2016届中考数学一轮复习训练：第24课时《特殊平行四边形》二 (浙教版)
数学初三中考(浙教版)教材基础复习篇 第24课
∴∠DEF=90°, ∴∠DEM+∠FEN=90°,∴∠EDM=∠FEN, 在△DME和△ENF中,
EDM FEN, DM EN, DME ENF,
∴△DME≌△ENF(ASA),∴EF=DE;
(2)由(1)知,△DME≌△ENF,∴ME=NF,
∵四边形MNBC是矩形,∴MC=BN,
又∵ME=MC,AB=4,AF=2,∴BN=MC=NF=1,∵∠EMC=90°2,∴CE= ,
A.2 B. 5 C.3 D.4
2
3.(2020·广东)如图,在菱形ABCD中,∠A=30°,取大于 1 AB的长为半径,分别
2
以点A,B为圆心作弧相交于两点,过此两点的直线交AD边于点E(作图痕迹如图
所示),连接BE,BD,则∠EBD的度数为___4_5_°____.
4.(2020·江苏)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件: ___A_B_=_B_C_(_答__案__不__唯__一__)___,使▱ABCD是菱形.
8
矩1 形ABCD的面积,
8
变式2.(2020·广州)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=6,BC=8,过点O 作OE⊥AC,交AD于点E,过点E作EF⊥BD,垂足为F,求OE+EF的值.
【解析】∵四边形ABCD是矩形,AB=6,BC=8, ∴AC=BD,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°, AD=BC=8,DC=AB=6, ∴AC= AB2 B=C120,BD=10, ∴OA=1 AC=5,
∵AF∥CD,∴△DGC∽△FGA, CD CG ,
AF AG
∴ 4 CG ,
2 AG
∵AB=BC=4,∠B=90°,∴AC=42 ,
中考数学复习《特殊的平行四边形》专题练习(含答案)
三、解答题
31. (2018·湘西州)如图，在矩形 中， 是 的中点，连接 .
(1)求证: ;
(2)若 ，求 的周长.
32. (2018连云港)如图，在矩形 中， 是 的中点，延长 交于点 ，连接 .
(1)求证:四边形 是平行四边形;
A. B. C. D.
二、填空题
13. (2018·株洲)如图，矩形 的对角线 与 相交点 ， 分别为 的中点，则 的长度为.
14.(2018·成都)如图，在矩形 中，按以下步骤作图:①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ;②作直线 交 于点 .若 ，则矩形的对角线 的长为.
38. (2018·乌鲁木齐)如图，在四边形 中， ， 是 的中点， ， ， 于点 .
(1)求证:四边形 是菱形;
(2)若 ，求 的长.
39. (2018·广安)如图，四边形 是正方形， 为 上一点，连接 ，延长 至点 ，使得 ，过点 作 ，垂足为 ，求证: .
40. (2018·盐城)如图，在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 满足 ，连接 .
(2)在(1)的条件下，连接 ，求 的度数.
36.(2018·娄底)如图，在四边形 中，对角线 相交于点 ，且
，过点 作 ，分别交 于点 .
(1)求证: ;
(2)判断四边形 的形状，并说明理由.
37. (2018·南京)如图，在四边形 中， ， . 是四边形 内一点，且 .求证:
(1) ;
(2)四边形 是菱形.
9. (2018·宿迁)如图，菱形 的对角线 相交于点 ， 为边 的中点.若菱
八年级数学下册《特殊平行四边形》练习题与答案(浙教版)
八年级数学下册《特殊平行四边形》练习题与答案(浙教版)一、选择题1.在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，则对角线AC的长等于( )A.5B.10C.15D.202.下列命题中错误的是( )A.平行四边形的对角线互相平分B.菱形的对角线互相垂直C.同旁内角互补D.矩形的对角线相等3.如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个矩形的对边上，如果∠1＝25°，那么∠2的度数是( )A.100°B.105°C.115°D.120°4.如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E，若AB＝8，AD＝3，则图中阴影部分的周长为( )A.11B.16C.19D.225.如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为( )A.2B.3C.4D.56.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点.若△CEF 的周长为18，则OF的长为( )A.3B.4C.2.5D.3.57.任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示.若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是( )A.△EGH为等腰三角形B.△EHF为等腰三角形C.四边形EGFH为菱形D.△EGF为等边三角形8.下列命题中，假命题是( )A.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形9.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A.测量对角线是否相互平分B.测量两组对边是否分别相等C.测量一组对角是否为直角D.测量四边形的其中三个角是否都为直角10.小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题.从下列四个条件:①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD.中选两个作为补充条件,使▱ABCD为正方形(如图),现有下列四种选法,你认为其中错误的是( )A.①②B.②③C.①③D.②④11.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，E是边AD的中点，过点E作EF⊥BD，EG⊥AC，点F，G为垂足，若AC＝10，BD＝24，则FG的长为( )A.132 B.8 C.10 D.1212.如图,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,依此下去,第n个正方形的面积为( )A.(2)n﹣1B.2n﹣1C.(2)nD.2n二、填空题13.在菱形ABCD 中，AC＝3，BD＝6，则菱形ABCD的面积为．14.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝20°，则∠DBC为 .15.如图，直线l过正方形ABCD的顶点D，过A、C分别作直线l的垂线，垂足分别为E、F.若AE＝4a，CF ＝a，则正方形ABCD的面积为.16.如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是 .17.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为____.18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB 于点E，则线段DE的最小值为．三、解答题19.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF.(1)求证：AE＝CF；(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积.20.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE＝CD；(2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，求AE的长.21.已知正方形ABCD，E、F分别为边BC、CD上的点，DE＝AF.求证：AF⊥DE.22.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E(尺规作图的痕迹保留在图中了)，连接EF．(1)求证：四边形ABEF为菱形；(2)AE，BF相交于点O，若BF＝6，AB＝5，求AE的长．23.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝6.(1)实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.①作∠ABC的角平分线交AC于点D.②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF.(2)推理计算：四边形BFDE的面积为.24.如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积.25.已知四边形ABCD为正方形，E是BC的中点，连接AE，过点A作∠AFD，使∠AFD＝2∠EAB，AF交CD于点F，如图①，易证：AF＝CD＋CF．(1)如图②，当四边形ABCD为矩形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明；(2)如图③，当四边形ABCD为平行四边形时，其他条件不变，线段AF，CD，CF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．参考答案1.A2.C.3.C.4.D.5.A.6.D.7.D.8.C.9.D.10.D11.A.12.B.13.答案为：9．14.答案为：70°.15.答案为：17a2.16.答案为：8.17.答案为：12；18.答案为：2.4.19.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°.∵BE＝DF∴OE＝OF.又∵∠AOE＝∠COF∴△AOE≌△COF(SAS)∴AE＝CF；(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD∴OA＝OB.∵∠AOB＝∠COD＝60°∴△AOB是等边三角形∴OA＝AB＝6∴AC＝2OA＝12.在Rt△ABC中，BC＝AC2－AB2＝6 3∴矩形ABCD的面积为AB·BC＝6×63＝36 3.20.(1)证明：∵DE＝OC，DE∥AC∴四边形OCED是平行四边形∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD∴∠COD＝90°∴平行四边形OCED是矩形.∴OE＝CD.(2)解：在菱形ABCD中，∠ABC＝60°∴AC＝AB＝4∴在矩形OCED中，CE＝OD＝2 3∴在△ACE中，AE＝27.21.证明：∵四边形ABCD为正方形∴AD＝DC，∠ADC＝∠C＝90°在Rt△ADF与Rt△DCE中AF＝DE，AD＝CD∴Rt△ADF≌Rt△DCE(HL)∴∠DAF＝∠EDC设AF与ED交于点G∴∠DGF＝∠DAF＋∠ADE＝∠EDC＋∠ADE＝∠ADC＝90°∴AF⊥DE.22.证明：(1)由尺规作∠BAF的角平分线的过程可得AB＝AF，∠BAE＝∠FAE ∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠FAE＝∠AEB∴∠BAE＝∠AEB∴AB＝BE∴BE＝FA∴四边形ABEF为平行四边形∵AB＝AF∴四边形ABEF为菱形；(2)解：∵四边形ABEF为菱形∴AE ⊥BF ，BO ＝12FB ＝3，AE ＝2AO在Rt △AOB 中，AO ＝4∴AE ＝2AO ＝8．23.解：(1)如图，DE 、DF 为所作；(2)∵∠C ＝90°，∠A ＝30°∴∠ABC ＝60°，AB ＝2BC ＝12∵BD 为∠ABC 的角平分线∴∠DBC ＝∠EBD ＝30°∵EF 垂直平分BD∴FB ＝FD ，EB ＝ED∴∠FDB ＝∠DBC ＝30°，∠EDB ＝∠EBD ＝30° ∴DE ∥BF ，BE ∥DF∴四边形BEDF 为平行四边形而FB ＝FD∴四边形BEDF 为菱形在Rt △ADE 中，DE ＝12AE 而AE ＝AB ﹣BE∴12﹣BE ＝12BE ，解得BE ＝8 在Rt △BDC 中，CD ＝33BC ＝2 3 ∴四边形BFDE 的面积＝12×8×23＝8 3. 24.证明：(1)由题意可得，△BCE ≌△BFE ∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE∵FG ∥CE∴∠FGE ＝∠CEB∴∠FGE ＝∠FEG第 11 页 共 11 页 ∴FG ＝FE∴FG ＝EC∴四边形CEFG 是平行四边形又∵CE ＝FE∴四边形CEFG 是菱形；(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10∴AF ＝8∴DF ＝2设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6﹣x∵∠FDE ＝90°∴22＋(6﹣x)2＝x 2，解得，x ＝103 ∴CE ＝103∴四边形CEFG 的面积是：CE •DF ＝103×2＝203. 25.解：(1)AF=CD+CF ；(2)AF=CD+CF.。
浙教版初中数学八年级下册《特殊平行四边形》全章复习与巩固(提高)巩固练习
【巩固练习】一.选择题1. 如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形面积的( )A. B. C. D.2.下列说法中，正确的是（）A．同位角相等B．对角线相等的四边形是平行四边形C．四条边相等的四边形是菱形D．矩形的对角线一定互相垂直3.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（）A．48 B．60 C．76 D．804. 如图，在矩形ABCD中，点P是BC边上的动点,点R是CD边上的定点。
点E、F分别是AP,PR的中点。
当点P在BC上从B向C移动时，下列结论成立的是（）A. 线段EF的长逐渐变大；B. 线段EF的长逐渐减小；C. 线段EF的长不改变；D. 线段EF的长不能确定.5. 如图是一块矩形ABCD的场地，长AB＝102m，宽AD＝51m，从A、B两处入口的中路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分为草坪，则草坪面积为 ( )m B.4 9002m C.5 0002m D.4 9982mA.5 05026. 如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB、CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和682cm ,那么矩形ABCD 的面积是 ）A ．212cmB ．162cmC ．242cmD ．92cm7. 正方形内有一点A ，到各边的距离从小到大依次是1、2、3、4，则正方形的周长是（ ） Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．24 Ｄ．258．（2015•陕西模拟）如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE=BC ，P 为CE 上任意一点，PQ⊥BC 于点Q ，PR⊥BE 于点R ，则PQ+PR 的值是（ ）A.23 B.12 C.2 D.2二.填空题9.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积是________.10．在正方形ABCD 中，E 在AB 上，BE ＝2，AE ＝1，P 是BD 上的动点，则PE 和PA 的长度之和最小值为___________．11．如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2……依此类推，则平行边形n n ABC O 的面积为___________．12. 如图所示，在口ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于点M 、N ．给出下列结论：①△ABM ≌△CDN ；②AM ＝13AC ；③DN ＝2NF ；④12AMB ABC S S △△．其中正确的结论是________．(只填序号)13.已知菱形的两条对角线长分别是6cm,8cm. 则菱形的周长是_____cm, 面积是_____ cm 2.14.（2015春•南长区期中）如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点，PE⊥AB 于E ，PF⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是 ．15.如图所示，菱形ABCD 的边长为4，且AE⊥BC 于E ，AF⊥CD 于F ，∠B＝60°，则菱形的面积为________.16.（2016•怀柔区一模）在数学课上，老师提出如下问题：如图1，将锐角三角形纸片ABC （BC ＞AC ）经过两次折叠，得到边AB ，BC ，CA 上的点D ，E ，F ．使得四边形DECF 恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图2，（1）AC 边向BC 边折叠，使AC 边落在BC 边上，得到折痕交AB 于D ； （2）C 点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠的依据是．三.解答题17.（2015春•富阳市校级期中）有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？18.如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N．（1）求证：CM＝CN；（2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求MNDN的值．19. 探究问题：(1)方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵ ∠EAF ＝45°∴ ∠2＋∠3＝∠BAD －∠EAF ＝90°－45°＝45°．∵ ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF ＝∠________．又AG ＝AE ，AF ＝AF∴ △GAF ≌△________．∴ _________＝EF ，故DE ＋BF ＝EF ．(2)方法迁移：如图，将Rt △ABC 沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF ＝12∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．20.（2016•青岛）已知：如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，且AE=CF ，直线EF 分别交BA 的延长线、DC 的延长线于点G ，H ，交BD 于点O ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）连接DG ，若DG=BG ，则四边形BEDF 是什么特殊四边形？请说明理由．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B ；【解析】由题意先证明△AOE ≌△COF ，∴S 阴影＝S △COD ＝S 矩形ABCD.2.【答案】C ；【解析】A 、如果两直线平行，同位角才相等，故本选项错误；B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；C 、四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；D 、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误.3.【答案】C ；【解析】由已知得△ABE 为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB ，用ABE ABCD =S S S △阴影部分正方形求面积．4.【答案】C ；【解析】由三角形中位线定理，EF 长度为AR 的一半.5.【答案】C ；【解析】根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移1m ，向下平移1m ，三块草坪拼成了一个长为100m ，宽为50m 的矩形，因此草坪的面积为100×50＝5 0002m .6.【答案】B ；【解析】设两个正方形的边长分别为x y ，,根据题意得：⎩⎨⎧=+=+106822y x y x ， 则222100,x y xy ++=，解得16xy =.7.【答案】B ；【解析】1＋2＋3＋4＝周长的一半.8.【答案】D ；【解析】连接BP ，过C 作CM⊥BD .S △BCE =S △BPE +S △BPC =BC×PQ×+BE×PR×=BC×（PQ+PR ）×=BE×CM×，∵BC=BE ，∴PQ+PR=CM，∵BE=BC=1，且正方形对角线BD=BC=，又∵BC=CD，CM⊥BD，∴M 为BD 中点，又△BDC 为直角三角形， ∴CM=BD=， 即PQ+PR=． 故选：D ．二.填空题9.【答案】7516； 【解析】由折叠的特性可知∠DBC′＝∠DBC ，由AD ∥BC 得∠ADB ＝∠DBC ，因此∠DBC′＝∠ADB ，故BE ＝DE.可设AE ＝x ，则BE ＝4－x ，在Rt △ABE 中，由勾股定理可得222AB AE BE +=，即()22234x x +=-，解得x ＝87，BE ＝825.因此阴影部分的面积为1675382521=⨯⨯.10．【解析】连接CE ，因为A ，C 关于BD 对称，所以CE 11．【答案】⋅n25；【解析】每一次变化，面积都变为原来的12.12.【答案】①②③；【解析】易证四边形BEDF是平行四边形，△ABM≌△CDN．∴①正确．由BEDF可得∠BED＝∠BFD，∴∠AEM＝∠NFC．又∵AD∥BC．∴∠EAM＝∠NCF，又AE＝CF∴△AME≌△CNF，∴AM＝CN．由FN∥BM，FC＝BF，得CN＝MN，∴CN＝MN＝AM，AM＝13AC．∴②正确．∵ AM＝13AC，∴13AMB ABCS S△△，∴④不正确．FN为△BMC的中位线，BM＝2NF，△ABM≌△CDN，则BM＝DN，∴DN＝2NF，∴③正确．13.【答案】20；24；14.【答案】3013≤AM＜6；【解析】根据已知条件得四边形AEPF是矩形，∴AP=EF，∵∠BAC=90°，M为EF中点，∴AM=EF=AP，∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，∴BC==13，当AP⊥BC时，AP值最小，此时S△BAC=×5×12=×13×AP，∴AP=，即AP的范围是AP≥，∴2AM≥，∴AM的范围是AM≥，∵AP＜AC，即AP＜12，∴AM＜6，∴3013≤AM＜6.15.【答案】【解析】根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长，再由菱形的面积等于底×高计算即可．16.【答案】CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）；【解析】解：如图，连接DF、DE．根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD=OC，OE=OF．则四边形DECF恰为菱形．故答案是：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）．三.解答题17.【解析】解：过C作CM∥AB，交AD于M，∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，∵AB∥CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°﹣150°=30°，∴∠MCD=60°﹣30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，∴AD=60cm+80cm=140cm．18.【解析】（1）证明：由折叠的性质可得：∠ANM＝∠CNM，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN，∴∠CMN＝∠CNM，∴CM＝CN；（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC，∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，∴12312CMNCDNMC NHS MCS NDDN NH⋅⋅===⋅⋅VV，∴MC＝3ND＝3HC，∴MH＝2HC，设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x ，∴CM＝3x ＝CN ，在Rt△CDN 中，DC =，∴HN＝，在Rt△MNH 中，MN =，∴MN DN x==19. 【解析】解：(1)EAF 、△EAF 、GF ．(2)DE ＋BF ＝EF ，理由如下：假设∠BAD 的度数为m ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转m °得到△ABG ，如图，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：AB ＝AD ，BG ＝DE ，∠1＝∠2，∠ABG ＝∠D ＝90°，∴ ∠ABG ＋∠ABF ＝90°＋90°＝180°，因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．∵ 12EAF m ∠=°， ∴ 112322BAD EAF m m m ∠+∠=∠-∠=-=°°°． ∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1＋∠3＝12m °． 即∠GAF ＝∠EAF ．又AG ＝AE ，AF ＝AF ．∴ △GAF ≌△EAF ．∴ GF ＝EF ．又∵ GF ＝BG ＋BF ＝DE ＋BF ，∴ DE ＋BF ＝EF ．20.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠BAE=∠DCF ，在△ABE 和△CDF 中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．。
最新中考数学一轮复习训练：第24课时《特殊平行四边形》二
第24课时┃ 特殊平行四边形(二)
考 点 聚 焦
考点1 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
1．[2014·上城二模] 下列命题中，真命题是( D ) A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
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第24课时┃ 特殊平行四边形(二)
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第24课时┃ 特殊平行四边形(二)
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探究一 中点四边形
例 1 [2014·白银] D，E 分别是不等边三角 形 ABC(即 AB≠BC≠AC)的边 AB，AC 的中点．O 是 △ABC 所在平面上的动点，连结 OB，OC，点 G，F 分别是 OB，OC 的中点，顺次连结点 D，G，F，E. (1)如图 24－3，当点 O 在△ABC 的内部时， 求证：四边形 DGFE 是平行四边形； (2)若四边形 DGFE 是菱形，则 OA 与 BC 应满 足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明 理由)
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第24课时┃ 特殊平行四边边中点所得的新四边形的形状与原 四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．
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第24课时┃ 特殊平行四边形(二)
[2014·鄂州] 如图 24－4， 四边形 ABCD 中， AC＝a， BD＝b，且 AC⊥BD，顺次连结四边形 ABCD 各边的中点，得到四边形 A1B1C1 D1， 再顺次连结四边形 A1B1C1D1 各边的中点， 得到四边形 A2B2C2D2， 如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn.下列结论正确的是 ( A ) ①四边形 A4B4C4D4 是菱形；②四边形 A3B3C3D3 是矩形；③四边形 a＋ b a· b A7B7C7D7 的周长为 ；④四边形 AnBnCnDn 的面积为 n . 8 2
浙江省中考数学第五单元四边形课时训练24特殊平行四边形(一)练习(新版)浙教版
课时训练(二十四) 特别平行四边形(一)|夯实基础|1.[2018·台州] 以下命题正确的选项是( )A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线相等的四边形是矩形C.对角线相互垂直的平行四边形是菱形D.对角线相互垂直且相等的四边形是正方形2.如图K24-1,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABD=30°,则菱形ABCD的面积是( )图K24-1A.18B.18C.36D.363.[2018·嘉兴]用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,以下作法中错误的选项是()图K24-24.[2018·仙桃]如图K24-3,正方形ABCD中,AB=6,G是BC的中点.将△ABG沿AG对折至△AFG,延伸GF交DC于点E,则DE的长是()图K24-31A.1B.1.5C.2D.2.55.[2017·齐齐哈尔]矩形ABCD的对角线AC,BD订交于点O,请你增添一个适合的条件,使其成为正方形(只填此中一个即可).6.[2017·衢州]如图K24-4,从边长为(a+3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形,节余部分沿虚线又剪拼成一个如下图的长方形(不重叠、无空隙),则拼成的长方形的另一边长是.图K24-47.[2018·攀枝花]如图K24-5,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,矩形内部有一动点P知足S△PAB=S矩形ABCD,则点P到,两点的距离之和的最小值为AB PA+PB.图K24-58.在边长为1的小正方形构成的方格纸中,若多边形的各极点都在方格纸的格点(横、竖格子线的交点)上,这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a,界限上的格点数为b,则格点多边形的面积可表示为S=ma+nb1,-此中m,n为常数.(1)在如图K24-6的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形,挨次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形;(2)利用(1)中的格点多边形确立m,n的值.图K24-629.[2018·沈阳]如图K24-7,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线订交于点 E.求证:四边形OCED是矩形;(2)若CE=1,DE=2,则菱形ABCD的面积是.图K24-73精选文档10.[2017·襄阳]如图K24-8,AE∥BF,AC均分∠BAE,且交BF于点C,BD均分∠ABF,且交AE于点D,连接CD.求证:四边形ABCD是菱形;若∠ADB=30°,BD=6,求AD的长.图K24-811.(1)如图K24-9①,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,∠EAF=45°,延伸CD到点G,使DG=BE,连接EF,AG,4求证:EF=FG;(2)如图K24-9②,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点M,N在边BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的长.图K24-95|拓展提高|12.如图K24-10,四边形ABCD为菱形,CD=5,tan D=,点P是BC边上的动点,当以CP为半径的☉C与边AD有两个交点时,半径CP的取值范围是()图K24-10A.4<CP<2B.4<CP≤5C.4<CP≤2D.4≤CP≤213.[2018·台州]如图K2411,在正方形中,3,点,分别在,上,,,订交于点G.若图中阴-ABCD AB=EF CDAD CE=DFBECF影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,则△BCG的周长为.图K24-116参照答案1.C2.B3.C4.C [分析]连接AE.∵△ABG沿AG对折至△AFG,AB=AF,GB=GF=3.∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD=AF.Rt△AFE≌Rt△ADE(HL).DE=EF.设DE=x,则EF=DE=x,GE=x+3,CE=6-x.222在Rt△CGE中,由勾股定理得CG+CE=GE.32+(6-x)2=(x+3)2.解得x=2.应选C.5.答案不独一,如AC⊥BD,AB=BC等[分析]依据对角线相互垂直的矩形是正方形或一组邻边相等的矩形是正方形来增添条件.6.a+6 [分析]联合图形,长方形的另一边的长为3+a+3=a+6.7.4[分析]设△PAB中AB边上的高是h,S△PAB=S矩形ABCD,AB·h=AB·AD,h=AD=2,∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线L上.7如图,作点A对于直线L的对称点A',连接DA',BA',则BA'即为所求的最短距离.在Rt△ABA'中,AB=4,AA'=2+2=4,∴BA'===4,即PA+PB的最小值为4.8.解:(1)如下图(答案不独一).三角形:a=4,b=6,S=6.平行四边形:a=3,b=8,S=6.菱形:a=5,b=4,S=6.任选两组数据代入S=ma+nb1,-解得m=1,n=.9.解:(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,AC⊥BD,∴∠COD=90°.CE∥OD,DE∥OC,∴四边形OCED是平行四边形.∵∠COD=90°,8∴平行四边形OCED是矩形.由菱形的性质和矩形的性质,可知菱形ABCD的面积=4S△OCD=4×S矩形OCED=2S矩形OCED=2×1×2=4.故填4.10.解:(1)证明:∵AE∥BF,∴∠ADB=∠CBD.又∵BD均分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD.同理可证AB=BC,∴AD=BC.又∵AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AB=AD,∴四边形ABCD是菱形.∵四边形ABCD是菱形,BD=6,AC⊥BD,OD=BD=3,∴cos∠cos30°=,=ADB=AD=3×=2.11.解:(1)证明:∵∠B=∠ADG=90°,AB=AD,BE=DG,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠DAG,AE=AG.∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,∴∠GAF=∠EAF=45°.∵AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG.9如图,过点A作AK⊥AM,取AK=AM,连接NK,CK.∵∠MAK=90°,∠BAC=90°,∠MAN=45°,∴∠1=∠2,∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°-∠MAN=45°,∴∠MAN=∠NAK.又∵AB=AC,AN=AN,∴△ABM≌△ACK,△AMN≌△AKN,∴∠5=∠B=45°,CK=BM=1,NK=MN.∴∠4+∠5=90°,∴NK===,MN=.12.C13.3+[分析]∵在正方形ABCD中,AB=3,S正方形ABCD=32=9,∵暗影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2∶3,∴空白部分的面积与正方形ABCD的面积之比为1∶3,S空白=3.∵四边形ABCD是正方形,BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°.CE=DF,∴△BCE≌CDF(SAS),∴∠CBE=∠DCF.10精选文档11∵∠DCF+∠BCG=90°,∴∠CBE+∠BCG=90°,即∠BGC=90°,△BCG 是直角三角形.易知S △BCG =S 四边形FGED =,∴S △BCG =BG ·CG=,∴BG ·CG=3.2 2 2 2 2依据勾股定理:BG+CG=BC ,即BG+CG=9,2 2 2 ∴BG+CG=, ∴(BG+CG )=BG+2BG ·CG+CG=9+2×3=15,∴△BCG 的周长=BG+CG+BC=3 .11。
浙江省杭州市浙教版初中八年级下册数学特殊平行四边形复习(教师版)——湖墅余志恒
特殊平行四边形复习（老师们酌情选择大题）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、能用综合法来证明特殊的平行四边形的相关结论；2、运用特殊的平行四边形的性质定理和判定定理解决计算问题；3、通过学生进行推理过程的活动，培养学生抽象概况、合理推理以及严谨的思考、学习习惯．知识清单1．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别____的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．2．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．3．矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相_____且_____的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．4．矩形的性质（1）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是____；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线____；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（2）由矩形的性质，可以得到直角三角线的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的___．5．菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（平行四边形+一组邻边相等=菱形）（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有___条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=ab．（a、b是两条对角线的长度）6．菱形的判定（1）四条边都_____的四边形是菱形．几何语言：∵AB=BC=CD=DA∴四边形ABCD是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形7．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是_____；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．8．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．9．等腰梯形的性质（1）性质：①等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过上下底的_____的直线；②等腰梯形同一底上的两个角相等；③等腰梯形的两条对角线相等．（2）由等腰梯形的性质可知，如果过上底的两个顶点分别作下底的两条高，可把等腰梯形分成矩形和两个全等的直角三角形，因此可知等腰梯形是轴对称图形，而一般的梯形不具备这个性质．10．等腰梯形的判定（1）利用定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；（2）定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）对角线：对角线相等的梯形是等腰梯形．判定一个梯形是否为等腰梯形，主要判断梯形的同一底上的两个角是否相等，可以通过添加辅助线把梯形底上的两个角平移到同一个三角形中，利用三角形来证明角的关系．注意：对角线相等的梯形是等腰梯形这个判定方法不可以直接应用．1.矩形【例1】（2016•威海）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．练习1（2016•荆门）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（）A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF练习2 （2016•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）【例2】（2016•海南）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°练习1（2017•涿州市一模）如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P．若∠PMC=110°，则∠BPC的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°练习2（2016•巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=度．【例3】（2015•临沂）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90°D．CE⊥DE练习1（2016春•广水市期末）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=3，AC=2，D为斜边AB上一动点（不与点A、B重合），DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是．2.菱形【例4】（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．练习1（2016•大连）如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是．练习2（2016•钦州）如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为．【例5】（2016•杭州）在菱形ABCD中，∠A=30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为．练习1（2017•商河县一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE ⊥AB，垂足为E，若∠ADC=120°，则∠AOE=．练习2（2016•盐城）如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．3.正方形【例6】（2016•毕节市）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．6练习1（2016•广东）如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（）A．B．2C．+1D．2+1练习2（2016•贵阳模拟）将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影面积的和为（）A．2cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2（2016•台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若【例7】∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50B．55C．70D．75练习1（2016•宁阳县模拟）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（）A．45°B．22.5°C．67.5°D．75°练习2（2016•泰山区一模）在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P点与A、B、C、D 中两点连成一个等边三角形，那么这样的P点有（）A．5个B．12个C．9个D．15个4.梯形【例8】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，DE∥AB交BC于点E．若AD=3，BC=10，则CD的长是（）A．7B．10C．13D．14练习1如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F两点分别在AB、AD上，CE与BF相交于G 点．若∠EBG=25°，∠GCB=20°，∠AEG=95°，则∠A的度数为何？（）A．95B．100C．105D．110练习2如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD与中位线EF交于点G，若AD=2，EF=5，那么FG=．A档基础演练一．选择题（共5小题）1．下列说法中，正确的是（）A．菱形的对角线相等B．两组邻边分别相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．菱形的对角线互相垂直平分2．如图，矩形ABCD中，若AB=4，BC=9，E、F分别为BC，DA上的点，则S四边形AECF等于（）A．12B．24C．36D．483．菱形的一边与两条对角线所构成的两角之比为5：4，则它的锐角度数为（）A．30°B．45°C．60°D．80°4．如图，以正方形ABCD的边AB为一边向外作等边△ABE，则∠BED的度数为（）A．55°B．45°C．40°D．42.5°5．直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=30°，AB+CD=m，BC+AD=n，则梯形ABCD的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共3小题）6．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（填序号）．①对边平行且相等；②对角线互相平分；③对角相等；④对角线相等；⑤4个角都是90°；⑥既是轴对称图形又是中心对称图形．7．如图所示，以正方形ABCD的对角线BD为边作等边△EBD，EH⊥AD于点H，则∠HEB 的度数为．8．如图，AB∥CD，PM、PN、QM、QN分别为角平分线，则四边形PMQN是．三．解答题（共3小题）9．如图，在矩形ABCD中，P是形内一点，且PA=PD．求证：PB=PC．10．如图，已知四边形ABCD为菱形，AE=CF，求证：四边形BEDF为菱形．11．在正方形ABCD的对角线AC上点E，使AE=AB，过E作EF⊥AC交BC于F，求证：（1）BF=EF；（2）BF=CE．B档拓展提高一．选择题（共3小题）1．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=8，BD=6，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长是（）A．2.4B．4.8C．7.2D．102．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连结BE分别交AC，AD于点F、G，连结OG，则下列结论：①OG=AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③S四边形ODGF ＞S△ABF；④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．其中正确的是（）A．①④B．①③④C．①②③D．②③④3．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠EAO=15°，则∠BOE的度数为（）A．85°B．80°C．75°D．70°二．填空题（共3小题）4．如图，四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动的过程中，始终有EH∥BD∥FG，且EH=FG，四边形EFGH的周长为，那么正方形ABCD的周长为．5．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A，C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E，F，AE=3，则四边形AECF的周长为．6．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E为AB的中点，将△AED沿DE翻折得到△GED，射线DG交BC于点F，若AD=2，则BF=．三．解答题（共4小题）7．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形．（1）求证：四边形ADEF是平行的四边形；（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形？说明理由．8．如图，正方形ABCD中，E是AD上一点（E与A、D不重合）．连接CE，将△CED绕点D顺时针旋转90°，得到△AFD．（1）猜想CE和AF之间的关系，并进行证明．（2）连接EF，若∠ECD=30°，求∠AFE的度数．9．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB=cm，AD=24cm，BC=26cm，∠B=90°，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动．P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，问：（1）t=时，四边形PQCD是平行四边形．（2）是否存在一个t值，使PQ把梯形ABCD分成面积相等的两部分？若存在请求出t 的值．（3）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形．（4）连接DQ，是否存在t值使△CDQ为等腰三角形？若存在请直接写出t的值．一．选择题（共4小题）1．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=6，则AB的长为（）A．3B．C．D．62．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16B．15C．14D．133．下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形4．如图，已知直角梯形ABCD的一条对角线把梯形分为一个直角三角形和一个边长为8cm的等边三角形，则梯形ABCD的中位线长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二．填空题（共3小题）5．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，边BC=8cm，则△ABO的周长为．6．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=8，BD=6，那么菱形的周长是，菱形的面积是．7．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离AE、CF分别是1cm、2cm，则线段EF的长为cm．三．解答题（共2小题）8．平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，已知AB=AC=4，∠ABC=60°．（1）求证：ABCD是菱形；（2）求BD的长．9．如图，AH是△ABC的高，四边形ABDE和ACFG都是正方形，HA的延长线交EG于点M．求证：EM=GM．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD＞AB），点E在BC上，且AE=AD，DF⊥AE，垂足为F，求证：DF=AB．2．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．3．如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AC=DF，AB=DE．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）若∠ABC=90°，AB=8，BC=6，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．参考答案1.（1）平行3.（1）③平分 相等4.（1）②直角；④相等（2）一半5.（1）④26.（1）相等7.（2）①直角9.（1）①中点【例题1】D练习1. B 练习2. B 【例题2】C练习1. C 练习2. 15【例题3】B 练习1. 【例题4】 练习1. 24 练习2. 6课程顾问签字： 教学主管签字：【例题5】45°或105°练习1. 60°练习2.【例题6】B 练习1. B 练习2. B【例题7】C 练习1. B 练习2. B【例题8】A 练习1. C 练习2. 4A档基础演练D B D B C ④⑤⑥15°矩形9．如图，在矩形ABCD中，P是形内一点，且PA=PD．求证：PB=PC．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠CDA=90°，AB=CD，∵PA=PD，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4，∵在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（SAS），∴PB=PC．10．如图，已知四边形ABCD为菱形，AE=CF，求证：四边形BEDF为菱形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，AE=CF，∴∠BAE=∠BCF，AB=BC，在△BAE和△BCF中，∵，∴△BAE≌△BCF（SAS），∴BE=BF，同理可得：△BAE≌△DCF≌△DAE，∴BE=DE=BF=DF，∴四边形BEDF为菱形．11．在正方形ABCD的对角线AC上点E，使AE=AB，过E作EF⊥AC交BC于F，求证：（1）BF=EF；（2）BF=CE．【解答】证明：（1）连接AF在Rt△AEF和Rt△ABF中，∵AF=AF，AE=AB，∴Rt△AEF≌Rt△ABF，∴BF=EF；（2）∵四边形ABCD为正方形，∴∠ACB=∠BCD=45°，在Rt△CEF中，∵∠ACB=45°，∴∠CFE=45°，∴∠ACB=∠CFE，∴EC=EF，∴BF=CE．B档拓展提高一．选择题（共3小题）1．B．2．A．3．C．二．填空题（共3小题）4．4a．5．22．6．．三．解答题（共4小题）7．【解答】（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA=60°，∴∠DBE=∠ABC，在△ABC与△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（SAS）∴AC=DE，又∵△ACF是等边三角形，∴AF=AC，∴DE=AF，同理可得：EF=AD，∴四边形ADEF平行四边形；（2）答：△ABC满足AB=AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．理由如下：若四边形DAFE是菱形，则AD=AF，∵△ABD，△ACF都是等边三角形，∴AD=AB，AF=AC，∴AB=AC，但当AB=AC=BC时，△ABC是等边三角形，和△EBC就重合了，四边形ADEF不存在．故当AB=AC≠BC时，四边形ADEF是菱形．8．【解答】解：（1）CE=AF，且CE⊥AF．证明：如图，∵△AFD是由△CED绕点D顺时针旋转90°而得到的．∴△ADF≌△CDE，∴CE=AF，∠1=∠2，DE=DF．延长CE交AF于点G．∵四边形ABCD是正方形，∠CDA=90°．又∠3=∠4，∠2+∠4+∠EGA=∠1+∠3+∠CDE=180°∴∠EGA=∠CDE=90°即CE⊥AF；（2）∵∠1=30°，∠2=30°又∠ADF=90°，∴∠AFD=60°，∵DE=DF，∴∠EFD=45°，∴∠AFE=∠AFD﹣∠EFD=15°．9．【解答】解：（1）要使四边形PQCD是平行四边形，则PD=CQ，∴3t=24﹣t，解得：t=6．（2）当AP+BQ=25时，PQ把梯形ABCD分成面积相等的两部分，即t+（26﹣3t）=25，解得：t=（3）如图，过点D作DE⊥BC，则CE=BC﹣AD=2cm．当CQ﹣PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形．即3t﹣（24﹣t）=4．∴t=7．（4）存在，t1=2，t2=，t3=3．一．选择题（共4小题）1．A．2．A．3．B．二．填空题（共3小题）5．16cm．6．20；24．7．3．三．解答题（共2小题）8．【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，OB=OD，∵AB=AC=4，△ABC是等边三角形，∴OB=×4=2，∴BD=2OB=2×2=4．9．【解答】证明：过点E作EN⊥HM于点N，过点G作GP⊥HM的延长线于点P，∴∠ENM=∠GPM=90°．∵四边形ABDE和ACFG都是正方形，∴AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，∴∠EAN+∠BAH=90°，∠GAP+∠CAH=90°．∵AH⊥BC，∴∠AHB=∠AHC=90°，∴∠ENA=∠AHB，∠GMA=∠AHC．∠ABH+∠BAH=90°，∠CAH+∠HCA=90°，∴∠EAN=∠ABH，∠GAP=∠HCA．在△ENA和△AHB中，，△ENA≌△AHB（AAS），∴EN=AH．在△GPA和△AHC中，△GPA≌△AHC （AAS），∴PG=AH，∴EN=GP．在△ENM和△GPM中，∴△ENM≌△GPM（AAS），∴EM=GM．1．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，DF⊥AE，∴∠B=∠DFA=90°，AD∥BC，∴∠DAF=∠AEB，在△AFD和△EBA中，∴△AFD≌△EBA（AAS），∴DF=AB．2．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∵∠AOF=90°，∠AOB=90°，∴∠BAE+∠OBA=90°，又∵∠FBC+∠OBA=90°，∴∠BAE=∠CBF（同角的余角相等），在△ABE和△BCF中∴，∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴BE=CF．3．【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，在△BAC和△EDF中，∴△BAC≌△EDF（SAS），∴BC=EF，∠BCA=∠EFD，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）解：连接BE，交CF于点G，∵四边形BCEF是菱形，∴CG=FG，BE⊥AC，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC==10，∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC，∴=，即=，∴CG=3.6，∵FG=CG，∴FC=2CG=7.2，∴AF=AC﹣FC=10﹣7.2=2.8．。
特殊平行四边形 解答题(八大模块)(解析版)—2024-2025学年九年级数学上学期期中挑战满分冲刺
特殊平行四边形 解答题（八大模块）目录：模块一、基础—单特殊平行四边形模块二、与其他几何性质结合模块三、作图有关的解答证明题模块四、模块二强化模块五、动态几何基础模块六、综合探究特殊平行四边形的判定模块七、特殊平行四边形在平面直角坐标系的应用模块八、压轴过渡练模块一、基础—单特殊平行四边形1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 相交于点O ．若12Ð=Ð，请判断四边形ABCD 的形状，并说明理由．【答案】四边形ABCD 是矩形，理由见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，矩形的判定．先根据平行四边形的性质得出2,2AC OC BD OB ==，再根据12Ð=Ð，推出AC BD =，即可得出结论．【解析】解：四边形ABCD 是矩形，理由如下：∵AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，∴2,2AC OC BD OB ==，∵12Ð=Ð，∴OC OB =，则AC BD =，∴平行四边形ABCD 是矩形．2．如图，在矩形ABCD 中，点E F 、在BC 上，连接AE DF 、，且AE DF =，求证：ABE DCF △≌△．【答案】证明见解析．【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定，由四边形ABCD 是矩形，得90B C Ð=Ð=︒，AB DC =，然后根据“HL ”的判定方法即可求证，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【解析】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C Ð=Ð=︒，AB DC =，在Rt ABE △与Rt DCF V 中，AB DC AE DF=ìí=î，∴()Rt Rt HL ABE DCF ≌△△．3．如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，BD ＝12cm ，AC ＝6cm ，求菱形的周长．4．如图，ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点，DE AG ^于E ，BF AG ^于F ．求证:AE BF =．【答案】证明见解析．【分析】由正方形的性质结合DE AG ^，BF AG ^，证明,ABF DAE V V ≌即可得到答案．【解析】解：ABCD Q 是正方形，,90,AB AD BAD \=Ð=︒90,BAF DAE \Ð+Ð=︒DE AG ^Q ，BFAG ^，90,DEA AFB \Ð=Ð=︒90,DAE ADE \Ð+Ð=︒,BAF ADE \Ð=Ð在ABF △与DAE V 中，,BAF ADE AFB DEA AB DA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î,ABF DAE \V V ≌.BF AE \=【点睛】本题考查的正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．5．如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，AC 与BD 交于点O ．求BOC V 与DOC △的周长差．【答案】2【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．利用矩形的性质可得6CD AB ==，OB OD =，再根据三角形的周长公式计算即可．【解析】解：Q 四边形ABCD 为矩形，6AB =，8BC =，6CD AB \==，OB OD =，()862BOC DOC C C OB OC BC OD OC CD BC CD \-=++-++=-=-=V V ，BOC V \与DOC △的周长之差为2．6．如图，在菱形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、CB 上，且ADM CDN Ð=Ð，求证：BM BN =．7．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，∠BAD ＝60°，菱形ABCD 的周长为24．(1)求对角线BD 的长；(2)求菱形ABCD 的面积．【答案】(1)68．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，BE AC ^，CF BD ^，垂足分别为E 、F ．求证：OE OF =．【答案】证明见解析．9．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别为边AD 和CD 上的点，且AE CF =．连接AF 、CE 交于点G ．求证：DGE DGF Ð=Ð．【答案】证明见解析．【分析】先证△DAF ≌△DCE ，再证△AEG ≌△CFG ，最后证△DGE ≌△DGF ，根据全等三角形的性质即可得到∠DGE ＝∠DGF ．【解析】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴DA ＝DC ＝AB ＝BC ，∵AE ＝CF ，∴DE ＝DF在△DAF 和△DCE 中，DF DE ADF CDE AD CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DAF ≌△DCE （SAS ），∴∠EAG ＝∠FCG ，在△AEG 和△CFG 中，EAG FCG AGE CGF AE CF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△AEG ≌△CFG （AAS ），∴EG ＝FG ，在△DGE 和△DGF 中，DE DF EG FG DG DG =ìï=íï=î，∴△DGE ≌△DGF （SSS ），∴∠DGE ＝∠DGF ．【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10．如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 边的延长线上，点F 在CD 边的延长线上，且CE DF =，连接AE 和BF 相交于点M ．求证：AE BF = ．【答案】证明见解析．【分析】利用正方形的性质证明：AB =BC =CD ，∠ABE =∠BCF =90°，再证明BE =CF ，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．【解析】证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =CD ，∠ABE =∠BCF =90°，又∵CE =DF ，∴CE +BC =DF +CD 即BE =CF ，在△BCF 和△ABE 中，BE CF ABE BCF AB BC =ìïÐ=Ðíï=î∴ABE BCF △△≌（SAS ），∴AE =BF ．【点睛】本题考查的是正方形的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．模块二、与其他几何性质结合11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB 于点F ，求EF 的长．12．如图，在矩形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，AD 边上的点，且AE CF =．(1)求证：ABE CDF △≌△；(2)当AC EF ^时，四边形AECF 是菱形吗？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)当AC EF ^时，四边形AECF 是菱形，理由见解析【分析】（1）由矩形的性质得出90B D Ð=Ð=︒，AB CD =，AD BC =，AD BC ∥，由HL 证明Rt Rt ABE CDF ≌△△即可；（2）由全等三角形的性质得出BE DF =，得出CE AF =，由CE AF ∥，证出四边形AECF 是平行四边形，再由AC EF ^，即可得出四边形AECF 是菱形．【解析】（1）证明：Q 四边形ABCD 是矩形，90B D \Ð=Ð=︒，AB CD =，AD BC =，AD BC ∥，在Rt ABE △和Rt CDF △中，AE CF AB CD =ìí=î，()Rt Rt HL ABE CDF \V V ≌；（2）解：当AC EF ^时，四边形AECF 是菱形，理由如下：ABE CDF QV V ≌，BE DF \=，BC AD =Q ，CE AF \=，Q CE AF ∥，\四边形AECF 是平行四边形，又AC EF ^Q ，\四边形AECF 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的性质和菱形的判定，证明三角形全等是解题的关键．13．如图，已在ABCD Y 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，E ，F 是BD 上两点，且BE DF =，2AC OE =，(1)求证: 四边形AECF 是矩形；(2)若90304BAC ACE AE Ð=︒Ð=︒=，，，求BC 的长．∴903060AEG Ð=︒-︒=︒,∴1206060,BEG Ð=︒-︒=︒∴906030,GBE Ð=︒-︒=︒14．在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，对角线AC BD 、交于点O ，BD 平分ABC Ð，延长AD 至点E ，使DE BO =，连接OE ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若460AD DAB =Ð=︒，，求OE 的长．【答案】(1)见解析15．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别与边AB ，CD 的延长线交于点M ，N ，与边AD 交于点E ，垂足为O ．(1)求证：AOM CON △△≌；(2)若8AD =，4CD =，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)5AE =【分析】（1）根据矩形的性质得出AB CD ∥，求出M N Ð=Ð，AO CO =，再根据全等三角形的判定定理AAS 推出即可；（2）根据矩形的性质得出4AB CD ==，根据线段垂直平分线的性质得出AE CE =，再根据勾股定理求出即可．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，∴M N Ð=Ð，∵AC 的垂直平分线是MN ，∴AO CO =，在AOM V 和CON V 中，AOM CON M NAO CO Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∵AC 的垂直平分线是∴AE CE x ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ADC Ð=︒，DC =在Rt CDE △中，由勾股定理，得即()22284x x -+=，解得16．如图，在四边形ABCD 中，AB DC P ，AB AD =，AC 平分DAB Ð．对角线AC ，BD 相交于点O ，过点D 作DE AB ^于点E ，连接OE ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形．(2)若AD =4AC =，求OE 的长．【答案】(1)见解析(2)1，，，，17．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，点B关于直线AE的对称点为F，连接EF并延长交CD 于点G ，连接AG ．求证：GF GD =．【答案】证明见解析．【分析】连接AF ，根据对称得：△ABE ≌△AFE ，再由HL 证明Rt △AFG ≌Rt △ADG ，可得结论．【解析】证明：连接AF ，Q 四边形ABCD 是正方形，AB AD \=，90B D Ð=Ð=︒，Q 点B 关于直线AE 的对称点为F ，∴△ABE ≌△AFE ，AB AF AD \==，90AFE B Ð=Ð=︒，90AFG \Ð=︒，在Rt AFG V 和Rt ADG V 中，AG AG =Q ，AF AD =，∴Rt △AFG ≌Rt △ADG (HL )，GF GD \=．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，对称的性质，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．18．如图，在矩形ABCD 中，AB BC <，E 为AD 上一点，且BE AD =．(1)请用无刻度的直尺和圆规作出CBE Ð的平分线．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）中所作的角平分线与AD 的延长线交于点F ，连接CF ．猜想四边形BEFC 是什么四边形？并证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)四边形BEFC 是菱形．证明见解析【分析】本题考查作图—基本作图、矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定，熟练掌握矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定是解答本题的关键．（1）根据角平分线的作图方法作图即可．（2）结合矩形的性质、角平分线的定义、菱形的判定可得结论．【解析】（1）解：如图，BP 即为所求．（2）解：四边形BEFC 是菱形．证明：BF Q 平分CBE Ð，CBF EBF \Ð=Ð．Q 四边形ABCD 是矩形，AD BC \=，AF BC ∥，CBF EFB \Ð=Ð，EBF EFB \Ð=Ð，BE EF \=，BE AD =Q ，AD BC =，BC EF \=，\四边形BEFC 是平行四边形．BE EF =Q ，\四边形BEFC 是菱形．模块三、作图有关的解答证明题19．如图，四边形ABCD 是正方形，射线DP 交AB 于点,90,P PDQ DQ Ð=︒交BC 的延长线于点Q ．(1)尺规作图：作PDQ Ð的平分线交BC 于E ；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的基础上，连接PE ，求证：PE PA CE=+【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质角平分线的作图等知识．（1）按照角平分线的作图方法作图即可；（2）证明()ASA PDA QDC V V ≌，则AP CQ =，PD QD =，再证明()SAS PDE QDE V V ≌，则PE QE =，由QE CQ CE PA CE =+=+即可得到PE PA CE =+．【解析】（1）解：如图所示：（2）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴90PAD ADC BCD Ð=Ð=Ð=︒，AD CD =，∴90PDA CDP Ð+Ð=︒，90QCD Ð=︒∵90PDQ Ð=︒，∴90CDQ CDP Ð+Ð=︒∴PDA CDQ Ð=Ð，∵90QCD PAD Ð=Ð=︒，AD CD =，∴()ASA PDA QDC V V ≌∴AP CQ =，PD QD =，∵作PDQ Ð的平分线交BC 于E∴PDE QDE Ð=Ð，又∵,DE DE =∴()SAS PDE QDE V V ≌∴PE QE =，∵QE CQ CE PA CE=+=+∴PE PA CE=+20．如图，在由24个全等的正三角形组成的正六边形网格中，请画出符合要求的格点四边形（即顶点均在格点上的四边形）．(1)在图中画出以AB 为对角线的矩形APBQ ．(2)在图中画出一个邻边比为1）中的矩形不全等．（2）解：如图，矩形CDEF 即为所求作的矩形．设每个小正方形的边长为1，∵1AC CG DG AD ====，∴四边形ACGD 为菱形，∴1122AO GO AG ===，CD ^模块四、模块二强化21．如图，在正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A ，D 不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．(1)求证：PDE QCE V V ≌；(2)过点E 作EF BC ∥交PB 于点F ，连接AF ，当PB PQ =时．求证：四边形AFEP 是平行四边形．由三角形内角和定理可得AFP FPEÐ=ÐPE AF \∥，EF AP Q ∥，\四边形AFEP 是平行四边形．【点睛】本题主要考查正方形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，直角三角形性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关几何性质与判定是解题的关键．22．如图，在矩形ABCD 中，6AD =，8CD =，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，2AH =，连接CF ．(1)当2DG =时，求证：四边形EFGH 是正方形；(2)当△FCG 的面积为2时，求CG 的值．则90FMG Ð=︒，90A FMG \Ð=Ð=︒，由矩形和菱形的性质，可得AEG MGE \Ð=Ð，HEG Ð23．如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 平分BAC Ð，CE AD ∥且CE AD =．(1)求证：四边形ADCE 是矩形；(2)若ABC V 是边长为4的等边三角形，，AC DE 相交于点O ，在CE 上截取CF CO =，连接OF ，求线段FC 的长及四边形AOFE 的面积．则90OHC Ð=︒，∵30OCH Ð=︒，112OH OC \==，AEC COF AOFE S S S \=-=V V 四边形模块五、动态几何基础24．如图，在矩形纸片AEE D ¢中，5AD =，15AEE D S ¢=矩形，在EE ¢上取一点F ，使4EF =，剪下AEF △，将它平移至DE F ¢¢V 的位置，拼成四边形AFF D ¢．(1)求证∶四边形AFF D ¢是菱形；(2)求四边形AFF D ¢的两条对角线的长．∵4EF =，5FF AD ¢==，∴9EF EF FF ¢¢=+=，在Rt AEF ¢△中，22239AF AE EF ¢¢=+=+在Rt DFE ¢V 中，541FE FF E F ¢¢¢¢=-=-=，25．如图，把矩形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转得到矩形AEFG ，使点E 落在对角线BD 上，连接DG ，DF ．(1)若50BAE Ð=︒，则DAG Ð= °；(2)求证：DF AB =．【答案】(1)50(2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质，得到90BAD EAG Ð=Ð=︒，进而得到BAE DAG Ð=Ð，即可求出DAG Ð的度数；（2）根据旋转和矩形的性质，易证四边形ABDF 是平行四边形，即可证明结论．【解析】（1）解：Q 矩形ABCD 和矩形AEFG ，90BAD EAG \Ð=Ð=︒，BAD EAD EAG EAD -=-∴∠∠∠∠，BAE DAG \Ð=Ð，50BAE Ð=︒Q ，50DAG \Ð=︒，故答案为：50；（2）证明：连接AF ，由旋转的性质可知，AF BD =，FAE ABD Ð=Ð，AB AE =，ABE AEB \Ð=Ð，FAE AEB \Ð=Ð，AF BD \∥，\四边形ABDF 是平行四边形，DF AB \=；【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的判定，等边对等角，熟练掌握旋转和矩形的性质是解题关键．26．如图，在矩形ABCD 中，2AB AD >，点E F ，分别在边AB CD ，上．将ADF △沿AF 折叠，点D 的对应点G 恰好落在对角线AC 上；将CBE △沿CE 折叠，点B 的对应点H 恰好也落在对角线AC 上．连接GE FH ，．求证：(1)AEH CFG △≌△；(2)四边形EGFH 为平行四边形．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析．【分析】（1）由矩形的性质可得AD BC =，90B D Ð=Ð=︒，AB CD ∥，即得EAH FCG Ð=Ð，由折叠的性质可得AG AD =，CH CB =，90CHE B Ð=Ð=︒，90AGF D Ð=Ð=︒，即得CH AG =，90AHE CGF Ð=Ð=︒，进而得AH CG =，即可由ASA 证明AEH CFG △≌△；（2）由（1）得90AHE CGF Ð=Ð=︒，AEH CFG △≌△，即可得到EH FG ∥，EH FG =，进而即可求证；本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC =，90B D Ð=Ð=︒，AB CD ∥，∴EAH FCG Ð=Ð，由折叠可得，AG AD =，CH CB =，90CHE B Ð=Ð=︒，90AGF D Ð=Ð=︒，∴CH AG =，90AHE CGF Ð=Ð=︒，∴AH CG =，在AEH △和CFG △中，90EAH FCG AH CGAHE CGF Ð=Ðìï=íïÐ=Ð=︒î，∴()ASA AEH CFG V V ≌；（2）证明：由（1）知90AHE CGF Ð=Ð=︒，AEH CFG △≌△，∴EH FG ∥，EH FG =，∴四边形EGFH 为平行四边形．27．如图，正方形ABCD 和正方形GECF ，点E 、F 分别在边BC 、上，将正方形GECF 绕点C 顺时针方向旋转，旋转角为0180a a ︒<<︒（）．(1)如图2，连接BE 、DF ，求证：BE DF =；(2)如图3，若1BC =+，1EC =，当点E 旋转到边上时，连接BE 、连接DF ，并将延长BE 交DF 于点H ，求证：BH 垂直平分DF ．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 和GECF为正方形可得BC DC =，EC FC =，BCE DCF Ð=Ð，再证明()SAS BCE DCF V V ≌即可得到结论；（2）证明BD BF =，=DE EF 即可得出结论．本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，线段垂直平分线的判断，全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 和GECF 为正方形，BC DC \=，EC FC =，90BCD ECF Ð=Ð=︒，BCE DCE DCF DCE \Ð+Ð=Ð+Ð，）解：连接， Q ()2221BD BC \==+22EF CE ==，CD BC =211BF BC CF \=+=++22,BF BD DE EF \==+=模块六、综合探究特殊平行四边形的判定28．如图，点O 是ABC V 内一点，连接OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连接，得到四边形DEFG ．(1)求证：四边形DEFG 是平行四边形；(2)连接AO①直接写出当AO 和BC 有怎样的位置关系时，四边形DEFG 是矩形；②直接写出当AO和BC有怎样的关系时，四边形DEFG是正方形．Q\∥DE AO，Q点E、F分别是OB、\BC EF∥，Q，AO BC^由①得当AO BC ^时，四边形Q 点D 、E 分别是AB 、\12DE AO =，Q 点E 、F 分别是OB 、(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(2)如图二，连接FH ，P 为边FH 上一动点，PN EF ^于点N ，PM EH ^于点M ，3EF =，4EH =，求MN 的最小值．30．如图（1），在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为OB ，OD 的中点，延长AE 至点G ，使EG AE =，连接CG ，延长CF 至点H ，使FH CF =，连接AH ．(1)求证：四边形AGCH 是平行四边形；(2)如图（2），若2AC AB =，求证：四边形AGCH 是矩形；(3)如图（3），若AC AB ^，求证：四边形AGCH 是菱形．()SAS AEO CFO \△≌△，\Ð=Ð=，AEO CFO AE CF ，AE CF \∥，，==EG AE FH CF Q ，AG CH \=，\四边形AGCH 是平行四边形；（2）==Q ，EA EG OA OC ，EO \是AGC V 的中位线，∥\EO GC ，AE CF \∥，\四边形EGCF 是平行四边形，22==Q ，AC AB AC AO ，AB AO \=，E Q 是OB 的中点，AE OB \^，90OEG \Ð=︒，\四边形EGCF 是矩形；90AGC \Ð=︒，由（1）知，四边形AGCH 是平行四边形，\四边形AGCH 是矩形；（3）连接H G ，由（1）知，OA OC =，HG \过点O ，连接BG ，Q 点E 为OB 的中点，BE OE \=，AE EG =Q ，\四边形ABGO 是平行四边形，∥\AB OG ，AB AC ^Q ，\^HG AC ，\四边形AGCH 是菱形．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，正确的识别图形是解题的关键．31．如图所示，在Rt ABC △中，90B =°，100cm AC =，60A Ð=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4cm s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2cm s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒()025t <£．过点D 作DF BC ^于点F ，连接DE ，EF ．(1)求证：四边形AEFD 是平行四边形；(2)四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；(3)当t 为何值时，DEF V 为直角三角形？请说明理由．【答案】(1)证明见解析Q 90CFD \Ð=︒，90B Ð=︒Q ，60A Ð=︒，30C \Ð=︒，114222DF CD t t \==´=，AE DF \=，若四边形AEFD 为菱形，则AE =100AC =Q ，4CD t =，1004AD AC CD t \=-=-，又2AE t =Q ，21004t t \=-，Q 90DFC DFB \Ð=Ð=︒，又90B Ð=︒Q ，\四边形DFBE 为矩形，DF BE \=，90B Ð=︒Q ，60A Ð=︒，由（1）可知：四边形AEFD 是平行四边形，\∥EF AD ，90ADE DEF \Ð=Ð=︒，在Rt ADE V 中，60A Ð=︒，2AE t =30AED \Ð=︒，11模块七、特殊平行四边形在平面直角坐标系的应用32．如图，已知OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为坐标原点，点(10,0)A ，点(0,6)C ，在边AB 上任取一点D ，将AOD △沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上，记为点E ．(1)EC 的长度为 ；(2)求D 点坐标；(3)若在x 轴正半轴上存在点P ，使得OEP V 为等腰三角形，则点P 的坐标为 ．则6EM AB ==，在Rt OEM △中，OM OE =设OP a =，则PE a =，PM 在Rt PEM △中，2PE PM =222(8)6a a \=-+，\同②得8OM =，8MP \=，\点P 的坐标为(16,0)；综上，点P 的坐标为(10,0)或25,04æöç÷èø【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论思想的运用是解题的关键．33．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数48y x =+的图象分别交x 轴，y 轴于A ，B 两点，将AOB V 绕点O 顺时针旋转90︒得COD △（点A 与点C 对应，点B 与点D 对应）．(1)直接写出直线CD 的解析式；(2)点E 为线段CD 上一点，过点E 作EF y ∥轴交直线AB 于点F ，作EG x ∥轴交直线AB 于点G ，当EF EG AD +=时，求点E 的坐标；(3)如图2，若点M 为线段AB 的中点，点N 为直线CD 上一点，点P 为坐标系内一点．且以O ，M ，N ，P 为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出其中一种求解点N 坐标的过程．∵，∵，()0,8B ，点M 为线段∴()1,4M -，12OM AM BM AB ===∵将AOB V 绕点O 顺时针旋转90∴AOB COD ≌△△，∴2OA OC ==，OAB OCD Ð=Ð∵ON OM ^，由（1）得，直线CD 的解析式为设1,24N n n æö-+ç÷èø，∵()1,4M -，∴2221417OM =+=，22ON n =+模块八、压轴过渡练34．如图，在ABC V 中，点O 是边AC 上一个动点，过点O 作直线MN BC ∥．设MN 交ACB Ð的平分线于点E ，交ABC V 的外角ACD Ð的平分线于点F ．(1)求证：OE OF =；(2)若12CE =，5CF =，求OC 的长；(3)连接AE ，AF ，当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？请说明理由．【答案】(1)见解析(2) 6.5OC =(3)点O 在边AC 上运动到AC 的中点时，四边形AECF 是矩形．理由见解析【分析】（1）由角平分线的定义结合平行线的性质可证得ACE OEC Ð=Ð，则OE OC =，同理OC OF =，即可得出结论；（2）利用勾股定理可求得EF 的长，再结合（1）的结论可求得OC 的长；（3）只要保证四边形AECF 是平行四边形即可，则可知O 为AC 的中点时，满足条件．本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和等腰三角形的判定是解题的关键．【解析】（1）证明：CE Q 平分ACB Ð，ACE ECB \Ð=Ð，MN BC Q P ，ECB OEC \Ð=Ð，ACE OEC \Ð=Ð，OE OC \=，同理可得OC OF =，OE OF \=；35．如图，四边形ABCD 和BGEF 均为正方形，点E 恰好在线段AD 上，连接AF 、BE 、CG ．(1)当点E 与A 、D 两点都不重合时，求证：ABF CBG V V ≌；(2)当点E 与A 点重合时，等式AB AE CG -=成立；当点E 与A 、D 两点都不重合时，等式AB AE CG -=是否仍然成立？请证明你的结论．Q 90EFB \Ð=︒，45FEB FBE Ð=Ð=︒，90AFE EFH BFH EFH \Ð+Ð=Ð+Ð=︒，AFE HFB \Ð=Ð．36．问题解决：如图①，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AB BC ，边上，DE AF DE AF =^，于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，连接AH ，判断AHF △的形状，并说明理由．类比迁移：如图②，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB BC ，边上，DE 与AF 相交于点G ，6072DE AF AED AE BF =Ð=︒==，，，，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，见解析；类比迁移：9【分析】本题主要考查了正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等知识点，理解题意并灵活运用相关知识、正确做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．（1）先说明90DE AF AGD ^Ð=︒，可得ADE BAF Ð=Ð，再证明()AAS ADE BAF V V ≌得到AD AB =，然后根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证明结论；（2）由ADE BAF ≌△△可得AE BF =，再证明BH BF =可得AH AF =，从而得到等腰三角形；类比迁移：如图，延长CB 到点H ，使BH AE =，连接AH ，由菱形的性质可证明DAE ABH ≌V V ，再结合已知60AED Ð=︒可得AHF △是等边三角形，最后利用线段的和差即可解答．【解析】（1）解：证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB ABC Ð=Ð=︒，∴90DE AF AGD ^Ð=︒，，∵9090BAF DAF ADE DAF Ð+Ð=︒Ð+Ð=︒，，∴ADE BAFÐ=Ð在ADE V 和BAF △中，90DAE ABF ADE BAFDE AF Ð=Ð=︒ìïÐ=Ðíï=î∴()AAS ADE BAF V V ≌，∴AD AB =，∴四边形ABCD 是正方形．（2）AHF △是等腰三角形，理由：由（1）得ADE BAF ≌△△，∴AE BF =，∵BH AE =，∴BH BF =，∵90ABH Ð=︒，∴AH AF =，。
特殊平行四边形专题训练
专训一：矩形的性质与判定灵活运用名师点金：1.矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质，可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．2．判定一个四边形是矩形可从两个角度进行：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想) 1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙不重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．(第1题)利用矩形的性质与判定证明线段相等2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：OE＝BC.(第2题)利用矩形的性质与判定判断图形形状3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1，连结AP，EC，分别交BE，PD于H，F.(1)判断△BEC的形状，并说明理由．(2)判断四边形EFPH是什么特殊的四边形？并证明你的判断．(第3题)利用矩形的性质与判定求面积4．如图，已知E是▱ABCD中BC边上的中点，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)连结AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形．(2)在(1)的条件下，若△AFD是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．(第4题)专训二：菱形的性质与判定灵活运用名师点金：1.菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．2．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．利用菱形的性质与判定证明角的关系1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连结DF.(1)证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．(第1题)利用菱形的性质与判定证明线段的位置关系2．(中考·兰州)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．(第2题)利用菱形的性质与判定解决周长问题3．(中考·贵阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连结DE，将△ADE绕点E旋转180°，得到△CFE，连结AF.(1)求证：四边形ADCF是菱形；(2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长．(第3题)利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，交AB于点M，连结ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形．(2)当点P在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？请说明理由．(第4题)专训三：正方形的性质与判定灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质证明线段位置关系1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连结DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第1题)利用正方形的性质解决线段和差倍分问题2．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．(第2题)正方形性质与判定的综合运用3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动时间多长，求证：连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．(第3题)正方形中的探究性问题4．如图①，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G 在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连结FM，易证：DM＝FM，DM⊥FM(无需写证明过程)；(1)如图②，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG 于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；(2)如图③，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE 的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．(第4题)专训四：利用矩形的性质巧解折叠问题名师点金：折叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等，且关于折痕或所在直线成轴对称；在计算时，常常通过设未知数列方程求解．利用矩形的性质巧求折叠中的角1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；(2)将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F.求∠AFE的度数．(第1题)利用矩形的性质巧求折叠中的线段的长2．如图，有矩形纸片ABCD，长AD为4 cm，宽AB为3 cm，把矩形折叠，使相对两顶点A，C重合，然后展开．求折痕EF的长．(第2题)利用矩形的性质巧证线段的位置关系3．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE 交AD 于F ，连结AE.证明：(1)BF ＝DF ；(2)AE ∥BD.(第3题)利用矩形的性质巧求线段的比(面积法)4．如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN 的值．(第4题)专训五：用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看作特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)为条件解答．平行四边形中的动点问题1．如图，在▱ABCD 中，E ，F 两点在对角线BD 上运动，且保持BE ＝DF ，连结AE ，CF.请你猜想AE 与CF 有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明．(第1题)矩形中的动点问题2．在矩形ABCD 中，AB ＝4 cm ，BC ＝8 cm ，AC 的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O.(1)如图①，连结AF、CE，求证：四边形AFCE为菱形，并求AF的长；(2)如图②，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒，当以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．(第2题)菱形中的动点问题3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F 在边CD上．(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形．(第3题)正方形中的动点问题4．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．(第4题)专训六：特殊四边形中的最值问题名师点金：求特殊四边形中的最值问题，一般都要用它们的轴对称的性质把几条线段转移到一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．矩形中的最值问题1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，求点D到点O 的最大距离．(第1题)菱形中的最值问题2．如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上任意一点，求PK＋QK的最小值．(第2题)正方形中的最值问题(第3题)3．(中考·宿迁)如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC 的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．4．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结EN，AM，CM.(1)求证：△AMB≌△ENB.(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由．(第4题)专训七：思想方法荟萃名师点金：本章中，由于涉及内容是各种特殊四边形，解决这类问题时，常将它们与三角形、直角坐标系、方程等知识结合在一起进行研究．而转化思想、分类讨论思想、方程思想、数形结合思想是解决四边形问题常要用到的思想方法．数形结合思想(第1题)1．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每块长方形地砖的面积为()A．200 cm2B．300 cm2C．600 cm2D．2 400 cm2方程思想2．已知平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F.(1)若AE＝3 cm，AF＝4 cm，AD＝8 cm，求CD的长；(2)若平行四边形ABCD的周长为36 cm，AE＝4 cm，AF＝5 cm，求平行四边形ABCD的面积．转化思想3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P 是线段AD上一动点(不与点D重合)，PO的延长线交BC于Q点．连结BP，DQ.(1)求证：四边形PBQD为平行四边形．(2)若AB＝3 cm，AD＝4 cm，P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动的时间为t s，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．(第3题)4．如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，且CD＝2 cm，BC＝8 cm，AB＝8 cm，AF＝5 cm.试求此六边形的周长．(第4题)分类讨论思想①图形的位置不确定5．四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC 的度数．②等腰三角形的腰与底边不确定6．已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA 的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标．(第6题)答案解码专训一1．解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM＋∠FEM＝12×180°＝90°，同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四边形EFGH为矩形，∴HG∥EF，HG＝EF，∴∠GHN＝∠EFM.又∵∠HNG＝∠FME＝90°，∴△HNG≌△FME，∴HN＝MF.又∵HN＝HD，∴HD＝MF，∴AD＝AH＋HD＝HM＋MF＝HF.又∵HF＝EH2＋EF2＝32＋42＝5(cm)，∴AD＝5 cm.点拨：此题利用折叠提供的角相等，可证明四边形EFGH为矩形，然后利用三角形全等来证明HN＝MF，进而证明HD＝MF，从而将AD转化为直角三角形的斜边HF，进而得解，体现了转化思想．2．证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠COD＝90°.∴四边形OCED是矩形．∴OE＝CD.∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD.∴OE＝BC.点拨：线段CD既是菱形ABCD的边，又是四边形OCED的对角线，可以用等量代换推出OE＝BC.3．解：(1)△BEC是直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2.∵DE＝BP＝1，∴AE＝PC＝4.由勾股定理得CE＝5，BE＝25，∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2.∴∠BEC＝90°.∴△BEC是直角三角形．(2)四边形EFPH为矩形，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC ，AD ∥BC.∵DE ＝BP ，∴四边形DEBP 是平行四边形．∴BE ∥DP.∵AD ∥BC ，AE ＝PC ，∴四边形AECP 是平行四边形．∴AP ∥CE.∴四边形EFPH 是平行四边形．∵∠BEC ＝90°，∴平行四边形EFPH 是矩形．4．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠ABE ＝∠ECF.又∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，在△ABE 和△FCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠FCE ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠FEC ，∴△ABE ≌△FCE.∴AB ＝CF.又AB ∥CF ，∴四边形ABFC 为平行四边形，∴BE ＝EC ，AE ＝EF ，∵∠AEC 为△ABE 的外角，∴∠AEC ＝∠ABC ＋∠EAB.又∵∠AEC ＝2∠ABC ，∴∠ABC ＝∠EAB ，∴AE ＝BE ，∴AE ＋EF ＝BE ＋EC ，即AF ＝BC ，∴四边形ABFC 为矩形．(2)解：∵四边形ABFC 是矩形，∴AC ⊥DF.又∵△AFD 是等边三角形，∴CF ＝CD ＝DF 2＝2，∴AC ＝42－22＝23，∴S矩形ABFC ＝23×2＝4 3.解码专训二1．(1)证明：∵在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC ＝∠DAC.∵在△ABF 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠BAF ＝∠DAF ，AF ＝AF ，∴△ABF ≌△ADF ，∴∠AFB ＝∠AFD.∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠AFD ＝∠CFE.(2)证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD.又∵∠BAC ＝∠DAC ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∴AD ＝CD.∵AB ＝AD ，CB ＝CD ，∴AB ＝CB ＝CD ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．(3)解：当EB ⊥CD 时，∠EFD ＝∠BCD.理由：∵四边形ABCD 为菱形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠DCF ，在△BCF 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠BCF ＝∠DCF ，CF ＝CF ，∴△BCF ≌△DCF ，∴∠CBF ＝∠CDF.∵BE ⊥CD ，∴∠BEC ＝∠DEF ＝90°，∴∠EFD ＝∠BCD.(第2题)2．证明：(1)如图，过点B 作BM ∥AC 交DC 的延长线于点M ， ∵AB ∥CD ，∴四边形ABMC 为平行四边形．∴AC ＝BM ＝BD ，∴∠BDC ＝∠M ＝∠ACD.在△ACD 和△BDC 中⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，∠ACD ＝∠BDC CD ＝DC ，，∴△ACD ≌△BDC ，∴AD ＝BC.(2)如图，连结EH ，HF ，FG ，GE ，∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，∴HE ∥AD ，且HE ＝12AD ，FG ∥AD ，且FG ＝12AD ，∴四边形HFGE 为平行四边形．由(1)知AD ＝BC ，∴HE ＝EG ，∴▱HFGE 为菱形，∴EF 与GH 互相垂直平分．3．(1)证明：∵将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，∴AE ＝CE ，DE ＝FE ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC.∵∠ACB ＝90°，∴∠AED ＝90°，∴DF ⊥AC ，∴四边形ADCF 是菱形．(2)解：在Rt △ABC 中，BC ＝8，AC ＝6，∴AB ＝10.∵D 是AB 边上的中点，∴AD ＝5.∵四边形ADCF 是菱形，∴AF ＝FC ＝AD ＝5，∴四边形ABCF 的周长为8＋10＋5＋5＝28.4．(1)证明：∵EF ∥AB ，PM ∥AC ，∴四边形AEPM 为平行四边形．∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝∠BAD.∵EP ∥AB ，∴∠BAD ＝∠EPA ，∴∠CAD ＝∠EPA ，∴EA ＝EP ，∴四边形AEPM 为菱形．(第4题)(2)解：当点P 为EF 的中点时，S 菱形AEPM ＝12S 四边形EFBM .理由如下：∵四边形AEPM 为菱形，∴AP ⊥EM.∵AB ＝AC ，∠CAD ＝∠BAD ，∴AD ⊥BC ，∴EM ∥BC.又∵EF ∥AB ，∴四边形EFBM 为平行四边形．过点E 作EN ⊥AB 于点N ，如图，则S 菱形AEPM ＝AM·EN ＝EP·EN ＝12EF·EN ＝12S 四边形EFBM .解码专训三1．证明：∵AC ，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC ⊥BD ，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE ＝CF ，∴OE ＝OF.在Rt △AOE 与Rt △DOF 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD ，∠AOE ＝∠DOF ＝90°，OE ＝OF ，∴Rt △AOE ≌Rt △DOF ， ∴∠OAE ＝∠ODF.∵∠DOF ＝90°，∴∠DFO ＋∠FDO ＝90°，∴∠DFO ＋∠FAE ＝90°.∴∠AMF ＝90°，即AM ⊥DF.2．解：(1)仍有BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下：过点A 作AE ⊥AN ，交CB 的延长线于点E,易证△ABE ≌△ADN ，∴DN ＝BE ，AE ＝AN.又∵∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，∴△EAM ≌△NAM.∴ME ＝MN.∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴BM ＋DN ＝MN .(第2题)(2)有DN －BM ＝MN.证明如下：如图，在DN 上截取DE ＝BM ，连结AE.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM ＝∠D ＝90°，AB ＝AD.又∵DE ＝BM ，∴△ABM ≌△ADE.∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠DAE.∵∠DAB ＝90°.∴∠MAE ＝90°.∵∠MAN ＝45°，∴∠EAN ＝45°＝∠MAN.又∵AM ＝AE ，AN ＝AN ，∴△AMN ≌△AEN.∴MN ＝EN.∴DN ＝DE ＋EN ＝BM ＋MN ，∴DN －BM ＝MN.3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵在任何运动时刻，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴PB ＝QC ＝RD ＝SA ，∴△ASP ≌△BPQ ≌△CQR ≌△DRS ， ∴PS ＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP ＝∠BPQ ，∴在任何运动时刻，四边形PQRS 是菱形．又∵∠APS ＋∠ASP ＝90°，∴∠APS ＋∠BPQ ＝90°， ∴∠QPS ＝180°－(∠APS ＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何运动时刻，四边形PQRS 总是正方形．(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD 的面积．(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面积是原正方形ABCD 面积的一半．理由：设原正方形ABCD 的边长为a.当PS 2＝12a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP.由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝12a 2， 解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝12a.∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为原正方形面积的一半．(第4题)4．解：(1)DM ＝FM ，DM ⊥FM.证明：如图，连结DF 、NF.∵四边形ABCD 和四边形CGEF 都是正方形，∴AD ∥BC ，BC ∥GE ，∴AD ∥GE ，∴∠DAM ＝∠NEM. ∵M 是AE 的中点，∴AM ＝EM.∵∠AMD ＝∠EMN ，∴△MAD ≌△MEN ，∴DM ＝MN ，AD ＝NE.∵AD ＝CD ，∴CD ＝NE.∵CF ＝EF ，∠FCD ＝∠FEN ＝90°，∴△DCF ≌△NEF ，∴DF ＝FN ，∠CFD ＝∠EFN. ∵∠EFN ＋∠CFN ＝90°，∴∠CFD ＋∠CFN ＝90°，即∠DFN ＝90°，∴DM ＝FM ，DM ⊥FM.(2)DM ＝FM ，DM ⊥FM.解码专训四(第1题)1．解：如图，由折叠性质得∠AEF ＝∠A′EF ，∠BEA ＝∠AEB′，BE ＝B′E ，AE ＝EA′，∵∠BAB′＝∠BEB′＝∠ABE ＝∠AB′E ＝90°，∴AE 为∠BAB′的平分线，∴∠BEA ＝∠BAE ＝45°，又∠BEA ＋∠AEF ＋∠FEA′＝180°，∴∠FEA′＝67.5°，∵在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠FEA′＝67.5°.2．解：易得EF 为AC 的垂直平分线．∴AE ＝EC ，AF ＝FC. ∵AE ∥FC ，∴∠AEO ＝∠CFO.又∵OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△AEO ≌△CFO ，∴AE ＝FC.∴四边形AECF 是菱形．设BF 为x cm ，则AF ＝FC ＝(4－x)cm .由勾股定理，得32＋x 2＝(4－x)2，∴x ＝78，∴FC ＝258 cm .∵AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，∴AC ＝32＋42＝5(cm )．∴OC ＝52 cm .在Rt △FOC 中，OF ＝FC 2－OC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2582－⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝158(cm )． ∴EF ＝2OF ＝154 cm .即折痕EF 的长为154 cm .3．证明：(1)由折叠可知，∠FBD ＝∠CBD ，因为AD ∥BC ，所以∠FDB ＝∠CBD ，所以∠FBD ＝∠FDB ，所以BF ＝DF.(2)因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ＝DC ，AD ＝BC ，由折叠可知DC ＝ED ＝AB ，BC ＝BE ＝AD ，又因为AE ＝AE ，所以△AEB ≌△EAD ，所以∠AEB ＝∠EAD ，所以∠AEB ＝12(180°－∠AFE)，而∠DBE ＝12(180°－∠BFD)，∠AFE＝∠BFD ，所以∠AEB ＝∠DBE ，所以AE ∥BD.4．(1)证明：由折叠的性质可得：∠ENM ＝∠DNM ，即∠ENM ＝∠ENA ＋∠ANM ，∠DNM ＝∠DNC ＋∠CNM ，∵∠ENA ＝∠DNC ，∴∠ANM ＝∠CNM ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠ANM ＝∠CMN ，∴∠CMN ＝∠CNM ，∴CM ＝CN.(2)解：过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝DC ，∵△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，∴S △CMN S △CDN ＝12·MC·NH 12·DN·NH ＝MC ND ＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC ，∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x ，∴CM ＝3x ＝CN.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x ，∴NH ＝22x ，在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x ，∴MN DN ＝23x x ＝2 3.解码专训五1．解：猜想：AE ＝CF ，AE ∥CF.证明如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠CDF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∠AEB ＝∠CFD.∵∠AEB ＋∠AED ＝∠CFD ＋∠CFB ＝180°，∴∠AED ＝∠CFB ，∴AE ∥CF.2．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠CAD ＝∠ACB 、∠AEF ＝∠CFE.∵EF 垂直平分AC ，垂足为O ，∴OA ＝OC ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF ，∴四边形AFCE 为平行四边形． 又∵EF ⊥AC ，∴四边形AFCE 为菱形．设菱形的边AF ＝CF ＝x cm ，则BF ＝(8－x)cm ，(第2题)在Rt △ABF 中，AB ＝4 cm ，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5，∴AF ＝5 cm .(2)解：显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，如图，当以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC ＝QA.∵点P 的速度为每秒5 cm ，点Q 的速度为每秒4 cm ，运动时间为t 秒，∴PC ＝5t ，QA ＝12－4t ，∴5t ＝12－4t ，解得t ＝43，∴以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，t ＝43.3．证明：(1)连结AC.∵在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，∴AB ＝BC ＝CD ，∠BCD ＝180°－∠B ＝120°，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°，∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°，∴∠FEC＝∠CFE，∴EC＝CF.∴BE＝DF.(2)连结AC.由(1)知△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF.∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACF＝60°＝∠B，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．(第4题)4．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴BE＝CF＝DG＝AH，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EH＝EF＝FG＝GH，∠1＝∠2.∴四边形EFGH为菱形．∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠HEF＝90°.∵四边形EFGH为菱形，∴四边形EFGH为正方形．(2)解：直线EG必经过一定点．理由如下：如图，连结BD、EG，BD与EG交于O点，连结ED，BG.∵BE綊DG，∴四边形BGDE为平行四边形，∴BD、EG互相平分，易知O为正方形中心，∴EG必过正方形中心O.解码专训六(第1题)1．解：如图，取AB的中点E，连结OE、DE、OD，则OE＝1 2AB＝1，AE＝1，所以DE＝2，当D，E，O三点共线时，OD＝OE＋DE，否则OD<OE＋DE，所以OD长的最大值是2＋1.点拨：在这个问题中，关键是运用三角形三边的不等关系确定点D到点O的距离何时最大，具体做法是取AB的中点E，连结OE、DE、OD后，通过分情况讨论得出OD≤OE＋DE，所以OD的最大值等于OE＋DE.(第2题)2．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－120°＝60°.如图，作点P关于直线BD的对称点P′，连结P′Q，P′C，则P′Q 的长即为PK＋QK的最小值，当P′Q⊥AB时，P′Q最短．假设点Q 与点C重合，CP′⊥AB，此时CP′的长即为PK＋QK的最小值．连结AC.∵BC＝AB＝2，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形．∵CP′⊥AB，∴BP′＝AP′＝12AB＝1，∴CP′＝BC2－BP′2＝ 3.即PK＋QK的最小值为 3.3.54．(1)证明：∵△ABE是等边三角形，∴BA＝BE，∠ABE＝60°.∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.即∠MBA＝∠NBE.又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB；(2)解：①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小；②连结CE，当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM 的值最小．理由如下：由(1)知△AMB≌△ENB，∴AM＝EN，∵∠MBN＝60°，MB＝NB，∴△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM，根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短．∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长．解码专训七1．B 点拨：设每块长方形地砖的长为x cm ，宽为y cm ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝40，2x ＝x ＋3y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝40，x －3y ＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝30，y ＝10， 所以每块长方形地砖的面积是300 cm 2.故选B .2．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝8 cm ，∴BC ＝AD ＝8 cm .∵S平行四边形ABCD ＝BC·AE ＝CD·AF ，∴8×3＝4CD ，∴CD ＝6 cm .(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD.∵平行四边形的周长为36 cm ，∴BC ＋CD ＝18 cm ，由平行四边形的面积公式得：4BC ＝5CD ，则⎩⎪⎨⎪⎧BC ＋CD ＝18，4BC ＝5CD ，解得：BC ＝10 cm ，CD ＝8 cm ，∴平行四边形ABCD 的面积是4×10＝40(cm 2)．3．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OD ＝OB ，∴∠PDO ＝∠QBO.在△POD 与△QOB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PDO ＝∠QBO ，OD ＝OB ，∠POD ＝∠QOB ，∴△POD ≌△QOB ，∴OP ＝OQ ，∴四边形PBQD 为平行四边形；(2)解：能．点P 从点A 出发运动t s 时，AP ＝t cm ，PD ＝(4－t) cm . 当四边形PBQD 是菱形时，PB ＝PD ＝(4－t) cm .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAP ＝90°.在直角三角形ABP 中，AB ＝3 cm ，AP 2＋AB 2＝PB 2，即t 2＋32＝(4－t)2，解得：t ＝78，∴当点P 运动的时间为78 s 时，四边形PBQD 能够成为菱形．4．解：延长ED ，BC 交于点N ，延长EF ，BA 交于点M.∵∠EDC ＝∠BCD ＝120°，∴∠NDC ＝∠NCD ＝60°，∴∠N ＝60°.同理，∠MFA ＝∠MAF ＝60°，∴∠M ＝60°，∴△DCN 、△FMA 均为等边三角形，∵∠E ＋∠N ＝180°，∠E ＋∠M ＝180°，∴EM ∥BN ，EN ∥MB ，∴四边形EMBN 是平行四边形，∴BN ＝EM ，MB ＝EN.∵CD ＝2 cm ，BC＝8 cm，AB＝8 cm，AF＝5 cm，∴CN＝DN＝2 cm，AM＝FM＝5 cm，∴BN＝EM＝8＋2＝10(cm)，MB＝EN＝8＋5＝13(cm)，∴EF＋FA＋AB＋BC＋CD＋DE＝EF＋FM＋AB＋BC＋DN＋DE＝EM＋AB＋BC＋EN＝10＋8＋8＋13＝39(cm)，∴此六边形的周长为39 cm.5．解：当等边三角形ADE在正方形ABCD外部时，如图①所示．∵AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°，∴∠AEB＝(180°－150°)÷2＝15°.同理，∠DEC＝15°，∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；当等边三角形ADE在正方形ABCD内部时，如图②所示．∵AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝(180°－30°)÷2＝75°.同理∠DEC＝75°，∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.(第5题)(第6题)6．解：易知OD＝5.当OP＝OD时，OP＝5，CO＝4，易得CP ＝3，所以P(3，4)．当OD＝PD时(如图所示)，有两种情况．①过P0作P0M⊥OD于M，在Rt△P0MD中，P0D＝5，P0M＝4，易知MD＝3，所以OM＝OD－MD＝5－3＝2，从而可知CP0＝2，所以P0(2，4)；②过P1作P1M1⊥OA于M1，在Rt△P1M1D中，P1D＝5，P1M1＝4，易知M1D＝3，所以OM1＝OD＋M1D＝5＋3＝8，从而CP1＝8，所以P1(8，4)．当OP＝PD时，易知OP≠5，不符合题意．综上，满足题意的点P的坐标为(3，4)，(2，4)，(8，4)．点拨：本题运用了分类讨论思想．根据△ODP是腰长为5的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．【此课件下载可自行编辑修改，供参考，感谢你的支持！】。
浙教版初中数学中考复习：特殊四边形探究 (共37张PPT)
，点C的坐标为
．
• (2)将抛物线m1沿x轴翻折，得到抛物线m2：y2＝a2x2＋b2x＋c2，则当x＝－3时，y2＝ ．
18
解析：
19
考向三：菱形探究
• (B3两)在点(1(点)的A条在件点下B，的将左抛侧物)，线抛m物1沿线水m平3与方x轴向交平于移M，，得N到两抛点物(点线Mm在3.设点抛N物的线左m侧1)与．x过轴点交C于作A平， 行 情于形x？轴若的存直在线，，请交求抛出物点线Km的3于坐点标K；.问若：不是存否在存，在请以说A明，理C由，．K，M为顶点的四边形是菱形的
2
考向一：特殊四边形与函数的联系
• 【例】如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点P从点C出发，沿CB方向匀速运 动到终点B，动点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动到终点C.已知P，Q两点同时出发，并同 时到达终点，连结OP，OQ.设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么下列图象能大致 刻画S与t之间的关系的是( )
3
解析：
4
考向一：特殊四边形与函数的联系
• 【练】如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE＝EF ＝ FB ＝ 5，DE ＝
12，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运
动时间为t秒，y＝S△EPF，则y与t的函数图象大致是(
)
5
26
解析：
27
考向四：矩形探究
• (2)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P，N，B，Q 构成 平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．
28
解析：
29
考向四：矩形探究
浙江省中考数学 第五单元 四边形 课时训练25 特殊平行四边形(二)练习 (新版)浙教版-(新版)浙
课时训练(二十五) 特殊平行四边形(二)|夯实基础|1.[2018·某某] 如图K25-1,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EF∥CB,交AB于点F,如果EF=3,那么菱形ABCD的周长为()图K25-1A.24B.18C.12D.92.[2018·某某] 将一个矩形纸片按如图K25-2所示折叠,若∠1=40°,则∠2的度数是()图K25-2A.40°B.50°C.60°D.70°3.[2018·某某州] 如图K25-3所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连结AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点,已知FG=2,则线段AE的长度为()图K25-3A.6B.8C.10D.124.[2017·某某] 在平行四边形ABCD中,对角线AC与DB相交于点O.要使四边形ABCD是正方形,还需添加一组条件.下面给出了四组条件:①AB⊥AD,且AB=AD;②AB=BD,且AB⊥BD;③OB=OC,且OB⊥OC;④AB=AD,且AC=BD.其中正确的序号是.5.[2018·某某] 对于一个位置确定的图形,如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上,且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点(如图K25-4①),那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽,铅垂方向的边长称为该图形的高.如图②,菱形ABCD的边长为1,边AB水平放置.如果该菱形的高是宽的,那么它的宽的值是.图K25-46.如图K25-5,AC是矩形ABCD的对角线,AB=2,BC=2,点E,F分别是线段AB,AD上的点,连结CE,CF,当∠BCE=∠ACF,且CE=CF时,AE+AF=.图K25-57.如图K25-6,在平行四边形ABCD中,AB=3cm,BC=5cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连结CE,DF.(1)求证:四边形CEDF是平行四边形.(2)①当AE=cm时,四边形CEDF是矩形;②当AE=cm时,四边形CEDF是菱形.(直接写出答案,不需要说明理由)图K25-68.[2018·某某] 如图K25-7①,在△ABC中,AB=AC,过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E,以E为顶点,ED为一边,作∠DEF=∠A,另一边EF交AC于点F.(1)求证:四边形ADEF为平行四边形;(2)当点D为AB中点时,▱ADEF的形状为;(3)延长图①中的DE到点G,使EG=DE,连结AE,AG,FG,得到图②,若AD=AG,判断四边形AEGF的形状,并说明理由.图K25-7|拓展提升|9.[2018·某某] 如图K25-8①,分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC,EG剪开,拼成如图②所示的▱KLMN,若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形,且▱KLMN的面积为50,则正方形EFGH的面积为()图K25-8A.24B.25C.26D.2710.[2018·某某] 如图K25-9,已知∠MON=120°,点A,B分别在OM,ON上,且OA=OB=a,将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM',旋转角为α(0°<α<120°且α≠60°),作点A关于直线OM'的对称点C,画直线BC交OM'于点D,连结AC,AD.有下列结论:图K25-9①AD=CD;②∠ACD的大小随着α的变化而变化;③当α=30°时,四边形OADC为菱形;④△ACD的面积的最大值为a2.其中正确的是.(把你认为正确结论的序号都填上)11.[2018·某某] 小敏思考解决如下问题:原题:如图K25-10①,点P,Q分别在菱形ABCD的边BC,CD上,∠PAQ=∠B,求证:AP=AQ.(1)小敏进行探索,若将点P,Q的位置特殊化:把∠PAQ绕点A旋转得到∠EAF,使AE⊥BC,点E,F分别在边BC,CD上,如图②,此时她证明了AE=AF.请你证明.(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图③,作AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F.请你继续完成原题的证明.(3)如果在原题中添加条件:AB=4,∠B=60°,如图①.请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案.图K25-10参考答案1.A2.D[解析] 如下图,易知2∠3=∠1+180°=220°,从而∠3=110°,又由平行线的性质,得∠2+∠3=180°,进而∠2=70°,故选D.3.D[解析]∵正方形ABCD,G为CD边中点,∴AB∶DG=2∶1.∵AB∥CD,∴AB∶DG=AF∶FG.∵FG=2,∴AF=4.易证△ADG≌△ECG,∴EG=AG=AF+FG=4+2=6.∴AE=12.故选D.4.①③④[解析]①有一个角是直角的平行四边形是矩形,有一组邻边相等的矩形是正方形,故①正确.②BD为平行四边形的对角线,AB为平行四边形的其中一条边,所以AB=BD时,平行四边形不可能是正方形,故②错误.③对角线相等且垂直的平行四边形是正方形,由OB=OC,得AC=BD,由OB⊥OC,得AC⊥BD,所以四边形ABCD为正方形,故③正确.④邻边相等的平行四边形是菱形,对角线相等的菱形是正方形.在平行四边形ABCD中,由AB=AD,得四边形ABCD为菱形,又∵AC=BD,∴四边形ABCD为正方形.故④正确.5.[解析] 如图,将菱形ABCD放置在一个水平矩形AFCE中,设宽AF为a,则高CF为a,因为菱形ABCD的边长为1,所以BF为a-1,在Rt△BCF中,由勾股定理得(a-1)2+a2=12,解得a=.6.[解析] 如图,作FG⊥AC,易证△BCE≌△GCF(AAS),∴BE=GF,BC=CG.∵在Rt△ABC中,tan∠ACB===,∴∠ACB=30°,∴AC=2AB=4,∠DAC=∠ACB=30°.∵FG⊥AC,∴AF=2GF,∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE.设BE=x,在Rt△AFG中,AG=GF=x,∴AC=AG+CG=x+2=4,解得x=-2,∴AE+AF=AB+BE=2+-2=.7.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CF∥ED,∴∠FCG=∠EDG.∵G是CD的中点,∴CG=DG.在△FCG和△EDG中,∴△FCG≌△EDG(ASA),∴FG=EG.又∵CG=DG,∴四边形CEDF是平行四边形.(2)①当AE=3.5cm时,四边形CEDF是矩形.②当AE=2cm时,四边形CEDF是菱形.8.解:(1)证明:∵DE∥AC,∴∠DEF=∠EFC.∵∠DEF=∠A,∴∠A=∠EFC,∴EF∥AB,∴四边形ADEF为平行四边形.(2)菱形.理由如下:∵点D为AB中点,∴AD=AB.∵DE∥AC,点D为AB中点,∴E为BC中点,∴DE=AC.∵AB=AC,∴AD=DE,∴平行四边形ADEF为菱形.(3)四边形AEGF为矩形.理由:∵四边形ADEF为平行四边形,∴AF∥DE,AF=DE,AD=EF.∵EG=DE,∴AF=EG.又∵AF∥EG,∴四边形AEGF是平行四边形.∵AD=AG,∴AG=EF,∴四边形AEGF为矩形.9.B[解析] 设长方形纸片长,宽分别为x,y,正方形纸片边长为z.∵四边形OPQR是正方形,∴RQ=RO,∴x-z=z-y,∴x=2z-y①;∵▱KLMN的面积为50,∴xy+z2+(z-y)2=50,把①代入,得(2z-y)·y+z2+(z-y)2=50,∴2zy-y2+z2+z2-2yz+y2=50,整理,得2z2=50,∴z2=25,∴正方形EFGH的面积=z2=25,故选择B.10.①③④[解析] 连结OC,∵点A关于直线OM'的对称点是点C,由对称性可得OA=OC,CD=AD,故①正确;∵OA=OC,∴∠COD=∠AOD=α,由对称性可知OM'垂直平分AC,∴∠OCA=90°-α.∵OA=OB,OA=OC,∴OB=OC.∵∠BOC=120°-2α,∴∠BCO=30°+α,∴∠BCA=90°-α+30°+α=120°,∴∠ACD=180°-120°=60°,故②错误;∵CD=AD,∴△ACD为等边三角形.当α=30°时,∠AOC=60°∴△ACO为等边三角形.∴OC=OA=AC,又∠ACD=60°,AD=CD,∴AD=CD=AC.∴OA=OC=CD=AD.∴四边形OADC为菱形.故③正确;要使△ACD的面积最大即AC要最大,当α=90°,A,O,C在一条直线上时,AC最大,∴△ACD的面积的最大值为×2a×a=a2,故④正确.11.[解析](1)可先求出∠AFC=∠AFD=90°,然后证明△AEB≌△AFD即可;(2)先求出∠EAP=∠FAQ,再证明△AEP≌△AFQ即可;(3)可以分三个不同的层次,①直接求菱形本身其他内角的度数或边的长度,也可求菱形的周长.②可求PC+CQ,BP+QD,∠APC+∠AQC的值.③可求四边形APCQ的面积、△ABP与△AQD的面积和、四边形APCQ周长的最小值等.解:(1)证明:如图①,在菱形ABCD中,∠B+∠C=180°,∠B=∠D,AB=AD,∵∠EAF=∠B,∴∠C+∠EAF=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°.∵AE⊥BC,∴∠AEB=∠AEC=90°,∴∠AFC=90°,∠AFD=90°,∴△AEB≌△AFD,∴AE=AF.(2)证明:如图②,∵∠PAQ=∠EAF=∠B,∴∠EAP=∠EAF-∠PAF=∠PAQ-∠PAF=∠FAQ.∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEP=∠AFQ=90°.∵AE=AF,∴△AEP≌△AFQ,∴AP=AQ.(3)答案不唯一,举例如下:层次1:①求∠D的度数.答案:∠D=60°.②分别求∠BAD,∠BCD的度数.word 答案:∠BAD=∠BCD=120°.③求菱形ABCD的周长.答案:16.④分别求BC,CD,AD的长.答案:4,4,4.层次2:①求PC+CQ的值.答案:4.②求BP+QD的值.答案:4.③求∠APC+∠AQC的值.答案:180°.层次3:①求四边形APCQ的面积.答案:4.②求△ABP与△AQD的面积和.答案:4.③求四边形APCQ周长的最小值.答案:4+4.11 / 11。
2024年中考第一轮复习特殊平行四边形2
3.[2019·上海]如图25-7,在正方形ABCD中,E是边AD的中点.将△ABE沿直线BE
翻折,点A落在点F处,连结DF,那么∠EDF的正切值是
图25-7
.
[答案]2
1
[解析] 如图所示,由折叠可得 AE=FE,∠AEB=∠FEB= ∠AEF,
■ 知识梳理
1.定义:顺次连结四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.
2.任意四边形的中点四边形是① 平行四边形 .
对角线相等的四边形的中点四边形是② 菱形
.
对角线垂直的四边形的中点四边形是③ 矩形
.
对角线互相垂直且相等的四边形的中点四边形是④ 正方形 .
考向一
中点四边形
例1 如图25-4,D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点
1
2
∵AC=BD=8,AE=CF=2,∴OD=4,OE=OF= (8-2-2)=2.
由勾股定理,得 DE= 2 + 2 = 42 + 22 =2 5,
∴四边形 BEDF 的周长=4DE=4×2 5=8 5.
■ 知识梳理
图25-2
考点二
中点四边形
4.顺次连结任意四边形各边的中点,所得的四边形一定是
,O是△ABC所在平面上的动点,连结OA,OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺
次连结点D,G,F,E.
(1)当点O在△ABC的内部时,求证:四边形DGFE是平行四边形;
解:(1)证明:∵D,E 分别是 AB,AC 的中点,
1
∴DE∥BC,且 DE=2BC.
1
同理,GF∥BC,且 GF=2BC,
浙教版平行四边形、特殊平行四边形(除梯形外)知识点总结以及专项训练
第五章平行四边形一.知识点：1. N边形以及四边形性质：1）N边形的内角和、外角和以及对角线的条数（n*(n-3)/2）。
2）四边形的内角和、外角和、对角线的条数。
2.正多边形：各条边都相等且各内角都相等的多边形叫正多边形.正多边形能镶嵌平面的条件：1）单一正多边形2）多种正多边形[例1]（2004贵阳）正n边形的内角和等于1080°，那么这个正n 边形的边数n=_____.[例2]（2004芜湖）一个多边形的每一个外角都等于72°,这个多边形是（）A、正三角形B、正方形C、正五边形D、正六边形2．图形的密铺[例3]（2005宜昌）某城市进行旧城区人行道的路面翻新,准备对地面密铺彩色地砖, 有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形，②正四边形，③正五边形，④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是（）.A、①B、②C、③D、④3．（2004南宁）如果要用正三角形和正方形两种图形进行密铺，那么至少．．需要（）A、三个正三角形，两个正方形B 、两个正三角形，三个正方形C 、两个正三角形，两个正方形4．（2005北京）如果正多边形的一个外角为72º，那么它的边数是＿＿＿＿＿＿。
4.三角形的中位线以及中位线定理关注：三角形中位线定理的证明方法以及中位线定理的应用，这是重点.直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
5平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
6.平行四边形的性质以及判定性质：1）平行四边形两组对边分别平行且相等. 2）平行四边形对角相等，邻角互补.（书本无） 3）平行四边形对角线互相平分. 4）平行四边形是中心对称图形.5）夹在两平行线间的平行线段相等 6）夹在两平行线间的垂线段相等[例1] 20、（2005济南）如图，已知□ABCD 中，E 为AD 的中点，CE 的延长线交BA 的延长线于点E 。
⑴求证：CD ＝FA ； ⑵若使∠F ＝∠BCF ，□ABCD 的边长之间还需再添加一个什么条件？请你补上这个条件，并进行证明(不要再增添辅助线)。
浙教版初中数学八年级下册《特殊平行四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《特殊平行四边形》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.2. 理解正方形的概念，探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、矩形1．定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2．性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：宽＝长矩形 S４．判定：（1) 有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．要点二、菱形1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2．性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：2对角线对角线高＝＝底菱形⨯⨯S 4．判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1. 定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2．性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3．面积：=S 正方形边长×边长＝12×对角线×对角线 4．判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形1、（2016春•常州期末）如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，AE ∥BC ，DE ∥AB ． 试说明：（1）AE=DC ；（2）四边形ADCE 为矩形．【思路点拨】（1）根据已知条件可以判定四边形ABDE 是平行四边形，则其对边相等：AE=BD ．结合中点的性质得到AE=CD ；（2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE 是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．【答案与解析】证明：（1）如图，∵AE∥BC，∴AE∥BD．又∵DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE=BD．∵D为BC的中点，∴BD=DC，∴AE=DC；（2）∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，∴四边形ADCE是平行四边形．又∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥CD，∴平行四边形ADCE为矩形．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题也可以根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明（2）的结论．2、如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处，求EF的长.【思路点拨】要求EF的长，可以考虑把EF放入Rt△AEF中，由折叠可知CD＝CF，DE＝EF，易得AC＝10，所以AF＝4，AE＝8-EF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出EF的值．【答案与解析】解：设EF＝x，由折叠可得：DE＝EF＝x，CF＝CD＝6，又∵在Rt△ADC中，10AC=．∴ AF ＝AC －CF ＝4，AE ＝AD －DE ＝8－x ．在Rt △AEF 中，222AE AF EF =+，即222(8)4x x -=+，解得：x ＝3 ∴ EF ＝3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解．举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB ＝ 3cm ，BC ＝ 5cm ，则重叠部分△DEF 的面积是__________2cm ．【答案】5.1.提示：由题意可知BF ＝DF ，设FC ＝x ，DF ＝5－x ，在Rt △DFC 中，222DC F C DF +=，解得x ＝85，BF ＝DE ＝3.4，则D E F 1=D E A B 2S ⨯△＝12×3.4×3＝5.1.类型二、菱形3、（2015•遵义）在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF∥BC 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF 是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF 的面积．【答案与解析】（1）证明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，∴AE=DE，BD=CD ，在△AFE 和△DBE 中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）证明：由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，∴A D=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形；（3）解：设菱形DC边上的高为h，∴RT△ABC斜边BC边上的高也为h，∵BC==，∴DC=BC=，∴h==，菱形ADCF的面积为：DC•h=×=10．【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形ABCD是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由．【答案】四边形ABCD是菱形；证明：由AD∥BC，AB∥CD得四边形ABCD是平行四边形,过A，C两点分别作AE⊥BC于E，CF⊥AB于F．∴∠CFB＝∠AEB＝90°．∵AE＝CF（纸带的宽度相等）∠ABE＝∠CBF，∴Rt△ABE≌Rt△CBF,∴AB＝BC,∴四边形ABCD是菱形.4、如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB ＝CD ．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH 是矩形，③HF 平分∠EHG，④EG＝12（BC －AD ），⑤四边形EFGH 是菱形．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C ；【解析】解：∵E、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点， ∴EF＝12CD ，FG ＝12AB ，GH ＝12CD ，HE ＝12AB ， ∵AB＝CD ，∴EF＝FG ＝GH ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH 是矩形，错误；③HF 平分∠EHG，正确；④当AD∥BC，如图所示：E ，G 分别为BD ，AC 中点，∴连接CD ，延长EG 到CD 上一点N ， ∴EN＝12BC ，GN ＝12AD ， ∴EG＝12（BC －AD ），只有AD∥BC 时才可以成立， 而本题AD 与BC 很显然不平行，故本小题错误；⑤四边形EFGH 是菱形，正确．综上所述，①③⑤共3个正确．故选C ．【总结升华】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB ＝CD 判定四边形EFGH 是菱形是解答本题的关键． 类型三、正方形5、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ，对角线BD 平分∠ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M ，N ．（1）求证：∠ADB ＝∠CDB ；（2）若∠ADC ＝90°，求证：四边形MPND 是正方形．【思路点拨】（1）问通过证明三角形全等来证明角相等；（2）先证明四边形MPND是矩形，再证明一组邻边相等，从而证明四边形MPND是正方形.【答案与解析】证明：(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD.∴∠ADB＝∠CDB.(2) ∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°，又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形.∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形.【总结升华】熟记正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形.6、如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由.【思路点拨】AE＝EF．根据正方形的性质推出AB＝BC，∠BAD＝∠HAD＝∠DCE＝90°，推出∠HA E＝∠CEF，根据△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，∠H＝45°，HA＝CE，根据CF平分∠DCE推出∠H＝∠FCE，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案．【答案与解析】探究：AE＝EF证明：∵△BHE为等腰直角三角形,∴∠H＝∠HEB＝45°，BH＝BE.又∵CF平分∠DCE，四边形ABCD为正方形，∴∠FCE ＝12∠DCE ＝45°， ∴∠H ＝∠FCE.由正方形ABCD 知∠B ＝90°，∠HAE ＝90°＋∠DAE ＝90°＋∠AEB, 而AE ⊥EF ，∴∠FEC ＝90°＋∠AEB ，∴∠HAE ＝∠FEC.由正方形ABCD 知AB ＝BC ，∴BH －AB ＝BE －BC ，∴HA ＝CE,∴△AHE ≌△ECF （ASA ）,∴AE ＝EF.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式1】如图所示，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边中点，连接EF 、FG 、GH 、HE ，则四边形EFGH 为________形．(1)当四边形满足________条件时，四边形EFGH 是菱形．(2)当四边形满足________条件时，四边形EFGH 是矩形．(3)当四边形满足________条件时，四边形EFGH 是正方形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．【答案】四边形EFGH 为平行四边形；解：(1)AC ＝BD ，理由：如图①，四边形ABCD 的对角线AC ＝BD ，此时四边形EFGH 为平行四边形，且EH ＝12BD ，HG ＝12AC ，得EH ＝GH ， 故四边形EFGH 为菱形．(2)AC ⊥BD ，理由：如图②，四边形ABCD 的对角线互相垂直，此时四边形EFGH 为平行四边形．易得GH ⊥BD ，即GH ⊥EH ，故四边形EFGH 为矩形．(3)AC ＝BD 且AC ⊥BD ，理由：如图③，四边形ABCD 的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形EFGH 为正方形．本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特殊的平行四边形，加上邻边相等为菱形，加上对角线互相垂直为矩形，综合得到正方形．【变式2】（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ．若∠CBF=20°，则∠AED 等于 度．【答案】65°.提示：∠ABE=90°-20°=70°，由正方形的性质知，∠BAC=45°，∴∠AEB=180°-45°-70°=65°，由正方形的对称性可知，∠AED=∠AEB=65°.。
【本地研发】浙江省杭州市浙教版初中八年级下册数学特殊平行四边形复习(教师版)
特殊平行四边形复习__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1．理解矩形、菱形的概念，知道它们之间的关系以及它们与平行四边形的关系；2．掌握矩形、菱形的性质与判定并能运用这些性质与判定进行有关的证明和计算．3．理解正方形的概念；4．掌握正方形的性质与判定并能运用这些性质与判定进行有关的证明和计算．（此环节设计时间在10-15分钟）教法说明：首先回顾上次课的预习思考内容，归纳总结矩形和菱形的性质与判定．1．回顾矩形和菱形除了具备平行四边形的性质以外的特殊性质，完成下表；2．总结一下矩形和菱形的判定，完成下表；3.在下图箭头上填上适当条件4.总结一下正方形所具备的性质：例题1：已知：在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∠AOD ＝120°，求：∠BOE教法说明：由矩形ABCD ，得到OA ＝OB ，根据AE 平分∠BAD ，得到等边三角形OAB ，推出AB ＝OB ，求出∠OAB 、∠OBC 的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到OB ＝BE ，根据三角形的内角和定理即可参考答案：∠BOE ＝75°EOABC D边 角 对角线对称性正方形两组对边平行 四条边都相等四个角都是直角对角线互相垂直平分且相等 每一条对角线平分一组对角中心对称 轴对称平行四边形矩形菱形正方形例题2：如图，已知矩形ABCD 的纸片沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '边交AD 于E ，8AD =， 4CD =．（1）求AE 的长； （2）BED △的面积参考答案：（1）∵△BDC ′是由△BDC 沿直线BD 折叠得到的，∴∠C ′BD ＝∠CBD ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴∠CBD ＝∠EDB ， ∴∠C ′BD ＝∠EDB ， ∴BE ＝DE ；设AE ＝x ，则BE ＝BE ＝8—x ，在Rt △ABE 中 2224(8)x x =+-； 解得3x = （2）△BED 的面积为：10说明：证明BE ＝DE 还可以通过证明△ABE ≌△C ’DE例题3：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 、BF 分别是∠DAB 、∠CBA 的角平分线，AE 、BF 交于O点，与DC 分别交于E 、F 两点。
中考数学总复习《(特殊)平行四边形的动点问题》专题训练(附答案)
中考数学总复习《（特殊）平行四边形的动点问题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，矩形ABCD 中，AB =4cm ，BC =8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，ab ≠0），已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式．2．（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，PF=6，AEP △的面积为1S ，CFP 的面积为2S ，则12S S +=________；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21S S >），求PBD △的面积（用含1S 、S的代数式表示）；2（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上）过点P作//EF AD，HG//AB与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为1S，四边形PGCF的面积为2S（其中21），S S求PBD△的面积（用含1S、2S的代数式表示）；（4）如图4 点A B C D把O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC BD 上）设PB PC BC围成的封闭图形的面积为1S PA PD AD围成的封闭图形的面积为2S PBD△的面积为3S PAC△的面积为4S．根据你选的点P的位置直接写出一个含有1S2S3S4S的等式（写出一种情况即可）．3．已知直线y=x＋4与x轴y轴分别交于A B两点∠ABC=60°BC与x轴交于点C．（1）试确定直线BC的解析式.（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A C重合）同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C A重合) 动点P的运动速度是每秒1个单位长度动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S P点的运动时间为t秒求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围.（3）在（2）的条件下当△APQ的面积最大时y轴上有一点M 平面内是否存在一点N 使以A Q M N为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出N点的坐标；若不存在请说明理由.4．如图在等腰梯形ABCD中AB∥DC AB＝8cm CD＝2cm AD＝6cm．点P 从点A出发以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发以1cm/s的速度沿CD DA向终点A运动（P Q两点中有一个点运动到终点时所有运动即终止）．设P Q同时出发并运动了t秒．（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时求t的值；（2）试问是否存在这样的t 使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在求出这样的t的值若不存在请说明理由．5．如图在平面直角坐标系中以坐标原点O为圆心2为半径画⊙O P是⊙O上一动点且P在第一象限内过点P作⊙O的切线与轴相交于点A与轴相交于点B．(1)点P在运动时线段AB的长度也在发生变化请写出线段AB长度的最小值并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q使得以Q O A P为顶点的四边形时平行四边形？若存在请求出Q点的坐标；若不存在请说明理由．6．如图已知长方形ABCD中AD＝6cm AB＝4cm 点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动同时点Q在线段BC上由点B向点C运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等经过1秒后△AEP与△BPQ是否全等请说明理由并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等运动时间为t秒设△PEQ的面积为Scm2请用t的代数式表示S；(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等当点Q的运动速度为多少时能够使△AEP与△BPQ全等？7．如图长方形ABCD中5cm,8cm==现有一动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB BC----返回到点A停止设点P运动的时间为t秒．长方形的边A B C D At=时BP=___________cm；(1)当2(2)当t为何值时连接,,△是等腰三角形；CP DP CDP(3)Q为AD边上的点且6DQ=P与Q不重合当t为何值时以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与DCQ全等．8．如图平行四边形ABCD中6cmB∠︒G是CD的中点E是BC==60AB=8cm边AD上的动点EG的延长线与BC的延长线交于点F连接CE DF．(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)①AE=______时四边形CEDF是矩形；②AE=______时四边形CEDF是菱形．9．在平面直角坐标系中点A在第一象限AB⊥x轴于点B AC⊥y轴于点C已知点B（b0）C（0 c）其中b c满足|b﹣8|6+-=0．c(1)直接写出点A坐标．(2)如图2 点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动同时点E从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线BA运动过点E作GE⊥y轴于点G设运动时间为t 秒当S四边形AEGC＜S△DEG时求t的取值范围．(3)如图3 将线段BC平移使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上点C的对应点为N连接BN交y轴于点P当OM＝4OP时求点M的坐标．10．如图在平面直角坐标系中点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动同时动点C从点B出发沿12．在四边形ABCD中//,90,10cm,8cm∠=︒===点P从点A出发沿折线AB CD BCD AB AD BCABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发当一个点到达终点时另一点也停止运动设运动时间为()s t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时求四边形PBQD的周长；（3）在点P Q的运动过程中是否存在某一时刻使得BPQ的面积为220cm若存在请求出所有满足条件的t的值；若不存在请说明理由．13．在平面直角坐标系中矩形OABC的边OA任x轴上OC在y轴上B（4 3）点M从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动设△AOM的面积为S 点M运动的时间为t．（1）当0＜t＜3时AM＝当7＜t＜10时OM＝；（用t的代数式表示）（2）当△AOM为等腰三角形时t＝；（3）当7＜t＜10时求S关于t的函数关系式；（4）当S＝4时求t的值．14．如图1 在平面直角坐标系中正方形OABC的边长为6 点A C分别在x y 正半轴上点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点且OP＝t连结PC将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ连结CQ取CQ中点M．（1）当t＝2时求Q与M的坐标；（2）如图2 连结AM以AM AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM 的面积为S．①用含t的代数式表示S（0<t<6）．②当N落在△CPQ的直角边上时求∠CPA的度数；（3）在（2）的条件下连结AQ记△AMQ的面积为S'若S＝S'则t＝（直接写出答案）．15．如图平面直角坐标系中矩形OABC的顶点B的坐标为（7 5）顶点A C 分别在x轴y轴上点D的坐标为（0 1）过点D的直线与矩形OABC的边BC交于点G 且点G不与点C重合以DG为一边作菱形DEFG 点E在矩形OABC的边OA 上设直线DG的函数表达式为y=kx+b（1）当CG=OD时求直线DG的函数表达式；（2）当点E的坐标为（5 0）时求直线DG的函数表达式；（3）连接BF 设△FBG的面积为S CG的长为a 请直接写出S与a的函数表达式及自变量a 的取值范围．16．如图 在四边形ABCD 中 //AD BC 3AD = 5DC = 42AB = 45B ∠=︒ 动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动 设运动的时间为s t .（1）求BC 的长.（2）当//MN AB 时 求t 的值（3）试探究：t 为何值时 MNC ∆为等腰三角形？参考答案：1．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠CAD =∠ACB ∠AEF =∠CFE∵EF 垂直平分AC 垂足为O∴OA =OC∴△AOE ≌△COF∴OE =OF∴四边形AFCE 为平行四边形又∵EF ⊥AC∴四边形AFCE 为菱形设菱形的边长AF =CF =x cm 则BF =（8﹣x ）cm在Rt △ABF 中 AB =4cm由勾股定理得42+（8﹣x ）2=x 2解得x =5iii ）如图3 当P 点在AB 上 Q 点在CD 上时 AP =CQ 即12﹣a =b 得a +b =12． 综上所述 a 与b 满足的数量关系式是a +b =12（ab ≠0）．2．（1）过P 点作AB∥MN∵S 矩形AEPM +S 矩形DFPM =S 矩形CFPN +S 矩形DFPM =S 矩形ABCD -S 矩形BEPN又∵11,,22AEP CFP AEPM CFPN SS S S ==矩形矩形 ∴1==26=62AEP CFP S S ⨯⨯， ∴1212.S S +=（2）如图 连接PA PC在APB △中 因为点E 是AB 中点可设APE BPE S S a ==同理 ,,BPF CPF CPG DFG DPH APH S S b S S c S S d ======所以APE APH CPF AEPH PFCG CPG S S SS a b d S S c =+++=++++四边形四边形 BPE BPF DPH DPH EDFP HPGD S S S S S S a b c d +=+++=+++四边形四边形．所以12EBFP HPGD AEPH PFCG S S S S S S +++=+四边形四边形四边形四边形所以1212ABD ABCD SS S S ==+ 所以1DPH APH S S S a ==-． ()()()1121121PBD ABD BPE PDH S S S S S S S S a S a S S =-++=+-++-=-．（3）易证四边形EBGP 四边形HPFD 是平行四边形．EBP SHPD S ．()()121211122222ABD ABCD EBF HPD EBP HPD SS S S S S S S S S ==+++=+++ ()()12112FBD ABD EBP HPD S S S S S S S =-++=-． （4）试题解析：（1）由已知得A 点坐标（﹣4﹐0） B 点坐标（0﹐43﹚ ∵OB=3OA ∴∠BAO=60° ∵∠ABC=60° ∴△ABC 是等边三角形 ∵O C=OA=4 ∴C 点坐标﹙4 0﹚ 设直线BC 解析式为y kx b =+∴ ∴直线BC 的解析式为343y x =-+； ﹙2﹚当P 点在AO 之间运动时 作QH⊥x 轴 ∵QH CQ OB CB= ∴2843QH t = ∴QH=3t ∴S △APQ =AP•QH=132t t ⋅=232t ﹙0＜t≤4﹚ 同理可得S △APQ =t·﹙833t -﹚=23432t t -+﹙4≤t<8﹚∴223(04)2{343?(48)2t t S t t t <≤=-+≤<； （3）存在 如图当Q 与B 重合时 四边形AMNQ 为菱形 此时N 坐标为（4 0） 其它类似还有（﹣4 8）或（﹣4 ﹣8）或（﹣4 ）．4．（1）53（2）存在 使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半．（1）过D 作DE⊥AB 于E 过C 作CF⊥AB 于F 通过Rt ADE Rt BCF ∆≅∆ 得AE BF = 若四边形APQD 是直角梯形 则四边形DEPQ 为矩形 通过AP AE EP =+ 代入t 值 即可求解（2）假设当时 通过点Q 在CD 上或在AD 上 两种情况进行讨论求解5．（1）线段AB 长度的最小值为4理由如下：连接OP如图② 设四边形APQO 为平行四边形因为OQ PA ∥ 90APO ︒∠=所以90POQ ︒∠= 又因为OP OQ =所以45PQO ︒∠= 因为PQ OA ∥所以PQ y ⊥轴．设PQ y ⊥轴于点H在Rt △OHQ 中 根据2,45OQ HQO ︒=∠= 得Q 点坐标为（2,2-）所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或（2,2-）．6．(1)∵长方形ABCD∴∠A =∠B =90°∵点E 为AD 的中点 AD =6cm∴AE =3cm又∵P 和Q 的速度相等可得出AP =BQ =1cm BP =3 ∴AE =BP在△AEP 和△BQP 中∴y=xy 3=4-y⎧⎨⎩ 解得：x=1y=1⎧⎨⎩ (舍去). 综上所述,点Q 的运动速度为32cm /s 时能使两三角形全等.7．(1)1(2)54t =或4或232 (3) 3.5t = 5.5或10（1）解：动点P 的速度是2cm/s∴当2t =时 224AP =⨯=∵5cm AB =∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时 CDP △是等腰三角形∴PD CP =在长方形ABCD 中 ,90AD BC A B =∠=∠=︒∴()HL DAP CBP ≌∴AP BP =∴1522AP AB ==∵动点P 的速度是2cm/s∵90D5DP CD == 2AB CB CD t ++=∴要使一个三角形与DCQ 全等①当点P运动到1P时16△≌△DCQ CDPCP DQ==此时1∴点P的路程为：1527AB BP+=+=∴72 3.5t=÷=；②当点P运动到2P时26△≌△CDQ ABPBP DQ==此时2∴点P的路程为：25611+=+=AB BP∴112 5.5t=÷=③当点P运动到3P时35△≌△CDQ BAP==此时3AP DQ∴点P的路程为：3585220AB BC CD DP+++=+++=∴20210t=÷=④当点P运动到4P时即P与Q重合时46△≌△CDQ CDPDP DQ==此时4∴点P的路程为：4585624+++=+++=AB BC CD DPt=÷=此结果舍去不符合题意∴24212综上所述t的值可以是： 3.5t= 5.5或10．8．（1）四边形ABCD是平行四边形∥∴BC AD∴∠=∠FCG EDGG是CD的中点∴=CG DG△中在CFG△和DEGCFG∴≅(ASA)DEGFG EG∴=又CG DG=∴四边形CEDF是平行四边形．2）①当5AE=如图过60B∠=12BM∴=5AE=DE AD∴=在MBA△BM DEB=⎧⎪∠=∠⎨⎪(SAS)MBA EDC∴≅CED AMB∴∠=∠四边形CEDF是平行四边形∴平行四边形CEDF②当2AE cm =时 四边形CEDF 是菱形 理由如下：四边形ABCD 是平行四边形8AD ∴= 6CD AB == 60CDE B ∠=∠=︒2AE =6DE AD AE ∴=-=DE CD ∴=CDE ∴∆是等边三角形CE DE ∴=四边形CEDF 是平行四边形∴平行四边形CEDF 是菱形故答案为：2；9．（1）解：∵|b ﹣8|6c +-=0∴b -8=0 c -6=0∴b =8 c =6∵B （b 0） C （0 c ）∴B （8 0） C （0 6）又∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴∴A (8 6)；（2）∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴 GE ⊥y 轴∴四边形AEGC 是矩形设运动时间为t 秒∴OD =t AE =2t DG =6+2t-t =6+t∴S 四边形AEGC =8×2t =16t S △DEG =12×（6+t ）×8=4t +242∵OM＝4OP∴-m=-4×62m解得m=-12综上所述m的值为-4或-12．10．（1）∵点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）∴OA=4 OB=8∵点C运动到线段OB的中点∴OC=BC=12OB=4∵动点C从点B出发沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动∴2t=4解之：t=2；∵PE=OA=4 动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6∴点E（6 0）（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形∴OC=PD OC∥PD当点C在y轴的负半轴上时③如果点M在DE上时24163(3)22t tt--=++解得423t=+④当N在CE上时28(3)8214tt tt-⋅++-=-+解得12t=综上分析可得满足条件的t的值为：t1＝28﹣16 3t2＝2 t3＝4+2 3t4＝12．11．(1) ()30D，,()1,3E;(2)933022933222572222t tS t tt t⎧⎛⎫-+≤≤⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩＜（3）198s解：（1）3922y x=-+当y=0时39=022x-+则x=3 即点()30D，当y=3时39=322x-+则x=1 故点()1,3E故：()30D，,()1,3E；（2）如图1 ①当点P在OD段时此时0≤t＜32119()2223233S PD OC t t=⨯⨯=⨯-⨯=-+；②当点P在点D时此时t=32此时三角形不存在0S=；''6ADP BEP S S -=-30232t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭⎫<≤⎪；即当点P 在边AB 上运动 且PD PE +的值最小时 运动时间t 为198s ． 12．（1）16cm ；（2）(8813)cm +；（3）53t =秒或395秒 解：（1）如图1过A 作AM DC ⊥于M在四边形ABCD 中 //AB CD 90BCD ∠=︒//AM BC ∴∴四边形AMCB 是矩形10AB AD cm == 8BC cm =8AM BC cm ∴== 10CM AB cm ==在Rt AMD ∆中 由勾股定理得：6DM cm =10616CD DM CM cm cm cm =+=+=；（2）如图2当四边形PBQD 是平行四边形时 PB DQ =即1032t t -=解得2t =此时4DQ = 12CQ = 22413BQ BC CQ =+=所以()28813PBQD C BQ DQ =+=+；1003t 14(102BPQ BP BC ==解得53t =；P 在BC 上时 63t1(32BP CQ t =此方程没有实数解；CD 上时：在点Q 的右侧54(34PQ BC =6< 不合题意若P 在Q 的左侧 如图6 即3485t <14(534)202BPQ S PQ BC t ∆==-= 解得395t =； 综上所述 当53t =秒或395秒时 BPQ ∆的面积为220cm ． 13．（1）t 10-t ；（2）5；（3）S =20-2t ；（4）2或8． 解：（1）当0<t <3时 点M 在线段AB 上 即AM =t 当7＜t <10时 点M 在线段OC 上 OM =10-t故填：t 10-t ；（2）∵四边形ABCO 是矩形 B （4 3）∴OA =BC =4 AB =OC =3∵△AOM 为等腰三角形∴只有当MA =MO 此时点M 在线段BC 上 CM =BM =2 ∴t =3+2=5故填：5；（3）∵当7<t <10时 点M 在线段OC 上∴114(10)20222S OA OM t t =⋅⋅=⨯⨯-=-；（4）①当点M 在线段AB 上时 4=12×4t 解得t =2；②当点M 在线段BC 上时 S =6 不符合题意；当点M 在线段OC 上时 4=20-2t 解得t =8．∴OD ＝OP +PD ＝8∴Q （8 2）∵M 是CQ 的中点 C （0 6）∴M （4 4）；（2）①∵△COP ≌△PDQ∴OP ＝OQ ＝t OC ＝PD ＝6∴OD ＝t +6∴Q （t +6 t ）∵C （0 6）∴M （62t + 62t +） 当0＜t ＜6时 S ＝AP ×y M ＝（6﹣t ）×62t +＝2362t -； ②分两种情况：a 当N 在PC 上时 连接OB PM 如图2﹣1所示：∵点M 的横 纵坐标相等∴点M 在对角线BD 上∵四边形OABC 是正方形∴OC ＝OA ∠COM ＝∠AOM∴∠MPA ＝12（180°﹣45°）＝67.5° ∴∠CPA ＝67.5﹣45＝22.5°；综上所述 当点N 在△CPQ 的直角边上时 ∠CPA 的度数为112.5°或22.5°；（3）过点M 作MH ⊥x 轴于点H 过点Q 作QG ⊥x 轴于点G∵AMQ AHM AGQ MHGQ S S S S =--△△△梯形∴S '＝12（62t ++t ）•62t +﹣12（6﹣62t +）•62t +﹣12t •t ＝3t ①当0＜t ＜6时 即点AP 在点A 左侧时 如图3所示：∵S ＝S '∴2362t -＝3t 解得：t ＝﹣3+35 或t ＝﹣3﹣35（舍去）；②当t ＞6时 即点P 在点A 右侧时 如图4所示：S ＝AP ×y M =（t ﹣6）×62t +＝2362t - ∵S ＝S '将D （0 1）G （10 5）代入y=kx+b 得：1105b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：21051k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴当CG=OD 时 直线DG 的函数表达式为y=2105x+1．（3）设DG 交x 轴于点P 过点F 作FM⊥x 轴于点M 延长MF 交BC 于点N 如图所示．∵DG∥EF∴∠FEM=∠GPO．∵BC∥OA∴∠DGC=∠GPO=∠FEM．在△DCG 和△FME 中90DCG FME DGC FEMDG FE⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△DCG≌△FME（AAS ）∴FM=DC=4．∵MN⊥x 轴∴四边形OMNC 为矩形在Rt△CDH 中 由勾股定理可得： HC=22543-=∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；（2）如图② 过D 作DG∥AB 交BC 于G 点 则四边形ADGB 为平行四边形 ∴BG=AD=3∴GC=BC−BC=10−3=7由题意得 当M N 运动t 秒后 CN=t CM=10−2t∵AB∥DG MN∥AB∴DG∥MN∴∠NMC=∠DGC又∵∠C=∠C∴△MNC ~△GDC∴CN CM CD CG=, ∴10257tt -=解得t=5017； （3）第一种情况：当NC=MC 时 如图③22∵∠C=∠C∠MFC=∠DHC=90°∴△MFC~△DHC∴FC MCHC DC=即：1 102253tt-=解得：t=6017；综上所述当t=103t=258或t=6017时△MNC为等腰三角形.。
中考数学复习专题特殊平行四边形
2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》评卷人得分一．选择题（共12小题）1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．138．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．2510．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4评卷人得分二．填空题（共6小题）13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于度．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2= ．18．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上的动点，PE⊥AC，PF ⊥BD于F，则PE+PF的值为．评卷人得分三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD 于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB 于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A．对边平行且相等 B．对角线互相平分C．对角线互相垂直 D．对角互补【解答】解：A、平行四边形的对边平行且相等，所以A选项错误；B、平行四边形的对角线互相平分，所以B选项错误；C、菱形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线互相平分，所以C选项正确；D、平行四边形的对角相等，所以D选项错误．故选C．2．能判定一个四边形是菱形的条件是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相垂直且对角相等D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角【解答】解：∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形．∴A、B、D都不正确．∵对角相等的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形．故C正确．故选C．3．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．对边分别相等B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；菱形的性质有：①菱形的四条边都相等，且对边平行，②菱形的对角相等，③菱形的对角线互相平分、垂直，且每一条对角线平分一组对角；∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选D．4．以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，∠A=90°B．OA=OB=OC=ODC．AB=CD，AB∥CD，AC=BD D．AB=CD，AB∥CD，OA=OC，OB=OD【解答】解：如图：A、∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；C、∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，根据OA=OC，OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；故选D．5．顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A．相等B．互相垂直C．相等且互相垂直 D．相等且互相平分【解答】解：因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系：①原四边形对角线相等，所得的四边形是菱形；②原四边形对角线互相垂直，所得的四边形是矩形；③原四边形对角线既相等又垂直，所得的四边形是正方形；④原四边形对角线既不相等又不垂直，所得的四边形是平行四边形．因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等．故选A．6．已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则菱形的边长是（）A．12cm B．10cm C．7cm D．5cm【解答】解：如图：∵菱形ABCD中BD=8cm，AC=6cm，∴OD=BD=4cm，OA=AC=3cm，在直角三角形AOD中AD===5cm．故选D．7．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A．16 B．15 C．14 D．13【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AO平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，同理：AF=BE，又∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，OB=OF=6，OA=OE，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA===8，∴AE=2OA=16．故选：A．8．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB=2，BC=3，则EF：GH=（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．无法确定【解答】解：过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，则∠4=∠5=90°=∠AMF∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，∴四边形AMFD是矩形，∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，同理HN=AB=2，HN∥AB，∴∠1=∠2，∵HG⊥EF，∴∠HOE=90°，∴∠1+∠GHN=90°，∵∠3+∠GHN=90°，∴∠1=∠3=∠2，即∠2=∠3，∠4=∠5，∴△FME∽△HNG，∴==∴EF：GH=AD：CD=3：2．故选B．9．如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A．12 B．6 C．12.5 D．25【解答】解：如图，连接CP．∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===25，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠C=90°，∴四边形CFPE是矩形，∴EF=CP，由垂线段最短可得CP⊥AB时，线段EF的值最小，=BC•AC=AB•CP，此时，S△ABC即×20×15=×25•CP，解得CP=12．故选A．10．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF为（）A．80°B．70°C．65°D．60°【解答】解：如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD=CB，∠DCF=∠BCF，CF=CF∴△BCF≌△DCF∴∠CBF=∠CDF∵FE垂直平分AB，∠BAF=×80°=40°∴∠ABF=∠BAF=40°∵∠ABC=180°﹣80°=100°，∠CBF=100°﹣40°=60°∴∠CDF=60°．故选D．11．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC的度数为（）A．55°B．50°C．45°D．35°【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G．如图所示：在△BGF与△CPF中，，∴△BGF≌△CPF（ASA），∴GF=PF，∴F为PG中点．又∵由题可知，∠BEP=90°，∴EF=PG，∵PF=PG，∴EF=PF，∴∠FEP=∠EPF，∵∠BEP=∠EPC=90°，∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF=∠FPC，∴AB=BC，∠ABC=180°﹣∠A=70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE=BF，∠BEF=∠BFE=（180°﹣70°）=55°，∴∠FPC=55°；故选：A．12．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM=CM；②△EOB≌△CMB；③四边形EBFD是菱形；④MB：OE=3：2．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：连接BD，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，在△OBF与△CBF中∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵∠OBC=60°，∴∠ABO=30°，∵△OBF≌△CBF，∴∠OBM=∠CBM=30°，∴∠ABO=∠OBF，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，易证△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴OB⊥EF，∴四边形EBFD是菱形，∴③正确，∵△EOB≌△FOB≌△FCB，∴△EOB≌△CMB错误．∴②错误，∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°，∴MB=，OF=，∵OE=OF，∴MB：OE=3：2，∴④正确；故选：C．二．填空题（共6小题）13．如图，菱形纸片ABCD，∠A=60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠DEC等于75 度．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，在△DEC中，∠DEC=180°﹣（∠CDE+∠C）=75°．故答案为：75．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1，反比例函数y=的图象经过A，B两点，则菱形ABCD的面积为4．【解答】解：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=2，=底×高=2×2=4，S菱形ABCD故答案为4．15．如图：在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O 作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是 3 ．【解答】解：如图，连接CE，，设DE=x，则AE=8﹣x，∵OE⊥AC，且点O是AC的中点，∴OE是AC的垂直平分线，∴CE=AE=8﹣x，在Rt△CDE中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，∴DE的长是3．故答案为：3．16．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD，AB的中点．下列结论：①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③FB平分∠EFG；④EA平分∠GEF；⑤四边形BEFG是菱形．其中正确的是①②④．【解答】解：令GF和AC的交点为点P，如图所示：∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，且EF=CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，∴∠FEG=∠BGE（两直线平行，内错角相等），∵点G为AB的中点，∴BG=AB=CD=FE，在△EFG和△GBE中，，∴△EFG≌△GBE（SAS），即②成立，∴∠EGF=∠GEB，∴GF∥BE（内错角相等，两直线平行），∵BD=2BC，点O为平行四边形对角线交点，∴BO=BD=BC，∵E为OC中点，∴BE⊥OC，∴GP⊥AC，∴∠APG=∠EPG=90°∵GP∥BE，G为AB中点，∴P为AE中点，即AP=PE，且GP=BE，在△APG和△EGP中，，∴△APG≌△EPG（SAS），∴AG=EG=AB，∴EG=EF，即①成立，∵EF∥BG，GF∥BE，∴四边形BGFE为平行四边形，∴GF=BE，∵GP=BE=GF，∴GP=FP，∵GF⊥AC，∴∠GPE=∠FPE=90°在△GPE和△FPE中，，∴△GPE≌△FPE（SAS），∴∠GEP=∠FEP，∴EA平分∠GEF，即④成立．故答案为：①②④．17．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC上一点，且AB=BE，∠1=15°，则∠2= 30°．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，OB=OD，OA=OC，AC=BD，∴OB=OC，OB=OA，∴∠OCB=∠OBC，∵AB=BE，∠ABE=90°，∴∠BAE=∠AEB=45°，∵∠1=15°，∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠AOB=30°+30°=60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OB，∵∠BAE=∠AEB=45°，∴AB=BE，∴OB=BE，∴∠OEB=∠EOB，∵∠OBE=30°，∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°，∴∠OEB=75°，∵∠AEB=45°，∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°，故答案为：30°．18．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=8，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为 ．【解答】解：连接OP ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠DAB=90°，AC=2AO=2OC ，BD=2BO=2DO ，AC=BD ，∴OA=OD=OC=OB ，∴S △AOD =S △DOC =S △AOB =S △BOC =S 矩形ABCD =×6×8=12，在Rt △BAD 中，由勾股定理得：BD===10， ∴AO=OD=5，∵S △APO +S △DPO =S △AOD ，∴×AO ×PE+×DO ×PF=12， ∴5PE+5PF=24，PE+PF=，故答案为：．三．解答题（共6小题）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形．（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．【解答】证明：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，∴CD=AB=AD，又∵AE∥CD，CE∥AB∴四边形ADCE是平行四边形，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）在Rt△ABC中，AC===8．∵平行四边形ADCE是菱形，∴CO=OA，又∵BD=DA，∴DO是△ABC的中位线，∴BC=2DO．又∵DE=2DO，∴BC=DE=6，∴S===24．菱形ADCE20．已知，如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD 于点O，与AD、BC分别交于点E、F．试判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．【解答】答：四边形BFDE的形状是菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB=OD，∵∠EDO=∠FBO，∠OED=∠OFB，∴△OED≌△OFB，∴DE=BF，又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴▱BEDF是菱形．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB 于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．【解答】证明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH，∴四边形DEFG是平行四边形，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△DGB和△DEC中，，∴△DGB≌△DEC（AAS），∴DG=DE，∵四边形DEFG是平行四边形，∴四边形DEFG是菱形，∴GE与FD互相垂直平分．22．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．（1）求证：四边形AECF为矩形；（2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；（3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．【解答】（1）证明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，∴∠AEC=∠AFC=90°，又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，∴∠ACE+∠ACF=（∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）=×180°=90°，∴三个角为直角的四边形AECF为矩形．（2）结论：MN∥BC且MN=BC．证明：∵四边形AECF为矩形，∴对角线相等且互相平分，∴NE=NC，∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，∴MN∥BC，又∵AN=CN（矩形的对角线相等且互相平分），∴N是AC的中点，若M不是AB的中点，则可在AB取中点M1，连接M1N，则MN是△ABC的中位线，MN∥BC，1而MN∥BC，M即为点M，1所以MN是△ABC的中位线（也可以用平行线等分线段定理，证明AM=BM）∴MN=BC；法二：延长MN至K，使NK=MN，因为对角线互相平分，所以AMCK是平行四边形，KC∥MA，KC=AM因为MN∥BC，所以MBCK是平行四边形，MK=BC，所以MN=BC（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．理由：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∵EF∥AC，∴AC⊥CB，∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．23．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．（1）判断△BEC的形状，并说明理由？（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；（3）求四边形EFPH的面积．【解答】（1）△BEC是直角三角形：理由是：∵矩形ABCD，∴∠ADC=∠ABP=90°，AD=BC=5，AB=CD=2，由勾股定理得：CE===，同理BE=2，∴CE2+BE2=5+20=25，∵BC2=52=25，∴BE2+CE2=BC2，∴∠BEC=90°，∴△BEC是直角三角形．（2）解：四边形EFPH为矩形，证明：∵矩形ABCD，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD=BC，AD∥BC，DE=BP，∴AE=CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵∠BEC=90°，∴平行四边形EFPH是矩形．（3）解：在Rt△PCD中FC⊥PD，由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，∴CF==，∴EF=CE﹣CF=﹣=，∵PF==，∴S=EF•PF=，矩形EFPH答：四边形EFPH的面积是．24．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，∴BD=AC，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。
浙教版初中数学八年级下册《特殊平行四边形》全章复习与巩固(基础)巩固练习
【巩固练习】一.选择题1.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．22.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°3.（2015•武进区一模）如图，在正方形ABCD 中，AD=5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF 的长为（ ）A ．32 B ．75 D 4. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）．A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量一组对角是否都为直角D ．测量其中三角形是否都为直角5.正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）A. 对角线相等；B. 对角线互相垂直；C. 每条对角线平分一组对角；D. 对角线互相平分.6.矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOD＝120°，AC ＝8，则△ABO 的周长为（ ）A ．16B ．12C ．24D ．207.（2016•桂林模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连接EF ，则线段EF 的最小值是（ ）A．5 B．4.8 C．4.6 D．4.48. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝a，则菱形ABCD的周长为（）A．16a B．12a C．8a D．4a二.填空题9.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是_______.10．矩形的两条对角线所夹的锐角为60 ，较短的边长为12，则对角线长为__________. 11．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为______．12.如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB＝8，E是CB的中点，则OE的长等于_______.13.如图, 有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角形的直角顶点落在点A，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E，则四边形AECF的面积是 _________.cm，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．14．已知菱形ABCD的面积是12215.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB＝4cm．那么，菱形ABCD的面积是________，对角线BD的长是_________．16.（2015春•昆明校级期中）如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为________．三.解答题17.如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA上，且CE＝AF．求证：BE＝BF．18.（2015春•无棣县期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，作AE∥BC，CE∥AD，AE、CE交于点E．（1）证明：四边形ADCE是矩形．（2）若DE交AC于点O，证明：OD∥AB且OD=AB．19.（2016•崂山区一模）已知：如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连接AE、CE．（1）求证：AE=CE；（2）若将△ABE沿AB对折后得到△ABF；当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．20. 已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE ＝ AF．（1）求证：BE ＝ DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM ＝ OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝CO＝DO，进而得到等腰三角形．2.【答案】B；【解析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF＝∠DCF，四条边都相等可得BC＝CD，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，根据等边对等角求出∠ABF＝∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF＝∠CBF．3.【答案】D；4.【答案】D；5.【答案】A；6.【答案】B ；【解析】根据矩形性质求出AO ＝BO ＝4，得出等边三角形AOB ，求出AB ，即可求出答案．7.【答案】B ；【解析】解：如图，连接CD ．∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，∠C=90°，∴四边形CFDE 是矩形，∴EF=CD ，由垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小，此时，S △ABC =BC•AC=AB•CD， 即×8×6=×10•CD，解得CD=4.8，∴EF=4.8．故选B ．8.【答案】C ；【解析】OE ＝a ，则AD ＝2a ，菱形周长为4×2a ＝8a .二.填空题9.【答案】12；【解析】推出四边形FCGE 是矩形，得出FC ＝EG ，FE ＝CG ，EF∥CG，EG∥CA，求出∠BEG ＝∠B，推出EG ＝BG ，同理AF ＝EF ，求出矩形CFEG 的周长是CF ＋EF ＋EG ＋CG ＝AC ＋BC ，代入求出即可．10．【答案】24；11．【答案】).2,22(+；【解析】过D 作DH ⊥OC 于H ，则CH ＝DH ，所以D 的坐标为).2,22(+12.【答案】4；【解析】根据菱形的性质得出OA ＝OC ，根据三角形的中位线性质得出OE ＝12AB ，代入求出即可．13.【答案】16；【解析】证△ABE ≌△ADF ，四边形AECF 的面积为正方形ABCD 的面积.14．【解析】设BD ＝x ，1412,62x x ⨯==15.【答案】2cm；；【解析】由题意知△ABC 为等边三角形，AE＝2cm ，BD ＝2AE ＝.16.【答案】6.【解析】∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是3，∴S 四边形ABCD =AB×3=BC×3，∴AB=BC，∴平行四边形ABCD 是菱形，即四边形ABCD 是菱形．如图，过A 作AE⊥BC，垂足为E ，∵∠ABC=60°，∴∠BAE=90°﹣60°=30°，∴AB=2BE，在△ABE 中，AB 2=BE 2+AE 2，即AB 2=AB 2+32，解得AB=2，∴S 四边形ABCD =BC•AE=2×3=6．故答案是：6．三.解答题17.【解析】证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB＝BC ，∠A＝∠C，∵在△ABF 和△CBE 中，AF CE A C AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF≌△CBE（SAS ），∴BF＝BE ．18.【解析】证明：（1）∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，且BD=CD，∵AE∥BC，CE∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是矩形；（2）∵四边形ADCE是矩形，∴OA=OC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB且OD=12 AB.19.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CB，∠BAD=∠ABC=90°，∠ABE=∠CBE=45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE=CE．（2）解：点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形；理由如下：由折叠的性质得：∠F=∠AEB，AF=AE，BF=BE，∵∠BAD=90°，E是BD的中点，∴AE=BD=BE=DE，∵AE=CE，∴AE=BE=CE=DE=AF=BF，∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，∴AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∴四边形AFBE是正方形．20.【解析】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．∵AE ＝ AF，∴Rt RtABE ADF△≌△．∴BE＝DF．（2）四边形AEMF是菱形．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCA ＝∠DCA＝45°，BC＝DC．∵BE＝DF，∴BC－BE＝DC－DF. 即CE＝CF．∴OE＝OF．∵OM＝OA，∴四边形AEMF是平行四边形．∵AE＝AF，∴平行四边形AEMF是菱形．A DB EFOCM。
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第24课时┃ 特殊平行四边形(二)
2．[2014·郴州] 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的 性质是 ( A ) A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等
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第24课时┃ 特殊平行四边形(二)
【归纳总结】
第24课时 特殊平行四边形(二)
第24课时┃ 特殊平行四边形(二)
考 点 聚 焦
考点1 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
1．[2014·上城二模] 下列命题中，真命题是( D ) A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是正方形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
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第24课时┃ 特殊平行四边形(二)
方法点析
依次连结四边形各边中点所得的新四边形的形状与原 四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关．
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[2014·鄂州] 如图 24－4， 四边形 ABCD 中， AC＝a， BD＝b，且 AC⊥BD，顺次连结四边形 ABCD 各边的中点，得到四边形 A1B1C1 D1， 再顺次连结四边形 A1B1C1D1 各边的中点， 得到四边形 A2B2C2D2， 如此进行下去，得到四边形 AnBnCnDn.下列结论正确的是 ( A ) ①四边形 A4B4C4D4 是菱形；②四边形 A3B3C3D3 是矩形；③四边形 a＋ b a· b A7B7C7D7 的周长为 ；④四边形 AnBnCnDn 的面积为 n . 8 2
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【知识树】
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杭 考 探 究
探究一 中点四边形
例 1 [2014·白银] D，E 分别是不等边三角 形 ABC(即 AB≠BC≠AC)的边 AB，AC 的中点．O 是 △ABC 所在平面上的动点，连结 OB，OC，点 G，F 分别是 OB，OC 的中点，顺次连结点 D，G，F，E. (1)如图 24－3，当点 O 在△ABC 的内部时， 求证：四边形 DGFE 是平行四边形； (2)若四边形 DGFE 是菱形，则 OA 与 BC 应满 足怎样的数量关系？(直接写出答案，不需要说明 理由)
变式题
A．①②③
B．②③④
C．①③④ D．①②③④
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第24课时┃ 特殊平行四边形(二)
探究二 特殊四边形的折叠问题 例 2 [2014·临沂] 对一张矩形纸片 ABCD 进行折叠，具体操 作如下：第一步：先对折，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 MN，展开； 第二步：再一次折叠，使点 A 落在 MN 上的点 A′处，并使折痕经 过点 B，得到折痕 BE，同时，得到线段 BA′，EA′，展开，如图 24－5①；第三步：再沿 EA′所在的直线折叠，点 B 落在 AD 上的 点 B′处， 得到折痕 EF， 同时得到线段 B′F， 展开， 如图 24－5②. 求证：(1)∠ABE＝30°； (2)四边形 BFB′E 为菱形．
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(1)利用三角形的中位线定理；(2)根据有 一组邻边相等的平行四边形是菱形求得．
思路点津
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第24课时┃ 特殊平行四边形(二)
解：(1)证明：∵D，E 分别是 AB，AC 的中点， 1 ∴DE∥BC，且 DE＝ BC， 2 1 同理，GF∥BC，且 GF＝ BC， 2 ∴DE∥GF 且 DE＝GF， ∴四边形 DGFE 是平行四边形． (2)OA＝BC.
图24－1
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第24课时┃ 特殊平行四边形(二) 考点2 中点四边形
1．[2014·徐州] 若顺次连结四边形的各边中点所得到的四 边形是菱形，则该四边形一定是 ( C ) ．．．
A．矩形 B．菱形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相垂直的四边形
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图 24－2
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【归纳总结】 1．定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形称为中点 四边形． 平行四边形 2．任意四边形的中点四边形是________ ． 菱形 ． 对角线相等的四边形的中点四边形是________ 矩形 ． 对角线垂直的四边形的中点四边形是________ 正方形 ． 对角线互相垂直且相等的中点四边形是________
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第24课时┃ 特殊平行四边形(二)
方法点析
折叠的实质是轴对称变换，会出现角、线段相等的关系．折 叠求角，通常利用平行线的性质求解；折叠求边，通常利用勾股 定理建立方程求解．
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(2)∵∠A′EB＝∠FEB′＝60°，EB′∥BF， ∴∠A′EB＝∠FEB′＝∠BFE＝∠EFB′＝60°， ∴△BEF 和△EFB′都是等边三角形， ∴BE＝BF＝EF＝EB′＝FB′， ∴四边形 BFB′E 为菱形．
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图 24－5
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第24课时┃ 特殊平行四边形(二)
证明：(1)∵第二步折叠，使点 A 落在 MN 上的点 A′处，并 使折痕过点 B，得到折痕 BE， ∴∠AEB＝∠A′EB. ∵第三步折叠，点 B 落在 AD 上的点 B′处，得到折痕 EF，同 时得到线段 B′F， ∴∠A′EB＝∠FEB′. ∵∠AEB＋∠A′EB＋∠FEB′＝180°， ∴∠AEB＝∠A′EB＝∠FEB′＝60°， ∴∠ABE＝30°.
2．[2014·淮安] 如图 24－2，顺次连结边长为 1 的正方形 ABCD 四边的中点，得到四边形 A1B1C1D1，然后顺次连结四边形 A1B1C1D1 四边的中点，得到四边形 A2B2C2D2 ，再顺次连结四边形 A2B2C2D2 四边的中点，得到四边形 A3B3C3D3……按此方法得到的四 1 边形 A8B8C8D8 的周长为________ ． 4