lec8 离散型随机变量及其分布
离散型随机变量及其分布律
话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
地震
火山爆发
特大洪水
在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
泊松定理 设 X ~ B(n, pn )
离散型随机变量的分布律也可表示为
X ~ x1 x2 xn p1 p2 pn
或
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
离散型随机变量的分布函数
F ( x) P{X x} pk P(X xk ).
xk x
xk x
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P{X xk }
X ~ B(1000,0.0001),
所求概率为 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1}
1
0.9999
1000
10100
0.0001
0.9999
999
可利用泊松定理计算 1000 0.0001 0.1,
P{ X 2} 1 e0.1 0.1 e0.1 0.0047.
•
0
•
1
x
当0 x 1时,
F( x) P{X x} P{X 0} 1 ; 2
当x 1时,
F(x) P{X x}
P{X 0} P{X 1}
11 22
1.
0,
得
F
(
x)
1
2
,
1,
x 0, 0 x 1, x 1.
二、常见离散型随机变量的概率分布
1.退化分布
离散型随机变量及其分布律
C30
(1)0 3
(1
1)3 3
C31
(
1)1 3
(1
1)2 3
20 27
．
例 2.4 设某射手独立地向一目标射击 4 次，每次击中目标 的概率为 0.6 ，求该射手在 4 次射击中，命中目标次数 X 的
分布律，并问 X 取何值时的概率最大．
解 将每次射击看成一次随机试验，所需考查的试验结果只
有击中目标和没有击中目标，因此整个射击过程为 4 重的贝
反面向上,
为离散型随机变量，其分布律为
正面向上
X0 1
0 1
11 P
22
或
X
~
1
1
．
2 2
2
性质 2.1（离散型随机变量分布律的性质）设离散型随机
变量 X 的分布律为
X
~
x1 p1
x2 p2
xi pi
，
则有 ⑴ pi 0 ， i 1, 2, ； ⑵
pi 1 ．
i
【注】如果实数列 pi (i 1, 2, ) 满足性质 2.1 中的⑴和⑵，
则 pi (i 1, 2, ) 必能构成某离散型随机变量 X 的分布律．
结论 2.1 设 L 为任意实数集合，则 PX L pi ．
结论 2.2 X 的分布函数
xi L
F(x) PX x pi , x ．
3
xi x
例 2.1 设盒子中有8 个正品和2 个次品，现依次不放回地将其
一般地，在随机试验 E 中，如果样本空间 只包含两个
样本点 {1,2}，且
X
0, 1,
若 =1 , 若 =2 ,
则 X ~ B(1, p) ，其中 p P{X 1} P({2}) ．
离散型随机变量及其概率分布讲义
2.概率分布的性质
P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, …
(1) pk≥0， k = 1,2,… ； (2) pk 1 k 1
注 某意一：个任随机一变具量有上X述的两分个布性列质。的数列｛pk}，都有资格作为
这是判别某个数列是否成为分布列的充要条件！
用于验证概率函数 的正确与否。
X
01
P 1-p p
若X服从x1=1 , x2=0 处参数为p的两点分布，则称X服从0-1分布。 注 0-1分布中X的实质：
设P(A)=p，X“一次试验中A发生的次数”，则X服从0-1分 布.
练习：甲投篮的投中率为0.4，一次投篮中投中的次数X的分布？
X0 1
P 0.6 0.4
11
例：抛掷硬币的试验中，设事件A ={正面向上} ， P(A)= p 随机变量 X=一次抛掷中A发生的次数，则 X～0-1分布(p))
或X P
1 23456 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2 练习：书P35，例1 求分布律
5
例2 袋中有5个黑球、3个白球，每次从中取一个，不放回，
直到取到黑球为止. 求取到白球数目X的概率分布，并求P(-1<X<0)，
P(1<X<3)， P(X≤3).
=0
=P(X=2)=5/56 =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 1
解：X=0，1，2，3
Байду номын сангаас
P(X=0)=
5 8
P(X=1)= 3 5 15 8 7 56
离散型随机变量的分布
离散型随机变量的分布离散型随机变量在概率论中扮演着重要的角色。
它们描述了一系列可能的取值以及各个取值的概率分布。
本文将介绍离散型随机变量的概念、分布以及如何计算相关的概率。
一、离散型随机变量的定义离散型随机变量是指在有限或可数的取值范围内取值的随机变量。
其取值集合可以是离散的整数或者某种离散的事物。
例如，掷骰子的点数、抛硬币的结果等都属于离散型随机变量。
二、离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布通过概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。
概率质量函数是一个函数，它计算每个可能取值的概率。
以掷一颗均匀骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数。
由于骰子的点数是1到6之间的整数，我们可以定义X的取值集合为S={1, 2, 3, 4, 5, 6}。
对于每个可能的点数，我们可以计算出其概率。
X的概率质量函数可以写成如下形式：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6其中，P(X=x)表示随机变量X取值为x的概率。
三、计算离散型随机变量的概率在已知离散型随机变量的概率质量函数的情况下，我们可以计算出各种事件的概率。
以随机变量X为例，假设我们想计算X小于等于3的概率。
我们可以使用概率质量函数中相关取值的概率相加来计算：P(X<=3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2同样地，我们可以计算出其他事件的概率。
四、常见的离散型随机变量分布除了均匀分布之外，还有一些常见的离散型随机变量分布，包括二项分布、泊松分布、几何分布等。
1. 二项分布二项分布描述了在n次独立重复试验中成功的次数的概率分布。
每次试验都有两个可能的结果，成功和失败。
例如，抛硬币n次，成功可以定义为正面朝上的次数。
二项分布的概率质量函数可以写为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)其中，C(n, k)表示组合数，p表示每次试验成功的概率，k表示成功的次数。
离散型随机变量及其分布教案
离散型随机变量及其分布教案一、引言随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机试验中的各种可能结果与相应的概率分布之间的关系。
离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可列无限个离散值的随机变量。
本教案将介绍离散型随机变量及其分布。
二、离散型随机变量的概念离散型随机变量可以理解为能够取到离散值的随机变量。
例如，抛掷一个骰子出现的点数就是一个离散型随机变量，因为它只能取到1、2、3、4、5、6这几个离散值之一。
三、离散型随机变量的分布律离散型随机变量可以通过分布律来描述其各个取值的概率。
1. 定义离散型随机变量的分布律是指在给定取值情况下的概率分布。
对于离散型随机变量X，其分布律可以表示为P(X=x)，其中x表示X的某个取值。
2. 性质离散型随机变量的分布律必须满足以下两个性质：（1）非负性：对于任意的x，P(X=x)≥0；（2）归一性：所有可能的取值情况的概率之和等于1，即∑P(X=x)=1。
四、常见离散型随机变量及其分布1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型随机变量分布之一，它描述了一个随机试验只有两个可能结果的情况。
例如，投掷硬币的结果只能是正面或反面。
2. 二项分布二项分布是描述n个独立的伯努利试验中成功次数的离散型随机变量的分布。
例如，投掷一枚硬币n次，正面朝上的次数就是一个满足二项分布的离散型随机变量。
3. 泊松分布泊松分布是描述在给定时间段或空间范围内某事件发生次数的离散型随机变量的分布。
例如，单位时间内到达某一地点的车辆数量就可以用泊松分布来描述。
4. 几何分布几何分布是描述在一系列独立的伯努利试验中，首次获得成功所需要的试验次数的离散型随机变量的分布。
例如，第一次抛掷正面朝上的硬币所需要的抛掷次数就可以用几何分布来描述。
五、总结离散型随机变量及其分布是概率论中的重要概念，通过分布律可以准确描述随机变量的取值情况和相应的概率分布。
常见的离散型随机变量包括伯努利分布、二项分布、泊松分布和几何分布，它们在实际问题中具有广泛应用。
例析离散型随机变量及其分布列
例析离散型随机变量及其分布列离散型随机变量是统计学中的基本概念之一。
随机变量是指一个变量，它的取值不是确定的值，而是由概率去决定的。
大家在学习数学时，也学过离散分布的概念，也就是一些独立的事件发生的概率值。
离散型随机变量就是基于这一理念而设定的，其概率分布也称为概率质量函数。
本文将重点介绍离散型随机变量及其分布列。
一、离散型随机变量离散于连续是统计学中的两个重要概念。
离散型随机变量是离散概率分布中的一种，其特点是变量的取值组成是可数的，且变量取值之间存在间隔。
例如，某种产品按照生产数量的不同等级分为一定数量的等级，即可用离散型随机变量进行描述。
离散型随机变量通常会拥有概率质量函数，也称为离散分布列。
概率质量函数可以用来描述在不同取值时的概率大小。
二、离散型随机变量的概念离散型随机变量的概念众所周知，但是我们需要了解它的各个方面。
首先，离散型随机变量是指在概率控制下的变量，可以取一个离散集合中的任一数值。
该类型的随机变量通常有无穷多的可能取值。
因此，我们通过概率分布来描述其概率情况，即概率质量函数。
三、离散型随机变量的分布列离散型随机变量拥有其特有的概率分布，也称为概率质量函数。
该函数用于表示一个任意随机变量X可以取到x的概率。
这个函数通常用分布列表示。
分布列定义了一个数轴的形状，使得整个分布集的面积为1。
因此，在离散型随机变量的案例中，分布列指示每个可能的随机变量取值。
四、离散型随机变量的分布列的应用分布列通常用于分析离散型随机变量。
我们可以通过概率质量函数描述某些离散型随机变量的概率分布情况。
概率分布中的不同离散变量都有一个相应的概率，这些概率组成了分布列。
分布列通常给出一个随机变量采取所有不同取值的概率。
通过分析分布列，我们可以确定随机变量的概率分布，进而应用于具体的研究问题。
五、离散型随机变量的例子以下是两个离散型随机变量的例子：1. 投硬币游戏：将硬币投掷N次，并计算正面朝上的数量，这个随机变量就是离散型随机变量，可用二项分布描述其概率分布。
离散型随机变量及其分布率
• 离散型随机变量概述 • 离散型随机变量的分布率 • 常见的离散型随机变量分布 • 离散型随机变量的应用 • 离散型随机变量的模拟与实验
01
离散型随机变量概述
定义与性质
定义
离散型随机变量是在一定范围内可以 一一列举出来的随机变量，通常用X, Y, Z等符号表示。
性质
离散型随机变量具有可列举性、有限 性、互斥性和完备性等性质。
常见的离散型随机变量分布
二项分布
总结词
二项分布适用于独立重复试验中成功的 次数。
VS
详细描述
二项分布适用于在n次独立重复试验中成 功的次数，其中每次试验成功的概率为p 。二项分布的概率质量函数、概率生成函 数和期望值分别为C(n,k)p^k(1-p)^(n-k) 、C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)和np。
离散型随机变量是概率计算的基础，通过离 散型随机变量的概率分布，可以计算出事件 发生的概率，从而为决策提供依据。
决策分析
在决策分析中，离散型随机变量可以用来描 述不确定因素，通过期望值和方差等统计量 ，帮助决策者权衡不同方案的风险和收益。
统计推断与假设检验
要点一
参数估计
离散型随机变量在参数估计中有着广泛应用，例如在二项 分布中，可以使用贝叶斯定理和最大似然法等方法估计未 知参数。
05
离散型随机变量的模拟与实验
蒙特卡洛模拟
1
蒙特卡洛模拟是一种基于概率统计的数值计算方 法，通过随机抽样来近似求解数学问题。
2
在离散型随机变量的模拟中，蒙特卡洛方法可以 用来估计概率分布、期望值、方差等统计量。
3
蒙特卡洛模拟的精度取决于抽样次数，通常需要 大量重复抽样以获得较为准确的结果。
离散型随机变量与分布
离散型随机变量与分布一、离散型随机变量的概念离散型随机变量是指在一定范围内取有限个或可数个值的随机变量。
通常用字母X来表示离散型随机变量，例如X={x1, x2, x3, ...}。
每个xi表示X取某个值的情况，对应的概率为P(X=xi)，概率取值介于0和1之间，且所有xi对应的概率之和等于1。
二、离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律描述了X取不同值的概率分布情况。
记为P(X=xi)或P(X)。
其中，xi表示随机变量X可能取到的某个值，P(X=xi)表示X取xi时的概率。
常见的离散型随机变量分布律包括：1. 伯努利分布：伯努利试验是一类只有两种结果的随机试验，例如抛硬币或投骰子。
若随机变量X表示试验成功的概率，则伯努利分布的分布律为：P(X=x) = p^x(1-p)^(1-x)，其中p表示试验成功的概率。
2. 二项分布：二项分布是n重伯努利试验的离散型随机变量分布。
它描述了进行n次独立的成功-失败试验（伯努利试验）中成功次数X的概率分布。
其分布律为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)表示从n次试验中选k次成功的组合数。
3. 泊松分布：泊松分布适用于描述一段时间或一定空间内随机事件发生的次数。
其分布律为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ表示单位时间或单位空间内事件发生的平均次数。
4. 几何分布：几何分布适用于描述在n次独立的伯努利试验中，首次获得成功的次数。
其分布律为：P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p，其中p表示每次试验成功的概率。
5. 二项负分布：二项负分布描述了在一系列独立的伯努利试验中，获得r次成功时需要进行的试验次数。
其分布律为：P(X=k) = C(k-1, r-1) * p^r * (1-p)^(k-r)，其中p表示每次试验成功的概率。
三、离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量的期望和方差是对离散型随机变量分布的特征进行度量的指标。
选修离散型随机变量及其分布知识点
离散型随机变量及其分布知识点一：离散型随机变量的相关概念；随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。
若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅、ξ取每一个值()1,2,i x i =⋅⋅⋅的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：(1) 01,2,i p i ≥=⋅⋅⋅，；12(2) 1P P ++=特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+知识点二：两点分布：若随机变量X 的分布列: 则称X 的分布列为两点分布列.特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.(2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究.知识点三：超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则(),0,1,,min{,},,,.k n k M N M n NC C P X k k m m M n n N M N C --===⋅⋅⋅=≤≤其中称超几何分布列. 为超几何分布列，知识点四：离散型随机变量的二项分布；在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（0,1,2,3,k =…， p q -=1）ξ由于k k n k n C p q -恰好是二项式展开式：001110()n n n k k n k n n n n n n p q C p q C p q C p q C p q --+=+++++ 中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作(,)B n p ξ ，其中n ，p 为参数，并记(,,)k k n k n C p q b k n p -=知识点五：离散型随机变量的几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =，(), (1)k p A q q p ==-，那么 112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A qp ξ---==== (0,1,2,k =…， p q -=1)于是得到随机变量ξ的概率分布如下：称这样的随机变量ξ服从几何分布，记作1(,),0,1,2,,1.k g k p q p k q p -===- 其中知识点六：求离散型随机变量分布列的步骤；(1)要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；(2)分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；(3)列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.几种常见的分布列的求法：(1)取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有划归法、数形结合法、对应法等对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.(2)射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.(3)对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.知识点六：期望数学期望:则称=ξE +11p x 22p x n n 数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列如果随机试验每一个可能结果e ，都唯一地对应着一个实数X(e)，则这个随着试验结果不同而变化的变量称为随机变量.随机变量通常用X ，Y…表示。
如果随机变量X 的所有取值都可以逐个列举出来，则称X 为离散型随机变量。
一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为n x x x ，，，...21，其相应的概率为n p p p ，，，...21，记：)...2,1()(n i p x X P i i ，，===或把上式列成下表:上表或上式称为离散型随机变量X 的概率分布列(简称X 的分布列).离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)n i p i ，，，，...210=≥;(2)1...21=+++n p p p 【例题1】全班有40名学生，某次综合素质单项测评的成绩(满分5分)如下:现从该班中任选一名学生，用X 表示这名学生的单项测评成绩，求随机变量X 的分布列.【例题2】设随机变量X 的分布列为4,321)1()(，，，=+==k k k c k X P ，其中c 为常数，求2521(＜＜X P 的值。
【练习】1.写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的取值所表示的随机试验的结果:(1)将10个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~10，现从袋中任取1个球，被取出的球的编号为X;(2)将15个质地、大小一样的球装入袋中，其中10个红球，5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X;(3)投掷两枚骰子，所得点数之和为X.2.用X表示某人进行10次射击击中目标的次数，分别说明下列随机事件的含义.(1){X=8};(2){1<X≤10};(3){X≥1};(4){X<1}3.离散型随机变量X的分布列如下表所示，求p的值4.将6个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1~6.现从中任取3个球，以X表示取出球的最大号码,(1)求X的分布列;(2)求X>4的概率.两点分布如果随机变量X 只取值0或1，且其概率分布是)1,0(1)0(,)1(∈-====p p X P p X P ，则称随机变量X 服从两点分布，记作：)1(~p B X ，两点分布又称0-1分布，是我们在现实生活中经常会遇到的一种分布，例如，检查产品是否合格，投篮是否命中，一粒种子是否发芽，等等，当只考虑成功与否时，都可以用服从两点分布的随机变量米描述。
离散型随机变量及其分布率共33页文档
X的概率分布是：
P { X k } C 4 k p k ( 1 p ) 4 k , k 0 , 1 , 2 , 3 , 4
2020/4/19
11
引例2 将一枚均匀骰子抛掷3次，令X 表示3次中出
现“4”点的次数。
不难求得，X的概率分布是：
P{Xk}C3 k(6 1)k(6 5)3k, k0,1,2,3
2020/4/19
9
2.二项分布 引例1 设生男孩的概率为p, 生女孩的概率为q=1-p，
令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数。
我们来求X的概率分布。
2020/4/19
10
X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数， 生男孩的概率为 p.
X=0
X =1 X =2 X =3 X =4
男女
X可取值0,1,2,3,4.
➢ 设离散随机变量 X 的可能取值为：
x1，x2，……，xk，……
称 P Xxkp k,k 1 ,2 ,L 为X的分布律.
分布律也可用表格形式表示： X x1 x2 …… xk …… P p1 p2 …… pk ……
2020/4/19
2
分布律的基本性质
(1) pk0, k1,2, (非负性)
(2) pk 1 k 1
16
例1 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次 数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.
X 01
2
3
4
5
pk
(0.4)5
50.6 0.44 1
50.62 0.43 2
50.63 0.42 3
50.64 0.4 4
0.65
离散型随机变量及其分布列课件
2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，…，xi，…， xn，X 取每一个值 xi(i＝1，2，…，n)的概率 P(X＝xi)＝pi，以表格的形 式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列．有
根据分布列的性质，得 0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.]
18
2．设随机变量 X 的分布列为 PX＝5k＝ak(k＝1，2，3，4，5)． (1)求 a； (2)求 PX≥35； (3)求 P110＜X≤170.
19
[解] (1)由分布列的性质，得 PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＋ PX＝45＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
23
已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测 将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件 次品或检测出 3 件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的 分布列．
所以 a＝115.
20
(2)PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝3×115＋4×115＋5×115 ＝45.
(3)P110＜X≤170＝PX＝15＋PX＝25＋PX＝35＝115＋125＋135＝165 ＝25.
21
由于分布列中每个概率值均为非负数，故在利用概率和 为 1 求参数值时，务必要检验．
离散随机变量及其概率分布
离散随机变量及其概率分布离散随机变量是概率论中一个重要的概念。
本文将从离散随机变量的定义和基本概念入手，逐步介绍离散随机变量的概率分布及其性质。
一、离散随机变量的定义和基本概念离散随机变量是指在一组可列的、互不相容的事件中，每个事件的概率都大于等于0且小于等于1。
换句话说，离散随机变量的取值是可数的，而不是连续的。
离散随机变量的取值可以是整数，也可以是自然数，它们可以代表不同的离散情况。
例如，一个骰子的点数可以表示为离散随机变量X，其取值范围为{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
离散随机变量的概率分布可以通过随机变量的概率质量函数（probability mass function，简称PMF）来表示。
PMF定义了离散随机变量X取某个特定值的概率。
记作P(X = x)，其中x表示随机变量X的某个取值。
二、离散随机变量的概率分布离散随机变量的概率分布常用的形式有：概率质量函数、累积分布函数和期望值。
1. 概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）概率质量函数是离散随机变量的概率分布的一种表示方式，它定义了离散随机变量X取某个特定值的概率。
对于离散随机变量X，其概率质量函数可以表示为：P(X = x) = p(x)，其中x为离散随机变量X的取值，p(x)为X取x的概率。
2. 累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）累积分布函数是离散随机变量的概率分布的另一种表示方式，它定义了离散随机变量X小于等于某个特定值的概率。
对于离散随机变量X，其累积分布函数可以表示为：F(x) = P(X ≤ x)，其中x为离散随机变量X的取值。
3. 期望值离散随机变量的期望值是对随机变量的一种平均衡量，可以用来表示一个随机变量的平均取值水平。
对于离散随机变量X，其期望值可以表示为：E(X) = ∑[x·p(x)]，其中x为离散随机变量X的取值，p(x)为X取x 的概率。
离散型随机变量及其分布
因此X的分布律为
k P( X k ) C7 0.6k 0.47k , k 0,1,2,...,7 所求概率为P( X 4) P( X 4) P( X 5) P(X 6) P( X 7)
k C7 (0.6) k (0.4) 7 k 0.7102 k 4 7
X ~ p( ), 且P X 1 P( X 0) P( X 1) 3e
2
e e 3e 2
2
P( X 3) 1 P( X 0) P( X 1) P( X 2)
21 2 2 2 2 1 e 2 e e 1 5e 2 0.323 1! 2!
k
k!
e , k 0,1,2,...
例2.9可用泊松定理计算。
取 =np=400×0.02＝8, 近似地有
P(X2)＝1－ P(X＝0)－P(X＝1) ≈1－(1＋8)e－8＝0.996981
泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极 限分布，
当n很大，p很小时，二项分布就可近似地 看成是参数=np的泊松分布。
4、几何分布 设随机变量X的可能取值是1,2,3,…,且 P(X=k)=(1-p)k-1p=qk-1p，k=1，2，3，… , 其中0<p<1是参数，则称随机变量X服从参数 p为的几何分布。 几何分布背景：
随机试验的可能结果只有2种，A与 A
试验进行到A发生为止的概率P(X=k)，即k次 试验，前k-1次失败，第k次成功。
2、概率分布（分布律或概率函数） 设离散型随机变量X，其所有可能取值为x1, x2, …, xi, …, 且取这些值的概率依次为p1, p2, …, pi, …, 即 P(X=xi)=pi (i=1, 2, … ) 而且满足（1）P(X=xi)=pi≥0 (i=1, … ) 2,
离散型随机变量及其分布律
0 1 p
1 p
则称 X 服从 (0—1) 分布或两点分布.
例6 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.
0, 当e 正面, X X (e ) 1, 当e 反面.
随机变量 X 服从 (0—1) 分布. 其分布律为
X
pk
0 1 2
1 2
1
例7 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品, 现从中随机抽取一件,那末,若规定
k 0,1,
,n
称这样的分布为二项分布.记为 X ~ b( n, p). 二项分布
n1
两点分布
易证： （1） P( X
n
k) 0
（ 2）
P( X k ) 1
k 0
二项分布的图形
例8 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2 个次品的概率. 解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是贝努里试验.
k e
, k 0,1,2, ,
泊松分布的背景及应用
二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.
数，所以
k 0 ( n 1) p 1 k 0 ( n 1) p
解上述不等式得(n+1)p-1≤ k0 ≤ (n+1)p 。因为k0必须为整
(n 1) p和(n 1) p 1, 当(n+1)p为整数， k0 其它， [(n 1) p],
本例中，n=20，p=0.2, 所以，(n+1)p=4.2, 故k0=4。
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x
xxn xn来自x0书上例5.31
• 某商店饮料的销售量中40%为果汁类饮料。现随 机调查5位顾客，问有2人购买果汁饮料的概率是 多少？2人以上购买果汁饮料的概率是多少？ • 设随机变量X为购买果汁饮料的顾客人数，显然 X～B(5，0.4) • P ( X 2 ) C 0 .4 0 .6 = Binomdist (2, 5, 0.4, 0) = 0.3456 • P ( X 2 ) 1 P ( X 2 ) 1 F ( X 2 ) 1 C p (1 p ) =1- Binomdist (2, 5, 0.4, 1) =0.31744
– 在极短时间内成功次数在两次或两次以上的概率很 小且可以忽略不计
泊松分布
• 上述过程就是泊松过程，单位时间内试验 成功的次数X服从泊松分布：
f ( X x; ) P ( x; ) e
x
– ：期望的成功次数； – e：2.71828 (自然对数的底)； – x：单位时间中成功的次数 – 描述罕见事件发生次数
P ( X 1) p , P ( X 0 ) 1 p
– 用一个式子表示为：
f ( X x ; p ) p (1 p )
x 1 x
x 0 ,1
(0 p 1)
对贝努里分布的实验观察
• 运用Excel中的随机数发生器工具
二项分布
• 背景故事：温家宝2009年：“有个现象值 得我们注意，过去我们上大学的时候，班 里农村的孩子几乎占到80%，甚至还要高， 现在不同了，农村学生的比重下降了。这 是我常想的一件事情。” • 2010年的统计学校园调查的数据显示，北 大农村生源的比重为14%
• 二项分布演示
二项分布值的计算
• 运用函数Binomdist
– 概率值P ( X x ) C p (1 p ) 计算运用 Binomdist (x, n, p, false) – 累积概率值 P ( X x ) C p (1 p ) 计算运用 Binomdist (x, n, p, true) – False or true是对“输出结果是否为累积概率” 的逻辑判断，也可以输入1 or 0
P ( x ; ) P ( X 4 ;3 . 6 ) e
3 .6
3 .6
4
0 . 1912
4!
例5.35
• 若平均每分钟有2辆车通过收费站，现在收费 站停留5分钟，会有6辆车通过的概率为多少？ 会有少于6辆的车辆通过的概率为多少？会有6 辆以上（不含）的车辆通过的概率为多少？ • 解：因为平均每分钟通过2辆车，所以平均5分 钟就会有10辆，这样 =10 • P ( x ; ) P ( X 6 ;10 ) = Poisson(6, 10, false) = 0.06 • F ( x ; ) P ( X 5;10 ) = Poisson(5, 10, true) = 0.067 • P ( X 6 ;10 ) 1 P ( X 6 ;10 ) = 1- Poisson(6, 10, 1) = 0.87
– F(X = 0) =28/45, F(X = 1) =44/45, F(X = 2) =1
几种重要的离散型随机变量 及其概率分布
• • • • • 贝努里分布 二项分布 泊松分布 超几何分布 负二项分布与几何分布
贝努里试验 Jacob Bernoulli
• 在许多试验中，对每次试验而言，试验结 果只有两种可能
– yes or no; success or failure – 如抛掷硬币、产品检验、新生儿性别等试验
• 一次试验只有两种结果的试验称为贝努里 试验 • 若把贝努里试验中某事件出现的结果记为 事件A，则另一种结果就是事件A的对立事 件A
贝努里分布
• 记事件A出现的概率为P ( A ) p ，事件A 出现 的概率为 P ( A ) 1 p • 令试验结果为随机变量X，并对其赋值为X = 1（当事件A出现）或X = 0（当事件A不出 现），则X 服从参数为p的贝努里分布，其 概率分布为：
x x n x
x 0 ,1, 2 , n
0 p 1
• 则称X服从参数为（n，p）的二项分布
– 用记号X～B（n，p）表示 – n，p分别为二项分布的两个参数
• 它的累积分布函数为
F ( X x; n, p ) P ( X x )
C
x0
x
x n
p (1 p )
x
n x
P ( X x ) C n p (1 p )
x x n x
x 0 ,1, 2 , n
0 p 1
二项分布定义
• 如果随机变量X表示在n重贝努里实验中，事件 A发生的次数，则它的分布如下：
f ( X x ; n , p ) P ( X x ) C n p (1 p )
离散型随机变量及其分布
第八讲
大纲
• 随机变量与概率分布 • 离散型随机变量与概率分布
– 贝努里分布 – 二项分布 – 泊松分布 – 超几何分布 – 负二项分布与几何分布
随机变量
• 一个随机试验的可能结果（称为基本事件）都 可以用数值来描述 • 试验结果本身为数量结果
– 消费者的家庭月收入Y = 1000, 2000, …, 12000, …
x!
• 泊松过程不仅对应于时间概念，也对应于 空间和人群概念
– 如机场降落的飞机数
经典例子
• Borthiewicz (1898)观察了10个普鲁士骑兵队 在20年间，被马被踢死的士兵的数量
– 总共200个观测值
• 得到：(理论次数和频率是依据泊松分布计算的)
死亡人数 次数 频率 理论次数 理论频率 0 109 0.545 108.8 0.544 1 65 0.325 66.2 0.331 2 22 0.110 20.2 0.101 3 3 0.015 4.2 0.210 >=4 1 0.005 0.6 0.003
2 2 3 5 2 2 3 5
• 问题：为什么出现正面的概率增加时，而 X=2的概率却下降了？
二项分布图形的特征
• 服从二项分布的随机变量的概率分布受n和 p的影响，所以n，p是二项分布的两个参数 • 二项分布的图形就由这两个参数确定
– 当p < 0.5时，正偏；p >0.5时，负偏；当p=0.5 时，对称 – 随着n的增加而趋向对称，n越大，图形越对称
泊松定理
• 由二项分布，n个人中有 X 个人中彩票的概 率为：
X ~ B(
n
, n ), Pn ( X x ) C n (
x
n
) (1
x
n
)
n x
n
n
e
• 泊松定理：当n很大时， P ( x )
x
x!
• 每次实验中发生概率很小的事件成为稀有 事件，如地震、洪水、火山爆发 • 根据泊松定理可知，n重贝努里实验中稀有 事件发生的次数近似服从泊松分布
• 离散型随机变量的概率分布
– 用一系列等式或表格来表示每个随机变量X取值 的概率，即为离散型随机变量X的概率分布。
X x1 x2 … xi … xn
pi
p1
p2
…
pi
…
pn
例子
• 10件同样的产品中有2件次品，从中任取2 件，取出的两件产品中次品的个数X为随机 变量，它的概率分布可以表示如下：
p 0 p ( X 0 ) C 8 / C 10 2 8 / 4 5
分布图
• 概率分布图与累积分布图
0.4
=1
0.3 0.2 0.1 0 0 5 10 15 20
= 4 =10
例5.34
• 顾客以每小时72人的速度到达，三分钟之 内达到4名顾客的概率是多少？ • 注意：三分钟是我们要考察的单位时间 • 72/小时 = 1.2 /分钟， = 3.6 /三分钟 • 泊松分布题解的关键在于找到正确的
– 基本空间：所有基本事件构成的集合 – 以掷一个骰子为例， Ω={1,2,3,4,5,6} – 令随机变量X为一次掷骰子的点数
• X可以取值1,2,3,4,5,6
– 令随机变量X表示“点数为奇数”
• 当点数为1,3,5时，X=1；当点数为2,4,6时，X=0
• 用随机变量来表示随机事件是没有问题的
问题
• 现随机地北大选取50名学生，恰好有一人 为农村生源的概率是多少？两人、十人的 概率又为多少？ • 对于随机试验中的每个学生，他（她）是 农村生源的概率都是14%
• 每次选取符合贝努里试验的条件，相当于 进行了1次贝努里试验，50人次的随机选区 就相当于进行了50次独立的贝努里试验
n重贝努里试验
• 当n=1时，随机变量X服从贝努里分布
– 参数为p的贝努里分布是二项分布的一个特例
例子
• 掷一枚质地均匀的硬币，重复地掷5次，记 正面向上的次数为随机变量X，（1）求X=2 的概率；（2）若分币质地不均匀，出现正 面的概率为2/3，求重复掷5次时X=2的概率 （1）P ( X 2 ) C (1 / 2 ) (1 / 2 ) = 5/16 = 0.3125 P （2） ( X 2 ) C ( 2 / 3 ) (1 / 3 ) = 40/243 = 0.165
• n次独立的贝努里试验 • n重贝努里试验即意味着在相同的条件下独 立地进行多次同样的试验
– 试验包含了n个相同的实验 – 每次试验只有两个可能的结果：成功或失败 – 成功的概率为p，失败的概率为1-p – 每次试验的结果互不影响，相互独立 – 实验成功或失败可以计数
其他例子
• • • • • 一批五件产品中合格品的个数 在33个考试题中回答正确的题数 100位进入店内的顾客中买东西的顾客人数 打20个调查电话，对方接受访问的个数 在n重贝努里试验中，事件A发生的概率为p， 则A在n次试验中发生x次的概率为：