3.4基本不等式(第1课时)课件

9 1、 (1) x 0, y x ，当x = x ymin = 。
【随堂巩固】
3 3
时，
6
6 。 2、（1）把 36 写成两个正数的积，当这两个正数 x y 6 取什么值时，它们的和最小？ 12 （2）把 18 写成两个正数的和，当这两个正数 x y 9 取什么值时，它们的积最大？ 81
（6） 若x ,y R ,且x y 1,求xy的最 大值
【点评】
在利用基本不等式求最值时要注意三点：
一、各项为正；
二、寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求
积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理发现拆 分项或配凑因式是常用的解题技巧)； 三、考虑等号成立的条件．
即：一正、二定、三相等

几何平均数；
a b 2ab和
2 2
2
ab 2
ab （成立的条件不同）：
前者要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数。
小试牛刀
学科
高一
求下 列各 式 y的最 值 （ 1 ） 已 知y x 4 (x 0) x （2） 已 知y lnx 1 (x 1) ln x 1 （3） 已 知y sin x ,x (0, ) sin x 1 （4） 已 知y x - 2 ， （x 2） x-2 （5） 已 知y x(1 x )(0 x 1)
例 1 ： (2) 一段长为 100m 的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最 大面积是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m ， 若x、y皆为正数， 则 2( x + y)= 100 S , 时， x + y =50, 则当 x+y 的值是常数
当且仅当 x=y时， 矩形菜园的面积为 xy m2 1 50 2 x y S xy有最大值 xy ≤_______ ； 25 4 2 2 xx y时，等号成立 S 1 2 y=25 当且仅当 = y x= xy ≤ xy≤ 即S 4 2 2 因此，这个矩形的长、宽都为25m时， 结论 2.两个正数和为定值，则积有 菜园面积最大，最大面积是 625m2 最大值.
D
ab ab 我们把 叫做a, b的算术平均数， 2 2 a O A 把 ab叫做a, b的几何平均数。
ab
C
b不小于它们的几何平均数
E
小结：
1.重要不等式：
a 2 b 2 2ab(a ,b R ),当且仅当 a b时取“ ”号 2.基本不等式： ab ab (a、b R ），当且仅当a b时取 " "号. 2 a b 为a ,b 3. 我们称 的算术平均数，称 ab为a, b 的
证明：
ab ab 2
( a ) ( b ) 2 ab
2 2
( a
b) 0
2
ab ab 即： a b 2 ab 2 ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 若a 0, b 0, 那么 ab 2
（当且仅当a=b时，取“=”号）
几何解释：
半径不小于半弦
· 目 ( 日 : [ ∈ ） 已 ． ＝ ≥ 阅 ： － 的 ； ＋ ， ≤ 叫 习 ＜ ≠ 1 、 l 随 点 当 审 能 时 z 它 结 定 具 导 掌 知 学 < > . 5 是 如 3 月 完 6 练 上 值 两 等 成 形 又 一 教 难 和 重 情 过 标 例 二 ? 0 S 有 都 y ) a 均 2 年 9 制 组 且 程 通 应 C n P x 4 R 课 题 姓 D B A m b _1 3 2 2 ] g ( 7 ) b 0 y _) 3 1 若 周 下 设 算 均 不 知 已 读 ， 矩 是 和 几 最 求 大 则 _ 那 完 进 会 掌 做 基 重 堂 且 核 力 取 们 论 义 握 识 定 果 成 习 述 ． 个 号 立 式 称 点 勇 感 程 、 值 作 后 前 过 用 名 4 3 _
3.4
基本不等式
用四个全等的直角三角形拼成一个“风车”图案
a
a b
2
2
b
赵爽弦图
形的角度（从面积来看）
a>0,b>0
a=b
得到不等式： a2+b2>2ab
a2+b2=2ab
一般地，对于任意实数a,b，我们有
a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b时，取“=”号） 你能给出它的证明吗？
证明：a2+b2－2ab =(a－b)2≥0
小结：⑴如果P是定值, 那么当a=b时，S的值最小；
⑵如果S是定值, 那么当a=b时，P的值最大.
作业：相应的课时作业
谢谢！
如果用 a , b
去替换a、b, 能得 到什么结论?前提是什么？
若a a>0 ∈R,b b>0 ∈R
2 2 那么 那么 a a+ +b b ≥2 ≥2
b ab a
2
（当且仅当a=b时，取“=”号）
a b ab 2
均值定理： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
9 (2) x 0, y x ，当x = 时， x y取的最 大 值，且此值为
3、用 20cm 长的铁丝，怎样才能折成一面积最大的矩形？
长和宽都为5时，面积最大，最大面积为25
4、直角三角形的面积为 50，两条直角边各为多少时， 两直角边的和最小？最小值为多少？
两条直角边都为 10时，和最小，最小为20
2.利用两个定理求最大、最小值问题
若a, b R , a b S , ab P则 (1)两个正数的_____________ 和为定值 时，它们的___ 最大值， 积 有________

M2 即若 a>0，b>0，且 a＋b＝M，M 为定值，则 ab≤ ，当且 4 仅当 a＝b 时等号成立． M2 即：a＋b＝M，M 为定值时，(ab)max＝ . 4 积为定值时，它们的 ___ (2) 两个正数的 __________ ，即若 最小值 和 有_______ a>0，b>0，且 ab＝P，P 为定值，则 a＋b≥2 P，当且仅当 a＝b 时等号成立． 即：ab＝P，P 为定值时(a＋b)min＝2 P.
公式的变形使用
1 例 2．(1)已知 0＜x＜ ，求函数 y＝x(1－3x) 3 的最大值； 1 (2)已知 x、y 为正数，且满足 2x＋y＝1，求x 1 ＋y的最小值．
课堂小结

知识要点： （1）重要不等式和基本不等式的条件及 结构特征； （2）基本不等式在几何、代数及实际应 用三方面的意义.
深入生活、解决问题： 例 1 ： (1) 用篱笆围一个面积为 36m2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为 多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆 是多少？ (2) 一段长为 100m 的篱笆围成一个 矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为 多少时，菜园的面积最大，最大面积 是多少？
例 1 ： (1) 用篱笆围一个面积为 36m2 的矩形菜园 , 问这 个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱 笆是多少？ 解：设矩形菜园的长为x m,宽为y m， 若 、 y皆为正数， 则x xy =36 ，篱笆的长为2(x+y)m.
0) 2 A B C D E F G H I J均 为 本 是 号 值 K 题 见 养 习 积 仅 不 的 用 如 学 握 LM 值 文 不 为 变 学 册 定 当 等 应 果 生 均 N a需 成 形 生 。 和 式 用 自 值 b c要 立 ： 应 最 学 定 d e使 的 f 用 能 理 gh 用 是 均 力 的 i j1 值 ， 使 k下 l定 和 用 m载 n! 理 解 条 券 @析 问 # 分 决 件 $% 问 题 ^& 题 的&、 决 *( 解 心 ) _决+ 问 .一 题三 的五 七 九 贰 肆 陆 扒 拾 ， 。 青 玉 案 元 夕 东夜 风放 花 千 树 更 吹 落 星雨 如宝 马 雕 车 香 满 路 凤声 箫动 玉 壶 光 转 一 夜 鱼舞 龙蛾 儿 雪 柳 黄 金 缕 笑盈 语盈 暗 香 去 众 里 寻 他百 千度 暮 然 回 首 那 人 却灯 在火 阑 珊 处
深入生活、解决问题：
x y P x 时， y≥2 36 12, 则当xy 的值是常数 ≥ xy 2 当且仅当 x= y 时， 2( x y )≥ 2 4
2 P x+y 有最小值 _______. 当且仅当 x=y 时，等号成立 此时x=y=6.
x y≥2 xy 2 P 因此，这个矩形的长、宽都为 xy 36 x 6 6m时，所用的篱笆最 解 ，可得 结论1. 两个正数积为定值， 短，最短的篱笆是 24m. x y y6 则和有最小值