等比数列证明方法
第4节 等比数列通项公式
第二章
数列
第四节 等比数列通项公式
必备新知：
1.等比数列的定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于
同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常
用字母 q 表示(q≠0)．
典例分析：
例 1：已知数列{an}是首项为 2，公差为﹣1 的等差数列．令 bn=（ ）
∴
，解得
或
，
∴a4= =16．
故选：B． 解法二：∵等比数列{an}满足 a2=4，a6=64， ∴a42=a2a6=4×64=256， ∵偶数项的符号相同，∴a4=16． 故选：B．
练习：等比数列{an}的各项均为正数，且 a1+2a2=4，a42=4a3a7，则 a5=（ ） A． B． C．20 D．40
则 a13a14a15=q36•a1a2a3=24×3=48， 故选：A．
例 6：设数列{an}是单调递增的等差数列，a1=2 且 a1﹣1，a3，a5+5 成等比数列，
则 a2017=（
）
A．1008 B．1010 C．2016 D．2017
解：∵数列{an}是单调递增的等差数列，
a1=2 且 a1﹣1，a3，a5+5 成等比数列，
∴
，
（2+2d）2=（2﹣1）（2+4d+5）， 解得 d=﹣ （舍）或 d= ，
∴a2017=2+2016×（ ）=1010． 故选：B．
练习：已知等比数列{an}的各项都为正数，且 a3，
A．
B．
C．
D．a3，
成等差数列，
∴
，则
，
化简得，q2﹣q﹣1=0，解得 q=
等比数列的概念及通项公式
3、已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的 积为64，求这三个数。 2,4,8 或8,4,2
4、正项等比数列{an},公比q=2，且a1a2a3…a18=230, 则a3a6a9…a18=__________ 。 216
例题分析
例:（2006全国卷I）已知{an}为等比数 列，公比q>1,a2+a4=10, a1.a5=16 求等 比 数列 {an}的通项公式
练
习
Байду номын сангаас
1、已知数列{an}为等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于（ A ） A.5 B.10 C.15 D.20
log3 (a1a2 a3 a11 )
3
1
3
2
3
3
3
11
11
log a log 3
11 3 6 11 3
∵a1a11 = a62=9且an>0
∴a6=3
形成性训练
1、在等比数列{an}中，已知a2 = 5，a4 = 10，则公比 q的值为________ 2、 2与8的等比中项为G，则G的值为_______ 3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_________ 4、在等比数列中a7=6，a10=9，那么a4=_________.
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题2、通项公式:4、等比数列的前n 项和S n 公式:(1)当 q 1 时，S n na in⑵当q 1时，5罟5、等比数列的判定方法:等比数列等比中项：a n 2a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0){a n }为等比数列通项公式：a nA B n A B 0{a n }为等比数列1、等比数列的定义:a n 1a n 2,且n N * ， q 称为公比n 1a naga iB n a i0,A B0，首项：a 1;公比：q推广：a na m qa nama n m — \ a m3、等比中项：（1）如果a, A, b 成等比数那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或A ab注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（（2）数列a n 是等比数列2 a n a n 1aq qA'B nA' ( A, B,A',B'为常数)(1) 用定义：对任意的都有a n 1qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0）{a n }为a n6、等比数列的证明方法:依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 17、等比数列的性质：(2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。
(3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。
特别的，当m n 2k 时，得2a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1．等比数列{a n}中，a1 a9 64, a3 a7 20, 求a11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a1和q的二元方程组，解出a i和q，可得an ；或注意到下标1 9 3 7，可以利用性质可求出a3、a y，再求a ii.总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1 ] {an}为等比数列，a仁3，a9=768,求a6。
4.3.1等比数列的判定及性质
102.6
5
107.2
12
100.6
6
107.2
13
98.1
7
106.9
14
95.0
观察发现，数列{ }先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当 ≥ 时，
{ }递减，且 < 即可.
新知探究
由 + +
=
.+ ×[−(+)]
第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念
教学目标
1.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
2.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算；
3.通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数
学运算素养
01
复习导入
复习回顾
1.等比数列的定义是什么？
. ×(−)
< ，
得 > .
所以，当 ≥ 时，{ }递减.
又 ≈ < ，所以，当 ≤ ≤ 时， ≤ < .
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
新知探究
方法总结
1.构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解.
（2）如果数列{ }是各项均为正的等比数列，那么数列{ }是等差数列.
04
等比数列的实际应用
新知探究
例1.用 10000元购买某个理财产品一年.
l
(1)若以月利率. %的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
(2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息
高中高考专题之数列的方法技巧及应用
1． 等差数列的证明方法：（1）.定义法：1n n a a d +-=(常数) （2）.等差中项法：112(2)n n n a a a n +-+=≥ 2．等比数列的证明方法： （1）.定义法：1n na q a +=(常数) （2）.等比中项法：211(2)n n n a a a n +-=≥例1.设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛nS n｝的前n 项和，求T n ．解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则S n =na 1＋21n （n －1）d ．∴S 7＝7，S 15＝75，∴⎩⎨⎧=+=+,7510515,721711d a d a 即⎩⎨⎧=+=+,57,1311d a d a解得a 1＝－2，d ＝1．∴n S n ＝a 1＋21（n －1）d ＝－2＋21（n －1）．∵2111=-++n S n S n n ， ∴数列｛n S n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为21，∴T n ＝41n 2－49n ． 例2．设数列{a n }的首项a 1=1，前n 项和S n 满足关系式： 3tS n －（2t +3）S n －1=3t （t >0，n =2，3，4，…） 求证：数列{a n }是等比数列； 解：（1）由a 1=S 1=1，S 2=1+a 2，得a 2=tta a t t 323,32312+=+ 又3tS n －（2t +3）S n －1=3t ① 3tS n －1－（2t +3）S n －2=3t ② ①－②得3ta n －（2t +3）a n －1=0 ∴tt a a n n 3321+=-，（n =2，3，…）所以{a n }是一个首项为1，公比为tt 332+的等比数列. 练习：(2006年山东卷）已知a 1=2，点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+a n )｝是等比数列；（2） 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n )，求T n 及数列｛a n ｝的通项； 答案.(2) 213nn T -=,2131nn a -=-; 二．通项的求法（1）.利用等差等比的通项公式 (2).累加法：1()n n a a f n +-= 例3．已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
等比数列的概念与通项公式
教学课题 课型
2012 教师备课纸
[课题] 2.3.1等比数列的概念与通项公式 [知识摘记]
1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1
-n n a a =q （q ≠0）
2．等比数列的通项公式 ① 111(0)n n a a q a q -=⋅⋅≠②1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠ 3．证明数列{}n a 为等比数列： ①定义：证明
1n n
a a +=常数； ②中项性质：2
121
21
n n n n n n
n a a a a a a a +++++==
或；
[例题解析]
例1判断下列数列是否为等比数列： （1）1,1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；（3）11111,,,,24816
--.
例2．求出下列等比数列中的未知项： （1）2,,8a ； （2）14,,,2
b c -．
例3在等比数列{a n }中，
(1)已知13,2a q ==-，求6a ；（2）已知3620,160a a ==，求n a ．
【例4】在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列．。
等比数列的判断和证明进阶洋葱数学
等比数列的判断和证明进阶洋葱数学1. 引言1.1 等比数列的概念等比数列是数学中常见的一种数列，指的是一个数列中每一项与它的前一项成等比例关系的数列。
换句话说，等比数列中任意相邻两项的比值都是恒定的，这个恒定比值称为公比，通常用字母q表示。
1，2，4，8，16就是一个公比为2的等比数列。
在等比数列中，首项表示数列中的第一个数，通常用字母a表示。
数列中第n项的表示一般为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。
等比数列的通项公式为an=a*q^(n-1)，其中n为项数。
等比数列的前n项和公式为Sn=a*((q^n)-1)/(q-1)。
等比数列具有明显的规律性和对称性，能够通过一些性质和公式来描述和推导等比数列的特点和性质。
在接下来的文章中，我们将进一步讨论等比数列的判断方法、首项和公比的关系、等比中项的性质、等比数列的特点和应用以及如何进行等比数列的证明方法。
通过深入研究，我们可以更加全面地了解等比数列在数学中的重要性和应用价值。
1.2 等比数列的性质等比数列的性质包括等比数列的负项、任意项和等比中项的性质。
我们来看等比数列的负项。
如果一个数列是等比数列，那么它的任意一项和它的相反数都可以构成一个等比数列。
这是因为对于任意一项a，其相反数-b也是等比数列的一项，且它们的比值相同，即-b/a等于公比q。
等比数列的性质之一是每一项和其相反数构成一个等比数列。
等比数列的任意项也具有一定的性质。
假设一个等比数列的首项为a，公比为q，则它的第n项可以表示为a*q^(n-1)。
这个公式可以帮助我们快速计算等比数列任意一项的值，从而更好地理解等比数列的规律。
等比数列的等比中项也有着特殊的性质。
等比数列的等比中项是指两个相邻项的平方根，即等比数列中第n项与第n+1项的平方根。
这个性质有利于我们在不知道等比数列具体项的情况下，通过已知项求解中间项的值。
等比数列的性质包括每一项与其负项构成等比数列、任意项的计算公式以及等比中项的特殊性质。
等比数列的有关概念公式与性质
等比数列的有关概念公式与性质一、知识要点：1．等比数列的概念（1）一个数列{}n a ：若满足1(n na q q a +=为常数），则数列{}n a 叫做等比数列 （2）等比数列的证明方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中 0,0nq a ≠≠ 或 11n n n n a a a a +-= (2)n ≥。
（3）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个 由此得非零实数,,a A b 成等比数列⇔ab A =22.等比数列主要公式（1）等比数列的通项公式：1*11()n n n a a a q q n N q-==⋅∈；（2）两项之间的关系式：mn m n q a a -= （3）前n 项的和公式为：11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a q q q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩3.等比数列的性质： （1）当m n p q +=+时，则有q p n m a a a a ..=，特别地当2m n p +=时，则有2.p n m a a a =(2)若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列，公比n q Q=；当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S --,…是常数数列各项均为0，它不是等比数列.(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.(4)当1q≠时，b aq qa q qa S n n n +=-+--=1111，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式特征. (5) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.1212321--=⋅⋅⋅n n n a a a a a(6)数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
等差等比数列的证明ppt课件
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
1
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
11
12
13
14
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
5
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
6
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m ,L 成等差
Sn与项an的关系：
7
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
公差、通项公式
2
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
等比数列的前n项和公式的推导方法
等比数列是指一个数列中任意两个相邻的数之比都是一个常数，这个常数称为公比。
等比数列在数学中有着重要的地位，而等比数列的前n项和公式是研究等比数列的一个重要内容。
下面我们将围绕这个主题进行详细的探讨和推导。
一、等比数列的定义1. 一个数列{a1, a2, a3, ...}称为等比数列，如果存在一个常数r，使得对于任意正整数n，有an/an-1=r。
2. 等比数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3. 2, 6, 18, 54, ...是一个等比数列，首项为2，公比为3。
二、等比数列的前n项和公式的推导1. 首先考虑公比r等于1的情况，此时等比数列就是一个普通的等差数列。
等差数列的前n项和公式是Sn = n*(a1+an)/2。
2. 当公比r不等于1时，我们来推导等比数列的前n项和公式。
3. 设等比数列的前n项和为Sn，则有Sn = a1 + a1*r + a1*r^2 + ... + a1*r^(n-1)。
4. 乘以公比r，得到r*Sn = a1*r + a1*r^2 + a1*r^3 + ... + a1*r^n。
5. 两式相减，得到(1-r)Sn = a1*(1-r^n)。
6. 可以解得Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)，这就是等比数列的前n项和公式。
7. 对于等比数列2, 6, 18, 54, ...，首项a1=2，公比r=3，前5项和为S5 = 2*(1-3^5)/(1-3) = 242。
三、等比数列的前n项和公式的应用1. 等比数列的前n项和公式在实际问题中有着广泛的应用。
2. 在财务领域中，等比数列的前n项和公式可以用来计算贷款每期的偿还金额，以及计算存款的本利和。
3. 在工程领域中，等比数列的前n项和公式可用于计算复利增长，评估工程投资的收益情况。
4. 在数学建模中，等比数列的前n项和公式也是常用的工具，可以用来描述和解决许多实际问题。
四、总结等比数列的前n项和公式是等比数列重要的性质之一，它的推导和应用都具有重要的意义。
等比数列知识点并附例题与解析
等比数列知识点并附例题及解析1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。
（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
高考数学：证明等差等比数列的解法
高考数学：证明等差等比数列的解法
我们在数列部分常碰到这样的问题：证明某个复杂数列为等差或者等比数列。
比如下面这道题：
从求证出发，我们回顾等比数列的定义：从第2项开始，数列的后一项除以前一项等于同一个不为零的常数，则这个数列为等比数列。
这就是我们证明等比数列的主要办法，也称定义法.即只需证明后项/前项为常数即可。
使用定义法的技巧，就是在化简过程中，保持前项不变，然后后项用题中给定的关系式代入。
道理也是显然的，要使得计算结果为常数，必须要出现消项、约分，所以把后项朝前项去靠近，才能最终通过消项、约分得到常数。
根据条件中给定的关系式，代入上式。
结果还真是一个常数，神奇吗？
其实一点也不神奇，只要方法正确，常数是命题者设计好了的，你不用担心。
下面，增加一点难度，看这一道分段形式给出的数列递推式。
请自觉做题3分钟.不要往下看。
分析：首先来理解数列递推式传递的信息.我们用具体的例子来理解它。
通过这种方式，我们对数列有了一些感性的认识。
不管怎样，还是采用定义法来证明。
还是采用前面介绍的技巧：保持前项不变，把后项用题中给定的关系式代入。
注意看，分子项和分母项的脚标相差2，我们根据题目所给递推式，可以分两步来。
咦！结果又是一个常数。
废话，要不是常数，那就是题目出错了。
总结：定义法来真好用，证明等比显奇功。
证明或判断等差(等比)数列地常用方法
证明或判断等差（等比）数列的常用方法省 王卫华 玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来．一、利用等差（等比）数列的定义在数列{}n a 中，若1n n a a d--=（d 为常数）或1nn a q a -=（q 为常数），则数列{}na 为等差（等比）数列．这是证明数列{}na 为等差（等比）数更最主要的方法．如：例1．（2005卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11214n n n a n a a n +⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为偶数为奇数，记2111234n n b a n -=-=，，，，…．（Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）21321111144228a a a a a a =+=+==+，； （Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以541132416a a a ==+，所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 猜想：{}n b 是公比为12的等比数列． 证明如下：因为121221111111()424242n n n n n b a a a b n *++-⎛⎫=-=-=-=∈ ⎪⎝⎭N ， 所以{}n b 是首项为14a -，公比为12的等比数列． 评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。
例2．（2005卷）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125()n n S S n n *+=++∈N （Ⅰ）证明数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ）略．解：由已知*125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减得:112()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+，当1n =时，21215S S =++，所以21126a a a +=+， 又15a =，所以211a =，从而2112(1)a a +=+．故总有112(1)n n a a n *++=+∈N ，，又11510a a =+≠，，从而1121n n a a ++=+．所以数列{1}n a +是等比数列．评析：这是常见题型，由依照含n S 的式子再类似写出含1n S -的式子，得到1n n a pa q +=+的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项n a 的表达式，则较繁．注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a q a -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．二．运用等差或等比中项性质212{}n n n n a a a a +++=⇔是等差数列，221(0)n n n n a a a a ++=≠{}n a ⇔是等比数列，这是证明数列{}n a 为等差（等比）数列的另一种主要方法．例3．（2005卷）设数列{}n a 的前项为n S ，已知1231611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A B ，为常数．（1）求A 与B 的值；（2）证明数列{}n a 为等差数列；（3）略．解：（1）由1231611a a a ===，，，得1231718S S S ===，，．把12n =，分别代入 1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28248A B A B +=-⎧⎨+=-⎩，解得，20A =-，8B =-．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即11582208n n n na S S n ++--=--，①又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．④④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=，∴32120n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-=，又215a a -=，因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列．评析：此题对考生要求较高，通过挖掘n S 的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．例4．（高考题改编）正数数列{}n a 和{}n b 满足：对任意自然数1n n n n a b a +，，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列．证明：数列为等差数列．证明：依题意，1002n n n n n a b b a a +>>=+，，，且1n a +=2)n a n ∴=≥．2n b ∴=由此可得=2)n =≥．∴数列为等差数列．评析：本题依据条件得到n a 与n b 的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决． 三．运算数学归纳法这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n k =时命题成立”到“1n k =+时命题成立”要会过渡．例5．(2004全国高考题)数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知11a =，12(1,2,)n n n a S n n ++==．证明：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列． 证明：由11a =，12(1,2,)n n n a S n n ++==，知211213,1a S a +==214222S a ==，111S =，猜测n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列． 下面用数学归纳法证明：令n n Sb n=.(1)当2n =时，212b b =，成立．(2)当3n =时，312332132(13)12,42S a a a b b =++=+++===，成立． 假设n k =时命题成立，即12k k b b -=．那么当1n k =+时，111222111k kk k k k k k k S S S S a k b S b k k k k++++++=====+++，命题成立．综上知n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公比为2的等比数列． 例6．（2005卷）设点1(0)(2)n n n n n A x P x -，，，和抛物线2:()n n n C y x a x b n *=++∈N ，其中11242n n a n -=---，n x 由以下方法得到：11x =，点22(2)P x ，在抛物线2111:C y x a x b =++上，点11(0)A x ，到2P 的距离是1A 到1C 上点的最短距离，，点11(2)n n n P x ++，在抛物线2:n n n C y x a x b =++上，点(0)n n A x ，到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．（1）求2x 及1C 的方程．（2）证明{}n x 是等差数列．解：（I ）由题意得：2111(1,0),:7A C y x x b =-+．设点(,)P x y 是1C上任意一点，则1||A P ==令2221()(1)(7),f x x x x b =-+-+则'21()2(1)2(7)(27).f x x x x b x =-+-+- 由题意：'2()0,f x =即2222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-= 又22(,2)P x 在1C 上，222127,x x b ∴=-+解得：213,14.x b ==，故1C 方程为2714.y x x =-+(II)设点(,)P x y 是n C上任意一点，则||n A P =令222()()()n n n g x x x x a x b =-+++，则'2()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a =-++++．由题意得g 1'()0n x +=，即211112()2()(2)0n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++=又2112,n n n n n x a x b ++=++11()2(2)0(1).n n n n n x x x a n ++∴-++=≥即11(12)20n n n n n x x a +++-+= （*）下面用数学归纳法证明21n x n =- ①当1n =时，11,x = 等式成立．②假设当n k =时，等式成立，即21,k x k =- 则当1n k =+时，由（*）知 110(12)2k k k k k x x a ++=+-+又11242,k k a k -=--- 1122 1.12k k kk k x a x k ++-∴==++ 即当1n k =+时，等式成立．由①②知，等式对n N ∈成立．{}n x ∴是等差数列． 评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前n 项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例6是个综合性比较强的题目，通过求二次函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得简洁明了，如果直接利用递推关系式找通项，反而不好作． 四．反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．如：例7．（2000年全国高考（理））设{}{}n n a b ，是公比不相等的两等比数列，n n n c a b =+．证明数列{}n c 不是等比数列．证明：设{}{}n n a b ，的公比分别为p q ，，p q ≠，n n n c a b =+，为证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠．事实上，2222222111111()2c a p b q a p b q a b pq =+=++2222222213113311111111()()()()()c c a b a b a b a p b q a p b q a b p q =++=++=+++222p q p q pq ≠+>，，又11a b ，不为零，2213c c c ∴≠，故{}n c 不是等比数列． 评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有较高要求．要证{}n c 不是等比数列，只要由特殊项（如2213c c c ≠）就可否定．一般地讲，否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性 ．五．看通项与前n 项和法若数列通项n a 能表示成n a an b =+（a b ，为常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列；若通项n a 能表示成nn a cq =(c q ，均为不为0的常数，n +∈N )的形式，则数列{}n a 是等比数列． 若数列{}n a 的前n 项和S n 能表示成2n S an bn =+ (a ，b 为常数)的形式，则数列{}n a 等差数列；若S n能表示成n n S Aq A =-(A q ，均为不等于0的常数且q ≠1)的形式，则数列{}n a 是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．例8．(2001年全国题)若S n 是数列{}n a 的前n 项和，2n S n =,则{}n a 是( ).Ａ．等比数列，但不是等差数列 Ｂ.等差数列，但不是等比数列 Ｃ．等差数列，而且也是等比数列 Ｄ.既非等比数列又非等差数列解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B ，大大节约了时间，同时大大提高了命中率． 六．熟记一些常规结论，有助于解题若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则（1）数列{}n a {}n a λ（λ为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列； （2）若{}n b 是公比为q '的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq '的等比数列； （3）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q 的等比数列；（4）{}n a 是公比为q 的等比数列；（5）在数列{}n a 中，每隔()k k *∈N 项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为1k q+；（6）11212{}{}{}{}n n n n n n a a a a a a ++-+-，，，，123456789{}a a a a a a a a a ++++++，，，，等都是等比数列；（7）若()m n p m n p *∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等比数列； （8）232n n n n n S S S S S --，，均不为零时，则232n n n n n S S S S S --，，成等比数列； （9）若{log }b n a 是一个等差数列，则正项数列{}n a 是一个等比数列．若数列{}n a 是公差为d 等差数列，则（1）{}n ka b +成等差数列，公差为kd （其中0k k b ≠，，是实常数）；（2）(1){}n k kn S S +-，（k k ∈N ，为常数），仍成等差数列，其公差为2k d ；（3）若{}{}n n a b ，都是等差数列，公差分别为12d d ，，则{}n n a b ±是等差数列，公差为12d d ±；（4）当数列{}n a 是各项均为正数的等比数列时，数列{lg }n a 是公差为lg q 的等差数列； （5）()m n p m n p *∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等差数列．例9．（96年全国高考题）等差数列{}n a 的前n 项和为30，前2n 项和为100则它的前3n项和为（ ）Ａ．130 Ｂ．170Ｃ．210Ｄ．260解：由上面的性质得：232n n n n n S S S S S --，，成等比数列，故2322()()n n n n n S S S S S -=+-，32(10030)30(100)n S ∴-=-， 3210n S ∴=．故选Ｃ．评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试．记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率．从上面可以看出：证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种，作题时到底用何种方法，一般说来大题用前四种：定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证法，但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确，作小题应该用后面的方法．。
(完整版)等比数列知识点总结
等比数列知识梳理：1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n mn m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na =（2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列（3）通项公式：()0{}nn n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a q q A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ；②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q 。
3.等比数列
n a (1 q ) 【评析】 (1)等比数列{an}中,an=a1qn-1,Sn= 1 1-q
中有五个量,可以知三求二.
(2)注意分类讨论的应用.
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＊对应演练＊
设等比数列{an}的公比q<1,前n项和为Sn,已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.
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a1 (1 - q n ) 由题设知a1≠0,Sn= ,则 1-q a1q2=2 a1 (1 - q 4 ) a1 (1 - q 2 )， 5 1-q 1- q 由②,得
当q=1时，数列{an}为 为 摆动数列 .
常数列
；当q＜0时，数列{an}
5.等比数列的前n项和公式 如果等比数列{an}的首项为a1，公比为q，①当q=1 a1 ；②当q≠1时，Sn= 时，Sn= n· 错位相减法. 法为
a1 (1 - q n ) 1-q
a1 - a n q 1-q
=
.其推导 方
在等比数列{an}中，已知a6-a4=24,a3· a5=64,求{an}前8 项的和S8. 【分析】利用已知的两个等式条件，可得a1和q的两 个方程，解之可得数列{an}，从而S8便可求得.
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{
【解析】解法一：设数列{an}的公比为q，依题意
a6-a4=a1q3(q2-1)=24 a3· a5=(a1q3)2=64, ①
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6.等比数列的性质
若数列{an}为等比数列，m，n，p，q∈N*,且 ap· aq . m+n=p+q，则a · a =
m n
等比 {an}是等比数列，则{λan},{|an|}成 数 列,公比分别是 q和|q| ；按顺序抽出间隔相同的项组成
等比数列前n项和公式的七种推导方法
等比数列前n项和公式的七种推导方法
等比数列前n项和是指一组等比数列a_0,a_1,a_2···a_n的前n项之和.它是由等比数列理论
中关于数列前n项和及其计算方法而定义的重要概念.关于等比数列前n项和公式可利用
以下七种方法推导出来.
首先，可以利用求和符号推导法来推导等比数列前n项和公式，即a_0+a_1+a_2+a_3+…+
a_n=(a_0+a_n)(1+q+q^2+…+q^(n-1)) ，其中q表示等比数列的公比。
其次，利用数论中的规律性推导法可推导出等比数列前n项和公式，即a_0+a_1+…+
a_n=(a_n-a_0+a_0)/(1-q) *(1-q^n) 。
再者，递推证明可以推导出等比数列前2项和公式，即a_0+a_1=(a_0+a_1)q 。
从而推导出
a_0+a_1+…+ a_n=a_n(1-q^(n+1))/(1-q).
此外，可以利用比较法、占位法、归纳法、变化法等其他的推导方法来证明等比数列前n 项和公式.
此外，特殊情况下，当q为1时，a_0+a_1+…+ a_n=a_0+a_1+…+ a_n=n*a_0(n+1)/2 ,当q
为-1时，a_0+a_1+…+ a_n=(-a_0+a_n)n/2。
最后，可使用其他技术，如雅可比自然迭代方法和高等数学技术推导法等可推导出等比数
列前n项和公式。
以上就是对于等比数列前n项和公式的七种推导方法的介绍，总结起来有求和符号推导法、数论规律性推导、递推证明与比较法、占位法、归纳法、变化法及雅可比自然迭代方法和
高等数学技术推导法等七种方法。
等差等比数列的证明
（2）
证明
an 2n
为等差数列，并求an
第七课时B组
8.已知数列an 的前n项和为Sn，Sn
=
1 3
(an
1)
（1）求a1、a2 .
（2）求证：数列an 是等比数列
等差、等比的计算问题的常用方法
方法1、利用等差、等比的性质 方法2、利用基本量（解方程组）
项(an)的性质： an=am+(n-m)d 任两项的关系式
am+an=ap+aq(m+n=p+q)角标和性质
和(Sn)的性质： Sm ,S2m -Sm ,S3m -S2m , 成等差
Sn与项an的关系：
重点回顾
数列
等差数列
等比
定义 通项公式
an+1-an=d 或 an-an-1=d
an= a1+(n-1)d
前n项和
性质 和Sn与项an 的关系
aanm=+ama+n(=n-amp)+d aq(m+n=p+q)
等差、等比数列的证明
1、定义法 an+1 - an=d 或 an-an-1=d
2、中项法 2an=an-1+an+1 (n>1)
3、通项公式法 an=pn+q(关于n的一次函数)
4、前n项和法 Sn=An2+Bn
等差、等比数列的证明 一、等差数列的证明
例1 已知数列an的前n项和为Sn=3n2 -2n， 证明数列an 成等差数列，并求其首项、
公差、通项公式
第四课时拓展延伸（2015新课标全国卷）
设Sn是数列an的前n项和，且a1= -1
an+1
等比数列的判定
由 a1>0，an＋1＝
，知 an>0.若 an＋1>an，则
<a ，
2an＋1
an＋1 n
1
1n
1
1n－1
即a －1×3 ＋1<a －1×3
＋1
1
1
对一切 n∈N*都成立，
1
化简得 －1>0，又 a1>0，故 0<a1<1.故 a1 的取值范围是(0，1)．
＝2an＋1－an＝2d，∴{2an}为
2an
an＋1
等比数列；若数列{an}为等比数列，设其公比为 q，则 lg an＋1－lg an＝lg
＝lg q，
an
∴{lg an}为等差数列．
3．(2020·课标全国Ⅱ，理)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若 ak＋1＋ak＋2＋…
＋ak＋10＝215－25，则 k＝(
(1)求证：{an＋1}为等比数列；
(2)求数列{Sn}的前 n 项和 Tn.
解析
(1)证明：当 n＝1 时，S1＝a1＝2a1－1，解得 a1＝1.
因为 Sn＝2an－n，① 所以 Sn－1＝2an－1－(n－1)，n≥2，②
①－②得 an＝2an－2an－1－1，整理得 an＝2an－1＋1，
an＋1
A．2
解析
B．3
C
)
C．4
D．5
an＋1
在等式 am＋n＝aman 中，令 m＝1，可得 an＋1＝ana1＝2an，∴ a ＝2，
n
∴数列{an}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 an＝2×2n－1＝2n，
ak＋1·（1－210） 2k＋1·（1－210）
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、 数学归纳法、反证法。
一、定义法10.证明数列是等差数列的充要条件的方法：a n 1 a n d （常数）a n 是等差数列a 2n 2 a 2n d （常数） a 2n 是等差数列 a 3n 3 a 3nd （常数）a 3n 是等差数列20.证明数列是等差数列的充分条件的方法：a n a n 1 d （n 2） 斗是等差数列 a n 1 a n a n a n 1（n 2）a n 是等差数列30.证明数列是等比数列的充要条件的方法：鱼 q （q 0且为常数，a i 0） a n 为等比数列 a n 40.证明数列是等比数列的充要条件的方法：a n注意事项：用定义法时常米用的两个式子 a n a n i d 和a n i a n d 有差别，前者 必须加上“n > 2”，否则n 1时a 0无意义，等比中一样有：n > 2时，有-a ^ L q a n 1 （常数0 ）；②nN 时，有公1 q（常数0）.a n例1.设数列ag’L ,a n ,L 中的每一项都不为0。
证明：为等差数列的充分必要条件是：对任何 n N,证明：先证必要性设｛a n ｝为等差数列，公差为d,则a n q （n>2, q 为常数且丰0）a n 为等比数列a n 1都有1 1 a 1a2 a 2a 31 a n a n 1n aA 1当d=0时，显然命题成立 当d 丰0时，11 11为为 1 d a n On 11 1 1-- 十 -- 十 ‘ ■ ■ +a L a2 a 2a 5 a h a rn-liff i i) fi i] f i i 11 叩电a J l 幻W [a 虹1111 1 1 a a+1 -+- a 1 nd[&i a n+l ) a 找 1%®^a l a n+l a l a ii+l再证充分性:1 1 1 L1 n a〔 aa 2 a 3a 3 a 4a n a n 1ai am②一①得:1 n 1 na n 1 a n 2 a a n 2 司 O n 1两边同以 a n a n 何得：a 1 (n 1)a n 1 na n 2 ........................ (3同理：a 〔 na n (n 1)a n 1 ③一④得：2na n 1n(a n a n 2)即：an 2 an 1 an 1 4 为等差数列 例2.设数列(a n )的前n 项和为S n ,试证(a n )为等差数列的充要条件是S n证：)若(a n )为等差数列，则11 1 L1 1 n 1 a〔 a a 2 a 3 a 3 a 4a n a n 1 a n 1 a n 2a〔 aa〔a n a2 a n 1 a3 a n 22S n (a i a n) (a2 a” 2) (a n a i)S n n(a i a n)2）当n>2时，由题设，S n 1(n 1)(a i2n(a i a n)2所以a n S n S n i响a?)2 (n i)(a i a ni)2同理有a n i(n i)(a 〔如)晌a”)2 2从而a n i a n (n i)(a i a ni) (n i)(a i a n i)n(a i a n)整理得：a n+i — a n=a n — a n i，对任意n> 2成立.从而（a n｝是等差数列.例3.已知数列a n是等比数列（S n 是其前n项的和，则S k, S2k S k, S3k S2k ,…，仍成等比数列。