数学科学学会群聊天2010年10月15日
数学科学学会群聊天2010年10月15日
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:54:51 做到后来
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:55:01 都不懂的自己发现新灵感了
X-d (635118306)2010-10-15 17:55:02 数学哪方面的
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:55:10 没前途
X-d (635118306)2010-10-15 18:03:19 轨道 就是所有将X置换成的元素集合么
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:04:01 对
X-d (63ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ118306)2010-10-15 18:04:08 谢谢哥们呀
X-d (635118306)2010-10-15 18:04:12 你很牛呀
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:16:36 也就是congruence class的数目就是orbit了
X-d (635118306)2010-10-15 18:16:50 嗯 有道理
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:17:08 呵呵，我对理论很感兴趣的 看书这些都想好几遍 呵呵
X-d (635118306)2010-10-15 18:15:18 哦
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:15:57 因为我们知道congruence class的代表作用于x上面的结果 就是和congruence class其他元素作用域x上面的结果一样的
X-d (635118306)2010-10-15 18:17:26 真是牛人
数学与群论数学在群论中的应用和群结构分析
数学与群论数学在群论中的应用和群结构分析数学与群论：数学在群论中的应用和群结构分析数学是一门关于数字、结构、空间和变化的科学。
在数学的各个分支中，群论是一门重要的领域，它主要研究集合与代数结构之间的关系。
本文将探讨数学在群论中的应用，并对群结构进行分析。
一、数学在群论中的应用1. 对称性与群论：对称性在自然界和科学中起着重要的作用。
而群论正是研究对称性的一种工具。
通过群论的方法，我们可以研究物体在不同操作下的对称性质，进一步深入理解对称性的本质。
2. 密码学中的群论：密码学是信息安全领域的重要一环。
在现代密码学中，群论被广泛应用于密码算法的设计和分析。
例如，椭圆曲线密码学中的离散对数问题是基于群论概念的一个重要难题，解决了该问题，就能够实现高强度的密码保护。
3. 物理学中的群论：在物理学中，群论是研究对称性和变换的基础。
从量子力学到固体物理学，从粒子物理学到相对论，群论都发挥着重要的作用。
通过应用群论，我们可以描述和分析物质粒子的对称性，从而得到深入的物理理解。
4. 图论中的群论：图论是数学中的一个分支，研究具有节点和边的结构。
而群论在图论中有广泛的应用。
例如，通过群的理论，我们可以对图的自同构进行分类和研究，从而揭示图的隐藏结构和特性。
二、群结构分析群是一个代数结构，由一组元素和一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
通过对群的结构进行分析，我们可以深入理解其性质和特征。
1. 同态与同构：在群论中，同态是两个群之间的结构保持映射，它可以保持群的运算性质。
而同构是一种保持群结构的双射映射。
通过研究同态和同构，我们可以将一个群与另一个群进行比较和分类。
2. 子群与陪集：子群是一个群中的子集，它满足封闭性、单位元和逆元等群的性质。
而陪集是一个群中某个子群通过左或右作用得到的集合。
通过研究子群和陪集，我们可以深入了解群的结构和子群的作用。
3. 群的分类：群的分类是群论中的一个重要问题。
大学数学群论练习题及答案
大学数学群论练习题及答案一、群论概述群论是数学中极为重要的一个分支，它研究了集合和代数结构之间的关系。
群论的应用广泛，涉及到代数、几何、计算机科学等领域。
本文将介绍一些大学数学群论的练习题，并提供答案供读者参考。
二、基本概念1. 定义：集合G上的一个二元运算*，如果满足结合律、存在单位元和逆元，那么称< G, *>为一个群。
2. 练习题：a. 证明：一个群的单位元唯一。
答案：假设有两个单位元e1和e2，那么e1*e2=e1 (e2作为单位元)，但同时由于e1*e2=e2 (e1作为单位元)，所以e1=e2。
因此，群的单位元是唯一的。
b. 证明：群中的任意元素的逆元唯一。
答案：假设有两个逆元a和b，那么a*a^-1=e (a的逆元)，同时a*b^-1=e (b的逆元)。
根据群的结合律，我们有a^-1*(a*b^-1)=(a^-1*a)*b^-1=e*b^-1=b^-1。
因此，a^-1=b^-1，逆元是唯一的。
三、群的性质1. 半群：若集合G上的二元运算*满足结合律，但不存在单位元和逆元，则称< G, *>为一个半群。
2. 幺半群：若集合G上的二元运算*满足结合律和幺半性质（存在单位元），但不存在逆元，则称< G, *>为一个幺半群。
3. 练习题：a. 判断以下集合在给定的运算下是半群、幺半群还是群：i) 整数集合Z上的加法运算。
答案：整数集合Z上的加法运算满足结合律，存在单位元0，但不存在逆元。
因此，< Z, + >是一个幺半群。
ii) 实数集合R上的减法运算。
答案：实数集合R上的减法运算满足结合律，不存在单位元和逆元。
因此，< R, - >是一个半群。
b. 证明：每个群都是幺半群。
答案：对于一个群< G, *>，它满足结合律、存在单位元和逆元，因此也满足幺半性质。
所以每个群都是幺半群。
四、同态与同构1. 定义：设有两个群< G, *>和< H, @>，若存在一个满射f：G→H，且对任意的g1、g2∈G有f(g1*g2) = f(g1)@f(g2)，则称f为从群< G, *>到< H, @>的同态映射。
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福建公务员考试《行测》通关模拟试题及答案解析【2023】：641：1， 0， 9， 16，（）， 48单项选择题A. 25B. 33C. 36D. 422：在某十字路口处，一辆汽车的行驶方向有3个：直行、左转弯、右转弯，且三种可能性大小相同，则有3辆独立行驶的汽车经过该十字路口全部右转弯的概率是：单项选择题A.B.C.D.3：在我国东北，夏天到晚上9点仍可看到太阳余晕，而冬天到下午5点天就完全黑了下来，其主要缘由是（）。
单项选择题A、太阳直射点夏天在北半球，冬天在南半球，因此纬度高地区的白天冬短夏长B、太阳直射点夏天在南半球，冬天在北半球，因此纬度高地区的白天冬短夏长C、东北地区夏天云层薄，冬天云层厚D、纬度高地区的冬季比夏季时间长—考试大+在线考试中心—4：中国农业问题的瓶颈所在，即社会已整体地工业化、商业化了，而农业结构依旧维持着传统的小农状态，人均占有资源量极其稀缺。
秉承传统的轻徭薄赋理念，乃至彻底取消农业税，并实施对农业直接或间接的各项补贴，都只能解决农夫最基本的生存问题。
而要从根本上解决农夫的富有问题，须乐观调整社会结构转型。
现实一点说，就是要废除城乡二元户籍制度、降低身份转换成本，实现土地的自由淳转，建立健全一体化的社会保障体系。
对以上文字概括最精确的是（）。
单项选择题A、城乡二元户籍制度制约了农业的进展B、实现土地的自由流转是解决农夫富有问题的关键C、农业结构是中国农业问题的瓶颈所在D、彻底解决农业问题应从调整社会结构人手5：0， 2， 6， 12，（）， 30单项选择题B. 16C. 26D. 206：个体经营户张某因不服区工商局5000元的惩罚而申请复议，市工商局认为惩罚过轻，遂改为没收张某的工商营业执照，张某若想提起行政诉讼，应以哪个单位为被告?（）单项选择题A、市工商局B、区工商局C、区D、市工商局和区工商局7：百合：鲜花：花店单项选择题A、手机：电器：书店B、木材：树木：森林C、沙发：家具：客厅D、衬衣：衣服：商场8：下列生活常识中表述不正确的是（）。
数学 群论
数学群论
群论（Group Theory）是数学中的一个分支，研究的是集合和对称操作之间的结构关系。
群是一个代数结构，由一个集合和一个二元运算组成。
这个运算通常被称为群运算，满足结合律、封闭性、单位元存在性以及每个元素存在逆元等性质。
简单来说，群是一个集合，其中的元素按照特定的运算规则进行组合。
群论的研究内容包括群的性质、结构和性质，例如子群、正规子群、同态映射等。
群论的研究对于许多数学分支（如代数、几何、数论）以及理论物理等领域都有重要的应用。
一些重要的群包括对称群（Symmetric Group）、线性群（Linear Group）、循环群（Cyclic Group）等，它们应用广泛，并在不同领域中发挥着关键作用。
群论的发展历史非常丰富。
它的奠基者是19世纪的高斯（Carl Friedrich Gauss）和伽罗华（Évariste Galois）。
后来，数学家们不断深化和扩展了群论的理论，发展出了更多的概念和技术，使其成为现代数学中的一个重要的研究领域。
群论在解决实际问题中具有广泛的应用，包括密码学、几何学、粒子物理学等领域。
它不仅是一门抽象的数学理论，还可以应用于解决实际问题和揭示事物背后的结构和规律。
群论第一章
绪论(preface）
群论已逐步在通信理论中应用。 群论用来编码可以使编码数学结构更清楚。线性码可以用有 限交换群来讨论，循环码可以用循环群代数的理论来表示. 编 码理论伴随信息论诞生于20世纪40年代, 编码理论和技术的目 的是把信息编为符号序列,, 以使它在传送中具有较好的纠错能 力, 群论用于编码理论始于20世纪50年代, 在70年代有较大的 发展. 利用群论研究对称性网络, 包括无线网，光网和Intel网, 目前查到最早的文章是1989年, Akers等人提出对称性互联网 的一个群理论模型,后面工作基本上是在这工作基础上的发展。 群论在网络优化中的应用是一个值得研究的课题，2008年与 2009年两度列入国家自然科学基金重大项目之中。
度、120度和240度，对每个角分线的反演 ，共六种。 对正四面体，在其相应对称操作有12个，它有四个正三角形表面和六 条棱边。从每个角顶到相对表面中心连线是一个三阶轴。两个相对棱边 中点连线是一个二阶轴。三阶轴对应两种变换，二阶轴对应一种变
换，共12种。
13
§1,1 对称性的意义
我们更关心是物理系统的对称性，对物理系统来说， 其对称性应与其结构有关，例如，原子具有球对称性，分 子具有与其几何形状相应的对称性，晶体具有空间点阵对 称性等。但必需指出许多物理对称性并不具有直接的几何 意义，例如全同粒子对称性，质子和中子在核力方面表现 出来的对称性等。 物理系统具有某种对称性的含义是什麽？它是指系统 的运动方程在某种变换下的不变性，这些变换称为该系统 或运动方程的对称变换。 物体系统运动方程通常是描述某个物理量在外场作用 下的时空变化，体系的对称性，即是相互作用的对称性， 相互作用在某些变换下的不变性。这些变换包括时空变换， 粒子的置换变换，正反粒子共轭变换，幺正变换等。
数学中的群论及其应用
数学中的群论及其应用数学是一门抽象的学科，它面对的是各种不同的数学对象，如数字、形式化结构和空间。
在这些抽象的数学对象中，一个重要的概念是群。
群论是一门研究对称性的学科，因此，与许多分散的领域有了深入的连接。
本文将介绍群论的基本概念和其在其他领域的应用，例如密码学、物理学和计算机科学等。
一. 群论的基本概念群论是研究群的性质和结构的学科，若对一个给定的二元运算，加上一些规定，就可以得到一个群。
这些规定是以下四个：1. 封闭性：群中任意两个元素进行乘法运算后得到的结果也在群中。
2. 结合律：群中任意三个元素进行乘法运算的顺序无论如何都能得到相同的结果。
3. 恒等元素：群中存在一个元素，与其他元素进行乘法运算后得到的结果都等于自身。
4. 逆元素：群中任意一个元素都有其逆元素，即与之进行乘法运算得到的结果为恒等元素。
二. 群论的例子1. 整数的加法群：假设我们从一个无穷大的集合开始，该集合包含有理数和整数。
我们希望使用整数的加法来定义群。
这样，群的恒等元素是0，而逆元素是每个整数的相反数。
在这个群中，所有的元素都是可逆的。
2. 完美立方体的三维旋转群：在三维空间中，完美立方体的旋转群是一个例子。
对于该群，恒等元素是没有旋转，逆元素是旋转到与之相反的位置。
在这个群中，我们考虑的是没有平移的情况，因为如果平移被考虑进去，它将失去平移不变性。
3. 多项式环的对称群：多项式是具有很多良好性质的函数。
我们可以从中取出一个有限系数的多项式，这样一个多项式群可以通过将多项式变换为另一个多项式来定义，多项式的次数不变。
这里的恒等元素是恒等变换，逆元素是逆变换。
三. 群论在密码学中的应用密码学是一种通过加密技术来保护信息不被第三方获取的学科，目前已经成为了现代信息技术中的必要组成部分。
在密码学中，群论是一种有用的工具，它可以帮助我们设计加密算法并评估它们的安全性。
1. FHE（全同态加密）：全同态加密技术将一类操作转换为另一类操作，因此可以维持加密后数据的连续性。
中学生趣味数学史阅读笔记
《中学生趣味数学史》阅读笔记目录一、数学的起源与早期发展 (3)1. 数字的诞生 (4)2. 数学符号的演变 (5)3. 古代数学的主要成就 (6)二、中世纪的数学发展 (8)1. 阿拉伯数学的发展 (9)2. 印度数学的影响 (10)3. 中国数学的贡献 (12)三、文艺复兴时期的数学变革 (12)1. 透视几何的创立 (14)2. 微积分学的萌芽 (15)3. 数学与人文主义的交融 (16)四、17世纪到18世纪的数学革命 (18)1. 解析几何学的建立 (19)2. 欧拉的数学贡献 (20)3. 数论和概率论的初步发展 (21)五、19世纪的数学繁荣 (22)1. 分析数学的深化 (23)2. 代数几何的兴起 (24)3. 数理逻辑的奠基 (26)六、20世纪的数学革新 (27)1. 群论和拓扑学的创立 (28)2. 计算机科学的发展对数学的影响 (29)3. 人工智能与数学的结合 (31)七、数学教育的发展历程 (32)1. 国际数学教育的发展 (33)2. 我国数学教育的变迁 (35)3. 数学课程标准与教学改革 (36)八、现代数学的前沿领域 (38)1. 量子数学与超级计算 (40)2. 生物数学与复杂性理论 (41)3. 多元微积分与数学分析的新进展 (42)九、数学史上的重要人物 (43)1. 亚历山大.格罗滕迪克 (44)2. 亨利.巴蒂斯 (46)3. 陈省身与华罗庚 (47)十、数学史对现代社会的启示 (48)1. 数学与人类文明的互动 (50)2. 数学在科技发展中的作用 (51)3. 数学教育在培养人才中的重要性 (52)一、数学的起源与早期发展数学作为研究数量、结构、空间以及变化等概念的抽象科学，其起源可以追溯到古代文明发展的初期。
早在远古时代，人们为了解决实际生活中遇到的问题，如土地测量、贸易计算、天文观测等，开始尝试对数量进行计数和计算，从而逐渐形成了数学的萌芽。
二元域的加法群-概述说明以及解释
二元域的加法群-概述说明以及解释1.引言1.1 概述二元域是一个数学概念，是一种包含两个元素的域。
在二元域中，我们可以执行加法和乘法运算，并具有一些特定的性质。
本文将重点研究二元域的加法群。
加法群是一个数学概念，指的是一个集合以及在该集合上定义的加法运算。
在一个加法群中，我们可以执行加法运算，并且满足一些特定的性质，如结合律、交换律、存在零元素和存在逆元素等。
本文旨在通过深入研究二元域的加法运算，探讨二元域的加法群性质。
通过理论分析和具体例子的讨论，我们将探讨二元域的加法运算是否满足加法群的性质，以及其可能的特殊性质。
在本文的2.1节中，我们将对二元域的定义进行详细介绍。
我们将探讨二元域的元素构成及其数学性质，并给出一些实例来帮助读者更好地理解该概念。
在2.2节中，我们将介绍二元域的加法运算。
我们将详细说明二元域中的加法运算规则，并探讨其性质和特点。
通过实例分析，我们将展示二元域的加法运算的具体应用。
最后，在2.3节中，我们将重点讨论二元域的加法群性质。
我们将证明二元域中的加法运算满足加法群的各种性质，并分析这些性质的实际意义和数学背景。
通过本文的研究，读者将能够更深入地理解二元域的加法运算及其加法群性质。
同时，本文也将为进一步研究不同域的加法群提供一定的参考和启示。
最后，我们还将探讨未来研究二元域加法群的可能方向，以期为相关领域的深入研究提供新的思路和方法。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讨论：2.1 二元域的定义在本节中，我们将介绍什么是二元域以及它的定义。
我们将探讨二元域的基本性质，包括其中的元素和运算规则，以帮助读者更好地理解二元域的基础知识。
2.2 二元域的加法运算本节将详细介绍二元域中的加法运算。
我们将探讨二元域中的加法运算的基本特性，包括封闭性、结合律、单位元素和逆元素等。
同时，我们也将讨论二元域加法运算中的一些重要性质和定理，并给出相应的证明过程。
数学中的群论与拓扑学
数学中的群论与拓扑学数学是一门神秘而精妙的学科，其中群论和拓扑学是非常重要的分支。
本文将探讨这两个分支的基础概念和应用。
一、群论群论是一种抽象代数，最初是由埃瓦里斯特·伽罗华于19世纪初期创立的。
群是一种数学结构，具有代数性质。
学习群论可以提高我们的抽象思维能力，同时也具有非常广泛的应用，如量子力学和密码学等。
群的定义非常简单，它由一组元素和一种二元运算组成。
这个群必须符合四个公理，它们是封闭性、结合律、恒等元素以及逆元素。
封闭性意味着整个群内的所有元素在进行二元运算后，得到的结果还在群内。
结合律意味着无论元素们以何种顺序进行二元运算，结果总是相等的。
恒等元素是指群内存在一个元素，与其他元素进行二元运算后，得到恒等元素本身。
逆元素是指群内每个元素都有一个逆元素，使得这个元素与其逆元素进行二元运算后，结果为恒等元素。
除此之外，群还有一些基本的性质。
群内的元素可以进行任意的交换，这就是交换性。
还有一种性质叫做子群，如果群内的某些元素也可以形成一个群，那么这个群就叫做原来群的子群。
群可以应用到各种领域。
例如，量子力学中的态可以用一个群来描述它的性质，密码学中用到的加密算法是通过群上的操作实现的。
二、拓扑学拓扑学是一种研究空间的学科。
它关注的是空间间距和形态的变化，而不关注空间的度量。
拓扑学的基础概念是拓扑空间和连通性。
拓扑空间由一组集合和一组规则组成，这些集合和规则用来描述空间中的点如何接近和分离。
连通性是指在一个空间中，两个点是否可以通过某些方式互相连接。
如果两个点可以通过任何路径相连，则它们在空间中是连通的。
拓扑学可以用来描述很多现实生活中的问题，如地图上的路线规划、天气模拟以及网络分析等。
例如，在地图上规划路径时，我们可以将不同的路段看成一个拓扑空间中的点，两个点之间的道路则是连接它们的路径。
通过在空间中寻找连通的路径，我们就可以规划出最优的路线。
三、群论和拓扑学的联系群论和拓扑学之间有着密切的联系。
群论在现代数学中的应用
群论在现代数学中的应用群论是数学中的一个重要分支，它研究的对象是代数结构中的群。
群是一种集合，配上一个二元运算，并满足封闭性、结合律、存在单位元和逆元等性质。
虽然在19世纪中叶之前，群论相对来说比较孤立，但是在现代数学中，群论已经成为了许多数学领域的重要工具，并且在物理学、化学、密码学等应用中也有着广泛的应用。
群论在代数学中的应用首先我们来看看在代数学中，群论是如何得到应用的。
代数学中的一个重要问题就是解方程，而群论的一个重要应用就是研究多项式方程的根与对称性。
通过群论的方法，我们可以用对称群来研究多项式方程的根与对称特性，进而解决一些复杂多项式方程的根的个数和形态问题。
另外，在表示论和模表示论中，我们也经常需要研究抽象代数结构在不同向量空间上的表示，这同样离不开对群论结构的深入研究。
群论在几何学中的应用几何学作为古典数学的一部分，在现代数学中也发挥着重要作用。
群论在几何学中的应用主要体现在对称性和对称群上。
比如，在晶体学中，晶体的对称性可以由对称群来描述。
而对称群的性质和结构则可以通过群论方法来研究和描述。
此外，在拓扑学、微分几何学等领域，对称性和变换群也是非常重要的研究对象，而群论正是在这些研究中发挥着关键作用。
群论在物理学中的应用物理学作为自然科学领域中最基础的学科之一，其发展也离不开数学工具的支持。
在粒子物理学和场论等领域，对称性和对称群被广泛运用。
比如，标准模型中描述基本粒子相互作用的规律正是利用了各种对称性和对称群来描述和预测基本粒子的性质和行为。
此外，在相对论力学、量子力学等领域，对称性和守恒律也是物理定律描述和推导过程中不可或缺的部分。
群论在密码学中的应用密码学是信息安全领域中非常重要且广泛应用的一部分，而群论正是密码学研究中不可或缺的工具之一。
在公钥密码系统中，离散对数问题及相关算法就涉及到了群论结构与运算特性。
通过利用素数阶循环群等结构，可以构建出一些难以被破解的密码系统，并保障信息传输和存储过程中的安全性。
群作用函子
群作用函子引言概述群作用函子是数学中一个重要的概念，它在代数学、拓扑学以及其他数学领域都有广泛的应用。
本文将深入介绍群作用函子的基本概念以及其在数学领域的应用。
我们将从概念的基础出发，逐步展开对群作用函子的详细阐述。
1. 群作用函子的基本概念1.1 群作用的定义群作用是群论中的一个基本概念，指的是群元素对集合的一个操作。
设群G 作用在集合X 上，对于任意的g ∈G 和x ∈X，有一个对应的元素gx ∈X，满足一定的性质。
这种操作可以通过一个映射的方式表达，即群G 到置换群Sym(X) 的一个同态映射。
1.2 函子的基本概念函子是范畴论中的一个概念，它描述了范畴之间的映射关系。
一个函子可以将一个范畴的对象映射到另一个范畴的对象，并保持它们之间的结构关系。
函子的定义包括对象间的映射和态射（箭头）间的映射，同时满足恒等映射和复合映射的性质。
1.3 群作用函子的定义群作用函子将群作用的概念与函子的概念相结合，形成了一个新的数学对象。
设G 是一个群，X 是一个G集（G集是一个集合X 和一个从G ×X 到X 的映射，满足一定的条件），群作用函子F 将G集X 映射到G集Y，并保持G集之间的映射结构。
2. 群作用函子的应用2.1 代数学中的应用群作用函子在代数学中有丰富的应用。
通过群作用函子，我们可以研究群同态、子群等代数结构之间的映射关系，为解决代数学中的一些基本问题提供了有力的工具。
2.2 拓扑学中的应用在拓扑学中，群作用函子被广泛用于研究拓扑空间之间的映射。
通过群作用函子，我们可以研究拓扑空间的同伦、同调等性质，深化对拓扑学结构的理解。
2.3 应用于表示论在表示论中，群作用函子为研究表示空间提供了有效的工具。
通过群作用函子，我们可以将表示空间之间的映射关系进行系统化的描述，推动了表示论领域的发展。
3. 群作用函子的性质3.1 可逆性群作用函子具有一定的可逆性质，即存在逆函子与原函子互为逆映射。
这一性质在一些数学领域的研究中具有重要的意义。
数学中的群论及其在密码学中的应用研究
数学中的群论及其在密码学中的应用研究随着信息化和数字化的发展，网络安全越来越受人们的关注。
密码学作为一门研究信息加密和解密的学科，具有重要的实际应用价值。
而在密码学领域，群论起到了非常重要的作用。
一、群论是什么？群论是一个相对独立的数学分支，它研究代数结构中的对称性，即研究在一些运算下对代数结构的运算方式的规律性的研究。
群是一个数学概念，是在运算下满足结合律、有单位元、有逆元等性质的一种代数对象。
群论在数学物理学、几何学、密码学和通讯理论等领域都有着广泛的应用。
二、群论在密码学中的应用群论在密码学中的应用理论主要有两个方面，一个是对称密码，一个是非对称密码。
对称密码就是发信人和收信人用同一把秘钥进行加密和解密的方式，而非对称密码则是双方各自持有不同的公钥和私钥进行加密和解密的方式。
1、群论在对称密码中的应用在对称密码中，用到的算法有DES、AES、RC4等。
DES是美国国家标准局（NIST）确定的数据加密标准，是一种典型的基于置换和替代的加密算法，加密过程可以看做是群论运算的过程。
具体来说，可以看做是把输入的明文分成64位的一个块，每次进行一定次数的迭代操作，每次迭代中使用当前的密钥进行置换和替代操作，直到64次迭代完毕后形成的输出密文。
那么，这个过程中的置换和替代操作分别对应到群论的哪些概念呢？其实这个DES算法中使用的置换是对应置换群，对应的群元素是包含64位明文的真正置换元素，每轮迭代对应的是群元素上的自乘操作。
而替代则是利用了整数环的乘法，即通过块内的取模运算来代表映射群元素上的连续自乘操作。
因此，通过群论的概念可以更清晰地理解对称密码中的加密过程。
2、群论在非对称密码中的应用在非对称密码中，是用非对称加密算法，如RSA算法，实现加密和解密的过程。
RSA算法是公钥密码学中的代表性算法，其安全性依赖于于质因数分解的难度。
RSA算法的本质是建立在数论中，可以表示为 $ (m^e)^d \mod p $，其中$m$ 是明文，$e$ 是加密密钥（公钥），$d$ 是解密密钥（私钥），$p$ 是大质数。
群论在现代数学中的应用
群论在现代数学中的应用群论是数学中的一个重要分支，它研究的是一种代数结构——群。
群论的发展对于数学的各个领域都有着深远的影响，尤其在现代数学中，群论的应用更是广泛而深入。
本文将介绍群论在现代数学中的一些重要应用。
一、密码学中的应用密码学是信息安全领域中的重要分支，而群论在密码学中有着广泛的应用。
群论中的离散对数问题是密码学中的一个重要难题，而群论提供了解决这个问题的数学工具。
基于群论的离散对数问题，我们可以设计出一些安全的加密算法，如Diffie-Hellman密钥交换算法和椭圆曲线密码算法。
这些算法在现代的网络通信和电子支付等领域得到了广泛应用，保护了用户的信息安全。
二、物理学中的应用群论在物理学中的应用也是非常重要的。
物理学中的对称性是研究物理现象的基本概念之一，而群论提供了一种描述对称性的数学语言。
通过群论的方法，我们可以研究物理系统的对称性，进而推导出一些重要的物理定律。
例如，群论在量子力学中的应用可以解释粒子的自旋和宇称等性质，而在粒子物理学中，群论更是成为了研究基本粒子和相互作用的重要工具。
此外，群论还在固体物理学、流体力学等领域中有着广泛的应用。
三、几何学中的应用几何学是研究空间形状和变换的学科，而群论在几何学中有着重要的应用。
群论提供了一种描述几何变换的数学语言，通过群论的方法，我们可以研究几何变换的性质和规律。
例如，对称群是研究几何对称性的重要工具，通过对称群的分析，我们可以研究对称性对几何形状的影响。
此外，群论还在拓扑学、流形理论等领域中有着广泛的应用。
四、计算机科学中的应用群论在计算机科学中也有着广泛的应用。
计算机科学中的图论和网络理论等领域，都可以通过群论的方法进行研究。
例如，群论可以用来研究图的自同构性质，进而解决一些图的同构性判定问题。
此外，群论还在计算机密码学、编码理论等领域中有着重要的应用。
综上所述，群论在现代数学中的应用非常广泛。
无论是密码学、物理学、几何学还是计算机科学，群论都提供了重要的数学工具和方法，推动了这些领域的发展。
认识群论与数论的关系与应用
认识群论与数论的关系与应用在数学领域中，群论与数论是两个重要的分支。
群论是研究代数结构中的群的性质和性质的数学学科，而数论则是研究整数及其性质的学科。
本文将探讨群论和数论之间的关系，并介绍一些群论在数论中的应用。
一、群论与数论的关系群论是数学的一个基础学科，与多个子学科密切相关，其中包括数论。
群论的基本概念与数论中整数的运算密切相关。
群在数论中的应用主要体现在模运算和同余方程的研究中。
1.1 模运算模运算是数论中常见的一种运算，用于描述整数除法中的余数。
在数论中，我们经常需要研究模运算的性质和规律。
而群论提供了一种抽象的方式来理解模运算的性质。
在群论中，我们称整数集合关于模运算构成了一个群。
通过对群的研究，可以得到一些模运算的性质，例如模运算的封闭性、结合律、单位元和逆元等。
这些性质在数论中对于解决同余方程等问题非常重要。
1.2 同余方程同余方程是数论中的重要研究对象，它描述了两个整数之间的关系。
在解决同余方程的问题中，群论提供了一种有力的工具。
通过建立同余方程的等价类，并对等价类进行运算，可以构造群的概念，并在群论中研究同余方程的一些性质。
群论的方法可以用于求解一元同余方程、模方程、模线性方程组等数论问题，从而帮助我们深入理解同余方程的本质和性质。
二、群论在数论中的应用除了与数论的关系外，群论还有许多具体的应用。
以下是群论在数论中的一些应用示例。
2.1 质数问题质数是数论中的一个重要概念。
通过引入群论的方法，可以研究质数的分布规律。
例如，费马小定理是一个基于群论的重要结果，它提供了一种判断一个数是否为质数的方法。
通过应用费马小定理，可以筛选出一些可能是质数的数，从而加快质数的判断过程。
2.2 RSA加密算法RSA算法是一种常用的非对称加密算法，广泛应用于互联网的数据传输安全中。
该算法基于大素数的质因数分解问题和群论中的同态映射原理。
通过群的乘法运算和指数运算，可以构造公私钥对，并利用这些公私钥对进行加密和解密操作。
林群院士的《微积分魔术》简介及全文
本文简介现在上网的材料《微积分魔术》，是两书《微积分快餐》（科学出版社，2009年8月）、《微积分减肥快跑》（科学普及出版社，2011年1月）的姊妹篇．今年3月，日本地震惊动了世人，也惊动了微积分教育：微积分不仅为了高中、大学阶段做题、考试之用，更重要的是之后用于预测或破解关系人类生存的大事．所以本文一开始就添加一段“微积分何用”，凸显学习的目的．接下来转入主题，微积分如何像算术或魔术一样，一步一步把困难变走．具有高中数学程度的读者只要用心都能理解，并进一步引导他们到近代微积分．作者简介林群中国科学院院士发展中世界科学院院士中国科学院数学与系统科学研究院研究员，主要从事计算数学研究．曾获全国科学大会奖、中科院自然科学奖一等奖、何梁何利科技进步奖，B．博尔扎诺数学科学成就金奖．热爱科普和教育事业，著有《画中漫游微积分》、《微分方程与三角测量》、《微积分快餐》等书，并任全国大学生数学竞赛委员会主任、北京市数学建模竞赛委员会主任．微积分魔术封面图：变走飞机算术，或魔术，拿来与微积分对照：算术里有一招，2+9=9+2，一步便能改变难度甚或把困难变走，像不像变魔术！微积分也有这么一招…作者林群*（linq@lsec．cc．ac．cn）*中国科学院院士，发展中世界科学院院士，中国科学院数学与系统科学研究院研究员．主要从事计算数学研究．曾获全国科学大会奖、中科院自然科学奖一等奖、何梁何利科技进步奖，B．博尔扎诺数学科学成就金奖．热爱科普和教育事业，著有《画中漫游微积分》、《微分方程与三角测量》、《微积分快餐》等书，并任全国大学生数学竞赛委员会主任．引论摘要算术拿来与微积分对照：算术里有一招，2+9=9+2，一步便能改变难度甚或把困难变走，像不像变魔术！微积分也有这么一招…．微积分何用微积分躲不开、绕不过，高中学它为了快速解题、有利减负，何况大学理工科更要对付难题（如图0-4）．但文史类就不要学吗？请看托尔斯泰本人对《战争与和平》的解读，图0-1 摘自《战争与和平》：只有采取无限小的观察单位——历史的微分，并运用积分的方法得到这些无限小的总和，我们才能得到问题的答案——历史的规律．正是这种微积分，纠正了人类由于只观察个别单位所不能不犯下的和无法避免的错误最后一句凸显了微积分对人类何用．还有一些故事：为什么柏林墙会在1989.11.9倒塌？为什么苏联在1992年1月瓦解？为什么股市在1929和1987年的10月崩溃？是什么导致9•11的恐怖袭击？图0-2 不知情微积分会帮我们得到答案（或知情）（见[36]的报告）．回到更近一些国计民生．买菜只用初等算术，但存款利息怎么算？见下图：图0-3 复利或利滚利，底数每分秒在变化，要用微积分人口预测的难题能不能快速解出？见下图：图0-4 2000年大陆人口普查，挨家挨户总动员，查了一年多，得12.66亿，又慢又费；若用微积分，只要一个大学生花5分钟，得13.45亿，又快又省，相差8000万（6.4%）可解释为人口流动和少报造成．此例凸显了微积分的效率还有天气预报、地震预报更难，图0-5 2011年6月日本宣布滨冈核电地带在30年内发生8级地震的概率高达87% 该核电因此被叫停，从而可能挽救多少人但人命关天：像2011年3月日本地震引发核泄漏，全世界为之买单，中国的菠菜也测到污染．图0-6 排队买盐（不止中国）简言之从人间、天上直到地下，许多事都会用到微积分．这些事难道不会影响到你的行为、感觉或感情，甚或生存？尽管你不必亲自写小说，算利息或作预报，这些都有专家做，但它们怎么来的?为什么是这样？暗藏什么玄机？难道你不想享有更多的知情权（或知识权）吗？图0-7 知情权这是生存权的一部分，若你有这意识，生存不光吃喝玩乐，那就应该学一点微积分．微积分与算术对照计算买菜之类日常只需要初等算术，有加减乘除表：图0-8 九九歌但是预报地震之类人命关天之事需要一种全新的算术，叫微积分，专来计算函数的导数与积分，有导数与积分表图0-9 微积分两块门牌（简称两张表，见本文第一篇末），其功能就像加减乘除表一样，高中学生不可不知（知其然且知其所以然）．这就是微积分中压倒一切的重头戏，破解微积分先破解两张表．上天偏袒，最重要的东西反而容易：这两张表的真相被缩小到两条代数式（书中式（1-14）（1-15））上，完全的证明或推导又缩小到几步高中数学（甚或几个裸例上）没有更多概念或定理，复杂度猛降甚或变走，高中学生也能明白（知其所以然），微积分高中化了，这是当务之急．图0-10 梦想成真：高中微积分但凭什么有这样大的本领，能把传统的论证从数百页缩小到几页上？秘密何在？幼儿在计算2+9时由2出发用手掰9下才算出来，一旦变到9+2时由9出发只要掰2下，难度降低了，甚或把困难变走了．图0-11 变个角度难度下降初等算术如此，对比高等的微积分，也有同理：一旦变个角度，偶然的火花，图0-12 思想的火花能把计算导数/积分的困难（小除数/无穷次相加）变走（见本文第一篇），一下改变形势打破僵局，所以也被比作变魔术：图0-13 变走飞机我们把上述工作方法总结为直接法：概念定理少、证明推导短，抄近路速战速决（图0-14右）几页让人知情．反之，盛行的系统法：先要讲极限、连续性、实数等，概念定理多、证明推导长，数百页，迂回周折（图0-14左）捉不住要领，让人难以知情．图0-14 系统法(盘山公路迂回战) 和直接法(抄近路速战速决) 这样，几页取代了数百页！我们及早地、简单地破获了两张表，让人及时知情（知其所以然）．这是最原始的资本，以后的微积分便从此展开，不断地使用和发酵，图0-15 发酵所以有了这两张表，虽不说一劳永逸，也是一通百通、一本万利！有人想多学（如考研）．那么，接下来就将前面两张表（或两条代数式）普遍化（由初等函数扩充到一切可能的函数），同时又推到顶级（泰勒展开）．这些作业只是发酵，只有量变并无难度．上面两张表及泰勒展开，堪称微积分的三次战役，上演着“三国演义”．到此，无需大装备，小米加步枪，高中学生也能参战，图0-16 步兵属于第一遍微积分．接下来，第二遍微积分，最大的战役或主战场，向“微分方程”世界进军．微分方程是牛顿以来无数科学家用来主宰世界的模型，图0-17 运动服从微分方程也是高中和大学的分水岭，属于更难的算术，高中数学已不够用，需要大装备，除了大学专业中高深的概念定理和更长的证明推导，还得求助于计算机．图0-18 多兵种这时只能走大道（如图0-14左），尚无小路可攀，所以到了该出手时才出手！但此文未能谈及这些，需读前书《微积分减肥快跑》第六章．继续长征，图0-19 长征扩张到多元微积分，第三遍微积分，最难部分．所以，微积分要分几遍学．但此文未能谈及这些，需读前书《微积分快餐》第四章．自然要问，有没有比第一遍更原始的微积分呢？也许依靠看图识字（或要看不要想），把微积分的最初原因缩小到平面三角上：有三部曲，初中—高中—大学，图0-20 微积分三部曲它们来自《光明日报》（1997年6月27日）与《人民日报》（1997年8月6日）[5]上的漫画图0-21《人民日报》：从求树高（平面三角）到求山高（微积分）偶然的火花以及普及读物《画中漫游微积分》[7]（广西师大出版社，1999年1月）给出图0-20中基本公式的两步证明（回答为什么各段误差相加不会放大但会变小，即本文1.2节）．这张画颇受欢迎，先后被用于几所大学及中学的教学[8,10,13,15,17,21,22,23,25,27,32,33]：图0-22 初中课本[15]通过斜坡求高渗透微积分的基本思想图0-23 高中课本[23]封面上曲线求高图此文为重写，分离出第一遍（中学）第二遍和第三遍微积分．前书《微积分快餐》、《微积分减肥快跑》以及现在上网的材料，跟张景中《直来直去的微积分》异曲同工，都可作为姊妹篇．可惜呀微积分还不能变成讲故事（或许永远是梦想），怎能引人入胜？相反它有公式和概念，使人走神或催眠．图0-24 听故事聚精会神听数学看报打瞌睡所以，为拉回或唤醒听众，本文时时插入画片，甚至不惜采用极端的言辞（微积分不取极限哪来简明的结论）．第１篇 微积分两张表微积分压倒一切的两件事，求导数和求积分． 当今盛行的课本要改变：求导数退出极限过程改用高中代数式；求积分退出函数的面积改求导数的面积．就像左图，变个角度，复杂度猛降！理想的世界里，万物终于简单，动态过程终于静态结局（也称极限状态）．例如，割线（OS ）变动的终结（极限状态）是切线(OT)，切线是割线的简化，代表了这个过程．图1-1 割线与切线又如图0-20：无穷次相加的终结（极限状态）是积分值，积分值是无穷次相加的简化，代表了这个过程，详见1.1-1.2节．但先睹为快，所以先做一番粗描．函数从来都不是一成不变的，要度量它在一点处的变化，必须考虑与之相邻的点，于是想到利用差商()()f x h f x h+-． （1-1）但注意到，上式随着h 的变化会产生多个数，太复杂了．我们需要找到一个数来“代表”它们．既然问题出在h 上，就要想方设法将其消去．自然的想法令0h =，但是遇到了小除数的问题，0，陷入了死胡同．那么到底什么是我们要找的那个“代表数”呢？这个小除数问题，能否解决或避开？当今盛行的课本是通过一个所谓“取极限”的过程找到一个所谓的“导数”来解决的．但要深究极限概念的哲学意义，其纷繁冗杂人所共知，我们要做的只是给中学生一个直接法，或者说一个更初等的标准来避开小除数，选出那个“代表”．记那个代表为()A x ，希望有近似式()()()f x h f x A x h+-≈ （1-2）能把小除数变走（像变魔术），但留有一个尾巴，误差=()()()f x h f x A x h+--．（1-3） 我们为中学生树立的标准就是要求这误差跟h 成比例：|||)()()(|h C x A h x f h x f ≤--+．（1-4） 于是当0h ≈，误差0≈略去不计，真有式（1-2）成立． 但这个)(x A 和那个“导数”之间有什么联系？事实上，我们发现对于初等函数它们结果是一致的（详见1.1节），但是更快更直接．因此我们仍记成)('x f ，即()()()f x h f x f x C h h+-'-≤． （1-5）经上面分析，我们有了度量函数在一点处变化的办法，那么函数在一个线段[,]a b 上又怎样呢？自然想法就是取一批点( 1...)k x k n =，然后将函数f 在这些点上的变化，'()k f x ，求平均的k nk k h x f ∑=1)('．但是取哪些点，取多少点呢？我们面临着和刚才同样的问题：当今课本仍用极限（无穷次求和），而我们就是要避开极限，选出那个＂代表元＂I ：1'()nkkk f x hI =≈∑，把无穷次求和的困难变走了．但仍按上面树立的标准，要求误差跟h 成比例：Ch h x f I nk k k ≤-∑=|)('|1， k h h max =．另一方面，函数)(x f 在区间[,]a b 上总变化已知为)()(a f b f -，但二者之间有什么联系？)()(a f b f I -=？事实上，我们发现确有|()()()|f b f a f x h Ch '--≤∑， 若f 满足式(1-5)， （1-6） 所以)()(a f b f -确实可以做代表元，符合我们的标准．此即基本公式．简言之，我们避开极限，为中学生树立标准，跟大学课本叫板，说不！ 详见下面两节分解．1.1 导数：微积分之首微积分是近代数学之首，求导数又是微积分之首，擒贼先擒首．图1-2 打虎先打首那么什么是导数呢？过去一直将函数()f x 在定点x 的导数()f x '（即切线的斜率）定义为差商（即割线的斜率），式(1-1)()()f x h f x h +-， 当0h →的“极限”．但有小除数0h ≈，怎么算？这是长期以来高中学生学习的难点或困惑,图1-3?0= 过去只能不明不白地算，如下例．例1 02200011lim(1)11lim lim lim()h h h h x h x x h x xh x xh →→→→-'--⎛⎫+=== ⎪++⎝⎭ 2220111lim lim()lim 0h h h x xh x x h x →→→---===+++=21x -． 例2000lim1lim lim()h h h h x h x x h x h x x h x →→→→+'===++++lim lim lim()lim lim h h h h h x h x x h x x h x→→→→→===++++++2x x x==+前面0h ≠看作常数,后面又令0h ≈略去不计，中间各种极限运算，不明不白、百思难解！更突出的，此法遇到例3 三角函数如000sin sin 0sin (sin )'|lim limx h h h h x h h=→→-==00limsin sin(lim )0?lim lim 0h h h h h h h h →→→→==== 算不下去，成了死棋．当今高中教师只让学生死背三角函数的导数公式，知其然不知其所以然．但他们应该争取知情权吧？那他们应该学好微分学．回头是岸．图1-4 放下屠刀（εδ-）退出极限过程，回到差商：由于做题或考试，碰到的()f x 都是显式函数，那就把式（1-1）写出来，看看是什么样？例4 多项式如2)(x x f =，则式（1-1）在定点0x 经约简22000()2x h x x h h+-=+． （1-7） 左式有小除数0h ≈，但右式不再有小除数了：将0h =代入已有意义，并有22000()2x h x x h+-≈，这里误差为h 符合我们的标准（1-4）．图1-5=常数上例虽过简单，但凸显求导数的要领：式（1-7）从左到右，把小除数变走了，像不像2+9=9+2把困难变走了？也像不像变魔术（见图0-13）？下面几例想法还是一样，只是技术稍复杂．例5根式如()0)f x x =>，则式（1-1）在定点0x 经约简=．从左到右，把小除数变走了：将0h =代入已有意义，你可以大胆设想式（1-2），或希望有≈当0h ≈， （1-8） 但有=误差 是否符合我们的标准（1-4）？好在分子露出了h ．以后还会看到,分母中的h 没有影响，误差只跟h 成比例．于是当0h ≈，误差0≈略去不计，真有式（1-8）或≈成立，右边就定义为导数，代表了x 在0x 的变化．例6 有理多项式如1()(0)f x x x=≠，则式（1-1）在定点0x 经约简0000111()x h x h x x h -+-=+． 从左到右，把小除数变走了：将0h =代入已有意义，你可以大胆设想式（1-2），或希望有200011()x x h x --≈+ 当0h ≈， （1-9）但有误差=200011()x x h x ---+=200()hx x h +是否符合我们的标准（1-4）？好在分子露出h ．以后还会看到,分母中的h 没有影响, 误差只跟h 成比例．于是当0h ≈，误差0≈略去不计，真有式（1-9）或0020111x h x h x -+-≈ 成立，右边就定义为导数，代表了x1在0x 的变化． 总之，误差的共同点：分子露出h ，虽然分母也含h ，但它可以干掉，终被分子的||h 夹住：||||C h ≤误差， （1-10） 符合我们的标准（1-４）．重要的是，其中常数C 与x 无关，不难找!于是当0h ≈，误差0≈略去不计，差商便简化为常数主项，称导数．所以，导数是差商的简化！上面所说分母的h 怎么干掉？C 怎么找？初读略去，有空再看下面． 设例5(,)x a ∈+∞（0a >）求根号内00x h a h +≥-≥（只要||h a ≤）， 于是分母中这一项可拿掉，所以误差终被||h 夹住3212h a ≤ 即3212C a=与0x 及h 无关，放心吧！．设例6中1x定义在(,)(,)x a a ∈-∞-⋃+∞（0a >），误差分母中 02a x h a h +≥-≥（只要||2ah ≤）可换掉，所以误差终被||h 夹住23002()h h x x h a≤+即32C a =与0x 及h 无关，放心吧！ 注 在前一例中因为分母中出现的是加法，所以和h 有关的项可以直接放缩到0；而本例中分母中是乘法，必须放缩到正常数。
高等数学中的群论及其应用
高等数学中的群论及其应用近年来，数学在日益发展的同时，群论已经成为高等数学领域中最重要的分支之一。
群论近年来开始引起了越来越多人的关注，并成为数学界中的研究热点之一。
本文旨在介绍群论概念及其应用领域，并探讨其在高等数学中的重要性。
一、群论的概念及其基本定义1. 概述群论，是一种代数学的分支，它是由19世纪末20世纪初的法国数学家李阿德（E. Galois）所创立的。
群论是研究群的性质、群的分类、群之间的关系等相关问题的一种数学分支。
2. 基本定义群是一个在给定的一组定义下，满足四个基本条件的数学对象。
这四个条件分别为：(1) 封闭性：任何两个元素之间进行特定的运算仍然得到一个在该集合内的元素；(2) 结合律性：任何三个元素之间进行特定的运算，无论按哪种顺序执行，其结果均相同；(3) 单位元素性：存在一个元素，它在进行特定运算时，任何元素与其相乘都不会改变原来的结构，并使得元素维持其不变性；(4) 可逆性：集合中的所有元素都存在一个逆元素，使得元素乘以它的逆元素得到单位元素。
在群论中，还有一些特殊的群，如半群、环、矢量空间等，它们具有不同的性质，但群是最具代表性的一种。
二、群论在数学领域的应用1. 几何学有人认为群论在几何学中是最为常见和重要的一种应用。
在几何学中，群论可以用来描述各种变换的对称性。
同时，群论也涵盖了几何方面的多个概念，例如：对称群、柯西定理、拉格朗日定理等。
2. 数论在数论中，群论也有着广泛的应用，特别是在代数数论中。
代数数论是指关于数论中的代数性质的研究，针对一些不同的数域来比较其代数性质，如复数域、有限域、Galois域等，其中，群论的概念是进行这类研究的重要工具之一。
3. 物理学群论在物理学领域中也有着广泛的应用，特别是在量子力学中。
量子力学是其中比较新颖而重要的物理学分支之一，而群论在许多与对称性相关的问题上被使用。
三、群论在高等数学中的重要性群论在高等数学领域中的重要性不言而喻。
group theory in a nutshell
group theory in a nutshell群论是一种基本的数学分支，研究的对象是具有某些代数结构的集合。
群论作为数学的一个重要分支，不仅有着自身独有的美妙之处，同时也具有广泛的应用范围，可以用来研究许多数学和现实世界中的问题。
群（group）在日常生活中可以被理解为一些事物的集合，这些事物之间具有某种特定的关系。
具体来说，群被定义为一个集合，其中包含了一些元素，以及一些操作，这些操作满足一些基本条件，比如封闭性、结合律、单位元素以及逆元素等等。
通常，我们把这些群的成员称为元素，把这些操作称为群的乘法。
群最重要的性质是它们的封闭性。
这意味着群内进行的任何操作都会产生还在群内的结果。
在这种意义下，群的封闭性可以被认为是一种代数上“自给自足”的性质。
令G=(S,*)是一个集合，如果满足以下的四个条件，则称G为一个群：1. G中的元素满足封闭性。
即，如果a、b∈G，那么a*b∈G。
2. *运算满足结合律。
即，对于任意a、b、c∈G，都有(a*b)*c=a*(b*c)。
3. G中存在一个元素e，称为单位元素，使得e*a=a*e=a，对于所有的a∈G。
4. G中的每一个元素都有一个逆元素。
即，对于每个a∈G，都存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。
除此之外，群还有许多其他的性质，比如交换性、子群、左/右陪集等等。
另一个重要的概念是同态。
群之间的同态是一种保留群中操作的关系。
具体来说，一个同态是将一个群映射到另一个群，同时保留这两个群之间的群运算。
在这种意义上，同态是一种“保持结构的映射”。
群论具有广泛的应用，比如在数学中可以用来研究置换群、环、域等代数结构，同时还有重要的拓扑学和物理学应用。
在物理学中，群论被广泛应用于表示论和非线性动力学等领域。
例如，对称性是许多物理学理论的基础，而对称群通常代表着这些对称性。
这种对称变换可以通过群论来描述和研究。
此外，群论也被广泛用于密码学中，特别是在研究离散对数问题和椭圆曲线密码学中应用较广。
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数学科学学会群聊天2010年10月15日.txt爱空空情空空，自己流浪在街中；人空空钱空空，单身苦命在打工；事空空业空空，想来想去就发疯；碗空空盆空空，生活所迫不轻松。
总之，四大皆空！数学科学学会群聊天2010年10月15日.txt喜欢我这是革命需要，知道不？！你不会叠衣服一边呆着去！以后我来叠！我一定要给你幸福，谁也别想拦着。
教师 (1106648949)2010-10-15 08:54:05
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:53:36 好无聊好无聊好无聊
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:53:40 无聊死了屋里死了。
X-d (635118306)2010-10-15 17:53:56
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:54:11 。
X-d (635118306)2010-10-15 17:54:44 现在还无聊么
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:54:45 老是做数学题
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:54:48 老是做数学题
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:54:51 做到后来
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:55:01 都不懂的自己发现新灵感了
X-d (635118306)2010-10-15 17:55:02 数学哪方面的
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:55:10 没前途
X-d (635118306)2010-10-15 17:55:13 。
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:55:39 应该不停去听课不停去思考
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:55:43 但是不应该不停做题目
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:55:49 做题目就留在考试前再做
X-d (635118306)2010-10-15 17:55:56 回答我问题
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:56:11 我在学那些数学？
X-d (635118306)2010-10-15 17:56:26 哪个方向
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:56:26 度量啊群论环论统计
GOODWILL--- (727464292)2010-10-15 17:56:38
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:56:38 我才本科你说我还有分方向嘛
X-d (635118306)2010-10-15 17:56:45 代数方面
GOODWILL--- (727464292)2010-10-15 17:56:59
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:57:04 有啊
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:57:08 群伦环论
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:59:23 哦
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:59:34 就是说一个群作用于一个集合的时候♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 17:59:54 假设a是集合的一个元素 g是群的元素♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:00:06 a的轨道就是所有的 ga 组成的集合X-d (635118306)2010-10-15 18:00:13 哦
X-d (635118306)2010-10-15 18:01:16 本质上就是对这个集合进行变换么
X-d (635118306)2010-10-15 18:02:01 群对集合的作用实际上就是对这个集合
X-d (635118306)2010-10-15 18:02:19 群作用的本质是什么
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:02:28 本质是 permutation
X-d (635118306)2010-10-15 18:03:19 轨道就是所有将X置换成的元素集合么
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:04:01 对
X-d (635118306)2010-10-15 18:04:08 谢谢哥们呀
X-d (635118306)2010-10-15 18:04:12 你很牛呀
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:04:13 不谢
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:04:18 哈哈。
没有
X-d (635118306)2010-10-15 18:04:28 你在读硕士？
X-d (635118306)2010-10-15 18:06:41 什么叫稳定花子
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:08:38 是G的子集S x的stablizer就是所有令到gx=x的g
X-d (635118306)2010-10-15 18:08:54 哦
X-d (635118306)2010-10-15 18:09:07 稳定花子和轨道可有什么关系呀
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:11:59 G的元素的总数就是轨道的总数*稳定子的总数如果没有记错的话
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:12:03 这个我要回忆一下
X-d (635118306)2010-10-15 18:12:19 不对把
X-d (635118306)2010-10-15 18:13:10 orbit(x）=【g:s(x)]
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:13:46 就是稳定花子的数目就是 G/S的商群
X-d (635118306)2010-10-15 18:13:58 会证明么哥们
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:14:02 呵呵我记反了呵呵
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:14:29 这个不难
X-d (635118306)2010-10-15 18:14:47 可以把大意说下么
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:14:59 因为每个商群都可以找到一个代表做伪congruence class
X-d (635118306)2010-10-15 18:15:18 哦
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:15:57 因为我们知道congruence class的代表作用于x上面的结果就是和congruence class其他元素作用域x上面的结果一样的
X-d (635118306)2010-10-15 18:16:11
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:16:17 不同的congruence class作用于x上面的结果不一样
X-d (635118306)2010-10-15 18:16:27 不错
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:16:36 也就是congruence class的数目就是orbit 了
X-d (635118306)2010-10-15 18:16:50 嗯有道理
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:17:08 呵呵，我对理论很感兴趣的看书这些都想好几遍呵呵
X-d (635118306)2010-10-15 18:17:26 真是牛人
X-d (635118306)2010-10-15 18:17:35 觉得代数还挺好玩
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:17:53 嗯同意代数算是那种很cunning的方向
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:18:03 有点脑经急转弯的感觉
♂june﹏南 (526232059)2010-10-15 18:18:23 有时候反应不过来就想好久好久一旦想通了就回了。