2013年课标版模拟试卷(10)理科数学试题

2013年课标版模拟试卷（10）理科数学试题本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 为虚数单位，则复数i 23(-i 对应的点位于A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合}4,3,2,1,0{=A ，集合},2|{A n n x x B ∈==，则=B AA ．}0{B ．}4,0{C ．}4,2{D ．}4,2,0{3．已知函数()2030x x x fx x log ,,⎧>=⎨≤⎩, 则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是A ．9B ．19C ．9-D ．19-4.设向量=a ()21x ,-，=b ()14x ,+，则“3x =”是“a //b ”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数)(x f y =的图象向右平移6π单位后与函数x y 2sin =的图象重合，则)(x f y =的解析式是 A ．()fx =)32cos(π-x B ．()fx =)62cos(π-x俯视图侧视图正视图图1C ．()fx =)62cos(π+x D ．()fx =6．已知四棱锥P A B C D -的三视图如图1所示，则四棱锥P A B C D -的四个侧面中面积最大的是A ．3B ．C ．6D ．87．在区间15,⎡⎤⎣⎦和24,⎡⎤⎣⎦分别取一个数,记为a b ,,则方程22221x y ab+=表示焦点在x 轴上且离心率小于2的椭圆的概率为A ．12B ．1532C ．1732D ．31328．在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+ 都成立，则实数a 的取值范围是 A ．17,⎡⎤-⎣⎦ B ．(3,⎤-∞⎦C ．(7,⎤-∞⎦D ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5（一）必做题（9～13题）9. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ， 若34512a a a ++=，则7S 的值为 .10.若291()ax x-的展开式的常数项为84，则a 的值为 .11.若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线， 则实数m 的值为 . 12.圆2224150xyx y +++-=上到直线20x y -=的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，则输出S 的值是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图3，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点，图2NPP C O P ⊥，P C 交⊙O 于C ，若4A P =，2PB =，则P C 的长是15．（坐标系与参数方程选讲选做题）已知圆C 的参数方程为2x y cos ,sin ,θθ⎧=⎨=+⎩(θ为参数), 以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为1sin cos ρθρθ+=, 则直线截圆C 所得的弦长是 . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知A B C V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值； (2) 求2C cos 的值. 17.（本小题满分12分）某市,,,A B C D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示：为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问,,,A B C D 四所中学各抽取多少名学生？（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率； （3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自,A C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生，用ξ表示抽得A 中学的学生人数，求ξ的分布列.18. （本小题满分14分）如图4,已知四棱锥P A B C D -，底面A B C D 是正方形，PA ^面A B C D ， 点M 是C D 的中点，点N 是P B 的中点,连接A M ,A N MN ,.(1) 求证：MN //面P A D ；（2）若5M N =,3A D =，求二面角N AM B --的余弦值.19.（本小题满分14分）如图5, 已知抛物线2P y x :=，直线AB 与抛物线P O A O B ^，OA OB OC uur uu u r uuu r+=，O C 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程；(2) 求四边形A O B C 的面积的最小值.20.（本小题满分14分）在数和2之间插入n 个实数,使得这2n +个数构成递增的等比数列,将这2n +个数 的乘积记为n A ,令2n n a A log =,n ∈N . (1)求数列{}n A 的前n 项和n S ；(2)求2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅ .21.（本小题满分14分）若函数()f x 对任意的实数1x ，2x D ∈，均有2121()()f x f x x x -≤-，则称函数()f x 是区间D 上的“平缓函数”.(1) 判断()sin g x x =和2()h x x x =-是不是实数集R 上的“平缓函数”，并说明理由；222N(2) 若数列{}n x 对所有的正整数n 都有 121(21)n n x x n +-≤+，设sin n n y x =,求证： 1114n y y +-<.2013年课标版模拟试卷（8）理科数学试题 试题解析一、选择题 1. A分析：2i(23i)=2i 3i 2i 332i --=+=+，其对应的点为(3,2)，位于第一象限2. D分析：{0,1,2,3,4}A = ，{|2,}{0,2,4,6,8}B x x n n A ∴==∈=，{0,2,4}A B ∴= 3. B 分析：22211log log 2244f -⎛⎫===- ⎪⎝⎭，()2112349f f f -⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4. A分析：当//a b时，有24(1)(1)0x x ?-+=，解得3x =±；所以3//x a b =⇒ ，但//3a b x =¿，故“3x =”是“//a b”的充分不必要条件5. B分析：逆推法，将sin 2y x =的图象向左平移6π个单位即得()y f x =的图象，即()sin 2()sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)632366f x x x x x x ππππππ=+=+=-+=-+=-6. C分析：三棱锥如图所示，3P M =，142P D C S ∆=⨯⨯=，12332P B C P A D S S ∆∆==⨯⨯=，14362P A B S ∆=⨯⨯=7. B分析：方程22221x y a b +=表示焦点在x轴且离心率小于2的椭圆时，有222a b c e a a ⎧>⎪⎨==<⎪⎩， 即22224a b a b ⎧>⎨<⎩，化简得2a ba b >⎧⎨<⎩，又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈， 画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示， 求得阴影部分的面积为154，故152432S P ==⨯阴影8. C分析：由题意得()()(1)x a x x a x -?--，故不等式()2x a xa -?…化为()(1)2x a x a --+…，化简得2(1)220x a x a -+++…，故原题等价于2(1)220x a x a -+++…在(2,)+∞上恒成立，由二次函数2()(1)22f x x a x a =-+++图象，其对称轴为12a x +=，讨论得122(2)0a f +⎧⎪⎨⎪⎩…… 或 1221()02a a f +⎧>⎪⎪⎨+⎪⎪⎩…，解得3a … 或 37a <…， 综上可得7a …二、填空题 9.28分析：方法一、（基本量法）由34512a a a ++=得11123412a d a d a d +++++=，即13912a d +=，化简得134a d +=，故7117677(3)73282S a d a d ´=+=+=?方法二、等差数列中由173542a a a a a +=+=可将34512a a a ++=化为173()122a a +=，即178a a +=，故1777()282a a S +==10.分析：299183991C ()(1)C rr rr rr rax axx---骣琪-=-琪桫，令6r =，得其常数项为6369(1)C 84a -=，即38484a =，解得1a =11.e -分析：设切点为000(,ln )x x x ，由1(ln )ln ln 1y x x x x x x ''==+=+ 得0ln 1k x =+，故切线方程为0000ln (ln 1)()y x x x x x -=+-，整理得00(ln 1)y x x x =+-， 与2y x m =+比较得00ln 12x x m +=⎧⎨-=⎩，解得0e x =，故e m =-12. 4分析：圆方程2224150x y xy +++-=化为标22(1)(2)20x y +++=，其圆心坐标(1,2)--，半径r =，由点到直线的距离公式得圆心到直20x y -=的距离5d ==，由右图所示，圆上到直线20x y -=413.3018 分析：由题意11cos112a π=⨯+=，222cos 112a π=⨯+=-，333cos112a π=⨯+=，444cos152a π=⨯+=，555cos 112a π=⨯+=，666cos152a π=⨯+=-，777cos112a π=⨯+=，888cos192a π=⨯+=，…20091a =， 20102009a =-， 20111a =， 20122013a =；以上共503行，503(1592009)503(59132013)=-+++++++++ 50315032013=-++输出的122012S a a a =+++ 3018=分析：如图，因为P C O P ⊥ ，所以P是弦C D 中点，由相交弦定理知2PA PB PC = ，即28PC =，故PC =分析：圆C 的参数方程化为平面直角坐标方程为22(2)1x y +-=，直线的极坐标方程化为平面直角坐标方程为1x y +=，如右图所示，圆心到直线的距离2d ==故圆C 截直线所得的弦长为=三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）（本小题主要考查同角三角函数的关系、正弦定理、二倍角、两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解:∵123a b B ,,π===,依据正弦定理得:a b ABsin sin =, …………… 1分即12Asin =,解得A sin =4. …………… 3分(2)解:∵a b <， ∴02A B π<<<. …………… 4分∴4A cos ==. …………… 5分∴228A A A sin sin cos ==, …………… 6分252128A A cos sin =-=. …………… 7分∵A B C π++=, ∴23C A π=-. …………… 8分∴4223C A cos cos π⎛⎫=-⎪⎝⎭…………… 9分442233A A coscos sinsin ππ=+ …………… 10分152828=-⨯-⨯16=-. …………… 12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查分层抽样、概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）（1）解：由题意知，四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为5011002=.∴应从,,,A B C D 四所中学抽取的学生人数分别为15,20,10,5. …………… 4分 （2）解：设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件M ，从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生的取法共有C 250=1225种，… 5分这两名学生来自同一所中学的取法共有C 215+C 220+C 210+C 25=350. …………… 6分∴()3501225P M ==27.EMNDCBAP答：从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学的概率为27. …………… 7分(3) 解：由（1）知，在参加问卷调查的50名学生中，来自,A C 两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，ξ的可能取值为0,1,2， …………… 8分()0P ξ==210225C C 960=， ()1P ξ==111510225C C C =12，()2P ξ==215225C C 720=.…………… 11分 ∴ξ的分布列为： (12)分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） （1）证法1：取P A 的中点E ，连接DE EN ,， ∵点N 是P B 的中点, ∴12EN AB EN AB //,=. …………… 1分∵点M 是C D 的中点，底面A B C D 是正方形，∴12DM AB DM AB //,=. …………… 2分∴EN DM EN DM //,=. ∴四边形E D M N 是平行四边形.EMNDCBAPNBAP ∴MN DE //. …………… 3分 ∵D E ⊂平面P A D ，M N ⊄平面P A D ， ∴MN //面P A D . …………… 4分证法2：连接BM 并延长交A D 的延长线于点E ，连接P E ， ∵点M 是C D 的中点，∴12DM AB DM AB //,=, …………… 1分∴点M 是B E 的中点. …………… 2分∵点N 是P B 的中点,∴MN PE //. …………… 3分 ∵PE ⊂面P A D ，M N ⊄平面P A D ，∴MN //面P A D . …………… 4分 证法3： 取AB 的中点E ，连接NE ME ,， ∵点M 是C D 的中点，点N 是P B 的中点,∴ME AD //，NE PA //. ∵AD ⊂面P A D ，M E ⊄平面P A D ，∴ME //面P A D . …………… 1分 ∵P A ⊂面P A D ，N E ⊄平面P A D ，∴NE //面P A D . …………… 2分∵ME NE E = ，N E ⊂平面M E N ，M E ⊂平面M E N ，∴平面MEN //面P A D . …………… 3分∵M N ⊂平面M E N ，∴MN //面P A D . …………… 4分（2）解法1：∵NE PA //，PA ^面A B C D ，∴N E ^面A B C D . …………… 5分 ∵A M ⊂面A B C D ，∴N E A M ⊥. …………… 6分 过E 作EF AM ⊥，垂足为F ，连接N F ，∵NE EF E = ，N E ⊂面N EF ，EF ⊂面N EF ，∴A M ⊥面N EF . …………… 7分 ∵N F ⊂面N EF ，∴AM N F ⊥. …………… 8分 ∴N F E ∠是二面角N A M B --的平面角. …………… 9分在Rt △N E M 中，5M N =,3M E A D ==，得4NE ==，…………… 10分在Rt △M E A 中，32A E =，得2AM ==，5AE M E EF AM==g . …………… 11分在Rt △N EF 中，5N F ==， …………… 12分cos 89EF N FE N F?=. …………… 13分∴二面角N A M B --的余弦值为89. …………… 14分解法2：∵NE PA //，PA ^面A B C D ， ∴N E ^面A B C D .在Rt △N E M 中，5M N =,3M E A D ==，得4NE ==，…………… 5分以点A 为原点，A D 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -， …………… 6分 则()333000300004222A M E N ,,,,,,,,,,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ∴()004EN ,,=，，3042AN ,,⎛⎫= ⎪⎝⎭. …………… 8分设平面A M N 的法向量为n ()x y z ,,=，由n 0AM ⋅= ，n 0AN ⋅=，得33023402x y y z ,.⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =，得2y =-，34z =.∴n 3124,,⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面A M N 的一个法向量. …………… 11分 又()004EN ,,=是平面AM B 的一个法向量， …………… 12分cos ,n EN==n E N n EN89. …………… 13分∴二面角N A M B --的余弦值为89. …………… 14分19. （本小题满分14分）（本小题主要考查抛物线、求曲线的轨迹、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识） 解法一:（1）解：设()()()221122Mx y A yy B yy ,,,,,，∵O A O B O C +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 2分 ∴()222121212222y y y y y y x +-+==，① …………… 3分122y y y +=. ② …………… 4分∵O A O B ⊥， ∴0O A O B ⋅=.∴2212120y y y y +=. …………… 5分依题意知120y y ≠，∴121y y =-. ③ …………… 6分把②、③代入①得：2422yx +=，即()2112yx =-. …………… 7分∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分(2)解：依题意得四边形A O B C 是矩形， ∴四边形A O B C 的面积为S OA OB = =⋅…………… 9分===…………… 11分∵22121222y y y y +≥=，当且仅当12y y =时，等号成立， …………… 12分∴2S ≥=. …………… 13分∴四边形A O B C 的面积的最小值为2. …………… 14分 解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线O A 的斜率为k ,由于O A O B ⊥,则直线O B 的斜率为1k-. …………… 1分故直线O A 的方程为y kx =,直线O B 的方程为1y x k=-.由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=.解得0x =或21x k=. …………… 2分∴点A 的坐标为211k k,⎛⎫⎪⎝⎭. …………… 3分 同理得点B 的坐标为()2k k ,-. …………… 4分∵O A O B O C +=，∴M 是线段AB 的中点. …………… 5分 设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x kk y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩ …………… 6分消去k ,得()2112yx =-. …………… 7分∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-. …………… 8分(2)解：依题意得四边形A O B C 是矩形， ∴四边形A O B C 的面积为S OA OB ==⋅…………… 9分=…………… 10分≥…………… 11分2=. …………… 12分 当且仅当221k k=,即21k=时,等号成立. …………… 13分∴四边形A O B C 的面积的最小值为2. …………… 14分20. （本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1)解法1:设1232n b b b b ,,,,+ 构成等比数列,其中1212n b b ,+==,依题意,1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅ , ① …………… 1分 2121n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅ , ② …………… 2分 由于12213212n n n n b b b b b b b b +++⋅=⋅=⋅==⋅= , …………… 3分 ①⨯②得()()()()212211221n n n n n A b b b b bb b b ++++=⋅⋅⋅⋅ 22n +=.…………… 4分∵0n A >,∴222n n A +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 解法2: 设1232n b b b b ,,,,+ 构成等比数列,其中1212n b b ,+==,公比为q ,则121n n b b q ++=,即12n q +=. …………… 1分 依题意,得1212n n n A b b b b ++=⋅⋅⋅⋅()()()211111n b b q b q b q +=⋅⋅⋅⋅ …………… 2分 ()()212311n n b q++++++=⋅ …………… 3分()()122n n q++= …………… 4分222n +=. …………… 5分∵3212222n n n nA A +++==…………… 6分∴数列{}n A是首项为1A =. …………… 7分∴1nn S ⎡⎤-⎢⎥=(41n⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦. …………… 8分 (2)解: 由(1)得2n n a A log =222222n n log ++==, …………… 9分∵()()()11111n nn n n n tan tan tan tan tan tan +-⎡⎤=+-=⎣⎦++⋅, ……………10分∴()()1111n nn n tan tan tan tan tan +-⋅+=-,n ∈N . ……………11分∴2446222n n n T a a a a a a tan tan tan tan tan tan +=⋅+⋅++⋅ 2334tan tan tan tan tan =⋅+⋅++ ()()12n n tan +⋅+()()213243111111n n tan tan tan tan tan tan tan tan tan ⎛⎫+-+⎛⎫⎛⎫--=-+-++- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()221n n tan tan tan +--. …………… 14分21.(本小题满分14分)（本小题主要考查函数、绝对值不等式等基础知识，考查函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，但2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”； 设()sin x x x ϕ=-，则()1cos 0x x ϕ'=-≥,则()sin x x x ϕ=-是实数集R 上的增函数， 不妨设12x x <，则12()()x x ϕϕ<，即1122sin sin x x x x -<-，则2121sin sin x x x x -<-. ① …………… 1分 又sin y x x =+也是R 上的增函数，则1122sin sin x x x x +<+，即2112sin sin x x x x ->-， ② …………… 2分 由①、②得 212121()sin sin x x x x x x --<-<-.因此,2121sin sin x x x x -<-，对12x x <都成立. …………… 3分 当12x x >时，同理有2121sin sin x x x x -<-成立 又当12x x =时，不等式2121sin sin 0x x x x -=-=， 故对任意的实数1x ，2x ∈R ,均有2121sin sin x x x x -≤-.因此 ()sin g x x =是R 上的“平缓函数”. …………… 5分 由于121212()()()(1)h x h x x x x x -=-+- …………… 6分 取13x =，22x =，则1212()()4h x h x x x -=>-， …………… 7分 因此， 2()h x x x =-不是区间R 的“平缓函数”. …………… 8分（2）证明:由（1）得：()sin g x x =是R 上的“平缓函数”，则11sin sin n n n n x x x x ++-≤-， 所以 11n n n n y y x x ++-≤-. …………… 9分 而121(21)n n x x n +-≤+，∴ 12211111()(21)4441n n y y n n nn n +-≤<=-+++. …………… 10分∵11111221()()()()n n n n n n n y y y y y y y y y y ++----=-+-+-++- ,……… 11分 ∴1111221n n n n n y y y y y y y y ++---≤-+-++- . …………… 12分 ∴11111111[()()(1)]4112n y y n n n n+-≤-+-++-+-11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭…………… 13分 14<. …………… 14分。