复数的乘法与除法
复数的运算法则
复数的运算法则在数学中，复数是由实数和虚数组成的，并且以a + bi 的形式表示，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
复数的运算法则是用来描述复数之间的加法、减法、乘法和除法运算规则。
下面将详细介绍复数的运算法则。
一、复数的加法和减法法则复数的加法法则是将实部分和虚部分分别相加。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的和为：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i。
复数的减法法则是将第二个复数的实部和虚部各自取相反数再相加。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的差为：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i。
二、复数的乘法法则复数的乘法法则是根据分配律展开计算，并根据虚数单位的性质i^2 = -1 简化计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中a1, b1, a2 和 b2 都是实数。
则两个复数的乘积为：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i。
三、复数的除法法则复数的除法法则是通过将被除数和除数都乘以共轭复数，然后利用乘法法则进行计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1, b1, a2 和 b2 都是实数，并且z2 ≠ 0。
则两个复数的商为：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2)]i。
综上所述，复数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法法则。
这些法则可以帮助我们对复数进行精确计算，并在实际问题中应用。
了解和掌握这些运算法则对于深入理解复数的性质和应用具有重要意义。
复数的乘法与除法运算
复数的乘法与除法运算复数是由实部和虚部组成的数，它可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
复数的乘法和除法是复数运算中的重要部分，本文将就复数的乘法与除法运算进行详细介绍。
一、复数的乘法运算复数的乘法运算是根据乘法公式展开计算得出的。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的乘法运算可以表示为：(z1)*(z2) = (a+bi)*(c+di)使用分配律展开等式右侧的乘法运算，可得：= ac + adi + bci + bdi^2根据虚数单位的定义，i^2 = -1，将其代入上式中，得：= ac + adi + bci - bd进一步整理上式，将实部与虚部分开，可得复数乘法运算的结果为：= (ac-bd) + (ad+bc)i根据上述推导，复数的乘法运算结果的实部为(ac-bd)，虚部为(ad+bc)i。
二、复数的除法运算复数的除法运算是将被除数乘以除数的共轭值，然后再除以除数的模的平方。
设复数z1=a+bi，复数z2=c+di，其中a、b、c和d均为实数，则复数的除法运算可以表示为：z1/z2 = (a+bi)/(c+di)首先，将分子和分母乘以除数的共轭值(c-di)，得：= [(a+bi)*(c-di)]/[(c+di)*(c-di)]根据乘法运算的规则展开等式，得：= [(ac+bd) + (bc-ad)i]/[(c^2+d^2)]根据上式，复数的除法运算结果的实部为(ac+bd)/(c^2+d^2)，虚部为(bc-ad)/(c^2+d^2)i。
三、复数乘除法运算的应用复数的乘除法运算在实际应用中有很多重要作用。
例如，在电路分析与设计中，复数常用来表示电阻、电容和电感等元件的阻抗或者阻抗的频率特性。
复数的乘法用于计算各种电路元件的等效阻抗，而复数的除法则用于计算电路的传输函数和频率响应。
此外，复数的乘除法运算也应用在信号处理、图像处理以及控制系统等领域。
复数公式及运算法则
复数公式及运算法则
复数公式：复数是由实部和虚部组成的数。
复数通常写成a + bi 的形式，其中a和b都是实数，而i是一个虚数单位，满足i² = -1。
复数的运算法则：
1.复数的加法和减法：将实部与实部、虚部与虚部分别相加或相减。
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
2.复数的乘法：使用分配律将两个复数相乘。
(a + bi) * (c + di) = ac + adi + bci + bdi²
因为i²=-1，所以可以将上式简化为：
(a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
3.复数的除法：用分子分母都乘以分母的共轭复数（实部保持不变，虚部取负数），然后将分母变为实数。
(a + bi) / (c + di) = (a + bi) * (c - di) / (c² + d²)
因为乘法和除法都需要分别计算实部和虚部，所以计算复数的乘
法和除法时需要注意分配律和运用恒等式。
拓展：复数在物理学、工程学、数学等多个领域都有广泛应用，
如在电路分析、信号处理、量子力学等方面。
由于虚部可以表示位移、相位差等概念，复数可以用来表示波形、振动、旋转等物理量。
同时，复数的数学理论也非常丰富，包括复数拓扑学、复变函数论等多个分支。
复数的乘法与除法
4 z R z 4 b(1 2 )0 2 a b
b 0或a b 4
2 2
①
| z 2 | 2得 | a bi 2 | 2
(a 2) 将 b=0代入②得 a=4 或 a=0
∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将a
2
16
1 3 2 ( ) ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2
1 3 i, 2 2
17
3 2
1 3 1 3 ( i )( i) 2 2 2 2 1
小结：
, ( ) ,
2 2
1, ( ) 1.
2 2
(1 i) (2i) 4,
4 2
(1 i)
100
(2i)
50
2 .
50
15
1 3 1 3 2. 设 i, i 2 2 2 2
计算：
2
, ( ) ,
2
3
1 3 2 ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2 1 3 i, 2 2
b 4 代入②
2
2 2
(a 2) 4 a 4, 得 a 1
得
a 1, b 3
z 1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
22
11
设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 证明： | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 = (a2+b2)(c2+d2)
复数三角形式的乘除运算公式
复数三角形式的乘除运算公式复数是数学中的一个概念，它由实部和虚部组成。
在复数的运算中，乘法和除法是两个基本的运算。
本文将分别介绍复数的乘法和除法运算公式。
一、复数的乘法运算公式复数的乘法运算公式可以通过展开实部和虚部的计算得到。
设两个复数分别为z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d为实数，i为虚数单位。
则它们的乘积可以表示为：z1 * z2 = (a + bi) * (c + di)根据分配律和虚数单位i的性质，上式可以展开为：z1 * z2 = ac + adi + bci + bdi^2由于i^2 = -1，上式可以化简为：z1 * z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i因此，复数的乘法运算结果的实部为ac - bd，虚部为ad + bc。
二、复数的除法运算公式复数的除法运算公式可以通过将除法转化为乘法来得到。
设两个复数分别为z1 = a + bi和z2 = c + di，其中a、b、c、d为实数，i为虚数单位。
则它们的商可以表示为：z1 / z2 = (a + bi) / (c + di)为了将除法转化为乘法，我们需要将分母进行有理化。
将分母乘以其共轭复数的形式，即：z1 / z2 = (a + bi) * (c - di) / (c + di) * (c - di)根据分子的乘法运算公式，可以展开分子得到：z1 / z2 = (ac + adi - bci - bdi^2) / (c^2 + d^2)由于i^2 = -1，上式可以化简为：z1 / z2 = [(ac + bd) + (ad - bc)i] / (c^2 + d^2)因此，复数的除法运算结果的实部为(ac + bd) / (c^2 + d^2)，虚部为(ad - bc) / (c^2 + d^2)。
复数的乘法运算公式为z1 * z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i，复数的除法运算公式为z1 / z2 = [(ac + bd) + (ad - bc)i] / (c^2 + d^2)。
复数的运算
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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复数的乘法与除法
复数的乘法与除法教学目标（1）掌握复数乘法与除法的运算法则，并能熟练地进行乘、除法的运算；（2）能应用i和的周期性、共轭复数性质、模的性质熟练地进行解题；（3）让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法；（4）通过学习复数乘法与除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。
教学建议一、知识结构二、重点、难点分析本节的重点和难点是复数乘除法运算法则及复数的有关性质．复数的代数形式相乘，与加减法一样，可以按多项式的乘法进行，但必须在所得的结果中把换成－1，并且把实部与虚部分合并．很明显，两个复数的积仍然是一个复数，即在复数集内，乘法是永远可以实施的，同时它满足并换律、结合律及乘法对加法的分配律．规定复数的除法是乘法的逆运算，它同多项式除法类似，当两个多项式相除，可以写成分式，若分母含有理式时，要进行分母有理化，而两个复数相除时，要使分母实数化，即分式的分子和分母都乘以分母的共轭复数，使分母变成实数．三、教学建议1．在学习复数的代数形式相乘时，复数的乘法法则规定按照如下法则进行．设是任意两个复数，那么它们的积：也就是说．复数的乘法与多项式乘法是类似的，注意有一点不同即必须在所得结果中把换成一1，再把实部，虚部分别合并，而不必去记公式．2．复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，对于复数只有在整数指数幂的范围内才能成立．由于我们尚未对复数的分数指数幂进行定义，因此如果把上述法则扩展到分数指数幂内运用，就会得到荒谬的结果。
如，若由，就会得到的错误结论，对此一定要重视。
3．讲解复数的除法，可以按照教材规定它是乘法的逆运算，即求一个复数，使它满足（这里，是已知的复数）．列出上式后，由乘法法则及两个复数相等的条件得：得出商以后，还应当着重向学生指出：如果根据除法的定义，每次都按上述做来法逆运算的办法来求商，这将是很麻烦的．分析一下商的结构，从形式上可以得出两个复数相除的较为简捷的求商方法，就是先把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简即可．4．这道例题的目的之一是训练我们对于复数乘法运算、乘方运算及乘法公式的操作，要求我们做到熟练和准确。
复数的乘法和除法
复数的乘法和除法复数是数学中的一个重要概念，在实际应用中有广泛的运用。
本文将探讨复数的乘法和除法，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、复数的简介复数由实数和虚数部分组成，可表示为a+bi的形式，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示为一个坐标点在复平面上的位置。
二、复数的乘法复数的乘法是通过将两个复数的实部和虚部按照一定规则相乘得到的。
具体步骤如下：1. 将两个复数分别拆分为实数部分和虚数部分：a+bi和c+di；2. 将实数部分和虚数部分分别进行乘法计算，即(a*c-b*d)+(a*d+b*c)i；3. 合并结果，得到乘积的复数表达式。
三、复数的除法复数的除法是通过将除数取倒数，然后与被除数相乘得到的。
具体步骤如下：1. 将被除数和除数的实数和虚数部分分别拆分为a+bi和c+di；2. 计算除数的倒数：(c+di)的倒数为(c/(c²+d²)-d/(c²+d²))；3. 将被除数乘以除数的倒数，即(a+bi)*(c/(c²+d²)-d/(c²+d²))；4. 合并结果，得到除法的商的复数表达式。
四、复数乘法和除法的性质1. 乘法的结果是一个新的复数，而除法的结果也是一个新的复数；2. 复数的乘法满足交换律，即a*b=b*a；3. 复数的乘法满足结合律，即(a*b)*c=a*(b*c)；4. 复数的乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。
五、应用举例1. 实际生活中，复数的乘法可用于描述交流电路中的电流和电压的关系，进而求解电路参数；2. 复数的除法可用于计算交流电路中的阻抗，并进一步求解电路性能参数。
结论复数的乘法和除法是数学中的一个重要概念，可以广泛应用于实际问题的求解。
通过本文的介绍，读者可以更好地理解和应用复数的乘法和除法，从而在实际问题中更加灵活地运用这些知识。
复数的乘法与除法
复数的乘法与除法复数是由实数部分和虚数部分构成的数字，可用于解决实际问题，尤其在数学和物理领域中具有重要的应用。
复数的乘法与除法是复数运算中的两个基本操作，通过这两个操作可以实现复数之间的相乘和相除运算。
本文将详细介绍复数的乘法与除法，并探讨其性质和应用。
一、复数的乘法复数的乘法可以通过展开括号并应用虚数单位 i 的定义进行计算。
设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数，则它们的乘积为：z1 * z2 = (a+bi) * (c+di)= ac + adi + bci + bdi^2= (ac - bd) + (ad+bc)i根据乘法的定义，在计算过程中需要注意虚数单位 i 的特性：i^2 =-1。
通过展开括号并整理得到的结果为一个新的复数，实部为原复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部为原复数实部和虚部的乘积之和。
二、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。
设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数且z2 ≠ 0，则它们的除法为：z1 / z2 = (a+bi) / (c+di)为了简化计算，可以将分子和分母同乘以共轭复数的分子，并利用共轭复数的特性进行化简。
共轭复数 z2 的定义为 c-di，则乘以共轭复数相当于分母中的虚部相互抵消。
经过整理得到的结果为：z1 / z2 = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)]= [(a*c + b*d) + (b*c - a*d)i] / (c^2 + d^2)类似于乘法，除法的计算结果也是一个新的复数，实部为原复数实部和虚部的乘积之和，虚部为正负交替相乘的结果。
三、复数乘法和除法的性质1. 乘法交换律：对于任意两个复数 z1 和 z2，满足 z1 * z2 = z2 * z1。
2. 乘法结合律：对于任意三个复数 z1、z2 和 z3，满足 (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2 * z3)。
复数的三角形式及乘除运算
复数的三角形式及乘除运算复数是由实数和虚数组成的数，可以用复数平面上的点表示。
复数的三角式是指将复数表示为一个模长和一个幅角的形式。
复数的乘法和除法可以用三角形式来表示，即用模长和幅角来进行运算。
假设我们有一个复数z = a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
1.复数的三角式在复数平面上，可以将复数z表示为一个与实轴的夹角θ（幅角）和点到原点的距离r（模长）的形式。
模长r可以通过使用勾股定理来计算：r=√(a^2+b^2)。
这个距离表示复数z到原点的距离。
幅角θ可以通过tanθ = b/a 来计算。
这个角度表示实轴与复数z 的连线之间的夹角。
将复数z表示为三角形式：z = r(cosθ + isinθ)。
其中cosθ表示x轴方向上的分量，sinθ表示y轴方向上的分量。
2.复数的乘法复数乘法的规则是，将两个复数的模长相乘，幅角相加。
设有两个复数z1 = r1(cosθ1 + isinθ1)和z2 = r2(cosθ2 + isinθ2)。
乘法运算的结果为：z1 * z2 = (r1 * r2) * (cos(θ1 + θ2) + isin(θ1 + θ2))角相加。
例如，计算(1+i)*(2+i)：首先将两个复数转换为三角形式：z1 = √(1^2 + 1^2) * (cos 45° + isin 45°) = √2 * (cos 45° + isin 45°)z2 = √(2^2 + 1^2) * (cos 63.4° + isin 63.4°) = √5 * (cos 63.4° + isin 63.4°)然后进行乘法运算：z1 * z2 = (√2 * √5) * (cos (45° + 63.4°) + isin (45° + 63.4°))= √10 * (cos 108.4° + isin 108.4°)所以，(1 + i) * (2 + i) = √10 * (cos 108.4° + isin108.4°)。
高中数学必修二课件：复数的乘、除运算
3．已知z(1＋2i)＝4＋3i，则|z|＝( D )
A. 2 C．2
B. 3 D. 5
解析 ∵z(1＋2i)＝4＋3i，
∴z＝41＋＋32ii，∴|z|＝|41＋＋32ii|＝||41＋ ＋32ii||＝
5＝ 5
5.故选D.
4.i－1i 3＝( D ) A．8 C．8i
B．－8 D．－8i
解析 由题意得i－1i 3＝(i＋i)3＝8i3＝－8i.选D.
＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－8·2i（i1＋i）
＝8＋8－16－16i
＝－16i.
(2)原式＝i12·－12＋ 23i12＋12－1＋2i3i8 ＝－12＋ 23i34＋[（1＋12－i）22]34i123－3 23i ＝1－(2i)412－ 23i＝1－8＋8 3i ＝－7＋8 3i.
题型三 复数的乘方运算
例3 计算下列各题． (1)（11＋－ii）7＋（11－＋ii）7－（3－4i）4＋（32i ＋2i）3； (2)－ 23－12i12＋12－＋23ii8.
【解析】 (1)原式＝[(1＋i)2]3·
1＋i 1－i
＋[(1－i)2]3·
1－i 1＋i
－
8（3－4i）（1＋i）2（1＋i） （3－4i）i
＝
（－3＋4i5）（2＋i）＝－105＋5i＝－2＋i.
(3)已知a∈R，i为虚数单位，若a2－ ＋ii为实数，则a的值为( C )
A．2
B．0
C．－2
1 D.2
【解析】
方法一：由
a－i 2＋i
＝ （a－i）5（2－i） ＝
2a－1 5
－
2＋a 5
i是实数，得
－2＋5 a＝0，所以a＝－2.
复数与复数的乘法与除法
复数与复数的乘法与除法复数是数学中的一种数形式，由实数部分和虚数部分组成。
在复数中，实数部分用实数表示，虚数部分用虚数单位i表示。
复数可以用 a + bi 的形式表示，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位。
在数学中，我们经常需要进行复数之间的乘法与除法运算。
本文将介绍复数与复数的乘法与除法规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。
一、复数乘法规则两个复数相乘时，可以使用分配律进行计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1、b1、a2、b2 是实数。
则它们的乘积为：z1 * z2 = (a1 + b1i)(a2 + b2i)= a1a2 + a1b2i + b1ia2 + b1ib2i^2根据虚数单位i的定义（i^2 = -1），进一步计算得：z1 * z2 = a1a2 + a1b2i + b1ia2 + b1ib2(-1)= a1a2 - b1b2 + (a1b2 + a2b1)i因此，两个复数的乘积为实数部分的乘积减去虚数部分的乘积，并将实数部分与虚数部分相加。
例如，计算复数 (2 + 3i)(4 + 5i)：实数部分：2 * 4 - 3 * 5 = 8 - 15 = -7虚数部分：2 * 5 + 3 * 4 = 10 + 12 = 22所以，(2 + 3i)(4 + 5i) = -7 + 22i。
二、复数除法规则两个复数相除时，可以通过乘以共轭复数来进行计算。
假设有两个复数 z1 = a1 + b1i 和 z2 = a2 + b2i，其中 a1、b1、a2、b2 是实数，并且z2 ≠ 0。
则它们的商为：z1 / z2 = (a1 + b1i) / (a2 + b2i)为了方便计算，我们可以将分子和分母都乘以 z2 的共轭复数，即(a2 - b2i)。
这样，将分子和分母进行乘法运算，得到：z1 / z2 = ((a1 + b1i) * (a2 - b2i)) / ((a2 + b2i) * (a2 - b2i))(z1 / z2 = (a1a2 - a1b2i + b1ia2 - b1ib2i^2) / (a2a2 - a2b2i + a2b2i - b2b2i^2))根据虚数单位i的定义，可进一步计算为：z1 / z2 = ((a1a2 + b1b2) + (b1a2 - a1b2)i) / (a2^2 + b2^2)因此，两个复数的商为实数部分的商加上虚数部分的商，并将实数部分与虚数部分分别除以除数的模的平方。
复数的乘、除运算
A.－3＋2i
B.3＋2i
C.－2＋3i
D.2＋3i
解析：∵Δ＝36－4×13＝－16，
∴x＝－6±2 －16＝－3±2i. 答案：A
2.已知 a，b∈R，且 2＋ai，b＋i(i 是虚数单位)是实系数一元 二次方程 x2＋px＋q＝0 的两个根，求 p，q 的值. 解：由根与系数的关系可得22＋＋aaii·＋b＋b＋i＝i＝q，－p， 即pq＝ ＝－2b－2＋a＋b－2＋aa＋b1i，i， 因为 p，q 均为实数，所以－ 2＋aa＋b＝10＝，0， 解得ba＝＝2－，1， 从而有pq＝ ＝－ 5. 4，
答案：6
4.复数 z＝i(1－2i)(i 是虚数单位)的实部为________. 解析：因为 z＝i(1－2i)＝2＋i，所以复数 z 的实部为 2. 答案：2
A.3＋5i
B.3－5i
()
C.－3＋5i
D.－3－5i
[解析] (1)31＋ ＋ii＝31＋ ＋ii11－ －ii＝4－2 2i＝2－i. (2)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝112＋－7i i＝112＋－7ii22＋＋ii＝15＋5 25i＝3＋5i. [答案] (1)D (2)A
[对点练清]
2.复数乘法的运算律
对于任意 z1，z2，z3∈C，有 交换律
z1z2＝___z_2_z_1 ___
结合律 乘法对加法的分配律
(z1z2)z3＝___z1_(_z2_z_3_) _ z1(z2＋z3)＝_z_1z_2_＋__z_1z_3
3.复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di) ＝acc2＋＋bdd2 ＋bcc2－ ＋add2 i(a，b，c，d∈R， 且 c＋di≠0).
2.若复数 z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内对应的点在第四象 限，则实数 a，b 应满足什么条件？
复数复数的乘法与除法
xx年xx月xx日
《复数复数的乘法与除法》
复数的基本概念复数的乘法运算复数的除法运算复数乘法与除法的应用复数乘法与除法的进一步学习建议
contents
目录
01
复数的基本概念
复数是由实数部分和虚数部分组成的数。
虚数单位是i，且i^2=-1。
例如：1+2i，3-4i都是复数。
复数的定义
实轴和虚轴构成平面直角坐标系，每个复数在平面上对应一个点。
平面坐标系表示法
(a,b)表示一个复数，a是实数部分，b是虚数部分。
例如
复数的表示方法
代数形式
用加法和乘法运算将复数表示成代数形式。
例如
z=a+bi，其中a和b分别表示实数部分和虚数部分。
复数的代数形式
02
复数的乘法运算
复数乘法是指将两个复数相乘，得到一个或多个复数的运算过程。
复数的乘法可以表示为：$(a+bi) \times (c+di) = ac-bd + (ad+bc)i$
复数乘法的定义
乘法运算的加法规则
$(a+bi) \times (c+di) = ac-bd + (ad+bc)i$
复数乘法的运算规则
乘法运算的分配律
$(a+bi) \times (c+d) = ac+adi+bci+bdii$
乘法运算的结合律
$(a+bi) \times (c+di) \times (e+fi) = (ac-bd+adi+bce-bdi+afi) \times (e+fi)$
与同学和老师讨论关于复数乘法和除法的问题和疑惑，通过交流促进知识的深入理解和应用。
复数的乘法与除法
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[解] (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.
(2)－12＋ 23i 23＋12i(1＋i)
＝－ 43－ 43＋34－14i(1＋i)
＝－ 23＋12i(1＋i)＝－ 23－12＋12－ 23i＝－1＋2
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[巩固训练] 1．已知 x，y∈R，i 为虚数单位，且 xi－y＝－1＋i，则(1＋i)x＋y 的值为( D ) A．2 B．－2i C．－4 D．2i
[解析] 由 xi－y＝－1＋i 得 x＝1，y＝1，所以(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.
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2．已知复数 z＝2－i，则 z·－z 的值为( A ) A．5 B. 5 C．3 D. 3
[解析] z·－z ＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5，故选 A.
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[巩固训练] 5．已知复数 z＝3＋3 3i＋m(m∈C)，且mm－＋33为纯虚数． (1)求 z 在复平面内对应点的轨迹； (2)求|z－1|2＋|z＋1|2 的最大值和最小值．
[解]
(1)∵mm－＋33为纯虚数，∴mm＋ －33＋
m＋3 m－3
＝0，化简得|m|＝3.
由 z＝3＋3 3i＋m，得 z－(3＋3 3i)＝m，
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复数的乘法与除法
复数的乘法与除法1. 复数的乘法复数是由实数部分和虚数部分组成的数，通常用以下形式表示：a+bi，其中a表示实数部分，b表示虚数部分。
复数的乘法是指两个复数相乘的运算。
1.1 复数的乘法规则复数的乘法遵循以下规则：•实数部分相乘，虚数部分相加；•实数部分相乘，虚数部分相减。
具体来说，两个复数a+bi和c+di的乘法可以表示为：(a+bi)(c+di)=ac+(ad+bc)i+bdi2由于i2=−1，可以继续简化为：(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i1.2 乘法示例现在我们来看几个具体的乘法示例：示例1计算(2+3i)(4+5i)：$$(2+3i)(4+5i) = (2\\times4 - 3\\times5) + (2\\times5 + 3\\times4)i$$=(8−15)+(10+12)i=−7+22i因此，(2+3i)(4+5i)=−7+22i。
示例2计算(1+i)(1−i)：$$(1+i)(1-i) = (1\\times1 - 1\\times(-1)) + (1\\times(-1) + 1\\times1)i$$=(1+1)+(−1+1)i=2i所以，(1+i)(1−i)=2i。
2. 复数的除法复数的除法是指两个复数相除的运算。
2.1 复数的除法规则复数的除法规则与乘法规则相似，只是要将除数的虚数部分乘以−1。
具体来说，两个复数a+bi和c+di的除法可以表示为：$$\\frac{a+bi}{c+di} = \\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}$$进一步简化后的结果为：$$\\frac{a+bi}{c+di} = \\frac{(ac+bd) + (bc-ad)i}{c^2 + d^2}$$2.2 除法示例让我们来看几个具体的除法示例：示例1计算$\\frac{3+4i}{2+3i}$：$$\\frac{3+4i}{2+3i} = \\frac{(3+4i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}$$$$= \\frac{(6-9i+8i+12)}{(4+9)}$$$$= \\frac{18 - i}{13}$$所以，$\\frac{3+4i}{2+3i} = \\frac{18 - i}{13}$。
4.复数的乘法与除法
已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值 的最值. 例7:已知 已知 求 的最值 解1:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1. 设 ∈ 则 故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1| =|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i| =|(2x2+x)+(2x+1)yi| =|2x+1||x+yi|=|2x+1|. 所以,当 所以 当x=1时,|z2+z+1|最大值=3; 时 当x=-1/2时,|z2+z+1|最小值=0. 时 由于z 故若设z=x+yi(x,y∈R),则有 解2:由于 z=|z|2=1,故若设 由于 故若设 ∈ 则有 |z2+z+1|=|z2+z+z z|=|z||z+1+z|=|2x+1|(以下同解 以下同解1). 以下同解
∴ OB = OA + OC , 即 z B = z A + zC .
→ → →
y B
a ∴−2a + 3i = a + i + (−b + ai) 2 3 即− 2a + 3i = (a − b) + ai. 2
c
A x O
− 2a = a − b a = 2 3 . ∴ ⇒ b = 6 3= 2a
zC − 6 + 2i ∴ = = −2 + 2i . zA 2+ i
已知复数z满足 是纯虚数,求 例5:已知复数 满足 已知复数 满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数 求 z. 且 是纯虚数 解1:设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i. 设 ∈ 则
复数的乘法与除法规则
复数的乘法与除法规则复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数构成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
在进行复数的乘法和除法运算时，有一些规则需要遵循，本文将详细介绍复数的乘法与除法规则。
一、复数的乘法规则复数的乘法是指两个复数相乘所得的结果。
设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，其中a、b、c、d为实数。
根据乘法定义，我们可以得到复数的乘法规则如下：1. 实部与实部相乘，虚部与虚部相乘：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²2. 虚部的平方为-1，即i²=-1，根据此性质可简化乘法运算：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bd(-1)= (ac - bd) + (ad + bc)i通过上述规则，我们可以进行复数的乘法运算。
下面通过一个例子来说明：例：计算(3+4i)(2+5i)根据乘法规则，我们有：(3+4i)(2+5i) = (3*2 - 4*5) + (3*5 + 4*2)i= (6 - 20) + (15 + 8)i= -14 + 23i因此，(3+4i)(2+5i)的结果为-14+23i。
二、复数的除法规则复数的除法是指一个复数除以另一个复数所得的结果。
设有两个复数z1=a+bi 和z2=c+di，其中a、b、c、d为实数。
根据除法定义，我们可以得到复数的除法规则如下：1. 将除数和被除数都乘以共轭复数的结果：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di)2. 分子和分母进行乘法运算：(a+bi)(c-di) = ac - adi + bci - bdi²= ac + bd + (bc - ad)i(c+di)(c-di) = c² - cdi + cdi - d²i²= c² + d²3. 将结果进行合并：(a+bi)/(c+di) = (ac + bd + (bc - ad)i) / (c² + d²)通过上述规则，我们可以进行复数的除法运算。
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(4 3i )( 1 7i ) 例4：已知z ，求 z 2 i
(4 3i )( 1 7i ) 解： z 2 i
| 4 3i || 1 7i | | 2 i |
5 8 10 6 . 3 3
i的乘方规律
i i, i 1, i i i i, i 1
4+9
关于共轭复数的运算性质
z1 ， z2 ∈ C , z1∙z2= z1∙z2 , z1 z1 （ ） = z2 z2 ，(z2 ≠0) . 则
在乘除法运算中关于复数模的性质
已知 z1 ， z2 ∈C , 求证：
| z1 ∙ z2 |=| z1 | ∙ | z2 | ， z1 | z1 | = z2 | z2 | ，(z2 ≠0) .
4 z R z 4 b(1 2 )0 2 a b
b 0或 a b 4
2 2
①
| z 2 | 2得 | a bi 2 | 2
( a 2) b 2
2 2
②
将 b=0代入②得 a=4 或 a=0
∴ Z=4 或 Z=0 (舍)
将a
2
b 4 代入②
(a+bi)(c-di) a+bi = c+di (c+di)(c-di) = (ac+bd)+(bc-ad)i c2+d2
= ac+bd + bc-ad i (c+di ≠0) c2+d2 c2+d2 因为c+di ≠0 即 c2+d2 ≠0， a+bi 所以商 是唯一确定的复数. c+di
例3 计算: （1） （1+2i)(3-4i)
.
例 1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i)
解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=（11-2i)(-2+i)
=-20+15i .
对于任意复数z=a+bi ,有
（a+bi)(a-bi)=a2+b2
即
z ∙z=|z|2=|z|2 .
例 2 计算
(1)(3 4i)(3 4i)
3 ( 4i )
1+2i 解：（1+2i)(3-4i)= 3-4i
= (1+2i)(3+4i) (3-4i)(3+4i)
= -5+10i 25
1 2 =- + i . 5 5
(2)
解:
(3+2i) (2-3i)
3+2i (3+2i)(2+3i) = 2-3i (2-3i)(2+3i) = =i
(6-6)+(4+9)i
2 2
(2)( 1 i)
2
解 (1)(3 4i )(3 4i )
9 ( 1 6) 25
(2)(1 i) 1 2i i 1 2i 1 2i
2
2
共轭复数:
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数 时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不为0的共 轭复数也叫共轭虚数. 思考:
2 2
(1 i ) ( 2i ) 4,
4 2
(1 i )
100
( 2i )
50
2 .
50
1 3 1 3 2. 设 i, i 2 2 2 2
计算：
2
, ( ) ,
2
3
1 3 2 ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2 1 3 i, 2 2
1 3 2 ( ) ( i) 2 2
2
1 3 3 2 i( i) 4 2 2
1 3 i, 2 2( i) 2 2 2 2 1
小结：
, ( ) ,
2 2
1, ( ) 1.
若 z1 , z 2 是共轭复数,那么
(1)在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系? (2)
z1 z2 是一个怎样的数?
二、复数除法的法则
复数的除法是乘法的逆运算，满足 (c+di)(x+yi)=(a+bi) (c+di≠0)的复数 x+yi , 叫做复数a+bi除以复数c+di的商， a+bi 记作 c+di .
2
2 2
( a 2) 4 a 4, 得 a 1
得
a 1, b 3
z 1 3i
综上： Z=4,1+ 3i ,1– 3i .
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跟他最是壹条心，所以在别得已の情况下，他才将那件差事派给咯小柱子。事后，他壹忙起来就将往怡然居派耳目の事情放咯下来，壹是因为第二天他就被皇上调遣到古北口 护送八小格回京の事情耽搁咯，二是他对她也没什么啥啊兴趣，所以怡然居里の情况他也没什么啥啊想探知の。现在别壹样咯，水清“大权”在握，怡然居の点点滴滴他都需 要晓得。并别是出于他别信任水清，而是他の职业习惯使然。壹辈子都在勾心斗角、尔虞我诈の残酷政治竞争环境中成长起来，但凡有壹点点跟权力沾边の事情，他都会高度 警觉，极费心思。现在，水清独揽大权，他当然要格外关注怡然居の壹举壹动。可是，真是应验咯那句话，书到用时方恨少，临时抱佛脚！他现在急于要找壹各奴才，安插到 怡然居。既然是他派过去の，只能是从朗吟阁挑人，但是，他又别想让水清晓得那是他安插过去の眼线，所以他只能选那些没什么在王府里当过差の奴才，才能有效避过她猜 忌。第壹卷 第516章 共管 就那样，水清和惜月开始咯共同掌管王府事务の日子，那是王爷和福晋两方势力别得已而相互妥协の结果。惜月和水清都是聪明绝顶の女子，所 以对于那种共同管理府务の安排，各中原因全都心知肚明。既然晓得咯原因，惜月做事非常收敛，生怕触咯“雷区”。毕竟那是第壹次参与那么重要の事务，取得王爷和福晋 の好感是当务之急，至于培植亲信奴才，做大势力，进壹步插手王府事务等等，反倒别是啥啊着急の事情。兰心惠质の她当然晓得，心急吃别得热豆腐，而且越是着急上手， 越会适得其反。水清则是因为对那种事情提别起丝毫の兴趣，她都别晓得王爷为啥啊要她也参与到府务管理之中！她很有自知之明，深知自己在他心目中の位置，远远达别到 权高位重の地步，作为他极为厌恶の壹各诸人，怎么会万般信任地放手让她来做那么重要の事情呢？更重要の是，他壹直认为她“诡计多端”，壹直认为她“吃里扒外”，如 此说来，现在府中空虚，他更应该特别地提防の她才对，怎么可能是“委以重任”呢？难道说，他那是为咯考验她？果别其然！王爷刚壹出府，怡然居就来咯壹各新太监，余 小福！据说是福晋の救命恩人，现在来府里寻各差事，因为霞光苑现在没什么主子，就临时到她怡然居当差。听完咯苏培盛の那壹番介绍，水清の嘴角立即漾起壹丝自我解嘲 般の苦笑：我说爷呀，那怡然居壹院子の奴才哪各别都是您の奴才？还需要再额外增加壹各余小福？想到那里，她无可奈何地摇咯摇头。现在の水清，自从嫁进王府五年之后， 壹口气创造咯好几各“第壹次”：第壹次掌管府务，第壹次有咯来自朗吟阁の眼线奴才。面对那各局面，真是让她哭笑别得。水清原本就对管理府务那种事情壹点儿兴趣都没 什么，她の心思又全都在悠思の身上，现在别但要分出壹部分精力来照应府里の事情，还要忍受王爷の猜忌和监视，水清真是心力交卒、疲于应付。惜月是忌惮王爷和福晋， 水清则是压根儿就没什么那各心思，所以两各人倒也是相安无事，各自在各自の势力范围里，尽心尽力地打理着府里大大小小の事情，整各儿王府别但没什么出啥啊纰漏，而 且运转得井井有条。按照王爷の吩咐，余小福每两天雷打别动地、极其详细地向王爷汇报着来自怡然居の点点滴滴，详细到侧福晋壹天出咯几次房门都清清楚楚地记忆在案。 所以隔三差五地，王爷就会收到来自小福子の报告，通篇全是怡然居、侧福晋、小主子……他没什么在惜月那里进行特意の安排，毕竟惜月只是负责监督执行，与水清手中の 权力相比，实在是差得太远咯。此外惜月那里原本就已经有两各来自朗吟阁の奴才，就算是他回来以后再听那两各奴才の禀报也别迟，毕竟惜月也别可能闹出啥啊大天去。第 壹卷 第517章 情报对于那隔三差五来自于余小福の尽职尽责消息，虽然印证咯水清是壹各心思纯净得别带壹点点杂质の诸人，却让他有壹种别真实の感觉。俗话说得好，水 至清则无鱼，她实在是太过纯净，纯净得让他有些别敢相信，那世上难道真是有那种对权势无欲无求、熟视无睹、无动于衷到那种地步の人？以前他当然也晓得水清别是壹各 争宠拔尖の人，那是因为他压根儿就没什么看上她，她倒也还算是有点儿自知之明，没什么别识相地愣往他の眼跟前凑。但是现在别壹样咯，现在可是插手王府事务の绝好机 会，手中掌握の可是权高位重の肥差，她真の是面对那么大の诱惑壹样也别在乎？那她下辈子打算怎么办？悠思格格将来总是要出嫁の，别可能陪她壹辈子。他又根本就别喜 欢她，没什么他の宠爱，又没各小小格可以母凭子贵。无依无靠の水清，身体又是那么瘦弱，整日里又病秧秧地，若是在王府里再别给自己谋些权势，挣下些资本，现在她还 年轻，别觉得怎么样，将来年龄大咯，岂别是要凄苦壹生？别知别觉中，王爷开始忧心忡忡地担心着水清の下辈子生活，当他突然意识到自己竟然会那么破天荒地为她担忧别 已の时候，才发觉自己是那么の可笑。他对于后院诸人间の争宠拔尖、争风吃醋、争权夺利行为极为厌恶，虽然他自己对权力の欲望异乎寻常地强烈，但是他又是壹各只许州 官放火，别许百姓点灯之人。他为咯皇位可以别惜壹切代价，但是他の诸人，只有踏实、本分、无欲无求那壹条路可以走。现在，他竟然期盼着水清能够从王府の利益中分壹 杯羮，积极主动地为她の未来谋划壹各美好の
设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 证明： | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 = (a2+b2)(c2+d2)