2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市实验中学高二上学期期中考试数学试卷含答案解析
黑龙江省哈尔滨三中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1 (有解析)
黑龙江省哈尔滨三中2019-2020学年高二上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共14小题，共56.0分）1. 已知椭圆的方程为2x 2+3y 2=m(m >0)，则椭圆的离心率为( )A. 13 B. √33 C. √22D. 12 2. 两直线x +y −1=0，x +y +1=0的距离是( )A. 2B. 1C. 3D. √23. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的渐近线方程为√3x ±y =0，则b =( )A. 2√3B. √3C. √32D. 124. 若抛物线y =14x 2上一点P 到焦点F 的距离为5，则P 点的坐标是( )A. (4,±4)B. (±4,4)C. (±7916,√798) D. (±√798,7916)5. 已知圆的方程为x 2+y 2−2x +4y +2=0，则圆的半径为( )A. 3B. 9C. √3D. ±36. F 1，F 2是椭圆x 29+y 25=1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2=60°，则△AF 1F 2的面积为( ) A. 7√32B. 5√32C. 72 D. 7√527. 双曲线x 2−4y 2=4的焦点坐标为( )A. (±√3,0)B. (0,±√3)C. (0,±√5)D. (±√5,0)8. 设x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≤1x ≥0，则z =2x +y 的最小值是( )A. −1B. 0C. 1D. 2 9. 若直线x +y +m =0与圆x 2+y 2=m 相切，则m 为( )A. 0或2B. 2C. √2D. 无解10. 已知离心率e =√52的双曲线C ：x 2a −y 2b=1(a >0,b >0)右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为( )A. 2√2B. 3C. 4D. 511. 抛物线y 2=2px 与直线ax +y −4=0交于A ，B 两点，其中A 点的坐标是(1,2)，该抛物线的焦点为F ，则|FA +FB|=( )A. 7B. 3C. 6D. 512. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，点F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，若在椭圆外存在一点P 使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为( )A. (0,12)B. (12,√22)C. (0,√22)D. (√22,1)13.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l过焦点F且斜率为2，与抛物线交于A、B(其中A在第一象限)两点，M(−p2,0)，则tan∠AMF=()A. √32B. √33C. √63D. 25√514.如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=√63，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为4√3．(1)椭圆E的方程为()；(2)过点P(0,2)的动直线l与椭圆E相交于C，D两点，O为原点，△COD面积的最大值为()．A. x23+y2=1；√32B. x23+y2=1；1 C. x23+y2=1；12D. x23+y2=1；2 E. x23+y2=1；7 F. x23+y2=1；7√3二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）15.已知直线l经过点P(−2,5)，且与直线4x+3y+2=0平行，则直线l的方程为______．16.若双曲线x225−y216=1的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线上，且|PF1|=3，则|PF2|等于________．17.已知圆O1:(x−m)2+(y−2)2=4与圆O2:(x+2)2+(y+2m)2=9有3条公切线，则m=______________．18.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=4x的焦点为F，点P在该抛物线上．若PF=2，则点P到坐标原点O的距离为________．19.F1，F2为椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点M在椭圆Γ上．若△MF1F2为直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为______．20.点M是圆x2+y2=4上的动点，点N与点M关于点A(1,1)对称，则点N的轨迹方程是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）21.已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为4√5，求直线l的方程．22.已知抛物线C:x2=2y，过点(−2,4)且斜率为k的直线l与抛物线C相交于M，N两点．(1)若k=2，求|MN|的值;(2)记直线l1:x−y=0与直线l2:x+y−4=0的交点为A，求K AM·K AN的值．23.已知圆C：x2+y2=1与直线l：√3x−y+m=0相交于不同的A、B两点，O为坐标原点．(1)求实数m的取值范围；(2)若|AB|=√3，求实数m的值．24.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(√3,12)，左焦点F1(−√3,0)，直线l：y=2x+m与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点．(1)求椭圆C的标准方程；(2)求△OAB面积的最大值．25. 已知抛物线C ：y 2=2px 过点A(1,1)．(1)求抛物线C 的方程；(2)过x 轴上的点M(a,0)作一直线交抛物线于A 、B 两点，若∠AOB 为锐角时，求a 的取值范围．26. 已知C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，圆E ：x 2+y 2=a 2+b 2椭圆C 的离心率为√32，P 为椭圆上任意一点F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且△PF 1F 2为面积最大值为√3． (1)求椭圆C 的方程(2)斜率为k(k ≠0)的直线l 与椭圆C 相切于点M ，与园E 交于A ，B 两点，问AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 是否成立？请说明理由-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质，将椭圆的方程标准化是关键，属于基础题．将椭圆的方程标准化，利用椭圆的性质可求得a2，b2，c2的值，从而可求得此椭圆的离心率．【解答】解：因为2x2+3y2=m(m>0)，所以x 2m 2+y2m3=1，所以c2=m2−m3=m6.故e2=13，解得e=√33．故选B．2.答案：D解析：解：∵两平行直线的方程为：x+y−1=0，x+y+1=0，∴两直线x+y−1=0，x+y+1=0的距离d=√12+12=√2，故选：D．由题意和平行线间的距离公式可得．本题考查平行线间的距离公式，属基础题．3.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．利用双曲线方程以及渐近线方程求解b即可．【解答】解：双曲线x24−y2b2=1(b>0)的渐近线方程：bx±2y=0，因为双曲线x24−y2b=1(b>0)的渐近线方程为√3x±y=0，所以b2=√3，解得b=2√3．故选A．4.答案：B解析：解：抛物线y=14x2上一点P到焦点F的距离为5，可得抛物线的准线方程为：y=−1，则P的纵坐标为：4，则x2=16，解得x=±4．则P点的坐标是：(±4,4)．故选：B．利用抛物线的性质，求出P的纵坐标，然后求解横坐标即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．5.答案：C解析：解：把圆的方程x2+y2−2x+4y+2=0化为标准方程是(x−1)2+(y+2)2=3，∴圆的半径为√3．故选：C．把圆的方程化为标准方程，求出圆的半径．本题考查了圆的一般方程应用问题，是基础题．6.答案：B解析：【分析】求出F1F2的长度，由椭圆的定义可得AF2=6−AF1，由余弦定理求得AF1，从而求得三角形AF1F2的面积．本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出AF1的值，是解题的关键．【解答】由题意可得a=3，b=√5，c=2，故F 1F2=2×2=4，AF1+AF2=6，AF2=6−AF1，∵AF22=AF12+F1F22−2AF1⋅F1F2cos60°=AF12−4AF1+16，∴(6−AF1)2=AF12−4AF1+16，∴AF1=52，故三角形AF1F2的面积S=12×52×4×√32=5√32．故选B．7.答案：D解析：解：双曲线x2−4y2=4，标准方程为：x24−y2=1，可得a=2，b=1，c=√5，所以双曲线的焦点坐标：(±√5,0)．故选：D．利用双曲线方程，化为标准方程，然后求解双曲线的焦点坐标．本题考查双曲线的焦点坐标的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．8.答案：C解析：解：x，y满足约束条件{x+y≥1x−y≤1x≥0的平面区域如下图所示：平移直线y=−2x，由图易得，当x=0，y=1时，即经过A时，目标函数z=2x+y的最小值为：1．故选：C．先根据约束条件画出平面区域，然后平移直线y=−2x，当过点(1,0)时，直线在y轴上的截距最大，从而求出所求．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9.答案：B解析：【分析】本题考查直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，属于基础题．由直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，可得圆心到直线的距离等于半径，进而列出方程求出m 的值即可．【解答】解：因为直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即√2=√m，解得：m=2．故选B．10.答案：C解析：【分析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，双曲线的简单性质，考查计算能力．利用双曲线的离心率求出b2a2，利用三角形的面积得到12ab=4，解方程组求出a即可．【解答】解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)右焦点为F，O为坐标原点，以OF为直径圆与双曲线C的一条渐近线相交于O，A两点，所以FA⊥OA，由点到直线的距离知FA=b，OA=√c2−b2=a，△AOF的面积为4，可得12ab=4，双曲线的离心率e=√52，可得a2+b2a=54，即b2a=14，解得b=2，a=4．故选：C．11.答案：A解析：解：由题意，(1,2)代入直线ax+y−4=0，可得a+2−4=0，∴a=2把点(1,2)，代入抛物线y2=2px，可得p=2∴抛物线方程为y2=4x，直线方程为2x+y−4=0，联立消去y整理得x2−5x+4=0解得x=1或x=4，∵A的横坐标为1，∴B点横坐标为4，根据抛物线定义可知|FA+FB|=x A+1+x B+1=7故选A．把点(1,2)代入抛物线和直线方程，分别求得p和a，得到直线和抛物线方程，联立消去y，可求得B 的横坐标，再根据抛物线的定义求得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．12.答案：D解析：【分析】本题考查椭圆的几何性质，考查学生分析转化问题的能力，属于基础题．根据椭圆外存在一点P使得PF1与PF2垂直，可得c>b，从而可求椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：设椭圆焦距为2c，由PF1⊥PF2，知点P在以线段F1F2为直径的圆上，若存在一点P在椭圆外，则c>b，即c2>a2−c2，∴a<√2c，∵e =ca ，0<e <1，∴√22<e <1．故选D ．13.答案：D解析： 【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查斜率的计算，属于中档题．根据直线l 的斜率k =2，设出A 的坐标，代入抛物线y 2=2px ，求出A 的坐标，从而可求tan∠AMF ． 【解答】解：∵直线l 的斜率k =2，∴可设A(p2+y,2y)，代入抛物线y 2=2px ，可得4y 2=2p(p2+y)，解得y =1+√54p ，(舍去负值)∴tan∠AMF =2yp+y =2+2√541+1+√54=2√55．故选：D ．14.答案：A解析：解：(1)∵△ABF2的周长为4√3，∴|AB|+|AF2|+|BF2|=4√3，即|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4√3， 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a ∴4a =4√3，得a =√3 又∵e =c a=√63∴c =√2，b2=1∴所求椭圆方程为x 23+y 2=1．(2)易知直线l 的斜率k 存在，设其方程为y =kx +2． 设C(x1,y1)，D(x2,y2).则由 {y =kx +2x 2+3y 2=3 消去y 得：(3k2+1)x2+12kx +9=0， 由△=(12k)2−4×(3k2+1)×9>0，得k2>1. 则x1+x2=−12k3k 2+1，x1x2=93k 2+1．又原点到直线l 的距离为d =√k 2+1，且|CD|=√(1+k 2)|x1−x2|， 所以S △COD =12×|CD|×d =12×√(1+k 2)|x1−x2|2=|x1−x2|，【或S △COD =|S △POC −S △POD|=12×2×|x1−x2|=|x1−x2|】， 因为|x1−x2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(−12k3k 2+1)2−363k 2+1=6√k 2−13k 2+1，设√k 2−1=t(t >0)，则k2=t2+1， ∴S △COD =|x1−x2|=6√k 2−13k 2+1=6t 3t 2+4=63t+4t≤2√3t×4t=√32，当且仅当t2=43，即k2−1=43，即k2=73时等号成立， 所以△COD 面积取得最大值√32．故选A(1)由△ABF 2的周长为4√3，又|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a 可解得a ，又e =c a=√63可解得c ，b 2，从而可求椭圆方程．(2)易知直线l 的斜率k 存在，设其方程为y =kx +2，设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2).则由 {y =kx +2x 2+3y 2=3 消去y 得x 1+x 2=−12k3k 2+1，x 1x 2=93k 2+1，又原点到直线l 的距离可求d =√k 2+1，且|CD|=√(1+k 2)|x 1−x 2|，从而可求S △COD =12×|CD|×d =|x 1−x 2|，设√k 2−1=t(t >0)，则k 2=t 2+1，由基本不等式即可求△COD 面积的最大值．本题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力，考查化归思想，属于中档题．15.答案：4x +3y −7=0解析：解：设直线l 的方程为：4x +3y +m =0， 把点P(−2,5)代入可得：−8+15+m =0，解得m =−7． ∴直线l 的方程为4x +3y −7=0． 故答案为：4x +3y −7=0．设直线l 的方程为：4x +3y +m =0，把点P(−2,5)代入解得m 即可得出．本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查推理能力与计算能力，属于基础题．16.答案：13解析： 【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题． 设|PF 2|=x ，由双曲线的定义及性质得|x −3|=10，由此能求出|PF 2|. 【解答】解：设|PF2|=x，双曲线x225−y216=1的左、右焦点分别为F1,F2，所以a=5，b=4，c=√41，点P在双曲线上，且|PF1|=3，∴|x−3|=2a=2×5=10，解得x=13或x=−7(舍).∴|PF2|=13，故答案为13．17.答案：−1或−175解析：【分析】本题考查两圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，是基础题．由题意可知两圆外切，再由圆心距等于半径和列式求解．【解答】解：由题意，圆O1与圆O2外切，所以|O1O2|=2+3=5，即√m+22+(2+2m)2=5，解得m=1或m=−175，故m=1或m=−175．故答案为−1或−175．18.答案：√5解析：【分析】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、两点间的距离公式，属于基础题．由抛物线y2=4x可得准线l：x=−1.设P(x0,y0)，过点P作PM⊥l，垂足为M.利用|PF|=|PM|=x0+ 1，可解得x0.进而得到y02.利用两点间的距离公式即可得出|OP|．【解答】解：由抛物线y2=4x可得准线l：x=−1，设P(x0,y0)，过点P作PM⊥l，垂足为M，∵|PF|=2，∴2=|PF|=|PM|=x0+1，解得x0=1，∴y02=4×1=4，∴|OP|=√x02+y02=√5，则点P 到抛物线顶点O 的距离是√5．故答案为√5．19.答案：√33或√53解析：【分析】本题考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ，由椭圆的定义可得3x =2a ，根据△MF 1F 2为直角三角形，分类讨论，即可求出椭圆Γ的离心率．【解答】解：设|MF 2|=x ，则|MF 1|=2x ，∴3x =2a ，∴a =3x 2， ∵△MF 1F 2为直角三角形，∴x 2+4c 2=(2x)2，或x 2+(2x)2=4c 2，∴c =√32x ，或c =√52x ， ∴e =c a =√33或√53． 故答案为：√33或√53．20.答案：(x −2)2+(y −2)2=4解析：【分析】本题考查轨迹的求法及中点坐标公式，属于简单题．设点N 的坐标为(x,y)，根据点N 与点M 关于点A(1,1)对称，求得点M 的坐标，再把点M 的坐标代入圆x 2+y 2=4，化简可得点N 的轨迹方程．【解答】解：由题意得，设N 的轨迹上任一点的坐标为(x,y)，此时点M 的坐标为(x 1,y1)，则x+x 12=1，y+y 12=1，所以{x 1=2−x y 1=2−y, 代入圆的方程，整理得(x −2)2+(y −2)2=4，即N 点的轨迹方程为(x −2)2+(y −2)2=4．故答案为：(x −2)2+(y −2)2=4．21.答案：解：将圆的方程写成标准形式，得x 2+(y +7)2=25，所以，圆心坐标是(0,−7)，半径长r =5．因为直线l 被圆所截得的弦长是4√5，所以，弦心距为√52−(4√52)2=√5， 即圆心到所求直线l 的距离为√5．因为直线l 的斜率为2，所以可设所求直线l 的方程为y =2x +b ，即2x −y +b =0．所以圆心到直线l 的距离为d =5， 因此，√5=√5解得b =−2，或b =−12．所以，所求直线l 的方程为y =2x −2，或y =2x −12．即2x −y −2=0，或2x −y −12=0．解析：先设直线的方程，再求出圆心到直线的距离，再由半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和建立方程求解．本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用．22.答案：解：(1)依题意，直线l ：y =2x +8，联立抛物线C ：x 2=2y ，可得x 2−4x −16=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=4，x 1x 2=−16，故|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+4⋅√16+4×16=20；(2)联立{x −y =0x +y −4=0，解得x =y =2，故A (2,2)， 设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，可得x 2−2kx −4k −8=0，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4k −8，则k AM =y 1−2x 1−2=k(x 1+2)+2x 1−2，k AN =y 2−2x 2−2=k(x 2+2)+2x 2−2，k AM ⋅k AN =[k(x 1+2)+2][k(x 2+2)+2](x 1−2)(x 2−2)=k 2[x 1x 2+2(x 1+x 2)+4]+2k(x 1+x 2+4)+4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 2(−4k−8+4k+4)+2k(2k+4)+4−4k−8−4k+4=−1．解析：(1)求得直线l 的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值：(2)求得交点A(2,2)，设直线l 的方程为：y −4=k(x +2)，联立抛物线C ：x 2=2y ，运用韦达定理和斜率公式，化简整理即可得到所求值．本题考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式、直线的斜率公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)由{x 2+y 2=1√3x −y +m =0消去y 得4x 2+2√3mx +m 2−1=0， 由已知得，(2√3m)2−16(m 2−1)>0得m 2−4<0，得实数m 的取值范围是(−2,2)；(2)因为圆心C(0,0)到直线l ：√3x −y +m =0的距离为d =3+1=|m|2，所以|AB|=2√r 2−d 2=2√1−m 24=√4−m 2 由已知得2=√3，解得m =±1．解析：本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)直线与圆的方程联立，利用判别式大于0，即可求实数m 的取值范围；(2)求出圆心C(0,0)到直线l ：√3x −y +m =0的距离，利用|AB|=√3，求实数m 的值． 24.答案：解：(1)依题意可得解得c =√3，右焦点F 2(√3,0)，2a =√(√3+√3)2+14+√(√3−√3)+14=72+12=4，所以a =2， 则b 2=a 2−c 2=1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =2x +m x 24+y 2=1得17x 2+16mx +4m 2−4=0， 则△=(16m)2−4×17×4(m 2−1)=−16m 2+16×17由△>0得m 2<17，则x 1+x 2=−16m17,x 1⋅x 2=4m 2−417，所以|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√5√−16m 2+16×1717因为O 到AB 的距离d =√5，所以S △OAB =12|AB|d =2√17−m 2⋅|m|17=217⋅√(17−m 2)m 2≤17−m 2+m 217=1 当且仅当17−m 2=m 2，即m 2=172时，得m =±√342，△OAB 面积取得最大值1．解析：(1)根据椭圆的定义求出a ，再根据b 2=a 2−c 2=1，即可求出椭圆方程，(2)联立方程组，得3x 2+4mx +2m 2−2=0，由此利用根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，能求出△OAB 面积取最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式、基本不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 25.答案：解：(1)抛物线C ：y 2=2px 过点A(1,1)，可得1=2p ，即p =12，则抛物线的方程为y 2=x ；(2)由题意可得直线的斜率不为0，设过M 的直线的方程为x =my +a ，代入抛物线方程可得y 2−my −a =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=m ，y 1y 2=−a ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(y 1y 2)2+y 1y 2 =a 2−a >0，解得a >1或a <0．解析：【分析】本题考查抛物线的方程和运用，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．(1)代入A 的坐标，解方程可得p ，进而得到抛物线方程；(2)由题意可得直线的斜率不为0，设过M 的直线的方程为x =my +a ，代入抛物线方程，运用韦达定理和两斜率数量积的坐标表示，解不等式即可得到所求范围．26.答案：解：(1)椭圆C 的离心率为√32，则e =c a =√32，① ∵△PF 1F 2为面积最大值为√3，∴bc =√3，②又a 2=b 2+c 2，③由①②③解得a =2，b =1，c =√3，故椭圆方程为x 24+y 2=1，(2)由(1)知，圆E 的方程为x 2+y 2=5，其圆心为原点O ．∵直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M(x 0,y 0)∴方程组{y =kx +m x 24+y 2=1(∗) 有且只有一组解． 由(∗)得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−4=0．从而△=(8km)2−4(1+4k 2)(4m 2−4)=0，化简得m 2=1+4k 2，则m ≠0∴x 0=−8km 2(1+4k 2)=−4km 1+4k 2=−4k m ，y 0=k ×(−4k m )+m =m 2−4k 2m =1m ， ∴点M 的坐标为(−4k m ,1m )，∴k OM =−14k∴k OM ×k =−14≠−1．∴OM 与AB 不垂直．)∴点M 不是线段AB 的中点．∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 不成立解析：(1)利用椭圆的离心率，△PF 1F 2为面积最大值为√3，然后求解，即可得到椭圆C 的方程．(2)求出圆E 的圆心为原点O ，利用直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点M ，联立方程组，通过韦达定理结合直线的斜率关系判断即可．本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．。
黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷B卷
黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共15分)1. （1分） (2018高二上·睢宁月考) 直线l过点且与直线垂直，则直线l的方程是________．2. （1分） (2019高二上·开封期中) 命题“ ”的否定为________.3. （1分）(2017·广州模拟) 若抛物线x2=﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为1，则抛物线方程为________．4. （1分） (2020高二上·吉林期末) 命题若，则”的逆命题是________．5. （1分） (2018高一下·榆林期中) 若直线与互相垂直，则点到轴的距离为________．6. （1分） (2017高三上·盐城期中) 命题“∃x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是________．7. （1分） (2017高二下·溧水期末) “a=0”是“函数f（x）=x3+ax2（x∈R）为奇函数”的________条件．（填“充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要、充要”中的一个）．8. （1分） (2017高一下·泰州期中) 两条平行线l1：3x+4y=2与l2：ax+4y=7的距离为________．9. （2分） (2018高二上·鄞州期中) 已知方程所表示的曲线为C，若C为椭圆，则k的取值范围是________；若C为双曲线，则k的取值范围是________．10. （1分） (2016高一上·青浦期中) 已知a，b∈R，则“a＞1，b＞1”是“a+b＞2”的________条件．11. （1分） (2018高三上·哈尔滨月考) 已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为________12. （1分）(2013·上海理) 在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为________．13. （1分）(2016·江苏) 如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆 =1（a＞b＞0）的右焦点，直线与椭圆交于B ， C两点，且∠BFC=90° ,则该椭圆的离心率是________.14. （1分） (2019高二上·阜阳月考) 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为．若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．二、解答题 (共6题；共50分)15. （10分） (2017高二上·高邮期中) 已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为x﹣2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0．（1）求点A的坐标；（2）若点B的坐标为（1，2），求点C的坐标．16. （5分） (2019高二上·长春月考) 已知实数，满足，实数，满足 .若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.17. （10分） (2017高二上·高邮期中) 在平面直角坐标系xoy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，且双曲线C与斜率为2的直线l相交，且其中一个交点为P（﹣3，0）．（1）求双曲线C的方程及它的渐近线方程；（2）求以直线l与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程．18. （10分） (2018高一下·齐齐哈尔期末) 平面内动点到两定点，距离之比为常数，则动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.现已知定点、，圆心为，（1）求满足上述定义的圆的方程，并指出圆心的坐标和半径；（2）若，且经过点的直线交圆于，两点，当的面积最大时，求直线的方程.19. （10分）(2016·绵阳模拟) 已知椭圆 + =1（a＞b＞0）的左右焦点F1 ， F2其离心率为e= ，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（1）求a，b的值（2）若A、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，且满足， =0，求| |+| |的取值范围．20. （5分） (2016高二上·诸暨期中) 如图，已知圆G：x2﹣x+y2=0，经过抛物线y2=2px的焦点，过点（m，0）（m＜0）倾斜角为的直线l交抛物线于C，D两点．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）若焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．参考答案一、填空题 (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共50分)15-1、15-2、16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．顶点在原点，焦点是()0,3的抛物线的方程是（ ） A ．212y x = B ．212x y =C ．2112y x =D ．2112x y =【答案】B【解析】根据题意，由抛物线的焦点分析可得抛物线开口向上且2p=3，解可得p 的值，据此分析可得答案． 【详解】根据题意，要求抛物线的顶点在原点，焦点是（0，3）， 则抛物线开口向上且2p=3，解可得p ＝6， 则要求抛物线的方程为x 2＝12y ； 故选：B ． 【点睛】本题考查抛物线的几何性质以及标准方程，属于基础题． 2．下列叙述不正确的是（ ）A ．平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率B ．直线倾斜角的范围是0°≤α＜180°C ．若一条直线的倾斜角为α（α≠90°），则此直线的斜率为tanαD ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° 【答案】A【解析】根据斜率的定义知当直线与x 轴垂直时，斜率不存在，得到答案. 【详解】根据斜率的定义知：当直线与x 轴垂直时，斜率不存在，故A 错误，其他选项正确. 故选：A 【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的定义，属于简单题.3．已知命题p ：“m ＝﹣2”，命题q ：“直线4x ﹣y ＝0与直线x +m 2y ＝0互相垂直”．则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】根据垂直计算得到2m =±，根据范围的大小关系得到答案. 【详解】直线4x ﹣y ＝0与直线x +m 2y ＝0互相垂直，即2402m m -=∴=±；故命题p 是命题q 的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件，根据垂直得到2m =±是解题的关键.4．若曲线C ：x 2+y 2﹣2ax +6ay +10a 2﹣1＝0上所有的点均在第二象限内，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣1，0） B ．（﹣∞，﹣1） C ．（1，+∞） D ．（0，1）【答案】B【解析】化简得到()()2231x a y a -++=，根据所有的点均在第二象限内得到131a a ->⎧⎨->⎩，计算得到答案. 【详解】曲线C ：x 2+y 2﹣2ax +6ay +10a 2﹣1＝0即()()2231x a y a -++=所有的点均在第二象限内，即131a a ->⎧⎨->⎩解得1a <-故选：B 【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.5．已知F 1，F 2分别是椭圆()222210x y C a b a b+=：＞＞的左、右焦点，椭圆C 上不存在点P 使123F PF π∠≥，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1⎫⎪⎪⎝⎭B ．112⎛⎫⎪⎝⎭， C ．0⎛ ⎝⎭D ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】根据题意得到123F PF π<∠恒成立，得到1sin sin 6c F PO a π∠=<计算得到答案. 【详解】椭圆C 上不存在点P 使123F PF π∠≥，即123F PF π<∠恒成立当P 在短轴顶点时12F PF ∠最大，即11sin sin 62c F PO a π<∠==，即12e < 故选：D 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，确定角度最大的点是解题的关键. 6．“2,0x R x x ∀∈-≥”的否定是（ ）A ．2,0x R x x ∀∈-<B ．2,0x R x x ∀∈-≤C ．2000,0x R x x ∃∈-≤D ．2000,0x R x x ∃∈-<【答案】D【解析】试题分析：因为全称命题的否定是存在性命题，所以“2,0x R x x ∀∈-≥”的否定是“2000,0x R x x ∃∈-<”，故选D.【考点】命题的否定．7．已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的一条渐近线方程为y =，且它的一个焦点在抛物线y 2＝12x 的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．221432x y -=B ．2218y x -=C ．221324x y -=D ．2218x y -=【答案】B【解析】根据渐近线得到b =，再计算抛物线212y x =的准线为3x =-得到3c =，解得答案. 【详解】双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的一条渐近线方程为y b =∴=抛物线212y x =的准线为3x =-，故双曲线的一个焦点为()3,03c -∴=故1,a b ==双曲线方程为：2218y x -=故选：B 【点睛】本题考查了双曲线方程，抛物线的准线，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 8．半径为1的圆C 的圆心在第四象限，且与直线y =060y --=均相切，则该圆的标准方程为（ ） A．22(1)(1x y -+= B．22((1)1x y -+-= C．22(1)(1x y -++= D．22((1)1x y ++=【答案】D【解析】根据题意设出圆心（a ，﹣1），再由点到直线的距离公式求出a ，结合圆的标准方程以及选项即可得出答案. 【详解】 如图，由题意可设圆心坐标为（a ，﹣1），r =1．则1d ==52-=，解得a =3．结合选项可得，所求圆的方程为22((1)1x y ++=． 故选：D 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式、圆的标准方程以及直线与圆的位置关系，需熟记点到直线的距离公式，圆的标准方程形式.属于基础题.9．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上一点，点P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且124PF PF a +=，则双曲线离心率是（ ）A ．2B ．2C D ．32【答案】A【解析】由点P 到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，根据直角三角形的性质，可得12PF PF ⊥，得到2221212PF PF F F +=，即即22294a a c +=，再根据离心率的定义，即可求解。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．2．两平行直线2x+y﹣1＝0与2x+y+3＝0间的距离为（）A．B．C．D．3．若双曲线（a＞0）的渐近线方程为，则a的值为（）A．2B．4C．6D．84．当圆C：x2+y2﹣4x﹣2my+2m＝0的面积最小时，m的取值是（）A．4B．3C．2D．15．P（x0，y0）是抛物线y2＝4x上一点，点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍，则x0＝（）A．B．1C．D．26．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，P为C上一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是9，则b＝（）A．1B．2C．3D．47．以抛物线x2＝﹣10y的焦点为圆心，为半径的圆，与直线2mx﹣my+1＝0相切，则m ＝（）A．或1B．或1C．或D．或﹣18．已知两点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，动点P（x，y）在线段AB（不含端点）上运动，过P点分别向x，y轴作垂线，垂足分别为M，N，则四边形PMON的面积的最大值为（）A．B．2C．D．89．双曲线x2﹣3y2＝3t的一个焦点坐标为（0，4），则t＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．410．直线l过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限）若|BF|＝2，则|AF|＝（）A．B．C．D．11．若直线l：x﹣2y＝0与双曲线x2﹣ay2＝4（a＞0）的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（0，4）D．（0，4]12．已知点M（﹣1，2）和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，则k＝（）A．1B．2C．3D．413．已知双曲线的右支与焦点为F的抛物线（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6|OF|，则双曲线C1的渐近线方程为（）A．B．y＝±x C．D．14．已知过椭圆的左焦点F1且斜率为的直线l与椭圆交于A，B 两点．若椭圆上存在一点P，满足＝0（其中O为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）15．已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2，点P（x，y）在C右支上，若|PF2|＝2，则|PF1|＝．16．已知圆，圆，则两圆的公切线条数是．17．点P（x，y）在抛物线y2＝4x上，则点P到（0，3）的距离与点P到准线距离之和的最小值是．18．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在四个不同的点P满足，则a的取值范围是．19．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N 的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是．20．如图，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N．若，则＝．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知直线，圆C：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系，并证明；（2）若直线l与圆C相交，求出圆C被直线l截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l的最短距离．22．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点．（1）求双曲线标准方程；（2）若直线y＝k（x﹣1）与双曲线有两个不同的公共点，求k的取值范围．23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C焦点F，作斜率为的直线l交C于A，B两点（A点在第一象限），若，求λ的值．24．已知椭圆，点A（0，2）与点P在椭圆C上．已知B（2，0），O为坐标原点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知M（0，8），若Q是椭圆C上一动点，求|QM|的最大值，并写出此时Q点坐标．25．如图，已知直线l与抛物线y2＝x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，直线l与x轴相交于点M，且y1y2＝﹣1．（1）求证：OA⊥OB；（2）求点M的横坐标；（3）过A，B点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求k QM•k AB．26．已知椭圆的一个顶点为抛物线x2＝8y的焦点，点P（x0，y0）在椭圆C 上且x0•y0≠0，P关于原点O的对称点为Q，过P作OP的垂线交椭圆于另一点T，连QT交x轴于M．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：PM⊥x轴；（3）记△POM的面积为S1，△PQT的面积为S2，求的取值范围．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．2．两平行直线2x+y﹣1＝0与2x+y+3＝0间的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：根据两平行线间的距离公式得：d＝．故选：D．3．若双曲线（a＞0）的渐近线方程为，则a的值为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：双曲线（a＞0）的渐近线方程：y＝±x，因为双曲线（a＞0）的渐近线方程为，所以a＝2，故选：A．4．当圆C：x2+y2﹣4x﹣2my+2m＝0的面积最小时，m的取值是（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2my+2m＝0，∴圆C的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣m）2＝m2﹣2m+4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3≥3，所以m＝1时，r2取得最小值，从而圆C的面积πr2在m＝1时取得最小值．故选：D．5．P（x0，y0）是抛物线y2＝4x上一点，点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍，则x0＝（）A．B．1C．D．2【解答】解：设抛物线y2＝4x上的点P（，y），抛物线的焦点坐标（1，0），点P到焦点的距离是点P到y轴距离的3倍，所以；解得y2＝2；所以P到x轴的距离是：；故选：A．6．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，P为C上一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积是9，则b＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据椭圆定义知PF1+PF2＝2a，∵⊥，∴△PF1F2为直角三角形，∴（PF1）2+（PF2）2＝（2c）2，又∵△PF1F2的面积为9，∴•PF1•PF2＝9，∴（2a）2＝（PF1+PF2）2＝（PF1）2+（PF2）2+2PF1•PF2＝4c2+36，∴b2＝a2﹣c2＝9，∴b＝3，故选：C．7．以抛物线x2＝﹣10y的焦点为圆心，为半径的圆，与直线2mx﹣my+1＝0相切，则m ＝（）A．或1B．或1C．或D．或﹣1【解答】解：抛物线x2＝﹣10y的焦点（0，﹣），以抛物线x2＝﹣10y的焦点为圆心，为半径的圆，与直线2mx﹣my+1＝0相切，可得：＝，解得：m＝或．故选：C．8．已知两点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，动点P（x，y）在线段AB（不含端点）上运动，过P点分别向x，y轴作垂线，垂足分别为M，N，则四边形PMON的面积的最大值为（）A．B．2C．D．8【解答】解：两点A（2，0），B（0，4），O为坐标原点，动点P（x，y）在线段AB（不含端点）上运动，、过P点分别向x，y轴作垂线，垂足分别为M，N，如图所示：则：设P（x，y），根据平行线的性质，整理得y＝4﹣2x，所以S四边形POMN＝xy＝x（4﹣2x）＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2．当x＝1时，面积的最大值为2．故选：B．9．双曲线x2﹣3y2＝3t的一个焦点坐标为（0，4），则t＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4【解答】解：根据题意，双曲线x2﹣3y2＝3t的焦点为（0，4），焦点在y轴上，则有t＜0，化为标准方程为：，又由其焦点为（0，4），且﹣4t＝16，解可得t＝﹣4，故选：A．10．直线l过抛物线C：y2＝2x的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限）若|BF|＝2，则|AF|＝（）A．B．C．D．【解答】解：若斜率不存在，则|AB|＝2p＝1，不成立，所以AB斜率存在，设为k，则直线AB：y＝k（x﹣），设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的性质，|BF|＝2，则x2+＝2，x2＝，代入抛物线方程得y2＝，所以k＝，所以y＝，与C：y2＝2x，联立得3x2﹣5x+＝0，x1x2＝，所以x1＝，所以|AF|＝．故选：B．11．若直线l：x﹣2y＝0与双曲线x2﹣ay2＝4（a＞0）的右支仅有一个公共点，则a的取值范围是（）A．（4，+∞）B．[4，+∞）C．（0，4）D．（0，4]【解答】解：双曲线x2﹣ay2＝4（a＞0）的渐近线方程为：x＝，直线l：x﹣2y＝0与双曲线x2﹣ay2＝4（a＞0）的右支仅有一个公共点，可得，解得0＜a＜4，所以a的取值范围是（0，4），故选：C．12．已知点M（﹣1，2）和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若∠AMB＝90°，则k＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），∴过A，B两点的直线方程为y＝k（x﹣1），联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝1，∴y1+y2＝k（x1+x2﹣2）＝，y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝﹣4，∵M（﹣1，2），∴＝（x1+1，y1﹣2），＝（x2+1，y2﹣2），∵∠AMB＝90°，∴•＝0，∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣2）（y2﹣2）＝0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣2（y1+y2）+5＝0，∴1+2+﹣4﹣+5＝0，即k2﹣2k+1＝0，∴k＝1．故选：A．13．已知双曲线的右支与焦点为F的抛物线（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝6|OF|，则双曲线C1的渐近线方程为（）A．B．y＝±x C．D．【解答】解：把x2＝2py（p＞0）代入双曲线双曲线，可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0，∴y A+y B＝2p．∵|AF|+|BF|＝6|OF|，∴y A+y B+2×＝6×．∴2p＝2p，∴，则双曲线C1的渐近线方程为y＝，故选：B．14．已知过椭圆的左焦点F1且斜率为的直线l与椭圆交于A，B 两点．若椭圆上存在一点P，满足＝0（其中O为坐标原点），则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设F1（﹣c，0），则直线l的方程为y＝（x+c），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得2x2+2cx+c2﹣a2＝0，则x1+x2＝﹣c，x1•x2＝，所以y1+y2＝因为＝0，即＝﹣（）＝﹣（x1+x2，y1+y2），则P（c，﹣），又因为点P在椭圆上，代入整理得＝1，即2e2＝1，解得e＝，故选：D．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分.）15．已知双曲线左、右焦点分别为F1、F2，点P（x，y）在C右支上，若|PF2|＝2，则|PF1|＝2+2．【解答】解：双曲线左、右焦点分别为F1、F2，可得a＝，点P（x，y）在C右支上，若|PF2|＝2，则|PF1|＝|PF2|+2a＝2+2．故答案为：2+2．16．已知圆，圆，则两圆的公切线条数是2．【解答】解：已知圆，转换为（x﹣1）2+（y+2）2＝9，即该圆是以（1，﹣2）为圆心，3为半径的圆．圆，转换为（x+1）2+（y﹣1）2＝4，即该圆是以（﹣1，1）为圆心，2为半径的圆．所以圆心距d＝＝，所以3﹣2＝1＜d＜3+2＝5，所以两圆相交，故公切线的条数为2．故答案为：2．17．点P（x，y）在抛物线y2＝4x上，则点P到（0，3）的距离与点P到准线距离之和的最小值是．【解答】解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|＝＝．即|PM|+|PQ|的最小值为：．故答案为：．18．已知椭圆左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上存在四个不同的点P满足，则a的取值范围是（4，+∞）．【解答】解：根据题意，椭圆，b＝2，若椭圆C上存在四个不同点P满足，则×b×2c＞4，即c＞2，则c2＞12，则有a2＝b2+c2＞16，∴a＞4，a的取值范围为（4，+∞）；故答案为：（4，+∞）．19．已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是x2﹣．【解答】解：连接ON，由题意可得ON＝1，且N为MF1的中点∴MF2＝2∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P由垂直平分线的性质可得PM＝PF1∴|PF2﹣PF1|＝|PF2﹣PM|＝MF2＝2＜F1F2由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，c＝2，a＝1，则b＝．所以所求双曲线方程为：x2﹣．故答案为：x2﹣．20．如图，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与C相交于A，B两点，且A，B两点在准线上的射影分别为M，N．若，则＝．【解答】解：如图，因为，则（S△MFN）2＝S△BNF•S△AMF，设∠MAF＝θ，AF＝a，BF＝b，又抛物线定义可得：AM＝a，BN＝b，∠MFO+∠NFO＝∠MF A+∠NFB＝90°，由余弦定理得MF2＝2a2（1﹣cosθ），NF2＝2b2（1+cosθ），∴S△MAF＝，S△MBF＝，（S△MFN）2＝MF•NF＝a2b2sin2θ．∴（S△MFN）2＝4S△BNF•S△AMF，∴即可得，故答案为：4．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）21．已知直线，圆C：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0．（1）判断直线l与圆C的位置关系，并证明；（2）若直线l与圆C相交，求出圆C被直线l截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l的最短距离．【解答】解：（1）直线l与圆C相交．证明如下：化圆C：x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0为（x+2）2+（y﹣2）2＝9，可知圆C的圆心坐标为C（﹣2，2），半径r＝3．∵圆心C到直线的距离d＝＜3，∴直线l与圆C相交．（2）由（1）知，圆心C到直线l的距离d＝，又r＝3．∴圆C被直线l截得的弦长为．22．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点．（1）求双曲线标准方程；（2）若直线y＝k（x﹣1）与双曲线有两个不同的公共点，求k的取值范围．【解答】解：（1）双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，设双曲线的方程为﹣＝1（a＞0，b＞0），由e＝＝＝，可得a＝b，由双曲线过点，可得﹣＝1，解得a＝b＝6，则双曲线的标准方程为﹣＝1；（2）直线y＝k（x﹣1）与双曲线﹣＝1联立，可得（1﹣k2）x2+2k2x﹣k2﹣6＝0，由1﹣k2≠0，△＞0即4k4﹣4（1﹣k2）（﹣k2﹣6）＞0，即有k≠±1，且﹣＜k＜，则k的取值范围是（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）．23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心，O为坐标原点．（1）求抛物线C的方程；（2）过抛物线C焦点F，作斜率为的直线l交C于A，B两点（A点在第一象限），若，求λ的值．【解答】解：（1）圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（1，0），即抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），可得＝1，即p＝2，抛物线的方程为y2＝4x；（2）过抛物线C焦点F（1，0），斜率为的直线l的方程为y＝（x﹣1），代入抛物线方程y2＝4x，可得4x2﹣17x+4＝0，解得x＝4或，可设A（4，4），B（，﹣1），若，则1﹣4＝λ（﹣1），解得λ＝4．24．已知椭圆，点A（0，2）与点P在椭圆C上．已知B（2，0），O为坐标原点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知M（0，8），若Q是椭圆C上一动点，求|QM|的最大值，并写出此时Q点坐标．【解答】解：（1）将A（0，2）代入方程得b2＝4，又因为，即（0，2）+（2，0）＝，则P（，），将P（，）代入椭圆方程得a2＝8，所以椭圆C的方程为；（2）设Q（x，y），因为Q在椭圆上，所以x2＝8﹣2y2，则|MQ|2＝x2+（y﹣8）2＝﹣y2﹣16y+72＝﹣（y+8）2+136，其中﹣2≤y≤2，则当y＝﹣2时，|MQ|2最大，此时为100，即此时Q（0，﹣2），|MQ|最大值为10．25．如图，已知直线l与抛物线y2＝x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，O为坐标原点，直线l与x轴相交于点M，且y1y2＝﹣1．（1）求证：OA⊥OB；（2）求点M的横坐标；（3）过A，B点分别作抛物线的切线，两条切线交于点Q，求k QM•k AB．【解答】解：（1）证明：可设直线l的方程为x＝my+t，代入抛物线y2＝x，可得y2﹣my ﹣t＝0，A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝m，y1y2＝﹣t，由y1y2＝﹣1，可得t＝1，由x1x2＝（y1y2）2＝1，可得x1x2+y1y2＝1﹣1＝0，可得•＝0，即OA⊥OB；（2）由直线x＝my+1，令y＝0，可得x＝1，即M的横坐标为1；（3）对y2＝x，两边对x求导，可得2yy′＝1，即y′＝，可得A处的切线的斜率为，切线方程为y﹣y1＝（x﹣x1），由y12＝x1，y22＝x2，可得y1y＝（x+x1），①同理可得B处的切线方程为y2y＝（x+x2），②由①②可得y＝＝＝，x＝2y1y﹣x1＝my1﹣y12＝（y1+y2）y1﹣y12＝y1y2＝﹣1，可得Q（﹣1，），则k QM•k AB＝•＝﹣•＝﹣•＝﹣．26．已知椭圆的一个顶点为抛物线x2＝8y的焦点，点P（x0，y0）在椭圆C 上且x0•y0≠0，P关于原点O的对称点为Q，过P作OP的垂线交椭圆于另一点T，连QT交x轴于M．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：PM⊥x轴；（3）记△POM的面积为S1，△PQT的面积为S2，求的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线x2＝8y的焦点（2，0），∴b＝2，∴椭圆的方程．（2）证明：∵OP⊥PT，∴k OP•k PT＝﹣1，∴•k PT＝﹣1，∴k PT＝﹣，直线PT方程：y﹣y0＝﹣（x﹣x0），即y＝﹣，联立直线PT与椭圆的方程得（1+）x2﹣（）x+，∴x0+x T＝，∴x T＝，∴y T＝﹣•+，＝，∴T（，），∴直线QT方程y+y0＝，令y＝0，得x＝x0，∴M（x0，0），∴PM⊥x轴，（3）S△OPM＝|OM|•|PM|＝|x0y0|，S△PQT＝S△OQM+S△OMP+S△PMT＝+|OM|•|PM|+|x T﹣x0|，＝，＝|x0y0|+，∴＝＝，∴∈（0，）．。
黑龙江省实验中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)
黑龙江省实验中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 抛物线4x 2+3y =0的准线方程为( )A. x =13B. y =13C. x =316D. y =3162. 已知点F 1(−10,0)、F 2(10,0)，P 是双曲线x 236−y 264=1上的一点，则|PF 1|−|PF 2|=( )A. 12B. −12C. −12或12D. 16或12 3. 若直线l 1：(2m +1)x −4y +3m =0与直线l 2：x +(m +5)y −3m =0平行，则m 的值为( )A. −92或−1 B. −92C. −192D. −14. 已知曲线C ：ax 2+by 2=1表示焦点在y 轴上的双曲线，则( )A. a ，b >0B. a >0，b <0C. a <0，b <0D. a <0，b >05. 若变量x,y 满足约束条件{2x −y ⩾0y ⩾x y ⩾−x +2，则z =2x +y 的最小值为( )A. 0B. 3C. 52D. 836. 若圆心在x 轴上、半径为√5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x +2y =0相切，则圆O 的方程是( )A. (x −√5)2+y2=5B. (x +√5)2+y2=5C. (x −5)2+y2=5D. (x +5)2+y2=57. 已知椭圆C ：y 2a 2+x 216=1(a >4)的离心率是√33，则椭圆C 的焦距是( ) A. 2√2B. 2√6C. 4√2D. 4√68. 已知点M 为抛物线y 2=6x 上的点，N 为抛物线的准线l 上的点，F 为抛物线的焦点，若FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则MN 的斜率为( )A. ±√2B. ±√3C. ±2D. ±19. 双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一个焦点F 到E 的渐近线的距离为√3a ，则E 的离心率是( )A. √2B. 32C. 2D. 310. 若实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0，则z =x +2y 的取值范围是( )A. (−∞,4]B. [4,+∞)C. [5,+∞)D. (−∞,+∞)11. 已知点A(2,0)，B(0,2)，点M 是圆x 2+y 2+2x +2y =0上的动点，则点M 到直线AB 的距离的最小值为( )A. 2√2−2B. √2C. 2D. 2√212. 已知椭圆C.x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，直线y =x 与椭圆相交于A ，B 两点，若椭圆上存在异于A ，B 两点的点P 使得k PA ⋅k PB ∈(−13,0)，则离心率e 的取值范围为( )A. (0,√63)B. (√63,1)C. (0,23)D. (23,1)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线的倾斜角α满足cos α=−12，则此直线的斜率是__________．14. 已知抛物线C ：y 2=8x ，x 轴上有一定点M(5,0).若点P 是抛物线C 上的一动点，则|PM|+|PF|的最小值为______．15. 过点(2√2,0)的直线与双曲线x 28−y 24=1仅有一个交点，则这样的直线有__________条．16. 过点(3,0)且斜率为45的直线被椭圆x 225+y 216=1所截线段的中点坐标为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 求直线l ：2x −y −2=0，被圆C ：(x −3)2+y 2=9所截得的弦长．18. 若P 为抛物线y 2=10x 上的动点，求点P 到直线x +y +5=0的距离的最小值．19. 已知椭圆C 1的方程为x 24+y 2=1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点，求双曲线C 2的方程．20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，焦距为2，点P(4,t)(t ≠0)为直线x =4上的一点． (1)求椭圆C 的方程；(2)若A 为椭圆的左顶点，直线PA 与椭圆交于点Q ，且|AQ|=|QP|，求直线PA 的方程．21. 如图，设抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离为|AF|−1(1)求p 的值；(2)已知B ，C 为抛物线上的动点，且OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，直线BC 与x 轴交于点P ，求|PC |·|PB |的最小值．22.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√22，其左、右焦点分别为F1,F2，短轴顶点分别为A，B，如图所示，ΔABF2的面积为1．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(−1,1)且斜率为k的直线l交椭圆C于M，N两点(异于A，B点)，证明：直线BM和BN的斜率和为定值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．化简抛物线方程为标准方程，然后求解准线方程．【解答】解：抛物线4x2+3y=0的标准方程为：x2=−34y，则抛物线开口向下，故准线方程y=316．故选：D．2.答案：C解析：解：双曲线x236−y264=1的a=6，b=8，c=10．则由双曲线的定义可得||PF1|−|PF2||=2a=12，则|PF1|−|PF2|=±12．故选C．求出双曲线的a，b，c，由双曲线的定义，即可得到．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查运算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：直线l1的斜率一定存在，为2m+14，但当m=−5时，l2的斜率不存在，两直线不平行．当m≠−5时，l2的斜率存在且等于2m+1−4=1m+5≠3m−3m=−1，解得m=−92，故选：B．直线l1的斜率一定存在，所以，当两直线平行时，l2的斜率存在，求出l2的斜率，利用它们的斜率相等解出m的值．本题考查两直线平行的条件，两直线平行时，它们的斜率相等或者都不存在．4.答案：D解析：解：根据题意，曲线C ：ax 2+by 2=1，变形可得x 21a+y 21b=1，若其表示焦点在y 轴上的双曲线，则有1a <0，1b >0， 则有a <0，b >0， 故选：D ．根据题意，将曲线方程变形为x 21a+y 21b=1，由双曲线的标准方程分析可得1a <0，1b>0，变形即可得答案．本题考查双曲线的标准方程，关键是掌握双曲线标准方程的形式．5.答案：D解析： 【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，进行平移即可得到结果． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：联立{y =−x +2y =2x ⇒{x =23y =43 故C 点的坐标为(23,43)， 由z =2x +y ，得y =−2x +z ， 平移直线y =−2x +z ，由图象可知当直线y =−2x +z 经过点C(23,43)时，z 取得最小值83．故选D ．6.答案：D解析：解：设圆心为(a,0)(a <0)，则r =√12+22=√5，解得a =−5，所以，所求圆的方程为：(x +5)2+y2=5，故选D.7.答案：C解析：解：椭圆C ：y 2a 2+x 216=1(a >4)的离心率是√33， 可得√a2−16a=√33，解得a =2√6．可得c =√24−16=2√2． 则椭圆C 的焦距是：4√2． 故选：C ．利用椭圆的离心率求出a ，然后求解焦距即可． 本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．8.答案：B解析：解：抛物线y 2=6x 可得F(32,0)，则N 的横坐标为：−32，点M 为抛物线y 2=6x 上的点，N 为抛物线的准线l 上的点，F 为抛物线的焦点，若FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得F 是MN 的中点，则M 的横坐标为：92，纵坐标为：±3√3． 则MN 的斜率：±3√392−32=±√3．故选：B ．求出抛物线的焦点坐标，利用向量相等，求出M 的坐标，即可得到则MN 的斜率． 本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．9.答案：C解析：解：根据题意，双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1的焦点在x 轴上，则其渐近线方程为y =±ba x ，即ay ±bx =0，设F(c,0)，F 到渐近线ay −bx =0的距离d =√a 2+b 2=|b×c|c=b ，又由双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1的一个焦点F 到E 的渐近线的距离为√3a ， 则b =√3a ，c =√a 2+b 2=2a ，故双曲线的离心率e =ca =2； 故选：C ．根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点F 到渐近线ay −bx =0的距离为b ，结合题意可得b =√3a ，由双曲线的几何性质可得c =√a 2+b 2=2a ，进而由双曲线离心率公式计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质，注意“双曲线的焦点到其渐近线的距离为b ”．10.答案：B解析：解：画出实数x ，y 满足约束条件{x −3y +1≤0x +y −3≥0所示的平面区域，如图：将目标函数变形为−12x +z2=y ，则z 表示直线在y 轴上截距，截距越大，z 越大， 当目标函数过点A(2,1)时，截距最小为z =2+2=4，随着目标函数向上移动截距越来越大，故目标函数z =2x +y 的取值范围是[4,+∞)． 故选：B ．作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象判断目标函数z =x +2y 的取值范围．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．11.答案：B解析： 【分析】本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．首先将圆的方程整理为标准型，然后结合圆心到直线的距离整理计算即可求得最终结果． 【解答】解：圆的方程即：(x +1)2+(y +1)2=2， 直线AB 的方程为：x +y −2=0，圆心到直线的距离为：d=√12+12=2√2，据此可得：点M到直线AB的距离的最小值为2√2−√2=√2．故选B．12.答案：B解析：【分析】设P(x0,y0)，A(x1,y1)，则B(−x1,−y1)，求k PA⋅k PB的值得到a，b的不等式，再计算e的范围即可本题考查椭圆的简单几何性质，曲线对称性的考查，考查计算能力，是中档题【解答】解：设P(x0,y0)，A(x1,y1)，则B(−x1,−y1)，∴k PA⋅k PB=y0−y1x0−x1⋅y0+y1x0+x1=y02−y12x02−x12，又x02a2+y02b2=1，x12a2+y12b2=1，两式做差，得x02−x12a2+y02−y12b2=0，∴k PA⋅k PB=y02−y12x02−x12=−b2a2，故−13<−b2a2<0．所以e=√1−b2a2∈(√63,1)．故选：B．13.答案：−√3解析：【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率，根据已知条件求出sinα，则斜率可得．【解答】解：cosα=−12，又0°≤α<180°，∴sinα=√32，∴ k =tan α=sinαcosα=−√3．故答案为−√3．14.答案：7解析：解：设点P 在准线上的射影为D ， 则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，要求|PM|+|PF|取得最小值，即求|PM|+|PD|取得最小 当D ，P ，M 三点共线时|PM|+|PD|最小，为5−(−2)=7． 故答案为：7．设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PM|+|PD|取得最小，进而可推断出当D ，P ，M 三点共线时|PM|+|PD|最小，答案可得．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D ，P ，M 三点共线时|PM|+|PD|最小，是解题的关键15.答案：3解析：点(2√2,0)为双曲线的右顶点，当斜率存在，有一个交点，则直线需与渐近线平行；另外，过点(2√2,0)且垂直于x 的直线也满足要求．16.答案：(32,−65)解析：解：过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)， 联立{y =45(x −3)x 225+y 216=1，得x 2−3x −8=0，△=9+32=41>0，设直线与椭圆交于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=3，y 1+y 2=45(x 1+x 2)−245=−125，∴直线被椭圆所截线段的中点坐标为(32,−65)． 故答案为：(32,−65)．过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y =45(x −3)，联立{y =45(x −3)x 225+y 216=1，得x 2−3x −8=0，由此利用韦达定理和中点坐标公式能求出结果．本题考查直线被圆所截线段的中点坐标的求法，是中档题，解题时要注意韦达定理和中点坐标公式的合理运用．17.答案：解：圆(x −3)2+y 2=9的圆心为C(3,0)，半径r =3，∵点C 到直线直线l ：2x −y −2=0的距离d =√22+1=4√55， ∴根据垂径定理，得直线l ：2x −y −2=0被圆(x −3)2+y 2=9截得的弦长为：l =2√r 2−d 2=2√32−(4√55)2=2√1455．解析：算出已知圆的圆心为C(3,0)，半径r =3.利用点到直线的距离公式，算出点C 到直线直线l 的距离d ，由垂径定理加以计算，可得直线l 被圆截得的弦长．本题给出直线与圆的方程，求直线被圆截得的弦长，着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题． 18.答案：5√24解析：设P(x,y)，则点P 到直线x +y +5=0的距离为d =√2=|y 210+y+5|√2=210√2，∴y =−5时，d 取最小值，为5√24． 19.答案：解：设双曲线C 2的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则a 2=4−1=3，c 2=4，由a 2+b 2=c 2，得b 2=1．故C 2的方程为x 23−y 2=1．解析：设出双曲线的标准方程，根据根据椭圆方程求得双曲线的左右顶点和焦点，进而求得双曲线方程中的a 和b ，则双曲线方程可得．本题主要考查了椭圆、双曲线方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．20.答案：解：(1)设椭圆的半焦距为c ，则{c a =12,c =1,解得{a =2,c =1,则b 2=a 2−c 2=3， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1． (2)由(1)知椭圆方程为x 24+y 23=1，则A(−2,0)．设点Q(x 0,y 0)，由|AQ|=|QP|，得|AQ||AP|=x 0+26=12， 解得x 0=1．又∵点Q(x 0,y 0)在椭圆上，∴14+y 023=1，解得y 0=±32．P 为(1,±32)，直线AP 的斜率为±12，∴直线PA 的方程为y =12(x +2)或y =−12(x +2)．解析：本题考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，属于基础题．(1)由题意解得{a =2,c =1,则b 2=a 2−c 2=3，即可写出标准方程； (2)设点Q(x 0,y 0)，由|AQ|=|QP|，得|AQ||AP|=x 0+26=12，解得x 0=1． 又14+y 023=1，解得y 0=±32，即可得直线方程． 21.答案：解：(Ⅰ)∵抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离为|AF|−1，∴p 2=1，解得p =2．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，抛物线方程为y 2=4x ，设直线CB 的方程为：x =my +t ，C(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)， 直线与抛物线联立：{x =my +t y 2=4x，得：y 2−4my −4t =0， 则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4t ，∵k OC =4y 1，k OB =4y 2， ∴k OC ⋅k OB =16y 1y 2=16−4t =−1，则t =4，∴直线CB 过定点(4,0)，即P 点坐标为(4,0)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 124−4,y 1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 224−4,y 2)， ∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y 12y 2216−(y 12+y 22)+16+y 1y 2=−16m 2−16， ∴|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16m 2+16≥16，当且仅当m =0时，|PC|⋅|PB|取最小值16．解析：本题抛物线方程的求法，考查两线段积的最小值的求法，考查抛物线性质、韦达定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(Ⅰ)由抛物线上的点A 到y 轴的距离为|AF|−1，得p 2=1，由此能求出p ．(Ⅱ)由抛物线方程为y 2=4x ，设直线CB 的方程为：x =my +t ，直线与抛物线联立：{x =my +t y 2=4x，得：y 2−4my −4t =0，由此利用抛物线性质、韦达定理、向量的数量积公式能求出结果．22.答案：解：(1)ca =√22，a2=2c2，b2=c2，又bc=1，∴b=c=1,a=√2，所以椭圆的标准方程为x22+y2=1．(2)证明：如图所示：设直线l的方程为y=k(x+1)+1，M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立{y=k(x+1)+1x22+y2=1得(2k2+1)x2+4k(k+1)x+2k2+4k=0，∴x1+x2=−4k(k+1)2k2+1,x1x2=2k2+4k2k2+1，∴K BM+K BN=y1+11+y2+12=k(x1+1)+21+k(x2+1)+22=2k+k+2x1+k+2x2=2k+(k+2)(x1+x2)x1x2．=2k−(k+2)4k(k+1)2k2+4k=2k−2(k+1)=−2．∴直线BM与BN的斜率之和为定值．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)利用离心率以及三角形的面积，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．(2)联立直线与椭圆方程．设出MN的坐标，利用韦达定理，转化求解斜率，推出定值即可．。
黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年数学高二上学期理数期中考试试卷(I)卷
黑龙江省哈尔滨市2019-2020学年数学高二上学期理数期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知四面体P﹣ABC中，PA=4，AC=2 ，PB=BC=2 ，PA⊥平面PBC，则四面体P﹣ABC的外接球半径为（）A . 2B . 2C . 4D . 42. （2分） (2018高二上·深圳期中) 已知（2，﹣1，2），（x，y，6），与共线，则x ﹣y＝（）A . 5B . 6C . 3D . 93. （2分） (2019高二下·上海期末) 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“ ⊥ ”是“ ⊥ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2018高二上·深圳期中) 有关命题的说法错误的是（）A . 若p∨q为假命题，则p、q均为假命题B . “x＝1”是“x2﹣3x+2＝0”的充分不必要条件C . 命题“若x2﹣3x＝2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x＝2≠0”D . 对于命题p：∃x≥0，2x＝3，则￢P：∀x＜0，2x≠35. （2分） (2018高二上·深圳期中) 双曲线的渐近线方程是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·深圳期中) 在四棱锥中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若，，，则A . ；B .C .D .7. （2分） (2018高二上·深圳期中) 已知双曲线 1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足A F⊥BF，设∠ABF ，则该双曲线离心率e的值为（）A . 2B .C . 2D .8. （2分） (2018高二上·深圳期中) 如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB ＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，E是CC1的中点，则AE的长为（）A . 4B . 4C . 3D . 39. （2分） (2018高二上·深圳期中) 在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . 510. （2分） (2018高二上·深圳期中) △ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（）A .B . （y≠0）C .D . （y≠0）11. （2分） (2019高二上·拉萨月考) 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（）A . 4B . 8C . 24D . 4812. （2分） (2018高二上·深圳期中) 已知O为坐标原点，F是椭圆C： 1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的三等分点G（靠近O点），则C的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2015高三上·如东期末) 已知等比数列{an}，首项a1=2，公比q=3，ap+ap+1+…+ak=2178（k ＞p，p，k∈N+），则p+k=________ ．14. （1分） (2017高二下·新疆开学考) 若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为________．15. （1分）用表示三条不同的直线, 表示平面,给出下列命题:①若 ,则;②若 ,则 ;③若 ,则;④若 ,则 .其中真命题的序号是A . ①②B . ②③C . ①④D . ③④16. （1分） (2020高二下·化州月考) 已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高一上·绍兴期末) 已知集合，，．Ⅰ 若，求实数m的范围；Ⅱ 若，求实数b的取值范围．18. （10分）(2018·南充模拟) 如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使平面平面 .（Ⅰ）若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求三棱锥的体积的最大值.19. （5分） (2016高二上·绍兴期末) 如图，一个圆锥的底面半径为2cm，高为6cm，其中有一个高为xcm 的内接圆柱．（1）试用x表示圆柱的侧面积；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大．20. （5分）(2018·孝义模拟) 如图，三棱柱中，，平面 .（1）证明：；（2）若，，求二面角的余弦值.21. （10分） (2019高二下·湖州期末) 已知，为抛物线上的相异两点，且.（1）若直线过，求的值；（2）若直线的垂直平分线交x轴与点P，求面积的最大值.22. （15分） (2018高二上·深圳期中) 已知椭圆：的离心率为，且上焦点为，过的动直线与椭圆相交于、两点．设点，记、的斜率分别为和．（1）求椭圆的方程；（2）如果直线的斜率等于，求的值；（3）探索是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市中学高二上学期期中考试数学
哈尔滨市第六中学2019-2020学年度上学期期中考试高二文科数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1．命题:(1,),23xp x ∀∈+∞> ，则p ⌝ 是（ ）A.(1,),23xx ∀∈+∞ B.(,1],23xx ∀∈-∞ C.00(1,),23x x ∃∈+∞D.00(,1],23x x ∃∈-∞2．抛物线218y x =的准线方程是（ ） A ．2y =- B ．12y = C ．132x = D ．132y = 3．“x y =”是“||||x y =”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．既不充分也不必要4.已知双曲线的渐近线为22y x =±，实轴长为4，则该双曲线的方程为（ ） A ．22142x y -= B ．22142x y -=或22148y x -=C ．221168x y -=D ．221168x y -=或2211632y x -=5．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m α⊂，n ⊂α，m β，n βαβ⇒ ②n m ∥，n m αα⊂⇒③αβ，m α⊂，n m n β⊂⇒ ④m α∥，n mn α⊂⇒其中，真命题的个数有（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个6．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支7．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1AD 所成角的大小为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒8.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若1230F F P ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．13C ．12D ．39．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若,,,E F G H 分别是棱111111A B BB CC C D ，，，的中点，则必有（ ）A ．1BD GH ∥B ．BD EF ∥C ．平面EFGH ∥平面ABCD D ．平面EFGH ∥平面11A BCD10．已知直线l ：()(1)0y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A 、B 两点，且满足2AF BF =，则k 的值是（ ）A ．33B ．3C ．223D ．2211．如图是某个正方体的平面展开图，1l ，2l 是两条侧面对角线，则在该正方体中，1l 与2l （ ） A ．互相平行 B ．异面且互相垂直C ．异面且夹角为3π D ．相交且夹角为3π 12.已知椭圆C 的焦点为121,0,0F F -()，(1)，过2F 的直线与C 交于,A B 两点.若222AF F B =,1AB BF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22541x y +=C ．2212x y +=D ．22132x y +=二、填空题（共计20分）13．已知点(1,2)M 在抛物线2:2(0)C y px p =>上，则p =______；点M 到抛物线C 的焦点的距离是______.14.双曲线224640x y -+=上的一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离为_______.15.如图所示， 四棱锥S ABCD -中， 底面ABCD 为平行四边形，E 是SA 上一点，当点E 满足条件：____ ______时，SC 平面EBD .16．给出以下命题，①命题“若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”为真命题； ②命题“若1x =，则20x x -=”的否命题为真命题； ③若平面α上不共线的三个点到平面β距离相等，则αβ④若α，β是两个不重合的平面，直线l α⊂，命题:p l β，命题:q αβ，则p 是q 的必要不充分条件；⑤平面α过正方体1111D C B A ABCD -的三个顶点1,,B D A ，且α与底面1111A B C D 的交线为l ，则l ∥11B D ；其中，真命题的序号是三、解答题（共70分）17．（共10分）已知p ：方程22126x y m m -=--表示椭圆；q ：双曲线221y x m-=的离心率()1,2e ∈．（1）若p q ∧是真命题，求m 的取值范围；（2）若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，求m 的取值范围．18．（共12分）如图，在三棱锥P ABC -中，G H 、分别为PB PC 、的中点，且ABC ∆为等腰直角三角形，2B π∠=.（1）求证：GH 平面ABC ；（2）求异面直线GH 与AB 所成的角．19．（共12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1111,,C ,BC CC D A A 的中点．求证： （1）求证：EG ∥平面11BB D D（2）求异面直线BF 与1HB 所成角的余弦值.20．（共12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 、P 分别是棱AB ，11A B 的中点，求证：（1）求证：1AC 平面1B CD ；（2）求证：平面1APC 平面1B CD .21. 已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()220y px p =>的准线方程是12x =-. （1）求抛物线的方程；（2）设直线()()20y k x k =-≠与抛物线相交于M N 、两点，O 为坐标原点，证明：以MN 为直径的圆过原点.22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两定点(2,0),(2,0)A B -连线的斜率之积为12-，记点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若过点(1,0)-的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，曲线C 上是否存在点E 使得四边形OMEN 为平行四边形？若存在，求直线l 的方程，若不存在，说明理由.高二文科数学答案1.C2.A3.B4.B5.A6.A7.C8.D9.D 10.C 11.D 12.D13. 2 ；2 14. 17 15.E 为中点 16.①④⑤17.:p 方程22126xy m m -=--表示椭圆；则22126x ym m +=--，则20{60?26m m m m ->->-≠-，得2{6?4m m m ><≠，得24m <<或<<64m ，即p ：24m <<或<<64m ；:q 双曲线221yx m-=的离心率()1,2e ∈．则1a =，2b m =，21c m =+，得()22211,4c e m a==+∈，则()0,3m ∈，即03m <<，则q ：03m <<，()1若p q ∧是真命题，则p ，q 都是真命题，则2446{03?m m m <<<<<<或，得23m <<． ()2若p q ∨是真命题，p q ∧是假命题，则p ，q 一个为真命题，一个为假命题，若p 真q 假，则244630m m m m <<<<⎧⎨≥≤⎩或或，得3446m m 或≤<<<，若p 假q 真，则62403m m m m 或或≥≤=⎧⎨<<⎩，此时02m <≤， 综上：02m <≤或3446m m 或≤<<<．18．（1）略（2）异面直线GH 与AB 所成的角为。
黑龙江省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(三)
黑龙江省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（三）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（每题5分，共60分）1．命题：“若p则q”的逆命题是（）A．若¬p则¬q B．若¬q则¬p C．若q则p D．若p则q2．设x∈R，则“x＜1”是“x2+x﹣2＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1或x≤﹣1 B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1 D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 4．给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q 的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知命题：∀x∈R，则2x2+2x+＜0的否定是（）A．∀x∈R，则2x2+2x+≥0 B．∃x0∈R，则2x02+2x0+≥0C．∃x0∈R，则2x02+2x0+＜0 D．∀x∈R，则2x2+2x+＞06．关于命题p：A∩∅=∅，命题q：A∪∅=A，则下列说法正确的是（）A．（￢p）∨q为假B．（￢p）∧（￢q）为真C．（￢p）∨（￢q）为假D．（￢p）∧q为真7．已知双曲线﹣=1（a＞0）的离心率为2，则实数a=（）A．2 B． C． D．18．设F1，F2为椭圆的两个焦点，P在椭圆上，当△F1PF2面积为1时，则的值是（）A．0 B．1 C．2 D．I9．已知F1，F2是双曲线=1的两个焦点，p为双曲线上一点且∠F1PF2=60°，则=（）A．B．C．D．10．已知椭圆内一点P（1，1），则以P为中点的弦方程为（）A．x+2y﹣3=0 B．x+4y﹣5=0 C．4x+y﹣5=0 D．x﹣2y=011．已知y2=16x，A（1，2），P为抛物线上的点，F为抛物线焦点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1 B．4 C．5 D．312．已知y2=8x的焦点为F，则过F点且倾斜角为60°的直线被抛物线截得的弦长为（）A．8 B．C．D．二、填空题（每题5分，共20分）13．双曲线的渐近线方程为．14．椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与椭圆的一个交点为P，若∠F1PF2=45°，则椭圆的离心率e=．15．已知p：﹣4＜x﹣a＜4，q：（x﹣2）（3﹣x）＞0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为．16．若f（x）=x2+2x﹣5且A（1，﹣2），则以点A为切点的切线方程为．三、解答题（共70分）17．已知命题p：lg（x2﹣2x﹣2）≥0；命题q：0＜x＜4，若命题p 是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．18．求证：若a2+2ab+b2+a+b﹣2≠0，则a+b≠1．19．已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆：x2+y2﹣4x+2=0的圆心，求椭圆E的方程．20．已知双曲线x2﹣y2=4，直线l：y=k（x﹣1），试在下列条件下，求实数k的取值范围：（1）直线l与双曲线有两个公共点，（2）直线l与双曲线有且只有一个公共点．21．已知抛物线y2=2px（p＞0），点M（2，y0）在抛物线上，（1）求抛物线方程（2）设A点坐标为，求抛物线上距点A最近的点B的坐标及相应的距离|BA|．22．已知直线y=﹣x+2和椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点，M为线段AB的中点，若|AB|=2，直线OM的斜率为，求椭圆的方程．参考答案一、单项选择题1．C．2．B．3．D．4．A．5．B6．C．7．D．8．A9．A．10．B11．C．12．D．二、填空题13．答案为：y=±x．14．答案为：﹣115．答案为：[﹣1，6]．16．答案为：4x﹣y﹣6=0．三、解答题17．解：因为命题p是真命题，则x2﹣2x﹣2≥1，∴x≥3或x≤﹣1，命题q是假命题，则x≤0或x≥4．∴x≥4或x≤﹣1．18．证明：若a+b=1，则a2+2ab+b2+a+b﹣2=（a+b）2+（a+b）﹣2=1+1﹣2=0成立，∴根据逆否命题的等价性可知：若a2+2ab+b2+a+b﹣2≠0，则a+b≠1．19．解：由x2+y2﹣4x+2=0得（x﹣2）2+y2=2，∴圆心C（2，0），设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，e=，∴a=4，∴b2=a2﹣c2=12，∴椭圆E的方程为：．20．解：联立直线y=k（x﹣1）和双曲线：x2﹣y2=4，消去y得，（1﹣k2）x2+2k2x﹣k2﹣4=0，判别式△=4k4+4（1﹣k2）（k2+4）=4（4﹣3k2）．（1）1﹣k2≠0，且△＞0，解得﹣＜k＜且k≠±1，则k的取值范围是：（﹣，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，）；（2）1﹣k2=0或1﹣k2≠0，且△=0，解得k=±1，或k=±，则k的取值范围是k=±1，或k=±．21．解：（1）所以p=1故抛物线方程为y2=2x（2）设y2=2x上任一点M（x，y）所以当x=0时，所以，此时B（0，0）22．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．则A（x1，y1），B（x2，y2）代入方程并相减得：=﹣•．∴k AB=﹣•=﹣．③又k OM==，④由③④得a2=4b2．由直线y=﹣x+2和椭圆+=1（a＞b＞0）得：x2﹣4x+8﹣2b2=0，∴x1+x2=4，x1•x2=8﹣2b2．∴|AB|=|x﹣x2|==2．解得：b2=4．故所求椭圆方程为：．。
2020年10月黑龙江省实验中学上学期高二年级期中考试文科数学试题参考答案
x 0 2. 若 x,y 满足约束条件 x+y-3 0，则z x 2 y 的取值范围是
x-2y 0
A．[0,6]
B．[0,4]
C．[6, +）
D．[4, +）
2．D 解：x、y 满足约束条件
，表示的可行域如图：
目标函数 z=x+2y 经过 C 点时，函数取得最小值，由
解得 C（2，1），
目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）．故选 D．
一、选择题（每题 5 分，共 12 小题）
数学试题
1-5 DDCDA
6-10 DADCB 11-12 CD
13．1或 3 .14．[－3，1] 15． 6 2 16． 16
1．直线 x 3y 1 0 的倾斜角为（ ）
A．150°
B．120°
C．60°
D．30°
1．D 直线 x 3 y+1＝0 化为斜截式为 y 3 x 3 可得 α＝30°故选 D． 33
由已知，直线 2ax by 6 0 过圆心 C(1, 2) ，即 2a 2b 6 0,b a 3 ，
由平面几何知识知，为使由点 (a, b) 向圆所作的切线长的最小，只需圆心 C(1, 2) 与直线 x y 3 0 上的点连线
段最小，所以，切线长的最小值为 ( 1 2 3 )2 2 4 ，故选 B . 2
3．过点 A1, 1, B 1,1 ，且圆心在直线 x y 2 0 上的圆的方程是（）
A． x 32 y 12 4
B． x 32 y 12 4
C． x 12 y 12 4
D． x 12 y 12 4
3．C 本题作为选择题，可采用排除法，根据圆心在直线 x y 2 0 上，排除 B、D，点 B 1,1 在圆上，故选 C
黑龙江省哈尔滨市2019-2020年度高二上学期数学期中考试试卷(I)卷
黑龙江省哈尔滨市2019-2020年度高二上学期数学期中考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二上·林芝期末) 命题“对任意，都有”的否定为（）A . 存在，都有B . 对任意，使得C . 存在，使得D . 不存在，使得2. （2分）设f为双曲线的左焦点，在x轴上F点的右侧有一点A，以FA为直径的圆与双曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、N，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分）若非空集合，，满足，且不是的子集，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个交点，则的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 随的变化而变化5. （2分）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，x1,x2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的众数，s1,s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A . x1>x2,s1<s2B . x1=x2,s1<s2C . x1=x2,s1=s2D . x1=x2,s1>s26. （2分）(2018·江西模拟) 下边的流程图最后输出的值是（）A . 6B . 5C . 4D . 37. （2分）先后抛掷两枚骰子，设出现的点数之和是8，7，6的概率依次为P1 ， P2 ， P3 ，则（）A . P1=P2＜P3B . P3＜P2＜P1C . P3=P1＜P2D . P3=P1＞P28. （2分）若向量=(3,K)，=(2,-1)，=0，则实数k的值为（）A . -B .C . 6D . 29. （2分） (2017高二下·湖北期中) 为了解重庆某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了5户家庭，得到统计数据表，根据表中可得回归直线方程 = x+ ，其中 =0.5，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（）收入x（万元）68101214支出y（万元）678910A . 15万元B . 14万元C . 11万元D . 10万元10. （2分） (2017高二上·长春期末) 已知点是抛物线上一点，且它在第一象限内，焦点为坐标原点，若，，则此抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .11. （2分）已知4x2+5y2=1，则2x+ y的最大值是（）A .B . 1C . 3D . 912. （2分）(2020·西安模拟) 已知双曲线的左､右焦点分别为，，若双曲线上存在点P使，则离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·安庆期中) 某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是________．14. （1分） (2019高二上·辽宁月考) 已知双曲线的中心在原点，虚轴长为6，且以椭圆的焦点为顶点，则双曲线的方程为________；双曲线的焦点到渐近线的距离为________.15. （1分）(2013·福建理) 椭圆Γ： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ，焦距为2c，若直线y= 与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ，则该椭圆的离心率等于________．16. （1分）已知两定点F1（﹣1，0），F2（1，0）且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高三上·德州期中) 已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣ax+1）的定义域是R；命题在第一象限为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求a的取值范围．18. （10分） (2018高二下·辽源月考) 从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：甲897976101086乙10986879788（1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；（2）比较两个人的成绩，然后决定选择哪名学生参加射箭比赛．19. （10分） (2016高二上·黄陵开学考) 已知直线y=x﹣4被抛物线y2=2mx（m≠0）截得的弦长为，求抛物线的标准方程．20. （10分） (2018高二上·镇江期中) 已知椭圆E：的焦距为2 ，一条准线方程为x= ，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点P，Q在的椭圆上，且点P在第一象限．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若点P，Q关于坐标原点对称，且PQ⊥AB，求四边形ABCD的面积；（3）若AP，BQ的斜率互为相反数，求证：PQ斜率为定值．21. （10分） (2016高二上·天心期中) 设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．22. （10分） (2017高二下·淄川开学考) 已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市实验中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市实验中学高二上学期期中数学试题一、单选题 1．抛物线的准线方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】将方程化成标准式，即可由抛物线性质求出准线方程。
【详解】 抛物线的标准方程是：，，所以准线方程是，故选A 。
【点睛】本题主要考查抛物线的性质应用。
2．相距4k 米的,A B 两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k 米，则炮弹爆炸点P 的轨迹可能是（ ） A ．双曲线的一支 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．抛物线【答案】B【解析】由已知条件可得：24PA PB k k AB -=<=，根据双曲线的定义可判断出答案． 【详解】由已知条件可得：24PA PB k k AB -=<=，根据双曲线的定义可知：点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2k 米的双曲线上． 故选：B ． 【点睛】本题考查了双曲线定义的应用，属于基础题. 3．若直线与直线平行，则的值为（ ）A ．7B ．0或7C ．0D ．4【答案】B【解析】根据直线和直线平行则斜率相等，故，求解即可。
【详解】 ∵直线与直线平行，∴，∴或7，经检验，都符合题意，故选B. 【点睛】本题属于基础题，利用直线的平行关系，斜率相等求解参数。
4．已知双曲线22132x y a a+=--的焦点在x 轴上，若焦距为4，则a =（ ）A ．212B ．7C ．92D ．12【答案】C【解析】利用双曲线的简单性质，列出关系式求解即可． 【详解】解：双曲线22132x y a a +=--的焦点x 轴上，焦距为4，可得：20302a a ⎧-<⎪->⎨= 解得92a =．故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5．设变量x ，y 满足约束条件02360x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则14y x +-的最小值为（ ）.A ．5-B ．4-C ．32-D ．1【答案】B【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示直线斜率，结合图象求最小值. 【详解】解：作出变量x ，y 满足约束条件02360x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域如图：则14y x +-的几何意义是区域内的点到定点D （4，-1）的斜率， 由0360x y x y -=⎧⎨--=⎩得A （3，3），则AD 的斜率k =3134+-=-4， 则14y x +-的最小值为：-4． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，属于基础题．6．半径长为6的圆与y 轴相切，且与圆(x －3)2＋y 2＝1内切，则此圆的方程为 ( ) A ．(x －6)2＋(y －4)2＝6 B ．(x －6)2＋(y ±4)2＝6 C ．(x －6)2＋(y －4)2＝36 D ．(x －6)2＋(y ±4)2＝36【答案】D【解析】设该圆的标准方程为22()()36x a y b -+-=，因为该圆与y 轴相切，且与圆22(3)1x y -+=内切，所以65a ⎧=⎪=，解得64ab =⎧⎨=±⎩，即该圆的标准方程为22(6)(4)36x y -+±=；故选D.7．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里.已知月球的直径为3476公里，则该椭圆形轨道的离心率约为A ．125B ．340C ．18D ．35【答案】B【解析】由题意分别求得a ,c 的值，然后结合离心率的定义可得椭圆离心率的近似值. 【详解】如下图，F 为月球的球心，月球半径为：12×3476＝1738，依题意，｜AF ｜＝100＋1738＝1838， ｜BF ｜＝400＋1738＝2138. 2a ＝1838＋2138， a ＝1988， a ＋c ＝2138， c ＝2138－1988＝150， 椭圆的离心率为：1503198840c e a ==≈， 选B . 【点睛】本题主要考查椭圆的实际应用，椭圆离心率的求解，近似计算的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．已知抛物线2:4C y x =的焦点F 和准线l ，过点F 的直线交l 于点A ，与抛物线的一个交点为B ，且3FA FB =-，则||AB =（ ） A ．23B ．43C ．323D ．163【答案】C【解析】由题设||,|FA |3a,FB a ==解三角形求出a 的值，再求|AB|的值得解. 【详解】由题设||,|FA |3a,|AB|4a FB a ==∴=过点B 作BC ⊥l,垂足为C,则|BC|=a, 1cos 44a CBF a ∠==， 设准线l 交x 轴与D, 则128cos cos ,,433DFA CBA a a ∠=∠==∴= 所以832||4433AB a ==⋅=. 故选：C 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．设点F 和直线l 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点和一条渐近线，若F 关于直线l 的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2BC D【答案】C【解析】取双曲线的左焦点为E ，设右焦点为F ，l 为渐近线，l 与渐近线的交点为,A F 关于直线l 的对称点设为P ，连接PE ，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，离心率公式，计算可得所求值． 【详解】如图所示，取双曲线的左焦点为E ，设右焦点为F ，l 为渐近线，l 与渐近线的交点为,A F 关于直线l 的对称点设为P ，连接PE ，直线l 与线段PF 的交点为A ，因为点P 与F 关于直线l 对称，则l PF ⊥，且A 为PF 的中点，所以,,22AF b OA a PE AO a ====， 根据双曲线的定义，有2PF PE a -=，则222b a a -=，即2b a =，所以c e a === 故选：C ．【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10．已知实数x ，y 满足约束条件1022x y x y y a ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若目标函数2z x y =-的最大值为5，则a 的值为（） A ．73-B ．13C ．1D ．2【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 【详解】解：作出不等式对应的平面区域如图(1,)B a a --，()22,,(0,1)D a a C +-，由2z x y =-，得2y x z =-，由图象可知当直线2y x z =-，经过点D 时，直线2y x z =-的截距最小，此时z 最大为5，即2(22)5a a =+-，得13a =， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．11．已知点(),P x y 是直线40(0)kx y k ++=>上一动点，PA 、PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A 、B 为切点，若四边形PACB 面积的最小值是2，则k 的值是 A． B．2C ．2D．【答案】C【解析】圆的方程为()2211,x y +-=∴圆心()0,1C ，半径1r =，根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P 的距离最小时，即距离为圆心到直线l 的距离最小时，切线长,PA PB 最小，切线长为2，2PA PB ∴==，∴圆心到直线l的距离为d =，直线方程为4y kx +=，即40,kx y --==2,0,k k =±>∴所求直线的斜率为2，故选C.【方法点晴】本题主要圆的方程与性质以及圆与直线的位置关系，属于难题. 解决解析几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.12．已知椭圆22x a +22y b=1（a ＞b ＞0）短轴的两个端点为A 、B ，点C 为椭圆上异于A 、B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为-14，则椭圆的离心率为（ ）. A．2BC ．12D．4【答案】A【解析】由题意可得A （0，b ），B （0，-b ），设C （x 0，y 0），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，由题意可得a ，b 的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得． 【详解】解：由题意可得A （0，b ），B （0，-b ），设C （x 0，y 0），由C 在椭圆上可得202x a +202y b=1，即有20x =()2222a b y b -，①由直线AC 与BC 的斜率之积为-14， 可得00y b x -•00y b x +=-14， 即为20x =4（2b -20y ），②由①代入②可得22a b=4，即a =2b ，c， 可得离心率e =c a故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式，考查运算能力，属中档题．二、填空题13．直线x +y -1=0的倾斜角为α，则c osα=______．【答案】2-【解析】由直线方程求得直线的斜率，进一步求出倾斜角，则答案可求． 【详解】解：直线x +y -1=0的斜率为-1， 则tanα=-1，又0≤α＜π，∴34πα=，则cos α=．故答案为：2-． 【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，训练了三角函数值的求法，是基础题． 14．顶点在坐标原点，焦点为F （0，1）的抛物线上有一动点A ，定点M （-1，4），则|AM |+|AF |的最小值为______． 【答案】4【解析】本题利用抛物线定义将所求最值转化为求定点到准线距离． 【详解】解：设点A 到准线的距离为|AE |由定义知|AF |=|AE |，故|AM |+|AF |=|AE |+|AM |≥|ME |≥|MN |=4+1=5．（M 到准线的垂足设为N ） 取等号时，M ，A ，E 三点共线，∴|AM |+|AF |的最小值等于5． 故答案为：5． 【点睛】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离．要重视定义在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离的相互转换． 15．过点()1,2P 与双曲线C ：2222x y -=有且只有一个公共点的直线共__________条.【答案】4【解析】把直线与双曲线的位置关系，转化为方程组的解的个数来判断，借助判别式求解，注意分类讨论．【详解】解；双曲线方程为2x2﹣y2＝2，化为标准形式：2212x y-=1，当k不存在时，直线为x＝1，与2212x y-=1的图象有且只有一个公共点，当k存在时，直线为：y＝k（x﹣1）+2，代入双曲线的方程可得：（2﹣k2）x2+（2k2﹣4k）x﹣k2+4k﹣6＝0，（1）若2﹣k2＝0，k=时，y＝x﹣1）+2与双曲线的渐近线y=平行，所以与双曲线只有1个公共点，（2）k≠时，△＝（2k2﹣4k）2﹣4×（2﹣k2）（﹣k2+4k﹣6）＝﹣32k+48＝0即k32=，此时直线y32=（x﹣1）+2与双曲线相切，只有1个公共点．综上过点P（1，2）且与该双曲线只有一个公共点的直线4条．故答案为：4【点睛】本题以双曲线为载体，主要考查了直线与双曲线的位置关系，突出考查了双曲线的几何性质，属于中档题和易错题．16．斜率为13-的直线l被椭圆()222210x yC a ba b+=：＞＞截得的弦恰被点M（1，1）平分，则222a cb+=______．【答案】5【解析】设弦的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），代入椭圆的方程，作差变形，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及椭圆的离心率公式，即可得到所求值．【详解】解：设弦的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），可得2211221x y a b +=，2222221x y a b+=， 相减可得，22221212220x x y y a b--+=， ()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∵弦恰被点M （1，1）平分， ∴()()121222220x x y y a b --+=， ∴122212220y y a b x x -+=-， ∵直线l 斜率为13-，∴2222103a b ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， ∴a 2=3b 2，又∵a 2=b 2+c 2，∴c 2=2b 2∴2225a c b +=故答案为：5． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考查点差法的运用，以及化简运算求解能力，属于中档题．三、解答题17．已知圆C ：x 2+y 2-2x -4y =0．（1）求圆C 关于直线x -y -1=0对称的圆D 的标准方程；（2）过点P （4，-4）的直线l 被圆C 截得的弦长为8，求直线l 的方程．【答案】（1）（x -3）2+y 2=5； （2）直线不存在，理由见解析【解析】（1）化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求圆心C 关于直线的对称点，则圆D 的方程可求；（2）由直线与圆相离，可知满足条件的直线l 不存在．【详解】解：（1）化圆C ：x 2+y 2-2x -4y =0为（x -1）2+（y -2）2=5，可得圆心坐标为C （1，2），半径r设C （1，2）关于直线x -y -1=0的对称点为D （x 0，y 0），则0000121022211x y y x ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，解得0030x y =⎧⎨=⎩，∴D （3，0）．则圆D ：（x -3）2+y 2=5；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x =4，与圆相离，不合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为y +4=k （x -4），即kx -y -4k -4=0． 圆心C （1，2）到直线的距离d=由8=，解得k ∈∅． ∴过点P （4，-4）被圆C 截得的弦长为8的直线l 不存在． 【点睛】本题考查圆关于直线的对称圆的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．18．已知点F 为抛物线C ：x 2=2py （P ＞0）的焦点，点A （m ，3）在抛物线C 上，且|AF |=5，若点P 是抛物线C 上的一个动点，设点P 到直线x -2y -6=0的距离为d ． （1）求抛物线C 的方程； （2）求d 的最小值．【答案】（1）x 2=8y （2【解析】（1）利用抛物线的定义，求出p ，即可求抛物线C 的方程；（2）联立直线与抛物线方程，点P 到直线x -2y -6=0的距离为d 1，转化求解d 1的最小值； 【详解】解：（1）由抛物线的定义得， |AF |=3+2p=5． 解得p =4，所以抛物线C 的方程为x 2=8y ．（2）设直线x -2y -6=0的平行线：x -2y +c =0，⇒2208x y c x y-+=⎧⎨=⎩，得2440x x c --= 故△=16+16c =0⇒c =-1． 所求d【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．19．已知1F ，2F 分别是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线上一点，2F 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，()1求双曲线的渐近线方程； ()2当1260F PF ∠=时，12PF F 的面积为【答案】（1）430x y ±=（2）2212748x y -=【解析】试题分析：（1）由2F 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，根据点到直线距离公式可得43b a =，从而可得双曲线的渐近线方程；（2）由余弦定理，结合双曲线的定义可得2124PF PF b ⋅=，再根据12PFF ∆的面积为221213sin6042S PF PF b =⋅===248b =，从而可得结果.试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，则点2F 到渐近线距离为b =（其中c 是双曲线的半焦距），所以由题意知2c a b +=，又因为222a b c +=，解得43b a =，故所求双曲线的渐近线方程是430x y ±=. （2）因为1260F PF ∠=，由余弦定理得222121212||2cos60||PF PF PF PF F F +-⋅=，即2221212||4PF PF PF PF c +-⋅=。
黑龙江省哈尔滨市2019-2020年度高二上学期数学期中考试试卷D卷
黑龙江省哈尔滨市2019-2020年度高二上学期数学期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知则""是""成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）设是等差数列，，则这个数列的前5项和等于（）A . 12B . 13C . 15D . 183. （2分） (2016高二上·友谊开学考) 若c=acosB，b=asinC，则△ABC是（）A . 等腰三角形B . 等腰直角三角形C . 直角三角形D . 等边三角形4. （2分） (2015高一下·天门期中) 若x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值是（）A . ﹣5B . ﹣4C . ﹣3D . ﹣25. （2分） (2018高一下·大同期末) 已知等差数列中，，，则的值为（）A . 15B . 17C . 22D . 646. （2分）已知等差数列的公差，若、、成等比数列，那么等于（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·吕梁模拟) 已知等比数列{an}的前n项和为Sn ， a1+a3=5，S4=15，则S6=（）A . 15B . 31C . 40D . 638. （2分） (2018高二上·武汉期末) 设集合M={x|0＜x≤4}，N={x|2≤x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件9. （2分）不等式(x-1)(2-x)>0的解集是（）A . （-∞，1）B . （2，+∞）C . （-∞，1）（2，+∞）D . （1，2）10. （2分）的三边之比为3：5：7，求这个三角形的最大角为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高一下·湖北期中) 函数f（x）= ，x∈（0， ]的最大值M，最小值为N，则M﹣N=（）A .B . ﹣1C . 2D . +1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高三上·焦作期中) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c= ，∠C= ，则a=________．14. （1分） (2019高二上·湖南期中) 已知，且，则的最小值为________.15. （1分） (2019高二上·城关期中) ax2＋2x＋1＝0只有负实根的充要条件是________．16. （1分） (2017高二上·常熟期中) 已知点A（1，2），B（﹣3，﹣1），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分） (2017高一下·苏州期末) 已知正项数列{an}满足a1=1，（n+1）a2n+1+an+1an﹣na =0，数列{bn}的前n项和为Sn且Sn=1﹣bn ．（1）求{an}和{bn}的通项；（2）令cn= ，①求{cn}的前n项和Tn；②是否存在正整数m满足m＞3，c2，c3，cm成等差数列？若存在，请求出m；若不存在，请说明理由．18. （10分） (2016高二下·衡水期中) 在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab．（1）求角C；（2） f（x）= 在区间上的值域．19. （10分） (2016高一下·扬州期末) 已知等差数列{an}中，a3=8，a6=17．（1）求a1，d；（2）设bn=an+2n﹣1，求数列{bn}的前n项和Sn．20. （10分） (2016高二下·红河开学考) 已知P={x|a﹣4＜x＜a+4}，Q={x|x2﹣4x+3＜0}，且x∈P是x∈Q 的必要条件，求实数a的取值范围．21. （10分） (2016高一上·黄浦期中) 某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v （km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？22. （15分） (2016高二上·集宁期中) 已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项的和为Sn ，若Sk=90．（1）求a及k的值；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二(上)期中数学试卷试题及答案(文科)
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆22194x y +=的离心率是( ) ABC ．23 D ．592．两平行直线210x y +-=与230x y ++=间的距离为( ) ABCD3．若双曲线222:1(0)9x y C a a -=>的渐近线方程为32y x =±，则a 的值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．84．设抛物线24y x =上的一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为( ) A ．3B ．4C ．5D ．65．当圆22:4220C x y x my m +--+=的面积最小时，m 的取值是( ) A ．4B ．3C ．2D ．16．已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，若△12PF F 的面积是9，则(b = ) A ．1B ．2C ．3D ．47．双曲线2213y x t t -=的一个焦点坐标为(0,2)，则(t = ) A ．4-B ．4C ．1-D ．18．设x ，y 满足约束条件220,220,10,x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………则z x y =+的最小值是( )A ．5-B ．1-C ．1D ．39．以抛物线28x y =为半径的圆，与直线20x y m ++=相切，则(m = )A ．1或9-B ．1-或9C ．3或7-D ．3-或710．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，若||||OP PF =，则C 的离心率为( )AB C ．2D11．直线l 过抛物线2:2C y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限）若||2BF =，则||(AF = ) A ．25B ．23C ．125 D ．8312．已知椭圆222:1(2)4x y C a a +=>左、右焦点分别为1F ，2F ．若椭圆C 上存在四个不同的点P 满足12PF F S=a 的取值范围是( )A ．(2,4)B ．(4,)+∞C ．D ．)+∞ 13．已知点(1,2)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若90AMB ∠=︒，则(k = ) A ．1B ．2C ．3D ．414．已知过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 且斜率为ba 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=（其中O 为坐标原点），则椭圆的离心率为( )A ．12B C D 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在答题卡相应的位置上． 15．已知直线:210l x y +-=，点(,1)A a ，(2,3)B ，若直线AB l ⊥，则a 的值为 ．16．已知双曲线22:13x C y -=左、右焦点分别为1F 、2F ，点(,)P x y 在C 右支上，若2||2PF =，则1||PF = ．17．圆221:(1)(2)9C x y -++=和圆222:(1)(1)4C x y ++-=的公切线条数为 条． 18．抛物线24y x =上的点(,)P x y 到(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值是 ．19．设1F ，2F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若112||||MF F F =，则点M 的坐标为 ．20．已知定点1(2,0)F -，2(2,0)F ，N 是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．已知直线20l y -+=，圆22:4410C x y x y ++--=． （1）判断直线l 与圆C 的位置关系，并证明；（2）若直线l 与圆C 相交，求出圆C 被直线l 截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离．22．已知抛物线2:8C y x =，直线l 过点(1,0)且与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点． （1）求12x x 的值；（2）若||AB =，求直线l 的方程．23．已知圆22:(1)13C x y -+=和直线:l y x m =+，l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）若1m =，求弦长||AB ；（2）O 为坐标原点，若90AOB ∠=︒，求直线l 的方程．24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(2,0)F -（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求POQ ∆面积的最大值．25．已知抛物线2:2(0)C x py p =>过焦点F 且平行于x 轴的弦长为2．点(0,1)A -，直线l 与C 交于P ，Q 两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）若l 不平行于x 轴，且(PAO QAO O ∠=∠为坐标原点），证明：直线l 过定点．26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点(1,0)A ，(0,1)B ，点P 满足2OA OB OP +=（其中O 为坐标原点），点B ，P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，若不经过点F 的直线:(0,0)l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于M ，N 两点，且与圆221x y +=相切．MNF ∆的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．椭圆22194x y +=的离心率是( )A B C ．23 D ．59【解答】解：椭圆22194x y +=，可得3a =，2b =，则c ==所以椭圆的离心率为：c a =． 故选：B ．2．两平行直线210x y +-=与230x y ++=间的距离为( )A B C D【解答】解：根据两平行线间的距离公式得：d ===． 故选：D ．3．若双曲线222:1(0)9x y C a a -=>的渐近线方程为32y x =±，则a 的值为( ) A ．2B ．4C ．6D ．8【解答】解：双曲线222:1(0)9x y C a a -=>的渐近线方程：3y x a =±， 因为双曲线222:1(0)9x y C a a -=>的渐近线方程为32y x =±， 所以2a =， 故选：A ．4．设抛物线24y x =上的一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：由于抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离是4，故点P 的横坐标为4． 再由抛物线24y x =的准线为1x =-，以及抛物线的定义可得点P 到该抛物线焦点的距离等于点P 到准线的距离， 故点P 到该抛物线焦点的距离是4(1)5--=， 故选：C ．5．当圆22:4220C x y x my m +--+=的面积最小时，m 的取值是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：圆22:4220C x y x my m +--+=， ∴圆C 的标准方程为：222(2)()24x y m m m -+-=-+，从而对于圆C 的半径r 有22224(1)33r m m m =-+=-+…， 所以1m =时，2r 取得最小值，从而圆C 的面积2r π在1m =时取得最小值． 故选：D ．6．已知1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，若△12PF F 的面积是9，则(b = ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：根据椭圆定义知122PF PF a +=， 12PF PF ⊥，∴△12PF F 为直角三角形，22212()()(2)PF PF c ∴+=，又△12PF F 的面积为9， ∴12192PF PF =， 2212(2)()a PF PF ∴=+ 221212()()2PF PF PF PF =++2436c =+， 2229b a c ∴=-=， 3b ∴=，故选：C ．7．双曲线2213y x t t -=的一个焦点坐标为(0,2)，则(t = ) A ．4-B ．4C ．1-D ．1【解答】解：双曲线2213y x t t -=的一个焦点坐标为(0,2)， 可得44t =，解得1t =． 故选：D ．8．设x ，y 满足约束条件220,220,10,x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………则z x y =+的最小值是( )A ．5-B ．1-C ．1D ．3【解答】解：画出x ，y 满足约束条件220,220,10,x y x y y +-⎧⎪-+⎨⎪+⎩………对应的平面区域如图阴影部分；由z x y =+得y x z =-+，平移直线y x z =-+， 由平移可知当直线y x z =-+过点A 时， 直线y x z =-+的截距最小，z 取得最小值； 由1220y x y =-⎧⎨-+=⎩，求得(4,1)A --，可得5z x y =+=-， 即z 的最小值是5-． 故选：A ．9．以抛物线28x y =为半径的圆，与直线20x y m ++=相切，则(m =)A ．1或9-B ．1-或9C ．3或7-D ．3-或7【解答】解：抛物线28x y =的焦点为(0,2)，以抛物线28x y =为半径的圆可得圆心为(0,2)，半径r =的圆， 由直线20x y m ++=与圆相切，可得：圆心到直线的距离d ==，解得3m =或7-， 故选：C ．10．设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，若||||OP PF =，则C 的离心率为( )AB C ．2D【解答】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±，设P 在渐近线by x a =上，以OF 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P ，若||||OP PF =， 则OPF ∆为等腰直角三角形，即有45POF ∠=︒， 即tan 451ba=︒=，即a b =，c e a ===故选：A ．11．直线l 过抛物线2:2C y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点（点A 在第一象限）若||2BF =，则||(AF = ) A ．25B ．23C ．125 D ．83【解答】解：若斜率不存在，则||21AB p ==，不成立，所以AB 斜率存在，设为k ， 则直线1:()2AB y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 根据抛物线的性质，||2BF =，则2122x +=，232x =，代入抛物线方程得2y =，所以k =1)2y x =-，与2:2C y x =，联立得233504x x -+=， 1214x x =，所以116x =， 所以112||623AF =+=． 故选：B ．12．已知椭圆222:1(2)4x y C a a +=>左、右焦点分别为1F ，2F ．若椭圆C 上存在四个不同的点P 满足12PF F S=a 的取值范围是( )A ．(2,4)B ．(4,)+∞C ．D ．)+∞【解答】解：由题得2b =，因为椭圆C 上存在四个不同的点P 满足12PF F S =所以122b c ⨯⨯>c >，即212c >，所以2222416a b c c =+=+>，则4a >， 故选：B ．13．已知点(1,2)M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若90AMB ∠=︒，则(k = ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，∴过A ，B 两点的直线方程为(1)y k x =-，联立2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩可得，22222(2)0k x k x k -++=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则212242k x x k ++=，121x x =，12124(2)y y k x x k ∴+=+-=，2212121212(1)(1)[()1]4y y k x x k x x x x =--=-++=-，(1,2)M -，∴1(1MA x =+，12)y -，2(1MB x =+，22)y -，90AMB ∠=︒，∴0MA MB =，1212(1)(1)(2)(2)0x x y y ∴+++--=，整理可得，12121212()2()50x x x x y y y y +++-++=， 24812450k k∴++--+=， 即2210k k -+=， 1k ∴=．故选：A ．14．已知过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F 且斜率为ba 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．若椭圆上存在一点P ，满足0OA OB OP ++=（其中O 为坐标原点），则椭圆的离心率为( ) A ．12BCD【解答】解：根据题意，设1(,0)F c -，则直线l 的方程为()by x c a=+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立2222()1b y xc a x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得222220x cx c a ++-=，则12x x c +=-，22122c a x x -=，所以12bcy y a+=因为0OA OB OP ++=，即12()(OP OA OB x x =-+=-+，12)y y +，则(,)bc P c a-，又因为点P 在椭圆上，代入整理得2221c a =，即221e =，解得e ，故选：D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填在答题卡相应的位置上． 15．已知直线:210l x y +-=，点(,1)A a ，(2,3)B ，若直线AB l ⊥，则a 的值为 1 ． 【解答】解：直线AB l ⊥，∴131()122a -⨯-=--，解得1a =． 故答案为：1．16．已知双曲线22:13x C y -=左、右焦点分别为1F 、2F ，点(,)P x y 在C 右支上，若2||2PF =，则1||PF = 2+【解答】解：双曲线22:13x C y -=左、右焦点分别为1F 、2F ，可得a =点(,)P x y 在C 右支上，若2||2PF =，则12||||22PF PF a =+=+．故答案为：2+17．圆221:(1)(2)9C x y -++=和圆222:(1)(1)4C x y ++-=的公切线条数为 2 条． 【解答】解：已知圆22(1)(2)9x y -++=， 即该圆是以(1,2)-为圆心，3为半径的圆． 圆22(1)(1)4x y ++-=，即该圆是以(1,1)-为圆心，2为半径的圆．所以圆心距d == 所以321325d -=<<+=，所以两圆相交，故公切线的条数为2． 故答案为：218．抛物线24y x =上的点(,)P x y 到(0,3)【解答】解：如图所示，设此抛物线的焦点为(1,0)F ，准线:1l x =-．过点P 作PM l ⊥，垂足为M ． 则||||PM PF =．设(0,3)Q ，因此当F 、P 、Q 三点共线时，||||PF PQ +取得最小值．(||||)||min PF PQ QF ∴+===．即||||PM PQ +．19．设1F ，2F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若112||||MF F F =，则点M 的坐标为 ．【解答】解：椭圆22:195x y C +=，可得3a =，25b =，2c ==． 1(2,0)F ∴-，2(2,0)F ，112||||24MF F F c ===，设(,)M s t ，s ，0t >．∴4=，22195s t +=．联立解得32s =，t =3(2M ∴．故答案为：3(2．20．已知定点1(2,0)F -，2(2,0)F ，N 是圆22:1O x y +=上任意一点，点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的垂直平分线与直线2F M 相交于点P ，则点P 的轨迹方程是2213y x -= ．【解答】解：连接ON ，由题意可得1ON =，且N 为1MF 的中点22MF ∴=点1F 关于点N 的对称点为M ，线段1F M 的中垂线与直线2F M 相交于点P 由垂直平分线的性质可得1PM PF = 212212||||2PF PF PF PM MF F F ∴-=-==<由双曲线的定义可得点P 得轨迹是以1F ，2F 为焦点的双曲线，2c =，1a =，则b =．所以所求双曲线方程为：2213y x -=． 故答案为：2213y x -=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．已知直线20l y -+=，圆22:4410C x y x y ++--=． （1）判断直线l 与圆C 的位置关系，并证明；（2）若直线l 与圆C 相交，求出圆C 被直线l 截得的弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离．【解答】解：（1）直线l 与圆C 相交． 证明如下：化圆22:4410C x y x y ++--=为22(2)(2)9x y ++-=， 可知圆C 的圆心坐标为(2,2)C -，半径3r =．圆心C 到直线20l y -+=的距离3d ==<，∴直线l 与圆C 相交．（2）由（1）知，圆心C 到直线l 的距离d =3r =．∴圆C 被直线l 截得的弦长为==．22．已知抛物线2:8C y x =，直线l 过点(1,0)且与C 交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点． （1）求12x x 的值；（2）若||AB =，求直线l 的方程．【解答】解：（1）直线l 过点(1,0)，可设直线l 的方程为1x my =+， 联立抛物线方程28y x =，可得2880y my --=， 则128y y m +=，128y y =-， 由2212126418864y y x x ===；（2）12||||AB y y =-2221212()4164321210y y y y m m +-=++=，解得2m =±，则直线l 的方程为210x y --=或210x y +-=．23．已知圆22:(1)13C x y -+=和直线:l y x m =+，l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）若1m =，求弦长||AB ；（2）O 为坐标原点，若90AOB ∠=︒，求直线l 的方程． 【解答】解：（1）当1m =时，直线方程为10x y -+=，圆C 的圆心坐标为(1,0)C ，半径r =圆心C 到直线的距离d ==，则弦长||AB ==（2）联立22(1)13y x mx y =+⎧⎨-+=⎩，得222(22)120x m x m +-+-=． 由△22(22)8(12)0m m =--->，解得22250m m +-<①． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则121x x m +=-，212122m x x -=．由90AOB ∠=︒，得12121212()()OA OB x x y y x x x m x m =+=+++22212122()12(1)0x x m x x m m m m m =+++=-+-+=．解得4m =-或3m =，符合①． ∴直线l 的方程为4y x =-或3y x =+．24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为(2,0)F -（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，求POQ ∆面积的最大值． 【解答】解：（1）由题可知，2c =，即224a b -=---①又e ==，∴2213b a =---②，故椭圆C 的标准方程为：22162x y +=． （2）由题可设，直线l 的方程为：2x ty =-，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ．联立2221,62x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得22(3)420t y ty +--=，则有12212204323t y y t y y t ⎧⎪>⎪⎪+=⎨+⎪-⎪=⎪+⎩，又12121()2POQ FOP FOQ S S S FO y y y y ∆∆∆=+=+=-====当且仅当21t =，1t =±即直线方程为2x y =±-时，,POQ ∆面积达到最大值． 25．已知抛物线2:2(0)C x py p =>过焦点F 且平行于x 轴的弦长为2．点(0,1)A -，直线l 与C 交于P ，Q 两点．（1）求抛物线C 的方程；（2）若l 不平行于x 轴，且(PAO QAO O ∠=∠为坐标原点），证明：直线l 过定点． 【解答】解：（1）抛物线2:2(0)C x py p =>过焦点(0,)2p F 且平行于x 轴的直线为2p y =，代入抛物线的方程可得22x p =，即x p =±，则22p =，即1p =， 可得抛物线的方程为22x y =；（2）证明：设直线l 的方程为(0,0)y kx t k t =+≠≠，联立抛物线方程22x y =， 可得2220x kx t --=，△2480k t =+>，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，可得122x x k +=，122x x t =-，(PAO QAO O ∠=∠为坐标原点），可得直线AP ，AQ 关于y 轴对称， 即有0AP AQ k k +=，由(0,1)A -，可得1212110y y x x +++=， 即2121212121211212()()(1)()22(1)40x y x x y x x kx t x x kx t x t x x kx x k t kt +++=+++++=+++=+-=，由0k ≠，可得1t =，则直线l 的方程为1y kx =+，则直线l 恒过定点(0,1)．26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点(1,0)A ，(0,1)B ，点P 满足2OA OB OP +=（其中O 为坐标原点），点B ，P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的右焦点为F ，若不经过点F 的直线:(0,0)l y kx m k m =+<>与椭圆C 交于M ，N 两点，且与圆221x y +=相切．MNF ∆的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）设(,)P x y ，因为2OA OB OP +=，即(1，0)，1)(x =，)y ，则1x=，y =，即P ， 因为B ，P 均在C 上，代入得2221011121b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=；（2）由（1）得(1,0)F ，e =，a = 作出示意图，设切点为Q ，1(M x ，1)y ，2(N x ，21)(0y x >，20)x >， 则2222221111||||||12MQ OM OQ x y x =-=+-=，同理22222221||12NQ x y x =+-=，即1||MQ =，2||NQ =，所以12||)MN x x =+，又11||MF a ex =-=-，22||NF a ex =-=-则．MNF ∆的周长1212||||||)MN MF NF x x =++=+--=，所以周长为定值。