函数的图象，求解函数的解析式，利用函数的零点个数，转化求解即可．【解答】（1）当a =1时，f(x)=|x −1|+|x +3|≥|(x −1)−(x +3)|=4，当且仅当(x −1)(x +3)≤0，即−3≤x ≤1时等号成立．∴ f(x)的最小值为（4）……………………4分（2）g(x)为奇函数，且g(2−x)=g(x)，当x ∈[0, 1]时，g(x)=5x ．试卷第21页，总21页则g(x)的图象是夹在y =−5与y =5之间的周期为4的折线，如图，…………6分又f(x)={−(a +1)x +a −3,x ≤−3(1−a)x +a +3,−3<x <1(a +1)x −a +3,x ≥1，f(x)的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若ℎ(x)=f(x)−g(x)有无数多个零点，则f(x)的图象的两条射线中至少有一条是平行于x 轴的，所以−(a +1)=0或(a +1)=0得a =−(1)此时f(x)={−4,x ≤−32x +2,−3<x <14,x ≥1，经验证符合题意，∴ a =−1……………………10分。

高三数学-【数学】湖北省部分重点中学2018届高三第二

湖北省部分重点中学2018届高三第二次联考数学试卷（理）考试时间：2018年1月5日下午15：00-17：00 试卷满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数122ii ++的虚部为 A ．35 B ．35iC ．45D ．45i 2．函数21()lg 4x f x x -=-的定义域为A ．{|21}x x -<<B ．{|21}x x x <->或C ．{|2}x x >D ．{|212}x x x -<<>或3．某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是A ．4B ．5C ．6D ．74．若将函数cos()3y x π=-的图象按向量a 平移后得到函数sin y x =的图象，则a 可以为A ．(,0)6π-B ．(,0)6πC ．5(,0)6π-D ．5(,0)6π 5．等比数列{}n a 的公比为(0||1),n q q S <<为其前n 项和，若lim n n S S →∞=，且2n n S S a =+则q =A ．23-B ．23C ．13D ．13-6．已知a 、b 、c 均为正数，且满足11333113log ,()log ,()log 33abca b c ===则A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<7．双曲线的实轴长、虚轴长与焦距的和为8，则半焦距的取值范围是A ．[424,4)-B ．[424,2]-C ．(424,2)-D ．[424,2)-8．已知直线a 与平面α所成的角为30°，P 为空间一定点，过P 作与a 、α所成的角都是45°的直线l ，则这样的直线l 可作（）条A ．2B ．3C ．4D ．无数9．若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)n n n ++++均不产生进位现象．则称n 为“可近数”．例如：32是“可连数”，因32+33+34不产生进位现象；23不足“可连数”，因23+24+25产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为A ．27B ．36C ．39D ．4810．圆C 的方程为22(2)4x y -+=，圆M 的方程为22(25cos )(5sin )1x y θθ--+-=()R θ∈，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE PF ⋅的最小值是A ．12B ．10C ．6D ．5第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应处） 11．若[0,)θπ∈且cos (sin cos )1θθθ+=，则θ= ．12．若变量x ，y 满足约束条件22020210x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则2241z x y y =+++的最小值为．13．省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩（试卷满分150分）服从正态分布2(100,)N σ，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有人． 14．如图在ABC ∆中，3,7,2AB BC AC ===，若O 为ABC ∆的外心，则AO AC ⋅= ，AO BC ⋅= ．15．从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为．三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分12分）如图，ABC ∆中．7cos ,2,25A AB A =∠=∠∠的平分线AD 的长为10，（1）求B ∠的大小；（2）求AC 边的长；17．（本小题满分12分）如图，长方体1AC 中，12,1,AB BC AA E ===、F 、G 分别为棱1DD 、11D C 、BC 的中点，（1）试在底面1111A B C D 上找一点H ，使//EH 平面1FGB ；（2）求四面体1EFGB 的体积．某鲜花店每天以每束2．5元购入新鲜玫瑰花并以每束5元的价格销售，店主根据以往的销售统计得到每天能以此价格售出的玫瑰花数ξ的分布列如表所示，若某天所购进的玫瑰花未售完，则当天未售出的玫瑰花将以每束1．5元的价格降价处理完毕．（1）若某天店主购入玫瑰花40束，试求该天其从玫瑰花销售中所获利润的期望；（2）店主每天玫瑰花的进货量x （3050x ≤≤，单位：束）为多少时，其有望从玫瑰花销售中获取最火利润?ξ30 40 50P13 13 1319．（本小题满分12分）椭圆的中心原点O ，焦点在y 轴上，离心率63e =，过(0,1)P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，且2AP PB =，求AOB ∆面积的最大值及取得最大值时椭圆的方程．已知(,)P x y 为函数ln y x =图象上一点，O 为坐标原点。

2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（文科）一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，2]B．[1，2]C．（1，2]D．[﹣1，1]∪{2} 2．（5分）已知复数z满足，（为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z＝（）A．1+i B．1﹣i C．1+i或1﹣i D．﹣1+i或﹣1﹣i 3．（5分）当5个正整数从小到大排列时，其中位数为4，若这5个数的唯一众数为6，则这5个数的均值不可能为（）A．3.6B．3.8C．4D．4.24．（5分）一给定函数y＝f（x）的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1＝f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＜a n．则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）按如图所示的算法框图，某同学在区间[0，9]上随机地取一个数作为x输入，则该同学能得到“OK”的概率（）A．B．C．D．6．（5分）已知直线与直线互相平行且距离为m．等差数列{a n}的公差为d，且a7•a8＝35，a4+a10＜0，令S n＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|，则S m的值为（）A．36B．44C．52D．607．（5分）函数f（x）＝cos x+2|cos x|﹣m，x∈[0，2π]恰有两个零点，则m的取值范围为（）A．（0，1]B．{1}C．{0}∪（1，3]D．[0，3]8．（5分）我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈＝5步）．则海岛高度为（）A．1055步B．1255步C．1550步D．2255步9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．210．（5分）已知椭圆的右顶点为A，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），B（﹣a，a），C（﹣a，﹣a），过A，B，C三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点（不包含D，E两点），且满足，则的最小值为（）A．B．8C．D．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a﹣1B．1﹣2﹣a C．﹣log2（1+a）D．log2（1﹣a）二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.13．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为．14．（5分）已知双曲线上一点P，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|•|ON|＝．15．（5分）实系数一元二次方程x2+ax﹣2b＝0有两实根，一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内．若，则z的取值范围为．16．（5分）下面有四个命题：①在等比数列{a n}中，首项a1＞0是等比数列{a n}为递增数列的必要条件．②已知a＝lg2，则．③将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到y＝tan x的图象．④设0＜a＜3，则函数f（x）＝x3﹣ax（0＜x＜1）有最小值无最大值．其中正确命题的序号为．（填入所有正确的命题序号）三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知＝．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）△ABC的面积为，其外接圆半径为，且c＞a，求c．18．（12分）一批大学生和公务员为了响应我党提出的“精准扶贫”政策，申请报名参加新疆某贫困地区开展脱贫工作的“进村工作”活动，帮助当地农民脱贫致富．该区有A，B，C，D四个村，政府组织了四个扶贫小组分别进驻各村，开展“进村工作”，签约期两年．约期完后，统计出该区A，B，C，D四村的贫富情况条形图如图：（Ⅰ）若该区脱贫率为80%，根据条形图，求出B村的总户数；（Ⅱ）约期完后，政府打算从四个小组中选出两个小组颁发金星级奖与银星级奖，每个小组被选中的可能性相同．求进驻A村的工作小组被选中的概率．19．（12分）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）当时，证明：平面SAB⊥平面SCD；（Ⅱ）当AB＝1，求四棱锥S﹣ABCD的侧面积．20．（12分）已知过抛物线Ω：y2＝2px（0＜p≤8）的焦点F向圆C：（x﹣3）2+y2＝1引切线FT（T为切点），切线FT的长为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）作圆C：（x﹣3）2+y2＝1的切线l，直线l与抛物线Ω交于A，B两点，求|F A|•|FB|的最小值．21．（12分）已知函数（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ．（Ⅰ）当α＝45°时，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C的直角坐标为C（2，0），直线l与曲线C交于A，B两点，当△ABC面积最大时，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝a|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若g（x）为奇函数，且g（2﹣x）＝g（x），当x∈[0，1]时，g（x）＝5x．若h（x）＝f（x）﹣g（x）有无数多个零点，作出g（x）图象并根据图象写出a的值（不要求证明）．2018年山东省、湖北省部分重点中学高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，B＝{x|﹣1≤x≤2}，则A∩B＝（）A．[﹣1，2]B．[1，2]C．（1，2]D．[﹣1，1]∪{2}【解答】解：由，得A＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}＝[1，+∞），B＝{x|﹣1≤x≤2}＝[﹣1，2]；∴A∩B＝[1，2]．故选：B．2．（5分）已知复数z满足，（为z的共轭复数）．下列选项（选项中的i为虚数单位）中z＝（）A．1+i B．1﹣i C．1+i或1﹣i D．﹣1+i或﹣1﹣i 【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则，∵复数z满足，∴，得，∴z＝1+i或z＝1﹣i．故选：C．3．（5分）当5个正整数从小到大排列时，其中位数为4，若这5个数的唯一众数为6，则这5个数的均值不可能为（）A．3.6B．3.8C．4D．4.2【解答】解：设五个数从小到大为a1，a2，a3，a4，a5，依题意得a3＝4，a4＝a5＝6，a1，a2是1，2，3中两个不同的数，符合题意的五个数可能有三种情形：“1，2，4，6，6”，“1，3，4，6，6”，“2，3，4，6，6”，其平均数分别为3.8，4，4.2，不可能的是3.6．故选：A．4．（5分）一给定函数y＝f（x）的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1＝f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＜a n．则该函数的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：一给定函数y＝f（x）的图象在下列四个选项中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1＝f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＜a n．得f（a n）＜a n，所以f（a1）＜a1在∀a1∈（0，1）上都成立，即∀x∈（0，1），f（x）＜x，所以函数图象都在y＝x的下方．故选：A．5．（5分）按如图所示的算法框图，某同学在区间[0，9]上随机地取一个数作为x输入，则该同学能得到“OK”的概率（）A．B．C．D．【解答】解：当，由算法可知y＝﹣2x+2得y∈[1，2]，得到“OK”；当，由算法可知y＝﹣2x+2得y∈（0，1），不能得到“OK”；当x∈[1，3），由算法可知y＝log3x得y∈[0，1），不能得到“OK”；当x∈[3，9]，由算法可知y＝log3x得y∈[1，2]，能得到“OK”；∴．故选：C．6．（5分）已知直线与直线互相平行且距离为m．等差数列{a n}的公差为d，且a7•a8＝35，a4+a10＜0，令S n＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|，则S m的值为（）A．36B．44C．52D．60【解答】解：由两直线平行得d＝﹣2，由两平行直线间距离公式得，∵a7•（a7﹣2）＝35得a7＝﹣5或a7＝7．∵a4+a10＝2a7＜0，∴a7＝﹣5，∴a n＝﹣2n+9，∴S n＝|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|＝|7|+|5|+|3|+|1|+|﹣1|+|﹣3|+|﹣5|+|﹣7|+|﹣9|+|﹣11|＝52．故选：C．7．（5分）函数f（x）＝cos x+2|cos x|﹣m，x∈[0，2π]恰有两个零点，则m的取值范围为（）A．（0，1]B．{1}C．{0}∪（1，3]D．[0，3]【解答】解：f（x）＝cos x+2|cos x|﹣m，x∈[0，2π]的零点个数就是与y＝m的交点个数．作出y＝cos x+2|cos x|的图象，由图象可知m＝0或1＜m≤3．故选：C．8．（5分）我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》．内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直．从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合．从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合．问岛高及去表各几何？”（参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面（人的高度忽略不计）过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？）（丈、步为古时计量单位，三丈＝5步）．则海岛高度为（）A．1055步B．1255步C．1550步D．2255步【解答】解：如图，设岛高x步，与前标杆相距y步，则根据三角形相似可得：，解得x＝1255步．故选：B．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图与俯视图外框为全等的长与宽分别为2，1的长方形，侧视图为正方形．则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．2【解答】解：依题意几何体是长方体截去了一个三棱锥部分而成．长方体的体积为1×1×2＝2，三棱锥的体积为，所以几何体的体积为．故选：B．10．（5分）已知椭圆的右顶点为A，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），B（﹣a，a），C（﹣a，﹣a），过A，B，C三点的圆与直线相切，则此椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：射影定理可得：BE2＝AE•ED，即，所以即椭圆的离心率．故选：D．另解：设过A，B，C三点的圆的圆心为M（m，0），由|MA|＝|MB|得：，解得：，所以，∴．故选：D．11．（5分）已知D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点（不包含D，E两点），且满足，则的最小值为（）A．B．8C．D．【解答】解：由于M是DE上的一动点（不包含D，E两点），且满足，所以α，β＞0且2α+2β＝1，所以，（当且仅当时取＝）．故选：D．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，，则关于x的函数F（x）＝f（x）﹣a（0＜a＜1）的所有零点之和为（）A．2a﹣1B．1﹣2﹣a C．﹣log2（1+a）D．log2（1﹣a）【解答】解：当x≥0时，又f（x）是奇函数，由图象可知：F（x）＝0⇒f（x）＝a，（0＜a＜1），有5个零点，其中有两个零点关于x＝﹣3对称，还有两个零点关于x＝3对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线x＝a与函数，x∈（﹣1，0]交点的横坐标，即方程的解，x＝﹣log2（1+a），故选：C．二.填空题：本题共4个题，每小题5分，共20分.13．（5分）在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝SA，SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为．【解答】解：如图，取AC中点为E，连结DE，SE，∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AC，∴∠SDE就是异面直线AB与SD所成角，令AB＝AC＝SA＝2，由勾股定理得，又DE＝1．由题意BA⊥平面SAC，∴DE⊥平面SAC，∴DE⊥SE，∴在Rt△SDE中，．故答案为：．14．（5分）已知双曲线上一点P，过点P作双曲线两渐近线的平行线l1，l2，直线l1，l2分别交x轴于M，N两点，则|OM|•|ON|＝4．【解答】解：双曲线两渐近线的斜率为，设点P（x°，y°），则l1，l2的方程分别为，，所以M，N坐标为M（x°﹣2y°，0），N（x°+2y°，0），∴，又点P在双曲线上，则，所以|OM|•|ON|＝4．故答案为：4．15．（5分）实系数一元二次方程x2+ax﹣2b＝0有两实根，一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内．若，则z的取值范围为．【解答】解：令f（x）＝x2+ax﹣2b，依题意得，，即，作出可行域如图，可行域是△ABC内部的部分．表示的几何意义是过可行域内一点与点P（1，0）的直线的斜率，由，得A（﹣3，﹣1），B（﹣1，0），C（﹣2，0）．∴，∴．故答案为：．16．（5分）下面有四个命题：①在等比数列{a n}中，首项a1＞0是等比数列{a n}为递增数列的必要条件．②已知a＝lg2，则．③将的图象向右平移个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，可得到y＝tan x的图象．④设0＜a＜3，则函数f（x）＝x3﹣ax（0＜x＜1）有最小值无最大值．其中正确命题的序号为③④．（填入所有正确的命题序号）【解答】解：对于①，如首项a1＝﹣1，公比的等比数列为递增数列，所以首项a1＞0不是等比数列{a n}为递增数列的必要条件，①错误；对于②，可知0＜a＜1时，a0＞a a＞a1，即1＞a a＞a，所以，②错误；对于③，将的图象向右平移个单位，得y＝2tan[（x﹣）+]＝2tan x；再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，得y＝2×tan x＝tan x，即y＝tan x，③正确；对于④，0＜x＜1时，令f′（x）＝3x2﹣a＝0，解得，又0＜a＜3，∴，可知f（x）在上单调递减，在单调递增，所以④正确；综上，正确的命题是③④．故答案为：③④．三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知＝．（Ⅰ）求角B；（Ⅱ）△ABC的面积为，其外接圆半径为，且c＞a，求c．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，由余弦定理得，……………1分∴，∴；……………3分由正弦定理得，又A+C＝π﹣B，∴2cos B sin B＝sin B，又sin B≠0，∴；……………5分∵B∈（0，π），所以；……………6分（Ⅱ）∵，∴b＝3，……………7分由面积公式得，即ac＝6①；……………9分由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得b2＝a2+c2﹣6＝9，即a2+c2＝15②；……11分由①②解得：或，又c＞a，所以a＝，c＝2．……………12分18．（12分）一批大学生和公务员为了响应我党提出的“精准扶贫”政策，申请报名参加新疆某贫困地区开展脱贫工作的“进村工作”活动，帮助当地农民脱贫致富．该区有A，B，C，D四个村，政府组织了四个扶贫小组分别进驻各村，开展“进村工作”，签约期两年．约期完后，统计出该区A，B，C，D四村的贫富情况条形图如图：（Ⅰ）若该区脱贫率为80%，根据条形图，求出B村的总户数；（Ⅱ）约期完后，政府打算从四个小组中选出两个小组颁发金星级奖与银星级奖，每个小组被选中的可能性相同．求进驻A村的工作小组被选中的概率．【解答】解：（Ⅰ）设B村户数为x户，则：80%＝，………3分解得：x＝80（户）．……………5分（Ⅱ）不妨用（金星级奖队，银星级奖队）表示获奖结果，则可能出现的结果为：（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（C，D），（D，A），（D，B），（D，C），共12种等可能性结果．……………9分其中（A，B），（A，C），（A，D），（B，A），（C，A），（D，A）符合题意，共6种．所以进驻A村的工作小组被选中的概率为p＝．……………12分19．（12分）如图，五边形ABSCD中，四边形ABCD为长方形，三角形SBC为边长为2的正三角形，将三角形SBC沿BC折起，使得点S在平面ABCD上的射影恰好在AD上．（Ⅰ）当时，证明：平面SAB⊥平面SCD；（Ⅱ）当AB＝1，求四棱锥S﹣ABCD的侧面积．【解答】证明：（Ⅰ）作SO⊥AD，垂足为O，依题意得SO⊥平面ABCD，∴SO⊥AB，SO⊥CD，又AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，AB⊥SA，AB⊥SD．………2分利用勾股定理得，同理可得．在△SAD中，，∴SA⊥SD……………4分∴SD⊥平面SAB，又SD⊂平面SCD，∴平面SAB⊥平面SCD．……………6分解：（Ⅱ）由（Ⅰ）中可知AB⊥SA，同理CD⊥SD，……………7分∵AB＝CD＝1，SB＝SC＝2，则由勾股定理可得，……………8分∴，△SAD中，，∴AD边上高h＝，∴，……………11分四棱锥S﹣ABCD的侧面积＝，∴四棱锥S﹣ABCD的侧面积．……………12分20．（12分）已知过抛物线Ω：y2＝2px（0＜p≤8）的焦点F向圆C：（x﹣3）2+y2＝1引切线FT（T为切点），切线FT的长为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）作圆C：（x﹣3）2+y2＝1的切线l，直线l与抛物线Ω交于A，B两点，求|F A|•|FB|的最小值．【解答】解；（Ⅰ）因为圆C：（x﹣3）2+y2＝1的圆心为C（3，0），，……………1分由切线长定理可得|FC|2＝|FT|2+r2，即，……………3分解得：p＝2或p＝10，又0＜p≤8，∴p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x．……………4分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x＝ny+m，代入y2＝4x得y2﹣4ny﹣4m＝0，∴y1+y2＝4n，y1y2＝﹣4m，得，，……………5分由抛物线的性质得：|F A|＝x1+1，|FB|＝x2+1，∴．……………8分又直线l与圆C相切，则有，即，∴（m﹣3）2＝1+n2，因为圆C在抛物线内部，所以n∈R得：m∈（﹣∞，2]∪[4，+∞），……………10分此时|F A||FB|＝m2+4（m﹣3）2﹣4+2m+1＝5m2﹣22m+33．由二次函数的性质可知当m＝2时，|F A||FB|取最小值，即|F A||FB|的最小值为9．……………12分21．（12分）已知函数（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，，x＞0.，x＞0．……………1分当0＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．……………3分所以f（x）的单调减区间为（0，1）；单调增区间为（1，+∞）．f（x）的极小值为；无极大值．……………5分（Ⅱ）∵＝．……………7分∵x＞0，a＞0，∴x2+x+a＞0，当x＞a时，f′（x）＞0；当0＜x＜a时，f′（x）＜0．f（x）在（0，a）上单调递减；在（a，+∞）上单调递增．……………8分所以若f（x）有两个零点，必有，得a＞3．……………10分又，综上所述，当a＞3时f（x）有两个零点，所以符合题意的a的取值范围为（3，+∞）． (12)分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π）．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ．（Ⅰ）当α＝45°时，求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点C的直角坐标为C（2，0），直线l与曲线C交于A，B两点，当△ABC面积最大时，求直线l的普通方程．【解答】解：（Ⅰ）当α＝45°时，直线l的参数方程为，消去t得直线l的普通方程为x﹣y﹣5＝0．曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，两边乘以ρ为ρ2＝4ρcosθ，由得：x2+y2﹣4x＝0，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x＝0．（Ⅱ）曲线C是以C（2，0）为圆心，2为半径的圆，．当∠ACB＝90°时面积最大．此时点C到直线l：y＝k（x﹣5）的距离为，所以，解得：，所以直线l的普通方程为．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝a|x﹣1|+|x+3|．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若g（x）为奇函数，且g（2﹣x）＝g（x），当x∈[0，1]时，g（x）＝5x．若h（x）＝f（x）﹣g（x）有无数多个零点，作出g（x）图象并根据图象写出a的值（不要求证明）．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|＝4，（x+3）≤0，即﹣3≤x≤1时等号成立．∴f（x）的最小值为4．……………………当且仅当（x﹣1）4分（Ⅱ）g（x）为奇函数，且g（2﹣x）＝g（x），当x∈[0，1]时，g（x）＝5x．则g（x）的图象是夹在y＝﹣5与y＝5之间的周期为4的折线，如图，…………6分又，f（x）的图象是两条射线与中间一段线段组成．……………………8分若h（x）＝f（x）﹣g（x）有无数多个零点，则f（x）的图象的两条射线中至少有一条是平行于x轴的，所以﹣（a+1）＝0或（a+1）＝0得a＝﹣1．此时，经验证符合题意，∴a＝﹣1……………………10分。

高三数学第二次联考试题文word版本

山东省、湖北省部分要点中学2018 届高三数学第二次（ 12 月）联考试题文本试卷共 4 页，共 23 题，满分 150 分 . 考试用时120 分钟 .★祝考试顺利★注意事项：1. 答卷前，考生务必然自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定地点.2.选择题的作答：每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 . 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 答在试题卷、稿本纸上无效.3. 填空题和解答题的作答：用黑色的署名笔将答案直接答在答题卡上对应的答题地域.答在试题卷、稿本纸上无效.4.考生必然保持答题卡的整齐 . 请将答题卡上交 .第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，满分 60 分 . 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的. ）1. （原创，简单）已知命题，则“为假命题”是“为真命题”的（）A．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充分必需条件 D ．既不充分也不用要条件【答案】 D【解析】“为假命题”包含“假假”，“真假”，“假真”，“为真命题”包含“真真”，“真假”，“假真”【考点】命题交并的真假，充分必需条件2. （原创，简单）已知会集，，则会集的子集个数为（）A. 5B. 4【答案】 D【解析】，，，的子集个数为【考点】解不等式，交集的运算，会集子集的个数3. （原创，简单）设为虚数单位，若复数的实部与虚部的和为，则定义域为（）A. B. C. D.【答案】 A【解析】易知，因此只需满足【考点】复数，详尽函数的定义域.4.（原创，简单）的内角的对边分别为, 且,，，则角=( )A． B. C.或 D.或【答案】 B【解析】，，又，因此角 = 【考点】正弦定理解三角形.5. （原创，简单）履行以下程序框图，若输入a， b分别为 98， 63，则输出的（）A．12 B. 14C. 7D. 9【答案】 C【解析】“更相减损术”求最大合约数【考点】程序框图6. （原创，适中 ) 已知，，设的最大值为，的最大值为，则=（）A. 2【答案】 A【解析】的定义域是，，当时，，因此=；的定义域是，，因此.=2【考点】函数的最值7. （原创，适中）曲线在点处的切线方程是（）A.或B.C.或D.【答案】 B【解析】由于切点为，斜率为=2，则该切点处的切线为【考点】曲线上某点处的切线方程8. （原创，适中）已知函数，则对于任意实数，则的值（）A．恒负 B.恒正 C.恒为0 D.不确立【答案】 A【解析】在上为奇函数且单调递减.因此与同号【考点】函数的性质.9.（改编，适中）若函数（，，，）的图象如图所示，则以下说法正确的选项是（）A．B.C.D.【答案】 D【解析】的两根为1，5. 因此异号，同号.又由于，所以异号【考点】函数图像10.（改编，较难）某多面体的三视图以以以下图，正视图中大直角三角形的斜边长为，左视图为边长是 1 的正方形，俯视图为有一个内角为的直角梯形，则该多面体的体积为（）B.C. D. 2【答案】 C【解析】，【考点】三视图11.（改编，较难）若正数满足拘束条件，则的取值范围为（）A． B. C. D.【答案】 A【解析】由于，因此可化为，即又由于，因此设，则拘束条件变成，进一步可知拘束条件为，因此，目标函数为【考点】线性规划，函数上过某点的切线方程，函数的值域12.（改编，较难）已知函数，. 在其共同的定义域内，的图像不能够能在的上方，则求的取值范围（）A． B. C. D.【答案】 C【解析】由题意得，令，；令，，因此在上单调递加，又由于；当时，单调递减；当时，单调递增. 因此，因此.C 正确 .【考点】导数的应用.第Ⅱ卷本卷包含必考题和选考题两部分. 第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必然做答.第 22 题～第 23 题为选考题，考生依据要求做答.二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，请将答案填在答题卡对应题号的地点上．答错地点，书写不清，含糊其词均不得分．13.（原创，简单）命题的否定是【答案】【解析】【考点】全称命题和特称命题14. （原创，简单）已知函数在上是单调递加函数，则的取值范围是【答案】【解析】由可得【考点】函数的性质15.点（改编，简单）如图，四周体，分别为棱，的每条棱长都等于，的中点，则=_____；；【答案】；【解析】,因此=设BD的中点为，则,所以【考点】向量16. （改编，较难）对于会集和常数，定义：为会集相对于的“类正切平方” .则会集相对于的“类正切平方”=【答案】 1【解析】=====1【考点】新，三角函数三、解答：( 本大共 6 小，分70 分，解答写出文字明，明程或演算步． )17. （原，简单）（本小12 分）在数列中，已知，(）（ 1）求：是等比数列（ 2），求数列的前和解析：（Ⅰ）由得：（）又，是以2首，2公比的等比数列 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分(2)由（1）知：，（）（）==++⋯⋯==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分.【考点】推关系，等比数列，求前n 和 .18.（原，容易）（本小12分）已知函数（）的最小正周期.（ 1）求的（ 2）将函数的象向左平移个位，再将所得象上的各点的横坐伸到本来的 2 倍，坐不，获得函数的象 . 求函数在上减区和零点 .【解析】（ 1）===由得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2），=减区：零点（）,又因，因此在上的零点是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分【考点】三角函数19. （改，适中）（本小12 分）如，四棱1，，平面，（ 1）求：平面平面中，底面是等腰三角形.菱形，（ 2）在段上能够分找到两点，，使得直平面，并分求出此的．【解析】（ 1）因菱形，因此又因平面，且平面，因此; 因此平面; 又因平面，因此平面平面⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）平面，,在,,又,.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分在中，, 又,又,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分【考点】立体几何20. （改，适中）（本小12 分）已知是函数的函数，且任意的数都有（是自然数的底数），(1) 求的解析式(2) 求的区【解析】（ 1）由.得，即，因此因此，又因，因此因此函数的解析式是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（2）的增区是：；的减区是：⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分【考点】函数的性21. （原，）（本小12 分）已知函数=，.（ 1）若函数在获得极，求的，并判断在获得极大是极小 .（ 2）若在上恒成立，求的取范.【解析】（1）的定域是，=，由得.当，=，=恒成立，令=，=恒成立在上增，又因当，，减；当，，增 .当，在取得极小. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）由得在上恒成立即在上恒成立.解法一（将绝对值看作一个函数的整体进行研究）：令，①当时，在上单调递减，，，因此的值域为：，由于，因此的值域为；因此不成立 .，因此在②当时，易知恒成立 .上单调递减，在上单调递加 . 由于，因此，因此，因此在上单调递减，在上单调递加.因此，依题意，，因此.综上：解法二（求命题的否定所对应的会集，再求该会集的补集）：命题“对都成立”的否定是“在上有解”在上有解在上有解在上有解令，.，因此在上单调递增，又，因此无最小.因此；令，因此在上增，在上减.因此,因此.因在上有解，；因此都成立，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分【考点】函数22.（原，简单）（本小分 10 分）修 4— 4：坐系与参数方程在平面直角坐系中，曲的参数方程是（参数），直的参数方程是（参数）．（ 1）分求曲直的一般方程；、（ 2）直与交于两点，求的 .【解析】（ 1）：；：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（ 2）直的准参数方程，（参数）将的准参数方程代入的直角坐方程得：，因此，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分【考点】极坐方程与直角坐方程的互化，参数方程与一般方程的和直参数方程.23.（原，简单）（本小分 10 分）修 4— 5：不等式已知函数，（ 1）求解不等式；（ 2）于，使得成立，求的取范.【解析】（1）由或或解得：或解集：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（ 2）当，；由意得，得即解得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分【考点】不等式名校教科研作体山、湖北部分要点中学2018 届高三第二次研考数学（文）参照答案及分准1.【答案】 D2.【答案】 D3.【答案】 A4.【答案】 B5.【答案】 C6.【答案】 A7.【答案】 B8.【答案】 A9.【答案】 D10.【答案】 C11.【答案】 A12.【答案】 C13.【答案】14.【答案】15.【答案】；16.【答案】 117.解析：（ 1）由得：（）又，是以2首，2公比的等比数列 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分(2)由（ 1）知：，（）（）==++⋯⋯==⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分.18.【解析】（ 1）===由得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分(2)，=减区：零点（）,又因，因此在上的零点是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分19.【解析】（ 1）因菱形，因此又因平面，且平面，因此;因此平面;又因平面，因此平面平面⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（2）平面，,在,,又,.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分在中，,又,又,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分20.【解析】（ 1）由得，即，因此因此，又因，因此因此函数的解析式是⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分（2）的增区是：；的减区是：⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分21.（1）的定域是，=，由得.当，=，=恒成立，令=，=恒成立在上增，又因当，，减；当，，增 .当，在取得极小. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分（ 2）由得在上恒成立即在上恒成立.解法一（将看作一个函数的整体行研究）：令，①当，在上减，，，因此的域：，因，因此的域；因此不成立 .②当，易知，因此在恒成立 .上减，在上增 . 因，因此，因此，因此在上减，在上增.因此，依意，，因此.上：解法二（求命的否定所的会集，再求会集的集）：命“都成立”的否定是“在上有解”在上有解在上有解在上有解令，.，因此在上增，又，因此无最小.因此；令，因此在上增，在上减 .因此, 因此.因在上有解，；因此都成立，.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分22.【解析】（ 1）：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分：；（ 2）直的准参数方程，（参数）将的准参数方程代入的直角坐方程得：，因此，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分【考点】极坐方程与直角坐方程的互化，参数方程与一般方程的和直参数方程.23.【解析】（1）由或或解得：或解集：⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（ 2）当，；由意得，得即解得⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。

高考数学玩转压轴题专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题(1)

专题3.1 复杂数列的通项公式求解问题一．方法综述数列的通项公式是数列高考中的热点问题，求数列通项公式时会渗透多种数学思想.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数阵（数表）问题、点列问题、函数问题中、由复杂递推公式求解数列通项公式问题、两边夹问题中的数列通项公式问题、下标为n a 形式的数列通项公式问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略类型一数阵（数表）中涉及到的数列通项公式问题【例1】【2017安徽马鞍山二模】如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字73在图中出现的次数为____．【答案】12【指点迷津】1.本题主要考查等差数列通项与整数解问题.根据每行每列都成等差数列，先从第一行入手求出第一行数组成的数列),2,1(1⋯⋯=j A j 的通项公式，再把第一行的数当成首项，再次根据等差数列这一性质求出第j 数列组成的数列),2,1(⋯⋯=i A ij ，最后根据整数解方程的解法列举所有解即可.2.数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项.对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念.横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示，其中i 代表行，j 代表列.例如：34a 表示第3行第4列.在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列.【举一反三】【2017江西瑞昌二中第二次段考】把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{}n a ，若2015n a =，则n =__________．【答案】1030类型二点列问题中涉及到的数列通项公式问题【例2】已知点1122(1,),(2,),,(,),n n A y A y A n y 顺次为直线11412y x =+上的点，点1122(,0),(,0),,(,0),n nB x B xB x 顺次为x 轴上的点，其中1(01)x a a =<<.对于任意*n N ∈，点1,,n n n B A B +构成以n A 为顶点的等腰三角形.则数列{}n x 的通项公式为____________.【答案】,(1,(n n a n x n a n -⎧=⎨+-⎩为偶数）为奇数）【指点迷津】对于点列问题，要根据图像上点与点之间的关系，以及平面几何知识加以分析，找出关系式即可，本题是直线上的点列，已知点列n A 的通项公式，求点列n B 的通项公式，并研究等腰三角形是否为特殊的等腰直角三角形.【举一反三】在直角坐标平面中，已知点列111,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭，2212,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3313,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…，1,(1)2n n n A n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…，其中n 是正整数.连接12A A 的直线与x 轴交于点()11,0B x ，连接23A A 的直线与x 轴交于点()22,0B x ，…，连接1n n A A +的直线与x 轴交于点(),0n n B x ，….则数列{}n x 的通项公式为___________.【解析】直线1n n A A +的斜率为11121(1)(1)3(1)222n n n n n n k ++++---=-=，所以111(1)3(1):()22n n n n n n A A y x n +++-⋅--=-，23n x n =+. 【答案】23n x n =+类型三函数问题中涉及到的数列通项公式问题【例3】【全国名校大联考2017-2018年度高三第三次联考】设函数()f x 是定义在()0,+∞上的单调函数，且对于任意正数,x y 有()()()f xy f x f y =+，已知112f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若一个各项均为正数的数列{}n a 满足()()()()*11n n n f S f a f a n N =++-∈，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列{}n a 中第18项18a =（） A.136B. 9C. 18D. 36【答案】C【指点迷津】本题主要考查抽象函数的解析式以及数列通项与前n 项和之间的关系以及公式()12n n n a S S n -=-≥的应用，属于难题.已知n S 求n a 的一般步骤：（1）当1n =时，由11a S =求1a 的值；（2）当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，求得n a 的表达式；（3）检验1a 的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示n a ；（4）写出n a 的完整表达式.【举一反三】【北京西城35中2017届高三上学期期中数学】已知()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数， ()()()*12101n n a f f f f f n N n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为（）． A. n a n = B. 2n a n = C. 1n a n =+ D. 223n a n n =-+【解析】∵()112F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是奇函数，∴11022F F ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令12x =， ()1112F f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令12x =-， ()1012F f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴()()012f f +=，∴()()1012a f f =+=，令112x n =-，∴11112F f n n ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令112x n =-，∴11112n F f n n -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵1111022F F n n ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴112n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得222n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，332n f f n n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴1221(n n a n n N n +-=+⨯=+∈），故选C【答案】C类型四由复杂递推公式求解数列通项公式问题【例4】【重庆市第一中学2018届高三上学期第一次月考】我们把满足的数列叫做牛顿数列，已知函数，且数列为牛顿数列，设，则（）A.B.C. D.【答案】C【指点迷津】对于复杂的递推公式，关键是进行化简和变形，适当的时候需要换元，本题通过题意，可求得即数列{a n }是以2为公比的等比数列，又a 1=2，利用等比数列的通项公式即可求得答案．【举一反三】【辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学2018届高三第二次联考】设数列{}n a 中， 11222,,11n n n n n a a a b a a ++===+-， *n N ∈，则数列{}n b 的通项公式为__________．【解析】111222124222211111n n n n n n n n n n a a a a b b a a a a ++++++++====⨯=--+--+，所以2q =， 12b =，所以12n n b +=.【答案】12n +类型五两边夹问题中的数列通项公式问题【例5】【2017届浙江省杭州地区（含周边）重点中学联考】设数列{}n a 满足123a =，且对任意的*n N ∈，满足22n n n a a +-≤， 452nn n a a +-≥⨯,则2017a =_________【答案】201723【答案】201723【指点迷津】解题的关键是要通过所给的不等关系找到数列的项的特征，即452nn n a a +-=⨯，然后经过恰当的变形，将求2017a 的问题转化为数列求和的问题去处理，对于求和问题要把握准数列的公比和数列的项数，这是比较容易出现错误的地方.【举一反三】【福建省莆田第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知各项都为整数的数列{}n a 中，12a =，且对任意的*N n ∈，满足1n n a a +-< 122n +， 2n n a a +- 321n >⨯-，则2017a =__________．【答案】20172类型六下标为n a 形式的数列通项公式问题【例6】【浙江省湖州、衢州、丽水三市2017届高三4月联考】已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 的公比为()*,q n q N ∈，设{}n a ， {}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ．若21n n q T S +=，则n a __________．【答案】21n a n =-【解析】()2111222n n n d d S na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， ()1111111n n n b q b bT q q q q -==-⋅---，因为21n n q T S +=，所以2211111122n n n b b d d q q a q q q ⎛⎫-⋅+=+- ⎪--⎝⎭，这是关于n 的恒等式，所以111101{0212b qda b d q +=--=-=-，解得12{1d a ==，所以()12121n a n n =+-=-．【指点迷津】本题要求等差数列的通项公式，既没有首项也没有公差，有的只是等差数列与等比数列的一个关系21n n q T S +=，这是一个关于正整数n 的恒等式，因此我们可把等差数列与等比数列的前n 项用基本量表示，并化已知等式为nq 的恒等式，利用恒等式的知识求解1,a d ．【举一反三】【2018届安徽皖江名校联盟12月份联考改编】等差数列和等比数列的各项均为正整数，且的前项和为，数列是公比为16的等比数列，.则}{n b 的通项公式____________.【答案】14-=n n b三．强化训练1．【山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次（12月）联考】已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23a a a ===，，，，若,2017i j a =，则i j +=（）A. 64B. 65C. 71D. 72 【答案】D【解析】奇数数列2120171009n a n n =-=⇒=，即2017为底1009个奇数.按照蛇形排列，第1行到第i 行末共有()1122i i i ++++=个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1035个奇数；则2017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，则45,2772i j i j ==⇒+=，故选D.2.【湖南省衡阳县2018届高三12月联考】在数列{}n a 中， ()()()112141nn n n na n a n n +-+=+++，且11a =，记22ini n i a T i =+=∑，则（）A. 19T 能被41整除B. 19T 能被43整除C. 19T 能被51整除D. 19T 能被57整除【答案】A3.【”超级全能生”2018届高考全国卷26省9月联考乙卷】已知数列{}n a 满足*1*,2{ ,2n n n na d N a nqa N ++∉=∈（q 为非零常数），若{}n a 为等比数列，且首项为()0a a ≠，公比为q ，则{}n a 的通项公式为（）A. n a a =或1n n a q -= B. ()11n n a a -=- C. n a a =或()11n n a a -=- D. 1n n a q -=【答案】C4.【浙江省湖州市2017届高三联考】对任意的n∈N *，数列{a n }满足21cos 3n a n ≤﹣且22sin 3n a n +≤，则a n 等于（） A.22sin 3n - B. 22sin 3n - C. 21cos 3n - D. 21cos 3n + 【答案】A 【解析】∵21cos 3n a n ≤﹣且22sin 3n a n +≤，∴2211cos 33n n a cos n -≤≤+， 2222sin sin 33n n a n --≤≤-+，即2251cos cos 33n n a n -≤≤-，∴2212cos sin 33n a n n =-=-，故选A.5.【2016届河北省衡水中学高三下学期猜题】已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有12n n n a a +-≤，232n n n a a +-≥⨯成立，则2014a =（） A ．201421- B ．201421+ C ．201521- D ．201521+【答案】A. 【解析】试题分析：∵12n n n a a +-≤，∴1212n n n a a +++-≤，两式相加，可得122232n n nn n a a ++-≤+=⋅，又∵232n n n a a +-≥⨯，∴需232n n n a a +-=⋅，等号成立的条件为：12n n n a a +-=， ∴2n ≥时，1112111(21)()()2212121n n n n n n a a a a a a --⋅-=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅++==--，∴2014201421a =-，故选A.6.【湖北省武汉市2017届高三四月调研】已知数列{}n a 满足11a =， 213a =，若()()*1111232,n n n n n a a a a a n n N -+-++=⋅≥∈，则数列{}n a 的通项n a =（）A.112n - B. 121n - C. 113n - D. 1121n -+ 【答案】B7.【九江市2017年第三次高考模拟统一考试】意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数: 1,1,2,3,5,8，…，该数列的特点是：前两个数均为 1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列.则()8822111i i i i i a a a++==-=∑∑（）A. 0B. 1-C. 1D. 2 【答案】A【解析】由题意，得2221322433541211,1341,2591a a a a a a a a a -=⨯-=-=⨯-=--=⨯-=，222465810938251,,2155341a a a a a a -=⨯-=-⋅⋅⋅-=⨯-=-，所以()88221110i i i i i a a a ++==-=∑∑；故选A.6．8.【天津市第一中学2018届高三上学期第二次月考改编】已知数列{}n a 满足22,{2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数，且*12,1,2n N a a ∈==.则{}n a 的通项公式__________.【答案】()()2{2n n n n a n ∴=为奇数为偶数9. 【2016届西藏日喀则一中高三下学期二模改编】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21111,n n n a S S a ++=+=，数列{}n b 满足13n a n n b b +⋅=，且11b =.则{}n b 的通项公式__________.【答案】()()1223{3n n n n b n -=为奇数为偶数【解析】∵，①()212n n n S S a n -+=≥，②①－②得：2211n n n n a a a a +++=-，∴()()1110n n n n a a a a +++--=，∵，∴10n n a a ++≠，∴()11,2n n a a n +-=≥ 又由得，即22220aa --=，∴222,1a a ==-（舍去）.∴211a a -=，∴{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴n a n =. 又∵13na n nb b +⋅=③()1132n n n b b n --⋅=≥④③④得：又由，可求，故是首项为1，公比为3的等比数列，是首项为3，公比为3的等比数列.∴112123,333n n nn n b b ---==⋅=.∴()()1223{3n n n n b n -=为奇数为偶数.10.【湖北省黄石市第三中学（稳派教育）2018届高三阶段性检测】下表给出一个“三角形数阵”：18 14， 18 38， 316， 332……已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等.记第i 行第j 列的数为i j a -，则（1）83a -=_________；（2）前20行中14这个数共出现了________次．【答案】14411.【2017届吉林省吉林市普通中学高三毕业班第二次调研测试】艾萨克·牛顿（1643年1月4日----1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数零点时给出一个数列：满足，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数有两个零点1，2，数列为牛顿数列，设，已知，，则的通项公式__________．【答案】12.【2017届河南郑州一中网校高三入学测试】设数列{}n a是首项为0的递增数列，()()[]*11sin,,,n n n n f x x a x a a n N n+=-∈∈，满足：对于任意的[)()0,1,n b f x b ∈=总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式为_________ 【答案】()12n n n a π-=。

湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次联考数学(理)试题

湖北省部分重点中学2018届高三第二次联考高三数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合},|{},022|{2A x x y y B x x Z x A ∈==≤+-∈=，则集合B 的子集的个数为（） A ．7 B ．8 C ．15 D ．162.若复数i a a a z )2()6(2-+-+=为纯虚数（i 为虚数单位），则||z 等于（） A ．5 B ．0 C ．0或5 D ．13.以下判断正确的个数是（）①“1||||≤+y x ”是“122≤+y x ”的必要不充分条件.②命题“01,2<-+∈∃x x R x ”的否定是“01,2≥-+∈∀x x R x ”. ③相关指数2R 的值越接近1，则变量之间的相关性越强.④若回归直线的斜率估计值是25.2，样本点的中心为)5,4(，则回归直线方程是425.2-=∧x y .A ．1B ．2C ．3D ．44.已知平面向量→→b a ,满足32||,3||==→→b a ，且→→+b a 与→a 垂直，则→a 与→b 的夹角为（） A ．6π B ．3π C. 32π D ．65π5.已知实数b a ,是利用计算机产生1~0之间的均匀随机数，设事件"41)1(:"22>+-b a A ，则事件A 发生的概率为（） A ．16π B ．161π- C. 4π D ．41π- 6.已知数列}{n a 的首项31=a ，对任意*,N n m ∈，都有n m n m a a a +=⋅，则当1≥n 时，=+++-1233313log log log n a a a （）A ．)12(-n nB ．2)1(+n C. 2n D ．2)1(-n7.阅读如下图所示的程序框图运行相应的程序，则输出的结果是（）A ．23-B ．1- C. 21D ．0 8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A ．316π B ．38π C. π34 D ．π3 9.函数|sin |||ln )(x x x f +=（ππ≤≤-x 且0≠x ）的图象大致是（）A ．B ．C. D ．10.已知函数)0(sin )42(cos sin 2)(22>--=ωωπωωx x x x f 在区间]65,32[ππ-上是增函数，且在区间],0[π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是（）A ．]53,0(B ．]53,21[ C. ]53,21( D ．),21(+∞11.如图，已知抛物线x y 282=的焦点为F ，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆2)22(22=+-y x 于D C B A ,,,四点，则||4||CD AB +的最小值为（）A ．23B ．25 C. 213 D ．218 12.定义在R 上的函数⎩⎨⎧<≤<≤-=10,01,)(2x x x x x f ，且21)(),()2(-==+x x g x f x f ，则方程)()(x g x f =在区间]9,5[-上的所有实数根之和最接近下列哪个数（）A ．14B ．12 C. 11 D ．10第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤k y y x xy 6，且y x z +=3的最小值为8-，则=k ．14.已知⎰-=1123dx x a ，则5)1(+ax 的展开式中3x 的系数为．15.双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 虚轴的一端点为21,F F B 、为双曲线的左、右焦点，线段2BF 与双曲线交于点→→=22,AF BA A ，则双曲线C 的离心率为． 16.在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2cos sin 3,sin 3sin 32cos cos =+=+B B CA c C bB ，则c a +的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，点))(,(*N n S a n n ∈在直线022=--y x 上. （1）求证：数列}{n a 是等比数列，并求其通项公式；（2）设直线n a x =与函数2)(x x f =的图象交于点n A ，与函数x x g 2log )(=的图象交于点n B ，记→→⋅=n n n OB OA b （其中O 为坐标原点），求数列}{n b 的前n 项和n T . 18. 如图（1），等腰直角三角形ABC 的底边2=AB ，点D 在线段AC 上，AB DE ⊥于E ，现将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆的位置（如图（2））（1）求证：DE PB ⊥；（2）若BE PE ⊥，直线PD 与平面PBC 所成的角为30，求平面PDE 与平面PBC 所成的锐二面角的正弦值.19. 菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x （单位：千克）清洗蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y （单位：微克）的统计表：（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x 与y 是正相关还是负相关；（2）若用解析式d cx y +=∧2作为蔬菜农药残量∧y 与用水量x 的回归方程，令2x w =，计算平均值-w 与-y ，完成以下表格（填在答题卡中），求出∧y 与x 的回归方程.（d c ,保留两位有效数字）；（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到1.0，参考数据236.25≈）（附：对于一组数据),(),......,,(),,(2211n n v u v u v u ，其回归直线u v βα+=的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：-∧-∧=-=--∧-=---=∑∑u v u uv v u uni ini i iβαβ,)())((121）20. 设)0,1(),0,1(),0,2(C B A --，动圆D 与x 轴相切于A 点，如图，过C B ,两点分别作圆D 的非x 轴的两条切线，两条切线交点为P .（1）证明：||||PC PB +为定值，并写出点P 的轨迹方程；（2）设动直线l 与圆122=+y x 相切，又l 与点P 的轨迹交于N M ,两点，求→→⋅ON OM 的取值范围.21. 已知函数)(21)(,ln )(22R m x mx x g mx x x f ∈+=-=，令)()()(x g x f x F +=. （1）当21=m 时，求函数)(x f 的单调递增区间；（2）若关于x 的不等式1)(-≤mx x F 恒成立，求整数m 的最小值；（3）若2-=m ，正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x F x F ，证明：21521-≥+x x . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程曲线⎩⎨⎧==ty tx C sin cos :1（t 为参数），将曲线1C 上的所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到曲线2C . （1）求曲线2C 的普通方程；（2）若过点)0,1(M ，倾斜角为3π的直线l 与曲线2C 交于B A ,两点，求||||MB MA +的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数|12||12|)(++-=x x x f . （1）求函数)(x f 的最小值m ；（2）若正实数b a ,满足311=+b a ，求证：m ba ≥+2221.试卷答案一、选择题1-5:BACDB 6-10:CDACB 11、12：CA二、填空题13. 2- 14. 80 15.21016. ]3,23(三、解答题17.（1）点),(n n S a 在直线022=--y x 上，022=--∴n n S a ① （i ）当1=n 时，2022111=∴=--∴a S a .（ii ）当2≥n 时，02211=--∴--n n S a ② ①-②12-=∴n n a a 即21=-n na a . ∴数列}{n a 是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由已知),2(),4,2(n B A n n n n nn n n n n n b OB OA b 4)1(+=∴⋅=→→ 984)923(1-⋅+=∴+n n n T .18.（1）⊥∴=⋂⊥⊥DE E BE PE BE DE PE DE ,, 平面PBE 又⊂PB 平面DE PB PBE ⊥∴（2）由（1）知EB DE PE DE ⊥⊥,，且BE PE ⊥，所以PE BE DE ,,两两垂直.分别以→→→EP EB ED ,,的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设)10(||<<=a a PE ，则),0,0(),0,0,(),0,0,(),0,2,0(a P a C a D a B -，可得)0,1,1(),,2,0(-=--=→→BC a a PB设平面PBC 的法向量为),,(z y x n =→，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0n BC n PB 所以⎩⎨⎧=-=--00)2(y x az y a ，取)2,,(a a a n -=→直线PD 与平面PBC 所成的角为30，且),0,(a a PD -=→22222)2(2|)2(|30sin a a a a a a a -++⋅--=∴2=∴a （舍）或52=a )58,52,52(=∴→n 又取平面PDE 的法向量为)0,1,0(=→m设所求锐二面角为θ，则62cos =θ，所以634sin =θ.19.（1）负相关.（含散点图）（2）38,11==--y w0.2374751145)2()7()10()28(14)9(51)2(16)7(201022222≈-=++-+-+--⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-=c 600.2600.2,6011)374751(382+-=+-=≈⨯--=-=∧--x w y w c y d .（3）当20<∧y 时，5.452,20600.22≈><+-x x∴为了放心食用该蔬菜，估计需要5.4千克的清水清洗一千克蔬菜.20.（1）4||||=+PC PB 点P 的轨迹方程)2(13422±≠=+x y x （2）（i ）当直线l 斜率不存在时，1:±=x l ，不妨设)23,1(),23,1(-N M ，则45-=⋅→→ON OM（ii ）当直线l 斜率存在时，设m kx y l +=:，即),(),,(.02211y x N y x M m y kx =+-因为直线l 与单位圆相切，则11||2=+k m 得122+=k m .①由⎩⎨⎧+==+mkx y y x 124322，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+∴=-+++34124348,01248)34(2221221222k m x x k km x x m km x x k 2121y y x x ON OM ⋅+⋅=⋅→→3412127)()1()()(2222212122121+--=+++⋅+=+⋅++⋅=k k m m x x km x x k m kx m kx x x ② ②代①)3411(4534)1(545222++-=++-=⋅→→k k k ON OM )45,35[3342--∈⋅∴≥+→→ON OM k（iii ）当m kx y l +=:过点)0,2(-或)0,2(时，33±=k ，即)2(33+=x y 或)2(33--=x y 则1320-=⋅→→ON OM综上：]45,1320()1320,35[--⋃--∈⋅→→ON OM . 21.（1）)0(11)(,0,21ln )(22>-=-='>-=x xx x x x f x x x x f 由0)(>'x f ，得012>-x ，又0>x ，所以10<<x ，所以)(x f 的单增区间为)1,0(.（2）令1)1(21ln )1()()(2+-+-=--=x m mx x mx x F x G ，所以xx m mx m mx x x G 1)1()1(1)(2+-+-=-+-='.当0≤m 时，因为0>x ，所以0)(>'x G ，所以)(x G 在),0(+∞上是递增函数，又因为02231)1(1211ln )1(2>+-=+-+⨯-=m m m G ，所以关于x 的不等式1)(-≤mx x G 不能恒成立.当0>m 时，xx m x m xx m mx x G )1)(1(1)1()(2+--=+-+-='. 令0)(='x G ，得m x 1=，所以当)1,0(mx ∈时，0)(>'x G ；当),1(+∞∈m x 时，0)(<'x G .因此函数)(x G 在)1,0(m x ∈是增函数，在),1(+∞∈m x 是减函数.故函数)(x G 的最大值为m mm m m m m m G ln 2111)1()1(211ln )1(2-=+⨯-+⨯-=. 令m m m h ln 21)(-=，因为02ln 41)2(,021)1(<-=>=h h . 又因为)(m h 在),0(+∞∈m 上是减函数，所以当2≥m 时，0)(<m h . 所以整数m 的最小值为2.（3）当2-=m 时，0,ln )(2>++=x x x x x F由0)()(2121=++x x x F x F ，即0ln ln 2122221211=++++++x x x x x x x x 从而)ln()()(212121221x x x x x x x x ⋅-⋅=+++ 令21x x t ⋅=，则由t t t ln )(-=ϕ得，tt t 1)(-='ϕ 可知)(t ϕ'在区间)1,0(单调递减，在区间),1(+∞上单调递增，所以1)1()(=≥ϕϕt ，所以1)()(21221≥+++x x x x .即21521-≥+x x 成立. 22.（1）曲线1C 的方程122=+y x .在曲线2C 上任取一点),(y x ，设其在曲线1C 的对应点为),(11y x由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧==32321111y y xx y y x x 代入12121=+y x ，则13422=+y x（2）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23211代入124322=+y x ，则012452=-+t t设点B A ,对应的参数分别为51254,,212121-=⋅-=+t t t t t t ，则516||||||21=-=+t t MB MA .23.（1）2|)12()12(||12||12|=+--≥++-x x x x 当且仅当2121≤≤-x 时，等式成立. （2）222)11()211()21(b a b a +≥+⋅+则22122≥+ba 当且仅当ab 2=时取，等号成立.。

山东省、湖北省部分重点中学2018届高三第二次(12月)联考数学(理)试卷+Word版含解析

山东、湖北部分重点中学2018年第二次联考(理)数学试题（理工农医类）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（原创，容易）已知复数z 满足(1)3i z i -=-+，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】(1)3i z i -=-+321iz i i-+⇒==---,则2z i =-+.故选B 【考点】复数运算及几何意义.2．（原创，容易）已知全集{}{}2|560,12U x Z x x A x Z x =∈--<=∈-<≤，{}2,3,5B =，则()U A B = ð （） A ．{}2,3,5 B ．{}3,5C ．{}2,3,4,5D ．{}3,4,5【答案】B【解析】{}{}0,1,2,3,4,5,0,1,2U A ==,则()U A B = ð{}3,5. 【考点】二次不等式及集合运算.3.（原创，容易）在等差数列{}n a 中，7=14S ，则246a a a ++=（） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】744=147142S a a ⇒=⇒=,则246436a a a a ++==. 【考点】等差数列性质.4.（原创，容易）如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．．．．【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥A BCD -，如左下图所示，则三棱锥A BCD -的表面积为A BCD S -=21422282⨯⨯⨯+⨯=+【考点】三视图还原及三棱锥的表面积.5.（原创，中档）已知 1.10.6122,3,log 3a b c ===,则,,a b c 的大小为（）A ．b c a >> B.a c b >> C. b a c >> D.a b c >> 【答案】D【解析】 1.10.61220,30,log 30a b c =>=>=<, 1.10.622,32a b =>==<=【考点】指数函数对数函数的性质. 6.（原创，中档）若函数()sin(2)3f x x π=+图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移6π得到函数()g x 的图象，则有（） A ．()cos g x x = B ．()sin g x x = C ．()cos()3g x x π=+ D ．()sin()3g x x π=+【答案】A【解析】：26sin(2)sin()sin()cos 332y x y x y x x ππππ=+−−−−−→=+−−−→=+=左移横坐标变为倍.【考点】正余弦型函数的图象变换.7.（原创，中档）已知命题:p 若a c b c ⋅=⋅ ，则a b = ，命题:q 若2,a b a b +=<，则21b > ，则有（）A ．p 为真 B.q ⌝为真 C. p q ∧为真 D.p q ∨为真【答案】D【解析】p 为假，2,a b a b +=<2211b b b b ⇒>-⇒>⇒> ，q 为真. 则p q ∨为真，故选D【考点】向量数量积与模、不等式及简易逻辑.8.2cos()4θθ=+，则sin2θ=（）A．13B．23C．23-D．13-【答案】C【解析】222(cos sin)22(cos sin)2cos sinθθθθθθθθ-=⇒+=⇒-2244sin23sin2sin23θθθ+=⇒=-或sin22θ=(舍),故选C考点：三角函数恒等变形．9.（原创，中档）如图所示，扇形AOB的半径为2，圆心角为90 ，若扇形AOB绕OA旋转一周，则图中阴影部分绕OA旋转一周所得几何体的体积为（）A．3π B．5πC．83πD．163π【答案】C【解析】扇形AOB绕OA旋转一周所得几何体的体积为球体积的12，则321633V rππ==，AOB∆绕OA旋转一周所得几何体的体积为31833rππ⨯=，阴影部分旋转所得几何体的体积为83π，故选C【考点】旋转体体积、割与补.10．（原创，中档）函数22()41xxxf x⋅=-的图象大致为（）A BC D【答案】A【解析】222()()()()4122x xx xx x f x f x f x f x -⋅==⇒-=-⇒--为奇函数，排除B ；()0x f x →+∞⇒→；排除D ；211(1=()()(1)322f f f f =⇒<），，排除C ；故选A【考点】函数性质及图象.11.（原创，中档）已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为,i j a ，比如3242549,15,23，，，===a a a ，若,2017i j a =，则i j +=（）A ．64B ．65C ．71D ．72【答案】D【解析】奇数数列2120171009n a n n =-=⇒=，按照蛇形排列，第1行到第i 行末共有(1)122i i i ++++=个奇数,则第1行到第44行末共有990个奇数；第1行到第45行末共有1035个奇数；则2017位于第45行；而第45行是从右到左依次递增，且共有45个奇数；故2017位于第45行，从右到左第19列，则45,2772i j i j ==⇒+=，故选D【考点】等差数列与归纳推理.12.（原创，难）已知函数()2cos()4f x x x π=+，给出下列命题：①函数()f x 的最小正周期为2π；②函数()f x 关于4x π=对称；③函数()f x 关于3(,0)4π对称；④函数()f x的值域为[，则其中正确的命题个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】()2cos()4f x x x π=+的周期显然为2π；())cos()2sin 422f x x x x x πππ+=++=；()2)cos()2sin 422f x x x x x πππ-=-+-+=；()()44f x f x ππ+=-，故②正确.33())cos()2cos 42f x x x x x πππ+=++=33()2)cos()2cos 42f x x x x x πππ-=-+-+=；33()()44f x f x ππ+=--，故③正确. 2()(cos sin )(cos sin )f x x x x x =+-，设22cos sin (cos sin )2x x t x x t +=⇒-=-，则[t ∈，32y t t =-2min max 230y t t y y '=-=⇒=⇒==，故④正确【考点】三角恒等变形、函数周期性、对称性及值域. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.（原创，容易）若(,2),(1,1)a x b x ==-，若()()a b a b +⊥- ，则x = ．【答案】1-【解析】22()()1a b a b a b x +⊥-⇒=⇒=-【考点】向量坐标运算及向量垂直.14.（原创，容易）已知实数,x y 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最小值为．【答案】5【解析】由题意可得可行域为如图所示（含边界），11222z x y y x z =+⇒=-+，则在点(1,2)A 处取得最小值5【考点】基本型的线性规划15.（原创，中档）已知在数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若1112,21n n n a a a -+==++，则10S = ．【答案】1078【解析】111112,2121n n n n n n a a a a a --++==++⇒-=+11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---⇒=-+-++-+-+⇒ 23122211n n n a n a --=+++++-+ .111212212n n n n ---=+-+=+-. 29101011122210782S ⨯=+++++= . 【考点】等差等比数列及均值不等式16.（原创，难）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD为斜边的等腰直角三角形，若4SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为．【答案】8[]33【解析】如图所示，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ，故1433S ABCD ABCD V S SO SO -=⋅=，在SAB ∆中，2SA AB ==，设SAB θ∠=，则有，SC =又4SC ≤≤112cos [,]2233ππθθ⇒-≤≤⇒∈，则2sin SO θ=∈，四棱锥S ABCD -的体积取值范围为8[]33【考点】线面垂直、面面垂直、解三角不等式及体积范围.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本题满分12分）（原创，容易）已知单调的等比数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若339S =，且43a 是65,a a -的等差中项.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)若数列{}n b 满足321log n n b a +=，且{}n b 前n 项的和为n T ，求1231111nT T T T ++++ . 【答案】(Ⅰ) 3n n a = ；(Ⅱ)43（18）解：(Ⅰ) 24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或2q =-（舍）；………………3分3131(1)3931a q S a q-==⇒=-…………………5分3n n a =……………………6分(Ⅱ) 213log 321n n b n +==+；………………7分3521(2)n T n n n =++++=+ ………………8分11111()(2)22n T n n n n ==-++………………10分 1231111111111111111()()()()21322423522n T T T T n n ⇒++++=-+-+-+-+ 12311111311()2212n T T T T n n ⇒++++=--++ ……………………12分【考点】等比数列基本量运算、数列求和 18．（本题满分12分）（原创，中档）设函数()2sin()cos 3f x x x π=+-(Ⅰ) 求()f x 的单调增区间；(Ⅱ) 已知ABC ∆的内角分别为,,A B C，若()2A f =ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅的最小值.【答案】(Ⅰ) 5[,],1212k k k Z ππππ-++∈ ；(Ⅱ)6 （18）解：(Ⅰ) 1()2sin()cos sin 2cos 23222f x x x x x π=+-=+……3分s i n (2)3x π=+……………4分5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈……6分 (Ⅱ) 由余弦定理可知：222a b c bc =+-……7分由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1……8分ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则b c a +-=9分222(b c b c bc +-=+-……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）……11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分令也可以这样转化：1r a b c =⇔++=……9分代入222()b c b c bc +-=+-；……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）；……………11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅的最小值为6.……………12分【考点】三角函数式化简、正余弦型函数性质、解三角形及均值不等式求最值. 19．（本题满分12分）（原创，中档）如图，三棱台111ABC A B C -中，侧面11A B BA 与侧面11AC CA 是全等的梯形，若1111,A A AB A A AC ⊥⊥,且11124AB A B A A ==.（Ⅰ）若12CD DA = ，2AE EB =，证明：DE ∥平面11BCC B ；（Ⅱ）若二面角11C AA B --为3π，求平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值.19.（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11AC CA ，112AC AC =,易知：111,2AC AC D AD DC == ……2分；又2AE EB =，则DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分；（Ⅱ）侧面11AC CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角，BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =，则有：11111100(1,00m AB y m m AB y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩……10分；设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =，则有：22122200030m CB y n m CB y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=-+=⎪⎩……11分； 1cos ,4m n m n m n⋅<>==-，故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14……12分；【考点】线面平行证明及二面角计算. 20. （本题满分12分）设函数2()2(2)23xf x x e ax ax b =--++-（原创，中档）（Ⅰ）若()f x 在0x =处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为240x y ++=，求实数,a b 的值；（原创，难）（Ⅱ）若1x =是()f x 的极小值点，求实数a 的取值范围. （Ⅰ）解：()2(1)22x f x x e ax a '=--+；……………………2分；由题意可知：(0)2f '=；……………………3分；(0)2222f a a '=-+=⇒=；………………4分；易得切点坐标为(0,2)-，则有(0)21f b =-⇒=；………………5分；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()2(1)222(1)()x x f x x e ax a x e a '=--+=--；………………6分；（1）当0a ≤时，0()01x e a f x x '->⇒=⇒=，(,1)()0x f x '∈-∞⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a ≤适合题意；………………7分；（2）当0a e <<时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a <；(,ln )()0x a f x '∈-∞⇒>；(ln ,1)()0x a f x '∈⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a e <<适合题意；………………9分；（2）当a e ≥时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a ≥；(,1)()0x f x '∈-∞⇒>；(1,ln )()0x a f x '∈⇒<；(ln ,)()0x a f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极大值点，∴a e ≥不适合题意；…………11分综上，实数a 的取值范围为a e <；………………12分；【考点】函数切线及函数极值. 21.（本题满分12分）已知函数()(ln 1)1f x x x ax ax =⋅++-+．（原创，中档）（Ⅰ）若()f x 在[1,)+∞上是减函数，求实数a 的取值范围. （原创，难）（Ⅱ）若()f x 的最大值为2，求实数a 的值. （Ⅰ）()ln 220f x x ax a '=++-≤在[1,)+∞恒成立……1分；2ln 12x a x+⇒≤-在[1,)+∞恒成立……2分；设2ln (),[1,)12x g x x x +=∈+∞-，则2122ln ()(12)x x g x x ++'=-，由1x ≥得：()0g x '>……3分； ()g x 在[1,)+∞上为增函数1x ⇒=，()g x 有最小值(1)2g =-. ∴2a ≤-；……4分；（Ⅱ）注意到(1)2f =，又()f x 的最大值为2，则(1)0f '=202a a ⇒+=⇒=-；………………6分下面证明：2a =-时，()2f x ≤，即()(ln 21)210f x x x x x =⋅-++-≤,1ln 230x x x⇔--+≤；……………7分设1()ln 23,(0,)h x x x x x =--+∈+∞；……………8分 22221121(21)(1)()2x x x x h x x x x x-+++-'=-+==……………9分 (0,1)()0()x h x h x '∈⇒>⇒在(0,1]上为增函数；(1,)()0()x h x h x '∈+∞⇒<⇒在[1,)+∞上为减函数；……………10分1()x h x =⇒有最大值(1)0h =；……………11分()(1)0h x h ≤=()(ln 21)210f x x x x x ⇔=⋅-++-≤∴2a =-适合题意；……………12分【考点】导函数单调性、函数最值及不等式证明.选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】（原创，容易）已知直线l 的参数方程为()x t t y a t=⎧⎨=-⎩为参数．以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（Ⅰ）求直线l 与圆C 的普通方程；（Ⅱ）若直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1，求实数a 的值．解：（Ⅰ）由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分，0x t x y a x y a y a t=⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分（Ⅱ）222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分，直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或4a =；…………10分，【考点】方程互化、圆弦长.23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】（原创，容易）已知函数()241f x x x =-++,（Ⅰ）解不等式()9f x ≤；（Ⅱ）若不等式()2f x x a <+的解集为A ，{}230B x x x =-<，且满足B A ⊆，求实数a 的取值范围.23. 解：（Ⅰ）()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；…………………………2分 24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； ……………………4分不等式的解集为[2,4]-；……………………………5分（Ⅱ）易知(0,3)B =；…………………………6分所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；…………………………7分 241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分 (0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立05a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分【考点】绝对值不等式解法、不等式恒成立.齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次调研联考数学（理）参考答案及评分标准1．【答案】B2．【答案】B3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】D6.【答案】A7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】C10．【答案】A11.【答案】D12.【答案】D13.【答案】1-14.【答案】515.【答案】107816.【答案】8]317.【答案】(Ⅰ) 3n n a = ；(Ⅱ)43 解：(Ⅰ) 24656603a a a q q q =-⇒--=⇒=或2q =-（舍）；………………3分3131(1)3931a q S a q-==⇒=-…………………5分 3n n a =……………………6分(Ⅱ) 213log 321n n b n +==+；………………7分3521(2)n T n n n =++++=+ ………………8分11111()(2)22n T n n n n ==-++………………10分 1231111111111111111()()()()21322423522n T T T T n n ⇒++++=-+-+-+-+ 12311111311()2212n T T T T n n ⇒++++=--++ ……………………12分【考点】等比数列基本量运算、数列求和18．【答案】(Ⅰ) 5[,],1212k k k Z ππππ-++∈ ；(Ⅱ)6 解：(Ⅰ) 1()2sin()cos sin 232f x x x x x π=+-=+……3分 s i n (2)3x π=+……………4分 5222,2321212k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈…………5分 ()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-++∈……6分 (Ⅱ) 由余弦定理可知：222a b c bc =+-……7分由题意可知：ABC ∆的内切圆半径为1……8分ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，则b c a +-=9分222(b c b c bc +-=+-……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）……11分 1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅ 的最小值为6.……………12分令也可以这样转化：12r a b c =⇔++=……9分代入222()b c b c bc +-=+-；……………10分4()12b c bc ⇒=+≥⇒≥或43bc ≤（舍）；……………11分1[6,)2AB AC bc ⋅=∈+∞ ，当且仅当b c =时，AB AC ⋅ 的最小值为6.……………12分19．19.（Ⅰ）证明：连接11,AC BC ，梯形11AC CA ，112AC AC =,易知：111,2AC AC D AD DC == ……2分；又2AE EB = ，则DE ∥1BC ……4分；1BC ⊂平面11BCC B ，DE ⊄平面11BCC B ，可得：DE ∥平面11BCC B ……6分；（Ⅱ）侧面11AC CA 是梯形，111A A AC ⊥，1AA AC ⇒⊥,1A A AB ⊥,则BAC ∠为二面角11C AA B --的平面角， BAC ∠=3π……7分； 111,ABC A B C ⇒∆∆均为正三角形，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设11AA =，则11112,A B AC ==4AC AC ==,故点1(0,0,1)A ，(0,4,0),C1,1)B B ……9分；设平面11A B BA 的法向量为111(,,)m x y z =，则有：11111100(1,00m AB y m m AB y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=++=⎪⎩ ……10分；设平面11C B BC 的法向量为222(,,)n x y z =，则有：22122200030m CB y n m CB y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⇒=⎨⋅=-+=⎪⎩……11分； 1cos ,4m n m n m n⋅<>==- ，故平面11A B BA 与平面11C B BC 所成的锐二面角的余弦值为14……12分；20.（Ⅰ）解：()2(1)22x f x x e ax a '=--+；……………………2分；由题意可知：(0)2f '=；……………………3分；(0)2222f a a '=-+=⇒=；………………4分；易得切点坐标为(0,2)-，则有(0)21f b =-⇒=；………………5分；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：()2(1)222(1)()x x f x x e ax a x e a '=--+=--；………………6分；（1）当0a ≤时，0()01x e a f x x '->⇒=⇒=，(,1)()0x f x '∈-∞⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>；1x =是()f x 的极小值点，∴0a ≤适合题意；………………7分；（2）当0a e <<时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a <；(,ln )()0x a f x '∈-∞⇒>；(ln ,1)()0x a f x '∈⇒<；(1,)()0x f x '∈+∞⇒>； 1x =是()f x 的极小值点，∴0a e <<适合题意；………………9分；（2）当a e ≥时，1()01f x x '=⇒=或2ln x a =，且ln 1a ≥；(,1)()0x f x '∈-∞⇒>；(1,ln )()0x a f x '∈⇒<；(ln ,)()0x a f x '∈+∞⇒>； 1x =是()f x 的极大值点，∴a e ≥不适合题意；…………11分综上，实数a 的取值范围为a e <；………………12分；21.（Ⅰ）()ln 220f x x ax a '=++-≤在[1,)+∞恒成立……1分； 2ln 12x a x+⇒≤-在[1,)+∞恒成立……2分；设2ln (),[1,)12x g x x x +=∈+∞-，则2122ln ()(12)x x g x x ++'=-，由1x ≥得：()0g x '>……3分； ()g x 在[1,)+∞上为增函数1x ⇒=，()g x 有最小值(1)2g =-. ∴2a ≤-；……4分；（Ⅱ）注意到(1)2f =，又()f x 的最大值为2，则(1)0f '=202a a ⇒+=⇒=-；………………6分下面证明：2a =-时，()2f x ≤，即()(ln 21)210f x x x x x =⋅-++-≤,1ln 230x x x⇔--+≤；……………7分设1()ln 23,(0,)h x x x x x =--+∈+∞；……………8分 22221121(21)(1)()2x x x x h x x x x x-+++-'=-+==……………9分 (0,1)()0()x h x h x '∈⇒>⇒在(0,1]上为增函数；(1,)()0()x h x h x '∈+∞⇒<⇒在[1,)+∞上为减函数；……………10分1()x h x =⇒有最大值(1)0h =；……………11分()(1)0h x h ≤=()(ln 21)210f x x x x x ⇔=⋅-++-≤∴2a =-适合题意；……………12分22．解：（Ⅰ）由题意知：2224cos 4cos 40x x y ρθρρθ=⇒=⇒-+=…………3分， 0x t x y a x y a y a t =⎧⇒+=⇒+-=⎨=-⎩；…………5分（Ⅱ）222240(2)4x x y x y -+=⇒-+=；…………6分，直线l 分圆C 所得的弧长之比为3:1⇒弦长为8分，d ⇒==9分，0d a ⇒==⇒=或4a =；…………10分，23. 解：（Ⅰ）()9f x ≤可化为2419x x -++≤2339x x >⎧⎨-≤⎩，或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩，或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩；…………………………2分 24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<-； ……………………4分不等式的解集为[2,4]-；……………………………5分（Ⅱ）易知(0,3)B =；…………………………6分所以B A ⊆，又2412x x x a -++<+在(0,3)x ∈恒成立；…………………………7分 241x x a ⇒-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………8分1241x a x x a ⇒--+<-<+-在(0,3)x ∈恒成立；…………………………9分 (0,3)(0,33)35a x a x x x >-⎧⎨>-∈∈+⎩在恒成立在恒成立05a a a ≥⎧⇒⇒≥5⎨≥⎩………………………10分。

山东省、湖北省部分重点中学高三数学第二次(12月)联考

山东省、湖北省部分重点中学2018届高三数学第二次（12月）联考试题文本试卷共4页，共23题，满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域.答在试题卷、草稿纸上无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.请将答题卡上交.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（原创，容易）已知命题q p ,，则“q p ∧为假命题”是“q p ∨为真命题”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】“q p ∧为假命题”包括“p 假q 假”，“p 真q 假”，“p 假q 真”，“q p ∨为真命题”包括“p 真q 真”，“p 真q 假”，“p 假q 真” 【考点】命题交并的真假，充分必要条件 2.（原创，容易）已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤---=02)4)(1(x x x x A ，{}51≤≤-∈=x N x B ，则集合B A 的子集个数为（）A. 5B. 4C.32D.16 【答案】D【解析】{}421≤<≤=x x x A 或，{}5，4，3，2，1，0=B ，∴{}4，3，1，0=B A ，∴B A 的子集个数为1624=【考点】解不等式，交集的运算，集合子集的个数 3.（原创，容易）设i 为虚数单位，若复数)(1R a i i a Z ∈+-=的实部与虚部的和为43，则23)1()(-+-=x x x f a 定义域为（） A.），（），（∞+221 B.[)），（，∞+221 C. ()∞+，1 D. ()2,1 【答案】A 【解析】易知41-=a ，所以只需满足21≠>x x 且【考点】复数，具体函数的定义域.4.（原创，容易）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且3π=A ,4=c ，62=a ，则角C =( ) A ．43π B. 4π C. 4π或43π D.3π或32π 【答案】B【解析】C c A a sin sin =，2262234sin =⋅=∴C ，又c a > ，所以角C =4π 【考点】正弦定理解三角形.5.（原创，容易）执行下列程序框图，若输入a ，b 分别为98，63，则输出的a =（）A ．12 B. 14 C. 7 D. 9 【答案】C【解析】“更相减损术”求最大公约数【考点】程序框图6.（原创，适中)已知31)(++-=x x x f ，3-1)(--=x x x g ，设)(x f 的最大值为M ，)(x g 的最大值为N ，则NM=（） A. 2 B.1 C.4 D.3 【答案】A【解析】)(x f 的定义域是[]13-，，32-2431)(222+-+=++-=x x x x x f ）（，当1-=x 时，8)(max 2=x f ，所以M =22；)(x g 的定义域是[)∞+，3，3123-1)(-+-=--=x x x x x g ，所以2)(max ==N x g .N M=2【考点】函数的最值7.（原创，适中）曲线1)(3+-=x x x f 在点()11，处的切线方程是（） A.012=--y x 或054=-+y x B. 012=--y x C. 02=-+y x 或054=-+y x D. 02=-+y x【答案】B 【解析】因为切点为()11，，斜率为1320-=x k =2，则该切点处的切线为012=--y x 【考点】曲线上某点处的切线方程8.（原创，适中）已知函数x x x x f sin )1ln()(2--+=，则对于任意实数b a ,022-≠+⎪⎭⎫⎝⎛∈b a 且，ππ，则b a b f a f ++)()(的值（） A ．恒负 B. 恒正 C. 恒为0 D. 不确定【答案】A【解析】x x x x f sin )1ln()(2--+=在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上为奇函数且单调递减.所以)()(b f a f +与b a +同号【考点】函数的性质.9. （改编，适中）若函数()2df x ax bx c=++ （a ， b ， c ， d R ∈）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．0,0,0,0>>>>d c b a B. 0,0,0,0<>>>d c b a C. 0,0,0,0>><>d c b aD. 0,0,0,0<><>d c b a 【答案】D【解析】02=++c bx ax 的两根为1，5.所以b a ,异号，c a ,同号.又因为0)0(<f ，所以d c ,异号【考点】函数图像10. （改编，较难）某多面体的三视图如图所示，正视图中大直角三角形的斜边长为5，左视图为边长是1的正方形，俯视图为有一个内角为 45的直角梯形，则该多面体的体积为（）A.1B.21C. 32 D. 2【答案】C【解析】，323131=+=+=--BCD F ADFE B V V V 【考点】三视图11. （改编，较难）若正数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-xy y y x x ln 2142，则xy x y 22+的取值范围为（） A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+417,1e e B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞+,1e e C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡417,2 D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+e e 1,2 【答案】A【解析】因为+∈R y x ,，所以⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-x y y y x x ln 2142可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-x y xy y x ln 0)211)(4(，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤x y x y ln 41又因为yxx y xy x y +=+22，所以设x y k =，则约束条件变为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥xkx k ln 41，进一步可知约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≤≥ek k 141，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e k 1,41，目标函数为k k xy x y 122+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈417,1e e 【考点】线性规划，函数上过某点的切线方程，函数的值域12.（改编，较难）已知函数ax x x f -=2)(，xe x x g -=ln )(.在其共同的定义域内，)(x g 的图像不可能在)(xf 的上方，则求a 的取值范围（） A ． 110+<<e a B. 0>a C. 1+≤e a D. 0≤a 【答案】C【解析】由题意得x x x x e a x ln -+≤，令xx x x e x x ln )(-+=ϕ， 22ln 11)1()(x x x x e x x --+-=，ϕ22ln 1)1(xx x x e x +-+-=；令x x x e x t x ln 1)1()(2+-+-=，012)(>++⋅=xx x e x t x ，，所以)(x t 在),0(+∞上单调递增，又因为0)1(=t ；当)1,0(∈x 时，)(x ϕ单调递减；当)1(∞+∈，x 时，)(x ϕ单调递增.所以1)1()(+=≥e x ϕϕ，所以1+≤e a .C 正确.【考点】导数的应用.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13. （原创，容易）命题()”“xe x x ≤++∞∈∀2ln ,,0的否定是【答案】()02ln ,,000xe x x >++∞∈∃【解析】()”“02ln ,,000xe x x >++∞∈∃【考点】全称命题和特称命题14. （原创，容易）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥=++-)1()12()1()(322x m x m x x x f m m 在R 上是单调递增函数，则m 的取值范围是【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛3221，【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧-≥>->++-1310120322m m m m 可得3221≤<m【考点】函数的性质15. （改编，容易）如图，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ， F 分别为棱AB ， AD 的中点，则EF AC +=_____； BC EF -= ；【答案】5；3 【解析】()501422222=++=⋅++=+=+EF AC EF AC EF AC EF AC ,所以EF AC +=5设BD 的中点为G ，则GC BG BC EF BC =-=-,所以BC EF -=3=GC【考点】向量16. （改编，较难）对于集合{}12,,,n a a a 和常数0a ，定义：)(cos ....)(cos )(cos )(sin ....)(sin )(sin 0202201202022012a a a a a a a a a a a a t n n -++-+--++-+-= 为集合{}12,,,n a a a 相对于0a 的“类正切平方”.则集合57,,266πππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭相对于0a 的“类正切平方”t = 【答案】1【解析】)67(cos )65(cos )2(cos )67(sin )65(sin )2(sin 020*********a a a a a a t -+-+--+-+-=ππππππ=)6(cos )6(cos sin )6(sin )6(sin cos 020*********a a a a a a -+++-+++ππππ=2002000220020002sin 21cos 23sin 21cos 23sin sin 23cos 21sin 23cos 21cos ）（）（）（）（a a a a a a a a a a ++-+-+++=20202020202sin 21cos 23sin sin 23cos 21cos a a a a a a ++++ =02020202sin 23cos 23sin 23cos 23a a a a ++=1【考点】创新题，三角函数三、解答题：(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17. （原创，容易）（本小题12分）在数列{}n a 中，已知11=a ，121+=+n n a a (*N n ∈）（1）求证：{}1+n a 是等比数列（2）设11+⋅+=n n n n a a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S解析：（Ⅰ）由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a （*N n ∈）又 211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列 (5)分(2) 由（1）知：n n n a 22211=⋅=+-，12-=n n a （*N n ∈）∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n n n n b （*N n ∈） ∴nS =nb b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n ………………………………12分.【考点】递推关系，等比数列，求前n 项和. 18. （原创，容易）（本小题12分）已知函数21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f （0>ω）的最小正周期为π.（1）求ω的值（2）将函数)(x f y =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数)(x g 的图象.求函数)(x g 在[]ππ,-上单调递减区间和零点.【解析】（1）21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f =）（1)6cos()6sin(32)6(cos 2212---+-πωπωπωx x x =）（)32sin(3)32cos(21πωπω-+-x x =)62sin(πω-x由πωπ==22T 得1=ω……………………………………5分（2） =)(x f )62sin(π-x ，∴)(x g =)6sin(π+x单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππ,3,32, 零点为60ππ-=k x （Z k ∈）,又因为[]ππ,0-∈x ，所以)(x g 在[]ππ,-上的零点是65,6ππ-………………………………………12分【考点】三角函数19.（改编，适中）（本小题12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，边长为1，120=∠ADC ，⊥PA 平面ABCD ，PAD ∆是等腰三角形.（1）求证：平面⊥PBD 平面PAC（2）在线段,PC PD 上可以分别找到两点'A ， ''A ，使得直线PC ⊥平面'''AA A ，并分别求出此时''',PA PA PC PD的值．【解析】（1）因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又因为⊥PA 平面ABCD ，且⊂BD 平面ABCD ，所以BD PA ⊥;所以BD ⊥平面PAC ;又因为⊂BD 平面PBD ，所以平面⊥PBD 平面PAC ……………………………5分（2） PC ⊥平面'''AA A ，∴'AA PC ⊥,''AA PC ⊥在PACRT ∆,PCPA PA ⋅='2,又2,1==PC PA ,21'=∴PA .41'=∴PC PA ………………………8分在PDC ∆中，21,2,1,2'====PA PC DC PD ,又 '''cos PA DPC PA =∠⋅, 又 245241242cos 222=-+=⋅-+=∠PD PC CD PD PC DPC 522''=∴PA ,522522''==∴PD PA ………………………………………12分【考点】立体几何20.（改编，适中）（本小题12分）已知()f x '是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有())()12('x f x e x f x++=（e 是自然对数的底数），1)0(=f(1)求)(x f 的解析式 (2)求)(x f 的单调区间.【解析】（1）由())()12('x f x e x f x++=得12)()('+=-x e x f x f x，即12)('+=⎪⎭⎫⎝⎛x e x f x ，所以c x x ex f x ++=2)(所以()xe c x x xf ++=2)(，又因为1)0(=f ，所以1=c所以函数)(x f 的解析式是()xe x x xf 1)(2++=………………………………………7分（2）()xe x x xf 23)(2'++=∴ )(x f 的单调递增区间是：()()+∞--∞-,1,2,；)(x f 的单调递减区间是：()1,2--………………12分【考点】函数的性质21.（原创，较难）（本小题12分）已知函数)(x f =x x ax ln 2-，xx g 1)(=. （1）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值，并判断)(x f 在1=x 处取得极大值还是极小值.（2）若)()(x g x f ≥在(]10，上恒成立，求a 的取值范围. 【解析】（1）)(x f 的定义域是()∞+，0，)('x f =2ln 12x x ax --，由0)1('=f 得21=a . 当21=a 时，)(x f =x x x ln 212-，)('x f =2ln 1xx x --23ln 1x x x +-= 02>x 恒成立，∴ 令)(x t =x x ln 13+-，)('x t =xx 132+0>恒成立 ∴)(x t 在()∞+，0上单调递增，又因为0)1(=t ∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增. ∴ 当21=a 时，)(x f 在1=x 处取得极小值.………………………………………5分（2）由)()(x g x f ≥得xx x ax 1ln 2≥-在(]10，上恒成立即1ln 3≥-x ax 在(]10，上恒成立. 解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：令x ax x ln )(3-=ϕ，①当0≤a 时，)(x ϕ在(]1,0上单调递减，+∞=+→)(lim 0x x ϕ，0)1(<=a ϕ，所以)(x ϕ的值域为：[)∞+，a ，因为0≤a ，所以)(x ϕ的值域为[)∞+，0；所以不成立. ②当0>a 时，易知0)(>x ϕ恒成立.)31(313)(32ax x a x ax x -=-=，ϕ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，a 313上单调递增.因为1)1(≥ϕ，所以1≥a ，所以1313<a ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1313，a 上单调递增.所以=min )(x ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 313ϕ，依题意，1313≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ϕ，所以32e a ≥. 综上：32e a ≥ 解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：命题“1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立”的否定是“1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解” 1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解⇒1ln 13<-<-x ax 在(]1,0上有解⇒33ln 1ln 1-x x a x x +<<+在(]1,0上有解令3ln 1-)(xx x t +=，(]1,0∈x . )(,x t ()6233ln 11x x x x x ⋅+--⋅=0ln 3-44>=x x ，所以3ln 1-)(x x x t +=在(]1,0上单调递增，又 -∞=+→)(lim 0x t x ，所以)(x t 无最小值.所以R a ∈；令3ln 1)(x x x m +=，4623ln 323)ln 1(1)(x x x x x x x x m --=⋅+-⋅=，所以)(x m 在),0(32-e 上单调递增，在)1(32，-e 上单调递减. 所以3)()(223max e e m x m ==-,所以32e a <.因为1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解时，32e a <；所以1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立时，32e a ≥. ……………………………………12分【考点】导函数22. （原创，容易）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x C ：（α为参数），直线l 的参数方程是⎩⎨⎧=+-=t y t x 2（t 为参数）．（1）分别求曲线C、直线l 的普通方程；（2）直线l 与C 交于B A ,两点，则求AB 的值.【解析】（1）C ：1922=+y x ；l ：02=-+y x ………………………………………4分（2）直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=''22222t y t x ，（'t 为参数）将l 的标准参数方程代入C 的直角坐标方程得：05'22'52=--t t ，所以522''21=+t t ，1''21-=⋅t t ∴=-+=-=''4)''(21221'2'1t t t t t t AB 536………………………………………10分【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转换和直线参数方程.23. （原创，容易）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数212)(++-=x x x f ，()a a x x x g +--+=1（1）求解不等式3)(>x f ；（2）对于R x x ∈∀21,，使得)()(21x g x f ≥成立，求a 的取值范围.【解析】（1）由⎩⎨⎧>---≤3132x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-33212x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥31321x x 解得：0<x 或32>x∴解集为：()⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,320, ………………………………………4分（2）当21=x 时，25)(min =x f ；a a x g ++=1)(max由题意得max min )()(x g x f ≥，得251≤++a a 即a a -≤+251 ∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≥-22251025a a a 解得43≤a ………………………………………10分【考点】绝对值不等式齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学2018届高三第二次调研联考数学（文）参考答案及评分标准1.【答案】D2.【答案】D3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】A9. 【答案】D10.【答案】C11.【答案】A12.【答案】C13.【答案】()02ln ,,000xe x x >++∞∈∃ 14.【答案】⎥⎦⎤ ⎝⎛3221， 15.【答案】5；316.【答案】1 17. 解析：（1）由121+=+n n a a 得：）（1211+=++n n a a （*N n ∈）又 211=+a ，∴{}1+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.……………………5分(2) 由（1）知：n n n a 22211=⋅=+-，12-=n n a （*N n ∈） ∴121121)12()12(211---=-⋅-=++n n n n n n b （*N n ∈） ∴n S =n b b b +++...21=12112121---+12112132---+……1211211---++n n =12111--+n =122211--++n n ………………………………12分.18.【解析】（1）21)6cos()6sin(3)6(cos )(2---+-=πωπωπωx x x x f =）（1)6cos()6sin(32)6(cos 2212---+-πωπωπωx x x =）（)32sin(3)32cos(21πωπω-+-x x =)62sin(πω-x 由πωπ==22T 得1=ω……………………………………5分 (2) =)(x f )62sin(π-x ，∴)(x g =)6sin(π+x单调递减区间为：⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛--ππππ,3,32, 零点为60ππ-=k x （Z k ∈）,又因为[]ππ,0-∈x ，所以)(x g 在[]ππ,-上的零点是65,6ππ-………………………………………12分19.【解析】（1）因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥又因为⊥PA 平面ABCD ，且⊂BD 平面ABCD ，所以BD PA ⊥;所以BD ⊥平面PAC ;又因为⊂BD 平面PBD ，所以平面⊥PBD 平面PAC ……………………………5分（2） PC ⊥平面'''AA A ，∴'AA PC ⊥,''AA PC ⊥在PACRT ∆,PC PA PA ⋅='2,又 2,1==PC PA ,21'=∴PA .41'=∴PC PA ………………………8分在PDC ∆中，21,2,1,2'====PA PC DC PD ,又 '''cos PA DPC PA =∠⋅, 又 245241242cos 222=-+=⋅-+=∠PD PC CD PD PC DPC 522''=∴PA ,522522''==∴PD PA ………………………………………12分20.【解析】（1）由())()12('x f x e x f x ++=得12)()('+=-x e x f x f x ，即12)('+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x e x f x ，所以c x x ex f x ++=2)( 所以()xe c x x xf ++=2)(，又因为1)0(=f ，所以1=c所以函数)(x f 的解析式是()x e x x x f 1)(2++=………………………………………7分（2）()x e x x x f 23)(2'++=∴ )(x f 的单调递增区间是：()()+∞--∞-,1,2,；)(x f 的单调递减区间是：()1,2--………………12分21.（1）)(x f 的定义域是()∞+，0，)('x f =2ln 12x x ax --，由0)1('=f 得21=a . 当21=a 时，)(x f =x x x ln 212-，)('x f =2ln 1xx x --23ln 1x x x +-= 02>x 恒成立，∴ 令)(x t =x x ln 13+-，)('x t =xx 132+0>恒成立 ∴)(x t 在()∞+，0上单调递增，又因为0)1(=t ∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减；当)1(∞+∈，x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增.∴ 当21=a 时，)(x f 在1=x 处取得极小值.………………………………………5分（2）由)()(x g x f ≥得xx x ax 1ln 2≥-在(]10，上恒成立即1ln 3≥-x ax 在(]10，上恒成立. 解法一（将绝对值看成一个函数的整体进行研究）：令x ax x ln )(3-=ϕ，①当0≤a 时，)(x ϕ在(]1,0上单调递减，+∞=+→)(lim 0x x ϕ，0)1(<=a ϕ，所以)(x ϕ的值域为：[)∞+，a ，因为0≤a ，所以)(x ϕ的值域为[)∞+，0；所以不成立. ②当0>a 时，易知0)(>x ϕ恒成立.)31(313)(32ax x a x ax x -=-=，ϕ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，a 313上单调递增.因为1)1(≥ϕ，所以1≥a ，所以1313<a ，所以)(x ϕ在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 3103，上单调递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1313，a 上单调递增.所以=min )(x ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a 313ϕ，依题意，1313≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a ϕ，所以32e a ≥. 综上：32e a ≥ 解法二（求命题的否定所对应的集合，再求该集合的补集）：命题“1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立”的否定是“1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解” 1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解⇒1ln 13<-<-x ax 在(]1,0上有解⇒33ln 1ln 1-x x a x x +<<+在(]1,0上有解令3ln 1-)(x x x t +=，(]1,0∈x . )(,x t ()6233ln 11xx x x x ⋅+--⋅=0ln 3-44>=x x ，所以3ln 1-)(x x x t +=在(]1,0上单调递增，又 -∞=+→)(lim 0x t x ，所以)(x t 无最小值.所以R a ∈；令3ln 1)(x x x m +=，4623ln 323)ln 1(1)(x x x x x x x x m --=⋅+-⋅=，所以)(x m 在),0(32-e 上单调递增，在)1(32，-e 上单调递减. 所以3)()(223max e e m x m ==-,所以32e a <. 因为1ln 3<-x ax 在(]1,0上有解时，32e a <；所以1ln 3≥-x ax 对(]1,0∈∀x 都成立时，32e a ≥. ……………………………………12分22.【解析】（1）C ：1922=+y x ；l ：02=-+y x ………………………………………4分（2）直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=''22222t y t x ，（'t 为参数）将l 的标准参数方程代入C 的直角坐标方程得：05'22'52=--t t ，所以522''21=+t t ，1''21-=⋅t t ∴=-+=-=''4)''(21221'2'1t t t t t t AB 536………………………………………10分【考点】极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的转换和直线参数方程. 23.【解析】（1）由⎩⎨⎧>---≤3132x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<-33212x x 或⎪⎩⎪⎨⎧>+≥31321x x 解得：0<x 或32>x ∴解集为：()⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∞-,320, ………………………………………4分（2）当21=x 时，25)(min =x f ；a a x g ++=1)(max 由题意得max min )()(x g x f ≥，得251≤++a a 即a a -≤+251 ∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤+≥-22251025a a a 解得43≤a ………………………………………10分。

山东、湖北部分重点中学2018届高三高考冲刺模拟考试(二)数学(理)试题(含答案)

得向量 CM ，则向量 CM 在向量 CA 方向上的投影为（
）
A. 1
B.
【答案】 C
1
C.
1
1
D.
2
2
M
【解析】如图，以 C A, C B为 x, y 轴建立平面直角坐标系，则
CA (1,0),CD
11 ( , ) ，得 CM
(
11 , ) ，所以向量
CM
在向量
a ，则
【答案】 C
【解析】由 a
1 赋值运算， a 输入值为 -1 ，则第 1 次运算结
1a
1 ，第 2 次结果为 2，第 3 次结果为 -1 ，结果数字以 3 为周期循 2
现，要运算 12 次，此时输出的数为 -1. 这样二项式 ( x a )6 的展开 x
为 Tk 1
C
k 6
x6
k (1)k
，
②已知 a lg 2 ，则 a aa a aa .
③将 y 2 tan( x ) 的图象向右平移 6
y tan x 的图象 .
个单位，再将所得图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的
6
1 ，可得到 2
④设 0 a 3 ，则函数 f ( x) x3 ax(0 x 1) 有最小值无最大值 .
其中正确命题的个数为（
.
1. （原创 . 容易）已知集合 A (
, 1] [1,
)，B
{ y|y
log 2 x, x
1 [ ,4]}
，则 A
B
（
）
2
A. [ 1,2]
B.
[1,2]
C.
{ 1} [1,2] D. [ 1,1] {2}

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