数学模型_捕鱼业的持续收获
最优捕鱼策略数学模型
最优捕鱼策略数学模型 The following text is amended on 12 November 2020.最优捕鱼策略数学模型摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。
问题一采用条件极值列方程组的方法求解，即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼，2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成。
最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼，当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。
问题二给出年初各龄鱼的数量，要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大的破坏的前提下，使5年的总收获量最大，即在5年内鱼群能够可持续繁殖和生长。
本题以5年的总捕获量为目标函数，以5年后各龄鱼的数量没有发生太大的变化为条件，建立承包期总产量模型。
最终得到的捕捞策略如表1-1。
只要各年龄鱼每年的捕捞数量小于表1-1中的数量，就可以实现5年后鱼群的生产能力没有发生太大的变化。
关键字一、问题重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，……，4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均重量分别为,,,（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为×105 (个）；3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为×1011/×1011+n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的8个月内进行捕捞作业。
数学建模—最佳捕鱼方案
三、 符号说明
;当k 1 x ：表示 i 龄鱼第 j 年的年初（或年末）的鱼量（ k 0或1， 当k 0时， 表示年初 时表示年末。 i 1,2,3,4; j 1,2, ） 条 ； r ：表示各年龄组鱼群的死亡率： 0.8(1 年) ； ：表示 4 龄鱼的捕捞强度系数，则 3 龄鱼的捕捞强度系数为 0.42 ； n ：产卵总量 个 ； Z：捕鱼总重量 g ； xij t ：表示第 j 年 t 时刻 i 龄鱼的数量 条 ； j ：表示第 j 年的捕鱼总量；
4
年 收 获 总 量 （ g）
4.2 4.15 4.1 4.05 4 3.95 3.9 3.85
x 10
11
3.8 0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
死 亡 率 （ 1/ 年 ）
由上图可直观地看出：死亡率与年收获总量成正比例关系，即当死亡率增加时， 年收获总量则减少；反之，增加。由此可知，死亡率对年收获总量有显著的影响。 2．对模型中捕捞强度系数 的灵敏度分析 模型中其它因素不变， 只考虑 从 10 变到 19 时最大的年收获总量的变化情况， 分析 的变化对模型的影响（见下图）
年 收 获 总 量 （ g）
3.95 x 10
11
3.9
3.85
3.8
3.75
3.7
3.65
3.6
3.55
3.5 10
11பைடு நூலகம்
12
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4龄 鱼 的 捕 捞 强 度 系 数
由上图可直观地看出：捕捞强度系数也是影响年收获总量的重要因素，年收获总量 随捕捞强度系数的增加而增加。只是增长速率逐渐减慢。 七、 模型评价与推广 模型的评价： 优点：1. 本文建立的模型与实际相联系，考虑到一些实际情况，从而使模型较贴近实 际；通用性.，推广性较强。 2．模型方便、直观，可以实现计算机模拟。 缺点： 1．模型虽然考虑到了很多因素，但为了建立模型，忽略了一些影响因素，具有 一定的局限性。 2．在建模过程中，简化了一些因素，得到了最优方案可能与实际有一定的出入。 模型的推广： 模型建立思想不但适合捕鱼方面，而且适合其它相关方面，只需稍加改动即可。
捕鱼模型
最优捕鱼策略1、基本假设如下:(1) 只考虑这一种鱼的繁殖和捕捞, 鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出。
(2) 各年龄组的鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡。
(3) 所有的鱼都在每年最后的四个月内完成产卵和孵化的过程。
孵化成活的幼鱼在下一年初成为一龄的鱼, 进入一龄鱼组。
(4) 产卵发生于后四个月之初, 产卵期鱼的自然死亡发生于产卵之后。
(5) 相邻两个年龄组的鱼群在相邻两年之间的变化是连续的, 也就是说, 第k 年底第i 年龄组的鱼的条数等于第k+ 1 年初第i+ 1 年龄组鱼的条数。
(6) 四龄以上的鱼全部死亡。
(7) 采用固定努力量捕捞意味着捕捞的速率正比于捕捞时各年龄组鱼群中鱼的条数, 比例系数为捕捞强度系数。
2、符号和数据符号t——时间(以年计) , t∈R + ;k ——年份, k= 0, 1, 2 , ⋯N (k)i ——第k+ 1 年初i 龄鱼总条数,N (k )i ∈R + ;x i ( t) ——t 时刻i 年龄组的鱼群的大小;r——鱼的自然死亡率;f i——i 年龄组鱼的产卵力;w i——i 年龄组鱼的平均重量;E i——i 年龄组的捕捞强度系数;ai——i 龄鱼的生育率, 即平均每条i 龄鱼在一年内生育的鱼数, ai≥0 ;bi——i 龄鱼的存活率, 即i 龄鱼经过一年后到i+ 1 龄鱼数与原鱼数之比, 0<bi< 1, i= 1, 2, 3 ;n——年产卵总量;b0——卵成活率;R ——净繁殖率, 它表示平均每条鱼一生所产卵并成活为1 龄鱼的条数。
3、解题过程（1）设 N (k ) = {N (k )1 , N (k)2 , N (k)3 , N (k)4 }T;X ( t) = {x 1 ( t) , x 2 ( t) , x 3 ( t) , x 4 ( t) }T;(f 1, f 2, f 3, f 4) T= (0, 0, 0. 5 c0, c0) T;{W 1,W 2,W 3,W 4}T= (5. 07, 11. 55, 17. 86,22. 99) T;(E 1, E 2, E 3, E 4) T = (0, 0, 0. 42E , E ) , 称E 为捕捞努力量;r= 0. 8, S= 2/3 (产卵时刻) , c0= 1. 109×105,c1= 1. 220×1011, c2= exp (- r) = 0. 449 33 , c3= exp(- r S) = 0. 586 65 .（2）鱼生长期是连续的, 组建微分方程组模型:d X ( t)/d t= f (X ) , t∈[ 0, + ∞) .来描述鱼死亡随时间连续发生并具有季节性的繁殖和捕捞。
数学建模案例——最佳捕鱼方案
最佳捕鱼方案摘要：本文解决的是一个最佳捕鱼方案设计的单目标线性规划问题，目的是制定每天的捕鱼策略，使得总收益最大。
根据题设条件，结合实际情况，我们设计了成本与损失率随天数的增加成反比变化的函数曲线（见图三所示），并导出总收益的表达式： 212121111i i i i i i i i W w p s q m =====⨯-⨯∑∑∑。
由于价格是关于供应量的分段函数（见图一所示），我们引入“0－1”变量法编写程序（程序见附录一），并用数学软件LINGO 求解，得到最大收益(W)为441291.4元，分21天捕捞完毕。
其中第1～16天，日捕捞量在1030～1070公斤之间，第17～21天的日捕捞量为1610～1670公斤之间（具体数值见正文）。
由结果分析，我们对模型提出了优化方向，例如人工放水来降低成本。
关键词：“0-1”整数规划，单目标线性规划，离散型分布。
一． 问题重述一个水库，由个人承包，为了提高经济效益，保证优质鱼类有良好的生活环境，必须对水库里的杂鱼做一次彻底清理，因此放水清库。
水库现有水位平均为15米，自然放水每天水位降低0.5米，经与当地协商水库水位最低降至5米，这样预计需要二十天时间，水位可达到目标。
据估计水库内尚有草鱼二万五千余公斤，鲜活草鱼在当地市场上，若日供应量在500公斤以下，其价格为30元/公斤；日供应量在500—1000公斤，其价格降至25元/公斤，日供应量超过1000公斤时，价格降至20元/公斤以下，日供应量到1500公斤处于饱和。
捕捞草鱼的成本水位于15米时，每公斤6元；当水位降至5米时，为3元/公斤。
同时随着水位的下降草鱼死亡和捕捞造成损失增加，至最低水位5米时损失率为10%。
承包人提出了这样一个问题：如何捕捞鲜活草鱼投放市场，效益最佳？二． 模型假设1．池塘中草鱼的生长处于稳定状态，不考虑种群繁殖以及其体重增减，即在捕捞过程中草鱼总量保持在25，000公斤不变。
2．第一天捕捞时水位为15m ，每天都在当天的初始水位捕捞草鱼，水库水位每天按自然放水0.5m 逐渐降低，20天后刚好达到最低要求水位5m 。
污水处理和渔业持续收获的数学建模
污水处理和渔业持续收获的数学建模关于污水处理的数学建模摘要因为全球经济的日益增长中国经济也随之快速发展，经济发展的越快，就不可避免的破坏更多的自然环境，所以环保问题已经成为一个不容忽视的问题，而与每个居民的日常生活密切相关的就是水资源问题，因此对于污水处理这一特殊的问题我们在解决时就应该本着高效的原则去实施，在这个污水处理问题中，我们先建立了一般情况下的模型，然后将该模型应用到实际问题中从而解决了实际问题。
在模型的建立中我们要考虑工厂的净化能力，江水的自净能力，在保证江水经这一系列的处理后在到达下一个居民点后要达到国家标准，还要花费最少，对该问题进行全面的分析后可知这是一个运筹学方面关于线性规划的最优解问题，在该模型的建立中我们针对江水污水浓度在每个居民点之前小于国家标准这一条件对其建立线性约束条件，然后综合考虑费用最小，在结合三个处理厂各自的情况后关于费用抽象数模型的目标函数，，然后应用LINDO软件求解该问题得到当三个处理厂排出的污水浓度分别为40 mg/l，20 mg/l，50 mg/l时，此时我们得到使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费费用为500万元。
当从三个处理厂出来的污水浓度分别为 62.222225mg/l，60mg/l，50mg/l,时，此时如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费费用为188.8889万元。
问题的提出设上游江水流量为1000（1210L/min），污水浓度为0.8（mg/L），3个工厂的污水流量均为5（1210L/min），污水浓度（从上游到下游排列）分别为100，60，50（mg/L），处理系数均为1（万元/（（1210L/min）×（mg/L））），3个工厂之间的两段江面的自净系数（从上游到下游）分别为0.9和0.6。
国家标准规定水的污染浓度不超过1（mg/L）。
（1）为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？(2) 如果只要求3个居民点上游的水污染达到国家标准，最少需要花费多少费用？问题的分析通过对该污水处理所花费用最少问题的分析，我们可知在此问题中有多个污水浓度，江水的原始污水浓度，工厂排出的污水浓度，处理厂排出的污水浓度，以及当处理厂排出污水与江水混合后再经江水自净后的浓度，在这几个浓度中只有经处理厂排出的污水的浓度是未知的，其关系着整个问题，要使总费用最少，江中每段的污水浓度都达到国家标准，江水中污水浓度在到达下一居民点之前须达到国家标准1（mg/l），那么问题的重点就在于对污水浓度的认识。
6.5捕鱼业的持续收获 数学建模
1、问题陈述
对于一个渔场，若渔民们捕捞过度，可能 会导致鱼类资源枯竭。若捕捞的量过少，可 能经济效益比较少。如何控制捕捞力度，能 使鱼类资源持续发展下去？
6.4微分方程稳定性理论简介 6.4微分方程稳定性理论简介
对于形如 x′(t ) = f ( x) ⋯ (4) 效 益 模 型 ： E R = (1 − 2 PN
C ) ⋯ ⋯ ⋯ (5) 捕捞过度：ES =r (1 − PN
二、捕鱼业的效益模型
1、模型假设 (1)设捕鱼的成本与捕捞率成正比，比例系数 (1)设捕鱼的成本与捕捞率成正比，比例系数 为C。 (2)鱼的销售单价为常数P (2)鱼的销售单价为常数P (3)单位时间所获利润为R(E) (3)单位时间所获利润为R(E) (4)独家捕捞 (4)独家捕捞
定义1 衡点。 称 f ( x ) = 0的 根 x0为 上 述 微 分 方 程 的 平
定 义2 解满 足
如果当x(t )充分接近x0时，微分方程的 lim x(t ) = x0
t →∞
则 称平 衡点 是稳定 的， 否则 称是 不稳定 的。
二、捕鱼业的产量模型
logistic模 （1）设鱼量的增加符合logistic模型，设r为固有 增长 率，N 为环境允许 的最大鱼量。 设鱼量的增 长率为r ( x), x(t )为t时刻鱼场的鱼量。
（2）设单位时间的捕鱼量为h( x), 与渔场的数量x(t ) 成正比，E为比例系数，即h( x) = Ex(t ), 称E为捕捞 率。
（3）独家捕捞。
x x′(t ) = rx(1 − ) − Ex N
⋯ ⋯ ⋯ (1)
E x0 = N (1 − ) ⋯ ⋯ ⋯ (2) r
捕鱼业的持续收获模型7
简单分析：在商业性捕捞中，最佳 捕捞量比不计成本的最大量少，少捕 的比例为C^2/(PN)^2。意味着鱼价高 可多捕捞，开支大宜少捕捞。
捕鱼业的持续收获模型
第32组
• 建立背景：渔业资源是一种再生资源，应 当注意适当开发，在保持持续稳定的前提 下追求产量以及经济效益最优。 鱼量在天然环境下按一定规律增长，如果 捕捞量恰好等于增长量，这个捕捞就是可 持续的
• 1、模型建立 • 假Байду номын сангаас在t时刻渔场鱼量为x(t)，在天然 无捕捞的环境下，渔场鱼量服从Logistic模 型，即： • dx/dt=rx(1-x/n)=g(x) • r为固定增长率，N为环境容许的最大量 • g(x)为单位时间增长量
• 捕捞率：单位时间内捕捞量与总量的比值 （E） • dx/dt=g(x)-Ex
问题1 ：稳定性 令f(x)=g(x)-Ex f(x)=0得X0=N(1-E/r）、X1=0 通过计算可知f’(x0)=E-r、f’(x1)=r-E 讨论E与r的大小 若E<r，则有f’(x0)<0, f’(x1)>0. 即 x0是稳定的，x1是不稳定的 反之亦然
Z=PEx-CE=E(Px-C)
• 由鱼量稳定得 • g(x)=Ex • 得E=r(1-x/N) • 即利润 •
Z=r(1-x/N)(Px-C)
• 求利润最大（求极值） • 由Z’(x)=0 确定最佳效益时的点 • xE=N/2+C/(2P) • 相应 的捕捞量为 • H=ExE=r xE (1- xE/N)=(Nr/4)*(1-C^2/(PN)^2) • =hm(1-C^2/(PN)^2)
• 问题2：在渔场稳定的情况下，如何控制捕 捞强度E使持续产量最大
• 通过画y=g(x)与y=EX的图像可知 • 当E=r/2时，有最大捕捞量hm=Nr/4，此时稳 定平衡点为x0=N/2，最优捕捞率为N/2。
数学模型_捕鱼业的持续收获
F ( x) f ( x) h( x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x ( t ) F ( x ) rx (1
x N
) Ex
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
产量模型
F ( x) 0
x ( t ) F ( x ) rx (1 x 0 N (1 E r
xm x
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
x F (x) (1)
一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x
x x0
0 x x0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有 lim x ( t ) x 0 , 称x 是方程(1)的稳定平衡点 0 t
x 0 稳定 , x1不稳定
x 0 不稳定 , x1 稳定
E~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大
y hm h
x N
图解法
F ( x) f ( x) h( x)
y=rx y=E*x
P*
f ( x ) rx (1
x s N (1 Es r )
c p
T(E) S(E)
p , c
E s , xs
捕捞过度
0
ER E*
Es r
E
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx dt rx
dx dt
r ( x ) x rx (1
最优捕鱼策略-数学建模
西安邮电大学（理学院）数学建模报告最优捕鱼策略专业名称：信息与计算科学班级： 1302班学生姓名：张梦倩学号（8位）： 07131057指导教师：支晓斌摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。
问题一采用条件极值列方程组的方法求解，即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼，2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成。
最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼，当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。
问题二给出年初各龄鱼的数量，要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大的破坏的前提下，使5年的总收获量最大，即在5年内鱼群能够可持续繁殖和生长。
本题以5年的总捕获量为目标函数，以5年后各龄鱼的数量没有发生太大的变化为条件，建立承包期总产量模型。
最终得到的捕捞策略如表1-1。
只要各年龄鱼每年的捕捞数量小于表1-1中的数量，就可以实现5年后鱼群的生产能力没有发生太大的变化。
一、问题重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。
一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，……，4龄鱼。
各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的8个月内进行捕捞作业。
《保持捕鱼业可持续发展的数学建模》
。
三、结果分析及总结：
d x x r r 1 x g x k 2 时，可得最 由 Logistic 模型 d t N 分析结果为：
dx N rx ln dt x ,
一、建立 Logistic 模型分析： 在 t 时刻，无捕捞时单位时间鱼的增长量 g(x)与渔场鱼量满足如下 关系：
d x x r 1 x g x d t N
方程 1
有捕捞时，单位时间的捕捞量（即产量）h(x)，则鱼量 x(t)的变化 规律为：
模型假设： 捕捞过程视为连续性过程； 忽略种群间的相互作用及环境突变对渔场鱼量变造成的影响。
两种数学模型的介绍： 1、Logistic 模型： 考虑到环境的制约作用，模型假设如下： 种群的增长率随着种群的数量的增加而下降。 可将种群增长率表示为种群数量的函数，即得 Logistic 模型：
d x x r 1 x d t N ，且 x0 x 0
【关键词】
Logistic 模型 Compertz 模型 稳定性 可持续发展
【正文】
符号定义及基本假设，令： x(t)为 t 时刻渔场鱼量；
g(x)为单位时间的增长量； h(x)为单位时间捕捞量； N 为环境容许的最大鱼量； hm 为单位时间渔场的最大持续增长量； r 为固有增长率；E 为捕捞强度；q 为捕捞系数； 单位时间的产量与渔场的鱼量的比例系数 k 为单位时间捕捞率， 且定义 k=qE，为方便分析，令 q=1,则 h(x)=kx=Ex 。
结果分析：
x0 稳定, 可得到稳定产量
例4：捕鱼业的持续收获
1.22 × 1011 × n x 1 (k + 1) = (4-2) 11 1.22 × 10 + n 产卵数: n = A x 3 (k + 2 / 3) + Ax 4 (k + 2 / 3). 2
华北电力大学数理学院
School of mathematics & physics
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捕鱼业的可持续发展
可持续捕捞策略: 可持续捕捞,意味着由于自然死亡和捕捞鱼群减少,而通 过产卵孵化补充,使能在每年初开始捕捞时鱼群保持平衡 不变.即
x i (t) = x * (常数) i
�
max当捕捞强度保持时得到最大持续产量h根据李亚普诺夫第一稳定性定理schoolofmathematicsphysics华北电力大学数理学院捕鱼业的可持续发展1鯷鱼分4个年龄组表示i龄鱼的条平均质量wiw5071155178622992各年龄组的年自然死亡率r均为083此鱼为季节性集中产卵产卵和孵化期为每年的最后4个月表示i龄鱼的条产卵数fi5f0005aaa110910问题2考虑一个渔场中某种鱼比如鯷鱼时刻t各年龄组鱼量单位条随单位时间增长率r和捕捞强度e单位时间捕捞率的变化规律
记:f ( x) = rx(1 x ) Ex N
通常,我们并不关心鱼量的动态变化过程,只希望知 道渔场的稳定鱼量和保持下去的条件!
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捕鱼业的可持续发展
稳定鱼量和保持下去的条件:
dx = rx(1 x ) Ex = 0 dt N
捕鱼业持续收获的效益问题
捕鱼业持续收获的效益问题天津师范大学数学科学学 ***************** 朱保军摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（渔业）的开发必须适度。
而在社会经济生活中,我们要使商业活动在一段时期内达到最大收益,因此我们要合理的开发资源，这时,我们不仅要考虑商业活动的当前经济效益,还要考虑生态效益及由此产生的对整体经济效益的影响。
本文就是对渔业这类可再生资源的开发问题进行研究，利用相关的数学软件matlab 进行求解。
针对问题一，建立产量模型，在该模型中建立捕捞情况下鱼场鱼量方程()x t 和捕捞方程()E t ，对方程()x t 和()E t 讨论其平衡点0x 和稳定性()'0F x 如下： 0(1)Ex N r=-， ()'00F x E r =-<针对问题二，对产量模型进行延伸可求出最大的持续产量情况下的稳定平衡点*0x ，最大持续产量m h 和保持渔场鱼量稳定在*0x 的捕捞率*E 。
再建立效益模型，可求出利润()R E ,最大捕强度R E ，最大利润下的渔场稳定鱼量R x 及单位时间的持续产量R h 。
最后，建立捕捞过度模型，可求出盲目捕捞下的渔场稳定鱼量为s x 。
关键字：产量模型效益模型捕捞过度 matlab一、问题提出为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（渔业）的开发必须适度。
一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
设渔场鱼量方程为：().(1)dx xx t rx Ex dt N==-- 其中.()x t 表示t 时刻鱼塘中的鱼数，r 表示鱼的自然增长率，N 为鱼塘中最大可容纳的鱼量， E 为捕捞率。
问题一，建立关于()E t 的方程，求.()x t ，()E t 的平衡点并讨论其稳定性。
问题二，将所得结果与捕捞的效益模型与过度模型进行比较。
综上所诉，本文要建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。
捕鱼业的持续收获.
注意捕捞量h(x0) = Ex0满足 h(x0) = rx0(1 x0/N), 当 x0 = N/2 (6) 时h(x0)达到最大值hm为 hm = rN/4, (7) 由hm = Ex0, hm = rN/4, x0 = N/2, 这时E为 E* = r/2. (8)
6
也可用图解法. 由 (t ) F ( x ) x rx(1 x / N ) Ex 0, 作y = rx(1 x/N)和y = Ex的图形, 其交点 的横坐标即为稳定 点 x0(> 0) 或 x1(= 0), 其纵坐标为相应的 捕获量h = Ex. 当直 线y = Ex通过抛物线 y = rx(1 x/N)的顶 点时， h 达到最大为 rN/4，这时x = N/2.
6.1 捕鱼业的持续收获 产量模型 记时刻t渔场中鱼量为x(t)， 关于x(t)的自然增长和人工捕捞作如下假设： 1. 在无捕捞条件下x(t)的增长服从Logistic 规律，即
(t ) f ( x ) rx(1 x / N ) x (1)
其中 r 是固有增长率， N是环境允许的最大 鱼量，f(x)表示单位时间的增长量.
1
单位时间的捕捞量 ( 即产量)h 与渔场鱼 量 x(t) 成正比，比例常数 k 表示单位时间捕 捞率. k可分解为k = qE，E称捕捞强度，用 可以控制的参数譬如出海渔船数来度量 ; q 称捕捞系数，表示单位强度下的捕捞率， 为方便起见，可以适当选择捕捞强度的单 位，使q = 1. 于是单位时间的捕捞量为 h(x) = kx = qEx = Ex. (2)
最大持续产量的图解法
7
效益模型 从经济角度来看应追求效益最 大. 如果经济效益用从捕捞所得的收入中扣除 开支后的利润来衡量. 简单地假设：鱼的销售 单价为常数p，单位捕捞强度(如每条渔船)的费 用为常数 c ，则单位时间的收入 T 和支出 S 分别 为 T = ph(x) = pEx, S = cE， (9) 则单位时间的利润R为 R = T S = pEx cE. (10) 在稳定条件x = x0下，把(4)式x0 = N(1E/r) 代入(10)式得 R(E) = T(E) S(E) = pNE(1E/r) cE. (11)
可持续发展捕鱼策略模型
在每年前 8 个月的任意一时刻， 根据鱼群的数量变化构建一个微分方程模型： dxik (t ) 2 (t ) xik (t ) Cik xik (t ), i 1、、 2 3、， 4 t (k , k ), k为正整数 (7) dt 3 对于捕捞强度 Cik (t ) ，根据假设，每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次
k i
x
k 0
(0)
dxik (t ) dt
t 时刻第 i 个年龄组鱼的种群
数量随时间的变化率 第 i 个年龄组鱼的平均重量 卵孵化为一龄鱼的成活率， 即 一龄鱼条数与产卵总量之比
wi
单位：克
1.22 1011 1.22 1011 x0k (0)
第 3 页
A
鱼的自然死亡率 平均每条四龄鱼的产卵量 第 k 年第 i 个年龄组鱼种群 的捕捞强度系数 第 3 年龄组与第 4 年龄组鱼 种群的捕捞强度系数之比 第 k 年的年捕捞量
0.8(/ 年)
A 1.109 105 (个)
与单位时间内第 i 个年龄组 鱼种群数量成正比， 单位:年‐1 其中
第 1 页
目录 1.问题的重述与分析 ………………………………………………………………3 2.模型假设 …………………………………………………………………………3 3.模型符号说明 ……………………………………………………………………3 4.模型的分析与建立 ………………………………………………………………4 4.1 可持续捕捞模型 ……………………………………………………………4 4.1.1 瞬时死亡率的确定 …………………………………………………4 4.1.2 种群数量与捕捞量的确定 …………………………………………4 4.1.3 可持续捕捞数学规划模型的建立 …………………………………6 4.2 渔业公司 5 年的最优捕捞策略……………………………………………6 4.2.1 每年捕捞数量等的推导……………………………………………6 4.2.1.1 第一年的捕捞量………………………………………………7 4.2.1.2 第二年的捕捞量………………………………………………7 4.2.1.3 第三年的捕捞量………………………………………………8 4.2.1.4 第四年的捕捞量………………………………………………8 4.2.1.5 第五年的捕捞量………………………………………………9 4.2.2 最优化捕鱼模型的确定 ……………………………………………9 5.模型的求解与结果分析…………………………………………………………10 5.1 可持续捕捞模型的求解…………………………………………………10 5.2 承包 5 年的模型求解……………………………………………………11 6.模型的拓展与评价………………………………………………………………12 6.1 拓展一：非均匀捕捞模型………………………………………………12 6.2 拓展二：随机产卵模型…………………………………………………13 参考文献 ……………………………………………………………………………14 附录 …………………………………………………………………………………15
渔场鱼量最优化模型
景德镇陶瓷学院数学模型课程设计学院：信息工程学院班级：信息小组成员：捕鱼业的持续收获摘要 运用微分方程稳定性理论，建立渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz 模型的情况下，分析了鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下，使用图解法和微分法讨论如何控制捕捞使持续产量达到最大和经济效率达到最大并且研究捕捞过度问题。
最后，对模型的优缺点进行了讨论。
关键词：Gompertz 模型 稳定性 微分法 捕捞过度正文问题复述可持续发展是一项基本国策，对于像渔业、林业这样的再生资源，一定要适度开发，不能为了一时的高产去“涸泽而渔”，应该在持续稳产的前提下追求产量或利益最优化。
已知某渔场鱼量的自然生长服从种族增长规律Gompertz 模型：rxln xN，其中r 是固有增长率，N 是环境容许的最大鱼量。
产量模型一．模型假设1.假设鱼群的数量随时间连续地，甚至是可微地变化；2.假设鱼群生活在一个稳定的环境中，即其增长率与时间无关；3.种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果；4.资源有限的生存环境对种群的繁衍，生长有抑制作用，而且这一作用与鱼群的数量是成正比的；5.渔场鱼量的自然增长服从Gompertz 模型。
二．符号说明符号 含义X(t) 时刻t 渔场中的鱼量 r 固有增长率 N 坏境容许的最大鱼量 f(x) 单位时间的增长量 E 单位时间捕捞率 h(x) 单位时间的捕捞量 X 0 平衡点 X 1 平衡点 h m 最大持续产量E M 获得最大产量的捕捞强度 X 0*最大的持续产量此时的稳定平衡点三.模型建立1.在无捕捞条件下x(t)的增长服从Gompertz 规律，即x.(t)=f(x)=rxln x N(1)2.单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，捕捞强度为E ，可以用比如捕鱼肉眼的大小或出海渔船数量来控制其大小，于是单位时间的捕捞量为：h(x)=Ex. (2) 根据以上假设并记F(X)=f(x)-h(x) 得到捕捞情况下渔场鱼量满足x.(t)=F(X)= rxln x N- Ex (3)四．模型的求解令F(x)=0 得到两个平衡点Ｘ０=NeE r-,Ｘ１=0 (4)不难算出F ＇（x ）=rln x N-r-E,所以F ＇（Ｘ０）=-r, F ＇（Ｘ１)=∞若Ne Er -（Ｘ０）=-r<0,即r>0 (5) 时Ｘ０点稳定，Ｘ１点不稳定 。
捕鱼业的持续收获模型
捕鱼业的持续收获模型引言捕鱼业作为一项重要的经济活动，对于许多地区的社会经济发展起到了关键作用。
然而，在不合理的捕捞行为和环境变化的影响下，捕鱼资源面临着日益严重的衰竭。
为了实现捕鱼业的可持续发展，需要建立一种持续收获模型，以确保捕鱼资源的可持续利用。
本文将探讨捕鱼业的持续收获模型，并提供一些建议来促进捕鱼业的可持续发展。
捕鱼业现状和问题由于过度捕捞、不合理的捕捞方法和环境污染等因素，全球捕鱼资源面临着严重的衰竭风险。
过度捕捞导致一些重要的商业鱼类种群数量锐减，甚至濒临灭绝。
同时，捕鱼业的不可持续发展也对生态系统造成了严重的破坏，影响了其他生物的生态平衡。
因此，如何建立一种持续收获模型，以平衡捕获和资源增长之间的关系，成为了捕鱼业可持续发展的关键问题。
持续收获模型的基本原理持续收获模型是一种基于生物学原理的管理方法，旨在实现捕鱼资源的可持续利用。
该模型的基本原理包括以下几点：1.保护种群结构：根据不同鱼类的繁殖生物学特征和种群生态需求，制定合理的渔业管理措施，包括限制捕捞量、禁止捕捞种群的繁殖季节等，以保护种群结构的完整性。
2.控制捕捞强度：根据资源评估结果，对不同鱼类的捕捞强度进行合理调整。
通过设立捕捞配额、限制渔船数量和渔网尺寸等措施，控制捕捞强度在可持续区间内。
3.促进资源增长：为了保证捕鱼资源的可持续增长，需要积极采取措施提高资源的再生能力。
这包括保存适龄种鱼，减少捕获和杀伤未成熟的鱼类，保护繁殖场所等。
4.加强监管和执法：实施持续收获模型需要加强渔业监管和执法工作，确保渔民、渔船和渔网的合法合规。
同时，建立健全的监测系统，及时掌握资源状况和捕捞压力，为调整管理措施提供科学依据。
捕鱼业可持续发展的关键挑战要实现捕鱼业的可持续发展，需要克服以下几个关键挑战：1.缺乏资源评估数据：资源评估是制定科学捕捞管理措施的基础，但由于技术和经济限制，许多地区缺乏准确的捕鱼资源评估数据，这给可持续发展带来了困难。
捕鱼业的持续收获模型
捕鱼业的持续收获模型引言捕鱼业作为一种传统的渔业活动，是许多沿海地区的重要经济来源。
然而，不合理的捕捞方式和过度捕捞的问题逐渐浮现，对渔业资源的威胁也日益显现。
为了保护和持续利用渔业资源，需要开发一种有效的捕鱼业持续收获模型。
本文将探讨捕鱼业的持续收获模型及其在渔业管理中的应用。
捕鱼业的挑战过度捕捞是当今捕鱼业面临的最大挑战之一。
由于高效的捕捞技术和日益增长的渔业需求，许多渔业资源正面临着枯竭的威胁。
此外，渔业资源的持续利用也受到环境变化和污染的影响。
因此，建立一种能够平衡经济利益和保护资源的捕鱼业模型至关重要。
捕鱼业的持续收获模型捕鱼业的持续收获模型是一种科学的管理方法，旨在实现渔业资源的可持续利用。
该模型基于渔业生态学原理和经济学原理，考虑到渔业资源的生长、繁殖、汇聚和保护等关键因素。
下面是这一模型的几个关键要素：1.渔业资源评估渔业资源评估是捕鱼业持续收获模型中的重要环节。
通过对渔业资源的调查和研究，可以了解资源的数量、分布和生长状况。
这些数据对于制定科学的捕捞计划和管理措施至关重要。
2.捕捞限额捕捞限额是指在一定时间内允许捕捞的最大数量或体重。
通过设定捕捞限额，可以控制捕鱼的总量，从而保护渔业资源的可持续性。
捕捞限额的制定应该基于渔业资源评估的结果和渔业管理的目标。
3.捕捞工具和技术的改进为了减少对渔业资源的损害，捕鱼业的持续收获模型也强调改进捕捞工具和技术。
例如，引入选择性捕捞设备可以减少捕获非目标物种的可能性，减轻捕捞对生物多样性的影响。
4.建立保护区保护区是指对特定地区进行保护，以维护和恢复渔业资源的健康状态。
在捕鱼业的持续收获模型中，保护区的设置是非常重要的一环。
保护区可以提供一个相对稳定的环境，有利于渔业资源的增殖和繁衍。
5.监控和执法捕鱼业的持续收获模型还需要建立有效的监控和执法机制，以确保捕捞活动的合规性和资源的可持续利用。
监控可以通过使用卫星追踪设备、安装摄像头等技术手段进行，执法则需要建立完善的法律法规和执法团队。
捕鱼业持续收获的效益问题
1捕鱼业持续收获的效益问题天津师范大学数学科学学朱保军摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（渔业）的开发必须适度。
而在社会经济生活中,我们要使商业活动在一段时期内达到最大收益,因此我们要合理的开发资源，这时,我们不仅要考虑商业活动的当前经济效益,还要考虑生态效益及由此产生的对整体经济效益的影响。
本文就是对渔业这类可再生资源的开发问题进行研究，利用相关的数学软件matlab 进行求解。
针对问题一，建立产量模型，在该模型中建立捕捞情况下鱼场鱼量方程()x t 和捕捞方程()E t ，对方程()x t 和()E t 讨论其平衡点0x 和稳定性()'0F x 如下：0(1)Ex N r=-， ()'00F x E r =-<针对问题二，对产量模型进行延伸可求出最大的持续产量情况下的稳定平衡点*0x ，最大持续产量m h 和保持渔场鱼量稳定在*0x 的捕捞率*E 。
再建立效益模型，可求出利润()R E ,最大捕强度R E ，最大利润下的渔场稳定鱼量R x 及单位时间的持续产量R h 。
最后，建立捕捞过度模型，可求出盲目捕捞下的渔场稳定鱼量为s x 。
关键字：产量模型效益模型捕捞过度 matlab一、问题提出23为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（渔业）的开发必须适度。
一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
设渔场鱼量方程为：().(1)dx xx t rx Ex dt N==-- 其中.()x t 表示t 时刻鱼塘中的鱼数，r 表示鱼的自然增长率，N 为鱼塘中最大可容纳的鱼量， E 为捕捞率。
问题一，建立关于()E t 的方程，求.()x t ，()E t 的平衡点并讨论其稳定性。
问题二，将所得结果与捕捞的效益模型与过度模型进行比较。
综上所诉，本文要建立在捕捞情况下渔场鱼量遵从的方程，分析鱼量稳定的条件，并且在稳定的前提下讨论如何控制捕捞使持续产量或经济效益达到最大。
捕鱼业持续的收获
实验报告捕鱼业持续的收获【实验目的】1．了解鱼量增长的基本规律。
2．学习用Logistic模型解决问题，初步掌握对变量进行预测和控制。
3．学习掌握用MATLAB命令求解捕鱼业如何持续收获问题。
【实验内容】渔业资源是一种再生资源，再生资源要注意持续开发，不能竭泽而渔，而应在持续稳定的前提下追求产量或经济效益的最优化。
所以需要在现有实验数据或模型的基础上找出鱼类产量增长的规律并解决产量与经济效益（鱼的价格在不同时节会有变化）的整体关联，从而找出最佳捕鱼时机与璞玉数量的可行方案。
【实验准备】渔业资源是一种可再生资源，我们需要注意可持续开发，即在持续稳定的前提下追求产量或经济效益的最优化。
渔场中的鱼量在天然的环境下按一定的规律增长，如果捕捞适度,那么渔场鱼量将保持不变，这个捕捞量就可以持续。
从市场经济环境下供需关系是影响产品价格的主要因素的思路出发，建立持续稳产下的效益模型。
但实际上并不是产量越高经济效益就一定越好，而是要综合考虑市场、鱼量等各种因素，从而找到最优经济效益下的捕捞方式，对现实生活有一定的指导意义。
实验中需要用到Logistic模型，但Logistic模型其实是在无捕捞条件下随时间t而改变的渔场鱼量x(t)的服从规律。
而我们需要得到的是在捕捞情况下随时间t改变的渔场鱼量x’(t)的服从规律。
1．Logistic模型基本概念设x(t)为时刻t的鱼的总量，则有dx/dt=rx(1-x/N)，其中r是固有增长率，N 是环境容许的最大鱼量。
2.捕捞情况下鱼量的增长模型试验中假定采用线性捕捞方式，即单位时间的捕捞量与渔场鱼量x(t)成正比，比例常数E表示单位时间捕捞率，又称捕捞强度。
于是单位时间的捕捞量为h(x)=Ex根据以上假设并记F(x)=f(x)-h(x)得到捕捞情况下渔场鱼量满足的方程dx/dt=F(x)= rx(1-x/N)-Ex所谓持续捕捞：就是适当地确定捕捞强度E，使渔场的鱼量能够维持在一个适当水平上，不至于枯竭。
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xm x
0
t
x(t)~S形曲线, x增加先快后慢
一阶微分方程的平衡点及其稳定性
x F (x) (1)
一阶非线性（自治）方程
F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点
x
x x0
0 x x0
设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，
都有 lim x ( t ) x 0 , 称x 是方程(1)的稳定平衡点 0 t
)
h ( x ) Ex
*
y=h(x)=Ex y=f(x) x
P
F ( x) 0
f 与h交点P
0 x0*=N/2 x0
N
E r x 0 稳定
P的横坐标 x0~平衡点
* *
P的纵坐标 h~产量
E hm / x r / 2
* 0
产量最大 P ( x 0 N / 2 , h m rN / 4 )
x(t) ~ 渔场鱼量
x ( t ) f ( x ) rx (1 x )
1.无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律
N
r~固有增长率, N~最大鱼量 f ( x ) ~单位时间的增长量 2.单位时间捕捞量(产量)与渔场鱼量成正比 h(x)=Ex, E~捕捞强度
建模
记捕捞后的增长量
x s N (1 Es r )
c p
T(E) S(E)
p , c
E s , xs
捕捞过度
0
ER E*
Es r
E
阻滞增长模型(Logistic模型)
dx dt rx
dx dt
r ( x ) x rx (1
x xm xm/2 x0
x xm
)
dx/dt
0
xm/2
捕鱼业的持续收获
背景
• 再生资源（渔业、林业等） • 再生资源应适度开发——在持续稳 产前提下实现最大产量或最佳效益。
问题 及 分析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 •捕捞过度的问题。 • 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
产量模型 假设
x 0 稳定 , x1不稳定
x 0 不稳定 , x1 稳定
E~捕捞强度
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
产量模型
在捕捞量稳定的条件下， 控制捕捞强度使产量最大
y hm h
x N
图解法
F ( x) f ( x) h( x)
y=rx y=E*x
P*
f ( x ) rx (1
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程
x F ( x 0 )( x x 0 ) (2)
F ( x 0 ) 0 x 0 稳定 ( 对 ( 2 ), (1)) F ( x 0 ) 0 x 0 不稳定 ( 对 ( 2 ) (1))
x N
) Ex
平衡点
稳定性判断(直接法)
), x 1 0
F ( x 0 ) E r ,
F ( x1 ) r E
E r F ( x 0 ) 0 , F ( x1 ) 0
E r F ( x 0 ) 0 , F ( x1 ) 0
F ( x) f ( x) h( x)
捕捞情况下 渔场鱼量满足
x ( t ) F ( x ) rx (1
x N
) Ex
• 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件
产量模型
F ( x) 0
x ( t ) F ( x ) rx (1 x 0 N (1 E r
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
效益模型
假设
在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞 强度使效益最大.
• 鱼销售价格p
• 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE
R T S pEx cE
E r
单位时间利润
稳定平衡点 x 0 N (1 E / r )
R ( E ) T ( E ) S ( E ) pNE (1 ) cE
过度 • 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
R ( E ) T ( E ) S ( E ) pNE (1 E r ) cE
ER
r 2
(1
c pN
)
捕捞过度
令 R(E ) 0 E s r (1 c pN )
R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量
求E使R(E)最大
渔场 鱼量 持续 产量
x R N (1
h R rx R (1
ER
r 2
(1
N 2
c pN
) E*
r 2
ER r
xR N
)
rN 4
c 2 p
2 2
x0
N 2
)
(1
c
2
p N
) hm
rN 4
捕捞 • 封闭式捕捞追求利润R(E)最大