运筹学课件

• 结论：
• 如果投资者计划在期权的有效期内持 有股票(在本例中为一个月)，则提前执 行期权没有好处。
• 问题二：如果投资者认为股票现在被高 估，是否应该执行期权并卖出股票呢?
•
在这种情况下，投资者最好是出售该 期权而不是执行它。
那些确实想持有股票的投资者将会购 买该期权。这类投资者是—定存在的， 否则股票的现价就不会是50。
• 组合F的价值为：
• 总结：如果立即执行期权．则组合E的 价值低于组合F的价值，如果持有者直 到到期日才执行期权，则组合E的价值 将等于或高于组合F的价值。
• 在到期日之前，不付红利股票的看涨期 权决不应该执行。
• 因此，同一种不付红利股票的美式看涨 期权价值与相同股票的欧式看涨期权的 价值相同，即C=c
• 一般情况下，投资者迫切地希望提前执 行美式看跌期权，因此，美式看跌期权 的价值通常高于相应的欧式看跌期权的 价值。
看跌与看涨期权之间平价关系
• 已经推导的结果：
• 分析：
• 组合A：一个欧式看涨期权加上金额为 • 的现金
• 组合C：—个欧式看跌期权加上一股股 • 票
• 欧式看涨和看跌期权之间的平价关系：
假设与符号 • 假定存在一些市场参与者，如大的投资 银行，市场中： • 1．没有交易费用。 • 2．所有交易利润(减去交易损失后)具 备相同的税率。 •3．可以按无风险利率借入和贷出资 金。
字母的含义为： • S：股票现价 • X：期权执行价格 • T：期权的到期时间 • t： 现在的时间 • ST ：在T时刻股票的价格
• 如果不存在这一关系．则套利者可出售 期权并将所得收入以无风险利率进行投 资，获得无风险收益。
不付红利的看涨期权的下限
• 不付红利的欧式看涨期权的下限是：
• 例子： 假定S＝20，X＝18．r＝每年10％， T-t＝1年。
• 在本例中，
• 如果期权价格不等于3．71，有无套利 机会？ • 考虑欧式看涨期权的价格等于3.00的情 况，即小于理论上的最小值3.71 • 套利者可以购买看涨期权并卖空股票
• 问题：考虑欧式看跌期权价格为1时， 即小于理论上的最小值2.01时，如何套 利？
• 套利者可借入六个月期的38，同时用所 借资金购买看跌期权和股票。在六个月 末，套利者将支付
• 如果股票价格低于40．00，套利者执行 期权以40卖出股票，归还所借款项本金 和利息，其获利为：
40．00－38．96＝1．04
第十讲 股票期权价格的特征
• 要点：
• 探讨欧式期权价格、美式期权价格和标 的资产价格之间的关系。 • 证明：提前执行不付红利股票美式看涨 期权决不是最佳选择，但在某些条件下， 提前执行基于这个股票的美式看跌期权 则是最佳的。
影响期权价格的因素
• • • • • • • 六种因素影响股票期权的价格 1．股票的现价 2．执行价格 3．到期期限 4．股票价格的波动率 5．无风险利率 6．期权有效期内预计发放的红利
• 例如，如果股票价格为17，则套利者的 盈利为：
• 正式证明，考虑下面两个组合： • 组合A：一个欧式看涨期仅加上金额为 的现金 • 组合B：一股股票。
• 在T时刻，组合A的价值为：
• 在T时刻，组合B的价值为
• 在不存在套利机会的情况下．下列等式 是成立的：
• 对于一个看涨期权来说，可能发生的最 坏情况是期权到期价值为零，这意味着 期权的价值必须为正值，即c＞0，则：
提前执行：不付红利的看跌期权
• 问题三：提前执行不付红利的看跌期权 是否有利？
• 案例：假定执行价格为10，股票价格接 近为0通过立即执行期权，投资者可立 即获利10。 • 如果投资者等待，则执行期权的盈利可 能低于10，但是由于股票价格不可能为 负值，所以盈利不会超过10。另外，现 在收到10比将来收到10更好。 • 该期权应立即执行。
• 但美式看涨期权的持有者包含有相应的 欧式看涨期权的所有执行机会，则：
• 看涨期权不应提前执行： • 原因之一是由于期权可提供保险；当持 有看涨期权而不是持有股票本身时．看 涨期权保证持有者在股票价格下降到执 行价格之下时不受损失。一旦该期权被 执行，股票价格取代了执行价格，这种 保险就消失了； • 原因之二是与货币的时间价值有关。越 晚支付执行价格越好。
• 期初：现金流为 20－3＝17．00；如果 17以年利率10％投资1年 • 期末：期权到期， 17．00将变为
• 如果股票价格高于18，套利者以18的价 格执行期权，并将股票的空头平仓，则 可获利： • 18．79—18.00＝0．79
• 如果股票价格低于18，则套利者从市场 上购买股票并将股票空头平仓。套利者 甚至可获得更高的利润。
波动率
• 股票价格的波动率是用来衡量未来股票 价格变动的不确定性。随着波动率的增 加，股票上升很高或下降很低的机会也 随着增加。 • 对于股票的持有者来说，这两种变动趋 势将互相抵消；但对于看涨期仅或看跌 期权约持有者来说，则不是这样。
• 看涨期权的持有者从股价上升中获利，当股 价下跌时，由于他或她的最大损失就是期权 费，所以他仅有有限的损失。与此类似，看 跌期权约持有者从股价下跌中获利，当股价 上升时，仅有有限的损失。 • 随着波动率的增加，看涨期权和看跌期权的 价值都会增加。
股票价格和执行价格
•
如果看涨期权在将来某一时间执行， 则其收益为股票价格与执行价格的差额； • 随着股票价格的上升，看涨期权的价值 也就越大；随着执行价格的上升，看涨 期权的价值就越小；
• 对于看跌期权来说，其收益为执行价格 与股票价格的差额。
• 看跌期权的行为刚好与看涨期权相反。 当股票价格上升时，看跌期权的价值下 降；当执行价格上升时，看跌期权的价 值上升。
• 如果股票价格高于40，套利者放弃期权， 卖出股票并偿付所借款项本金和利息，甚至 可获得更高的利润。 • 例: 如果股票价格为42，则套利者的利润为： 42－38．96＝3.04
• 正式证明，考虑两个组合：
• 组合C：一个欧式看跌期权加上一股股 票。 • 组合D：金额为 的现金
• 对于一个看跌期权，可能发生的最坏情 况是期权到期价值为零，所以期权的价 值必须为正值，即p＞0。这意味着：
无风险利率
•
无风险利率对期权价格的影响并不直 接，当整个经济中的利率增加时，股票 价格的预期增长率也倾向于增加，但期 权持有者收到的未来现金流的现值将减 少。
• 两种影响都将减少看跌期仅的价值：因 此随着无风险利率的增加，看跌期仅的 价格将减少。而对于看涨期权来说，前 者将增加看涨期权的价格，而后者将倾 向于减少看涨期权约价格。 • 可证明对看涨期权来说，前者的影响将 起主导作用，即随着无风险利率的增加， 看涨期权的价格总是随之增加。
• 分析：
• 组合G：一个美式看跌期权加上一股股 票 • 组合H：金额为 的现金
• 可以得出：组合H<=组合G
• 可认为看跌期权也能提供保险。 • 当同时持有股票和看跌期权时，看跌期 权保证期权持有者在股票价格跌破某 一 特定的水平时不受损失，但是，看跌期 权与看涨期权不同，投资者可以放弃这 一保险并提前执行看跌期权立即实现执 行价格。这样做可能是明智的。
• 例子： • 考虑 一个不付红利的股票的美式看涨 期权，此时股票价格为51时、执行价格 为50，距到期日有六个月．无风险年利 率为12％；该期权价格的下限为多少？ （3.91）
不付红利的欧式看跌期权的下限
• 对于一个不付红利股票的欧式看跌期权， 其价格的下限为：
• 例子：假定S＝37，X＝40，r＝5％每年， T-t＝0．5年；。在本例中,下限为：
• 如果不存在这一关系，则套利者购买股 票并卖出看涨期权轻易地获得无风险利 润。 •
• 美式看跌期权或欧式看跌期权的持有者 有权以X的价格出售一股股票；无论股 票价倍变得多么低，期权的价值都不会 超过X 。因此上限： • p＜X和P＜X
• 对于欧式期权来说，在T时刻，期权的 价值都不会超过X，因此现在期权的价 值不会超过X的现值： •
• 随着有效期的增加，欧式看跌期权和欧 式看涨期权的价值并不一定必然增加， 这是因为有效期长的期权的执行机会并 不一定包含有效期短的期权的所有执行 机会。
• 有效期长的期权只能在其到期日执行；
• 例子：考虑同一股票的两个欧式看涨期权， 一个到期期限为1个月，另一个到期期限 为2个月。假定，预计在六周后将支付大 量的红利。红利会使股票价格下降，这就 有可能使有效期短的期仅的价值超过有效 期长的期权的价值。
• 案例： 如果平价关系不成立，则存在套 利机会。
• 假定股票价格为31，执行价格为30，无 风险年利率为10％，3个月期的欧式看 涨期权的价格为3，3个月期的欧式看跌 期权的价格为2.25;
• 验证平价关系：
• 结果：相对于组合A来说，组合C较高估
• 套利策略： • 买入组合A中的证券并卖空组合C中的 证券。这包括买入看涨期权，卖空看跌 期权和股票
• 但如果投资者计划持有该股票超过一个 月，那么这就不是最佳的策略。
• 更好的方案是持有期权，并在期权的到 期日执行它。
• 此时，支付40的执行价格的时间要比立即 执行晚一个月。这就是说，可获得本金为 40、期限为一个月的利息。由于股票不支 付红利，则投资者不会牺牲任何来自股票 的收益。 • 股票价格在这一个月内还有可能会低于 40(虽然机会可能很遥远)。在这种情况下， 投资者将不会执行期权并庆幸没有提前执 行期权。
• r：在T时刻到期的投资的无风险利率 • C：购买一股股票的美式看涨期权的价值 • P：出售一股股票的美式看跌期权的价值 • c：购买一股股票的欧式看涨期权的价值 • p：出售一股股票的欧式看跌期权的价值 • ：股票价格的波动率
期权价格的上下限
• 期权价格的上限 • 美式看涨期权或欧式看涨期权的持有 者有权以其一确定的价格购买一股股票， 在任何情况下，期权的价值都不会超过 股票的价值。股票价格是期权价格的上 限： c＜S, C＜S