三角函数图像和性质
三角函数的定义和性质
三角函数与复数的基本关系：复数可以表示为三角函数的形式，即z=r(cosθ+i sinθ)。
三角函数在复平面上的表示：复平面上，三角函数可以表示为点或向量，其模长和幅角分别对应于实部和虚部。
三角函数与复数在交流电中的应用：交流电的电压和电流可以用三角函数表示，而复数则可以更方便地描述正弦波的幅度和频率。
04
三角函数的扩展知识
反三角函数
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性质：反三角函数具有连续性、单调性、奇偶性和周期性等性质。
定义：反三角函数是三角函数的反函数，表示为arcsin、arccos和arctan等。
图像：反三角函数的图像与三角函数图像关系密切，可以通过三角函数图像得出反三角函数图像。
应用：反三角函数在数学、物理和工程等领域有广泛应用，例如求解三角形、解决极值问题等。
三角恒等式和不等式
三角恒等式：表示三角函数之间关系的等式，如正弦、余弦、正切等函数之间的相互转化。
三角不等式：表示三角函数值大小关系的不等式，用于比较三角函数值的大小或证明不等关系。
三角恒等变换：通过三角函数的和差、倍角、半角等公式，进行恒等变换，简化表达式或证明等式。
三角不等式的证明方法：利用三角函数的性质和几何意义等方法，证明三角不等式的关系。
三角函数与复数在信号处理中的应用：信号处理中，信号常常被表示为复数形式的三角函数，这使得信号的合成、分析和滤波变得更加方便。
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周期性：三角函数具有明显的周期性，图像呈现规律性的重复。
奇偶性：三角函数具有奇偶性，可以根据函数值的正负判断其奇偶性。
最大值和最小值：三角函数具有最大值和最小值，可以通过函数的极值点判断其最大值和最小值。
高中数学三角函数专题：三角函数图像和性质
,
5
]
第一个单调区间和第二
22
22
个单调区间的间距： 3 ( ) 2 。 22
当 x [ 2k, 2k] ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 单调递增。
2
2
②第一个单调递减区间 [
,
3
] ，第二个单调递减区间[5
,
7
]
第一个单调区间和第二
22
22
个单调区间的间距： 5 2 。 22
②第一个取得最小值 1的自变量为 ，第二个取得最小值 1的自变量为 3 第一个自 变量和第二个自变量的间距为 3 2 。 当 x 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) cos x 取得最小值 1。
性质三：对称性。
对称轴：对称轴是由最大值点和最小值点向 x 轴做的垂线。如下图所示：紫色直线为对称轴。
②第一个取得最小值 1的自变量为 ，第二个取得最小值 1的自变量为 3 第一个自
2
2
变量和第二个自变量的间距为 3 ( ) 2 。 22
当 x 2k ，其中 k Z 时：函数 f (x) sin x 取得最小值 1。 2
性质三：对称性。
对称轴：对称轴是由最大值点和最小值点向 x 轴做的垂线。如下图所示：紫色直线为对称轴。
高中数学三角函数专题：三角函数图像和性质
第一部分： f (x) sin x 的图像与性质
描点法：如下表所示：
x
0
3
2
2
2
f (x)
0
1
0
1
0
sin 0 sin( ) sin cos sin cos 0 。
sin
sin(
) sin cossi cos113
常见三角函数图像及其性质
常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。
函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
三角函数图像与性质
三角函数图像与性质
三角函数是基本的初等函数之一，它以角度为自变量，以任意角度的终边与单位圆或其比值的交点坐标为因变量。
接下来看看常见三角函数的图像和性质。
三角函数的图像
三角函数的性质
1.正弦函数
在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。
正弦值在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。
图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
2.余弦函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°(如图所示)，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为
cosa=AC/AB。
余弦函数：f(x)=cosx(x∈R)。
余弦值在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。
图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
3.正切函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是
tanB=b/a，即tanB=AC/BC。
正切值在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)。
图像：右图平面直角坐标系反映
定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
值域：实数集R。
三角函数的图象与性质
-
;
-1
y=cosx
2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
y
si-n6x的对称-5轴：x
k -4
2-,3对 称点-：2(k
,0);
-
y cosx的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习
回顾 三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
描图：用光滑曲线
复习回顾
一.正弦余弦函数的作图： 几何描点法（利用三角函数线） 五点法作简图
二.周期性：
函数y Asin(x )和y Acos(x )，x R的周期T 2 | |
三.奇偶性：
y sin x为奇函数，图像关于原点对称； y cosx为偶函数图像关于y轴对称。
-6 -5
-4 -3
复习回顾 y y=sinx
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
三角函数的图像及其性质
三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。
三角函数的图象和性质
三角函数的图象和性质知识网络三角函数的图象和性质结构简图画龙点晴 概念三角函数的图象:(1) 函数x y sin =的图象叫做正弦曲线, 如图1; (2) 函数x y cos =的图象叫做余弦曲线, 如图2; (3) 函数x y tan =的图象叫做正切曲线, 如图3; (4) 函数x y cot =的图象叫做余切曲线, 如图4;周期函数: 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
说明：1︒周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；2︒“每一个值”只要有一个反例，则f (x )就不为周期函数（如f (x 0+t)≠f (x 0)）; 3︒T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）. 三角函数的性质: 三角函数的性质如下表:[活用实例][例1] 求下列函数的最值： (1)y=sin(3x+4π)-1 ; (2) y=sin 2x-4sinx+5 ; (3) y=x x cos 3cos 3+- ; (4))3cos(2π-=x y (6π≤x ≤32π).[题解] (1) 当3x+4π=2k π+2π即 x=1232ππ+k (k ∈Z)时y max =0; 当3x+4π=2k π-2π即x=432ππ-k (k ∈Z)时y min =-2. (2) y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2π k ∈Z 时y max =10; 当x=2k π-2πk ∈Z 时y min = 2. (3)y=-1+xcos 31+ 当x=2k π+π k ∈Z 时 y max =2; 当x=2k π k ∈Z 时 y min = 21.(4)∵x ∈[6π,32π] ∴x-3π∈[-6π,3π], ∴当x-3π=0 即x=3π时 y max =2; 当x-3π=3π 即x=32π时 y min =1. [例2] 求下列函数的定义域：(1)y=x x 2cos 21cos 3-- ; (2)y=lg(2sinx+1)+1cos 2-x ; (3)y=)cos(sin x . [题解] (1)∵3cosx-1-2cos 2x ≥0 ∴21≤cosx ≤1 ∴定义域为：[2k π-3π, 2k π+3π] (k ∈Z). (2))(32326726221cos 21sin Z k k x k k x k x x ∈⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-+<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥->ππππππππ )(3262Z k k x k ∈+≤<-⇒ππππ ∴定义域为：)](32,62(Z k k k ∈+-ππππ.(3) ∵cos(sinx)≥0 ∴ 2k π-2π≤x ≤2k π+2π(k ∈Z) ∵-1≤sinx ≤1 , ∴x ∈R , 1cos ≤y ≤1.[例3] 已知函数f(x)=2asin 2x-23asinxcosx+b 的定义域为[0，2π]，值域为[-5，4]，求常数a,b 的值。
三角函数的图像和性质
当0<A<1时，图像在y轴方向压缩。
02
周期变换
ω表示周期变换的系数，周期T=2π/|ω|。当ω>1时，周期减小，图像
在x轴方向压缩；当0<ω<1时，周期增大，图像在x轴方向拉伸。
03
相位变换
φ表示相位变换的角度，当φ>0时，图像左移；当φ<0时，图像右移。
正弦型曲线应用举例
振动问题
在物理学中，正弦函数常用来描述简谐振动，如弹簧振子 、单摆等。通过正弦函数的振幅、周期和相位等参数，可 以描述振动的幅度、频率和初始状态。
三角函数的图像和性 质
汇报人：XX 2024-01-28
contents
目录
• 三角函数基本概念 • 正弦函数图像与性质 • 余弦函数图像与性质 • 正切函数图像与性质 • 三角函数复合与变换 • 三角函数在解决实际问题中的应用
01
三角函数基本概念
角度与弧度制
角度制
01
将圆周分为360等份，每份称为1度，用度（°）作为单位来度量
角的大小。
弧度制
02
以弧长等于半径所对应的圆心角为1弧度，用符号rad表示，是
国际通用的角度度量单位。
角度与弧度的换算
03
1° = (π/180)rad，1rad = (180/π)°。
三角函数定义及关系
正弦函数
sinθ = y/r，表示单位圆上任意 一点P(x,y)与x轴正方向形成的 角θ的正弦值。
光学
在光的反射、折射等现象中，三角函数可以 帮助计算入射角、折射角等角度问题。
在工程问题中的应用
1 2
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可以帮助计算建筑物的 角度、高度、距离等参数，确保设计的准确性和 安全性。
三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R值域－1,1－1,1单调性递增区间：2,2()22k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Zππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：2kπ－π,2kπk∈Z递减区间：2kπ,2kπ＋πk∈Z最值x＝2kπ＋错误!k∈Z时,y max＝1；x＝2kπ－错误!k∈Z时,y min＝－1x＝2kπk∈Z时,y max＝1；x＝2kπ＋πk∈Z时,y min＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：kπ,0k∈Z含原点对称轴：x＝kπ＋错误!,k∈Z 对称中心：kπ＋错误!,0k∈Z 对称轴：x＝kπ,k∈Z含y轴二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域 R单调性 递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性 奇函数对称性 对称中心：(,0)()2k k Z π∈含原点最小正周期π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y 0,0A ω>>的图象x y sin =方法一：先平移后伸缩 方法二：先伸缩后平移 操作 向左平移φ个单位横坐标变为原来的1ω倍结果 )sin(ϕ+=x yx y ωsin =操作横坐标变为原来的1ω倍向左平移ϕω个单位最小正周期2π 2π注意换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序,否则会出现错误.2. )sin(ϕω+=x A y 0,0A ω>>的性质1定义域、值域、单调性、最值、对称性：将ϕω+x 看作一个整体,与相应的简单三角函数比较得出； 2奇偶性：只有当ϕ取特殊值时,这些复合函数才具备奇偶性：)sin(ϕω+=x A y ,当πϕk =时为奇函数,当2ππϕ±=k 时为偶函数；3最小正周期：ωπ2=T3. y ＝A sin ωx ＋φ, x ∈0,+∞ 0,0A ω>>中各量的物理意义1 A 称为振幅；22T πω=称为周期；31fT=称为频率；4x ωϕ+称为相位；5ϕ称为初相 6ω称为圆频率.。
2三角函数的图像及性质-拔高难度-讲义
三角函数的图像及性质知识讲解一、三角函数的图像和性质1.正弦函数图像和性质1）图像：2）定义域：R 3）值域：[11]，- 4）单调性：[22]22x k k ππππ?++，（k Z Î）增函数3[22]22x k k ππππ?+，（k Z Î）减函数5）奇偶性：奇函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴2x k k Zππ=+?，；对称中心(0)k k Z πÎ，，． 2.余弦函数图像和性质1）图像2）定义域：R 3）值域：[11]，- 4）单调性：[22]x k k πππ?+，（k Z Î）增函数 [22]x k k πππ?，（k Z Î）减函数5）奇偶性：偶函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴x k k Z π=?，；对称中心(0)2k k Zππ+?，，．3.正切函数图像和性质1）定义域：{|}2x x k k Z ππ??，2）值域：R3）单调性：在()22k k ππππ，-++（k Z Î）增函数．4）奇偶性：奇函数 5）最小正周期：π6）对称性：对称中心(0)2k k Z πÎ，，．二、三角函数的图像变换三角函数的几种变换：1）平移变换：函数sin()(0)y x ϕϕ=+?的图像可以看做将函数sin y x =的图像上的所有的点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平移ϕ个单位而得到．2）周期变换：函数sin()y x ωϕ=+（0ω>且1ω¹）的图像可以看做是把sin()y x ϕ=+的图像上所有的点的横坐标缩短为（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到．3）振幅变换：函数sin()y A x ωϕ=+（0A >且1A ¹）的图像可以看做是将sin()y x ωϕ=+的图像上所有的点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当1A <时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到．经典例题一．填空题（共4小题）1．（2015春•建瓯市校级期末）函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣，函数g（x）=mcos （2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对所有的x2∈[0，]总存在x1∈[0，]，使得f （x1）=g（x2）成立，则实数m的取值范围是[1，]．【解答】解：∵f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当x∈[0，]，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[1，2]，∴f（x）∈[1，2]．对于g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），2x﹣∈[﹣，]，mcos（2x﹣）∈[，m]，∴g（x）∈[﹣+3，3﹣m]．由于对所有的x2∈[0，]总存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，可得[﹣+3，3﹣m]⊆[1，2]，故有3﹣m≤2，﹣+3≥1，解得实数m的取值范围是[1，]．故答案为：，．2．（2013秋•滨江区校级期末）关于x的不等式（sinx+1）|sinx﹣m|+≥m对x ∈[0，]恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．【解答】解：∵x∈[0，]，∴sinx∈[0，1]，当m＞1时，原不等式可化为：（sinx+1）（m﹣sinx）+≥m，整理得：msinx﹣sin2x﹣sinx+≥0恒成立；令sinx=t（0≤t≤1），g（t）=﹣t2+（m﹣1）t+，要使g（t）=﹣t2+（m﹣1）t+≥0（0≤t≤1）恒成立，必须，即，解得m≥；①当m＜0时，原不等式可化为：（sinx+1）（sinx﹣m）+≥m，整理得：sin2x﹣（m﹣1）sinx﹣2m+≥0，令h（t）=t2﹣（m﹣1）t﹣2m+≥0（0≤t≤1），要使t2﹣（m﹣1）t﹣2m+≥0（0≤t≤1）恒成立，应有，解得：m≤，∴m＜0；②当0≤m≤1时，（sinx+1）|sinx﹣m|+≥m对x∈[0，]恒成立⇔m≤（sinx+1）|sinx﹣m|+恒成立，令t（x）=（sinx+1）|sinx﹣m|+，m≤t（x）min，当sinx=m时，t（x）min=，∴m≤，又0≤m≤1，∴0≤m≤；③由①②③得：m≤或m≥，∴实数m的取值范围是：（﹣∞，]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，]∪[，+∞）．3．已知x∈R，则函数f（x）=max，的最大值与最小值的和等于1﹣．【解答】解：，作出三个函数在一个周期内的图象如图：则f（x）对应的图象为三个图象中最上面的部分．则由图象可知当x=0时，函数f（x）取得最大值1，当x=时，函数f（x）取得最小值，故最大值和最小值之和为，故答案为：．4．（2011春•东港区校级期末）下列说法：①函数是最小正周期为π的偶函数；②函数可以改写为；③函数的图象关于直线对称；④函数y=tanx的图象的所有的对称中心为（kπ，0），k∈Z；⑤将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式是；其中所有正确的命题的序号是②③．（请将正确的序号填在横线上）【解答】解：①函数=cos（﹣2x）=sin2x，∵ω=2，∴T==π，又正弦函数为奇函数，∴f（x）为奇函数，则f（x）为周期为π的奇函数，本选项错误；②函数=cos[﹣（+2x）]+1=sin（+2x）+1，本选项正确；③函数=cos[﹣（+2x）]=sin（+2x），令+2x=kπ，（k∈Z）解得x=﹣，∵k=4时，x=，则函数图象关于直线对称，本选项正确；④tan（﹣x）=﹣tanx，因此正切函数是奇函数，因而原点（0，0）是它的对称中心．又因为正切函数的周期是π，所以点（kπ，0）都是它的对称中心．平移坐标系，使原点（0，0）移到（，0）得到y=tan（x+）=﹣cotx，依旧是奇函数，所以在新坐标系中点（kπ，0）也是对称中心，返回原坐标系，这些点的原坐标是（kπ﹣，0）综合到一起就得到对称中心是（k +，0）．（k是整数），本选项错误；⑤将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位，得到y=sin2（x+），然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为y=sin2（x+）=sin（x+）≠，本选项错误，则正确选项的序号为：②③．故答案为：②③二．解答题（共14小题）5．（2017秋•天津期末）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的对称轴和对称中心．【解答】解：（Ⅰ）函数中，令，得，∴f（x）的单调递增区间为：，，令，得，∴f（x）的单调递减区间为：，；（Ⅱ）令，得，∴f（x）的对称轴方程为：；令，得，∴f（x）的对称中心为：，．（注：单调区间写开区间不扣分；k∈Z不写扣1分）6．（2017秋•双流县校级月考）已知函数f（x）=sin（ωx+），其中ω＞0（1）若对任意x∈R都有f（x）≤f（），求ω的最小值；（2）若函数y=f（x）在区间（，π）上单调递减，求ω的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由对任意x∈R都有f（x）≤f（），知f（x）在x=处取得最大值，∴ω+=+2kπ，k∈Z；解得ω=+k，k∈Z，又∵ω＞0，∴当k=0时，ω的最小值为；（Ⅱ）设t=ωx+，x∈（，π），∴t∈（+，ωx+），由已知（+，ωπ+）⊆[+2kπ，+2kπ]，k∈Z；∴，解得，又ω＞0，，∴＞解得﹣≤k≤，∴k=0，∴ω的取值范围是≤ω≤．7．（2016秋•金华期末）设函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3（Ⅰ）当x∈（0，π）时，求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在[0，θ]上的值域为[0，2+1]，求cos2θ的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3=4sinxcosx﹣4sin2x+3=2sin2x﹣4×+3=2sin2x+2cos2x+1=2sin（2x+）+1，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，又x∈（0，π），所以f（x）的单调递减区间是[，]；（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+）+1在[0，θ]上的值域为[0，2+1]，令x=0，得f（0）=2sin+1=3；令f（x）=2+1，得sin（2x+）=1，解得x=，∴θ＞；令f（x）=0，得sin（2x+）=﹣，∴2x+＜，解得x＜，即θ＜；∴θ∈（，），∴2θ+∈（，）；由2sin（2θ+）+1=0，得sin（2θ+）=﹣，所以cos（2θ+）=﹣=﹣，所以cos2θ=cos[（2θ+）﹣]=cos（2θ+）cos+sin（2θ+）sin=﹣×+（﹣）×=﹣．8．（2017春•长安区校级期中）设函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）当，时，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数=（cos2xcos﹣sin2xsin）+sin2x=（cos2x﹣sin2x）+=﹣sin2x+；∴f（x）的最小正周期为T==π；（2）当，时，2x∈[，]，∴sin2x∈[，1]，∴﹣sin2x+∈[0，]，即f（x）的最大值为，最小值为0．9．（2018•上海二模）已知函数f（x）=2sin2x+sin（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（A）=2，求sinC的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin2x+sin（2x+）=1﹣cos2x+sin2xcos+cos2xsin==．∴T=，∵﹣1，∴函数值域为[0，2]；（2）∵A，B，C为△ABC的三个内角，∴由cosB=，得sinB=，又f（A）=2，即，则，∴2A=，得A=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．10．（2017•浙江二模）已知直线x=是函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴．（1）求φ；（2）求函数y=f（x）+f（﹣x），x∈（0，）的值域．【解答】解：（1）∵直线x=是函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴，∴3•+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，f（x）=sin（3x﹣）．（2）函数y=f（x）+f（﹣x）=sin（3x﹣）+sin[3（﹣x）﹣]=sin（3x﹣）+cos（3x+）=sin3x﹣cos3x+cos3x﹣sin3x=sin3x+cos3x=sin（3x+），∵x∈（0，），∴3x+∈（，），∴sin（3x+）∈（﹣，1]，∴y∈[，）．11．（2018•温州二模）如图，已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象与坐标轴交于点A，B，C（，），直线BC交f（x）的图象于另一点D，O是△ABD的重心．（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）求△ACD的外接圆的半径．【解答】解：（Ⅰ）∵O是△ABD的重心，C（﹣，0），∴A（1，0），故函数f（x）的最小正周期为3，即=3，解得ω=，……………………（3分）f（﹣）=sin[×（﹣）+φ]=sin（﹣+φ）=0，∴φ=；……………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+），∴B（0，）且C（﹣，0），∴∠BCO=60°；……………………（8分）∵C（﹣，0）是BD的中点，∴D（﹣1，﹣），……………………（10分）∴AD==；……………………（11分）∴2R===，∴外接圆半径R=．…………………………（14分）12．（2018春•吉林期中）已知定义在区间，上的函数y=f（x）的图象关于直线对称，当，时，函数＞，＞，＜＜，其图象如图所示．（1）求函数y=f（x）在，的表达式；（2）求方程解的集合；（3）求不等式的解集．【解答】解：（1）当，时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，＜＜），观察图象易得：A=1，ω=1，，则函数，由函数y=f（x）的图象关于直线对称得，，时，函数f（x）=﹣sinx，∴，，；（2）当，时，由，得或，解得x=0或；当，时，由得，或；∴方程的解集为，，，；（3）不等式，当x∈[﹣，]时，sin（x+）≥，∴≥x+≥，解得≥x≥﹣；当x∈[﹣π，﹣]时，﹣sinx≥，∴﹣≤x≤﹣；综上，不等式的解集为，，．13．（2018•奉贤区二模）某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n个月从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）=Acos（wn+θ）+k来刻画，其中正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1表示1月份，A和k是正整数，w＞0，θ∈（0，π）．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，求f（n）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意知，T=12，∴ω==；又，解得，由×2+θ=﹣π+2kπ，k∈Z；解得θ=﹣+2kπ，k∈Z；又θ∈（0，π），∴θ=；∴函数f（n）=200cos（n+）+300；（2）令f（n）=200cos（n+）+300≥400，化简得cos（n+）≥，即﹣+2kπ≤n+≤+2kπ，k∈Z，解得n∈[12k﹣6，12k﹣2]，k∈Z；又n∈[1，12]，∴n∈[6，10]，∴取n=6，7，8，9，10；即一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”．14．（2018•徐汇区一模）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象的一部分，M、N是它与x轴的两个交点，C、D分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MC的中点，（1）若点M的坐标为（﹣1，0），求点C、点N和点D的坐标（2）若点M的坐标为（﹣m，0）（m＞0），=，试确定函数f （x）的解析式．【解答】解：（1）设点C（a，b），由中点坐标公式得，解得a=1，b=2，∴点C（1，2），∴点N（3，0），点D（5，﹣2）；（2）同样由E（0，1）是线段MC的中点，得A=2，由M（﹣m，0），得C（m，2），D（5m，﹣2）；∴•=2m•6m+2×（﹣2）=12m2﹣4，又•=﹣4，∴12m2=，解得m=；由T==8m=2π，解得ω=1，∴φ=；∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+）．15．（2018•江苏模拟）某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成30°角（即北偏西60°）的直线l在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O北偏东60°方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留．基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船．（1）如果O和A相距6海里，求可疑船倍截获的P点的轨迹；（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P不能在公海上），则O、A之间的最大距离是多少海里？【解答】解：（1）由题意知点A（6cos3°，6sin30°），即A（3，3）；设走私船能被截获的点为P（x，y），则|OP|=2|AP|，即=2，整理得：（x﹣4）2+（y﹣4）2=16．∴走私船能被截获的点的轨迹是以（4，4）为圆心，以4为半径的圆；（2）由题意知，直线l的方程为y=﹣（x﹣40），即x+3y﹣40=0；设|OA|=t，则A（t，t）（t＞0），设走私船能被截获的点为P（x，y），则|OP|=2|AP|，∴=2，整理得：（x﹣t）2+（y﹣t）2=t2，∴走私船能被截获的点的轨迹是以C（t，t）为圆心，以t为半径的圆．若保证在领海内捕获走私船，则圆心C到直线l的距离d≥r；即≥t，整理得t2﹣30t+450≥0，解得t≤15（﹣1）或t≥15（+1）（不合题意，舍去），∴O，A之间的最远距离是15（﹣1）海里．16．（2017秋•宜昌期末）如图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象．（1）求函数解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）若方程f（x）=m在，上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题中的图象知，A=2，，即T=π，所以，根据五点作图法，令，，得到，，因为＜，所以，解析式为．…（5分）（2）令，k∈Z，解得，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为[k，k]，k∈Z．…（9分）（3）由在，上的图象如图知，当，上有两个不同的实根．…（12分）17．（2017春•新余期末）已知函数+cos2x+a（a ∈R，a为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调递减区间；（Ⅲ）若，时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．【解答】解：（I）∴f（x）的最小正周期，T=（II）因为y=sinx的减区间为：，k∈Z所以即（k∈Z）时，函数f （x）单调递减，故所求区间为，（III），时，，时f（x）取得最小值∴2sin．18．（2017春•新余期末）设=，，=（4sinx，cosx﹣sinx），f（x）=•．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间，是增函数，求ω的取值范围；（3）设集合A=，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若A⊆B，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=sin2•4sinx+（cosx+sinx）•（cosx﹣sinx）=4sinx•+cos2x=2sinx（1+sinx）+1﹣2sin2x=2sinx+1，∴f（x）=2sinx+1．（2）∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0．由2kπ﹣≤ωx≤2kπ+，得f（ωx）的增区间是，，k∈Z．∵f（ωx）在，上是增函数，∴， ⊆，．∴﹣≥﹣且≤，∴，．（3）由|f（x）﹣m|＜2，得﹣2＜f（x）﹣m＜2，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2．∵A⊆B，∴当≤x≤时，不等式f（x）﹣2＜m＜f（x）+2恒成立，∴f（x）max﹣2＜m＜f（x）min+2，∵f（x）max=f（）=3，f（x）min=f（）=2，∴m∈（1，4）．。
高中数学三角函数图像和性质
三角函数的图象和性质
知识点
一.正弦函数：
1.正弦函数的图象:
2.
定义域为
；值域为•
(1)
当且仅当
时，取得最大值1；
⑵
当且仅当
时，取得最小值1
3.单调性：
在闭区间上都是增函数，其值从1增大到1；
在闭区间上都是减函数，其值从1减小到1.
4.奇偶性：.
5.周期性：最小正周期是，周期是
6.对称性：对称轴是，对称中心是.
r
rK，
(1)将正切函数y tanx在区间(亍'上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函y tanx,(x R, x-k , k Z)的图象，我们把它叫做正切曲线.正切曲线是由被互相平行的直线x
(k Z)所隔开的无数多支曲线组成的.这些平行直线x=(k Z)叫做正切曲线各支的
⑵结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数
6.对称性：对称轴是，对称中心是.
题型一 正弦，余弦函数的图象和性质
【例1】求函数y=g+sinx的定义域
函数y=2sin(4x+^)的对称轴方程为
3
【过关练习】
1•求函数y 3sin x2的值域以及取得最值时x的值
2.判断函数y=xsin( x)的奇偶性
3.求函数y1sinx的单调区间
二.余弦函数：
1.余弦函数的Βιβλιοθήκη 象:2.定义域为值域为
(1)当且仅当
时，取得最大值1；
(2)当且仅当
时，取得最小值1.
3.单调性：
在闭区间
上都是增函数，其值从
1增加到1；
在闭区间
上都是减函数，其值从
三角函数的图像和性质
三角函数的图像和性质三角函数是高中数学中的重要内容，它在几何图形的变化和数学模型的建立中扮演着重要角色。
本文将探讨三角函数的图像和性质，通过分析正弦函数、余弦函数和正切函数的特点，帮助读者更好地理解和运用三角函数。
正弦函数是一种周期为2π的连续函数，可表示为：y = sin(x)。
它的图像是一个连续的波动曲线，波峰和波谷在x轴上均匀分布。
正弦函数的图像关于y轴对称，且满足以下性质：在区间[0,2π]上，正弦函数的值在[-1,1]之间变化；当x为0、π、2π等整数倍π时，正弦函数的值为0；当x为π/2、3π/2等奇数倍π时，正弦函数的值为1或-1。
图像的振幅表示波动幅度的大小，振幅越大，波动幅度越大；图像的周期反映波动的重复规律，周期越小，波动重复得越快。
余弦函数是一种周期为2π的连续函数，可表示为：y = cos(x)。
它的图像与正弦函数类似，也是一个连续的波动曲线，但相位不同。
余弦函数的图像关于y轴对称，且满足以下性质：在区间[0,2π]上，余弦函数的值在[-1,1]之间变化；当x为0、2π等整数倍π时，余弦函数的值为1；当x为π、3π等奇数倍π时，余弦函数的值为-1；当x为π/2、3π/2等奇数倍π时，余弦函数的值为0。
与正弦函数相比，余弦函数的图像整体上向右平移了π/2。
正切函数是一种周期为π的连续函数，可表示为：y = tan(x)。
它的图像是一系列无穷多的连续曲线，存在垂直于x轴的渐近线。
正切函数的图像关于原点对称，并且在每个周期内有无穷多个渐近线。
正切函数在某些点上没有定义，当x为π/2、3π/2等奇数倍π时，函数值不存在。
正切函数的图像在每个π的间隔中，会有一个垂直渐近线，图像在这些点上出现突变。
除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有诸如余切函数、正割函数和余割函数等与三角函数相关的函数。
它们在图像和性质上也有一些特点，但本文主要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。
综上所述，三角函数的图像和性质在数学中起着重要作用。
三角函数的图象和性质
在区间 [0,
2
]
上是单调函数,
必有
2
≤
,
即 0<≤2.
∴0<
4k+2 3
≤2(kZ).
解得 k=0 或 1.
∴=2
或
2 3
.
综上所述,
=
2
,
=2 或
2 3
.
6.如果函数 的值.
y=sin2x+acos2x
的图象关于直线
x=-
8
对称,
求a
解: y=sin2x+acos2x= a2+1 sin(2x+), 其中, tan=a.
3.周期性: ①y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是
Asin(x+) 和 f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是
2;
T=
2|②| .f(x)=
4.奇偶性与对称性: 正弦函数y=sinx(xR)是奇函数, 对称中心
是 (x(kR),是0)偶(k函Z数),,对对称称轴中是心直是线(kx=+k2,+02)((kkZZ)),;对余称弦轴函是数直y=线coxs=x k (kZ) (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂
性, 如果是周期函数, 求出它的一个周期.
解:
(1)由∴∵∴2kfsfs((iixnx+n))xx=的4--lcoc<定oogxss<21xx义(2s=>ik域n0,x2+为-s即ic5n4o{(xsx,x2|-k)s2≥ik4nlZ)(o≤x+g-21424<2,)x>=<0-2得k12:.+
5
4
最全三角函数的图像与性质知识点总结
三角函数的图像与性质一、 正弦函数、余弦函数的图像与性质函数 y ＝sin x y ＝cos x图 象定义域 R R 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最 值x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋π2，k ∈Z对称中心：(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π二、正切函数的图象与性质 定义域 {|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域 R单调性 递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性 对称中心：(,0)()2k k Z π∈（含原点）最小正周期 π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象x y sin =方法一：先平移后伸缩 方法二：先伸缩后平移 操作 向左平移φ个单位横坐标变为原来的1ω倍结果 )sin(ϕ+=x yx y ωsin =操作 横坐标变为原来的1ω倍向左平移ϕω个单位结果 )sin(ϕω+=x y操作 纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y注意：x 要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。
2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出； （2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2ππϕ±=k 时为偶函数； （3）最小正周期：ωπ2=T3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义(1) A 称为振幅；(2)2T πω=称为周期；(3)1f T=称为频率；(4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相(6)ω称为圆频率.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
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思考题1
用 五 点 法 作 出
π y ＝ 2sin(2x ＋ 3 ) 在
π 2π － ， 3 3 内的图像．
题型二
例2 像．
三角函数的图像变换
1 π (1)如何由 y＝sinx 的图像得 y＝2cos(－2x＋ 4 )的图
1 π (2)如何由 y＝3sin(2x＋ 4 )的图像得 y＝sinx 的图像．
π A．2，－3 π C．4，－6
π B．2，－6 π D．4，3
题型四
函数y=Asin(ωx+φ)+b模型的简单应用
例4 如图所示，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似 满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b. (1)求这段时间的最大温差； (2)写出这段曲线的函数解析式．
【解析】 (1)由图可得，这段时间的最大温差是 30－10 ＝20 ℃. (2)图中从 6 时至 14 时的图像是函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的半个周期的图像． 1 2π π ∴ · ＝14－6，解得 ω＝ . 2 ω 8 1 1 由图可得，A＝ (30－10)＝10，b＝ (30＋10)＝20. 2 2 π 这时 y＝10sin( x＋φ)＋20. 8
思考题2 如何由函数y＝sinx的图像得到下列函数 的图像．
2 (1)y＝sin(2x－3π)－2； π (2)y＝cos(2x－ 3 )； (3)y＝|2sinx|； π (4)y＝sin(|x|＋ 3 )．
题型三
例3
已知函数图像求解析式
已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)， x∈R(其中 A>0， ω>0)
【解析】 方法一 (最值点法)： T 根据题意，可知 A＝2 2， ＝6－2＝4. 4 2π π 所以 T＝16.于是 ω＝ T ＝ ， 8 π 将点 M(2,2 2)代入 y＝2 2sin( x＋φ)， 8 π 得 2 2＝2 2sin( · 2＋φ)． 8 π π π π 所以 sin( ＋φ)＝1.所以 ＋φ＝ ，即 φ＝ . 4 4 2 4
的图像在 y 轴右侧的第一个最高点 ( 函数取最大值的点 ) 为 M(2,2 2)，与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0)，求这 个函数的解析式．
【思路】 根据题意，可知点M，N是函数y＝Asin(ωx＋φ)， x∈R(其中A>0，ω>0)图像的五个关键点中的两个，可作出 其函数的大致图像，如图所示．
1 π 1 π 【解析】 (1)y＝2cos( x－ )＝2sin( x＋ )以下略． 2 4 2 4 1 π (2)转化为由 y＝sinx 的图像得 y＝ sin(2x＋ )， 再逆推就是： 3 3 1 π 把 y＝ sin(2x＋ )图像上各点的纵坐标都伸长到原来的 3 倍(横 3 3 π π 坐标不变)得 y＝sin(2x＋ )的图像， 再把 y＝sin(2x＋ )图像上所 3 3 π 有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得 y＝sin(x＋ ) 3 π π 的图像， 再把 y＝sin(x＋ )的图像上所有点的横坐标向右平移 ， 3 3 得 y＝sinx 的图像．
• 【答Байду номын сангаас】
(1)3π
(2)π
(3)π (4)π
思考题1 (1)f(x)＝|sinx－cosx|的最小正周期为 ________．
(2)若f(x)＝sinωx(ω>0)在[0,1]上至少存在50个最小值点，则ω 的取值范围是________．
题型二
例2
三角函数的奇偶性
判断下列函数的奇偶性：
3x 3π (1)f(x)＝sin( 4 ＋ 2 )； (2)f(x)＝xsin(5π－x)．
【答案】
T＝4π
4π 2π 单调递增区间为[－ 3 ＋4kπ， 3 ＋
2π 8π 4kπ](k∈Z)，单调递减区间为[ 3 ＋4kπ， 3 ＋4kπ](k∈Z)
探究 用“五点法”作正、余弦型函数图像的步骤是： (1)将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0， ω>0)的形式； (2)确定周期； (3)确定一个周期内函数图像的最高点和最低点； (4)选出一个周期内与x轴的三个交点； (5)列表； (6)描点．
(2)代入点的坐标．利用一些已知点(最高点、最低点或零点 )坐标代入解析式．再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符 号或对φ的范围有所需求，则可用诱导公式变换使其符合要 求．
思考题3
(2013· 四 川 理 ) 函 数 f(x) ＝ 2sin(ωx ＋
π π φ)(ω>0，－ 2 <φ<2 )的部分图像如图所示，则 ω，φ 的值分别 是( )
探究 关于 y＝Asin(ωx＋φ)函数图像由 y＝sinx 的图像的 变换，先将 y＝sinx 的图像向左(或右)平移|φ|个单位，再将其 1 上的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω倍， 再将其纵 坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍，但在(2)题中， 是先进行伸缩变换，再进行平移变换，此时平移不再是 |φ|个 φ 单位，而是|ω|个单位，原则是保证 x 的系数为 1，同时注意 变换的方法不能出错.
π π 从而所求函数的解析式是 y＝2 2sin( x＋ )，x∈R. 8 4 方法二 (零点法)： π 由方法一可知 T＝16，A＝2 2，ω＝ ， 8 根据题意知 N 是第二个零点，故 x3＝6. π 又由 ωx3＋φ＝π，得 φ＝ . 4
【答案】
π π y＝2 2sin( x＋ ) 8 4
探究 由 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的一段图像，求 其解析式时，A 比较容易由图得出，困难的是求待定系数 ω 和 φ，常用如下两种方法： (1)如果图像明确指出了周期 T 的大小和“零点”坐标， 那 2π 么由 ω＝ T 即可求出 ω；确定 φ 时，若能求出离原点最近的 右侧图像上升(或下降)的零点的横坐标 x0，则令 ωx0＋φ＝ 0(或 ωx0＋φ＝π)即可求出 φ.
(2)作图可知 T＝π. (3)作图可知 T＝π. (4)y＝sin2x＋ 3cos2x
1 ＝2 2sin2x＋ 3 cos2x 2
π π cos ＋cos2x· sin ＝2 sin2x· 3 3 π ＝2sin2x＋ 3 ，
∴T＝
2π ＝π. 2
(2)变换作图．
【说明】 前一种方法第一步相位变换是
向左(φ>0)或向右(φ<0) 平移 |φ| 个单位，而后一种方法第 ______________________ |φ| 左 ( φ >0) 或向右 ( φ <0) 二步相位变换是向 平移 ω 个单 位，要严格区分，对y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)同
π－2φ 2ω ， A π－φ ω ，0 3π－2φ ，－ A 2ω
___________，_________，_____________， ____________.
2π－φ ， 0 ω
样适用．
题型一
例1
五点法作y=Asin(ωx+φ)的图像
x x 用“五点法”画出函数 y＝ 3sin2＋cos2的图像， 并
指出这个函数的周期与单调区间．
【解析】
x x x π y＝ 3sin ＋cos ＝2sin( ＋ )， 2 2 2 6
x π 令 T＝ ＋ ，则列表如下： 2 6 T x y＝2sinT 0 π 2 π 3π 2 8π 3 －2 2π 11π 3 0
1．三角函数的图像 (1)y＝sinx，x∈[0,2π]的图像是
•
.
(2)y＝cosx，x∈[0,2π]的图像是
π π (3)y＝tanx，x∈(－2，2)的图像是
2．y＝Asin(ωx＋φ)的图像(A>0，ω≠0) (1)五点作图法．
φ ( － 作y＝Asin(ωx＋φ)的图像时，五点坐标为_________ ω，0) ，
1．五点法作函数图像及函数图像变换问题． (1)当明确了函数图像基本特征后，“描点法”是作函数图像 的快捷方式．运用“五点法”作正、余弦型函数图像时， 应取好五个特殊点，并注意曲线的凹凸方向． (2)在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”， 但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须 熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角” 变化多少．
间
[2kπ － π ， 2kπ](k∈Z) π 2 )(k∈Z)
性
减区
间
[2kπ ， 2kπ ＋ π](k∈Z)
函数
y＝sinx 对称轴
y＝cosx x＝kπ
y＝tanx
对称性
π x＝2＋kπ
无 kπ ( 2 ，0)
π 对称中心(kπ， 0) ( ＋kπ，0) 2
2π 2.y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期 T＝|ω|. π y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期 T＝|ω|. 3．(1)求三角函数的最小正周期，应先化简为只含一个 三角函数一次式的形式． (2)形如 y＝Asin(ωx＋φ)形式的函数单调性， 应利用复合 函数单调性研究． (3)注意各性质应从图像上去认识， 充分利用数形结合解 决问题．
将 x＝6，y＝10 代入上式，可取 φ＝
3π . 4
π 3π 综上，所求解析式为 y＝10sin( x＋ )＋20，x∈[6,14]． 8 4
【答案】
(1)20 ℃
π 3π (2)y＝10sin(8x＋ 4 )＋20，x∈[6,14]
思考题4 如图为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m， 圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与 地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与 地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB， 求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达 最高点时用的最少时间是多少？