同角三角函数公式的转化

同角三角函数公式的转化

同角三角函数的基本关系式十分重要，主要运用于三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化．在解答时，若能根据函数式的结构特点，适时灵活地选用公式，往往能获得简捷、迅速的解答．

一、“１”的代换

例１ 证明：66441sin cos 31sin cos 2

x x x x --=--． 证明：∵22sin cos 1x x +=，

∴2231(sin cos )x x =+，2221(sin cos )x x =+，

∴662236644222441sin cos (sin cos )sin cos 1sin cos (sin cos )sin cos x x x x x x x x x x x x

--+--=--+-- 424222223sin cos 3cos sin 3(sin cos )32sin cos 22

x x x x x x x x ++===··． 评注：本题在证明过程中，充分利用了三角函数的平方关系，对“1”进行了巧妙的代换，使问题迎刃而解．同学们要注意掌握和灵活运用“1”的代换．

二、化切为弦

例2 化简：tan (cos sin )sin (tan cot )θθθθθθ-++··．

解：原式sin sin cos (cos sin )sin cos cos sin θθθθθθθθθ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭

·· 22sin sin sin cos sin cos cos cos θθθθθθθθ

=-++=+ 例３ 求证：2212sin 2cos21tan 2cos 2sin 21tan 2x x x x x x

--=-+． 证明：右边sin 211tan 2cos 2sin 2cos 2sin 21tan 2cos 2sin 2cos 2x

x x x x x x x x

x

---===++ 2

(cos 2sin 2)(cos 2sin 2)(cos 2sin 2)

x x x x x x -=+- 2222cos 2sin 22cos sin cos 2sin 2x x x x x x

+-=- 2212sin cos2cos 2sin 2x x x x

-=

=-左边．故原式成立． 评注：三角中的化简及三角恒等式的证明问题常常采用“化切为弦”，即利用商数关系把切函数化为弦函数，以达到统一名称之目的．

三、化弦为切

例3 已知tan 2α=，求下列各式的值： （1）sin 3cos sin cos αααα

-+； （2）222sin sin cos cos αααα-+．

解：由已知tan 2α=．

（1）sin 3cos tan 3231sin cos tan 1213

αααααα---===-+++； （2）原式222222222sin sin cos cos 2tan tan 122217cos sin 1tan 125

ααααααααα-+-+⨯-+====+++． 评注：在解决关于正、余弦的求值问题时，可逆用商数关系式将弦化为切（以减少函数名称）进行运算，从而达到简化运算的目的．

四、正、余弦（正、余切）互化

例4 已知2sin sin 1θθ+=，求268cos cos cos θθθ++的值．

解：∵22sin 1sin cos θθθ=-=，

∴原式3422sin sin sin sin sin (sin sin )1θθθθθθθ=++=++=．

例6 求lg tan1lg tan 2lg tan88lg tan89++++°°°°的值．

解：原式lg(tan1tan 2tan88tan89)=°°°°

lg[(tan1tan89)(tan 2tan88)(tan 44tan 46)tan 45]=°·°°·°°·°°

lg[(tan1cot1)(tan 2cot 2)(tan 44cot 44)tan 45]=°·°°·°°·°°

lg10==．

评注：以上充分利用倒数关系及平方关系进行正、余弦及正、余切的互化，简化了解题过程．