立体几何二轮复习练习
高考数学二轮复习立体几何多选题知识点及练习题及答案
高考数学二轮复习立体几何多选题知识点及练习题及答案一、立体几何多选题1．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AA ===，90ACB ∠=︒，D ，E ，F分别为AC ，1AA ，AB 的中点．则下列结论正确的是（ ）A ．1AC 与EF 相交B ．11//BC 平面DEF C ．EF 与1AC 所成的角为90︒D ．点1B 到平面DEF 的距离为322【答案】BCD 【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断． 【详解】对选项A ，由图知1AC ⊂平面11ACC A ，EF 平面11ACC A E =，且1.E AC ∉由异面直线的定义可知1AC 与EF 异面，故A 错误；对于选项B ，在直三棱柱111ABC A B C -中，11B C //BC ．D ，F 分别是AC ，AB 的中点， //∴FD BC ，11B C ∴ //FD ．又11B C ⊄平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，11B C ∴ //平面.DEF 故B 正确；对于选项C ，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(2A ，0，2)，1(0B ，2，2)，1(0C ，0，2)，(1D ，0，0)，(2E ，0，1)，(1F ，1，0)．(1EF ∴=-，1，1)-，1(2AC =-，0，2)． 1·2020EF AC =+-=，1EF AC ∴⊥，1EF AC ∴⊥． EF 与1AC 所成的角为90︒，故C 正确；对于选项D ，设向量(n x =，y ，)z 是平面DEF 的一个法向量． (1DE =，0，1)，(0DF =，1，0)， ∴由n DE n DF ⎧⊥⎨⊥⎩，，，即·0·0n DE n DF ⎧=⎨=⎩，，，得00.x z y +=⎧⎨=⎩，取1x =，则1z =-，(1n ∴=，0，1)-， 设点1B 到平面DEF 的距离为d ． 又1(1DB =-，2，2)，1·102DB n d n-+∴===， ∴点1B 到平面DEF 的距离为2，故D 正确．故选：BCD 【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题．2．在三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是边长为（ ）A ．直线1A C 与直线1BB 之间距离的最大值为3B ．若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则直线1AA 与底面所成角为60︒ C ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线AB 与1A C 所成的角为30D ．若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为64π【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图示，以A 为原点，AC 为y 轴正方向，Ax 为x 轴正方向，过A 点垂直于面ABC 的向上方向为z 轴正方向建系，则()()()0,0,0,3,0,0,23,0,A B C 设()()()100010001000,,,3,3,,,23,,A x y z B x y z C x y z ++所以()()()1000100011,23,,,,,3,3,0,AC x y z BB x y z A B =---== 对于A:设n 为直线1A C 与直线1BB 的公垂线的方向向量，则有：11·0·0AC n BB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()0000002300x x y y zz x x y y zz ⎧-+-=⎪⎨++=⎪⎩解得：()00,0n z x =- 设直线1A C 与直线1BB 之间距离为d ，则22011222200009||||z A B nd d x z n x z ===++ 22009x d ≥∴≤，即3d ≤，故A 正确；对于B ：若1A 在底面ABC 上的投影恰为ABC ∆的中心，则(13,211A 底面法向量()(10,0,1,1,3,211m AA ==，设直线 1AA 与底面所成角为θ，则：121133sin |cos ,|143AA n θ===⨯，故B 错误； 对于C ： 三棱柱的侧棱垂直于底面时，则(((1110,0,43,3,43,0,23,43,A B C则()(13,3,0,3,43,AB AC ==-设异面直线AB 与1A C 所成的角为θ，则1115cos |cos ,|||10||||23215AB AC AB AC AB AC θ====⨯,故C 错误；对于D ：若三棱柱的侧棱垂直于底面时，外接球的球心O 为上下底面中心DD 1连线的中点,所以外接球的半径()222324R =+=，所以2464S R ππ==.故D 正确故选：AD 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算.3．已知三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c ．点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为A S ，B S ，C S ，D S ．在下列所给的命题中，正确的有（ ） A ．2A BCO D S SS ⋅=； B ．3333A B C D S S S S <++；C ．若三条侧棱与底面所成的角分别为1α，1β，1γ，则222111sin sin sin 1αβγ++=；D ．若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为2α，2β，2γ，则22cos α+2222cos cos 1βγ+=．【答案】ACD 【分析】由Rt O OA '与Rt O AD '相似，得边长关系，进而判断A 正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得C 正确；构造长方体，建立直角坐标系，代入夹角公式计算可得D 正确；代入特殊值，可得B 错误.【详解】由三棱锥A BCD -的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，则将三棱锥A BCD -补成长方体ABFC DGHE -，连接DO 并延长交BC 于O '， 则AO BC ⊥．对A ：由Rt O OA '与Rt O AD '相似，则2O A O O O D '''=⨯ 又12A S BC O D '=⋅，12BCOS BC O O '=⋅， 22221124DS BC O A BC O A ⎛⎫''=⋅=⋅ ⎪⎝⎭所以2A BCOD S SS ⋅=，故A 正确．对B ：当1a b c ===时，33318B C D S S S ===，则33338B C D S S S ++=，而3332288A S ⎛⎫==> ⎪ ⎪⎝⎭，此时3333A B C D S S S S >++，故B 不正确． 对D ：分别以AB ，AC ，AD 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．设(),,M x y z ，则(),,AM x y z =，AM =(),0,0AB a =，()0,,0AC b =，()0,0,AD c =所以222222222cos cos cos AM AB AM AC AM AD AM ABAM ACAM ADαβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222221x y z AMAMAM=++=，所以D 正确．对C ：当M 与O 重合时，AO ⊥面BCD ，由D 有222222cos cos cos 1αβγ++=，由各侧棱与底面所成角与侧棱与所AO 成角互为余角，可得C 正确． 故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题考查空间线面角、线线角、面积关系的问题，计算角的问题关键是建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用数量积的公式代入计算，解决这道题目还要结合线面角与线线角的关系判断.4．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M 为AB 的中点，则（ ） A ．BD ⊥平面PACB ．当P 为11AC 的中点时，四棱锥P ABCD -外接球半径为72C ．三棱锥A PCD -体积为定值D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥，1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，()22221182262PA AA PA =+=+=同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN 平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN上，设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得222PN R AN R -+=， 即2288R R -+=，解得92R =，B 选项错误； 对于C 选项，2114822ACDSAD CD =⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点， 连接EN 、MN ，则1142EN DD ==，122MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ， 1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，EN MN ∴⊥，EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为d ，直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin d EM θθ==≤ 当且仅当2πθ=时，等号成立，长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R '==，所以，截面圆的半径2r =≥=，因此，截面圆面积的最小值为4π，D 选项正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.5．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为2D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 5【答案】AC 【分析】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；【详解】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=1tan 3023︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B C B FC C F ∠==22，所以C 正确；因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为6，故D 错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．6．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是（ ）A ．//OF 平面BCEB ．BF ⊥平面ADFC ．点A 到平面CDFE 的距离为217D ．三棱锥C BEF -5π 【答案】ABC 【分析】由1EF OB ==，//EF OB ，易证//OF 平面BCE ，A 正确；B ， 由所矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直， 易证AD ⊥平面ABEF ，所以AD BF ⊥，由线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，易证故B 正确.C ，由C DAF A CDF V V --=可求点A 到平面CDFE 的距离为217，C 正确. D ，确定线段DB 的中点M 是三棱锥C BEF -外接球心，进一步可求其体积，可判断D 错误. 【详解】解：1EF OB ==，//EF OB ，四边形OFEB 为平行四边形，所以//OF BE ，OF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//OF 平面BCE ，故A 正确.线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，平面ABCD 平面ABEF AB =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ，所以AD BF ⊥ AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD AF A =， 所以BF ⊥平面ADF ，故B 正确.1OF OE EF ===，OFE △是正三角形，所以1EF BE AF ===， //DA BC ，所以BC ⊥平面ABEF ，BC BF ⊥，3BF =22312CF CB BF +=+=，22112DF DA AF =+=+=2AB CD ==，CDF 是等腰三角形，CDF 的边DF 上的高22222142222DF CF ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1147222CDF S =⨯⨯=△， //DA BC ，AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ， //BC 平面ADF ，点C 到平面ADF 的距离为3BF =， 111122DAF S =⨯⨯=△，C DAF A CDF V V --=，设点A 到平面CDFE 的距离为h ，1133ADF CFD S FB S h ⨯⨯=⨯⨯△△，11173323h ⨯⨯=⨯⨯， 所以21h =，故C 正确. 取DB 的中点M ，则//MO AD ，12MO =，所以MO ⊥平面CDFE ，所以215122ME MF MB MC ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭所以M 是三棱锥C BEF -5， 三棱锥C BEF -外接球的体积为334455533V r ππ==⨯=⎝⎭，故D 错误， 故选：ABC. 【点睛】综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.7．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC平面PAB AB =，∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，故A 正确； 对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =，此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中，23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，3SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确； 对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ， 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数， 则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅， 又13sin 234PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQS PS PQ PS PQ π=⋅=⋅， 13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅， ()3S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅， ∴()33sin 1212PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQPRPSα++=为常数，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.8．如图，已知P 为棱长为1的正方体对角线1BD 上的一点，且()()10,1BP BD λλ=，下面结论中正确结论的有（ ）A ．11A D C P ⊥；B ．当1A P PD +取最小值时，23λ=；C ．若()0,1λ∈，则7,312APC ππ⎛⎫∠∈⎪⎝⎭；D ．若P 为1BD 的中点，四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π． 【答案】ABD 【分析】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，利用向量关系可判断ABC ；根据几何体外接球关系建立方程求出球半径即可判断D. 【详解】以D 为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 则()1,1,0B ，()10,0,1D ，设(),,P x y z ，()()10,1BP BD λλ=，1BP BD λ∴=，即()()1,1,1,1,1x y z λ--=--，则可解得()1,1,P λλλ--， 对A ，()()()111,0,1,0,0,0,0,1,1A D C ，()11,0,1A D ∴=--，()11,,1C P λλλ=---，则()()()()11110110A D C P λλλ⋅=-⨯-+⨯-+-⨯-=，则11A D C P ⊥，故A 正确；对B ，()()()()()2222221111111A P PD λλλλλλ+=--+-+--+-+222223422333λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭则当23λ=时，1A P PD +取最小值，故B 正确； 对C ，()()1,0,0,0,1,0A C ，(),1,PA λλλ∴=--，()1,,PC λλλ=--，则222321cos 1321321PA PCAPC PA PC λλλλλλ⋅-∠===--+-+⋅， 01λ<<，则2232123λλ≤-+<，则2111123212λλ-≤-<-+， 即11cos 22APC -≤∠<，则2,33APC ππ⎛⎤∠∈ ⎥⎝⎦，故C 错误；对于D ，当P 为1BD 中点时，四棱锥11P AA D D -为正四棱锥，设平面11AA D D 的中心为O ，四棱锥11P AA D D -的外接球半径为R ，所以22212R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，解得34R =， 故四棱锥11P AA D D -的外接球表面积为94π，所以D 正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题考查空间相关量的计算，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量建立关系进行计算.。
高考数学二轮复习立体几何多选题知识点及练习题含答案
高考数学二轮复习立体几何多选题知识点及练习题含答案一、立体几何多选题1．如图，正方体1111ABCD A B C D -中的正四面体11A BDC -的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）A ．异面直线1AB 与1AD 所成的角是3πB ．1BD ⊥平面11AC DC ．平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为3D ．正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23【答案】ABD 【分析】选项A ，利用正方体的结构特征找到异面直线所成的角；选项B ，根据正方体和正四面体的结构特征以及线面垂直的判定定理容易得证；选项C ，由图得平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为1ACB 面积的四分之一；选项D ，分别求出正方体的体对角线长和正四面体11A BDC -的高，然后判断数量关系即可得解. 【详解】A ：正方体1111ABCD ABCD -中，易知11//AD BC ，异面直线1A B 与1AD 所成的角即直线1A B 与1BC 所成的角，即11A BC ∠，11A BC 为等边三角形，113A BC π∠=，正确；B ：连接11B D ，1B B ⊥平面1111DC B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，即111AC B B ⊥，又1111AC B D ⊥，1111B B B D B ⋂=，有11A C ⊥平面11BDD B ，1BD ⊂平面11BDD B ，所以111BD AC ⊥，同理可证：11BD A D ⊥，1111AC A D A ⋂=，所以1BD ⊥平面11AC D ，正确；C ：易知平面1ACB 截正四面体11A BDC -所得截面面积为134ACB S=，错误；D ：易得正方体1111ABCD A B C D -()()()2222226++=2的正四面体11A BDC -的高为22222262213⎛⎫--⨯= ⎪⎝⎭，故正四面体11A BDC -的高等于正方体1111ABCD A B C D -体对角线长的23，正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：利用正方体的性质，找异面直线所成角的平面角求其大小，根据线面垂直的判定证明1BD ⊥平面11AC D ，由正四面体的性质，结合几何图形确定截面的面积，并求高，即可判断C 、D 的正误.2．如图，矩形ABCD 中，M 为BC 的中点，将ABM 沿直线AM 翻折成1AB M ，连结1B D ，N 为1B D 的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ）A ．存在某个位置，使得1CN AB ⊥ B ．翻折过程中，CN 的长是定值C ．若AB BM =，则1AM BD ⊥D ．若1AB BM ==，当三棱锥1B AMD -的体积最大时，三棱锥1B AMD -外接球的体积是43π 【答案】BD 【分析】对于A ，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ，可得到EN NF ⊥，又EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点，不可能；对于B ，可得由1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值），由余弦定理可得NC 是定值．对于C ，取AM 中点O ，连接1,B O DO ，假设1AM B D ⊥，易得AM ⊥面1ODB ，即可得OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不一定成立．对于D ，当平面B 1AM ⊥平面AMD 时，三棱锥B 1﹣AMD 的体积最大，可得球半径为1，体积是43π． 【详解】对于A 选项：如图1，取AD 中点E ，连接EC 交MD 与F ， 则11////NE AB NF MB ，，又11AB MB ⊥，所以EN NF ⊥， 如果1CN AB ⊥，可得EN CN ⊥，且三线,,NE NF NC 共面共点， 不可能，故A 选项不正确；对于B 选项：如图1，由A 选项可得1AMB EFN ≈△△，故1NEC MAB ∠=∠（定值），112NE AB =（定值），AM EC =（定值）， 故在NEC 中，由余弦定理得222cos CN CE NE NE CE NEC =+-⋅⋅∠，整理得222212422AB AB AB CN AM AM BC AB AM =+-⋅⋅=+ 故CN 为定值，故B 选项正确．对于C 选项：如图，取AM 中点O ，连接1,B O DO ， 由AB BM =，得1B O AM ⊥，假设1AM B D ⊥，111B D B O B =，所以AM ⊥面1ODB ，所以OD AM ⊥，从而AD MD =，显然不恒成立，所以假设不成立，可得C 选项不正确．对于D 选项：由题易知当平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大，此时1B O ⊥平面AMD ，则1B O OE ⊥，由1AB BM ==，易求得122BO =，2DM =22221122122B E OB OE ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此1EB EA ED EM ===，E 为三棱锥1B AMD -的外接球球心，此外接球半径为1，体积是43π．故D 选项正确． 故答案为：BD ． 【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于难题.本题C 选项的解题的关键在于采用反证法证明，进而推出矛盾解题，D 选项求解的关键在于把握平面1AB M 与平面AMD 垂直时，三棱锥1B AMD -的体积最大.3．在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，18AA =，点P 在线段11A C 上，M 为AB 的中点，则（ ） A ．BD ⊥平面PACB ．当P 为11AC 的中点时，四棱锥P ABCD -外接球半径为72C ．三棱锥A PCD -体积为定值D ．过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为4π 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 选项的正误；判断出四棱锥P ABCD -为正四棱锥，求出该四棱锥的外接球半径，可判断B 选项的正误；利用等体积法可判断C 选项的正误；计算出截面圆半径的最小值，求出截面圆面积的最小值，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，因为AB BC =，所以，矩形ABCD 为正方形，所以，BD AC ⊥， 在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD AA ∴⊥，1AC AA A ⋂=，AC 、1AA ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，A 选项正确；对于B 选项，当点P 为11A C 的中点时，PA ===同理可得PB PC PD ===因为四边形ABCD 为正方形，所以，四棱锥P ABCD -为正四棱锥， 取AC 的中点N ，则PN 平面ABCD ，且四棱锥P ABCD -的外接球球心在直线PN上，设该四棱锥的外接球半径为R ，由几何关系可得222PN R AN R -+=， 即2288R R -+=，解得92R =，B 选项错误； 对于C 选项，2114822ACDSAD CD =⋅=⨯=， 三棱锥P ACD -的高为18AA =，因此，116433A PCD P ACD ACD V V S AA --==⋅=△，C 选项正确；对于D 选项，设长方体1111ABCD A B C D -的外接球球心为E ，则E 为1BD 的中点， 连接EN 、MN ，则1142EN DD ==，122MN AD ==， E 、N 分别为1BD 、BD 的中点，则1//EN DD ， 1DD ⊥平面ABCD ，EN ∴⊥平面ABCD ，MN ⊂平面ABCD ，EN MN ∴⊥，EM ∴==过点M 作长方体1111ABCD A B C D -的外接球截面为平面α，点E 到平面α的距离为d ，直线EM 与平面α所成的角为θ，则sin d EM θθ==≤ 当且仅当2πθ=时，等号成立，长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R '==，所以，截面圆的半径2r =≥=，因此，截面圆面积的最小值为4π，D选项正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.4．已知四面体ABCD的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（）A．异面直线AC与BD所成角为60︒B．点A到平面BCD的距离为26 3C．四面体ABCD6πD．动点P在平面BCD上，且AP与AC所成角为60︒，则点P的轨迹是椭圆【答案】BC【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC⊥BD，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D错误.【详解】取BD中点E,连接,AE CE,可得BD⊥面ACE,则AC⊥BD,故A错误；在四面体ABCD中，过点A作AF⊥面BCD于点F,则F为为底面正三角形BCD的重心，因为所有棱长均为2,22263AF AB BF =-=,即点A 到平面BCD 的距离为263,故B 正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径， 因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即6=6OF AO =，, 所以四面体ABCD 的外接球体积3344633V R OA πππ===,故C 正确； 建系如图：26230,0,,0,,033A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ，则262326,,0,,AP x y AC →→⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=，所以22232481224193972y x y +=++⨯+⨯， 即222388=33y x y +++，平方化简可得：2232340039y x y ----，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.5．已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，如图，M 为1CC 上的动点，AM ⊥平面α.下面说法正确的是（）A ．直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为3232⎣⎦B ．点M 与点1C 重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 C ．点M 为1CC 的中点时，若平面α经过点B ，则平面α截正方体所得截面图形是等腰梯形D ．已知N 为1DD 中点，当AM MN +的和最小时，M 为1CC 的中点 【答案】AC 【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，利用空间向量法可判断A 选项的正误；证明出1AC ⊥平面1A BD ，分别取棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点E 、F 、Q 、N 、G 、H ，比较1A BD 和六边形EFQNGH 的周长和面积的大小，可判断B 选项的正误；利用空间向量法找出平面α与棱11A D 、11A B 的交点E 、F ，判断四边形BDEF 的形状可判断C 选项的正误；将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，利用A 、M 、N 三点共线得知AM MN +最短，利用平行线分线段成比例定理求得MC ，可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()2,0,0A 、()2,2,0B 、设点()()0,2,02M a a ≤≤，AM ⊥平面α，则AM 为平面α的一个法向量，且()2,2,AM a =-，()0,2,0AB =， 2232cos ,,32288AB AM AB AM AB AMa a ⋅<>===⎢⋅⨯++⎣⎦， 所以，直线AB 与平面α所成角的正弦值范围为32⎣⎦，A 选项正确； 对于B 选项，当M 与1CC 重合时，连接1A D 、BD 、1A B 、AC ， 在正方体1111ABCD A B C D -中，1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1BD CC ∴⊥，四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥，1CC AC C =，BD ∴⊥平面1ACC ，1AC ⊂平面1ACC ，1AC BD ∴⊥，同理可证11AC A D ⊥， 1A D BD D ⋂=，1AC ∴⊥平面1A BD ，易知1A BD 是边长为22(12322234A BD S =⨯=△为22362=.设E 、F 、Q 、N 、G 、H 分别为棱11A D 、11A B 、1BB 、BC 、CD 、1DD 的中点，易知六边形EFQNGH 是边长为2的正六边形，且平面//EFQNGH 平面1A BD ， 正六边形EFQNGH 的周长为62，面积为()236233⨯⨯=，则1A BD 的面积小于正六边形EFQNGH 的面积，它们的周长相等，B 选项错误； 对于C 选项，设平面α交棱11A D 于点(),0,2E b ，点()0,2,1M ，()2,2,1AM =-，AM ⊥平面α，DE ⊂平面α，AM DE ∴⊥，即220AM DE b ⋅=-+=，得1b =，()1,0,2E ∴，所以，点E 为棱11A D 的中点，同理可知，点F 为棱11A B 的中点，则()2,1,2F ，()1,1,0EF =，而()2,2,0DB =，12EF DB ∴=，//EF DB ∴且EF DB ≠， 由空间中两点间的距离公式可得2222015DE =++=()()()2222212205BF =-+-+-=，DE BF ∴=，所以，四边形BDEF 为等腰梯形，C 选项正确；对于D 选项，将矩形11ACC A 与矩形11CC D D 延展为一个平面，如下图所示：若AM MN +最短，则A 、M 、N 三点共线，11//CC DD ，2222222MC AC DN AD ∴===+， 11222MC CC =≠，所以，点M 不是棱1CC 的中点，D 选项错误.故选：AC. 【点睛】本题考查线面角正弦值的取值范围，同时也考查了平面截正方体的截面问题以及折线段长的最小值问题，考查空间想象能力与计算能力，属于难题.6．已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过对角线1BD 作平面α交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，以下结论正确的是（ ） A ．四边形1BFD E 不一定是平行四边形 B ．平面α分正方体所得两部分的体积相等 C ．平面α与平面1DBB 不可能垂直 D ．四边形1BFD E 2 【答案】BD 【分析】由平行平面的性质可判断A 错误;利用正方体的对称性可判断B 正确;当E ､F 为棱中点时,通过线面垂直可得面面垂直,可判断C 错误;当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积最大,2,可判断D 正确. 【详解】 如图所示,对于选项A,因为平面1111//ABB A CC D D ,平面1BFD E 平面11ABB A BE =,平面1BFD E平面111CC D D D F =,所以1//BE D F ,同理可证1//D E BF ,所以四边形1BFD E 是平行四边形,故A 错误; 对于选项B,由正方体的对称性可知,平面α分正方体所得两部分的体积相等,故B 正确; 对于选项C,在正方体1111ABCD A B C D -中,有1,AC BD AC BB ⊥⊥, 又1BD BB B ⋂=,所以AC ⊥平面1BB D , 当E ､F 分别为棱11,AA CC 的中点时, 有//AC EF ,则EF ⊥平面1BB D , 又因为EF ⊂平面1BFD E ,所以平面1BFD E ⊥平面1BB D ,故C 错误;对于选项D,四边形1BFD E 在平面ABCD 内的投影是正方形ABCD , 当E 与A 重合,F 与1C 重合时,四边形1BFD E 的面积有最大值, 此时1212S D E BE =⋅=⋅=,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】本题考查了正方体的几何性质与应用问题,也考查了点线面的位置关系应用问题,属于中档题.7．如图，点O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，S 是棱PC 上的点，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ，则（ ）A ．若//MN 平面PAB ，则//AB RQ B ．存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQC ．存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+= D ．111PQPRPS++是常数【答案】ABD 【分析】对于选项A ，根据线面平行的性质定理，进行推理判断即可；对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ， 13SC PC =时，通过线面垂直的判定定理，证明此时PC ⊥平面SRQ ，即可证明，存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ；对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=，利用线面垂直的判定定理可证得PC ⊥平面PAB ，此时通过反证法说明矛盾性，即可判断； 对于选项D ，利用S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V ----=++，即可求得111PQPRPS++是常数.【详解】 对于选项A ， 若//MN 平面PAB ，平面SMN 与棱PA 的延长线相交于点Q ，与棱PB 的延长线相交于点R ,∴平面SMN 平面PAB =RQ ，又MN ⊂平面SMN ，//MN 平面PAB ，∴//MN RQ ，点O 在面ABC 上，过点O 的直线交AC ，BC 于点M ，N ，∴MN ⊂平面ABC ，又//MN 平面PAB ，平面ABC平面PAB AB =，∴//MN AB ， ∴//AB RQ ，故A 正确； 对于选项B ，当直线MN 平行于直线AB ，S 为线段PC 上靠近C 的三等分点，即13SC PC =， 此时PC ⊥平面SRQ ，以下给出证明： 在正四面体P ABC -中，设各棱长为a ，∴ABC ，PBC ，PAC △，PAB △均为正三角形，点O 为ABC 的中心，//MN AB ，∴由正三角形中的性质，易得23CN CM a ==， 在CNS 中，23CN a =，13SC a =，3SCN π∠=，∴由余弦定理得，SN a ==， ∴222249SC SN a CN +==，则SN PC ⊥， 同理，SM PC ⊥，又SM SN S =，SM ⊂平面SRQ ，SN ⊂平面SRQ ，∴PC ⊥平面SRQ ，∴存在点S 与直线MN ，使PC ⊥平面SRQ ，故B 正确； 对于选项C ，假设存在点S 与直线MN ，使()0PS PQ PR ⋅+=， 设QR 中点为K ，则2PQ PR PK +=，∴PS PK ⊥，即PC PK ⊥，()cos cos 0PC AB PC PB PA PC PB CPB PC PA CPA ⋅=⋅-=⋅∠-⋅∠=，∴PC AB ⊥，又易知AB 与PK 为相交直线，AB 与PK 均在平面PQR 上，∴PC ⊥平面PQR ，即PC ⊥平面PAB ，与正四面体P ABC -相矛盾，所以假设不成立， 故C 错误； 对于选项D ，易知点O 到面PBC ，面PAC ，面PAB 的距离相等，记为d ， 记PC 与平面PAB 所处角的平面角为α，α为常数，则sin α也为常数， 则点S 到PQR 的距离为sin PS α， 又13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅ ∴()()1133sin sin sin 33412S PQR PQRV PS S PS PQ PR PQ PR PS ααα-=⋅=⋅⋅=⋅⋅， 又13sin23PSRSPS PR PS PR π=⋅=⋅， 13sin 234PSQSPS PQ PS PQ π=⋅=⋅，13sin 234PQRSPQ PR PQ PR π=⋅=⋅， ()3S PQR O PSR O PSQ O PQR V V V V d PS PR PS PQ PQ PR ----=++=⋅+⋅+⋅， ∴()33sin 1212PQ PR PS d PS PR PS PQ PQ PR α⋅⋅=⋅+⋅+⋅， ∴111sin d PQPRPSα++=为常数，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、线面垂直的判定定理，考查了三棱锥体积的计算，考查了向量的运算，考查了转化能力与探究能力，属于较难题.8．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）A ．MN ∥平面ABDB ．异面直线AC 与MN 所成的角为定值C ．在二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大D ．若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】利用线面平行的判定即可判断选项A ；利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D.【详解】对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，故选项B 正确；对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大， 故选项C 错误；对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =, 所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭.故选项D 正确;故选：ABD 【点睛】本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.9．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图，,M N 分别是正方形ABCD ，11BCC B 的中心.则下列结论正确的是（ ）A ．平面1D MN 与11BC 的交点是11B C 的中点 B ．平面1D MN 与BC 的交点是BC 的三点分点 C ．平面1D MN 与AD 的交点是AD 的三等分点 D ．平面1D MN 将正方体分成两部分的体积比为1∶1 【答案】BC 【分析】取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ，连FM 并延长分别交,BC AD 于,P Q ，连1,D Q PN 并延长交11B C 与H ，平面四边形1D HPQ 为所求的截面，进而求出,,P Q H 在各边的位置，利用割补法求出多面体11QPHD C CD 的体积，即可求出结论.【详解】如图，取BC 的中点E ，延长DE ，1D N ，并交于点F ， 连接FM 并延长，设FM BC P ⋂=，FM AD Q ⋂=， 连接PN 并延长交11B C 于点H .连接1D Q ，1D H ，则平面四边形1D HPQ 就是平面1D MN 与正方体的截面，如图所示.111111////,22NE CC DD NE CC DD ==，NE ∴为1DD F ∆的中位线，E ∴为DF 中点，连BF ， ,,90DCE FBE BF DC AB FBE DCE ∴∆≅∆==∠=∠=︒， ,,A B F ∴三点共线，取AB 中点S ，连MS ，则12//,,23BP FB MS BP MS BC MS FS =∴==，22111,33236BP MS BC BC PE BC ∴==⨯=∴=， E 为DF 中点，11//,233PE DQ DQ PE BC AD ∴===N 分别是正方形11BCC B 的中心，11113C H BP C B ∴==所以点P 是线段BC 靠近点B 的三等分点， 点Q 是线段AD 靠近点D 的三等分点， 点H 是线段11B C 靠近点1C 的三等分点. 做出线段BC 的另一个三等分点P '， 做出线段11A D 靠近1D 的三等分点G ，连接QP '，HP '，QG ，GH ，1H QPP Q GHD V V '--=， 所以111113QPHD C CD QPHQ DCC D V V V -==多面体长方体正方体 从而平面1D MN 将正方体分成两部分体积比为2∶1. 故选:BC.【点睛】本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较难题.10．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．A ．棱的高与底边长的比为22B ．侧棱与底面所成的角为4π C 2 D ．侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a=，然后可得侧面积为242108a a+，运用导数可求出当32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a ⨯'=-令()233210840f a a a ⨯'=-=得32a =当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =2，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB 【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.。
江苏省2024高考数学二轮复习专题二立体几何2
立体几何中的计算A 组——抓牢中档小题1. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ________.解析：由题意，得圆锥的母线长l ＝12＋22＝5，所以S 圆锥侧＝πrl ＝π×1×5＝5π.答案：5π2．已知正六棱柱的侧面积为72 cm 2，高为6 cm ，那么它的体积为________cm 3. 解析：设正六棱柱的底面边长为x cm ，由题意得6x ×6＝72，所以x ＝2，于是其体积V ＝34×22×6×6＝363cm 3. 答案：36 33．已知球O 的半径为R ，A ，B ，C 三点在球O 的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为32R ，AB ＝AC ＝BC ＝23，则球O 的表面积为________．解析：设△ABC 外接圆的圆心为O 1，半径为r ，因为AB ＝AC ＝BC ＝23，所以△ABC 为正三角形，其外接圆的半径r ＝232sin 60°＝2，因为OO 1⊥平面ABC ，所以OA 2＝OO 21＋r 2，即R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫32R 2＋22，解得R 2＝16，所以球O 的表面积为4πR 2＝64π. 答案：64π4. 已知一个棱长为6 cm 的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5 cm 的钢球，则球心到盒底的距离为________cm.解析：球心到正方体的塑料盒上表面(不存在)所在平面的距离为52－32＝4，所以球心到盒底的距离为4＋6＝10(cm)．答案：105．(2024·扬州期末)若圆锥的侧面绽开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，则由12·2π3·l 2＝3π，得l ＝3，又由2π3·l ＝2πr ，得r ＝1，从而有h ＝l 2－r 2＝22，所以V ＝13·πr 2·h ＝223π. 答案：223π6. 一块边长为10 cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x ＝6 cm 时，该容器的容积为________cm 3.解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm 为边长的正方形，侧面高为5 cm ，则正四棱锥的高为52－⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝4 cm ，所以所求容积V ＝13×62×4＝48 cm 3.答案：487．已知一个正方体的全部顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为 3. 设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32，所以这个球的体积为43πR 3＝4π3×278＝9π2.答案：9π28．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为V 1，S 1，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V 2，S 2，若V 1V 2＝3π，则S 1S 2的值为________．解析：由题意知，V 1＝a 3，S 1＝6a 2，V 2＝13πr 3，S 2＝2πr 2，由V 1V 2＝3π，即a 313πr 3＝3π，得a ＝r ，从而S 1S 2＝6a 22πr 2＝62π＝32π. 答案：32π9．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个四面体，使B ，C ，D 三点重合，则这个四面体的体积为________．解析：设B ，C ，D 三点重合于点P ，得到如图所示的四面体P AEF .因为AP ⊥PE ，AP ⊥PF ，PE ∩PF ＝P ，所以AP ⊥平面PEF ，所以V 四面体P AEF ＝V 四面体A PEF ＝13·S △PEF ·AP ＝13×12×1×1×2＝13.答案：1310．(2024·常州期末)已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．解析：设截得的小圆锥的高为h 1，底面半径为r 1，体积为V 1＝13πr 21h 1；大圆锥的高为h＝6，底面半径为r ，体积为V ＝13πr 2h ＝8.依题意有r 1r ＝h 1h ，V 1＝1，V 1V ＝13πr 21h 113πr 2h ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1h 3＝18，得h 1＝12h ＝3，所以圆台的高为h －h 1＝3.答案：311.如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是________．解析：连结A 1B ，沿BC 1将△CBC 1绽开，与△A 1BC 1在同一个平面内，如图所示，连结A 1C ，则A 1C 的长度就是所求的最小值．因为A 1C 1＝6，A 1B ＝210，BC 1＝2，所以A 1C 21＋BC 21＝A 1B 2，所以∠A 1C 1B ＝90°.又∠BC 1C ＝45°，所以∠A 1C 1C ＝135°，由余弦定理，得A 1C 2＝A 1C 21＋CC 21－2A 1C 1·CC 1·cos∠A 1C 1C ＝36＋2－2×6×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝50，所以A 1C ＝52，即CP ＋PA 1的最小值是5 2.答案：5 212．(2024·苏中三市、苏北四市三调)现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗)．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2的值为________．解析：设正四棱柱的高为a ，所以底面边长为8a ，依据体积相等，且底面积相等，所以正四棱锥的高为3a ，则正四棱锥侧面的高为3a2＋4a2＝5a ，所以S 1S 2＝4×8a 24×12×8a ×5a ＝25. 答案：2513．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为42π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．解析：如图，设底面半径为r ，由题意可得：母线长为2r .又侧面绽开图面积为12×2r ×2πr ＝42π，所以r ＝2.又截面三角形ABD 为等边三角形，故BD ＝AB ＝2r ，又OB ＝OD ＝r ，故△BOD 为等腰直角三角形．设圆锥底面中心到截面的距离为d ，又V O ABD ＝V A BOD ，所以d ×S △ABD ＝AO ×S △OBD .又S △ABD ＝34AB 2＝34×8＝23，S △OBD ＝2，AO ＝r ＝2，故d ＝2×223＝233.答案：23314. 底面半径为1 cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12 cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水，使水面恰好浸没全部铁球，则须要注水________cm 3.解析：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，O 1O 2O 3O 4为正四面体，棱O 1O 2到棱O 3O 4的距离为22，所以注水高为1＋22.故应注水体积为π⎝⎛⎭⎪⎫1＋22－4×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋22π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋22πB 组——力争难度小题1.(2024·天津高考)已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为________．解析：如图，连结AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，所以EH ∥AC ，EH ＝12AC ，因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，所以FG ∥AC ，FG ＝12AC ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，所以四边形EHGF 为正方形，又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M EFGH 的体积为13×222×12＝112.答案：1122.(2024·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽视不计，结果保留π)．解析：设球形容器的最小半径为R ，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R 的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上．球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R ＝12＋22＋52＝30，得4R 2＝30.从而S 球面＝4πR 2＝30π.答案：30π3．已知三棱锥P ABC 的全部棱长都相等，现沿PA ，PB ，PC 三条侧棱剪开，将其表面绽开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为26，则三棱锥P ABC 的体积为________．解析：由条件知，表面绽开图如图所示，由正弦定理得大正三角形的边长为a ＝2×26sin 60°＝62，从而三棱锥的全部棱长均为32，底面三角形ABC 的高为326，故三棱锥的高为18－6＝23，所求体积为V ＝13×34(32)2×23＝9.答案：94．(2024·渭南二模)体积为4π3的球与正三棱柱的全部面均相切，则该棱柱的体积为________．解析：设球的半径为R ，由4π3R 3＝4π3，得R ＝1，所以正三棱柱的高h ＝2.设底面边长为a ，则13×32a ＝1，所以a ＝2 3.所以V ＝12×23×3×2＝6 3.答案：6 35.如图所示，在直三棱柱中，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC ＝CC 1＝2，若用平行于三棱柱A 1B 1C 1ABC 的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．解析：用过AB ，AC 的中点且平行于平面BCC 1B 1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个边长为2的正方体，其表面积为24；用过AB，BC的中点且平行于平面ACC1A1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高分别为4,1,2的长方体，其表面积为28；用过AA1，BB1，CC1的中点且平行于平面ABC的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高分别为4,2,1的长方体，其表面积为28，因此所求的长方体表面积的最小值为24.答案：246.如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为________．解析：四边形AEFG在前、后面的正投影如图①，当E与A1重合，F与B1重合时，四边形AEFG在前、后面的正投影的面积最大值为12；四边形AEFG在左、右面的正投影如图②，当E与A1重合，四边形AEFG在左、右面的正投影的面积最大值为8；四边形AEFG在上、下面的正投影如图③，当F与D重合时，四边形AEFG在上、下面的正投影的面积最大值为8.综上所述，所求面积的最大值为12.答案：12。
立体几何习题-2023届高三数学二轮专题复习
立体几何习题一、选择题(共2小题)1.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN∥平面A1BD，则线段MN的最小值为( )A.1B.62C.2D.32.如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形为( )A.①B.①②C.②D.①②③二、解答题(共17小题)3.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)若DE⊥BC，二面角A-BD-C的大小为π3，求直线B1C与平面BCD所成角的大小．4.如图所示的四棱锥P-ABCD的底面ABCD是一个等腰梯形，AD∥BC，且AD=2AB=2BC=4，PO是△PAD的中线，点E是棱PD的中点．(1)证明：CE∥平面PAB．(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD，PO=AO，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值．5.在如图的几何体中，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABEF 为梯形，EF ∥AB ，点P 为棱DF 的中点．(1)求证：BF ∥平面APC ；(2)若AD =4，AB =2EF =2AF =2，AF ⊥AB ，2AP =FD ，求点E 到平面APC 的距离．6.如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，AA 1=AB ，E 为BB 1的延长线上一点，D 1E ⊥平面D 1AC ，设AB =2．(1)求平面EAC 的法向量；(2)在线段D 1E 上取一点P ，满足D 1P PE=32，求证：A 1P ∥平面EAC ．7.如图，在多面体ABCDP 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，PA =AB ，BD =CD =22，PC =PB =22，点E 是BC 中点，平面ABC ⊥平面BCD ．(1)求证：DE ∥平面PAC ；(2)F 是直线BC 上的一点，若二面角F -DA -B 为直二面角，求BF 的长．8.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA=PC，E，F分别为AB和PD的中点．(1)求证：AC⊥平面PBD；(2)求证：EF∥平面PBC．9.如图，已知四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于O，∠BAD=60°，平面ADEF∩平面BCEF=直线EF，FO⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．(Ⅰ)求证：直线BC∥平面ADEF；(Ⅱ)求证：EF∥BC；(Ⅲ)求直线AF与平面BCEF所成角的正弦值．10.如图，已知在矩形ABCD中，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE折起到△A1DE(A1∉平面ABCD)的位置，M为线段A1C的中点．(1)求证：BM∥平面A1DE；(2)已知AB=2AD=22，当平面A1DE⊥平面ABCD时，求直线BM与平面A1DC所成角的正弦值．11.如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．(1)设点M为棱PD中点，求证：EM∥平面ABCD；(2)线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于210535若存在，试求出线段PN的长度；若不存在，请说明理由．12.如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，M为边CD的中点，将△ADM沿直线AM翻折成AME，且BE=3，点P为线段BE的中点．(1)求证：PC∥平面AME；(2)求直线PC与平面ABM所成角的正弦值．13.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A-CD-F为60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6．(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值．14.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，AD=SA=2，AB=1，点E是棱SD的中点．(1)证明：SC⊥AE；(2)求异面直线CE与BS所成角的余弦值．15.如图，边长为2的正方形ACDE所在平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC=BC．(1)求证：AM⊥平面EBC；(2)求直线AD与平面ABE所成线面角．16.如图，在正四棱锥P-ABCD中，点E，F分别在棱PB，PD上，且PEPB=PFPD=13．(1)证明：EF⊥平面PAC．(2)在棱PC上是否存在点M，使得PA∥平面MEF？若存在，求出PMMC的值；若不存在，说明理由．17.如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE：ED=3：1．(1)证明：PA⊥平面ABCD；(2)在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．18.已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=π2，AB=BC=2AD=4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE=2，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．(1)证明：EF⊥平面ABE；(2)求二面角D-BF-E的余弦值．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，并且BC=2AD=2AB，点P在平面ABCD内的投影恰为BD的中点M．(Ⅰ)证明：CD⊥平面PBD；(Ⅱ)若PM=AD，求直线PA与CD所成角的余弦值．立体几何习题参考答案与试题解析一、选择题(共2小题)1.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为BC的中点．当点M在平面DCC1D1内运动时，有MN∥平面A1BD，则线段MN的最小值为( )A.1B.62C.2D.3【分析】取CD的中点P，DD1的中点Q，连接PQ、PN、QN，D1C，A1D，BD，A1B，利用线面平行的判定和平行四边形的性质可得A1B∥D1C，可得PQ∥A1B，利用面面平行的判定和性质可知MN∥平面A1BD，可证M∈PQ，在△PQN中，求解PN，PQ，QN的值，利用余弦定理可求cos∠NPQ，可得∠NPQ=120°，即可求解线段MN的最小值．【解答】解：取CD的中点P，DD1的中点Q，连接PQ、PN、QN，D1C，A1D，BD，A1B，如图所示：因为P、N分别为CD、BC中点，所以PN∥BD，因为PN⊄平面A1DB，BD⊂平面A1DB，所以PN∥平面A1DB，同理，P、Q分别为CD、DD1中点，所以PQ∥D1C，因为A1D1=BC，且A1D1∥BC，所以四边形BCD1A1是平行四边形，所以A1B∥D1C，所以PQ∥A1B，因为PQ⊄平面A1DB，A1B⊂平面A1DB，所以PQ∥平面A1DB，又PQ∩PN=P，PQ⊂平面PQN，PN⊂平面PQN，所以平面PQN∥平面A1BD，因为MN∥平面A1BD，所以MN⊂平面PQN，又点M在平面DCC1D1内运动，所以点M在平面PQN和平面DCC1D1的交线上，即M∈PQ，在△PQN中，PN=2，PQ=12CD1=2，QN=22+22=6，所以cos∠NPQ=PN2+PQ2-QN22PQ×PN=-12，所以∠NPQ=120°，所以N点到PQ的最小距离d=PN=2，所以线段MN的最小值为2．故选：C．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和平行四边形的性质，考查了面面平行的判定和性质，考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题．2.如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是它们所在线段的中点，则满足A1F∥平面BD1E的图形为( )A.①B.①②C.②D.①②③【分析】平移直线A 1F ，判断平移后的直线：在平面BD 1E 上则A 1F ∥平面BD 1E ，与平面BD 1E 交于一点则不平行，即可得解．【解答】解：①中，平移A 1F 至D 1F ′，可知D 1F ′与面BD 1E 只有一个交点D 1，则A 1F 与平面BD 1E 不平行；②中，由于AF ∥DE ，而AF ⊄平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，故A 1F ∥平面BD 1E ；③中，平移A 1F 至D 1F ′，可知D 1F ′与面BD 1E 只有一个交点D 1，则A 1F 与平面BD 1E 不平行；故选：C ．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，考查了数形结合思想和推理论证能力，属于中档题．二、解答题(共17小题)3.如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D ，E 分别为AA 1，B 1C 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)若DE ⊥BC ，二面角A -BD -C 的大小为π3，求直线B 1C 与平面BCD 所成角的大小．【分析】(1)取BC 的中点M ，连接AM ，EM ，利用平行四边形以及直线与平面平行的判定即可求证；(2)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A -xyz ，利用空间向量即可求解．【解答】解：(1)证明：取BC 的中点M ，连接AM ，EM ，如图：则DA ∥BB 1，且DA =12BB 1，EM ∥BB 1，且EM =12BB 1，所以DA ∥EM ，且DA =EM ，所以四边形AMED 为平行四边形，所以DM ∥AM ，又AM ⊂面ABC ，DE ⊄面ABC ，所以DE ∥面ABC ；(2)解：以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A -xyz ，设AB =1，AC =b (b >0)，AA 1=2c (c >0)，则B (1，0，0)，C (0，b ，0)，D (0，0，c )，B 1(1，0，2c )，E (12,b 2,c )，所以DE =12,b 2,0 ，BC =-1,b ,0 ，∵DE ⊥BC ，所以DE ⋅BC =0，所以b =1，又BC =-1,1,0 ，BD =-1,0,c ，设平面BCD 的一个法向量为n =x ,y ,z ，则n ⋅BC =0n ⋅BD =0 ，所以-x +y =0-x +cz =0 ，令x =1，则y =1，z =1c ，所以n =1,1,1c ，又平面ABD 的一个法向量AC =0,1,0 ，所以π3cos =n ⋅AC n ⋅AC，所以12=11+1+1c2，解得c =22，所以n =1,1,2 ，又B 1C =-1,1,-2 ，所以cos <n ,B 1C =n ⋅B 1C n ⋅B 1C =-1+1-21+1+2∙1+1+2=12所以直线B 1C 与平面BCD 所成角为π6．【点评】本题考查了直线与平面平行，直线与平面所成角，以及与空间向量的综合应用，属于中档题．4.如图所示的四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是一个等腰梯形，AD ∥BC ，且AD =2AB =2BC =4，PO 是△PAD 的中线，点E 是棱PD 的中点．(1)证明：CE ∥平面PAB ．(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA =PD ，PO =AO ，求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【分析】(1)连接OC ，OE ，利用线面平行的判定可证OE ∥平面PAB ，可证ABCO 是平行四边形，进而证明CO ∥平面PAB ，利用面面平行的判定可证平面OCE ∥平面PAB ，根据面面平行的性质可证CE ∥平面PAB ．(2)连接OM ，以O 为坐标原点，OM ,OD ,OP 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAB与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【解答】解：(1)证明：连接OC ，OE ，因为O ，E 分别是棱AD ，PD 的中点，又OE ⊄平面PAB ，所以OE ∥PA ，所以OE ∥平面PAB ，又AD ∥BC ，且AD =2AB =2BC =4，所以AO ∥BC ，且AO =BC ，所以ABCO 是平行四边形，所以CO ∥AB ，从而CO ∥平面PAB ，又CO ∩OE =O ，所以平面OCE ∥平面PAB ，又CE ⊂平面OCE ，所以CE ∥平面PAB ．(2)因为PA =PD ，所以PO ⊥AD ，又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，取BC 的中点为M ，连接OM ，以O 为坐标原点，OM ,OD ,OP 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易知PO =AO =2，OM =3，所以A (0，-2，0)，B (3，-1，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，AP =(0，2，2)，AB =(3，1，0)，CD =(-3，1，0)，DP =(0，-2，2)，设平面PAB 的法向量为m =(x ，y ，z )，则m ⋅AP =2y +2z =0m ⋅AB =3x +y =0令z =3，得m =(1，-3，3)，设平面PCD 的法向量为n =(x 1，y 1．z 1)，则m ⋅CD =3x 1+y 1=0m ⋅DP =2y 1+2z 1=0,令x 1=1，得n =(1，3,3)，设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为θ，则cos θ=|cos <m ，n >|=m ⋅n m n=17，即平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为17．【点评】本题考查线面平行与面面平行的判定与性质，考查利用空间向量求二面角的余弦值，考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力，考查数形结合、化归转化思想，属于中档题．5.在如图的几何体中，已知四边形ABCD 为矩形，四边形ABEF 为梯形，EF ∥AB ，点P 为棱DF 的中点．(1)求证：BF ∥平面APC ；(2)若AD =4，AB =2EF =2AF =2，AF ⊥AB ，2AP =FD ，求点E 到平面APC 的距离．【分析】(1)连接BD ，交AC 于点O ，连接PO ，推导出BF ∥PO ，由此能证明BF ∥平面APC ．(2)由点P 为棱DF 的中点，2AP =FD ，得AF ⊥AD ，再由AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，以A 为原点，AB ,AD ,AF 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E 到平面APC 的距离．【解答】解：(1)证明：连接BD ，交AC 于点O ，连接PO ，因为四边形ABCD 为矩形，所以O 为DB 的中点，又因为点P 为棱DF 的中点，所以BF ∥PO ，因为PO ⊂平面APC ，BF ⊄平面APC ，所以BF ∥平面APC ．(2)因为点P 为棱DF 的中点，2AP =FD ，所以AF ⊥AD ，因为AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，所以以A 为原点，AB ,AD ,AF 的方向为x ，y ，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，A 0,0,0 ,B 2,0,0 ,C 2,4,0 ,P 0,2,12 ,E 1,0,1 ，所以AP =0,2,12 ,AC =2,4,0 ，设平面APC 的法向量为n =x ,y ,z ，所以n ⋅AP =0,n ⋅AC =0, 所以2y +z 2=0,2x +4y =0, 不妨x =2y =-1z =4 所以n =2,-1,4 ，又EC =1,4,-1 ，则点E 到平面APC 的距离d =EC ⋅n n =2×1+-1 ×4+4×-1 22+-1 2+42=2217．【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．6.如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，AA 1=AB ，E 为BB 1的延长线上一点，D 1E ⊥平面D 1AC ，设AB =2．(1)求平面EAC 的法向量；(2)在线段D 1E 上取一点P ，满足D 1P PE=32，求证：A 1P ∥平面EAC ．【分析】(1)设AC 与BD 交于O ，以O 为原点，OA ，OB ，为x 轴，y 轴，过O 作面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面EAC 的法向量n ；(2)求得D 1P 和A 1P 的坐标，计算A 1P •n =0，可得证明．【解答】解：(1)设AC 与BD 交于O ，如图以O 为原点，OA ，OB 为x 轴，y 轴，过O 作面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (-3，0，0)，D (0，-1，0)，D 1(0，-1，2)，A 1(3，0，2)，设E (0，1，2+h )，则D 1E =(0，2，h )，CA =(23，0，0)，D 1A =(3，1，-2)因为D 1E ⊥平面D 1AC ，所以D 1E ⊥AC ，D 1E ⊥D 1A ，则2-2h =0，解得h =1，即E (0，1，3)，所以D 1E =(0，2，1)，AE =(-3，1，3)，设平面EAC 的法向量为n =(x ，y ，z )，由n ⋅CA =23x =0m ⋅AE =-3x +y +3z =0，可令z =-1，则x =0，y =3，所以n =(0，3，-1)，即有平面EAC 的一个法向量为(0，3，-1)；(2)证明：由D 1P PE =32，可得D 1P =35D 1E =(0，65，35)，A 1P =A 1D 1 +D 1P =(-3，-1，0)+(0，65，35)=(-3，15，35)，A 1P ⋅n =0×(-3)+3×15+(-1)×35=0，即有A 1P ⊥n ，所以A 1P ∥面EAC ．【点评】本题考查平面的法向量的求法，线面平行的证明，注意向量法的合理运用．考查转化思想和运算能力，是中档题．7.如图，在多面体ABCDP 中，△ABC 是边长为2的等边三角形，PA =AB ，BD =CD =22，PC =PB =22，点E 是BC 中点，平面ABC ⊥平面BCD ．(1)求证：DE ∥平面PAC ；(2)F 是直线BC 上的一点，若二面角F -DA -B 为直二面角，求BF 的长．【分析】(1)由已知利用线面垂直的判定可证PA ⊥平面ABC ，进而可证DE ⊥BC ，利用面面垂直的性质可证DE ⊥平面ABC ，则DE ∥PA ，进而根据线面平行的判定即可证明DE ∥平面PAC ．(2)以点E 为原点，EC 方向为x 轴，EA 方向为y 轴，ED 方向为z 轴建立直角坐标系，设F (a ，0，0)，设直二面角F -DA -B 的平面角θ，由cos θ=0，可得m ⋅n =4a -3=0，求得a的值，即可得解BF 的值．【解答】解：(1)△ABC 是边长为2的等边三角形，则PA =AB =AC =2，又PC =PB =22，由勾股定理知PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，故PA ⊥平面ABC ，又BD =CD ，点E 是BC 中点，则DE ⊥BC ，由于平面ABC ⊥平面BCD ，知DE ⊥平面ABC ，则DE ∥PA ，又PA ⊂平面ABC ，DE ⊄平面ABC ，可得DE ∥平面PAC ．(2)以点E 为原点，EC 方向为x 轴，EA 方向为y 轴，ED 方向为z 轴建立直角坐标系，则D (0，0，1)，A (0，3，0)，B (-1，0，0)，设F (a ，0，0)，可得平面FDA 内，DA =(0，3，-1)，DF =(a ，0，-1)，法向量n =(3，a ，3a )，平面BDA 内，DA =(0，3，-1)，DB =(-1，0，-1)，法向量n =(-3，1，3)，设直二面角F -DA -B 的平面角θ，则cos θ=m ⋅n m n=0，可得m ⋅n =4a -3=0，a =34，可得BF =74．【点评】本题主要考查了线面垂直的判定，面面垂直的性质，线面平行的判定，考查了空间向量以及二面角的平面角及求法，属于中档题．8.如图，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为菱形，PA =PC ，E ，F 分别为AB 和PD 的中点．(1)求证：AC ⊥平面PBD ；(2)求证：EF ∥平面PBC ．【分析】(1)设AC ∩BD =O ，则O 是BD 中点，由面ABCD 是菱形，可得BD ⊥AC ，又PA =PC ，O 是AC 中点，可得AC ⊥PO ，利用线面垂直的判定定理即可证明AC ⊥平面PAC ．(2)取PC 中点为G ，由已知利用中位线的性质可得FG ∥CD ，且FG =12CD ，又由底面ABCD 是菱形，E 是AB 中点，可得BE ∥CD ，且BE =12CD ，从而BE ∥FG ，且BE =FG ，可得四边形BEFG 是平行四边形，可得EF ∥BG ，利用线面平行的判定定理即可证明EF ∥平面PBC ．【解答】证明：(1)设AC ∩BD =O ，则O 是BD 中点，∵底面ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ，又∵PA =PC ，O 是AC 中点，∴AC ⊥PO ，又BD ∩PO =O ，∴AC ⊥平面PBD ．(2)取PC 中点为G ，∵在△PCD 中，F 是PD 中点，G 是PC 中点，∴FG ∥CD ，且FG =12CD ，又∵底面ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∵E 是AB 中点，∴BE ∥CD ，且BE =12CD ，∴BE ∥FG ，且BE =FG ，∴四边形BEFG 是平行四边形，∴EF ∥BG ，又EF ⊄平面PBC ，BG ⊄平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ．【点评】本题主要考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．9.如图，已知四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，∠BAD =60°，平面ADEF ∩平面BCEF =直线EF ，FO ⊥平面ABCD ，BC =CE =DE =2EF =2．(Ⅰ)求证：直线BC ∥平面ADEF ；(Ⅱ)求证：EF ∥BC ；(Ⅲ)求直线AF 与平面BCEF 所成角的正弦值．【分析】(Ⅰ)证明AD ∥BC ，即可证明BC ∥平面ADEF ；(Ⅱ)由线面平行的性质定理即可证明EF ∥BC ；(Ⅲ)以O 为坐标原点，OA ，OB ，OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取CD 的中点M ，连OM ，EM ．易证EM ⊥平面ABCD ．求出AF 和平面BCFE 的法向量，即可求解直线AF 与平面BCEF 所成角的正弦值．【解答】(Ⅰ)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以BC ∥AD ，因为BC ⊄平面ADEF ，AD ⊂平面ADEF ，所以BC ∥平面ADEF ．(Ⅱ)证明：因为BC ∥平面ADEF ，平面ADEF ∩平面BCEF =EF ，所以EF ∥BC ．(Ⅲ)解：因为FO ⊥平面ABCD ，所以FO ⊥AO ，FO ⊥OB ，又因为OB ⊥AO ，所以以O 为坐标原点，OA ，OB ，OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取CD 的中点M ，连接OM ，EM ．易证EM ⊥平面ABCD ．又因为BC =CE =DE =2EF =2，得出以下各点坐标：A (3，0，0)，B (0，1，0)，C (-3，0，0)，D (0，-1，0)，F (0，0，3)，E (-32，-12，3)，所以AF =(-3，0，3)，BC =(-3，-1，0)，BF =(0，-1，3)，设平面BCEF 一个法向量为n =(x ，y ，x )，则n ⋅BC =0n ⋅BF =0 ，即-3x -y =0-y +3z =0 ，令x =1，则y =-3，c =-1，所以n =(1，-3，-1)，设直线AF 与面BCEF 所成角为θ．则sin θ=|cos n ，AF |=n ⋅AF n AF=-23 5×6=105，即直线AF 与平面BCEF 所成角的正弦值为105．【点评】本题考查直线与平面平行的判定与性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查逻辑推理与运算求解能力，属于中档题．10.如图，已知在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 折起到△A 1DE (A 1∉平面ABCD )的位置，M 为线段A 1C 的中点．(1)求证：BM ∥平面A 1DE ；(2)已知AB =2AD =22，当平面A 1DE ⊥平面ABCD 时，求直线BM 与平面A 1DC 所成角的正弦值．【分析】(1)延长CB 与DE 的延长线相交于点P ，连接A 1P ，可得B 为线段CP 的中点，从而可得BM ∥A 1P ，又线面平行的判定定理即可证得BM ∥平面A 1DE ；(2)取线段DE ，DC 的中点O ，N ，连接A 1O ，ON ，以O 为原点．ON ，OD ，OA 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ，求出向量BM 及平面A 1DC 的法向量，即可求解直线BM 与平面A 1DC 所成角的正弦值．【解答】(1)证明：延长CB 与DE 的延长线相交于点P ，连接A 1P ，∵E 为AB 边的中点，四边形ABCD 为矩形，∴BE ∥CD ，BE =12CD ，∴BE 为△PCD 的中位线，∴B 为线段CP 的中点．∵M 为线段A 1C 的中点，∴BM ∥A 1P ，∵BM ⊄平面A 1DE ，A 1P ⊂平面A 1DE ，∴BM ∥平面A 1DE ．(2)解：∵AB =2AD ，E 为边AB 的中点，∴AD =AE ，即A 1D =A 1E ．如图，取线段DE ，DC 的中点O ，N ，连接A 1O ，ON ，则由平面几何知识可得A 1O ⊥DE ，ON ∥CE ，又∵四边形ABCD 为矩形，AB =2AD ，E 为边AB 的中点，∴DE ⊥CE ，DE ⊥ON ．∵平面A 1DE ⊥平面ABCD ，平面A 1DE ∩平面ABCD =DE ，A 1O ⊥DE ，∴A 1O ⊥平面ABCD ，∵ON ⊂平面ABCD ，∴A 1O ⊥ON ，∴以O 为原点．ON ，OD ，OA 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz ，则B (1，-2，0)，C (2，-1，0)，A 1(0，0，1)，M (1，-12，12)，D (0，1，0)，∴BM =(0，32，)，A 1C =(2．-1．-1)，DC =(2，-2，0)．设平面A 1DC 的法向量为n =(x ，y ，z )，则m ⋅A 1C =0m ⋅DC =0，即2x -y -z =02x -2y =0 ，不妨取x =1，则y =1，z =1，即n =(1，1，1)．设直线BM 与平面A 1DC 所成角为θ，则sin θ=|cos <n ，BM >|=m ⋅BM m BM=23×102=23015，∴直线BM 与平面A 1DC 所成角的正弦值为23015．【点评】本题考查线面平行的证明、线面夹角的求法以及翻折问题，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．11.如图，已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面，且AB =BP =2，AD =AE =1，AE ⊥AB ，且AE ∥BP ．(1)设点M 为棱PD 中点，求证：EM ∥平面ABCD ；(2)线段PD 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于210535若存在，试求出线段PN 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】(1)证明BP ⊥平面ABCD ，以B 为原点建立坐标系，则BP 为平面ABCD 的法向量，求出EM •BP =-1×0+0×2+12×0=0，从而有EM ∥平面ABCD ；(2)假设存在点N 符合条件，设PN =λPD ，求出BN ，平面PCD 的法向量n 的坐标，令|cos <BN ，n >|=BN ⋅n BN⋅n =25⋅9λ2-8λ+4=210535解出λ，根据λ的值得出结论．【解答】解：(1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABEP ，平面ABCD ∩平面ABEP =AB ，BP ⊥AB ，∴BP ⊥平面ABCD ，又AB ⊥BC ，∴直线BA ，BP ，BC 两两垂直，以B 为原点，分别以BA ，BP ，BC 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P (0，2，0)，B (0，0，0)，D (2，0，1)，E (2，1，0)，C (0，0，1)，∴M (1，1，12)，∴EM =(-1，0，12)，BP =(0，2，0)，∵BP ⊥平面ABCD ，∴BP 为平面ABCD 的一个法向量，∵EM •BP =(-1)×0+0×2+12×0=0，∴EM ⊥BP ，又EM ⊄平面ABCD ，∴EM ∥平面ABCD ．(2)解：线段PD 上存在两个点N 使当PN =1，或53时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于210535．理由如下：∵PD =(2，-2，1)，CD =(2，0，0)，设平面PCD 的法向量为n =(x ，y ，z )，则n ⋅CD =0n ⋅PD =0，∴2x =02x -2y +z =0 ，令y =1，得n =(0，1，2)，假设线段PD 上存在一点N ，使得直线BN 与平面PCD 所成角α的正弦值等于210535，设PN =λPD =(2λ，-2λ，λ)(0≤λ≤1)，∴BN =BP +PN =(2λ，2-2λ，λ)，∴|cos <BN ，n >|=BN ⋅n BN⋅n =25⋅9λ2-8λ+4=210535，∴9λ2-8λ+53=0，解得λ=13，或59，∴线段PD 上存在两个点N 使当PN =1，或53时，直线BN 与平面PCD 所成角的正弦值等于210535．【点评】本题考查了线面平行的判断，考查空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．12.如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =1，M 为边CD 的中点，将△ADM 沿直线AM 翻折成AME ，且BE =3，点P 为线段BE 的中点．(1)求证：PC ∥平面AME ；(2)求直线PC 与平面ABM 所成角的正弦值．【分析】(1)取AE 的中点Q ，连结QM ，QP ，结合中位线定理和已知条件，可得四边形MCPQ 为平行四边形，即可求解．(2)取AM 的中点O ，连结OE ，OB ，结合已知条件和勾股定理，可得EO ⊥平面ABM ，因此∠AMQ 为直线PC 与平面ABM 所成角，sin ∠AMQ =sin (45°-∠EMQ )=22cos ∠EMQ -sin ∠EMQ ，在Rt △MEQ 中，sin ∠EMQ =EQ QM =1252=15，cos ∠EMQ =EM QM =25，即可求解．【解答】证明：(1)取AE 的中点Q ，连结QM ，QP ，因为P ，Q 均为中点，故PQ ∥AB 且PQ =12AB ，又因为MC ∥AB ，且MC =12AB ，则PQ ∥MC 且PQ =MC ，因此四边形MCPQ 为平行四边形，故PC ∥QM ，故PC ∥平面AME ，即得证．(2)取AM 的中点O ，连结OE ，OB ，因为AE =ME ，所以OA ⊥OE 且OE =22，在Rt △BOM 中，BO 2=OM 2+BM 2=12+2=52，因为BO 2+OE 2=BE 2，故EO ⊥OB ，故EO ⊥平面ABM ，因此∠AMQ 为直线PC 与平面ABM 所成角，sin ∠AMQ =sin (45°-∠EMQ )=22cos ∠EMQ -sin ∠EMQ ，在Rt △MEQ 中，sin ∠EMQ =EQ QM =1252=15，cos ∠EMQ =EM QM =25，故sin ∠AMQ =1010．【点评】本题考查了线面平行的证明，以及线面角的求解，需要学生较强的综合能力，属于中档题．13.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，二面角A-CD-F为60°，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，DE=DC=3，CF=6．(1)求证：BF∥平面ADE；(2)求直线AC与平面CDEF所成角的正弦值．【分析】(1)由已知条件，利用直线与平面、平面与平面的位置关系先推导出平面BCF∥平面ADF，由此能证明BF∥平面ADE．(2)利用直线与平面，平面与平面垂直的判定定理证明平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF，连结CO，可得直线AC与平面CDEF所成角为∠ACO，利用三角函数的定义即可求解．【解答】解：(1)证明：∵ABCD是矩形，∴BC∥AD，又∵BC⊄平面ADE，∴BC∥平面ADE，∵DE∥CF，CF⊄平面ADE，∴CF∥平面ADE，又∵BC∩CF=C，∴平面BCF∥平面ADF，∵BF⊂平面BCF，∴BF∥平面ADE．(2)∵CD⊥AD，CD⊥DE，∴∠ADE即为二面角A-CD-F的平面角，∴∠ADE=60°，又∵AD∩DE=D，∴CD⊥平面ADE，又∵CD⊂平面CDEF，∴平面CDEF⊥平面ADE，作AO⊥DE于O，则AO⊥平面CDEF．连结CO，所以直线AC与平面CDEF所成角为∠ACO，AC=13,AO=3，所以sin∠ACO=AOAC=3913．直线AC与平面CDEF所成角的正弦值为39 13．【点评】本题考查直线与平面，平面与平面平行及垂直的判定定理，性质定理．平面法向量，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．14.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，AD=SA=2，AB=1，点E是棱SD的中点．(1)证明：SC⊥AE；(2)求异面直线CE与BS所成角的余弦值．【分析】(1)推导出CD⊥AD，CD⊥SA，从而CD⊥平面SAD，进而CD⊥AE，推导出AE⊥SD，从而AE⊥平面SCD，由此能证明SC⊥AE；(2)连接AC、BD，交于点O，连接OE，则OE∥SB，∠CEO是异面直线CE与BS所成角(或所成角的补角)，由此能求出异面直线CE与BS所成角的余弦值．【解答】解：(1)证明：在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，∴CD⊥AD，CD⊥SA，∵SA∩AD=A，∴CD⊥平面SAD，∵AE ⊂平面SAD ，∴CD ⊥AE ，∵AD =SA =2，点E 是棱SD 的中点，∴AE ⊥SD ，∵SD ∩CD =D ，∴AE ⊥平面SCD ，∵SC ⊂平面SCD ，∴SC ⊥AE ；(2)连接AC 、BD ，交于点O ，连接OE ，则OE ∥SB ，∴∠CEO 是异面直线CE 与BS 所成角(或所成角的补角)，∵OE =12SB =121+4=52，OC =12AC =121+4=52，CE =1+1+1=3，∴cos ∠CEO =CE 2+OE 2-OC 22×CE ×OE =3+54-542×3×52=155．∴异面直线CE 与BS 所成角的余弦值为155．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的运算，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.如图，边长为2的正方形ACDE 所在平面与平面ABC 垂直，AD 与CE 的交点为M ，AC ⊥BC ，且AC =BC ．(1)求证：AM ⊥平面EBC ；(2)求直线AD 与平面ABE 所成线面角．【分析】(1)推导出AM ⊥EC ，AC ⊥BC ，从而BC ⊥平面ACDE ，进而BC ⊥AM ，由此能证明AM ⊥平面EBC ；(2)以A 为原点，过A 作CB 的平行线为x 轴，AC 为y 轴，AE 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AD 与平面ABE 所成线面角．【解答】解：(1)证明：∵边长为2的正方形ACDE 所在平面与平面ABC 垂直，AD 与CE 的交点为M ，AC ⊥BC ，且AC =BC ．∴AM ⊥EC ，AC ⊥BC ，∵平面ACDE ∩平面ABC =AC ，∴BC ⊥平面ACDE ，∵AM ⊂平面ACDE ，∴BC ⊥AM ，∵BC ∩EC =C ，∴AM ⊥平面EBC ；(2)以A 为原点，过A 作CB 的平行线为x 轴，AC 为y 轴，AE 为z 轴，建立空间直角坐标系，设AC =BC =2，则A (0，0，0)，D (0，2，2)，B =(2，2，0)，E (0，0，2)，AD =(0，2，2)，AB =(2，2，0)，AE =(0，0，2)，设平面ABE 的法向量n =(x ，y ，z )，则n ⋅AB =2x +2y =0n ⋅AE =2z =0，取x =1，得n =(1，-1，0)，设直线AD 与平面ABE 所成线面角为θ，则sin θ=AD ⋅n AD ⋅n =28⋅2=12，∴θ=30°，∴直线AD 与平面ABE 所成线面角为30°．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.如图，在正四棱锥P -ABCD 中，点E ，F 分别在棱PB ，PD 上，且PE PB =PF PD=13．(1)证明：EF ⊥平面PAC ．(2)在棱PC 上是否存在点M ，使得PA ∥平面MEF ？若存在，求出PM MC的值；若不存在，说明理由．【分析】(1)连接BD ，记AC ∩BD =O ，连接PO ，由题意利用正方形的性质可证AC ⊥BD ，利用线面垂直的判定可证BD ⊥平面PAC ，通过证明EF ∥BD ，可证EF ⊥平面PAC ．(2)设存在点M 满足条件，连接ME ，MF ，记PO ∩EF =N ，连接MN ，取PC 的中点Q ，连接OQ ，利用线面平行的判定，可证OQ ∥MN ，则PM PQ =PN PO ，结合(1)可证PM PQ =PN PO =13，由Q 为PC 的中点，可得PQ =12PC ，进而可求PM MC=15，即可得解．【解答】解：(1)证明：如图，连接BD ，记AC ∩BD =O ，连接PO ，由题意可得四边形ABCD 是正方形，PB =PD ，则O 为AC 的中点，且AC ⊥BD ，因为PB =PD ，所以PO ⊥BD ，因为AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，且AC ∩PO =O ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PE PB =PF PD，所以EF ∥BD ，则EF ⊥平面PAC ．(2)设存在点M 满足条件，连接ME ，MF ，记PO ∩EF =N ，连接MN ，取PC 的中点Q ，连接OQ ，因为O ，Q 分别是AC ，PC 的中点，所以OQ ∥PA ，因为PA ∥平面MEF ，所以OQ ∥平面MEF ，因为平面POQ ∩平面MEF =MN ，所以OQ ∥MN ，则PM PQ =PN PO，由(1)可知EF ∥BD ，所以PN PO =PE PB =13，所以PN PO =PE PB =13，因为Q 为PC 的中点，所以PQ =12PC ，所以PM MC =15，故存在满足条件的点M ，此时PM MC=15．【点评】本题主要考查了线面垂直的判定，用线面平行的判定，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．17.如图，在底面是菱形的四棱锥P -ABCD 中，∠ABC =60°，PA =AC =a ，PB=PD =2a ，点E 在PD 上，且PE ：ED =3：1．(1)证明：PA ⊥平面ABCD ；(2)在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？证明你的结论．【分析】(1)由勾股定理的逆定理可得PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，再由线面垂直的判定定理，可得证明；(2)在棱PC 上存在一点F ，且CF ：CP =1：3，使BF ∥平面AEC ．由三角形的全等和线线平行的性质，结合中位线定理和线面平行的判定定理，可得证明．【解答】解：(1)证明：∠ABC =60°，AB =BC ，AC =a ，可得△ABC 为a 的等边三角形，由PB =PD =2a ，AB =AD =PA =a ，AB 2+PA 2=PB 2，AD 2+PA 2=PD 2，可得PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，而AB ∩AD =A ，可得PA ⊥平面ABC ；(2)在棱PC 上存在一点F ，且CF ：CP =1：3，使BF ∥平面AEC ．证明：连接DF ，交CE 于G ，连接BD ，交AC 于O ，连接OG ，过F 作FH ∥PD ，交CE 于H ，由于CF CP=FH PE =14=ED EP ，所以FH =ED ，△FGH ≌△DGE ，所以G 为DF 的中点，又O 为BD 的中点，所以OG ∥BF ，又OG ⊂平面ACE ，BF ⊄平面ACE ，所以BF ∥平面AEC ．【点评】本题考查线面平行和垂直的判定，考查转化思想和推理能力，属于中档题．18.已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC =∠BAD =π2，AB =BC =2AD =4，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，EF ∥BC ，AE =2，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图)．(1)证明：EF ⊥平面ABE ；(2)求二面角D -BF -E 的余弦值．【分析】(1)证明DA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EF ⊥AB ．证明EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，即可证明EF ⊥平面ABE ．(2)过D 作DG ⊥EF 交EF 于G ．过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连结GH ．说明∠DHG 为二面角D -BF -E 的平面角，然后通过求解三角形，推出结果即可．【解答】(1)证明：在直角梯形ABCD 中，因为∠ABC =∠BAD =π2，故DA ⊥AB ，BC ⊥AB ，因为EF ∥BC ，故EF ⊥AB ．所以在折叠后的几何体中，有EF ⊥AE ，EF ⊥BE ，而AE ∩BE =E ，故EF ⊥平面ABE ．(2)解：如图，在平面AEFD 中，过D 作DG ⊥EF 交EF 于G ．在平面DBF 中，过D 作DH ⊥BF 交BF 于H ，连结GH ．因为平面AEFD ⊥平面EBCF ，平面AEFD ∩平面EBCF =EF ，DG ⊂平面AEFD ，故DG ⊥平面EBCF ，因为BF ⊂平面EBCF ，故DG ⊥BF ，而DG ∩DH =D ，故BF ⊥平面DGH ，又GH ⊂平面DGH ，故GH ⊥BF ，所以∠DHG 为二面角D -BF -E 的平面角，在平面AEFD 中，因为AE ⊥EF ，DG ⊥EF ，故AE ∥DG ，又在直角梯形ABCD 中，EF ∥BC 且EF =12(BC +AD )=3，故EF ∥AD ，故四边形AEGD 为平行四边形，故DG =AE =2，GF =1，在Rt △BEF 中，tan ∠BFE =23，因为∠BFE 为三角形的内角，故sin ∠BFE =213，故GH =1×sin ∠BFE =213，故tan ∠DHG =2213=13，因为∠DHG 为三角形的内角，故cos ∠DHG =1414．所以二面角D -BF -E 的平面角的余弦值为1414．【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，是中档题．19.如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，并且BC =2AD =2AB ，点P 在平面ABCD 内的投影恰为BD 的中点M ．(Ⅰ)证明：CD ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PM =AD ，求直线PA 与CD 所成角的余弦值．【分析】(Ⅰ)建立适当的空间直角坐标系，求出各点坐标，通过向量法证明CD与平面PBD 内两条相交直线垂直，从而通过线面垂直的判定定理即可得出CD ⊥平面PBD ；(Ⅱ)根据已知条件求出CD ⋅PA 的值，再分别求出PA ，CD 的长度，从而利用空间向量夹角公式即可求解直线PA 与CD 所成角的余弦值．【解答】解：(Ⅰ)证明：根据题意可得PM ⊥平面ABCD ，所以平面PBD ⊥平面ABCD ，在平面PBD 内过点B 作直线BQ ∥PM ，则BQ ⊥平面ABCD ，如图，以点B 为坐标原点，BC ，BA ，BQ 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，并设AB =a ，PM =b ，则B (0，0，0)，C (2a ，0，0)，D (a ，a ，0)，M (a 2，a 2，0)，P (a 2，a 2，b )，所以CD =(-a ，a ，0)，BP =(a 2，a 2，b )，BD =(a ，a ，0)，所以CD ⋅BP =a 2×(-a )+a 2×a +b ×0=0，CD ⋅BD =a ×(-a )+a ×a +0×0=0，所以CD ⊥BP ，CD ⊥BD ，又BP 与BD 是平面PBD 内两条相交直线，根据线面垂直的判定定理可得CD ⊥平面PBD ．(Ⅱ)若PM =AD ，则由(Ⅰ)可得PA =(-a 2，a 2，-a )，又CD =(-a ，a ，0)，所以CD ⋅PA =a 2，|PA |=62a ，|CD |=2a ，设直线PA 与CD 所成角为θ，cos θ=|cos <CD ，PA >|=|CD ⋅PA |PA ||CD ||=33，所以直线PA与CD所成角的余弦值为3 3．【点评】本题主要考查了立体几何中的线面位置关系和线线角的相关计算，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查逻辑推理核心素养、直观想象核心素养和数学运算核心素养，属于中档题．。
春季高考二轮复习--《立体几何》
第九章《立体几何》一、选择题：1、如图，点P 、Q 、M 、N 分别在正方体的四条棱上，并且是所有棱的中点，则直线PQ 与MN 成异面直线的一个图是（ ）2、已知正方体1111ABCD A B C D -，下列结论错误的是（ ）A 、AD 平面1D BCB 、1DC 与平面ABCD 所成的角为045C 、与所成的角为045D 、与所成的角为0453、已知空间四边形ABCD 中，EFGH 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，给出下列四个命题，（1）AC 与BD 是相交直线；（2）//AB DC （3）四边形EFGH 是平行四边形（4）//EH 平面BCD ，其中真命题的个数是（ ）A 、4B 、3C 、2D 、14、下列四个命题，其中真命题的个数是（ ）（1）过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面平行;（2）过平面外一点，有且只有一条直线与已知平面垂直；（3）平行于同一个平面的两个平面平行；（4）垂直于同一个平面的两个平面平行。
A 、1B 、2C 、3D 、45、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，下列结论正确的是（ ） A 、异面直线AD 1与CD所成的角045B 、直线AD 1与平面ABCD 所成的角为060C 、直线AD 1与CD 1的夹角是090D 、143D BCD V -= 6、正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高和底面边长的比为（ ）A 、2:1B 、2:3C 、1:2D 、1：27、一个正方体的内切球与外接球的半径之比是（ ）A 、1:2B 、1:3C 、1:4D 、1：38、一个圆锥的底面半径为3，母线长为2，则母线与底面所成的角是（ ）度。
A 、30B 、45C 、60D 、无法确定9、长方体的表面积为22，所有棱长之和为24，则对角线的长为（ ）A 、11B 、12C 、13D 、1410、如图所示，AA 1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA 1异面的棱共有( )A ．3条B ．4条C ．5条D ．6条11、下列四种叙述：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确说法的序号是( )A ．②③④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③12、若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )A ．5部分B ．6部分C ．7部分D ．8部分13、能得出直线a 与平面α平行的条件是( )A ．a ⊄α，b ⊂α，a ∥bB ．b ⊂α，a ∥bC ．b ⊂α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cD ．b ⊂α，A ∈a ，B ∈a ，C ∈b ，D ∈b ，且AC ＝BD14、对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是( )A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥αB ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD ．如果m ∥α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n15、两个平面平行的条件是( )A ．一个平面内一条直线平行于另一个平面B ．一个平面内两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面D ．两个平面都平行于同一条直线16、已知m 、n 表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，则下列命题中正确的个数是( )①若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β；②若m 、n 相交且都在平面α、β外，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β；③若m ∥α，m ∥β，则α∥β；④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.A ．1B ．2C ．3D ．417、若命题“如果平面α内有三点到平面β的距离相等，那么α∥β”是正确的，则这三点必须满足的条件是( )A ．这三点不共线B ．这三点不共线且在β的同侧C ．这三点不在β的同侧D ．这三点不共线且在β的异侧18、PO 垂直于△ABC 所在平面α，垂足为O ，若点P 到△ABC 的三边的距离相等，且点O 在△ABC 内部，则点O 是△ABC 的( )A ．重心 B ．垂心 C ．外心 D ．内心19、设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是( )A ．过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交B ．过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直C ．过a 一定可以作一个平面与b 垂直D ．过a 一定可以作一个平面与b 平行20、在空间四边形ABCD 中，若AB ＝BC ，AD ＝CD ，E 为对角线AC 的中点，下列判断正确的是( )A ．平面ABD ⊥平面BDCB ．平面ABC ⊥平面ABD C ．平面ABC ⊥平面ADC D ．平面ABC ⊥平面BED二、填空题：21、已知底面半径为1的圆柱，其侧面展开图是正方形，则此圆柱的面积是 。
高考数学(理)二轮练习：立体几何(含答案)
立体几何1．一个物体的三视图的排列规则是俯视图放在正(主)视图下面，长度与正(主)视图一样，侧(左)视图放在正(主)视图右面，高度与正(主)视图一样，宽度与俯视图一样，即“长对正，高平齐，宽相等”．在画一个物体的三视图时，一定注意实线与虚线要分明．[问题1] 如图，若一个几何体的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图均为面积等于2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．答案 43 2．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x 轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y 轴的线段平行性不变，长度减半．”[问题2] 如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________．答案 2 23．简单几何体的表面积和体积(1)S 直棱柱侧＝c ·h (c 为底面的周长，h 为高)．(2)S 正棱锥侧＝12ch ′(c 为底面周长，h ′为斜高)． (3)S 正棱台侧＝12(c ′＋c )h ′(c 与c ′分别为上、下底面周长，h ′为斜高)． (4)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式S 圆柱侧＝2πrl (r 为底面半径，l 为母线)，S 圆锥侧＝πrl (同上)，S 圆台侧＝π(r ′＋r )l (r ′、r 分别为上、下底的半径，l 为母线)．(5)体积公式V 柱＝S ·h (S 为底面面积，h 为高)，V 锥＝13S ·h (S 为底面面积，h 为高)， V 台＝13(S ＋SS ′＋S ′)h (S 、S ′为上、下底面面积，h 为高)． (6)球的表面积和体积S 球＝4πR 2，V 球＝43πR 3.[问题3] 如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为( )A ．4πB ．3πC ．2π D.32π 答案 D4．空间直线的位置关系：①相交直线——有且只有一个公共点．②平行直线——在同一平面内，没有公共点．③异面直线——不在同一平面内，也没有公共点．[问题4] 在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的中点，则直线EG 和FH 的位置关系是________．答案 相交5．空间直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交．②直线与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．③直线与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．(2)平面与平面①位置关系：平行、相交(垂直是相交的一种特殊情况)．②平面与平面平行的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．③平面与平面垂直的判定定理和性质定理：判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．[问题5] 已知b ，c 是平面α内的两条直线，则“直线a ⊥α”是“直线a ⊥b ，直线a ⊥c ”的________条件．答案 充分不必要6．空间向量(1)用空间向量求角的方法步骤①异面直线所成的角若异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，它们所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|. ②直线和平面所成的角利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：方法一 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两条直线的方向向量的夹角(或其补角)．方法二 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．③利用空间向量求二面角也有两种方法：方法一 分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小．方法二 通过平面的法向量来求，设二面角的两个面的法向量分别为n 1和n 2，则二面角的大小等于〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．易错警示：①求线面角时，得到的是直线方向向量和平面法向量的夹角的余弦，容易误以为是线面角的余弦．②求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．(2)用空间向量求A 到平面α的距离：可表示为d ＝|n ·AB →||n |. [问题6] (1)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于________．(2)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC 1D 1的距离为________．答案 (1)64 (2)24解析 (1)方法一 取A 1C 1的中点E ，连接AE ，B 1E ，如图．由题意知B 1E ⊥平面ACC 1A 1，则∠B 1AE 为AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角．设正三棱柱侧棱长与底面边长为1，则sin ∠B 1AE ＝B 1E AB 1＝322＝64.方法二如图，以A1C1中点E为原点建立空间直角坐标系E－xyz，设棱长为1，则A⎝⎛⎭⎫12，0，1，B1⎝⎛⎭⎫0，32，0，设AB1与平面ACC1A1所成的角为θ，EB1→为平面ACC1A1的法向量．则sin θ＝|cos〈AB1→，EB1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12，32，－1·⎝⎛⎭⎫0，32，02×32＝64.(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，C1(0,1,1)，O⎝⎛⎭⎫12，12，1.设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·AB→＝0，n·AD1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y＝0，－x＋z＝0.令z＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝1，y＝0，∴n＝(1,0,1)，又OD1→＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0，∴O到平面ABC1D1的距离d＝|n·OD1→||n|＝122＝24.易错点1三视图认识不清致误例1一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为() A．48 B．32＋817C ．48＋817D ．80错解 由三视图知，该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4，宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是正方形，边长为4. 所以表面积S ＝42×3＋2×4＋2×12(2＋4)×4＝48＋8＋24＝80. 找准失分点 不能准确把握三视图和几何体之间的数量关系，根据正视图可知，侧视图中等腰梯形的高为4，而错认为等腰梯形的腰为4.正解 由三视图知该几何体的直观图如图所示，该几何体的下底面是边长为4的正方形；上底面是长为4、宽为2的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另两个侧面是矩形，宽为4，长为42＋12＝17.所以S 表＝42＋2×4＋12×(2＋4)×4×2＋4×17×2＝48＋817. 答案 C易错点2 对几何概念理解不透致误例2 给出下列四个命题：①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；④底面是矩形的平行六面体是长方体．其中正确的命题是__________(写出所有正确命题的序号)．错解1 ①②③错解2 ②③④找准失分点 ①是错误的，因为棱柱的侧棱要都平行且相等；④是错误的，因为长方体的侧棱必须与底面垂直．正解 ②③易错点3 对线面关系定理条件把握不准致误例3 已知m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题：①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α，或n ⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β；⑤若m 、n 为异面直线，则存在平面α过m 且使n ⊥α.其中正确的命题序号是________．错解 ②③④⑤找准失分点③是错误的；⑤是错误的．正解①是错误的．如正方体中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交线为AA′.直线AC⊥AA′，但AC不垂直面ABB′A′，同时AC也不垂直面ADD′A′.②正确．实质上是两平面平行的性质定理．③是错误的．在上面的正方体中，A′C不垂直于平面A′B′C′D′，但与B′D′垂直．这样A′C就垂直于平面A′B′C′D′内与直线B′D′平行的无数条直线．④正确．利用线面平行的判定定理即可．⑤错误．从结论考虑，若n⊥α且m⊂α，则必有m⊥n，事实上，条件并不能保证m⊥n.故错误．答案②④1．已知三条不同直线m，n，l与三个不同平面α，β，γ，有下列命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若m，n为异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题①错误；由直线与平面平行的定义知命题②正确；由于垂直于同一个平面的两个平面可能平行还可能相交，因此命题③错误；过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题④正确．故选C.2．设m，n是空间两条直线，α，β是空间两个平面，则下列选项中不正确的是()A．当m⊂α时，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分条件B．当m⊂α时，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件C．当n⊥α时，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要条件D．当m⊂α时，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要条件答案 A解析当m⊂α时，若n∥α可得m∥n或m，n异面；若m∥n可得n∥α或n⊂α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要条件，答案选A.3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A ．64B ．72C ．80D ．112答案 B解析 根据三视图，该几何体为下面是一个立方体、上面两个三棱锥，所以V ＝4×4×4＋2×13×(12·4·2)×3＝72，故选B. 4．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q 分别是AA 1，A 1D 1，CC 1，BC 的中点，给出以下四个结论：①A 1C ⊥MN ；②A 1C ∥平面MNPQ ；③A 1C 与PM 相交；④NC 与PM 异面．其中不正确的结论是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ 答案 C解析 作出过M ，N ，P ，Q 四点的截面交C 1D 1于点S ，交AB 于点R ，如图所示中的六边形MNSPQR ，显然点A 1，C 分别位于这个平面的两侧，故A 1C 与平面MNPQ 一定相交，不可能平行，故结论②不正确．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．2＋ 2B ．3＋ 2C ．1＋2 2D ．5答案 A解析 由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，如图所示．该几何体的底面是边长为1的正方形，故S 1＝12＝1.侧棱P A ⊥面ABCD ，且P A ＝1，故S △P AB ＝S △P AD ＝12×1×1＝12， 而PD ⊥DC ，CB ⊥PB ，且PB ＝PD ＝2，所以S △PBC ＝S △PDC ＝12×2×1＝22. 所以该几何体的表面积为S ＝1＋2×12＋2×22＝2＋ 2.故选A. 6．如图，已知六棱锥P —ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )A ．PB ⊥ADB ．平面P AB ⊥平面PBCC ．直线BC ∥平面P AED ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45°答案 D解析 若PB ⊥AD ，则AD ⊥AB ，但AD 与AB 成60°角，A 错误；平面P AB 与平面ABD 垂直，所以平面P AB 一定不与平面PBC 垂直，B 错误；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，C 错误；直线PD 与平面ABC 所成角为∠PDA ，在Rt △P AD 中，AD ＝P A ， ∴∠PDA ＝45°，D 正确．7．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB ＝AC ，BD ＝CD ，则BC ⊥AD ；②若AB ＝CD ，AC ＝BD ，则BC ⊥AD ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ；④若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则BC ⊥AD .其中正确的是________．(填序号)答案 ①④解析 取线段BC 的中点E ，连接AE ，DE ，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴BC ⊥AE ，BC ⊥DE ，∴BC ⊥平面ADE ，∵AD ⊂平面ADE ，∴BC ⊥AD ，故①正确．设点O 为点A 在平面BCD 上的射影，连接OB ，OC ，OD ，∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，∴OB ⊥CD ，OC ⊥BD ，∴点O 为△BCD 的垂心，∴OD ⊥BC ，∴BC ⊥AD ，故④正确，易知②③不正确，填①④.8.如图，四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2，∠ABC ＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小为________． 答案 π3解析 由∠ABC ＝∠DCB ＝π2知， BA →与CD →的夹角θ就是二面角A －BC －D 的平面角．又AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴AD →2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝AB →2＋BC 2→＋CD →2＋2AB →·CD →.因此2AB →·CD →＝(23)2－12－32－22＝－2，∴cos(π－θ)＝－12，且0<π－θ<π， 则π－θ＝23π，故θ＝π3. 9．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ∥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中为真命题的是________．(填序号)答案 ①④解析 对命题①，则l ⊥α，α∥β得，l ⊥β，m ⊂β，∴l⊥m，故①正确．对命题②，l⊥mD⇒/l⊥β，则l⊥mD⇒/α∥β，故②错误．对命题③，当α⊥β时，l与m也可能相交或异面或平行，故③错误．对命题④，由l⊥α，l∥m得m⊥α，又m⊂β，∴α⊥β，故④正确．10．三棱锥D－ABC及其三视图中的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则棱BD的长为________．答案4 2解析由正(主)视图知CD⊥平面ABC，设AC中点为E，则BE⊥AC，且AE＝CE＝2；由侧(左)视图知CD＝4，BE＝23，在Rt△BCE中，BC＝BE2＋EC2＝(23)2＋22＝4，在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝42＋42＝4 2.故答案为4 2.。
高三第二轮复习立体几何客观题组专题训练2
高三第二轮复习立体几何客观题组专题训练2一．选择题1．三条平行线所确定的平面的个数是A ．三个B ．两个C ．一个D ．一个或三个 2．空间交于一点的四条直线最多能够确定的平面的个数是 A ．4 B ．5 C ．6 D ．73．四条线段顺次首尾相接，它们所在的直线最多能够确定的平面的条数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．直线l 1∥l 2,l 1上取3点，l 2上取2点，由这五个点能确定的平面的个数是 A ．1 B ．3 C ．6 D ．95．空间三个平面两两相交，则它的交线的条数是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或36．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是A ．一定平行B ．一定相交C ．一定异面D ．相交或异面7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线CD 1和BC 1所成角的大小是 A ．45° B ．60° C ．90° D ．120°8．直线l 1∥l 2，a,b 与直线l 1和l 2都垂直，则a,b 的关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行，相交，异面都有可能 9．直线m,n 与异面直线a,b 相交于不同的四点，则m,n 的位置关系是 A ．平行 B ．相交 C ．垂直 D ．无公共点10．空间四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 是A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．正方形11．a,b 是异面直线，a ⊂平面α，b ⊂平面β，α∩β＝c,则直线c A ．同时与a,b 相交 B ．至少和a,b 中的一条相交C ．至多和a,b 中的一条相交D ．与a,b 中的一条相交，一条平行12．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，表面的对角线与AD 1成60°的直线的条数有 A ．4 B ．6 C ．8 D ．1013．a,b 是异面直线，a ⊥b ，c 与a 成30°角，则c 与b 所成角的范畴是 A ．[60°,90°] B ．[30°,90°] C ．[60°,120°] D ．[30°,120°]14．空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长差不多上1，点P 在边AB 上移动，点Q 在CD 上移动，则点P 和Q 的最短距离是23432221． ． ． ．D C B A 15．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，BB 1的中点，则A 1E 与C 1F 所成角的余弦值是521522221D C B A ． ． ． 16．直线a 是平面α的斜线，b ⊂α,当a 与b 成60°的角，且b 与a 在α内的射影成45°时a 与α所成的角为A ．60°B ．45°C ．90°D ．135° 17．a,b 是两条异面直线，下列结论正确的是A ．过不在a,b 上的任一点，可作一个平面与a,b 都平行B ．过不在a,b 上的任一点，可作一条直线与a,b 都相交C ．过不在a,b 上的任一点，可作一条直线与a,b 都平行D ．过a 能够同时只能够作一个平面与b 平行18．直角三角形ABC 的斜边BC 在平面α内，顶点A 在平面α外，则ΔABC 的两条直角边在平面α内的射影与斜边所组成的图形只能是 A ．一条线段 B ．一个锐角三角形C ．一个钝角三角形D ．一条线段或一个钝角三角形 19．与空间四边形ABCD 四个顶点距离相等的平面的个数有 A ．1 B ．5 C ．6 D ．720．两条异面直线在同一平面内的射影是 A ．两条相交直线 B ．两条平行直线C ．一条直线及直线外一点D ．以上三种情形都有可能21．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，PA ⊥平面ABCD 且PA ＝1，则P 到对角线DB 的距离是129515175132921． ． ． ．D C B A 22．已知直线a ∥平面α，a 与平面α相距4，平面α内直线b 与c 相距6，且a ∥b,同时相距5，则a 与c 相距565975975 或． ． 或． ．D C B A23．平面α的斜线与α所成的角是30°，则它和α内所有只是斜足的直线所成的角中，最大的角是 A ．30° B ．90° C ．150° D ．180°24．P 点在ΔABC 所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影，PA ，PB ，PC ，两两相互垂直，则O 是ΔABC 的A ．重心B ．内心C ．垂心D ．外心25．四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ，则A 在平面BCD 上的射影是ΔBCD 的 A ．重心 B ．内心 C ．垂心 D ．外心26．在ΔABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，则P 到BC 的距离是5453525． ． ． ．D C B A27．P 点在ΔABC 所在的平面外，O 点是P 点在平面ABC 内的射影，P 到ΔABC 三边的距离相等，且O 在ΔABC 内，则O 是ΔABC 的A ．重心B ．内心C ．垂心D ．外心28．P 为平行四边形ABCD 所在平面外的一点，且P 到四边形ABCD 的四条边的距离相等，则四边形ABCD 是A ．正方形B ．菱形C ．矩形D ．一样的平行四边形 29．与两相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是 A ．都平行 B ．都相交C ．在两个平面内D ．至少和其中一个平行 30．在直角坐标系中，设A （3，2）B （-2，-3），沿y 轴把直角坐标系平面折成120°的二面角后，AB 的长度是11232246． ． ． ．D C B A31．一个山坡面与水平面成60°的二面角，坡脚的水平线为AB ，甲沿山坡自P 朝垂直于AB 的方向走30米，同时乙沿水平面自Q 朝垂直于AB 的方向走30米，P ，Q 差不多上AB 上的点，若PQ ＝10米，则这时两人之间的距离是米．米 ．米 ． 米 ．19103301010720D C B A32．二面角α—a —β的平面角为120°，在面α内，AB ⊥a 于B ，AB=2，在β内CD ⊥a 于D ，CD ＝3，BD ＝1，M 是棱a 上的一个动点，则AM ＋CM 的最小值是62262252． ． ． ．D C B A33．ABCD 是正方形，以BD 为棱把它折成直二面角A －BD －C ，E 是CD 的中点，则∠AED 的大小为A ．45°B ．30°C ．60°D ．90°34．P 是ΔABC 外的一点，PA ，PB ，PC 两两相互垂直，PA ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则ΔABC 的面积为4496112729． ． ． ．D C B A 35．在ΔABC 中，AB ＝9，AC ＝15，∠BAC ＝120°，P 是ΔABC 所在平面外的一点，P 到三点间的距离差不多上14，则P 到ΔABC 所在平面的距离是 A ．7 B ．9 C ．11 D1336．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD ，若PA=AB ，则平面APB 与平面CDP 所成二面角的度数是A ．90°B 。
高考数学二轮复习提高题专题复习立体几何多选题练习题含答案
高考数学二轮复习提高题专题复习立体几何多选题练习题含答案一、立体几何多选题1．已知正方体1111 ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 所在平面内一动点，则下列命题正确的有（ ）A ．若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πB ．若N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线C ．若1D N 与AB 所成的角为3π，则N 的轨迹为双曲线 D ．若MN 与平面ABCD 所成的角为3π，则N 的轨迹为椭圆【答案】BC 【分析】对于A ，连接MN ，ND ，DP ，得到直角MDN △，且P 为斜边MN 的中点，所以1PD =，进而得到P 点的轨迹为球面的一部分，即可判断选项A 错误；对于B ，可知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，利用抛物线定义知B 正确；对于C ，建立空间直角坐标系，设(,,0)N x y ，利用空间向量求夹角知122121cos3224D N AB y x y D N ABπ⋅===⨯++⋅，化简可知N 的轨迹为双曲线；对于D ，MN 与平面ABCD 所成的角为3MND π∠=，3ND =，可知N 的轨迹是以D 为圆心，33为半径的圆周； 【详解】对于A ，如图所示，设P 为MN 的中点，连接MN ，ND ，DP ，由正方体性质知MDN △为直角三角形，且P 为MN 的中点，2MN =，根据直角三角形斜边上的中线为斜边的一半，知MDN △不管怎么变化，始终有1PD =，即P 点的轨迹与正方体的面围城的几何体是一个以D 为球心，1为半径的球的18，其面积214182S ππ=⨯⨯=，故A 错误；对于B ，由正方体性质知，1BB ⊥平面ABCD 由线面垂直的性质定理知1NB BB ⊥，即NB 是点N 到直线1BB 的距离，在平面ABCD 中，点N 到定点B 的距离与到定直线DC 的距离相等，所以点N 的轨迹是以点B 为焦点，直线DC 为准线的抛物线，故B 正确； 对于C ，如图以D 为直角坐标系原点，建立空间直角坐标系，(,,0)N x y ，1(0,0,2)D ，(0,2,0)A ，(2,2,0)B ，则1(,,2)D N x y =-，(0,2,0)AB =，利用空间向量求夹角知122121cos3224D N AB y x y D N ABπ⋅===⨯++⋅，化简整理得：2234y x -=，即221443y x -=，所以N 的轨迹为双曲线，故C 正确；对于D ，由正方体性质知，MN 与平面ABCD 所成的角为MND ∠，即3MND π∠=，在直角MDN △中，3ND =，即N 的轨迹是以D 3D 错误； 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查立体几何与解析几何的综合，解题的关键是抓住解析几何几种特殊曲线的定义，考查学生的逻辑推理能力，转化与划归能力与运算求解能力，属于难题.2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE .以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥ B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为2D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 5 【答案】AC 【分析】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，易证得平面1//B MN 平面1A BE ，可得点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，根据等腰三角形的性质得1B F MN ⊥，即有11B F CD ⊥，A 正确；当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，可判断B 错误；根据平面1//B MN 平面1A BE ，11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，计算可知C 正确；【详解】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，1//MN A B ，从而平面1//B MN 平面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．取MN 的中点F ，因为1B MN △是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=1tan 3023︒<=，所以B 错误； 平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B C B FC C F ∠==22C 正确；因为当F 为1C E 与MN 的交点时，截面为菱形1AGC E （G 为1BB 的交点），面积为62，故D 错误. 故选：AC.【点睛】本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合性较强，属于较难题．3．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A DC 成立 C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立D ．四棱锥1A BCDE -2【答案】CD 【分析】利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为24. 【详解】如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ， 则45CDF ∠=︒，22DF =，故212254222222CF =+-⨯⨯=， 故222DC DF CF ≠+即2CFD π∠≠．若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥， 因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，因为1AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值， 由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE平面BCDE DE =，1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故122A F =， 又四边形BCDE 的面积为13211122⨯-⨯⨯=， 故此时体积为13223224⨯⨯=D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，则1//,2IM CD IM CD =，而1//,2BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确． 故选：CD.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.4．在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，P 、Q 、R 分别是AB 、1BB 、1A C 上的动点，下列结论正确的是（ ）A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥C ．当1AR A C ⊥时，1ARD R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABCD 【分析】本题先建立空间直角坐标系，再运用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设(2,,0)P a ，023a ⎡⎤∈⎣⎦，，(2,23,)Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到(22,3,22)R λλλ--，[]0,1λ∈. 1(2,,2)D P a =-，(2,0,)CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；1(22,23,2)D R λλλ=--，12(22)2D R CQb λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C ⊥，则1(2,23,22)(2,23,2)412440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=+-+=，解得：15λ=，此时122328232(,,)(,,)0555555AR D R ---⋅=⋅=，1AR D R ⊥，C 正确；113AC A R =，则4234(,,)333R ，14232(,,)333D R =-，设平面1BDC 的法向量为(,,)n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(3,1,3)n =-，故10n D R ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用，是偏难题.5．（多选题）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【分析】作出四面体P ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+，22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=,3PA PB PC PQ ∴++=即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确； 对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=,0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=,()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=,0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+22211122222222222222222=++-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2MN ∴=，故D 错误.故选：ABC 【点睛】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．6．如图，线段AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//EF AB ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，且2AB =，1EF AD ==，则下述正确的是（ ）A ．//OF 平面BCEB ．BF ⊥平面ADFC ．点A 到平面CDFE 的距离为217D ．三棱锥C BEF -5π 【答案】ABC 【分析】由1EF OB ==，//EF OB ，易证//OF 平面BCE ，A 正确；B ， 由所矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直， 易证AD ⊥平面ABEF ，所以AD BF ⊥，由线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，易证故B 正确.C ，由C DAF A CDF V V --=可求点A 到平面CDFE 21，C 正确. D ，确定线段DB 的中点M 是三棱锥C BEF -外接球心，进一步可求其体积，可判断D 错误. 【详解】解：1EF OB ==，//EF OB ，四边形OFEB 为平行四边形，所以//OF BE ，OF ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以//OF 平面BCE ，故A 正确.线段AB 为圆O 的直径，所以BF FA ⊥，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面垂直，平面ABCD 平面ABEF AB =，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥平面ABEF ，BF ⊂平面ABEF ，所以AD BF ⊥ AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD AF A =， 所以BF ⊥平面ADF ，故B 正确.1OF OE EF ===，OFE △是正三角形，所以1EF BE AF ===， //DA BC ，所以BC ⊥平面ABEF ，BC BF ⊥，3BF =，22312CF CB BF =+=+=，22112DF DA AF =+=+=，2AB CD ==，CDF 是等腰三角形，CDF 的边DF 上的高22222142222DF CF ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 11472222CDF S =⨯⨯=△， //DA BC ，AD ⊂平面ADF ，BC ⊄平面ADF ， //BC 平面ADF ，点C 到平面ADF 的距离为3BF =， 111122DAF S =⨯⨯=△，C DAF A CDF V V --=，设点A 到平面CDFE 的距离为h ，1133ADF CFD S FB S h ⨯⨯=⨯⨯△△，111733232h ⨯⨯=⨯⨯， 所以217h =，故C 正确. 取DB 的中点M ，则//MO AD ，12MO =，所以MO ⊥平面CDFE ，所以21512ME MF MB MC ⎛⎫====+= ⎪⎝⎭所以M 是三棱锥C BEF -5，三棱锥C BEF -外接球的体积为334433V r ππ==⨯=⎝⎭，故D 错误， 故选：ABC. 【点睛】综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的外接球的体积求法，难题.7．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，a ⎡∈⎣，()Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,22R λλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,2D R λλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确； 1AR A C ⊥，则()()12,222212440AR AC λλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=，14λ=，此时113313,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；113AC A R =，则4433R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14233D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.8．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（ ）．A 2B ．侧棱与底面所成的角为4π C 2 D ．侧棱与底面所成的角为3π 【答案】AB 【分析】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a ，由21183V a h ==得254h a=，然后可得侧242108a a+32a =时侧面积取得最小值，此时3h =，然后求出棱锥的高与底面边长的比和SAO ∠即可选出答案. 【详解】设四棱锥S ABCD -的高为h ，底面边长为a 可得21183V a h ==，即254h a= 所以其侧面积为2222244215410842244a a a h a a a⋅⋅+=+=+令()242108f a a a =+，则()23321084f a a a⨯'=- 令()233210840f a a a⨯'=-=得32a = 当(0,32a ∈时()0f a '<，()f a 单调递减当()32,a ∈+∞时()0f a '>，()f a 单调递增所以当32a =时()f a 取得最小值，即四棱锥的侧面积最小 此时3h =所以棱锥的高与底面边长的比为22，故A 正确，C 错误 侧棱与底面所成的角为SAO ∠，由3h =，32a =可得3AO = 所以4SAO π∠=，故B 正确，D 错误故选：AB 【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合题.9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ）A ．若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个B ．若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧C ．若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D ．若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π 【答案】ABD 【分析】若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()313PD =∈，，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为3=，可判断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为32=，可得D . 【详解】 如图：∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =11AA =， ∴()2212213DB =+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；∵()313PD =，，11DD =，则12PD P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确； 连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为()22213+=C 错误；由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接2221322122++=，面积为94π，故D 正确． 故选：ABD ． 【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.10．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）A ．11A C ⊥平面11BB D D B ．1BD ⊥平面1ACBC ．1BD 与底面11BCC B 2 D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条 【答案】ABD 【分析】由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ． 【详解】对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥， 由于四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 1111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，1D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ， 1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥，1ACB C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确；对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且111112tan 2C D C BD BC ∠==，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221cos ,21DA m DA m DA my z ⋅<>===⋅++， 1122111cos ,221CB m zCB m CB my z ⋅+<>===⋅⋅++， 整理可得2222341y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-12z =-由已知可得3z ≤，所以，12z =-+22y =± 因此，过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条，D 选项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法： 一是线面垂直的判定定理； 二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．。
高三第二轮复习专题测试题(六)(数学-立体几何)
B1
∵ AB1⊥ A1B，∴ D1E⊥AB1，
于是 D1 E⊥平面 AB1F D1E⊥ AF． 连结 DE，则 DE 是 D1E 在底面 ABCD内的射影．
A
D
∴ D1E⊥AF DE⊥AF．
B
C
E
∵ ABCD是正方形， E 是 BC的中点． ∴当且仅当 F 是 CD 的中点时， DE⊥ AF， 即当点 F 是 CD 的中点时， D1E⊥平面 AB1F． （ II）当 D1E⊥平面 AB1F 时，由（ I）知点 F是 CD 的中点． 又已知点 E 是 BC 的中点，连结 EF，则 EF∥ BD． 连结 AC， 设 AC 与 EF 交于点 H，则 CH⊥ EF，连结 C1H，则 CH 是 C1H 在底面 ABCD内的射影． C1H⊥ EF，即∠ C1HC 是二面角 C1—EF—C 的平面角．
（D ）
（ A）
3 2
2 （ B） 2
15 （ C） 15
6 （ D） 3
5、一个三棱锥 S— ABC 的三条侧棱 SA、SB、SC两两互相垂直，且长度分别为 1， 6 ,3 已知该三棱锥
的四个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为
（A ）
（ A） 16π
（ B） 32π
（ C） 36π
（ D） 64π
的两线段之比为
（D ）
1： 3，则此截面把一条侧棱分成
（ A） 1：3
（B） 1：2
（C）1： 3
（ D） 1： 3 —1
3、正四面体 P— ABC 中， M 为棱 AB 的中点，则 PA 与 CM 所成角的余弦值为（ B ）
（ A） 3 2
3 （ B） 6
3 （ C） 4
3 （ D） 3
立体几何第二轮复习题
一、选择题1．下列命题正确的是（）A．两组对边分别相等的四边形一定是平行四边形B．两组对边分别平行的四边形一定是平行四边形C．不重合的两点确定一条直线，不重合的三点确定一个平面D．可以无限延展的面就是平面2．如果空间四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接空间四边形的中点所围成的四边形是（）A. 平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形3．直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则下列说法正确的是（） A．a∥b B．a⊥bC．a与b垂直且异面 D．a与b垂直且相交4. 下列条件中，可以确定一个平面的是（）A．两条直线 B．相交于一点的两条直线C．相交于同一点的三条直线 D．三条不相交的直线5．下列命题正确的是（）A．平行于同一个平面的两条直线平行B．与同一个平面所成角相等的两条直线平行C．垂直于同一条直线的两直线平行D．垂直于同一个平面的两条不重合的直线平行6．给出以下四个命题（其中m，n是直线，α是平面）：（1）若m∥α，n∥α，则m∥n；（2）若m∥α，则m∥α内所有直线；（3）m⊥α，n⊥α，则m∥n；（4）若m⊥α，则m⊥α内所有的直线；其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．若l是平面α的斜线，直线m 平面α，且l在平面α内的射影与直线m平行，则（）A．m∥l B．m⊥l C．m与l相交 D．m与l异面8．两平面α、β都垂直于平面γ，且α∩γ=a，β∩γ=b。
（1）若a⊥b，则α⊥β；（2）若a∥b，则α∥β；（3）若α⊥β，则a⊥b；（4）若α∥β，则a∥b。
以上四个命题正确的有个。
A．1 B．2 C．3 D．49．二、填空题1．没有公共点是两条直线异面的条件。
2. 正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线A1C1与B1C所成的角为。
3. 三棱锥P—ABC中，PA=PB=PC=2cm，PA与底面ABC所成角为45°，则底面△ABC的外接圆面积为。
4. 正方体ABCD—A1B1C1D1的底面中心是O，点E是DD1的中点，AE与A1O所成的角是。
高三二轮立体几何大题训练
立体几何大题1.如图1，等腰梯形ABCD中，BC∥AD，CE⊥AD，AD＝3BC＝3，CE＝1.求△CDE沿CE折起得到四棱锥F－ABCE(如图2)，G是AF的中点.(1)求证：BG∥平面ECE；(2)当平面FCE⊥平面ABCE时，求三棱锥F－BEG的体积.2.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC；(2)求二面角E－BC－A的余弦值.3.如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.(1)证明MN∥平面P AB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.4.如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点.(1)求证：GF∥平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.5. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面P AD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，P A＝PD＝2，BC＝12AD＝1，CD＝ 3.(1)求证：平面PQB⊥平面P AD；(2)在棱PC上是否存在一点M，使二面角M－BQ－C为30°，若存在，确定M 的位置；若不存在，请说明理由.6.如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.(1)求证：PD ⊥平面P AB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP 的值；若不存在，说明理由.7.(2015·山东卷)如图，在三棱台DEF －ABC 中，AB ＝2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点.(1)求证：BD ∥平面FGH ；(2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF＝DE, ∠BAC＝45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.8.(2016·浙江卷)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求二面角B－AD－F的平面角的余弦值.。
高考数学二轮复习立体几何多选题复习题附解析
高考数学二轮复习立体几何多选题复习题附解析一、立体几何多选题1．如图①，矩形ABCD 的边2BC =，设AB x =，0x >，三角形BCM 为等边三角形，沿BC 将三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -如图②，则下列说法正确的有（ ）A ．若T 为BC 中点，则在线段MC 上存在点P ，使得//PD 平面MATB ．当)3,2x ∈时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCDC ．若使点M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，则此时该四棱锥的体积最大值为1 D ．若1x =，且当点M 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段AD 上时，三棱锥M HAB -6322++【答案】BCD 【分析】对于A ，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，此时，DP 与MN 必有交点； 对于B ，取AD 的中点H ，表示出2223MH MT HT x --，验证当)3,2x ∈时，无解即可； 对于C ，利用体积公式21233V x x =⨯⨯-，借助基本不等式求最值即可； 对于D ，要求外接球半径与内切球半径，找外接圆的圆心，又内接圆半径为2323r =++【详解】对于A ，如图，延长AT 与DC 的延长线交于点N ，则面ATM ⋂面()MDC N MN =．此时，DP 与MN 必有交点，则DP 与面ATM 相交，故A 错误； 对于B ，取AD 的中点H ，连接MH ，则MH AD ⊥．若面MAD ⊥面ABCD ，则有2223MH MT HT x =-=- 当)3,2x ∈时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面MAD ⊥平面ABCD故B 正确；对于C ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，由B 可知，(3x ∈，所以()22222221223232331333232x x V x x x x ⎛⎫+-⎛⎫=⨯⨯-=-≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当223x x =-，即6x =时等号成立．故C 正确； 对于D ，由题可知，此时面MAD ⊥面ABCD ，且2MH =因为AHB ，MHB 都是直角三角形，所以M ABH -底面外接圆的圆心是中点，所以1R =，由等体积法，可求得内接圆半径为2323r =++，故61322R r ++=，故D 正确．故选：BCD ． 【点睛】本题从多个角度深度考查了立体几何的相关内容，注意辅助线的作法，以及求内接圆半径的公式、基本不等式、构造函数等核心思想．2．一副三角板由一块有一个内角为60°的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，090B F ∠=∠=，060,45,A D BC DE ∠=∠==，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F CAB -，取BC 中点O 与AC 中点M ，则下列判断中正确的是（ ）A ．BC FM ⊥B ．AC 与平面MOF 所成的角的余弦值为32C ．平面MOF 与平面AFB 所成的二面角的平面角为45°D ．设平面ABF 平面MOF l =，则有//l AB【答案】AD 【分析】证明BC ⊥面FOM 可判断A ；根据AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=判断B ；利用特殊位置判断C ；先证明//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可判断D ； 【详解】由三角形中位线定理以及等腰三角形的性质可得,,BC OF BC OM OM OF O ⊥⊥=，所以BC ⊥面FOM BC FM ⇒⊥，故A 正确；因为BC ⊥面FOM ，所以AC 与平面MOF 所成的角为060CMO ∠=，所以余弦值为12，故B 错误； 对于C 选项可以考虑特殊位置法，由BC ⊥面FOM 得面ABC ⊥面FOM ，所以点F 在平面ABC 内的射影在直线OM 上，不妨设点F 平面ABC 内的射影为M ，过点M 作//BC MN ，连结NF .易证AB ⊥面MNF ，则l ⊥面MNF ，所以MFN ∠为平面MOF与平面AFB 所成的二面角的平面角，不妨设2AB =，因为060A，所以23BC =，则13,12OF BC OM ===，显然MFN ∠不等于45°，故C 错误. 设面MOF 与平面ABF 的交线为l ，又因为//,AB OM AB ⊄面MOF ，OM ⊂面MOF ，所以//AB 面MOF ，由线面平行的性质定理可得：//l AB ，故D 正确； 故选：AD.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.3．如图，已知正方体1ABCD ABC D -的棱长为a ，E 是棱CD 上的动点.则下列结论中正确的有（ ）A ．11EB AD ⊥B ．二面角11E A B A --的大小为4π C ．三棱锥11A B D E -体积的最小值为313a D ．1//D E 平面11A B BA 【答案】ABD 【分析】连接1A D 、1B C ，则易证1AD ⊥平面11A DCB ，1EB ⊂平面11A DCB ，则由线面垂直的性质定理可以判断选项A 正确；二面角11E A B A --的平面角为1DA A ∠，易知14DA A π∠=，则可判断选项B 正确；用等体积法，将求三棱锥11A B D E -的体积转化为求三棱锥11E AB D -的体积，当点E 与D 重合时，三棱锥11E AB D -的体积最小，此时的值为316a ，则选项C 错误；易知平面11//D DCC 平面11A B BA ，而1D E ⊂平面11D DCC ，则根据面面平行的性质定理可得1//D E 平面11A B BA ，可判断选项D 正确. 【详解】选项A ，连接1A D 、1B C ，则由正方体1ABCD ABC D -可知，11A D AD ⊥，111A B AD ⊥，1111A DA B A =，则1AD ⊥平面11A DCB ，又因为1EB ⊂平面11A DCB ，所以11EB AD ⊥，选项A 正确； 选项B ，因为11//DE A B ，则二面角11E A B A --即为二面角11D A B A --， 由正方体1ABCD ABC D -可知，11A B ⊥平面1DA A ， 则1DA A ∠为二面角11D A B A --的平面角，且14DA A π∠=，所以选项B 正确；选项C ，设点E 到平面11AB D 的距离为d ， 则11111113A B D E E AB D AB D V V S d --==⋅，连接1C D 、1C B ，易证平面1//BDC 平面11AB D ，则在棱CD 上，点D 到平面11AB D 的距离最短， 即点E 与D 重合时，三棱锥11A B D E -的体积最小， 由正方体1ABCD ABC D -知11A B ⊥平面1ADD ， 所以1111123111113326D AB D B ADDADD a V V S A B a a --==⋅=⋅⋅=， 则选项C 错误；选项D ，由正方体1ABCD ABC D -知，平面11//CC D D 平面11A B BA ，且1D E ⊂平面11CC D D ， 则由面面平行的性质定理可知1//D E 平面11A B BA ，则选项D 正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题对于选项C 的判断中，利用等体积法求三棱锥的体积是解题的关键.4．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，以下结论正确的有（ ）A ．AC BE ⊥B ．异面直线,AE BF 所成的角为定值C ．点A 到平面BEF 的距离为定值D ．三棱锥A BEF -的体积是定值 【答案】ACD 【详解】由AC BD ⊥，1AC DD ⊥可证AC ⊥平面11D DBB ，从而AC BE ⊥，故A 正确； 取特例，当E 与1D 重合时，F 是F '，AE 即1AD ，1AD 平行1BC ，异面直线,AE BF '所成的角是1C BF '∠，当F 与1B 重合时，E 是E '，BF 即1BB ，异面直线,AE BF '所成的角是1A AE '∠，可知1C BF '∠与1A AE '∠不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不是定值，故B 错误；连结BD 交AC 于O ，又AC ⊥平面11D DBB ，点A 到平面11BDD B 的距离是2=AO ，也即点A 到平面BEF 的距离是22，故C 正确； 2=AO 为三棱锥A BEF -的高，又1111224BEFS =⨯⨯=△，故三棱锥A BEF -的体积为112234224⨯⨯=为定值，D 正确. 故选：ACD 【点睛】求空间中点到平面的距离常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，求垂线；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离； （3）向量法：计算斜线在平面的法向量上的投影即可.5．（多选题）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（ ）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上 C ．1AP BC ⊥D ．AP ∥平面11AC D【答案】BD 【分析】 对于A ，1111111113326P AA D AA DV S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，对于B,C,D ，如图以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用空间向量判即可. 【详解】对于A ，因为点P 在平面11BCC B ，平面11BCC B ∥平面1AA D ， 所以点P 到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长， 所以1111111113326P AA D AA DV S CD -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，A 错误； 对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则11(1,0,0),(,1,),(1,1,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)A P x z B D B C 所以11(1,1,),(1,1,1),(1,0,1)AP x z BD BC =-=--=--, 因为1AP BD ⊥，所以1110AP BD x z ⋅=--+=，所以x z =，即(,1,)P x x ， 所以(,0,)CP x x =,所以1CP xBC =-，即1,,B C P 三点共线， 所以点P 必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，因为1(1,1,),(1,0,1)AP x x BC =-=-， 所以111AP BC x x ⋅=-+=， 所以1AP BC ⊥不成立，C 错误；对于D ，因为11(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0)A C D , 所以11(1,0,1),(0,1,1)DA DC ==,设平面11AC D 的法向量为(,,)n x y z =，则1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1,1z y =-=，所以(1,1,1)n =-， 所以110AP n x x ⋅=-+-=，所以AP n ⊥， 所以AP ∥平面11AC D ，D 正确， 故选：BD 【点睛】此题考查了空间线线垂直的判定，线面平行的判定，三棱锥的体积，考查空间想象能力，考查计算能力，属于较难题.6．在边长为2的等边三角形ABC 中，点,D E 分别是边,AC AB 上的点，满足//DE BC 且AD ACλ=，（()01λ∈，），将ADE 沿直线DE 折到A DE '△的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（ ）A ．在边A E '上存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD 'B ．存在102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，使得在翻折过程中的某个位置，满足平面A BC '⊥平面BCDEC ．若12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，||4A B '= D ．在翻折过程中，四棱锥A BCDE '-体积的最大值记为()f λ，()f λ【答案】ABC 【分析】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，即可判断出结论.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，即可判断出结论. 对于C ，12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，可得AM ⊥平面BCDE .可得A B '=.对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()313BCDE f S λλλ=⋅=-，()01λ∈，，利用导数研究函数的单调性即可得出.【详解】对于A.在边A E '上点F ，在A D '上取一点N ，使得//FN ED ，在ED 上取一点H ，使得//NH EF ，作//HG BE 交BC 于点G ，如图所示，则可得FN 平行且等于BG ，即四边形BGNF 为平行四边形， ∴//NG BE ，而GN 始终与平面ACD 相交，因此在边A E '上不存在点F ，使得在翻折过程中，满足//BF 平面A CD '，A 不正确.对于B ，102λ∈⎛⎫⎪⎝⎭,，在翻折过程中，点A '在底面BCDE 的射影不可能在交线BC 上，因此不满足平面A BC '⊥平面BCDE ，因此B 不正确. 对于C.12λ=，当二面角A DE B '--为直二面角时，取ED 的中点M ，如图所示：可得AM ⊥平面BCDE ， 则22223111010()1()21cos120222A B AM BM '=+=++-⨯⨯⨯︒=≠，因此C 不正确；对于D.在翻折过程中，取平面AED ⊥平面BCDE ，四棱锥A BCDE '-体积()3133BCDE f S λλλλ=⋅=-，()01λ∈，，()213f λλ'=-，可得3λ=()f λ取得最大值()31231339f λ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，因此D 正确. 综上所述，不成立的为ABC. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了利用运动的观点理解空间线面面面位置关系、四棱锥的体积计算公式、余弦定理、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力空间想象能力与计算能力，属于难题.7．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论中正确的是（ ）A ．11A C ⊥平面11BB D DB ．1BD ⊥平面1ACBC ．1BD 与底面11BCC B 2D ．过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条【答案】ABD【分析】由直线与平面垂直的判定判断A 与B ；求解1BD 与底面11BCC B 所成角的正切值判断C ；利用空间向量法可判断D ．【详解】对于A 选项，如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ⊥平面1111D C B A ，11A C ⊂平面1111D C B A ，则111BB A C ⊥，由于四边形1111D C B A 为正方形，则1111AC B D ⊥， 1111BB B D B =，因此，11A C ⊥平面11BB D D ，故A 正确；对于B 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，1AC DD ∴⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以，AC BD ⊥，1D DD BD =，AC ∴⊥平面11BB D D ， 1BD ⊂平面11BB D D ，1AC BD ∴⊥，同理可得11BD B C ⊥，1AC B C C =，1BD ∴⊥平面1ACB ，故B 正确； 对于C 选项，由11C D ⊥平面11BCC B ，得11C BD ∠为1BD 与平面11BCC B 所成角， 且111112tan 2C D C BD BC ∠==，故C 错误； 对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A 、()0,0,0D 、()0,1,0C 、()11,1,1B ，()1,0,0DA =，()11,0,1CB =，设过点1A 且与直线DA 、1CB 所成角的直线的方向向量为()1,,m y z =， 则221cos ,21DA mDA m DA m y z ⋅<>===⋅++， 1122111cos ,221CB m z CB m CB m y z ⋅+<>===⋅⋅++， 整理可得2222341y z y z z ⎧+=⎨=++⎩，消去y 并整理得2210z z +-=，解得12z =-12z =-由已知可得3z ≤，所以，12z =-+22y =±因此，过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60角的直线有2条，D 选项正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．8．如图所示，正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为1，E ，F 分别是棱AA '，CC '的中点，过直线EF 的平面分别与棱BB '，DD '交于点M ，N ，以下四个命题中正确的是（ ）A ．0MN EF ⋅=B ．ME NE =C ．四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:3D ．四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3【答案】ABD【分析】证明EF ⊥平面BDD B ''，进而得EF MN ⊥，即可得A 选项正确；证明四边形MENF 为菱形即可得B 选项正确；由菱形性质得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅，再分别讨论MN 的最大值与最小值即可；根据割补法求解体积即可.【详解】对于A 选项，如图，连接BD ，B D ''，MN ．由题易得EF BD ⊥，EF BB '⊥，BD BB B '⋂=，所以EF ⊥平面BDD B ''，又MN ⊂平面BDD B ''，所以EF MN ⊥，因此0MN EF ⋅=，故A 正确．对于B 选项，由正方体性质得：平面''//BCC B 平面''ADD A ，平面''BCC B 平面EMFN MF =，平面''ADD A 平面EMFN EN =， 所以//MF EN ，同理得//ME NF ，又EF MN ⊥，所以四边形MENF 为菱形， 因此ME NE =，故B 正确．对于C 选项，由B 易得四边形MENF 的面积12S MN EF =⋅， 所以当点M ，N 分别为BB '，DD '的中点时，四边形MENF 的面积S 最小， 此时2MN EF ==，即面积S 的最小值为1； 当点M ，N 分别与点B （或点B '），D （或D ）重合时，四边形MENF 的面积S 最大，此时3MN =，即面积S 的最大值为6， 所以四边形MENF 的面积最小值与最大值之比为2:6，故C 不正确．对于D 选项，四棱锥A MENF -的体积1112123346M AEF N AEF AEF V V V DB S --=+=⋅=⨯⨯=△； 因为E ，F 分别是AA '，CC '的中点，所以BM D N '=，DN B M '=，于是被截面MENF 平分的两个多面体是完全相同的，则它们的体积也是相同的，因此多面体ABCD EMFN -的体积21122ABCD A B C D V V ''''-==正方体， 所以四棱锥A MENF -与多面体ABCD EMFN -体积之比为1:3，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查立体几何与向量的综合、截面面积的最值、几何体的体积，考查空间思维能力与运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于证明四边形MENF 为菱形，利用割补法将四棱锥A MENF -的体积转化为三棱锥M AEF - 和N AEF -的体积之和，将多面体ABCD EMFN -的体积转化为正方体的体积的一半求解.。
高考数学二轮复习立体几何多选题复习题含答案
高考数学二轮复习立体几何多选题复习题含答案一、立体几何多选题1．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上（不含端点）且BE BF =，将AED ，DCF 分别沿DE ，DF 折起，使A 、C 两点重合于点1A ，则下列结论正确的有（ ）．A ．1A D EF ⊥B ．当12BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -6π C ．当14BE BF BC ==时，三棱锥1A F DE -217 D ．当14BE BF BC ==时，点1A 到平面DEF 的距离为177【答案】ACD 【分析】A 选项：证明1A D ⊥面1A EF ，得1A D EF ⊥；B 选项：当122BE BF BC ===时，三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥1A EFD -的外接球体积； C 选项：利用等体积法求三棱锥1A EFD -的体积； D 选项：利用等体积法求出点1A 到平面DEF 的距离. 【详解】 A 选项：正方形ABCD,AD AE DC FC ∴⊥⊥由折叠的性质可知：1111,A D A E A D A F ⊥⊥ 又111A E A F A ⋂=1A D ∴⊥面1A EF又EF ⊂面1A EF ，1A D EF ∴⊥；故A 正确.B 选项：当122BE BF BC ===时，112,22A E A F EF ===在1A EF 中，22211A E A F EF +=，则11A E A F ⊥由A 选项可知，1111,A D A E A D A F ⊥⊥∴三棱锥1A EFD -的三条侧棱111,,A D A E A F 两两相互垂直，把三棱锥1A EFD -=， 三棱锥1A EFD -，体积为334433R ππ==，故B 错误C 选项：当114BE BF BC ===时，113,A E A F EF ===在1A EF中，22222211111338cos 22339A E A F EF EA F A E A F+-+-∠===⋅⨯⨯，1sin 9EA F ∠=则111111sin 332292A EFSA E A F EA F =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=111111433A EFD D A EF A EF V V SA D --∴==⋅⋅==故C 正确；D 选项：设点1A 到平面EFD 的距离为h ，则 在EFD △中，2222225524cos 225525DE DF EF EDF DE DF +-+-∠===⋅⨯⨯， 7sin 25EDF ∠=则1177sin 5522252EFDSDE DF EDF =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=11173323A EFD DEFV Sh h -∴=⋅⋅=⨯⨯=即7h =故D 正确； 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．2．如图，在棱长为2的正方体ABCD A B C D ''''-中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（ ）A ．AM 与DB ''所成角的余弦值为1010B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A BCD ''''-的截面面积为92C ．四面体A C BD ''的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动并且使MAC PAC ''∠=∠，那么点P 的轨迹是椭圆 【答案】AB 【分析】构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角cos ,||||AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>=''为AM 与D B ''所成角的余弦值判断A 的正误；同样设(,,0)P x y 结合向量夹角的坐标表示，22215543x y =++⨯P 的轨迹知D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求,,,MN AD AM D N ''，进而得到梯形的高即可求面积，判断B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径r ，进而求内切球表面积，判断C 的正误. 【详解】A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：则有：(0,0,2),(1,2,2),(0,2,0),(2,0,0)A M B D ''， ∴(1,2,0),(2,2,0)AM D B ''==-，10cos ,10||||58AM D B AM D B AM D B ''⋅''<>===''⨯，故正确.B ：若N 为CC '的中点，连接MN ，则有//MN AD '，如下图示，∴梯形AMND’为过三点A 、M 、D 的正方体ABCD A B C D ''''-的截面， 而2,2,5MN AD AM D N ''====322， ∴梯形的面积为132932222S =⨯=，故正确. C ：如下图知：四面体A C BD ''的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，∴118848323V =-⨯⨯⨯=，而四面体的棱长都为22，有表面积为142222sin 8323S π=⨯⨯⨯⨯=，∴若其内切圆半径为r ，则有188333r ⨯⋅=，即33r =，所以内切球的表面积为2443r ππ=.故错误. D ：正方体ABCD A B C D ''''-中，点P 在底面A B C D ''''（所在的平面）上运动且MAC PAC ''∠=∠，即P 的轨迹为面A B C D ''''截以AM 、AP 为母线，AC’为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线GPK ，构建如下空间直角坐标系，232(0,0,2),(2),(0,22,0)22A M C '-，若(,,0)P x y ，则232(,,0),(0,22,2),(,,2)22AM AC AP x y '=-=-=-，∴15cos ||||512AMAC MAC AM AC '⋅'∠==='⨯，2222cos ||||43AP AC y PAC AP AC x y '⋅+'∠=='++⨯，即222215543y x y +=++⨯，整理得22(102)9216(0)y x y +-=>，即轨迹为双曲线的一支，故错误.故选：AB 【点睛】关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积.3．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E ，F 在平面1111D C B A 内，若||5AE =，AC DF ⊥，则（ ）A ．点E 的轨迹是一个圆B ．点F 的轨迹是一个圆C ．EF 的最小值为21-D ．AE 与平面1A BD 所成角的正弦值的最大值为21530+【答案】ACD 【分析】对于A 、B 、C 、D 四个选项，需要对各个选项一一验证. 选项A ：由2211||5AE AA A E =+=，得1||1A E =，分析得E 的轨迹为圆；选项B ：由AC DBF ⊥，而点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，； 选项C ：由E 的轨迹为圆，F 的轨迹为线段11B D ，可分析得min ||EF d r =-； 选项D ：建立空间直角坐标系，用向量法求最值. 【详解】 对于A:2211||5AE AA A E =+=，即221|25A E +=，所以1||1A E =，即点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上；故A 正确；对于B: 正方体1111ABCD A B C D -中，AC ⊥BD ，又AC DF ⊥，且BD ∩DF=D ，所以AC DBF ⊥，所以点F 在11B D 上，即F 的轨迹为线段11B D ，故B 错误；对于C:在平面1111D C B A 内，1A 到直线11B D 的距离为2,d =当点E ，F 落在11A C 上时，min ||21EF =；故C 正确； 对于D:建立如图示的坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,0,2,0,2,0A B A D因为点E 为在面1111D C B A 内，以1A 为圆心、半径为1 的圆上，可设()cos ,sin ,2E θθ 所以()()()1cos ,sin ,2,2,0,2,2,2,0,AE A B BD θθ==-=-设平面1A BD 的法向量(),,n x y z =，则有1·220·220n BD x y n A B x z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩不妨令x =1，则()1,1,1n =， 设AE 与平面1A BD 所成角为α，则：22|||sin |cos ,|||||5315n AE n AE n AE πθα⎛⎫++ ⎪⎝⎭====⨯⨯当且仅当4πθ=时，sin α2215301515=， 故D 正确 故选：CD 【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．4．已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，则下列结论正确的是（ ） A ．异面直线AC 与BD 所成角为60︒ B ．点A 到平面BCD 的距离为263C ．四面体ABCD 6πD ．动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆 【答案】BC 【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误. 【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,22263AF AB BF =-=,即点A 到平面BCD 的距离为263,故B 正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径， 因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即62=66OF AO =，, 所以四面体ABCD 的外接球体积3344633V R OA πππ===,故C 正确； 建系如图：26230,0,,0,,0A C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ，则262326,,0,,333AP x y AC →→⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=，所以222324812241393972y x y +=++⨯+⨯， 即222388=33y x y +++，平方化简可得：22323400399y x y ----，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.5．如图，矩形ABCD 中， 22AB AD ==，E 为边AB 的中点.将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △（点1A 不落在底面BCDE 内），若M 在线段1A C 上（点M 与1A ，C 不重合），则在ADE 翻转过程中，以下命题正确的是（ ）A ．存在某个位置，使1DE A C ⊥B ．存在点M ，使得BM ⊥平面1A DC 成立 C ．存在点M ，使得//MB 平面1A DE 成立D ．四棱锥1A BCDE -体积最大值为24【答案】CD 【分析】利用反证法可得A 、B 错误，取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，可证明//MB 平面1A DE ，当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值，利用公式可求得此时体积为24. 【详解】如图（1），取DE 的中点为F ，连接1,A F CF ， 则45CDF ∠=︒，22DF =，故212254222222CF =+-⨯⨯=， 故222DC DF CF ≠+即2CFD π∠≠．若1CA DE ⊥，因为11,A D A E DF FE ==，故1A F DE ⊥，而111A F A C A ⋂=， 故DE ⊥平面1A FC ，因为CF ⊂平面1A FC ，故DE CF ⊥，矛盾，故A 错． 若BM ⊥平面1A DC ，因为DC ⊂平面1A DC ，故BM DC ⊥， 因为DC CB ⊥，BM CB B ⋂=，故CD ⊥平面1A CB ，因为1AC ⊂平面1A CB ，故1CD A C ⊥，但1A D CD <，矛盾，故B 错． 当平面1A DE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE -体积最大值， 由前述证明可知1A F DE ⊥，而平面1A DE平面BCDE DE =，1A F ⊂平面1A DE ，故1A F ⊥平面BCDE ，因为1A DE △为等腰直角三角形，111A D A E ==，故122A F =， 又四边形BCDE 的面积为13211122⨯-⨯⨯=， 故此时体积为13223224⨯⨯=D 正确． 对于C ，如图（2），取M 为1A C 的中点，取1A D 的中点为I ，连接,MI IE ，则1//,2IM CD IM CD =，而1//,2BE CD BE CD =， 故//,IM BE IM BE =即四边形IEBM 为平行四边形，故//IE BM ，因为IE ⊂平面1A DE ，BM ⊄平面1A DE ，故//MB 平面1A DE ， 故C 正确．【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，注意对于折叠后点线面的位置的判断，若命题的不成立，往往需要利用反证法来处理，本题属于难题.6．已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，D 是AC 的中点，O 为1A C 的中点.点P 是1BC 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A ．当点P 运动到1BC 中点时，直线1A P 与平面111ABC 5 B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有11A P OB ⊥C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有1A P 与1OB 相交于一点，记为Q ，且113PQ QA = D ．无论点P 在1BC 上怎么运动，直线1A P 与AB 所成角都不可能是30° 【答案】ABD 【分析】构造线面角1PA E ∠，由已知线段的等量关系求1tan EPPA E AE∠=的值即可判断A 的正误；利用线面垂直的性质，可证明11A P OB ⊥即可知B 的正误；由中位线的性质有112PQ QA =可知C 的正误；由直线的平行关系构造线线角为11B A P ∠，结合动点P 分析角度范围即可知【详解】直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==选项A 中，当点P 运动到1BC 中点时，有E 为11B C 的中点，连接1A E 、EP ，如下图示即有EP ⊥面111A B C∴直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值：1tan EPPA E AE∠= ∵112EP BB =，22111152AE A B B E BB =+= ∴15tan PA E ∠=，故A 正确选项B 中，连接1B C ，与1BC 交于E ，并连接1A B ，如下图示由题意知，11B BCC 为正方形，即有11B C BC ⊥而AB BC ⊥且111ABC A B C -为直三棱柱，有11A B ⊥面11B BCC ，1BC ⊂面11B BCC ∴111A B BC ⊥，又1111A B B C B =∴1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面11A B C ，故11BC OB ⊥ 同理可证：11A B OB ⊥，又11A B BC B ⋂=∴1OB ⊥面11A BC ，又1A P ⊂面11A BC ，即有11A P OB ⊥，故B 正确选项C 中，点P 运动到1BC 中点时，即在△11A B C 中1A P 、1OB 均为中位线∴Q 为中位线的交点∴根据中位线的性质有：112PQ QA =，故C 错误选项D 中，由于11//A B AB ，直线1A P 与AB 所成角即为11A B 与1A P 所成角：11B A P ∠ 结合下图分析知：点P 在1BC 上运动时当P 在B 或1C 上时，11B A P ∠最大为45° 当P 在1BC 中点上时，11B A P ∠最小为23arctan 30>=︒ ∴11B A P ∠不可能是30°，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了利用射影定理构造线面角，并计算其正弦值；利用线面垂直证明线线垂直；中位线的性质：中位线交点分中位线为1：2的数量关系；由动点分析线线角的大小7．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 为线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．线段BM 的长是定值B ．存在某个位置，使1DE AC ⊥ C ．点M 的运动轨迹是一个圆D ．存在某个位置，使MB ⊥平面1A DE 【答案】AC 【分析】取CD 中点F ，连接BF ，MF ，根据面面平行的判定定理可得平面//BMF 平面1A DE ，由面面平行的性质定理可知//BM 平面1A DE ，可判断D ；在BFM ∆中，利用余弦定理可求得BM a =为定值，可判断A 和C ；假设1DE A C ⊥，由线面垂直的判定定理可得DE ⊥平面1A CE ，由线面垂直的性质定理可知1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可判断B ． 【详解】解：取CD 的中点F ，连接BF ，MF ，∵M ，F 分别为1A C 、CD 中点， ∴1MF A D ∥，∵1A D ⊂平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE ， ∴MF 平面1A DE ， ∵DF BE ∥且DF BE =， ∴四边形BEDF 为平行四边形， ∴BFDE ，∵DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE ， ∴BF ∥平面1A DE ， 又BFMF F =，BF 、MF ⊂平面BMF ，∴平面//BMF 平面1A DE ， ∵BM ⊂平面BMF ， ∴BM ∥平面1A DE ，即D 错误，设22AB AD a ==， 则112MF A D a ==，2BF DE a ==，145A DE MFB ︒∠=∠=， ∴222cos45BM MF BF MF BF a ︒=+-⋅⋅=，即BM 为定值，所以A 正确，∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，即C 正确， ∵2DE CE a ==，2CD AB a ==，∴222DE CE CD +=，∴DE CE ⊥， 设1DE A C ⊥，∵1A C 、CE ⊂平面1A CE ，1AC CE C =，∴DE ⊥平面1A CE ， ∵1A E ⊂平面1A CE ，∴1DE A E ⊥，与11DA A E ⊥矛盾， 所以假设不成立，即B 错误. 故选:AC . 【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识点，考查学生的空间立体感和推理论证能力．8．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1BD 的一个平面交棱1AA 于点E ，交棱1CC 于点F ，得四边形1BFD E ，在以下结论中，正确的是（ ）A ．四边形1BFD E 有可能是梯形B ．四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形C ．四边形1BFDE 有可能垂直于平面11BB D D D ．四边形1BFD E 6【答案】BCD【分析】四边形1BFD E 有两组对边分别平行知是一个平行四边形四边形；1BFD E 在底面ABCD 内的投影是四边形ABCD ；当与两条棱上的交点是中点时，四边形1BFD E 垂直于面11BB D D ；当E ，F 分别是两条棱的中点时，四边形1BFD E 的面积最小为6.【详解】过1BD 作平面与正方体1111ABCD A B C D -的截面为四边形1BFD E ， 如图所示，因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，且平面1BFD E 平面11ABB A BE =.平面1BFD E平面1111,//DCC D D F BE D F =，因此，同理1//D E BF ，故四边形1BFD E 为平行四边形，因此A 错误；对于选项B ，四边形1BFD E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形ABCD ，因此B 正确； 对于选项C ，当点E F 、分别为11,AA CC 的中点时，EF ⊥平面11BB D D ，又EF ⊂平面1BFD E ，则平面1BFD E ⊥平面11BB D D ，因此C 正确；对于选项D ，当F 点到线段1BD 的距离最小时，此时平行四边形1BFD E 的面积最小，此时点E F 、分别为11,AA CC 的中点，此时最小值为162322⨯⨯=，因此D 正确. 故选：BCD【点睛】关键点睛：解题的关键是理解想象出要画的平面是怎么样的平面，有哪些特殊的性质，考虑全面即可正确解题.。
高三数学二轮复习 立体几何练习题2 人教版 试题
ABCABCA B C AB CPP高三数学二轮复习 立体几何练习题2一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 ,只有一项是符合题目要求的. 1、设条件A ：几何体的各个面都是三角形，条件B ：几何体是三棱锥，则条件A 是条件B 的 （ B ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、 在下列条件中，可判断平面α与β平行的是 （ D ） A ．α、β都垂直于平面r .B ．α内存在不共线的三点到β的距离相等.C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥β.D ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β.3、 已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是 （ B ） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β4、正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是（A ）（A ） 60 （B ） 90 （C ） 45 （D ） 305、如图，E 、F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP 、BC 的中点， 10PC =，6AB =，EF =7，则异面直线AB 与PC 所成的角为( A )(A) 600(B)450(C) 300(D)12006、在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是 ( D ) A.6π B.4π C.3π D.2π 7、如图，在正方体ABCD A B C D -1111中，P 是侧面BB C C 11内一动点，若P 到直线BC 与直线C D 11的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线 8、给出下列四个命题：（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数V 、面数F 满足的关系式为2F －V=4. （3）若直线l ⊥平面α，l ∥平面β，则α⊥β.（4）命题“异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任一平面与b 都不垂直”的否定. 其中，正确的命题是 （A ）A ．（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（3）D ．（2）（3）（4）9、在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 0，B 0，分别为侧棱AA 1，BB 1上的点，且知BB 0:B 0B 1=3:2，过A 0，B 0，C 1 的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为2:1，则 AA 0:A 0A 1= （ A ）A ．2:3B ．4:3C ．3:2D ．1:110、若三棱锥A-BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的面积与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC ∆组成图形可能是 （ D ）PCABE FD C 1A B 1 P D CA BPPC'B'A'BACDPB CDAE11、 如图，A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60º，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成的角是 ( D )（A ）arcsin63 （B ）arccos 63（C ）arcsin33 （D ）arccos 3312、 如图，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中已知AB=1，D 在棱BB 1上，且BD=1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则α= ( D ) （A ）3π （B ）4π （C ）410arcsin （D ）46arcsin二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13、某地球仪上北纬30纬线的长度为12πcm ，该地球仪的半径是 cm ，表面积是 cm 2.14、如图，正三棱柱的底面边长为4，过BC 的一个平面与底面成30°二面角，交侧棱A A '于D ，则AD 的长等于 .15、已知平面α和平面交于直线l ，P 是空间一点，PA⊥α，垂足为A ，PB⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 .16、如图，矩形ABCD 中，3=DC ，AD=1，在DC 上截取DE=1，将△ADE沿AE 翻折到D ′点，当D ′在平面ABC 上的射影落在AE 上时，四棱锥D ′—ABCE 的体积是 ；当D ′在平面ABC 上的射影落在AC 上时，二面角D ′—AE —B 的平面角的余弦值 是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD.底面ABCD 为直角梯形， AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB=AD=PB=3.点E 在棱PA 上，且PE=2EA.（Ⅰ）求异面直线PA 与CD 所成的角；（Ⅱ）求证：PC ∥平面EBD ；（Ⅲ）求二面角A —BE —D 的大小（用反三角函数表示）.18、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点．（1）证明//PA 平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值．ADCBEP19、正四棱锥P ABCD -中，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为26，(1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小； (2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；CDOE PAB(3)在侧面PAD 上寻找一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，试确定点F 的位置，并加以证明．20、如图在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ABB 1A 1是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB (１)证明平面CA 1B ⊥平面A 1AB ；(2)若AB ＝4，BC ＝3，∠ABB 1＝60°，求AC 1与 平面 BCC １所成的角.21、在正三棱柱ABC A B C -111中，AB ＝3，AA 14=，M 为AA 1的中点，P 是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到M 的最短路线长为29，设这条最短路线与CC 1的交点为N ，求： （I ）该三棱柱的侧面展开图的对角线长 （II ）PC 和NC 的长（III ）平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）22、如图,在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中,,2,,60a PD PB a AC PA ABC ====︒=∠点E 在PD 上,且PE:ED= 2: 1. (Ⅰ)证明 PA ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小:(Ⅲ)在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.[参考答案]一、选择题：BDBAA DDAAD DD二、填空题：13、43;192π 14、 2; 15、5 16、12262-;32- .三、解答题： 17、解法一：（Ⅰ）∵PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，∴CD ⊥BD.在直角梯形ABCD 中，AB=AD=3，∴BC=6. 取BC 的中点F ，连结PF ，则AF//CD. ∴异面直线PA 和CD 所成的角就是PA 和AF 所成的角∠PAF.在△PAF 中，.60,60,23 所成的角是和即异面直线CD PA PAF PF PA AF =∠∴=== （Ⅱ）连结AC 交BD 于G ，连结EG ，11,,.//.22,//.AG AD AE AG AEPC EG GC BC EP GC EPEG EBD PC EBD PC EBD ∴===∴=∴⊂⊄∴又又平面平面平面 （Ⅲ）∵PB ⊥平面ABCD ，∴AD ⊥PB.又∵AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面EAB.作AE ⊥BE ，垂足为H ，连结DH ，则DH ⊥BE ， ∴∠AHD 是二面角A —BE —D 的平面角.sin 4535,5,,5tan 5.,arctan 5.AB AE ABE BE AH BE ADAHD AHA BE D ⋅⋅∆===∴∠==--在中所以二面角的大小为解法二：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系B —xyz .,(0,3,0),(0,0,3),(3,3,0)(,0,0),(3,3,0),(3,3,3),,0,3(3)90. 6.(3,3,0),(0,3,3),cos ,||||BC a A P D C a CD a PD CD PD CD PD a a CD PA CD PA PA CD CD PA ==-=-⊥∴⋅=-+=∴=⋅=-=-∴<>=⋅=设则即91.60.23232CD AP =∴⨯异面直线与所成的角为（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设平面BED 的法向量为因为),(1==BD BE n 1111,0,210,112,,(,,1)330,1220,.2x n BE y n x y n BD y ⎧=⎧⎪⋅=+=⎧⎪⎪-⎨⎨⎨+=⋅=⎩⎪⎪⎩=-⎪⎩得所以于是又因为平面ABE 的法向量),0,0,1(2=n .6661,cos ,21=>=<n n 所以 所以，二面角A —BE —D 的大小数点为.66arccos18、查空间想象能力和推理论证能力. 方法一：（1）证明：连结AC 、AC 交BD 于O ．连结EO ∵ 底面ABCD 是正方形 ∴ 点O 是AC 的中点． 在PAC ∆中，EO 是中位线 ∴ EO PA //而⊂EO 平面EDB 且/⊂PA 平面EDB ，所以，//PA 平面EDB ．（2）〖解〗作DC EF ⊥交CD 于F ．连结BF ，设正方形ABCD 的边长为a ．∵ ⊥PD 底面ABCD ∴ DC PD ⊥ ∴ PD EF // F 为DC 的中点∴ ⊥EF 底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，故EBF ∠为直线EB 与底面ABCD在BCF Rt ∆中，a a a CF BC BF 25)2(2222=+=+= ∵ 221aPD EF == ∴ 在EFB Rt ∆中 55252tan ===a aBF EF EBF 所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为55方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点．设a DC =（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于G ．连结EG ．依题意得)0,0,(a A ，),0,0(a P ，)2,2,0(a a E ∵ 底面ABCD 是正方形 ∴ G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,2,2(aa ∴ ),0,(α-=a PA )2,0,2(aa EG -= ∴ EG PA 2= 这表明EG PA //而⊂EG 平面EDB 且/⊂PA 平面EDB ∴ //PA 平面EDB （2）〖解〗依题意得)0,,(a a B ，)0,,0(a C 取DC 的中点)0,2,0(aF 连结EF ，BF ∵ )2,0,0(a FE =，)0,2,(aa FB =，)0,,0(a DC =∴ 0=⋅FB FE ，0=⋅DC FE ∴ FB FE ⊥，DC FE ⊥∴ ⊥EF 底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影，故EBF ∠为直线EB 与底面ABCD 所成的角．在EFB Rt ∆2a =a a a 25)2(22=+=设AB=a ，AO=22a, PO=AO ·tan ∠POA=23a, tan ∠PMO=MOPO=3 ∴∠PMO=60°.(2)连OE ，OE ∥PD ，∠OEA 为异面直线PD 民AE 所成的角， AO ⊥BD AO ⊥平面PBD⇒ AO ⊥OEAO ⊥PO OE ⊂平面PBDOE=21PD=2122DO PO +=45a, ∴tan ∠AEO=EOAO =5102. 3)延长MO 交BC 于N ，取PN 中点G ，连EG 、MG ，BC ⊥MN⇒ BC ⊥平面PMN ⇒平面PMN ⊥平面PBCBC ⊥PN PM=PN⇒△PMN 为正△⇒MG ⊥PN⇒∠PMN=60°取AM 中点F ，因为EG ∥MF , MF=21MA=EG , EF ∥MG ∴EF ⊥平面PBC. 20、〖解〗⑴∵在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，C 1B 1∥CB ，∴CB ⊥AB 又∵四边形BCC 1B 1是矩形，CB ⊥BB 1，AB ∩BB 1＝B, ∴CB ⊥平面A 1AB 又∵CB 是平面CA 1B 内，∴平面CA 1B ⊥平面A 1AB ．⑵由四边形ABB 1A 1是菱形，∠ABB 1＝60°，可知△ABB 1是正三角形，取BB 1中点H ，连结AH ，则AH ⊥BB 1 ．又由CB ⊥平面A 1AB ，知平面ABB 1A 1⊥平面BCC 1B 1，BB 1是两垂直平面的交线，∴AH ⊥平面BCC 1B 1．连结C 1H ，则∠AC 1H 为AC 1与平面BCC 1所成的角． ∵△ABB 1是正三角形，∴AB 1＝AB ＝4,AH=23，∴在Rt △AB 1C 1中，AC 1＝53422=+ ∴在Rt △AHC 1中，sin ∠AC 1H=532， ∴AC 1与平面BCC 1所成的角为arcsin 532 ．21、本小题主要考查直线与平面的位置关系、棱柱等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．〖解〗（I ）正三棱柱ABC A B C -111的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为949722+=（II ）如图1，将侧面BB C C 11绕棱CC 1旋转120使其与侧成AA C C 11在同一平面上，点P 运动到点P 1的位置，连接MP 1，则MP 1就是由点P 沿棱柱侧面经过棱CC 1到点M 的最短路线设PC x =，则P C x 1=，在Rt MAP ∆1中，由勾股定理得()322922++=x , 求得x =2 ,11124255PC NC PC PC NC MA P A∴====∴=（III ）如图2，连结PP 1，则PP 1就是平面NMP 与平面ABC 的交线，作NH PP ⊥1于H ，又CC 1⊥平面ABC ，连结CH ，由三垂线定理得，CH PP ⊥1 ∴∠NHC 就是平面NMP 与平面ABC 所成二面角的平面角（锐角） 在Rt PHC ∆中， ∠=∠=PCH PCP 12601, ∴==CH PC 21, 在Rt NCH ∆中，445tan 15NC NHC CH ∠===故平面NMP 与平面ABC 所成二面角（锐角）的大小为4arctan 522、(Ⅰ)证明 因为底面ABCD 是菱形, ∠ABC=60º, 所以AB=AD=AC=a. 在△PAB 中,由22222PB a AB PA ==+ 知PA⊥AB.同理, PA⊥AD,所以PA⊥平面ABCD.(Ⅱ)解:作EG∥PA 交AD 于G,由PA⊥平面ABCD 知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC 于H,连结EH,则EH⊥AC.∠EHG 为二面角θ的平面角. 又PE:ED=2:1 所以,3360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒===从而.30,33tan ︒===θθGH EG (Ⅲ)解法一 以A 为坐标原点,直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系如图．由题设条件，相关各点的坐标分别为A(0,0,0),B(),0,21,23(),0,21,23a a C a a - D(0,a,0),P(0,0,a), E(0,).31,32a a 所以),0,21,23(),31,32,0(a a AC a a AE == ),,21,23(),,0,0(a a a PC a AP -== -=(BP ),21,23a a a 设点F 是棱PC 上的点, ),,21,23(λλλλa a a PC PF -==其中0<λ<1,则 ),21,23(),21,23(λλλa a a a a a PF BP BF -+-====).1(),1(21),1(23(λλλ-+-a a a 令AE AC BF 21λλ+=得,3221)1(2121λλλa a a +=+ 即 23411λλλ+=+ .31)1(2λλa a =- 2311λλ=-.解得.23,21,2121=-==λλλA 1 C 1B 1MNAC P 1 x x P A 1 C 1 B 1MN CA P H P B即 21=λ时, .2321AE AC BF +-=共面. 又BF ⊄平面AEC,所以当F 是棱PC 的时,BF∥平面AEC. 解法二 当F 是棱PC 的中点时,BF∥平面AEC.证明如下. 证法一 取PE 的中点M,连结FM,则FM∥CE. ① 由,21ED PE EM ==知E 是MD 的中点. 连接BM 、BD,设BD AC=O ，则O 为BD 的中点． 所以BM∥OE． ② 由①、②知,平面B FM∥平面AEC.证法二因为)(2121DP CD AD CP BC BF ++=+= =)(23)(212321AD AE AC AD AD DE CD AD -+-+=++=.2123AC AE -所以BF 、AE 、AC 共面． 又BF ⊄平面AEC,从而BF ∥平面AEC ．。
高考第二轮复习——立体几何同步练习(理)
高三数学人教版（理）高三第二轮复习：立体几何同步练习（答题时间：60分钟）1、下列命题中，正确的是（ ）A. 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直B. 如果一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行。
C. 如果两条直线都平行于同一平面，那么这两条直线平行D. 如果一条直线上有两个点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面平行。
2、设a 、b 、c 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列三个命题：（1）若a //b ，则a 与c 所成的角和b 与c 所成的角相等（2）若a //b ，则a 与α所成的角和b 与α所成的角相等（3）若α//β，则a 与α所成的角和a 与β所成的角相等其中，正确命题的个数是：（ ）A. 0B. 1C. 2D. 33、设α，β表示平面，L 表示不在α内也不在β内的直线，存在下列三个事实：（1）L ⊥α；（2）α⊥β；（3）L//β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则可以构成三个命题，这三个命题中，正确命题的个数是：（ ）A. 0B. 1C. 2D. 34、已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题（1）若α⊥γ，β⊥γ则α//β （2）若n ⊥α，n ⊥β，则α//β（3）若α内不共线的三点到平面β的距离都相等，则α//β（4）若n ⊂ α，m ⊂ α，且n//β，m //β，则α//β；（5）若m ，n 为异面直线，且n ⊂ α，n//β，m ⊂ β，m //α，则α//β其中正确的两个命题是：（ ）A. （1）与（2）B. （3）与（4）C. （2）与（5）D. （2）与（3）5、空间有6个点，任意四点都不共面，过其中任意两点均有一条直线，则成为异面直线的对数为（ ）A. 15B. 30C. 45D. 606、βα、是不重合的2个平面，在α上任取5个点，在β上任取4个点，由这些点所确定的平面的个数最多是（ ）A. 42个B. 70个C. 72个D. 84个7、若平面α⊥平面β，又直线m ⊂α，直线l ⊂β，且m l ⊥，则（ ）A. β⊥mB. α⊥lC. β⊥m 且l ⊥αD. β⊥m 或α⊥l8、已知二面角αβ——AB 是直二面角，P 为棱AB 上一点，PQ 、PR 分别在平面α、β内，且︒=∠=∠45RPB QPB ，则QPR ∠为（ ）A. 45︒B. 60︒C. 120︒D. 150︒9、正方体的棱长为a ，由它的互不相邻的四个顶点连线所构成的四面体的体积是（ ）A. 63aB. 43aC. 33aD. 23a 10、平行六面体的棱长均为4，由同一顶点出发的三条棱上分别取=PA 1，，2=PB 3=PC ，则三棱锥ABC P —的体积与平行六面体的体积之比是（ ）A. 1∶64B. 2∶7C. 7∶19D. 3∶1611、在正方体1111D C B A ABCD —中，二面角111B C A D ——的度数是（ ）A. 45︒B. 60︒C. 120︒D. 135︒12、正方形ABCD 被对角线BD 和以A 为圆心，AB 为半径的圆弧分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积321V V V 、、之比是（ ）A. 2∶1∶1B. 1∶2∶1C. 1∶1∶1D. 2∶2∶113. 已知∠AOB=90°，过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC ，与OA 、OB 分别成45°、60°，则以OC 为棱的二面角A —OC —B 的余弦值等于_________.14. 正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________.15、如图所示，空间四点A 、B 、C 、D 中，每两点所连线段的长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点Q 在线段CD 上，则P 与Q 的最短距离为_________.16、如图所示，ABCD 与ABEF 均是边长为a 的正方形，如果二面角E —AB —C 的度数为 30°，那么EF 与平面ABCD 的距离为_________.17、已知四边形ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC =90°，P A ⊥平面AC ，且P A =AD =AB =1，BC =2（1）求PC 的长；（2）求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小；（3）求证：二面角B —PC —D 为直二面角.18、设△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直，且AB =BC =BD ，∠ABC =∠DBC =120° 求：（1）直线AD 与平面BCD 所成角的大小；（2）异面直线AD 与BC 所成的角；（3）二面角A —BD —C 的大小.19、一副三角板拼成一个四边形ABCD，如图，然后将它沿BC折成直二面角.（1）求证：平面ABD⊥平面ACD；（2）求AD与BC所成的角；（3）求二面角A—BD—C的大小.20、在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：（1）求证：平面A1BC1∥平面ACD1；（2）求（1）中两个平行平面间的距离；（3）求点B1到平面A1BC1的距离.21、已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a，求：（1）截面EAC的面积；（2）异面直线A1B1与AC之间的距离；（3）三棱锥B1—EAC的体积.22、如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC 均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.（1）求点A到平面B1BCC1的距离；（2）当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.【试题答案】1、A2、D3、B4、C5、A6、C7、D8、B9、C 10、A11、C 12、C13. 解析：在OC 上取一点C ，使OC =1，过C 分别作CA ⊥OC 交OA 于A ，CB ⊥OC 交OB 于B ，则AC =1，OA =2，BC =3，OB =2，Rt △AOB 中，AB 2=6，△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ACB =－33. 答案：－33 14. 解析：设一个侧面面积为S 1，底面面积为S ，则这个侧面在底面上射影的面积为3S ，由题设得321=S S ，设侧面与底面所成二面角为θ，则cos θ=2133111==S S S S ，∴θ=60°. 答案：60°15、解析：以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，因为AQ =BQ =22a ，∴PQ ⊥AB ，同理可得PQ ⊥CD ，故线段PQ 的 长为P 、Q 两点间的最短距离，在Rt △APQ 中，PQ =22)2()23(2222=-=-a a AP AQ a 答案：22a 16、解析：显然∠F AD 是二面角E —AB —C 的平面角，∠F AD =30°，过F 作FG ⊥平面ABCD 于G ，则G 必在AD 上，由EF ∥平面ABCD .∴FG 为EF 与平面ABCD 的距离，即FG =2a . 答案：2a 17、解析：（1）解：因为P A ⊥平面AC ，AB ⊥BC ，∴PB ⊥BC ，即∠PBC =90°，由勾股定理得PB =222=+AB PA .∴PC =622=+PC PB.（2）解：如图，过点C 作CE ∥BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC 与BD 所成的角为∠PCE 或它的补角.∵CE =BD =2，且PE =1022=+AE PA∴由余弦定理得cos ∠PCE =632222-=⋅-+CE PC PE CE PC∴PC 与BD 所成角的余弦值为63. （3）证明：设PB 、PC 中点分别为G 、F ，连结FG 、AG 、DF ，则GF ∥BC ∥AD ，且GF =21BC =1=AD ，从而四边形ADFG 为平行四边形， 又AD ⊥平面P AB ，∴AD ⊥AG ，即ADFG 为矩形，DF ⊥FG .在△PCD 中，PD =2，CD =2，F 为BC 中点，∴DF ⊥PC从而DF ⊥平面PBC ，故平面PDC ⊥平面PBC ，即二面角B —PC —D 为直二面角.18、解：（1）如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ， ∴∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角.由题设知△AHB ≌△AHD ，则DH ⊥BH ，AH =DH ，∴∠ADH =45°（2）∵BC ⊥DH ，且DH 为AD 在平面BCD 上的射影，∴BC ⊥AD ，故AD 与BC 所成的角为90°.（3）过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连结AR ，则由三垂线定理知，AR ⊥BD ，故∠ARH 为二面角A —BD —C 的平面角的补角.设BC =a ，则由题设知，AH =DH =2,23a BH a =，在△HDB 中，HR =43a ，∴tan ∠ARH =HRAH =2 故二面角A —BD —C 大小为π－arctan2.19、解析：（1）证明：取BC 中点E ，连结AE ，∵AB =AC ，∴AE ⊥BC∵平面ABC ⊥平面BCD ，∴AE ⊥平面BCD ，∵BC ⊥CD ，由三垂线定理知AB ⊥CD .又∵AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面BCD ，∵AB ⊂平面ABD .∴平面ABD ⊥平面ACD .（2）解：在面BCD 内，过D 作DF ∥BC ，过E 作EF ⊥DF ，交DF 于F ，由三垂线定理知A F ⊥DF ，∠ADF 为AD 与BC 所成的角.设AB =m ，则BC =2m ，CE =DF =22m ，CD =EF =36m 321arctan ADF ,321DF EF AE DF AF ADF tan 22=∠∴=+==∠∴ 即AD 与BC 所成的角为arctan 321 （3）解：∵AE ⊥面BCD ，过E 作EG ⊥BD 于G ，连结AG ，由三垂线定理知AG ⊥BD ， ∴∠AGE 为二面角A —BD —C 的平面角∵∠EBG =30°，BE =22m ，∴EG =42m 又AE =22m ，∴tan ∠AGE =GEAE =2，∴∠AGE =arctan2. 即二面角A —BD —C 的大小为arctan2.20、解析：（1）证明：由于BC 1∥AD 1，则BC 1∥平面ACD 1 同理，A 1B ∥平面ACD 1，则平面A 1BC 1∥平面ACD 1（2）解：设两平行平面A 1BC 1与ACD 1间的距离为d ，则d 等于D 1到平面A 1BC 1的距离.易求A 1C 1=5，A 1B =25，BC 1=13，则cos ∠A 1BC 1=652，则sin ∠A 1BC 1=6561，则S 111C B A ∆=61，由于111111D C A B BC A D V V --=，则31S 11BC A ∆·d =)S 21(311111D C B YA ⋅·BB 1，代入求得d =616112，即两平行平面间的距离为616112. （3）解：由于线段B 1D 1被平面A 1BC 1所平分，则B 1、D 1到平面A 1BC 1的距离相等，则由（2）知点B 1到平面A 1BC 1的距离等于616112. 21、解：（1）连结DB 交AC 于O ，连结EO ，∵底面ABCD 是正方形∴DO ⊥AC ，又ED ⊥面ABCD∴EO ⊥AC ，即∠EOD =45°又DO =22a ，AC =2a ，EO =︒45cos DO =a ，∴S △EAC =22a （2）∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥AC ，又A 1A ⊥A 1B 1∴A 1A 是异面直线A 1B 1与AC 间的公垂线又EO ∥BD 1，O 为BD 中点，∴D 1B =2EO =2a∴D 1D =2a ，∴A 1B 1与AC 距离为2a（3）连结B 1D 交D 1B 于P ，交EO 于Q ，推证出B 1D ⊥面EAC∴B 1Q 是三棱锥B 1—EAC 的高，得B 1Q =23a 32422322311a a a V EAC B =⋅⋅=- 22、解：（1）∵BB 1⊥A 1E ，CC 1⊥A 1F ，BB 1∥CC 1∴BB 1⊥平面A 1EF即面A 1EF ⊥面BB 1C 1C在Rt △A 1EB 1中，∵∠A 1B 1E =45°，A 1B 1=a∴A 1E =22a ，同理A 1F =22a ，又EF =a ，∴A 1E =22a 同理A 1F =22a ，又EF =a ∴△EA 1F 为等腰直角三角形，∠EA 1F =90°过A 1作A 1N ⊥EF ，则N 为EF 中点，且A 1N ⊥平面BCC 1B 1 即A 1N 为点A 1到平面BCC 1B 1的距离∴A 1N =221a 又∵AA 1∥面BCC 1B ，A 到平面BCC 1B 1的距离为2a ∴a =2，∴所求距离为2（2）设BC 、B 1C 1的中点分别为D 、D 1，连结AD 、DD 1和A 1D 1，则DD 1必过点N ，易证ADD 1A 1为平行四边形.∵B 1C 1⊥D 1D ，B 1C 1⊥A 1N∴B 1C 1⊥平面ADD 1A 1∴BC ⊥平面ADD 1A 1得平面ABC ⊥平面ADD 1A 1，过A 1作A 1M ⊥平面ABC ，交AD 于M ， 若A 1M =A 1N ，又∠A 1AM =∠A 1D 1N ，∠AMA 1=∠A 1ND 1=90° ∴△AMA 1≌△A 1ND 1，∴AA 1=A 1D 1=3，即当AA 1=3时满足条件.。
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立体几何练习
1．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图所示，则相应的侧视图可以
为（ ）
2．某几何体的三视图如图所示,它的体积为（ ）
A ．12π
B ．45π
C ．57π
D ．81π
3．已知直二面角l αβ--，点A α∈，AC l ⊥，C 为垂足，B β∈，BD l ⊥，D
为垂足．若2AB =，1AC BD ==，则D 到平面ABC 的距离等于 （ ）
A ．
3
B ．
C D ．1
4 ．设四面体的六条棱的长分别为a ,且长为a
棱异面,则a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,,E F 分别
为线段11,AA B C 上的点,则三棱锥1D EDF -的体积为____________.
6．已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成0
60二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为
A ．7π
B ．9π
C ．11π
D ．13π
7．半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 .
8．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，BC =则棱锥O ABCD -的体积为_____________．
9．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三
角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为 （ ）
A ．
6
B ．
6
C ．
3
D ．
2
10．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的体积为
_________ .
11．已知正三棱锥P -ABC,点P,A,B,C ,若PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面ABC 的距离为________.
12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，底面ABCD 是菱形，
2,60AB BAD =∠= .
(Ⅰ)求证：BD PAC ⊥平面
（Ⅱ）若PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.
13．如图，四棱锥S ABCD -中，AB CD ⊥,BC CD ⊥，
侧面SAB 为等边三角形，2AB BC ==，1CD SD ==． （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的大小．
14．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边
形， 60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ABCD ⊥平面． （I ）证明：PA BD ⊥；
（II ）若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值．
15．如图,直三棱柱111ABC A B C -中,11
2
AC BC AA ==,
D 是棱1AA 的中点,BD DC ⊥1
(1)证明:BC DC ⊥1
(2)求二面角11C BD A --的大小.
16．如图,在四棱锥P —ABCD 中,
底面是边长为,且∠BAD=120°,且PA⊥平面
ABCD,PA=分别为PB,PD 的中点.
(Ⅰ)证明:MN∥平面ABCD;
(Ⅱ) 过点A 作AQ⊥PC,垂足为点Q,求二面角A —MN —Q 的平面角的余弦值.
17．如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥
底面ABCD
,AC =2,PA E =是PC 上的一点,2PE EC =.
(1)证明:PC ⊥平面BED ;
(2)设二面角A PB C --为90︒,求PD 与平面PBC 所成角的大小.
18．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合． （Ⅰ）当CF =1时，求证：EF ⊥1A C ；
（Ⅱ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．
19．如图，在ABC ∆中，60,90,ABC BAC AD ∠=∠=
是BC 上的高，沿AD 把ABC
∆折起，使90BCD ∠=。
（Ⅰ）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；
（Ⅱ）设E 为BC 的中点，求AE 与DB
夹角的余弦值。
D
20．如图1,45ACB ∠= ,3BC =,过动点A 作AD BC ⊥,垂足D 在线段BC 上且异于
点B,连接AB,沿AD 将△ABD 折起,使90BDC ∠= (如图2所示).
(Ⅰ)当BD 的长为多少时,三棱锥A BCD -的体积最大;
(Ⅱ)当三棱锥A BCD -的体积最大时,设点E ,M 分别为棱BC ,AC 的中点,试在
棱CD 上确定一点N ,使得EN ⊥BM ,并求EN 与平面BMN 所成角的大小.
21．如图1,在Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别
是AC,AB 上的点,
且DE∥BC,DE=2,将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置,使A 1C⊥CD,如图2.
(1)求证:A 1C⊥平面BCDE;
(2)若M 是A 1D 的中点,求CM 与平面A 1BE 所成角的大小; (3)线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?说明理由.
22．如图,在四棱锥P ABCD -中,PA 丄平面A B C D ,AC 丄AD ,AB 丄
BC ,0=45ABC ∠,==2PA AD ,=1AC .
(Ⅰ)证明PC 丄AD ;
(Ⅱ)求二面角A PC D --的正弦值;
(Ⅲ)设E 为棱PA 上的点,满足异面直线BE 与CD 所成的角为030,求AE 的长.
23．如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB+AD=4，CD=2，︒=∠45CDA ． （I ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ； （II ）设AB=AP ．
（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的 （ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由．
D A
B
C
A
C
D
B
图
2 图1
M
E . ·。