高三数学一轮复习 双曲线双基限时训练 理(含解析)
高三第一轮复习——双曲线篇(试题及答案)
可知选项A的渐近线方程为 .故选A.
2.解析由题意可得 ， ，故 .所以渐近线的方程为 .
将 代入渐近线方程，得 ，则 .故选D.
3. 9．解析利用几何意义，即找到 到直线 的最小距离（或取不到），该值即为实数 的最大值．
由双曲线 的渐近线为 ，易知 与 平行，因此该两平行线间的距离即为最小距离（且无法达到），故实数 的最大值为 ．
2．解析解法一（基本量法）：由 ， ， ， ，即 .
评注双曲线的问题多在小题中出现，注意基本的等量关系及定义，特别是特有的渐近线方程的求解.
1. A解析由题意得 ，解得 ，所以双曲线的方程为 .
故选 .
2. 解析 ，故焦距为 .
3. 8. 解析双曲线 的渐近线为 ，一个焦点为 .再由题设，可得 ，解得 .
1.解析由 ，得 ，所以 ，将 代入 ，得 ，所以 ，又A的坐标是(1，3)，故 的面积为 .故选D.
（1）若 ， ， 成等差数列，求数列 的通项公式；
（2）设双曲线 的离心率为 ，且 ，求 .
2017年
1.（2017全国2卷文5）若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（）.
A. B. C. D.
2.（2017北京卷文10）若双曲线 的离心率为 ，则实数 _________.
1.解析由题意， ，
当 时， ， ；当 时， ， .故选D.
2.解析（1）由已知， ， 两式相减得到 ， .
又由 ， 得到 ，故 对所有 都成立.
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.从而 .
由 ， ， 成等差数列，可得 ，所以 ，故 .
所以 .
（2）由（1）可知， .
所以双曲线 的离心率 .
高三数学一轮复习 函数与方程双基限时训练 理(含解析)
2014届高三数学一轮复习 函数与方程双基限时训练 理（含解析）巩固双基,提升能力一、选择题1．(2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：原题可以转化为函数y 1＝2x－2与y 2＝－x 3的图像在区间(0,1)内的交点个数问题，可知在区间(0,1)内只有一个交点，正确答案为B.答案：B2．(2012·湖北)函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：令f (x )＝0，得x ＝0或cos x 2＝0，因为x ∈[0,4]，所以x 2∈[0,16]． 由于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋k π＝0(k ∈Z )，故当x 2＝π2，3π2，5π2，7π2，9π2时，cos x 2＝0.所以零点个数为6. 答案：C3．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)解析：由于f (0)＝－1＜0，f (1)＝e －1＞0，根据函数的零点存在性定理，知函数f (x )的零点在区间(0,1)内.答案：C4．(2013·顺义月考)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x ，若实数x 0是函数f (x )的零点，且0＜x 1＜x 0，则f (x 1)的值( )A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于0解析：根据指数函数与对数函数的单调性可以推知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2x 在(0，＋∞)上单调递减，函数f (x )在(0，＋∞)上至多有一个零点．若有零点的话，零点左侧的函数值恒正，右侧的函数值恒负，对于0＜x 1＜x 0，f (x 1)的值恒为正值.答案：A5．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是( )A ．f (x )＝4x －1B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e x－1D ．f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12解析：g (x )＝4x＋2x －2的零点，即函数y ＝4x与函数y ＝－2x ＋2图像交点的横坐标(如图)，由图知g (x )的零点x 0满足0＜x 0＜12.又f (x )＝4x －1的零点为14，∴选A.答案：A6．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 解析：由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1＞0，f (1)＝13＞0，f (e)＝13e －1＜0，故函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．答案：D 二、填空题7．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是1，则函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是__________． 解析：由题意知ax ＋b ＝0(a ≠0)的解为x ＝1，∴b ＝－a . ∴g (x )＝－ax 2－ax ＝－ax (x ＋1)． 由g (x )＝0得x ＝0或x ＝－1. 答案：0或－18．(2013·珠海质检)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1，若在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________．解析：只需f (1)＝－2p 2－3p ＋9＞0或f (－1)＝－2p 2＋p ＋1＞0，即－3＜p ＜32或－12＜p ＜1，∴p ∈⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－3，32 9．已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是__________．解析：由于f (－1)＝12－1＝－12＜0，f (0)＝1＞0，故f (x )＝2x＋x 的零点a ∈(－1,0)． 因为g (2)＝0，故g (x )的零点b ＝2；h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1＋12＝－12＜0，h (1)＝1＞0，故h (x )的零点c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因此a ＜c ＜b . 答案：a ＜c ＜b 三、解答题10．已知函数f (x )＝4x＋m ·2x＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．解析：∵f (x )＝4x ＋m ·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x )2＋m ·2x＋1＝0有且仅有一个实根． 设2x ＝t (t ＞0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不符合题意，舍去)． ∴2x＝1，x ＝0符合题意．当Δ＞0，即m ＞2，或m ＜－2时，t 2＋mt ＋1＝0有一正一负根，即t 1t 2＜0，这与t 1t 2＞0矛盾． ∴这种情况不可能．综上，可知m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0. 11．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解析：(1)方法一：∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，∴g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则g (x )＝m 就有零点．方法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)的图像如图所示，可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e. 方法三：由g (x )＝m 得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＞0，Δ＝m 2－4e 2≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m ≥2e，或m ≤－2e ，故m ≥2e.(2)方法一：若g (x )－f (x )＝0有两相异的实根，即g (x )与f (x )的图像有两个不同的交点， 作出g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)的图像．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1 ＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2. 故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )的图像有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)． 方法二：令F (x )＝g (x )－f (x )， 则由已知F (x )＝g (x )－f (x )有两个零点． 又F ′(x )＝g ′(x )－f ′(x )＝1－e2x2＋2x －2e＝2x 3＋1－2e x 2－e2x 2＝x －e2x 2＋x ＋ex 2，∵x 2＞0恒成立，2x 2＋x ＋e ＞0恒成立，∴当x ＞e 时F ′(x )＞0，x ＜e 时F ′(x )＜0，故F (x )在(0，e)上为减函数，在(e ，＋∞)上为增函数．∴F (x )＝g (x )－f (x )在x ＝e 处取得极小值， 若F (x )＝g (x )－f (x )有两个零点，则f (e)＜0. 即e ＋e 2e＋e 2－2e·e－m ＋1＜0，即m ＞－e 2＋2e ＋1.12．已知函数f (x )＝ax 3－bx ＋4，当x ＝2时，函数f (x )有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若关于x 的方程f (x )＝k 有三个零点，求实数k 的取值范围． 解析：由题意，可知f ′(x )＝3ax 2－b .(1)于是⎩⎪⎨⎪⎧f ′2＝12a －b ＝0，f 2＝8a －2b ＋4＝－43，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝4.故所求的解析式为f (x )＝13x 3－4x ＋4.(2)由(1)可知，f ′(x )＝x 2－4＝(x －2)(x ＋2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝2，或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表所示：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增283单调递减－43单调递增因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值3；当x ＝2时，f (x )有极小值－43.所以函数的大致图像如图．故实数k 的取值范围是－43＜k ＜283.。
高考数学专题复习：双曲线(含解析)
高考数学专题复习：双曲线(含解析)本文存在大量的格式错误和段落问题，需要进行修正和删减。
修正后的文章如下：研究目标：1.理解双曲线的定义、几何图形、标准方程以及简单几何性质。
2.理解数形结合的思想。
3.了解双曲线的实际背景及其简单应用。
一、单选题1.设 $F_1,F_2$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的右支上，且 $F_1P=F_2P=c$，则 $\frac{c^2}{a^2-b^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】B解析】根据双曲线的性质求出 $c$ 的值，结合向量垂直和向量和的几何意义进行转化求解即可。
点睛】本题主要考查双曲线性质的意义，根据向量垂直和向量和的几何意义是解决本题的关键。
2.设 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$ 是双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右焦点，$A(0,b)$ 为左顶点，点$P$ 为双曲线右支上一点，且 $AP=\frac{a}{2}$，则$\frac{b^2}{a^2}$ 的值为：A。
$1$B。
$\frac{1}{2}$C。
$\frac{1}{3}$D。
$\frac{1}{4}$答案】D解析】先求出双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，再求出点 $P$ 的坐标，最后求$\frac{b^2}{a^2}$。
点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和向量的数量积运算，考查双曲线方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力。
双曲线的通径为 $2a$。
3.已知直线$l$ 的倾斜角为$\theta$，且$l: y=x\tan\theta$，直线 $l$ 与双曲线 $C: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右两支分别交于 $A,B$ 两点，$OA\perp$轴，$OB\perp$轴（其中 $O$、$F_1,F_2$ 分别为双曲线的坐标原点、左、右焦点），则该双曲线的离心率为：A。
新高考数学一轮复习练习-双曲线(基础)(解析版)
9.4 双曲线（基础）一、单选题1．（2021·全国高三月考（文））双曲线的焦点坐标（ ）A ．B ．C ．D ．、【答案】C【解析】由知，，，且焦点在轴上，所以，所以所以焦点坐标为和.故选：C2．（2021·郸城县第一高级中学高三一模（文））若双曲线：（，）的一条渐近线过点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．CD【答案】C【解析】由已知得双曲线的一条渐近线的斜率为，则，所以，所以，解得，解得故选：．3．（2021·北京八中）已知直线与坐标轴分别交于A ，两点，若A ，的中点在曲线（，）的渐近线上，则曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】因为直线与坐标轴分别交于A ，两点，所以，，所以点A 和点B 的中点坐标为，曲线（，）的其中一条渐近线为，22134y x -=()()5,0±(0,()0,5±22134y x -=23a =24b =y 222347c a b =+=+=c =(0,C 22221x y a b -=0a >0b >()2,4m m ()0m ≠C 42C 422m m =2b a =222224b c a a a -==2214-=c a 25e =e =C 240x y +-=B B 2222:1y x C a b -=0a >0b >C 240x y +-=B ()2,0A ()0,4B ()1,22222:1y x C a b-=0a >0b >a y x b =所以有，又，所以，所以，又，所以.故选：C .4．（2021·广东广州·高三月考）双曲线C：的一条渐近线方程为x +2y =0，则C 的离心率为（ ）ABC ．2D【答案】A【解析】双曲线C ：的一条渐近线方程为x +2y =0，即，因此有故选：A5．（2021·黑龙江大庆中学高三月考（文））已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则其顶点到渐近线的距离为（ ）ABCD【答案】B【解析】由双曲线的方程得，双曲线的虚轴长是实轴长的倍，，可得，则双曲线的顶点为，双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线，即，则顶点到渐近线的距离故选：B.6．（2021·河北邯郸·高三开学考试）已知双曲线（，）的离心率为，O 为坐标原点，右焦点为F ，过点F 作一条渐近线的垂线，垂足为P ，的周长为12，则双曲线的实轴长为（ ）A ．8B ．4C ．D ．2【答案】A【解析】因为双曲线（，）的渐近线方程为，右焦点为，2a b =222c a b =+2222524a c a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22254c e a ==0e >e =22221x y a b -=22221x y a b-=12y x =-22222221244()542b c a b a b a c a a c e a a =⇒=⇒=⇒=-⇒=⇒==2221y x b-=21a = 2221y x b-=2244b a ∴==2b =()1,0A 2by x x a=±=±2y x =20x y -=d ==22221x y a b-=0a >0b >54OPF △22221x y a b-=0a >0b >b y x a =±(c,0)F不妨令点P位于第一象限，则的长度为点到直线的距离，，又的周长为12，所以得到，因为该双曲线的离心率为，即，得，又，即，解得，即双曲线的实轴长为8.故选：A.7．（2021·全国）惊艳全世界的南非双曲线大教堂是由伦敦著名的建筑事务所steynstudio 完成的，建筑师的设计灵感源于圣经的经文“上帝啊，你永无止境的爱是多么的珍贵，人们在你雄伟的翅膀下避难”．若将如图所示的双曲线大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线（，）下支的一部分，且，则此双曲线的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】双曲线，由题意可得：∴双曲线为，即．故选：A ．8．（2021·全国高三模拟预测（理））将双曲线x 2﹣y 2＝2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y ，据此类推可求得双曲线y 的焦距为（ ）PF (c,0)F by x a=b a OPF △12a bc ++=5454c a =9124a b +=222c a b =+22916b a =4a =22221y x a b -=0a >0b >(1,2)-2222y x -=22235y x -=2224y x -=223y x -=22221y x a b -=222222222224111332c a b a b a b c c a⎧⎪=+⎧=⎪⎪⎪-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩⎪=⎪⎩2212y x -=2222y x -=1x=31x =-A ．B ．C ．4D ．【答案】D 【解析】双曲线y 的图象可由y 进行形状不变的变换而得，∴双曲线y 的图象与双曲线y 的图象全等，它们的焦距相同，根据题意：“将双曲线x 2﹣y 2＝2绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y”类比可得：将双曲线x 2﹣y 2＝6绕原点逆时针旋转45°后可得到双曲线y，而双曲线x 2﹣y 2＝6的a ＝b c ＝∴焦距为2c ＝故选：D ．9．（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）已知双曲线的左，右焦点分别为、，过点作倾斜角为的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若，且双曲线C 的离心率为2．则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由双曲线的定义知，，∵，∴，即，∴，31x =-3x =31x =-3x =1x=3x==2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F θ1AB AF =cos θ=14132312122AF AF a -=1AB AF =212AF BF AF -=1222AF AF BF a -==1224BF BF a a =+=在中，由余弦定理知，，∵，故选A ．10．（2021·江西南昌·（文））已知双曲线的左、右焦点分别为、，过且斜率为l 与C 在第一象限交于N 点，若，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】作出双曲线的大致图象，如图所示：由题意可知：，，，由余弦定理可得：即，整理得：，所以，解得或（舍），故选：B二、多选题11．（2021·山东青岛·高三开学考试）已知椭圆过双曲线的焦点，的焦点恰为的顶点，与的交点按逆时针方向分别为，，，，为坐标原点，则（ ）12BF F △2222121212||||||cos 2||||BF F F BF BF F F θ+-=⋅2222244163cos 2222a c a c a a c ac θ+--∴==⋅⋅4312,cos 44c e a θ-==∴==()2222:10,0x y C a b a b -=>>1F 2F 2F 17NF a =213F NF π∠=212725NF NF a a a a =-=-=122F F c =222212112212cos 2NF F F NF F N NF F F F +-=⨯⨯∠()()()22252712252a c a a c+-=⨯⨯2225120c ac a --=225120e e --=4e =32e =-221:14x C y +=22222:1(,0)x y C a b a b -=>1C 2C 1C 2C A B CD OA ．B ．的右焦点到C ．点到的两顶点的距离之和等于D ．四边形【答案】ACD【解析】如下图所示，设双曲线的焦距为，由题意可知：，，所以的离心率为，故A 正确；的右焦点，方程中，所以的渐近线方程为，不妨取渐近线，所以到B 错误；根据椭圆定义可知：，故C 正确；联立，所以，所以D 正确；故选：ACD.12．（2021·福建安溪·高三期中）设，是双曲线：的左､右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.）A ．B2C 1C 2C A 2C 4ABCD 2c 2c =a ==2C c e a ===1C )2C 1,b a ===2C y x =y =)y =214AF AF +=22221413x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩2224717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22ABCD S ⎛== ⎝四边形1F 2F C 22221(0,0)x y a b a b -=>>O 2F C P 2F P b=C ．双曲线的渐近线方程为D ．点在直线上【答案】ABD【解析】由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方程为，焦点，，以该渐近线为例，由，故A 正确，，则，则在三角形中，根据余弦定理：，得，则离心率，故B 正确；又，∴渐近线方程为，故C 错误；设，则，又，解得，即点在直线上，故D 正确.故选：ABD .13．（2021·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）已知双曲线，（ ）A．B ．若的顶点坐标为，则C ．的焦点坐标为D ．若，则的渐近线方程为【答案】BD【解析】A项：因为方程表示双曲线，所以，解得或，A 错误；B 项：因为的顶点坐标为，所以，解得，B 正确；y =P x=by x a=()1,0F c -()2,0F c 2F b =a =122cos cos OPaF OP POF OF c∠=-∠=-=-1OPF 22222211115cos 22OP OF PF a c a a F OP OP OF ac c+-+-∠===-222c a =e =c e a ==1b a =y x =±()00,P x y 00y x =OP a =0x =P x =22:121x y W m m -=++(2,1)m ∈--W (0,3m =-W ()1,0±0m =W 0x ±=22121x y m m -=++()()210m m ++>1m >-2m <-W (0,21m --=3m =-C 项：当时，，当时，，C 错误；D 项：当时，双曲线的标准方程为，则渐近线方程为，D 正确，故选：BD.14．（2021·沙坪坝·重庆南开中学高三月考）抛物线与双曲线具有共同的焦点F ，过F 作的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，与交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则有（ ）A ．B ．的渐近线方程为C ．D ．若l 的倾斜角为锐角，则经过O 、F 且与直线l 相切的圆的标准方程为【答案】BCD【解析】双曲线的右焦点为，可得A 错误，双曲线的渐近线方程为，所以B 正确；由点到直线，所以C 正确，设所求圆的方程为，由题意可得，直线的方程为，解得，可得圆的方程为，所以D 正确，故选：BCD15．（2021·湖南长沙·高三模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，过点的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ，N 两点，若，(点O 为坐1m >-()()22123c m m m =+++=+2m <-()()22123c m m m =-+-+=--0m =W 2212x y -=0x =21:2(0)C y px p =>222:193x y C -=2C 1C p =2C y =3OH =22((1)4x y +-=222:193x y C -=F 2p =p =222:193x y C -=y =F y =3=222()()x a y b r -+-=22222)a b a b r +=+=l y x =-r 1,2a b r ===22((1)4x y +-=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 12212NF F NF F ∠=∠22ON OF OM +=标原点)，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线CB ．C ．D．【答案】BC【解析】由于，故点M 为的中点，所以，所以，所以，所以，故，所以，所以，所以，故C 的离心率，故A 错误；因为，所以，所以的面积为，故，故B 正确；由于，所以，故C 正确；由于，故D 错误.故选：BC.16．（2021·辽宁铁岭·高三二模）设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C 交于A ，B 两点，若为正三角形，则（ ）A ．B ．C 的焦距为C ．CD ．的面积为【答案】ACD【解析】设，则，离心率C 正确.，选项A 正确.12MF F △212tan MF F ∠12MF a=22ON OF OM +=2NF 1//NF OM 122NF F MOF ∠=∠222MOF MF O ∠=∠12222NOF MOF MF O MF O MNO ∠=∠=∠=∠+∠2MNO MF O ∠=∠OM ⊥2NF 12NF NF ⊥21260MOF NF F ︒∠=∠=tan 60b a ︒==2c a ==1224F F c a ==12|2,||NF a NF ==∣12NF F △2122a ⋅⋅=12MF F △211||tan MN NF M NF ∠==()121tan tan 60MF F NF M ︒∠=-∠=1||MF ==1F 2F 22:1y C x b-=2F x 1ABF V 2b =1ABF V 2AF t =12AF t =e =2b =B 错误.的面积为D 正确.故选：ACD .17．（2021·江苏南通·高三模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，，O 为坐标原点，圆，P 是双曲线C 与圆O 的一个交点，且，则下列结论中正确的有（ ）A ．双曲线CB ．点C ．的面积为D ．双曲线C 上任意一点到两条渐近线的距离之积为2【答案】ABD【解析】解：∵双曲线，∴，又圆，∴圆O 的半径为c ，∴为圆O 的直径，∴，故作图如下：对于A ，∵，∴，∴，令，则，12F F ==1ABF V 121221b F F =222:1(0)5x y C a a -=>1F 2F 222:5O x y a +=+21tan 3PF F ∠=1F 21PF F V 222:105()x y C a a -=＞225c a =+222:5O x y a +=+12||F F 122F PF π∠=21tan 3PF F ∠=1212tan 3PF PF F PF ∠==123||PF PF =20||()PF m m =>1||3PF m =∴，∴，又，∴双曲线C 的离心率，故A 正确；对于B ，由于到渐近线的距离，故B 正确；对于C ，由离心率得，，∴，∴，，∴的面积为，故C 错误；对于D ，由得双曲线C的方程为：，故其两条渐近线方程为，设为双曲线C 上任意一点，则，即①，到两条渐近线的距离，，∴，故D 正确；故选：ABD.18．（2021·全国（文））已知双曲线的左､右焦点分别是，，直线l 过交C的右支于A ，B 两点，A 在第一象限，若.且，，成等差数列，则以下正确的是（ ）A ．B ．l 的斜率为3C ．CD ．C 的两条渐近线互相垂直【答案】BC 【解析】如图所示：()22221231||0F F m m m =+=12||2F F c ==12||22m PF PF a -==22c e a ===()1,0F c -y =d =e =2103a =21025533c =+=122||F F c ===2||m PF ==1||3PF m ==21PF F V 152=2103a =2211053x y -=y x =0±=(),M p q 2211053q p -=223211010p q -=(),M p q 1d =2d =22123210255p q d d -====2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>1F 2F 2F 190ABF ∠=︒1AF AB 1BF 112AF BF =由于，，成等差数列，则， 由双曲线定义可知，，，所以，又，所以，设，所以，又，所以，即，所以，即，则，故A 错误；的斜率为，故B 正确；又在中，，所以，即，所以离心率，故C 正确；因为，故D 错误；故选：BC. 三、填空题19．（2021·上海高三模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，且___________.【答案】或【解析】因为双曲线的渐近线方程为，1AF AB 1BF 112A F AB F B =+122AF AF a -=122BF BF a -=121222AF AF a BF BF a =+=+，22AF F AB B =+4AB a =2AF x =111226AF x a BF AB AF a x =+=-=-，190ABF ∠=︒22211AF AB BF =+()()2222166x a a a x +=+-3x a =1125,3,AF a BF a BF a ===1153AF BF =l 122123tan tan 3BF aAF x BF F BF a∠=∠===12Rt BF F V 2221212BF BF F F +=()()()22232a a c +=22104a c =c e a ==b a ==312b b a a ⎛⎫⨯- =-≠-⎪⎝⎭320x y ±=c =221818x y -=320x y ±=则可设双曲线的方程为，即，因为所以，解得，所以双曲线的方程为或.故答案为：或.20．（2021·上海浦东新·上外浦东附中高三月考）若双曲线的一个焦点为，则实数__________．【答案】3【解析】双曲线的一个焦点为，所以且，所以.故答案为：321．（2021·上海普陀·曹杨二中）若双曲线的右焦点与圆的圆心重合，则___________.【解析】由可得，所以所以双曲线的右焦点坐标为，由可得，所以圆心坐标为，，解得22．（2021·全国高三月考）已知双曲线：，与共渐近线的双曲线过，则的方程是___________.【答案】2249x y λ-=()221049x y λλλ-=≠c =4926λλ+=2λ=±221818x y -=221188y x -=221818x y -=221188y x -=221x y m -=(2,0)F m =221x y m -=(2,0)F 0m >14m +=3m =2221(0)x y a a -=>2240x y x +-=a =2221x y a -=221c a =+c =)2240x y x +-=()2224x y -+=()2,02=a =a =1C 22148x y-=1C 2C ()2,42C 22184y x -=【解析】设双曲线的方程为：，由题得所以双曲线的方程为：即：.故答案为：23．（2021·全国高三专题练习）已知F 1,F 2是双曲线的左右焦点，若直线与双曲线C 交于P ,Q 两点，且四边形F 1PF 2Q 是矩形，则双曲线的离心率为___________【解析】由题意，矩形的对角线长相等，把代入，得 ，∴， 即4a 2b 2=(b 23a 2)c 2，∴4a 2(c 2a 2)=(c24a 2)c 2，可得e 48e 2+4=0，又e ＞1，∴.24．（2021·河北沧州·高三月考）双曲线的左右焦点分别为，，离心率为，过作直线的垂线交双曲线右支于点P ，若，则____________．2C 2248x y λ-=2224,121,48λλ-=∴=-=-2C 221,48x y -=-22184y x -=22184y x -=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>y =1y =22221(0,0)x y a b a b -=>>x y ==2222243a b c b a=-----24e =+1e =+1()222210,0x y a b a b-=>>1F 2F e 1F b y x a =-123F PF π∠=2e =【解析】设作直线的垂线的垂足为，过点作于，，所以，所以，因为，所以，又因为，根据双曲线的定义得，在中，,所以，即四、解答题25．（2021·全国高三专题练习（文））在①，且的左支上的点与右焦点间的距离的最小值为②的焦距为6，③上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并求解问题．问题：已知双曲线，______，求的方程．1F by x a=-N 2F 21F M F P ⊥M ()()21,0,,0F c F c -1N b F ==12F M b =122F F c =22F M a =123F PF π∠=12222PF PF a a a ⎛=== ⎝+12F PF △22122211221cos 2PF PF P F F F PF F PF +-∠=⋅2212=22c =2e =0m >C 3C C 22:12x y C m m-=C【答案】答案见解析【解析】方案一 选择条件①．因为，所以，，，所以因为的左支上的点到右焦点的距离的最小值为，解得，故的方程为．方案二 选择条件②．因为的焦距为6，所以．若，则，，，所以，解得，则的方程为；若，则，，，所以，解得，则的方程为．综上，的方程为或．方案三 选择条件③．因为上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值为4，所以，即．若，则，所以，解得，则的方程为；若，则，所以，解得，则的方程为．综上，的方程为或．26．（2021·湖南）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为0m >2a m=22b m =2223c a b m =+=a =c =C a c +(13=+=3m =C 22136x y -=C 3c =0m >2a m =22b m =2223c a b m =+=3c ==3m =C 22136x y -=0m <22a m =-2b m =-2223c a b m =+=-3c =3m =-C 22163y x -=C 22136x y -=22163y x -=C 24a =2a =0m >2a m =2a ==4m =C 22148x y -=0m <22a m =-2a ==2m =-C 22142-=y x C 22148x y -=22142-=y x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>)20x y -=C 34πl C ,A B AB l 2214y x -=30x y +-=c =20x y -=所以，由可得 ,解得，，故双曲线的标准方程为（2）设，AB 中点的坐标为则①，②，②①得：，即，又，所以，所以直线的方程为，即27．（2021·福建龙岩·高三三模）已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点.（1）求的值；（2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.【答案】（1）（2.【解析】（1）由题意：，，解得即（2）由（1）知，曲线，点，设直线的方程为：，联立得：，，又，，设，，，2ba=222c a b =+2254a a =+21a =24b =C 2214y x -=1122(,),(,)A x y B x y 0(,4)x 221114y x -=222214y x -=-2222212144y y x x -=-0000444x x k x y ===3tan 14k π==-01x =-l 4(1)y x -=-+30x y +-=0a b >>Γ()22122:10x y C y a b +=≥22222:1(0)x y C y a b -=<1C ()12,0F 2C ()26,0F -,a b l 2F 1C ,A B 1ABF V 4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩12(2,0),(6,0)F F - 2222364a b a b ⎧+=∴⎨-=⎩222016a b ⎧=⎨=⎩4a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩221:1(0)2016x y C y +=≥2(6,0)F -l 6(0)x my m =->22612016x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()225448640m y my +-+=22(48)464(54)0m m ∴∆=-⨯⨯+>0m >1m ∴>()()1122,,,A x y B x y 1224854m y y m ∴+=+1226454y y m =+，面积令，，，当且仅当，即所以. 28．（2021·全国（文））如图，若是双曲线的两个焦点.（1）若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；（2）若P 是双曲线左支上的点，且，试求的面积.【答案】（1）10或22；（2）.【解析】解：（1）是双曲线的两个焦点，则，点M 到它的一个焦点的距离等于16，设点到另一个焦点的距离为，则由双曲线定义可知，，解得或，即点到另一个焦点的距离为或；（2）P 是双曲线左支上的点，则，则，而，所以，即，12y y ∴=-=1ABF ∴V 212111822S F F y y =-=⨯=0t >221m t ∴=+S ∴==32t =m =1ABF V 12,F F 221916x y -=12|||3|2F PF P =⋅12F PF △1216F PF S =△12,F F 221916x y -=3,4,5a b c ===M m |16|26m a -==10m =22m =M 102221||||26PF PF a -==221221||2||||||36PF PF PF PF -⋅+=12|||3|2F PF P =⋅2212||||36232100PF PF +=+⨯=2221212||||||100PF PF F F +==所以为直角三角形，，所以.29．（2021·全国高三专题练习（理））已知双曲线，且其顶点到其渐.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线：与双曲线交于，两点，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题得顶点到渐近线，即离心率，则可解得，故双曲线方程为；（2）设，联立可得，则，解得，则，解得.30．（2021·新疆（文））已知椭圆且与双曲线有相同的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，若，求直线的方程.【答案】（1）；（2.12F PF △1290F PF ∠=︒121211||||321622F PF S PF PF =⋅=⨯=V ()222210,0x y a b a b -=>>l 3y x m =+A B AB =m 22143x y -=6±(),0a b y x a =0bx ay -=c e a ==222+=a b c 2,a b ==22143x y -=()()1122,,,A x y B x y 221433x y y x m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩2233244120x mx m +++=()()22244334120m m ∆=-⨯⨯+>233m >2121224412,3333m m x x x x ++=-=AB ==6m =±()2222:10x y C a b a b +=>>2212x y -=C C F F l C ,A B 1613AB =l 2214x y +=30y -+=30y ++=【解析】（1）由题意，双曲线的焦点为，所以依题意知椭圆中解得：所以椭圆的方程为（2）由（1）知椭圆的左焦点为为依题意可设为直线的方程为设将直线的方程代入椭圆方程整理得解得故直线()222c c e b a c a ===-224,1a b ==C 2214x y +=C F ()l x my =()()1122,,,A x y B x y l 2214x y +=()22410m y +--=1212214y y y y m ∴+==-+-1613==m =l 30y -+=30y ++=。
【精品含答案】高考一轮复习8.2双曲线基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习8.2 双曲线基础训练题（理科）注意：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第I 卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （2007·全国I ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）（A ）112y 4x 22=-（B ）=-4y 12x 22 1（C ）16y 10x 22=-（D ）110y 6x 22=-2. 已知椭圆1n5y m 3x 2222=+和双曲线1n3y m 2x 2222=-有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为（ ）（A ）x 215y ±=（B ）y 215x ±= （C ）x 43y ±= （D ）x 43x ±=3. （2007·四川高考）如果双曲线12y 4x22=-上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是（ ）（A ）364 （B ）362 （C ）62 （D ）324. 已知双曲线1by a x 2222=-（0a >，0b >）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A 。
△OAF 的面积为2a 2（O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）（A ）︒30 （B ）︒45 （C ）︒60 （D ）︒905. （2008·长春模拟）设P 为双曲线112y x 22=-上的一点，1F 、2F 是该双曲线的两个焦点，若=|PF |:|PF |213：2，则△21F PF 的面积为（ ）（A ）36（B ）12（C ）312（D ）246. （2007·浙江高考）已知双曲线1by a x 2222=-（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是准线上的一点，且21PF PF ⊥，ab 4|PF ||PF |21=⋅，则双曲线的离心率是（ ） （A ）2（B ）3（C ）2（D ）3第II 卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
高三数学(理)一轮复习之双基限时训练：曲线与方程(人教新课标).pdf
巩固双基,提升能力一、选择题 1．(2013·泸州诊断)方程＋＝1(k＜8)所表示的曲线是( ) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆 解析：根据方程特点知25－k＞9－k＞0，因此此曲线为椭圆． 答案：B 2．(2013·金华联考)若ab≠0，则方程(ax－y＋b)( bx2＋ay2－ab)＝0表示的曲线只可能是( ) A. B. C. D. 解析：(ax－y＋b)(bx2＋ay2－ab)＝0ax－y＋b＝0或bx2＋ay2－ab＝0，即y＝ax＋b或＋＝1，结合选项可知，选C. 答案：C 3．(2013·焦作模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为( ) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 解析：设P(x，y)，圆心为M(1,0)， 连接MA，则MAPA，且|MA|＝1， 又|PA|＝1， |PM|＝＝. 即|PM|2＝2，(x－1)2＋y2＝2. 答案：D 4．曲线y＝－与曲线y＋|ax|＝0(xR)的交点个数一定是( ) A．两个 B．4个 C．0个 D．与a的值有关 解析：如图所示，据数形结合的方法． 当a＝0时，y＝0，有两个公共点； 当a≠0时，y＝±|a|x(y≤0)，亦有两个公共点． 答案：A 5．(2013·大连、沈阳联考)已知F1、F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则PF1F2的重心G的轨迹方程为( )A.＋＝1 (y≠0)B.＋y2＝1(y≠0) C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0) 解析：设P(x0，y0)、G(x，y)，由三角形重心坐标公式可得即代入＋＝1，得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)． 答案：C6．(2013·延边检测)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：x(y－mx－m)＝0有三个不同的交点，则实数m的取值范围是( ) A. B.∪ C. D.∪ 解析：曲线C1表示圆(x－1)2＋y2＝1，曲线C2表示两条直线x＝0，y＝m(x＋1)，若要两曲线有三个交点，只需直线y＝m(x＋1)与圆有两个交点，但m≠0，因此有0＜＜1，解得m∈∪. 答案：B 二、填空题 7．(2013·苏锡常镇调研)已知点M与双曲线－＝1的左、右焦点的距离之比为23，则点M的轨迹方程为_____． 解析：可得双曲线的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，设点M(x，y)，则有＝，代入整理得x2＋y2＋26x＋25＝0. 答案：x2＋y2＋26x＋25＝0 8．若动点P在曲线y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线中点的轨迹方程是__________． 解析：设P(x1，y1)，PQ中点为M(x，y)， Q(0，－1)， ∴ ∵P(x1，y1)在曲线y＝2x2＋1上，y1＝2x＋1. 2y＋1＝2(2x)2＋1，化简得y＝4x2. PQ中点的轨迹方程为y＝4x2. 答案：y＝4x2 9．已知两定点A(－1,0)，B(2,0)，动点P满足＝，则P点的轨迹方程是__________． 解析：设P(x，y)，则根据两点间距离公式，得 |PA|＝，|PB|＝， 又＝，＝.整理，得(x＋2)2＋y2＝4即为所求. 答案：(x＋2)2＋y2＝4 三、解答题 10．(2013·济南调研)已知定点F(0,1)和直线l1：y＝－1，过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C. (1)求动点C的轨迹方程； (2)过点F的直线l2交轨迹于两点P、Q，交直线l1于点R，求·的最小值． 解析：(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离， 于是点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线， 故所求轨迹的方程为x2＝4y. (2)由题意，直线l2的方程为y＝kx＋1，与抛物线方程联立，消去y，得x2－4kx－4＝0. 记P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. 因为直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为， ·＝·＝＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(1＋k2)x1x2＋(x1＋x2)＋＋4 ＝－4(1＋k2)＋4k＋＋4 ＝4＋8， k2＋≥2，当且仅当k2＝1时取到等号， ·≥4×2＋8＝16，即·的最小值为16. 11．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－. (1)求动点P的轨迹方程； (2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M、N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 解析：(1)因为点B与点A(－1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，－1)． 设点P的坐标为(x，y)． 由题意，得·＝－. 化简，得x2＋3y2＝4(x≠±1)．故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)． (2)方法一：设点P的坐标为(x0，y0)，点M、N的坐标分别为(3，yM)、(3，yN)， 则直线AP的方程为y－1＝(x＋1)， 直线BP的方程为y＋1＝(x－1)． 令x＝3，得yM＝，yN＝. 于是PMN的面积 SPMN＝|yM－yN||3－x0|＝.又直线AB的方程为x＋y＝0，|AB|＝2， 点P到直线AB的距离d＝， 于是PAB的面积 SPAB＝|AB|·d＝|x0＋y0|. 当SPAB＝SPMN时，得|x0＋y0|＝. 又因为|x0＋y0|≠0， 所以(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝. 因为x＋3y＝4，所以y0＝±.故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为. 方法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0，y0)， 则|PA|·|PB|sinAPB＝|PM|·|PN|sinMPN. 因为sinAPB＝sinMPN， 所以＝. 所以＝. 即(3－x0)2＝|x－1|，解得x0＝. 因为x＋3y＝4，所以y0＝±. 故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为. 12．(2013·陕西调研)设x，yR，i、j为直角坐标平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8.(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设＝＋，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由． 解析：(1)a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8， 点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0,2)的距离之和为8. 点M的轨迹C为以F1、F2为焦点的椭圆， 其方程为＋＝1.(2)∵l过y轴上的点(0,3)，若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点，这时＝＋＝0. P与Q重合，与四边形OAPB是菱形矛盾． 于是假设直线l的斜率存在，其方程为y＝kx＋3， A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由消y，得(4＋3k2)x2＋18kx－21＝0. 此时Δ＝(18k)2－4(4＋3k2)(－21)＞0恒成立， 且x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2)＋6. ＝＋，四边形OAPB是平行四边形． 若存在直线l使得四边形OAPB是菱形，则||＝||. ＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， x＋y＝x＋y. x－x＋y－y＝0. (x1＋x2)(x1－x2)＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0. (k2＋1)(x1＋x2)＋6k＝0， k＝0. 故存在这样的直线l，使四边形OAPB为菱形，其方程为y＝3.。
浙江新高考数学理一轮复习限时集训：8.6双曲线(含答案详析)
限时集训(五十一) 双 曲 线(限时：50分钟 满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．若k ∈R 则“k >5”是“方程x 2k －5－y 2k ＋2＝1表示双曲线”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2013·杭州模拟)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( ) A. 3B ．2C ．3D ．63．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1 4．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是2x ±y ＝0，则其离心率为( ) A. 5B.52C. 3 D ．55．(2013·惠州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1， 5 )B ．(1， 5 ]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)6．(2013·绍兴模拟)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，渐近线分别为l 1、l 2，点P 在第一象限内且在l 1上，若l 2⊥PF 1，l 2∥PF 2，则双曲线的离心率是( )A. 5B ．2 C. 3 D. 27．(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．若M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3 D. 28．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左，右焦点分别是F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在双曲线上．则PF 1·PF 2＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．已知双曲线x 2m －y 23＝1(m >0)的一条渐近线方程为y ＝32x ，则m 的值为________． 10．(2012·青岛模拟)与椭圆x 212＋y 216＝1具有公共焦点，且离心率互为倒数的双曲线方程是________．11．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．12．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．13．(2013·揭阳模拟)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为________．14．(2012·湖北高考)如图所示，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝________；(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝________.三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．双曲线C 与椭圆x 227＋y 236＝1有相同焦点，且经过点(15，4)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，点P 在双曲线C 上，且∠F 1PF 2＝120°，求△F 1PF 2的面积．16．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ＋ON ＝t OD ，求t 的值及点D 的坐标．17．设双曲线y 2a 2－x 23＝1的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为2. (1)求此双曲线的渐近线l 1，l 2的方程；(2)若A ，B 分别为l 1，l 2上的点，且2|AB |＝5|F 1F 2|，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．答 案[限时集训(五十一)]1．A 2.A 3.B 4.A 5.C 6.B 7.B 8.C9．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ b a ，＝32，b 2＝3，a 2＝m ，解之得m ＝4.答案：410．解析：依题意得，椭圆x 212＋y 216＝1的焦点坐标是(0，±2)，离心率是12，因此所求的双曲线的焦点坐标是(0，±2)，离心率是2，所求双曲线的半焦距是2、实半轴长为1、虚半轴长是22－12＝3，于是所求的双曲线的方程是y 2－x 23＝1. 答案：y 2－x 23＝1 11．解析：双曲线的两个焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r 1＝2，r 2＝1，|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝5.答案：512．解析：由题意得m >0，a ＝m ，b ＝m 2＋4，所以c ＝m 2＋m ＋4.由e ＝c a＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2. 答案：213．解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，则b a ＝12， 故离心率e ＝c a＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52.答案：52 14．解析：(1)由题意可得OB 2＝b ，OF 2＝c ，OA ＝a ，OA ⊥B 2F 2，则a b 2＋c 2＝bc ，∴a 4－3a 2c 2＋c 4＝0.∴e 4－3e 2＋1＝0.∴e 2＝3＋52，即e ＝1＋52. (2)设∠B 2F 2O ＝θ，则sin θ＝b b 2＋c 2，cos θ＝c b 2＋c 2， S 1S 2＝2bc 4a 2sin θcos θ＝2bc 4a 2bc b 2＋c2＝b 2＋c 22a 2＝e 2－12＝2＋52. 答案：(1)1＋52 (2)2＋5215．解：(1)椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)．设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝32＝9.①又双曲线经过点(15，4)，所以16a 2－15b 2＝1，② 解①②得a 2＝4，b 2＝5或a 2＝36，b 2＝－27(舍去)，所以所求双曲线C 的方程为y 24－x 25＝1. (2)由双曲线C 的方程，知a ＝2，b ＝5，c ＝3.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|m －n |＝2a ＝4，平方得m 2－2mn ＋n 2＝16.①在△F 1PF 2中，由余弦定理得(2c )2＝m 2＋n 2－2mn cos 120°＝m 2＋n 2＋mn ＝36.②由①②得mn ＝203. 所以△F 1PF 2的面积为S ＝12mn sin 120°＝533. 16．解：(1)∵由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b 23x ，即bx －23y ＝0. ∴|bc |b 2＋12＝3，解得b 2＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1.∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．17．解：(1)∵e ＝2，∴c 2＝4a 2.∵c 2＝a 2＋3，∴a ＝1，c ＝2.∴双曲线方程为y 2－x 23＝1，渐近线方程为y ＝±33x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x ，y )．∵2|AB |＝5|F 1F 2|，∴|AB |＝52|F 1F 2|＝52×2c ＝10. ∴ (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝10.又y 1＝33x 1，y 2＝－33x 2,2x ＝x 1＋x 2,2y ＝y 1＋y 2， ∴y 1＋y 2＝33(x 1－x 2)， y 1－y 2＝33(x 1＋x 2)， ∴ [3(y 1＋y 2)]2＋⎣⎡⎦⎤33(x 1＋x 2)2＝10， ∴3(2y )2＋13(2x )2＝100， 即x 275＋3y 225＝1. 则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆．。
高考数学一轮复习 专练52 双曲线(含解析)理 新人教版-新人教版高三全册数学试题
专练52 双曲线命题X 围：双曲线的定义、标准方程与简单的几何性质[基础强化]一、选择题1．平面内到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)距离差的绝对值等于8的动点P 的轨迹方程为( )A.x 225－y 216＝1 B.y 216－x 29＝1 C.x 29－y 216＝1 D.x 216－y 29＝1 2．设过双曲线x 2－y 2＝9左焦点F 1的直线交双曲线的左支于点P ，Q ，F 2为双曲线的右焦点．若|PQ |＝7，则△F 2PQ 的周长为( )A ．19B ．26C ．43D ．503．[2019·某某卷]渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22B ．1 C. 2 D ．24．若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值X 围是( )A ．(2，＋∞) B．(2，2) C ．(1，2) D ．(1,2)5．[2019·某某卷]已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D. 56．[2020·全国卷Ⅲ]设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．87．设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192B ．11C ．12D ．168．[2020·某某某某高三测试]双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，其渐近线与圆(x －a )2＋y 2＝34相切，则该双曲线的方程为( )A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 29＝1C.x 22－y 25＝1D.x 24－y 212＝1 9．[2020·某某摸底]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)和双曲线E ：x 2－y 2＝1有相同的焦点F 1，F 2，且离心率之积为1，P 为两曲线的一个交点，则△F 1PF 2的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 二、填空题10．双曲线x 29－y 216＝1上一点M 到其中一个焦点的距离为7，则点M 到另一个焦点的距离为________．11．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.12．[2020·全国卷Ⅰ]已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________．[能力提升]13．[2019·全国卷Ⅲ]双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO |＝|PF |，则△PFO 的面积为( )A.324 B.322C ．2 2D ．3 214．[2020·全国卷Ⅱ]设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．3215．[2020·某某某某一中高三测试]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为________________________．16．[2020·某某一中高三测试]若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上存在一点P 满足以|OP |为边长的正方形的面积等于2ab (其中O 为坐标原点)，则双曲线的离心率的取值X 围是________．专练52 双曲线1．D 由题意得a ＝4，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－16＝9，又焦点落在x 轴上，∴其双曲线方程为x 216－y 29＝1.2．B x 2－y 2＝9可化为x 29－y 29＝1，∴a ＝3，由双曲线的定义知|PF 2|＝2a ＋|PF 1|，|QF 2|＝2a ＋|QF 1|， ∴△F 2PQ 的周长L ＝|PQ |＋|PF 2|＋|QF 2| ＝|PQ |＋2a ＋|PF 1|＋2a ＋|QF 1| ＝2|PQ |＋4a ＝2×7＋4×3＝26.3．C 本题主要考查双曲线的离心率，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．因为双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，所以无论双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，都满足a ＝b ，所以c ＝2a ，所以双曲线的离心率e ＝c a＝ 2.故选C.4．C ∵c 2＝a 2＋1，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2，又a 2>1，∴0<1a2<1，∴1<1＋1a2<2，∴1<e < 2.5．D 本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、双曲线的离心率等，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．由题意，可得F (1,0)，直线l 的方程为x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax .将x＝－1代入y ＝±b ax ，得y ＝±b a，所以点A ，B 的纵坐标的绝对值均为b a.由|AB |＝4|OF |可得2ba＝4，即b ＝2a ，b 2＝4a 2，故双曲线的离心率e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝ 5. 6．A 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则|r 1－r 2|＝2a ，∴r 21＋r 22－2r 1r 2＝4a 2. 由于F 1P ⊥F 2P ，则r 21＋r 22＝4c 2，∴4c 2－2r 1r 2＝4a 2，∴r 1r 2＝2b 2.∵S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝12×2b 2＝b 2＝4，∴e ＝1＋b 2a2＝1＋4a2＝5，解得a 2＝1，即a＝1.故选A.7．B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，所以|BF 2|＋|AF 2|＝8＋|AF 1|＋|BF 1|＝8＋|AB |，显然，当AB 为通径时，其长度最短，|AB |min ＝2·b 22＝3，故(|BF 2|＋|AF 2|)min ＝11.8．A 由题意得到e ＝c a＝2，∴b ＝3a ，则双曲线的渐近线方程为y ＝±3x .渐近线与圆(x －a )2＋y 2＝34相切，∴|3a |2＝32，又a >0，∴a ＝1，b ＝ 3.则双曲线方程为：x 2－y 23＝1.故答案为A.9．B ∵x 2－y 2＝1的焦点(±2，0)，e 1＝c a＝2，∴由题意得x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点坐标为(±2，0)，e ＝22，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2＝2，a 2－b 2a＝22，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2.∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.设P 为两曲线右边的交点，由椭圆、双曲线的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2×2，|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，又|F 1F 2|＝22，且|PF 2|2＋|F 1F 2|2＝1＋(22)2＝1＋8＝9＝|PF 1|2， ∴△PF 1F 2为直角三角形． 10．13解析：由题意，a 2＝9，所以a ＝3.设点M 到另一个焦点的距离为d ，由双曲线的定义知，|7－d |＝2a ＝2×3＝6，所以d ＝1(舍)或d ＝13.即点M 到另一个焦点的距离为13.11.33解析：∵双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线方程为y ＝±xa，∴1a ＝3，a ＝33. 12．2解析：点B 为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，点A 坐标为(a,0)，∵AB 的斜率为3，∴b 2ac －a ＝3，即c 2－a 2a c －a ＝c ＋aa＝e ＋1＝3，∴e ＝2.故离心率e ＝2. 13．A 本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质、三角形的面积，考查数形结合思想，考查的核心素养是直观想象、数学运算．不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以|OF |＝ 6.又tan∠POF ＝b a ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324. 14．B 直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线y ＝±bax 分别交于D 、E 两点，则|DE |＝|y D－y E |＝2b ，所以S △ODE ＝12·a ·2b ＝ab ，即ab ＝8.所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16(当且仅当a ＝b 时取等号)，即c min ＝4，所以双曲线的焦距2c 的最小值为8，故选B.15.x 28－y 28＝1解析：由双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点坐标为(4,0)，可得c ＝4，即有a2＋b 2＝c 2＝16，由双曲线的两条渐近线互相垂直， 即直线y ＝b a x 和直线y ＝－b ax 垂直， 可得a ＝b ， 则a ＝b ＝22，则该双曲线的方程为x 28－y 28＝1.16.⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 解析：由题意，|OP |＝2ab ，又|OP |≥a ，则2ab ≥a ，即2ab ≥a 2，得2b ≥a,4b 2＝4(c 2－a 2)≥a 2，所以c 2a 2≥54，所以e ≥52，即e 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.。
高三数学一轮复习-双曲线 (带答案)
解析几何—双曲线一、学习目标知识与技能：了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在解决实际问题时的应用。
过程与方法：掌握双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质。
情感态度价值观：理解数形结合的思想，了解椭圆的简单应用。
二、学习重难点重点：双曲线的定义的灵活应用、利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率求值问题。
难点：双曲线的综合问题三、考纲解读：掌握双曲线的定义、标准方程,能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程. 四、知识链接1.共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在 轴上．2.双曲线的形状与e 的关系：∵双曲线渐近线的斜率k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a2－1＝e 2－1，∴e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．3. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为 ，而双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为 应注意其区别与联系．4．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有 个交点． 五、基础检测A1．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支【答案】A 因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线：0,3y x =≥A2．若12,F F 分别是双曲线2211620x y-=的左、右焦点,P 为双曲线C 上一点,且19PF =,则2PF 的长为( )A ．1B ．17或1C ．17D ．12【答案】C 因为194610PF a c =<+=+=,所以P 必在双曲线左支上, :212248PF PF a -==⨯=,又19PF =,所以298PF -=,解得:217PF =,A3．若00(,)P x y 是双曲线22124x y -=左支上一点，则0x 的取值范围是_____【答案】(,-∞六、学习过程B1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B CD 【答案】B122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =.连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=o Q ，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅o ，c ∴=，ce a∴== B2．已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线的左右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于（ ）AB C ．54D ．45【答案】D 由题意得双曲线22:1169x y C -=得4a =, 3b =,根据双曲线的定义得:28PB PA a -==‖,又210AB c ===, 从而由正弦定理,得sin sin 4sin 5PB PA A B P AB --==‖，B4．双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，且过点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:1l y kx =+与双曲线C 左支交于,A B 两点，求k 的取值范围；【答案】（1）2212y x -=；（2） （1）因为双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，所以设双曲线C 的方程为222y x λ-=，把点代入C中，即(22λ-=，解得λ1=-，所以双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：()222230k x kx ---=，①因为直线与双曲线左支有两个交点,A B ，设()()1122,,,A x y B x y ，且120,0x x <<，解不等式()2221221222041220202302k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪+->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪-⎪=>-⎩，解得：k k k ⎧<<⎪⎪≠⎨⎪>⎪⎩k <<B5．已知双曲线两个焦点分别是())12,F F，点)P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程;（2）过双曲线的右焦点2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线交于,A B 两点，求1F AB ∆的周长.【答案】（1）221x y -=；（2）12 （1）()22,0F，)P2P F x∴⊥轴 221b PF a∴==且c =又222c a b =+，即220a a +-=，解得：1a = 21b ∴=∴双曲线的标准方程为：221x y -=（2）由（1）知，双曲线渐近线为y x =，倾斜角为45 直线AB 过2F 且倾斜角为60 ,A B ∴均在双曲线的右支上122BF BF ∴-=，122AF AF -= 112244AF BF AF BF AB ∴+=++=+设直线AB方程为：y x =代入双曲线方程得：2270x -+=4AB ∴== 1F AB ∴∆的周长为：114212AF BF AB AB ++=+=七、达标检测A1．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C ∵k ＞1，∴1+k >0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，A2．已知双曲线的渐近线为2y x =±，实轴长为4，则该双曲线的方程为（ ） A ．22142x y -=B ．22142x y -=或22148y x -=C ．22148y x -=D ．22142x y -=或22148y x -=【答案】D双曲线的渐近线方程为2y x =±，实轴长为4，24a ∴=，则2a =，∴当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22214x y b -=，0b >，此时2b =b =∴双曲线方程为22142x y -=，当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22214y x b-=，0b >，此时22b =，解得b =22148x y -=． B3．已知双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则m =（ ）A ．1B C ．2D ．3【答案】A 双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线方程为y =将y =0= 由双曲线的渐近线0±=与圆22(2)3x y -+==解得1m = C4．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．3【答案】B 因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以B5．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A B C ．12D ．12【答案】D设该双曲线方程为2222100x ya ba b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为by xa=±，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为FBb bkc c-==--，∵直线FB与直线by xa=互相垂直，1b bc a∴-⨯=-,2b ac∴=,22222b c a c a ac=-∴-=，,210e e∴--=,e∴=,。
2025年高考数学一轮复习-第42讲-双曲线-专项训练【含解析】
2025高考数学一轮复习-第42讲-双曲线-专项训练【原卷版】1．“方程x2m－1－y2m＋2＝1表示双曲线”的一个必要不充分条件为() A．m∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．m∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．m∈(－∞，－2)D．m∈(1，＋∞)2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为3x±y＝0，则该双曲线实轴长为()A．2B．1C．3D．233．设双曲线C：x2a2－y224a2＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为C右支上的一点，且PF1⊥PF2，则tan∠PF2F1＝()A．43B．74C．2D．1254．已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝34－x2图象上的点，则|OP|＝()A．222B．4105C．7D．105．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2m＋n－y2m－n＝1的左、右焦点，且|F1F2|＝4，则下列结论正确的有()A．m＝2B．当n＝0时，C的离心率是2C．F1到渐近线的距离随着n的增大而减小D．当n＝1时，C的实轴长是虚轴长的两倍6．(多选)设F1，F2分别是双曲线C：x2－y2b＝1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与C 交于A，B两点，若△ABF1为正三角形，则()A．b＝2B．C的焦距为25C ．C 的离心率为3D ．△ABF 1的面积为437．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，O 为坐标原点，P 为双曲线C右支上一点，|PF |－|PO |＝2a ，则双曲线C 的离心率的取值范围是________．8．已知点A 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，点O 是坐标原点，直线OA 的斜率为33，若线段OA 的垂直平分线经过双曲线的顶点，则双曲线的渐近线方程为________．9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x－y ＝0．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．10．(多选)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1―→·MF 2―→＝0，双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点．若∠F 1PF 2＝π3，则下列各项正确的是()A ．e 2e 1＝2B ．e 1e 2＝32C ．e 21＋e 22＝52D ．e 22－e 21＝111．已知双曲线C ：x 2k －y 25＝1(k ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且双曲线C 的焦距为10，则k ＝________；若点P 在双曲线C 上，且cos ∠F 1PF 2＝23，则△F 1PF 2的面积为________．12．试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y ＝±2x 的双曲线方程____________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx 交双曲线C 于M ，N 两点．(1)若M (2,3)，四边形MF 1NF 2的面积为12，求双曲线C 的方程；(2)若33≤k ≤3，且四边形MF 1NF 2是矩形，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．14．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A．(1,2)B．(1,3)C．(3，＋∞)D．(2,3)15．在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(－17，0)，F2(17，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2．记M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)设点T在直线x＝12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．2025高考数学一轮复习-第42讲-双曲线-专项训练【解析版】1．“方程x 2m －1－y 2m ＋2＝1表示双曲线”的一个必要不充分条件为()A ．m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．m ∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．m ∈(－∞，－2)D ．m ∈(1，＋∞)解析：A由方程x 2m －1－y 2m ＋2＝1表示双曲线，知(m －1)·(m ＋2)＞0，∴m ∈(－∞，－2)∪(1，＋∞)，故它的一个必要不充分条件为m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选A ．2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F (2,0)，渐近线方程为3x ±y ＝0，则该双曲线实轴长为()A ．2B ．1C ．3D ．23解析：A由题意知，渐近线方程为y ＝±3x ，则ba＝3，又焦点为F (2,0)，即c ＝2，所以c 2＝a 2＋b 2＝4a 2＝4，则a 2＝1，即a ＝1或－1(舍去)，所以实轴长为2a ＝2，故选A ．3．设双曲线C ：x 2a 2－y 224a 2＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，若P 为C 右支上的一点，且PF 1⊥PF 2，则tan ∠PF 2F 1＝()A ．43B ．74C ．2D ．125解析：A易知c 2＝25a 2，则c ＝5a ，|F 1F 2|＝2c ＝10a ．因为P 为C 右支上的一点，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ．因为PF 1⊥PF 2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，则(|PF 2|＋2a )2＋|PF 2|2＝100a 2，解得|PF 2|＝6a (负值舍去)，所以|PF 1|＝8a ，故tan ∠PF 2F 1＝|PF 1||PF 2|＝43．故选A ．4．已知点O (0,0)，A (－2,0)，B (2,0)．设点P 满足|PA |－|PB |＝2，且P 为函数y ＝34－x 2图象上的点，则|OP |＝()A ．222B ．4105C ．7D ．10解析：D由|PA |－|PB |＝2<|AB |＝4，知点P 的轨迹是双曲线的右支，点P 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ≥1)，又y ＝34－x 2，所以x 2＝134，y 2＝274，所以|OP |＝x 2＋y 2＝134＋274＝10，故选D ．5．(多选)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2m ＋n －y 2m －n ＝1的左、右焦点，且|F 1F 2|＝4，则下列结论正确的有()A ．m ＝2B ．当n ＝0时，C 的离心率是2C ．F 1到渐近线的距离随着n 的增大而减小D ．当n ＝1时，C 的实轴长是虚轴长的两倍解析：AC对于选项A ：由双曲线的方程可得a 2＝m ＋n ，b 2＝m －n ，所以c 2＝a 2＋b 2＝m ＋n ＋m －n ＝2m ，因为2c ＝4，所以c ＝2，所以c 2＝2m ＝4，可得m ＝2，故选项A 正确；对于选项B ：当n ＝0时，双曲线C ：x 22－y 22＝1，此时a 2＝b 2＝2，c 2＝4，所以离心率e ＝c 2a 2＝2，故选项B 不正确；对于选项C ：双曲线C ：x 2m ＋n －y 2m －n ＝1中，由选项A 知：m ＝2，a 2＝2＋n ，b 2＝2－n ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±ba x ，不妨取焦点F 1(－2,0)，则F 1到渐近线的距离d ＝|－2b |4＝b ＝2－n ，所以F 1到渐近线的距离随着n 的增大而减小，故选项C正确；对于选项D ：当n ＝1时，a ＝2＋1＝3，b ＝2－1＝1，所以实轴长为23，虚轴长为2，不满足C 的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D 不正确．故选A 、C ．6．(多选)设F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b ＝1的左、右焦点，过F 2作x 轴的垂线与C交于A ，B 两点，若△ABF 1为正三角形，则()A ．b ＝2B ．C 的焦距为25C ．C 的离心率为3D ．△ABF 1的面积为43解析：ACD 设|AF 2|＝t ，则|AF 1|＝2t ，|F 1F 2|＝3t ，离心率e ＝|F 1F 2||AF 1|－|AF 2|＝3，选项C 正确．因此1＋b1＝3，b ＝2，选项A 正确．|F 1F 2|＝21＋b ＝23，选项B 错误．△ABF 1的面积为12|F 1F 2|2b1＝43，选项D 正确．故选A 、C 、D ．7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，O 为坐标原点，P 为双曲线C右支上一点，|PF |－|PO |＝2a ，则双曲线C 的离心率的取值范围是________．解析：设双曲线C 的右焦点为F 1，由双曲线的定义可知|PF |－|PF 1|＝2a ，又|PF |－|PO |＝2a ，所以|PO |＝|PF 1|，即点P 在OF 1的垂直平分线上，所以P 点的横坐标为c2，因为点P在双曲线上，显然有c 2≥a ，即e ＝ca≥2，所以离心率e 的取值范围是[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)8．已知点A 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上，点O 是坐标原点，直线OA 的斜率为33，若线段OA 的垂直平分线经过双曲线的顶点，则双曲线的渐近线方程为________．解析：不妨设点A 在第一象限，此时线段OA 的垂直平分线经过双曲线的右顶点B (a,0)，如图所示，连接AB ，则|AB |＝|OB |＝a ，根据直线OA 的斜率为33，可得直线OA 的倾斜角为30°，所以直线AB的倾斜角为60°，所以点，32a A 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上，可得94－3a 24b 2＝1，可得3a 2＝5b 2，即b a ＝155，故双曲线的渐近线方程为y ＝±155x ．答案：y ＝±155x 9．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点为(5，0)，一条渐近线方程为2x－y ＝0．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)已知倾斜角为3π4的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点的纵坐标为4，求直线l 的方程．解：(1)由焦点可知c ＝5，又一条渐近线方程为2x －y ＝0，所以ba ＝2，由c 2＝a 2＋b 2可得5＝a 2＋4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，故双曲线C 的标准方程为x 2－y 24＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点的坐标为(x 0,4)，则x 21－y 214＝1，①x 22－y 224＝1，②②－①得x 22－x 21＝y 224－y 214，即k ＝4x 0y 0＝4x 04＝x 0，又k ＝tan 3π4＝－1，所以x 0＝－1，所以直线l 的方程为y －4＝－(x ＋1)，即x ＋y －3＝0．10．(多选)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1―→·MF 2―→＝0，双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点．若∠F 1PF 2＝π3，则下列各项正确的是()A ．e 2e 1＝2B ．e 1e 2＝32C ．e 21＋e 22＝52D ．e 22－e 21＝1解析：BD因为MF 1―→·MF 2―→＝0且|MF 1―→|＝|MF 2―→|，所以△MF 1F 2为等腰直角三角形．设椭圆的半焦距为c ，则c ＝b ＝22a ，所以e 1＝22．在三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝π3，设PF 1＝x ，PF 2＝y ，双曲线C 2的实半轴长为a ′2＋y 2－xy ＝4c 2，＋y ＝22c ，－y |＝2a ′，故xy ＝43c 2，故(x －y )2＝x 2＋y 2－xy －xy ＝8c 23，所以(a ′)2＝2c 23，即e 2＝62，故e 2e 1＝3，e 1e 2＝32，e 21＋e 22＝2，e 22－e 21＝1，故选B 、D ．11．已知双曲线C ：x 2k －y 25＝1(k ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且双曲线C 的焦距为10，则k ＝________；若点P 在双曲线C 上，且cos ∠F 1PF 2＝23，则△F 1PF 2的面积为________．解析：由题意，知2c ＝10，所以c ＝5，所以k ＋5＝25，所以k ＝20．设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|m －n |＝45①．在△F 1PF 2中，由余弦定理，知m 2＋n 2－2mn cos ∠F 1PF 2＝100②．由①②及cos ∠F 1PF 2＝23得mn ＝30．又sin ∠F 1PF 2＝1－cos 2∠F 1PF 2＝53，所以S △F 1PF 2＝12mn sin ∠F 1PF 2＝55．答案：205512．试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y ＝±2x 的双曲线方程____________．解析：∵渐近线方程为2x ±y ＝0，设双曲线方程为4x 2－y 2＝λ，λ≠0，∴双曲线的方程为x 2－y 24＝1(或其他以y ＝±2x 为渐近线的双曲线方程)．答案：x 2－y24＝1(或其他以y ＝±2x 为渐近线的双曲线方程)13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y ＝kx 交双曲线C 于M ，N 两点．(1)若M (2,3)，四边形MF 1NF 2的面积为12，求双曲线C 的方程；(2)若33≤k ≤3，且四边形MF 1NF 2是矩形，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．解：(1)因为直线y ＝kx 交双曲线C 于M ，N 两点，所以M ，N 两点关于原点对称，从而四边形MF 1NF 2是平行四边形，设双曲线C 的焦距为2c ，则四边形MF 1NF 2的面积S ＝2×12×2c ×3＝12，解得c ＝2，从而F 1(－2,0)，F 2(2,0)，所以|MF 2|＝(2－2)2＋(3－0)2＝3，|MF 1|＝(2＋2)2＋(3－0)2＝5，于是2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝2，解得a ＝1，所以b ＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，则N (－x 1，－y 1)．－y 2b 2＝1，kx ，得x 2a 2－k2b2x 22＝1．因为MF 2―→·F 1N ―→＝(x 1＋c ，kx 1)·(－x 1＋c ，－kx 1)＝c 2－(k 2＋1)x 21＝0，所以c 2－(k 2＋1)11a 2－k 2b2＝0，化简得k 2＝b 4a 2(b 2＋c 2)．因为13≤k 2≤3，所以13≤b 4a 2(b 2＋c 2)≤3．由b 4a 2(b 2＋c 2)≤3得e 4－8e 2＋4≤0，解得1＜e ≤3＋1；由13≤b 4a 2(b 2＋c 2)得3e 4－8e 2＋4≥0，解得e ≥2．因此，e 的取值范围为[2，3＋1]．14．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为()A ．(1,2)B ．(1,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)解析：A在△PF 1F 2中，sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，由正弦定理得，|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点，所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，得3a ＋a ＞2c ，即2a ＞c ，所以e ＝ca2，又e ＞1，所以1＜e ＜2，故选A ．15．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(－17，0)，F 2(17，0)，点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝2．记M 的轨迹为C ．(1)求C 的方程；(2)设点T 在直线x ＝12上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，且|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．解：(1)因为|MF 1|－|MF 2|＝2＜|F 1F 2|＝217，所以点M 的轨迹C 是以F 1，F 2分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，半焦距为c ，则2a ＝2，c ＝17，得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝16，所以点M 的轨迹C 的方程为x 2－y 216＝1(x ≥1)．(2)设AB ，PQ 的斜率均存在且不为0，设直线AB 的方程为y－t ＝k k 1≠0)，直线PQ 的方程为y －t ＝k k 2≠0)，－t ＝k 2－y 216＝1，得(16－k 21)x 2－2k －16＝0．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，易知16－k 21≠0，则x A x B 1x A ＋x B 21所以|TA |＝1＋k 21|x A －12|A|TB |＝1＋k 21|x B－12|B则|TA |·|TB |＝(1＋k 21A B＝(1＋k 21)x A x B －12(x A ＋x B )＋14＝(1＋k 21－12·1＋14＝(1＋k 21)(t 2＋12)k 21－16．同理得|TP |·|TQ |＝(1＋k 22)(t 2＋12)k 22－16．因为|TA |·|TB |＝|TP |·|TQ |，所以(1＋k 21)(t 2＋12)k 21－16＝(1＋k 22)(t 2＋12)k 22－16，所以k 22－16＋k 21k 22－16k 21＝k 21－16＋k 21k 22－16k 22，即k 21＝k 22，又k 1≠k 2，所以k 1＝－k 2，即k 1＋k 2＝0．故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0．。
高考数学统考一轮复习课后限时集训54双曲线理含解析新人教版
课后限时集训(五十四) 双曲线建议用时：40分钟一、选择题1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A ．22B ．1C ． 2D ．2 C 〖根据渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线，可得a ＝b ，所以c ＝2a ， 则该双曲线的离心率为e ＝ca＝2，故选C ．〗2．已知双曲线的方程为y 24－x 29＝1，则下列关于双曲线说法正确的是( )A ．虚轴长为4B ．焦距为25C ．离心率为133D ．渐近线方程为2x ±3y ＝0D 〖由题意知，双曲线y 24－x 29＝1的焦点在y 轴上，且a 2＝4，b 2＝9，故c 2＝13，所以选项A ，B 均不对；离心率e ＝c a ＝132，故选项C 不对；由双曲线的渐近线知选项D 正确．故选D ．〗3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A ．x 24－y 23＝1B ．x 29－y 216＝1C ．x 216－y 29＝1D ．x 23－y 24＝1C 〖由题意得e ＝1＋b 2a 2＝54，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1.〗4．(2020·全国卷Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2B 〖法一：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B ．法二：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝3tan 45 °＝3(其中θ＝∠F 1PF 2)，故选B ．〗5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝( )A ．1B ．13C ．17D ．1或13B 〖由题意知双曲线x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，可得4a ＝43，解得a ＝3，所以c ＝a 2＋b 2＝5.又由F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝7，可得点P 在双曲线的左支上，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，可得|PF 2|＝13.故选B ．〗6．(2020·西安模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为2，则其一条渐近线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°B 〖设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点A (a,0)，右焦点F 2(c,0)到渐近线y ＝bax 的距离分别为1和2，则有⎩⎪⎨⎪⎧ab a 2＋b 2＝1，bca 2＋b 2＝2，即a c ＝22. 则b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝c 2a 2－1＝2－1＝1，即ba＝1.设渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则tan θ＝ba ＝1.所以θ＝45°，故选B ．〗7．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A ．x 28－y 210＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 25－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1B 〖由y ＝52x ，可得b a ＝52.① 由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.故选B ．〗8．(2020·南昌模拟)圆C ：x 2＋y 2－10y ＋16＝0上有且仅有两点到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(2，5)B ．⎝⎛⎭⎫53，52 C ．⎝⎛⎭⎫54，52D ．(5，2＋1)C 〖不妨设该渐近线经过第二、四象限，则该渐近线的方程为bx ＋ay ＝0.因为圆C ：x 2＋(y －5)2＝9，所以圆C 的圆心为(0,5)，半径为3，所以2＜|5a |a 2＋b 2＜4，结合a 2＋b 2＝c 2，得54＜c a ＜52，所以该双曲线的离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫54，52.〗 二、填空题9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝ ；b ＝ .1 2 〖由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba＝2.又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.〗10．(2020·南宁模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是 ．2 〖由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0， 解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．〗11．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是 ．(0,2) 〖对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．〗 12．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝ ，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝ .0 3 〖由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ， 又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ， 即m ＋n ＝3，则4e 21－e 22＝4×4－m 4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.〗1．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为 ．2 〖如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB ．又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线， 即BF 2∥OA ， BF 2＝2OA ． 由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ， 则OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1， 又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝180°， 得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°， 又渐近线OB 的斜率为ba ＝tan 60°＝3，所以该双曲线的离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝1＋(3)2＝2.〗2．(2020·黄冈模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，则该双曲线的标准方程为 ．已知点A (－6,0)，若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△P AF 的周长的最小值为 ．y 216－x 248＝1 28 〖∵双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝13，a 2＋b 2＝8，解得a ＝4，b ＝4 3. ∴双曲线的标准方程为y 216－x 248＝1.设双曲线的上焦点为F ′(0,8)，则|PF |＝|PF ′|＋8， △P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋|P A |＋|AF |＋8.当P 点在第二象限，且A ，P ，F ′共线时，|PF ′|＋|P A |最小，最小值为|AF ′|＝10. 而|AF |＝10，故△P AF 的周长的最小值为10＋10＋8＝28.〗。
高三数学一轮复习 双曲线双基限时训练 理(含解析)
2014届高三数学一轮复习 双曲线双基限时训练 理（含解析）巩固双基,提升能力一、选择题1．(2012·大纲全国)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45 解析：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m . 又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C. 答案：C2．(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±b ax 上，得a ＝2b .结合c ＝5，得4b 2＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1.答案：A3．(2012·课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C.答案：C4．(2012·福建)已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5解析：y 2＝12x 的焦点为(3,0)，由题意得，4＋b 2＝9，b 2＝5，双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线y ＝52x 的距离d ＝|5×3－0|5＋4＝ 5. 答案：A5．(2012·浙江)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233 B.62C. 2D. 3 解析：依题意得直线F 1B 的方程为y ＝bcx ＋b ，M 点坐标为(3c,0)，那么可知线段PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－c b(x －3c )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝bc x ＋b ，y ＝－ba x ，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bc x ＋b ，y ＝ba x ，解得点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，那么可得线段PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2，c 2b ，代入y ＝－c b (x －3c )并整理，可得2c 2＝3a 2，可得e ＝c a ＝32＝62，故应选B. 答案：B6．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：依题意a 2－b 2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，解得x ＝±ab 4a 2＋b 2，故被椭圆截得的弦长为25ab 4a 2＋b 2，又C 1把AB 三等分，所以25ab4a 2＋b2＝2a 3，两边平方并整理得a 2＝11b 2，代入a 2－b 2＝5得b 2＝12，故选C. 答案：C 二、填空题7．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为______．解析：由题意，双曲线的焦点在x 轴上且m ＞0，所以e ＝m 2＋m ＋4m＝5，所以m ＝2.答案：28．(2013·山东泰安调研)P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为__________．解析：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F 1和F 2)恰为双曲线x 2－y 215＝1的两焦点．当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大，|PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和，同样|PN |最小＝|PF 2|－1，从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.答案：59．(2012·湖北)如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝__________.(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝__________. 解析：(1)由图可知，点O 到直线F 1B 2的距离d 与圆O 的半径OA 1相等， 又直线F 1B 2的方程为x －c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0.所以d ＝bc b 2＋c2＝a ，整理得b 2(c 2－a 2)＝a 2c 2，即(c 2－a 2)2＝a 2c 2，得c 2－a 2＝ac . 所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(负值舍去)． (2)连接OB (图略)，设BC 与x 轴的交点为E ，由勾股定理得|BF 1|＝c 2－a 2＝b . 由等面积法得|BE |＝|F 1B ||OB ||F 1O |＝abc，则|OE |＝|OB |2－|BE |2＝a 2c.进一步得到S 2＝2|OE |·2|EB |＝4a 3bc2.又因为S 1＝12|F 1F 2||B 1B 2|＝2bc ，所以S 1S 2＝c 32a 3＝12e 3＝5＋22.答案：(1)5＋12；(2)5＋22三、解答题10．(2013·安徽质检)已知点M 是圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝12上的动点，点A (2,0)，线段AM 的中垂线交直线MB 于点P .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与曲线C 交于R ，S 两点，D (0，－1)，且有|RD |＝|SD |，求m 的取值范围．解析：(1)由题意得|PM |＝|PA |，结合图形得||PA |－|PB ||＝|BM |＝23，∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线，且2a ＝23，a ＝3，c ＝2，于是b ＝1，故P 点的轨迹C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，(*)由直线与双曲线交于R ，S 两点，显然1－3k 2≠0，Δ＝(6km )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＝12(m 2＋1－3k 2)＞0，设x 1，x 2为方程(*)的两根，则x 1＋x 2＝6km1－3k 2，设RS 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k2， 故线段RS 的中垂线方程为y －m1－3k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3km 1－3k 2. 将D (0，－1)代入化简得4m ＝3k 2－1，故m ，k 满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1－3k 2＞0，4m ＝3k 2－1.消去k 2即得m 2－4m ＞0，即得m ＜0或m ＞4， 又4m ＝3k 2－1≥－1，且3k 2－1≠0， ∴m ≥－14，且m ≠0，∴m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)． 11．(2013·云南检测)双曲线S 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝62，直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于433. (1)求双曲线S 的方程；(2)设经过点(－2,0)，斜率等于k 的直线与双曲线S 交于A ，B 两点，且以A ，B ，P (0,1)为顶点的△ABP 是以AB 为底的等腰三角形，求k 的值．解析：(1)根据已知设双曲线S 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵e ＝c a ＝62，∴c ＝62a ，b 2＝c 2－a 2＝a 22.∴双曲线S 的方程可化为x 2－2y 2＝a 2，∵直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于433，右焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫62a ，0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×6a 2＋523＝433，解方程得a ＝ 2.∴双曲线S 的方程为x 2－2y 2＝2.(2)经过点(－2,0)，斜率等于k 的直线的方程为y ＝k (x ＋2)． 根据已知设A (x 1，kx 1＋2k )，B (x 2，kx 2＋2k )，则AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，k x 1＋x 2＋4k 2，△ABP 是以AB 为底的等腰三角形⇔PM ⊥AB .①如果k ＝0，直线y ＝k (x ＋2)与双曲线S 交于(－2，0)，(2，0)两点，显然满足题目要求．②如果k ≠0，由PM ⊥AB 得k ×k PM ＝－1. ∵k PM ＝k x 1＋x 2＋4k －2x 1＋x 2，∴k ×k x 1＋x 2＋4k －2x 1＋x 2＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2y 2＝2，y ＝k x ＋2得(1－2k 2)x 2－8k 2x －8k 2－2＝0.根据已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－2k 2≠0，Δ＝64k 4＋41－2k28k 2＋2＝16k 2＋8＞0，∴k ≠±22. ∵x 1＋x 2＝8k21－2k2，∴k PM ＝k x 1＋x 2＋4k －2x 1＋x 2＝2k 2＋2k －14k2.∴k ×k PM ＝k ×2k 2＋2k －14k 2＝2k 2＋2k －14k ＝－1，即2k 2＋6k －1＝0， 解方程得k 1＝－3－112，k 2＝－3＋112.综上，k ＝－3－112，或k ＝0，或k ＝－3＋112.12．(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．解析：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程为：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.∴所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ， ∵直线PQ 与已知圆相切，∴|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )， ∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |＞22， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，∴|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1. 设O 到直线MN 的距离为d . ∵(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，∴1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．。
2021年高考数学一轮复习 8.6 双曲线课时作业 理(含解析)新人教A版
2021年高考数学一轮复习 8.6 双曲线课时作业 理（含解析）新人教A版一、选择题1．(xx·吉林市期中复习检测)设双曲线y 29－x 2a 2＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±4y ＝0，则双曲线的离心率为( )A.54B.53C.74D.7解析：由双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0知a 2＝16，双曲线的离心率为e ＝9＋163＝53，故选B. 答案：B2．(xx·北京朝阳期末考试)已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线上，且线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.x 22－y 23＝1 D.x 23－y 22＝1 解析：由题可知c ＝5，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，画图可得P (5，4)，故可得双曲线方程为x 2－y 24＝1.答案：B3．(xx·湖北武汉高三调研测试)已知椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)和双曲线x 2n－y 2＝1(n >0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m 、n 变化而变化解析：如图，对椭圆x 2m ＋y 2＝1(m >1)，c 2＝m －1，|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，对双曲线x 2n－y 2＝1，c 2＝n ＋1，|PF 1|－|PF 2|＝2n ，∴|PF 1|＝m ＋n ，|PF 2|＝m －n ，(2c )2＝2(m ＋n )， 而|PF 1|2＋|PF 2|2＝2(m ＋n )＝(2c )2， ∴△F 1PF 2是直角三角形．选B. 答案：B4．(xx·山东滨州模拟)圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线C 的离心率为( )A.23或32B.23或2 C.12或2 D.12或32解析：不妨设|PF 1|＝4x ，|F 1F 2|＝3x ，|PF 2|＝2x ，若此曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6x ＝2a ，|F 1F 2|＝3x ＝2c ，所以离心率为e ＝2c 2a ＝3x 6x ＝12，若此曲线为双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2x ＝2a ，此时离心率e ＝2c 2a ＝3x 2x ＝32，故选D. 答案：D5．(xx·马鞍山第一次质检)斜率为3的直线与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(1，3)D ．(2，＋∞)解析：由双曲线的性质知b a>3，即得c 2－a 2>3a 2，e >2. 答案：D6．(xx·河北沧州质量监测)已知双曲线的方程为x 2m －y 24＝1，且右顶点到直线y ＝x －4的距离为22，则双曲线的离心率等于( ) A.133B.295C.53或215D.133或295解析：双曲线的右顶点为(m ，0)，它到y ＝x －4的距离为d ＝|m －0－4|2＝22，解得m ＝25或9.∴a ＝5或3，∴e ＝ca ＝133或295. 答案：D7．(xx·郑州第二次质量预测)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以坐标原点O 为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线的左支的两个交点分别为A ，B ，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )A.2＋1B.3＋1C.2＋12 D.3＋12解析：连接OA ，AF 1，|OA |＝|OF 2|＝c ，因△AF 2B 为等边三角形，∴∠AF 2O ＝∠F 2AO ＝30°，∠AOF 2＝120°，|AF 2|＝3c ，△AF 1O 为等边三角形，∴|AF 1|＝c ，|AF 2|－|AF 1|＝3c －c ＝2a ，∴e ＝c a＝23－1＝3＋1，选B.答案：B8．(xx·重庆市模拟)已知A 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线上一点，G 是△PF 1F 2的重心，若GA →＝λPF 1→，则双曲线的离心率为( )A ．2B ．3C ．4D ．与λ的取值有关解析：由已知GA →＝λPF 1→知GA ∥PF 1，即△OAG ∽△OF 1P ，得OG OP ＝OA OF 1＝a c ＝13得e ＝ca ＝3，故选B.答案：B 二、填空题9．(xx·茂名市第一次模拟)已知双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(5，0)，则其渐近线方程为________．解析：由方程知a 2＝1，b 2＝1k ，∴c 2＝5＝1＋1k ，∴k ＝14，即b 2＝4，∴渐近线方程为y＝±bax ＝±2x .答案：y ＝±2x10．(xx·浙江五校第二次联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与圆x 2＋y2－4x ＋2＝0有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：渐近线与圆有交点，即圆心(2,0)到直线y ＝bax 的距离小于等于半径r ，则d ＝2ba 2＋b2≤2⇒c 2≤2a 2⇒1<e ≤ 2. 答案：(]1，211．(xx·温州市高三第二次适应性测试)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°.延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．解析：由题知a ＝1，根据双曲线定义|AF 1|－|AF 2|＝2a 所以|AF 1|＝4，|BF 1|－|BF 2|＝2，∴|BF 1|＝2＋|BF 2|由图知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|∴|BA |＝|BF 1|，△ABF 1为等腰三角形，又因∠F 1AF 2＝45°，所以∠ABF 1＝90°，则△ABF 1为等腰直角三角形，所以|AB |＝|BF 1|＝2 2.所以S △F 1AB ＝12×22×22＝4.答案：4 三、解答题12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上． (1)求双曲线方程；(2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2面积．解：(1)∵e ＝2，∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2，∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43，由(2)知m ＝± 3. ∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝6.13．(xx·江西红色六校高三第二次联考)如图，直角坐标系xOy 中，一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，B 、C 在x 轴上且关于原点O 对称，D 在边BC 上，BD ＝3DC ，△ABC 的周长为12.若一双曲线E 以B 、C 为焦点，且经过A 、D 两点．(1) 求双曲线E 的方程；(2) 若一过点P (m,0)(m 为非零常数)的直线l 与双曲线E 相交于不同于双曲线顶点的两点M 、N ，且MP →＝λPN →，问在x 轴上是否存在定点G ，使BC →⊥(GM →－λGN →)？若存在，求出所有这样定点G 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则B (－c,0)，D (a,0)，C (c,0)．由BD ＝3DC ，得c ＋a ＝3(c －a )，得c ＝2a . ∴⎩⎪⎨⎪⎧|AB |2－|AC |2＝16a 2，|AB |＋|AC |＝12－4a ，|AB |－|AC |＝2a .解之得a ＝1，∴c ＝2，b ＝ 3. ∴双曲线E 的方程为x 2－y 23＝1.(2)设在x 轴上存在定点G (t,0)，使BC →⊥(GM →－λGN →)． 设直线l 的方程为x －m ＝ky ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由MP →＝λPN →，得y 1＋λy 2＝0. 即λ＝－y 1y 2①∵BC →＝(4,0)，GM →－λGN →＝(x 1－t －λx 2＋λt ，y 1－λy 2)， ∴BC →⊥(GM →－λGN →)⇔x 1－t ＝λ(x 2－t )． 即ky 1＋m －t ＝λ(ky 2＋m －t )．②把①代入②，得2ky 1y 2＋(m －t )(y 1＋y 2)＝0③把x －m ＝ky 代入x 2－y 23＝1并整理得(3k 2－1)y 2＋6kmy ＋3(m 2－1)＝0其中3k 2－1≠0且Δ>0，即k 2≠13且3k 2＋m 2>1.y 1＋y 2＝－6km 3k 2－1，y 1y 2＝3m 2－13k 2－1. 代入③，得6km 2－13k 2－1－6km m －t3k 2－1＝0， 化简得kmt ＝k ，当t ＝1m时，上式恒成立．因此，在x 轴上存在定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，使BC →⊥(GM →－λGN →)． [热点预测]14．(1)(xx·南平质检)已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过双曲线Γ的左焦点F 作圆O ：x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B ，则∠AFB ＝( )A ．45° B．60° C．90° D．120°(2)(xx·石家庄质检(二))F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A ．2 B.7 C.13 D.15解析：(1)双曲线的离心率为2，所以c ＝2a ，由题可得如图，所以∠AFB ＝60°.(2)画出图形，由双曲线的定义得|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 2|－|AF 1|＝2a ，又∵△ABF 2为等边三角形，∴|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，|BF 2|＝|BA |＝4a ，|BF 1|＝6a ，△BF 1F 2中|F 1F 2|＝2c ，∠F 1BF 2＝60°.∴由余弦定理可得4c 2＝36a 2＋16a 2－2×6a ×4a ×12，离心率e ＝c a＝7，故选B.答案：(1)B (2)B 23103 5A3F 娿F31863 7C77 籷O!20339 4F73 佳-Y 121679 54AF 咯28376 6ED8 滘31502 7B0E 笎38730 974A 靊。
苏教版高中数学选修高考一轮理双曲线一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word含答案
双曲线分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a ＝________.解析 ∵b ＝3，∴c ＝a 2＋3，∴c a ＝a 2＋3a＝2，∴a ＝1.答案 12．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．解析 焦点(c,0)到渐近线y ＝b ax 的距离为bc a 2＋b2＝b ，则由题意知b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2，∴离心率e ＝c a＝ 5. 答案53．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为________． 解析 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝6，a 2＋b 2＝c2b a ＝3，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝27.答案x 29－y 227＝14．(2011·湖南卷改编)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a ＝________.解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0与已知方程比较系数得a ＝2.答案 25．(2012·苏州市自主学习调查)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为a2，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________．解析 由题意，得2b 2a ＝a 2，即a 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，所以5a 2＝4c 2，e 2＝c 2a 2＝54，e ＝52.答案526．(2012·南京模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为________．解析 由题意知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，A (a,0)，F (c,0)，于是A 是线段BF 的中点，得c －a 2c ＝2a ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0.又e ＞1，所以e ＝2＋1. 答案2＋1二、解答题(每小题15分，共30分)7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率． 解 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c . 将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a 2c 2＝x ，则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14. 由e ＝ca，得e ＝1x ，故e ＝233或e ＝2. ∵0＜a ＜b ，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a2＞2， ∴应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.8．设中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且F 1F 2＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知，得c ＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a ，b ，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m 、n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.所以b ＝6，n ＝2.故椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1、F 2分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则PF 1＋PF 2＝14，PF 1－PF 2＝6，所以PF 1＝10，PF 2＝4.又F 1F 2＝213，故cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝102＋42－21322×10×4＝45. 分层训练B 级 创新能力提升1．(2011·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为________． 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋p2＝4，－p2＝－2，－1＝－2·b a⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，a ＝2，b ＝1⇒c ＝a 2＋b 2＝ 5.∴双曲线的焦距2c ＝2 5. 答案 2 52．(2012·南京调研)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积是________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧PF 1－PF 2＝2，3PF 1＝4PF 2，可解得⎩⎪⎨⎪⎧PF 1＝8，PF 2＝6.又由F 1F 2＝10可得△PF 1F 2是直角三角形， 则S △PF 1F 2＝12PF 1×PF 2＝24.答案 243. (2012·苏州调研一)如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A 、B 为左、右焦点，且双曲线过C 、D 两顶点．若AB ＝4，BC ＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案 x 2－y 23＝14．(2013·南京师大附中调研)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A 、B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析 如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°， 又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12，∴ca＝2. 答案 25．(2012·台州中学模拟)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)解 ∵e ＝2，∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. 又∵双曲线过(4，－10)点，∴λ＝16－10＝6， ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 法一 由(1)知a ＝b ＝6，c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1＝m 3＋23，k MF 2＝m3－23，∴kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝m 2－3，又点(3，m )在双曲线上，∴m 2＝3，∴kMF 1·kMF 2＝－1，MF 1⊥MF 2，MF 1→·MF 2→＝0.法二 ∵MF 1→＝(－3－23，－m )，MF 2→＝(23－3，－m ) ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴m 2＝3，∴MF 1→·MF 2→＝0. (3)解 ∵在△F 1MF 2中，F 1F 2＝43，且|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12·F 1F 2·|m |＝12×43×3＝6.6．(2010·全国Ⅱ卷)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D两点，且BD 的中点为M (1,3)． (1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(1)解 由题意知，l 的方程为y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简，得 (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0. 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1x 2＝－4a 2－a 2b2b 2－a 2. 由M (1,3)为BD 的中点，知x 1＋x 22＝1， 故12×4a 2b 2－a2＝1，即b 2＝3a 2，①∴c ＝a 2＋b 2＝2a ，∴C 的离心率e ＝c a＝2. (2)证明 由①知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2. A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a22<0.故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ， ∴|BF |＝x 1－2a2＋y 21＝x 1－2a2＋3x 21－3a 2＝a －2x 1，∴|FD |＝x 2－2a2＋y 22＝x 2－2a2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1或a ＝－95(舍去)．故|BD |＝2|x 1－x 2|＝ 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝6.连接MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3， 从而MA ＝MB ＝MD ，∴∠DAB ＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在A 处与x 轴相切．∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.。
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2014届高三数学一轮复习 双曲线双基限时训练 理（含解析）巩固双基,提升能力一、选择题1．(2012·大纲全国)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45 解析：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m . 又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝22＋22－422×42×22＝34.故选C. 答案：C2．(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±b ax 上，得a ＝2b .结合c ＝5，得4b 2＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1.答案：A3．(2012·课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C.答案：C4．(2012·福建)已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5解析：y 2＝12x 的焦点为(3,0)，由题意得，4＋b 2＝9，b 2＝5，双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线y ＝52x 的距离d ＝|5×3－0|5＋4＝ 5. 答案：A5．(2012·浙江)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a －y 2b＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233 B.62C. 2D. 3 解析：依题意得直线F 1B 的方程为y ＝bcx ＋b ，M 点坐标为(3c,0)，那么可知线段PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－c b(x －3c )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝bc x ＋b ，y ＝－ba x ，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bc x ＋b ，y ＝ba x ，解得点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，那么可得线段PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2，c 2b ，代入y ＝－c b (x －3c )并整理，可得2c 2＝3a 2，可得e ＝c a ＝32＝62，故应选B. 答案：B6．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：依题意a 2－b 2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，解得x ＝±ab 4a 2＋b 2，故被椭圆截得的弦长为25ab 4a 2＋b 2，又C 1把AB 三等分，所以25ab4a 2＋b2＝2a 3，两边平方并整理得a 2＝11b 2，代入a 2－b 2＝5得b 2＝12，故选C. 答案：C 二、填空题7．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为______．解析：由题意，双曲线的焦点在x 轴上且m ＞0，所以e ＝m 2＋m ＋4m＝5，所以m ＝2.答案：28．(2013·山东泰安调研)P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为__________．解析：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F 1和F 2)恰为双曲线x 2－y 215＝1的两焦点．当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大，|PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和，同样|PN |最小＝|PF 2|－1，从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.答案：59．(2012·湖北)如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝__________.(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝__________. 解析：(1)由图可知，点O 到直线F 1B 2的距离d 与圆O 的半径OA 1相等， 又直线F 1B 2的方程为x －c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0.所以d ＝bc b 2＋c2＝a ，整理得b 2(c 2－a 2)＝a 2c 2，即(c 2－a 2)2＝a 2c 2，得c 2－a 2＝ac . 所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(负值舍去)． (2)连接OB (图略)，设BC 与x 轴的交点为E ，由勾股定理得|BF 1|＝c 2－a 2＝b . 由等面积法得|BE |＝|F 1B ||OB ||F 1O |＝abc，则|OE |＝|OB |2－|BE |2＝a 2c.进一步得到S 2＝2|OE |·2|EB |＝4a 3bc2.又因为S 1＝12|F 1F 2||B 1B 2|＝2bc ，所以S 1S 2＝c 32a 3＝12e 3＝5＋22.答案：(1)5＋12；(2)5＋22三、解答题10．(2013·安徽质检)已知点M 是圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝12上的动点，点A (2,0)，线段AM 的中垂线交直线MB 于点P .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与曲线C 交于R ，S 两点， D (0，－1)，且有|RD |＝|SD |，求m 的取值范围．解析：(1)由题意得|PM |＝|PA |，结合图形得||PA |－|PB ||＝|BM |＝23，∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线，且2a ＝23，a ＝3，c ＝2，于是b ＝1，故P 点的轨迹C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，(*)由直线与双曲线交于R ，S 两点，显然1－3k 2≠0，Δ＝(6km )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＝12(m 2＋1－3k 2)＞0，设x 1，x 2为方程(*)的两根，则x 1＋x 2＝6km1－3k 2，设RS 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k2， 故线段RS 的中垂线方程为y －m1－3k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3km 1－3k 2. 将D (0，－1)代入化简得4m ＝3k 2－1，故m ，k 满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1－3k 2＞0，4m ＝3k 2－1.消去k 2即得m 2－4m ＞0，即得m ＜0或m ＞4， 又4m ＝3k 2－1≥－1，且3k 2－1≠0， ∴m ≥－14，且m ≠0，∴m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)． 11．(2013·云南检测)双曲线S 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝62，直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于433. (1)求双曲线S 的方程；(2)设经过点(－2,0)，斜率等于k 的直线与双曲线S 交于A ，B 两点，且以A ，B ，P (0,1)为顶点的△ABP 是以AB 为底的等腰三角形，求k 的值．解析：(1)根据已知设双曲线S 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵e ＝c a ＝62，∴c ＝62a ，b 2＝c 2－a 2＝a 22.∴双曲线S 的方程可化为x 2－2y 2＝a 2，∵直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于433，右焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫62a ，0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×6a 2＋523＝433，解方程得a ＝ 2.∴双曲线S 的方程为x 2－2y 2＝2.(2)经过点(－2,0)，斜率等于k 的直线的方程为y ＝k (x ＋2)． 根据已知设A (x 1，kx 1＋2k )，B (x 2，kx 2＋2k )，则AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，k x 1＋x 2＋4k 2，△ABP 是以AB 为底的等腰三角形⇔PM ⊥AB .①如果k ＝0，直线y ＝k (x ＋2)与双曲线S 交于(－2，0)，(2，0)两点，显然满足题目要求．②如果k ≠0，由PM ⊥AB 得k ×k PM ＝－1. ∵k PM ＝k x 1＋x 2＋4k －2x 1＋x 2，∴k ×k x 1＋x 2＋4k －2x 1＋x 2＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2y 2＝2，y ＝k x ＋得(1－2k 2)x 2－8k 2x －8k 2－2＝0.根据已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－2k 2≠0，Δ＝64k 4＋－2k2k 2＋＝16k 2＋8＞0，∴k ≠±22. ∵x 1＋x 2＝8k21－2k2，∴k PM ＝k x 1＋x 2＋4k －2x 1＋x 2＝2k 2＋2k －14k2.∴k ×k PM ＝k ×2k 2＋2k －14k 2＝2k 2＋2k －14k ＝－1，即2k 2＋6k －1＝0， 解方程得k 1＝－3－112，k 2＝－3＋112.综上，k ＝－3－112，或k ＝0，或k ＝－3＋112.12．(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．解析：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程为：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.∴所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ， ∵直线PQ 与已知圆相切，∴|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )， ∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |＞22， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，∴|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1. 设O 到直线MN 的距离为d . ∵(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，∴1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．。