类比归纳专题：巧用弧的中点解题
类比线段中点与角平分线计算中的思想方法
类比线段中点与角平分线计算中的思想方法
类比是一种思维方法，通过将两个或多个事物进行比较，从而发现它们之间的相似之处，从而推测出新的知识或解决问题的方法。
在计算中，我们可以运用类比思维方法来计算线段的中点和角的平分线。
线段中点是指线段的中心点，位于线段的中间位置，使得线段两边的长度相等。
为了计算线段的中点，我们可以使用如下的类比思维方法：
1. 找到两个端点的坐标：我们需要确定线段的两个端点的坐标。
对于一个二维平面上的线段，我们可以用两个点的坐标来表示线段的位置。
2. 求取两条边的中点坐标：一旦我们有了角的两条边的坐标，我们可以分别计算它们的中点坐标，分别代表两条边的中点位置。
3. 连接两个中点：通过连接两条边的中点，我们可以得到角的平分线。
这条线段将角分成两个相等的部分。
类比思维方法在计算中点和角平分线时的运用可以帮助我们简化计算过程，从而更快速、准确地得到结果。
通过将已知问题与类似的问题进行比较，我们可以找到解决问题的线索，并将知识或方法进行转化，以适应新的问题的求解。
这种思维方法在数学和其他领域的问题求解中有着广泛的应用。
专题——中点的妙用（初三数学）
专题——中点的妙用（初三数学）方法专题 :中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质。
善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。
同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。
看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图 1 所示，在△ ABC 中， AB=AC=5 ，BC=6，点 M为 BC 中点，MN ⊥AC 于点 N，则 MN 等于（）691216A ．B．C． D ．5555二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”A2、如图，在Ｒｔ⊿ABC 中，∠ A=90 ° ,AC=AB,M 、N 分别在AC 、MAB 上。
且 AN=BM.O为斜边 BC 的中点 .试判断△ OMN 的形状，并说明理由 .NB OC3、如图，正方形ABCD的边长为 2, 将长为 2 的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点 Q 从点A出发，沿图中所示方向按A B C D A滑动到点 A 为止，同时点 F 从点 B 出发，沿图中所示方向按B C D A B 滑动到点 B 为止，那么在这个过程中，线段QF 的中点 M 所经过的路线围成的图形的面积为（）A DA. 2B.4－C. D.1QM三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”D4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）A如图，已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，且AC=BD ，E F NMM 、N 分别是 AB 、CD 的中点， MN 分别交 BD 、AC 于点 E、F.你能说出OE 与 OF 的大小关系并加以证明吗？B图2-1C5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形ABC 中， AD 是三角形ABC ∠ BAC 的角平分线，BD ⊥ AD ，点 D 是垂足，点 E 是边 BC 的中点，如果AB=6,AC=14 ，求 DE 的长6、（利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）如图所示，AB ∥ CD ，BC∥AD，DE⊥ BE，DF=EF，甲从B出发，沿着 BA 、 AD 、 DF 的方向运动，乙 B 出发，沿着BC 、CE、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达 F 点？7、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）D C如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线 AC 、 BD相交于点O，SACD 60，点 S、 P、Q 分别是 DO、 AO 、 BC 的中点 .求证：△ SPQ 是等边三角形。
巧用中点解决几何难题
或 者垂直，便可得到垂直或中点．
至了 Ｅ ，于是 产生 了垂 直平 分线，根据对 称 ＧＦ就 动至 了
２、类 型 一 ：倍 长 中线 型
Ｆ日，轻松搞 定！
３４
中学 数学研 究
２０１８年第 ８期 （下）
说 明：因 为有 中点，所 以此题 用间接倍 长 中线 法特别简 四条 边 都 是 中 点 的 连线，于 是 我 们 就联 想 到三 角 形 中 位
中线 法．两种方法 基本 思路完全 一致，需要 根据不 同的题 目
灵 活 变 化 ．
（ 如 图 ６，在正 方 形 ＡＢＣＤ 中，Ｅ 为 ＡＢ 边 的 中点，
Ｇ、Ｆ 分 别 为 ＡＤ，ＢＣ 边 上 的 点，若 ＡＧ ： １，ＢＦ ＝ ２，
ＧＥＦ： ９０。，求 ＧＦ的长．
Ｄ
Ｃ
Ｆ
Ｇ
附思路 图：
学 理解 的同 时，在 思维能 力 、情感 态度与 价值观 等多方 面得
倍长 中线法 ：就是将 三角形 的中线延 长一倍，以便 构造
到进 步和发 展．笔者对和 中点有 关的知识点进行 了深入地研 出全等三角形，从而运用全等 角形的有关知识 来解决问题
究 ，发现 了很多 中考题 都需要 利用 中点 来解 决，本文将 从 以 的方 法 ．
三角形斜边的 中线等于斜边的一半．
就动至了一个二三角形 △Ｄ日Ｇ 中 轻松搞定 ！ 附 思路 图 ：
＾
因为 ＡＢＣ ＝ ９０。，Ｄ 是斜边 ＡＣ的 中
点．所 以 ＢＤ ＝ ＪＩ．ＡＣ．
Ｂ
Ｃ
（２） 隐性 性 质 ：
图 Ｉ ３
图 ９
固
Ｃ
图 ｌ０
类比归纳专题：有关中点的证明与计算
类比归纳专题：有关中点的证明与计算——遇中点，定思路，一击即中◆类型一 直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线 1．(2017·高邑县期末)如图，一根木棍斜靠在与地面(OM )垂直的墙(ON )上，设木棍中点为P ，若木棍A 端沿墙下滑，且B 沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P 到点O 的距离( )A ．变小B ．不变C ．变大D ．无法判断2．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，M ，N 分别是BC ，DE 的中点．求证：MN ⊥DE (提示：连接ME ，MD )．◆类型二 结合或构造三角形的中位线解题3．(2017·宁夏中考)如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点，点M 在DE 上，且ME ＝13DM .当AM ⊥BM 时，则BC 的长为________．4．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN的取值范围．5．如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE于点G，AD＝BE＝6，求AC的长．◆类型三 中点与特殊四边形6．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点．求证：四边形EDNM 是矩形．参考答案与解析1．B 2．证明：连接ME ，MD .∵CE ⊥AB ，∴△BCE 为直角三角形．∵M 为BC 的中点，∴ME ＝12BC .同理可证MD ＝12BC ，∴ME ＝MD .∵N 为DE 的中点，∴MN ⊥DE . 3．84．解：取BD 的中点P ，连接PM ，PN .∵M 是AD 的中点，∴PM 是△ABD 的中位线，∴PM ＝12AB ＝5.同理可得PN ＝12CD ＝4.在△PMN 中，PM －PN ＜MN ＜PM ＋PN ，∴1＜MN＜9.5．解：过D 点作DF ∥BE ，交AC 于点F .∵AD 是△ABC 的中线，AD ⊥BE ，∴F 为CE 的中点，AD ⊥DF .∴DF 是△BCE 的中位线，∠ADF ＝90°.∵AD ＝BE ＝6，∴DF ＝12BE ＝3，∴AF ＝AD 2＋DF 2＝3 5.∵BE 是△ABC 的角平分线，∴∠ABG ＝∠DBG .∵AD ⊥BE ，∴AG＝DG ，即G 为AD 的中点．∵BE ∥DF ，∴E 为AF 的中点，∴AE ＝EF ＝CF ＝12AF ，∴AC＝32AF ＝32×35＝952.6．证明：∵BD ，CE 分别是AC ，AB 边上的中线，∴AE ＝12AB ，AD ＝12AC ，ED 是△ABC的中位线，∴ED ∥BC ，ED ＝12BC .∵点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点，∴OM ＝BM ，ON ＝CN ，MN 是△OBC 的中位线，∴MN ∥BC ，MN ＝12BC ，∴ED ∥MN ，ED ＝MN ，∴四边形EDNM 是平行四边形，∴OE ＝ON ，OD ＝OM .∵AB ＝AC ，∴AE ＝AD .在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ，∴EO ＋ON ＋CN ＝BM ＋OM ＋OD ，∴3OE＝3OM ，即OE ＝OM .又∵DM ＝2OM ，EN ＝2OE ，∴DM ＝EN ，∴四边形EDNM 是矩形．。
圆的弧中点条件应用
A圆的弧中点条件应用知识目标目标一 掌握垂径定理在圆相关计算中的用法 目标二 熟悉弧中点条件在圆的计算中的应用 第一部分 中考专题考点精讲 1、垂径定理2、弧中点条件已知AB 为e O 直径，M 为»AC 中点，证明： ①BM 平分∠ABC 或∠ABC 的补角；②若OM 交AC 于D ，则OM ∥BC ，OD =12BC ； ③过M 作AB 的垂线交AB 于N ，则MN =12AC ；④直线AM 、BC 交于点P ，则BP =AB ，2BMcos ∠ABM =AB ±BC .A 已知：如图，△ABC 内接于圆O ，AB 为直径，弦CE ⊥AB 于F ，C 是弧AD 的中点，连接AD ，交CE 于P .(1) 求证：P 是△ACQ 的外心；(2) 若AF =2，AD =8，求圆O 的半径.练在△ABG 中，90ABG ∠=︒，以AB 为直径作圆O 交AG 于D 点，弧BD =弧CD ，过D 作AC 的垂线，垂足为E ，ED 的延长线交BG 于F . (1) 求证：BF =DF ； (2) 若 tan G ∠=，AC =2，求圆O 的半径.例2如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，过C 作圆O 的切线CE ，作AD ⊥CE 于点D ，连AC . (1) 求证：AC 平分BAD ∠；(2) 连接BD 交AC 于点F ，若57DF BF =，求tan BDE ∠的值.F A BA 图2EA 如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，AD 与过C 点的切线垂直，垂足为D ，连AC . (1)求证：AC 平分DAB ∠； (2)延长AB ，交直线DC 于E ，若45AD AB =，求tan E ∠.例3如图，等腰△ABC 中，AC =BC =10，AB =12，以BC 为直径作圆O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E . (1) 求证：直线EF 是圆O 的切线；(2) 求sin E ∠的值.练如图，在△ABC 中，AC =AB ，以AC 为直径作圆O 交BC 于点G ，且D 是BC 中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，交AC 的延长线于点F . (1) 求证：直线EF 是圆O 的切线； (2) 若CF =5，2cos 5A ∠=，求sin B ∠E已知AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的弦，点D 是弧ABC 的中点，弦DE ⊥AB 于点F ，DE 交AC 于点G . (1) 如图1，求证：BAC OED ∠=∠;(2) 如图2，过点E 作圆O 的切线交AC 的延长线于点H ，若AF =3，FB =43，求tan DAC ∠的值.练已知：AB 为圆O 的直径，C 、D 为圆O 上的点，C 是优弧AD 的中点，CE ⊥DB 交DB 的延长线于点E . (1) 如图1，判断直线CE 与圆O 的位置关系，并说明理由； (2) 如图2，若CE =4，BE =3，连BC 、CD ，求cos BCD ∠的值.图1A 图2A图1E图2E如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，过C点的切线CE⊥BD于点E，连接BC.(1)如图1，求证：ABC EBC∠=∠；(2)如图2，延长DO交AC于点P，若56APCP=，求sin A∠的值练如图，△ABC内接于圆O，AB=AC，CD平分ACB∠交O于点D，交AB于点F，连接AO并延长交CD于点E.(1)求证：AD=DE;(2)若DF=CE=2，求BFAF的值.图1A图2A课后作业1、 如图，已知AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上一点，AC 平分DAB ∠，AD ⊥CD 于D . （1） 求证：CD 是圆O 的切线；（2） 若点E 为弧AB 的中点（点E 与点C 位于AB 两侧），325AD =，AC =8，求CE 的长.2、 如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆周上，过C 作圆O 的切线，过A 作AE 垂直过点C 的切线于E ，交圆O 于D .（1） 求证：AC 平分EAB ∠;（2） 连BD ，点P 是半圆的中点，DE =1，CE =2，求sin PBD ∠3、如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分ACB ∠. (1)求证：△PCF 是等腰三角形； (2)若tan ∠CAB=34，2BE =，求线段PC 的长。
弧的中点1
课题：弧的中点（一）学习目标：通过基本图形的构建和积累，初步形成运用“基本图形”解决问题的能力。
学习重点：归纳弧的中点的常见处理方法，发展类比思维能力。
学习过程活动一：识别基本图形（已知点M是⌒AB的中点）①②MA=MB OM垂直平分弦AB③④PM平分∠APB PM平分∠APB的外角活动二：基础训练，体验建模1、如图，⊙O的直径为20，弦AB=16，点C是⌒AB的中点，则AC= 。
2、如图，AB是半圆O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，D为⌒AC的中点，∠B=40°，则∠A= ，∠C= 。
活动三：典题探究，模型应用[问题1]如图，AB是半圆O的直径，C、P是⌒AB上的两点，AB=13，AC=5。
(1)如图①，若点P是⌒AB的中点，求PA的长；(2)如图②，若点P是⌒BC的中点，求PA的长。
图①图②图②备用图②备用变式训练：在图①中，试求CP的长。
AA A 第2题O[问题2](1)如图①，在⊙O 中，C 是⌒AB 的中点，直线CD ⊥AB 于E ，求证：AE=BE 。
(2)如图，PA 、PB 是⊙O 的弦，弦CD ⊥PA 于E①若C 是劣弧AB 的中点，求证：AE=PE+PB （图②）②若C 是优弧AB 的中点，试判断线段AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？证明你的结论。
（图③）图① 图② 图③变式训练：若∠APB=120°，试分别在图②、图③中探究线段PA 、PB 、PC 之间确定的数量关系。
活动四：学习小结——提炼归纳 活动五：课堂延伸，巩固拓展1、如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⌒AB 的中点，点M 是直径AB 上的一动点（不与A 、O 、B 重合）。
求证：2、如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是⌒AB 的中点，DC 是⊙O 的弦，AM ⊥CD 于M ，BN ⊥CD 于N （AM<BN ）。
(1)求证：CM=DN=AM ； (2)若⊙O 的半径为5，CD=，求的值；(3)在(2)的条件下，求ON 的长。
圆中的重要模型之圆弧的中点模型(学生版)-初中数学
圆中的重要模型之圆弧的中点模型当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。
其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。
当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。
目录例题讲解模型模型1.与垂径定理相关的中点模型模型2.与圆周角定理相关的中点模型(母子模型)模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型模型4.与托勒密定理相关的中点模型习题练模型例题讲解模型模型1.与垂径定理相关的中点模型图1图2图31)条件：如图1，已知点P 是AB中点，连接OP ，结论：OP ⊥AB ；2)条件：如图2，已知点P 是AB 中点，过点P 作MN ∥AB ，结论：MN 是圆O 的切线；3)条件：如图3，点P 是AB中点，连接BP 、AP ，若∠BPN =∠A ，结论：MN 是圆O 切线。
证明：1)根据垂径定理易得：OP ⊥AB ；2)由1)知：OP ⊥AB ，∵MN ∥AB ，∴OP ⊥MN ，∴MN 是圆O 的切线。
3)由1)知：OP ⊥AB ，∴∠BPO +∠ABP =90°，∵P 是AB 中点，∴AP =BP，∴∠ABP =∠BAP ，∵∠BPN =∠A ，∴∠BPN =∠ABP ，∴∠BPO +∠BPN =90°，∴MN 是圆O 的切线。
1.(2023·陕西西安·校考模拟预测)如图，△BCD 内接于⊙O ，点B 是CD的中点，CD 是⊙O 的直径．若∠ABC =30°，AC =4，则BC 的长为()A.5B.42C.43D.522.(2023·湖北十堰·九年级校考期中)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 是AC 的中点，BD交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC 交BA 的延长线于点F ．(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若AF =2，FD =4，求△DFB 的面积．3.(2023春·福建福州·九年级统考期中)如图，点C 在以AB 为直径的半圆O 上(点C 不与A ，B 两点重合)，点D 是AC的中点、DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ，连接OF ，过点D 作半圆O 的切线DP 交BA 的延长线于点P ．(1)求证：AC ∥DP ；(2)求证：AC =2DE ；(3)连接CE ，CP ，若AE ∶EO =1∶2，求CE CP 的值．4.(2023·广东佛山·校联考一模)如图，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，D 为BE的中点，连接AE ，BD 并延长交于点C ．连接OD ，在OD 的延长线上取一点F ，连接BF ，使∠CBF =12∠BAC ．(1)求证：BF 为⊙O 的切线；(2)若AE =4，OF =92，求⊙O 的直径．模型2.与圆周角定理相关的中点模型(母子模型)1)条件：如图1，已知点P 是AB中点，点C 是圆上一点，结论：∠PCA =∠PCB ．2)条件：如图2，已知点P 是半圆中点，结论：∠PCA =∠PCB =45°．3)条件：如图3，已知点P 是AB 中点，结论：∠PBA =∠PCA =∠PCB =∠P AB ；△PDA ∽△P AC ；△PDB ∽△PBC ；△CAP ∽△CDB ；△CAD ∽△CPB 。
类比探究(三)——中点结构及综合应用 (讲义及答案)
类比探究（三）——中点结构及综合应用1. （2017·河南）如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是________； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =4，AB =10，请直接写出△PMN 面积的最大值．ABCDE N PM图1N 图22.（2020·德州）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是________；（2）AD的取值范围是___________；方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF 并延长交AC于点E，使AE=EF，求证：BF=AC．（4）如图3，在矩形ABCD中，12ABBC=，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且12EFBE=，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG．图1ED CBAFAB CDE图2G图3EDCBAF3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，点D ，E 分别在边AC ，AB上，∠DEA =90°，连接BD ，点F 是BD 的中点，连接CF ，EF ． （1）观察猜想图1中，线段CF 与EF 的数量关系是________，位置关系是__________； （2）探究证明把△DEA 绕点A 按逆时针方向旋转到图2的位置，请判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（提示：先延长EF 至点G ，使FG =EF ，再连接BG ，CE ，CG ） （3）拓展延伸把△DEA 绕点A 在平面内自由旋转，若ACAD =2，请直接写出当点B ，D ，E 在一条直线上时CE 的长．图1ABC DEF图2FEDCBA备用图ABC4. （2019·郑外三模）如图，已知点E 是射线BC 上的一点，以BC ，CE 为边作正方形ABCD 和正方形CEFG ，连接AF ，取AF 的中点M ，连接DM ，MG ．（1）如图1，判断线段DM 和GM 的数量关系是__________，位置关系是__________；（2）如图2，在图中的正方形CEFG 绕点C 逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC =10，CE=正方形CEFG 绕点C 旋转的过程中，当A ，F ，E 共线时，直接写出△DMG 的面积．ABCDEFGM图1图2M GFE DCBABDA备用图C5.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，BE，点P为DC的中点．（1）【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是__________，位置关系是__________．（2）【探究证明】把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，不成立请说明理由．（3）【拓展延伸】若AD=4，AB=使△ADE绕点A在平面内自由旋转．①在△ADE绕点A在平面内自由旋转过程中，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值；②当C，D，E三点共线时，请直接写出BE的长度．图1PEDC BA图2PEDC BAAB C备用图6. 已知如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =AC ，点D 在AB 上，DE ⊥AB交BC 于E ，点F 是AE 的中点．（1）写出线段FD 与线段FC 的关系并证明； （2）如图2，将△BDE 绕点B 逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其他条件不变，线段FD 与线段FC 的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE 绕点B 逆时针旋转一周，如果BC =4，BE=段BF 的范围．图1FEDCBA 图2F EDCBA7. （1）问题发现如图1，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠A =∠DEB =30°，BC =BE =3，Rt △BDE 绕点B 逆时针旋转，H 为CD 边的中点，当点C 与点E 重合时，BH 与AE 的位置关系是__________，BH 与AE 的数量关系是__________． （2）问题证明在Rt △BDE 绕点B 逆时针旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请就图2的情形给出证明，若不成立，请说明理由． （3）拓展应用在Rt △BDE 绕点B 逆时针旋转的过程中，当DE ∥AB 时，请直接写出BH 的长．图1H DC (E )B AE图2H DC BAC备用图BA8. （2019·河南）在△ABC 中，CA =CB ，∠ACB =α．点P 是平面内不与点A ，C 重合的任意一点．连接AP ，将线段AP 绕点P 逆时针旋转α得到线段DP ，连接AD ，BD ，CP ． （1）观察猜想如图1，当α=60°时，BDCP的值是__________，直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数是__________． （2）类比探究如图2，当α=90°时，请写出BDCP的值及直线BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数，并就图2的情形说明理由． （3）解决问题 当α=90°时，若点E ，F 分别是CA ，CB 的中点，点P 在直线EF 上，请直接写出点C ，P ，D 在同一直线上时ADCP的值．图1D CBAP图2DCBAP备用图FEABC【参考答案】1. （1）PM =PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形，理由略； （3）△PMN 面积的最大值为492． 2. （1）SAS ；（2）1＜AD ＜5； （3）证明略； （4）证明略．3. （1）CF =EF ，CF ⊥EF ；（2）仍然成立，理由略； （3）CE 的长为2或4． 4. （1）DM =GM ，DM ⊥GM ；（2）仍然成立，理由略； （3）△DMG 的面积为20或50． 5. （1）AP =12BE ，AP ⊥BE ； （2）仍然成立，证明略；（3）①AP 的最大值为22；②线段BE 的长为 6. （1）FD =FC ；FD ⊥FC ；（2）不变，FD =FC ；FD ⊥FC ，证明略；（3≤BF ≤7. （1）BH ⊥AE ；AE =；（2）仍然成立，证明略；（3）BH 的长为2或2． 8. （1）1；60°；（2）BDCP BD 与直线CP 相交所成的较小角的度数45°，理由略；（3）AD CP的值为22。
类比探究之中点问题
中线: 倍长中线（平行加中点） 中位线 三线合一（等腰三角形）
斜边上的中线是斜边的一半（直角三角形） 垂直平分线（过中点的垂线） 垂径定理及圆周角定理（圆）
已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上， E在AC的延长线上，DE交BC于F，且 DF=EF，求证：BD=CE
A
D B
F CG E
C
HB
M
G
F
D
E
A
（3）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转
45˚，此时点F恰好落在线段CD上，如图，其他
的条件不变，（1）中
P
的结论是否成立？
请说明理由。
C
H
B
M F
G
E
D
A
如图①,C为线段BE上的一点,分别以BC和CE为边
在BE的同侧作正方形ABCD和正方形CEFG,M、
N分别是线段AF和GD的中点,连接MN
(1)线段MN和GD的数量和位置关系是？
(2)将图①中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转,其
他条件不变,如图②,(1)的结论是否成立?说明理由;
A
D
A
D
M
N
G
F
M
N
F
E
B
①
C
EB
②G
C
如图①,C为线段BE上的一点,分别以BC和EFG,M、
N分别是线段AF和GD的中点,连接MN
如图，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以 DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段 BF的中点，射线EM与BC交于点H，连接CM。
（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关 系。
C
H
B
类比归纳专题：有关中点的证明与计算
∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴BD＝CE， ∴EO＋ON＋CN＝BM＋OM＋OD， ∴3OE＝3OM，即OE＝OM. 又∵DM＝2OM，EN＝2OE， ∴DM＝EN，∴四边形EDNM是矩形．
谢谢观看
Thank you for watching!
RJ·八年级数学下册
类比归纳专题： 有关中点的证明与计算
——遇中点，定思路，一击即中
◆类型一 直角三角形中，已知斜边中点构造斜 边上的中线
1．如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON) 上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地 面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离
(B) A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
的中点，若AB＝10，CD＝8，求MN的取值范围．
解：如图，取BD的中点P，连接PM，PN.
∵M是AD的中点，∴PM是△ABD的中位线，
∴PM＝ 1 AB＝5.
2
同理可得PN＝ 1 CD＝4. 2
在△PMN中，PM－PN＜MN＜PM＋PN， ∴1＜MN＜9.
5 ． (2018·武 汉 中 考 ) 如 图 ， 在 △ABC 中 ， ∠ACB ＝ 60° ， AC ＝ 1 ， D 是 边 AB 的 中 点 ， E 是 边 BC 上 一 点．若DE平分△ABC的周长，求DE的长． [提示：延长BC至F，使CF＝AC]
解：如图，延长BC至M，使CM＝CA，连接AM，作 CN⊥AM于N. ∵DE平分△ABC的周长， ∴CE＋AC＝EB， ∴CE＋CM＝EB，即ME＝EB. 又∵AD＝DB，∴DE＝ AM，DE∥AM. ∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＝120°.
∵CM＝CA，∴∠ACN＝60°，AN＝MN，
∴CN＝ 1AC＝ 1，∴AN＝ 3 ，
类比归纳专题：有关中点的证明与计算
类比归纳专题：有关中点的证明与计算遇中点，定思路，一击即中♦类型一直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线1. （2017高邑县期末）如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P,若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行.在此滑动过程中，点P到点O的距离（）A .变小B. 不变C. 变大D. 无法判断O BM2. 如图，在厶ABC中，BD丄AC于D, CE丄AB于E, M , N分别是BC, DE的中点.求证：MN丄DE（提示：连接ME , MD）.♦类型二结合或构造三角形的中位线解题3. （2017宁夏中考）如图，在△ ABC中，AB = 6,点D是AB的中点，过点D作DE // BC, 交AC于点，点M在DE上，且ME = 3DM .当AM丄BM时，则BC的长为 _____________ .34. 如图，在四边形ABCD中，M , N分别是AD, BC的中点，若AB = 10, CD = 8,求MN 的取值范围.5. 如图，AD, BE分别是△ ABC的中线和角平分线，AD丄BE于点G , AD = BE = 6, 求AC的长.♦类型三中点与特殊四边形6. 如图，等腰△ ABC中，AB= AC, BD , CE分别是边AC, AB上的中线，BD与CE 相交于点0,点M , N分别为线段BO和CO的中点.求证：四边形EDNM是矩形.参考答案与解析1. B2. 证明：连接ME,MD.T CE丄AB, /•△ BCE为直角三角形.•/ M为BC的中点，/• ME1 1=2BC.同理可证MD = 2BC,.・. ME = MD. •/ N 为DE 的中点，二MN 丄DE.1 16. 证明：•/ BD , CE 分另【J是AC, AB 边上的中线，/• AE = ?AB, AD = qAC, ED >△ ABC1的中位线，••• ED // BC, ED =尹C.v点M , N分别为线段BO和CO的中点，二OM = BM ,1ON = CN , MN 是厶OBC 的中位线，• MN // BC, MN = -BC,A ED // MN , ED = MN，•四边形EDNM 是平行四边形，• OE = ON, OD = OM.v AB = AC, • AE= AD.在厶ABD 和厶ACE AB= AC,中，/ A=Z A, ABD◎△ ACE, • BD = CE, • EO + ON+ CN = BM + OM + OD , • 3OE AD = AE,=3OM，即OE = OM •又T DM = 2OM , EN= 2OE ,• DM = EN,.四边形EDNM 是矩形.3. 84. 解：取BD的中点P,连接PM , PN.v M是AD的中点，二PM是厶ABD的中位线，二PM = 2AB = 5•同理可得PN = 2CD = 4•在△ PMN 中，PM —PN V MN V PM+ PN ,二1 V MNV 9.5. 解：过D点作DF // BE，交AC于点F.v AD是厶ABC的中线，AD丄BE ,二F为CE1的中点，AD 丄DF.A DF 是厶BCE 的中位线，/ ADF = 90°T AD = BE = 6,二DF = ?BE = 3, ••• AF = AD2+ DF2= 3_5.T BE 是厶ABC 的角平分线，/-Z ABG = Z DBG .v AD 丄BE,二AG =DG，即G 为AD 的中点.••• BE / DF，•/ E 为AF 的中点，• AE = EF = CF = "F，•/ AC =3 4 5AF = 3X 3质=也2 2 2 '。
类比归纳专题：有关中点的证明与计算人教八年级下册数学
类比归纳专题：有关中点的证明与计算——遇中点，定思路，一击即中◆类型一直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线1．(2017·高邑县期末)如图，一根木棍斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离( )A．变小B．不变C．变大D．无法判断2．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．求证：MN⊥DE(提示：连接ME，MD)．◆类型二结合或构造三角形的中位线解题3．(2017·宁夏中考)如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点，点M在DE上，且ME＝13DM.当AM⊥BM时，则BC的长为________．4．如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，若AB＝10，CD ＝8，求MN的取值范围．5．如图，AD，BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE于点G，AD＝BE ＝6，求AC的长．◆类型三中点与特殊四边形6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD 与CE相交于点O，点M，N分别为线段BO和CO的中点．求证：四边形EDNM是矩形．参考答案与解析1．B2．证明：连接ME ，MD .∵CE ⊥AB ，∴△BCE 为直角三角形．∵M 为BC 的中点，∴ME ＝12BC .同理可证MD ＝12BC ，∴ME ＝MD .∵N 为DE 的中点，∴MN ⊥DE . 3．84．解：取BD 的中点P ，连接PM ，PN .∵M 是AD 的中点，∴PM 是△ABD 的中位线，∴PM ＝12AB ＝5.同理可得PN ＝12CD ＝4.在△PMN 中，PM －PN ＜MN ＜PM ＋PN ，∴1＜MN ＜9.5．解：过D 点作DF ∥BE ，交AC 于点F .∵AD 是△ABC 的中线，AD ⊥BE ，∴F 为C 的中点，AD ⊥DF .∴DF 是△BCE 的中位线，∠ADF ＝90°.∵AD ＝BE ＝6，∴DF ＝12BE ＝3，∴AF ＝AD 2＋DF 2＝3 5.∵BE 是△ABC 的角平分线，∴∠ABG ＝∠DBG .∵AD⊥BE，∴AG＝DG，即G为AD的中点．∵BE∥DF，∴E为AF的中点，∴AE＝EF＝CF＝12AF，∴AC＝32AF＝32×35＝9526．证明：∵BD，CE分别是AC，AB边上的中线，∴AE＝12AB，AD＝12AC，ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，ED＝12BC.∵点M，N分别为线段BO和CO的中点，∴OM＝BM，ON＝CN，MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC，MN＝12BC，∴ED∥MN，ED＝MN，∴四边形EDNM是平行四边形∴OE＝ON，OD＝OM.∵AB＝AC，∴AE＝AD.在△ABD和△ACE中，错误!∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴EO＋ON＋CN＝BM＋OM＋OD，∴3OE＝3OM，即OE＝OM.又∵DM＝2OM，EN＝2OE，∴DM＝EN，∴四边形EDNM 是矩形．【素材积累】1、都，是一个微笑的城市宁静而美丽。
2020-2021年中考数学中点弧模型解题练习
中点弧模型解题策略【2020龙华区二模】如图，已知AB 是⊙O 的弦，点C 是弧AB 的中点，D 是弦AB 上一动点，且不与A 、B 重合，CD 的延长线交于⊙O 点E ，连接AE 、BE ，过点A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，∠ABC ＝30°．(1)求证：AF 是⊙O 的切线；(2)若BC ＝6，CD ＝3，则DE 的长为__________；(3)当点D 在弦AB 上运动时，BEAE CE ＋的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值.【2020龙岗区二模16题】如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝3,AD ＝5,∠BAD ＝60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是________【2019龙岗区模拟22题（删减）】如图,⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是⊙O外一点且满足∠DCA＝∠B，连接AD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）如图，当∠DAB＝45°时，AD与⊙O交于E点，试写出AC、EC、BC之间的数量关系并证明．【2019湖北中考】已知△ABC内接于⊙O,∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB,DC．（1）如图①，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB,AC,AD之间满足的等量关系式：________；（2）如图②，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB,AC,AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC＝5,BD＝4，求ADAB＋AC的值．【2016深圳中考22题】如图，已知⊙??的半径为2，????为直径，????为弦，????与?????沿????翻折后，点??与圆心??重合，延长????至??，使????＝????，交于点??，将????连接????．（1）求????的长；（2）求证：????是⊙??的切线；?的中点，在????延长线上有一动点??，连接????交????于点??，（3）点??为???????于点??（??与??，??不重合），问?????????是否为定值?如果是，求出该定值；交????如果不是，（4）在（3）的条件下，当CF∥AB时，问FE·FG是否为定值？，如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．【2020成都二诊】如图，四边形ABCD内接于Oe，对角线AC、BD交于点P，且AB，则BC CDg．AC，3AB AD，若7【2019广东省中考】如图1，在△ABC中，AB＝AC,⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心,BC·BE＝25，求BG的长．?上的动点【2018深圳中考22题（删减）】如图在⊙??中，????＝????，点??为????过??点作????⊥????，求证：????＝????＋????．【2020红岭中学模拟】如图7－1，AB是⊙O的直径，AC＝8cm，BC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，交AB于点E延长AB到点P使PC＝PE.(1) 求AD的长: (2) 求证: PC是⊙O的切线:(3)如图7－2，作DH⊥AC于点H试探究线段AH、DH、BC之间的数量关系，并说明理由.【2020盐田区二模23题】如图，△ABC 内接于⊙O ，AC ＝BC ，弦CD 与AB 交于E ，AB ＝CD ，过A 作AF ⊥BC 于F.(1)判断AC 与BD 的位置关系，并说明理由;(2)求证: AC ＝2CF ＋BD ;(3)若CFA CBD s S 求tan ∠BDC 的值.FE DCOA B【2020南山实验中学开学测】如图，AB为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为D, ⌒AC＝⌒CE．（1）求证：AF＝CF；（2）若⊙O的半径为5,AE＝8，求EF的长．【2020·成都模拟】如图,△ABC内接于⊙O,AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．（1）求证：MN是⊙O的切线．（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．①求证：FD＝FG．②若BC＝3,AB＝5，试求AE的长．。
角平分和弧中点的使用方法
无切线基本图形（1）【角平分和弧中点的使用方法】角平分线、弧线中点和等腰之一得二；全等模型． 1、已知AB 为⊙O 的直径，Ｃ为⊙O 上一点，CD ⊥AB 于点Ｄ，CE 平分∠OCD 交⊙O 于Ｅ. （1）如图1，求证：AE ︵＝BE ︵；（2）如图2，若CE ＝4，求四边形ACBE 的面积.ABEEBA2、如图，过O 、M （1，1））的动圆⊙O 1交y 轴、x 轴于A 、B ，求OA ＋OB 的值.）8、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，弦CP 平分△ABC 的外角∠ACQ ，∠ACB ＝90°， （1）求证：PA ︵＝PB ︵； （2）求证：AC －BC ＝2PC .11、如图，(4,0)A ，(0,4)B ，⊙'O 经过A 、B 、O 三点，点P 为OA ︵上一动点(异于O 、A )，求PB －P A PO的值.AB14、（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB＋PC；（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PC＋2PB；（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，并给予证明．（15年9上华一寄期中模拟）如图，已知AB、AC是⊙O的弦，D为弧BC的中点，弦DF⊥AB 于E，AC＝2，AB＝3，则BE的长为（）A．1 B．12C．23D．1416、（15年9上华一寄期中模拟）如图，已知：⊙O中，C为优弧AE的中点．（1）如图1，求证：OC⊥AE；（2）如图2，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于D，若BD＝1，AE＝4，求⊙O的半径．7、如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，EF⊥AB，垂足为F，（1）求证：EB＝EC；（2）①求式子AB ＋AC BF 的值；②求式子AB －ACAF的值.E13、（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题，如图1，在⊙O 中，C 是AB ︵的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，则AE ＝BE ，请证明此结论；（2）从圆上任一点出发的两条弦组成折线，称为该圆的一条折弦，如图2，PB 、P A 组成的⊙O 的一条折弦，C 是劣弧AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，则AE ＝PE ＋PB ，请证明你的结论；（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥P A 于点E ，则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论．3、如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两点，且点D 是AC ︵的中点，过点D 作DE 垂直于AB ，E 为垂足.（1）求证：DE ＝12AC ；（2）若AE ＝2，AC ＝8，记AC 与DE 交点为F ，求EF 的长度.4、如图，M 在x 轴上，⊙M 交x 轴于A 、B ，交y 轴于D 、F ，D 为AC ︵的中点，AC 交OD图1图2图3于E ，交BD 于N ，（1）求证：AE ＝DE ；（2）若AC ＝4，求点D 的坐标；（3）探究：EM 与BN 之间的数量关系和位置关系．5、（2013年内江）如图，半圆O 的直径AB ＝10cm ，弦AC ＝6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为_________.6、（2014年武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，P 是上两点，AB ＝13，AC ＝5.（1）如图（1），若点P 是的中点，求P A 的长； （2）如图（2），若点P 是的中点，求P A 的长.12、如图，△ABC 内接于⊙O ，AC ＞BC ，点D 为ACB ︵的中点. 求证：AD 2＝AC ·BC ＋CD 2.1、如图，以AB＝8的半圆弧上有一点C，沿CB把半圆弧折叠，折叠后的弧线与直径AB交于P点，且AP:PB＝1:3，则折叠BC的长为________.AB【内心、外心，垂心】2、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的外心，I为△ABC的内心，求OI的长．Array7、如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD平分∠ACB，AI平分∠CAB，⊙O的半径为1，则DI的长为（）A． 3 B．2 C． 2 D．142，CF⊥AD于F，交AB于G，且OG＝1，则⊙O的半径为__________．1、(2014年武汉模拟)已知点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ，AD 、BC 交于F ．(1)如图1，求证：DE ＝DB ；(2)如图2，若AD 是△ABC 的外接圆的直径，G 为AB 上一点，且∠ADG ＝12∠C ，若BG ＝3，AG ＝5，求DE 的长.CD2、如图，AB 为⊙O 的一条直径，D 为AB ︵中点，点C 在直径AB 的另一半圆弧上，弦CD交∠BAC 的角平分线于O 1．（1）求证：①DA ＝DO 1；②O 1D ＝2OA ；（2）过O 1作O 1M ⊥AB 于M ，若AB ＝10，CD ＝72，求O 1M 的长．3、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ，点M 为△ABC 的内心．(1)求证:BC ＝2DM ；(2)若DM ＝52，AB ＝8．求OM 的长．BC4、如图，AB 为⊙O 的直径，点M 为半圆的中点，点P 为另一半圆上一点（不与A 、B 重合），点I 为△ABP 的内心，IN ⊥BP 于N ，下列结论：①∠APM ＝45°；②AB ＝2IM ；③∠BIM ＝∠BAP ；④IN ＋OB PM ＝22．其中正确的有_______________．5、如图，BC 是⊙O 的直径，半径为R ，A 为半圆上一点，I 为△ABC 的内心，延长AI 交BC 于D 点，交⊙0于点E ，作IF ⊥BC ，连接AO ，BI ．下列结论：①AB ＋AC ＝BC ＋2IF ；②4∠AIB ﹣∠BOA ＝360°；③EB ＝EI ；④IF ＋RAE为定值，其中正确的结论有（）4、已知AB 为⊙O 的直径，C 为半圆上一点，D 为半圆的中点，AH ⊥CD 于H ． （1）如图1，求证：OH 平分∠AHC ；（2）如图2，连AC 、BC ，若AC ＝6，BO ＝4，求OH 的长．5、如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，BC 为直径，AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ，点M 为△ABCABCDH O图2 AB C DH O图1的内心．(1)求证:BC ＝2DM ；(2)若DM ＝52，AB ＝8．求OM 的长．17、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，过C 点作CG ∥AD 交AB 的延长线于点G ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD ． （1）试问：CG 是⊙O 的切线吗？说明理由； （2）求证：E 为OB 的中点； （3）若AB =10，求CD 的长．9、如图，在平面之间坐标系中，⊙D 与坐标轴分别交于A （32-，0）、B （32，0）、C （0，6）（1）求D 点的坐标；（2）如图，P 为弧BC 上一点，E 为⊙D 与x 轴的交点，连PC 、PE ，I 是△PCE 的内心，延长PI 交⊙D 于F ，过C 作CQ ⊥PF ，垂足为Q ，连DQ ，则∠FQD 的度数为 ； （3）在（2）的条件下，过I 作IM ⊥PE ，垂足为M ，求PFDEIM +的值.C【旋转思想】、1、（2015•武汉模拟）已知：⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，点D 在边AC 上，AD ＝AO ； （1）如图1，若弦BE ∥OD ，求证：OD ＝BE ； （2）如图2，点F 在边BC 上，BF ＝BO ，若OD ＝2，OF ＝3，求⊙O 的直径．2、如图，△ABC 为⊙O 内接三角形，∠ACB ＝60°. （1）求证：AB ；（2）P 为AB 中点，AP ＝AD ，BP ＝BE ，且PD ＝2，PE ＝3，求AB 的长.图1图23、（2015•武汉模拟）如图，△ABC 为等边三角形．O 为BC 的中垂线AH 上的动点，⊙O 经过B ，C 两点，D 为弧上一点，D ，A 两点在BC 边异侧，连接AD ，BD ，CD ． （1）如图1，若⊙O 经过点A ，求证：BD ＋CD ＝AD ； （2）如图2，圆心O 在BD 上，若∠BAD ＝45°；求∠ADB 的度数； （3）如图3，若AH ＝OH ，求证：BD 2＋CD 2＝AD 2．旋转1、（2016年秋汉阳区期中第16题）平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，,0），点B 的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且P A＝2，以PB为边作等边三角形∆PBM，则线段AM的长的最大值为．。
专题 中点弧模型(学生版)
专题38圆综合之中点弧模型题型一中点弧与相似∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似【补充】⑥PE•PC＝PA•PB，注意：⑥不能反推出前五项题型二中点弧与旋转【模型解读】邻边相等+对角互补∣旋转相似模型∣∣∣题型三中点弧+内心可得等腰【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，证DI＝DC＝BD∣∣【简证】∠1＝∠4＋∠5∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3题型四弧中点与垂径定理【模型解读】题型五弧中点与垂径模型（三等弧模型）【例题】如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，C 是AD 的中点，弦CE ⊥AB 于点H ，连结AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ，连结BD 。
(1)证CO ∥BD(2)AD ＝CE(3)证：P 是线段AQ 的中点(4)证：CP ·CE ＝AH ·AB ＝CQ ·CB(5)tan ∠DBC ＝CQCB(6)若AD ＝8，BD ＝6，求AH 的值(7)若⊙O 的半径为5，AQ ＝，求弦CE 的长。
知1推51AD 平分∠CAB 2D 是CB 的中点3DO ⊥CB 4CE EB=5//AC OD612OE AC=【简证】（1）（2）(3)先利用弧相等导角证AP＝CP，再通过Rt△ACQ中的互余关系，得到PQ＝CP，∴AP＝PQ＝CP（4）CP＝AP，CE＝AD⇒CP•CE＝AP•AD，△APH∼△ABD⇒AP•AD＝AH•AB（5）（6）法一（6）法二（7）找到对应相似三角形是关键【巩固训练】一．中点弧与相似（共8小题）1．如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC、BD交于点P，且AB AD=，若7AC=，3AB=，则BC CD⋅=．2．如图，已知AB是O的直径，点C在O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC PC=，2COB PCB∠=∠．（1）求证：PC是O的切线；（2）求证：12BC AB=；（3）点M是AB的中点，CM交AB于点N，若4AB=，求MN MC⋅的值．3．如图，已知O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将CD沿着CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP OA=，连接PC．（1）求CD的长；（2）求证：PC是O的切线；（3）点G为ADB的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E，交BC于点(F F与B、C不重合）．问?GE GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．4．如图，AB是O的直径，D、E为O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD BD=，连接AC交O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：E C∠=∠；（2）若55∠的度数；∠=︒，求BDFE（3）设DE交AB于点G，若10⋅的值．AB=，E是AEB的中点，求EG ED5．如图，以ABC∆的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、C两点，与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F．AB BF=，4CF=，DF=．（1）求证：AB是O的切线；（2）求O的半径r；（3）设点P是BA延长线上的一个动点，连接DP交CF于点M，交弧AC于点(N N与A、C不重合）．试问DM DN是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是．请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点(A 0)，B ，0)，以AB 为直径的G 交y 轴于C 、D 两点．（1）填空：请直接写出G 的半径r 、圆心G 的坐标：r =；(G ，)；（2）如图2，直线53y x =-+与x ，y 轴分别交于F ，E 两点，且经过圆上一点T )m ，求证：直线EF 是G 的切线．（3）在（2）的条件下，如图3，点M 是G 优弧TBA 上的一个动点（不包括A 、T 两点），连接AT 、CM 、TM ，CM 交AT 于点N ．试问，是否存在一个常数k ，始终满足CN CM k =？如果存在，求出k 的值，如果不存在，请说明理由．7．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF BC =，O 是BEF ∆的外接圆，EBF ∠的平分线交EF 于点G ，交O 于点H ，连接BD ，FH ．（1）求证：ABC EBF ∆≅∆；（2）试判断BD 与O 的位置关系，并说明理由；（3）若1AB =，求HG HB ⋅的值．8．已知：如图，抛物线2133y x m =-+与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，90ACB ∠=︒，（1）求m 的值及抛物线顶点坐标；（2）过A 、B 、C 的三点的M 交y 轴于另一点D ，连接DM 并延长交M 于点E ，过E 点的M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式；（3）在条件（2）下，设P 为CBD 上的动点(P 不与C 、D 重合），连接PA 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH AP k ⋅=？如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由．二．中点弧与旋转（共4小题）9．如图，在O 中，B 是O 上的一点，120ABC ∠=︒，弦23AC =，弦BM 平分ABC ∠交AC 于点D ，连接MA ，MC ．（1）求O 半径的长；（2）求证：AB BC BM +=．10．如图，已知四边形ABCD 为O 的内接四边形，BD 平分ABC ∠，DH AB ⊥于点H ，3DH =，120ABC ∠=︒，则AB BC +的值为()A 2B 3C ．2D 511．在O 的内接四边形ABCD 中，6AB =，10AD =，60BAD ∠=︒，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是．12．如图，已知AB是O的弦，点C是弧AB的中点，D是弦AB上一动点，且不与A、B重合，CD的延长线交于O点E，连接AE、BE，过点A作AF BC⊥，垂足为F，30ABC∠=︒．（1）求证：AF是O的切线；（2）若6BC=，3CD=，求DE的长．（3）当点D在弦AB上运动时，CEAE BE+的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．三．中点弧+内心可得等腰（共6小题）13．如图，ABC∆的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是()∆内心为I，连接AI并延长交ABCA．DI DB<D．不确定=B．DI DB>C．DI DB14．如图，点O是ABC=．∆的内心，AO的延长线交ABC∆的外接圆于D．求证：OD CD15．如图，点I是ABC∆的外接圆O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA ∆的内心，BI的延长线与ABC相交于点F，ADF∠的平分线交AF于点G．（1）求证：//DG CA；（2）求证：AD ID=；（3）若4DE=，5BE=，求BI的长．于点E ，延长DC 至点F ，使CF AC =，连接AF ．（1）求证：AF 是O 的切线；（2）求证：22AB BE BE EC -=⋅；（3）如图2，若点G 是ACD ∆的内心，64BC BE ⋅=，求BG 的长．17．如图，O 是ABC ∆的外接圆，点E 是ABC ∆的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交O 于点D ，连接BD ，BE ．（1）求证：DB DE =；（2）若3AE =，4DF =，求DB 的长．交BC于点E，延长DC至点F，使CF AC=，连接AF．（1）求证：ED EC=；（2）求证：AF是O的切线；（3）如图2，若点G是ACDBC BE=，求BG的长．∆的内心，25四．弧中点与垂径定理（共5小题）19．如图，AB是O的直径，C，D是O上的两点，且BC平分ABD∠，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是()A．//=∆≅∆D．AF FDOC BD B．AD OC⊥C．CEF BED20．如图，AB是O的直径，点C是O上一点，连接BC，AC，点E是BC的中点，连结并延长OE交圆于点D．（1）求证：//OD AC．（2）若2DE=，23BE=，求阴影部分的面积．21．如图，AB是O的直径，C，P是AB上两点，13AC=．AB=，5（1）如图（1），若点P是AB的中点，求PA的长；（2）如图（2），若点P是BC的中点，求PA的长．22．如图，AB是O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC BC=，连接BC．（1）求证：BC是O的切线；（2）若O的半径为5，8AE=，求GF的长．23．如图，AB为O的直径，C，D为圆上的两点，//OC BD，弦AD，BC相交于点E．（1）求证：AC CD=；（2）若2CE=，6EB=，求O的半径．五．弧中点与垂径模型（三等弧）（共6小题）24．如图，AB是O的直径，点C为BD的中点，CF为O的弦，且CF AB⊥，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．（1）求证：BFG CDG∆≅∆；（2）若2AD BE==，求BF的长．25．如图，已知AB是O的直径，P是BA延长线上一点，PC切O于点C，CG是O的弦，CG AB⊥，垂足为D．（1）求证：PCA ABC∠=∠．（2）过点A作//AE PC交O于点E，交CD于点F，连接BE，若4cos5P∠=，10CF=，求BE的长．26．如图，ABC∆内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若MAC ABC∠=∠．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE AB⊥于E，交AC于F，求证：FD FG=．（3）在（2）的条件下，若DFG∆的面积为4.5，且3DG=，4GC=，试求BCG∆的面积．27．如图，AB为O的直径，P是BA延长线一点，PC切O于点C，CG是O的弦，CG AB⊥，垂足为D．（1）求证：ACD ABC∆∆∽；（2）求证：PCA ABC∠=∠；（3）过点A作//AE PC交O于点E，连接BE，若3sin5P∠=，5CF=，求BE的长．28．已知：如图，ABC ∆内接于O ，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是AD 的中点，连接BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ．（1）求证：AP CP =；（2）若3tan 4ABC ∠=，8CF =，求CQ 的长；（3）求证：2()FP PQ FP FG +=⋅．29．如图，AB 为O 的直径，P 是BA 延长线上一点，CG 是O 的弦PCA ABC ∠=∠，CG AB ⊥，垂足为D（1）求证：PC 是O 的切线；（2）求证：PA AD PC CD=；（3）过点A 作//AE PC 交O 于点E ，交CD 于点F ，连接BE ，若3sin 5P ∠=，5CF =，求BE 的长．。