1995年全国高中数学联赛
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题
历年全国高中数学联赛试题及答案76套题（一）2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子，墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造，沙发垫墙每平方米需要50元，玻璃门墙每平方米需要80元。
为了满足小川野升平的预算，需要选择合适的方案，可以使花费尽可能少。
请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米，以及花费的最小值。
解：由题意得，房子在四周建墙，所以共4个墙面。
墙面中有一个为门，另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。
因为墙长宽相等，所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的，即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。
用$x$表示使用沙发垫的墙面数量，则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$，进而可列出花费的表达式：$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值，我们需要求出$f(x)$的最小值，即求出$f(x)$的极小值。
因为$f(x)$是$x$的一次函数，所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。
当$f'(x)=0$时，即$x=\frac83$，此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。
当$x<\frac83$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$x>\frac83$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。
所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案，所需面积为$3\times6=18m^2$，花费为$50\times18=900$元。
因此，该房子沙发垫墙面积为18平方米，玻璃门墙面积为0平方米，花费最小值为900元。
2. 对于正整数$n$，记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分，$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值，则$s_n=10T_n-5$。
求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。
谈谈全国高中联赛
2 x 8 2
当然本题数形结合的话效果也很突出，也是不可忽视的解法。涉及的
知识点很多，是比较复杂的问题，但依然是高考考查的重点知识和素
养，此题在高考卷位置就是八九题而已，属于中等题吧。
说明：参考答案给出的解法也很有代表性，其实就是利用复数的基本形式，彻底原始化处理.
按题意设zx 2
4个（一个平几40一个数论40一 个组合50一个数论50，一试80 分钟二试两个半小时）
改
革
永ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
远
在
路
上
（结构稳定、 题型稳定、分 值稳定、二试 代数方向，考 试时间又调整 在调整中稳定
，目前坚持这 一状态，唯一 例外是2015年 加强了平几50 分，2016年又 恢复平几40分 ，但二试题目 难度越来越大
3个（一个平几50一个不等式50一 个组合代数50，一试100分钟二试 两个小时）
3个（一个平几50一个数列50一个 代数50，一试100分钟二试两个小 时）
稳 中 再 变
（结构稳定、题 型稳定、分值稳 定、二试代数方 向，考试时间在
调整中稳定
）
3个（一个平几50一个组合50一个 代数50，一试100分钟二试两个小 时）
说明：本题用直接法也不难解决.abc要么全奇 这时def就全偶，不满足要求 要么一奇两偶 对应的def就两偶一奇且确定要么两奇一偶对应的def就两奇一偶且确定.
abc一奇两偶有C13C32组，两奇一偶有C13C32，故满足要求的排列abcdef共有C13C32A33A33 +C13C32A33A33 =648，而123456的全排列有6！=720种，故所求概率是 648 = 9
2013年高中数学联 合竞赛 （120+180=300 分）
第9方程问题
第9方程问题1方程问题方程问题是初等数学的基础问题,是数学竞赛命题的着力点之一.方程问题包括:解方程(组)与根的问题.一、解方程(组)数学解题的中心是从已知探索未知,解方程(组)是研究处理这一中心问题的有力手段.解方程(组)的基本思想是同解变形与消元降次.1.指对方程 [例1]:(2002年美国数学邀请赛试题)若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+164log 225log 4log log 64225y x y x 的两组解为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则log 30(x 1y 1x 2y 2)= .[解析]:[类题]:1.①(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)方程9x+|1-3x|=5的实数解为 .②(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知1313-+x x =x--1331,则实数x ＝ .③(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)方程xxx x 1812278++=67解的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷多 2.①(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)方程)762(6log 13+-x x =136log 2的解x ＝ .②(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设函数f(x)=lg(10-x+1),方程f(-2x)=f -1(2x)的解为 . ③(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若关于x 的方程ax a x lg 1lg 2+-=x 只有一个实数解,则a 的值等于 .3.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于正整数a,b,c(a ≤b ≤c)和实数x,y,z,w,若①a x=b y=c z=30w②x 1+y 1+z1= w1.试求a+b+c 的值. 2.换元法[例2]:(2005年美国数学邀请赛试题)已知方程2333x-2+2111x+2=2222x+1+1的所有根之和为nm((m,n)=1),则m+n= .[解析]:[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b 是方程log 3x 3+log 27(3x)=-34的两个根,则a+b= . ②(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知log a b+3log b a=213,当a>b>1时,224ba b a ++的值是 .2.①(2006年上海杯高二试题)方程x sinx 2=2在区间[0,20]内有多少个实根？②(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2sinx =cosx 在[0,2π]上的根的个数是 .23.①(2010年美国数学邀请赛试题)已知正实数x,y,z 满足xyz=1081,且lgxlg(yz)+lgylgz=468,则z y x 222lg lg lg ++= .②(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知x ≥1,y ≥1,且log a 2x+log a 2y=log a (ax 2)+log a (ay 2)(其中a>0,a ≠1),则log a (xy)的取值范围是 .3.主元法 [例3]:(2008年全国高中数学联赛试题)方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y zx yz xy z xyz z y x 的有理数解(x,y,z)的个数为 . [解析]:[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)k ∈R,方程x 4-2kx 2+k 2+2k-3=0的实数x 的取值范围是 .②(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数x 、y 、z(x ≠y)满足:5(x-y)+5(z-y)+(z-x)=0,则2)())((y x x z z y ---= .2.(2006年上海交通大学自主招生试题)设k ≥9,解方程:x 3+2kx+k 2x+9k+27=0.3.(第三届国际数学奥林匹克试题)设a 、b 是常数,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++22222z xy b z y x a z y x ,并求出若使x 、y 、z 是互不相同的正数,a 、b 应满足什么条件？4.配方法[例4]:(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x>1,y>1,则方程x+y+13-x +13-y =2(2+x +2+y )的解(x,y)=_____.[解析]:[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程1-x +24-y +39-z =21(x+y+z)的实数解(x,y,z)= . ②(1992年北欧数学奥林匹克试题)试求大于1的实数x,y,z 满足方程:x+y+z+13-x +13-y +13-z =2(2+x +2+y + 2+z ).2.①(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)满足方程:201022009---x x +201022009-+-x x =2的所有实数为 .②(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)如果关于x 的方程x+4121+++x x =a 有且仅有一个实根,则实数a 的取值范围是 .3.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)实数x,y,z 满足x 2+2y=7,y 2+4z=-7,z 2+6x=-14,则x 2+y 2+z 2= .5.不等式法3[例5]:(2006年全国高中数学联赛试题)方程(x2006+1)(1+x 2+x 4+…+x2004)=2006x2005的实数解的个数为 .[解析]:[类题]:1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2cos3x =10x +10–x+1的实根的个数是 . ②(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知a 是正常数且a≠1,则方程a x+a -x+1=3cos 2y 的解是 . ③(2009年全国高中数学联赛上海初赛试题)满足方程log 2[2cos 2(xy)+)(cos 212xy ]=-y 2+y+43.的所有实数对(x,y)= .2.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程x 3–2336x 2+3=0的全部负根之和是 .3.(《数学通报》数学问题1433号)在正实数范围内,解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=)23()23()23(333z z x y y z x x y .6.单调函数法[例6]:(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛试题)方程log 5(3x+4x)=log 4(5x-3x)的解集为 .[解析]:[类题]:1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程3x+4x+5x=6x的解是 .②(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设t=(21)x +(32)x +(65)x,则关于x 的方程(t-1)(t-2)(t-3)=0的所有实数解之和等于 .2.①(2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设方程x 3+x+1=0与x+3x +1=0的根分别是α,β,则α+β= .②(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若α,β分别是方程log 2x+x+2=0和2x+x+2=0的根,则α+β= .③(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)设α是方程x10x=2011的解,β是方程xlgx=2011的解,则αβ= .2011.3.①(1983年第17届全俄数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=yy y x xx x y 2323232232. ②(1990年第16届全俄数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--313131232323x x z z z y y y x .7.方程的方程组法 [例7]:方程x 2+22)3(9-x x =16的实数解的和为 .4 [解析]: [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)方程3)4)(1(-+x x +3)5)(2(x x -+=6的实数解的个数为 .2.(2006年美国数学邀请赛试题)使得cos 33x+cos 35x=8cos 34xcos 3x(1000<x<2000)成立的x 值的和= .3.方程x x +-13=1322+-x x 的实数解的个数为 . 8.方程组的方程法 [例8]:(2010年美国数学邀请赛试题)设(a,b,c)为方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-2062323xyz z xyz y xyz x 的实数解,若a 3+b 3+c 3的最大值为nm((m,n)=1),则m+n= . [解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)己知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1.则(a+c)(b+c)=( )(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1 2.①(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)若实数x,y 满足:31052+x +31062+y =1,31053+x +31063+y =1,则x+y= .②(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知αβ∈R,直线βαsin sin +x +βαcos sin +y =1与βαsin cos +x +βαcos cos +y=1的交点在直线y=-x 上,则sin α+cos α+sin β+cos β= .3.(1973年第2届美国数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333555222z y x z y x z y x .9.灵活消元法 [例9]:(2011年全国高中数学联赛试题)设函数f(x)=|lg(x+1)|,实数a,b(a<b)满足f(a)=f(-21++b b ),f(10a+6b+21)=4lg2,求a,b 的值.[解析]:[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)如果x 和y 是非零实数,使得|x|+y=3和|x|y+x 3=0,那么x+y 等于 .2.(2010年美国数学邀请赛试题)已知x,y 满足y=43x,x y =y x,设x+y=nm ((m,n)=1),则m+n= . 10.消去常数法 [例10]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数f(x),g(x)的迭代函数定义为:f (1)(x)=f(x),f (2)(x)=f(f(x)), …,f (2)(x)=f(f(n-1)(x));g (1)(x)=g(x),g (2)(x)=g(g(x)),…,g (2)(x)=g(g(n-1)(x)).其中n=2,3,4,…,设f(x)=2x-3,g(x)=3x+2.5方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()6()9()6()9()6()9(x g z f z g y f y g x f ,的解为 .[解析]:[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知a 2(b+c)=b 2(a+c)=2011,且a ≠b,则abc= .2.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知实数a 、b 、c 、d,且a ≠b,c ≠d.若关系式:a 2+ac=2,b 2+bc=2,c 2+ac=4,d 2+ad=4同时成立,则6a+2b+3c+2d 的值为 .11.整体换元法 [例11]:(2006年全国高中数学联赛试题)解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-=-+-662062444433332222w z y x w z y x w z y x w z y x . [解析]:[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)已知x 1+z y +1=21,y 1+x z +1=31,z 1+y x +1=41,则x 2+y 3+z4的值为 .2.(2003年德国数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+2)(733y x xy y x .12.数形结合法 [例12]:(2006年美国数学邀请赛试题)已知实数x,y,z 满足x=1612-y +1612-z ,y=2512-z +2512-x ,z=3612-x + 3612-y ,且x+y+z=nm (m,n ∈Z +,n 为最简根式),则m+n= . [解析]:[类题]1.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b ∈R,关于x 的方程x 4+ax 3+2x 2+bx+1=0有一个实根.求a 2+b 2的最小值.2.(2008年美国数学邀请赛试题)令a,b(a ≥b)为正实数.ρ为ba 的可能的最大值,使得方程组a 2+y 2=b 2+x 2=(a-x)2+(b-y)2的解(x,y)满足0≤x<a,0≤y<b.设ρ2=nm((m,n)=1),则m+n= .二、根的问题在不求方程根的条件下讨论方程根的性质,是方程的另一根本问题.基本思路是等价变形和函数(图像_分析.13.二次方程[例13]:(1982年全国高中数学联赛试题)己知x 1,x 2是方程x 2-(k-2)x+(k 2+3k+5)=0(k 为实数)的两个实数根,x 12+x 22的最大值是( )6(A)19 (B)18 (C)950(D)不存在 [解析]:[类题]:1.①(2004年全国高中数学联赛试题)设锐角θ使关于x 的方程x 2+4xcos θ+cos θ=0有重根.则θ的弧度数为 .②(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设f(x)=x 2+bx+9,g(x)=x 2+dx+e,若f(x)=0的根是r,s,g(x)=0的根是–r,–s,则f(x)+g(x)=0的根是 .2.①(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)己知关于x 的方程sin 2x-(2a+1)cosx-a 2=0有实数解.则实数a 的取值范围是 .②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)若关于x 的方程4x+(a+3)2x+5=0至少有一个实根在区间[1,2]内,则实数a的取值范围为 .3.①(2007年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知函数f(x)=x 2-2ax-3a 2,且方程|f(x)|=8有三个不同的实根,则实数a= .②(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=(x 2-8x+c 1)(x 2-8x+c 2)(x 2-8x+c 3)(x 2-8x+c 4),M={x|f(x)=0}.己知M={x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6,x 7,x 8}⊆N.那么max{c 1,c 2,c 3,c 4}-min{c 1,c 2,c 3,c 4}= .14.二次迭代[例14]:(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”,若f(f(x))=x,则称x 为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}. (Ⅰ)求证:A ⊆B;(Ⅱ)若f(x)=ax 2-1(a ∈R,x ∈R),且A=B ≠φ,求实数a 的取值范围.[解析]:[类题]:1.(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设f(x)=x 2+ax,{x|f(x)=0,x ∈R}={x|f(f(x))=0,x ∈R}≠∅,则满足条件的所有实数a 的取值范围为 .2.(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设f(x)=x 2+ax+bcosx,{x|f(x)=0,x ∈R}=f(f(x))=0,,x ∈R}≠φ,则满足条件的所有实数a,b 的值为 .15.根的个数[例15]:(1984年全国高中数学联赛试题)方程sinx=lgx 的实根个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)大于3[解析]:[类题]:1.(2007年全国高中数学联赛海南初赛试题)方程31x 2-lgx=2的实数根个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 2.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)方程10sin(x+6π)=x 的根的个数为 .716.根的讨论[例16]:(2000年全国高中数学联赛试题)给定正数p,q,a,b,c,其中p ≠q.若p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程bx 2-2ax+c=0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根[解析]: [类题]:1.(2006年全国高中数学联赛河北初赛试题)包含方程x+lnx=3的根的区间为( )(A)(1,e ) (B)(e ,2) (C)(2,e) (D)(e,3)2.(1981年全国高中数学联赛试题)对方程x|x|+px+q=0进行讨论,下面的结论中,哪一个是错误的( ) (A)至多有三个实根 (B)至少有一个实根 (C)仅当p 2-4q ≥0时才有实根 (D)当p<0和q>0时有三个实根17.参数范围[例17]:(1995年全国高中数学联赛试题)己知方程|x-2n|=kx 在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则k 的取值范围是( )(A)k>0 (B)0<k<121+n (C)121+n <k<121+n (D)以上都不是 [解析]:[类题]:1.(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若关于x 的方程21x -=kx+2恰有一个实根,则k 的取值范围是 .2.(2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若关于x 的方程21x -=log 2(x-a)有正数解,则实数a 的取值范围为 .3.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若方程x=k x -有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 .4.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知关于x 的方程|x-k|=22k x 在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 .5.(2009年全国高中数学联赛试题)若方程lg(kx)=2lg(x+1)仅有一个实根,那么k 的取值范围是 .18.根的定义 [例18]:(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若f(x)=(2x 5+2x 4-53x 3-57x+54)2006,则f(21111-)= . [解析]:[类题]:1.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若sin α是方程x 2+3x-1=0的根,则sin2(α+4π)的值是___.2.(2004年北京高一竞赛初赛题)己知f(x)=x 2+x-1,若ab 2≠1,且有f(a -1)=f(b 2)=0,试确定21ab a +的值3.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)f(x)=x 4-8x 3+16x 2+1,则f(2-3)= .1方程问题方程问题是初等数学的基础问题,是数学竞赛命题的着力点之一.方程问题包括:解方程(组)与根的问题.一、解方程(组)数学解题的中心是从已知探索未知,解方程(组)是研究处理这一中心问题的有力手段.解方程(组)的基本思想是同解变形与消元降次.1.指对方程 [例1]:(2002年美国数学邀请赛试题)若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+164log 225log 4log log 64225y x y x 的两组解为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则log 30(x 1y 1x 2y 2)= .[解析]:设a=log 225x,b=log 64y,则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1114ba b a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=-=5153b a ,⎪⎩⎪⎨⎧-=+=5153b a ⇒x 1=53225-,y 1=5164+,x 2=53225+,y 1=5164-⇒log 30(x 1y 1x 2y 2)=12.[类题]:1.①(2010年全国高中数学联赛江苏初赛试题)方程9x+|1-3x|=5的实数解为 .解:x<0无解;当x ≥0时,原方程变形为32x+3x－6=0,解得3x=2,x=log 32.②(2009年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知1313-+x x =x--1331,则实数x ＝ .③(2006年全国高中数学联赛福建初赛试题)方程xxx x 1812278++=67解的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷多 解:令2x=a,3x=b ⇒8x=a 3,27x=b 3,12x=a 2b,18x=ab 2⇒2233ab b a b a ++=67⇒ab b ab a 22+-=67⇒(2a-3b)(3a-2b)=0⇒x=-1,1.2.①(2009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)方程)762(6log 13+-x x =136log 2的解x ＝ .②(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设函数f(x)=lg(10-x+1),方程f(-2x)=f -1(2x)的解为 .③(2004年全国高中数学联赛天津初赛试题)若关于x 的方程ax a x lg 1lg 2+-=x 只有一个实数解,则a 的值等于 .3.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于正整数a,b,c(a ≤b ≤c)和实数x,y,z,w,若①a x=b y=c z=30w②x 1+y 1+z1= w1.试求a+b+c 的值. 解:由a x=b y=c z=30w⇒w a 1=x 130,w b1=y130,w c 1=z130⇒w abc 1)(=zy x 11130++⇒abc=30⇒a=2,b=3,c=5⇒a+b+c=10.2.换元法[例2]:(2005年美国数学邀请赛试题)已知方程2333x-2+2111x+2=2222x+1+1的所有根之和为nm((m,n)=1),则m+n= .[解析]:设2111x=t(t>0),则41t 3+4t=2t 2+1⇒t 3-8t 2+16t-4=0⇒x 1+x 2+x 3=1111(log 2t 1+log 2t 2+log 2t 3)=1111log 2(t 1t 2t 3)=1112 [类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b 是方程log 3x 3+log 27(3x)=-34的两个根,则a+b= . 解:令log 3x 3=t ⇒log 27(3x)=t 31⇒t+t 31=-34=(-1)+(-31)⇒t=-1,-31⇒x=91,811⇒a+b=91+811=8110. ②(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知log a b+3log b a=213,当a>b>1时,224ba b a ++的值是 .解:令log a b=t ∈(0,1)⇒log b a=t 1⇒t+3t 1=213=6+21⇒t=21⇒log a b=21⇒a=b 2⇒224ba b a ++=1. 2.①(2006年上海杯高二试题)方程x sinx 2=2在区间[0,20]内有多少个实根？②(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2sinx =cosx 在[0,2π]上的根的个数是 . 3.①(2010年美国数学邀请赛试题)已知正实数x,y,z 满足xyz=1081,且lgxlg(yz)+lgylgz=468,则z y x 222lg lg lg ++= .解:设lgx=a,lgy=b,lgz=c ⇒a+b+c=81,ab+bc+ca=468⇒a 2+b 2+c 2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)=812-2×468=752.②(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知x ≥1,y ≥1,且log a 2x+log a 2y=log a (ax 2)+log a (ay 2)(其中a>0,a ≠1),则log a (xy)的取值范围是 .解:log a 2x+log a 2y=log a (ax 2)+log a (ay 2)⇔(log a x –1)2+(log a y –1)2=4,log a x=2cos θ+1,log a y=2sin θ+1⇒log a (xy)=2(cos θ+sin θ)+2∈[2-22,2+22].3.主元法 [例3]:(2008年全国高中数学联赛试题)方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y zx yz xy z xyz z y x 的有理数解(x,y,z)的个数为 . [解析]:若z=0,则⎩⎨⎧=+=+00y xy y x ,解得⎩⎨⎧==00y x ,或⎩⎨⎧=-=11y x ;若z ≠0,则由xyz+z=0得xy=-1,由x+y+z=0得z=-x-y,代入xy+yz+zx+y=0得x 2+y 2+xy-y=0⇒(-y 1)2+y 2+(-y1)y-y=0⇒(y-1)(y 3-y-1)=0,易知y 3-y-1=0无有理数根,故y=1⇒x=-1⇒z=0,矛盾,故该方程组共有两组有理数解.[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)k ∈R,方程x 4-2kx 2+k 2+2k-3=0的实数x 的取值范围是 .解:x 4-2kx 2+k 2+2k-3=0⇔k 2+2(1-x 2)k+x 4-3=0⇔4(1-x 2)2-4(x 4-3)≥0⇔x ∈[-2,2].②(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)实数x 、y 、z(x ≠y)满足:5(x-y)+5(z-y)+(z-x)=0,则2)())((y x x z z y ---= .解:由题知,5是方程(x-y)t 2+(z-y)t+(z-x)=0的根,而该方程恒有一根t=-1⇒2)())((y x x z z y ---=(5-1)(-5).2.(2006年上海交通大学自主招生试题)设k ≥9,解方程:x 3+2kx 2+k 2x+9k+27=0.解:x 3+2kx 2+k 2x+9k+27=0⇔xk 2+(2x 2+9)k+x 3+27=0,△=(2x 2+9)2-4x(x 3+27)=(6x-9)2⇒k=xx x 2)96()92(2-±+-⇒k=-x-3,或k=-xx x 932+-⇒x=-k-3,或x 2+(k-3)x+9=0⇒x=-k-3,或x=2)3)(9()3(+-±-k k k .3.(第三届国际数学奥林匹克试题)设a 、b 是常数,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++=++22222z xy b z y x az y x ,并求出若使x 、y 、z 是互不相同的正数,a 、b 应满足什么条件？解:⎪⎩⎪⎨⎧==++=++22222z xy b z y x az y x ⇒(a-z)2=b 2-z 2+2z 2⇒2az=a 2-b 2.①若a=0⇒b=0⇒x=y=z=0;②若a ≠0⇒z=a b a 222-⇒x+y=a b a 222+, xy=(a b a 222-)2⇒x,y 是方程t 2-a b a 222+t+(ab a 222-)2=0的两根⇒△=4.配方法[例4]:(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x>1,y>1,则方程x+y+13-x +13-y =2(2+x +2+y )的解(x,y)=_____.[解析]:x+y+13-x +13-y =2(2+x +2+y )⇔(x+13-x -22+x )+(y+13-y -22+y )=0⇔11-x [x 2-x+3-2(x-1) 2+x ]+11-y [y 2-y+3-2(y-1)2+y ]=0⇔11-x [(x-1)2-2(x-1)2+x +(2+x )2]+11-y [(y-1)2-2(y-1)2+y + (2+y )2]=0⇔11-x [(x-1)-2+x ]2+11-y [(y-1)-2+y ]2=0⇔x=y=21(3+13).[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程1-x +24-y +39-z =21(x+y+z)的实数解(x,y,z)= . 解:1-x +24-y +39-z =21(x+y+z)⇔x-21-x +y-44-y +z-69-z =0⇔(1-x -1)2+(4-y -2)2+(9-z -3)2=0.②(1992年北欧数学奥林匹克试题)试求大于1的实数x,y,z 满足方程:x+y+z+13-x +13-y +13-z =2(2+x +2+y + 2+z ).2.①(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)满足方程:201022009---x x +201022009-+-x x =2的所有实数为 .解:201022009---x x +201022009-+-x x =2⇔|2010-x -1|+|2010-x +1|=2⇔0≤2010-x ≤1.②(1995年第六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)如果关于x 的方程x+4121+++x x =a 有且仅有一个实根,则实数a 的取值范围是 . 解:x+4121+++x x =a ⇔x+2)2141(++x =a ⇔x+41+x +21=a ⇔(41+x +21)2=a(41+x ≥0)⇔a ≥41.3.(2005年全国高中数学联赛福建初赛试题)实数x,y,z 满足x 2+2y=7,y 2+4z=-7,z 2+6x=-14,则x 2+y 2+z 2= . 解:把三个式子相加得:(x+3)2+(y+1)2+(z+2)2=0即得.5.不等式法 [例5]:(2006年全国高中数学联赛试题)方程(x2006+1)(1+x 2+x 4+…+x2004)=2006x2005的实数解的个数为 .[解析]:由(x2006+1)(1+x 2+x 4+…+x2004)=2006x2005⇒x>0.(x2006+1)(1+x 2+x 4+…+x2004)=2006x2005⇔(x+20051x)(1+x 2+x 4+…+x 2004)=2006⇔x+x 3+x 5+…+x 2005+20051x +20031x+20011x+…+x 1=2006⇔2006=(x+x 1)+(x 3+31x )+…+(x 2005+20051x)≥2×1003=2006.等号成立:x n=nx 1⇒x=1⇒原方程的实数解个数为1.[类题]:1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程2cos3x =10x +10–x+1的实根的个数是 . ②(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知a 是正常数且a≠1,则方程a x+a -x+1=3cos 2y 的解是 . ③(2009年全国高中数学联赛上海初赛试题)满足方程log 2[2cos 2(xy)+)(cos 212xy ]=-y 2+y+43.的所有实数对(x,y)= . 解:log 2[2cos 2(xy)+)(cos 212xy ]≥log 22=1;-y 2+y+43≤1.当且仅当y=21,2cos 2(xy)=)(cos 212xy ⇒cos(21x)=±22⇒x=. 2.(1991年第二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程x 3–2336x 2+3=0的全部负根之和是 .解:当x>0时,x 3–2336x 2+3=0⇔x+23x =2336.x+23x =2x +2x +23x ≥2336.当且仅当2x =23x ,即x=36,x 3–2336x 2+3=(x-36)2(x+2136)=0.3.(《数学通报》数学问题1433号)在正实数范围内,解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-=)23()23()23(333z z x y y z x x y .解:x=z 3(3-2z)=z[zz(3-2z)]≤z[3)23(z z z -++]3=z,同理可得:y ≤x,z ≤y ⇒x ≤z ≤y ≤x ⇒x=y=z ⇒x=1.6.单调函数法[例6]:(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛试题)方程log 5(3x+4x)=log 4(5x-3x)的解集为 .[解析]:令log 5(3x+4x)=log 4(5x-3x)=t⇒3x +4x =5t ,5x -3x =4t ⇒(消去3x )5x +4x =5t +4t ⇒(由函数f(x)=5x +4x单调递增)x=t ⇒3x+4x =5x⇒(53)x +(54)x =1⇒(由函数f(x)=(53)x +(54)x单调递减,且f(2)=1)x=2. [类题]:1.①(1992年第三届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)方程3x+4x+5x=6x的解是 .②(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)设t=(21)x +(32)x +(65)x,则关于x 的方程(t-1)(t-2)(t-3)=0的所有实数解之和等于 . 解:2.①(2008年第十九届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)设方程x 3+x+1=0与x+3x +1=0的根分别是α,β,则α+β= .②(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)若α,β分别是方程log 2x+x+2=0和2x+x+2=0的根,则α+β= .③(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)设α是方程x10x=2011的解,β是方程xlgx=2011的解,则αβ= .2011.解:3.①(1983年第17届全俄数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=y y y x xx x y 2323232232. 解:两式相减得y 2-x 2=(x 3-3x 2+2x)-(y 3-3y 2+2y)⇒x 3-2x 2+2x=y 3-2y 2+2y,令f(t)=t 3-2t 2+2t ⇒f '(t)=3t 2-4t+2>0⇒x=y ⇒x 3-4x 2+2x=0⇒x=0,②(1990年第16届全俄数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--=--=--313131232323x x z z z y y y x .解:令f(t)=3231++t t ,则f(t)>0,且f(t)在(0,+∞)内单调递增.x,y,z>0,若x>y,由x=f(y),y=f(z),z=f(x)⇒f(y)> f(z)⇒y>z ⇒f(z)>f(x)⇒z>x 矛盾.x=y=z ⇒t=1413-.7.方程的方程组法 [例7]:方程x 2+22)3(9-x x =16的实数解的和为 .[解析]:设33-x x=y ⇒xy=3(x+y)⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==+)(31622y x xy y x ⇒(x+y)2=x 2+y 2+2xy=16+6(x+y)⇒(x+y)2-6(x+y)-16=0⇒x+y=8,-2 ⇒⎩⎨⎧==+248xy y x ,⎩⎨⎧-=-=+62xy y x ⇒t 2-8t+24=0(无解),t 2+2t-6=0⇒和为-2. [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛天津初赛试题)方程3)4)(1(-+x x +3)5)(2(x x -+=6的实数解的个数为 . 解:设a=3)4)(1(-+x x ,b 3)5)(2(x x -+,则a+b=6,a 3+b 3=6,因此a 2+b 2-ab=1,从而可得ab=325,因此a,b 是方程t 2-6t+325=0的两个实根,判别式△<0无解.2.(2006年美国数学邀请赛试题)使得cos 33x+cos 35x=8cos 34xcos 3x(1000<x<2000)成立的x 值的和= .解:设a=cos3x,b=cos5x,则a+b=cos3x+cos5x=cos(4x-x)+cos(4x+x)=2cos4xcosx ⇒a 3+b 3=(a+b)3⇒ab(a+b)=0. ①a=0⇒cos3x=0⇒3x=1800k+900⇒x=600k+300⇒x=1500;和=9060.3.方程x x +-13=1322+-x x 的实数解的个数为 . 解:设x x +-13=1322+-x x =y ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++332222y x y x x y xy ⇒xy 2-x 2y+y 2-x 2+x-y=0⇒(x-y)(xy+x+y-1)=0⇒y=x,x x +-11⇒1322+-x x =x,x x +-11 ⇒x 3+x 2+x=3,x 2-2x-1=0⇒x=1,1+2(增),1-2.个数为2.8.方程组的方程法[例8]:(2010年美国数学邀请赛试题)设(a,b,c)为方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-2062323xyz z xyz y xyz x 的实数解,若a 3+b 3+c 3的最大值为nm((m,n)=1),则m+n= . [解析]:设t=xyz,则t 3=x 3y 3z 3=(t+2)(t+6)(t+20)⇒7t 2+43t+60=0⇒t=-4,-715⇒x 3+y 3+z 3=3t+28的最大值为3(-715)+28 =7151⇒m+n=158. [类题]:1.(2006年全国高中数学联赛河南初赛试题)己知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数,且(a+c)(a+d)=1,(b+c)(b+d)=1.则(a+c)(b+c)=( )(A)2 (B)1 (C)0 (D)-1解;a 、b 是(x+c)(x+d)=1的两个根,所以a+b=-(c+d),ab=cd-1⇒(a+c)(b+c)=ab+(a+b)c+c 2=cd-c(c+d)+c 2-1=-1.2.①(2007年全国高中数学联赛江西初赛试题)若实数x,y 满足:31052+x +31062+y =1,31053+x +31063+y =1,则x+y= .解;据条件,210,310是关于t 的方程35+t x +36+t y =1,即t 2-(x+y-53-63)t+？=0的两个根,所以210+310=x+y-53-63⇒x+y=210+310+53+63.②(2008年全国高中数学联赛浙江初赛试题)已知αβ∈R,直线βαsin sin +x +βαcos sin +y =1与βαsin cos +x +βαcos cos +y=1的交点在直线y=-x 上,则sin α+cos α+sin β+cos β= .3.(1973年第2届美国数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333555222z y x z y x z y x .解;设x,y,z 是方程t 3+at 2+bt+c=0的根⇒x+y+z=-a,xy+yz+zx=b ⇒a=-3,b=21[(x+y+z)2-(x 2+y 2+z 2)]=3⇒t 3=3t 2-3t-c ⇒ x 3+y 3+z 3=3(x 2+y 2+z 2)-3(x+y+z)-3c=-3c ⇒x 4+y 4+z 4=3(x 3+y 3+z 3)-3(x 2+y 2+z 2)-c(x+y+z)=-9-12c ⇒x 5+y 5+z 5=3(x 4+y 4+z 4)-3(x3+y 3+z 3)-c(x 2+y 2+z 2)=-27-30c=3⇒c=-1⇒t 3-3t 2+3t-1=0⇒(t-1)3=0⇒t=1.9.灵活消元法 [例9]:(2011年全国高中数学联赛试题)设函数f(x)=|lg(x+1)|,实数a,b(a<b)满足f(a)=f(-21++b b ),f(10a+6b+21)=4lg2,求a,b 的值.[解析]:由f(x)=|lg(x+1)|,则f(m)=f(n)⇔|lg(m+1)|=|lg(n+1)|⇔m=n,或(m+1)(n+1)=1.注意到:f(-21++b b )=|lg(1-21++b b )|=|lg(b+2)|=f(b+1);f(15)=|lg(15+1)|=4lg2.所以,f(a)=f(-21++b b )⇔f(a)=f(b+1)⇔a=b+1(与a<b 不符),或(a +1)(b+2)=1⇔(a+1)(b+2)=1;f(10a+6b+21)=4lg2⇔f(10a+6b+21)=f(15)⇔10a+6b+21=15,或(10a+6b+21+1)(15+1)=1.①若(a+1)(b+2)=1,10a+6b+21=15⇒10(a+1)+6(b+2)=16⇒10(a+1)+16+a =16⇒a=0,-52⇒b=-1,-31,其中,a=0,b=-1与a<b 不符;②若(a+1)(b+2)=1⇒10a+6b+21+1=10(a+1)+6(b+2)=210+b +6(b+2)>1⇒(10a+6b+21+1)(15+1)=1不成立.所以a=-52,b=-31. [类题]:1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)如果x 和y 是非零实数,使得|x|+y=3和|x|y+x 3=0,那么x+y 等于 .解:①当x>0时,x+y=3⇒y=3-x ⇒x(3-x)+x 3=0⇒x 2-x+3=0无实根;②当x<0时,y=x+3⇒-x(x+3)+x 3=0⇒x 2-x-3=0⇒x=2131-⇒x+y=2x+3=4-13. 2.(2010年美国数学邀请赛试题)已知x,y 满足y=43x,x y =y x,设x+y=nm ((m,n)=1),则m+n= . 解:x x 43=(43x)x(x>0)⇒x x 43=(43)x x x ⇒x x x -43=(43)x ⇒x x 41-=(43)x ⇒41-x =43⇒x=81256⇒x+y=47x =81448⇒m+n=529. 10.消去常数法 [例10]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)函数f(x),g(x)的迭代函数定义为:f (1)(x)=f(x),f (2)(x)=f(f(x)), …,f (2)(x)=f(f(n-1)(x));g (1)(x)=g(x),g (2)(x)=g(g(x)),…,g (2)(x)=g(g(n-1)(x)).其中n=2,3,4,…,设f(x)=2x-3,g(x)=3x+2.方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()6()9()6()9()6()9(x g z f z g y f y g x f ,的解为 .[解析]:f (n)(x)=2n x-3(2n -1)=2n (x-3)+3;g (n)(x)=3n x+3n -1=3n (x+1)-1,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()()()()()6()9()6()9()6()9(x g z f z g y f y g x f ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯-+=+-⋯-+=+-⋯-+=+-③x z ②z y ①y x 1)1(33)3(21)1(33)3(21)1(33)3(2696969.①-②,②-③,③-①得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=--=-)(3)(2)(3)(2)(3)(2696969y x x z x z z y z y y x ⇒x-y=9623(y-z)=(9623)2(z-x)=(9623)3(x-y)⇒x-y=0⇒y-z=0⇒x=y=z,代入①得:29(x-3)+3=36(x+1)-1⇒x=-31323⇒x=y=z=-31323.[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)已知a 2(b+c)=b 2(a+c)=2011,且a ≠b,则abc= .解:二式相减得:a 2(b+c)-b 2(a+c)=0⇒ab+(a+b)c=0⇒c=-b a ab +,代入a 2(b+c)=2011⇒a 2(b-ba ab +)=2011⇒a 2b a b+2=2011⇒abc=ab(-ba ab+)=-2011. 2.(2008年全国高中数学联赛天津初赛试题)已知实数a 、b 、c 、d,且a ≠b,c ≠d.若关系式:a 2+ac=2,b 2+bc=2,c 2+ac=4,d 2+ad=4同时成立,则6a+2b+3c+2d 的值为 .0解:二式:a 2+ac=2,b 2+bc=2相减得:(a-b)(a+b+c)=0⇒a+b+c=0;二式c 2+ac=4,d 2+ad=4相减得:(c-d)(c+d+a)=0⇒a+c+d=0⇒b=d ⇒b 2+ab=4;由a 2+ac=2,b 2+bc=2⇒a 2b+abc=2b,ab 2+abc=2a 相减得:ab=-2⇒b 2=-6⇒b=-3a ⇒6a+2b+3c+2d=6a+4b+3c=3a+b=0.11.整体换元法 [例11]:(2006年全国高中数学联赛试题)解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-=-+-662062444433332222w z y x w z y x w z y x w z y x . [解析]:设x+z=a,xz=b,y+w=c,yw=d,则a 2=x 2+z 2+2b,a 3=x 3+z 3+3ab,a 4=x 4+z 4+4a 2b-2b 2,c 2=y 2+w 2+2d,c 3=y 3+w 3+3cd,c 4=y 4+w 4+4c 2d-2d 2.由x-y+z-w=2⇒a-c=2⇒a=c+2⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=+++=++=1632248812644234423322c c c c a c c c a c c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧+++=++=+812633202232c c cd ab c b[类题]:1.(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题B)已知x 1+z y +1=21,y 1+x z +1=31,z 1+y x +1=41,则x 2+y 3+z4的值为 . 解:设x+y+z=a,则x 1+x a -1=21⇒x 2-ax+2a=0⇒x 2=1-a x ,同理可得:y 3=1-a x ,z 4=1-a x ⇒x 2+y 3+z4=2.2.(2003年德国数学奥林匹克试题)解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+2)(733y x xy y x .解:设x+y=a,xy=b ⇒x,y 是方程t 2-at+b=0的两根⇒t 2=at-b ⇒x 2+y 2=a(x+y)-2b=a 2-2b,x 3+y 3=a(x 2+y 2)-b(x+y)=a 3-3ab.所以⎪⎩⎪⎨⎧-==-2733ab ab a ⇒a=1,b=-2⇒.12.数形结合法 [例12]:(2006年美国数学邀请赛试题)已知实数x,y,z满足x=1612-y +1612-z ,y=2512-z +2512-x ,z=3612-x +3612-y ,且x+y+z=nm (m,n ∈Z +,n 为最简根式),则m+n= . [解析]:由根式的形式联想到勾股定理,作△ABC,使AB=z,BC=x,CA=y,则三边AB,BC,CA 上的高分别为61,41,51.设△ABC的面积为S,则x=8S,y=10S,z=12S ⇒p=21(x+y+z)=15S,由海伦公式:S 2=p(p-x)(p-y)(p-z)⇒S=7151⇒x+y+z=72.[类题]1.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知a,b ∈R,关于x 的方程x 4+ax 3+2x 2+bx+1=0有一个实根.求a 2+b 2的最小值.解:x 4+ax 3+2x 2+bx+1=0⇔x 3a+xb+(x 4+2x 2+1)=0(视为a,b 关于的直线l,直线l 上的P(a,b)满足:|OP|≥d,其中d 是点O 到直线l 的距离)⇔22b a +≥2624|12|x x x x +++=1||21424+++x x x x =||14x x ++1||24+x x ≥22⇒a 2+b 2≥8(当且仅当x=±1,a+b=±4,a2 +b 2=8⇒a=b=±2).2.(2008年美国数学邀请赛试题)令a,b(a ≥b)为正实数.ρ为ba 的可能的最大值,使得方程组a 2+y 2=b 2+x 2=(a-x)2+(b-y)2的解(x,y)满足0≤x<a,0≤y<b.设ρ2=nm((m,n)=1),则m+n= . 解:作矩形ABCD,使AB=a,AD=b,点P,Q 分别在AB,BC 边上AP=x,CQ=y.则|PQ|2=(a-x)2+(b-y)2,|DP|2=b 2+x 2,|DQ|2=a 2+y 2△DPQ 为正三角形,令∠ADP=α⇒∠CDQ=300-α⇒tan α=b x ,tan(300-α)=a y ⇒a y =ααtan 311tan 31+-=bx b x 31131+-=x b x b +-33⇒222a x b +=222a y a +=1+(a y )2=1+(xb x b +-33)2=222)3()(4x b x b ++⇒(b 3+x)2=4a 2⇒x=2a-b 3⇒y=2a b -3.由y ≥0⇒2a b -3≥0⇒b a ≤32⇒ρ2=(32)2⇒m+n=7.二、根的问题在不求方程根的条件下讨论方程根的性质,是方程的另一根本问题.基本思路是等价变形和函数(图像_分析.13.二次方程[例13]:(1982年全国高中数学联赛试题)己知x 1,x 2是方程x 2-(k-2)x+(k 2+3k+5)=0(k 为实数)的两个实数根,x 12+x 22的最大值是( )(A)19 (B)18 (C)950(D)不存在 [解析]:[类题]:1.①(2004年全国高中数学联赛试题)设锐角θ使关于x的方程x2+4xcosθ+cosθ=0有重根.则θ的弧度数为 .②(2000年第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)设f(x)=x2+bx+9,g(x)=x2+dx+e,若f(x)=0的根是r,s,g(x) =0的根是–r,–s,则f(x)+g(x)=0的根是 .2.①(2004年全国高中数学联赛山东初赛试题)己知关于x的方程sin2x-(2a+1)cosx-a2=0有实数解.则实数a的取值范围是 .②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)若关于x的方程4x+(a+3)2x+5=0至少有一个实根在区间[1,2]内,则实数a 的取值范围为 .3.①(2007年全国高中数学联赛贵州初赛试题)已知函数f(x)=x2-2ax-3a2,且方程|f(x)|=8有三个不同的实根,则实数a= .②(2004年全国高中数学联赛福建初赛试题)设f(x)=(x2-8x+c1)(x2-8x+c2)(x2-8x+c3)(x2-8x+c4),M={x|f(x)=0}.己知M={x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8}⊆N.那么max{c1,c2,c3,c4}-min{c1,c2,c3,c4}= .14.二次迭代[例16]:(2004年全国高中数学联赛湖南初赛试题)对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”,若f(f(x))=x,则称x为f(x)的“稳定点”.函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B,即A={x|f(x)=x},B={x|f(f(x))=x}.(Ⅰ)求证:A⊆B;(Ⅱ)若f(x)=ax2-1(a∈R,x∈R),且A=B≠φ,求实数a的取值范围.[解析]:[类题]:(2008年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设f(x)=x2+ax,{x|f(x)=0,x∈R}={x|f(f(x))=0,x∈R}≠∅,则满足条件的所有实数a的取值范围为 .(2006年全国高中数学联赛上海初赛试题)设f(x)=x2+ax+bcosx,{x|f(x)=0,x∈R}=f(f(x))=0,,x∈R}≠φ,则满足条件的所有实数a,b的值为 .14.根的个数[例14]:(1989年全国高中数学联赛试题)[解析]:[类题]:(1984年全国高中数学联赛试题)方程sinx=lgx的实根个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)大于3(2007年全国高中数学联赛海南初赛试题)方程31x 2-lgx=2的实数根个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)方程10sin(x+6π)=x 的根的个数为 .15.根的讨论[例15]:(2000年全国高中数学联赛试题)给定正数p,q,a,b,c,其中p ≠q.若p,a,q 是等比数列,p,b,c,q 是等差数列,则一元二次方程bx 2-2ax+c=0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根[解析]: [类题]:(1981年全国高中数学联赛试题)对方程x|x|+px+q=0进行讨论,下面的结论中,哪一个是错误的( ) (A)至多有三个实根 (B)至少有一个实根 (C)仅当p 2-4q ≥0时才有实根 (D)当p<0和q>0时有三个实根 (2006年全国高中数学联赛河北初赛试题)包含方程x+lnx=3的根的区间为( ) (A)(1,e ) (B)(e ,2) (C)(2,e) (D)(e,3)17.参数范围[例17]:(1995年全国高中数学联赛试题)己知方程|x-2n|=kx 在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则k 的取值范围是( )(A)k>0 (B)0<k<121+n (C)121+n <k<121+n (D)以上都不是 [解析]: [类题]:(2006年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若关于x 的方程21x -=kx+2恰有一个实根,则k 的取值范围是 . (2006年全国高中数学联赛吉林初赛试题)若关于x 的方程21x -=log 2(x-a)有正数解,则实数a 的取值范围为 . (2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若方程x=k x -有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 .(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知关于x 的方程|x-k|=22k x 在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 .(2009年全国高中数学联赛试题)若方程lg(kx)=2lg(x+1)仅有一个实根,那么k 的取值范围是 .17.根的定义 [例17]:(2006年全国高中数学联赛湖南初赛试题)若f(x)=(2x 5+2x 4-53x 3-57x+54)2006,则f(21111-)= . [解析]:令21111-=x,则2x 2+2x-55=0,故f(x)=[(2x 2+2x-55)(x 3+x-1)-1]2006=1. [类题]:1.(2004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)若sin α是方程x 2+3x-1=0的根,则sin2(α+4π)的值是___.2.(2004年北京高一竞赛初赛题)己知f(x)=x 2+x-1,若ab 2≠1,且有f(a -1)=f(b 2)=0,试确定21ab a +的值3.(1994年第五届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)试题)f(x)=x 4-8x 3+16x 2+1,则f(2-3)= .18.抽象函数[例18]:(1991年全国高中数学联赛试题)设函数y=f(x)对一切实数x 都满足f(3+x)=f(3-x),且方程f(x)=0恰有6个不同的实根,则这6个实根的和为 .[解析]: [类题]:1.(2009年全国高中数学联赛福建初赛试题)若定义在R 上的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且当0<x ≤1时,f(x)=log 3x,则方程f(x)=-31+f(0)在区间(0,10)内的所有实根之和为 .解:由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,以及f(x)为奇函数知,f(x)是周期函数,4,是它的一个周期.f(0)=0,结合图象可知,f(x)=-31,在(O,1)、(1,2)内各有一个实根,且这两根之和为2;在(4,5)、(5,6)内各有一个实根,且这两根之和为10;在(8,9)、(9,10)内各有一个实根,且这两根之和为18.所以方程f(x)=-31在区间(0,10)内有6个不同的实根,这6个实根之和为30.(2011年全国高中数学联赛福建初赛试题)。
1995年试题全国高考数学试题及参考答案
1995年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟. 第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1) (10)题每小题4分,第(11) (15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知I 为全集,集合M, I N ⊂,若M ∩N ＝N,则 A.N M ⊇ B. N M ⊆ C. N M ⊆ D. N M ⊇ [Key] C 2.函数1x 1y +-=的图象是[Key] B3.函数)4x 3cos(3)4x 3sin(4y π++π+=的最小正周期是 3.D 32.C 2.B 6.A ππππ[Key] C4.正方体的全面积是a 2,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是2222a 3.D a 2.C 2a .B 3a .A ππππ[Key] B5.若图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则A.k 1＜k 2＜k 3B.k 3＜k 1＜k 2C.k 3＜k 2＜k 1D.k 1＜k 3＜k 2 [Key] D6.在(1－x 3)(1＋x)10的展开式中,x 5的系数是 A.－297 B.－252 C.297 D.207 [Key] D7.使arcsinx>arccosx 成立的x 的取值范围是)0,1.[D )32,1.[C ]1,32.(B ]32,0.(A --[Key] B8.双曲线3x 2－y 2＝3的渐近线方程是x33y .D x 3y .C x 31y .B x 3y .A ±=±=±=±=[Key] C9.已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝95,那第sin2θ等于32.D 32.C 322.B 322.A --[Key] A10.已知直线l ⊥平面α,直线m 平面β,有下面四个命题: ①m l //⊥⇒βα②m //l ⇒β⊥α③β⊥α⇒m //l ④βα⇒⊥//m l 其中正确的两个命题是A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③ [Key] D11.已知y ＝log a (2－ax)在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是 A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.[2,＋∞) [Key] B12.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ,若1n 3n 2T S n n +=，则n nn b a lim ∞→等于 94.D 32.C 36.B 1.A[Key] C13.用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有 A.24 B.30 C.40 D.60 [Key] A14.在极坐标系中,椭圆的二焦点分别在极点和点(2c,0),离心率为e,则它的极坐标方程是)cos e 1(e )e 1(c .D )cos e 1(e )e 1(c .C cos e 1)e 1(c .B cos e 1)e 1(c .A 22θ--=ρθ--=ρθ--=ρθ--=ρ[Key] D15.如图,A 1B 1C 1－ABC 是直三棱柱,∠BCA ＝90°,点D 1,F 1分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,若BC ＝CA ＝CC 1,则BD 1与AF 1所成的角的余弦值是1015.D 1530.C 21.B 1030.A[Key] A16.不等式x28x 3)31(2-->的解集是______________[Key] (2,4)17.已知圆台上、下底面圆周都在球面上,且下底面过球心,母线与底面所成的角为3π，则圆台的体积与球体积之比为____________.[Key] 323718.函数xcos )6x sin(y π-=的最小值___________[Key]4319.直线l 过抛物线y 2＝a(x ＋1)(a>0)的焦点,并且与x 轴垂直,若l 被抛物线截得的线段长为4,则a ＝ . [Key] 420.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有_____种(用数字作答).[Key] 14421.(本小题满分7分)在复平面上,一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z 1,Z 2,Z 3,O (其中O 为原点),已知Z 2对应复数经z 2＝1＋i 3,求Z 1和Z 3对应的复数。
1995年全国高中数学联赛试题及解析 苏教版
用心 爱心 专心 7 1995年全国高中数学联赛第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1． 设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13且a 1>0，S n 为其前项之和，则S n 中最大的是( )(A )S 10 (B )S 11 (C )S 20 (D ) S 212． 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z 1，Z 2，…，Z 20，则复数Z 19951 ，Z 19952 ，…，Z 199520 所对应的不同的点的个数是( )(A )4 (B )5 (C )10 (D )203． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )(A )1个 (B )2个 (C )50个 (D )100个4． 已知方程|x －2n |=k x (n ∈N *)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )(A )k >0 (B )0<k ≤12n +1(C )12n +1<k ≤12n +1(D )以上都不是 5． log sin1cos1，log sin1tan1，log cos1sin1，log cos1tan1的大小关系是(A ) log sin1cos1< log cos1sin1< log sin1tan1< log cos1tan1(B ) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1(C ) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1cos1(D ) log cos1tan1< log sin1tan1< log sin1cos1< log cos1sin16． 设O 是正三棱锥P —ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA ，PB 的延长线分别交于Q ，R ，则和式1PQ +1PR +1PS(A )有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值(C )既有最大值又有最小值，两者不等 (D )是一个与面QPS 无关的常数二、填空题(每小题9分，共54分)1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且αβ2为实数，则|α|= ． 2． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 ．3． 用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是 ．4． 直角坐标平面上，满足不等式组⎩⎨⎧y ≤3x ， y ≥x 3， x +y ≤100的整点个数是 ． 5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 ．6． 设M={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x ∈A 时，15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是 ．。
高中数学联赛真题三角函数与解三角形A辑
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题05三角函数与解三角形A 辑历年联赛真题汇编1．【2008高中数学联赛（第01试）】设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 成等比数列，则sinAcotC+cosA sinBcotC+cosB的取值范围是( )A ．(0,+∞)B ．(0,√5+12) C ．(√5−12,√5+12) D ．(√5−12,+∞)2．【2007高中数学联赛（第01试）】设函数f (x )=3sinx +2cosx +1.若实数a ，b ，c 使得af (x )+bf (x －c )=1对任意实数x 恒成立，则bcosc a的值等于( )A ．−12B ．12C ．−1D ．13．【2006高中数学联赛（第01试）】已知△ABC ，若对任意t ∈R ，|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ −tBC ⃑⃑⃑⃑⃑ |≥|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |，则△ABC 一定为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．答案不确定4．【2005高中数学联赛（第01试）】△ABC 内接于单位圆，三个内角A ，B ，C 的平分线延长后分别交此圆于A1，B 1，C 1.则AA 1⋅cos A 2+BB 1⋅cos B 2+CC 1⋅cos C2sinA+sinB+sinC的值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．85．【2004高中数学联赛（第01试）】设锐角使关于x 的方程x 2+4xcosθ+cotθ=0有重根，则θ的弧度数为( )A ．π6B ．π12或5π12C ．π6或5π12D ．π126．【2003高中数学联赛（第01试）】若x ∈[−5π12,−π3]，则y =tan (x +2π3)−tan (x +π6)+cos (x +π6)的最大值是( )A ．125√2B ．116√2C ．116√3D ．125√37．【2001高中数学联赛（第01试）】在四个函数y =sin|x|，y =cos|x|，y =|cotx |，y =lg|sinx|中以π为周期，在(0,π2)上单调递增的偶函数是( )A ．y =sin|x|B ．y =cos|x|C ．y =|cotx|D ．y =lg|sinx|8．【2001高中数学联赛（第01试）】如果满足∠ABC =60°，AC =12，BC =k 的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是( ) A ．k =8√3B ．0<k ⩽12C ．k ≥12D ．0<k ≤12或k =89．【2000高中数学联赛（第01试）】设sinα>0,cosα<0，且sin α3>cos α3，则α3的取值范围是( )A ．(2kπ+π6,2kπ+π3),k ∈ZB ．(2kπ3+π6,2kπ3+π3),k ∈ZC ．(2kπ+5π6,2kπ+π),k ∈ZD ．(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k ∈Z10．【1999高中数学联赛（第01试）】已知点A (1，2)，过点(5，－2)的直线与抛物线y 2=4x 交于另外两点B ，C ，那么，△ABC 是( ). A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．答案不确定11．【1997高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x 2−πx,α=arcsin 13，β=arctan 54，γ=arccos (−13)，δ=arccot (−54)，则( )A．f(α)>f(β)>f(δ)>f(γ)B．f(α)>f(δ)>f(β)>f(γ)C．f(δ)>f(α)>f(β)>f(γ)D．f(δ)>f(α)>f(γ)>f(β)12．【1996高中数学联赛（第01试）】设x∈(−12,0)，以下三个数：α1=cos(sinxπ)，α2=sin(cosxπ)，α3= cos(x+1)π的大小关系是( )A．α3<α2<α1B．α1<α3<α2C．α3<α1<α2D．α2<α3<α113．【1995高中数学联赛（第01试）】log in 1cos1,log sin1tan1,log geos 1sin1,log cos 1 tan 1的大小关系是( ) A．log sin1cos1<log cos1sin1<log sin1tan1<log cos1tan1B．log cos1sin1<log cos1tan1<log sin1cos1<log sin1tan1C．log sin1tan1<log cos1tan1<log cos1sin1<log sin1cos1D．log cos1tan1<log sin1tan1<log sin1cos1<log cos1sin114．【1994高中数学联赛（第01试）】设a，b，c是实数.那么对任何实数x，不等式asinx+bcosx+c>0都成立的充要条件是( )A．a，b同时为0，且c>0B．√a2+b2=cC．√a2+b2<c D．√a2+b2>c15．【1994高中数学联赛（第01试）】已知0<b<1，0<a<π4，则下列三数：x=(sina)log b sina，y=(cosa)log b cosa,z=(sina)log b cosa的大小关系是( )A．x<z<y B．y<z<x C．z<x<y D．x<y<z16．【1993高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边边长分别是a，b，c，若c－a等于AC边上的高h，则sin C−A2+cos C+A2的值是( )A．1B．12C．13D．−117．【1992高中数学联赛（第01试）】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c(b≠1)，且CA ,sinB sinA都是方程log√bx=log b(4x−4)的根，则△ABC( ). A．是等腰三角形，但不是直角三角形B．是直角三角形，但不是等腰三角形C．是等腰直角三角形D．不是等腰三角形，也不是直角三角形18．【1990高中数学联赛（第01试）】设a∈(π4,π2)，则(cosa)cosa，(sina)cosa,(cosa)sina的大小顺序是( )A．(cosα)cosα<(sinα)cosα<(cosα)sinαB．(cosα)cosα<(cosα)sinα<(sinα)cosαC．(sinα)cosα<(cosα)cosα<(cosα)sinαD．(cosα)sinα<(cosα)cosα<(sinα)cosα19．【1989高中数学联赛（第01试）】若A，B是锐角△ABC的两个内角，则复数z=cosB−sinA+i(sinB −cosA)在复平面内所对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限20．【1989高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=arctanx+12arcsinx的值域是( ).A．(−π,π)B．[−3π4,3π4]C．(−3π4,3π4)D．[−π2,π2]21．【1987高中数学联赛（第01试）】边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( )A．10√2B．14C．5√6D．1222．【1987高中数学联赛（第01试）】如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A，C在圆周上，∠ABC=2a(0<a<π3).现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心，使B落在圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上，如此旋转直到第100次.那么，点A所走路程的总长度为( )A．22π(1+sina)−66a B．22π+683πsina−66aC．673πD．33π−66a23．【1986高中数学联赛（第01试）】设－1<a<0，θ=arcsina，那么不等式sinx<a的解集为( )A．{x|2nπ+θ<x<(2n+1)π−θ,n∈Z}B．{x|2nπ−θ<x<(2n+1)π−θ,n∈Z}C．{x|(2n−1)π+θ<x<2nπ−θ,n∈Z}D．{x|(2n−1)π−θ<x<2nπ+θ,n∈Z}24．【1985高中数学联赛（第01试）】已知方程arccos45−arccos(−45)=arcsinx，则( )A．x=2425B．x=−2425C．x=0D．这样的x不存在25．【1984高中数学联赛（第01试）】若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是( )A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动26．【1983高中数学联赛（第01试）】已知等腰△ABC的底边BC及高AD的长都是整数，那么sinA和cosA中( )A．一个是有理数，另一个是无理数B．两个都是有理数C．两个都是无理数D．是有理数还是无理数要根据BC和AD的数值来确定27．【1983高中数学联赛（第01试）】任意△ABC，设它的周长、外接圆半径长与内切圆半径长分别为l，R与r，那么( )A．l>R+r B．l⩽R+r<R+r<6l D．A，B，C三种关系都不对C．16)都有( )28．【1982高中数学联赛（第01试）】对任何φ∈(0,π2A．sinsinφ<cosφ<coscosφB．sinsinφ>cosφ>coscosφC．sincosφ>cosφ>cossinφD．sincosφ<cosφ<cossinφ29．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:两个三角形的面积和两条边对应相等.条件乙:两个三角形全等( )A．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件30．【1981高中数学联赛（第01试）】条件甲:√1+sinθ=a.条件乙:sinθ2+cosθ2=aA．甲是乙的充分必要条件B．甲是乙的必要条件C．甲是乙的充分条件D．甲不是乙的必要条件，也不是充分条件31．【1981高中数学联赛（第01试）】设α≠kπ2(k=0,±1,±2,⋯),T=sinα+tanαcosα+cotαA．T取负值B．T取非负值C．T取正值D．T取值可正可负优质模拟题强化训练1．△ABC的三边长分别为AB=a，BC=b，CA=c．若{c=√a2−2+√b2−2a=√b2−3+√c2−3b=√c2−4+√a2−4，则→AB⋅→BC，→BC⋅→CA，→CA⋅→AB中小于0的个数为（）．A．3B．2C．1D．02．arccos13+12arccos79=（）.A．3π8B．2π3C．π2D．arcsin893．设f(x)=cos(ωx)的最小正周期为6，则f(1)+f(2)+⋯+f(2018)的值是（）.A．0B．1C．12D．√324．函数y=(sinx−1)(cosx−1)2+sin2x(x∈R)的最大值为（）.A．√22B．1C．12+√22D．√25．设曲线f(x)=acosx+bsinx的一条对称轴为x=π5。
历年全国高中数学竞赛试卷及答案(77套)
（5月14日下午14:30—16:30）
题目
一
二
三
总成绩
13
14
15
16
得分
评卷人
复核人
考生注意：1.本试卷共有三大题（16个小题），全卷满分140分
2.用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答。
3.计算器，通讯工具不准待入考场。
4.解题书写不要超过封线
一，单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
二，填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7.1008 8.0 9.2 10. 11.2 12.243
三，解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13.证明：（1）因为
所以，数列 成等比数列 ……5分
于是
即数列 的通项公式 ……10分
（2）法1：因为 对任意的正整数n都成立，故
由（1）知
∴共有C 种比赛方式．
三．(15分)长为 ，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积．
解：过轴所在对角线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N，作AE⊥BD于E，
则△ABD旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径AE= = ．其体积V= ( )2· = π．同样，
1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( )
A．y=－φ(x)B．y=－φ(－x)C．y=－φ－1(x)D．y=－φ－1(－x)
解：第二个函数是y=φ－1(x)．第三个函数是－x=φ－1(－y)，即y=－φ(－x)．选B．
1995年全国高中数学联赛试题及解答
1995年全国高中数学联赛第一试一、选择题(每小题6分，共36分)1． 设等差数列{a n }满足3a 8=5a 13且a 1>0，S n 为其前项之和，则S n 中最大的是( ) (A )S 10 (B )S 11 (C )S 20 (D ) S 212． 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z 1，Z 2，…，Z 20，则复数Z 19951 ，Z 19952 ，…，Z 199520 所对应的不同的点的个数是( )(A )4 (B )5 (C )10 (D )203． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A )1个 (B )2个 (C )50个 (D )100个4． 已知方程|x －2n |=k x (n ∈N *)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )(A )k >0 (B )0<k ≤12n +1(C )12n +1<k ≤12n +1(D )以上都不是5． log sin1cos1，log sin1tan1，log cos1sin1，log cos1tan1的大小关系是 (A ) log sin1cos1< log cos1sin1< log sin1tan1< log cos1tan1 (B ) log cos1sin1< log cos1tan1< log sin1cos1< log sin1tan1 (C ) log sin1tan1< log cos1tan1< log cos1sin1< log sin1cos1 (D ) log cos1tan1< log sin1tan1< log sin1cos1< log cos1sin16． 设O 是正三棱锥P —ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与P A ，PB 的延长线分别交于Q ，R ，则和式1PQ +1PR +1PS(A )有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值(C )既有最大值又有最小值，两者不等 (D )是一个与面QPS 无关的常数 二、填空题(每小题9分，共54分)1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=23，且αβ2为实数，则|α|= ．2． 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 ．3． 用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程lg 2x －[lg x ]－2=0的实根个数是 ． 4． 直角坐标平面上，满足不等式组⎩⎨⎧y ≤3x ，y ≥x3， x +y ≤100的整点个数是 ．5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么不同的染色方法的总数是 ．6． 设M={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件：当x ∈A 时，15x ∉A ，则A 中元素的个数最多是 ．第二试一、(25分) 给定曲线族2(2sinθ－cosθ+3)x2－(8sinθ+cosθ+1)y=0，θ为参数，求该曲线在直线y=2x上所截得的弦长的最大值．二、(25分) 求一切实数p，使得三次方程5x3－5(p+1)x2+(71p－1)x+1=66p的三个根均为正整数．三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。
高中数学竞赛数列
竞赛辅导数列(等差数列与等比数列)数列是高中数学中一个重要课题，也是数学竞赛中常常出现问题。
数列最根本是等差数列与等比数列。
所谓数列，就是按肯定次序排列一列数。
假如数列{a n}第n项a n 与项数(下标)n之间函数关系可以用一个公式a n=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列通项公式。
从函数角度看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它有限子集{1，2，…n})函数当自变量从小到大依次取值时对应一列函数值，而数列通项公式也就是相应函数解析式。
为理解数列竞赛题，首先要深入理解并娴熟驾驭两类根本数列定义、性质有关公式，把握它们之间(同构)关系。
一、等差数列假如一个数列从第二项起，每一项与它前一项差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差常用字母d表示。
等差数列{a n}通项公式为：前n项和公式为：从(1)式可以看出，是一次数函()或常数函数()，()排在一条直线上，由(2)式知，是二次函数()或一次函数()，且常数项为0。
在等差数列{}中，等差中项：且随意两项关系为：它可以看作等差数列广义通项公式。
从等差数列定义、通项公式，前项和公式还可推出：假设二、等比数列假如一个数列从第2项起，每一项与它前一项比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列公比。
公比通常用字母表示。
等比数列{a n}通项公式是：前项和公式是：在等比数列中，等比中项：且随意两项关系为假如等比数列公比满意0＜＜1，这个数列就叫做无穷递缩等比数列，它各项和(又叫全部项和)公式为：从等比数列定义、通项公式、前项和公式可以推出：另外，一个各项均为正数等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列各项做指数构造幂，那么{}是等比数列。
在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构〞。
重要不仅是两类根本数列定义、性质，公式；而且蕴含于求和过程当中数学思想方法和数学才智，也是极其宝贵，诸如“倒排相加〞(等差数列)，“错位相减〞(等比数列)。
1995年全国高中数学联赛试题及解答
y
y=(cos1)x
tan1
logcos1tan1<0，logsin1cos1>0，logcos1sin1>0， 1 (1,sin1) 设 logsin1cos1=a， 则得(sin1)a=cos1<sin1， a>1； logcos1sin1=b， O (1,cos1) 则(cos1)b=sin1>cos1，0<b<1；即 logcos1sin1< logsin1cos1． c d b 1 a x c d 设 logsin1tan1=c，logcos1tan1=d，则得(sin1) =(cos1) =tan1， (指数函数图象进行比较)，c<d．即 logsin1tan1<logcos1tan1 故选 C． 6． 设 O 是正三棱锥 P—ABC 底面三角形 ABC 的中心，过 O 的动平面与 PC 交于 S，与 PA，PB 的延
B(25,75)
y= x 时各有 1 个整点，x=4，5，6 时各有 2 个整点，…，x=73，74，75 时有 25 个 3 A(75,25) 20 整点，x=76，77，…，100 时依次有 25，24，…，1 个整点．共有 3×1+3×2+… x 100 O 20 +3×25+25+24+…+1=4(1+2+…+25)=1300．由对称性，由 y 轴、y=3x、x+y=100 围成的区域内也有 1300 个整点． ∴所求区域内共有 5151－2600=2551 个整点． 5． 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有 5 种颜色可使用， 那么不同的染色方法的总数是 ． 解：顶点染色，有 5 种方法，
1995年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案(文)
1995年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本大题共15小题；第1－10题每小题4分，第11－15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项有符合题目要求的)1．已知集合I ={0，－1，－2，－3，－4}，集合M ={0，－1，－2，}，N ={0，－3，－4}，则=⋂N M _( )(A) {0} (B) {－3，－4}(C) {－1，－2}(D) φ2．函数y =11+x 的图像是 ( )3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4π)的最小正周期是 ( )(A) 6π(B) 2π(C) 32π (D)3π 4．正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是 ( )(A)32a π (B)22a π(C) 2πa 2 (D) 3πa 25．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) (A) k 1< k 2< k 3 (B) k 3< k 1< k 2 (C) k 3< k 2< k 1 (D) k 1< k 3< k 26．双曲线3x 2－y 2=3的渐近线方程是 ( )(A) y =±3x(B) 3x±(C) y =x 3±(D) y =x 33±7．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是 ( )(A) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-443ππ，(B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22ππ， (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-434ππ， (D) [0，π]8．x 2+y 2－2x =0和x 2+y 2+4y =0的位置关系是 ( )(A) 相离(B) 外切(C) 相交(D) 内切9．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于 ( )(A) 322(B) －322(C)32 (D) －32 10．如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1=D 1F 1=411B A ，则BE 1与DF 1所成的角的余弦值是 ( )(A)1715 (B)21 (C)178 (D)23 11．已知y =log a (2－x )是x 的增函数，则a 的取值范围是( ) (A) (0，2)(B) (0，1)(C) (1，2)(D) (2，+∞)12．在(1－x 3)(1+x )10的展开式中，x 5的系数是 ( )(A) －297(B) －252(C) 297(D) 20713．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题，①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β其中正确的两个命题是 ( )(A) ①与②(B) ③与④(C) ②与④(D) ①与③14．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是S n 与T n ，若132+=n n T S n n ，则nn n b a ∞→lim 等于( )(A) 1(B)36(C)32 (D)94 15．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( )(A) 24个(B) 30个(C) 40个(D) 60个第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上)16．方程log 2(x +1)2+log 4(x +1)=5的解是_____________17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成角为3π，则圆台的体积与球体积之比为____________18．函数y =cos x +cos(x +3π)的最大值是___________ 19．若直线l 过抛物线y 2=4(x +1)的焦点，并且与x 轴垂直，则l 被抛物线截得的线段长为______________20．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有____________种(用数字作答)三、解答题(本大题共6小题，共65分：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)21．(本小题满分7分)解方程3x +2－32－x =80．22．(本小题满分12分)设复数z =cos θ+i sin θ，θ∈(π，2π)，求复数z 2+z 的模和辐角23．(本小题满分10分)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明：15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S ．24．(本小题满分12分)如图，ABCD 是圆柱的轴截面，点E 在底面的圆周上，AF ⊥DE ，F 是垂足．(1)求证：AF ⊥DB(2)如果AB =a ，圆柱与三棱锥D －ABE 的体积比等于3π，求点E 到截面ABCD 的距离．25．(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养值提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为千克元x ，政府补贴为千克元t ，根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量p 千克与市场日需求量Q 近似地满足关系：P =1000(x +t －8) (x ≥8，t ≥0)， Q =500()2840--x (8≤x ≤14)，当P =Q 时的市场价格为市场平衡价格，(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域： (2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少每千克多少元？26．(本小题满分12分)已知椭圆1162422=+y x ，直线l ：x =12，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上，且满足|OQ |·|OP |=|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．1995年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(文史类)参考答案一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．C 9．A 10．A 11．B 12．D 13．D 14．C 15．A二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)16．3 17．3237 18．3 19．4 20．144三、解答题21．本小题主要考查指数方程的解法及运算能力， 解：设y =3x ，则原方程可化为9y 2－80y －9=0， 解得：y 1=9，y 2=91- 方程3x =91-无解， 由3x =9得x =2，所以原方程的解为x =2．22．本小题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力， 解：z 2+z =(cos θ+i sin θ)2+(cos θ+i sin θ) =cos2θ+i sin2θ+cos θ+i sin θ=2cos 23θcos 2θ+i (2sin 23θcos 2θ) =2 cos 2θ(cos 23θ+i sin 23θ)=－2 cos 2θ[cos(－π+23θ)+i sin(－π+23θ)]∵ θ∈(π，2π)∴2θ∈(2π，π) ∴ －2cos (2θ)>0所以复数z 2+z 的模为－2cos2θ，辐角(2k －1)π+23θ(k ∈z )． 23．本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力， 证法一：设{a n }的公比为q ，由题设知a 1>0，q >0， (1)当q =1时，S n =na 1，从而S n ·S n+2－21+n S =na 1(n +2)a 1－(n +1)221a =－21a <0．(2)当q ≠1时，()qq a S nn --=111，从而S n ·S n+2－21+n S =()()()()()22121222111111q q a q q q a n n n ------++=－21a q n <0．由(1)和(2)得S n ·S n+2<21+n S ．根据对数函数的单调性，得log 0.5(S n ·S n+2)>log 0.521+n S ，即15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S ．证法二：设{a n }的公比为q ，由题设知a 1>0，q >0， ∵ S n+1= a 1+qS n ， S n+2=a 1+ qS n +1，∴ S n ·S n+2－21+n S =S n (a 1+ qS n +1)－(a 1+qS n )S n +1= a 1(S n －S n +1)=－a 1 a n+1<0． 即S n ·S n+2<21+n S ． (以下同证法一)24．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力． (1)证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ， ∵ EB ⊂平面ABE ， ∴ DA ⊥EB ，∵ AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴ AE ⊥EB ，又AE ∩AD =A ，故得EB ⊥平面DAE ， ∵ AF ⊂平面DAE ， ∴ EB ⊥AF ，又AF ⊥DE ，且EB ∩DE =E ，故得AF ⊥平面DEB ， ∵ DB ⊂平面DEB ， ∴ AF ⊥DB ．(2)解：设点E 到平面ABCD 的距离为d ，记AD =h ，因圆柱轴截面ABCD 是矩形，所以AD ⊥AB ．S △ABD =21AB ·AD =2ah∴ V D －ABE =V E －ABD =3dS △ABD =61dah又V 圆柱=422ππ=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛AD AB a 2h由题设知dah ha 6142π=3π，即d =2a ． 25．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．解：(1)依题设有1000(x +t －8)=500()2840--x化简得5x 2+(8t －80)x +(4t 2－64t +280)=0， 当判别式△=800－16t 2≥0时，可得：X =8－54t ±52250t -．由△≥0，t ≥0，8≤x ≤14，得不等式组：①⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≤≤≤14505254885002t t t ②⎪⎩⎪⎨⎧≤---≤≤≤14505254885002t t t 解不等式组①，得0≤t ≤10，不等式组②无解，故所求的函数关系式为 x =8－54t +25052t - 函数的定义域为[0，10] (2)为使x ≤10，应有8－54t +25052t -≤10， 化简得：t 2+4t －5≥0，解得t ≥1或t ≤－5，由于t ≥0知t ≥1，从而政府补贴至少为每千克1元．26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想综合运用知识的能力．解：设点P 、Q 、R 的坐标分别为(12，y p )，(x ，y )，(x R ，y R 由题设知x R >0，x >0，由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组1162422=+R R y x 解得 22223248yx x x R += ①x y x y R R = 22223248yx y y R += ② 由点O 、Q 、P 共线，得x y y p =12，即y p =xy12． ③ 由题设|OQ |·|OP |=|OR |2得()222222212RR pyx y y x +=+⋅+将①、②、③式代入上式，整理得点Q 的轨迹方程(x －1)2+322y=1 (x >0)所以点Q 的轨迹是以(1，0)为中心，长、短半轴长分别为1和36，且长轴在x 轴上的椭圆、去掉坐标圆点．。
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 F.G.online 整理 默认采用非官方解法2007联赛二试 类似九点圆如图，在锐角∆ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。
求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。
（官方解答）证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。
同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。
于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。
因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
充分性：设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O =∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆 必要性：设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = πABDCEFP1O2O注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。
因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点，也就是∆BFP 的外心，从而∠PF 1O =2π - ∠BF 1O = 2π- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以∠AFE =∠ACB ，∠PFE =2π- ∠ACB 于是，由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得： （∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP ）+ (2π - ∠ABP +2π- ∠ACB) = π ， 即∠ABP =∠ACP 。
⑨竞赛中的复数问题
Y.P .M 数学竞赛讲座 1竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.一、知识结构1.概念与运算:⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b ∈R);②三角式:z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R);③指数式:z=re i θ(r ≥0,θ∈R);④欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,θ∈R.⑵共轭与模:①21z z ±=21z z ±;21z z ⋅=21z z ⋅;)(21z z =21z z;②||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|;|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|21z z |= ||||21z z ;③z z =|z|2=|z |2;④z=z ⇔z ∈R;|z|=|Re(z)|⇔z ∈R. ⑶运算法则:①乘法:r 1(cos θ1+isin θ2)r 2(cos θ2+isin θ2)=r 1r 2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法:)sin (cos )sin (cos 222121θθθθi r i r ++=21r r (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ);④开方:z n =r(cos θ+isin θ)⇔z =n r (cosnk πθ2++isinnk πθ2+)(k=0,1,2…,n-1).2.辐角与三角:⑴辐角性质:①定义:若z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R),则θ称为复数z 的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z 的辐角主值,记为argz;②运算:Argz 1+Argz 2=Arg(z 1z 2);Argz 1-Argz 2=Arg(21z z )=Arg(z 12z );nArgz= Argz n ;③性质:若z=cos θ+isin θ,则1+z=2cos2θ(cos 2θ+isin 2θ);1-z=-2sin 2θ(cos 2θ+isin 2θ). ⑵单位根:①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根,分别记为ωk (k=0,1,2,…,n-1);ωk =(cosn k π2+isin nk π2)(k=0, 1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk =ω1k ;ωk ωj =ωk+j ;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n-1)=x n -1.⑶基本结论:①实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现;②若|z 1|=|z 2|=…=|z n |,且z 1+z 2+…+z n =0,则z 1,z 2, …,z n 对应的点是正n 边形的顶点,且正n 边形的中心在坐标原点;③若复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,且z 1=z 0z 2,则∠Z 1OZ 2=argz 0,或argz 0-π.3.复数与几何:⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi 与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi 与向量OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,则|Z 1Z 2|=|z 1-z 2|;④旋转公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,向量21z z 绕点Z 1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量z z 1中的Z 对应的复数z=z 1+r(z 2-z 1)(cos θ+isin θ).⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,点Z 分有向线段21z z 的比为λ(λ≠-1),则z=λλ++121z z ;②三点共线:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,则三点Z,Z 1,Z 2共线的充要条件是:Z=λZ 1+(1-λ)Z 2;③平行条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2∥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4);④垂直条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2⊥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4)i.2 Y.P .M 数学竞赛讲座⑶几何结论:①三角形面积:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3的面积=21×复数(z 13z +z 21z +z 32z )的虚部;②三角形形状:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形的充要条件是:z 12+z 22+z 32=z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1;或z 1+ωz 2+ω2z 3=0;③三角形相似:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数w 1,w 2,w 3对应的点分别为W 1,W 2,W 3,则△Z 1Z 2Z 3∽△W 1W 2W 3的充要条件是:1312z z z z --=1312w w ww --;④四点共圆:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则四点Z 1, Z 2,Z 3,Z 4共圆的充要条件是:1413z z z z --:2423z z z z --∈R. 二、典型问题1.复数概念[例1]:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切θ∈R,复数z=(a+cos θ)+(2a-sin θ)i 的模不超过2,则实数a 的取值范围为 .[解析]:[类题]:1.①(2010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z 1=m+2i,z 2=3-4i,若21z z 为实数,则实数m 的值为 . ②(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z 2为实数的条件是z 2= .2.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若3131-+z z 为纯虚数,则|z|= . 3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a 的值为 .4.(1994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2>c 2,则a 2+b 2-c 2>0;②设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2-c 2>0,则a 2+b 2>c 2.那么下述说法正确的是( )(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确 5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设z 是虚数,w=z+z1,且-1<w<2,则z 的实部取值范围为 . 2.代数形式[例2]:(1995年全国高中数学联赛试题)设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= . [解析]: [类题]:1.①(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i)4+(1-i)4= .②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:！！！！i i i i 100210+⋅⋅⋅+++= .2.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i 2=-1,在集合{s|s=1+i+i 2+i 3+…+i n,n ∈N}中包含的元素是 .3.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列{a n }满足a 1=0,a n =a n-12+i(n ≥2,i 为虚数单位,则它的前2007项的和= .4.(2000年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{z n }满足z 1=i,z n+1=-z n 2-i,则|z 2000|=5.(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2成为实数的所有x 构成的集合是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 3 3.三角形式[例3]:(1999年全国高中数学联赛试题)给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足:⎪⎩⎪⎨⎧=++===11||||||133221321z z z z z z z z z ,求|az 1+bz 2+cz 3|的值.[解析]: [类题]:1.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设A 、B 、C 为△ABC 的三内角,则复数Ai A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++的虚部是 .2.(1992年湖南高中数学夏令营试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,z 1-z 2=cos150+isin150,则21z z = . 3.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z 1|=|z 2|=a(a ≠0),且z 1+z 2=m+mi,其中m 为非零实数.则z 13z 23的值是 . 4.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z 2-z+2|的最小值为 .5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数z ∈D 当且仅当存在模为1的复数z 1,使得|z-2005-2006i| =|z 14+1-2z 12|.则D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是 .4.共轭运算[例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23-i,则z 1z 2= .[解析]: [类题]:1.(1986年全国高中数学联赛试题)为z 为复数,M={z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数} 2.(1985年全国高中数学联赛试题)设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2||1λλ-+ww 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( )(A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|,且z 1-z 2=2-i,则||2121z z z z 的值为 . 4.(1996年湖南高中数学夏令营试题)z 1,z 2是已知的两个任复数,复数z 满足z ≠0,z+z 2≠0,z z 1+z 2z +z 12z =0,则 arg21z z z z ++= . 5.(1991年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3,|z 1-z 2|=33,则log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|= .5.模的运算[例5]:(2011年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数z 1和z 2满足:|z 2|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,则|(z 1+1)2(z 1-2)|的最大值为 .[解析]: [类题]:1.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)|)52)(32()35)(25)(23(2i i i i i --+++|= .2.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz −6),则|z|等于 .3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+2i ) (1)ni ),则∑=+-nn n n z z 11||= .4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 满足z z -z-z =3,且arg(z-1)=3π,则z= .4 Y.P .M 数学竞赛讲座5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2-z+1|的最大值与最小值是 .6.乘方运算[例6]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n ≥2007,且n 为使得a n =(22-+i 22+)n取实数值的最小正整数,则对应此n 的a n = .[解析]: [类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:(21i -)1989= .2.①(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z=(3-3i)n,若z 为实数,则最小的正整数n 的值为 . ②(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设n 为使a n =(213++213-i)n取实数的最小自然数,则对应此n 的a n = .3.①(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sin θ+icos θ)n=sinn θ+icosn θ成立,则这种n 的总个数为 .②(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设m 、n 是自然数,且使(3+i)m=(1+i)n成立(其中i 是虚数单位),则乘积mn 的最小值是 .4.(2010年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z 为复数.若|z|=1,|z +i|=1,则当(z+i)n(n 为正整数)为实数时,|z+i|n的最小值为 .5.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)[(23i +)8+1]n当n 取1,2,…,100时,可得 个不同的数值. 7.单位复数[例7]:(1991年全国高中数学联赛试题)设a,b,c 均为非零复数,且ba =cb =ac ,则cb ac b a +--+的值为 .[解析]: [类题]:1.①(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x 1,x 2是方程x 2-x+1=0的两个根,则x 11980+198021x = .②(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数m 满足m+m 1=1,则m 2008+20091m= . 2.①(1990年全国高中数学联赛试题)设非零数复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式(y x x +)1990+(yx y +)1990的值是 . ②(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式[2))((y x y x xy -+]2006(x2006+y2006)的值是 .3.(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若z ∈C,且x 10=1,则1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010= .4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 满足:z 3=27,则z 5+3z 4+2242= . 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 .8.复数方程[例8]:(1994年全国高中数学联赛试题)x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1,z 2,m 均是复数,且z 12-4z 2=16+20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=27,求|m|的最大值和最小值.[解析]:Y.P .M 数学竞赛讲座 5 [类题]:1.(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数z 使2z+z 1为实数,则2z+z1的取值范围是_____. 2.(1993年全国高中数学联赛试题)二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________.3.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程z 4=z (z 为z 的共轭复数)的根为 .4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数z 满足等式z+z |z|3=0,则z= .5.(2000年全国高中数学联赛试题)设ω=cos5π+isin5π,则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x+1=0 (B)x 4-x 3+x 2-x+1=0 (C)x 4-x 3-x 2+x+1=0 (D)x 4+x 3+x 2-x -1=09.复数与点[例9]:(1998年全国高中数学联赛试题)设复数z=cos θ+isin θ(00≤θ≤1800),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以线段PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S 到原点距离的最大值是 _.[解析]:[类题]:1.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若点A,B 分别对应复数z,z -1,z ∉R,则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为(用z 和z 表示).3.(2002年湖南高中数学夏令营试题)已知z 为复数,arg(z+3)=1350,则|3||6|1i z z -++取最大值时,z= .4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在复平面内由i1,1-i ,(i-1)3对应的点构成的三角形的最大内角等于 .5.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)如果复数z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数f(z)= |(z+1)(z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 .10.模的意义[例10]:(2002年全国高中数学联赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,若它们所对应向量的夹角为600,则|2121z z z z -+|= . [解析]: [类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设复数z 1=(2-a)+(1-b)i,z 2=(3+2a)+(2+3b)i,z 3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b ∈R,当|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值时,3a+4b= .②(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|≥1,|z 2|≥23,则复数i 1993z 1+i 1995z 2+2z 1z 2的模长的最小值是 .2.(2010年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设z 是复数,则|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于__________.3.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设z 是模为2的复数,则|z-z1|的最大值与最小值的和为 . 4.(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为6 Y.P .M 数学竞赛讲座M,m,则mM= . 5.(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 的模为1,则函数|z 2+iz 2+1|的值域是 .11.幅角主值[例11]:(1998年全国高中数学联赛试题)已知复数z=1-sin θ+icos θ(2π<θ<π).求z 的共轭复数z 的辐角主值.[解析]: [类题]:1.(1984年全国高中数学联赛试题)集合S={z 2|argz=a,a ∈R}在复平面的图形是( )(A)射线argz=2a (B)射线argz=-2a (C)射线argz=-a (D)上述答案都不对 2.(1998年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设z 是复数,z+2的幅角为3π,z-2的幅角为65π,则z= . 3.(1993年全国高中数学联赛试题)若z ∈C,arg(z 2-4)=65π,arg(z 2+4)=3π,则z 的值是________. 4.(1992年全国高中数学联赛试题)设z 1,z 2都是复数,且|z 1|=3,|z 2|=5|z 1+z 2|=7,则arg(12z z )3的值是______. 5.(1999年全国高中数学联赛试题)已知θ=arctan125,那么,复数z=i i ++2392sin 2cos θθ的辐角主值是_________.12.几何形状[例12]:(1995年全国高中数学联赛试题)设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z 1,z 2,…,z 20,则复数Z 11995,z 21995,…,z 201995所对应的不同的点的个数是 .[解析]: [类题]:1.(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若在复平面上三个点A(0),B(z 0-z),C(z 0+z)构成以A 为直角顶点的等腰直 角三角形,其中z 0=-31+32i,则△ABC 的面积为 . 2.①(1992年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z 1|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 .②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设复数z 1、z 2满足z 1z 2=1,z 13+z 23=0,且z 1+z 2≠0.z 1、z 2在复平面内的对应点为Z 1、Z 2,O 为原点,则△Z 1OZ 2的面积是_____.3.(1996年全国高中数学联赛试题)复平面上,非零复数z 1,z 2在以i 为圆心,1为半径的圆上,1z z 2的实部为零,z 1的辐角主值为6π,则z 2=_______.4.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知关于x 的实系数方程x 2-2x+2=0和x 2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 的取值范围是 .5.(1997年全国高中数学联赛试题)设非零复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++===Sa a a a a a a a a a a a a a a a a a )11111(4543215432145342312,其中S 为实数,且|S|≤2.求证:复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上.Y.P .M 数学竞赛讲座 7 13.解折综合[例13]:(2003年全国高中数学联赛试题)设A,B,C 分别是复数Z 0=ai,Z 1=21+bi,Z 2=1+ci(其中a,b,c 都是实数)对应的不共线的三点,证明:曲线Z ＝Z 0cos 4t+2Z 1cos 2tsin 2t+Z 2sin 4t(t ∈R )与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.[解析]:[类题]:1.(1993年全国高中数学联赛试题)设m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z ∈C,则方程|z+ni|+|z -mi|=n 与|z+ni|-|z -mi| -m 在同一复平面内的图形(F 1,F 2为焦点)是( )xx(B) (C) (D) 2.(1989年全国高中数学联赛试题)若M={z|z=t t +1+i tt+1,t ∈R,t ≠-1,t ≠0},N={z|z=2[cos(arcsint)+icos(arccost)],t ∈R,|t|≤1},则M ∩N 中元素的个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)43.(1988年全国高中数学联赛试题)复平面上动点z 1的轨迹方程为|z 1-z 0|=|z 1|,z 0为定点,z 0≠0,另一个动点z 满足z 1z=-1,求点z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.4.①(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z,w 满足:|z-1-i|-|z|=2,|w+3i|=1,则|z –w|的最小值= .②(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)x 、y 是实数.z 1=x+11+yi,z 2=x-11+yi(i 为虚数单位),|z 1|+|z 2|=12,令u=|5x −6y −30|,则u 的最大值是_____,u 的最小值是_____.5.(1996年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知满足条件|z 2|+|z 2−1|=7的复数z 在复平面内的所对应的点的集合是一条二次曲线,则该二次曲线的离心率e=_____.14.复数应用[例14]:(2001年全国高中数学联赛试题)若(1+x+x 2)1000的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2000x 2000,则a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998的值为 .[解析]: [类题]:1.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知sin α+sin β=51,cos α+cos β=31,则)(2sin )(2cos 1)(2sin )cos(21βαβαβαβα+++++++-= .2.(2007年湖北数学奥林匹克夏令营试题)求值:tan700-010cos 1= .3.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)化简arccot2+arctan 31= . 4.(2012年复旦自主招生试题)arctan 31+arctan 51+arctan 71+arctan 81= .Y.P .M 数学竞赛讲座 1竞赛中的复数问题复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.一、知识结构1.概念与运算:⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b ∈R);②三角式:z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R);③指数式:z=re i θ(r ≥0,θ∈R);④欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,θ∈R.⑵共轭与模:①21z z ±=21z z ±;21z z ⋅=21z z ⋅;)(21z z =21z z;②||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|;|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|21z z |= ||||21z z ;③z z =|z|2=|z |2;④z=z ⇔z ∈R;|z|=|Re(z)|⇔z ∈R. ⑶运算法则:①乘法:r 1(cos θ1+isin θ2)r 2(cos θ2+isin θ2)=r 1r 2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法:)sin (cos )sin (cos 222121θθθθi r i r ++=21r r (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ);④开方:z n =r(cos θ+isin θ)⇔z =n r (cosnk πθ2++isinnk πθ2+)(k=0,1,2…,n-1).2.辐角与三角:⑴辐角性质:①定义:若z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R),则θ称为复数z 的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z 的辐角主值,记为argz;②运算:Argz 1+Argz 2=Arg(z 1z 2);Argz 1-Argz 2=Arg(21z z )=Arg(z 12z );nArgz= Argz n ;③性质:若z=cos θ+isin θ,则1+z=2cos2θ(cos 2θ+isin 2θ);1-z=-2sin 2θ(cos 2θ+isin 2θ). ⑵单位根:①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根,分别记为ωk (k=0,1,2,…,n-1);ωk =(cosn k π2+isin nk π2)(k=0, 1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk =ω1k ;ωk ωj =ωk+j ;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n-1)=x n -1.⑶基本结论:①实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现;②若|z 1|=|z 2|=…=|z n |,且z 1+z 2+…+z n =0,则z 1,z 2, …,z n 对应的点是正n 边形的顶点,且正n 边形的中心在坐标原点;③若复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,且z 1=z 0z 2,则∠Z 1OZ 2=argz 0,或argz 0-π.3.复数与几何:⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi 与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi 与向量OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,则|Z 1Z 2|=|z 1-z 2|;④旋转公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,向量21z z 绕点Z 1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量z z 1中的Z 对应的复数z=z 1+r(z 2-z 1)(cos θ+isin θ).⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,点Z 分有向线段21z z 的比为λ(λ≠-1),则z=λλ++121z z ;②三点共线:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,则三点Z,Z 1,Z 2共线的充要条件是:Z=λZ 1+(1-λ)Z 2;③平行条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2∥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4);④垂直条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2⊥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4)i.2 Y.P .M 数学竞赛讲座⑶几何结论:①三角形面积:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3的面积=21×复数(z 13z +z 21z +z 32z )的虚部;②三角形形状:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形的充要条件是:z 12+z 22+z 32=z 1z 2+z 2z 3+z 3z 1;或z 1+ωz 2+ω2z 3=0;③三角形相似:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数w 1,w 2,w 3对应的点分别为W 1,W 2,W 3,则△Z 1Z 2Z 3∽△W 1W 2W 3的充要条件是:1312z z z z --=1312w w ww --;④四点共圆:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则四点Z 1, Z 2,Z 3,Z 4共圆的充要条件是:1413z z z z --:2423z z z z --∈R. 二、典型问题1.复数概念[例1]:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切θ∈R,复数z=(a+cos θ)+(2a-sin θ)i 的模不超过2,则实数a 的取值范围为 .[解析]:|z|≤2⇔(a+cos θ)2+(2a-sin θ)2≤4⇔2acos θ-4asin θ≤3-5a 2⇔-25asin(θ+φ)≤3-5a 2⇔25|a|≤3-5a 2⇔(5|a|-1)(5|a|+3)≤0⇔a ∈[-55,55]. [类题]:1.①(2010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z 1=m+2i,z 2=3-4i,若21z z 为实数,则实数m 的值为 . ②(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z 2为实数的条件是z 2= .2.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若3131-+z z 为纯虚数,则|z|= . 3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a 的值为 .4.(1994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2>c 2,则a 2+b 2-c 2>0;②设a,b,c 都是复数,如果a 2+b 2-c 2>0,则a 2+b 2>c 2.那么下述说法正确的是( )(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确 5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设z 是虚数,w=z+z1,且-1<w<2,则z 的实部取值范围为 . 解:设z=a+bi ⇒w=a+bi+22ba bi a +-=a+22ba a ++(b-22ba b +)i.由-1<w<2⇒w 为实数⇒b-22ba b +=0⇒b=0,或a 2+b 2=1.当b=0时,a ≠0,w=a+a 1⇒|w|≥2,不符合-1<w<2;当a 2+b 2=1时,w=2a,由-1<w<2⇒-21<a<1. 2.代数形式[例2]:(1995年全国高中数学联赛试题)设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且2βα为实数,则|α|= . [解析]:设α=a+bi(a,b ∈R)⇒β=a-bi ⇒αβ=a 2+b 2∈R,α-β=2bi,|α-β|=23⇒|b|=3,2βα=23)(αβα为实数⇒α3=(a+bi)3=(a 3-3ab 2)+(3a 2b-b 3)i 为实数⇒3a 2b-b 3=0⇒|a|=1⇒|α|=2.[类题]:1.①(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i)4+(1-i)4= .②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:！！！！i i i i 100210+⋅⋅⋅+++= . Y.P .M 数学竞赛讲座 32.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i 2=-1,在集合{s|s=1+i+i 2+i 3+…+i n,n ∈N}中包含的元素是 .3.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列{a n }满足a 1=0,a n =a n-12+i(n ≥2,i 为虚数单位,则它的前2007项的和= .4.(2000年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{z n }满足z 1=i,z n+1=-z n 2-i,则|z 2000|=5.(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2成为实数的所有x 构成的集合是 .解:复数z=ix x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2为实数⇔[sinx+sin2x+i(2cos 2xsinx-tanx)](cosx+i)为实数⇔sinx+sin2x+(2cos 2xsinx-tanx)cosx=0⇔sin2x+cos 2xsin2x=0⇔sin2x=0⇔sinx=0(cosx ≠0)⇔x=k π.3.三角形式[例3]:(1999年全国高中数学联赛试题)给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足:⎪⎩⎪⎨⎧=++===11||||||133221321z z z z z z z z z ,求|az 1+bz 2+cz 3|的值.[解析]:由|z 1|=|z 2|=|z 3|=1,可设z 1=cos α+isin α,z 2=cos β+isin β,z 3=cos γ+isin γ⇒21z z +32z z+13z z =cos(α-β)+ isin(α-β)+cos(β-γ)+isin(β-γ)+cos(γ-α)+isin(γ-α)=1⇒sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)=0⇒ 2sin2γα-cos22βγα-+-2sin2γα-cos2γα-=0⇒sin2γα-sin2αβ-sin2βγ-=0.当sin2αβ-=0时,β=2k π+α⇒z 1=z 2,由21z z +32z z +13z z =1⇒31z z+13z z =0⇒(13z z )2+1=0⇒13z z =±i ⇒|az 1+bz 2+cz 3|=|(a+b ±ic)z 1|=22)(c b a ++;同理可得:当sin2βγ-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(a c b ++;当sin2γα-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(b c a ++.[类题]:1.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设A 、B 、C 为△ABC 的三内角,则复数Ai A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++的虚部是 . 解:A i A C i CB i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++=)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2A i A AC i C C B i B B ++⋅+=2A C B cos cos cos Ai A C B i C B sin cos )sin()cos(-+++=2A CB cos cos cos [(cos(A+B+C)+isin(A+B+C))=-2ACB cos cos cos ,虚部是0.2.(1992年湖南高中数学夏令营试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,z 1-z 2=cos150+isin150,则21z z = . 解:设z 1=cos α+isin α,z 2=cos β+isin β⇒z 1-z 2=(cos α-cos β)+(sin α-sin β)i=cos150+isin150⇒cos α-cos β=cos150,sin α-sin β=sin150⇒(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2=1⇒cos(α-β)=21,sin α-sin β=±23⇒21z z=cos(α-β)+isin(α-β)=21±23i. 3.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z 1|=|z 2|=a(a ≠0),且z 1+z 2=m+mi,其中m 为非零实数.则z 13z 23的值是 . 解:设z 1=acos α+aisin α,z 2=acos β+aisin β,由z 1+z 2=m+mi ⇒a(cos α+cos β)=m,a(sin α+sin β)=m ⇒cos α+cos β=4 Y.P .M 数学竞赛讲座sin α+sin β⇒2cos2βα+cos2βα-=2sin2βα+cos2βα-⇒cos2βα+=sin2βα+⇒tan2βα+=1⇒α+β=2π⇒z 1z 2=a 2[cos(α+β)+isin(α+β)]=a 2i ⇒z 13z 23=(z 1z 2)3=-a 6i.4.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z 2-z+2|的最小值为 .解:设z=cos θ+isin θ⇒|z 2-z+2|=|cos2θ+isin2θ-cos θ-isin θ+2|=|cos2θ-cos θ+2+(sin2θ-sin θ)i|=θθ2cos 4cos 66+-=87)83(cos 82+-θ≥414. 5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数z ∈D 当且仅当存在模为1的复数z 1,使得|z-2005-2006i| =|z 14+1-2z 12|.则D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是 .解:设z 1=cos θ+isin θ⇒|z 14+1-2z 12|=|(z 12-1)2|=|z 12-1|2=|cos2θ-1+isin2θ|2=(cos2θ-1)2+sin 22θ=2-2cos2θ≤4⇒|z-2005-2006i|≤4,设z=x+yi ⇒(x-2005)2+(y-2006)2≤16⇔x 2+y 2≤16共有49个解.4.共轭运算[例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=23-i,则z 1z 2= .[解析]:|z 1|=2,|z 2|=3⇒z 11z =4,z 22z =9⇒23-i=3z 1-2z 2=31z 1z 22z -21z 2z 11z =61z 1z 2(22z -31z )=-61z 1z 2(31z -22z )= -61z 1z 2(23+i)⇒z 1z 2=-1330+1372i.[类题]:1.(1986年全国高中数学联赛试题)为z 为复数,M={z|(z-1)2=|z-1|2},那么( )(A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}⊂M ⊂{复数} (D)M={复数}解:(z-1)2=|z-1|2⇔(z-1)2=(z-1)(z -1)⇔z=1,或z=z ⇔M={实数}.2.(1985年全国高中数学联赛试题)设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2||1λλ-+ww 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( )(A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 解:z -λz=w ⇒z-λz =w ⇒z-λ(λz+w)=w ⇒(1-λλ)z=λw+w ⇒z=2||1λλ-+ww .故选(A). 3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|,且z 1-z 2=2-i,则||2121z z z z 的值为 . 解:设|z 1|=|z 2|=a ⇒z 11z =z 22z =a 2⇒a 2(2-i)=z 1z 22z -z 2z 11z =-z 1z 2(1z -2z )=-z 1z 2(2+i)⇒||2121z z z z =221az z =i i ++-22=543i +-. 4.(1996年湖南高中数学夏令营试题)z 1,z 2是已知的两个任复数,复数z 满足z ≠0,z+z 2≠0,z z 1+z 2z +z 12z =0,则 arg21z z z z ++= . 解:z z 1+z 2z +z 12z =0⇒z z 1+(z+z 1)2z =0⇒z z 1z 2+(z+z 1)2z z 2=0;z z 1+z 2z +z 12z =0⇒z 1z +z z 2+1z z 2=0⇒z z 2+(z+z 2)1z =0⇒z z 1z 2+(z+z 2)1z z 1=0⇒(z+z 1)2z z 2=(z+z 2)1z z 1⇒21z z z z ++=2211z z zz =正实数⇒arg 21z z z z ++=0. 5.(1991年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3,|z 1-z 2|=33,则log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|= . 解:9=|z 1|2=z 11z ,9=|z 1+z 2|2=(z 1+z 2)(1z +2z )=z 11z +z 22z +z 21z +z 12z ;27=|z 1-z 2|2=(z 1-z 2)(1z -2z )=z 11z +z 22z -(z 21z +z 12z )⇒z 11z +z 22z =18⇒z 22z =9⇒|z 2|=3⇒|z 21z |=|z 12z |=9,z 21z +z 12z =-9,设z 12z =9(cos θ+isin θ)⇒z 21z =9(cos θ-isin θ)⇒cos θ=-21⇒sin θ=±23⇒z 12z =9ω,或ω2⇒log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|=log 3|(9ω)2000+(9ω2)2000|= Y.P .M 数学竞赛讲座 5log 3|92000(ω+ω2)|=4000.5.模的运算[例5]:(2011年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数z 1和z 2满足:|z 2|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,则|(z 1+1)2(z 1-2)|的最大值为 .[解析]: 由4z 12-2z 1z 2+z 22=0⇒3z 12+(z 1-z 2)2=0⇒(z 1-z 2)2=-3z 12⇒z 1-z 2=±3z 1i ⇒z 2=(1±3i)z 1⇒|z 2|=2|z 1|⇒|z 1|=2,设z 1=2(cos α+isin α)⇒|(z 1+1)2(z 1-2)|=|(z 1+1)2||(z 1-2)|=[(2cos α+1)2+(2sin α)2]22)sin 2()2cos 2(αα+-=)cos 88()cos 45(2αα-+≤36(cos α=41). [类题]:1.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)|)52)(32()35)(25)(23(2i i i i i --+++|= .2.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz −6),则|z|等于 .解:设|z|=r(r>0)⇒z=i r ri 23212+-+⇒r 2=|z|2=|i r ri 23212+-+|2=22|23||212|i r ri +-+=49414422++r r ⇒r 4=16⇒r=2. 3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+2i ) (1)ni ),则∑=+-nn n n z z 11||= .解:|z n -z n+1|=1.4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 满足z z -z-z =3,且arg(z-1)=3π,则z= .解:z z -z-z =3⇒(z-1)(z -1)=4⇒|z-1|=2⇒z-1=2(cos3π+isin3π).5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2-z+1|的最大值与最小值是 . 解:u=|z 2-z+1|=|z 2-z+z z |=|z(z+z -1)|=|z+z -1|.设z=x+yi,则|x|≤1⇒u=|z+z -1|=|2x-1|∈[0,3].6.乘方运算[例6]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n ≥2007,且n 为使得a n =(22-+i 22+)n取实数值的最小正整数,则对应此n 的a n = .[解析]:令tan θ=2222-+(0<θ<2π)⇒tan 2θ=2222-+=3+22⇒tan θ=2+1⇒tan2θ=-1⇒2θ=43π⇒θ=83π⇒ a n =[r(cos83π+isin 83π)]n =r n(cosn 83π+isinn 83π)取实数值,其中r=2⇒sinn 83π=0⇒n 83π=k π⇒3n=8k ⇒n=8m,满足此条件且n ≥2007的最小正整数n 为2008,此时a n =a 2008=22008cos753π=-22008.[类题]:1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:(21i -)1989= .2.①(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z=(3-3i)n,若z 为实数,则最小的正整数n 的值为 . 解:令tan θ=-33=-3⇒θ=35π⇒3-3i=23(cos35π+isin 35π)⇒z=(3-3i)n =[23(cos 35π+isin 35π)]n= (23)n[cos(35πn)+isin(35πn)]为实数⇔sin(35πn)=0⇔35πn=k π⇔k=35n⇒最小的正整数n 的值为3. ②(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设n 为使a n =(213++213-i)n取实数的最小自然数,则对应此n 的 6 Y.P .M 数学竞赛讲座a n = .3.①(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sin θ+icos θ)n=sinn θ+icosn θ成立,则这种n 的总个数为 .解:(sin θ+icos θ)n=[i(cos θ-isin θ)]n=i n[cos(-θ)+isin(-θ)]n=i n[cos(-n θ)+isin(-n θ)]=i n[cos(n θ)-isin(nθ)]=i n-1(sinn θ+icosn θ)⇒i n-1=1⇒n-1=4k ⇒n=4k+1(n ≤2003)⇒k ≤500⇒(k=0)这种n 的总个数为501.②(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设m 、n 是自然数,且使(3+i)m=(1+i)n成立(其中i 是虚数单位),则乘积mn 的最小值是 .4.(2010年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z 为复数.若|z|=1,|z +i|=1,则当(z+i)n(n 为正整数)为实数时,|z+i|n的最小值为 .解:由|z|=1⇒z z =1,|z +i|=1⇒(z +i)(z-i)=1⇒(z -z)i=1⇒z-z =i ⇒z=±23+21i ⇒z+i=±23+23i=±3(21± 23i)⇒(z+i)n=(±3)n(21±23i)n,其中w=21±23i 是方程w 2-w+1=0的根⇒w 3=-1⇒n=3时,|z+i|n的最小值为33.5.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)[(23i +)8+1]n当n 取1,2,…,100时,可得 个不同的数值. 解:[(23i +)8+1]n =[(-i)8(231i +-)8+1]n =[(-i ω)8+1]n =(ω2+1)n =(-ω)n,可得6个不同的数值. 7.单位复数[例7]:(1991年全国高中数学联赛试题)设a,b,c 均为非零复数,且ba =cb =ac ,则cb ac b a +--+的值为 .[解析]:设ba =cb =ac =x ⇒a=xb,b=xc,c=xa ⇒abc=x 3abc ⇒x 3=1⇒x=1,x=ω,x=ω2(三次方程有三个根)=0⇒cb a cb a +--+= 1122+--+x x x x =1,或ω,或ω2.[类题]:1.①(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x 1,x 2是方程x 2-x+1=0的两个根,则x 11980+198021x = .解:x i 6=1⇒x 11980=1,198021x =1⇒x 11980+198021x =2;②(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数m 满足m+m 1=1,则m 2008+20091m= . 解:m+m 1=1⇒m 2-m+1=0⇒(m+1)(m 2-m+1)=0⇒m 3=-1⇒m 6=1⇒m 2008=m 4=-m,m 2009=m 5=m 1⇒m 2008+20091m=-m+m=0. 2.①(1990年全国高中数学联赛试题)设非零数复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式(y x x +)1990+(yx y +)1990的值是 . 解:x 2+xy+y 2=0⇒(y x )2+y x +1=0.令y x =ω⇒ω2+ω+1=0⇒ω3=1⇒(y x x +)1990+(y x y +)1990=19901990)1(ωω++1990)1(1ω+= 19902)(ωω-+19902)(1ω-=21ωω+=-1. ②(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数x,y 满足x 2+xy+y 2=0,则代数式[2))((y x y x xy -+]2006(x2006+y2006)的值是 .Y.P .M 数学竞赛讲座 73.(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若z ∈C,且x 10=1,则1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010= .解:若z ∈R,由x 10=1⇒x=±1.当x=1时,1+x+x 2+x 3+…+x2009+x2010=2011;当x=-1时,1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x2010=1;若z ≠±1,由x 10=1⇒(x 2-1)(x 8+x 6+x 4+x 2+1)=0⇒x 8+x 6+x 4+x 2+1=0⇒x 9+x 7+x 5+x 3+x=0⇒1+x+x 2+x 3+…+x 10=0⇒1+x+x 2+x 3+…+x2009+x 2010=1.4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 满足:z 3=27,则z 5+3z 4+2242= . 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 . 解:(23+2x i)2008=f(x)+ig(x)⇒f(1)+ig(1)=(23+21i)2008=(-i)2008(-21+23i)2008=ω2008=ω=-21+23i ⇒f(1)=-21. 8.复数方程[例8]:(1994年全国高中数学联赛试题)x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1,z 2,m 均是复数,且z 12-4z 2=16+20i,设这个方程的两个根α,β满足|α-β|=27,求|m|的最大值和最小值.[解析]:由韦达定理知α+β=-z 1,αβ=z 2+m ⇒28=|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|z 12-4z 2-4m|=|16+20i-4m|⇒|m-(4+5i)|=7⇒m 在以A(4,5)为圆心,7为半圆的圆上⇒|m|≥7-|OA|=7-41;|m|≤7+|OA|=7+41.[类题]:1.(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数z 使2z+z 1为实数,则2z+z1的取值范围是_____. 2.(1993年全国高中数学联赛试题)二次方程(1-i)x 2+(λ+i)x+(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________.解:设方程有实根x 0,则(x 02+λx 0+1)+(-x 02+x 0+λ)i=0⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++001020020λλx x x x ⇒(x 0+1)(λ+1)=0⇒x 0=-1⇒λ=2;λ=-1⇒x 02-x 0+1=0无实根,综上,λ=2;所以,有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为λ≠2.3.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程z 4=z (z 为z 的共轭复数)的根为 .解:z 4=z ⇒|z|4=|z |⇒|z|=0,1⇒z=0,z 5=z z ⇒z 5=1⇒z=cos52πk +isin 52πk (k=0,1,2,3,4) 4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数z 满足等式z+z |z|3=0,则z= .解:由z+z |z|3=0⇒z=-z |z|3⇒|z|=|-z |z|3|⇒|z|=|z |||z|3⇒|z|=|z|4⇒|z|=0,1;当|z|=0时,由z+z |z|3=0⇒z=0;当|z|=1时,由z+z |z|3=0⇒z+z =0⇒z 是纯虚数⇒z=±i. 5.(2000年全国高中数学联赛试题)设ω=cos5π+isin5π,则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x+1=0 (B)x 4-x 3+x 2-x+1=0 (C)x 4-x 3-x 2+x+1=0 (D)x 4+x 3+x 2-x -1=0 解:ω=cos5π+isin5π=cos102π+isin102π⇒ω,ω2,…,ω10是1的10个10次方根⇒(x-ω)(x-ω2)…(x-ω10)=x 10-1;又因ω2,ω4,ω6,ω8,ω10是1的5个5次方根⇒(x-ω2)(x-ω4)…(x-ω10)=x 5-1;两式相除得:(x-ω)(x-ω3)…(x-ω9)=x 5+1,其中ω5=cos π+isin π=-1⇒x-ω5=x+1⇒(x-ω)(x-ω3)(x-ω7)(x-ω9)=115++x x =x 4-x 3+x 2-x+1.选(B). 9.复数与点[例9]:(1998年全国高中数学联赛试题)设复数z=cos θ+isin θ(00≤θ≤1800),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以线段PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S 到原点距离的最大值是 _.[解析]:设点S 对应的复数为ω,由PQSR 为平行四边形⇒ω+z=(1+i)z+2z⇒ω=zi+2z ⇒|ω|2=(zi+2z )(-z i+2z)=5z z +2i(z 2-z 2)=5-4sin2θ≤9,当θ=43π时,等号成立⇒点S 到原点距离的最大值是3. 8 Y.P .M 数学竞赛讲座 [类题]:1.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若点A,B 分别对应复数z,z -1,z ∉R,则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为(用z 和z 表示). 解:设A(a,b)⇒B(22b a a +,-22b a b +)⇒直线AB:y-b=)1()1(2222-+++b a a b a b (x-a),令y=0⇒x=1222++b a a =1++z z z z .3.(2002年湖南高中数学夏令营试题)已知z 为复数,arg(z+3)=1350,则|3||6|1i z z -++取最大值时,z= .解:|3||6|1i z z -++取最大值⇒|z+6|+|x-3i|取最小值⇒z 在线段x-2y+6=0(-6≤x ≤0)上;arg(z+3)=1350⇒z+3在射线y=-x(x ≤0)上⇒z 在射线y=-x-3(x ≤-3)上⇒z=-4+i.4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在复平面内由i1,1-i ,(i-1)3对应的点构成的三角形的最大内角等于 .5.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)如果复数z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数f(z)= |(z+1)(z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 .解:设z=cos θ+isin θ⇒f(z)=|(z+1)(z -i)|=|[(1+cos θ)+isin θ][cos θ-(1+sin θ)i]|=|(1+cos θ)+isin θ||cos θ -(1+sin θ)i|=θcos 22+θsin 22+=2)sin 1)(cos 1(θθ++,为等腰三角形.10.模的意义[例10]:(2002年全国高中数学联赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,若它们所对应向量的夹角为600,则|2121z z z z -+|= . [解析]:设z 1,z 2,z 1+z 2对应的点分别为A,B,C,则四边形OACB 是平行四边形,且∠AOB=600⇒|z 1-z 2|=|AB|=7;|z 1+z 2|=|OC|=19⇒|2121z z z z -+|=7133.[类题]:1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设复数z 1=(2-a)+(1-b)i,z 2=(3+2a)+(2+3b)i,z 3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b ∈R,当|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值时,3a+4b= .解:易求得z 1+z 2+z 3=8+6i,于是|z 1|+|z 2|+|z 3|≥|z 1+z 2+z 3|=|8+6i|=10,|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值,当且仅当(2-a):(1-b)= (3+2a):(2+3b)=(3-a):(3-2b)=8:6(四向量同向),解得a=37,b=45,所以3a+4b=12. ②(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|≥1,|z 2|≥23,则复数i 1993z 1+i 1995z 2+2z 1z 2的模长的最小值是 . 解:i1993=i,i 1995=-i,|i 1993z 1+i1995z 2+2z 1z 2|=|i(z 1-z 2)+2z 1z 2|≥2|z 1z 2|-|z 1-z 2|≥3-(1+23)=21.。
高中数学联赛组合数学试题集锦
高中数学联赛组合数学试题集锦
1、(1992 全国)设集合 Sn＝{1，2，，n}．若 X 是 Sn 的子集，把 X 中所有数的和称为 X 的 “容量”(规定空集的容量为 0)，若 X 的容量为奇(偶)数，则称 X 为的奇(偶)子集． （1）求证 Sn 的奇子集与偶子集个数相等． （2）求证：当 n≥3 时，Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． （3）当 n≥3 时，求 Sn 的所有奇子集的容量之和．
x1k 仍然具有性质（O） ，即对于数表 P 中的任意一列 x2 k （ k 1，2，„，9）均存在某个 x 3k
i {1，2，3}使得 xik ui min { xi1 ， xi 2 ， xik * }．
13、 （2010 全国）一种密码锁的密码设置是在正 n 边形 A1 A2 An 的每个顶点处赋值 0 和 1
15、 （2011A 卷）
6
15、 （2011B 卷） 给定 n 个不同实数，其所有全排列组成集合为 An．对于(a1，a2，„，an)∈An，若恰有两个 不同的整数 i、j∈{1,2，„，n-1}使得 ai ai 1 ， a j a j 1 成立，则称该排列为“好排列” ，求 An 中所有“好排列”的个数。
一道全国高中联赛压轴题的推广及简证
一道全国高中联赛压轴题的推广及简证
王海赳;严运华
【期刊名称】《中学数学月刊》
【年(卷),期】1996(000)002
【摘要】95年全国高中联赛压轴题是:将平面上每个点都以红蓝两色之一着色,证明:存在这样的两个相似三角形,它们的相似比为1995,并且每一个三角形的三个顶点同色。
现将该题作如下推广,即将“相似三角形”改为“相似n边形”,将“相似比为1995”改为“相似比为任意正实数λ,(λ≠1)”即:
【总页数】1页(P44-44)
【作者】王海赳;严运华
【作者单位】[1]吴县市木渎中学!215101;[2]广州市番禺中学!511400
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
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1.一道2007年全国高中数学联赛题的简证 [J], 武增明
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第三节子集与集合的分划
第三节⼦集与集合的分划第三节⼦集与⼦集的分划⼀个集合可以写成若⼲个集合的并集，这是对集合分类讨论的常⽤⽅法.对于⼀个较为复杂的集合,我们在研究其性质时,往往可以划分成若⼲个⼩集合的并集进⾏研究,通过对这些⼩集合的性质的研究,可以达到化整为零、化繁为易的效果. 集合的分划反映了集合与⼦集之间的关系，这既是⼀类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近⼏年来的数学竞赛中经常出现，⽇益受到重视. 本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、⼦集与划分问题的⽅法.【基础知识】⼀．集合的分划1.集合分划的概念：把⼀个集合M 分成若⼲个⾮空⼦集：.,,,21n A A A 如果满⾜（1）),1(n j i A A j i ≤≤=φ；（2） n i i M A1==，那么称这些⼦集的全体为集合M 的⼀个n －分划，其中每⼀个⼦集叫做集合M 的⼀个类.2．加法原理由集合分划的定义，容易证明有限的⼀个⾮常有⽤的性质：设.,,,21n A A A 是有限集n －分划，则∑==ni iA Card M Card 1)()(，这是⼀个基本的计数公式，被称为加法原理. 3．最⼩数原理（极端原理）最⼩数原理I:设M 是正整数集的⼀个⾮空⼦集，则M 中必有最⼩数.最⼩数原理II:设M 是实数集的⼀个有限的⾮空⼦集，则M 中必有最⼩数.推论：设M 是实数集的⼀个有限⾮空⼦集，则M 中必有最⼤数.⼆．⼦集族1．⼦集族的概念我们可以将某些集合取来作为元素构成⼀个新的集合，例如}},0}{1,0{},1{{*φ=A 就是含4个元素φ},0}{1,0{},1{的集合，特别地，将集合M 的若⼲个⼦集作为元素构成的集合*M叫做原集合的⼀个⼦集族.如上例中的*A 就是⼆元集}1,0{=A 的全部⼦集构成的⼦集族.⼦集族中所含原来集合的⼦集的数⽬叫做该⼦集族的阶.例如⼦集族*A 的阶为4，即.4||*=A2．C 族最简单的⼦集族是由有限集M 的全体⼦集所构成的⼦集族，简称为C 族.3．C 族的性质设n M =||，则集合M 的全体⼦集所构成的集合*M 的阶为.2n即.2||10*n n n n n C C C M =+++=4．R 族设(),Card A n =12,{,,}n M A A A =是A 的⼀个⼦集族，若存在(21)k k m ≤≤-使得： (1)M 中任意k 个i A 都相交；(2)M 中任意(1)k +个i A 都不相交.则称M 为A 的⼀个指数为k 的R 族.定理：如果12,{,,}n M A A A =是A 的⼀个指数为k 的R 族，()Card A n =，则.k m C n ≤ 5．K 族设A 为⼀个n 阶集合，12,{,,}n M A A A =是A 的⼀个⼦集族.若M 中任何两个A 的⼦集i A 和j A 互不包含，即i j A A ?且j i A A，则称M 为集合A 的⼀个K 族.定理：设M 为n 阶集合A 的K 族中阶数最⾼者，则[]2().n n Card M C =上述两个定理的证明有⼀定的⿇烦程度，我们将其放在习题中，请读者⾃⼰完成其证明过程. 本讲的内容没有因定的⽅法，难度也较⼤，有些问题甚⾄就是⼀些数学专业论⽂中的⼀些结果或著名的定理，初学者若感到较为困难，可以耐⼼地多看⼏遍，多做⼏遍本讲中的例题与习题就会有所收获.【典例精析】【例1】（第43届美国中学数学竞赛）设S 为集合}50,,2,1{ 的⼦集，并且S 中任意两个元素之和不能被7整除，那么S 中元素最多有多少个？〖分析〗对于两个不同的⾃然数n m ,，n m +不被7整除也就是n m +被7除的余数不为0.我们将集合}50,,2,1{ 按照其中元素被7除所得的余数相同与否进⾏归类，余数相同的组成⼀个集合，这样可得到7个⼦集.然后从这7个⼦集中适当地抽取满⾜题意的元素组成集合S 即可.【解法⼀】将集合}50,,2,1{ 中的元素按被7除所得的余数相同分为7个⼦集，即： }50,43,36,29,22,15,8,1{1=A；}44,37,30,23,16,9,2{2=A ；}45,38,31,24,17,10,3{3=A ；}46,39,32,25,18,11,4{4=A ；}47,40,33,26,19,12,5{5=A ；}48,41,34,27,20,13,6{6=A ；}49,42,35,28,21,14,7{0=A .可知S 最多包含0A 的⼀个元素，⽽如果S 包含其它任何⼀个⼦集中⼀个元素时，则它可以包含这个⼦集中的所有元素；另外，S 不有同时包含61,A A 中的元素；同样，S 不能同时包含52,A A 和43,A A 中的元素.故S 中的元素最多有1+8+7+7=23个.【解法⼆】将{1,2,,50}按照模7分成7类：1{1,8,15,22,29,36,43,50}K =；2{2,9,16,23,30,37,44}K =；3{3,10,17,24,31,38,45}K =；4{4,11,18,25,32,39,46}K =；5{5,12,19,26,33,40,47}K =；6{6,13,20,27,34,41,48}K =；0{7,14,21,28,35,42,49}K =.下⾯证明123{7}S K K K =为满⾜要求的元素最多的集合.⾸先对,,a b S a b ∈≠有3种可能：（1）,(13)i a b K i ∈≤≤，则2(mod7)a b i +≡，则a b +不能被7整除；（2）,(13)i j a K b K i j ∈∈≤≠≤，则(mod 7)a b i j +≡+，则a b +不能被7整除；（3）,7(13)i a K b i ∈=≤≤，则(mod 7)a b i +≡，则a b +不能被7整除.综上知，S 中任何两个元素之和不能被7整除.其次证明，若S 中添加1个元素c ，则必存在S 中的⼀个元素与c 的和能被7整除. 添加的c 有4种可能：（1）4c K ∈，则c 与3K 中的元素之和能被7整除；（2）5c K ∈，则c 与2K 中的元素之和能被7整除；（3）6c K ∈，则c 与1K 中的元素之和能被7整除；（4）0c K ∈，则c 与7的和能被7整除.综上知，S 中的元素不能再添加.所以S 中元素数⽬的最⼤值为：123()()()()123.Card S Crad K Card K Card K =+++=〖说明〗本题实际上是集合的划分问题，从以上的解答过程可以看出，利⽤余数构造集合的划分是解决本题的关键，也是解决集合问题的⼀种常⽤的⼿段. 解法⼆中，⾸先按模7的剩余类对集合{1,2,,50}中的元素进⾏分类的想法是⾃然的.后⾯的解答中⼜进⾏了两次分类，但是这两个分类的理由已经蕴涵中最初的分类之中了.【例2】对于⼀个由⾮负整数组成的集合S ，定义)(n r s 为满⾜条件的有序对),(21s s 的对数： 2121,,s s S s S s ≠∈∈且.21n s s =+问：是否能将⾮负整数集分划为两个集合A 和B ，使得对任意n ，均有?)()(n r n r B A =〖分析〗整数有多种表⽰形式，其中⼆进制表⽰的每位数字只有0和1这两种选择.由于是将S 分划为两个集合A 、B ，对每个因定的n ，满⾜n s s =+21的⾮负整数对),(21s s 是有限的，⽤⼆进制来讨论),(21s s 在A 和B 中的分配情况似乎较有利.【解】存在上述分划.将所有⼆进制下数码1出现偶数个的⾮负整数归⼊集合A ，其余的⾮负整数归⼊B ，则A 、B 是⾮负整数N 的分划.注意到，对A 中满⾜A a a a a n a a ∈≠=+212121,,,的数对),(21a a ，由于21a a ≠，因此在⼆进制表⽰下1a 与2a 在该位上的数码，分别得到21,b b ，则B b b ∈21,且.,2121n b b b b =+≠这个将),(21a a 对应到),(21b b 的映射是⼀⼀对应的，因此).()(n r n r B A = 〖说明〗本题中构造⼀⼀映射成为求解的关键，这个构造使得我们将要求证的问题简单地转化成了⼆进制下的数码个数问题，这种⽅法在涉及到集合所有⼦集问题中很常见.【例3】（2007年全国⾼中数学联赛）已知A 与B 是集合}100,,2,1{ 的两个⼦集，满⾜A 与B 的元素个数相同，且B A 为空集，若A n ∈时总有B n ∈+22，则B A 的元素个数最多为（）A ．62B ．66C ．68D ．74【解】先证66)(≤B A Crad ，只须证33)(≤A Crad ，为此只须证若A 是}49,,2,1{ 的任⼀个34元⼦集，则必存在A n ∈，使得A n ∈+22，证明如下：将}49,,2,1{ 分成如下33个集合：}48,23{,},12,5{},8,3{},4,1{ 共12个； }38,18{},30,14{},22,10{},6,2{共4个； }49{,},29{},27{},25{ 共13个； }46{},42{},34{},26{共4个.由于A 是}49,,2,1{ 的34元⼦集，从⽽由抽屉原理可知上述33个集合中⾄少有⼀个2元⼦集中的数均属于A ，即存在A n ∈，使得A n ∈+22.如取}46,42,34,26,49,,29,27,25,18,14,10,2,23,,5,3,1{ =A ，}|22{A n n B ∈+=，则B A ,满⾜题设条件66)(=B A Crad .〖说明〗在我们的经验中，有些数学问题涉及的对象较为复杂，统⼀地解决有困难，于是就将这些对象分成“不重不漏”的若⼲类，然后再逐类的解决，这就是分类解决问题的⽅法.这种⽅法在竞赛中是常⽤的.【例4】（1995年全国⾼中数学联赛）设}1995,2,1{ =M ，M A ?且当A x ∈时A x ?15，求)(A Card 的最⼤值.〖分析〗∴=,133131995 当133,,11,10,9 =k 时，k 与k 15不能同时在A 中..18701251995)(=-≤A Card 只需再构造⼀个集合A ，使得1870)(=A Card 即可.【解】由题设当133,,11,10,9 =k 时，k 与k 15不能同时在A 中.故⾄少有133-8=125个数不在集合A 中，即.18701251995)(=-≤A Card 另⼀⽅⾯，M 的⼦集A 可取}1995,,135,134{}8,,2,1{ 满⾜题意，此时.1870)(=A Card 故)(A Card 的最⼤值为1870.〖说明〗本题是要求满⾜⼀定条件的某个集合的⼦集的元素个数的最⼤值.先证明这个⼦集的元素个数不⼤于某个常数，然后再构造⼀个集合，它的元素个数正好是这个常数，此时这个常数就是我们所要求的最⼤值. 本题解答中得到x 与x 15)35,,10,9( =x 这两个数中⾄少有⼀个不属于A 是⾮常巧妙的⼀步，便得求解过程简单明了解.【例5】把n2个元素的集合分为若⼲个两两不交的⼦集，按照下述规则将某⼀个⼦集中某些元素挪到另⼀个⼦集：从前⼀⼦集挪到后⼀⼦集的元素个数等于后⼀⼦集的元素个数（前⼀⼦集的元素个数应不⼩于后⼀⼦集的元素个数），证明：可以经过有限次挪动，使得到的⼦集与原集合相重合.〖分析〗⾸先考虑到n 2是⼀个很特殊的数，其次我们发现若两个集合的元素个数除以2的若⼲次幂后若为奇数，那么，它们之间挪后就应为偶数这⼀事实，若还不能想到解答就试⼀下3,2==n n 时的情况，相信解答就不会难找到了.【证明】考虑含奇数个元素的⼦集（如果有这样的⼦集），因为所有⼦集所含元素的个数总和是偶数，所以具有奇数个元素的⼦集个数也是偶数，任意将所有含有奇数个元素的⼦集配成对，对每对⼦集按题⽬要求的规则移动：从较⼤的⼦集挪出⼀些元素，添加到较⼩的⼦集，挪出的元素个数为较⼩⼦集的元素个数，于是得到的所有⼦集的元素个数都是偶数，现在考虑元素个数不被4整除的⼦集，如果1=n ，则总共有两个元素，它们在同⼀个⼦集，因此设2≥n ，因为⼦集的元素个数的总数被4整除，因此这样的⼦集的个数为偶数，任意将这样的⼦集配成对，对每⼀对⼦集施⾏满⾜题⽬要求的挪动，于是得到的每个⼦集数均可被4整除，依此做下去，最后得到的每个⼦集元素个数均可被n 2整除，也就是只能有⼀个⼦集，它的元素个数为n 2，证毕.〖说明〗这道题的证明中隐含了⼀种单⼀变量在变化时变化⽅向相同这⼀性质，就这道题来说，⼀直在增加的就是各⼦集元素个数被2的多少次幂整除的这个幂次数，这是⼀⼤类问题，除了这种变化量，还要经常考虑变化中的不变量.【例6】（2005年全国⾼中数学联赛）设t s r ,,为整数，集合}0,222|{r s t a a t s r <<≤++=中的数由⼩到⼤组成数列}{n a ：,14,13,11,7，则=36a 【解】∵t s r ,,为整数且r s t <<≤0，∴r 最⼩取2，此时符合条件的数有122=C3=r ，t s ,可在2,1,0中取，符合条件有的数有323=C同理，4=r 时，符合条件有的数有624=C ；5=r 时，符合条件有的数有1025=C ；6=r 时，符合条件有的数有1526=C ；7=r 时，符合条件有的数有2127=C ；因此，36a 是7=r 中的最⼩值，即131********=++=a .〖说明〗在应⽤加法原理时，我们通常⾸先描述性地定义，即把问题分成互相排斥的若⼲情形，⽽这此情形包括了所有的可能.应⽤加法原理的技巧就在于要把被计数的集合S 划分成“不太多的易于处理的部分”.【例7】（2007年浙江省预赛题）设{}1,2,,65M =，A M ?为⼦集.若33A =，且存在,x y A ∈，x y <，x y ，则称A 为“好集”.求最⼤的a M ∈，使含a 的任意33元⼦集为好集. 【解】令{}{}211,2,,44\2(21)1,2,,11P i i i i =+=+=，33P =.显然对任意144i j ≤<≤，不存在3n ≥，使得21(21)j n i +=+成⽴.故Ｐ是⾮好集. 因此 21a ≤.下⾯证明：包含21的任意⼀个33元⼦集Ａ⼀定为好集.设{}1232,,,,21A a a a =.若1，3，7，42，63中之⼀为集合Ａ的元素，显然为好集. 现考虑1，3，7，42，63都不属于集合Ａ.构造集合{}12,4,8,16,32,64A =，{}25,10,20,40A =，{}36,12,24,48A =，{}49,18,36A =，{}511,22,44A =，{}613,26,52A =，{}714,28,56A =，{}815,30,60A =，{}917,34A = {}1019,38A =，{}1123,46A =，{}1225,50A =，{}1327,54A =，{}1429,58A =，{}1531,62A =，{}33,35,37,,61,65A '= 由上可见，1215,,,A A A 每个集合中两个元素都是倍数关系.考虑最不利的情况，即A A '?，也即A '中16个元素全部选作Ａ的元素，Ａ中剩下16个元素必须从1215,,,A A A 这15个集合中选取16个元素.根据抽屉原理，⾄少有⼀个集合有两个元素被选，即集合Ａ中⾄少有两个元素存在倍数关系.综上所述，包含21的任意⼀个33元⼦集Ａ⼀定为好集，即a 的最⼤值为21.〖说明〗若),,,,(1111k c b a ，),,,,(2222k c b a ，……，),,,,(n n n n k c b a 这n 组数都具有相同的性质M （*N n ∈），则在研究与性质M 有关的问题时，我们可以只研究其中的⼀组数据，进⾯推得所有这n 组数据的性质.【例8】已知集合}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{，求该集合具有下列性质的⼦集的个数：每个⼦集⾄少含有2个元素，且每个⼦集中任意2个元素的差的绝对值⼤于1.〖分析〗虽然已知集合中只有10个元素，但是分类还是⽐较复杂的.如果将问题⼀般化，可能过构造递推式来解决.【解】设n a 是集合}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{的具有题设性质的⼦集的个数，考察集合 ,3,2,1{，}2,1,++n n n 具有题设性质的⼦集，可分为两类：（1）包含元素2+n 的⼦集有n a n +个，即每个},,2,1{n 与}2{+n 的并集，以及}2,1{+n ，}.2,{,},2,2{++n n n（2）不包含2+n 的⼦集有1+n a 个，即集合}1,,,3,2,1{+n n 的具有题设性质的⼦集的个数. 于是有递推式n a a a n n n ++=++12①显然3,141==a a （即}4,2{},4,1{},3,1{），代⼊①式得：73135=++=a ，4376++=a =14， .13384679,7972646,4661426,26571410987=++==++==++==++=a a a a 故满⾜题设条件的⼦集共有133个.【例9】证明:⼀个有限集的全体⼦集，可以按如下⽅式排成⼀⾏：（1）居中第⼀位是空集；（2）每个⼦集恰好在此⾏中出现⼀次；（3）每个⼦集中的元素或者是前⼀个⼦集添加⼀个元素或删除⼀个元素所得.〖分析〗从特殊情形⼊⼿，寻找规律.【解】我们可以先观察特殊情形：当1=n 时，显然可以排成}1{,φ；当2=n 时，⼦集共有422=个，可以排成}2{},2,1{},1{,φ；当3=n 时，⼦集共有823=个，不难排出如下⼀列⼦集：}1,3{},3}{3,2{},2{},2,1{},1{,φ,}.3,2,1{或}.3{},3,1{},3,2,1{},3,2{},2{},2,1{},1{,φ从后⼀种情形发现，若将后四个⼦集中的元素3删去，正好是前四个⼦集的⼀种逆排列，这种规律在2=n 时也正是如此.现以这种规律来看4=n 的情形：}4,3,2{},4,3,2,1{},4,3,1{},4,3{},3{},3,1{},3,2,1}{3,2{},2{},2,1{},1{,φ,}.4{},4,1{},4,2,1{},4,2{于是假设k n =时，已将k 2个⼦集按题设要求排成⼀列，那么当1+=k n 时，只需在已排好的k 2个⼦集中，分别添加元素1+k ，逆序排在这k 2个⼦集的后⾯形成1+=k n 的12+k 个⼦集的⼀种符合要求的排列.〖说明〗⼀个复杂的问题，也许⼀时找不到突破⼝，我们可以先将其退化成⼀个很简单的问题或者特殊问题，从中发现规律或者⽅法，从⽽找到⼀般问题的解法.这⾥运⽤了“进难则退，以退为进”的解题策略.【例10】（2007年北京⾼考试题）已知集合{})2(,,,,321≥=k a a a a A k 其中),,2,1(k i Z a i =∈，由A 中的元素构成两个相应的集合(){}A b a A b A a b a S ∈+∈∈=,,,，(){}A b a A b A a b a T ∈-∈∈=,,,，其中()b a ,是有序实数对，集合T S 和的元素个数分别为n m ,.若对于任意的A a A a ?-∈，总有，则称集合A 具有性质P .（Ⅰ）检验集合{}3,2,1,0与{}3,2,1-是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合写出相应的集合T S 和；（Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：()21-≤k k n ；（Ⅲ）判断n m 和的⼤⼩关系，并证明你的结论.【解】（Ⅰ）解：集合{}3,2,1,0不具有性质P ，{}3,2,1-具有性质P ，其相应的集合T S 和是()(){}()(){}3,2,1,2,1.3,3,1-=--=T S ；（Ⅱ）证明：⾸先由A 中的元素构成的有序实数对共有2k 个，因为()T a a A i i ∈∈,,0),,2,1(k i =,⼜因为当A a A a ?-∈时，，所以当()()T a a T a a i j j i ?∈,,时，),,2,1(k i =，于是集合T 中的元素的个数最多为()()121212-=-=k k k k n ，即()21-≤k k n . （Ⅲ）解：n m =，证明如下：①对于()S b a ∈,，根据定义()T b b a A b a A b A a ∈+∈+∈∈,,，从⽽，则如果()()d c b a ,,与是S 中的不同元素，那么d b c a ==与中⾄少有⼀个不成⽴，于是d c b a +=+与d b =中⾄少有⼀个不成⽴，故()b b a ,+与()d d c ,+也是T 中的不同元素.可见S 中的元素个数不多于T 中的元素个数，即n m ≤；②对于()T b a ∈,，根据定义()S b b a A b a A b A a ∈-∈-∈∈,,，从⽽，则如果()()d c b a ,,与是T 中的不同元素，那么d b c a ==与中⾄少有⼀个不成⽴，于是d c b a -=-与d b =中⾄少有⼀个不成⽴，故()b b a ,-与()d d c ,-也是S 中的不同元素.可见T 中的元素个数不多于S 中的元素个数，即m n ≤.由①②可知n m =.〖说明〗本题以集合为载体，涉及到它的性质，考查了考⽣的知识迁移能⼒和抽象思维能⼒.【例11】（2007年中国西部奥林匹克竞赛试题）已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ?≠?，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个⾮空⼦集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？〖分析〗可按3的余加以分类，由于能被3整除且能被5整除的数必能被15整除，从⽽我们只需将能被15整除的数去掉即可.【解】对于空集?，定义()0S ?=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ?，令001122,,A A T A A T A A T ===，则01212()()()()()()(mod3)S A S A S A S A Card A Card A =++≡-，因此，3()S A 当且仅当12()()(mod3)Card A Card A ≡.有以下⼏种情况：111222()0,()0,()3,()0,()3,()0,Card A Card A Card A Card A Card A Card A ======???111222()3,()1,()2,()3,()1,()2,Card A Card A Card A Card A Card A Card A ======??? 从⽽满⾜3()S A 的⾮空⼦集A 的个数为20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-＝87. 若3()S A ，5()S A ，则15()S A .由于()36S T =，故满⾜3()S A ，5()S A 的()S A 的可能值为15，30.⽽15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1 ＝7＋4＋3＋1＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2＝5＋4＋3＋2＋1，36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1. 故满⾜3()S A ，5()S A ，A ≠?的A 的个数为17.所以，所求的A 的个数为87－17＝70.〖说明〗本题从正⾯出发不容易解决，因此可以采⽤“正难则反”的思想，从⽽其反⾯出发，将不符合条件的元素减去，即可得到所求的答案.【例12】设{0,1,2,,29}A ?满⾜：对任何整数k 及A 中任意数a 、b （a 、b 可以相同），30a b k +-均不是两个相邻整数的积.试确定所含元素最多的集合A .〖分析〗因为当b a =时，230a k +均不是两个相邻整数的积，故我们只需考察2a 被30除的余数即可.【解】所求A 为{32|09}l l +≤≤.设A 满⾜题中条件且()Card A 最⼤.因为两个相邻整数的积被30除，余数为0,2，6,12,20,26，则对于a A ?∈，有2a0,2，6,12,20,26(mod 30)，即a 0,1，3,6，10,15,16,18,21,25,28，因此，{2,4,5,7,8,9,11,12,14,17,19,20,22,23,24,26,27,29}A ?，后⼀个集合可分拆成下列10个⼦集的并，其中每⼀个⼦集⾄多有⼀个元素包含在A 中：{2,4},{5,7},{8,12},{9,11},{14,22},{17,19},{20},{23,27},{24,26},{29}.故()10.Card A ≤若()10Card A =，则每个⼦集恰好有⼀个元素包含在A 中，因此20,29A A ∈∈.由20A ∈知12A ?，从⽽8A ∈，这样4A ?，22A ?，24A ?.因此2A ∈，14A ∈，26.A ∈由29A ∈知7A ?，27A ?从⽽5A ∈，23A ∈这样9A ?，19A ?.因此11A ∈，17A ∈. 综上所述，有{2,5,8,11,14,17,20,23,26,29}A =，此确定的A 确实满⾜要求.【赛向点拨】1.求解⼦集族的问题主要分为两类：求⼦集的阶，或确定属于⼦集族的原集合的全部⼦集.2.有关⼦集族的最值问题是竞赛中常见的问题，主要有三类题型：（1）求⼦集族阶的最值；（2）求⼦集族中的原集合的⼦集阶的最值；（3）求符合特定条件的集合元素的最值.3．在代数不等式中，有⼀类确定满⾜不等关系的量是否存在的问题，通常可以尝试⽤最⼩值原理解决.4．集合分类的标准不⼀，但基本原则都是每次分类必须是不重不漏，其理论依据就是最⼩值原理.【针对练习】 (A 组)1.已知集合A {2,3,7}且A 中⾄多有1个奇数，则这样的集合的共有（）.A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个2．在集合M ＝{1,2，…，10}的所有⼦集中，有这样的⼀族不同的⼦集，它们两两的交集都不是空集，那么这族⼦集最多有( )A ．102个B ．92个C ．210个D ．29个3．集合S ={0,1，2,3，4,5}，A 是S 的⼀个⼦集，当x A ∈时，若有1x A -?且1x A +?，则称x 为集合A 的⼀个“孤⽴元素”，那么S 的⼦集中⽆“孤⽴元素”且含有4个元素的集合的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．74．集合{1,2,3,,2,21}A n n =+的⼦集B 满⾜：对任意的,,x y B x y B ∈+?，则集合B 中元素个数的最⼤值是( )A ．1n +B ．2n +C ．3n +D ．4n +5．10名学⽣按下⾯的规则组成运动队，规则是：①每⼈可报名参加任何⼀个运动队；②每个运动队都不能完全包含于或重合于另⼀个运动队.则最多可组成（）个队.A ．410CB ．510C C ．510C ＋1D ．410C6．（2006年⼭西省预赛题）集合A 中的元素均为正整数，具有性质：若A a ∈，则12－A a ∈，这样的集合共有个.7．已知集合{1,2,3,,31,3n n -可以分成n 个互不相交的三元组{,,}x y z ，其中3.x y z +=则满⾜上述要求的最⼩的正整数n 是 .8．设集合M ={1,2，…，1000}，现对M 的任⼀⾮空⼦集X ，令X a 表⽰X 中最⼤数与最⼩数之和.则所有这样的X a 的算术平均值为 .9．设S 是⼀个有6个元素的集合，选取S 的两个⼦集（可以相同），使得这两个⼦集的并集是S ，选取的次序⽆关紧要，例如⼀对⼦集{,},{,,,,}a c b c d e f 与另⼀对⼦集{,,,,}b c d e f ，{,}a c 表⽰同⼀种取法.这样的取法共有种.10．求集合B 和C ，使得{1,2,3,,10}B C =，并且C 的元素乘积等于B 的元素之和.11．(2006年第17届希望杯⾼⼆试题)试确定所有的正整数k ，使得集合{2006,20061,20062,,2006}P k =+++可以分成两个互不相交的⼦集A 与B ，且A 中元素之和等于B 中元素之和.12．求证：集合{1,2,,1989}可以划分为117个互不相交的⼦集(1,2,,117)i A i =使得(1)每个i A 恰好有17个元素；(2)每个i A 中各元素之和相同.（B 组）1.已知A }2000,,2,1{ ?，且A 中任意两个数之差的绝对值不等于4或`7，求)(A Card 的最⼤值.2．设M 为n 阶集合A 的K 族中阶数最⾼者，则[]2().n n Card M C= 3．如果12,{,,}n M A A A =是A 的⼀个指数为k 的R 族，()Card A n =，则.k m C n ≤4．给出⼀个60×70的数表如下：12359602346061111213697012131470169701575870125859?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???其中每⼀⾏组成⼀个数的集合1270,,,A A A ，从这70个集合中取出k 个，若任7个的交集都是⾮空的，求k 的最⼤值. 5．（2007年第七届中国西部奥林匹克竞赛试题）将n 个⽩⼦与n 个⿊⼦任意地放在⼀个圆周上．从某个⽩⼦起，按顺时钟⽅向依次将⽩⼦标以1,2,,n ．再从某个⿊⼦起，按逆时钟⽅向依次将⿊⼦标以1,2,,n . 证明：存在连续n 个棋⼦（不计⿊⽩），它们的标号所成的集合为{}1,2,,n ．6．设}20,,2,1{ =M ，对于M 的任⼀9元⼦集S ，函数)(S f 取1到20之间的整数值.求证：不论f 是怎样的⼀个函数，总存在M 的⼀个10元⼦集T ，使得对所有的T k ∈，都有k k T f ≠-}){(（}{k T -即T 对k 的差集）.【参考答案】A 组1．D 解析：集合A 可有3在：第1类是空集；第2类是A 中不含奇数；第3类是A 中只有1个奇数，它们是,{2},{3},{7},{2,3},{2,7}.φ故应选D.2．B 解析：显然不含空集.按元素的多少把这族⼦集分成10类，设含i 个元素的⼦集为i A ，其个数为i a .易知01991210999 2.a a a C C C +++≤+++= 3．C 解析⼀：可将本题中满⾜条件的集合分成两类：⼀类是有4个连续整数的集合，共有3个：{0,1,2,3},{1,2,3,4},{2,3,4,5}.另⼀类是将4个元素分成两组，每组是连续的但组间不连续的集合，也有3个：{0,1,3,4},{0,1,4,5}, {1,2,4,5}.故应选C.解析⼆：由题知满⾜条件的⼦集中的每个元素必有与之相邻的⾃然数，从⽽得到满⾜条件的⼦集为{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5}, {1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5}共6个.解析三：将S 中的元素分成5组：{0,1},{1,2},{2,3},{3,4},{4,5}，则满⾜条件的4元⼦集的个数为2546C -=，故应选C.4．A 解析：⾸先{1,,3,5,,21}B n =+满⾜题意，且() 1.Card B n =+其次，设B 中最⼤元素为21k n =+，将1,2,,2n 分成n 组：(1,2),(2,21),,(,1)n n n n -+.由抽屉原理可知，如果()2Card B n ≥+，则必有B 中两个元素在同⼀组，两数和等于21n +，这与已知⽭盾，所以有()1Card B n ≤+.如果21k n <+，同理可得()1Card B n ≤+，所以集合B 中元素个数的最⼤值是 1.n +5．B 解析：根据定理n 阶集合的⼦集12,,n A A A 若满⾜i j A A ?且j i A A ?则m 的最⼤值为[]2.n n C ，代⼊本题即得.6．解：从集合A 的性质可得，A 必然是六个集合{1,11},{2,10},{3,9},{4,8},{5,7},{6},中某⼏个的并集，因此符合要求的A 共有16C +26C +36C +46C +56C +66C =62－1=63个 7. 5，8 解析：设第i 个三元⼦集组为{,,}i i i x y z 且3,1,2,,.i i i x y z i n +==则有31113(31)4.2n n i i n n i z ==+==∑∑当n 为偶数时，8|3n ，所以8n ≥，得n 的最⼩值为8；当n 为奇数时，8|31n +，所以5,n ≥得n 的最⼩值为5.可验证5,8即为所求.例如当5n =时，集合{1,11,4}，{2,13,5}，{3,15,6}，{9,12,7}，{10,14,8}满⾜条件.8．1001 解析：构造⼦集{1001|}X x x X '=-∈，则所有⾮空⼦集分成两类X X '=和X X '≠.当X X '=时，必有X X M '==，于是X a =1001.当X X '≠时，设,x y 分别是X 中的最⼤数与最⼩数，则1001,1001x y --分别是X '中的最⼩数与最⼤数，于是,2002.X X a x y a x y '=+=--从⽽1001.2X X a a '+=因此，所求的X a 的算术平均数为1001. 9．435 解析：设,()().S A B Card A Card B =≤若()0Card A =，则()6Card B =，有1种取法；若()1Card A =，则()6,5Card B =，有1615666512C C C C +=种取法；类似地，可分别计算出()2,3,4,5,6Card A =时的取法.10．解：因为123105512012345++++=<=，所以集合C 中⾄多有4个元素，下⾯对()Card C 分成4种情况进⾏讨论.（1）若C 由⼀个元素构成，因为C 的元素乘积不超过10，B 的元素之和⾄少为55－10＝45.故此情形不成⽴.（2）若C 由两个元素,x y 构成.设x y <，则有55xy x y =--，即(1)(1)56.x y ++=因为1111x y +<+≤，解得6,1x y ==，故{6,7},{1,2,3,4,5,8,9,10}C B ==.（3）若C 由三个元素x y z <<构成.由题设得55.xyz x y z =---当1x =时，解得4,10,y z ==因此{1,4,10},{2,3,5,6,7,8,9}C B ==；当2x =时，有253,yz y z ++=即(21)(21)107y z ++=为质数，⽆解；当3x ≥时，显然有3456055xyz x y z ≥??=>---，⽆解. （4）若C 由四个元素x y z t <<<构成，必有1x =，否则xyzt ≥2×3×4×5＝120＞55.这时554,2.yzt y z t y z t =---≤<<如（3），当3y ≥时⽆解.故2,252y zt z t =++=.即(21)(21)105z t ++=，解得3,7z t ==，从⽽{1,2,3,7},{4,5,6,8,9,10}.C B == 综上可知B 、C 有3组解.11．解：当41()k m m Z +=-∈时，P 中共有4m 个元素，从第⼀个元素开始连续4个的第1,4两个数放⼊A 中，第2,3两个数放⼊B 中，可满⾜要求；当43()k m m Z +=-∈时，P 中各元素的和：(20062006)(1)2k k S +++=(4012)(21)k m =+-为奇数，不可能分成符合题意的两个⼦集；当42()k m m Z +=-∈时，(41)(22005)S m m =-+为奇数，结论同上；当4()k m m Z +=∈时，(41)(22006)S m m =++能分的必要条件是前21m +项和不在于2S ，即21(2006)(21)(41)(1003)m S m m m m +=++≤++，化简得：2210030m -≥，所以22.4m ≥≈或m ≤(舍去)，由于m 是整数，所以23.m ≥ 当23m =时，共有93个元素，于是93479395363,190836,95418,2S S S === 9347954189536355,2S S -=-=934795473S S -=，所以93934755.2S S S --=即前47项的和⽐平均值少55，后46项的和⽐平均值多55，所以前后两部分要交换相差55的⼀组数，如2098－2043=55，将2098与2043交换，即A 中有2006，2007，…,2042，2004,2045，…,2052,2098；B 中有2053,2054，…,2097,2043.可使A 中元素之和等于B 中元素之和.当23m >时，前93个元素按上述⽅法分⼊A 、B 集，剩下元素个数是4的倍数，每相邻4个数中的第1,4位上的数放⼊A 中，第2,3位上的数放⼊B 中，可达到⽬的.综上，当41()k m m Z +=-∈或4(23,)k m m m Z +=≥∈时，可以将集合P 分成符合题意的两个⼦集.12．解：将集合{1,2,,1989}中的数从⼩到⼤顺次分成17段，每段含117个数，从第4段数开始，将偶数段的数从⼩到⼤依次放⼊12117,,,A A A 中，并将奇数段的数从⼩到⼤依次放⼊这117个⼦集中，易见，所有集合中的14个元素之和都相等.于是问题归结为如何将前三段数{1,2,,351}的每3个⼀组分别放⼊每个集合中，且使每组3个数之和都相等.把这些数中3的倍数抽出来从⼤到⼩排好：{351,348,345,,6,3}共117个数，依次放⼊12117,,,A A A 中.其余的234个数从⼩到⼤排列并分成两段，每段117个数，即{1,2,4,5,7,,173,175}和{176,178,179,349,350}，将这两段数分别顺次放⼊12117,,,A A A 之中便可以满⾜要求.事实上，若交这两段数中的数顺次相加，则其和为{177,180,183,186,,5.由此可见，放⼊每个i A 的3个数之和都是528.B 组 1.解：注意到2000=11×181+9，我们取,911,711,611,411,111|{+++++=t t t t t t A 1810≤≤t ， }Z t ∈，则A 中任意两个数之差不是4或7.事实上，若4|)()(11|=-+-a b r t 或7，这⾥}9,7,6,4,1{,∈b a ，⽽1810≤≤≤t r ，则当2≥-r t 时，显然不能成⽴；当1=-r t 时，应有4|)(11|=-+a b 或7，这⼀点只须直接验证即可知不能成⽴；当0=-r t ，与上⾯类似，也不能成⽴.所以)(A Card 的最⼤值1825?≥=910.另⼀⽅⾯，设A 是满⾜条件的集合，且)(A Card >910，这时存在t 使得集合r t x x +=11|{，}111≤≤r 中出现6个数减去t 11后都属于A ，说明1，2，……，11中，有6个数⼊选A ，我们证明这是不可能的.将1，2，……，11排成⼀个圆圈，例如：1，5，9，2，6，10，3，7，11，4，8（这⾥1和8⾸尾相连），则此圆圈上任意两个相邻的数的差的绝对值为4或7.从中任取6个数，，必有两个数相邻，从⽽1，2，……，11中不能同时有6个数⼊选A.⽭盾！综上所述，)(A Card 的最⼤值为910.2．证明：记max{||,},min{||,}p x x M q x x M =∈=∈，其中||().x Card x =当p q =时，即M 中每个元素作为A 的⼦集含有A 中同样多的元素时，显然[]2(),n nCard M C ≤且当[]2n p q ==时取得最⼤，故此时结论成⽴. 下⾯只需证p q >的情形，记().D M p q =- 若2n p ≤，令{,}N X A X M =-∈，显然N 仍是A 的互不包含⼦集族，且()()Card N Crad M =，令max{(),}2n Card X X N ∈>，故可设2n p >，即2 1.n p ≤- 设{:()},{{}:,}U X M Card X p V X a a X X U =∈==-∈∈，就是说U 是M 中恰好有A 中p 个元素的那些⼦集构成的集合，⽽V 是这样的集合：它的每⼀个元素也是A 的⼦集，这些元素是把U 中元素作为A 的⼦集删去1个元素得到的.任取,X U Y V ∈∈，若Y X ∈，则称X 与Y 为⼀对相关集，称X 与Y 互相相关.显然共有()pCard U 对相关集.另⼀⽅⾯，因为()1Card Y p =-，与Y 相关的集合均是把A 中某⼀个不属于Y 的元素添加到Y 中得到的，于是若记()m Y 为与Y 相关的集合个数，则()m Y ≤ (1)21(1).n p p p p --≤---=因为()Card V 个不同的Y ，故相关集对数不超过()pCard V ，于是()()pCard U pCard V ≤，即()().Card U Card V ≤记\()M M U V '=，因M 是A 的互不包含的⼦集族，所以M '也是A 的互不包含的⼦集族，于是M '也是A 的K 族，且有()()()() ().Card M Card M Card U Card V Card M '=-+≥ ⽽()()1D M D M '=-，将M 转换成M '，其元素个数并未减少，但()D M p q =-减少了1，经有限这种转换，即知()Card M 的最⼤值必在p q =时取到，此时M 中最多含有[]2n n C 个元素.3．证明：由(1)得M 中的每个⼦集(1)s A s n ≤≤都与M 中其余的1m -个⼦集中任意选出的1k -个⼦集相交，且⾄少有1个公共元素，⽽这种选法共有11k m C --种；由(2)得，11k m C --个元素两两不同.这样⼀来，s A 中⾄少有11k m C --个元素，⽽1mi i A =⾄少有11k m mC --个元素(重复计算)，但由(1)知其中每个元素重复了k 次，因为它同时属于k 个不同的⼦集，所以1m i i A =⾄少含有11k m m C k --个不同的元素.但是显然1m i i A A =?，故可得11,k m m C n k --≤即.k m C n ≤ 4．解：(这是个⼦集族的问题)设取出的k 个集合的第1个元素依次是12,,k a a a ，并记全集{1,2,,70}U =，A ={12,,k a a a }，则,().A U Card A k ?=若60k >，则存在⼀个a A ∈，使得110a ≤≤，且a 与U C A 中的每⼀个数的个位数都不相同，从⽽10(0,1,2,,6).U a n C A n +? =10(0,1,2,,6)a n A n ∴+∈=.∴所取出的k 个集合中，必存在7个集合1060,,,n n n A A A ++满⾜1060.U n U n U n C A C A C A U ++=∴1060.U n U n U n C A C A C A φ++=这与已知⽭盾，故60k ≤ ○1 ○1式的等号是成⽴的，例如1260,,A A A 均含有60个元素，显然任7个集合的交集都是⾮空的.故max 60.k =5．证明：取定标号相同的⿊⽩棋⼦各⼀个，使得该对点所决定的劣弧中其他点（不含端点，不计⿊⽩）的个数最少．不妨假设该标号为1．在上述所取的开劣弧中，只有⼀种颜⾊的棋⼦．事实上，若两个1之间有两种颜⾊的棋⼦，则⽩n 和⿊n 都在其中，如图1，于是两个标号为n 的劣弧之间的点⽐两个标号为1的更少，⽭盾！如果开劣弧中全是⽩⼦，有如下两种情形：（1）开劣弧中的⽩⼦是2，…，k ，如图2所⽰，则从标号为1的⽩⼦起，按逆时针⽅向连续n 个棋⼦的标号所成的集合为{}1,2,,n .（2）开劣弧中的⽩⼦是k ，k ＋1，…，n ，如图3所⽰，则从标号为1的⽩⼦起，按顺时针⽅向连续n 个棋⼦的标号所成的集合为{}1,2,,n .图2图3如果开劣弧中全是⿊⼦，或者开劣弧中没有棋⼦，类似可得．6.解：如果⼀个10元⼦集T 具有性质：对任意的T k ∈，都有k k T f ≠-}){(，我们就称T 为“好集”，不是“好集”的10元⼦集称之为“坏集”，也就是说如果T 是“坏集”，则在T 中必有⼀个0k ，使得.}){(00k k T f =-令S =}{0k T -，显然S 是⼀个9元⼦集.⼀⽅⾯0) (k S f =.另⼀⽅⾯，}{0k S T =，即)}({S f S T =.此式表⽰了⼀个“坏集”结构，它可由9元⼦集S ⽣成，即S 与{)(S f }的并构成了“坏集”.如果S S f ∈)(，那么)}({S f S 是⼀个9元⼦集，⽽不是⼀个10元⼦集.因此任⼀9元⼦集⾄多能按上式⽣成⼀个“坏集”.于是“坏集”的个数9≤元⼦集的个数10<元⼦集的个数最后的⼀个不等式成⽴是因为：每个9元⼦集可由包含它的11个10元⼦集划去相应的元素得到，⽽⽣⼀个10元⼦集划去其中的任⼀元素只能得到10个不同的9元⼦集.由此可知，“好集”是存在的！。
sh1995
使得对于[0,1]中的一切实数 a , b , c , d 都有不等式
四 对于 0,1 内的某个有理数
q p
p
q 为互质的整数
p+q 2p + q
求一切
作两个整数
p p+q
q p+q q p + 2q
由这两个数 还可以按照上面的方法作出 4 个数
p 2p + q p q
p+q p + 2q
从这 4 个数有可以按照上面的方法作出 8 个数
使得从
p 出发 用上述方 q
法可以作出所有
橙子奥数工作室
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1995 年上海市高中数学竞赛试题
一 1 填空题 设 f ( x) 是二次函数 对一切 x 都有 f (1 − x ) = f ( x ) 且 f ( x) 的最大值是
1 2
f (0) =
1 4
则该二次函数的解析式是 f ( x) = _____ 2 函数 y = f ( x) 的反函数是 g ( x) = log sinθ ( x + cot 2 θ ) (0 < θ < 3 若虚数 z 使 2 z +
F 在棱 CD 上 若 CF = 5
则线
段 EF 的长等于_____ 8 设a
b
c 为正常数
x
y
z 为实数
90年代的人大附中实验班(五)：非智力因素(下)
90年代的人大附中实验班（五）：非智力因素(下)各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢在班主任工作中注重学生非智力因素的培养榜样的力量是无穷的，李秋生同学是个责任心很强的学生，他不是班委，我只让他拿着班里的钥匙，负责早上开门。
他每天早上第一个到校，他家离学校较远，每天要骑近半个小时的车，无论天气好坏，冬天刮大风，下大雪，夏天下暴雨，从没耽误过开门，从没有影响过同学们值日。
偶然有一次我不到七点到校，发现教室里只有他一个人在学习，才知道他每天都是这么早到学校。
他默默地为同学服务，从不声张，一个人偶然早起一次也许不难，但天天如此，对于一个年仅15岁的孩子真是太难得了。
扫除时他被分配到开水间，开水间的下水道经常堵，又脏又臭，他和陈卓思等几个同学，用手一点点地把脏东西掏出来，一共掏了好几桶。
当我看到他们混身衣服脏兮兮的，手又黑又脏，用肥皂洗了好几遍，手还是黑的时，从心里感到，这些孩子真是太可爱了。
实验班由于下午有课，每次全校大扫除都是中午做的，全班每个同学都十分珍惜这一劳动的机会，中午一点扫除准时开始，每个同学把生活委员分配给自己的任务完成得都很出色，没有人迟到，也没有人无故不参加。
经过一年多的培养，同学们的责任心、集体主义精神在不断地增强。
李秋生同学是全班第一个竞赛出成绩的人，他在刚上高一时，十月份参加高三全国数学联赛获得全国第二名，参加了国家集训队培训，这对陈卓思、王璐等同学震动很大，他们几个人在数学上水平和实力相差不多，他们只获得二等奖，差距在哪儿？在与他们座谈时，大家觉得，显然不在智力因素，而在于学习习惯、学习方法和学习态度，李秋生同学一贯踏实严谨的学风是他成功的关键。
他的作业极为认真，我展览了李秋生的化学作业，不仅整洁，思路清晰，而且解题步骤十分严谨，规范。
每一次作业，都可以做为一份习题的标准答案，所以只要他会做的题从不失分。
他上课精力很集中，听课效率极高，上课时他一直随着老师讲课思考问题。
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1995年全国高中数学联赛
第 一 试
一．选择题(每小题6分，共36分) 1. 设等差数列{}a n 满足358
13a a =且a 10>，S n 为其前项之和，则S n 中最大的是( )
(A)S 10 (B)S 11 (C)S 20 (D)S 21
2. 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z Z Z 1220,,, ，则复数Z 11995，Z 21995，
,Z 20
1995
所对应的不同的点的个数是( )
(A)4 (B)5 (C)10 (D)20
3. 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其
他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个 4. 已知方程||()x n k x n N -=∈2在区间(2n -1，2n +1]上有两个不相等的实根，则
k 的取值范围是
( )
(A)k >0 (B)
0121<≤
+k n
(C)
1
211
21n k n +<≤+ (D)以上都不是
5.
1tg log ,1sin log ,1tg log ,1cos log 1cos 1cos 1sin 1sin 的大小关系是( )
(A)1tg log 1log 1sin log 1cos log 1cos 1sin 1cos 1sin <<<tg (B)1tg log 1cos log 1log 1sin log 1sin 1sin 1cos 1cos <<<
tg
(C)1cos log 1sin log 1tg log 1tg
log 1sin 1cos 1cos 1sin <<<
(D)
1sin log 1cos log 1tg log 1tg log 1cos 1sin 1sin 1cos <<<
6. 设O 是正三棱锥P -ABC 底面三角形ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于S ，与PA ，PB 的延长线分
别交于Q ，R ，则和式
111
PQ PR PS
++
(A)有最大值而无最小值 (B 有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面QPS 无关的常数 二、填空题(每小题9分，共54分)
1. 设αβ,为一对共轭复数，若||αβ-=23，且
2
βα为实数，则||α=_____．
2. 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_______．
3. 用[x ]表示不大于实数x 的最大整数， 方程
lg [lg ]220x x --=的实根个数是______． 4. 直角坐标平面上，满足不等式组y x
y x x y ≤≥
+≤⎧⎨⎪⎩
⎪33100的整点个数是______．
5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可使用，那么
不同的染色方法的总数是______．
6. 设M ={1，2，3，…，1995}，A 是M 的子集且满足条件:当x A ∈时，15x A ∉，则A 中元素的个数
最多是______．
第二试
一、(25分) 给定曲线族223810
2
(sin cos)(sin cos)
θθθθ
-+-++=
x y，θ为参数，求该曲线
在直线y x
=2上所截得的弦长的最大值．
二、(25分) 求一切实数p，使得三次方程551711166
32
x p x p x p
-++-+=
()()的三个根均为自
然数．
三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O
的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于
Q，求证:
MQ//NP．
四、(35分) 将平面上的每个点都以红，蓝两色之一着色。
证明:存在这样两个相似的三角形，它们的相似
比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．。