2020年高考数学之冲破压轴题讲与练 专题11 圆锥曲线的几何性质与应用(解析版)

第三章 解析几何专题11 圆锥曲线的几何性质与应用【压轴综述】纵观近几年的高考命题，围绕圆锥曲线的几何性质与应用的高考压轴题，逐渐呈现“多样化”，即离心率问题、渐近线问题、圆锥曲线中的三角形问题、求其它曲线的方程问题、与平面向量相结合问题等. 在上述各类压轴题型中，圆锥曲线的离心率的求法是一类常见题型，也是历年高考考查的热点，解题规律更易把握.求解圆锥曲线的离心率的值或取值范围，其关键是建立恰当的等量或不等量关系，以过渡到含有离心率e 的等式或不等式使问题获解．1、求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数,,a b c 的比例关系（只需找出其中两个参数的关系即可），方法通常有两个方向：（1）利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a 有关，另一条边为焦距.从而可求解（2）利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用,,a b c 进行表示，再利用条件列出等式求解2、离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1）题目中某点的横坐标（或纵坐标）是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕在“曲线上存在一点”，则可考虑该点坐标用,,a b c 表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2）若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可 （3）通过一些不等关系得到关于,,a b c 的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求：椭圆：()0,1e ∈，双曲线：()1,+e ∈∞ 本专题通过例题说明各类问题解答规律与方法.【压轴典例】例1. (2016·全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34【答案】A【解析】本题以椭圆内点线的交错关系为条件，而结论是椭圆的离心率，思考目标自然是要得到a ，b ，c 满足的等量关系，那么方向不外乎两个：坐标关系或几何关系，抓住条件“直线BM 经过OE 的中点”作为突破口适当转化，获得所需等式． 详解：法一：数形结合法如图，设直线BM 与y 轴的交点为N ，且点N 的坐标为(0，m )，根据题意，点N 是OE 的中点，则E (0,2m )，从而直线AE 的方程为x －a ＋y2m ＝1，因此点M 的坐标为－c ，2m (a －c )a.又△OBN ∽△FBM ， 所以|FM ||ON |＝|FB ||OB |，即2m (a －c )a m＝a ＋c a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法二：交点法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y 2m ＝1，直线BN 的方程为x a ＋ym ＝1.又因为直线AE 与直线BN 交于点M ，且PF ⊥x 轴，可设M (－c ，n )．则⎩⎪⎨⎪⎧－c －a ＋n2m ＝1，－c a ＋nm ＝1，消去n ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.法三：三点共线法同法一得直线AE 的方程为x －a ＋y2m ＝1，由题意可知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c a ，N (0，m )，B (a,0)三点共线，则2m ⎝⎛⎭⎪⎫1－c a －m－c＝m－a ，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法四：方程法设M (－c ，m )，则直线AM 的方程为y ＝ma －c(x ＋a )，所以E ⎝⎛⎭⎪⎫0，ma a －c .直线BM 的方程为y ＝m－c －a(x －a )，与y 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫0，ma a ＋c ，由题意知，2ma a ＋c ＝ma a －c ，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13. 法五：几何法在△AOE 中，MF ∥OE ，所以MF OE ＝a －ca .在△BFM 中，ON ∥MF ，所以OE2MF ＝a a ＋c ，即OE MF ＝2aa ＋c .所以MF OE ·OE MF ＝a －c a ·2a a ＋c ＝1，即a ＋c ＝2(a －c )，解得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率为13.例2.（2019·全国高考真题（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =u u u r u u u r ，120F B F B ⋅=u u ur u u u r ，则C 的离心率为____________． 【答案】2. 【解析】分析:通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF ∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603ba==可求离心率. 详解:如图，由1,F A AB =u u u r u u u r得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =u u u r u u u u rg ，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==221()1(3)2c be a a==+=+=． 例3. （2019·浙江高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.【答案】15【解析】分析:结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.详解:方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,22P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,22P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==例4.（2019·全国高考真题（理））设12F F ，为椭圆22:+13620x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 【答案】(15 【解析】分析:根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标. 详解:由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△， 又12220148241544152MF F S y =⨯-=∴=△015y ， 2201513620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去）， M \的坐标为(15．例5.（2019·全国高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A 【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，故选A ．例6.（2018全国卷I ））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若V OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B 【解析】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得333),(,22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值. 详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为3±(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-，分别与两条渐近线3y x =和3y x =-联立， 求得33(3,3),(,)2M N -， 所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B. 例7.（2018浙江卷）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP uu u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5 【解析】分析:先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法.详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+=2222222243(23),()4424x x m y m y ∴+-=∴+-=，与22224x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值. 例8. （2019·北京卷）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A.① B.②C.①②D.①②③【答案】C 【解析】分析：将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 详解：由得,,,所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),(-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确. 由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确.如图所示,易知, 四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.【压轴训练】1．（2019·天津南开中学高考模拟（理））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，焦距为()20c c >，抛物线22y cx =准线交双曲线左支交于,A B 两点，且120AOB ∠=︒，其中O 为原点，则双曲线的离心率e 为（ ） A ．2 B ．12+C ．13+D ．15+【答案】C 【解析】设抛物线22y cx = 准线与横轴的交点为M ,∴M 的坐标为,02c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设A 在第二象限，由双曲线的对称性可知: °60MOA ∠=，3tan AM MOA AM c OM ∠=⇒=，∴A 的坐标为3(,)2c c -，焦距为2c ， ∴设22221,1a b c a c ==-=-，又ce c a==， 把A 的坐标代入双曲线方程中，得22422223()()22184042331c c e e e e a b --=⇒-+=⇒=+⇒=+， 故本题选C.2．（2019·山东高考模拟（文））如图，点F 是抛物线28y x =的焦点，点A ，B 分别在抛物线28y x =及圆22(2)16x y -+=的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则ABF ∆的周长的取值范围是（ ）A.(2,6)B.(6,8)C.(8,12)D.(10,14)【答案】C 【解析】抛物线的准线2l x =-：，焦点20F （，），由抛物线定义可得2A AF x =+，圆()22216x y -+=的圆心为20（，），半径为4， ∴FAB V 的周长()246A B A B AF AB BF x x x x =++=++-+=+， 由抛物线28y x =及圆()22216x y -+=可得交点的横坐标为2，∴26B x ∈（，），∴()6812B x +∈，，故选 C. 3．（2019·四川棠湖中学高三期末（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（ ）A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项.4．（2019·张家口市第四中学高二月考（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．（2019·天津市新华中学高考模拟（理））设12F F 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线与抛物线24y x =的准线围成三角形的面积为（ ）A ．34 B ．35 C ．43D ．53【答案】C 【解析】依题意|PF 2|＝|F 1F 2|，可知三角形PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF 1|＝2244c a -=4b根据双曲定义可知4b ﹣2c ＝2a ，整理得c ＝2b ﹣a ，代入c 2＝a 2+b 2整理得3b 2﹣4ab ＝0，求得43b a = ∴双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0， 渐近线与抛物线的准线1x =-的交点坐标为：41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，41,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 三角形 的面积为：1841233⨯⨯=. 故选：C .6．（2019·吉林高考模拟（理））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r ，则此双曲线的标准方程可能为（ ） A ．22143x y -= B ．22134x y -= C ．221169x y -= D ．221916x y -=【答案】D 【解析】由()21210F F F A F A +⋅=u u u u r u u u u r u u u r，可知1222F F F A c ==，又2AF 的斜率为247，所以易得217cos 25AF F ∠=-， 在12AF F ∆中，由余弦定理得1165AF c =，由双曲线的定义得16225c c a -=， 所以53c e a ==，则:3:4a b =， 所以此双曲线的标准方程可能为221916x y -=.故选D7．（2019·天津高考模拟（理））设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F ，2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，则221211e e +的值为（ ）A ．12B ．13C ．2D ．不确定【答案】C 【解析】设椭圆、双曲线的长轴长分别为122,2a a ，焦距为2c ，则：12112222PF PF a PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：112212PF a a PF a a ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，由勾股定理可得：()222122PF PF c +=，即：()()22212124a a a a c ++-=，整理可得：222122212112,2a a c e e +=∴+=. 故选：C .8.（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）63C.23D.13【答案】A 【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即22d a a b==+，整理可得223a b =，即()2223,a a c=-即2223ac =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率2633c e a ===， 故选A.9．（2019·天津高考模拟（理））己知点A 是抛物线212(0)=>︰y px p C 与双曲线222221(00)-=>>︰，x y a b C a b 的一条渐近线的交点，若点A 到抛物线1C 的准线的距离为p ，则双曲线的离心率为（ ） A 2B 3C 5D ．2【答案】C 【解析】设()00,A x y ，则02p x p += 00,222p px y p p ⇒==⋅=± 由双曲线方程可得渐近线方程为：by x a=±若A 为抛物线与b y x a =交点，则,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得2b a = 即：224b a = 22225c a b a ∴=+=5ce a∴==由对称性可知，A 为抛物线与by x a=-交点时，结论一致 本题正确选项：C10．（2019·天津高考模拟（理））已知12,F F 分别双曲线22233(0)x y a a -=>的左右焦点，是P 抛物线28y ax =与双曲线的一个交点，若1212PF PF += ，则抛物线的准线方程为（ ）A.4x =-B.3x =-C.2x =-D.1x =-【答案】C由题得双曲线的方程为222213x y a a-=，所以222234,2c a a a c a =+=∴=.所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得1221212,62PF PF PF a PF PF a⎧+=⎪∴=-⎨+=⎪⎩. 联立双曲线的方程和抛物线的方程得223830,(33ax ax a x x a --=∴=-=舍）或. 由抛物线的定义得6-a=3a-(-2a),所以a=1,所以抛物线的准线方程为x=-2，故选C.11．（2019·天津高考模拟（文））已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点为(c,0)F ，直线2a x c =与一条渐近线交于点P ，POF ∆的面积为2a (O 为原点），则抛物线22by x a=的准线方程为( ) A ．12y =B ．1x =C ．1x =-D ．2x =【答案】C 【解析】不妨取双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，与直线2a x c =联立可得：2a x c aby c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab P c c ⎛⎫⎪⎝⎭, 由题意可得2122POFab ab S c a c ⨯⨯==△，22,4b b a a∴>=， 抛物线方程为24y x =， 其准线方程为1x =-. 故选：C .12．（2018·全国卷II ）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 312PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为（ ） A ．23 B ．12C ．13D ．14【解析】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率. 详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为3得，222312tan ,sin cos 1313PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=，， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠, 所以22211313==4,π5431211sin()3221313c a c e a c PAF =∴==+-∠⋅-⋅，故选D. 13．（2019·天津高考模拟（理））以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是（ ）.A.B.C.D.【答案】B 【解析】不妨设点M 位于第一象限，由双曲线的性质可得， 由圆的弦长公式可得：，结合可得， 整理变形可得：，即，双曲线中，故.故选：B .14.（2019·广东佛山一中高二月考（文））在平面直角坐标系xoy 中，双曲线的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p => 交于,A B 两点，若AF +BF =4OF ，则该双曲线的渐近线方程为【答案】22y x =± 【解析】||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+= ， 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⇒⎨⎪=⎩，所以2222A B pb y y p a b a +==⇒=⇒渐近线方程为2y x =. 15．（2019·广东高考模拟（理））已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为,F O 为坐标原点，点,M N 为抛物线准线上相异的两点，且,M N 两点的纵坐标之积为-4，直线OM ，ON 分别交抛物线于A ，B 两点，若A ，B ，F 三点共线，则p =_______. 【答案】2 【解析】设m 2p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，n 2p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 则直线OM 的方程为：x 2p y m =-，代入抛物线方程可得：222p y p y m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解得：2A p y m =-，故A 点坐标为：3222p p m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 同理可得：B 点坐标为：3222p p nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，， ∴32222p p p FA m m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，32222p p p FB n n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ， 又A ，B ，F 三点共线，∴3232222222p p p p p p mn n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴22221111p p n m m n ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由mn 4=- ∴221144p p m n n m -=---，即211104p m n ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又110m n-≠ ∴2104p -=，0p >∴2p = 故答案为：216.（2018·北京高考真题（理））已知椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________． 31 2 【解析】分析：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中22,m n 关系，即得双曲线N 的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c ，再根据椭圆定义得32c c a +=，解得椭圆M 的离心率. 详解：由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为3c c ，再根据椭圆定义得32c c a +=，所以椭圆M 的离心率为3 1.13c a ==+ 双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为222ππtan 333n m ∴==，，222222234 2.m n m m e e m m，++∴===∴= 17.（2019·上海高考模拟）已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A 、B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，若2OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是______ 【答案】3 【解析】设直线AB 的方程为x ty m =+，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 与x 轴的交点为(0,)M m .联立2{x ty m y x=+=，可得20y ty m --=，根据韦达定理可得12y y m ⋅=-. ∵2OA OB ⋅=u u u v u u u v∴12122x x y y +=，即21212()20y y y y ⋅+⋅-=.∴2m =或1m =-（舍），即122y y ⋅=-. ∵点A ，B 位于x 轴的两侧∴不妨令点A 在x 轴的上方，则10y >. ∵1(,0)4F ∴121111119292()22322488ABO AFO S S y y y y y ∆∆+=⨯⨯-+⨯=+≥⨯=，当且仅当143y =时取等号.∴ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是3. 故答案为3.18. （2017全国卷I ）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=o ，则C 的离心率为__________． 【答案】23【解析】 如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ， ∵∠MAN=60°， ∴3， ∴22223||||4OA PA a b -=-设双曲线C 的一条渐近线y=bax 的倾斜角为θ，则tan θ=223||2||34b AP OP a b =-． 又tan θ=b a， 223234b a a b =-，解得a 2=3b 2， ∴221231133b a +=+=． 答案：33。