充分条件与必要条件教案

新授课：1.2.1 充分条件与必要条件

一、【教学目标】

重点: 充分条件、必要条件的概念. 难点：充分条件、必要条件的判断.

知识点：使学生理解充分条件、必要条件的概念；能正确判断是否是充分条件或必要条件. 能力点：通过引导学生观察、归纳，培养学生的观察能力和归纳能力.

教育点：通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受.

自主探究点：通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，敢于把错误

的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神.

考试点：理解充分条件、必要条件的概念,能正确判断是否是充分条件或必要条件. 易错易混点：复杂的问题中分类讨论的标准搞不清楚. 拓展点：从集合的角度解释充分必要条件. 二、【引入新课】

我来自墨子故里——滕州，送给大家一件礼物，请语文课代表接受我的礼物，并给大家朗读翻译.早在战国时期，《墨经》中就有这样一段话“有之则必然，无之则未必不然，是为大故”“无之则必不然，有之则未必然，是为小故”. 生活中也有这样的逻辑：

1.若我是枣庄一中的学生，则我是山东省的学生.

2.要想在高考中取得好成绩，平时的努力学习是必要的. 在数学中，也讲“充分”和“必要”，让我们共同学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件. (板书) 【设计意图】用生活中的事例来说明数学中对应研究的概念、关系，这样会使学生感到亲切自然，有助于提高兴趣和深入领会概念的内容，特别是必要条件的理解. 三、【探究新知】

问题1：前面讨论了“若p 则q ”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假.

（1）全等三角形的面积相等；

探究一：将命题写成“若p 则q ”的形式，说明由条件经过推理可以得到结论吗,并判断此命题的真假？ 若p :两个三角形是全等三角形，则q :这两个三角形的面积相等. “若p 则q ”为真，是指由p 经过推理可以得出q ，也就是说，如果p 成立，那么q 一定成立，记作p ⇒q .“若p 则q ”为假，记作p q （板

书）

探究二：要想说明两个三角形的面积相等, 有两个三角形是全等三角形这个条件就足够了吗？

足够了，也就是充分了.

探究三：如果两个三角形面积不相等，这两个三角形能全等吗？

探究四：要想说明两个三角形是全等三角形，这两个三角形的面积相等必须成立吗？

两个三角形的面积相等是两个三角形是全等三角形的必须具备,必不可少的条件，也就是必要条件. （2）若0a =，则0ab =；

探究一：由条件经过推理可以得到结论吗,并判断此命题的真假？ 探究二：要想说明ab=0, 有a=0这个条件就足够了吗？

述形式，前者是符号表示，后两者是文字表示.②充分条件的含义用通俗的语言来说是指“有它就行”， 即“有之必然”；必要条件的含义用通俗的语言来说是指“缺它不行”，即“无之必不然”. 五、【运用新知】

例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？

（1）若1x =，则2

430x x -+=；

（2）若()f x x =，则()f x 在(,)-∞+∞上为增函数； （3）若x 为无理数，则2

x 为无理数；

【师生活动】（教师引导学生体验：问题的实质是判断命题是否为真） 解：命题（1）（2）是真命题.所以，命题（1）（2）中的p 是q 的充分条件. 命题（3）为假命题，所以p 不是q 的充分条件,可用符号“≠>”表示.若有q p ≠>，称p 不是q 的充分条件，称q 不是p 的必要条件. 问题：同学们，对于命题(1)、(2)，我们可不可以回答q 是p 的必要条件呢？ 答:可以称对于命题(1)、(2)q 是p 的必要条件.

【设计意图】概念的否定是概念理解的重要方面，本例意在让学生在直观理解的基础上给出“充分条件”和“必要条件”的否定形式.以帮助学生全面认识和理解概念.

练习.下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？

（1） 若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 （2） 若5>x ，则10>x

【设计意图】提升学生的认识水平，试图从不同角度帮助同学们理解“充分”和“必要”. 例2：判断下列各组问题中，哪些q 是p 的必要条件？

（1） 若,y x =则2

2

y x =

（2） 如果一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直

（3） 若b a >，则bc ac > 解：命题（1）（2）是真命题.所以，命题（1）（2）中的q 是p 的必要条件. 命题（3）为假命题，所以q 不是p 的充分条件。

【设计意图】强调说明：充分条件与必要条件判断的关键：

① 认清条件与结论；②考察q p ⇒或q p ⇒的真假.

练习1. 下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？

（1） 若5+a 是无理数，则a 是无理数； （2） 若0=--))((b x a x ，则a x =

练习2.用“充分条件”或“必要条件”填空：

⑴四边形的对角线相等是四边形为矩形的________； ⑵5a >是a 为正数的________. 答案：⑴必要条件；⑵充分条件.

练习3. 用“充分”或“必要”填空，并说明理由：

⒈“a 和b 都是偶数”是“a b +也是偶数”的 充分 条件； ⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的 必要 条件； 3.“x ＝ 3”是“|x| ＝3”的充分_条件

4.“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的 充分 条件；

5.“a=2，b=3”是“a+b=5”的 充分 条件 练习4.课本10页4题

【设计意图】通过练习题加深学生对概念的理解. 六、【课堂小结】

师生共同回顾本节课的教学过程，小结如下内容：

①充分条件与必要条件的概念. ②判别步骤： (1)找出p 、q ；

(2)判断“若p 则q ” 的真假；

(3) 根据定义下结论.

【设计意图】再现课堂，小结提升，有助于学生明确学习的重点. 七、【布置作业】 必做题：

１.课本第12页A 组2.3

２判断下列各组问题中，q 是p 的必要条件吗？ ①p :{}

3p x x > q :{}

5p x x >； ②p : {}

0p x x > q :{

}

0p x x ≥；

③p :同位角相等 q :两直线平行；

④p :四边形对角线相等 q :四边形是平行四边形

解：因为在问题②和问题③中都有q p ⇒.所以，在问题②和问题③中，q 是p 的必要条件.在问题①和问题④中都有q p ≠>.所以，在问题①和问题④中，q 不是p 的必要条件 选做题：

１.判断下列命题的真假：

①“a b 0>>”是“2

2

a b >”的充分条件；