第6章 信号与系统的时域和频域特性
第六章信号与系统的时域和频域特性
x(t)e j0t X ( j( 0 )) ——移频特性
7. Parseval 定理:
若 x(t) X ( j) 则
x(t) 2 dt 1 X ( j) 2d
2
这表明：信号的能量既可以在时域求得，也可以
在频域求得。由于 X ( j) 2表示了信号能量在频域的 分布，因而称其为“能量谱密度”函数。
yt由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过由于的傅氏变换就是频率为的复指数信号通过lti系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的系统时系统对输入信号在幅度上产生的影响所以称其为系统的频率响应
4.5 周期信号的傅里叶变换：
（ The Fourier Transform for periodic signals ） 至此，周期信号用傅里叶级数、非周期信号用傅里
若 x(t) X ( j) 则
dx(t) jX ( j) (可将微分运算转变为代数运算) dt
t (将 x(t) 1 X ( j)e jtd 两边对 微分即可证明)
2
t x( )d 1 X ( j) X (0) ()
j
——时域积分特性
cos 0t
1 [e j0t 2
e
j0t
]
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
X ( j)
0 0 0
例3： x(t) (t nT ) n
x(t)
X ( j)
(1)
t
2T T 0 T 2T
( 2 ) T
根据卷积特性，在频域有: Y ( j) X ( j)H ( j) • 频域分析的步骤：
信号与系统(习题课)
∴ y(t) = e-3t + t e-3t = (1+ t) e-3t
by wky
习题 3-6 (1)
已知系统的微分方程为 y’’(t) +5 y’(t) + 4 y(t) =2 f ’(t) + 5f(t), t >0; 初始状态y(0-) =1，y’(0-) =5， 求系统的零输入响应yx(t)。 解：系统特征方程为 s2+5s+4=0 , 解得特征根 s1=-1, s2=-4
特解 （强迫响应）
比较：完全响应=零输入响应 + 零状态响应 = e－t + (1 - 1/2e－t -1/2e－3t)
by wky
习题 3-4
已知微分方程为 y’(t) + 3 y (t) = f(t)，t >0; y(0) =1，
求系统的固有响应(齐次解) yh(t)、强迫响应 (特解) yp(t)和完全响应(全解) y(t) 解：系统特征方程为 s+3=0,
f(t)
f(-t)
2
2
1
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 t -3 -2 -1 0 1 2 3 t
2 f(t+2)
f(-3t)
2
1
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 t -3 -2 -1 0 1 2 3 t by wky
2-10 已知信号波形, 绘出下列信号波形
f(t)
f(-t)
2
2
1
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 t -3 -2 -1 0 1 2 3 t
第6章 信号与系统的时域和频域特性第6章 信号与系统的时域和频域特性
一 阶RC高通滤波网络 一 阶RC低通滤波网络
由同一类型储能元件构成的二阶非谐振系统， 可以分别构成低通 、高通 、带通 、带阻等滤波特性。
含有电容和电感两类储能元件的二阶系统具有 谐振特性 ，在无线电技术中 ， 常利用它们的这一性
第6章 信号与系统的时域和频域特性
TIME AND FREQUENCY
CHARACTERIZATION OF SIGNALS
AND SYSTEMS
6 . 0 引 言 Introduction
在以前的讨论中 ， 已经看到
■ 在时域 ， 系统的特性由 或 描述；
y(t)=x(t)*h(t) y(n)=x(n)*h(n)
二. 信号的不失真传输条件 如果系统响应与输入信号满足下列条件 ， 可视 为在传输中未发生失真。
y(t)= kx(t-t0) y(n)=kx(n-n0) 这就要求系统的频率特性为
H ( jo) = ke- 0 0 H ( e 0 ) = keo
据此可得出信号传输的不失真条件：
h(t)=kd(t-t0) —— 时域表征
能构成带通 、带阻滤波网络。
例如
R
工程实际中常用的逼近方式有：
1.Butterworth滤波器： 通带 、阻带均呈单调衰减 ， 也称通带最平逼近； 2.Chebyshev滤波器：
通带等起伏阻带单调 ， 或通带单调阻带等起伏；
3.Cauer滤波器：（椭圆函数滤波器）
通带 、阻带等起伏 。
n 阶雅可比椭圆函数
■ LTI系统对输入信号所起的作用包括两个方面 : 1. 改变输入信号各频率分量的幅度； 2. 改变输入信号各频率分量的相对相位。
高频电子线路第六章信号与系统的时域和频域特性
6 Time and frequency characterization of S&S
6 Time and frequency characterization of S&S
6 Time and frequency characterization of S&S
6.4 非理想滤波器的时域和频域特性讨论 低通滤波器的模特性容限:
Problems: 6.5
6.23
6.27
6 Time and frequency characterization of S&S
Magnitude : | P( j1 , j 2 ) | Phase : 0
Magnitude : 1 Phase : P( j1 , j 2 )
6 Time and frequency characterization of S&S
( 线性相移 )
( 原始信号)
( 非线性相移 )
6 Time and frequency characterization of S&S
6.2.2 群时延
d Definition: ( ) H ( j ) d Example: y (t ) x(t t0 )
H ( j ) e jt0 H ( j ) t0
6 Time and frequency characterization of S&S
6.3 理想频率选择性滤波器的时域特性： 低通滤波器:
(1) 连续时间:
1, | | c sin c t H ( j ) F h(t ) 0 , | | c t
jX ( j )
相位频谱
Chap6-信号与系统的时域和频域特性
| H ( jω) | − − − 幅度响应(系统的增益)
H ( jω) =| H ( jω) | e j∠H ( jω) e j∠H ( jω) − − − 相位响应(系统的相移)
系统产生的相移将改变输入信号中各分量之间的相对相位关 系。即使系统的增益对所有频率都为常数，输入的时域特性 也可能产生很大的变化（频域相移不同，时域时移不同）。
∠H ( jω ) = −ωt0 τ (ω ) = t0 (signal delay )
相位特性的斜率（加负号）t0就是时移的大小， 这个时延称为群时延。 结论：
第6章时域和频域特性
zhuzwin@
15
非线性群时延对一个信号的影响（了解）
由
第6章时域和频域特性
全通系统的主值相位
展开后的相位（相位解缠）
8
2）对图像的影响
模重要? 还是相位重要?
| P( jω1, jω2 ) |
∠P( jω1, jω2 )
第6章时域和频域特性
zhuzwin@
9
模 : | P( jω1, jω2 ) | （正确）
相位 : 0 （错误）
模 :1（错误）
相位 : ∠P( jω1, jω2 ) （正确）
第6章时域和频域特性
e j∠X ( jω) − − − 相位频谱( Phase Spectrum)
第6章时域和频域特性
zhuzwin@
5
(1)相位对波形的影响
x(t
)
=
1+
1 2
cos(2π
t
+
φ1 )
+
cos(4π
t
+
φ2
)
+
第六章 信号与系统的时域和频域特性
1 x(t ) 2
1 X ( j )e e d 2
3.单位冲激信号
0
1 e σ α e dt α s 0 α s
α s t
L t t e std t 1
0
全s域平面收敛
L t t0 t t0 e std t e st0
1 st t de s 0
n! 所以 L t n1 s
n
9.6 常用拉氏变换对,注意收敛域 Some Laplace Transform Pairs
第பைடு நூலகம்
4
页
u(t )
e u(t )
at
1 S
1 sa
t u(t )
n
n! s n 1
1
(t )
对上式两边做拉氏变换：
1 1 1 (n) X ( s) x(0 ) 2 x(0 ) n 1 x (0 ) s s s
x
n 0
(n)
(0 )
1 s n 1
lim sX ( s) x(0 )
s
第
如果 x(t )是因果信号，且在 t 0 不包含奇异
第
10. 初值与终值定理: （The Initial- and Final- Value Theorems) 如果 x(t ) 是因果信号，且在 t 0不包含奇异
18
页
函数，则 x(0 ) lim sX ( s) ——初值定理
s
Proof:
t 0 时 x(t ) 0 ，且在 t 0 不包含奇异函数。
信号与系统 第六章
ω ω (1 ω ) = +j 2 2 2 (1 ω ) + ω (1 ω 2 ) 2 + ω 2
2
V 1
ω =0
H ( jω )
1 2
U
= U (ω ) + jV (ω )
ωห้องสมุดไป่ตู้
3.极点,零点图(Pole-Zero Plot ) 极点, 极点 系统函数可以表示成有理函数的形式, 系统函数可以表示成有理函数的形式,即
M e , M r 为有限值
∵ r (t ) = e (t ) h (t )
∴ r (t ) = e(t ) h(t ) =
+∞
∫
+∞
∞
e(t τ )h(τ )dτ
+∞ ∞
≤ ∫ e(t τ ) h(τ ) dτ ≤ ∫ h(τ ) dτ M e = M r ∞
∴ 要求
结论: 结论:
除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的 有限的, ∫ 除个别孤立的冲激函数外,单位冲激响应都应是有限的,即
bm s m + bm1s m1 + + b1s + b0 H (S ) = an s n + an1s n1 + a1s + a0 极点——使 H (s ) 为无穷大的 使 极点 零点——使 零点——使 H (s ) 为 0 的 (1)
s 值,即分母多项式等于 的根; 即分母多项式等于0的根 的根;
表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 表示系统函数的方法常用三种方法:频率特性曲线, 复轨迹和极点零点分布图. 复轨迹和极点零点分布图. 1.频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性(即系统的频率响应特性) 频率特性
信号与系统复习资料第六章
信号与系统第五章（5.1~5.3）一、知识储备正交分解矢量正交信号正交正交定义31==∑=i yi xi Ty x v v V V 两矢量内积为0⎰=21d )()(*21t t t t t ϕϕ两函数内积为0正交集正交矢量集两两正交的矢量组成的矢量集合。
正交函数集⎰⎩⎨⎧=≠≠=21,0,0d )()(*t t i j i ji K j i t t t ϕϕ构成空间矢量空间例如矢量A 可表示为A =a Vx +b Vy +c Vz信号空间1122n ()...nf t C C C φφφ=+++二、傅里叶级数三角形式∑∑∞=∞=Ω+Ω+=110)sin()cos(2)(n nn nt n bt n aat f或∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A At f ϕ式中，A0=a0，22nn nba A +=，nnn a b arctan-=ϕ. 指数形式e )(j t n n n F tf Ω∞-∞=∑=以上为复傅里叶级数展开式，可以将f （t ）理解成由一系列旋转向量合成的信号，各旋转向量的初始位置（严格来讲是t=0时刻所在的位置）就是复傅里叶系数Fn 。
画出三维频谱图如下图所示：三角形式和指数形式傅里叶系数之间的关系)j (21e 21e j n n n n n b a A F F n n -===ϕϕnnnnA b a F 212122=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nnab arctan ϕnn n A a ϕcos =nn n A b ϕsin -=n 的偶函数：an ，An ，|Fn |n 的奇函数:bn ，n波形对称性和谐波特性（四点）f(t)为偶函数——对称纵坐标)()(t f t f -=bn =0，展开为余弦级数f(t)为奇函数——对称于原点)()(t f t f --=an =0，展开为正弦级数此时其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量，即a1=a3=…=b1=b3=…=0周期信号的功率∑∑⎰∞-∞=∞==+=n nn n T FA A dt t f T2122002||212()(1周期信号一般是功率信号，上式为其平均功率，直流和n 次谐波分量在1Ω电阻上消耗的平均功率之和。
6信号与系统的时域和频域特性汇总
6.2.1 线性和非线性相位 一、线性与非线性相位 信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生改变都会引起信号 波形的改变，即发生失真。 当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，则只是信号在时间 上的平移。
若连续时间LTI系统:
则
这种失真并没有丢失信号所携带的任何信息，只是发生时间上的 延迟，因而在工程应用中是允许的。 如果系统的相位特性是非线性的，不同频率分量受相位特性影响 产生的时移不同叠加起来一定会变成一个与原信号很不相同的信 号波形。 对离散时间LTI系统，也有同样的结论。但对线性相位系统，当 相位特性的斜率是整数时只引起信号的时间平移。
增加时延
| X ( j ) | e
j X ( j )
| X ( j ) | e
时移特性 time
j[ X ( j )t0 ]
X ( j )e x(t ) X ( j ) shifting
F 1
j t0
x(t t0 )
F 1
实函数
X ( j )
d X ( j ) Delay : 时延 d
1 2 x(t ) 1 cos(2 t 1 ) cos(4 t 2 ) cos(6 t 3 ) 2 3
x(t )
k
xk e jk 2 t
1 jφ1 1 jφ2 1 jφ3 a 0 =1; a1 = e ; a 2 = e ; a 3 = e 4 2 3 1 -jφ1 1 -jφ2 1 -jφ3 a -1 = e ; a -2 = e ; a -3 = e 4 2 3
1、改变输入信号各频率分量的幅度；
2、改变输入信号各频率分量的相对相位。 LTI系统频率响应的模和相位表示：
6信号与系统的时域和频域特性
1
2
低通滤波器
高通滤波器
H (e j )
0
3
0
带通滤波器
离散时间滤波器
H (e j )
低 低 高 高
1
低通
2
0
H (e j )
2
2
高通
2
0
H (e j )
2
3
带通
2
0
பைடு நூலகம்
2
离散时间滤波器类型：
各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。 离散时间理想滤波器的特性在 续时间滤波器特性完全相似。 区间上，与相应的连
6.2.1 线性和非线性相位 一、线性与非线性相位 信号在传输过程中，相位特性或幅度特性发生改变都会引起信号 波形的改变，即发生失真。 当相位特性仅仅是附加一个线性相移时，则只是信号在时间 上的平移。
若连续时间LTI系统:
则
这种失真并没有丢失信号所携带的任何信息，只是发生时间上的 延迟，因而在工程应用中是允许的。 如果系统的相位特性是非线性的，不同频率分量受相位特性影响 产生的时移不同叠加起来一定会变成一个与原信号很不相同的信 号波形。 对离散时间LTI系统，也有同样的结论。但对线性相位系统，当 相位特性的斜率是整数时只引起信号的时间平移。
单位奈特（Np）
单位分贝（dB）decibel
对离散时间系统，由于其频率有效范围只有 ，而且即使在对 数坐标下也不会存在直线型的渐近线。因而不采用对数坐标，只 采用对数模。
采用对数模（或Bode图）表示频率特性，对于幅频特性有零点或 在某些频段上为零的系统，是不适用的。
张宇-信号与系统各章内容整理
第一章 信号与系统主要内容重点难点1.信号的描述x[n]、x （t ），两者不同之处2.【了解】 信号的功率和能量3.【掌握】自变量变换（计算题目）、理解变换前后图片的缩放或信号的变化，离散信号与连续信号的差别4.【了解】 常见信号：指数（j t j n e e w w 、）、正弦（cos cos t n w w 、）、单位冲激（()[]t n d d 、）、单位阶跃（()[]u t u n 、） ，离散与连续的差别5.【掌握】用阶跃函数表示矩形函数；冲激与阶跃信号的关系；冲激信号的提取作用；指数信号和正弦信号的周期性。
6.【了解】系统互联7.【掌握】系统的基本性质：记忆与无记忆性、可逆性、因果性、稳定性、时不变与线性。
对已知系统进行性质判断（掌握）1.3、5、71.00cos j n n e w w 、的周期性判断，是周期的条件，若是周期的，则周期： 2.00cos j tt ew w 、的周期：自变量变换的量值确定0cos j nn e w w 、的周期性和频率逆转性。
系统的时不变性与线性等性质的证明2T ωπ=2N mωπ=第二章 线性时不变系统第三章 周期信号的傅里叶级数表示FS本章内容安排基本思路:主要内容难点 ✧ 系统的单位冲激响应容易求出：令()()x t t d =，对应的输出即为单位冲激响应() h t ；单位阶跃响应的求解和物理意义； ✧ 将任意信号分解为冲激信号()[]t n d d 、的线性组合[][][]; ()()()k x n x k n k x t x t d d t d t t ¥¥-?=-?=-=-åò✧ 利用LTI 系统的线性和时不变性，在单位冲激响应[]() h t h n 、已知的情况下，推导连续时间和离散时间系统对任意输入x 的响应：[][][]y n =x n * h n ; y(t)=x(t)* h(t)✧ 利用输入输出的卷积关系，根据单位冲激响应[]() h t h n 、，判断ITI 系统的性质✧ 了解线性常系数微分方程和差分方程的时域求解。
第六章信号与系统的时域和频域特性
§6.2 LTI系统频率响应的模和相位表示 主要内容
频率响应的模和相位表示; 线性与非线性相位; 群时延; 对数模与Bode图
5
一、频率响应的模和相位表示
一个信号特征，可以完全由它的模和相位来表示，
而要改变一个信号，从根本上来讲，就是改变它的这两
个方面。 一个LTI系统，对输入信号的改变，包括： 1.改变输入信号各频率分量的幅度 2.改变输入信号各频率分量的相对相位
15
H j ~
20 lg H j ~
单位分贝（dB） decibels 横坐标为频率的指数增长
例如：任意一阶系统的波特图 dy (t ) y (t ) x (t ) dt 1. 时域特性
h(t ) e u (t )
1
t
s (t ) h (t ) u (t ) (1 e )u(t )
带宽范围内，满足不失真条件，则认为该
系统对这一信号是不失真系统。
11
三、群时延 jX j j H j Y ( j ) X j e H j e
线性相位系统可以这样来描述: 它是一个时移系统，它的相位特性 t 0的斜率，就是
该频率分量在时域产生的时移 t 0（或者说延时 t ）。 0 那么，信号通过此类系统时，谐波的相移必须与其频
它是一个时移系统它的相位特性的斜率就是该频率分量在时域产生的时移或者说延时那么信号通过此类系统时谐波的相移必须与其频率成正比也即系统的相位特性是一条通过原点的直线
第六章 信号与系统的时域和频域特性 主要内容
傅里叶变换的模和相位表示； LTI系统的模和相位表示； 理想选频滤波器的时域特性；
非理想滤波器的时域和频域特性讨论；
陈后金《信号与系统》(第2版)名校考研真题(系统的频域分析)
第6章系统的频域分析一、选择题1．选择题已知信号f（t）的最高频率，则对信号取样时，其频谱不混叠的最大取样间隔等于（）。
[北京交通大学研]A．B．C．D．【答案】A【解析】信号f（t）的最高频率为，根据Fourier变换的展缩特性可得信号的最高频率为（Hz），再根据时域抽样定理，可得对信号取样时，其频谱不混叠的最大取样间隔2．下列说法中正确的是（）。
[东南大学研]A．罗斯—霍维茨准则也能判断离散系统的稳定性B．信号经调制后带宽一定增加C．抽样频率必须是信号最高频率的2倍以上才不产生混叠D．积分器是线性运算，不改变信号的带宽【答案】AD【解析】本题考查信号与系统的综合应用。
罗斯霍维茨准则是稳定性判定准则，信号经调制后带宽不一定增加，有时只是频谱的搬移，积分运算是累加运算，也即线性运算，抽样频率必须是信号最高频率的2倍或者2倍以上才不产生混叠。
因此选择AD。
3．系统的幅频特性和相频特性如图6-1（a）、（b）所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是（）。
[西安电子科技大学研]A．B．C．D．【答案】B【解析】由系统的幅频特性和相频特性可知：若输入信号的频率均处于之间，既不产生幅度失真又不产生相位失真。
只有（B）满足这一条件。
图6-1二、填空题1．已知一连续时间LTI系统的频响特性该系统的幅频特性相频特性是否是无失真传输系统______。
[北京交通大学研] 【答案】否【解析】由于的分子分母互为共轭，故有所以系统的幅度响应和相位响应分别为由于系统的相位响应不是的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。
三、解答题1．某因果数字滤波器的零、极点如图6-2所示，并已知其H（π）=-1试求：图6-2（1）它的系统函数H（z）及其收敛域，且回答它是IIR、还是FIR的什么类型（低通、高通、带通、带阻或全通）滤波器；（2）写出图6-2（b）所示周期信号x[n研]的表达式，并求其离散傅里叶级数的系数；（3）该滤波器对周期输入x[n研]的响应y[n研]。
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第6章信号与系统的时域和频域特性
fx 20140627 对于一个LTI系统来说，除了通过卷积的时域特性外，利用系统频率响应的频域特性是另一种可供选择的表示方法。
在LTI系统分析中，由于时域中的微分（差分）方程和卷积运算在频域中都变成了代数运算，所以利用频域往往特别方便。
在大量的应用中，对于一个系统既从频域，又从时域两方面提出了或限定了一定的特性要求，而往往这些又是相互矛盾的要求。
所以在系统设计和分析中，将时域和频域特性联系起来并给予权衡考虑是很有必要的。
介绍这些方面的问题和关系就是本章的主题。
傅里叶变换的模(jw)
x的各X所描述的是一个信号的基本频率含量，也即给出的是组成(t)
复指数信号的相对振幅信息。
另一方面，相位角不影响各个频率分量的大小，但是提供的是有关这些复指数信号的相对相位信息。
相位信息对(t)
x的本质属性有显著的影响，因此一般包含了信号的大量信息。
相位信息在图像的表示中显得特别重要。
一般来说，(jw)
X的相位特性的变化会导致(t)
x时域特性变化。
这一点很重要。
研究理想和非理想频率选择性滤波器，时域和频域的考虑、因果性的限制以及实现方面的问题等等常常使得具有过渡带和在通带和阻带具有容限的非理想滤波器成为最优的选择。
研究连续和离散时间一阶与二阶系统的时域和频域特性，特别注意到这些系统响应时间和频域带宽之间的折衷。
任何具有实、偶单位脉冲响应的非递归滤波器都一定有一个实的且为偶函数的频率响应，从而具有零相位。
当然，这样的滤波器时非因果的。
将一个FIR滤波器的单位脉冲响应（如果它在以原点为中心的某一范围外都为0），现在将其做N位延迟而得到一个非递归的LTI系统，则该LTI系统是因果的。