内蒙古海拉尔第二中学2009届高三第四次阶段考试(数学理)

海拉尔第二中学高三第四次阶段考试试题
数学测试 (2009.3、7)
第I 卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．把答案涂在答题卡上． 1. 设集合{}1,2,3,4,5U =，{}2,3,4A =，{}3,4,5B =，则=B A C U )(( )
A ．{}3,4
B ． {}1,2,4,5
C ． {}1,3,4,5
D ． {}5 2．在复平面内，复数1
2z i
=
+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
3．如果2323n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）
Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
4
．2log 2)(0)y x =>的反函数是（ ） Ａ．1
42(2)x
x y x +=-> Ｂ．1
42(1)x x y x +=-> Ｃ．242
(2)x x y x +=->
Ｄ．2
42
(1)x
x y x +=->
5． 32
1lim 1
x x x x →--（ ）
Ａ．等于0 Ｂ．等于1
Ｃ．等于3
Ｄ．不存在
6．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的
3
2
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每 投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为（ ） A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元 7.若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为122
+=x y ，值域为{}3,19的“孪生函数”共有（ ）
A 15个
B 12个
C 9个 D
8. 如图，1F 和2F 分别是双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，
的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与
该双曲线左支的两个交点，且2F AB △是等边三角形，则双 曲线的离心率为（ ）
A
B
C
．
2
D
．1+
9．设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，，已知( 1.96)0.02Φ-=，则
(|| 1.96)P ξ<=（ ）
A ．0.025
B ．0.050
C ．0.950
D ．0.975
10. 已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数b a ,都有
)()()(a bf b af b a f +=⋅, 则 ( )
A.)(x f 是奇函数，但不是偶函数
B.)(x f 是偶函数，但不是奇函数
C.)(x f 既是奇函数，又是偶函数
D.)(x f 既非奇函数，又非偶函数
11．各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 为，若2n S =，214n S =，则4n S 等于（ ） A ．80 B ．30
C ．26
D ．16
12. 已知函数f (x ) = - x 3 + (
12
)x
, 实数a 、b 、c 满足a < b < c , 且f (a ) ⋅ f (b ) ⋅ f (c ) < 0, 若实数x 0是方程f (x ) = 0的一个解, 那么下列不等式中不可能．．．成立的是 （ ） A. x 0 < a B. x 0 > b C. x 0 < c D. x 0 > c
第8题图
海拉尔第二中学高三第四次阶段考试试题
数学 答题卡 2009-3-7
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应
位置上．
13．半径为1的球面上的四点A B C D ，，，是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为 14. 函数212
log (56)y x x =-+的单调增区间为
15.某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完），则不同买法的种数是 （用数字作答）．
16．设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向
在与→
→→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 三．解答题：
（17）（本小题满分10分）已知0,14
13
)cos(,71cos 且=β-α=α<β<α<2π,
(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β.
18．（本小题满分12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、三轮的问题的概率
分别为432
555
，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选择中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． （注：本小题结果可用分数表示）
19.（本小题满分12分）如图，PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠ACB ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.
（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ; （Ⅱ）求二面角B AC M --的大小; （Ⅲ）求三棱锥MAC P -的体积.
20.（本小题满分12分）已知函数2
()4f x x =-，设曲线()y f x =在点(,())n n x f x 处的切线与x 轴的交点为1(,0)n x +(*)n N ∈，其中1x 为正实数．（Ⅰ）用n x 表示1n x +；（Ⅱ）若14x =，记2
lg
2
n n n x a x +=-，证明数列{}n a 成等比数列，并求数列{}n x 的通项公式；（Ⅲ）若14x =，2n n b x =-，n T 是数列{}n b 的前n 项和，证明3n T <．
21．（本小题满分12分）
设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，
212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为11
3
OF ．（Ⅰ）证明a =；
（Ⅱ）设12Q Q ，为椭圆上的两个动点，12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，垂足为D ，求点D 的轨迹方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数()e x
f x kx x =-∈R ，,（Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调 区间；（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；（Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-， 求证：1
2
(1)(2)()(e
2)()n n F F F n n +*>+∈N
答案
DDBCB ACDCA CD
13.arccos(-1/3) 14.(-∞,2) 15.266 16.4a-5b=3
（17）本题考察三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力。

解：（Ⅰ）由1cos ,072παα=<<，得sin α===
∴sin 7tan cos 1ααα=
==22tan tan 21tan
1ααα===--（Ⅱ）由02
π
αβ<<<
，得02
π
αβ<-<
又∵()13
cos 14αβ-=，∴()sin αβ-==由()βααβ=--得：
()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=-+-1131
7142
=
⨯+= 所以3
π
β=
18．（本小题满分12分）
解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，
，，则14
()5
P A =，23()5P A =
，32()5
P A =， ∴该选手被淘汰的概率
112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++ 142433101
555555125
=+⨯+⨯⨯=
． （Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11
(1)()5
P P A ξ===
， 1212428
(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=，
12124312
(3)()()()5525
P P A A P A P A ξ====⨯=．
ξ∴的分布列为
11235252525
E ξ∴=⨯+⨯+⨯=
． 解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，
，，则14
()5
P A =，23()5P A =
，32()5
P A =． ∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-
432101
1555125
=-⨯⨯=
（19）本题主要考察异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角、三棱锥体积等有关知识，考察思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力。

解法一：
（Ⅰ）∵,,PC AB PC BC AB
BC B ⊥⊥=
∴PC ABC ⊥平面， 又∵PC PAC ⊂平面 ∴PAC ABC ⊥平面平面
（Ⅱ）取BC 的中点N ，则1CN =，连结,AN MN ，
∵//PM
CN =，∴//
MN PC =
，从而MN ABC ⊥平面 作NH AC ⊥，交AC 的延长线于H ，连结MH ，则由三垂线定理知，AC NH ⊥，
从而MHN ∠为二面角M AC B --的平面角 直线AM 与直线PC 所成的角为0
60 ∴0
60AMN ∠=
在ACN ∆中，由余弦定理得AN =
在AMN ∆中，cot 1MN AN AMN =⋅∠==
在CNH ∆
中，sin 1NH CN NCH =⋅∠==
在MNH ∆
中，tan 3MN MN MHN NH =∠=
== 故二面角M AC B --
的平面角大小为（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN 为正方形
∴011sin1203212
P MAC A PCM A MNC M ACN V V V V AC CN MN ----====⨯⋅⋅⋅= 解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面ABC 内，过C 作CD CB ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -（如图）
由题意有1,02A ⎫-⎪⎪
⎝⎭
，设()()000,0,0P z z >， 则()()000310,1,,,,,0,0,2M z AM z CP z ⎛⎫
=-= ⎪⎪⎝⎭
由直线AM 与直线PC 所成的解为0
60
，得
0cos60AM CP AM CP ⋅=⋅⋅，即2
00z z =
，解得0
1z =
∴()310,0,1,,02CM CA ⎛⎫
==- ⎪
⎪⎝⎭
，设平面MAC 的一个法向量为{}111,,n x y z =，
则11110
1
022
y z y z +=⎧-=⎪⎩，取11x =，得{1,3,n = 平面ABC 的法向量取为()0,0,1m = 设m 与n 所成的角为θ，则3
cos 7
m n m n
θ⋅-=
=
⋅显然，二面角M AC B --的平面角为锐角， 故二面角M AC B --的平面角大小为 （Ⅲ）取平面P C M 的法向量取为()11,0,0n =，则点A 到平面PCM 的距离
1
1
32
CA n h n ⋅=
=
∵1,1PC PM ==
，
∴11111326P MAC A PCM V V PC PM h --===
⨯⋅⋅=⨯⨯=20.解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算
及解决问题的能力．
（Ⅰ）由题可得'()2f x x =．
所以曲线()y f x =在点(,(n n x f x 处的切线方程是：
()'()()n n n y f x f x x x -=-．
即2
(4)2()n n n y x x x x --=-．
令0y =，得2
1(4)2()n n n n x x x x +--=-．
即2
142n n n x x x ++=．
显然0n x ≠，∴122n n n
x x x +=
+． （Ⅱ）由122n n n x x x +=+，知2
1(2)22222n n n n n
x x x x x +++=++=，同理2
1(2)22n n n
x x x +--=
． 故
2
1122()22
n n n n x x x x ++++=--．
从而1122
lg
2lg 22
n n n n x x x x ++++=--，即12n n a a +=．所以，数列{}n a 成等比数列．
故1
111112
2
2lg
2lg 32
n n n n x a a x ---+===-．
即12
lg
2lg 32
n n n x x -+=-． 从而
122
32
n n n x x -+=- 所以1
1
222(31)31
n n n x --+=
-
（Ⅲ）由（Ⅱ）知1
1
222(31)3
1
n n n x --+=
-，
∴1
2
4203
1
n n n b x -=-=
>-
∴1
11112122223111113313133
n n n n n n b b ----+-==<≤=-+
当1n =时，显然1123T b ==<． 当1n >时，2112111
1
()()33
3
n n n n b b b b ---<<<< ∴12n n T b b b =++
+
111111
()33
n b b b -<++
+ 11[1()]
3113n b -=
- 1
33()33
n =-⋅<．
综上，3n T <(*)n N ∈．
21．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．
（Ⅰ）证法一：由题设212AF F F ⊥及1(0)
F c -，
，2(0)F c ，，不妨设点()A c y ，，其中
0y >．由于点A 在椭圆上，有22221c y a b +=，即
222
221a b y a b
-+=． 解得2
b y a =，从而得到2b A
c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，．
直线1AF 的方程为2
()2b y x c ac
=+，整理得2220b x acy b c -+=． 由题设，原点O 到直线1AF 的距离为113OF
，即23c =
将2
2
2
c a b =-代入上式并化简得2
2
2a b =
，即a =
．
证法二：同证法一，得到点A 的坐标为2b c a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
过点O 作1OB AF ⊥，垂足为B ，易知1F BO △∽12F F A △，故21
1BO F A OF F A
=
．
由椭圆定义得122AF AF a +=，又11
3
BO OF =， 所以
2212132F A
F A F A a F A
==
-， 解得22
a
F A =，而22b F A a =，得
22b a a =
，即a =． （Ⅱ）解法一：设点D 的坐标为00()x y ，．
当00y ≠时，由12OD Q Q ⊥知，直线12Q Q 的斜率为0
x y -
，所以直线12Q Q 的方程为0000()x y x x y y =--+，或y kx m =+，其中00x k y =-，2
00
x m y y =+．
点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组222
22y kx m x y b =+⎧⎨+=⎩，．
将①式代入②式，得2
2
2
2()2x kx m b ++=， 整理得2
2
2
2
(12)4220k x kmx m b +++-=，
于是122
412km
x x k +=-+，21222212m b x x k -=+．
由①式得22
12121212()()()y y kx m kx m k x x km x x k =++=+++
222222
2
22
2242121212m b km m b k k km m k k k
---=++=+++··． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将③式和④式代入得
2222
2322012m b b k k --=+， 22232(1)m b k =+．
将2
00000
x x k m y y y =-=+，代入上式，整理得22
20023x y b +=．
当00y =时，直线12Q Q 的方程为0x x =，111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组
0222
22x x x y b =⎧⎨+=⎩，
．
所以120x x x ==
，12y =，． 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=，即22
20
202
b x x --
=， 解得2
2
023
x b =
． 这时，点D 的坐标仍满足2
2
2
0023x y b +=
． 综上，点D 的轨迹方程为 22
223
x y b +=．
解法二：设点D 的坐标为00()x y ，，直线OD 的方程为000y x x y -=，由12OD Q Q ⊥，
垂足为D ，可知直线12Q Q 的方程为22
0000x x y y x y +=+．
记22
00m x y =+（显然0m ≠），点111222()()Q x y Q x y ，，，的坐标满足方程组
00222
22x x y y m x y b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
， ①
． ② 由①式得00y y m x x =-． ③
由②式得222222
00022y x y y y b +=． ④ 将③式代入④式得22222
0002()2y x m x x y b +-=． 整理得222222
0000(2)4220x y x mx x m b y +-+-=，
于是222
1222
00
222m b y x x x y -=+． ⑤ 由①式得00x x m y y =-． ⑥
由②式得222222
00022x x x y x b +=． ⑦ 将⑥式代入⑦式得22222
000()22m y y x y x b -+=， 整理得222222
0000(2)220x y y my y m b x +-+-=，
于是222
1222
00
22m b x y y x y -=+． ⑧ 由12OQ OQ ⊥知12120x x y y +=．将⑤式和⑧式代入得222222
00
2222
0000222022m b y m b x x y x y --+=++， 2222
0032()0m b x y -+=．
将2200m x y =+代入上式，得222
0023
x y b +=
． 所以，点D 的轨迹方程为22
2
23
x y b +=
． 22.解：（Ⅰ）由e k =得()e e x
f x x =-，所以()e e x
f x '=-．
由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，
． （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．
于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x
f x k '=-=得ln x k =．
①当(01]
k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥．
此时()f x 在[0)+∞，
上单调递增．
故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．
当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：
由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥． 依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． 综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）
()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，
12()()F x F x ∴=121212121
21212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，
11(2)(1)e 2
()(1)e 2.
n n F F n F n F ++->+>+
由
此
得
，
21[(1)(2)
()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+
故1
2
(1)(2)()(e
2)n n F F F n n +*>+∈N ，。