三角恒等变换-高考理科数学试题

（二十二） 三角恒等变换

[小题对点练——点点落实]

对点练(一) 三角函数的求值

1．(2017·山东高考)已知cos x ＝3

4，则cos 2x ＝( )

A ．－14

B.14 C ．－18

D.18

解析：选D cos 2x ＝2cos 2x －1＝1

8

.

2．(2018·太原一模)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－3

3，则cos ⎣⎡⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－

22

3

B ．±223

C ．－1

D ．±1 解析：选C 由cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋3

2sin α＋cos α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1，故选C.

3．(2018·安徽十校联考)sin 47°－sin 17°cos 30°

cos 17°＝( )

A ．－32

B ．－12

C.12

D.32

解析：选C sin 47°－sin 17°cos 30°

cos 17°

＝sin (30°＋17°)－sin 17°cos 30°

cos 17°

＝sin 30°cos 17°＋sin 17°cos 30°－sin 17°cos 30°

cos 17°

＝

sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝1

2

.

4．(2018·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)，sin ⎝⎛⎭⎫

π3－x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，则tan x ＝( ) A.1

2 B ．－2 C.22

D. 2

解析：选D 由已知，得sin π3cos x －cos π3sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋12，即32cos x －1

2sin x ＝

－12sin x ＋12，所以cos x ＝3

3

.因为x ∈(0，π)，所以tan x ＝ 2. 5．(2018·河北唐山一模)已知α为锐角，且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3

5，则cos 2α＝( ) A.24

25 B.725 C ．－

2425

D ．±2425

解析：选A ∵0<α<π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝35>0，∴π4<α＋π4<π

2，∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45，∴sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝2

10，∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×

⎝⎛⎭⎫2102＝2425

.故选A.

6．(2018·广东广州模拟)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π

12＝( ) A ．－210

B.210

C.2

2

D.45

解析：选B 因为α为锐角，所以0<α<π2，则π6<α＋π6<2π

3，因此sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6>0，所以sin ⎝⎛⎭

⎫α＋π

6＝ 1－cos 2⎝⎛⎭

⎫α＋π

6＝ 1－⎝⎛⎭⎫352＝45.所以sin ⎣⎡⎭⎫α－π12＝sin ⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4＝45×22－35×22＝2

10

. 7．(2018·荆州一模)计算：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝________.

解析：sin 46°·cos 16°－cos 314°·sin 16°＝sin 46°·cos 16°－cos 46°·sin 16°＝sin(46°－16°)＝sin 30°＝12

.

答案：1

2

8．(2018·洛阳一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π

3＋2α＝________. 解析：cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π－2π3＋2α＝－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π3＝2sin 2⎝⎛⎭⎫α－π3－1＝－7

8. 答案：－7

8

9．(2018·豫北名校联考)计算：

cos 10°－3cos (－100°)

1－sin 10°

＝________.(用数字作答)

解析：

cos 10°－3cos (－100°)

1－sin 10°

＝

cos 10°＋3cos 80°

1－cos 80°

＝

cos 10°＋3sin 10°

2·sin 40°

＝

2sin (10°＋30°)

2·sin 40°

＝ 2.

答案： 2

10．(2018·广东佛山教学质量检测)已知0

10，则sin x ＋cos x ＝________.

解析：由0

4<0，∴cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝1－⎝⎛⎭

⎫－

2102

＝

7210

.∴sin 2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π4＋π4＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋cos ⎣⎡⎭⎫2x －π4＝22×⎝⎛⎭⎫－210＋7210＝35.∴sin x ＋cos x ＝(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x ＝

1＋35＝210

5

. 答案：

210

5

对点练(二) 三角恒等变换的综合问题

1．(2018·山西临汾模拟)已知函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，当x ＝θ时函数y ＝f (x )取得最小值，则sin 2θ＋2cos 2θsin 2θ－2cos 2θ

＝( )

A ．－3

B ．3

C ．－13

D.13

解析：选C f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝2

2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12，当x ＝θ时函数y ＝f (x )取得最小值，即2θ－π4＝2k π－π2，k ∈Z ，那么2θ＝2k π－π

4

，k ∈Z ，则

sin 2θ＋2cos 2θsin 2θ－2cos 2θ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋2cos ⎝⎛⎭

⎫－π4sin ⎝⎛⎭⎫－π4－2cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝

－2

2＋2×22－

2

2－2×22

＝－1

3.故选C.

2．(2018·安徽六安一中综合训练)已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π

2(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )在区间⎣

⎡⎦⎤0，2π

3上的值域为( ) A.⎣⎡⎦

⎤0，3

2 B.⎣⎡⎦

⎤－12，3

2