基于某些常见蕴涵算子的模糊推理全蕴涵三Ⅰ约束算法.pdf
基于蕴涵算子Lp的模糊推理的FMP反向三I算法
１ Ｆ ＭＰ模 型 的反 向三 １ 支持 算 法
定义 １ 模① 一 如下 ：
究并提出了许多新的派生推理方法。 王国俊 首先指出了 Ｃ Ｉ Ｒ 方
法的若干缺陷与不足 ，并基于逻辑语义蕴涵理论提出了模 糊推
理 的全蕴涵三 Ｉ 算法 。其基本思想为 ： 已知 Ａ（ ） Ｂ ） Ｙ） （ ） 和 Ａ （ ） Ｆ Ｘ）Ｆ Ｙ）时寻求最优 的 Ｂ（ ） Ｆ Ｙ）Ｆ ｘ） Ｂ （ （（ ） Ａ （ （（ ）
．
ｉ ｌ ａｉｎ ｏ ｅａｏ ． ｍｐ ｔｒＥ ｇ ｅｒｎ ｎ ｐ ｃｔ ｎ ，０ ８ ４ （３ ：５ ６ ． ｍｐｉ ｔ ｐｒ ｔｒ ． ｃ ｏ Ｃｏ ｕｅ ｎ ｉ ｅｉｇ ａ ｄ Ａｐ ｌ ａ ｏ ｓ２ ０ ，４ ２ ）６— ７ ｎ ｉ ｉ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｔ ｅ ｔ ｅ ｒ ｆ ｓ ｓａｎ ｎ ｅ ｒ ｅ ｏ ｅ ｅ ｓ ｒｐ ｅ Ｉ ｍｅｈ ｄ ａ ｄ ａ ｒ ｖ ｒｅ ｍ ｐ ｅ Ｉ ｓ ｓ ｉ ｉ ｇ ｍｅ ｈ ｄ ｆ ｒ ｆ ｚ ｙ ｅ ｓ ｎ ｎ ｈ ｈ ｏ ｙ ｏ ｕ ｔ ｉ ｉ ｇ ｄ ｇ ｅ ｆ ｒ ｖ ｒ ｅ ｔ ｌ ｔ ｏ ｎ － ｅ ｅ ｓ ｉ ｌ ｕ ｔ ｎ ｎ ｔ ｏ ｏ ｕ ｚ ｒａ ｏ ｉ ｇ ａ ｂ ｓ ｄ ｏ ｍｐ ｉａ ｉｎ ｐ ｒ ｔｌ ａ ｅ ｎ ｉ ｌ ｔ ｏ ｅ ａ ｏ ｃ ｏ ｒ
基于蕴涵算子族L-λ-R0的模糊推理α-三I约束算法
ｌ 引言
众所 周知 ，模糊逻 辑与模糊推理 中最重要的推理形式是 模 糊 假 言推理 （ ｕｚ ｏ ｕ ｏｅ ｓ Ｆ ） 模 糊 反驳 推 理 Ｆ ｚｙ Ｍ ｄ ｓ Ｐ ｎｎ ，ＭＰ 和 （ ｕｚ ｄ ｓＴｌ ｎ ，ＭＴ （ Ｆ ｚｙＭｏ ｕ ｏｌ ｓＦ ）又叫模糊取式 和模糊拒取式 ） ｅ ：
聊城大学 数学科学学院 ， 山东 聊城 ２２ ５ ５０９
Ｓｃ ｏ ｌ ｆ Ｍ ａｈ ｍ ａｉｓ ｈ ｏ ｏ ｔｅ ｔｃ Ｓｃｅ ｅ， ａ ｃ ｎｇ ｉｎｃ Ｌｉｏ ｈｅ Ｕｎｉｅ ｓｔ Ｌｉｏ ｈ ｎｇ， ａ ｄｏ ｇ ５２ ９， ｉ ａ ｖ ｒｉｙ， ａ ｃ ｅ Ｓｈ ｎ ｎ ２ ０５ Ｃｈ ｎ Ｅ：ｍａｌ ｗａｎ ｑｉｇ ｎ ＠ ｌ ｕｅ ｃ ｉ： ｇ ｎ ｐｉｇ ｃ ．ｄｕ．ｎ
一
输入 输 出
是４ Ｙ是
输入 输出 是４
Ｙ是 曰
这 里 ４、 论域 上 的模 糊集 ， 曰 是 论域 ｌ上的模糊集 。 ４是 曰、 ， 在模 糊逻 辑控制理论 中，我们经常 需要处理更复杂 的推 理形 式， 但其中大部分可以通过适 当的数学处理简化为以上两种情 形 之一 ， 因此 Ｆ ＭＰ和 Ｆ Ｔ是 模糊推理 中最基本 的 ， Ｍ 也是 最重 要 的推理模 型。 对于上述两类模型 ， 美国控制论专家及模糊集理论创始人 Ｚ ｄｈ于 １７ ａｅ ９３年提 出了模 糊 推理 中著名 的求解 Ｆ ＭＰ模 型和 Ｆ ＭＴ模 型的 Ｃ Ｉ Ｒ 算法ｌ 】 ｌ 。从此起 ， 以模糊控制为核心 的模 糊技 术被广泛地应用于许 多工业和科研领 域 ， 并且取得了显著的经 济效益１ｌ ２ 。但是 Ｃ Ｉ ， ３ Ｒ 算法缺乏严格 的逻 辑基础 ， 因此 ， 我国学 者王国俊教授于 １９ 年提 出了著 名的模糊推理 全蕴涵三 Ｉ ９９ 算 法， 有效地改进了经典 的 Ｃ Ｉ Ｒ 算法 ， 并将之纳入到模 糊逻 辑的
模糊推理的全蕴涵三I算法的研究现状及进展
科 技 视 界
科技・ 探索・ 争鸣
模糊推理的全蕴涵三 Ｉ 算法的研究现状及进展
姜妍 丽 （ 东北 电力 大 学 理 学 院 ， 吉 林 吉林 １ ３ ２ ０ １ ２ ）
【 摘 要】 随着模糊 集的产 生与发展 ， 模糊推理 已经成 为 涵三 Ｉ 算法， 对其研
究现状及进展进行综述 ， 旨在 为模糊推理 算法的研 究提供 引导作 用。
【 关键词 】 模糊推理 ； 三Ｉ 算法 ； 研究现状 ； 进展
推理是人类智能的主要特征之一 ． 是实现人工智能 的一种重要技 术 随着模糊集的产生与发展 ． 模糊推理技术 已经 广泛 应用于智能系 统的许多领域 ， 如模糊控制系统 、 模糊专家系统 、 模糊神 经网络系统 以 及模 糊决策支持系统等等 １ ９ ７ ３年 ． Ｚ ａ ｄ ｅ ｈ首先给 出模糊 推理理论 中最基本 的规 则即模糊分 离 规则， 随后 Ｍ ａ ｍ ｄ ａ ｎ ｉ 等人 又将 其算法 化 ． 形 成如今广泛使用 的 Ｃ Ｒ Ｉ ｆ Ｃ ｏ ｍ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｒ ｕ ｌ ｅ ０ ｆ Ｉ ｎ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ １ 方法 Ｃ Ｒ Ｉ 方法侧重于直接应用 ． 算法 简便 易行 。 成为工业 生产领域使 用最为广 泛的模糊 推理方法 。然 而 ， 模糊 推理远较经典 逻辑学中的二值推 理复杂得多 李洪兴［ １ ＿ 指出基于 Ｃ ＲＩ 方法 的模糊系 统本质上是一种插值 器 ． 因此在研究模糊 系统的函 数逼 近问题 时， 不 可避 免地出现“ 规则爆 炸” 的现象 王国俊目 指出Ｃ Ｒ Ｉ 方法采用 了复合运算 。 带有 一定的随意 陛， 偏离了 语 义蕴涵的框架。 为了解 决 Ｃ Ｒ Ｉ 方法的不足 ． 王国俊［ ２ １ 从 逻辑语 义蕴 涵的角度 提出 了模糊 推理的全蕴涵三 Ｉ 算法 （ 简称 “ 三Ｉ 算法 ” ） 。 自三 Ｉ 算法 提出以 来． 许多学者 针对三 Ｉ 算法 进行 了广泛 的研究 ． 总的来说 主要从这 样 几个 方面 ： （ １ ） 采用不 同蕴涵 算子 的三 Ｉ 算法 ； （ ２ ） 三Ｉ 算法 的相关 理 论； （ ３ ） 三Ｉ 算法的改进算法 。本文将从这三个方面对三 Ｉ 算法 的研究 情况 加以总结 ． 分析三 Ｉ 算法 的研究现状 及进展 ． 旨在为模糊 推理 的 研究提供引导作用 法 的计算公式 。张森等【 一 日 研究 了基于正则蕴 涵算子 一 Ａ — 。 模 糊推理 的三 Ｉ 算法 的支持 度理论 ． 给出了 一 三Ｉ 算法 的计算公 式 王绍海旧 讨论 了基 于正则蕴涵算子的三 Ｉ 方法 的支持度理论 ２ ＿ ３ 还原性 、 连续性及响应能力 裴道 武口 ８ １ 研究 了全蕴涵三 Ｉ 算 法的计 算公 式及其还原性问题 李 骏 等㈣ 对模 糊推理 三 Ｉ 算法具备还 原性 的条 件进行 了研 究 罗 清君 等倒基于模糊推理 的全蕴涵三 Ｉ 算法 ． 给出 了三 Ｉ 算法的表达式。 曾水玲等口 】 对全蕴涵反向三 Ｉ 算法是否满足连续性 问题进行 了首 次研究 潘海玉等阎 系统地研究 了三 １ 支持度算 法和反 向三 １ 支 持度 算法 的连续性问题。徐蔚 鸿等【 全蕴涵三 Ｉ 算法 是否满 足连续性 和 逼近性问题进行了细致的研究 李龙等［ 论 了基 于三 Ｉ 算法 构成 的模糊系统 的响应 能力 ． 给出 泛三 Ｉ 算法公式和单输入单输 出模糊控 制器。 胡凯等闭以 Ｒ ， Ｒ 。 Ｒ 。 三 个蕴涵算子为 基础构造单输入 单输出模糊控制器 ． 并 分析其响应能 力
基于蕴涵算子L-λ-0-λ-G的模糊推理的三I算法
（ ｘ）使得 Ａ 曰全力支持 Ａ Ｂ ， ： ） 一 即
（ ） 曰 ｙ ） （ ） 曰 （ ） Ａ（ 一 （ ）一 Ａ （ 一 ） ） （） １
Ｗ ＡＮＧ Ｚｕｏ－ｚ ｎ， ｈｅ ＺＨＡ ＮＧ Ｘｉ ｎｇ－ ａ Ｔｒ ｐ ｅ ｍ ｅｈｏｄ ｏｒ ｕｚ ｙ ｒ ａｓ ｎｉ ｇ ｂａ ｅ ｆ ｎｇ． ｉ ｉ Ｉ ｔ ｆ ｆ ｚ ｅ ｏ ｎ ｓ ｄ ｏｎ ｍ ｐ ａ ｏ ｉ Ｈｅ ｆ ｎ ｏｐ ｒ ｔ Ｌ－Ａ －Ｏ－Ａ－Ｇ ． ｉ ｅ ａ ｏｒ
模糊推 理是模糊控制的核心 ， 其推理过程是基于模糊逻辑
Ｌ ｋ ｓ ｗｃ 算子 ， ｕ ａｉ ｉ ｅ ｚ 因此称它为含 Ａ参量的蕴涵算子 体称为蕴涵算子族 Ｌ Ｏ Ｇ ＡＡ 。 该算子在三维空问 中的几 何图像如图 １ 所示。
。其全 ，
中的蕴 涵关系及推理法则来进行的 。Ｚｄｈ １７ 年首先提 ａｅ 于 ３ ９ 出了模糊分离规 则（ 简称 Ｆ ＭＰ规则 ） Ｃ Ｉ 的 Ｒ 算法 （ ｏ ｐｓ ｉ ａ Ｃ ｍ ｏｉｏ ｌ ｔｎ Ｒ ｌ ｏ ｎｅｅｃ ） ｕｅ ｆＩ ｒｎｅ 。此后 ， ｆ 针对 Ｃ Ｉ 法人们进行了大量的研 Ｒ方 究并提 出了许多新的派生推理方法 。王国俊 先指 出了 Ｃ Ｉ 首 Ｒ 方法的若干缺陷 与不足 ， 并基于逻辑语义蕴涵理 论提 出了模糊 推 理的全蕴 涵三 Ｉ 算法 。其基本思 想为 ： 已知 Ａ（ ∈， Ｘ） Ｂ） （ ・
对一切 ∈ Ｙ∈ ， Ｙ具有最大的可能值 ， 其中 Ｆ Ｘ） Ｆ ｙ） （ 和 （ 分别表示 和 ｙ上的模 糊集全体 。
运 用不 同的蕴涵算子进行推理 ， 结果一般不相等 ， 甚至误 差很大 ， 这在模糊推理的实际应用 中， 有一定的 冒险性 ， 为此设 想运用带参数的蕴涵算子进行模糊推理似乎可以预防 冒险性 。
基于Lukasiewicz蕴涵算子的-反向三I约束算法
ｒ ｖ ｒｅ ｈ ｅ Ｉ ｅ ｔａｎ ａｇ ｒｔ ｍ ｅ ｅ ｓ ｔ ｒ ｅ ｒ ｓｒ ｉｔ ｌｏ ｈ ｉ
Ｉ ｅ ｎｅ ，此后针对 Ｃ Ｉ ｎ ｒ ｃ） ｆｅ Ｒ 方法人们进行了大量 的 １ ．引 言 模糊推理因其在模糊控制 中的重要应用一直 研究并提 出了许多新 的派生推理方法 。王国俊首 是 学 术界 的一个 热 门研 究 方 向 ，而模 糊 推 理 两类 先 指 出 Ｃ Ｉ Ｒ 推理 方法 的若 干缺 陷 和不 足 ，并基 于
核 心 问题 就 是 ： Ｆ ＭＰ问题 （ ｕｚ ｄ ｕ ｏｅ ｓ Ｆ ｚｙ Ｍｏ ｓＰ ｎ ｎ ）
逻 辑 语 义 蕴 涵理 论 提 出 了模 糊 推 理 的 全 蕴 涵三 Ｉ
方法。 该方法的每一步推理都使用了蕴涵运算 ， 其
基本 思想 是 ： 已知 Ａ∈Ｆ Ｘ）Ｂ∈Ｆ Ｙ）并且 Ａ ∈Ｆ （ ， （ ， （ （ 者 Ｂ ∈Ｆ Ｙ） ， ） 或 （ ） 寻求 最 优 的 Ｂ ∈Ｆ Ｙ）或 （ （
关键词 ： 模糊推理 ；ｕａｉ ｉ 蕴涵算子 ； Ｌ ｋｓ ｗｃ ｅ ｚ 反向三 Ｉ 约束算法
中 图分 类 号 ： ５ Ｏ１ ９ 文献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ８ ６ ８ （０ ８ ０ — ３ — ３ １ ０ － ５ ７ ２ ０ ｝５ ０ ０ ０
Ｒｅ ｅ ｓ ｒ ｅ Ｉ Ｒｅ ｔ ａ ｎ ｇ ｒｔ ｍ ｓ ｄ ｏ ｖ ｒ ｅ Ｔｈ ｅ ｓｒ ｉ ｔ Ａｌ ｏ ｉｈ Ｂａ ｅ ｎ
Ｔ ｕｋａｓ ｗ ｌ ｚ Ｔ Ｄｌ ａｔ Ｌ － ｉ ‘ ｌ － ｅ ｃ ｍ １Ｃ 』０ｎ Ｕ ｒ ｏｒ ｌ ■ ｌ ● ， ｐｅ ａｔ 、
Ｓｈ ｎ ｉｂ Ｚ ａ ｇ Ｑｉｎ ｏｎ ｅ ｇ Ｊｅ ｏ ｈｎ ａｈ ｇ
ｆａｉ Ｄ ｐ．Ｈ ｎ ｎ Ｅ ｇ ｅｒ ｇ Ｃ ｌ ｇ ， ｎ ｙｎ ， ｎｎ ４ １０ ） Ｂ ｓ ｅ ｔ ｕ ａ ｎｉ ｅ ｎ ｏ ｅｅ Ｈｅｇａ ｇ Ｈｕ ａ ， ２ ０ ２ ｃ ｎ ｉ ｌ
基于蕴涵算子族的模糊推理的FMP三I约束算法
１ Ｆ ＭＰ模 型 的 全蕴涵 三 Ｉ 束算法 约
蕴 涵算子族 Ｌ Ａ Ｒ 的模糊蕴 涵算 子 Ｒ（ ， ） －—。 ｘ ｙ ＝ 一 定义
如下 ：
美 国控制 论专家 及模 糊集理 论 的创始 人 Ｚ ｄ ｈ］ １７ ａｅ［ ９３ 于 年 首先 提 出 了模 糊 分 离 规 则 （ 称 Ｆ Ｐ规 则 ） Ｃ Ｉ 法 简 Ｍ 的 Ｒ算
模糊 推理 因其在模糊控 制中的重要应用 一直是学术 界的
一
是在作 者上 一篇文章 讨论了基 于蕴涵算子族 Ｌ Ａ Ｒ 由文献 － — 。（ 【２ 出 ） Ｆ １】 提 上 ＭＰ模型的三 １ 支持算 法与 一 １ 三 支持 算法的理 论的基础上 ， 继续研 究基 于蕴 涵算 子族 Ｌ Ａ Ｒ 上 Ｆ Ｐ模 型的 —— 。 Ｍ 三Ｉ 约束算法与 一 Ｉ 三 约束算法的理论 ， 并说 明其实 际意义与
（ ｏ ｐ ｓｉ ａ Ｒ ｌ ｏ Ｉｆ ｅ ｃ ） 此后 ， Ｃ ｍ ｏｉｏ ｌ ｕｅ ｆ ｎ ｒｎ ｅ 。 ｔｎ ｅ 针对 Ｃ Ｉ Ｒ 方法人们进
『
—
１ ，
≤ｙ
一
｛ １ （＾ １ ， ＋＜ 且 ｘｙ （，） 【，］ Ｏ１ ＋＋ ２一 ） ｙｘ ｌ ＞ ， Ｙ ∈ ０ １ ［，】 Ｙ ｘ
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Ｃ ｍ ｕｅ ｎｉｅｒ ｇａ ｄ Ａ ｐ ｉ ｔ ｎ 计算机工程与应用 ｏ ｐ ｔ Ｅ ｇｎｅｉ ｎ ｐ ｌ ａｏ ｓ ｒ ｎ ｃｉ
２ ０ ，４ １ ） ０ ８４ （３
４ ７
基于蕴涵算子族 的模 糊推理 的 Ｆ ＭＰ三 Ｉ 束算法 约
王作 真 ， 刘利英 ， 阚 婷
这将 有助 于提 高推理结果的可靠性。针对蕴涵算子族 Ｌ Ａ Ｒ 给 出了 ——。
基于蕴涵算子族L-λ-R0的反向三Ⅰ约束算法
I SSN1673—9418C O D E N JK Y T A8Jour nal of C o m p ut er S c i e nce a nd Fr ont i er s 1673—9418／2007／01(03)-340-07E-m ai l：f cst@publi c2．bta．net．cahtt p：I lw w w．ceaj．orgT e l：+86—10—51616056基于蕴涵算子族L一人一尺。
的反向三I约束算法水王庆平+，张兴芳W A N G Q i ngpi ng+，Z H A N G X i ngf a ng聊城大学数学科学学院。
山东聊城252059School of M at hem at i cs Sci ence，Li aocheng U ni ver s i t y，L i aocheng，Shandon g252059，C hi na+Cor r esp on di n g aut hor：E-m a i l：w angqi ngpi ng@l cu．edu．c aW A N G Q i ngpi ng，Z H A N G X i ngf ang．Fuzz y r eas o ni ng r e ver s e t r i pl e I con s t r ai nt m et hod unde r f am i l y of i m pl i cat i on oper at or L—A—R p Jour nal of C om p ut er Sci ence a nd Fr ont i er s，2007，1(3)：340—346．A bs t r ac t：The t hought s of f uzz y r eas oni ng under f am i l y of i m pl i ca t i on op e ra t o r L-A-R0ar e i nt r oduced，w hi ch can cont ri but e t o r ai se t he cr edi bi l i t y of r ea s oni ng r es ul t．R e ve r se t r i pl e I cons t r a i nt m et h od w i t h r es pe ct t o F M P and F M T m odel s ar e di scusse d．K ey w or ds：f uzzy r eas oni ng；f am i l y of i m pl i ca t i on oper a t or L-A—-R o；r e ve r se t r i pl e I const r a i nt m et hod摘要：提出基于蕴涵算子族L—A坷。
模糊蕴涵算子
模糊蕴涵算子是一种基于模糊逻辑的运算符号，用于描述两个模糊集合之间的蕴涵关系。
在模糊逻辑中，模糊集合表示事物的隶属度，而模糊蕴涵算子则用于描述两个模糊集合之间的逻辑关系。
模糊蕴涵算子的定义方式有多种，常见的包括“Min-Max”模糊蕴涵算子、“积-和”模糊蕴涵算子、“Min/积-和”模糊蕴涵算子、“Min-积”模糊蕴涵算子、“Min-和”模糊蕴涵算子等。
这些算子各有特点，适用于不同的应用场景。
模糊蕴涵算子的应用非常广泛，例如在模糊控制、模糊推理、模式识别等领域都有应用。
通过使用模糊蕴涵算子，能够将不确定的信息转化为数学形式，便于进行计算和分析。
同时，模糊蕴涵算子还能够处理一些传统逻辑无法处理的复杂问题，例如含糊性、不确定性和不完全性等问题。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的模糊蕴涵算子。
同时，也需要考虑模糊蕴涵算子的特性和限制，以及与其他运算符号的兼容性等问题。
因此，对于模糊蕴涵算子的研究和应用还需要不断深入和完善。
以上内容仅供参考，建议查阅关于模糊蕴涵算子的书籍、文献获取更专业的信息。
基于蕴涵算子族Lλ0λG的模糊推理三Ⅰ约束算法
是Ａ
另文进行讨论。
这里 Ａ、 是论域 Ｙ上的模 糊集 ， Ｂ 是论域 ｙ上的模 Ａ Ｂ、 糊集。在模糊逻辑控制理论 中， 经常需要处理 更复 杂的推理形 式， 但其中大部分可以通过适 当的数学处理简化为以上两种情
形之一 ， 此 Ｆ 因 ＭＰ和 Ｆ ＭＴ是模 糊 推 理 中 最 基 本 的 ， 是 最 重 也
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Ｃ ｍ ｕ ｒＥ ｇｎｅｉ ｎ ｐ ｌ ａｉ ｓ ｏ ｐ ｔ ｎｉｅｒ ｇ ａｄ Ａ ｐｉ ｔ ｎ 计算机工程 与应 用 ｅ ｎ ｃ ｏ
基于蕴涵算子族 Ｌ Ｏ Ｇ 的模 糊推理 三 Ｉ ＡＡ 约束算法
谷焕 春 ， 张兴 芳
ＧＵ Ｈｕ ｎ— ｈ ｎ， ａ ｃ ｕ ＺＨＡＮＧ Ｘｉ ｇ ｆ ｎ ｎ －ａ ｇ
ｔ ｂ ｔ ｏ ｒ ｉｅ ｔ ｅ ｃ ｅ ｉ ｉ ｔ ｆ ｒａ ｏ ｉ ｇ ｒ ｓ ｌ．ｒｐｅ Ｉ ｃ ｎ ｔ ｉ ｔ ｍｅｈ ｄ ｗｉ ｅ ｐ ｃ ｏ Ｆ ｎ ＭＴ ｍｏ ｅ ｓ ｉ ｉｃ ｓ ｅ ． ｉ ｒ ｕ ｅ ｔ ａ ｓ ｈ ｒｄ ｂ ｌ ｙ ｏ ｅ ｓ ｎ ｎ ｅ ｕ ｔ ｉ ｌ ｏ ｓ ａ ｎ ｔ ｏ ｔ ｒ ｓ ｅ ｔｔ ＭＰ ａ ｄ Ｆ ｄ ｌ ｓ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｉ Ｔ ｒ ｈ
Ｌ ＡＧ． ｍｐ ｔｒ Ｅｎ ｉｅ ｒｎ ｎ ｐｉａ ｏ ｓ ２ ０ ４ （ ２）３ － １ ＡＯ Ｃｏ ｕｅ ｇｎ ｅ ｉｇ ａ ｄ Ａｐ ｌ ｔ ｎ 。 ０ ８． ４ １ ： ８－ ． ｃｉ ４
Ａｂｓｒ ｃｔ Ｉ ｔｅ ａ ｅ ｔ ｅ ｈ ｕｇ ｔ ｆ ｆ ｚ，ｒ ａ ｏ ｎｇ ｔ ａ ： ｎ ｈ ｐ ｐ ｒ ｈ ｔ ｏ ｈ ｏ ｕｚ ） ｅ ｓ ｎｉ ｕｎ ｅｒ ａ ｌ ｏ ｉ ｉ ａｉｎ ｐ ｒ ｔｒ ｄ ｆ ｍｉｙ ｆ ｍｐｌｃ ｔ ｏ ｅ ａｏ ＬＡＯ ｏ ＡＧ ｉ ｉ ｒ ｄ ｅ ｗｈ ｃ ｃ ｎ ｏ － ｓ ｎｔｏ ｕｃ ｄ， ｉ ｈ ａ ｃ ｎ
基于蕴涵算子族L-λ-G的反向三I约束算法
ｉ ｌ ａ ｉｎ ｏ ｅ ａｏ － — Ｃ ｍｐ ｔｒ Ｅ ｇｎ ｅ ｉｇ ａ ｄ Ａｐ ｌ ａｉｎ 。 ０ ８ ４ （ ０ ：４ ５ ． ｍｐｉ ｔ ｐ ｒ ｔｒ Ｌ Ａ Ｇ． ｏ ｕ ｅ ｎ ｉ ｅ ｒ ｎ ｐｉ ｔ ｓ ２ ０ 。４ ３ ）５ － ８ ｃ ｏ ｎ ｃ ｏ
５ ４
２ ０ ．４ ３ ） ０ ８４ （０
Ｃ ｍ ｕｅ ｎｉｅｒ ｇ ａｄＡ ｐｉａｏｓ计算机工程 与应用 ｏ ｐ ｔ Ｅ ｇｎｅｉ ｎ ｐ ｌ ｔ ｎ ｒ ｎ ｃｉ
基于蕴涵算子族 一 Ｇ 的反 向三 Ｉ Байду номын сангаас一 约束算法
于西 昌 １王 大全 ｚ张 兴芳 ２ ， ，
ＹＵ Ｘｉ ｃ ａ ｇ ， ＡＮＧ Ｄａ ｑ ａ ２ Ｚ — ｈ ｎ Ｗ － ｕ ｎ ， ＨＡＮＧ ｎ － ａ ｇ Ｘｉ ｇ ｆ ｎ
ＹＵ Ｘｉ ｃ ａ ｇ， ＡＮＧ －ｈ ｎ Ｗ Ｄａ ｑ ａ ＺＨＡＮＧ Ｘｉ ｇ ｆ ｎ ． ｕ ｚ ｒ ａ ｏ ｉ ｇ ｅ ｅ ｓ ｔｉ ｌ ｏ ｓ ｒ ｉ ｔ ｍｅ ｈ ｄ ｎ ｅ ａ ｌ ｏ － ｕ ｎ． ｎ － ａ ｇ Ｆ ｚ ｙ ｅ ｓ ｎ ｎ ｒ ｖ ｒ ｅ ｒ ｐ ｅ Ｉ ｃ ｎ ｔ ａ ｎ ｔ ｏ ｕ ｄ ｒ ｆ ｍｉｙ ｆ
众所 周知 ，模 糊推理的核 心模型是 以下形式 Ｆ ＰＦ ｚ Ｍ （ｕｚ ｙ
Ｍｏ ｕ ｏｅ ｓ模型和 Ｆ （ｕｚ ｄ ｓＴ ｌ ｎ ） ｄ ｓＰ ｎｎ ） ＭＴ Ｆ ｚｙＭｏｕ ｏｅ ｓ模型 ： ｌ
规则 Ａ 一日 规则 Ａ一曰
模糊逻辑的框架之 中。 在模糊推理 中无论是 Ｃ Ｉ Ｒ 算法 ， Ｉ 三 算法还是反 向三 Ｉ 算 法， 推理的结果都 与选用的模糊蕴涵算子密切相关 。文献［— １ ８９
模糊集上基于一般蕴含算子的三I算法
ｒ ｅ ． ｈｎｔ ｉ ｅＩ ｌ ｒｈ ｔｒ ｕｅ［ ］ｉ ｅｔｎ ｅ ｅｅａ ｉｐｉ ｔ ｎｏｅａｏ． ｈ ｎｖｒ ｌ ａｃｌ ｉ ｒ ｕ ｆｈ ｉ ｅＩ ｉ ｄ Ｔ ｅ ｅｔｐ ａ ｏｉ ｍ ｉ ｌｅａ ｒ ３ ｓ ｘｅｄｄｔ ｇｎｒｌｍ ｌａｉ ｐｒｔｒＴ ｅｕ ｉ ｓ ｌｕ ｔ ｎｆ ｍ ｌ ｏ ｅｔｐ ｖ ｈ ｒｌ ｇ ｔ ｎ ｉ ｔ ｏ ｃ ｏ ｅ ａ ｃ ａｏ ｏ ａ ｔ ｒｌ
ａ ｇ ｒｔ ｌ ｏｉｈｍ ａ ｅ ｎ ｇ ｎｅａ ｍ ｐｉａｔ ｎ ｏ ｅ ａｏ ｓｐｒｖ ｄ ｄ， ｎ ｈｅ ｒｖｅｓｂ ｅ ｐｒｐｅｔ ｆｔ ｒｐ ｅＩ ａｇ ｒｔ ｂ ｓ ｄ ｏ ｅ ｒ ｌｉ ｌｃ ｉ ｐ ｒ ｔｒｉ ｏ ｉ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｒ ｉｌ ｏ ｒｙ ｏ ｈｅ ｔｉ ｌ ｌｏ ｉ ｏ ｈｍ ｓ ｄ ｏ ｅ ｒ ｌｉ ｐ ｉａｉｎ ｂａ ｅ ｎ ｇ ｎｅａ ｍ ｌｃ ｔｏ
的推理方法在模糊控制 、 模式识 别等领 域 中的应用更 是倍受 重
视 。常 见 的 基 于 Ｆ ｚｙ集 的 推 理 方 法 有 Ｃ Ｉ 方 法 ， 于 相 似 ｕｚ Ｒ 基
计算 公式计算 出两个具体 蕴含算 子 的三 Ｉ 算法 的计算公 式 ， 它 们分别与文献 ［ ，］ ３ ５ 中的计算 公式相同。
理模式下 ， 若规则 的前件模糊集是 正规模糊集 ， 则基于一般蕴含 算子的三 Ｉ 算法 满 足还原性 ； Ｆ Ｔ推 理模式 下 ， 在 Ｍ 若规 则后 件 的模糊集是正规的 ， 基于一般 蕴含算 子 的三 Ｉ 则 算法 也满足 还
原 性 。最 后 用 我 们 给 出 的基 于 一 般 蕴 含 算 子 的三 Ｉ 法 的 通 用 算
ｏ ｅ ａｏ ｓａ ａｙ ｅ ｓｗｅ１ ｐ ｒ ｔｒｉ ｎ ｌｓ ｄ ａ ｌ． Ｋｅ ｗｏ ｄ ｙ ｒｓ Ｔ ｉ ｌ ｒ ｃ ｐ ｅ Ｒ ｖ ｒｉ ｌ ｒ ｐ ｒ Ｆ ｚ ｙ ｓ ｔ Ｇｅ ｅ ａ ｉ ｌ ａｉ ｎ ｏ ｅ ａｏ Ｃ ｔｏ ｒ ｅ Ｉｐ ｉ ｉ ｌ ｅ ｅ ｓｂ ｅ ｐ ｏ ｅ ｔ ｐ ｎ ｙ ｕ ｚ ｅ ｎ ｒｌ ｍｐ ｉ ｔ ｐ ｒ ｔｒ ｃ ｏ ＲＩｍｅｈ ｄ
基于某些常见蕴涵算子的模糊推理反向三Ⅰ约束算法
复 杂．从 应用 的角 度 看 ，似 乎 很 难 找 到 一 种 普 遍 适 用 于各 种不 同领 域 的模 糊 推 理 方法 ．而且 基 于 Ｃ ＲＩ
方 法 的模 糊系 统 本质 上 是 一 种 插 值 器 ，应 用 此 系 ］
统 在 研究模 糊 系 统 的 函数 逼 近 问题 时 ，不 可 避 免 地
自弪科荸ｊ展 ． 毽 第１卷 第３ ２ ６ 月 ， ６ 期 ０ 年３ ０
（ Ａ （ ）一 Ｂ （ Ｙ））一 （ （ ）一 Ｂ（ ） （ Ａ ）， １）
２ ８ １
定理 １ １ １ （）若 Ｒ一一 ： ０ １ ［ ， １ ． ． ｉ ［ ， ］一 ０ ］ 关 于第一 变 量 不 增 ，且 关 于 第 二 变 量 不 减 ，则 （ ） １ 式 的最 小值 为
下 ，对 于 给 定 的 ａ∈ （ ，１ ， 寻 求 最 小 的 Ｂ ∈ ０ ］
Ｆ（ （ ｙ） 或最 大 的 Ａ ∈Ｆ（ ） Ｘ） ，使 得
（ Ａ （ ）一 Ｂ ） （ ）一 （ ）一 Ｂ（ ）≤ ａ Ａ（ ） ，
（ ２）
（ ）进 一步 ，若 Ｒ 关 于第 一 变 量 与第 二变 量 都 ｉ ｉ 是 右 连续 的 ，则 Ｆ ＭＰ问题 的 Ｒ 型 反 向三 Ｉ 束 解 约
Ｍ （ ）一 （ ｘ， Ａ （ ）一 １ ）一 （ （ ）一 Ｂ（ Ａ ））．
对 一 切 ∈ ｘ 与 Ｙ∈Ｙ 具 有 最 小 逻 辑 真 值 ，其 中 Ｆ ｘ） Ｆ（ 分 别为 ｘ 与 ｙ上 的全 体模 糊集 之集 ． （ 与 ｙ）
反 向三 Ｉ 约束 算法 的一 般化 形 式 ：在 （ ） １ 的前提
宋 士 吉 等 于 ２０ ０ ２年 从 如 何 设 计 模 糊 系统 ，使 得 在 给定 的精 度下 模糊 规 则 库 中 的元 素个 数 最 小 的
模糊推理的全蕴涵三I算法的研究现状及进展
●推理是人类智能的主要特征之一,是实现人工智能的一种重要技术。
随着模糊集的产生与发展,模糊推理技术已经广泛应用于智能系统的许多领域,如模糊控制系统、模糊专家系统、模糊神经网络系统以及模糊决策支持系统等等。
1973年,Zadeh 首先给出模糊推理理论中最基本的规则即模糊分离规则,随后Mamdani 等人又将其算法化,形成如今广泛使用的CRI (Compositional Rule of Inference)方法。
CRI 方法侧重于直接应用,算法简便易行,成为工业生产领域使用最为广泛的模糊推理方法。
然而,模糊推理远较经典逻辑学中的二值推理复杂得多。
李洪兴[1]指出基于CRI 方法的模糊系统本质上是一种插值器,因此在研究模糊系统的函数逼近问题时,不可避免地出现“规则爆炸”的现象。
王国俊[2]指出CRI 方法采用了复合运算,带有一定的随意性,偏离了语义蕴涵的框架。
为了解决CRI 方法的不足,王国俊[2]从逻辑语义蕴涵的角度提出了模糊推理的全蕴涵三I 算法(简称“三I 算法”)。
自三I 算法提出以来,许多学者针对三I 算法进行了广泛的研究,总的来说主要从这样几个方面:(1)采用不同蕴涵算子的三I 算法;(2)三I 算法的相关理论;(3)三I 算法的改进算法。
本文将从这三个方面对三I 算法的研究情况加以总结,分析三I 算法的研究现状及进展,旨在为模糊推理的研究提供引导作用。
1采用不同蕴涵算子的三I 算法三I 算法最初提出时,采用的是R 0蕴涵算子,然而三I 原则中给出的是一般的蕴涵算子,自然而然,很多学者考虑采用不同蕴涵算子时的三I 算法。
1.1基于不同蕴涵算子的三I 算法王作真等[3]研究了基于蕴含算子L P 的模糊推理的三I 支持算法,给出了相应的三I 算法计算公式。
张霄力等[4]研究了基于蕴含算子R L的模糊推理反向三I 方法的约束度理论,得到了一般化的α-反向三I 模糊计算公式与α-反向三I 模糊计算公式。
模糊推理的反向三I约束算法
１ Ｒ０ Ａ （ ，Ｂ（ ） 一 （ ｚ） ） 尺０Ａ （ ，Ｂ（ ） ≤ 口 （ ｚ） ）
时 ，（） ２ 式左端 的 最大 值 为 Ｒ０Ａ（ ，Ｂ（ ） （ ｚ） ） ；而
（ ） 左端的 最小值 恒为 ＲｏＡ（ ） ２式 （ ｚ ，Ｂ（ ） 因而 ， ）
Ｆ ＭＰ的下确 界 与 Ｆ ＭＴ 的上确 界 的一般计 算公 式 ．
关键 词 模糊推理 蕴涵算子 Ｒ 反向三 １ 。 约束算法
自 ｚｄｈ 首 先提 出模糊 推 理 的复 合 蕴 涵 规 则 ａｅ…
（ Ｒ ） 法 来 ，文 献 ～４ 从 各种 不 同 的角 度 分 Ｃ Ｉ方 ２ ］ 别推广 了这 一方 法 ． 由于 Ｃ Ｉ Ｒ 方法 一般 不具 有还 原
集 ，Ａ，Ａ’∈ ｘ） ，Ｂ∈ Ｙ） 驭 ，如果 Ｂ’ 是双 ｙ）
：
ｃ ｎ 其 — 中＝
中使 （） 成 立 的 最 小模 糊 集，则 称 Ｂ ２式 为 式 （ ） ２ 的
反 向三 Ｉ ＭＰ的 。解 ． Ｆ 注 １ 当 Ｂ’ Ｙ 一 １时 ，（ ） （） ２ 式左 端恒 取最 小值 为 Ｒ０ Ａ（ ，Ｂ（ ） ） （ Ｙ） ；当 Ｂ Ｙ － ０时 ， （ ） （ ） ２ 式左 端恒 取最大 值 为
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自 丑科乎越展 第１卷 第１ ２ ２ 月 ２ ห้องสมุดไป่ตู้ ０ 年１ ０
由（ ） ３ 式， 当
（ （ ） ＞ Ｒ０ Ａ（ ， ） Ａ ｚ） （ ｚ） Ｂ（ ）且 Ａ ’ ｚ） Ｒ０ Ａ（ ） Ｂ（ ） （ ≤ （ ３ ， ｙ） ２ （） ４ Ｍ ＝Ｒ０Ａ （ ，Ｃ（ ） 一 ｚ） （ Ｙ）
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自鞋 ．井手ｉ展 第１卷 第１ ２ ２ 月 重 ， ２ 期 ０ 年１ ０
基于新的蕴涵算子族的模糊推理三Ⅰ算法
（ （ Ａ ）一 Ｂ （ ） ） 一 （ Ａ （ ）一 Ｂ （ ）一 １ ） （） ２
Ｂ Ａ ） 为 Ｆ （ ＭＴ）问题 的三 Ｉ 。 （ 称 ＭＰ Ｆ 解
引理 １ Ｅ
设 Ａ， ∈ Ｆ（ ， Ａ Ｘ）Ｂ∈ Ｆ（ ， 于任何 由左 连续 三角模 诱 导的剩 余蕴 涵算子 Ｒ， ｙ） ｙ）对 Ｆ（ 中
０ 引 言
Ｚ ｄ ｈ于 １ ７ ａｅ ９ ３年 首 先提 出了模 糊 推理 的合成 推 理规 则 （ｏ ｏ ｉｏ ａ ｒ ｌ ｏ ｆｒｎ ｅ 简称 Ｃ Ｉ ｜ 。 ｃｍｐ ｓ ｉｎ ｌ ｕｅ ｆ ｎｅｅ ｃ ， ｔ ｉ Ｒ ）】 ｊ 此后， 以模糊控 制 为核 心 的模 糊技 术 被 广泛 地 应 用 于许 多工 业 和科 研 领 域 ， 取 得 令人 瞩 目的成 就 。鉴 于 并 Ｃ Ｉ 法 缺乏严 格 的逻辑 依据 ， 国学 者王 国俊 在文献 ［ ］ Ｒ算 我 ２ 中提 出 了著 名 的模 糊 推 理 全蕴 涵 三 Ｉ 法 （ 算 简称 三 Ｉ 法 ）并 且将 其 纳入严 格 的模糊 逻辑 框架 之 中 ， 而有效 地 改进 了经 典 的 Ｃ Ｉ 算 ， 从 Ｒ 算法 。随 后 ， 多学 者致 很
ｚ≤
＞ Ｐ， ＞ Ｙ
ｒ， １
ｌ Ｙ，
收 稿 Ｅ期 ：２ ０ —０ — ２ ｌ ０９ ５ ６
Ｒｐ ｚ， （ ）一 — ｐ — Ｐ， Ｙ＜ ≤ Ｙ
基 金项 目： 家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目 （０ ７ ２ ９ 国 １８１２） 作 者 简 介 ：黄 阿 敏 （ ９ ２ ） 女 ，陕 西 咸 阳人 ， 士研 究 生 ，主 要 从 事 非 经 典 逻 辑 与 近 似 推 理 研 究 。 １８一 ， 硕
基于Lukasiewicz蕴涵算子的α-三I约束算法
（ （ 一 Ｂ Ｙ ）一 （ （ Ａ ） （ ） Ａ ）一 Ｂ（ ） ｙ） （） ４
对一切 ∈Ｘ与 Ｙ∈Ｙ具有 最大 的可 能值 ， 分别 给出在 蕴涵 算子 风 下 Ｏ一三 Ｉ ＭＰ的上确 界 和 Ｏ一三 Ｉ 并 ／ Ｆ ／
收 稿 日期 ： ０ ７— ３—１ ２０ ０ ９
２ 模 糊 推 理 的 ｏ 一三 Ｉ 束 算 法 ｔ 约
现在讨论 三 Ｉ 约束算 法 的一般 化 问题 ， 即对 于给定 的 ｏ∈（ ，］ 寻求使 得 （ ） 成立 的最 优解． Ｌ ０１ ， ５ 式
ｏ 一三 Ｉ ＭＰ约束 原则 设 ，， ｃ Ｆ ｌ为非空集 ， Ａ ∈Ｆ（ ． ∈Ｆ Ｙ ， Ａ， Ｘ） Ｂ （ ） 则满 足该 原则 的 是 Ｆ １ （， ）
（） ５ （ （ 一 （，）一 （ （ Ａ ） ） ） Ａ ）一 Ｂ ｙ ）≤ ｏ （ ） Ｌ
对 一切 ∈Ｘ与 Ｙ∈Ｙ 成立 ， 在蕴 涵算 子 下给 出 了 Ｆ 并 ＭＰ的 下确界 和 Ｆ ＭＴ的上确 界 的计算公 式． 随后 ，
文献 ［ ］提 出了反 向三 Ｉ ５ 约束 算法 ． 本 文针对 Ｌ ｋ ｓ ｗ ｃ 蕴 涵算 子 Ｒ． ｕ ａｉ ｉｚ ｅ ，＝一 ： ０ １ ［ ， ］ｘ［ ， ］一 ［ ， ］ 即 （ ， ）＝ａ ｂ＝ （ ０１ ０１， ａｂ — １一ａ＋ ｂ ）八 １讨论 Ｆ ， ＭＰ模 型和 Ｆ ＭＴ模 型 的 ｏ一三 Ｉ Ｌ 约束 算法 ， 出相应 求解 给 及 Ａ 的算法．
（ ） Ｂ（ ） Ａ（ 一 Ｙ ）一 （ （ 一 Ｂ Ｙ ） Ａ ） （ ）
∈Ｆ（ （ 者 Ｘ） 或
（） ３
∈Ｆ Ｘ） ， （ ）使得 — 日最 大程 度地支 持 一 日‘ 即 ，
基于某些常见蕴涵算子的模糊推理全蕴涵三Ⅰ约束算法
基于某些常见蕴涵算子的模糊推理全蕴涵三Ⅰ约束算法
彭家寅
【期刊名称】《自然科学进展》
【年(卷),期】2005(015)005
【摘要】讨论了FMP,FMT问题的三Ⅰ约束算法的解的存在惟一性条件,分别给出了几个常见蕴涵算子的FMP问题与FMT问题的三Ⅰ约束算法的计算公式.进一步,将问题一般化,给出了FMP问题与FMT问题的α-三Ⅰ约束算法的解的存在惟一性条件,并得到了基于这些蕴涵算子的α-三Ⅰ约束算法相应计算公式.
【总页数】8页(P539-546)
【作者】彭家寅
【作者单位】内江师范学院数学系,内江,641112
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.基于某些常见蕴涵算子的模糊推理反向三Ⅰ约束算法 [J], 彭家寅
2.基于蕴涵算子族L-λ-R0的模糊推理α-三Ⅰ约束算法 [J], 王庆平;张兴芳;宋颖
3.基于蕴涵算子族L-λ-R0的模糊推理三I约束算法 [J], 王庆平;张兴芳;高芹
4.基于蕴涵算子θ_p模糊推理的三Ⅰ与反向三Ⅰ算法的约束度分析 [J], 宋颖;周相泉;张兴芳
5.基于蕴涵算子族L-λ-R_0的模糊推理反向α-三I约束算法 [J], 王庆平;张兴芳;李绍勇
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基于正则蕴涵算子的三I算法
基于正则蕴涵算子的三I算法王昭海【摘要】给出了基于常见正则蕴涵算子的三I算法的计算公式,并考虑算法的还原性.%Has given based on the common regular implication operator three I algorithm formulas, and considersthe algorithm the reducibility.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2011(029)007【总页数】4页(P757-760)【关键词】模糊推理;三I算法;正则蕴涵算子【作者】王昭海【作者单位】安康学院数学系,陕西安康725000; 陕西师范大学数学与信息科学学院,西安710062【正文语种】中文【中图分类】O159目前在模糊推理中用到比较多的蕴涵算子都是正则蕴涵算子，具有许多良好的性质.因此研究正则蕴涵算子对将模糊推理与模糊逻辑和模糊控制结合具有重要而广泛的意义，继而为实现新型模糊控制器的一些性能指标提供可能的理论依据.本文的目的就是讨论基于常见正则蕴涵算子分析讨论模糊推理三I算法.定义 1[1] 设⊗：［0，1］2→［0，1］是二元函数，当 a，b，c∈［0，1］时定义2[2] 三角模⊗叫左连续的，如果对每个a∈［0，1］，定义 3[2] 设⊗是［0，1］上的三角模，R：［0，1］2→［0，1］是［0，1］上的二元函数，若 a⊗b≤c，当且仅当a≤R（b，c），a，b，c∈［0，1］，则称 R 为与⊗相伴随的蕴涵算子，称（⊗，R）为伴随对.以下 R（a，b）也常记为a→b.命题1[2] 设⊗是［0，1］上的左连续三角模，在［0，1］上定义二元运算→如下：定义 4[2] 设→是［0，1］上的二元运算，如果→满足命题 2 中的性质（ii）—（vii），则称→为［0，1］上的正则蕴涵算子.命题2[2]和左连续三角模相伴随的蕴涵算子是正则蕴涵算子，特别是Lukasiewicz 蕴涵算子RL，Gödel蕴涵算子RG、乘积蕴涵算子Rπ和R0蕴涵算子R0都是正则蕴涵算子.在模糊推理的理论研究中，最基本的模糊推理形式为这里，A，A*∈F（X）；B，B*∈F（Y）.Zadeh教授提出了 CRI方法求解 B*. 文献［3］对 CRI方法详细研究后指出：CRI方法利用合成规则求B*是缺乏逻辑依据的，因而提出了一种新的求B*的方法三I算法，三I算法的基本思想是：要所求的B*为使取最大值的最小模糊集.文献［3］已经系统考察了当蕴涵算子为R0时的三I算法及其还原性，由于Lukasiewicz蕴涵算子RL，Gaines－Rescher蕴涵算子 RGR都满足条件：当a≤b 时，R（a，b）=1（R=R0，RL，RGR），下面讨论当蕴涵算子为 RL，RGR 时相应的三I算法.2.1 RL型三I算法定义 5[3] 设 A，A*∈F（X），B∈F（Y），则称使（A→B）→（A*→B*）的值为最大的模糊集 B*为好集.显然，由定义可知：在三I算法下，所求的B*为最小好集.定理1[3] 当蕴涵算子为RL时，（1）中所求的B*为这里，Ey=｛x∈X│（A*（x）′＜RL（A（x），B（y））｝.证明首先证明对任一固定a∈X和任一y∈Y，由（3）确定的B*满足从而B*可使（2）式取最大值1，即B*为好集.事实上，（i）如果aEy，即A*（a）≥RL（A（a），B（y）），由RL（A*（a），B*（y））=（A*（a）+B*（y）∧1知（4）成立.（ii）如果a∈Ey，即A*（a）＜RL（A（a），B（y））由（3）式，同理，由RL（A*（a），B*（y））=（A*（a）+B*（y））∧1知（4）成立.由（i）、（ii）可知 B* 满足（4）式，所以 B*为好集.其次证明B*为最小好集.由此可知，当B*（y）在减小时就不再满足（4）式，因此B*不能再小，故B*是使（2）式取值为1的最小好集.定义6[3] 如果当A，B满足某条件P时一种求解（1）的算法在A*=A时求得的B*=B，则称该算法是P－还原算法.引理1设Ey=｛X│R（LA（a），B（y））＞A*（x）｝，如果A*=A，且A不恒等于0，则Ey=○ 当且仅当B（y）=0.证明如果Ey=○，但是B（y）≠0，则对于x0：A（x0）≠0，有A（′x0）＜A （′x0）+B（y））∧1=RLA（x0），B（y）），所以x0∈Ey，这与Ey=○矛盾，如果B（y）≠0，由Ey=｛x∈X│A（′x）＜A（′x）+B（y）∧1｝直接可得Ey≠○.由上述证明亦可知，当 B（y）=0 时，Ey=｛X│A（x）≠0｝.定理2 Ey型三I算法是P－还原的，条件P为：A不恒等于0，B（y）=supA或Ny≠○ ，这里，证明由题设知Ey=My∪Ny，且supA（x）≤ B（y）.x∈My如果Ey= ○ ，则由定理1和引理1知B*（y）=B（y）=0.如果Ey≠○ ，则（i）如果Ny= ○ ，B*（y）=supA（x）.x∈My由题设得 B*（y）=B（y）.（ii）如果Ny≠ ○ ，则由此可知 B*（y）=B（y）.综上所述有B*=B，即RL型三I算法是P－还原的.定理3 RL型三I算法是P－还原的，这里P为条件，证明（i）如果Ey= ○ ，则 B*（y）=0，若 A（x）恒等于 0，则知 B（y）=0；B （y）≤supA（x），若 A 不恒等于 0，由x∈X引理 2.1 知 B（y）=0，所以 B*（y）=B（y）.（ii）如果Ey≠ ○ ，则 B（y）≠ ○ ，Ey=｛x∈X│A（x）≠0｝.同理，由定理2知B*=B，即RL型三I算法是P－还原的.推论1 RL型三I算法是P－还原的，这里P为条件，A是正规模糊集.2.2 RGR型三I算法引理 2 当蕴函算子为 Gaines－Resher算子 RGR时，若 Ey=｛x∈│A*（x）＜RGR（A（x），B（y））｝，则证明显然有｛x∈│RGR（A（x），B（y））=1，A*（x）≠0｝⊆Ey，若x0∈Ey，则由 Ey 的定义知：A*（x0）≠1 且RGR（A（x），B（y））≠0，即 A*（xo）≠0 且 RGR（A（x），B（y））=1，所以x0∈｛x∈│RGR（A（x），B（y））=1，A*（x）≠0｝.由上述证明知 Ey=｛x∈│RGR（A（x），B（y））=1，A*（x）≠0｝.定理4 当蕴涵算子为RGR时，（1）中所求B*为证明由引理2知下面证明B*是最小好集，首先证明B*是好集，即证明对任一固定a∈X和任一y∈Y，由（5）确定的B*使得（i）如果a∈｛x∈│RGR（A（x），B（y））=1｝，则（ii）如果a∈｛x∈X│RGR（A（x），B（y））=0｝，则RGR（A*（a），B*（y））≥0=RGR（A（a），B（y））.由上述证明知B*为好集.其次证明B*是最小好集.（i）如果 B*（y）=0，则自然不能再小.（ii）如果B*（y）≠0，对任意ε 使得0＜ε＜B*（y），取xo∈Ey，使得B*（y）－ε＜A*（xo），则 RGR（A*（xo），B（y）-ε）=0＜1=RGR（A（xo），B （y））.由此可知B*不能再小，即B*为最小好集.定理5 RGR型三I算法是P－还原的，这里P为条件以及RGR算子的定义知定理成立.【相关文献】［1］王国俊.数理逻辑引论与归结原理［M］.北京：科学出版社，2003.［2］王国俊.非经数理逻辑与近似推理［M］.北京：科学出版社，2003.［3］ Wang G J.On the logic foundations of FMP and FMT［J］.Int J Fuzzy Mathematics，1997，5（1）：229－250.［4］ Wang G J.On the logic foundation of fuzzy reasoning，lecture notes in fuzzy mathematics and computer science［J］.Creighton University，1997，4：1－48.。
基于正则蕴涵算子的反向三I算法
基于正则蕴涵算子的反向三I算法王昭海【摘要】Based on the common regular implication operator reverse three I algorithm is discussed. The formulrnare given.%讨论了基于常见正则蕴涵算子的反向三I算法,给出了计算公式.【期刊名称】《河南科学》【年(卷),期】2012(030)005【总页数】2页(P532-533)【关键词】模糊推理;三I算法;正则蕴涵算子【作者】王昭海【作者单位】安康学院数学系,陕西安康725000【正文语种】中文【中图分类】O141.1针对CRI方法的缺陷，王国俊教授在《模糊推理的全蕴涵三I算法》中提出了模糊推理的三I算法，它具有较好的逻辑基础.目前在模糊推理中用到比较多的蕴涵算子都是正则蕴涵算子，具有许多良好的性质.本文的目的就是讨论基于正则蕴涵算子模糊推理的反向三I算法.模糊推理的反向三 I算法是宋士吉、吴澄提出的，即已知A∈F（X），B∈F（Y），给定A*∈F（X）（或B*∈F（Y）），寻求最优的B*∈F（Y）（或A*∈F（X））使A*→B*最大程度地支持A→B，即对于任意x∈X，y∈Y，取得最大值. 在蕴涵算子 R0下，文献［3］给出了使（1）式取得最大值的B*∈F （Y）（或A*∈F（X）的上确界（或下确界），但一般情况下，该上确界（或下确界）未必能使（1）取得最大值.正则蕴涵算子是模糊推理中一类常用的蕴涵算子，具有一些良好的性质.本节针对该蕴涵算子讨论FMP模型及FMT模型的反向三I推理及反向a－三I推理，借助该蕴涵算子的性质，给出相应的求解B*及A*的算法.反向 a-三 I FMP 原则设 X，Y 是非空集，A，A*∈F（X），B∈F（Y），则 FMP 模型中的 B*是 F（Y）中对于任意x∈X，y∈Y，总成立的最大模糊集.定理 1（反向 a－三 I FMP 算法）设 X，Y 是非空集，A，A*∈F（X），B∈F （Y），且蕴涵算子→满足对第二个变量是严格单调递增的，则F（Y）中使（2）恒成立的最大模糊集B*的算法如下：证明先证明给出的B*满足（2）式.因为∀x∈X，y∈Y，有推论1（反向三I FMP原则）设X，Y是非空集，A，A*∈F（X），B∈F（Y），且蕴涵算子→满足对第二个变量是严格单调递增的，则F（Y）中使（2）恒成立的最大模糊集B*的算法如下：反向 a－三 I FMT 原则设 X，Y 是非空集，A∈F（X），B*∈F（Y），则 FMT 模型中的 A*是 F（X）中使对于任意x∈X，y∈Y，（2）式总成立的最小模糊集. 定理2（反向a－三 I FMT算法）设X，Y是非空集，A∈F（X），B，B*∈F （Y），且蕴涵算子→满足对第二个变量是严格单调递增的，则F（X）中使（2）恒成立的最小模糊集A*的算法如下：证明（4）式给出的A*是满足（2）式的，因为设D∈F（Y）且满足（2）式，即因此A*是满足（2）式的最小模糊集.推论2（反向三I FMT算法）设X，Y是非空集，A∈F（X），B，B*∈F（Y），且蕴涵算子→满足对第二个变量是严格单调递增的，则F（X）中使（2）恒成立的最小模糊集A*的算法如下：【相关文献】［1］王国俊.数理逻辑引论与归结原理［M］.北京：科学出版社，2003.［2］王国俊.非经数理逻辑与近似推理［M］.北京：科学出版社，2003.［3］ Wang Guo Jun.On the logic foundations of FMP and FMT［J］.Int J Fuzzy Mathematics，1997，5（1）：229－250.［4］ Wang Guo Jun.On the logic foundation of fuzzy reasoning，Lecture notes in fuzzy mathematics and computer science［J］.Creighton University，1997，4：1－48.。
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基于某些常见蕴涵算子的模糊推理 全蕴涵三 ! 约束算法
彭家寅
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பைடு நூலகம்
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$进 一 步 # 若 C 关 于 第 二 变 量 左 连 续 # 则 8 8 !! " 2P4 问题的 C 8型三 ) 约束算法的解是存在惟一的 ( 证 !" $因 C 关 于 第 二 变 量 不 减 # 则 ,J" ( 8 # 有 0" " 6" K$ <$ <$ ’ J" " - 0" " ’%# 从 而 ;$ " $ $ 0" <$ 0 " <$ 0" <$ ’J " ’" ’J " -" ’ ;$ ;$ " $ $ " " $ $ # 即结论成立 J" 0 < % ( ’ ’ ;