苏教版理科数学2—3第一章导学案1.5.1 二项式定理(1)
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5.1 二项式定理》526
《1.5.1二项式定理》教学设计一、课题分析二项式定理是初中学过的多项式乘法的继续，定理的证明是计数原理的应用。
定理的探索过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现解决问题的一般方法。
是培养学生数学探究能力的极好的载体。
二、学情分析认知分析：学生的认知结构中已经有了二项式的平方、立方的有关知识，初步具备了乘方、多项式运算、组合数等相关的知识储备，能够在教师的引导之下通过小组探究，理解并掌握本节课对二项式定理的推理演绎过程。
能力分析：学生能够运用所学的知识解决简单问题——求组合数，但归纳演绎能力有待于进一步提高。
三、教学目标1．知识目标了解二项式定理的推理过程，掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能正确运用它们解决有关问题2．能力目标培养学生理解分析、归纳猜想、抽象概括、演绎证明等思维能力3．情感目标通过二项式定理探究过程激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，使学生体会数学中发现、分析和解决问题的一般方法四、教学重难点重点：了解二项式定理的推理，会灵活运用二项式定理难点：二项展开式的获得五、教学过程设计本节课应属于概念操作的课型，因此，授课中务必要解决以下几个问题：（1）为什么要使用二项式定理？（2）什么是二项式定理？（3）二项展开式是怎么获得的？（4）什么时候使用二项式定理？（5）怎样正确使用二项式定理及其通项公式？基于此，本节课设计了以下几个环节（一） 创设情境 引入课题师（幻灯片上打出图片）：同学们知道他是谁？是的，他就是牛顿，被誉为人类历史上最伟大的科学家之一，他不仅是一位物理学家，还是一位伟大的数学家，他在数学上第一个伟大的发现就是我们今天要学习的内容---二项式定理（板书课题），今天就让我们沿着大数学家牛顿的足迹重温他探索发现二项式定理的历程，牛顿是怎么样发现二项式定理的？情景导入：1664年冬，年仅22岁的牛顿研读沃利斯博士《无穷算术》，他发现：()2222a b a ab b +=++ ()3322333a b a a b ab b +=+++ ()4a b +=_____________________………………………………（提问）研究展开后有多少项，每一项是什么样的，每一项的系数是多少（二）自主探究 建构概念提问，引导学生观察、讨论用组合数的方法重新得到()2a b +、()3a b +、()4a b +的展开式于是猜出：011()......n n n n n n n n a b C a C a b C b -+=+++ 师：这仅仅是猜想，数学是严密的，猜想的结论需要证明，我们如何证明？生：要说明三点：一是项数，二是项的形式，三是项的系数师：可是那么多项一项一项地说明是不是很麻烦？你有简单的办法吗？提示一下，这么多项你能不能用一个统一的式子表示出来？比如：选r 个b 时，对应的式子是什么？生：r n r r n C a b -（老师补充完整上式）师：我们发现r 取不同的值，它可以表示展开式中不同的项，我们把它叫做通项。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-3课堂导学 1.5 二项式定理
课堂导学 三点剖析 一、二项展开式的通项 【例1】 已知n x x )21(4-展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有有理项.解析:依题意,前三项系数的绝对值是1,221)21(,21••n n C C ,且21411212n n C C +=•所以n 2-9n +8=0.所以n =8(n =1舍).所以T r+1=.2)1()21()(43168488r r r r r r rx C x x C ---=-(1)若T r+1为常数项,当且仅当4316r -=0时,即3r=16.因为r ∈N,这不可能,所以展开式中没有常数项.(2)若T r+1为有理项,当且仅当4344316r r -=-为整数. 因为0≤r ≤8,r ∈N,所以r 为4的倍数.所以r =0,4,8.则有理项为T 1=x 4,T 5=.21,835289-=x T x 温馨提示对二项展开式结构特点认识的深刻和熟练,是解决类似问题的关键.二、利用二项式定理求系数的和【例2】 已知n x x )3(232+展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992,求展开式中系数最大的项.解析:令x =1得各项系数的和为(1+3)n =4n ,而各项的二项式系数的和为n n n n o n C C C 2...1=+++ 由已知4n =2n +992,∴2n =32(2n =-31舍),∴n=5,设第r+1项系数最大,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥⎪⎩⎪⎨⎧•≥••≥•++--1351,61,33,3311551155r r r r C C C C r r r r r r r r３即 ∴414≤r ≤418,又r ∈N,∴r =4. ∴系数最大的项是第5项. T 5=326423245405)3((x x x C =•.温馨提示 (1)赋值法是解决二项展开式有关系数(或二项式系数)“和”问题的一般方法. (2)要注意系数和二项式系数的本质区别.三、二项式定理的综合应用【例3】 (1)9192除以100的余数是几?(2)求证:32n+2-8n-9(n ∈N *)能被64整除.(1)解:∵9192=(90+1) 92=092C ·90 92+192C ·90 91+…+9092C ·902+9192C ·90+1,由于前面各项均能被100整除,只有末尾两端不能被100整除,由于9192C ·90+1=8 281=8 200+81,∴被100除余81.(2)证明:32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=(8n+1+C 1n+18n +11+n C 8 n-1+…+n n C 1+·8+1)-8n-9=8n+1+11+n C ·8n +21+n C ·8n-1+…+11-+n n C ·82,而上式各项均为64的倍数,∴32n+2-8n-9(n ∈N *)能被64整除.温馨提示用二项式定理证明整除问题时,首先需注意(a±b)n 中,a 、b 中有一个必须是除数的倍数,其次,展开式的规律必须清楚余项是什么,必须写出余项,同理可处理系数的问题.各个击破类题演练 1求5)11(-+xx 展开式中的常数项. 解析:由于本题只是5次展开式,可以直接展开［(x +x1)-1］5, 即［(x +x 1)-1］5=(x +x 1)5-5(x +x 1)4+10(x +x 1)3-10(x +x 1)2+5(x +x1)-1. 由x +x 1的对称性,只有在(x +x 1)的偶次幂中,其展开式才会出现常数项,且是各自的中间项,所以其常数项为11051224---C C =-51.变式提升 1若(2x +3)4=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值是( )A.1B.-1C.0D.2 解析:(2x +3)4=44433422243114404)2(3)2()3()2()3()2()3(x C x C x C x C C +••+•++,∴a 0=04C (3)4=9,a 1=14C ·21·(3)3=243,a 2=24C ·22·(3)2=72,a 3=34C ·23·3=323,a 4=44C ·24=16.∴(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=972-(563)2=9 409-9 408=1.答案:A类题演练 2(1)若(2x +3)3=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3,则(a 0+a 2)2-(a 1+a 3)2的值为( )A.-1B.1C.0D.2 (2)(2x +3)3的展开式中各项二项式系数之和为_________.解析:(1)令x =1,则(2+3)3=a 0+a 1+a 2+a 3,令x =-1,则(-2+3)3=a 0-a 1+a 2-a 3,相乘得(a 0+a 2)2-(a 1+a 3)2=［(a 0+a 2)+(a 1+a 3)］［(a 0+a 2)-(a 1+a 3)］=(2+3)3(-2+3)3=(-1)3=-1,选A.(2)各项二项式系数之和为33231303C C C C +++=23=8.答案:(1)A (2)8变式提升 2101093102101102...42C C C C ++++等于( )A.3×210B.3 10C.)13(219-D.)13(2110- 解析:观察结构与二项展开式结构作比较,发现1)12(2...1212)2...22(2101010108221091110101093102210110-+=++•+•=++++C C C C C C C . 所以原式=)13(2110-,选D. 答案:D类题演练 3求证:对任何自然数n ,33n -26n -1可被676整除.证明:当n =0时,原式=0,可被676整除;当n =1时,原式=0,也可被676整除;当n ≥2时,原式=27n -26n -1=(26+1)n -26n -1=(112626-•+n n n C +…+•-1n n C 262+1-n n C ·26+1)-26n -1=26n +1n C ·26n -1+…+2-n n C ·262.每一项都含262这个因数,故可被262=676整除.综上所述,对一切自然数n ,33n -26n -1可被676整除.变式提升 3(1)设(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )50=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+…+a 50x 50,则a 3为( )A.351CB.451CC.3502CD.450C(2)(1-x 3)(1+x )10的展开式中,x 5的系数是……( )A.-297B.-252C.297D.207解析:(1)(1+x )3+(1+x )4+…+(1+x )50=xx x x x x 351483)1()1()1(1])1(1[)1(+-+=+-+-+, x 3的系数a 3,即为(1+x )51展开式中x 4项的系数451C ,选B.(2)(1-x 3)(1+x )10=(1+x )10-x 3(1+x )10,∴x 5的系数为210510C C -=207,选D.答案:(1)B (2) D。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5 二项式定理》
构造思维搭载体，突破教学难点--------二项式定理教学设计与思考1、背景描述笔者最近参加了学校组织的青年教师根本功大赛，讲授了“二项式定理〞这节课，在备课过程中，收集了大量的资料，在同组老师悉心帮助下，进行了深入研究。
二项式定理为苏教版选修2-3 第一章第5节第1课时，是在计数原理之后学习的一个重要应用，然而从知识的长远来看，它是开启微分学的一把钥匙，也是对于多项式乘法和知识的开发和拓展，开拓学生的视野，了解辉煌的数学史，激发学生学习的数学兴趣。
本节课的重点是二项式的定理发现，形成过程，二项式定理的简单应用。
难点在于二项式系数的生成。
就二项式定理这一内容而言，就是一个展开式，毕业后初次遇到这个课题，笔者竟一时想不起具体的公式，然后看到了问题是=？，理性的思考了下这个问题，应该是用从特殊到一般，归纳推理的解决方案。
所以笔者就想假设干年后学生大概也是跟我相差无几，那么本节课能留给学生什么呢？我想培养学生一种解决问题的能力作为重要，所以课上的重点是二项式定理的形成过程。
对于突破二项式系数的生成这一难点，可以构造思维搭载体，帮助学生建立系数生成的过程，理解二项式系数生成的本质者打算采用探究式教学的方法，主要采用对话和引导的方式，本节课力图表达“过程〞和其中蕴含的数学思想方法，以，的展开式为知识的生长点，要得到的展开式，再加上刚学过的推理证明，学生自然会想到用特殊到一般，归纳猜测的方法，归纳猜测展开式，再加以证明。
在推测一般展开式的规律时，可以猜测说出，项数，项的结构特征，系数规律难以发现，思路受阻后，教师启发学生转换思维角度，重新审视问题，构造思维的搭载体，把观察结论的规律转换为探寻多项式乘法的形成过程规律，以为例，分析每项的产生及得到每一项的方法数，引出用组合数表示展开式各项的系数，突破教学难点，在二项式定理的发现过程中，积极调动学生的思维，留给学生充分的思维量，让学生自主发现二项式定理的形成。
2、片段实录1.创设情境激发兴趣师：恩格斯说：“牛顿由于创立了二项式定理和无限理论而创立了科学的数学。
高中数学苏教版选修2-3：1.5 第1课时 二项式定理
[例 3]
已知二项式3
x－32x10.
(1)求展开式中第 4 项的二项式系数；
(2)求展开式中第 4 项的系数．
[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第 4 项的二项式系数及第
4 项的系数．
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[精解详析]
3
x－32x10 的二项展开式的通项是
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5．求
x－ 1 4
2
8 x
的展开式中的有理项．
解：
x－ 1 4
2
8 x
的展开式的通项为
Tr＋1＝C8r (
－1
x)8－r24
r x
＝－12rCr8x16－4 必须是 4 的倍数，所以 r＝0,4,8，故共有
3 个有理项，分别是 T1＝－120C08x4＝x4，
T5＝－124C84x＝385x，T9＝－128C88x－2＝2516x2.
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1．求二项展开式特定项的一般步骤
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2.求二项展开式的特定项应注意的问题 通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求 第 r 项；②求含 xr(或 xpyq)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理 项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整 数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要 求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有 根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误． 3．二项式系数与项的系数的区别 二项式系数 Crn与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一 定为正，而项的系数有时可以为负．
1.5.二项式定理-苏教版选修2-3教案
1.5.二项式定理-苏教版选修2-3教案一、教学目标1.掌握二项式定理的定义和公式2.能熟练运用二项式定理解决实际问题3.培养学生运用二项式定理解决实际问题的能力二、教学重难点1.二项式定理的定义和公式2.应用二项式定理解决实际问题三、教学内容和方法（一）教学内容1.二项式定理的定义和公式2.二项式系数的基本性质3.应用二项式定理解决实际问题（二）教学方法1.导入新知识，激发学生的学习兴趣。
2.讲究启发式教学，培养学生自学的能力。
3.把握适当的课堂氛围，使学生生动、活泼、轻松学习。
4.多结合实例讲解，使学生感受到知识的实用性。
（三）教学流程1.导入本节课的内容是二项式定理。
请同学们思考一道数学题：（1）(x+y)2=x2+2xy+y2，其中y是多少？2.讲解提示同学们用二项式定理计算题目中的多项式。
3.巩固（1）求(a+b)2; （2）求(a−b)2。
4.练习(1)用二项式定理展开(x+y)3(2)计算(2+3)4−(2−3)45.总结二项式定理是我们在中学数学中常见的一个定理。
这个定理不仅在数学中很重要，在实际生活中也非常有用，可以解决很多生活问题。
四、教学评估1.教师观察学生在课堂上的表现、回答问题的能力和继续发展的兴趣。
2.学生提交的练习和作业。
五、教学反思1.教学方法灵活多变，要充分体现学生的听课积极性。
2.多布置练习和作业，提高学生的学习热情。
3.评估学生的学习情况，及时调整授课内容。
2018版高二数学苏教版选修2-3教案：1.5 二项式定理1
1.5二项式定理课题 1.5二项式定理解决二项展开式有关的简单问题第二课时教学目标知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点教学难点二项式定理和二项展开式的通项公式。
解决二项展开式有关的简单问题。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学过程：学生探究过程：一．复习： (a+b) n = （n ）,这个公式N ∈表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n 的 ，其中（r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开rn C 式的通项，通项是指展开式的第 项，展开式共有 个项.二．例题例1选择题（1）的展开式中，第五项是………………………………………（ ）62)x a a x(- A . B . C . D .x 15-32ax 6-x 20x 15（2）的展开式中，不含a 的项是第……………………………（ ）项153)a 1a (- A .7 B .8 C .9 D .6（3）（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（ ）A . 4032B .-4032C .126D .-126（4）若的展开式中的第三项系数等于6，则n 等于………………（ ）n )111x (- A .4 B .4或-3 C .12 D .3（5）多项式(1-2x)5(2+x)含x 3项的系数是………………………… ………（ ）A .120B .-120C .100D .-100例2.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x 2的系数.例3.求二项式的展开式中的有理项.73)213(+例4.二项式的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数.n 4)x 1x x (+巩固练习：1. 展开式中第9项是常数项，则n 的值是………………… （ ）n )22x 3(- A.13 B.12 C.11 D.102.的展开式中的整数项是…………………………………（ ）2475)53(+ A.第12项 B. 第13项 C. 第14项 D. 第15项3. 在(x 2+3x+2)5的展开式中，x 的系数为…………………………（ ）A .160B .240C .360D .8004.(1-x)5(1+x+x 2)4的展开式中，含x 7项的系数是 .5. 展开式的常数项是 .3)2|x |1|x (|-+课外作业：第36页 习题1.5 4， 5，6教学反思：二项式定理是指 +++++=+---r r n r n n n n n n n b ab a b a a b a C C C )(22211这样一个展开式的公式.它是(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3…等等n nn b C +展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得y =x n 的导数公式y ′=nx n －1，同时=e ≈2.718281…也正是由二项式定理的展开规律所确定，而e 在高等n n n)11(lim +∞→数学中的地位更是举足轻重，概率中的正态分布，复变函数中的欧拉公式e iθ=cos θ+i sin θ，微分方程中二阶变系数方程及高阶常系数方程的解由e 的指数形式来表达.且直接由e 的定义建立的y =ln x 的导数公式y =与积分公式=d x ln x +c 是分x 1⎰x1析学中用的最多的公式之一.而由y =x n 的各阶导数为基础建立的泰勒公式；f (x )=f (x 0)+(x －x 0)2+…(x －x 0)!1)(0x f '!)(0n x f n n +(θ∈(0，1))以及由此建立的幂级数理论，更1000)1()()!1()]([++-+-⋅+n n x x n x x x f θ是广泛深入到高等数学的各个分支中.怎样使二项式定理的教学生动有趣正因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调，课本上先给出一个(a +b )4用组合知识来求展开式的系数的例子.然后推广到一般形式，再用数学归纳法证明，因为证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力，又怎能发挥主体作用？怎样才能使得在这节课上学生获得主动？采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事实.而MM 教育方式即数学方法论的教育方式却能根据习题理论注意到充分利用数学方法与数学技术把所要证明或计算的形式变换得十分简洁，心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各体之间的相互作用”1］只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解.MM 教育方式遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”2］在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用.。
苏教版数学高二选修2-3学案 1.5《二项式定理》一
1.5 二项式定理
教学目标
掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项式有关的简单问题。
教学重点: 二项式定理和二项展开式的通项公式
教学难点: 解决与二项式有关的问题
一、问题情境
由多项式的乘法法则可以知道：
,2)(222b ab a b a ++=+
3223333)(b ab b a a b a +++=+，
.464)(4322344b ab b a b a a b a ++++=+
问题：你能写出)()(*
N n b a n ∈+的展开式吗？
学生活动
展开讨论，寻求解决问题的思路.
二、新课讲解
1．探求发现n
b a )(+的展开式的形成方法.
2.二项式定理及相关概念
3.二项式定理的通项公式
三、典型例题
例1 展开下列各式：
（1）;)(6b a - （2）4)11(x +
.
课堂练习:写出5)1(x +的展开式.
例2．求7)21(x +的展开式中第4项的二项式系数和系数.
课堂练习:课本.5,4,3,2.32P
例3．求6)21(x
x -
的二项展开式中的常数项.
课堂练习:求6)1(x x +的展开式中的常数项.
例4 已知n x x x )2
(3+展开式的前三项系数和为129,这个展开式中是否含有常数项?
一次项?若没有,请说明理由;若有,请求出来.
四、课堂总结。
苏教版高中数学选修2-3 1.5.1 二项式定理课件(31张)
1.5.1 二项式定理
11
跟踪训练 1 (1)展开(2 x＋ 1x)6； 解 (2 x＋ 1x)6＝x13(2x＋1)6 ＝x13[C60(2x)6＋C16(2x)5＋C26(2x)4＋C63(2x)3＋C46(2x)2＋C56(2x)＋C66] ＝64x3＋192x2＋240x＋160＋6x0＋1x22 ＋x13.
1.5.1 二项式定理
18
题型三 二项展开式通项的应用
例 3 若( x＋ 1 )n 展开式中前三项系数成等差数列，求： 24 x
(1)展开式中含 x 的一次项；
解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12，
即n2－9n＋8＝0，解得n＝8，或n＝1(舍去).
1.5.1 二项式定理
19
Tr＋1＝Cr8(
解 C37＝C47＝35，所以第 4 项与第 5 项的二项式系数等于 35.
1.5.1 二项式定理
17
(2)x－1x9 的展开式中，含有 x6 项吗？若有，系数为多少？含
有 x5 项吗？若有，系数为多少？ 解 根据通项(－1)rCr9x9－2r，当 9－2r＝6 时，r 无整数解； 当9－2r＝5时，解得r＝2，所以系数为36. 所以展开式中，不含x6项，含有x5项，系数为36.
＝x12(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
1.5.1 二项式定理
9
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1). 解 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45 (x－1)＋C55－1＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
高中数学苏教版选修2-3第1章《计数原理》(1-5-1)ppt课件
＋
C
2 5
(2x)3·－23x2
2
＋
C
3 5
(2x)2·－23x2
3
＋
C
4 5
(2x)－23x24＋C55－23x25 ＝32x5－120x2＋18x0－1x345＋480x57 －3224x310.
法二
2x－23x2
5＝
4x3－35 32x10
1．5 二项式定理
1．5.1 二项式定理
【课标要求】
1．能熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项(如常 数项、有理项等)．
2．能正确区分“项”、“项的系数”和“二项式系数” 等概念．
【核心扫描】
1．二项式定理，掌握通项公式．(重点)
2．用二项式定理进行有关的计算和证明．(难点)
自学导引 1．二项式定理
＝
1 32x10
[C
0 5
(4x3)5＋C
1 5
(4x3)4(－3)＋C
2 5
(4x3)3·(－3)2＋C
3 5
(4x3)2·(－3)3＋C
4 5
(4x3)(－3)4＋C
5 5
(－3)5]＝
1 32x10
(1
024x15－3 840x12＋5 760x9－4 320x6＋1 620x3－243)＝32x5－120x2
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
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规律方法 熟练掌握二项式(a＋b)n的展开式，是解答好
与二项式有关问题的前提条件．当二项式较复杂时，可 先将式子化简，然后再展开．
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5.1 二项式定理》93
二项式定理（1）一、学习目标1、掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式；2、会利用二项展开式及通项公式解决有关问题；本课重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用；本课难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用。
二、教学过程今天是星期一，今天后的第8天是星期几？今天后的第1008天是星期几？分析：解决这个问题，关键解决100(71)+ 展开式是什么？为了研究这个问题，我们先来研究一般情形：()*,n a b n N +∈ ，它的展开式是什么？1、我们学过类似的公式吗？有哪些？在初中，我们已经学过了ab 1=abab 2=a 22abb 2ab 3＝ab 2ab ＝a 33a 2b3ab 2b 32、在已有公式的基础上，我们如何研究一般公式呢？请给出你的研究方案（流程）。
S1：研究n=1，2，3时，展开式的规律S2：推广至一般情形观察下列二项式展开式，它们有哪些相同点？哪些不同点？ab 1=abab 2=a 22abb 2ab 3＝ab 2ab ＝a 33a 2b3ab 2b 3所以，可得研究目标：①展开式里会有哪些项？②各项的系数是什么？1、对ab2展开式进行分析:研究目标：①展开式里有哪些项？为什么？a2 ,ab,b2②各项的系数是什么？为什么？因为每个都不取b的情况有1种,即C2021所以a2的系数为C2021因为恰有1个取b的情况有C21种，所以ab的系数为C21;因为恰有2个取b的情况有C22种，所以b2的系数为C22;故ab2 ＝ C20212＋C21 ab＋ C22b22、对ab3展开式进行分析:研究目标：①展开式里有哪些项？为什么？a3 ,a2b,ab2, b3②各项的系数是什么？为什么？因为每个都不取b的情况有1种,即C30 ,所以a3的系数为C30;因为恰有1个取b的情况有C31种，所以a2b的系数为C31;因为恰有2个取b的情况有C32种，所以ab2的系数为C32;因为恰有3个取b的情况有C33种，所以b3的系数为C33;故ab3 ＝ C30a3＋C31 a2b＋ C32ab2 ＋ C33b33、尝试对ab4展开式进行分析:研究目标：①展开式里有哪些项？为什么？a4 ,a3b, a2b2,ab3, b4②各项的系数是什么？为什么？因为每个都不取b的情况有1种,即C40 ,所以a4的系数为C40;因为恰有1个取b的情况有C41种，所以a3b的系数为C41;因为恰有2个取b的情况有C42种，所以a2b2的系数为C42;因为恰有3个取b的情况有C43种，所以ab3的系数为C43;因为恰有4个取b的情况有C44种，所以b4的系数为C44ab4 ＝ C40a4＋C41 a3b＋ C42a2b2 ＋ C43ab3 ＋C44 b44、对ab n展开式进行分析:研究目标： ①展开式里有哪些项？为什么？ a n , a n -1b , a n-2b 2, …,b n ②各项的系数是什么？为什么？ 因为每个都不取b 的情况有1种,即C n 0 ,所以a n 的系数为C n 0; 因为恰有1个取b 的情况有C n 1 种，所以a n-1b 的系数为C n 1;因为恰有2个取b 的情况有C n 2 种，所以 a n-2b 2的系数为C n 2;… … … … …因为恰有n 个取b 的情况有C n n 种，所以b 4的系数为C n n∴ ab n =0n C a n 1n C a n-1b …r n C a n-r b r …n n C b n n ∈N指出：这个公式叫做二项式定理，通项为：1+r T =rn C a n-r b r系数：依次为0n C ，1n C ，2n C ，…r n C ，…n n C ，其中r n C r ＝0，1，2，…n 称为二项式系数； 它的特点：1．项数：共有n1项； 2 指数：a n-r ·b r 指数和为n ，a 的指数依次从n 递减到0，b 的指数依次从0递增到n 。
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-3导学案 1.5 二项式定理
1.5 二项式定理1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共n＋1项，其中C rna n－rb r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r.C rn(r＝0,1，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．预习交流1你是如何理解和记忆二项式定理的？提示：二项式定理是一个恒等式，左边是二项式幂的形式，右边是二项式的展开式，各项的次数都等于二项式的幂的次数为n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n.2．二项式系数的性质及应用一般地，(a＋b)n展开式的二项式系数C0n，C1n，…，C n n有如下性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋C m－1n＝C m n＋1；③当r＜n－12时，C rn＜C r＋1n，当r＞n－12时，Cr＋1n＜C rn；④C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.预习交流2如何说明C0n－C1n＋C2n－C3n＋…＋(－1)n·C n n＝0.提示：利用赋值法，令公式中的a＝1，b＝－1，展开就会得到上式．一、二项式定理求⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4的展开式． 思路分析：直接利用二项式定理展开，注意每一项都符合通项公式，也可先将原式变形后再展开．解：解法一：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4⎝⎛⎭⎫1x 0＋C 14(3x )3⎝⎛⎭⎫1x 1＋C 24(3x )2⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 34(3x )⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 44(3x )0⎝⎛⎭⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 解法二：⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x ＋1)4x 2＝1x 2(81x 4＋108x 3＋54x 2＋12x ＋1)＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x2. 求二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10的展开式中的常数项． 解：设第r ＋1项为常数项，则10C r(x 2)10－r ·⎝⎛⎭⎫12x r ＝10C r 5202r x -·⎝⎛⎭⎫12r (r ＝0,1，…，10)， 令20－52r ＝0得r ＝8，所以第9项为常数项，常数项为C 810⎝⎛⎭⎫128＝45256. 利用二项式定理求展开式中某特定项，通常的做法是先确定通项公式中的r 的值或取值范围，但要注意区分二项式系数、项的系数及项的关系．二、二项式系数的性质及应用如果(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝__________.思路分析：比较展开式与a 1＋a 2＋…＋a 7结构，会发现当x ＝1时，含有a 1＋a 2＋…＋a 7，即(1－2)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，从而只要知道a 0即可．答案：－2解析：令x ＝0得(1－2×0)7＝a 0，∴a 0＝1.再令x ＝1，则有(1－2×1)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7，∴a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1.∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1－a 0＝－1－1＝－2.设(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012x 2 012(x ∈R )．(1)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011的值．(2)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 012|的值．解：(1)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012.①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.②由①②，得2(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011)＝1－32 012，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122. (2)∵T r ＋1＝2012C r 12 012－r ·(－2x )r ＝(－1)r 2012C r(2x )r ，∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N *)．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012.求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值需根据展开式系数的特征来定，一般地，多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 的各项系数和为f (1)，奇数项系数和为f (1)－f (－1)2，偶数项系数的和为f (1)＋f (－1)2.1．⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值为__________． 答案：5解析：T r ＋1＝C r n (2x 3)n －r ⎝⎛⎭⎫1x 2r ＝2n －r ·C r n ·x 3n －5r . 令3n －5r ＝0，又∵0≤r ≤n ，r ，n ∈Z ，∴n 的最小值为5.2．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是__________．答案：2解析：(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x ＋12x ＋8x x )(1－3x )5，故(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中含x 的项为1×C 35(－3x )3＋12x C 05＝－10x ＋12x ＝2x .3．⎝⎛⎭⎫x ＋a x 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于__________． 答案：2解析：T r ＋1＝5C r x r ⎝⎛⎭⎫a x 5－r ＝5C r a 5－r x 2r －5，令2r －5＝3， ∴r ＝4.∴C 45·a ＝10，解得a ＝2.4．在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有多少项？ 解：T r ＋1＝20C r (32x )20－r ⎝⎛⎭⎫－12r ＝⎝⎛⎭⎫－22r ·(32)20－r ·20C r ·x 20－r . ∵系数为有理数，∴(2)r 与2032r-均为有理数．∴r 能被2整除，且20－r 能被3整除．∴r 为偶数，20－r 是3的倍数，0≤r ≤20，∴r ＝2,8,14,20，∴符合题意的有4项．5．m ，n ∈N *，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 展开式中x 的系数为19，求x 2的系数的最小值及此时展开式中x 7的系数．解：由题设知m ＋n ＝19，∵m ，n ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝18，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝17，…⎩⎪⎨⎪⎧m ＝18，n ＝1. x 2的系数为C 2m ＋C 2n ＝12(m 2－m )＋12(n 2－n )＝m 2－19m ＋171. ∴当m ＝9或10时，x 2的系数取最小值81，此时x 7的系数为C 79＋C 710＝156.。
高二数学 教案 1.5.1 二项式定理学案苏教版_选修2-3
§1.5.1 二项式定理 编写：季其梅 审核：黄爱华一、知识要点1.二项式定理：2.通项：3.二项式系数与项的系数：二、典型例题例1.展开下列各式：⑴6()a b ⑵411x例2.求7(12)x 的展开式中第4项的二项式系数和系数.例3.求612xx 的二项展开式中的常数项.例4.已知在333nx x 的展开式中，第6项为常数项. ⑴求n ；⑵求含2x 的项的系数；⑶求展开式中所有的有理项.三、巩固练习1.5(1)x 的展开式为 . 2.7(2)x y 的展开式中第3项的二项式系数是 ，第3项的系数为 .3.写出39(2)xx 的展开式第k 项(110,k k N ≤≤)为 . 4.6(12)x 的展开式中含2x 的项为 . 5.2101()2x x的展开式中的常数项为 .四、课堂小结五、课后反思六、课后作业1.4(2)x展开式中2x 项的系数为 . 2.45(1)(1)x x 的展开式中，含3x 的项的系数是 . 3.在10()x a 展开式中，7x 项的系数是15，则实数a = . 4.化简432(1)4(1)6(1)4(1)xx x x = . 5.921x x的展开式中的常数项为 . 6.若5(12)x 的展开式中，第2项小于第1项，且不小于第3项，则x 的取值范围是 . 7.5(2)(12)x x 展开式中，含3x 项的系数为 .8.若()n ab 的展开式中的第3项与第5项的系数相等，求212n x x 展开式中3x 的系数.9.二项式341n x x 的展开式中第2，3，4项的二项式系数成等差数列，求展开式中的常数项.10.求8412x x 展开式中的所有的含x 的有理项.订正栏：。
江苏省高二数学苏教版选修2-3教学案：第1章6二项式定理
江苏省泰兴中学高二数学讲义（72）二项式定理教学目标：1．掌握二项式定理及二项展示式的通项公式；2．会利用二项展开式及通项公式解决有关问题.问题引入：如何展开(),,1n a b n N n +∈>？1.“从头做起”，2,3,4n n n ===，2()a b += ，3()a b += ，4()a b += ， 能归纳出()n a b += 吗？2.“从通法入手”，有没有一般方法？数学建构：二项式定理二项式系数、通项、展开式系数典型例题：例1、（1）展开 4)11(x + （2）化简：66+ （3）设716256777(1)(1)(1)(1)1S x C x C x C x =-+-+-++-+K ，求7x S -.例2、求12)(a x +的展开式中的第4项和倒数第4项.例3、（1）求7)21(x +的展开式的第4项的系数和第4项的二项式系数.（2）求24)1(xx -的展开式中4x 的系数. 选讲：（1）求52)1()1(x x -+展开式中3x 的系数；（2）求25(32)x x -+的展开式中2x 的系数.课堂小结：1、 二项式较复杂时，可先将式子化简，然后展开；2、 用展开式的通项公式求给定项，要弄清共有多少项，所求的第几项，相应的r 是多少；3、区分二项式系数和展开式系数；4、利用通项公式求特定的项.江苏省泰兴中学高二数学课后作业（72）班级：_______ 姓名：____________ 学号：1．100)(y x -的展开式共有___ __项，第二项的二项式系数是 ，系数是 2．6)12(x x -的展开式中，常数项是__________3.设1)1(4)1(6)1(4)1(234+-+-+-+-=x x x x T ，则T= ____________4.72)21(xx -的展开式中4x 项是第_____项，该项的二项式系数是 ，系数是 5.若5)21(x -的展开式中的第二项小于第一项，但不小于第三项，则实数x 的取值范围是____________6.在55和555之间，插入n 个数构成等差数列，假如插入的最后一个数等于15)1(xx +展开式的3x 的系数，那么=n ___________ 7.已知n x x )1(32+的展开式的第三项与第二项的系数之比为2:11，则_____=n 8.求二项式92)321(x x-的展开式的第四项与倒数第三项.9.化简 （1）55)1()1(x x -++（2）4212142121)32()32(----+x x x x10.在n 的展开式的中，前三项的系数成等差数列，求展开式中x 的一次项.11.设n x x )32(-展开式中，第2项的系数与第4项的系数之比为45:4，试求2x 项的系数.。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学选修2-3 1.5.1 二项式定理》
二项式定理一、教学目标：1．知识技能：〔1〕理解二项式定理是代数乘法公式的推广；〔2〕理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。
2．过程与方法通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。
3．情感、态度、价值观培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨；二、教学重点、难点重点：用计数原理分析的展开式得到二项式定理。
难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律。
授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要根底．这局部知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的根底．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比拟抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的时机让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的时机，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的开展和创造意识，以使他们能在再创造的气氛中学习教学过程：一、复习引入：由牛顿引出二项式定理得由来，沿着大数学家牛顿的足迹，重温了他探究和发现二项式定理的过程。
牛顿究竟是如何发现二项式定理的呢？让我们一起回1664年冬，22岁的牛顿在研读沃利斯博士的?无穷算术?时，引发了许多思考…1学生计算以下式子⑴；⑵⑶，2、引导学生观察、的展开式，发现规律。
苏教版高中数学选修2-3 1.5.1 二项式定理 学案
1．5.1二项式定理[对应学生用书P19]问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：展开式中的项数是n＋1项，每一项的次数为n.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：因(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式乘法法则知，从四个a＋b中选a 或选b是任意的．若有一个选b，则其余三个都选a，其方法有C14种，式子为C14a3b；若有两个选b，则其余两个选a，其方法有C24种，式子为C24a2b2.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.1．二项式定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)，叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，它一共有n＋1项．2．二项展开式的通项C r n a n－r b r叫做二项展开式的第r＋1项(也称通项)，用T r＋1表示，即T r＋1＝C r n a n－r b r.3．二项式系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做第r＋1项的二项式系数．1．(a＋b)n中，n∈N*，a，b为任意实数．2．二项展开式中各项之间用“＋”连接．3．二项式系数依次为组合数C0n，C1n，…，C r n，…，C n n.4．(a＋b)n的二项展开式中，字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐次减1直到0；字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐次加1直到n.[对应学生用书P19][例1] (1)(a ＋2b )4；(2)⎝⎛⎭⎫2x －32x 25. [思路点拨] 可直接利用二项式定理展开，对于(2)也可以先化简再展开． [精解详析] (1)根据二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n，得(a ＋2b )4＝C 04a 4＋C 14a 32b ＋C 24a 2(2b )2＋C 34a (2b )3＋C 44(2b )4＝a 4＋8a 3b ＋24a 2b 2＋32ab 3＋16b 4.(2)法一：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝⎛⎭⎫－32x 2＋ C 25(2x )3⎝⎛⎭⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝⎛⎭⎫－32x 23＋C 45(2x )·⎝⎛⎭⎫－32x 24＋C 55⎝⎛⎭⎫－32x 25 ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.法二：⎝⎛⎭⎫2x －32x 25＝(4x 3－3)532x 10＝132x 10[C 05(4x 3)5＋ C 15(4x 3)4·(－3)＋…＋C 45(4x 3)·(－3)4＋C 55·(－3)5] ＝132x10(1 024x 15－3 840x 12＋5 760x 9－4 320x 6＋1 620x 3－243) ＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x10.[一点通] 形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．含负号的二项展开式形如(a －b )n 的展开式中会出现正负间隔的情况．1．写出(1＋2x )4的展开式．解：(1＋2x )4＝C 04×14×(2x )0＋C 14×13×(2x )1＋C 24×12×(2x )2＋C 34×11×(2x )3＋C 44×10×(2x )4＝1＋8x ＋24x 2＋32x 3＋16x 4. 2．求⎝⎛⎭⎫x －12x 4的展开式． 解：法一：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝C 04()x 4－C 14()x 3·12x＋C 24(x )2·⎝⎛⎭⎫12x 2－C 34x ·⎝⎛⎭⎫12x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2. 法二：⎝⎛⎭⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x2(2x －1)4＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.[例2] 已知二项式⎝⎭⎫x 2＋12x 10.(1)求展开式中的第5项； (2)求展开式中的常数项．[思路点拨] (1)直接利用通项公式求解；(2)利用通项公式T r ＋1＝C r na n －rb r ⎝⎛⎭⎫a ＝x 2，b ＝12x ，设第r ＋1项为常数项，令x 的指数等于0即可求出r .[精解详析] (1)⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 10的展开式的第5项为T 5＝C 410·(x 2)6·⎝⎛⎭⎫12x 4 ＝C 410·⎝⎛⎭⎫124· x 12·⎝⎛⎭⎫1x 4＝1058x 10. (2)设第r ＋1项为常数项，则T r ＋1＝C r 10·(x 2)10－r ·⎝⎛⎭⎫12x r＝C r 10·x 20－52r ·⎝⎛⎭⎫12r(r ＝0,1,2，…，10)， 令20－52r ＝0，得r ＝8，所以T 9＝C 810·⎝⎛⎭⎫128＝45256， 即第9项为常数项，其值为45256.[一点通](1)二项展开式的通项T r ＋1＝C r n an －r b r表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，通项T r ＋1依赖于r ，公式中的二项式的第一个量a 与第二个量b 的位置不能随便交换，且它们的指数和一定为n .(2)利用二项式的通项公式求二项展开式中具有某种特征的项是关于二项式定理的一类典型题型．常见的有求二项展开式中的第r 项、常数项、含某字母的r 次方的项等．其通常解法就是根据通项公式确定T r ＋1中r 的值或取值范围以满足题设的条件．3．(x －2y )6 展开式中的第4项为________．解析：由二项展开式的通项得，(x －2y )6展开式中的第4项为C 36x6－3·(－2y )3＝－160x 3y 3. 答案：－160x 3y 34．二项式⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为________． 解析：二项展开式的通项是T r ＋1＝C r n x3n－3r x－2r＝C r n x3n－5r，令3n －5r ＝0，得n ＝5r3(r ＝0,1,2，…，n )，故当r ＝3时，n 有最小值5.答案：55．求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项．解：⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4(r ＝0,1,2，…，8)， 为使T r ＋1为有理项，r 必须是4的倍数，所以r ＝0,4,8，故共有3个有理项，分别是T 1＝⎝⎛⎭⎫－120C 08x 4＝x 4， T 5＝⎝⎛⎭⎫－124C 48x ＝358x ，T 9＝⎝⎛⎭⎫－128C 88x －2＝1256x 2.[例3] 已知二项式⎝⎭⎫3x －23x 10. (1)求展开式中第4项的二项式系数； (2)求展开式中第4项的系数．[思路点拨] 利用二项式的通项直接求第4项的二项式系数及第4项的系数． [精解详析] ⎝⎛⎭⎫3x －23x 10的二项展开式的通项是 T r ＋1＝C r 10()3x 10－r ·⎝⎛⎭⎫－23x r (r ＝0,1，…，10)． (1)第4项的二项式系数为C 310＝120. (2)第4项的系数为C 31037⎝⎛⎭⎫－233＝－77 760. [一点通] 要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C r n ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．6．(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中，x 2的系数等于________．解析：x 2的系数是四个二项展开式中4个含x 2的系数和，则有－C 02(－1)0＋C 13(－1)1－C 24(－1)2＋C 35(－1)3＝－(C 02＋C 13＋C 24＋C 35)＝－20.答案：－207．在二项式(1－x 2)20的展开式中，第4r 项和第r ＋2项的二项式系数相等，则r ＝________.解析：第4r 项与第r ＋2项的二项式系数分别为C 4r －120和C r ＋120，由题设得C 4r －120＝C r ＋120.由组合数性质得4r －1＝r ＋1或4r －1＝20－(r ＋1)． 4r －1＝r ＋1没有整数解．由4r －1＝20－(r ＋1)，得r ＝4，所以r ＝4. 答案：48．求(2x 2＋1x)9的展开式中第3项的二项式系数及第4项的系数．解：通项公式为T r ＋1＝C r 9(2x 2)9－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝29－r ·C r 9x 18－3r，故第3项的二项式系数为C 29＝36，第4项的系数为 26C 39＝5 376.1．求二项展开式特定项的一般步骤2.求二项展开式的特定项应注意的问题通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第r 项；②求含x r (或x p y q )的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．3．二项式系数与项的系数的区别二项式系数C r n与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可以为负．。
精品课件：数学苏教选修2-3第1章1.5.1
学习目标
课前自主学案
1.5.
1
课堂互动讲练
知能优化训练
学习目标
1.理解并掌握二项式定理的项数、系数、二项 式系数、通项的特征，熟记它的展开式． 2．能够运用展开式中的通项求展开式中的特 定项．
课前自主学案
温故夯基
1．(a＋b)2＝____a_2＋__2_a_b_＋__b_2______. 2．(a＋b)3＝__a_3_＋__3_a_2_b_＋__3_a_b_2＋__b_3_____.
例2 (本题满分 14 分)求( x－3 x)9 展开式中的 有理项．
【思路点拨】 写通项 → 化简
→ 令x的指数为整数 → 求r的值 → 写出各项 【规范解答】 二项式的展开式的通项 Tr＋1＝C9r x129－r－x13r ＝(－1)rC9rx276－r.4 分 令276－r∈Z，
且 r＝0,1,2，…，9. 得 r＝3 或 r＝9.8 分 当 r＝3 时，T4＝(－1)3C39x4 ＝－84x4. 当 r＝9 时，T10＝(－1)9C99x3＝－x3.12 分
例3 化简：1－2C1n＋4C2n－8C3n＋…＋(－2)nCnn.
【思路点拨】 共有n＋1项，(－2)按升幂排列 符合二项式定理形式． 【解】 原式＝C0n＋C1n(－2)1＋C2n(－2)2＋C3n (－2)3＋…＋Cnn(－2)n＝(1－2)n＝(－1)n. 【名师点评】 对于这类问题，从项数、幂的 变化规律，判断是否符合二项式定理．
2
x2
1x2＋C342
x1
1x3＋C442
x0· 1x4＝16x2＋
32x＋24＋8x＋x12.
法二：2
x＋ 1x4＝2x＋x 14＝x122x＋14
苏教版高中数学选修2-3课件 1.5.1 二项式定理课件1
名师点睛 二项式定理 (1)运用二项式定理一定要牢记通项Tr＋1＝Crnan－rbr，Tr＋1表示的是 第r＋1项，而非第r项．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们 展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外 二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概 念，前者只指Crn，而后者是字母外的部分． (2)应用通项公式特别注意符号问题，要将通项中的系数和字母分 离开来，以便解决有关问题．
课前探究学习
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2．与二项式定理有关的概念及公式
பைடு நூலகம்
(1)各项的系数C
r n
(r∈{0,1,2，…，n})叫做
二项式系数，它与某项
的系数是 不同的 ．
(2)(a＋b)n的展开式的通项公式为Tr＋1＝Crnan－rbr， 这里r＝0,1,2，…，n，而(b＋a)n的展开式的通项公式为
Tr＋1＝Crnbn－rar. (3)二项展开式有以下特征： ①共有 n＋1 项；
解
(1)(2＋x)n的展开式中第三项的二项式系数为C
2 n
，由C
2 n
＝
3，得nn－ 2 1＝3，即n2－n－6＝0，
解之得n＝3或n＝－2(舍去)．
(2)在二项展开式中通项公式为：
Tr＋1＝Cr5(ax)r＝Cr5arxr，令r＝3， 得x3的系数为C53a3， 由C35a3＝－80，得a＝－2.
②各项的次数都等于二项式的次数 n ；
③字母a按降幂排列，次数由 n 递减到 0 ；字母b按升幂排列，次
数由 0 递增到 n .
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想一想 二项式定理中将(a＋b)n中的a与b交换后通项公式相同吗？ 提示 (a＋b)n与(b＋a)n展开式中的通项公式不同．
2019-2020学年苏教版选修2-3 1.5.1 二项式定理 学案
1．5 二项式定理 1．5.1 二项式定理1.理解二项式定理的内容及有关概念．2.理解二项式定理的推导过程． 3．掌握二项展开式的项数、系数、二项式系数、通项的特征及运用．二项式定理二项式定理概念 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n an －r b r ＋…＋C n n b n(n ∈N *)称为二项式定理系数 各项的系数C r n (r ＝0，1，2，…，n )通项 C r n an －r b r 是展开式中的第 r ＋1项， 可记作T r ＋1＝C r n ·an －r·b r 二项展 开式C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n nb n 备注：在二项式定理中，如果令a ＝1，b ＝x ，则得到公式(1＋x )n ＝1＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a ＋b )n 展开式中共有n 项．( )(2)在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( )(3)C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( ) (4)(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2.⎝⎛⎭⎫x －1x 16的二项展开式中，第4项是( ) A ．C 216x 12 B ．C 316x 10 C ．－C 316x 10D ．C 416x 8答案：C3．(1＋2x )5的展开式的第三项的系数为________，第三项的二项式系数为________． 答案：40 10求二项展开式求⎝⎛⎭⎫2x －1x 25的展开式． 【解】 法一：⎝⎛⎭⎫2x －1x 25＝C 05(2x )5－C 15(2x )4·1x2＋C 25(2x )3·⎝⎛⎭⎫1x 22－C 35(2x )2·⎝⎛⎭⎫1x 23＋C 45(2x )·⎝⎛⎭⎫1x 24－C 55·⎝⎛⎭⎫1x 25＝32x 5－80x 2＋80x －40x 4＋10x 7－1x10.法二：⎝⎛⎭⎫2x －1x 25＝⎣⎡⎦⎤1x 2（2x 3－1）5＝－1x 10(1－2x 3)5 ＝－1x 10[1－C 15(2x 3)＋C 25(2x 3)2－C 35(2x 3)3＋C 45(2x 3)4－C 55(2x 3)5]＝－1x 10＋10x 7－40x 4＋80x－80x 2＋32x 5.在展开二项式之前，根据二项式的结构特征进行适当的变形，可使展开多项式的过程得到简化．例如求(1－x )5·(1＋x ＋x 2)5的展开式，可将原式变形为(1－x 3)5，再展开较为简便．1.求⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 4的展开式．解：法一：直接利用二项式定理展开并化简：⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 4＝C 04(2x )4⎝⎛⎭⎫1x 0＋C 14(2x )3·⎝⎛⎭⎫1x 1＋C 24(2x )2⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 34(2x )1⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 44(2x )0·⎝⎛⎭⎫1x 4＝16x 2＋32x ＋24＋8x ＋1x 2.法二：⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 4＝1x 2(2x ＋1)4＝1x 2[C 04(2x )4＋C 14(2x )3＋C 24(2x )2＋C 34(2x )1＋C 44(2x )0] ＝1x 2(16x 4＋32x 3＋24x 2＋8x ＋1) ＝16x 2＋32x ＋24＋8x ＋1x2.二项式定理的逆用设n ∈N *，则C 1n ＋C 2n ·6＋C 3n ·62＋…＋C n n ·6n －1＝________．【解析】 C 1n ＋C 2n ·6＋…＋C n n ·6n －1 ＝16(C 1n ·6＋C 2n ·62＋…＋C n n ·6n ) ＝16(C 0n ＋C 1n ·6＋C 2n ·62＋…＋C n n ·6n －1) ＝16[(1＋6)n －1]＝16(7n －1)． 【答案】 16(7n －1)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．2.化简：1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C n n .解：原式＝C 0n ＋C 1n (－2)1＋C 2n (－2)2＋C 3n (－2)3＋…＋C n n (－2)n ＝(1－2)n ＝(－1)n .求二项展开式中的特定项或其系数已知⎝⎛⎭⎫x －2x n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： (1)n 的值．(2)展开式中含x 3的项.【解】 (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2(－2x )2＝4C 2n x n －62，T 2＝C 1n (x )n －1(－2x ) ＝－2C 1n xn －32，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162， 所以2C 2n ＋C 1n ＝81，所以n 2＝81，n ＝9. (2)设第r ＋1项含x 3项， 则T r ＋1＝C r 9(x )9－r ·(－2x)r ＝(－2)r C r 9x9－3r2，所以9－3r 2＝3，r ＝1，所以第二项为含x 3的项：T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3.1．在本例条件下，求二项展开式的常数项． 解：因为T r ＋1＝(－2)r C r9x 9－3r 2，若T r ＋1为常数项，则9－3r ＝0，所以r ＝3，因此常数项为第4项(－2)3C 39＝－672.2．在本例条件下，求二项展开式的所有有理项． 解：因为T r ＋1＝(－2)r C r 9x9－3r2，若T r ＋1为有理项，当且仅当9－3r2为整数．因为0≤r ≤9，r ∈N ，所以r ＝1，3，5，7，9，即展开式中的有理项共5项，它们是T 2＝－18x 3，T 4＝－672，T 6＝－4 032x 3，T 8＝－4 608x 6，T 10＝－512x9.(1)求二项展开式特定项的步骤(2)正确区分二项式系数与该项的系数二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关．3.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 6的展开式中x 3的系数为________．(用数字作答)解析：T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 6x 12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3，所以C 36＝20. 答案：201．二项式展开式的特点(1)项数：共有n＋1项．(2)二项式系数：依次为组合数C0n，C1n，C2n，…，C k n，…，C n n.(3)每一项的次数是一样的，都为n次，展开式依a的降幂、b的升幂排列．2．对通项公式的四点说明(1)通项T k＋1＝C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，这里k＝0，1，…，n.(2)二项式(a＋b)n的第k＋1项C k n a n－k b k和(b＋a)n的展开式的第k＋1项C k n b n－k a k是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的．(3)注意二项式系数C k n与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．(4)通项公式是在(a＋b)n这个标准形式下而言的，如(a－b)n的二项展开式的通项公式是T k＋1＝(－1)k C k n a n－k·b k(只需把－b看成b代入二项式定理)，这与T k＋1＝C k n a n－k·b k是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的，都是C k n，但项的系数一个是(－1)k C k n，一个是C k n，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念．设(x－2)n的展开式中，第三项的系数为6，试求含x2的项．【解】展开式的第三项为：T3＝C2n x n－2(－2)2，由C2n(－2)2＝6，得n＝3或n＝－2(舍去)，设(x－2)3的展开式中含x2的项为第r＋1项，则T r＋1＝C r3x3－r·(－2)r，由3－r＝2，得r＝1，所以展开式中含x2的项为：C13x2(－2)1＝－32x2.(1)二项式展开式中第三项的二项式系数与第三项的系数不同．(2)①在二项式定理中，展开式的通项公式是一个核心内容，是高考命题的一个重要着眼点；由通项公式求展开式中的特定项是高考中比较固定的一种题型．解题中对展开式中的“项”“项的系数”“二项式系数”，指数运算法则、组合数的计算、项的符号等这些细节中的任何一个都要注意，不能出错．②使用二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r(r＝0，1，2，…，n)时一定要注意：a．通项公式表示的是第“r＋1”项，而不是第“r”项；b ．通项公式中a 和b 的位置不能颠倒；c ．展开式中第r ＋1项的二项式系数C r n 与第r ＋1项的系数在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出差错．1．S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3，则S 等于( ) A ．x 4 B ．x 4＋1 C ．(x －2)4D ．x 4＋4解析：选 A.S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44＝[(x －1)＋1]4＝x 4，故选A. 2.⎝⎛⎭⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D.展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(x 2)n －r ·(－1)r ·(x －1)r ＝(－1)r ·C r n·x 2n －3r . 令2n －3r ＝0，得n ＝32r (n ，r ∈N *)，若r ＝2，则n ＝3不符合题意，若r ＝4，则n ＝6， 此时(－1)4·C 46＝15，所以n ＝6.3．在⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 5的二项展开式中，x 的系数为________． 解析：二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r⎝⎛⎭⎫－1x r＝C r 525－r x 10－3r (－1)r ， 令10－3r ＝1，解得3r ＝9，r ＝3，所以T 4＝C 3522x (－1)3＝－40x ，所以x 的系数为－40.答案：－404．(1＋x )2·(1－x )5的展开式中含x 3的项是________．解析：法一：(1＋x )2·(1－x )5＝(1－x 2)2(1－x )3＝(1－2x 2＋x 4)·(1－3x ＋3x 2－x 3)，所以x 3的系数为1×(－1)＋(－2)×(－3)＝5.故含x 3的项为5x 3.法二：因为(1＋x )2的通项：T r ＋1＝C r 2·x r， (1－x )5的通项：T k ＋1＝(－1)k ·C k 5·x k ，所以(1＋x )2·(1－x )5的通项：(－1)k ·C r 2·C k 5·xk ＋r (其中r ∈{0，1，2}，k ∈{0，1，2，3，4，5})．令k ＋r ＝3，则有⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，r ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，r ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，r ＝0.所以x 3的系数为－C 15＋C 12·C 25－C 35＝5，故含x 3的项为5x 3.答案：5x 35．求二项式(x －3x )9展开式中的有理项．解：T r ＋1＝C r 9(x 12)9－r ·(－x 13)r ＝(－1)r C r 9·x27－r6，令27－r6∈Z (0≤r ≤9)，得r ＝3或r ＝9，所以当r ＝3时，27－r6＝4，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4， 当r ＝9时，27－r6＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.综上，展开式中的有理项为－84x 4与－x 3.[A 基础达标]1．(x ＋2)n 的展开式共有11项，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．8解析：选B.因为(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n 的展开式共有11项，所以n ＝10.故选B.2.⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40解析：选C.T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k (2x 3)k ＝C k 52k x10－5k ， 令10－5k ＝0得k ＝2.所以常数项为T 3＝C 2522＝40.3．在⎝⎛⎭⎫2x 3＋1x 2n(n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( ) A ．3 B ．5 C ．8 D ．10解析：选B.T k ＋1＝C k n (2x 3)n －k⎝⎛⎭⎫1x 2k＝2n －k C k n x 3n －5k， 令3n －5k ＝0，则n ＝53k ，又n ∈N *，k ∈N ，所以n 的最小值为5.4．二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 10的展开式中的有理项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项解析：选C.二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 10的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 10·2r·x 20－5r2.令20－5r 2为整数，可得r ＝0，2，4，6，8，10，共6项．故选C.5．已知(1＋3x )n 的展开式中含有x 2项的系数是54，则n ＝( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10解析：选A.由题意可知C 2n 32＝54，所以C 2n ＝6，解得n ＝4.6．已知⎝⎛⎭⎫x ＋2x n的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56∶3，则该展开式中x 2的系数为________．解析：本题是二项式定理问题，T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝⎛⎭⎫2x r ＝2r C r n x 12n －32r ，因为第5项的系数与第3项的系数比为56∶3， 所以24C 4n22C 2n ＝563，n ∈N *，解得n ＝10，令12n －32r ＝2，解得r ＝2，所以x 2的系数为22C 210＝180. 答案：1807．若⎝⎛⎭⎫x ＋1x n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x 2的系数为______．解析：因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C 2n ＝C 6n ，所以n ＝8，所以展开式的通项为T k ＋1＝C k 8x8－k ⎝⎛⎭⎫1x k＝C k 8x 8－2k ， 令8－2k ＝－2， 解得k ＝5，所以T 6＝C 58⎝⎛⎭⎫1x 2， 所以1x 2的系数为C 58＝56. 答案：568．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．解析：(ax 2＋1x )5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·(1x)r ＝C r 5a 5－r x 10－5r2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－29．求⎝⎛⎭⎫x ＋1x －15的展开式的常数项． 解：法一：因为⎝⎛⎭⎫x ＋1x －15＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋1x －15， 所以展开式的通项为 T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5－r·(－1)r (0≤r ≤5)．当r ＝5时，T 6＝C 55·(－1)5＝－1；当0≤r ＜5时，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 5－r的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5－r ·x5－r －k ·⎝⎛⎭⎫1x k＝C k5－r · x 5－r －2k (0≤k ≤5－r )．因为0≤r <5， 且r ∈Z ，r ＋2k ＝5，所以r 只能取1或3，此时相应的k 值分别为2或1，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，k ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，k ＝1.所以常数项为C 15·C 24·(－1)1＋C 35·C 12·(－1)3＋(－1)＝－51.法二：因为⎝⎛⎭⎫x ＋1x －15＝ ⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1·⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1·…·⎝⎛⎭⎫x ＋1x －15个， 所以常数项为C 15x ·C 141x ·(－1)3＋C 25x 2·C 231x 2·(－1)＋C 55·(－1)5＝－51. 10．已知在⎝⎛⎭⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项．求： (1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x 的整数次幂的项的个数．解：二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n (12x 2)n －k ·(－1x)k ＝(－1)k (12)n －k C k n x 2n －25k . (1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0， 即2n －20＝0，解得n ＝10.(2)令2n －52k ＝5， 得k ＝25(2n －5)＝6， 所以x 5的系数为(－1)6(12)4C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0，1，2，3，…，9，10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．[B 能力提升]1．若对于任意实数x ，有x 3＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋a 3(x －2)3，则a 2的值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：选B.x 3＝[2＋(x －2)]3，a 2＝C 23×2＝6.2．(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是________． 解析：第一个因式取x 2，第二个因式取1x 2得：1×C 15(－1)4＝5，第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得：2×(－1)5＝－2，展开式的常数项是5＋(－2)＝3.答案：33．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．解：(1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k 3·⎝⎛⎭⎫－12k x －k 3 ＝C k n ⎝⎛⎭⎫－12k x n －2k3，因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k 3＝2， 得k ＝2，故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z0≤k ≤10k ∈N *， 令10－2k 3＝r (r ∈Z )， 则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， 因为k ∈N *，所以r 应为偶数．所以r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎫－125，C 810(－12)8x －2. 4．(选做题)利用二项式定理证明3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．证明：因为n ∈N *，且n >2，所以3n ＝(2＋1)n 展开后至少有4项．(2＋1)n ＝2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n·2＋1≥2n ＋n ·2n －1＋2n ＋1>2n ＋n ·2n －1＝(n ＋2)·2n －1， 故3n >(n ＋2)·2n －1.。
苏教版高中数学(选修2-3)1.5.1《二项式定理》word教案
过程与方法：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。
情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想
到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
二项式定理和二项展开式的通项公式.
培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力.
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
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普通高中课程标准实验教科书—数学选修2-3[苏教版]
§1.5.1 二项式定理(1)
教学目标
（1）掌握二项式定理及其简单应用；
（2）展示二项式定理的推导过程，培养学生类比、归纳及理性思维的能力． 教学重点，难点：二项式定理的发现及理解． 教学过程 一．问题情境
1．情境：由多项式的乘法法则可以知道： （1）1()a b a b +=+
（2）222()2a b a ab b +=++； （3）33223()33a b a a b ab b +=+++ （4）4432234()464a b a a b a b ab b +=++++ 2．问题：你能写出*
()()n
a b n N +∈的展开式吗？ 二．学生活动
为了确定*
()()n
a b n N +∈的展开式，我们必须明确展开式中的项是如何产生的．为此，我们先看2,3n =的情形：
22222()()()2a b a b a b a ab ba b a ab b +=++=+++=++．上面展开式中的每一项
都是从两个括号中各取一个字母的乘积．
322()()()()()()a b a b a b a b a ab ba b a b +=+++=++++
32222223322333a a b a b ab ba b a b a b a a b ab b =+++++++=+++
由上述过程可以看出，3
()a b +展开式中的每一项都是从()()()a b a b a b +++的每个括号里各取一个字母的乘积．
就上面四个展开式的项数、每一项的构成等进行研究，探求规律，进而得到猜想：
()n a b +=（ ）n a +（ ）1n a b -+（ ）2...n a b -++（ ）n b
上述猜想中各项的系数如何确定？ 展开式各项的系数：
每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n
a 的系数是0
n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n
a b 的系数是1n C ，……， 恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r a
b -的系数是r
n C ，……，
有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n
n C ，
∴01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈ ，
三．建构数学
1． 011()()n n n r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈ ，这个公式所表示的定
理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，它有1n +项，各项的系数
(0,1,)r n C r n = 叫二项式系数，r n r r
n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r n T C a b -+=．
2．(1)n
x +的展开式：
二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ ．
四．数学运用 1．例题：
例1．展开下列各式：（1）6
()a b -； （2）4
1
(1)x
+
解：（1）660615242333
6666()[()]()()()a b a b C a C a b C a b C a b -=+-=+-+-+- 4245566
666()()()C a b C a b C b +-+-+-
6542332456
61520156a a b a b a b a b ab b =-+-+-+
（2）4122334
44411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++234
46411x x x x =+
+++． 例2．求7
(12)x +的展开式中第4项的二项式系数和系数．
解：因为7(12)x +的展开式中第4项是373
3471(2)T C x -= ，所以，第4项的二项式系数为3735C =，系数为3372280C = ．
例3．求6
1()2x x
-
的二项展开式中的常数项． 解：设二项展开式中的常数项为第1r +项，即
66216611()(1)22r r r r r r r T C x C x x r
--+=-=- ， 根据题意，得 620,3r r -=∴=，所以二项展开式中的常数项为3
64582
C T =-=-． 例4．求（1）6(23)a b +；（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．
解：（1）2
4242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．
说明：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同． 例5．（1）求9(
3x
的展开式常数项；（2）求9
(3x +
的展开式的中间两项． 解：∵3
9929
2
19
9()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅，
∴（1）当390,62
r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9
(
3x 的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，
489
912
59
3423
T C x
x
--=⋅=，1595109
2693T C x --=⋅= 2．练习：课本第32页第1、2、3、4、5、6
五．回顾小结：二项式定理，二项展开式的通项公式． 六．课外作业：课本第36页第1、3、4、5、6题．。