第2章-Poisson过程

解
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2.2.2 到达时刻的条件分布 本节讨论在给定N(t)=n 的条件下， 的条件分布及其有关性质。 定理2.2.4 设 {N (t ), t 0} 是泊松过程，则对
0 s t 有
s P (T1 s N (t ) 1) t
这个定理说明，由于泊松过程具有平稳独立增量性，从而在 已知[0,t] 上有1个事件发生的条件下,事件发生的时间 τ1应该服从[0，t]上的均匀分布。对此我们自然要问： (1)这个性质是否可推广到的 N (t ) n, n 1 情形？ (2)这个性质是否是泊松过程特有的？换言之，其逆命题是 否成立？ 14
0 0 k inf t : t k 1 , N (t ) k , k 1
先讨论到达时间间隔 的Tk分布.
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定理2.2.1 (p62)到达时间间隔序列 Tk k k 1, k 1, 2, 相互独立同分布，且服从参数为 λ的指数分布. 证明
定理2.2.1 提供了Poisson过程的参数估计方法. 给定T, 若在[0,T]上观察到Poisson过程{N(t),t0}的一 段样本轨道:τ1,…, τn的取值: t1<t2<,…,<tn T,
n 0
C
n 0

m nm
( t ) e p (1 p) (n m)!
nm m n
t
(n m)! m (t )nm et p (1 p)n (n m)! n 0 n !m!
e
t
t
m!
m
m
p
m

n 0

(1 p)t
参数λ的极大似然估计: 由于, τ1 , τ2- τ1,…, τ n- τn-1独立同指数分布, 于是似 然函数为 n ti 1 ti Lt1 ,...tn ne i 0 netn n n 令 dL 0 得λ的极大似然估计为: d tn T
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例 2.1.1 设N(t)表示[0,t]时段内事件A的发生次数,且 {N(t),t0} 形成强度为λ的Poisson过程. 如果每次事件 A发生时以概率p能够被记录下来, 并以M(t)表示到t时 刻记录下来的事件总数, 试证明{M(t),t0} 形成强度为 λp 的Poisson流. 解：对照Poisson过程的定义2.1.2
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要检验{N(t),t0}是否为Poisson过程， 1）t>0，检验在N(t)=1 下,τ1=T1 是否服从U(0,t) ；
2）给定T>0 ，检验在N(t)=n 下， 1 , 2 ,, n 的条件分 布是否与U(0,t) 上n个独立均匀分布的顺序统计量的分 布相同. (详见教材p73-74)
n!
n

e
t
t
m!
p
m
e
(1 p ) t

e
pt
pt
m!
m
#
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2.2 泊松过程的性质
2.2.1 到达时间间隔与到达时刻的分布 设{N(t),t0}为泊松过程，N(t)表示在[0,t]内事 件发生的次数，令 0 0 ， k 表示第k个事件发生的 时刻; Tk k k 1表示第k-1个事件与第k个事件发生 的时间间隔，即
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定理2.2.6--2.2.7 提供了对泊松过程进行计算机模拟和 检验的理论基础与方法： 1）选定t>0 ，产生服从参数为λt 的泊松分布的随机 数n ； 2）假定n>0，独立的产生 n个在服从[0，t]上的均匀 分布的随机数 ，将这n 个数按从小到大的顺序排列 得 0 1 2 ... n t ； 3）我们可以用 τi作为过程的第 个点发生时间而得到 过程在[0,t] 上的一条轨道.
[
2 12 (2n) (2n)
2 n
2
,
2 n
2
]
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定理2.2.3 若计数过程{N(t),t0}的到达时间间隔序列
{Tn , n 1} 是 相 互 独 立 同 参 数 为 λ 的 指 数 分 布 ， 则 证明 {N(t),t0}是参数为λ的泊松过程.
定理2.2.3 提供了对泊松过程进行计算机模拟及其统 计检验的理论基础与方法，只需产生n个同指数分布的 随机数, 将其作为Ti, i=1,… 即可得到Poisson过程的一 条样本轨道.
2
2.1 Poission过程的定义
背景:考虑在时间间隔(0,t]中某保险公司收到的某 类保险的理赔次数N(t),它是一个计数过程.此类 过程有如下特点: (1)零初值性：N（0）=0； (2)独立增量性：在不同的时间区段内的理赔次数彼 此独立； (3)平稳增量性:在同样长的时间区段内理赔次数的 概率规律是一样的; (4)普通性:在非常短的时间区段Δt内的理赔次数几 乎不可能超过1次,且发生1次理赔的概率近似与 Δt成正比.
随机数学
第二章 泊松过程与更新过程 教师: 陈 萍 prob123@
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第二章 Poission过程及更新过程
2.0 计数过程 定义 称一个随机过程 {N (t ), t 0} 是一个计数过 程(point process),若N(t) 满足: 1) N(t)取非负整数值； 2）若s<t, 则 N(s)≤N(t)， 3）若s<t,则 N(t)-N(s)等于区间(s,t] 中发 生的事件的个数.
定理2.2.6 设{N(t), t≥0}为计数过程，Tn为第n个事件 与第n-1个事件的时间间隔， {Tn , n 1} 独立同分布且 分布函数为F(x)，若F(0)=0，且对 0 s t ,都有
P(1 s
s N (t ) 1) , t 0 t
„„证明参见文献[2],P49.
特别,若{Yi, 1in}在[0,t]上独立同均匀分布,则其顺 序统计量 (Y1 , Y2 ...,Yn )的联合密度函数为
n! n , 0 t1 t2 tn t , f ( y1, y2 ,, yn ) t 0, 其它
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对问题(2),即逆命题,有如下定理:
g n (t ) 2
1
2n 2
2 (2n) 的密度相同, 即 2 n ~ 2 (2n) 这与
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2n ! 2
t
2n 2
e

t 2
t0
取置信度为1 ,则
P

2 1
Hale Waihona Puke 2(2n) 2 n (2n) 1
2 2

故置信度为1 的置信区间为
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定理2.2.2 到达时间 n 的概率密度函数为 (t )n1 t 证明 f n (t ) e 1(t 0). n, (n 1)! 定理2.2.2 提供了Poisson过程的参数λ的区间估计法: 根据定理2.2.2, 2 n 的概率密度函数为
其中 o(t )为 t 的高阶无穷小。λ又称 为Poission过 程的强度系数 易见， Poission过程是一个Levy过程。
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定理2.1.1
若{N(t),t0}为Poission过程，则
( t ) k t P( N ( s t ) N ( s ) k ) e , k N k! 此即 N (s t ) N (s) ~ P(t ) 证明…
为回答(1),需要如下关于顺序统计量的性质: 引理 设Y1,…,Yn是独立同分布,非负的随机变量, 密度
函数为f(y), 记 Y1 Y2 ... Yn 为相应的顺序统计量,
则 (Y1 , Y2 ...,Yn )的联合密度函数为:
n n! f ( yi ), 0 y1 y2 yn , f ( y1, y2 ,, yn ) i 1 0, 其它
利用定理2.1.1 ,可得到Poission过程的等价定义:即
定义2.1.2 计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) λ 的Poission过程，如果 1）N(0)=0 ， 2）具有独立增量性， 3）s, t 0, N (s t ) N (s) ~ P(t )
s, t 0,
关于到达时刻还有下面重要的定理。
定理2.2.8 设{N(t), t≥0}是参数为λ 的泊松过程， k k≥1为其到达时刻，则对任意的[0，∞]上的可积 函数f，有
E f ( k ) f (t )dt. 0 k 1
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例2.2.2 设一系统在[0,t]内承受的冲击数{N(t),t0}是 参数为λ的泊松过程，第i 次受冲击的损失为Di. 设 {Di, i1}独立同分布, 且与{N(t),t0}独立, 且损失随 时间按负指数衰减, 即t=0时损失为D, 在t时损失 为 Det , 0, 设损失是可加的,那么在t时刻的损 失之和为
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定义2.1.1计数过程{N(t),t0}称为具有参数(或强度) ( 0) 的Poission过程(或Poission 流)，如果 1）N(0)=0 ; 2）具有独立增量性; 3）满足增量平稳性; 4）对于任意t>0和充分小的 t 0，有
P[ N (t t ) N (t ) 1] t o(t ), P[ N (t t ) N (t ) 2] o(t )
件发生的时刻. 令 W (t ) N (t )1 t , V (t ) t ,则易知 W (t ),V (t ), N (t ) N (t ) ， N (t )1 的关系如下图所示：
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W(t)与V(t)的具体含义：设零件在t=0时开始工作，若 它失效，立即更换（设更换所需的时间为零）。一个 新零件开始工作，记 n 为第n次更换时刻，则 Tn n n1 表示第n个零件的工作寿命，于是 W (t ) 表示在时刻t正 在工作的零件的剩余寿命或剩余时间；V(t)表示正在 工作的零件已经工作的时间，称为年龄。显然，研究 W(t),V(t)的特性及它们的关系很有意义。