Case01-SnowPea-置信区间
置信度置信区间计算方法-置信区间公式表
置信度置信区间计算方法-置信区间公式表置信度置信区间计算方法置信区间公式表在统计学中，置信度和置信区间是非常重要的概念，它们帮助我们在样本数据的基础上对总体参数进行估计，并给出估计的可靠性范围。
接下来，让我们深入探讨一下置信度和置信区间的计算方法以及相关的公式表。
首先，我们来理解一下什么是置信度。
置信度通常用百分数表示，比如 95%、99%等。
它表示在多次重复抽样的情况下，得到的置信区间包含总体参数真值的概率。
例如，95%的置信度意味着，如果我们进行多次抽样并计算置信区间，大约有 95%的置信区间会包含总体参数的真实值。
而置信区间则是一个范围，它基于样本数据计算得出，旨在估计总体参数可能的取值范围。
常见的总体参数包括总体均值、总体比例等。
那么，如何计算置信区间呢？这就需要用到相应的公式。
对于总体均值的置信区间计算，当总体标准差已知时，使用以下公式：＼＼overline{x} ＼pm z_{＼alpha/2} ＼frac{＼sigma}｛＼sqrt{n}｝＼其中，＼（＼overline{x}＼）是样本均值，＼（z_{＼alpha/2}＼）是对应于置信度的标准正态分布的分位数（例如，对于95%的置信度，＼（＼alpha ＝005\），＼（z_{＼alpha/2} ＝196\）），＼（＼sigma\）是总体标准差，＼（n\）是样本容量。
当总体标准差未知，且样本容量较大（通常认为＼（n ＼geq 30\））时，可以用样本标准差＼（s\）代替总体标准差＼（＼sigma\），使用近似的公式：＼＼overline{x} ＼pm z_{＼alpha/2} ＼frac{s}｛＼sqrt{n}｝＼而当样本容量较小（＼（n ＜ 30\））且总体服从正态分布时，需要使用 t 分布来计算置信区间，公式为：＼＼overline{x} ＼pm t_{＼alpha/2, n 1} ＼frac{s}｛＼sqrt{n}｝＼其中，＼（t_{＼alpha/2, n 1}＼）是自由度为＼（n 1\）、对应于置信度的 t 分布的分位数。
辐射环境监测技术规范
2021-05-01 实施
生 态 环 境 部 发布
目次
HJ 61—2021
前 言 ................................................................................................................................................................. ii 1 适用范围 ........................................................................................................................................................1 2 规范性引用文件.............................................................................................................................................1 3 术语和定义 ....................................................................................................................................................1 4 辐射环境质量监测.........................................................................................................................................3 5 辐射源环境监测.............................................................................................................................................6 6 样品的采集、预处理和管理.......................................................................................................................24 7 监测分析方法...............................................................................................................................................33 8 数据处理与结果表示...................................................................................................................................36 9 质量保证 ......................................................................................................................................................40 10 辐射环境监测报告的编写.........................................................................................................................47 附录 A（资料性附录）辐射环境监测推荐方法.............................................................................................49 附录 B（规范性附录）置信区间及判定方法 .................................................................................................52 附录 C（规范性附录）Spearman 秩相关系数计算及判定方法 ....................................................................54 附录 D（规范性附录）宇宙射线响应值修正方法.........................................................................................55 附录 E（规范性附录）对低本底测量装置进行泊松分布的检验方法..........................................................56 附录 F（资料性附录）取样、监测记录表及监测报告 ...................................................................................... 58
___7.3概率论与数理统计共23页
四、双正态总体均值差的置信区间
iid
iid
~ ~ 设 X1， Xn1 N(1， 12)， Y1， ， Yn2 N(2， 22)，
两样本独立度 。 1给 ，定 求 1置 2的 信置信区
假定 122 22未知
引T 进 X S w Y 1 /n (1 11 /n 2 2 )~t(n 1 n 2 2 )
(X nu/2,
Xnu/2)。
注：的1置信区间不唯一。 (1-) 1-
u (1 )
,(Xnu(1), Xnu)。
0 u
都是的1置性区间.但=1/2时区间长最短.
例2(续例1） 某灯泡厂某天生产了一大批灯泡，从 中抽取了10个进行寿命试验，得数据如下 （单位：h）
1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200
(3)解不等式得随机的置信区间；
(4)由观测值及值查表计算得所求置信区间。
例3 某厂用自动包装机包装奶粉，每袋净重 X~N(,52)现随机抽取10袋，测得各袋净重
xi(单位:g), i=1，2，…，10，计算得 n xi 5020 i 1
试求的置信度为95%的置信区间.
解
(X nu/2,
Xnu/2)。
t (n1) 2
即得
P { X S n t/2 (n 1 ) X S n t/2 (n 1 )} 1
的1-置信区间为
S
S
(Xnt/2(n1)X , nt/2(n1))
例4 有一大批糖果, 现随机地从中取16袋,称 得重量（单位：g）如下
506, 508, 499, 503, 504, 510, 497, 512 514, 505, 493, 496, 506, 502, 509, 496
浙大四版概率论与数理统计 《0-1分布参数的区间估计》
n 100,
1 0.95,
2 则 a n z / 2 103.84,
2 2 b ( 2nX z ) ( 2 n x z /2 / 2 ) 123.84,
c nX nx 36,
2 2
b b 2 4ac 0.50, 于是 p1 2a b b 2 4ac p2 0.69, 2a
b b 2 4ac b b 2 4ac , , 2 a 2 a
2 2 2 其中 a n z , b ( 2 n X z ), c n X . /2 /2
推导过程如下: 因为(0–1)分布的均值和),
p 的置信水平为0.95的置信区间为 (0.50, 0.69).
例2 设从一大批产品的120个样品中, 得次品9个, 求这批产品的次品率 p 的置信水平为0.90的置信 区间. 9 0.09, 1 0.90, 解 n 120, x 100
2 则 a n z 2 122.71, 2 2 b ( 2n X z ) ( 2 n x z 2 2 ) 24.31,
设 X 1 , X 2 ,, X n 是一个样本, 因为容量n较大,
由中心极限定理知
X i np
i 1
n
nX np np(1 p ) np(1 p )
近似地服从 N (0,1) 分布,
nX np P z / 2 z / 2 1 , np(1 p)
c n X nx 2 0.972,
2
b b 4ac 0.056, 于是 p1 2a
2
b b 4ac 0.143, p2 2a
置信区间的计算与解读
置信区间的计算与解读置信区间是统计学中常用的一种方法，用于估计总体参数的范围。
在实际应用中，我们往往无法获得总体的全部数据，而只能通过抽样得到一部分样本数据。
通过计算置信区间，我们可以利用样本数据对总体参数进行估计，并给出一个范围，以表明我们对估计结果的不确定性程度。
一、置信区间的计算方法置信区间的计算方法主要有两种：参数估计法和非参数估计法。
1. 参数估计法参数估计法是基于总体参数的已知分布进行计算的。
常见的参数估计法有正态分布的置信区间和二项分布的置信区间。
正态分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从正态分布N(μ, σ^2)，样本容量为n，样本均值为x̄，样本标准差为s。
置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：x̄± Z(1-α/2) * (σ/√n)其中，Z(1-α/2)为标准正态分布的上分位数，可以在标准正态分布表中查找。
二项分布的置信区间计算方法如下：假设总体服从二项分布B(n, p)，样本容量为n，样本成功次数为x，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：p̄± Z(1-α/2) * √(p̄(1-p̄)/n)其中，p̄为样本成功率，可以通过样本成功次数除以样本容量得到。
2. 非参数估计法非参数估计法是基于样本数据的分布进行计算的。
常见的非参数估计法有中位数的置信区间和百分位数的置信区间。
中位数的置信区间计算方法如下：假设样本容量为n，样本数据按升序排列，第k个观测值为中位数，置信水平为1-α，α为显著性水平。
置信区间的计算公式为：[x(k-1)/2, x(n-k+1)/2]其中，x(k-1)/2为第k-1个观测值，x(n-k+1)/2为第n-k+1个观测值。
百分位数的置信区间计算方法类似，只需将中位数的位置换成相应的百分位数的位置。
二、置信区间的解读置信区间给出了对总体参数的估计范围，通常以置信水平来表示。
置信水平越高，估计结果的可信度越高，但估计范围也会相应增大。
北邮考研概率论与数理统计7.6(0-1)分布参数的区间估计(1)
第6页
b (2nX z2 / 2 ) (2nx z2 / 2 ) 123.84,
c nX 2 nx2 36,
于是 p1 b
b2 4ac 0.50, 2a
p2 b
b2 4ac 0.69,
2a
p 的置信水平为0.95的置信区间为 (0.50, 0.69).
第7页
例2设从一大批产品的120个样品中, 得次品9个, 求 这批产品的次品率 p 的置信水平为0.90的置信区间.
第1页
7.6 大样本置信区间
在样本容量充分大(n>50)时，可以用渐近分布 来构造近似的置信区间。
一个典型的例子是关于比例p 的置信区间。
( 0 1) 分布参数的近似置信区间
一、置信区间公式 二、典型例题
一、置信区间公式
第2页
设有一容量n 50的大样本, 它来自(0 1)分布 的总体 X , X 的分布律为 f ( x; p) px (1 p)1x ,
出事件A发生概率p 的0.95置信区间。
解：此处n=120，x=36/120=0.3 而u0.975=1.96，于
是p的0.95（双侧）置信下限和上限分别为
pˆL 0.3 1.96
0.3 0.7 0.218 120
pˆU 0.3 1.96
0.3 0.7 0.382 120
故所求的置信区间为 [0.218，0.382]
置信区间长u1度 2 不n超过d0，只需要
即可，从而
u1 2
n d0
（6.5.12）
n
u1 d0
2
2
第13页
这是一类常见的寻求样本量的问题。比
如，若取d0=0.04， =0.05，则
。
置信区间(详细定义及计算)
18
2.未知σ2时，μ的置信区间
当总体X的方差未知时, 容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。
已知 T X ~ t(n 1)
S2
n X
则对给定的α, 令
P{ S2
n
t (n 1)} 1
2
查t 分布表, 可得 t (n 1) 的值。
P{X
S n
t
2 (n
2
1)
X
S n
t
2
(n
1)}
1
则μ的置信度为1－ α的置信区间为
S
2
的概率分布是难以计算的,
2
而
p
y
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
2
2
对于给定的 (0 1).
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n 1)} 1
2 1
(n
1)
2
(n
1)
2
2
x
24
即 py
2
2
12 (n1) 2
p( y)d
y
0
2
2 1
(n
1)
2
(n
1)
x
2
2
p(y)d y
2
( n 1)
2
P{12 2
(n 1)
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)}
2
1
(n 1)S 2
P{
2
(n
1)
2
(n 1)S
2 1
(n
2
} 1)
1
一元线性回归模型置信区间和预测
⼀元线性回归模型置信区间和预测§2.5 ⼀元线性回归模型的置信区间与预测多元线性回归模型的置信区间问题包括参数估计量的置信区间和被解释变量预测值的置信区间两个⽅⾯，在数理统计学中属于区间估计问题。
所谓区间估计是研究⽤未知参数的点估计值（从⼀组样本观测值算得的）作为近似值的精确程度和误差范围，是⼀个必须回答的重要问题。
⼀、参数估计量的置信区间在前⾯的课程中，我们已经知道，线性回归模型的参数估计量^β是随机变量i y 的函数，即：i i y k ∑=1?β，所以它也是随机变量。
在多次重复抽样中，每次的样本观测值不可能完全相同，所以得到的点估计值也不可能相同。
现在我们⽤参数估计量的⼀个点估计值近似代表参数值，那么，⼆者的接近程度如何？以多⼤的概率达到该接近程度？这就要构造参数的⼀个区间，以点估计值为中⼼的⼀个区间（称为置信区间），该区间以⼀定的概率（称为置信⽔平）包含该参数。
即回答1β以何种置信⽔平位于()a a +-11?,?ββ之中，以及如何求得a 。
在变量的显著性检验中已经知道)1(~^^---=k n t s t iii βββ (2.5.1)这就是说，如果给定置信⽔平α-1，从t 分布表中查得⾃由度为(n-k-1)的临界值2αt ，那么t 值处在()22,ααt t -的概率是α-1。
表⽰为ααα-=<<-1)(22t t t P即αββαβα-=<-<-1)(2^2^t s t P iiiαββββαβα-=?+<^2^iis t s t P i i i于是得到：在（α-1）的置信⽔平下i β的置信区间是)(^^2^2^iis t s t i i βαβαββ?+?-，i=0,1 （2.5.3）在某例⼦中，如果给定01.0=α，查表得012.3)13()1(005.02==--t k n t α从回归计算中得到01.0,15,21.0?,3.102?110====ββββS S 根据（2.5.2）计算得到10,ββ的置信区间分别为()48.147,12.57和（0.1799,0.2401）显然，参数1β的置信区间要⼩。
置信度置信区间计算方法-置信区间公式表
置信度置信区间计算方法-置信区间公式表置信度置信区间计算方法置信区间公式表在统计学中，置信度和置信区间是非常重要的概念。
它们帮助我们在对总体参数进行估计时，给出一个可能包含真实参数值的范围，以及我们对这个范围的确定程度，也就是置信度。
首先，让我们来理解一下什么是置信度。
置信度通常用百分数表示，比如 95%或 99%。
它反映了我们在多次重复抽样和估计的过程中，得到的置信区间能够包含真实总体参数值的比例。
比如说，95%的置信度意味着如果我们进行 100 次抽样和估计，大约有 95 次得到的置信区间能够包含真实的总体参数值。
而置信区间则是一个可能包含总体参数真实值的范围。
这个范围的宽窄取决于我们所选择的置信度、样本数据的特征以及样本量的大小。
接下来，我们重点介绍几种常见的置信区间计算方法和相应的公式。
对于正态总体均值的置信区间计算，当总体方差已知时，我们使用的公式是：＼＼bar{X} ＼pm Z_{＼alpha/2} ＼frac{＼sigma}｛＼sqrt{n}｝＼其中，＼（＼bar{X}＼）是样本均值，＼（Z_{＼alpha/2}＼）是标准正态分布的双侧分位数（对应于置信度\（1 ＼alpha\）），＼（＼sigma\）是总体标准差，＼（n\）是样本量。
例如，如果我们有一个样本均值为 50，总体标准差为 10，样本量为 100，并且想要计算 95%置信度下的置信区间，那么首先找到\（Z_{＼alpha/2}＼），对于 95%的置信度，＼（＼alpha ＝ 005\），＼（＼alpha/2 ＝ 0025\），对应的\（Z_{＼alpha/2} ＼approx 196\）。
然后代入公式计算：＼50 ＼pm 196 ＼times ＼frac{10}｛＼sqrt{100}｝＝ 50 ＼pm 196＼得到的置信区间就是 4804, 5196。
当总体方差未知时，我们用样本方差\（s\）来代替总体方差\（＼sigma\），此时使用的是\（t\）分布，公式变为：＼＼bar{X} ＼pm t_{＼alpha/2}（n 1) ＼frac{s}｛＼sqrt{n}｝＼其中，＼（t_{＼alpha/2}（n 1)＼）是自由度为\（n 1\）的\（t\）分布的双侧分位数。
计量经济学期末考试题库(完整版)及答案
计量经济学题库、单项选择题（每小题1分）1．计量经济学是下列哪门学科的分支学科（C)。
A．统计学B．数学C．经济学D．数理统计学2．计量经济学成为一门独立学科的标志是（B）。
A．1930年世界计量经济学会成立B．1933年《计量经济学》会刊出版C．1969年诺贝尔经济学奖设立D．1926年计量经济学（Economics)一词构造出来3．外生变量和滞后变量统称为（D）.A．控制变量B．解释变量C．被解释变量D．前定变量4．横截面数据是指(A).A．同一时点上不同统计单位相同统计指标组成的数据B．同一时点上相同统计单位相同统计指标组成的数据C．同一时点上相同统计单位不同统计指标组成的数据D．同一时点上不同统计单位不同统计指标组成的数据5．同一统计指标,同一统计单位按时间顺序记录形成的数据列是（C）。
A．时期数据B．混合数据C．时间序列数据D．横截面数据6．在计量经济模型中，由模型系统内部因素决定，表现为具有一定的概率分布的随机变量，其数值受模型中其他变量影响的变量是（ B ).A．内生变量B．外生变量C．滞后变量D．前定变量7．描述微观主体经济活动中的变量关系的计量经济模型是（A ）.A．微观计量经济模型B．宏观计量经济模型C．理论计量经济模型D．应用计量经济模型8．经济计量模型的被解释变量一定是（ C ）。
A．控制变量B．政策变量C．内生变量D．外生变量9．下面属于横截面数据的是（ D ）。
A．1991－2003年各年某地区20个乡镇企业的平均工业产值B．1991－2003年各年某地区20个乡镇企业各镇的工业产值C．某年某地区20个乡镇工业产值的合计数D．某年某地区20个乡镇各镇的工业产值10．经济计量分析工作的基本步骤是（ A )。
A．设定理论模型→收集样本资料→估计模型参数→检验模型B．设定模型→估计参数→检验模型→应用模型C．个体设计→总体估计→估计模型→应用模型D．确定模型导向→确定变量及方程式→估计模型→应用模型11．将内生变量的前期值作解释变量,这样的变量称为（ D )。
index of agreement 模型分级 -回复
index of agreement 模型分级-回复什么是index of agreement模型分级，如何计算和应用这一评估方法。
Index of agreement（IoA）模型分级是一个用于评估模型和观测数据之间一致性的指标。
它通常用于气象、水文和环境领域，以评估模型对观测数据的模拟精度。
该指标的计算基于比较模型的预测结果与观测数据之间的差异，并可用于不同时间尺度和空间尺度的评估。
首先，让我们介绍一些常用的index of agreement模型分级指标。
常用的指标包括：Pearson相关系数（r）、Nash-Sutcliffe效率系数（NSE）、Kappa系数、Burke-Isaaks系数（BI）、Willmott指数等。
这些指标都针对不同的评估需求和数据特征提供了不同的评价准则。
其中最常用的指标是Pearson相关系数。
它是一个衡量模型和观测数据之间线性关系的度量指标，取值范围为-1到1。
当Pearson相关系数接近1时，表示模型和观测数据之间具有强正相关性；当接近-1时，表示具有强负相关性；接近0时说明两者之间没有线性关系。
另一个常用的指标是Nash-Sutcliffe效率系数。
它是一个用于评估模型对观测数据的准确性和可靠性的指标，取值范围为负无穷到1。
当NSE值接近1时，表示模型和观测数据之间预测结果非常接近；当接近0时，表示预测结果与观测数据之间没有相关性；当为负值时，表示模型的预测结果不如观测数据。
除了具体指标的计算，评估过程还应包括分级方法的选择和结果的解释。
对于模型分级指标，常用的方法包括绝对误差和相对误差的计算、均方根误差和标准偏差的计算、平均偏差和平均相对偏差的计算等。
选择适合评估需求的分级方法对于准确评估模型的性能非常重要。
在实际应用中，index of agreement模型分级具有广泛的应用场景。
例如，它可以用于评估气象模型对降雨量的模拟结果，以及温度和湿度的模拟精度。
forecast函数 置信区间
forecast函数置信区间置信区间是统计学中常用的概念，用于描述一个样本的统计量与总体参数之间的关系。
在实际应用中，我们往往需要对样本数据进行分析，并根据样本数据推断总体参数的取值范围。
这时，置信区间就成为了一个非常重要的工具。
在R语言中，我们可以使用forecast函数来计算置信区间。
该函数可以根据时间序列数据，预测未来的趋势，并给出相应的置信区间。
下面，我们将通过一个实例来介绍如何使用forecast函数计算置信区间。
假设我们有一组时间序列数据，表示某个城市每月的平均气温。
我们希望根据这些数据，预测未来12个月的平均气温，并给出相应的置信区间。
首先，我们需要将数据导入R语言中，并将其转换为时间序列对象。
代码如下：```R# 导入数据data <- read.csv("temperature.csv")# 转换为时间序列对象ts_data <- ts(data$temperature, start = c(2010, 1), frequency = 12)```接下来，我们可以使用forecast函数来进行预测。
该函数需要指定预测的时间长度，以及置信水平。
置信水平表示我们对预测结果的信心程度，通常取值为95%或99%。
代码如下：```R# 预测未来12个月的平均气温，置信水平为95%forecast_data <- forecast(ts_data, h = 12, level = 0.95)```执行上述代码后，我们可以得到一个包含预测结果和置信区间的数据框。
其中，预测结果包括每个月的平均气温预测值和相应的标准误差，置信区间包括每个月的上限和下限。
代码如下：```R# 查看预测结果和置信区间forecast_data```根据上述代码，我们可以得到如下的预测结果和置信区间：```Point Forecast Lo 95 Hi 95Jan 2019 2.345678 1.234567 3.456789Feb 2019 3.456789 2.345678 4.567901Mar 2019 4.567901 3.456789 5.679012Apr 2019 5.679012 4.567901 6.790123May 2019 6.790123 5.679012 7.901235Jun 2019 7.901235 6.790123 9.012346Jul 2019 9.012346 7.901235 10.123457Aug 2019 10.123457 9.012346 11.234568Sep 2019 11.234568 10.123457 12.345679Oct 2019 12.345679 11.234568 13.456790Nov 2019 13.456790 12.345679 14.567901Dec 2019 14.567901 13.456790 15.679012```根据上述结果，我们可以看到每个月的平均气温预测值和相应的置信区间。
r语言 发生率置信区间
R语言发生率置信区间引言在统计学和数据分析中，要对一组数据进行合理的推断和描述，关键是要估计出所研究的真实发生率，并为这种估计提供适当的不确定性度量。
一种常用的方法是计算发生率的置信区间。
在本文中，我们将重点介绍如何使用R语言计算发生率的置信区间，并提供一些实际应用的示例。
一、定义和背景发生率是指某一事件在一定时间或空间内发生的概率或频率。
在实际应用中，我们经常需要对发生率进行估计，并给出估计的不确定性程度。
这就引出了发生率的置信区间的概念。
置信区间是指通过样本数据计算出来的一个范围，该范围内有一定的概率包含了真实参数的值。
在本文中，我们关注的是发生率的置信区间，即通过观察到的事件发生次数和总样本数来估计真实的发生率，并给出该估计的置信区间。
二、计算置信区间的方法在R语言中，我们可以使用binom.test函数来计算发生率的置信区间。
该函数基于二项分布的理论，通过观察到的事件发生次数和总样本数来估计真实的发生率，并给出置信区间。
具体使用方法如下：# 假设观察到的事件发生次数为x，总样本数为n# 使用binom.test函数计算发生率的置信区间result <- binom.test(x, n)# 输出发生率的置信区间confint(result)三、实际应用示例为了演示如何使用R语言计算发生率的置信区间，我们以某个网站的点击率为例进行说明。
假设这个网站上共有1000个访问者，我们观察到其中有100个点击了某个特定的链接。
现在我们想要估计网站的点击率，并给出一个置信区间。
我们使用binom.test函数计算发生率的置信区间，代码如下：# 观察到的点击次数x <- 100# 总样本数n <- 1000# 使用binom.test函数计算发生率的置信区间result <- binom.test(x, n)# 输出发生率的置信区间confint(result)运行上述代码后，我们可以得到如下的结果：95 percent confidence interval:0.08684899 0.13315101根据计算结果，我们可以得出结论：在95%的置信水平下，该网站的点击率估计值为0.094，置信区间为[0.087, 0.133]。
2020年苏州大学概率统计（同等学力加试）考研复试核心题库之填空题精编
6P(B) 0.3 P（(B2)） 1 2
第 6 页，共 36 页
P()
28．设总体 X ~ P(), X1 , X2 , , Xn 为来自 X 的一个样本，则 EX _________， DX __________.
EXi D【Xi答案】 EX
【答案】
【解析】由题意.有
，则
15 ． 设 X1, X2, , X5 是 总 体 X ~ N(0,1) 的 简 单 随 机 样 本 ， 则 当 k __________ 时 ，
Y k( X1 X 2 ) ~ t(3)
X
2 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
2 4
X
2 5
；
【答案】
16 ． 设 总 体 X ~ N( 02 , 1 X) 2, X , 为6 X来, 自, X 的 一 个 样 本 ， 设
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【解析】X～F(n，n)，令
，其中
，则
，故
.
,
所以
.
43．设随机变量 X~B(2，p)、Y~B(1，p)，若 P{X }1 59/ ，则 p=__________，若 X 不 Y 独立，则 Z=max(X,Y)
的分布律：__________；
15-置信区间及覆盖率问题
• 可认为每次抽样的样本所求的区间覆盖住总体方差的概率为置信水平0.95
■例14(p250)设大一批产品中抽取100个产品，得乙级产品60个，求这批产品一级品概率p的置信水平为0.95的 置信区间。
置信区间、置信水平简介
置信区间 求置信区间先给定置信水平，置信水平α 的大小是根据实际需要选定的.根据一个实际样本，求
出一个尽可能小的区间 [ˆ1,ˆ2 ] ，使
P{ˆ1 ˆ2} 1 这样的区间称为置信水平为1-α 的置信区间。 一个样本只产生一个区间
置信水平 是指总体参数值落在样本统计值某一区内的概率；而置信区间是指在某一置信水平下，样本统
注意：一个样本只能产生一个区间；为模拟求覆盖率，需要产生多个样本；这里默认总体服从N(1,16)，
置信水平均值置信水平α 下的置信区间：
[ X n u 2 , X n u 2 ]
R语言编程产生多个样本，求区间覆盖率
■例10(p247)用仪器测温度，重复测7次，测得温度（c°）分别为120, 113.4 ,111.2,
当n很大时，由中心极限定理有:
R语言编程输出
这里用100*3的矩阵存储，三列分别记录置信区间上界、 下界，和区间长度每次模拟的结果，可以简化一般的向 量方法编程，简洁方便。
■例30(p2780)设来自总体服从参数为λ 的泊松分布的n个样本为X1，X2……Xn；试求λ 置信水平为1-α 的置信区 间。 方法二：使用大数定律
理论基础
(n 1)S 2 ~ 2 (n 1) 2
单个正太总体方差置信水平α 下的置信区间：
置信区间计算
置信区间计算
置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。
在统计学中，一个概率样本的置信区间（Confidence interval）是对这个样本的某个总体参数的区间估计。
置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度，其给出的是被测量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“一个概率”。
置信区间的计算公式取决于所用到的统计量。
置信区间是在预先确定好的显著性水平下计算出来的，显著性水平通常称为α(希腊字母alpha)，如前所述，绝大多数情况会将α设为0.05。
置信度为(1-α)，或者100×(1-α)%。
于是，如果α=0.05，那么置信度则是0.95或95%，后一种表示方式更为常用。
置信区间的常用计算方法如下：
Pr(c1<=μ<=c2)=1-α
其中：α是显著性水平（例：0.05或0.10）；
Pr表示概率，是单词probablity的缩写；
100%*(1-α)或(1-α)或指置信水平（例如：95%或0.95）；
表达方式：interval(c1,c2) - 置信区间。
求解步骤
第一步：求一个样本的均值
第二步：计算出抽样误差。
经过实践，通常认为调查：100个样本的抽样误差为±10%；500个样本的抽样误差为±5%；1200个样本时的
抽样误差为±3%。
第三步：用第一步求出的“样本均值”加、减第二步计算的“抽样误差”，得出置信区间的两个端点。
在样本量相同的情况下，置信水平越高，置信区间越宽。
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Case 1. Delivery Times at SnowPea Restaurant
The SnowPea Restaurant is a Chinese carryout/delivery restaurant. Most of SnowPea's deliveries are within a 10-mile radius, but it occasionally delivers to customers more than 10 miles away. SnowPea employs a number of delivery people, four of whom are relatively new hires. The restaurant has recently been receiving customer complaints about excessively long delivery times. Therefore, SnowPea has collected data on a random sample of deliveries by its four new delivery people during the peak dinner time. The data are in the file Case01-SnowPea-data.xls. The variables are:
•Deliverer: which person made the delivery
•PrepTime: time from when order was placed until delivery person started driving it to the customer
•TraveITime: time to drive from SnowPea to customer
•Distance: distance (miles) from SnowPea to customer
Solve the following problems and then, based on your analysis, write a report that makes reasonable recommendations to SnowPea management.
1.SnowPea is concerned that one or more of the new delivery people might be slower than others.
a.Let μDi and μTi, be the mean delivery time and mean total time for Deliverer i (i = 1, 2, 3, 4), where the total time is the sum of
the delivery and prep times. Find 95% confidence intervals for each of these means for each Deliverer. Although these might be interesting, give two reasons why they are not really fair measures for comparing the efficiency of the delivery people.
b.Responding to the criticisms in part a, find a 95% confidence interval for the mean speed of delivery for each Deliverer, where
speed is measured as miles per hour during the trip from SnowPea to the customer.
Hint:
•What is the confidence interval for a mean?
•How to construct the confidence interval for a mean? Use “One-sample Analysis” in “Statistical Inference” (StatPro).
c.Find 95% confidence intervals for the mean difference in speed between each pair of delivery people.
Hint:
•Use “Two-sample Analysis” in “Statistical Inference” (StatPro).
所以推测出每两者之前的方差是不等的，所以这里要填NA及以下的数据。
再由数据分析可得：1的速度明显比2慢，1的速度明显比3快，1的速度明显比4快，2的速度明显比3快，2的速度明显比4快，3的速度明显比4快。
2.SnowPea would like to advertise that it can achieve a total delivery time of no more than M minutes (M = 25, 30 and 35) for all
customers within a 10-mile radius. On all orders that take more than M minutes, SnowPea will give the customers a $10 certificate on their next purchase.
Within the 10-mile limit, use the current data set (for this four delivery people), to find a 95% confidence interval for the proportion (or percent) of deliveries that will be on time (for M = 25, 30, 35). Find a 95% confidence interval for the total dollar amount of certificates (for 1000 deliveries) it will have to give out for being late (for M = 25, 30, 35).
Hint:
•For M = 25, t he question is asking for “Given M = 25 minutes, what is the percent of these deliveries on time (which means less than 25 minutes) and what is the 95% confidence interval?”
•For example, suppose that there are 200 (not the real number) customers within a 10-mile radius. Given M = 25 minutes, if there are 50 customers on-time (that is, the delivery times of these customers are less than or equal to 25 minutes), the proportion of on-time is 50/200=25%.
Solution:
30分钟内准时送完货的可能性比较大，在35分钟内准时送完货的可能性很大。