09-10高数B(上)A卷答案

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09-10(2)高数(B)复习答案

09-10(2)高数(B)复习答案D()()212122(2)ln 1(ln )2ln(2)2(2)ln 2(2ln )22ln(2)2x y v v v x y v v v z z u z v v x y vu u u u u x y x y x u x v x u x y z z u z v v x y vu u u u u x y x y y u y v y u x y +-+-⎡⎤∂∂∂∂∂+=+=+=+=+++⎢⎥∂∂∂∂∂+⎣⎦⎡⎤∂∂∂∂∂+=+=+=+=+++⎢⎥∂∂∂∂∂+⎣⎦2．解法一：设,u cx azv cy bz =-=-则(,)0F u v = ()()x u y v z u v F F cF F cF F a F b '''''''===-+-y x u v z u v z u v u v u v u v u v F F F c cF z z x F F a F b y F F a F baF c bF cF a F b z z a b c cx y F a F b F a F b''''∂∂∴=-==-=''''''∂+∂+''''++∂∂∴+===''''∂∂++解法二：设u cx azv cy bz=-=-，则(,)0F u v =两边同时对x 求偏导()()00u u v u u v u v cF z z z z zF c aF b F c aF bF x x x x x aF bF '∂∂∂∂∂'''''-+-=⇒--=⇒=''∂∂∂∂∂+两边同时对y 求偏导()()00()u v u v v u v v v u v u v u v z z z z zF a F b c F a F b cF aF bF cF y y y y y cF zy aF bF acF bcF z z a b cx y aF bF ∂∂∂∂∂''''''''-+-+=⇒--+=⇒+=∂∂∂∂∂'∂∴=''∂+''+∂∂∴+==''∂∂+3、2,22z z z y y y z x z xy z z z z y y ϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫'- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭=-=-∂∂⎛⎫⎛⎫''--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4、解：0(1)(1)x u v u z u v u v f f f f z x f f f f f ''''+∂=-=-=∂'''''-+-+0(1)(1)y u v v z u v u v f f f f zy f f f f f ''''+∂=-=-=∂'''''-+-+，1u v u v u v f f z zx y f f f f ''∂∂∴+=+=∂∂''''++5、解：01:1x D x y ≤≤⎧⎪≤≤原式＝2222222111112000000122()1y y y y y y dy dx e x dy e ydy e d y e e x-----===--=-=-⎰⎰⎰⎰⎰6、4254RR ππ+7、解：211:101x x y z y -≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤-⎩2221231111111118(1)()2335yxx x y y ydv dx ydy dz dx y y dy dx ----Ω==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰8、4π9、22sin 000022222cos()2cos()3sin cos 22cos()3,2sin()3cos()2,2sin()2cos()2AO OA x D Dx y dx y x y x dyQ P dxdy dxdy dx dy xdx x x y Qy x y x x y x PP x y y y x y y x y y πππ+⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦⎛⎫∂∂=-====-= ⎪∂∂⎝⎭∂=++=-++∂∂=++=-++∂⎡∴++⎣⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中：Q 原式=2-22cos()32cos 2OA dx y x y x dy xdx π⎤⎡⎤+++⎦⎣⎦=-=⎰⎰10、解：22222131111122211161241()()318833105x y xx x y V dv dx dy dz dx x y dy x y dxxx x dx +---Ω-===+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 11、解：(),(),P yf x Q xf x ==-(),()()P Qf x xf x f x y x∂∂'==--∂∂2()()()()2()()P Q C f x xf x f x xf x f x f x y x x∂∂''⇒=⇒=--⇒-=⇒=∂∂(,)222(1,0)100()()0(0)x y xy y C C C Cyf x ydx xdy dx y xdy dy x x x x-=+-=-=-⎰⎰⎰⎰12、解：将L 分成为,OA OB 两段，:,:2OA y x OB y x ==-，则有222222222222()()()()()()LOAOBxy dx x y dy xy dx x y dy xy dx x y dy++-=++-+++-⎰⎰⎰122222222201122201[()()][((2)((2)]422(2)3x x x x dx x x x x dx x dx x dx =++-++----=+-=⎰⎰⎰⎰13、415π14、令2212:2x y z ⎧+≤∑⎨=⎩取上侧，则1122212222222224(1)(81)4(1)(81)(881)2(81)2(81)222x x y x y I ydzdx y zdxdy y dzdx y zdxdy y y dV y dxdy d dz y dxdydxdy ρθρρππ∑+∑∑Ω∑+≤+≤=-++--++=-++-+=-+=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15、解：补充平面()221:01z xy ∑=+≤，方向取下侧，则∑与1∑围成闭区域的内侧，于是()()()()()()()()112222222222222222101212223112222121401111cos 1142144x y z x y x y x y x y I x y dydz y z dzdx z x dxdy xy dv x dxdyxy dxdy dz d r drxy x y dxdy d r rdr ππθθπππθ∑∑∑+-≤≤+≤+-+≤+≤⎛⎫=+-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭=-+++=-+++=+++-+=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5.312ππ=-16、解：()()0222212ln 2t t t t t t tLydx xdy xy dz e e e e e e dt ---⎡⎤-++=+++⎣⎦⎰⎰()()()()()()()22022012212222222ln 22ln 2ln 2ln 21212ln 2 2.ln 22ln 22tt t te e e e dt t e e e e ----⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥ ⎪=++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎛⎫--=+- ⎪+-⎝⎭⎰四、应用题解：曲面在点0(,,)x y z 处法向量为000222222,,xy z n ab c ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭切平面方程为000000222222()()()0xy z x x y y z z a b c -+-+-=即0002220x y z x y z a b c ++=该平面在三个坐标轴上截距分别为022x a ，022y b ，022z c故所围的四面体的体积为222222000000111326a b c a b c V x y z x y z ==按题意需求函数(,,,0)xyz x y z >在条件2222221x y z a b c ++=约束下的极值。

2009-2010学年第二学期高等数学B试卷(E卷答案)

2008 — 2009学年第二学期《高等数学B 》期末试题（A ）答案及评分标准一、单选题(每题3分，共15分)CCDDD二、填空(每题3分，共18分)1．3222．''2'20y y y -+= 3．1 4.ln 2 5．23cos 4()d f d πϕπϕρρρ⎰⎰6． (4,6)三、解答题(每题8分，共40分)1.求解微分方程3"2'3cos xy y y ex --=+的通解解：先求齐次化方程 03'2"=--y y y则特征方程为 0322=--r r ---- ------------------------ (2分) 得特征根 1,321-==r r ，于是齐次化微分方程的通解为x x e C e C y -+=231------------------------（4分）分别求得非齐次项 xe 3属x m e x P λ)(型）（3,0==λm ，由于3=λ是特征方程0322=--r r 的单根，所以设特解为3x*1bxe =y代人解得 41=b ，即特解 3x41*1xe =y -----------------（6分）类似对于非齐次项x cos 属)sin B cos (x x A e x ωωλ+型)0,1,1,0(====B A ωλ，由于0=λ不是特征方程0322=--r r 的特征根，所以可设特解为x c x a y sin cos *2+=，代入解得10151,-=-=c a ，即特解为xx y sin cos 10151*2--= 故原方程的通解为xx e C e C y x x sin cos xe 10151x 341231--++=-------------(8分) 2. 求函数(sin ,cos ,)x yz f x y e +=的二阶偏导数2zx y∂∂∂，其中函数f 具有二阶连续的偏导数解：''13cos x y zxf e f x +∂=+∂ -------------------------------------------------------------（4分） 2"""22"'121332333cos sin cos sin x y x y x y x y z x yf xe f e yf e f e f x y++++∂=-+-++∂∂ --------------------------------------（8分） 3. 计算二重积分22(1())Dy xf x y dxdy ++⎰⎰,其中D 是由曲线2y x =与1y =所围成的闭区域.解：积分区域 D 如图令22(,)()g x y xf x y =+，因为D 是关于y 轴对称且(,)(,)g x y g x y -=-，所以22()0Dxf x y dxdy +=⎰⎰-------------------------（3分）从而2112214(1())5xDDy xf x y dxdy ydxdy dx ydy -++===⎰⎰⎰⎰⎰⎰-------------（8分） 4. 求原点到曲面22()1x y z --=的最短距离.解：设曲面22()1x y z --=上任一点为(,,)x y z ，则根据两点距离公式 222l x y z =++，要求 l 最小，等价要求2l 最小.--------------(2分)记 2222S l x y z ==++，根据拉格郎日乘数法令22222(,,,)(()1)G x y z x y z x y z λλ=+++------------------(3分)()()()()2222()0122()022203()104Gx x y x G y x y yG z z z G x y z λλλλ∂⎧=+-=-------⎪∂⎪∂⎪=--=-------⎪∂⎪⎨∂⎪=-=--------⎪∂⎪∂⎪=---=-------⎪∂⎩-------------------------（4分）由(3)可得 1λ=或0z =,若1λ=,代入(1),(2)可得4242x y y x =⎧⎨=⎩,易得00x y =⎧⎨=⎩结合(4)可知矛盾,故舍去.------------(6分) 从而取0z =,以及由(1),(2)可得1xy=-,代入(4)易得 12120x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,或者12120x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,结合实际情况可知这两点到原点距离最小且相等, 故2min 2l =---------------------------------------------(8分)5. 判断级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛，条件收敛，还是发散.解：由于1111sin()sin cos cos sin (1)sin ln ln ln ln n n n n n n n nπππ+=+=-----（2分）当3n ≥时,易得1sin 0ln n>且单调递减趋于零,根据莱布尼茨判别法可得 2211sin (1)sin ln ln nn n n n n π∞∞=-⎛⎫+=- ⎪⎝⎭∑∑收敛.---------------(4分)又因为11ln ln 22sin()sin nn n n n π∞∞==+=∑∑ -------------------------（6分）根据比较判别法可得(对任意0δ>)1ln 1sin limlim ln nn n n n n δδ→∞→∞==+∞,由于21(01)n n δδ∞=<<∑发散,故21sinln n n ∞-∑也发散. 综上所述, 可知级数21sin ln n n n π∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑是条件收敛.---------(8分)四（共10分）判断函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222263y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续性，并求),(),,(y x f y x f y x .解：分别取路径 3,0x y x ==,可得,0lim 26300=+=→y x y x x y 21lim lim 66330263033=+=+=→=→x x x x y x y x xy x xy x , 可得函数),(y x f 在)0,0(不连续.-------------------------------------------(4分)2382262222330(,)()00x x y x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩93222622220(,)()00y x x y x y f x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨⎪+=⎩-------------（10分）五（10分）求幂级数41141n n x n ∞+=+∑的收敛区间，并求在收敛区间内的和函数()s x . 解：收敛区间为(1,1)------------------------------------------------------------------------（3分）令：4101()41n n s x x n ∞+==+∑, 441()1n n s x x x ∞='==-∑---------------------（7分） 111()ln arctan (1,1)412x s x x x x +=+∈-------------------------------（10分）六（7分）设()f u 连续，试证：111()()x y f x y dxdy f u du -+≤+=⎰⎰⎰证11111011()()()xxxx x y f x y dxdy dx f x y dy dx f x y dy +-----+≤+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰——（3分）令x y u +=，012111121()()xx dx f u du dx f u du +--+⎰⎰⎰⎰=11121112()()u u f u du dx f u du +---=⎰⎰⎰-----------------（7分）。

09-10第一学期高数B1试卷A参考答案

浙江科技学院2009 -20010学年第一学期考试试卷A 卷考试科目高等数学B1 考试方式闭完成时限 2小时拟题人审核人批准人年月日院年级专业参考答案及评分标准一、选择题。

在题后括号内，填上正确答案代号（本大题共6小题，每小题3分，共18分）。

1、D;2、C;3、B;4、D;5、C;6、A二、填空题。

在题中“ ”处填上答案（本大题共7小题，每小题3分，共21分）。

1、x 2sec ; 2、xe C arctan +; 3、2; 4、0; 5、π; 6、y x cx ln =； 7、x x y C e C e 312-=+三、试解下列各题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)。

1、解：函数的定义域为(,)-∞+∞ ……………………………………1分令x y x2201'==+，得x 0= ……………………………………2分因为当x 0<时y 0'<，当x 0>时y 0'> ………………………3分所以，函数在(,0]-∞上单调减少，在[0,)+∞上单调增加；………………4分令x y x 22(1)0(1)-''==+，得x 1=±，此时，y ln2= ……………………5分因为当x 1<-或x 1>时y 0''<，当x 11-<<时y 0''>所以，点(1,ln2)-和(1,ln2)是曲线的两个拐点， ……………………6分曲线在(,1]-∞-和[1,)+∞上为凸弧，在[1,1]-上为凹弧。

………………7分2t =，则有 ……………………………………2分t x te 2dt =⎰⎰ ……………………………………3分t ttt e te e t 2d 2(d )==-⎰⎰……………………………………5分t t e C 2(1)=-+……………………………………6分C 1)=-+ ……………………………………7分3、解：原式()x x t t x 21t212d 0lim0→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰ ……………………………………2分 ()x x x x x21212(2)lim2→+⋅=- ……………………………………3分()x x x212lim 12→=-+ ……………………………………4分e 2=- ……………………………………7分 4、解：令x t t tan ,22ππ=-<<，则dx t t 2sec d = …………………………2分x t x t1,,,43ππ==== …………………………………3分原式t t t t t t t 2332244sec d cos d tan sec sin ππππ==⋅⎰⎰ …………………………………4分 t t t 323441(sin )dsin sin ππππ-==-⎰ ……………………………………6分= ……………………………………7分解二：令x t 1,=则dx t t21d =- ……………………………………2分x t x t1,1,3====……………………………………3分原式21112==……………………………………5分t121⎡=+=⎣……………………………………7分5、解：原式=xx x111()d1+∞-+⎰……………………………………2分x x1[ln ln(1)]+∞=-+……………………………………4分xx1ln1+∞=+……………………………………5分ln2=……………………………………7分解二：令xt1,=则dx tt21d=-……………………………………2分则x t x t1,1,,0==→+∞→……………………………………3分原式=tt11d1+⎰……………………………………5分t1ln(1)ln2=+=……………………………………7分解三：令x t2tan,=则dx t t t22tan sec d=…………………………2分则x t x t1,,,42ππ==→+∞→………………………………3分原式=tt2412dtanππ⎰……………………………………5分t242ln(sin)ln2ππ==……………………………………7分6、解：因为P x Q x x 2(),()==……………………………………2分所以dx dx xxy e dx C 22()-⎰⎰=+⎰……………………………………4分C x 21()=+ arc x C x 21(sin )=+ ……………………………………6分故方程的通解为y arc x C x21(sin )=+ ……………………………………7分解二：方程两边同乘以x 2，得x y y 22'+=……………………………………2分即x y d x x C2a r c s i n ==+ ……………………………………4分故有 y a r c x C x 21(s i n )=+ ……………………………………6分故方程的解为y arc x C x21(sin )=+ ……………………………………7分四、应用题（本大题共2小题，第1小题6分，第2小题7分，共13分）1、解：选y 为积分变量，y 01≤≤，曲线为yx e = …………………………2分y A e dy 1=⎰ ……………………………………4分e 1=- ……………………………………6分解二：选x 为积分变量，曲线ln y x =与直线y 1=的交点为e (,1) ……………2分eA x dx 11(1ln )=+-⎰ ……………………………………4分ex x x 11[2l n ]=+- ……………………………………5分 e 1=- ……………………………………6分 2解：曲线ln y x =与直线y 1=的交点为e (,1) ………………………………1分eV e xdx 21ln ππ=-⎰ ……………………………………3分eee x x x d x211l n 2l n πππ=-+⎰……………………………………5分 ee e x x x 12[l n ]πππ=-+- ……………………………………6分2π= ……………………………………7分解二：（柱壳法）选y 为积分变量，y 01≤≤，曲线为yx e = …………………2分yV y e d y12π=⎰……………………………………4分 y y ye e 102[]π=- ……………………………………6分 2π= …………………………………………7分五、证明题(本题6分)(1、2两题可任选一题，如果两题全做,则按做第1题给分) 1、证明：令xxabF x f t dt dt f t 1()()()=+⎰⎰……………………………………1分因为f x ()在[,]a b 上连续，由f x a b ()0,><，得ab ba F a dt Fb f t dt f t 1()0,()()0()=<=>⎰⎰ …………………………2分由零点定理，a b (,)ξ∃∈，使得F ()0ξ= …………………………………3分即方程xxabf t dt dt f t 1()0()+=⎰⎰在(,)a b 内有实根. ……………………4分又因为'F x f x f x 1()()0()=+> ……………………………………5分所以函数F x ()在a b [,]上单调增加，故方程xxabf t dt dt f t 1()0()+=⎰⎰在(,)a b 内仅有一个实根. ……………………………………6分 2、证明一：因为xxF x x f t dt tf t dt 0()()()---=--⎰⎰…………………………2分令t u ,=-则tu t x u x 0,0,,===-= ，则有xuF x x f u du u f u du 00()()()()()()-=-------⎰⎰xx xf u du uf u du 00()()=---⎰⎰ …………………………4分若f x ()是偶函数，即f x f x ()()-=，则有 xxF x xf u du uf u du F x 0()()()()-=-=⎰⎰故F x ()也是偶函数. …………………………6分证明二：因为xxF x x f t dt tf t dt 0()()()---=--⎰⎰x x xf t dt tf t dt 0()()--=+⎰⎰ ①………………2分若f x ()是偶函数，则xf x ()为奇函数，即有xxf t d t f t d t 0()()-=⎰⎰，xxtf t dt tf t dt 0()()-=-⎰⎰ ②………………4分把②代入①得xxF x x f t dt tf t dt F x 0()()()()-=-=⎰⎰故F x ()也是偶函数. …………………………6分证明三：因为xxF x x f t dt tf t dt 0()()()---=--⎰⎰① ……………2分且若f x ()是偶函数，则xf t dt 0()⎰为奇函数，x tf t dt 0()⎰为偶函数，即xxf t dt f t dt 00()()-=-⎰⎰，x xtf t dt tf t dt 0()()-=⎰⎰ ②……………4分把②代入①得 xxF x xf t dt tf t dt F x 00()()()()-=-=⎰⎰故F x ()也是偶函数. …………………………6分。

09级高等数学A、B(上)A卷参考答案

高等数学A 、B （上）试题A 参考答案与评分标准（20XX0122）1.解:原式言而亡U \im 土炉 io x 1。

4r2.解也=2（q 「ctm ）£, ... dx [ln （l+ r ）y 四、计算题（每题7分，共14分） 1. ---------------------------------------------------------------------------------------------- 解 —ln （x 2 + ） = arctan —, 两边对工求导:J,2：+2）;=——1 ----------------------------------- 2 .......... 4分（2+2）2 V 2疽+寸]+（当⑵yy'= ~ , ........ 6 分 dy = -~-dx ....... 7分y + x y + x2. 解原式=jx(sec 2 x- l)</r + j 【杠。

，4乂业=J xd tan x — ^xdx + — ^dx + — ^cos^xdxI? X \=xtan x + In |cosx|-:——i - —sin4x+ C (第一个积分 4 分，第二个积分 3 分)2 2 8五、计算题(每题7分，共14分) 1. 解令t =』2x+l,那么x = L(户—1), 原式m 房招仲-仁0【5-1萨。

2. 解 ds = + y ,2dt = 4a \sin-i ……5分（2+3）六、计算题（每题8分，共16分）通解 y = c x e^x + c 2e~2x + (- x 2 - x)e 3xo ... 8分七、(8 分)证明 J 。

J1 -cos 2xdx = sin xdx = 2^2^/(%) = lnx- —+ f Jl -cos 2xdx = In 十-土 + 2\^, x G (0, + oo),贝！J f\x) = --- = -~- , .4分e J 0 e x e xe 单项选择题（每题3分, 1:D 2:B 3:A 二、 5：三共18分）4:C 填空（每题2分，共16分）1, 2：疽， x-2y = 1, 6： 9/2 , 计算题（每题7分，共14分） 5: A 6:D3： 2, 7： lvS2, 4： f\x In x)(ln x+1 )dx,+)『=心。

复旦大学2009～2010学年《高等数学A上》第一学期期末考试试卷及答案

复旦大学2009～2010学年第一学期期末考试试卷A 卷一. （本题共20分，每小题5分）1.求x x y 2sin 2=的二阶导数 ;2.计算23422x dx x x +++⎰ ;3.计算⎰+∞+0211dx e x ;4.求x x )dt t (x x sin 1ln lim 22tan 020⎰+→.二. （本题共20分，每小题5分）1.求矩阵的秩; ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=51041482212121221A2.设矩阵B ,A 满足2B A AB +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=312021321A ，求矩阵B ;3.设A 是一个43⨯的矩阵，2)A (rank =，方程组b A =x 有三个特解 T )3(T )2(T )1(1)2,2,(3,3)1,1,(2,2)1,2,(1,-=-=-=x ,x ,x ,试求方程组b A =x 的通解。

4.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=f 00e d 0c b a A 为正交阵，求f ,e ,d ,c ,b ,a 。

三. （本题10分）求⎰-=πxdx t x t f 0sin )(在]2,0[π上的最大值和最小值。

四. （本题10分）设有方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=++-=-++=+-+125233212224321432143214321x x x x b x x x x x ax x x x x x x ，问b a ,为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？有无穷多解时请求出其通解。

五. （本题10分）设A 是一个实三阶方阵，其特征值为2,1,1-，证明: A 可逆，且 )A 2A I (21A 21-+=-六. （本题10分）设有一个质量为m 的均匀细棒放在xoy 平面的第一象限，细棒两端的坐标分别是2),0(),0,2(，有一个单位质量的质点位于坐标原点，求细棒对这质点的引力。

七. （本题12分）设线性空间⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=R a,b,c c b b a V （1）记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111,0111,0001321βββ，说明321,,βββ是V 的一组基；（2）记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110,1000,0001321ααα，求出基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵；（3）定义线性变换A 为：A 211)(ββα+=，A 322)(ββα+=，A 33)(βα=，求出A 在基321,,βββ下的表示矩阵。

西安工业大学高数09-10第一学期（1）期末考题及答案分析

西安⼯业⼤学⾼数09-10第⼀学期（1）期末考题及答案分析⾼等数学（A ）期末考试试题⼀、单项选择题（每⼩题3分，共15分）1.当0→x 时，下列变量极限不存在的是（）. （A ）x arctan ；（B ）xx 1sin；（C ）xx +-11ln；（D ）x e 1.2.0)(,0)(00<''='x f x f 是函数)(x f y =在0x x =处取得极⼤值的⼀个（）（A ）充分必要条件；（B ）充分条件，⾮必要条件；（C ）必要条件，⾮充分条件；（D ）既⾮充分条件，⼜⾮必要条件.3.下列等式成⽴的是（）（A ）)()(x f dx x f d =?；（B ）dx x f dx x f d )()(=?；（C ）)()(x f dx x f ='? （D ）dx x f dx x f ?=')()(. 4.设)(x f 在],[b a 上⾮负，在),(b a 内,0)(,0)(>''>'x f x f 记[])()(21b f a f ab I +-=，dxx f I b a=)(2，)()(3a f a b I -=，则（）（A ）321I I I <<；（B ）132I I I <<；（C ）123I I I <<；（D ）213I I I <<. 5.关于函数dte t xf t)1()(的极值，正确的是（）（A ）极⼩值为f -=1)1(；（B ）极⼩值为 e f -=2)1(；（C ）极⼤值为 e f -=1)1(；（D ）极⼤值为 e f -=2)1(. ⼆、填空题（每⼩题3分，共15分） 1.设0→x 时，)cos(1ax -与12 -xe是等价⽆穷⼩，则=a .2.设函数)(x f 可导，)(cos 2x f y =，则=dy .3.设曲线的⽅程是)1ln(2x y +=，则曲线的拐点是 .4.不定积分=+?dx x x 1 .5.设曲线)(x f y =上任⼀点),(y x M 处的切线，恒垂直于此点与原点的连线，则y满⾜的微分⽅程是 .三、完成下列各题（每⼩题6分，共36分） 1. 求极限??--→x e xx 111lim 0. 2. 设 ,212=-=tt ey e x 求 22dx yd . 3.设函数)(x y 是由1)1(022=+-?dt t y x y所确定，求dy .4.设xx sin 是)(x f 的⼀个原函数，求dx x f x ?')(.5设?∞+-∞→=+121lim dx xex xaxx ，求a .6.求⼀阶微分⽅程yedxdy x -=-+1)1(的通解.四、（7分）设())1(1ln )(21>++=?x xx dt tt f x ，求dxx f ?)(.五、（7分）已知)(x f 在点6=x 的邻域内为可导函数,且,0)(lim 6=→x f x ,2009)(lim 6='→x f x 求极限 .)6()(lim3666x dtdu u f t x t x -→六、（8分）在抛物线)30(2≤≤=x x y 上求⼀点P ,过P 点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及直线3,0==x y 所围成的图形⾯积最⼩.七、（7分）设 ,0<+≥+=x ex x x f x 求?-2)1(dx x f .⼋、（5分）已知函数)(x f 在),2[∞+上可导，0)(>x f ，且满⾜不等式)(])([x f x xf -≤'.试证在),2[∞+上2)(xA x f ≤，其中A 为与x ⽆关的常数.⾼等数学（A ）期末考试试题参考答案及评分标准（2010年1⽉5⽇）⼀、单项选择题（每⼩题3分，共15分） 1.D 2.B 3.B 4.C 5.B ⼆、填空题（每⼩题3分，共15分）.12±2. xdx sin )x (cosf 22'- 3 . )ln ,(21±4. C )x ()x (++-+2325132152 5.yx dxdy -=三、完成下列各题（每⼩题6分，共36分）.1. 解：)e (x )e (x lim x e lim xxx x x 1111100---=??? ?--→→……………………………………………..1分 21x x +-=→………………………………………………..2分xel i mxx 210-=→………………………………………………….....2分2120-=-=→xx limx ………………………………………………….1分2. 解：ttt eee dxdy 1222==………………………………………………………………………3分tttteeee dxy d 322222121-…………………………………...…………………….3分3. 解：两端同时对x 求导得…………………………………………………………………..1分 0122 2=+-+dxdy )y (dxdy xxy ………………………………………………….3分2212x y xy dxdy -+=……………………………………………………………..….1分即dx xy xydy 2212-+=………………………………………..………………………1分4. 解：由题意知2xxsin x cos x )xx sin ()x (f -='=……………………………………2分则)x (df x dx )x (f x ??=' ………………………………………………………. …….…1分 dx )x (f )x (xf ?-=…………………………………………………………….…… 2分C xx sin x cos C xx sin x………………………….1分5解：因为 aaxx axx ex lim x lim 2222121=+=??+∞→∞→………………………………2分[][]+∞-+∞→+∞-+∞-+∞-+∞--+-=+-=-=?111xxxee)ex (lim dx exexdedx xeeeelim e)e (lim xx xx 2111=+-+-=-+∞→+∞→……………..…………………..3分所以 )(l n a eea122122-= =………………………………...………....1分6.解：由题意得y+11,也即dx x dy eeyy 111+=+……………………….2分两端同时积分得C ln )x ln()e ln(dx x dy eeyyy++=+?+=+?11111………3分所以原微分⽅程的通解为 )x (C ey11+=+ 或 []11-+=)x (C ln y ………….....1分四、（7分）解：对()211xx ln dt t)t (f x ++=?两端同时求导得……………………..1分222x (xx x)x (f +=+=++++ =……...2分C x)x(d xdx xx dx )x (f ++=++= +=∴2222111121 1…………...3分五、（7分）解：2 6603666636)x (du)u (f x lim)x x t x --=-→→…………………………2分)x ()x (xf du )u (f limxx --=?→6666………………………………………………2分660-'---=→)x (f x )x (f )x (f limx …………………………………………2分2009= …………………………………………………………………...…1分六、（8分）在抛物线)x (x y 302≤≤=上求⼀点P ,过P 点作抛物线的切线，使此切线与抛物线及直线30==x ,y 所围成的图形⾯积最⼩.解：设切点P 的坐标为)x ()y ,x (30000≤≤，则切线斜率为002x )x (y ='，切线⽅程为 )x x (x y y 0002-=-，即2002x x x y -=，…………………………….1分令0=y ，得切线与x 轴交点的横坐标为20x ，令3=x ，得切线与直线3=x 交点的纵坐标为2006x x -，要使此切线与抛物线及直线30==x ,y 所围成的图形⾯积最⼩，既是切线与直线30==x ,y 所围成的图形⾯积最⼤…………………………………………….2分设该⾯积为S ,则)x x )(x ()x (S 2000062321--=………………..……………….2分[]0000020026641262321641x )x ()x ()x )(x ()x x ()x (S ---=--=')x )(x (002643--=………………………..……………………………..2分令00=')x (S ，得惟⼀驻点20=x ，依题意，该驻点就是使)x (S 0取得最⼤值的点，所以所求的点P 的坐标为),()y ,x (4200=…………………………………………...…….1分七、（7分）解：?---======-11111201dx )x (f dt )t (f dx )x (f x t ……………………..2分[]1001100111111111)x ln(de)ee(dx xdx exxxx+++-=+++=--….3分[][][])e (ln )x ln()eln(x x12111001+=+++-=-………….........………2分⼋、（5分）已知函数)x (f 在),[∞+2上可导，0>)x (f ，且满⾜不等式)x (f ])x (xf [-≤'.试证在),[∞+2上2xA )x (f ≤，其中A 为与x ⽆关的常数.证：由于)x (f 在),[∞+2上可导，0>)x (f ，则x)x (f )x (f )x (f )x (f x )x (f )x (f ])x (xf [2-≤'?-≤'+?-≤'…..2分于是当2>x 时有dt t dt )t (f )t (f x x ?-≤'222……………………………….1分即[][]222222442222x)(f )x (f x(f )x (f x ln )(f )x (f ln t ln )t (f ln x x ≤≤≤?-≤-令)(f A 24=，代⼊即证………………………………………………………………2分。

09-10-2高数AB期末试卷和答案东南大学大一上学期高等数学试卷

x
f (t)dt ，
0
证明：对 x [0,1],有f (x) 1 x 。
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法一:令F (x) x f (t)dt, F (x) f (x) F 2 (x) 1 2F 0
dF 1 2F x
1
x
dF dx
dx
0 1 2F
0
1 2F 1 2F (0) x 1 2F 1 x
f 2 (x) 1 2F (1 x)2 结论成立.
法二:
令F (x)
x
1 2 f (t)dt 1 x,
0
x
f (x) 则F (x)
1 20 f (t)dt 0, F (x)
x
1 20 f (t)dt
x
F (x) F (0) 0, 1 20 f (t)dt 1 x
x
f (x) 1 20 f (t)dt 1 x.
七（19）．（本题满分 6 分）设 f C[l,l] ， f (x) 在 x 0 处可导，且 f (0) 0 ，
（1）求证： x (0,l), (0,1) ，使得
x f (t)dt
2
。
二.按要求计算下列各题（本题共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）
10．
ln sin x sin2 x dx
cot x ln sin x cot x x C （分部法）
11.
dx
2 (x 7) x 2
（根式代换） 3
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09-10高等数学期末试题参考答案(A)

东海科技学院 2009 - 2010学年第二学期《高等数学》课程期末考试卷A 参考答案一、选择题（每小题3分，共计15分）1．二阶齐次线性微分方程06=-'-''y y y 的通解为（ B ） A ．x x e C e C y 3221--+= B ．x x e C e C y 3221+=- C ．x x e C e C y 3221-+= D ．x x e C e C y 3221+=2．过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ A ） A ．04573=-+-z y x B ．01573=-+-z y x C ．0423=-+-z y x D ．0123=-+-z y x 3．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（ A ）A ．②⇒③⇒①B ．③⇒②⇒①C ．③⇒④⇒①D ．③⇒①⇒④ 4. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ C ）A B C D5．下列级数中，收敛的是（ D ） A ．∑∞=11i nB ．∑∞=1321i n C ．∑∞=11i n D ．∑∞=-11)1(i n n二、填空题：（每小题3分，共计15分）1. 一阶微分方程02=-'xy y 的通解为=y ．（答案：2x Ce y =）学院专业班级姓名学2.=+→xy yx y x 2lim)2,1(),( ．（答案：2）3. 222y x z +=表示空间曲面．（答案：抛物面）4．⎰⎰=1010xydy dx ．（答案：41）5. 若L 表示抛物线2x y =上点)0,0(与点)1,1(的一段弧，则第一类曲线积分⎰Lds y = ．（答案：)155(121-）三、计算题：（每小题6分，共计48分） 1．设2221y x z +=，求全微分dz . 解：x xz=∂∂ ……………………………………………………………….2分 y yz2=∂∂……………………………………………………………….2分 y d y x d x dz 2+=………………………………………………………2分 2．设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ⋅和b a ⨯．解：51)2(10)3(1-=⨯-+⨯+-⨯=⋅b a …………………………….3分}1,5,2{52113201=++=--=⨯k j i k j ib a ………………………..3分3．求过点()132,，-且平行于直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的直线方程.解：直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的方向向量为k j i kj i 135251132++=-- …………………………………….4分所求直线方程为1315312-=-=+z y x ……………………………….2分 4．设z xy x z y x f +-=23),,(，求),,(z y x f 在)0,1,1(0P 的梯度f ∇及f ∇.解：k j i k f j f i f f z y x +-=++=∇22 ………………………………….4分31)2(222=+-+=∇f …………………………………………….2分5．计算二重积分σd xy ⎰⎰D，其中D 是由直线1=y 、2=x 和x y =所围闭区域.解：把D 看成X 型区域{}x y x y x ≤≤≤≤1,21),(………..……………2分89)(21213211D=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x xydy dx d xy xσ………………………….4分 6．计算三重积分dV x e y )2sin (2⎰⎰⎰Ω+，其中Ω：10,10,11≤≤≤≤≤≤-z y x .解：注意到积分区域Ω关于YOZ 面对称，x e y sin 2为x 的奇函数…….2分4112212sin )2sin (22=⨯⨯⨯=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdV dV x e dV x ey y …...4分7．L 为封闭正向圆周曲线122=+y x ，求⎰-Lydx x dy xy 22.解：y x P 2-=，2xy Q =………………………………………………….2分由格林公式⎰-Lydx x dy xy 22σσd y x d y Px Q DD⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂=)()(22 ⎰⎰=⋅=ππρρρθ20122d d …..………………4分8．判断级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+的敛散性. 解：注意到πn n n n cos 2)12(12∑∞=+≤∑∞=+122)12(n nn …………………………….2分而级数∑∞=+122)12(n nn 利用比值审敛法，得 121lim1<=+∞→nn n u u ………………………....2分则由比较审敛法，级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+收敛.…………………....2分四、解答题（每小题8分，共计16分）1. 求二阶非齐次线性微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解：注意到右端项为x m e x P x f λ)()(=型（其中2,1)(-==λx P m ）…….2分且原方程对应的齐次方程的特征方程为0442=++r r ,特征根2-=λ为二重根.......................................................................................2分设原方程的一个特解为x e ax y 22*-=代入原方程解出21=a ………………....2分则原方程通解为()xx e x e x C C y 2222121--++=....................................................2分 2．设)(x f 的周期为π2，且在],[ππ-上2)(x x f =，试将)(x f 展开成傅里叶级数. 解：依题)(x f 在],[∞-∞上连续，且满足狄利克雷收敛定理条件，则0=n b ),2,1( =n ,…………………………………………....2分3222020πππ==⎰dx x a ,…………………………………….……2分⎰⎰⎰===ππππππ02020sin 2cos 2cos )(2nx d x n dx nx x dx nx x f a n⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππππ02002c o s 4s i n 2s i n 2nx xd n dx nx x nx x n 2002)1(4cos cos 4n nxdx nx x n n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰πππ ),2,1( =n ……2分由收敛性定理可知，∑∞=-+=1222c o s )1(43n n n nx x π …………….……………….……2分五、应用题（本题6分）某养殖场饲养两种鱼。

2009-10-1高等数学(A)试题答案(A卷)

2009-10-1高等数学（A ）期末考试试题答案一、填空题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、32、03、=-+tan .x x c4、3202)()(33x x x x x ∆+∆+∆ 5、42220πx a x dx a-⎰ 二、解答下列各题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)1、解：，，f f b f a ()()()001000-=+== …………………………3分当时处处连续a b f x ==1() …………………………5分2、解：),(+∞-∞函数定义域，)2)(2(3x x y +-='， ……………………………2分(],2,[2,][2,2]-∞-+∞-故函数在上单调减,在上单调增 ………………………… 5分三、解答下列各题(本大题共5小题，每小题6分，总计30分)1、解原式:lim =--+→x x x x 2223126181226lim 21218x xx →==-…………………………………每步2分2、⎰+82d 2x x ⎰+=4d 212x x =+++1242ln .x x c ………………………每步3分 3、解：在上连续可导，又f x e f x e x x ()(,),()=-∞+∞'= …………………………2分由f x x f x f x x x ()()()+-='+∆∆∆θ，得e e e x x x x x x ++-=⋅∆∆∆θ ………………………5分1lnx e x xθθ∆-∆=∆解得，这就是所求的的值 ……………………………………………………6分 4、原式=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰x x x dx 341212011()=--+⎡⎣⎢⎤⎦⎥472323174323201x x x ()=-47432 ……每步2分5、x xdx x t dx tdt 221-==⎰ 令 sin .cos …………………………………………1分原式22sin 1cos 211cos sin sin 2cos 222t t tdt tdt dt t t c t -⎡⎤====-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ …………………………5分 [].1arcsin 212c x x x +--=…………………………………………6分四、证明下列各题(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)1、证：⎰⎰'=''babax f xd dx x f x )()( ='-'⎰xf x f x dx a b ab()()………………………………4分='-'-bf b af a f x a b ()()() …………………………………………6分[][]='--'-bf b f b af a f a ()()()() …………………………………………8分2、:0,,()[,],,T x f t x x T ∀>+证对及充分大的在上可导利用拉格朗日中值定理则至少存在(,),x x T ξ∈+使 ()()()f x T f x f T ξ'+-=⋅ ………………………………………3分 []T f x f T x f x x x ⋅ξ'=-++∞→+∞→+∞→)(lim )()(lim ,取极限有上式两边令 ……………………6分lim ()T f Ta ξξ→+∞'== ……………………………………………………………………8分五、解答下列各题(本大题共2小题，每小题8分，总计16分)1、解：设圆锥形漏斗的高为则锥底面半径为Hcm R H cm ,=-4002漏斗的体积，V H H H =-<<π34000202()………………………………………………3分2(4003),(020)3V H H π'=-=在，内唯一驻点，20V H π''=-< ……………………6分此时漏斗体积最大由实际问题可知也是极大值点故唯一驻点,,3320=H …………8分 2、解)1(3d 2 c x x y y +=''='⎰ ………………………………………2分(0,2)222362,(1)33x y y x y -'-==-=又由得　代入得'=+y x 3232 ………………………5分c x x x x y ++=+=∴⎰32d )323(32.232,2)2,0(3-+=∴-=-x x y c 代入得再将 …………8分六、解答下列各题(本大题共1小题，总计8分) 解：'=⋅⋅-≠<y x x x22112002ln ， ………………………………………………4分'=-<φ()ln x x xx 122202　， ……………………………………………………………4分。

MK_09-10(2)高数A(二)、B(二)试卷

安徽大学2009—2010学年第二学期院/系专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------《高等数学A （二）、B （二）》考试试卷（A 卷）（闭卷时间120分钟）题号一二三四五总分得分阅卷人一、填空题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）得分1．点(2到平面的距离为 ,1,1)10x y z +−+=.2．极限222lim x x y xy x y →+∞→+∞⎛⎞=⎜⎟+⎝⎠ .3．交换积分次序 /2sin 0 0d (,)d xx f x y y π=∫∫.4．设()f x 是周期为2的函数，它在区间(1,1]−上的定义为则32,10,(),01,x f x x x −<≤⎧=⎨<≤⎩()f x 的Fourier 级数在1x =处收敛于.5．函数u x 在点处沿方向的方向导数为 yz =(1,1,1)(2,2,1).得分二、选择题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）6. 二元函数(,)f x y =(0处（） ,0)A. 连续，但偏导数不存在； B ．不连续，且偏导数不存在；C ．不连续，但偏导数存在；D ．连续，且偏导数存在.7．设第二类曲面积分1d d SI xyz z x =∫∫，22d d SI xy z z x =∫∫，其中为的上半部分,方向取上侧．若为在第一卦限部分，且与方向一致，则（）S 2221x y z ++=1S S S A ．； B. 120I I ==10I =，1222d S d I xy z z x =∫∫；C. 112d S d I xyz z x =∫∫，1222d S d I xy z z x =∫∫； D. 112d S d I xyz z x =∫∫，.20I =8. 设为中开区域，且内任意一条闭曲线总可以张成一片完全属于Ω3\ΩΩ的曲面，函数在Ω内连续可导．若曲线积分只依赖于曲线,,P Q R d d d LP x Q y R z ++∫L 的端点，而与积分路径无关，则下述命题不正确的是（）A ．对Ω内任意光滑闭曲线，曲线积分C d d d CP x Q y R z 0++=∫v ；B. 存在Ω上某个三元函数，使得(,,)u x y z d d d d u P x Q y R z =++；C. 等式,,P Q R P Q Ry x x z z y∂∂∂∂∂∂===∂∂∂∂∂∂在开区域Ω内恒成立； D. 等式0P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂在开区域Ω内恒成立. 9. 设函数(,)f x y 在开区域内有二阶连续偏导数, 且D 0000(,)(,)0x y f x y f x y ==．则下列为(,)f x y 在点00(,)x y 处取极小值的充分条件的是（）A. ； 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y >−><><B. ； 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y >−C. ； 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y <−D. . 200000000(,)0,(,)(,)(,)0xx xx yy xyf x y f x y f x y f x y <−10. 设函数具有二阶连续偏导数，则(,,)u f x y z =div f =grad ( )A. xx yy zz f f f ++；B. x y z f f f ++；C. (,,)x y z f f f ；D. (,,)xx yy zz f f f .三、计算题（本大题共五小题，其中第11、12、13题每小题10分，第14、15题每小题12分，共54分）得分11. 设平面：通过曲面Π0x ay z b +−+=2z x y 2=+在点处的法线(1,1,2)L ，求的值． ,a b12. 计算第二类曲线积分22d d Ly x x yx y −+∫v ，其中L 为正方形边界||，取顺时针方向．||1x y +=院/系专业姓名学号答题勿超装订线------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------13．计算第一类曲面积分222d z S x y z Σ++∫∫，其中Σ为圆柱面222x y R +=)(0R >介于平面与0z =z h =（）之间的部分． 0h >.14．将函数()arctan f x x =展开成x 的幂级数，并求级数0(1)21nn n ∞=−+∑的和．15．设函数()f u 具有二阶连续导数，且.(sin )x z f e y =(1) 求2222,.z z x y∂∂∂∂（2）若函数满足方程(sin )xz f e y =22222x z ze z x y∂∂+=∂∂，求函数().f u四、应用题（本大题共两小题，其中第16题10分，第17题6分，共16分）得分------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------16. 将一根长为l 的铁丝分割成两段，一段围成一个圆，另一段围成一个长方形．求使得圆面积与长方形面积之和最大的分割方法．17. 已知一条非均匀金属线L 放置于平面上，刚好为抛物线Oxy 2y x =对应于01x ≤≤的那一段，且它在点(,)x y 处的线密度为(,)x y x ρ=，求该金属丝的质量．院/系专业姓名学号答题勿超装订线得分五、证明题（本大题共两小题，其中第18题6分，第19题4分，共10分）18．证明级数11(1)ln n n n n ∞=+−∑条件收敛．19．设空间闭区域可表示为{(Ω,,)|01,1,}x y z x x y x z y ≤≤≤≤≤≤.若()f t 在[0上连续，且.试证明：,1](,,)()()()F x y z f x f y f z =1301(,,)d d d [()d ]6F x y z x y z f t t Ω=∫∫∫∫.。

高数B(上)试题及答案2

高等数学B （上）试题2答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”）（ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.（ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡.二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2)1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sinx x x→∞＝1。

3.112lim sin sin xx x x x x x x →∞⎡⎤+⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21e +.4. 曲线326y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为23.5．设0()f x A '=，则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--＝5A.6. 设1()sin cos,(0)f x x x x=≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续.7. 函数33y x x =-在x =1-处有极大值.8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，21()()F x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则=')1(F 1.三、计算题（每题6分，共42分）1．求极限 3(2)(3)(4)lim5n n n n n →+∞+++ .解： 3(2)(3)(4)lim 5n n n n n →+∞+++234lim 111n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3分）1= （3分）2. 求极限 0cos lim sin x x x xx x →--.解：0cos lim sin x x x xx x→--01cos sin lim 1cos x x x x x →-+=- （2分） 02sin cos lim sin x x x x x→+= （2分） 3= （2分）3. 求23(1)(2)(3)y x x x =+++在(0,)+∞内的导数.解：ln ln(1)2ln(2)3ln(3)y x x x =+++++，（2分）123123y y x x x '=+++++，（2分）故23123(1)(2)(3)123y x x x x x x ⎛⎫'=+++++ ⎪+++⎝⎭（2分） 4. 求不定积分221d 1x x x ++⎰.解：221d 1x x x ++⎰22211d(1)d 11x x x x =++++⎰⎰ （3分） 2ln(1)arctan x x C =+++ （3分）5. 求不定积分2sin d x x x ⎰.解：2sin d x x x ⎰()221sin d 2x x =⎰ （3分） 21cos 2x C =-+ （3分）6．求不定积分sin 2d x x x ⎰. 解：sin 2d x x x ⎰11sin 2d(2)dcos222x x x x x ==-⎰⎰ （2分） ()1cos 2cos2d 2x x x x =--⎰ （2分）11cos 2sin 224x x x C =-++ （2分）7. 求函数()cos sin xy x =的导数.解：ln cos lnsin y x x = （3分）()()cos 12sin cotln sin x y x x x +'=- （3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x ，所以平行于墙壁的边为202x -，所以，面积为2(202)220S x x x x =-=-+，（3分）由4200S x '=-+=，知（3分）当宽5x =时，长20210y x =-=，（3分）面积最大51050S =⨯=（平方米）。

高数B(上)试题及答案

高等数学B （上）试题1答案一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”）（ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界.（ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量.（ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡.二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2)1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sinx x x→∞＝1。

3.112lim sin sin xx x x x x x x →∞⎡⎤+⎛⎫++=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦21e +.4. 曲线326y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为23.5．设0()f x A '=，则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--＝5A.6. 设1()sin cos,(0)f x x x x=≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续.7. 函数33y x x =-在x =1-处有极大值.8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，21()()F x f f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则=')1(F 1.三、计算题（每题6分，共42分）1．求极限 3(2)(3)(4)lim5n n n n n→+∞+++ . 解： 3(2)(3)(4)lim 5n n n n n →+∞+++234lim 111n n n n →+∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3分）1= （3分）2. 求极限 0cos lim sin x x x xx x →--.解：0cos lim sin x x x xx x→--01cos sin lim1cos x x x xx →-+=- （2分） 02sin cos limsin x x x xx→+= （2分） 3= （2分）3. 求23(1)(2)(3)y x x x =+++在(0,)+∞内的导数.解：ln ln(1)2ln(2)3ln(3)y x x x =+++++，（2分）123123y y x x x '=+++++，（2分）故23123(1)(2)(3)123y x x x x x x ⎛⎫'=+++++ ⎪+++⎝⎭（2分） 4. 求不定积分221d 1x x x ++⎰.解：221d 1x x x ++⎰22211d(1)d 11x x x x=++++⎰⎰ （3分） 2ln(1)arctan x x C =+++ （3分）5. 求不定积分2sin d x x x ⎰.解：2sin d x x x ⎰()221sin d 2x x =⎰ （3分） 21cos 2x C =-+ （3分）6．求不定积分sin 2d x x x ⎰. 解：sin 2d x x x ⎰11sin 2d(2)dcos222x x x x x ==-⎰⎰ （2分） ()1cos 2cos2d 2x x x x =--⎰ （2分）11cos 2sin 224x x x C =-++ （2分）7. 求函数()cos sin xy x =的导数.解：ln cos ln sin y x x = （3分）()()cos 12sin cotlnsin x y x x x +'=- （3分）四、解答题（共9分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋,现有存砖只够砌20米长的墙壁,问应围成的长方形的长,宽各为多少才能使这间小屋面积最大.解：设垂直于墙壁的边为x ，所以平行于墙壁的边为202x -，所以，面积为2(202)220S x x x x =-=-+，（3分）由4200S x '=-+=，知（3分）当宽5x =时，长20210y x =-=，（3分）面积最大51050S =⨯=（平方米）。

2020-2021第一学期高等数学B1试题A参考解答

武汉大学2020-2021第一学期高等数学B1期末试卷 A 卷1、（9分）求极限: 011lim e 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 2、（9分）已知曲线满足方程2e 0xy x y ++=，求曲线在点(0,1)-处的法线方程. 3、（10分）求由曲线e ,ln ,1,2x y y x x x ====所围成的图形的面积. 4、（10分）（1）求齐次线性微分方程20y y y ''''''--=的通解；（2）求该方程满足初始条件(0)0,(0)(0)3y y y '''===的特解.（3）对于非齐次方程221e x y y y x ''''''--=+，用待定系数法给出特解的形式（无需求出其中的待定系数的数值）.5、（9分）求极限lim nn →∞⎝⎭.6、（7分）求不定积分x .7、（7分）设2()ln(1)f x x =+，计算反常积分2()d ()+2()5f x x f x f x +∞'+⎰. 8、（7分）求极限:2cos 1e d lim(sin )xt x tx x x -→+⎰.9、（7分）等角螺线的极坐标方程为e θρ=，在0θ=附近，其在直角坐标系下可由函数()y y x =表示，试求d d yx θ=以及220d d y x θ=. 10、（7分）计算星形线33cos ,sin x a t y a t⎧=⎪⎨=⎪⎩的弧长，其中0,[0,2]a t π>∈. 11、（7分）计算函数231sin ,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数；并讨论：是否存在0δ>，使得函数()f x 在区间(,)δδ-内单调递增？说明理由. 12、（6分）求解常微分方程：532e 0x xy y x y '++=.13、（5分）设函数()f x 在区间[],a b 上有连续的二阶导数，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈使得3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+-⎛⎫''=-+⎪⎝⎭⎰.武汉大学2019-2020第一学期高等数学B1期末试卷 A 卷参考解答1、（9分）求极限011lim e 1xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 解： 200011e 1e 1lim lim lim e 1(e 1)x xx x x x x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫----⎛⎫-== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5分e 11lim 22xx x →⎛⎫-== ⎪⎝⎭ 9分2、（9分）已知曲线满足方程2e 0xy x y ++=，求曲线在点(0,1)-处的法线方程. 解：对方程2e 0xy x y ++=两边关于x 求导得：212e ()0xy y y xy ''+++=，4分代入0,1x y ==-解得0,11x y y ==-'=.7分因此，法线的斜率为1-,在点(0,1)-处的法线方程为：1y x =--.9分3、（10分）求由曲线e ,ln ,1,2x y y x x x ====所围成的图形的面积. 解：显然当[1,2]x ∈时有e ln x x >，因此面积()21e ln d x S x x =-⎰5分22221111e d ln d e ln d x x x x x x x =-=-⎰⎰⎰8分 222211e e ln d ln e e 2ln 21x x x x =--+=--+⎰10分4、（10分）（1）求齐次线性微分方程20y y y ''''''--=的通解；（2）求该方程满足初始条件(0)0,(0)(0)3y y y '''===的特解.（3）对于非齐次方程221e x y y y x ''''''--=+，用待定系数法给出特解的形式（无需求出其中的待定系数的数值）.解：(1) 该微分方程的特征方程为：3220λλλ--=， 4分它有特征根：00,λ=21,λ=-32,λ=故而该齐次线性微分方程的通解为：2123e e x x y C C C -=++6分（2）代入初值条件得方程组：12323230,23,43C C C C C C C ++=-+=+=，解得：1230,1,1C C C ==-=，得微分方程的特解为：2e e x x y -=-.8分（3）特解的形式为：2123()e x y C x C C x *=++.10分5、（9分）求极限lim nn →∞⎝⎭.解： lim ln lim 1lim een n nn n n →∞→∞⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭→∞==⎝⎭5分12eee n n n===9分6、（7分）求不定积分x .解：()21d arcsin arcsin x x x =⎰4分 1arcsin C x=-+7分7、（7分）设2()ln(1)f x x =+，计算反常积分20()d ()+2()5f x x f x f x +∞'+⎰.解： 2200()1d d ()()+2()5(()+1)4f x x f x f x f x f x +∞+∞'=++⎰⎰ 3分 2001()11ln(1)1arctan arctan2222f x x +∞+∞+++== 5分 11arctan 222π⎛⎫=- ⎪⎝⎭7分8、（7分）求极限:2cos 1e d lim(sin )xt x tx x x -→+⎰.解：22cos cos 112e d e d lim lim(sin )2xxt t x x ttx x x x--→→=+⎰⎰3分2cos 0e sin lim 4x x xx-→-= 5分11e 4-=-7分 9、（7分）等角螺线的极坐标方程为e θρ=，在0θ=附近，其在直角坐标系下可由函数()y y x =表示，试求d d yx θ=以及220d d y x θ=. 解：可以将方程改写成参数方程e cos e sin x y θθθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则 d d d 0d 0e cos e sin cos sin e co 1s e sin cos d n d si y xyx θθθθθθθθθθθθθθθθθθ=======+--=+4分()()222(cos sin )(cos sin )cos sin (cos sin )2s d d d 2d d d d d d d co s n 0i d c =2e os e sin d y x x x yx θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ====-+++--=-== 7分10、（7分）计算星形线33cos ,sin x a t y a t⎧=⎪⎨=⎪⎩的弧长，其中0,[0,2]a t π>∈. 解：曲线弧长220s t t ππ==⎰⎰4分220312cos sin d 6a t a t t t a ππ===⎰⎰7分11、（7分）计算函数231sin ,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数；并讨论：是否存在0δ>，使得函数()f x 在区间(,)δδ-内单调递增？说明理由.解：当0x ≠时，323131()12sincos f x x x x x'=+-，另一方面， 2301sin(0)lim1x x x x f x→+'==，因此32313112sin cos ,0()1,0x x f x x x x x ⎧+-≠⎪'=⎨⎪=⎩ 3分对任意0δ>，取0x =，显然00x δ<<且01x <，代入()f x '可得： 003()10f x x '=-<，由于导函数()f x '在0x 处连续，存在0ε>使得00[,](,)x x εεδδ-+⊂-，且()f x '在区间00[,]x x εε-+内小于0，即有()f x 在区间00[,]x x εε-+单调递减，因此，不存在0δ>，使得函数()f x 在区间(,)δδ-内单调递增.7分12、（6分）求解常微分方程：532e 0x xy y x y '++=.解：显然0y ≡是方程的特解；当0y ≠时方程两边同除以3xy 的方程：3242e 0x y y y x x--'++=，令2z y -=，有3d d 2d d z yy x x-=-，原方程就可化为如下线性方程： 3分2442e x z y x x-'=+，用一阶线性微分方程的求解公式得：24(2e )x y z x C -==+6分13、（5分）设函数()f x 在区间[],a b 上有连续的二阶导数，证明：至少存在一点(,)a b ξ∈使得3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+-⎛⎫''=-+⎪⎝⎭⎰. 证明：令()()d xaF x f t t =⎰，由于()f x 在区间[],a b 上有连续的二阶导数，因此()F x 在区间[],a b 上有连续的三阶导数，取02a bx +=，由泰勒公式得： 23010000010()()()()()()()(),(,)2!3!F x F F a F x F x a x a x a x a x ξξ''''''=+-+-+-∈23020000020()()()()()()()(),(,)2!3!F x F F b F x F x b x b x b x x b ξξ''''''=+-+-+-∈3分利用00()b x a x -=--，上述两式相减得：31201020()()()()()(),(,),(,)3!2F F b a F b F a F x b a a x x b ξξξξ''''''+-⎛⎫'-=-+∈∈ ⎪⎝⎭即有：312()()()()d ()2242baf f a b b a f x x b a f ξξ''''++-⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 由于()f x ''在区间[],a b 上连续，由介值定理可知至少存在一点(,)a b ξ∈使得12()()()2f f f ξξξ''''+''=. 因此3()()d ()()224baa b b a f x x b a f f ξ+-⎛⎫''=-+⎪⎝⎭⎰. 5分。

高数b第一章测试题及答案解析

高数b第一章测试题及答案解析一、选择题（每题5分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=1处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 4答案：B解析：根据导数的定义，f'(x)=2x，所以f'(1)=2。

2. 极限lim(x→0)(sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B解析：利用洛必达法则，分子分母同时求导得到lim(x→0)(cos(x)/1)=cos(0)=1。

3. 定积分∫(0,1)x^2dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A解析：根据定积分的计算公式，∫(0,1)x^2dx=(1/3)x^3|(0,1)=(1/3)(1)^3-(1/3)(0)^3=1/3。

4. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的极值是：A. 最大值B. 最小值C. 无极值D. 不确定答案：B解析：首先求导数y'=3x^2-3，令y'=0，解得x=1或x=-1。

再求二阶导数y''=6x，将x=1代入得y''(1)=6>0，说明x=1处为最小值。

5. 曲线y=x^3+2x-3在点(1,0)处的切线斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：求导数y'=3x^2+2，将x=1代入得y'(1)=3+2=5。

6. 函数y=e^x的不定积分是：A. e^xB. e^x + CC. x*e^xD. x*e^x + C答案：B解析：根据积分公式，∫e^x dx = e^x + C。

二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-6x+8的极值点是__。

答案：x=2解析：求导数f'(x)=3x^2-6，令f'(x)=0，解得x=±√2，再求二阶导数f''(x)=6x，将x=2代入得f''(2)=12>0，说明x=2处为极小值点。

2009-2010第一学期《高等数学》试卷(B)卷答案.

第 1 页共4页福建工程学院2009～2010学年第一学期期末考试试卷审批表课程名称高等代数考试班级09信息与计算科学参加考试学生人数81任课教师唐晓文命题教师唐晓文试卷类型(A、BB考试形式开卷（）闭卷（√）答卷纸(张草稿纸(张1审核人意见审核人签名：教研室意见(签字系(部意见(签字试题参考答案及评分标准一、填空题（每小题5分，共15分）1、-32；2、；3、8；4、；5、.二、选择题（每小题5分，共15分）1、B2、A3、B4、D5、C三、（12分）解: = -----4分一个极大线性无关组， -----4分， ------4分第 2 页四、(10分解：------5分------5分五、（10分）解：由即-------3分可得， -------2分由 -------4分-------1分第3页六、（14分）解:对方程组的增广矩阵施行初等行变换------5分得方程的特解， ------2分对应齐次方程的基础解系，------5分通解 ------2分七、证明题：（第1、2小题各7分，第3小题10分，共24分）1.（1）证明：因为线性无关，所以线性无关，而线性相关，故可由线性表示. -------3分（2）不可以，如果可以由线性表示，而又可由线性表示，则可由线性表示.可得线性相关，与线性无关矛盾，所以不可由线性表示. -------4分2.证明：由题设，从而，＋， -------3分又从而，-------3分所以，＋. -------1分第 4 页3. 证明：（1）因为是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故线性无关， -------2分若线性相关，则可由线性表示，设为，因此是齐次线性方程组的一个解， -------2分与是非齐次线性方程组的一个解矛盾，故线性无关. -------1分（2）设，即.------2分因为线性无关， -------1分所以得 -------1分故线性无关. -------1分。

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（答案要注明各个要点的评分标准）
一、填空题：（每小题3分，共15分） 1.3；2.()x
e
x c c -+21；3. ()
c x +2
2
-12
1-
；4.
4
π
； 5. dx y
dx x
y 4
23
-
-
或
二、选择题：（每小题3分，共15分）
1).A 2).B 3).A 4).A 5).A 三、计算题：（共28分）分
分分
原式72
11
1ln 1
lim
51ln 1lim
1ln 1
1lim
2ln )1(ln 1lim
.11
11
1
=++=-+-=-+
-
=---=→→→→x x x x x x x x x
x x x x x x x x
2．0
lim ()x f x -
→=0
lim ()(0)x f x f a +
→==，0lim ()x f x -
→=0
lim 1x
x e -→=，
lim ()lim ()x x f x a bx a ++→→=+=，所以 1.a = …………………3分
()(0)
(0)lim 0x f x f f x -
-→-'=-0
1lim 1x
x e x
-
→-==，
(1)1
(0)lim x bx f b x
+
+→+-'==，所以1b =。

…………………7分
3.
t
x y dx
dy t
t 1=
''=
…………………3分
3
2
2221)1
(t t x t dx y d t
+-=''= …………………7分 4. ⎰xdx x arctan =dx x
x
x x
⎰
+-
2
2
2
11
2arctan 2
…………………2分
=
dx x
x x x
⎰+-+-
2
2
2
11
12
1arctan 2
………..……………4分
=
dx x
dx x x
⎰⎰++
-
2
2
11
212
1
arctan 2 ……………6分
=
c x x x x
++
-arctan 2
12
1arctan 2
2
………………7分
四、计算题：（共22分）
分
分
分
，，从而令63
ln 2]1ln 2
[
24)1
11(21221122)0(.12
2
2
2
02
2
04
2
=++-=++
-=+=+=
+
==≥=⎰⎰
⎰
⎰
t t t
dt
t t dt t
t
tdt t
t dx x
x tdt
dx t x t t x
2.解：(1) 函数的定义域为()∞+∞-，
（2）x x y 632-='驻点为2,0==x x ……………………2分（3）66-=''x y ，由0=''y 得1=x ……………………3分
（4）列表如下：
……6分
单调增加区间为（-,0)∞，(2,)+∞；单调减少区间为(0,2)；
()10=f 为极大值；()32-=f 为极小值
……………………8分凹区间为()∞+，1，凸区间为()1，∞-；拐点为（1，-1）。

……………………10分
3.解：特征方程为1,2,023212
-=-==++r r r r ………………………1分
对应齐次方程通解：.221x x e C e C Y --+= …………………………..3分设方程的特解为6
1,*=
=b be y x ………………………5分
所求通解：.61221x
x x e e C e C y ++=--
……………………………….6分.
五、应用题（10分）
解： 2y x =，2y x '=，12x y ='= ……………………2分过点(1,1)的切线方程是：21y x =-，切线与x 轴的交点为1
(,0)2 ………4分
（1）平面图形的面积12
11112
2
12
A x dx =
-
⋅⋅
=
⎰
……………………7分
（2）所求的体积为
1
1
2
2
2
10
2
()(21)30
V x dx x dx πππ=
--=
⎰⎰
或1
222
11()13
2
30
V x dx πππ=-
⋅⋅
=
⎰ ……………………10分
六、证明题（2个小题，每小题5分，共10分）
1.解：设()cos 2x f x e x x =-+-，且(0)0f =， …………………………1分则()1sin x f x e x '=--，且(0)0f '=， ……………………………2分
()cos x f x e x ''=-，0x > 时，1x
e >，cos 1x ≤，0,()0x
f x ''∴>>
即()f x ''单调增加，且()(0)0f x f ''>= …………………………4分所以()f x 在0x >时单调增加，0x >时，有()(0)0f x f >=
即0x >时，有11cos x e x x -->-成立。

……………………………5分 2.由题意，构造函数()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈=2,0cos πx x
x f x F ，………………………2分
因为()x F 在⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡
2,
0π上连续，在⎪⎭⎫
⎝
⎛
2,0π内可导，且()020=⎪⎭
⎫
⎝⎛=πF F ,故由罗尔定理得，至少存在一点⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈2,
0πξ满足()ξF '=0，即()sin ()cos .f f ξξξξ'=………………5分。