浙江省绍兴市诸暨中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 理(版)
浙江省绍兴一中2014-2015学年下学期高二期末考试数学试题(理)(Wor
绍兴一中2014学年第二学期期末考试高二理科数学试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟一、选择题（每小题3分，共30分）1．全集R U =，}0{},4{2<=>=x x B x x A ，则A ∩B ＝（ ）A. }2{-<x x B ．}32{<<x xC ．}3{>x xD ．}322{<<-<x x x 或2．已知a ,b 均为非零实数，则“a b =”是“22a b =”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =,则下列结论正确的是 ( )A.b a c <<B.a b c <<C.c b a <<D.b c a << 4．若0,0>>b a ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是（ ） A.112ab > B. 822≥+b a C. 2≥ab D ．111a b+≤ 5．已知递减的等差数列{}n a 满足2921a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时，n =（ ）A.3B. 4或5C.4D.5或66．如图，在△ABC 中，1=AB ，3=AC ，D 是BC 的中点，则=⋅BC AD （ ）．A ．3B ．4C ．5D ．不能确定7．若直线20(0,0)-+=>>ax by a b 被圆224410++--=x y x y 所截得的弦长为6，则23+a b的最小值为（ ）A.10B.4+5+8．函数x x f sin )(=在区间)10,0(π上可找到n 个不同数1x ，2x ，…，n x ，使得nn x x f x x f x x f )()()(2211=== ，则n 的最大值等于（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D.119．如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的一条渐近线交于两点Q P ,．若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）A10．已知点(,)P x y 是平面区域40(4)y x y x m y ≤⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩内的动点，点(1,1)A -，O 为坐标原点，设||()OP OA R λλ-∈的最小值为M，若M ≤,则实数m 的取值范围是（ ） A ．11[,35- B ．11(,][,)35-∞-+∞ C ．1[,)3-+∞ D ．1[,)2-+∞二、填空题（每小题4分，共20分） 11．已知集合{}1,2,4A =，{},4B a =，若{1,2,3,4}AB =，则A B = ．12．抛物线24x y =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是 ． 13．已知向量a ，b 满足(2)()6a b a b +⋅-=-，且||1,||2a b ==，则a 与b 的夹角为 ．14．已知函数⎩⎨⎧<+≥+-=)0()0()(22x x x x x x x f ，对任意的]1,0[∈x ，恒有)()(x f a x f ≤+成立，则实数a 的取值范围是 ．15．已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足()221*-=∈n n a S n N．若不等式18(1)n n n a n++⋅-≤λ对任意的*∈n N 恒成立，则实数λ的最大值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足1236++=a a a ，且124,,a a a成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和． (Ⅰ)求{n a }的通项公式； (Ⅱ)设1=n nb S ，求数列{n b }的前n 项和T n ．17．（本小题满分10分）在锐角ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且2s i n 3a B ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当2=a 时，求ABC ∆面积的最大值.18．（本小题满分10分）已知函数34)(2++-=a x x x f ，m mx x g 25)(-+=. （Ⅰ）若)(x f y =在]1,1[-上存在零点，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当0=a 时，若对任意的]4,1[1∈x ，总存在]4,1[2∈x ，使)()(21x g x f =，求实数 m 的取值范围．19．（本小题满分10分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ,离心率22=e ，且过)21,26(.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点B 为椭圆C 在第一象限中的任意一点，过B 作C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，求三角形OCD 面积的最小值．20．（本小题满分10分）已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈． （Ⅰ）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明； （Ⅱ）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．2014学年第二学期高二理科数学期末试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟一、选择题 AADBB BCCBC 二、填空题（每小题4分，共20分） 11．{4} 12．161513．3π 14．),1[}0,1{+∞- 15．-21 三、解答题（本大题共5小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分10分）已知公差不为零的等差数列{}n a ，满足1236++=a a a ，且124,,a a a 成等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和． (I)求{n a }的通项公式； (II)设1=n nb S ，求数列{n b }的前n 项和T n ． 试题解答：(I) 1236++=a a a Q 236∴=a 22∴=a124,,a a a Q 成等比数列 2142∴=a a a2(2)(22)2∴-+=d d解得1d =或0d =（舍）n a n ∴= 4分（II ）22112(11n n b a n n n n ===-++， 111111112T 2[(1()(...()]2(122334111n nn n n n =-+-+-++-=-=+++. 8分17．（本小题满分10分）在锐角ABC ∆中，角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ，且2s i n 3a B ,（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）当2=a 时，求ABC ∆面积的最大值.试题解答：（Ⅰ） 2sin a B ，2sin sin A B B \，sin 0B >， 2sin A \故23sin =A ， 因为ABC ∆为锐角三角形，所以 60=A 4分 （Ⅱ）设角CB A ,,所对的边分别为c b a ,,． 由题意知2=a ，由余弦定理得222242cos60b c bc b c bc =+-=+- 又bc bc bc bc c b =-≥-+222，4≤∴bc∴ 34434360sin 21=⨯≤==∆bc bc S ABC ， 当且仅当ABC ∆为等边三角形时取等号，所以ABC ∆面积的最大值为3． 10分18．（本小题满分10分）已知函数 ，.（1）若 在上存在零点，求实数 的取值范围；（2）当时，若对任意的，总存在，使，求实数的取值范围．试题解答：解：（1）的对称轴是，在区间上是减函数，在上存在零点，则必有： ，即，解得：，故实数的取值范围为；………………（4分）（2）若对任意 ，总存在，使成立，只需函数的值域为函数值域的子集.………………（5分）当时，的值域为，…………（6分）下面求，的值域，19．（本小题满分10分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ,离心率22=e ，且过)21,26(.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）点B 为椭圆C 在第一象限中的任意一点，过B 作C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于C ，D 两点，求三角形OCD 面积的最小值．图（1）78910试题解答：（1）22222311241c aa ab b a bc ⎧=⎪⎪⎧=⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩故椭圆C 的方程为：2212x y += 4分 （2）设l ：(0)y kx b k =+<联立椭圆方程得：22222211()1()210222x y x kx b k x kbx b y kx b⎧+=⎪⇒++=⇒++++=⎨⎪=+⎩令222221044()(1)0122k b k b b k ∆=⇒-++=⇒=+2211211((2)2222OCDb b k S b k k k k k ∆+⎡⎤=⋅-⋅=-=-=+-≥⎢⎥-⎣⎦当且仅当12k k =--，即2k =-时取等号， 所以三角形OCD 的面积的最小值为2---10分（没写等号成立扣1分） 20．（本小题满分10分）已知函数()|2|2f x x a x x =-+，a R ∈． （1）若0a =，判断函数()y f x =的奇偶性，并加以证明； （2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（3）若存在实数[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)0f x tf a -=有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．试题解答：（1）函数()y f x =为奇函数．当0a =时，()||2f x x x x =+，x R ∈，∴()||2||2()f x x x x x x x f x -=---=--=- ∴函数()y f x =为奇函数； 2分（2）22(22)(2)()(22)(2)x a x x a f x x a x x a ⎧+-≥=⎨-++<⎩，当2x a ≥时，()y f x =的对称轴为：1x a =-；当2x a <时，()y f x =的对称轴为：1x a =+；∴当121a a a -≤≤+时，()y f x =在R 上是增函数，即11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数； 4分 （3）方程()(2)0f x tf a -=的解即为方程()(2)f x tf a =的解．①当11a -≤≤时，函数()y f x =在R 上是增函数，∴关于x 的方程()(2)f x tf a =不可能有三个不相等的实数根；②当1a >时，即211a a a >+>-，∴()y f x =在(,1)a -∞+上单调增，在(1,2)a a +上单调减，在(2,)a +∞上单调增，∴当(2)(2)(1)f a tf a f a <<+时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即244(1)a t a a <⋅<+，∵1a >∴111(2)4t a a <<++． 设11()(2)4h a a a=++，∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t h a <<，又可证11()(2)4h a a a=++在(1,2]上单调增∴max 9()8h a =∴918t <<；③当1a <-时，即211a a a <-<+，∴()y f x =在(,2)a -∞上单调增，在(2,1)a a -上单调减，在(1,)a -+∞上单调增，∴当(1)(2)(2)f a tf a f a -<<时，关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根；即2(1)44a t a a --<⋅<，∵1a <-∴111(2)4t a a <<-+-，设11()(2)4g a a a=-+- ∵存在[]2,2,a ∈-使得关于x 的方程()(2)f x tf a =有三个不相等的实数根， ∴max 1()t g a <<，又可证11()(2)4g a a a =-+-在[2,1)--上单调减∴max 9()8g a = ∴918t <<； 综上：918t <<． 10分。
2014-2015年浙江省绍兴市诸暨中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(实验班)
2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷（实验班）一、选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣1，则实数a=（）A．4 B．C．2 D．2．（3分）函数y=cos（1+x2）+4的导数是（）A．2xsin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．2cos（1+x2）D．﹣2xsin（1+x2）3．（3分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．84．（3分）过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y2=1有相同渐近线的双曲线的方程是（）A．B．C．D．5．（3分）若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为（）A．B．C．D．6．（3分）若点A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（）A．2x﹣3y+1=0 B．3x﹣2y+1=0 C．2x﹣3y﹣1=0 D．3x﹣2y﹣1=07．（3分）过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x ﹣2）2+（y﹣1）2=58．（3分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3 D．29．（3分）已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．10．（3分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R二、填空题：（每题4分，共28分）11．（4分）若直线l1：mx+y﹣（m+1）=0平行于直线l2：x+my﹣2m=0，则m=．12．（4分）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为．13．（4分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为．14．（4分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为．15．（4分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则=．16．（4分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=．17．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是．三、解答题：（写出必要的文字说明，计算、推理过程，共42分）18．（10分）已知圆C：x2﹣2x+y2=0，直线l：x+y﹣4=0．（1）若直线l′⊥l且被圆C截得的弦长为，求直线l′的方程；（2）若点P是直线l上的动点，PA、PB与圆C相切于点A、B，求四边形PACB 面积的最小值．19．（10分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C内一点M（m，0），与椭圆C交于P、Q两点．对给定的m 值，若存在直线l及直线母x=﹣2上的点N，使得△PNQ的垂心恰为点F，求m 的取值范围．2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨中学高二（上）期中数学试卷（实验班）参考答案与试题解析一、选择题：（每题3分，共30分）1．（3分）抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣1，则实数a=（）A．4 B．C．2 D．【解答】解：抛物线y=ax2，可化为，其准线方程为y=﹣∵抛物线y=ax2的准线方程为y=﹣1，∴∴a=故选：B．2．（3分）函数y=cos（1+x2）+4的导数是（）A．2xsin（1+x2）B．﹣sin（1+x2）C．2cos（1+x2）D．﹣2xsin（1+x2）【解答】解：y=﹣sin（1+x2）•2x=﹣2xsin（1+x2），故选：D．3．（3分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选：D．4．（3分）过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y2=1有相同渐近线的双曲线的方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，可设所求的双曲线方程是=k，∵点P（2，﹣2）在双曲线方程上，所以，∴k=﹣2，故所求的双曲线方程是，故选：B．5．（3分）若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为（）A．B．C．D．【解答】解：因为直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，直线2x+y+b=0的斜率为﹣2，所以k=．并且直线经过圆的圆心，所以圆心（2，0）在直线2x+y+b=0上，所以4+0+b=0，b=﹣4．故选：A．6．（3分）若点A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（）A．2x﹣3y+1=0 B．3x﹣2y+1=0 C．2x﹣3y﹣1=0 D．3x﹣2y﹣1=0【解答】解：∵A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，∴2a1﹣3b1+1=0，且2a2﹣3b2+1=0，∴两点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线2x﹣3y+1=0上，故点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是2x﹣3y+1=0，答案选A．7．（3分）过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x ﹣2）2+（y﹣1）2=5【解答】解：由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|==2，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是（，），即（2，1），则△ABP的外接圆方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选：D．8．（3分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3 D．2【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设|PF1|=m，|PF2|=n，则，则a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A．9．（3分）已知椭圆上到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），则椭圆的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：设点P（x，y）是椭圆上的任意一点，则，化为．∴|PA|2=x2+（y﹣b）2===f（y），∵椭圆上的点P到点A（0，b）距离最远的点是B（0，﹣b），由二次函数的单调性可知：f（y）在（﹣b，b）单调递减，∴，化为c2≤b2=a2﹣c2，即2c2≤a2，∴．又e＞0．∴离心率的取值范围是．故选：C．10．（3分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，），=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，∵|OQ|=2，故1＜r＜R＜3，故选：A．二、填空题：（每题4分，共28分）11．（4分）若直线l1：mx+y﹣（m+1）=0平行于直线l2：x+my﹣2m=0，则m=﹣1．【解答】解：∵直线l1：mx+y﹣（m+1）=0平行于直线l2：x+my﹣2m=0，∴=≠，解得m=﹣1故答案为：﹣112．（4分）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0，]，则点P横坐标的取值范围为[﹣1，﹣] ．【解答】解：∵切线的斜率k=tanθ∈[tan0，tan]=[0，1]．设切点为P（x0，y0），于是k=y′|x=x0=2x0+2，∴x0∈[﹣1，﹣]．答案[﹣1，﹣]13．（4分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为．【解答】解：设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π）及|BF|=m，∵|AF|=3，∴点A到准线l：x=﹣1的距离为3，∴2+3cosθ=3，即cosθ=，则sinθ=．∵m=2+mcos（π﹣θ）∴m=∴△AOB的面积为S===．故答案为：．14．（4分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2+=1．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，∴A点坐标为（c，b2），设B（x，y），∵|AF1|=3|F1B|，∴=3，∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y），∴B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程可得，∵1=b2+c2，∴b2=，c2=，∴x2+=1．故答案为：x2+=1．15．（4分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则=6．【解答】解：抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）∵=，∴点F是△ABC重心，∴x1+x2+x3=3，∵|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1，|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1，|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故答案为：616．（4分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2=2．【解答】解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．17．（4分）过双曲线﹣=1（a＞0）的右焦点F作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是（，）．【解答】解：由题意可得双曲线的渐近线斜率2＜＜3，∵=∴＜e＜∴双曲线离心率的取值范围为（，）．故答案为：（，）．三、解答题：（写出必要的文字说明，计算、推理过程，共42分）18．（10分）已知圆C：x2﹣2x+y2=0，直线l：x+y﹣4=0．（1）若直线l′⊥l且被圆C截得的弦长为，求直线l′的方程；（2）若点P是直线l上的动点，PA、PB与圆C相切于点A、B，求四边形PACB 面积的最小值．【解答】解：（1）因为直线l′⊥l，所以直线l′的斜率为1，设直线l′方程为y=x+b，因为截得弦长为，所以圆心C到直线l′的距离为，即，解得或，所以直线l′方程为：或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）=2S△PAC=|PA||AC|，（2）S四边形PACB因为|AC|=r=1，所以当|PA|取得最小值时四边形PACB的面积最小．因为PA2=PC2﹣r2=PC2﹣1，所以当PC取最小值时，PA取得最小值，由点到直线的距离公式可得，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）19．（10分）已知函数f（x）=（x2+bx+b）（b∈R）（1）当b=4时，求f（x）的极值；（2）若f（x）在区间（0，）上单调递增，求b的取值范围．【解答】解：（1）当b=4时，f（x）=（x2+4x+4）=（x），则=．由f′（x）=0，得x=﹣2或x=0．当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上为减函数．当﹣2＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣2，0）上为增函数．当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）在（0，）上为减函数．∴当x=﹣2时，f（x）取极小值为0．当x=0时，f（x）取极大值为4；（2）由f（x）=（x2+bx+b），得：=．由f（x）在区间（0，）上单调递增，得f′（x）≥0对任意x∈（0，）恒成立．即﹣5x2﹣3bx+2x≥0对任意x∈（0，）恒成立．∴对任意x∈（0，）恒成立．∵．∴．∴b的取值范围是．20．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．21．（12分）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C上的点到左焦点F距离的最小值与最大值之积为1．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C内一点M（m，0），与椭圆C交于P、Q两点．对给定的m值，若存在直线l及直线母x=﹣2上的点N，使得△PNQ的垂心恰为点F，求m 的取值范围．【解答】解：（1）由条件得，解得a=，b=c=1∴椭圆C的方程为．（2）由条件知，F（﹣1，0），．设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（﹣2，n），则由得（λ2+2）y2+2λmy+m2﹣2=0，由知△＞0恒成立，且，．由PQ⊥NF得n=λ，由NQ⊥PF得，化简得，（λ2+1）y1y2+λ（m+1）（y1+y2）+（m+1）（m+2）=0化简得，mλ2=﹣（3m2+6m+2）（显然m≠0），由λ2≥0，得，解得．∴m的取值范围[）．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2014-2015第一学期高二期末考试理科数学试题
2015学年度第一学期高二年级期末教学质量检测理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。
2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．非零实数b a ,,若b a >，则下列不等式正确的是 A 22b a > B ||||c b c a > Cb a a b > D ba ab 2211> 4．在ABC ∆中，角B A ,的对边分别为b a ,，若A b a sin 23=，则B 等于 A30 B60 C30或150 D60或120 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 6．.数列1，211+，3211++，43211+++，…，n+++ 211的前2015项的和A20152014 B 20154028 C 20152016 D 201640307．已知椭圆2215x y m +=的离心率e =，则m 的值为 A ．3 BCD ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为 A． BCD ．9．若数列}{n a 是等比数列，21a =，其前n 项和为n S ，则3S 的取值范围是A ]1,(-∞B ),1()0,(+∞-∞C ),3[+∞D ),3[]1,(+∞--∞10．如图，21F F 、是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，O 为坐标原点，P 是椭圆上的一点，且满足||2||21OP F F =，若21125F PF F PF ∠=∠，则椭圆的离心率为A 32B 63C 22二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分11．双曲线的一个焦点是)2 , 0(2F ，离心率2=e ，则双曲线的标准方程是 ．12．若实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-+≥+-01202022y y x y x ，则y x z +=2的最大值为 .13．已知数列}{n a 满足11-+=n n a a )1(>n ，其中5a ,8a ,10a 三项构成等比数列，则这个A 1C8题图等比数列的公比为 .14．若直线y ＝kx －2与抛物线y 2＝8x 交于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标是2，则|AB |＝______.15. 把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个 数）：设,i j a （i 、j ∈*N ）是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如4,2a ＝8．若,i j a ＝2008，则i 、j 的值分别为________ ，__________三、解答题:本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【解析】浙江省绍兴市诸暨市草塔中学2014-2015学年高二上学期12月月考数学(理)试卷Word版含解析
2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨市草塔中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题1．已知球的体积是，那么球的半径等于（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 42．以点（﹣2，1）为圆心，2为半径的圆的方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=2 B．（x+2）2+（y﹣1）2=2 C．（x﹣2）2+（y+1）2=4 D．（x+2）2+（y﹣1）2=43．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交4．下列命题错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．“•=0”是“=或=”的必要不充分条件D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真5．M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交6．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为（）A． 12 B． 24 C． D．7．双曲线的焦点坐标是（）A． B． C．（±2，0） D．（0，±2）8．已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A ．B ．C ．D ．9．若双曲线x 2﹣=1的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程为（ ）A ． x ±y=0B ． x ±y=0C ． x ±y=0D ．10．有半径为r 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高为（ ）A ．πr B ． r C ． r D ． r11．椭圆（a ＞b ＞0）的左顶点A ，下、上顶点B 、C ，右焦点F ，AC 与BF 交于D ，若，则椭圆的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．12．在正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD=a，且AC 与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积是．14．若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是．15．若圆x2+y2=25与圆x2+y2﹣6x+8y+m=0的公共弦的长为8，则m= ．16．已知平面α∥β，a⊂α，有下列说法：正确的序号为．①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．17．抛物线y2=4x上的点P（4，m）到其焦点的距离为．三、解答题18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．19．如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底边长与侧棱的长度都是4，ABCD是正方形．（1）求该四棱锥的高，表面积；（2）若M为棱锥的高PO的中点，过点M作平行于棱锥底面的截面，求截得的棱台的体积．21．已知曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）在（1）的条件下，设直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．22．过椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆上方部分一点P，Q、R分别是椭圆的上顶点、右顶点，O是原点，OP∥QR，|FR|=2+．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：y=2x+m交椭圆于A、B两点，M（0，1），若AM⊥RB，求l的方程．2014-2015学年浙江省绍兴市诸暨市草塔中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知球的体积是，那么球的半径等于（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由球的体积公式可得半径R的方程，解方程可得．解答：解：设球的半径为R，则球的体积V=πR3=，解得R=2故选：B点评：本题考查球的体积公式，属基础题．2．以点（﹣2，1）为圆心，2为半径的圆的方程是（）A．（x﹣2）2+（y+1）2=2 B．（x+2）2+（y﹣1）2=2 C．（x﹣2）2+（y+1）2=4 D．（x+2）2+（y﹣1）2=4考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的标准方程的性质求解．解答：解：以点（﹣2，1）为圆心，2为半径的圆的方程是：（x+2）2+（y﹣1）2=4．故选：D．点评：本题考查圆的标准方程的求法，是基础题，解题时要注意圆的性质的合理运用．3．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：阅读型．分析：若a，b是异面直线，直线c∥a，所以c与b可能异面，可能相交．解答：解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，故选D．点评：此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握．4．下列命题错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．“•=0”是“=或=”的必要不充分条件D．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析： A，利用命题及其逆否命题的概念判断即可；B，利用特称命题与全称命题间的关系可判断②的正误；C，利用充分必要的概念可判断③；D，利用不等式的性质可判断④的正误．解答：解：A，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确；B，命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”，正确；C，“•=0”⇒⊥，不一定是=或=，即充分性不成立，反之，若=或=，则•=0，即必要性成立，故“•=0”是“=或=”的必要不充分条件，正确；是“=或=”的必要不充分条件D，“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为“若a＜b”，则“am2＜bm2”是假命题，当m=0时，am2=bm2=0，故D错误．故选：D．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题间的关系及特称命题与全称命题、充分必要的概念的理解与应用，属于中档题．5．M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=a，由M为圆内一点得到：＜a，则圆心到已知直线的距离d=＞=a=r，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选C点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．6．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为（）A． 12 B． 24 C． D．考点：简单空间图形的三视图．专题：规律型．分析：根据斜二测画法的规则，分别求出直观图的边长关系，即可求直观图的面积．解答：解：根据斜二测画法的规则可知，矩形的直观图为平行四边形，其中O'C'=OC=6，O'A'=OA=2，∠A'O'C'=45°，∴平行四边形的面积S=2S△O'A'C'=2×=，故选：C．点评：本题主要考查斜二测画法的应用，熟练掌握斜二测画法的基本原则．7．双曲线的焦点坐标是（）A． B． C．（±2，0） D．（0，±2）考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，可得该双曲线的焦点在x轴上，由平方关系算出c==2，即可得到双曲线的焦点坐标．解答：解：∵双曲线方程为∴双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1由此可得c==2，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：C点评：本题给出双曲线方程，求它的焦点坐标，着重考查了双曲线的标准方程和焦点坐标求法等知识，属于基础题．8．已知某几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A． B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，做出底面的面积，三棱锥的高是1，根据三棱锥的体积公式得到结果．解答：解：由三视图知几何体是一个三棱锥，三棱锥的底面是一个底边是1，高是1的三角形，三棱锥的底面的面积是=，由三视图知三棱锥的一个侧面与底面垂直，三棱锥的高是1∴三棱锥的体积是=故选C点评：本题考查由三视图还原几何体并且看出几何体各个部分的长度，本题解题的关键是要求体积需要求出几何体的底面面积和高，三棱锥的高是由垂直与底面的侧面的高得到，本题是一个基础题．9．若双曲线x2﹣=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程为（）A． x±y=0 B．x±y=0 C．x±y=0 D．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和抛物线的性质，求出焦点坐标，然后求出b2，即可求出双曲线的渐近线方程解答：解：因为双曲线x2﹣=1的焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），∴c=2∴1+b2=22即b2=3∴双曲线为，所以双曲线的渐近线方程为：y=x，故选B点评：本题主要考查了双曲线和抛物线的性质，属于基础题．10．有半径为r的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高为（）A．πr B．r C．r D．r考点：棱锥的结构特征；点、线、面间的距离计算．专题：常规题型；空间位置关系与距离．分析：轴截面为等边三角形的圆锥侧面展开图为半圆．解答：解：该圆锥筒的轴截面为等边三角形，则其高为=r．故选：D．点评：本题考查了侧面展开图与原几何体之间量的相等关系．11．椭圆（a＞b＞0）的左顶点A，下、上顶点B、C，右焦点F，AC与BF交于D，若，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出A，B，C，F的坐标，求得直线AC，BF的方程，求得交点D的坐标，再由，运用向量的坐标得到a，c的方程，解得a=2c，再由离心率公式，即可得到离心率．解答：解：由于A（﹣a，0），B（0，﹣b），C（0，b），F（c，0），则有直线AC：=1，直线BF：=1，联立两直线方程，解得，x=，y=，即有D（，），由于，则有c=（﹣c），化简可得，a=2c，则离心率e==．故选A．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查两直线的交点，以及向量的共线问题，考查离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题．12．在正方体A1B1C1D1﹣ABCD中，AC与B1D所成的角的大小为（）A． B． C． D．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：求异面直线所成角，应平移两条异面直线中的一条或两条，使其成为相交直线，而相交直线所成角，就为异面直线所成角，再放入三角形中，利用解三角形，解出此角即可．解答：解：可在原图基础上，再向下加一个正方体ABB1A1﹣MNPQ．在连接B1Q，DQ，则∠DB1Q为所求异面直线所成角或其补角．cos∠DB1Q===0所以，∠DB1Q=90°，即AC与B1D所成的角的大小为90°．故选D点评：本题考查了异面直线所成角的求法，关键在于如何平移．二、填空题13．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD=a，且AC与BD所成的角为60°，则四边形EFGH的面积是．考点：棱锥的结构特征．专题：计算题．分析：先证明四边形EFGH为菱形，然后说明∠EFG=60°，最后根据三角形的面积公式即可求出所求．解答：解：连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD．同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD，EF=AC．所以EH∥FG，且EH=FG．所以四边形EFGH为平行四边形．因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°所以EF=EH．所以四边形EFGH为菱形，∠EFG=60°．∴四边形EFGH的面积是2××=故答案为：点评：主要考查知识点：简单几何体和公理四，公理四：和同一条直线平行的直线平行，证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等相等，以及面积公式属于基础题．14．若各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是24π．考点：球的体积和表面积；棱柱的结构特征．专题：计算题；综合题．分析：先求出正四棱柱的底面边长，再求其对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．解答：解：各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，它的底面边长是：2，所以它的体对角线的长是：，球的直径是：，所以这个球的表面积是：故答案为：24π点评：本题考查正四棱柱的外接球的表面积．考查计算能力，是基础题．15．若圆x2+y2=25与圆x2+y2﹣6x+8y+m=0的公共弦的长为8，则m= ﹣55或5 ．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程，根据弦长与半径以及弦心距之间的关系即可得到d==3．从而解得m=﹣55或5．解答：解：x2+y2=25①x2+y2﹣6x+8y+m=0②两式相减得6x﹣8y﹣25﹣m=0．圆x2+y2=25的圆心为（0，0），半径r=5．圆心（0，0）到直线6x﹣8y﹣25﹣m=0的距离为=．则公共弦长为2=8∴r2﹣d2=16．∴d2=9．∴d==3．解得，m=﹣55或d=5故答案为：﹣55或5．点评：本题考查两圆相交的性质，公共弦以及点到直线的距离公式等知识，属于中档题．16．已知平面α∥β，a⊂α，有下列说法：正确的序号为②③．①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：由平面α∥β，a⊂α，有知：①a与β内的所有直线平行或异面，故①错误；②a与β内无数条直线平行，由平面与平面平行的性质知②正确；③a与β内的任意一条直线都不垂直，由平面与平面平行的性质得③正确．故答案为：②③．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．17．抛物线y2=4x上的点P（4，m）到其焦点的距离为 5 ．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点P到抛物线的准线的距离为4+，从而得到结论．解答：解：由抛物线的定义可得，点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，点P到抛物线的准线的距离为4+=4+1=5，故答案为：5．点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，体现了转化的数学思想，利用抛物线的定义是解题的关键．三、解答题18．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：（1）B，C，H，G四点共面；（2）平面EFA1∥平面BCHG．考点：平面与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明GH∥B1C1，从而可得GH∥BC，即可证明B，C，H，G四点共面；（2）证明平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行，即可得到平面EFA1∥平面BCHG．解答：证明：（1）∵G、H分别为A1B1，A1C1中点，∴GH∥B1C1，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，∴GH∥BC∴B、C、H、G四点共面；（2）∵E、F分别为AB、AC中点，∴EF∥BC∴EF∥BC∥B1C1∥GH又∵E、G分别为三棱柱侧面平行四边形AA1B1B对边AB、A1B1中点，∴四边形A1EBG为平行四边形，A1E∥BG∴平面EFA1中有两条直线A1E、EF分别与平面BCHG中的两条直线BG、BC平行∴平面EFA1∥平面BCHG．点评：本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．如图四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题．分析：旋转后几何体是一个圆台，从上面挖去一个半球，根据数据利用面积公式与体积公式，可求其表面积和体积．解答：解：由题意知，所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面（3分）S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π．故所求几何体的表面积为：8π+35π+25π=68π（7分）由，（9分）（11分）所以，旋转体的体积为（12分）点评：本题考查组合体的面积、体积问题，考查空间想象能力，数学公式的应用，是中档题．20．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底边长与侧棱的长度都是4，ABCD是正方形．（1）求该四棱锥的高，表面积；（2）若M为棱锥的高PO的中点，过点M作平行于棱锥底面的截面，求截得的棱台的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）判断OP⊥底面ABCD，利用Rt△PED中，DE=2，PD=4，得出PE=2，再Rt△PEO中OE=2，求解高即可．（2）求解V P﹣ABCD=42×=，根据体积之比为棱长相似比的关系求解即可得出上半部分V0=V P﹣ABCD=．解答：解：（1）∵取CD中点E，连接PE，O为正方形．∵四棱锥P﹣ABCD的底边长与侧棱的长度都是4，O是正方形ABCD的中心．∴OP⊥底面ABCD，∴Rt△PED中，DE=2，PD=4，∴PE=2，∵Rt△PEO中OE=2，∴PO==2，∴该四棱锥的高2，表面积=424×=16+32（2）V P﹣ABCD=42×=，∵M为棱锥的高PO的中点，过点M作平行于棱锥底面的截面，∴上半部分V0=V P﹣ABCD=，∴截得的棱台的体积==点评：本题考查了空间几何体的体积，面积的求解，关键是确定高，斜高，利用直角三角形求解，难度不大，属于中档题．21．已知曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0（1）当m为何值时，曲线C表示圆；（2）在（1）的条件下，设直线x﹣y﹣1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆相交的性质．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，由求出当m＜5时，曲线C表示圆．（2）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，由直线x﹣y﹣1=0代入曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，得2x2﹣8x+5+m=0，由此能求出存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=﹣2．解答：解：（1）∵x2+y2﹣2x﹣4y+m=0由D2+E2﹣4F=4+16﹣4m=20﹣4m＞0，得m＜5，∴当m＜5时，曲线C表示圆；（2）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2+y1y2=0，由直线x﹣y﹣1=0代入曲线C：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，得2x2﹣8x+5+m=0，∴△=64﹣8（m+5）=24﹣8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，故m＜3；∴x1+x2=4，x1x2=∴y1y2=∴x1x2+y1y2=+=0，∴m=﹣2＜3，故存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=﹣2．点评：本题考查方程表示圆时实数m的取值范围的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．22．过椭圆=1（a＞b＞0）的左焦点F作垂直于x轴的直线交椭圆上方部分一点P，Q、R分别是椭圆的上顶点、右顶点，O是原点，OP∥QR，|FR|=2+．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：y=2x+m交椭圆于A、B两点，M（0，1），若AM⊥RB，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆方程．（2）联立，得9x2+8mx+2m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出直线方程．解答：解：（1）由已知得|PF|=，|OF|=c，|OQ|=b，|OR|=a，∵OP∥QR，|FR|=2+，∴，解得a=2，b=c=，∴椭圆方程为．（2）联立，得9x2+8mx+2m2﹣4=0，∵直线l：y=2x+m交椭圆于A、B两点，∴△=64m2﹣36（2m2﹣4）＞0，解得m2≤18，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∵M（0，1），R（2，0），∴=（﹣x1，1﹣y1），=（x2﹣2，y2），∵AM⊥RB，∴=﹣x1x2+2x1+y2﹣y1y2=0，∴（2﹣2m）（x1+x2）+m﹣5x1x2﹣m2=0，∴，解得m=﹣4或m=，∴直线方程为y=2x﹣4或y=2x+．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、向量知识的合理运用．。
浙江省绍兴市第一中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 理
浙江省绍兴市第一中学2014-2015学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设集合1122M x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}2N x x x =≤，则M N = （ ）（A ）1[0,)2（B ）1(,1]2- （C ）1[1,)2-（D ）1(,0]2-2. 命题“若00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是（ ）A ．若00,022≠≠≠+b a b a 且则 B ．若00,022≠≠≠+b a b a 或则 C ．若则0,0022≠+==b a b a 则且D ．若0,0022≠+≠≠b a b a 则或3.若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分而不必要条件,则实数a 的取值范围是（ ）A ．[1,0]-B ．(1,0)-C ．(,0][1,)-∞+∞ D ．(,1)(0,)-∞-+∞4．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是 ( )5. (3,2,3)a =--，(1,1,1)b x =--且与的夹角为钝角，则x 的取值范围是 （ ） A ．（－2，+∞） B ．（－2，53）∪（53，+∞） C ．（－∞，-2） D ．（53，+∞） 6.已知直线420mx y +-=与250x y n -+=互相垂直，垂足为(1,)P p ，则m n p -+的值是（ ）A ．24B ．20C ． 0D ．－47.过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为C B ,.若2=，则双曲线的离心率是（ ） A ．5 B.6 C.26 D.58．棱长为2的正四面体ABCD 在空间直角坐标系中移动，且保持点A 、B 分别在x 轴、yABCDEGHF轴上移动，则棱CD 的中点E 到坐标原点O 的最远距离为 （） A ．B ．C 1D 1二、填空题（本大题共5小题，第9﹑10题每空格2分，第11-13每小题4分，共22分） 9. 已知直线01:1=-+y ax l ，直线03:2=--y x l ，若直线1l 的倾斜角为4π，则a = ；若21l l ⊥，则a = ；若21//l l ，则两平行直线间的距离为 。