偏微分方程的离散化方法优秀课件
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第5章偏微分方程值解ppt课件
t
t nt , x ix , y jy , z kz
总目录
本章目录
5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式
以3对于二阶偏导，我们可以通过对泰勒展开式处 理技术得到下面离散化计算公式：
2u t 2 2u x 2 2u y 2 2u z 2
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5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
例下面介绍3种迭代格式： 1 u (u u u u (1)同步迭代： 4 1 u (u u u u (2)异步迭代： 4 1 u u u ) u (u 4 (3)超松弛迭代：
（5-4） (计算实例VB程序见课本)
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5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
2、一维流动传热传导方程的混合问题 一维流动传热传导方程的混合问题：
2 u u 2 u b f (u, t ) a 2 t x x u t 0 (x), u 0 x x l u x 0 μ1(t)
u
x0
1 (t ),u xt 2 (t )
为初值条件 为边值条件
当该波动方程只提初值条件时，称此方程为波动 方程的初值问题，二者均提时，称为波动方程的 混合问题。
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5.1
5.2
5.3
5.4
5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算
t t
x
0
x
0
l
(a)初值问题
偏微分方程的离散化方法4
P
3
PPP
P
4
PPP
P
5
PP
P
1P
PP
P
2
P
PPP
P
3
P
PPP
P
4
P
PPP
P
5
P
PP
P
1
P
PP
P
2
P
PPP
P
3
P
PPP
P
4
P
PPP
P
5
P
PP
P
1
P
PP
P
2
P
PPP
P
3
P
PPP
P
4
P
PPP
P
5
P
PP
P
1
P
PP
2
P
PPP
3
P
PPP
4
P
PPP
5
P
PP
3、Crank_Nicolson 差分格式
Crank_Nicolson 差分格式（简称 C_N 格式）是综合显式和隐式格式而构建， 将空间二阶差商取为 n 时刻与 n+1 时刻的算术平均值，则：
Pi
n 1,
j
)
n1/ 2
P P i1, j
n1/ 2 i 1, j
P n1 i, j
Pn i, j
2x 2
2x
t
四、边界条件的处理
（一）、内边界条件处理
定产条件：即井以一定产量 q 生产。如在网格（i，j）上有一口井，产量 q，
则可在渗流方程左边加上产量相，生产井 q 为负，注水井 q 为正。
第5章偏微分方程值解ppt课件
t 2K 2t t (TW t ) u 2 rC P C P l l
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5.1
5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式
以三维空间为例，我们将离散化的应变量表示成， 它所表示的真正含义如下 :
uin , j , k u (t , x, y, z ) t nt , x ix , y jy , z kz
1、 波动方程
u 其中：u t 0 ( x), t
( x)
t 0
2 2u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x u ( x) u t 0 ( x), t t 0 u x 0 1 (t ), u x l 2 (t )
t nt , x ix , y jy , z kz 1 n n 1 u in, 2 u u j ,k i , j ,k i , j ,k
t u in1, j ,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (x) 2 u in, j 1,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (y ) 2 u in, j ,k 1 2u in, j ,k u in, j ,k 1 (z ) 2
同时将边界条件和初始条件也离散化，得到：
ui1 ui0 u ( jx), (ix) t n n u0 1 (nt ), um 2 (nt )
0 i
(i 1,2,, m) (n 1,2,)
（5-3）
由式（5-2），并结合式（5-3），就可以从n时刻的各 点u值，计算得到下一时刻的u值，这样层层递推， 就可以计算出任意时刻，任意位置的u值。
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5.2
5.3
5.4
5.2 基本离散化公式
以三维空间为例，我们将离散化的应变量表示成， 它所表示的真正含义如下 :
uin , j , k u (t , x, y, z ) t nt , x ix , y jy , z kz
1、 波动方程
u 其中：u t 0 ( x), t
( x)
t 0
2 2u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x u ( x) u t 0 ( x), t t 0 u x 0 1 (t ), u x l 2 (t )
t nt , x ix , y jy , z kz 1 n n 1 u in, 2 u u j ,k i , j ,k i , j ,k
t u in1, j ,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (x) 2 u in, j 1,k 2u in, j ,k u in1, j ,k (y ) 2 u in, j ,k 1 2u in, j ,k u in, j ,k 1 (z ) 2
同时将边界条件和初始条件也离散化，得到：
ui1 ui0 u ( jx), (ix) t n n u0 1 (nt ), um 2 (nt )
0 i
(i 1,2,, m) (n 1,2,)
（5-3）
由式（5-2），并结合式（5-3），就可以从n时刻的各 点u值，计算得到下一时刻的u值，这样层层递推， 就可以计算出任意时刻，任意位置的u值。
偏微分方程的离散化方法课件
x2 )
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，就可以求得第 n+1
时刻（下步时间）的值
P n1 i
。因此如初始条件，即
n=0
时各网格的
P
值已给定，
就可以依次求得以后各时间的 P 值。这种差分格式是显式差分格式。在显式差分
格式中：只有一个未知数 Pin1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间
步长受到严格限制，基本不用。
（2）隐式差分：利用 P（x，t）关于 t 的一阶向后差商和关于 x 的二阶差商， 在点（i，n+1）的差分方程：
P n1 i 1
2Pin1 x 2
P n1 i1
P n1 i
Pi n
t
(1
2
) Pi n 1
(
P n1 i1
Pi
n 1 1
)
Pi n
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pin ，为了求得第 n+1 时刻（下
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。
（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
离散空间
P
t
离散时间
1、网格系统 它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格， 如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三 维z→k）。 节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格 节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。
偏微分方程的离散化方法研究
三对角矩阵形式
1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 P P 2 P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P 3 4 5 1 2 3 4 5
2、椭圆型方程： 二维不稳定渗流方程
2P 2P P x 2 y 2 t 采用：等距网格差分 （1）显示差分：在点（i，j，n）的差分方程（图示）
t 2 ，截断误差： O ( t x ) x 2
从方程可以看出：如果已知第 n（本步时间）的值 Pi n ，就可以求得第 n+1 时刻（下步时间）的值 Pi n 1 。因此如初始条件，即 n=0 时各网格的 P 值已给定， 就可以依次求得以后各时间的 P 值。 这种差分格式是显式差分格式。 在显式差分 格式中：只有一个未知数 Pi n 1 ，由一个方程就可以求出。简单，精度较差，时间 步长受到严格限制，基本不用。
2 O ( x ) 忽略二阶截断误差
Pi 1 2 Pi Pi 1 2 P P( x x ) 2 P( x ) P( x x ) 2 P ， (用节点位置) 2 2 2 2 x i x x x
1、
一种常用二阶差商处理方法
k x x u u k k x x x 1 x x x2
3、
一阶中心差商
2 O ( x ) 忽略截断误差
P Pi 1 P P ( x x ) P ( x x ) P ， i 1 x 2 x x i 2x
P Pi 1 / 2 P P ( x x / 2) P ( x x / 2) P ， i 1 / 2 忽略截断误差 O (( x / 2) 2 ) x x x i x
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2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x) P(x) x P(x) (x/2)2 P(x) (x/2)3 P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x)O(x)
2
2
16
1、 一 阶 前 差 商
P P ( x x ) P ( x ) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
P P ( x x / 2 ) P ( x x / 2 ) ， P Pi1 / 2 Pi1 / 2 忽 略 截 断 误 差 O (( x / 2 ) 2 )
x
x
x i
x
17
1、 二阶差商
将 方 程 (*)正 负 相 加 ,可 得 : P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
x
2、 一 阶 后 差 商
P P ( x ) P ( x x ) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、 一 阶 中 心 差 商
P P ( x x ) P ( x x ) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O (x2)
2
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。 （2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
偏微分方程的离散化方法4
偏微分方程的离散化方法4偏微分方程的离散化方法4偏微分方程是描述自然现象和物理过程的重要数学工具。
离散化方法是对偏微分方程进行数值求解的一种常用方法，通过将连续的自变量离散化成一系列离散点，将偏微分方程转化为一组代数方程，从而实现通过数值计算求解偏微分方程的目的。
离散化方法有多种，本文将介绍四种常用的离散化方法：有限差分法、有限元法、谱方法和配点法。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种常用的离散化方法，它将偏微分方程中的导数项用差商逼近。
对于偏微分方程中的一阶导数项，可以使用一阶中心差分公式进行离散化：\[f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h},\]其中$h$为离散步长。
对于二阶导数项，可以使用二阶中心差分公式：\[f''(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-2f(x_i)+f(x_{i-1})}{h^2}.\]根据具体问题的边界条件，可以将偏微分方程离散化为一组代数方程，通过求解这组代数方程得到数值解。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种广泛应用于结构力学、流体力学等领域的离散化方法。
与有限差分法类似，有限元法也将偏微分方程中的导数项离散化，但是它将求解区域划分为若干个小区域，称为有限元。
每个有限元内部的离散点称为节点，假设在每个有限元内，问题的解可以用一个简单的多项式逼近，如线性多项式或二次多项式。
在每个有限元内，偏微分方程的解用这些节点的函数值进行近似，通过确定节点上的函数值可以得到整个求解区域上的数值解。
三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于函数空间变换的离散化方法，它可以达到很高的精度。
谱方法基于傅里叶分析的思想，使用特定选择的基函数进行近似。
对于一维偏微分方程，可以使用傅立叶级数或切比雪夫多项式作为基函数。
偏微分方程ppt课件
（1.1.1） （1.1.2） （1.1.3） （1.1.4） （1.1.5）
3
1.1 基本概念
偏微分方程的一般形式
注：F中可以不显含自变量和未知函数，但是， 必须含有未知函数的某个偏导数。 涉及几个未知函数及其偏导数的多个偏微分 方程构成一个偏微分方程组。 注：除非特别说明，一般假设函数u及其在 方程中的各阶偏导数连续。
115
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
116
117
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
118
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
119
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
120
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
121
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
122
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
95
第三章 波动方程的初值（柯西）问题与行波法
96
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
97
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
98
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
99
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
100
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
130
85
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
86
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
双曲型方程的第一标准形式
87
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
双曲型方程的第二标准形式 双曲型方程的第一标准形式和第二标准形式统称为双曲型方程的标准形式
88
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
3
1.1 基本概念
偏微分方程的一般形式
注：F中可以不显含自变量和未知函数，但是， 必须含有未知函数的某个偏导数。 涉及几个未知函数及其偏导数的多个偏微分 方程构成一个偏微分方程组。 注：除非特别说明，一般假设函数u及其在 方程中的各阶偏导数连续。
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
116
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
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3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
120
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
121
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
122
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
95
第三章 波动方程的初值（柯西）问题与行波法
96
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
97
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
98
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
99
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
100
3.1一维波动方程的初值（柯西）问题
130
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2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
86
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
双曲型方程的第一标准形式
87
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
双曲型方程的第二标准形式 双曲型方程的第一标准形式和第二标准形式统称为双曲型方程的标准形式
88
2.1两个自变量的二阶线性PDE的分类和标准型
偏微分课程课件13有限元离散方法二维问题
找一个函数 uh Vh0 满足
D(uh , vh ) F (vh ), vh Vh0
边界节 点编号
v 0, 0, vl1, , vN p ,
v
0
j
am
bi bj bm
ai bi
aj bj
am bm
e
k ii
e
k ij
e
k im
e
k ji
e
k jj
e
k jm
k
e mi
e
k mj
k
e mm
其中k
e st
1
4 e
asat bsbt
, s,t i, j,m.
线元刚度矩阵的计算
en Pi Pj Pm 设 e Pi Pj n
u g u
n
D(u,
v
)
F
(v)
0,
v V
其中
D(u, v)
u • vdxdy
uvds
F (v) fvdxdy gvds
3）有限元离散
找一个函数u∈V, 满足 D(u, v) F(v) v V
V
H1()
v |
v2
v 2 x
v y
2 dxdy
e
1 2
xi xjxmຫໍສະໝຸດ yi 1 yj 1 ym 1
单元e的面积
Pm
Pj
(x, y)
Pi
e上线性插值的基函数
x
1
Ni ( x, y) 2e
xj xm
y1
yj
ym
1 1 1 2e
ai x bi y ci
Ni
ai
yj ym
三偏微分方程的数值离散方法市公开课金奖市赛课一等奖课件
15
第15页
3.1.6.1 两层格式
• Crank-Nicolson格式
u c u 0 t x
u n1 i
uin
c
u n (
u n1 )
0
t 2 x x
u n1 i
uin
t
c 4x
(uin1
un i 1
u n1 i 1
u n1 i 1
)
0
4
u n1 i 1
u n1 i
4
u n1 i 1
uin
常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简朴，不涉及矩阵相 乘。
18
第18页
3.1.6.1 两层格式(cont.）
• Mac Cormack 格式 (1969)
两步格式
u f 0 t x
P : ui* uin t
1 x
(
f
n i 1
fin )
0
C
:
uin1
1 2
(uin
t
ui* )
u
n j
1 2
u j1 u j1
1 2 2
u j1
2u j
u j1
(2)
Taylor展开
u n1 j
u
n j
t
u t
1 t 2 2!
2u t 2
1 tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3!
3u t 3
t
(e t 1)u
u
j 1
u
j
x
u x
1 x2 2!
2u x 2
1 x3 3!
3u x3
x
(e x 1)u
x
u j1 (e x 1)u (2)等价于：
第15页
3.1.6.1 两层格式
• Crank-Nicolson格式
u c u 0 t x
u n1 i
uin
c
u n (
u n1 )
0
t 2 x x
u n1 i
uin
t
c 4x
(uin1
un i 1
u n1 i 1
u n1 i 1
)
0
4
u n1 i 1
u n1 i
4
u n1 i 1
uin
常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简朴，不涉及矩阵相 乘。
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3.1.6.1 两层格式(cont.）
• Mac Cormack 格式 (1969)
两步格式
u f 0 t x
P : ui* uin t
1 x
(
f
n i 1
fin )
0
C
:
uin1
1 2
(uin
t
ui* )
u
n j
1 2
u j1 u j1
1 2 2
u j1
2u j
u j1
(2)
Taylor展开
u n1 j
u
n j
t
u t
1 t 2 2!
2u t 2
1 tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3!
3u t 3
t
(e t 1)u
u
j 1
u
j
x
u x
1 x2 2!
2u x 2
1 x3 3!
3u x3
x
(e x 1)u
x
u j1 (e x 1)u (2)等价于：
偏微分方程的离散化方法研究32页PPT
偏微分方程的离散化方法研究
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
பைடு நூலகம்
谢谢！
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
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偏微分方程的离散化方法研究
n i1, j
2x
P P n 1 / 2
n
i, j
i, j
t / 2
（ 2） 修 正 差 分 格 式 ：
( P n1 i1, j
2、 椭 圆 型 方 程 ： 二 维 不 稳 定 渗 流 方 程
2P x 2
2P y 2
P t
采用：等距网格差分 （ 1） 显 示 差 分 ： 在 点 （ i， j， n） 的 差 分 方 程 （ 图 示 ）
Pn i1, j
2
Pi
n ,j
x2
Pn i1, j
Pn i, j1
2
Pi
n ,j
y 2
Pn i, j1
)
u u(x x1, y, t) u(x, y, t) ， u u(x, y, t) u(x x2, y, t)
x xx1
x1
x xx1
x2
2
2
k
u
k x x1 2
u(x x1, y, t) u(x, y, t) x1
kxx2 2
u(x, y, t) u(x x2, y, t) x2
x x 0
2 x
前 差 商 后 差 商 中 心 差 商
P
2021/6/16
x
15
函数P(x+Δx)利用Talor公式逼近导数
P(xx) P(x) xP(x) x2 P(x) x3 P(x) x4 P(4)(x)
2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x x)P(x) x P(x) (x/2)2 P(x) (x/2)3 P(x)
3
离散空间
2021/6/16
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2!
3!
4!
(*)
P(x) xP(x) O(x)
P(x
x) P(x)
x
P(x)
(x/ 2)2
P(x)
(x/ 2)3
P(x)
2
2
2!
3!
P(x) x P(x)O(x)
2
2
1、 一 阶 前 差 商
P P ( x x ) P ( x ) ， P Pi1 Pi
x
x
x i
x
2、 一 阶 后 差 商
12
上式两端同除 x 2 ,整理得:
P '' ( x) P(x x) 2P(x) P(x x) O(x 2 ) x 2
忽略二阶截断误差 O(x 2 )
2P x 2
P(x
x)
2P(x) x 2
P(x
x)
，
2P x 2
Pi 1
2 Pi x 2
Pi 1
(用 节 点 位 置 )
i
1、 一种常用二阶差商处理方法
P P ( x x / 2 ) P ( x x / 2 ) ， P Pi1 / 2 Pi1 / 2 忽 略 截 断 误 差 O (( x / 2 ) 2 )
x
x
x i
x
1、 二阶差商
将 方 程 (*)正 负 相 加 ,可 得 : P(x x) P(x x) 2P(x) x 2 P '' (x) x 4 P (4) (x) .........
Pn i1
2 Pi n
Pn i1
P n1 i
Pi n
x2
t
P n1 i
(1 2 ) Pi n
(
Pn i1
Pi
n
1
)
，
t x
2
， 截 断 误 差 ： O(t
x2)
从 方 程 可 以 看 出 ： 如 果 已 知 第 n（ 本 步 时 间 ） 的 值 Pin ， 就 可 以 求 得 第 n+1
时 刻 （ 下 步 时 间 ） 的 值 Pin1 。 因 此 如 初 始 条 件 ， 即 n=0 时 各 网 格 的 P 值 已 给 定 ， 就 可 以 依 次 求 得 以 后 各 时 间 的 P 值 。这 种 差 分 格 式 是 显 式 差 分 格 式 。在 显 式 差 分 格 式 中 ： 只 有 一 个 未 知 数 Pin1 ， 由 一 个 方 程 就 可 以 求 出 。 简 单 ， 精 度 较 差 ， 时 间 步长受到严格限制，基本不用。
P P ( x ) P ( x x ) ， P Pi Pi1
x
x
x i
x
3、 一 阶 中 心 差 商
P P ( x x ) P ( x x ) ， P Pi1 Pi1
x
2x
x i
2x
忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O(x) 忽 略 截 断 误 差 O(x2)
（1）离散空间：把所研究的空间划分成某种类型的网格， 大的空间转化为若干小单元组成，网格之间动态连接，通 常采用矩形网格（正方体）。
（2）离散时间：把研究的时间域分成若干小的时间段， 在每个时间段内，对问题求解，时间段之间有机连接。步 长大小取决于所要解决的实际问题。
离散空间
P
t
离散时间
1、网格系统 它有x，y两个自变量，在平面上用平行线分割成许多网格， 如考虑时间，则。编号：x→i，y→j，t→n。为步长（对三 维z→k）。 节点：网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格 节点，把他们连成折线Sh，Sh所围成的区域记为Dh，Dh 内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。
P lim P ( x ) P ( x x ) x x 0 x
P lim P ( x x ) P ( x x )
x x 0
2 x
前 差 商 后 差 商 中 心 差 商
P
x
函数P(x+Δx)利用Talor公式逼近导数
P(xx) P(x)xP(x) x2 P(x) x3 P(u(x, y, t) u(x x2, y, t) x2
x x
x
Δx
Δx1 Δx2
三、有限差分方程的建立
1、 抛 物 型
方程
：
一
维不
稳
定渗流
方
程：
2P x 2
P t
（ 1） 显 示 差 分 ： 利 用 P（ x， t） 关 于 t 的 一 阶 向 前 差 商 和 关 于 x 的 二 阶 差 商 ， 在 点 （ i， n） 的 差 分 方 程 。
偏微分方程的离散化方法优秀 课件
一、离散化的概念
油藏是非均质的，岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的，建立的偏微 分方程一般是非线性的，求解偏微分方程的解析解比较困难，常用数值求解。 目前工程上应用的离散化方法有：有限差分法、有限元法、边界元法、变分 法等。 离散化的核心是把整体分成若干单元来处理，而每个小单元的形状是规则的， 并可以认为是均质的，从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的 均质的问题——非线性问题线性化。 计算过程中可以控制精度。要求的精度越高，则需要划分的单元就越多，计 算工作量相应就越大，反之，单元划分得少些，计算工作量就小，但精度变 差些。 微分方程离散化，主要在空间和时间两方面被离散化
2、 等距网格就是指建立差分网格时，所采用的步长都是 相等的，反之称为不等距网格。
3、网格类型 常规网格系统： （1）块中心网格：用网格小块的几何中心来表示小块的坐标 （2）点中心网格：用节点的坐标来表示小块的坐标
块中心网格和点中心网格的离散点数不同，但最终形成一样的差分方程，只 有在处理边界条件时各有方便之处，块中心网格比较容易处理定流量边界， 点中心网格比较容易处理定压边界。 非常规网格系统： （1）局部网格加密 （2）混合网格 （3）多边形网格
y
x
无效网格 有效网格 点中心网格 块中心网格
z
x y
局部网格加密
模拟区网格图（井位、边界、断层）
五点法注水开发5年后XW3层含水饱和度分布图
五点法注水开发20年后XW3层含水饱和度分布图
z
r
混合网格
二、有限差分法----导数的差商逼近
P lim P ( x x ) P ( x ) x x 0 x
k
u
k
u
x
k
x
x xx1 2 x
x xx2 2
，x
1 2
(x1
x2
)
u u(x x1, y, t) u(x, y, t) ， u u(x, y, t) u(x x2, y, t)
x xx1
x1
x xx1
x2
2
2
k
u
k x x1 2
u(x x1, y, t) u(x, y, t) x1