自动控制原理3
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自动控制原理第3章
典型信号
单位阶跃
0, x(t ) 1, 0, x(t ) t, 0, x(t ) 1 2 2 t ,
t0 t0 t0 t0 t0 t0
1 Lx(t ) S 1 Lx(t ) 2 S 1 Lx(t ) 3 S
单位斜坡
单位加速度
3.1 引言
这一章就是讨论并给出分析系统稳定性,静 态误差和动态特性的一些时域的(工程上常用的) 分析方法。 *
3.2 稳定性
3.2.1运动(微分方程的解)的稳定性 第2章 例2.8(P.23,式2.2.42)
Ka=20
Ka=200
结论
(1)线性系统运动的稳定性: 线性系统,对所有初值其运动都是稳定的或都是 不稳定的。 非线性系统,对—部分初值其运动是稳定的,对另 一部分初值其运动有可能不稳定。 (2)系统结构、参数的变化对系统运动稳定性有 影响。 *
a 4 ,1
2 20 Tf2 20 Tf Tm Tm
20 K
3
Tm
( 20 Tf Tm )2 400 K
2
Tm
2
a 5 ,1 a 2 ,1 a 4 ,1
结论
(1)增大系统中 的开环比例系 数不利稳定 (2)增大系统中 的时间常数不 利稳定 (3)系统中时间 常数的数目增 多不利稳定
1 G( s) F ( s) e( s) X ( s) P( s ) 1 G0 ( s) 1 G0 ( s) 1 G( s) F ( s) ess lim s( X ( s) P( s)) s 0 1 G0 ( s) 1 G0 ( s)
3.6.2 关于输入量的静态误差
3.2.3线性系统稳定的充分必要条件
线性系统稳定<=>其微分方程的特征根全部在复 平面的左半面(若虚轴上有根,右
自动控制原理第三章
➢ 0 1 特征根： s1,2 n jn 1 2
Xc (s)
1 s
s2
n2 2ns n2
1 s
s2
s 2n 2ns n2
1
s 2n
s (s n )2 (n 1 2 )2
其阶跃输入下的暂态响应：
xc (t) 1
e nt
1 2
sin(n
1 2 t ) , arctan
WB (s)
X c (s) X r (s)
(1
1 K)s
1
1 Ts 1
式中：T 1 k , 称为时间常数。
3.2.2 单位阶跃响应函数：
X r (s) 1 s
11
Xc
(s)
Ts
1
s
,
xc (t)
L1[ 1 Ts 1
1] s
L1[ 1 s
s
1
1
]
1
t
eT
T
xc (t ) xss xtt
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6 0.4 0.2
0 0
246
nt
8 10 12
⒊ 当 1时，特征方程有一对相等的负实根，称为临界阻尼
系统，系统的阶跃响应为非振荡过程。
➢当 1 时，
阶跃响应曲线为：
xc
(s)
1 s
s2
n2 2n s
n2
n2 s(s n )2
1 1 n s s n (s n )2
1 )( s
T1
1 T2
)
式中
T1
1 a
n (
1
2
1)
自动控制原理——第3章
第三章 时域分析法
系统的特征方程
Js + Fs + K = 0
2
F 称为实际阻尼系数。 称为实际阻尼系数。 当
F = 4JK
2
特征方程有一对相等的负实根， 时 ， 特征方程有一对相等的负实根 ， 系统 处于临界阻尼状态。 处于临界阻尼状态。 为临界阻尼系数， 令Fc为临界阻尼系数，则
Fc = 2 JK
解： (1) 由结构图写出闭环传递函数
100 / s 10 C ( s) Φ( s ) = = = R( s ) 1 + 100 × 0.1 0.1s + 1 s
自动控制原理
第三章 时域分析法
的分母多项式看出时间常数T=0.1 s， 从Φ(s)的分母多项式看出时间常数 的分母多项式看出时间常数 ， 故调节时间 ts = 3T = 3 × 0.1 s = 0.3 s (2) 计算 s＝0.1 s的反馈系数值 计算t 的反馈系数值 设反馈系数为Kh，则系统闭环传递函数 设反馈系数为
1/K h 100 / s Φ( s ) = = 100 0.01 1+ s +1 × Kh s Kh 0.01 T= Kh
故
自动控制原理
第三章 时域分析法
调节时间
0.03 ts =3T = Kh
要求t 要求 s=0.1 s，代入上式得 ，
0.03 0.1= Kh
所以
K h =0.3
自动控制原理
第三章 时域分析法
实际阻尼系数 临界阻尼系数
ξ=
F F = = Fc 2 JK
闭环传递函数写成如下一般形式
2 ωn Φ( s ) = 2 2 s + 2ξωn s + ωn
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
《自动控制原理》第三第讲
误差系数 Kp Kv Ka
单位阶跃 输入
r(t) = u(t)
单位速度 输入
r(t) = t
单位加速 度输入
r(t) = 1 t 2 2
0
K0 0
1 1+K
I
∞ K0
0
II
∞ ∞K
0
∞
∞
1
∞
K
1
0
K
1. 稳态误差与输入信号有关；与开环增益有关；与积分环节的个 数有关。
2. 减小或消除稳态误差的方法： a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;
R(s)
E(s) -
G1 ( s)
+ G2 (s) C(s)
H (s) (b)
通常，给定输入作用产生的误差为系统的给定误差
(E=R-HC)，扰动作用产生的误差为扰动误差。认为扰动输入时 系统的理想输出为零，故从输出端的误差信号为：
En
= C理想
− C实际
=
−C实际
=
−Cn
= − G2 1+ G1G2 H
=
lim sv+1R(s)
s→0
lim sv + K
s→0
由上式可见, ess 与系统的型号v﹑开环增益K及输入信号
的形式及大小有关，由于工程实际上的输入信号多为阶跃信号
﹑斜坡信号(即等速度信号) ﹑抛物线信号(即等加速度信号) 或者为这三种信号的组合, 所以下面只讨论这三种信号作用 下的稳态误差问题.
Ka
m
G(s)H (s)
=
K sv
∏ (τ is +1)
i =1
n−v
∏ (Tjs +1)
自动控制原理 3
cos( d t p ) 0
d tan( d t p ) tan n
d t p n
n = 1时出现第一次峰值
tp d n 1 2
当 ξ 一定时，tp 与 ωn 成反比； 当ωn一定时，tp 随 ξ 增大而增大。
3. 最大超调量
3.4二阶系统的瞬态响应指标
xo(t)
Mp
1.0
%
0.5
0
td tr tp ts
t
一. 瞬态响应指标定义
上升时间tr：
对于欠阻尼系统，响应曲线从0到第一次达到稳态值所经 过时间。
对于过阻尼系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90% 所需时间。
延迟时间td：
响应曲线从0上升到稳态值50%所 需的时间。
n 1 1 s s n s n 2
xo (t ) 1 n te
nt
e
nt
(t 0)
1 e
临界阻尼二 阶系统单位 阶跃响应曲 线
nt
(1 nt )
xo(t) 1
0
t
临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的非周期上 升过程。
xi (t ) 1(t )
1 X i (s) s
单位阶跃响应为
x0 (t ) 1 e
1 t T
(t 0)
一阶系统阶跃响应曲线的特点
1) 一阶惯性系统总是稳定，无振动。 2) 经过时间T，曲线上升到0.632的高度，反过来，用实验 的方法测出响应曲线达到0.632的时间，即是惯性环节的时 间常数。 3) 经过时间3T～4T，响应曲线达稳定值的95％～98％，可 以认为其调整时间已经完成，故一般取调整时间(3～4)T 。
(自动控制原理)3一阶系统的时间响应及动态性能
系统的稳定性要求。
06
结论
一阶系统的时间响应及动态性能总结
一阶系统的时间响应特性
一阶系统在输入信号的作用下，其输出量随时间变化的过程。通过分析一阶系统的传递函数，可以得出其时间响应的 特性，包括上升时间、峰值时间、调节时间和超调量等。
一阶系统的动态性能分析
动态性能是一阶系统对输入信号的响应能力，包括系统的稳定性、快速性和准确性等。通过分析一阶系统的开环和闭 环频率特性，可以得出其动态性能的特性，如相位裕度和幅值裕度等。
3
在实际应用中，可以通过实验或理论分析来获取 一阶系统的数学模型。
一阶系统的分类
01
根据时间常数T的大小，一阶系统可以分为快系统和 慢系统。
02
时间常数T较小的一阶系统称为快系统，其动态响应 速度较快。
03
时间常数T较大的一阶系统称为慢系统，其动态响应 速度较慢。
03
一阶系统的时间响应分析
时间响应的定义与计算
实例二：一阶系统的单位脉冲响应模拟
总结词：时间常数
详细描述：与单位阶跃响应类似，一阶系统的单位脉冲响应的时间常数也是系统的重要参数，它决定 了系统衰减到零所需的时间。时间常数越小，系统衰减到零所需的时间越短。
实例三：一阶系统的动态性能优化实例
总结词
PID控制器
详细描述
为了优化一阶系统的动态性能，可以采用PID控制器。PID控制器能够根据系统 的输入和输出信号调整系统的参数，从而改善系统的性能指标，如超调量、调 节时间和稳态误差等。
详细描述：由于一阶系统的单位阶跃响应具有快速跟踪 的特点，因此系统在稳态时不会产生静差，输出能够精 确地跟踪输入信号。
详细描述：一阶系统的单位阶跃响应的时间常数是系统 的重要参数，它决定了系统达到稳态值所需的时间。时 间常数越小，系统达到稳态值所需的时间越短。
06
结论
一阶系统的时间响应及动态性能总结
一阶系统的时间响应特性
一阶系统在输入信号的作用下，其输出量随时间变化的过程。通过分析一阶系统的传递函数，可以得出其时间响应的 特性，包括上升时间、峰值时间、调节时间和超调量等。
一阶系统的动态性能分析
动态性能是一阶系统对输入信号的响应能力，包括系统的稳定性、快速性和准确性等。通过分析一阶系统的开环和闭 环频率特性，可以得出其动态性能的特性，如相位裕度和幅值裕度等。
3
在实际应用中，可以通过实验或理论分析来获取 一阶系统的数学模型。
一阶系统的分类
01
根据时间常数T的大小，一阶系统可以分为快系统和 慢系统。
02
时间常数T较小的一阶系统称为快系统，其动态响应 速度较快。
03
时间常数T较大的一阶系统称为慢系统，其动态响应 速度较慢。
03
一阶系统的时间响应分析
时间响应的定义与计算
实例二：一阶系统的单位脉冲响应模拟
总结词：时间常数
详细描述：与单位阶跃响应类似，一阶系统的单位脉冲响应的时间常数也是系统的重要参数，它决定 了系统衰减到零所需的时间。时间常数越小，系统衰减到零所需的时间越短。
实例三：一阶系统的动态性能优化实例
总结词
PID控制器
详细描述
为了优化一阶系统的动态性能，可以采用PID控制器。PID控制器能够根据系统 的输入和输出信号调整系统的参数，从而改善系统的性能指标，如超调量、调 节时间和稳态误差等。
详细描述：由于一阶系统的单位阶跃响应具有快速跟踪 的特点，因此系统在稳态时不会产生静差，输出能够精 确地跟踪输入信号。
详细描述：一阶系统的单位阶跃响应的时间常数是系统 的重要参数，它决定了系统达到稳态值所需的时间。时 间常数越小，系统达到稳态值所需的时间越短。
自动控制原理第3章
arctan 9 3
1.25rad
则响应为 y(t) 1 2 e 3t 0.95e j1.25e (1 j)t 0.95e j1.25e (1 j)t 5
1 2 e 3t 0.95e t e j(t1.25) e j(t1.25) 5 1 2 e 3t 1.9e t cos(t 1.25)
平衡位置：力学系统中，当系统外的作 D
用力为零时，位移保持不变的位置。
此时位移对时间的各阶导数为零。 A点和D点是平衡位置， B点和C点不是平衡位置。
O
B
C
A
稳定的平衡位置：若在外力作用下，系统偏离了平衡位置，但 当外力去掉后，系统仍能回到原来的平衡位置，则称这一个平 衡位置是稳定的平衡位置。
所以A点是稳定的平衡位置，而D点不是稳定的平衡位置。
注意：输入信号为非单位阶跃信号时，依齐次性，响应 只是沿纵轴拉伸或压缩，基本形状不变。所以ts 、 tr、 tp 、 σ并不发生变化。
当t < ts时，称系统处于动态；当t > ts时，称系统处于稳态。
3.2 一阶系统的单位阶跃响应
一阶系统（惯性环节）
G(s) 1 Ts 1
单位阶跃响应为
t
y(t) 1 e T
设零初始状态，y(0)=0 r (t)=1(t)时，y(t)的响应曲线为
y(t)
1.05 y(∞)
ym
y(∞)
0.95 y(∞)
tr tp
ts
ym：单位阶跃响应的最大偏离量。 y(∞)：单位阶跃响应的稳态值。并非期望值。 ts：调节时间。y(t)进入0.5*y(∞)或0.2* y(∞)构成的误差带 后不再超出的时间。 tr：上升时间。 y(t) 第一次达到 y(∞)的时间。
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
自动控制原理(3)
# 3—3 一阶系统分析 四、一阶系统的单位脉冲响应 R(s)=1 C(s)=[1/(Ts+1)]*1 -1 Ct(t)=L [1/(Ts+1)] --t/T K(t)=(1/T)*e (t > 0) 响应初始斜率： 响应初始斜率： 1/T dk(t)/dt|t=0 --t/T 2 = --(1/T )*e 1/2T 2 = --1/T
# 3—3 一阶系统分析 3— 3、性能指标 、 1）暂态性能 ） 由于一阶系统的阶跃响应没有超调量， 由于一阶系统的阶跃响应没有超调量， 所以性能指标主要 是调节时间ts，它表征 系统过渡过程的快慢。由于t=3T时，输 系统过渡过程的快慢。由于 时 出响应可达稳定值的95%；t=4T时，输 出响应可达稳定值的 ； 时 出响应可达稳定值的98%，故一般取： 出响应可达稳定值的 ，故一般取： ts=3T（s）（对应误差带为 ） ）（对应误差带为 （ ）（对应误差带为5%） ts=4T（s）（对应误差带为 ） ）（对应误差带为 （ ）（对应误差带为2%） 显然，系统的时间常数T越小，调节 显然，系统的时间常数 越小， 越小 就越小，响应过程的快速性也好。 时间ts就越小，响应过程的快速性也好。
0 T 2T 3T 4T 3/2T
# 3—3 一阶系统分析 五、三种响应之间的关系 Ct(t) = ∫ = ∫ (1-e )dt (t > 0 ) 0 --t/T = t – T+Te
超调 量 0.9 0.5 0.1 tr 峰值 tp ts td
误差带
# 3—3 一阶系统分析 3—
由一阶微分方程描述的系统即 为一阶系统，一些控制元、 为一阶系统，一些控制元、部件 及简单系统如R——C网络，发 网络， 及简单系统如 网络 电机，空气加热器， 电机，空气加热器，液面控制系 统等。 统等。
自动控制原理第3章
自动控制原理
17
调量越小， 响应的振荡 越弱，系统 的平稳性越 好,灵敏性？
越大，超
自动控制原理
18
3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
一定时 ，瞬态分 量衰减速 度取 n e 决于 n 故 衰减系数
自动控制原理
19
3-3-2 二阶系统的单位阶跃响应
（2）等幅振荡型
h(t ) 0 1 e nt 1
c (s)
自动控制原理
12
3-3-1 二阶系统的数学模型
开环传递函数
K G(s) s(Tm s 1)
c ( s) K ( s) r ( s ) Tm s 2 s K
R(S) C(S)
闭环传递函数
二阶系统微分方程 系统的闭环传递函数的标准形式：
2 n ( s) 2 2 s 2 n s n
自动控制原理
4
3-1 系统的时域性能指标
动态性能指标
在阶跃函数作用下测定或计算系统的动态性能指标 因为阶跃输入可以表征系统受到的最严峻的工作状态 （1）延迟时间
td
h ()
（2）上升时间
（3）峰值时间 （4）调节时间
tr
tp
0.9h() 0.5h() 0.1h()
td
ts
tr
ts
tp
5
误差带：±5%， ±2%
3-3-3 欠阻尼二阶系统的动态过程分析
（3）峰值时间 t p 的计算
dh(t ) n t e n p sin( d t p ) 0 dt t t p 1 2
则 sin( d t p ) 0
d t p 0, ,2 , d t p
自动控制原理(第3章new)讲解
g(t) 25 e3t sin 4t 4
h(t) 11.25e3t sin(4t 53.1o )
% 9.48%
t p 0.785(s) ts 1.167(s)
四.二阶系统性能的改善
1. 比例—微分控制（PD）
R(s) E(s)
1
+
-
+
Td s
2 n
C(s)
s(s 2n )
h(t) 1
ent
1 2
sin(n
1 2t ),
其中： arctg(
1 2
)
或
1 0, t 0
h(t) 1
e( 2 1)nt
e( 2 1)nt
, 1, t 0
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
te
nt
当t=0时，响应过程的变化率为零；当t>0时，响
应过程的变化率为正，响应过程单调上升；当 t
时，响应过程的变化率趋于零，响应过程趋于常值1。
单位阶跃响应是非周期地趋于稳态输出，此时，系统处于 临界阻尼情况。
5.当 1时，则特征方程 有两个不相等的负实根 ， 对应于s平面上的两个不 相等的实极点。
Td ——微分器时间常数
系统的开环传递函数为：
G(s)
2 n
(1
Td
s)
K (1 Td s)
s(s 2n ) s( s 1)
2n
其中： K n 2
——开环增益
令 z 1
Td
G(s) K(s z) zs( s 1)
h(t) 11.25e3t sin(4t 53.1o )
% 9.48%
t p 0.785(s) ts 1.167(s)
四.二阶系统性能的改善
1. 比例—微分控制（PD）
R(s) E(s)
1
+
-
+
Td s
2 n
C(s)
s(s 2n )
h(t) 1
ent
1 2
sin(n
1 2t ),
其中： arctg(
1 2
)
或
1 0, t 0
h(t) 1
e( 2 1)nt
e( 2 1)nt
, 1, t 0
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
te
nt
当t=0时，响应过程的变化率为零；当t>0时，响
应过程的变化率为正，响应过程单调上升；当 t
时，响应过程的变化率趋于零，响应过程趋于常值1。
单位阶跃响应是非周期地趋于稳态输出，此时，系统处于 临界阻尼情况。
5.当 1时，则特征方程 有两个不相等的负实根 ， 对应于s平面上的两个不 相等的实极点。
Td ——微分器时间常数
系统的开环传递函数为：
G(s)
2 n
(1
Td
s)
K (1 Td s)
s(s 2n ) s( s 1)
2n
其中： K n 2
——开环增益
令 z 1
Td
G(s) K(s z) zs( s 1)
自动控制原理第三章
ωn2 1 2 1 e ξ ω t sin(ω n 1 ξ d t + β ) 2 2 S ( S 2 + 2ξω n S + ω n ) 1 ξd
d n
ωn ωn 1 1 2 2 e ξ d ω nt sin ω n 1 ξ d t Z S + 2ξ d ω n S + ω n 2 Z 1ξ 2 d
2 '
Td ωn ξ = 2
'
Td ωn ξd = ξ + ξ = ξ + 2
'
令
1 z= Td
ωn 2 ( S + z ) = 2 z ( S 2 + 2ξ d ωn S + ωn )
结论 1可通过适当选择微分时间常数
Td
，改变 ξ d 阻尼的大小
2比例－微分控制可以不改变自然频率ω n ，但可增大系统的阻尼比 1 z= 3由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点， Td 故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。
2
1 ) Td
ω n (Td S + 1) G (s) = 2 = 2 φ ( s) = 2 2 2 2 1 + G ( s ) S + 2ξω n S + Td ω n S + ω n S + (2ξω n + Td ω n ) S + ω n
2
Td ω n ( S +21 ) TdTd ωn = 2ξ ωn
当输入为单位阶跃函数时
ωn 1 S+Z C ( s ) = φ ( s) R( s ) = 2 2 Z S S + 2ξω n S + ω n
自动控制原理第3章控制系统的稳定性及特性
解：列劳斯表为
s5
1
2
1
s4
2
4
1
s3
0
1
2
s2 4 1 1 1
s1
1
2
s0
1
劳斯表中第1列元素不全为正数且符号改变了2次，所以系统 不稳定，有2个特征根位于s
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。 例3-11 给定控制系统特征方程为 s 6 s 5 6 s 4 5 s 3 9 s 2 4 s 4 0
劳斯判据的特殊情况1 a.某行第1列元素为零，其余不为零，或不全为零。
例3-9：考虑系统特征方程如下：
( s ) s 5 2 s 4 2 s 3 4 s 2 s 1 0
试分析系统的稳定性。
解：构造劳斯表如下：
s5
1
2
s4
2
4
s3
12
s2
41
1
s1 (2 1 2 2 ) (4 1) 0
3.3.1 稳定的概念与定义
定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的
推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若 在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不 稳定。
3.3.2 线性系统稳定的充要条件
稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
设系统的运动方程为
s4 1
s3 2
s2
23-4 2
1
s1
1 4 -2 5 1
6
s0 5
35 40 5 0
符号改变一次 符号改变一次
Rout阵 h 列第一列符号 次,改变二 故有两个实部为 。正的
例 3-8 已知系统的特征方程 s34s260 ，
s5
1
2
1
s4
2
4
1
s3
0
1
2
s2 4 1 1 1
s1
1
2
s0
1
劳斯表中第1列元素不全为正数且符号改变了2次，所以系统 不稳定，有2个特征根位于s
b.劳斯表某行全为零
说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。 例3-11 给定控制系统特征方程为 s 6 s 5 6 s 4 5 s 3 9 s 2 4 s 4 0
劳斯判据的特殊情况1 a.某行第1列元素为零，其余不为零，或不全为零。
例3-9：考虑系统特征方程如下：
( s ) s 5 2 s 4 2 s 3 4 s 2 s 1 0
试分析系统的稳定性。
解：构造劳斯表如下：
s5
1
2
s4
2
4
s3
12
s2
41
1
s1 (2 1 2 2 ) (4 1) 0
3.3.1 稳定的概念与定义
定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的
推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若 在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不 稳定。
3.3.2 线性系统稳定的充要条件
稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。
设系统的运动方程为
s4 1
s3 2
s2
23-4 2
1
s1
1 4 -2 5 1
6
s0 5
35 40 5 0
符号改变一次 符号改变一次
Rout阵 h 列第一列符号 次,改变二 故有两个实部为 。正的
例 3-8 已知系统的特征方程 s34s260 ，
自动控制原理第3章
1
1 2
2
( 1
e
(
2
1 ) n t
2
e
(
2
1 ) n t
1
)
2
t 0
1
Matlab仿真结果
（过阻尼二阶系统的单位阶跃响应）
Step Response
n 5
1 0.9 0.8
选择
1 .2
2
5
Amplitude
n 5
Step Response 2 1.8
选择
Amplitude
1.6 1.4
0 .7
0 .5
1.2 1 0.8 0.6 0.4
0 .2
0
0.2 0
0
0.5
1
1.5
2
2.5 Time (sec)
3
3.5
4
4.5
5
结论：在欠阻尼状态，阻尼比越小，系统振荡越剧烈。
3．3 二阶系统的阶跃响应
⑤当
0
时，为负阻尼状态
特征根 特征根
s 1 , 2 j n 1
2
1 0
n
（实部为正的 共轭复根） （实部为正的 不相等实根）
1
s 1 , 2
n
n
2
1
当阻尼比为负阻尼时，特征根实部为正，即闭环极点 分布在s右半平面，系统阶跃响应曲线呈现发散形式。
n t 由于在 t 期间，e 0 ，为满足上式，只能 使 sin d t 0 ，由此得
d t n
自动控制原理3
0 0
单位速度 输入
r(t) t
单位加速 度输入
r(t) 1 t 2 2
1 K
0
K 1
1. 稳态误差与输入、系统结构有关. 2. 减小或消除稳态误差的方法：
a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;
扰动对稳态误差的影响
N(S)
R(S) + E(S) G1(S)
+ G2(S)
B(S)
+
H(S)
essn
1 G1(0)
总输出：C(S)=CR(S)+CN(S)
CR(S): 单独计算输出对参考输入的响应 C R (S ) M R (S )R (S ) 1 G G 1 ( 1 S (S )G )G 2 ( 2 S (S )H )(S )R (S )
CN(S)：单独计算输出对干扰信号的响应 C N (S ) M N (S )N (S ) 1 G 1 (S G )G 2 (2 S () S )H (S )N (S )
充要条件 劳斯表的首列非零且不变号
劳斯表 s n
an an2 an4
s n1 a n1 a n3 a n5
s n 2 a 2 ,1 a 2 ,2 a 2 ,3
s n 3 a 3 ,1 a 3 ,2 a 3 ,3
其中
s0
a n ,1
ai,j
1 ai1,1
ai2,1 ai1,1
ai2,j1 ai1,j1
特征方程（拉氏变换）
a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 0
输出函数
ct
k
r
C iesit
ejt
A jco s jtB jsinjt
i 1
单位速度 输入
r(t) t
单位加速 度输入
r(t) 1 t 2 2
1 K
0
K 1
1. 稳态误差与输入、系统结构有关. 2. 减小或消除稳态误差的方法：
a、增加开环放大系数K； b、提高系统的型号数;
扰动对稳态误差的影响
N(S)
R(S) + E(S) G1(S)
+ G2(S)
B(S)
+
H(S)
essn
1 G1(0)
总输出：C(S)=CR(S)+CN(S)
CR(S): 单独计算输出对参考输入的响应 C R (S ) M R (S )R (S ) 1 G G 1 ( 1 S (S )G )G 2 ( 2 S (S )H )(S )R (S )
CN(S)：单独计算输出对干扰信号的响应 C N (S ) M N (S )N (S ) 1 G 1 (S G )G 2 (2 S () S )H (S )N (S )
充要条件 劳斯表的首列非零且不变号
劳斯表 s n
an an2 an4
s n1 a n1 a n3 a n5
s n 2 a 2 ,1 a 2 ,2 a 2 ,3
s n 3 a 3 ,1 a 3 ,2 a 3 ,3
其中
s0
a n ,1
ai,j
1 ai1,1
ai2,1 ai1,1
ai2,j1 ai1,j1
特征方程（拉氏变换）
a n s n a n 1 s n 1 a 1 s a 0 0
输出函数
ct
k
r
C iesit
ejt
A jco s jtB jsinjt
i 1
(自动控制原理)3一阶系统的时间响应及动态性能
一阶系统具有简单的结构和易于控制的特点，常见于温度和速度控制等应用场景。了解一阶系统的时间响应和 动态性能对于设计和优化控制系统至关重要。
(自动控制原理)3一阶系 统的时间响应及动态性能
本节介绍一阶系统的定义、特点以及时间响应，探讨影响动态性能的因素和 常见应用场景，并讨论比例控制、积分控制和比例积分控制方法。
一阶系统的定义和特点
定义
一阶系统是指具有一个能量存储元件和一个能 量传递元件的线性系பைடு நூலகம்。
特点
一阶系统具有简单的结构、易于分析和控制、 但响应速度较慢。
一阶系统的时间响应
1
零状态响应
当输入信号改变时，系统从初始状态开始的响应。
2
零输入响应
当输入信号为零时，系统由初始状态跟踪到平衡状态的响应。
3
控制一阶系统的方法
比例控制、积分控制和比例积分控制。
一阶系统的动态性能指标
1 响应速度
衡量系统从初始状态到达稳定状态所需的时间。
2 超调量
描述系统响应超过稳态值的程度。
3 阻尼比
描述系统振荡响应的衰减程度。
影响一阶系统动态性能的因素
1 系统增益
增加系统增益可以加快响应速度，但可能导致超调量增加。
2 时延效应
时延会影响系统的稳定性和响应速度。
常见应用场景
温度控制
一阶系统常用于室内温度控制，如空调、恒温器等。
速度控制
一阶系统可用于调节电机速度，如风扇、电动车等。
结论
(自动控制原理)3一阶系 统的时间响应及动态性能
本节介绍一阶系统的定义、特点以及时间响应，探讨影响动态性能的因素和 常见应用场景，并讨论比例控制、积分控制和比例积分控制方法。
一阶系统的定义和特点
定义
一阶系统是指具有一个能量存储元件和一个能 量传递元件的线性系பைடு நூலகம்。
特点
一阶系统具有简单的结构、易于分析和控制、 但响应速度较慢。
一阶系统的时间响应
1
零状态响应
当输入信号改变时，系统从初始状态开始的响应。
2
零输入响应
当输入信号为零时，系统由初始状态跟踪到平衡状态的响应。
3
控制一阶系统的方法
比例控制、积分控制和比例积分控制。
一阶系统的动态性能指标
1 响应速度
衡量系统从初始状态到达稳定状态所需的时间。
2 超调量
描述系统响应超过稳态值的程度。
3 阻尼比
描述系统振荡响应的衰减程度。
影响一阶系统动态性能的因素
1 系统增益
增加系统增益可以加快响应速度，但可能导致超调量增加。
2 时延效应
时延会影响系统的稳定性和响应速度。
常见应用场景
温度控制
一阶系统常用于室内温度控制，如空调、恒温器等。
速度控制
一阶系统可用于调节电机速度，如风扇、电动车等。
结论
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苏州市职业大学实训报告
院系 电子信息工程学院 班级 12 电气 3 姓名 刘建 学号 127301320 实训名称 一、实验目的
1. 掌握频率特性的定义及其数学本质，进一步理解频率特性的物理意义； 2. 掌握典型环节的幅频和相频特性及其对数幅频和相频的计算公式， 并学会利用近似作图法绘制对数幅频 特性和相频特性曲线； 3. 根据二阶系统的对数幅频特性，确定系统的数学模型； 4. 了解二阶系统的频域指标和时域指标的对应关系。 5. 掌握控制系统伯德图和奈奎斯特图的绘制； 6. 能对典型系统的伯德图和奈奎斯特图进行系统性能分析。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
苏州市职业大学实训报告
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G0)%%%%%利用 margin 命令返回幅值裕量 Gm，相角裕量 Pm，幅值穿越频率 Wcg 和相角穿越频率 Wcp； 该语句返回上述四个变量，不绘制伯德图 title('伯德图 G(s)=10/[s(0.625s+1)]') %%%%%%%%%%%%%%%%绘制系统的奈奎斯特图，利用乃奎斯特图判定系统的稳定性 figure(3) nyquist(G) xlabel('Nyquist') %%%%%%%%%%利用代数稳定判据判定系统稳定性，验证乃奎斯特稳定判据的结果 sys=feedback(G,1); roots(sys.den{1})%%%%%%%%sys 是闭环传递函数 图 3-1 系统的伯德图为：
num 时系统的 Bode 图； den
苏州市职业大学实训报告
或[mag,phase,w]=bode(num,den,w)；可利用指定的频率值 w 绘制系统的 Bod 图； 以上两个语句均可以返回系统 Bode 图相应的幅值、相角及频率值。其中：mag：幅值；phase：相角； w：频率； 可以由下列命令把幅值转变成分贝：magdb=20*log10(mag)；绘图时的横坐标是以对数分度的。为了 指定频率的范围，可采用以下命令格式： logspace(d1,d2) 或 logspace(d1,d2,n) ① ②
5． 利用 MATLAB 编程计算系统的谐振幅值 Mr 和谐振频率 Wr。 （也可以利用伯德图上在频率响应图内部 空白处用鼠标右键点击，弹出菜单，选择“Peak Response”菜单项，将在频率响应图上出现一个圆点， 该点就是系统的谐振频率位置。 ） 6． 利用 Margin( )函数计算幅值裕量 Gm，相角裕量 Pm，幅值穿越频率 Wcg 和相角穿越频率 Wcp。 [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G)；G 为系统的开环传递函数。 7． 在伯德图上，在幅频特性和相频特性曲线上任意点单击鼠标，可以观察到该点对应的横坐标和纵坐标 值。 8． 绘制系统的奈奎斯特图。其格式为：nyquist(G)；G 为系统的开环传递函数； 9． 根据伯德图分析系统在低频段、中频段和高频段特性、系统稳定性；根据乃奎斯特图分析系统的稳定 性。 10．保存仿真模型和仿真实验结果，并保存在 WORD 文档中。 有关 MATLAB 编程语句如下： num=10; %开环传递函数的分母 den=[0.625, 1, 0]; %开环传递函数的分母 G=tf(num,den);%开环传递函数 figure(1) grid %%%%%%%%%%%%%在指定的频率范围内画伯德图 % w1=logspace(-1,2,100);%在 10^d1 和 10^d2 之间产生 100 个对数点;d1=-1;d2=1 % [mag,phase,w]=bode(G0,w1);%绘制伯德图 %%%%%%%%%%%%%%%%在默认频率范围内画伯德图 [mag,phase,w]=bode(G); %绘制伯德图 magn(1,:)=mag(1,:); phan(1,:)=phase(1,:); [M,i]=max(magn); %谐振幅值 Mr=20*log10(M) Pr=phase(1,i) Wr=w(i,1) %figure(2) % margin(num,den)% 利用该 margin 命令也可以绘制伯德图；该语句不返回变量，仅仅绘制伯德图 %grid %把幅值化成分贝（dB)表示 %谐振幅值对应的相位 %谐振频率
实训日期
二、实验内容
已知系统的结构图如图 3-1 所示，其中 G1 s
10 1 ， G2 s 。 0.625s 1 s
R B
E
G1(s) G2(s)
C
图 3-1 系统结构图
1． 根据图 3-1，绘出相应的模拟电路图； 2． 计算该系统对数幅频特性渐近线的转折频率，谐振峰值、峰值频率和带宽频率。 3． 绘制该控制系统的伯德图（即对数幅频和相频特性） ，根据伯德图，求出系统的幅值穿越频率、相角穿 越频率、截止频率、相角稳定裕量和幅值稳定裕量； 4． 试用乃奎斯特稳定判据判定系统稳定性，如果系统不稳定，则选择合适的开环放大系数调节系统稳定， 然后绘制系统的奈奎斯特图。
系统的伯德图
苏州市职业大学实训报告
图 3-围（-1，j0）点，因此闭环系统是稳定的。
苏州市职业大学实训报告
苏州市职业大学实训报告
实验总结
苏州市职业大学实训报告
第___页
共___页
指 导 教 师 签 名_________________
三、实验方法及步骤
1．画出仿真结构图； 2．利用相关数学公式，计算该系统对数幅频特性渐近线的转折频率，谐振峰值、峰值频率和带宽频率的 理论值； 3．进入 MATLAB/Simulink 仿真环境，建立图 3-1 所示的系统仿真模型； 4．用 MATLAB 绘制的频率响应曲线。 利用 MATLAB 环境下的 bode（）函数绘制系统的伯德图，其格式为： [mag,phase,w]=bode(num,den)；可以绘制传递函数为 G s
图 3-2 Margin 命令返回的值如下： 谐振幅值 Mr＝39.9831； 谐振频率 Wr＝0.1000； 谐振时相角裕量为 Pr = -93.5763； 幅值裕量 Gm＝Inf；无穷大； 相角裕量 Pm= 22.6028； 幅值穿越频率 Wcg＝Inf ； 相角穿越频率 Wcp= 3.8432；
院系 电子信息工程学院 班级 12 电气 3 姓名 刘建 学号 127301320 实训名称 一、实验目的
1. 掌握频率特性的定义及其数学本质，进一步理解频率特性的物理意义； 2. 掌握典型环节的幅频和相频特性及其对数幅频和相频的计算公式， 并学会利用近似作图法绘制对数幅频 特性和相频特性曲线； 3. 根据二阶系统的对数幅频特性，确定系统的数学模型； 4. 了解二阶系统的频域指标和时域指标的对应关系。 5. 掌握控制系统伯德图和奈奎斯特图的绘制； 6. 能对典型系统的伯德图和奈奎斯特图进行系统性能分析。
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G0)%%%%%利用 margin 命令返回幅值裕量 Gm，相角裕量 Pm，幅值穿越频率 Wcg 和相角穿越频率 Wcp； 该语句返回上述四个变量，不绘制伯德图 title('伯德图 G(s)=10/[s(0.625s+1)]') %%%%%%%%%%%%%%%%绘制系统的奈奎斯特图，利用乃奎斯特图判定系统的稳定性 figure(3) nyquist(G) xlabel('Nyquist') %%%%%%%%%%利用代数稳定判据判定系统稳定性，验证乃奎斯特稳定判据的结果 sys=feedback(G,1); roots(sys.den{1})%%%%%%%%sys 是闭环传递函数 图 3-1 系统的伯德图为：
num 时系统的 Bode 图； den
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或[mag,phase,w]=bode(num,den,w)；可利用指定的频率值 w 绘制系统的 Bod 图； 以上两个语句均可以返回系统 Bode 图相应的幅值、相角及频率值。其中：mag：幅值；phase：相角； w：频率； 可以由下列命令把幅值转变成分贝：magdb=20*log10(mag)；绘图时的横坐标是以对数分度的。为了 指定频率的范围，可采用以下命令格式： logspace(d1,d2) 或 logspace(d1,d2,n) ① ②
5． 利用 MATLAB 编程计算系统的谐振幅值 Mr 和谐振频率 Wr。 （也可以利用伯德图上在频率响应图内部 空白处用鼠标右键点击，弹出菜单，选择“Peak Response”菜单项，将在频率响应图上出现一个圆点， 该点就是系统的谐振频率位置。 ） 6． 利用 Margin( )函数计算幅值裕量 Gm，相角裕量 Pm，幅值穿越频率 Wcg 和相角穿越频率 Wcp。 [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(G)；G 为系统的开环传递函数。 7． 在伯德图上，在幅频特性和相频特性曲线上任意点单击鼠标，可以观察到该点对应的横坐标和纵坐标 值。 8． 绘制系统的奈奎斯特图。其格式为：nyquist(G)；G 为系统的开环传递函数； 9． 根据伯德图分析系统在低频段、中频段和高频段特性、系统稳定性；根据乃奎斯特图分析系统的稳定 性。 10．保存仿真模型和仿真实验结果，并保存在 WORD 文档中。 有关 MATLAB 编程语句如下： num=10; %开环传递函数的分母 den=[0.625, 1, 0]; %开环传递函数的分母 G=tf(num,den);%开环传递函数 figure(1) grid %%%%%%%%%%%%%在指定的频率范围内画伯德图 % w1=logspace(-1,2,100);%在 10^d1 和 10^d2 之间产生 100 个对数点;d1=-1;d2=1 % [mag,phase,w]=bode(G0,w1);%绘制伯德图 %%%%%%%%%%%%%%%%在默认频率范围内画伯德图 [mag,phase,w]=bode(G); %绘制伯德图 magn(1,:)=mag(1,:); phan(1,:)=phase(1,:); [M,i]=max(magn); %谐振幅值 Mr=20*log10(M) Pr=phase(1,i) Wr=w(i,1) %figure(2) % margin(num,den)% 利用该 margin 命令也可以绘制伯德图；该语句不返回变量，仅仅绘制伯德图 %grid %把幅值化成分贝（dB)表示 %谐振幅值对应的相位 %谐振频率
实训日期
二、实验内容
已知系统的结构图如图 3-1 所示，其中 G1 s
10 1 ， G2 s 。 0.625s 1 s
R B
E
G1(s) G2(s)
C
图 3-1 系统结构图
1． 根据图 3-1，绘出相应的模拟电路图； 2． 计算该系统对数幅频特性渐近线的转折频率，谐振峰值、峰值频率和带宽频率。 3． 绘制该控制系统的伯德图（即对数幅频和相频特性） ，根据伯德图，求出系统的幅值穿越频率、相角穿 越频率、截止频率、相角稳定裕量和幅值稳定裕量； 4． 试用乃奎斯特稳定判据判定系统稳定性，如果系统不稳定，则选择合适的开环放大系数调节系统稳定， 然后绘制系统的奈奎斯特图。
系统的伯德图
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图 3-围（-1，j0）点，因此闭环系统是稳定的。
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实验总结
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指 导 教 师 签 名_________________
三、实验方法及步骤
1．画出仿真结构图； 2．利用相关数学公式，计算该系统对数幅频特性渐近线的转折频率，谐振峰值、峰值频率和带宽频率的 理论值； 3．进入 MATLAB/Simulink 仿真环境，建立图 3-1 所示的系统仿真模型； 4．用 MATLAB 绘制的频率响应曲线。 利用 MATLAB 环境下的 bode（）函数绘制系统的伯德图，其格式为： [mag,phase,w]=bode(num,den)；可以绘制传递函数为 G s
图 3-2 Margin 命令返回的值如下： 谐振幅值 Mr＝39.9831； 谐振频率 Wr＝0.1000； 谐振时相角裕量为 Pr = -93.5763； 幅值裕量 Gm＝Inf；无穷大； 相角裕量 Pm= 22.6028； 幅值穿越频率 Wcg＝Inf ； 相角穿越频率 Wcp= 3.8432；