周英杰---短时傅里叶变换
傅里叶变换和小波变换简介
小波应用
通常来讲， 离散小波变换 (DWT)用于信号编码，而连续小 波变换 (CWT)用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机 科学而CWT经常用于科学研究。 小波变换现在被大量不同的应用领域采纳，经常取代了傅里 叶变换的位置。很多物理学的领域经历了这个范式的转变，包括 分子动力学，从头计算(ab initio calculations),天文物理学，密度 矩阵局部化，地震地质物理学，光学，湍流，和量子力学。其他 经历了这种变化的学科有图像处理，血压，心率和心电图分析， DNA分析，蛋白质分析，气象学，通用信号处理，语言识别，计 算变换一样，小波变换可以用 于原始数据(例如图像)，然后将变换后的数据编码，得到有效的压 缩。JPEG 2000 是采用小波的图像标准。
它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变 换，因而能有效的从信号中提取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信
号进行多尺度细化分析（Multiscale Analysis），解决了Fourier变换不能解决的 许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里 程碑式的进展。
傅立叶，1768年生于法国
2
傅氏变换简介
傅立叶变换历史： 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830) 在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证 明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础 。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广 泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的 解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很 多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
从傅里叶到小波变换
参考来源：
1.耿则勋，邢帅，魏小峰.小波变换及在遥感图像处理中的应用.测绘出版社； 2.博客https:///enjoy_pascal/article/details/81478582； 3.维基百科https:///wiki/Fourier_series#History； 4.THE WAVELET TUTORIAL 5.等
二、快速 傅里叶变换 （插曲篇）
…..
复数轴
i
-1 -i
1
实数轴
若干次方后为1 1，-1，i，-i
三、短时傅里叶变换
左加右减
From wavelet tutorial
海森堡测不准原理
FROM THE WAVELET TUTORIAL
四、小波变换
不是傅里叶变换，没有加窗操作
小波家族庞大，类型丰富
小波基本应用实例：
[1]申莎莎.基于小波变换与傅里叶变换对比分析及其在信号去噪中的应用 [J].山西师范大学学报（自然科学版）， 2018,32（3）：27-32. （1）作者分析了傅里叶变换与小波变换的基本区别，阐述了二者之间的联系和各自的优缺点。 （2）作者利用matlab对小波变换的不同阈值选取方式下的信号去噪进行对比分析，发现小波变换能有效对信号进 行消噪。
[2]王延仓，张兰，王欢，等.连续小波变换定量反演土壤有机质含量[J].光谱学与光谱分析，2018,38（11）：
3521-3527. （1）作者利用连续小波变换对原始土壤有机质高光谱反射率数据进行预处理，发现经预处理后的高光谱反射率数
据在反演土壤有机质精度上有所提高。
（2）研究表明在连续小波算法下，5nm光谱分辨率预测精度最高，其次为80nm光谱分辨率的宽波段，经小波变换 分解后估测土壤有机质含量的最佳精度可提高 19%，宽波段最佳精度提高10%。说明连续小波变换可以用于宽波段 数据的分析。
傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换区别与联系
傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换区别与联系摘要：一、引言二、傅里叶变换1.定义及原理2.应用领域三、短时傅里叶变换1.定义及原理2.特点及优势3.应用领域四、小波变换1.定义及原理2.特点及优势3.应用领域五、区别与联系1.数学基础2.分析粒度3.应用场景六、结论正文：一、引言在信号处理、图像处理等领域，傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换是三种常用的分析方法。
它们在许多方面具有相似之处，但也存在一定的区别。
本文将详细介绍这三种变换的定义、原理、特点、优势和应用领域，并分析它们之间的区别与联系。
二、傅里叶变换1.定义及原理傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学方法。
其基本原理是将信号分解成一组不同频率的正弦波和余弦波之和。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱成分，从而了解信号的频率特性。
2.应用领域傅里叶变换广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等领域。
例如，在图像处理中，傅里叶变换可用于去噪、边缘检测和特征提取等任务。
三、短时傅里叶变换1.定义及原理短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT）是一种时频分析方法。
它将信号划分为多个时间窗口，并对每个窗口进行傅里叶变换。
通过短时傅里叶变换，我们可以得到信号在各个时间段的频谱特性。
2.特点及优势与傅里叶变换相比，短时傅里叶变换具有以下特点和优势：- 分析粒度更细：短时傅里叶变换能够在局部时间范围内分析信号，更好地捕捉到信号的瞬时特征。
- 抗噪声性能强：短时傅里叶变换通过对信号进行分段处理，降低了噪声对整体分析结果的影响。
- 应用领域短时傅里叶变换广泛应用于语音处理、信号处理、图像处理等领域。
例如，在语音处理中，它可以用于语音特征提取、语音识别和语音合成等任务。
四、小波变换1.定义及原理小波变换是一种局部时频分析方法。
它将信号分解成一组不同尺度的小波函数，从而在时频域上同时进行分析。
小波变换具有较高的时间和频率分辨率，能够有效地分析非平稳信号。
短时傅里叶和小波变换轴承故障诊断方法
短时傅里叶和小波变换轴承故障诊断方法短时傅里叶和小波变换是一种常用的信号处理技术,广泛应用于轴承故障诊断领域。
该技术可以对轴承振动信号进行快速、准确的分析,从而诊断轴承是否存在故障。
本文将介绍短时傅里叶和小波变换轴承故障诊断方法的基本原理和应用场景。
1. 短时傅里叶变换(Short-time Fourier Transform,STFT)
短时傅里叶变换是一种将时间域信号转换为频域信号的方法。
通过将信号分解成不同频率的正弦波,可以分析信号的频率特性、时域特征和基带结构等。
在轴承故障诊断中,STFT可以将轴承振动信号分解成不同频率的正弦波,从而识别轴承故障的类型和程度。
2. 小波变换(Wavelet Transform,WT)
小波变换是一种将高维信号分解为低维信号和基函数的变换方法。
与STFT 不同,小波变换可以分析信号的非线性和多变性,因此更加适用于轴承故障诊断。
WT可以将轴承振动信号分解成不同尺度和频率的小波函数,从而识别轴承故障
的类型和程度。
在轴承故障诊断中,可以使用WT对轴承振动信号进行频域和时域分析。
通过对小波函数的分解,可以识别轴承故障的类型,如轴承磨损、裂纹、松动等。
同时,WT还可以分析轴承振动信号的非线性和多变性,如周期性、幅频特性等,从而更加准确地诊断轴承故障。
短时傅里叶和小波变换是一种有效的轴承故障诊断方法,可以分析轴承振动信号的频率特性、时域特征和基带结构等。
在实际应用中,需要结合具体情况选
择合适的信号处理技术,从而提高诊断准确性和可靠性。
短时傅里叶变换及其应用
短时傅里叶变换及其应用1 引言传统傅里叶变换（Fourier Transform）分析方法已经在众多的领域内产生巨大影响。
特别在1965年之后，快速傅里叶变换（FFT）算法的发现及改进使得离散傅里叶变换（DFT）实现了高效的数学实现，为数字信号处理技术应用于各种信号的实时处理创造了条件，加速了离散时间信号与系统分析技术的发展。
但长久以来，人们也发现了傅里叶分析方法存在的一些不足，正如詹姆斯·凯塞（James F. Kaiser）曾经说过，“最多被使用的信号处理工具是FFT，而最多被滥用的信号处理工具也是FFT”。
从20世纪80年代以来，数字信号处理技术在联合时频分析（Joint Time-frequency Analysis）方法方面有了很大的发展，各种联合时频分析方法得到了广泛的研究和应用，并逐渐形成了一套独特的理论体系。
它的主要研究对象是非平稳信号或时变信号，主要的任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的。
短时傅立叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT）就是其中的一种最简单的联合时频分析方法。
本文具体研究了短时傅里叶分析与综合，测不准原理，STFT 的分辨率，STFT的优缺点和窗函数的相关内容，最后借助MATLAB进行了相应的仿真并对仿真结果进行分析。
2 传统傅里叶变换2.1 傅里叶变换的定义连续时间信号s(t)的傅里叶变换（Fourier Transform）的数学表达式：（2-1）式（2-1）所表示的傅里叶正变换也称为傅里叶分析。
信号s(t)的傅里叶变换的逆变换的数学表达式：（2-2）- 1 -式（2-2）所表示的傅里叶逆变换也称为傅里叶综合。
2.2 傅里叶变换的意义热的传播与扩散现象是导致傅里叶研究成果的实际物理背景。
由式（2-1）可以看出傅里叶变换是一种线性的积分变换，它能够将满足一定条件的某个函数表示成为一组复指数函数的积分。
由式（2-2）可以看出S(jω)告诉我们将s(t)表示为不同频率正弦信号的线性组合（就是积分）所需要的信息。
傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换
傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换傅里叶变换是信号处理领域常用的一种数学方法，用于将信号在不同频率上的成分分离开。
它是将一个信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶变换的原理是将一个函数在时间域上的表示转换为频域上的表示。
傅里叶变换可以将一个时域上的信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波的叠加。
这种分解使得我们可以更好地理解信号的频域特性。
傅里叶变换的公式定义如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-iωt)] dt其中，F(ω)是频率域上的复值函数，f(t)是时域上的实值函数，ω是角频率。
傅里叶变换有许多应用领域，例如音频和图像处理。
在音频处理中，傅里叶变换可以将一个音频信号分解成不同的频率成分，从而实现声音的频谱分析和滤波。
在图像处理中，傅里叶变换可以将一个图像分解成不同空间频率上的成分，从而实现图像的频域滤波和增强。
然而，傅里叶变换的一个主要缺点是它只能提供信号的频域表示，而不能提供信号的时域信息。
这导致了傅里叶变换在处理一些时变信号时的不足。
为了解决这个问题，人们发展出了一种叫做短时傅里叶变换（STFT）的方法。
短时傅里叶变换将傅里叶变换应用到一小段信号上，然后将这些小段信号的频域表示拼接起来。
这样一来，就可以得到信号在不同时间窗口上的频域表示，从而更好地了解信号在时间和频率上的变化。
短时傅里叶变换的公式定义如下：STFT(x, t, ω) = ∫[x(τ) * w(τ - t) * e^(-iωτ)] dτ其中，x是信号，t是时间，ω是角频率，w是窗函数。
短时傅里叶变换的应用非常广泛。
在语音处理中，短时傅里叶变换可以将一个信号分解成不同时间窗口上的频谱成分，从而实现语音的时频分析和合成。
在音乐处理中，短时傅里叶变换可以实现音乐信号的节拍检测和音高分析。
在图像处理中，短时傅里叶变换可以提取图像的纹理特征和边缘信息。
然而，短时傅里叶变换在处理一些时变信号时也存在一些问题。
例如，窗口函数的选择会影响到短时傅里叶变换的结果。
傅立叶变换的原理、意义和应用
傅立叶变换的原理、意义和应用1概念：编辑傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。
许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等,傅里叶变换用正弦波作为信号的成分.参考《数字信号处理》杨毅明著p.89，机械工业出版社2012年发行。
定义f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件:在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点;绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t）的傅里叶变换,②式的积分运算叫做F（ω)的傅里叶逆变换。
F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做F(ω）的像原函数。
F(ω)是f（t）的像。
f（t）是F（ω)原像。
①傅里叶变换②傅里叶逆变换中文译名Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换"、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换"、等等。
为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。
应用傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值谱——显示与频率对应的幅值大小）。
相关* 傅里叶变换属于谐波分析.* 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；＊正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;*卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT))。
傅里叶变换的原理与应用
傅里叶变换的原理与应用傅里叶变换是一种数学工具，它在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域中广泛应用。
它的原理基于傅里叶级数的推广，通过将一个信号或函数分解成一系列正弦和余弦函数的和，从而揭示了信号的频域特征。
傅里叶变换的原理可以通过一个简单的例子来解释。
假设我们有一个周期性的信号，比如一个正弦波。
我们可以将这个信号表示为一个幅度和相位不同的一系列正弦函数的和。
通过傅里叶变换，我们可以将这个信号从时域转换到频域，得到一个频谱图，显示出信号中各个频率成分的强度。
除了周期性信号，傅里叶变换也适用于非周期性信号。
对于非周期性信号，我们可以使用傅里叶变换的连续版本，即傅里叶积分。
通过对信号进行积分，我们可以得到信号在频域上的表示，同样可以得到频谱图。
傅里叶变换的应用非常广泛。
在信号处理领域，傅里叶变换可以用于滤波、频谱分析、信号压缩等。
例如，在音频处理中，我们可以使用傅里叶变换将音频信号从时域转换到频域，然后对频域信号进行滤波，去除噪声或增强特定频率的声音。
在图像处理中，傅里叶变换可以用于图像压缩、边缘检测、图像增强等。
通过将图像从空域转换到频域，我们可以对图像进行频域滤波，去除噪声或增强图像的某些特征。
傅里叶变换还在物理学中有重要应用。
在光学中，傅里叶变换可以用于光学成像和光学信号处理。
通过将光学信号转换到频域，我们可以对光学信号进行滤波、调制等操作，从而实现图像的重建和信号的处理。
在量子力学中，傅里叶变换可以用于描述波函数的性质，从而揭示量子系统的行为。
除了以上应用，傅里叶变换还在工程学、经济学、地球物理学等领域中有广泛应用。
在工程学中，傅里叶变换可以用于信号处理、控制系统设计、通信系统等。
在经济学中，傅里叶变换可以用于时间序列分析、经济预测等。
在地球物理学中，傅里叶变换可以用于地震信号处理、地震勘探等。
总之，傅里叶变换是一种强大的数学工具，它可以将信号从时域转换到频域，揭示信号的频率特征。
傅里叶变换的原理和应用涵盖了多个领域，对于理解和处理信号、图像以及其他物理现象具有重要意义。
短时傅里叶变换
傅里叶变换的性质
01Βιβλιοθήκη 线性性如果 (x_1(t)) 和 (x_2(t)) 是两个信号，且 (a) 和 (b) 是常数，那么 (a
x_1(t) + b x_2(t)) 的傅里叶变换等于 (a X_1(f) + b X_2(f))。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中 用于图像的频域分析和滤 波，如图像增强、去噪等。
通信系统
傅里叶变换在通信系统中 用于信号的调制和解调， 以及频谱分析等。
02
短时傅里叶变换的基本 原理
短时傅里叶变换的定义
短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，STFT）是 一种用于分析信号时间-频率特性的工具。它通过在信号上滑动 一个时间窗口，并计算每个窗口内的信号的傅里叶变换，从而 得到信号在时间和频率域上的表示。
短时傅里叶变换
目录
• 傅里叶变换简介 • 短时傅里叶变换的基本原理 • 短时傅里叶变换的实现 • 短时傅里叶变换的应用 • 短时傅里叶变换的优缺点
01
傅里叶变换简介
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域信号转换 为频域信号的方法，通过将信号分解 为不同频率的正弦波的线性组合，可 以分析信号的频率成分。
窗口函数的选择对短时傅里叶变换的 结果有很大影响。常用的窗口函数有 高斯窗、汉明窗等。选择合适的窗口 函数可以减小旁瓣干扰，提高频率分 辨率。
高斯窗函数具有平滑的边缘和快速衰 减的特性，适用于分析信号的瞬态特 性。汉明窗函数具有较尖锐的主瓣和 较小的旁瓣，适用于分析信号的频率 成分。
傅里叶小波变换
小波变换的应用
信号处理
小波变换广泛应用于信号处理领域，如语音、图像、雷达 、地震等信号的分析和处理。
故障诊断
在机械、电力、航空航天等领域，小波变换被用于监测设 备的运行状态，通过分析设备的振动、声音等信号，实现 故障的早期发现和诊断。
图像压缩
小波变换可以用于图像压缩，通过对图像进行多尺度分解 ，提取关键信息并进行压缩，从而实现高效的图像存储和 传输。
傅里叶小波变换具有良好的局部化特性，能够更好地捕捉信号的突变和奇 异性。
傅里叶小波变换的应用
傅里叶小波变换在信号处 理、图像处理、语音识别 等领域有着广泛的应用。
在图像处理中，傅里叶小 波变换可以用于图像的压 缩、去噪、增强和特征提 取等任务。
ABCD
在信号处理中，傅里叶小 波变换可以用于信号的滤 波、去噪、压缩和特征提 取等任务。
金融分析
在金融领域，小波变换被用于分析股票、期货等金融市场 的数据，提取市场趋势和波动特征，为投资者提供决策支 持。
03
傅里叶小波变换
傅里叶小波变换的定义
傅里叶小波变换是一种信号处理方法， 通过将信号分解成不同频率和时间的小 波分量，以便更好地分析信号的时频特 性。
小波变换的基本思想是将信号分解成一系列 的小波函数，这些小波函数具有不同的尺度 （或频率）和位移（或时间），以便更好地 适应信号的时频特性。
编码效率
傅里叶小波变换在压缩编码过程中能够保留信号的重要特征，同时实现较高的压 缩比和较小的失真，具有较高的编码效率和较好的重建效果。
05
傅里叶小波变换与图像处 理
图像的分解与重构
图像的分解
傅里叶小波变换可以将图像分解成不 同频率和方向的小波分量，从而提取 出图像在不同频率和方向上的特征。
3第四章短时傅里叶变换解析
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
9
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
根据功率谱定义，可以写出短时功率谱与短时傅里叶变
Sn (e j ) X n (e j ) • X *n (e j ) | X n (e j ) |2
式中* Rn (k) w(n m)x(m)w(n k m)x(m k) 的傅里叶变换。 m
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
用波形乘以窗函数，不仅为了在窗口边缘两端不引起急剧变 化，使波形缓慢降为零，而且还相当于对信号谱与窗函数的 傅里叶变换进行卷积，采样。
为此窗函数应具有如下特性： ① 频率分辨率高，即主瓣狭窄、尖锐；（矩形窗） ② 通过卷积，在其他频率成分产生的频谱泄漏少，即旁瓣 （海明窗）
窗口宽度N、取样周期T和频率分辨率Δf Δf＝1/NT
窗口宽度↑→频率分辨率↑ 时间分辨率↓ 窗口宽度↓→频率分辨率↓ 时间分辨率↑
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
第一个零点位置为2πk/N，显然它与窗口宽度成反比。 矩形窗，虽然频率分辨率很高，但由于第一旁瓣的衰减只有 13.2dB，所以不适合用于频谱成分动态范围很宽的语音分析 中。 海明窗在频率范围中的分辨率较高，而且由于旁瓣的衰减大 于42dB，具有频谱泄漏少的优点，频谱中高频分量弱、波动 小，因而得到较平滑的谱。 汉宁窗是高次旁瓣低，第一旁瓣衰减只有30dB。
与图4-2相反，图4-3只 大约在400、1400及 2200Hz 频率上有少量 较宽的峰值。它们与 窗内语音段的前三个 共振峰相对应。比较 图4-3(b)及(d)的频谱后， 再次表明矩形窗可以 得到较高的频率分辨
18
短时傅里叶变换及其谱图分析
西南交通大学峨眉校区（作业小论文）工程测试技术课程设计短时傅里叶变换及其谱图分姓名：xxxx学号：2wwwww班级：wwww专业：工程机械2013.03.20短时傅里叶变换及其谱图分析摘要：本文讨论了有噪信号的短时傅里叶变换STFT及其谱围．分析和仿真结果表明，受白噪声污染的信号的STFT可以无偏估计原信号的STFT，而其谱图可以对愿信号的谱图作有偏估计，估计方差是有限的，且是时间和频率的函数．在短窗的情况下，求得了该方差上限的近似表示．关键词：短时傅里叶变换谱图噪声污染信号估计1.前言信号的短时傅里叶变换STFT是最早提出的一种时。
频二维表示方法，它采用加窗的复正弦作为基函数，也称为加窗傅里叶变换。
由于它采用单一的分析窗处理所有频率分量，在时-频平面内所有点上的分辨率是相同的，因而适合于准平稳信号的处理。
STFT 简单易实现，许多联合时．频分析的应用都是由它开始的。
尽管STFT按定义属于线性变换，但在各种实际应用中常采用它的能谱分布表示方法，这就是基于短时傅里叶变换的谱图Spectrogram)表示。
谱图定义为STFT的模平方，它是二次型时．频分布，尽管不满足时一频边缘条件，但可以认为是信号能量在时．频平面上的分布。
谱图已经在信号检测，语音处理等方面得到了广泛应用[1Ⅱ2】。
谱图具有非线性性质，对于多分量信号将产生类似于Wigner分布中的交叉项干扰，从而引入了模糊，影响信号分析结果。
在利用谱图对信号的谱估计中，加性噪声的影响使信号具有了多分量特性．可能使得估计产生较大偏差。
本文就确定性信号受自噪声污染后的STFT及其谱图的最小方差估计问题进行了分析。
文中第二部分做了理论推导，求得了有噪信号的sTFT及其谱图的均值和方差，第三部分对短窗的情况作了近似分析，最后给出了一例简单的仿真结果。
2.傅立叶变换的提出让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。
短时傅里叶变换过程
短时傅里叶变换过程
短时傅里叶变换是一种将一个信号分解成不同频率组成部分的算法。
它是傅里叶变换的一种扩展形式，可以用于处理非平稳的信号，并可以在一定程度上保留时间信息。
短时傅里叶变换的基本思想是：将原始信号分成若干个短时段，对每个短时段进行傅里叶变换，得到该时段内信号各个频率成分的强度和相位，然后将这些结果组合起来得到整个信号的频谱。
具体的，短时傅里叶变换可以分为以下几个步骤：
1. 选择一种窗函数（例如海明窗、矩形窗等），将原始信号分割成一系列时间窗口。
2. 对每个时间窗口的信号进行傅里叶变换，得到该窗口内各个频率成分的幅度和相位。
需要注意的是，短时傅里叶变换的窗口长度需要根据原始信号的时间特征进行选择。
窗口长度较短可以保留更多时间信息，但可能会导致频谱的精度下降；窗口长度较长则可以得到更高精度的频谱，但会丧失时间精度。
总的来说，短时傅里叶变换可以有效地分析非平稳信号的频率成分，是信号处理中常用的一种技术。
短时傅里叶变换频率重排
短时傅里叶变换频率重排短时傅里叶变换（STFT）的频率重排1. 短时傅里叶变换（STFT）回顾短时傅里叶变换是一种在信号处理中广泛使用的技术，它结合了傅里叶变换和窗口函数的特性。
其基本思想是将一个非平稳信号分割成多个短时间窗口，并对每个窗口内的信号片段执行傅里叶变换。
这样，我们可以观察到信号在不同时间点的频率特性。
然而，STFT有一个固有的限制，即它在所有频率上使用相同的时间分辨率和频率分辨率。
这意味着对于快速变化的信号成分（如高频信号），STFT可能无法提供足够的时间分辨率来精确捕捉其变化；而对于缓慢变化的信号成分（如低频信号），STFT可能提供过多的时间分辨率而牺牲了频率分辨率。
2. 频率重排的概念为了克服STFT的这种限制，频率重排的概念被提出。
频率重排是一种动态调整窗口大小和形状的方法，以便根据信号的频率内容优化时间和频率分辨率。
其目标是在保持足够频率分辨率的同时，为快速变化的信号成分提供更高的时间分辨率。
3. 实现频率重排的方法●使用小波变换：小波变换是一种多分辨率信号分析方法，它使用不同尺度和形状的小波基函数来分析信号。
由于小波变换具有自适应性，它可以根据信号的频率内容动态地调整基函数的尺度和形状，从而实现频率重排。
●动态调整窗口函数：在STFT的框架内，可以使用动态窗口方法来实现频率重排。
这意味着根据信号的频率特性动态地调整窗口函数的大小、形状或位置。
例如，对于高频成分，可以使用较短的窗口以提供更高的时间分辨率；而对于低频成分，可以使用较长的窗口以提供更高的频率分辨率。
4. 频率重排的优势与挑战●优势：频率重排可以显著提高STFT在分析非平稳信号时的性能。
通过优化时间和频率分辨率，它可以更准确地捕捉到信号的频率变化，并为不同频率成分提供适当的分辨率。
●挑战：虽然频率重排具有许多优势，但它也带来了一些挑战。
首先，动态调整窗口大小和形状可能增加计算的复杂性和内存需求。
其次，选择合适的窗口函数和调整策略可能需要根据具体的信号特性和应用需求进行大量的实验和调优。
短时傅里叶变换STFT
3.短时傅里叶变换缺陷
2
1
m,t
t1
t2
短时傅里叶变换
t 窗口
t
窗函数 m,t 的特点：
随着 , t 的变换，窗口在相空间不断平移； 短时Fourier变换就是通过这些移动的窗口来提取 被变换函数的信息； 函数族 m ,t 确定的时频窗口只是随 , t 发生平移， 窗口的大小和形状固定不变.
STFT定义:
1946年，Gabor就提出了STFT，给定一信号，其STFT定义为:
S x ( , t ) x( )m( t )e j d x( ), m( t )e j （1.1）
窗函数
短时谱的特点：
1)时变性：既是角频率ω 的函数又是时间t的函数。 2)周期性：是关于ω 的周期函数，周期为2π 。
1 2
X ( )M ( )e
信号谱
j ( ) t
d
窗谱
所以
S x (, t ) e
jt 1 2
பைடு நூலகம்
X ( )M ( )e jt d
该式指出，对 x( ) 在时域加窗 m( t ) ，引导在 频域对 X ( ) 加窗 M ( ) 。
窗函数的中心和半径：
定义非平凡函数 w L2 R 称为一个窗函数，如果 xwx 也是属于 L2 R 的，这个窗函数的中心定义为：
t
*
w
2 2
1
x wx
2
dx
半径定义为：
w
1 1 2 * 2 { ( x t ) w( x ) dx} 2 w 2
短时傅立叶变换与Wigner_Ville分布联合确定地震信号瞬时频率
第30卷 第4期2010年7月西安科技大学学报JOURNAL OF XI ′AN UN I V ERSI TY OF S C I E NCE AND TECHNOLOGY Vol .30 No 14Jul 12010 文章编号:1672-9315(2010)04-0447-04短时傅立叶变换与W igner 2V ille 分布 联合确定地震信号瞬时频率3赵淑红(长安大学地质工程与测绘工程学院,陕西西安710054)摘 要:地震信号属于非平稳信号,利用短时傅立叶变换对地震信号进行时频分析时会受窗口大小的影响,利用W igner 2V ille 分布的方法时会产生交叉项。
基于这些原因,提出了把二者结合起来的方法计算时频分布,并且利用时频剖面得到信号的瞬时频率。
从理论数据出发,分别计算利用短时傅立叶变换、W igner 2V ille 及二者结合得到的时频剖面。
通过比较得出:2类方法联合后获取的瞬时频率与原始的瞬时频率最接近,说明二者结合的方法对获取瞬时频率更有效。
关键词:时频分析;短时傅立叶变换;W igner 2V ille 分布;瞬时频率中图分类号:P 631.43 文献标志码:A信号处理的最终目的是把信号的重要特征表现得更加清晰。
时频分析方法可以细致地刻画地震信号的时频结构和特征,能较好地描述信号的频率随时间的变化规律。
时频分析方法主要包含短时傅立叶变换、小波变换、S 变换、W igner 2V ille 分布等,根据理论公式可以看出,每种方法各具特色,但也存在一定的局限性[1,2]。
本文中提出利用短时傅立叶变换、W igner 2V ille 及二者结合的方法获取瞬时频率,可取得很好的效果。
1 原 理时频分析方法包含线性时频分析方法和非线性时频分析方法两大类。
对信号s (t )来说,如果s (t )的时频表示T s (t,f )是每个信号分量的时频表示的线性组合,则T s (t,f )称为线性时频表示;否则,称为非线性时频表示[3,4]。
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（4）
该式指出，对 x( ) 在时域加窗 g ( t ) ，引导出在频域对 X ( ) 加窗 G ( ) 。 窗函数的中心和半径： 定义非平凡函数 L2 ( R ) 称为一个窗函数，如果 x ( x) 也是属于 L2 ( R ) 的， 一个窗函数的中心定义为：Biblioteka t* 11
第１章 短时傅里叶变换简介
1.1 背景 傅里叶变换是在整体上将信号分解为不同的频率分量，缺乏局域性信息，即 它不能告诉我们某种频率分量发生在哪些时间内， 因而傅里叶变换不适合对非平 稳信号进行分析。这是因为非平稳信号（尤其是噪声信号）中包含不止一种基本 成分， 所以一维函数的分析方法就显得不够充分，必须考虑以时间和频率为变量 的二维函数。 对于时变信号， 了解不同时刻附近的频域特征是至关重要的。 因此， 人们采用时间—频率描述时变信号，将一维的时域信号映射到二维的时频平面， 全面反映观测信号的时频联合特征。短时傅里叶变换反映了这一思想，而傅里叶 变换不具备这一特性。 综上所述，傅里叶变换有三点缺陷： 1 不适用于非平稳信号的处理； 2 没有局域性； 3 时域与频域的分割。 1.2 提出与基本思想 鉴于傅里叶变换的缺陷提出了窗函数的概念，提出一个灵活可变的时间—频 率窗， 使得在这个窗内能够体现频率的信息，这种信号分析方法称为时间—频率 分析。而窗固定的时间—频率分析方法即为短时傅里叶变换。 短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform） 。其主要思想是选择一 个时频局部化的窗函数，假定分析窗函数 g(t)在一个短时间间隔内是平稳（伪平 稳）的，移动窗函数，使 f(t)g(t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算 出各个不同时刻的功率谱。 短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦 确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。 如 果要改变分辨率， 则需要重新选择窗函数。短时傅里叶变换用来分析分段平稳信 号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函 数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频 信号，则要 求窗函数有较高的频率分辨率。 短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需 求。短时傅里叶变换窗函数受到 W.Heisenberg 不确定准则的限制，时频窗的面 积不小于 2。这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分 辨率不能同时达到 最优。 1.3 ＳＴＦＴ定义 1946 年，Gabor 就提出了 STFT，给定一信号，其 STFT 定义为 ：
I
摘 要
简要介绍了短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform）的基本思 想，定义，缺陷和测不准定理。用短时傅里叶变换作为时频信号分析工具，研究 在电压暂降扰动下暂降电压幅值检测、扰动时间定位和扰动源识别问题。提出利 用暂降后电压信号的基频幅值曲线检测暂降电压幅值， 利用暂降发生和结束时产 生的高频信号对电压暂降扰动时间定位的方法， 并提出根据基频幅值和扰动点个 数来识别电压暂降扰动源的方法， 该方法可以有效区分由短路故障引起的电压暂 降和由感应电机启动引起的电压暂降。 仿真试验结果表明该方法对电压暂降扰动 检测精度高， 同时比以往基于小波变换的方法在抵御谐波和噪声干扰方面更具有 优越性。最后介绍了针对音频信号进行短时傅里叶变换的 matlab 实现。 关键词:短时傅里叶变换；电压暂降；音频信号；matlab
密 学
级 号
公开 5320130028
基于短时傅里叶变换的电压暂 降检测及音频信号的 matlab 实现
院（系、部） ： 姓 年 专 名： 级： 业：
机电工程学院 周英杰 机研 2013 机械工程 代峰燕
指导教师：
2014 年 6 月 8 日·北京
目 录
目 录.............................................................................................................................I 摘要................................................................................................................................ 1 第１章 短时傅里叶变换简介.................................................................................... 2 1.1 背景................................................................................................................. 2 1.2 提出与基本思想........................................................................................... 2 1.3 ＳＴＦＴ定义............................................................................................... 2 1.4 时域表示....................................................................................................... 4 1.5 频域表示....................................................................................................... 4 第 2 章 测不准定理...................................................................................................... 6 第 3 章 短时傅里叶变换缺陷...................................................................................... 7 第 4 章 基于短时傅里叶变换的电压暂降扰动检测.................................................. 8 4.1 基频电压暂降扰动的检测............................................................................. 8 4.1.1 电压暂降幅值检测.............................................................................. 8 4.1.2 电压暂降扰动定位............................................................................ 9 4.2 含谐波的电压暂降扰动的检测................................................................... 10 4.2.1 电压暂降幅值检测............................................................................ 10 4.2.2 电压暂降扰动定位............................................................................ 10 第 5 章 针对音频信号用 matlab 实现短时傅里叶变换........................................... 11 5.1 短时分析....................................................................................................... 11 5.2 具体的加窗、短时傅里叶变换的 matlab 程序.......................................... 13 第 6 章 结论................................................................................................................ 15 参考文献...................................................................................................................... 16
g t , ( ) g ( t )e j 两边做傅里叶变换，有 G t , ( ) g ( t )e j e j d e j ( ) g (t ' )e j ( )t ' dt ' G ( )e j ( )
式中 和 是等效的频率变量 （2）
1 1 x(t ), g t , ( ) X ( ), Gt , ( ) X ( )G ( )e j ( )t d 2 2
所以 STFTx (t , ) e
jt
（3）
1 X ( )G ( )e jt d 2
STFTx (t , ) x( )g ( t )e j d x( ), g ( t )e j
公式涵义：
2
（1）
在时域用窗函数去截信号，对截下来的局部信号作傅立叶变换，即在 t 时刻 得该段信号的傅立叶变换，不断地移动 t，也即不断地移动窗函数的中心位置， 即可得到不同时刻的傅立叶变换，这些傅立叶变换的集合，即是 STFTx (t , ) 。 STFT 可以看成是用基函数 g t , ( ) g ( t )e j 来代替傅里叶变换中的基函 数 。 （1）式内积的结果即可实现对信号进行时—频定位的功能。对