5质点力学05

由(3)(5)得
(m1 m2 )v10 2m2 v20 v1 m1 m2 (m2 m1 )v20 2m1v10 v2 m1 m2
对完全弹性碰撞e =1。
定义：恢复系数 e，即：牛顿碰撞定律。
讨论：
v2 v1 e v10 v20
（1）若m1=m2，则v2=v10, v1=v20； （2）若m1>>m2，且v20=0，则v1=v10, v2=2v10；
力的时间累积
第1章 质点力学
1.14 1.15
1.15.1
伯努利方程及其应用（略） 动量和冲量 动量定理
冲量 I = Ft
冲量是力对时间的积累作用。
恒力的冲量 变力的冲量
I

t2
t1
Fdt
单位：牛顿秒（N· 量纲：MLT-1 s）
冲量为过程量。
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力的时间累积 1.15.2 动量 动量定理
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力的时间累积
第1章 质点力学
例5 如图所示，已知：人的质量为 m ，车 长为l ，车的质量为M。开始时人和车都静止，求： 人从车的一端走到另一端时车移动的距离，人走 过的距离。（相对地面）
X
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x
力的时间累积
第1章 质点力学
解：设人及车运动速度分别为v，V，坐标如上图。
mv 则由动量守恒定律得：
由速度定义有：
MV
dX V dt
(1)
dx v dt
m 带入（1）式得： dX dx M


X
dX
0

X
l
m dx M Ml x M m
ml X M m
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力的时间累积
第1章 质点力学
1.16.2 动量守恒定律 dP F 0 0 P 常矢量 dt
即：
p
i
i

m v
i i
i
常矢量
一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系 的总动量就保持不变。
分量式： 当 :
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F 当: F 当: F
ix iy iz
mv 0时，有 mv 0时，有 mv
0时，有
ix iy iz
C C C
力的时间累积 注意：
第1章 质点力学
（1）系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化， 这种动量转换靠内力。
（2）在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过 程中，往往可忽略恒外力。 （3）动量守恒可在某一方向上成立，只要满足在该 方向上外力之和为零。 （4）定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量 和应是同一时刻的动量之和。
质点系的动量定理
1.两个质点的系统
m1
f
F1
d P1 F1 f dt
f
f
d P2 m2 f F2 F2 f F1 dt d P1 d P 2 F1 f F2 f dt dt
F2
f - f
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d P1 d P 2 F1 F2 dt dt
（3）若m1<<m2，且v20=0，则v1=-v10, v2=0。
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力的时间累积 1.17.3 完全非弹性碰撞 特点：碰后发生形变，不分离。
第1章 质点力学
m1v10 m2v20 (m1 m2 )v m1v10 m2 v20 此时： v m1 m2
机械能损失：
第1章 质点力学 例4 质量为M的木块放在光滑的固定斜面上，由A 点从静止开始下滑。当经过路程 l 运动到B点时，木块被 一颗水平飞来的子弹射中，子弹立即陷入木块内。设子 弹的质量为m，速度为v，求子弹射入木块后，子弹与木 块的共同速度。
力的时间累积
A M m
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v
B θ
l
力的时间累积 第1章 质点力学 解：M由A点下滑到B点，由机械能守恒得 1 x A 2
力的时间累积 解：（1）由动量定理：
第1章 质点力学

0

F dt mv mv0
即： F dt mv
0


（2）由动量定理：
m 2 F02 2 1 1 由动能定理： W mv 2 mv 2 0 2 2 m 2
积分得： v 2 F0

0
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t1 t2
t1
力的时间累积
第1章 质点力学
例1 质量为2.5g的乒乓球以 10 m/s的速率飞来，被板推挡后， 又以20 m/s的速率飞出。设两速度 在垂直于板面的同一平面内，且 它们与板面法线的夹角分别为45o 和30o。求：（1）乒乓球得到的冲 量；（2）若撞击时间为0.01s，求 板施于球的平均冲力的大小和方 向。
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第1章 质点力学 例3 在水平桌面上，一质量为 m，原静止的物体， 被一锤所击，锤的作用力沿水平方向，其大小为
力的时间累积
求：（1）锤力对物体所做的功；
F F0 sin t
(0 t )
（2）物体在任一时刻的速度。
F
F0
F o
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/2

t
y
v2
30o
45o v1
n
x
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力的时间累积 解：取球为研究对象，由于作用时 间很短，忽略重力影响。设挡 板对球的冲力为F， 则有：
第1章 质点力学
y
v2
I F dt mv 2 mv1
30o
45o v1

n
x
取坐标系，将上式投影，有：
I x Fx dt mv2 cos 30 (mv1 cos 45 ) Fx t
第1章 质点力学
1.动量
P=mv
单位：千克米每秒（kgm/s） 量纲：MLT-1 物理意义：用来描述物体在一定状态下所具有的 “运动量”。 即：运动物体所能产生的机械效果。
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力的时间累积 2.动量定理第1 质点力学dP F dt
d P F dt
I ＝
t2
t1
F dt

I y Fy dt mv2 sin 30 mv1 sin 45 Fy t

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力的时间累积
第1章 质点力学
t 0.01s v1 10m/s
v2 20m/s
2 x 2 y
m 2.5g
Fx 6.1N Fy 0.7 N
I x 0.061Ns
x
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力的时间累积 证明：取如图坐标，设t时刻已有x长
第1章 质点力学 o
的柔绳落至桌面，随后的dt时
间内将有质量为dx（Mdx/L) 的柔绳以dx/dt的速率碰到桌面 而停止，它的动量变化率为：
dx dx dP dt dt dt
一维运动可用标量
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Mgl sin
2
Mv M
建立直角坐标系如图， 则m的速度为
m v
v v cosi v sin j
y B θ
M l
在碰撞过程中，重力可以忽略，因此在x方向上， 由m和M 组成的系统动量守恒：
mv cos MvM (m M )V
mv cos M 2 gl sin 得V M m
e0
E K E K 0 E K 1 1 1 2 2 2 [ m1v10 m2 v20 ] (m1 m2 )v 2 2 2 m1m2 (v10 v20 ) 2 2(m1 m2 )
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力的时间累积 1.17.4 非弹性碰撞
第1章 质点力学
特点：碰后发生形变，彼此分离。系统有能量损失。
力的时间累积
第1章 质点力学
2.n个质点的系统
由于内力总是成对出现的，所以矢量和为零。
d dP 则 Fi Pi 即：F dt dt i i
以F 和P 表示系统的合外力和总动量。 3.质点系的动量定理
Fdt＝d P
微分形式
P2

t2
t1
F dt＝
P1
d P P 积分形式
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t2 t1

P2
P 1
d P F dt
t1
t2
P 2 P1 F dt I
P 2 P1 F dt I
t1
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t2
I Fdt＝ P
质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。 这个结论称为动量定理。
力的时间累积 分量式：
第1章 质点力学
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力的时间累积
第1章 质点力学
1.17.2 完全弹性碰撞
特点：碰后无形变，分离。能量守恒。
设两物体m1，m2发生完全弹性正碰，
m1v10 m2v20 m1v1 m2v2 1 m v2 1 m v2 1 m v2 1 m v2 2 1 10 2 2 20 2 1 1 2 2 2
（5）动量守恒定律在微观高速范围仍适用。
（6）动量守恒定律只适用于惯性系。
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力的时间累积
第1章 质点力学
1.17
碰 撞
1.17.1 碰撞的定义及分类 定义：碰撞是作用时间极短的相互作用。
一般可以将恒外力忽略，系统动量守恒。
按运动形式分，碰撞可以分为两类： 正碰和斜碰。我们主要分析正碰。 按能量损失分，碰撞可以分为三类： （1）完全弹性碰撞； （2）非弹性碰撞； （3）完全非弹性碰撞。