2014届高三调研考试数学(理科)试题
(上海版)2014届高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编 专题10.圆锥曲线 理(含解析)
（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编 专题10.圆锥曲线 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米．则水面升高1米后，水面宽是____________米（精确到01.0米）．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】经过点 (1, 0)A 且法向量为(2, 1)n =-的直线l 的方程是 ．3. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】方程22124x y m +=+表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 取值范围是 ．4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】已知抛物线220y x =焦点F恰好是双曲线22221x y a b-=的右焦点，且双曲线过点15(,3)4，则该双曲线的渐近线方程为________.5. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】设1F 、2F 是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的两个焦点，P 是C 上一点，若a PF PF 6||||21=+，且△21F PF 最小内角的大小为︒30，则双曲线C 的渐近线方程是…………………………………………………（ ）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．02=±y xD ．02=±y x6. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】抛物线28y x=-的焦点与双曲线2221x y a-=的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .【答案】3π 【解析】7. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】椭圆cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩(0a b >>，参数ϕ的范围是02ϕπ≤<）的两个焦点为1F 、2F ，以12F F 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且124FF =，则a 等于 ．8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】若曲线(,)0f x y =上存在两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的自公切线，下列方程的曲线有自公切线的是（ ）．（A ）210x y +-= （B ）10x =（C ）2210x y x x +---= （D ）2310x xy -+=考点：方程与曲线，曲线的切线．9. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】设圆O 1和圆O 2是两个相离的定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹可能是 ①两条双曲线；②一条双曲线和一条直线；③一条双曲线和一个椭圆．以上命题正确的是--（ ）A ．① ③B ．② ③C ．① ②D ．① ② ③三．拔高题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知椭圆Γ：12222=+by a x （0>>b a ）的右焦点为)0,22(，且椭圆Γ过点)1,3(．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设斜率为1的直线l 与椭圆Γ交于不同两点A 、B ，以线段AB 为底边作等腰三角形PAB ，其中顶点P 的坐标为)2,3(-，求△PAB 的面积．【答案】（1）141222=+y x ；（2）92．所以24343-=-mm ，解得2=m ． …………………………………………（5分） 此时方程①变为0642=+x x ，解得)1,3(--A ，)2,0(B ，所以23||=AB ． 又)2,3(-P 到直线l ：02=+-y x 的距离2232|223|=+--=d ， ………（7分）所以△PAB 的面积29||21=⋅=d AB S ． ………………………………………（8分） 考点：（1）椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆相交的综合问题．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>> 经过点3(1,)2M ，且其右焦点与抛物线22:4C y x = 的焦点F 重合，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,P Q两点． （1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点(,0)N n，使得QP NP PQ NQ ⋅=⋅？ 若存在，求出n 的取值范围；若不存在，说明理由；（3）过点0(4,0)P 且不垂直于x 轴的直线与椭圆交于,A B 两点，点B 关于x 轴的对称点为E ，试证明：直线AE 过定点．试题解析：（1）由题意，得：(1,0)F所以222291411a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩ ， 解，得2243a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以椭圆的方程为：22143x y += ；（1） 证明：设直线AB 的方程为：(4),(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=，得： 2222(34)3264120k x k x k +-+-=，由2222(32)4(34)(6412)0k k k ∆=--+->，得：11(,)22k ∈- ， 设334444(,),(,),(,)A x y B x y E x y - ，则22343422326412,3434k k x x x x k k-+==++ ， 则直线AE 的方程为343334()y y y y x x x x +-=-- ，令0y = 得：343443344333343434(4)(4)(8)x x x y x y x k x x k x x y x y y y y k x x -+⋅-+⋅-=-⋅+==+++- 2222343423426412322424()34341328834k k x x x x k k k x x k-⋅-⋅⋅-+++===+--+ ， 所以直线AE 过定点(1,0) .考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系.3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如图，已知平面内一动点A到两个定点1F 、2F 的距离之和为4，线段12F F 的长为2c (0)c >. （1）求动点A 的轨迹Γ；（2）当c =过点1F 作直线l 与轨迹Γ交于A 、C 两点，且点A 在线段12F F 的上方，线段AC 的垂直平分线为m ①求12AF F ∆的面积的最大值；②轨迹Γ上是否存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称，请说明理由.【答案】（1）参考解析；（2【解析】试题解析：（1）当42c >即02c <<时，轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆 3分当2c =时，轨迹是线段12F F 4分 当2c >时，轨迹不存在 5分2②结论：当12AC F F 时，显然存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 11分 下证当AC 与12F F 不垂直时，不存在除A 、C 外的两点S 、T 关于直线m 对称 12分直线m的斜率为114k k-≠-，则假设不成立，故此时椭圆上不存在两点（除了点A 、点C 外）关于直线m 对称 16分 考点：1.点的轨迹问题.2.椭圆的性质.3.直线与椭圆的位置关系.3.对称性的应用. 4. 【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】如图，直线:l y kx b =+与抛物线22x py =（常数0p >）相交于不同的两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，且21x x h -=（h 为定值），线段AB 的中点为D ，与直线l y kx b =+：平行的切线的切点为C （不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）．（1）用k 、b 表示出C 点、D 点的坐标，并证明CD 垂直于x 轴； （2）求C AB ∆的面积，证明C AB ∆的面积与k 、b 无关，只与h 有关；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC 、BC ，再作与AC 、BC 平行的切线，切点分别为E 、F ，小张马上写出了CE A ∆、CF B ∆的面积，由此小张求出了直线l 与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．【答案】（1）2(,)2pk C pk ，2(,)D pk pk b +，（2）316h p，（3）能. 【解析】试题分析：（1）因为D 点为直线与抛物线的交点A ，B 中点，所以求D 点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由222202y kx bx pkx pb x py =+⎧⇒--=⎨=⎩，得122x x pk +=，122x x pb ⋅=-，点2(,)D pk pk b +.因为C 点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别（本小题也可以求AB h=，切点到直线l的距离2d==，相应给分）5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知点),(y x M 是平面直角坐标系上的一个动点，点M 到直线4=x 的距离等于点M 到点(1,0)D 的距离的2倍．记动点M 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程； (2)斜率为21的直线l 与曲线C 交于B A 、两个不同点，若直线l 不过点)23,1(P ，设直线PB PA 、的斜率分别为PB PA k k 、，求PB PA k k +的数值；(3)试问：是否存在一个定圆N ，与以动点M 为圆心，以MD 为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．设存在这个定圆N 与动圆M 内切，则圆心距MN 为两圆半径之差，从而MN 与两圆中的某个圆的半径之和或差为定值（定圆N 的半径），由于点D 是椭圆的右焦点，这时联想椭圆的定义，若N 是椭圆的左焦点，则就有24MN MD a +==是常数，故定圆是以(1,0)N -为圆心，4为半径的圆.6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k-++.所以DP MN的取值范围是1(0,)4.考点：1.向量的数量积.2.椭圆的性质.3.等价转化的数学思想.4.运算能力.7. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】为了寻找马航MH370残骸,我国“雪龙号”科考船于2014年3月26日从港口O 出发，沿北偏东α角的射线OZ 方向航行，而在港口北偏东β角的方向上有一个给科考船补给物资的小岛A ，OA ===βαcos ,31tan 132.现指挥部需要紧急征调位于港口O 正东m 海里的B 处的补给船，速往小岛A 装上补给物资供给科考船．该船沿BA 方向全速追赶科考船，并在C 处相遇．经测算当两船运行的航线与海岸线OB 围成的三角形OBC 的面积S 最小时，这种补给方案最优.（1）求S 关于m 的函数关系式()S m ；（2）应征调位于港口正东多少海里处的补给船只，补给方案最优？第21题图考点：解析法解应用题.8. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】设椭圆1Γ的中心和抛物线2Γ的顶点均为原点O ，1Γ、2Γ的焦点均在x 轴上，过2Γ的焦点F 作直线l ，与2Γ交于A 、B 两点，在1Γ、2Γ上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1Γ，2Γ的标准方程；（2）若l 与1Γ交于C 、D 两点，0F 为1Γ的左焦点，求00F AB F CDS S △△的最小值；（3）点P Q 、是1Γ上的两点，且OP OQ ⊥，求证：2211OPOQ+为定值；反之，当2211OPOQ+为此定值时，OP OQ ⊥是否成立？请说明理由.试题解析：（1）()-2,0⎭在椭圆上，(()34-4，，在抛物线上， 2211,43x y ∴Γ+=： 2Γ：24.y x = …………………（4分）联立方程22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得222221212,4343P P k x y k k ==++； ……………（12分）9. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】已知椭圆2222(0)x y a a +=>的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4．（1）求椭圆C 的方程； （2）已知直线)1(-=x k y 与椭圆C 交于A 、B 两点，试问，是否存在x 轴上的点(),0M m ，使得对任意的k R ∈，MA MB ⋅为定值，若存在，求出M 点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）14822=+y x ；（2）存在点11(,0)4M 使得MA MB ⋅为定值.。
四川省温江二中2014届高三二诊模拟考试(一)数学(理科)试题
四川省温江二中2014届高三二诊模拟考试（一）数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.1．已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B 等于（A ）[1,4)- （B ）(2,3] （C ）(2,3) （D ）(1,4)-2．已知i z i 32)33(-=⋅+（i 是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的 （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限3．“a b >”是“22a b ab +⎛⎫> ⎪⎝⎭”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.已知}{n a 为等差数列，若π=++951a a a ，则)cos(82a a +的值为A. 21- B.23- C. 21 D.235．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于A ．10 cm 3B ．20 cm 3C ．30 cm 3D ．40 cm 36.两个正数a 、b 的等差中项是2，一个等比中项是3，则双曲线12222=-by a x 的离心率是A ．3 B ．10 C ．310D ．10或3107．函数()sin()(0,||)2f x A wx A πϕϕ=+><其中的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象俯视图A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度8．已知向量(,1),(2,)a x z b y z =-=+ ，且a b ⊥ ，若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则z 的最大值为A.1B.2C.3D.49．某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门；另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门.则不同的分配方案有（A ） 36种 （B ）38种 （C ）108种 （D ） 114种 10．给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数； ②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根。
2014届高三理科数学综合测试题(5)
2014届数学（理科）综合测试题（5）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则复数)1(2i i +的模是（ ） （A ）4； （B ）； （C ）； （D ）8.2.若集合}3{<=x x M ,})1lg({-==x y x N ,则=⋂N M （ ）（A ）)3,1(； （B ）)3,1[； （C ）)3,1(-； （D ）)1,3(-.3．如图，在ABC ∆中，2===BC AC AB ，则=⋅BC AB ( )（A ）1； （B ）1-； （C ）2； （D ）2-. 第3题图4.双曲线1422=-y x 的焦点到渐近线的距离为（ ） （A ）2； （B ）2； （C ）1； （D ）3.5.在下列命题：①R x ∈∀，0)21(>x ； ②2πα=是1sin =α的充要条件；③二项式43)12(xx + 展开式中的常数项为2；④设随机变量ξ～)1,0(N ，若p P =≥)1(ξ，则p P -=<<-21)01(ξ，其中所有正确命题的序号是（ ）（A ）①②③； （B ）①③④； （C ）①②④； （D ）②③④.6.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）（A ）4种； （B ）10种； （C ）18种； （D ）20种. 7.某个长方体被一个平面所截，截得的几何 体的三视图如图所示，则这个几何体的体 积为（ ）（A ）4； （B ）24；（C ）26； （D ）8. 第7题图8.设),(A A y x A ,),(B B y x B 为平面直角坐标系上的两点，其中Z y x y x B B A A ∈,,,.令，,若,且，则称点B 为点A 的“相关点”，记作：)(A B τ=,已知),(000y x P （Z y x ∈00,）为平面上一个定点，平面上点列}{i P 满足：)(1-=i i P P τ且点i P 的坐标为),(i i y x ，其中n i ,,3,2,1⋅⋅⋅=,则点的“相关点”个数为（ ）（A ）4； （B ）6； （C ）8； （D ）10.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～13题） 9.已知),2(ππα∈，21sin =α，则=α2tan . 10.在等比数列}{n a 中，02423=-a a a ,若}{n b为等差数列，且33a b =, 则数列}{n b 的前5 项和等于 .11.若执行如图所示的框图，输入11=x ，22=x ， 33=x ，2=x ，则输出的数等于 . 12.设是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时,)1(2)(x x x f -=，则=-)25(f .13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料2千克； 生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产 第11题图 品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求以每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司可共获得的最大利润是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只记前一题的得分）14.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==ααsin 1cos y x （其中α为参数）；在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为01)sin (cos =+-θθρ，则1C 与2C 交点个数为 .15.如图，BC AE AD ,,分别与圆O 切于点F E D ,,，延长AF 与圆O 交于另一点G ，给出下列三个结论：①CA BC AB AE AD ++=+， ②AE AD AG AF ⨯=⨯， ③AFB ∆∽ADG ∆，其中正确结论的序号是 . 第15题图三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）设)3,cos 2(x ω=，22(sin ,cos sin )b x x x ωωω=-（0>ω），函数x f ⋅=)(，且函数)(x f 图像的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为4π. （1）为求函数)(x f 的解析式.（2）在锐角三角形ABC 中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,,且满足0)(=A f ,4π=B ，2=a ，求边c 的长.17.（本小题满分12分）靖国神社是日本军国主义的象征.中国人民珍爱和平，所以要坚决反对日本军国主义.2013年12月26日日本首相安倍晋三悍然参拜靖国神社，此举在世界各国激起舆论的批评.某报的环球舆情调查中心对中国大陆七个代表性城市的1000个普通民众展开民意调查.某城市调查体统计结果如下表：（1上持续对日强硬”的民众所占比例；（2）能否有以上的把握认为这七个代表性城市的普通民众的民意与性别有关？（3）从被调查认为“中国政府需要在钓鱼岛和其他争议问题上持续对日强硬”的民 众中，采用分层抽样的方式抽取6人做进一步的问卷调查，然后在这6人中用简单随机抽样方法抽取2人进行电视专访，记被抽到的2人中女性的人数为X ，求X 的分布列.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,18.（本小题满分14分）如图，已知1111D C B A ABCD - 是棱长为3的正方 体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11==FC AE .（1）求证：E 、B 、F 、1D 四点共面；（2）若点G 在BC 上，23=BG ，点M 在1BB 上，BF GM ⊥，垂足为H ，求证： ⊥EM 面11B BCC ；（3）用θ表示截面1EBFD 和面11B BCC 所成锐二面角大小，求θcos .P(19.（本小题满分14分）已知椭圆C 的方程为142222=+my m x ，如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)0,2(A ，)1,0(B ，)1,2(C .（1）求椭圆C 的离心率；（2）若椭圆C 与ABC ∆无公共点，求m 的取值范围；（3）若椭圆C 与ABC ∆相交于不同的两点，分别为M 、N ，求OMN ∆面积S 的最大值.20.（本小题满分14分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知6)2(321--+=++n n n a S ，+∈N n ，21=a . （1）求2a 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有12711121<+⋅⋅⋅++n a a a .21.（本小题满分14分）已知函数ax e x f x --=1)(，R a ∈. （1）求函数)(x f y =的单调区间；（2）试探究函数x x x f x F ln )()(-=在定义域内是否存在零点，若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由.（3）若x e x g x ln )1ln()(--=，且)())((x f x g f <在),0(+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：1．B ；2．A ；3．D ；4．C ；5．B ；6．B ；7．D ；8．C ． 二、填空题：9．3-；10．10；11．32；12．21-；13．2800；14．2；15．①②． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分12分）（1）x x x x x x b a x f ωωωωωω2cos 32sin )sin (cos 3cos sin 2)(22+=-+=⋅= ……2分 )32s i n (2)2c o s 232s i n 21(2πωωω+=+=x x x 。
甘肃省张掖市2014届高三第三次诊断考试理科数学试题
甘肃省张掖市2014届高三第三次诊断考试理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟,请将答案填在答题卡相应位置上.第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项． 1．若{}Z x x A x ∈<<=,1622|}032|{2<--=x x x B ，则B A 中元素个数为（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．32．若(12)1ai i bi +=-，其中,a b R ∈，则||a bi +＝（ ）．A.12＋i B. C.D. 543．我校要从4名男生和2名女生中选出2人担任H7N9禽流感防御宣传工作,则在选出的宣传者中男、女都有的概率为（ ）．A.B. 21C. 52D. 1544．在等差数列{}n a 中，9a =12162a +,则数列{}n a 的前11项和11S =（ ）．A ．24B ．48C ．66D ．1325．设,a b R ∈,则2()0a b a -⋅<是a b <的（ ）． A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6．函数3()sin 24sin cos ()f x x x x x R =-∈的最小正周期为（ ）． A ．2πB ．4πC ．8πD ．π7．已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中含2x 项的系数是（ ）． A ．192 B ．32 C ．96 D ．-1928．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V 为（ ）．第8题图A ．323B ．403C ．163D ．409．如图，1F ，2F 是双曲线1C ：1322=-y x 与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则2C 的离心率是（ ）． A ．31B ．32 C.15D ．52 10．已知O 是坐标原点，点()2,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）．A ．[1,0]-B ．[1,2]-C ．[0,1]D ．[0,2] 11.若圆C:222430x y x y ++-+=关于直线260ax by ++=对称，则由点(,)a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A. 2B. 4C. 3D.612．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S an n=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和），则=+)()(65a f a f ( )．A ．3-B ．2-C ．3D ．2 第Ⅱ卷（主观题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请把答案填在答题卡的横线上． 13．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c，若a =2b =，sin cos B B +=，则角A 的大小为 .14.下列结论中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）.①积值为2；②若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角；③若]1,0[,∈b a ，则不等式；④函数()330x x y x -=+>的最小值为2． 15.若曲线21-=xy 在点12(,)m m-处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18,则=m ________.16. 在三棱锥S ABC -中，AB BC ⊥，AB BC =2SA SC ==，二面角S AC B--的余弦值是,,,S A B C 都在同一球面上，则该球的表面积是 . 三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）已知2()2sin(0)2xf x x ωωω=->的最小正周期为3π.（Ⅰ）当3[,]24x ππ∈时，求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）在ABC ∆，若()1f C =,且22sin cos cos()B B A C =+-,求sin A 的值.18．（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到,,A B C 三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学． （Ⅰ）求甲、乙两人都被分到A 社区的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为四名同学中到A 社区的人数，求ξ的分布列和E ξ的值． 19．（本小题满分12分） 如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,11,2,AD AA AB ===点E 在棱AB 上.（Ⅰ）求异面直线1D E 与1A D 所成的角； （Ⅱ）若二面角1D EC D --的大小为45︒,求点B 到平面1D EC 的距离.20. （本小题满分12分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切。
江门市2014届高三调研测试理科数学试题及答案
图1江门市2014届高三调研测试理科数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．⒈已知集合{}21|<<-=x x A ，{}31|<<=x x B ，则=B A A ．) 3 , 1(- B ．) 2 , 1 ( C ．] 3 , 1[- D ．] 2 , 1 [ ⒉若复数 i m m m m )3()65(22-++- 是纯虚数（ i 是虚数单位），则实数=m A ．2=m B ．3=m C ．0=m D ．2=m 或3=m ⒊已知平面向量)3 , ( -=λa ，)2 , 4( -=b ，若 b a ⊥，则实数=λ A ．23-B ．23C ．6-D ．6⒋已知点)2 , 1(A ，)1 , 2(B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．03=-+y xB ．01=+-y xC ．0=-y xD ．0=+y x ⒌设a 、R b ∈，若0|| <+b a ，则下列不等式中正确的是A ．0>-b aB ．033>+b aC ．022<-b a D ．0 <+b a⒍如图1，E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD -中1AD 、C B 1上的动点（不含端点），则四边形FDE B 1的俯视图可能是A ．B ．C ．D ．⒎已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-,0 , 12,0 ,21)(x x x f x x，则该函数是A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减⒏平面直角坐标系中，抛物线x y 212=与函数x y ln =图象的交点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）⒐3log 2 2log 3（填“>”或“<” ）． ⒑在ABC ∆中，3=c ，045=A ，075=B ，则=a ．⒒若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0 , 10(，则双曲线方程是 ．BCMN1A 1B 1C ⒓若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x ，则y x z -=的最大值是 ．⒔若α、β是不重合的平面，a 、b 、c 是互不相同的空间直线，则下列命题中为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号） ① 若α//a ，α//b ，则b a // ② 若α//c ，α⊥b ，则b c ⊥ ③ 若α⊥c ，β//c ，则βα⊥④ 若α⊂b ，α⊂c 且b a ⊥，c a ⊥，则α⊥a (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕直线x y =和抛物线2x y =所围成封闭图形的面积=S ． ⒖在数列{}n a 中，11=a ，nn n a a a +=+11（*∈N n ），试归纳出这个数列的通项=n a ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）已知1)2cos 2sin 3(2cos2)(-+=xx x x f ，R x ∈． ⑴ 求)(x f 的最小正周期；⑵ 设α、)2, 0(πβ∈，2)(=αf ，58)(=βf ，求)(βα+f 的值．⒘（本小题满分13分）如图2，直三棱柱111C B A ABC -中，CB CA ⊥，1==CB CA ，棱21=AA ，M 、N 分别是11B A 、A A 1的中点．⑴ 求证：⊥N C 1平面BCN ；⑵ 求直线C B 1与平面MN C 1所成角θ的正弦值．⒙（本小题满分13分）为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为V 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，然后第三次倒出10升后用水补满．⑴ 求第一次稀释后桶中药液的含量；⑵ 若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，求V 的取值范围； ⑶ 在第⑵问的条件下，第三次稀释后桶中的药液能否达到容积的50%，为什么？⒚（本小题满分14分）如图3，椭圆Γ的中心在坐标原点O ，过右焦点)0 , 1(F 且垂直于椭圆对称轴的弦MN 的长为3．⑴ 求椭圆Γ的方程；⑵ 直线 l 经过点O 交椭圆Γ于P 、Q 两点，NQ NP =，求直线 l 的方程．⒛（本小题满分14分）已知正项等比数列{}n a （*∈N n ），首项31=a ，前n 项和为n S ，且33a S +、55a S +、44a S +成等差数列．图3⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 求数列{}n nS 的前n 项和n T ．21（本小题满分14分）已知函数)()(b ax e x f x +=，曲线)(x f y =经过点)2 , 0(P ，且在点P 处的切线为l ：24+=x y ．⑴ 求常数a ，b 的值；⑵ 求证：曲线)(x f y =和直线 l 只有一个公共点；⑶ 是否存在常数k ，使得]1 , 2[--∈x ，)24()(+≥x k x f 恒成立？若存在，求常数k 的取值范围；若不存在，简要说明理由．参考答案一、选择题 BAAC DBCD二、填空题9.＞ 10.2 11.1922=-y x 12.0 13.②③（对1个3分，错1个2-分） 14.61 15.n 1三、解答题16.解：⑴x x x f cos sin 3)(+=……2分，)6sin(2π+=x ……4分，)(x f 的最小正周期π2=T ……5分⑵因为2)6sin(2=+πα，1)6sin(=+πα，3266ππαπ<+<……6分，所以26ππα=+，3πα=……7分，58)6sin(2=+πβ，54)6sin(=+πβ，3266ππβπ<+<……8分，因为2354<，所以266ππβπ<+<，53)6cos(=+πβ……9分，所以ββππβαβαcos 2)2sin(2)6sin(2)(=+=++=+f ……10分，6sin )6sin(26cos )6cos(2]6)6cos[(2ππβππβππβ+++=-+=……11分，5433+=……12分。
河北省唐山市2014届高三年级第三次模拟考试理科数学试卷(带解析)
河北省唐山市2014届高三年级第三次模拟考试理科数学试卷（带解析）1．设集合2{|320}A x x x =-+<，{|228}x B x =<<，则（ ） A ．A B = B ．A B ⊇ C ．A B ⊆ D ．A B φ=【答案】C 【解析】试题分析：∵2320x x -+<，∴{|12}A x x =<<，∵228x <<，∴{|13}B x x =<<，∴A B ⊆. 考点：集合的运算.2．若复数z 满足(2)1z i -=，则z =（ ） A ．2155i + B ．2155i - C ．1255i + D ．1255i - 【答案】B 【解析】试题分析：∵(2)1z i -=，∴12212(2)(2)55i z i i i i +===+--+，∴2155z i =-.考点：复数的运算、复数的共轭复数.3．已知 1.22a =，0.80.5b =，2log 3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a <<C ．c a b >>D ．a c b >>【答案】D 【解析】试题分析：∵ 1.222a =>，0.800.51<<，21log 32<<，∴a c b >>.考点：利用函数图象及性质比较大小.4．在等比数列{}n a 中，356a a +=，4a =，则26a a +=（ ） A．．．8 D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：∵3546a a a +=⎧⎪⎨=⎪⎩，∴11a q =⎧⎪⎨=⎪⎩18a q =⎧⎪⎨=⎪⎩52611a a a q a q +=+=考点：等比数列的通项公式. 5．函数1sin y x x=-的一段大致图象是（ ）【答案】A 【解析】 试题分析：∵1sin y x x =-，∴11()()sin sin f x f x x x x x-==-=--+-，∴函数()f x 为奇函数，所以排除B ，C 答案，当x →+∞时，sin x x -→+∞，∴0y →，∴排除D ，所以选A.考点：函数图象.6．椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点为12,F F ，过1F 作直线l 交C 于A ，B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，且0290AF B ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．2．12- C 1 D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，22b c a=，∴222a c ac -=，∴212e e -=，∴2210e e +-=，∴212e -±==-，∴1e =- 考点：椭圆的标准方程及性质.7．执行左下面的程序框图，如果输入的依次为3,5,3,5,4,4,3,4,4，则输出的S 为（ ）A ．92 B ．4 C ．35 D【答案】B 【解析】试题分析：0,1s i ==，第一次循环，11(11)01a s a -⨯+==，2i =；第二次循环，1212(21)22a a a a s -⨯++==，3i =；当10i =时，1210410a a a s +++==，11i =；不符合10i ≤，输出4s =.考点：程序框图.8．右上图是某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（ ） A ．1 B ．43 C ．53 D ．23【答案】C 【解析】 试题分析：由三视图知立体图如图所示，11111111115112(11)2323ABCD A B C D B A B C V V V --=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.考点：三视图.9．三棱锥S A B C -的四个顶点都在球面上，SA 是球的直径，A C A B ⊥，2BC SB SC ===，则该球的表面积为（ ） A ．4π B ．6π C ．9π D ．12π【答案】B 【解析】试题分析：N 为等边三角形SBC 的外心，连结SN ，并延长交BC 于M ，则M 是BC 中点，∴ON ⊥平面SBC ，OM ⊥平面ABC ，02sin60SM ==SN =NM =， 在Rt SON ∆中，2243ON R =-，在Rt OAM ∆中，221OM R =-，∴11(2)(2)22SAM S AM OM SM ON ∆=⋅⋅=⋅，∴ON AM OM SM == ∴222241313R ON OM R -==-，即232R =， ∴234462S R πππ==⨯=.考点：球的表面积、勾股定理、三角形面积公式.10．ABC ∆中，D 是BC 中点，AD m =，BC n =，则AB AC ⋅等于（ ）A ．2214m n -B ．2214m n +C ．2214m n +D ．2214m n - 【答案】A【解析】试题分析：由已知2nBD DC ==，DC DB =-， 2222221()()()()()24n AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB AD DB m m n ⋅=+⋅+=+⋅-=-=-=-.考点：向量的运算.11．若2,2a b >>，且222111l o g ()l o g l o l o g 22a b a a b ++=++，则22log (2)log (2)a b -+-=（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2 【答案】D【解析】试题分析：∵2222111log ()log log log 22a b a a b ++=++∴112222221log ()log log ()log a b a a b ++=++，∴1122221log ()log ()a b a b +=+∴11221()()a b a a b +⨯=+ ∴2ab a b +=， ∴22222log (2)log (2)log (2)(2)log (2()4)log 42a b a b ab a b -+-=--=-++==. 考点：对数的运算.12．设数列{}n a 满足12a =，1431n n a a n +=-+，*n N ∈，则数列{}n a 的前n 项和可以表示为（ ） A ．1131ni n i ni C--=+∑ B ．11(3)ni n i ni C i --=+∑ C ．131ni n in i C -=+∑ D ．1(3)ni n in i C i -=+∑【答案】B【解析】试题分析：∵1431n n a a n +=-+，∴1(1)4()n n a n a n +-+=-，∴1(1)4n n a n a n+-+=-，∴数列{}n a n -是以1为首项，4为公比的等比数列，∴14n n a n --=，∴14n n a n -=+， ∴011(41)(42)(4)n n S n -=++++++011(444)(12)n n -=+++++++1(14)(1)41(1)14232n n n n n n ⨯-+-+=+=+-，∴经验证选B.考点：等比数列的通项公式、等比数列的前n 项公式.13．曲线ln 1y x =-在1x =处的切线方程为 . 【答案】20x y --= 【解析】试题分析：∵ln 1y x =-，∴'1y x=，∴1k =，(1)1f =-，∴(1)1y x --=-， ∴曲线ln 1y x =-在1x =处的切线方程为20x y --=. 考点：利用导数求曲线的切线方程.14．以双曲线2213x y -=的上焦点为圆心，与该双曲线的渐近线相切的圆的方程为 .【答案】22(2)3x y +-= 【解析】试题分析：由题意知，1,a b ==2c =，上焦点(0,2)F 为圆心，而F 到渐近线距离=r b ==所以圆为22(2)3x y +-=.考点：双曲线的标准方程、圆的标准方程.15．观察等式：0000sin 30sin 90cos30cos90+=+，0000sin15sin 751cos15cos75+=+，0000sin 20sin 40cos 20cos 40+=+照此规律，对于一般的角,αβ，有等式 .【答案】sin sin tan()cos cos 2αβαβαβ++=+【解析】试题分析：0000sin 30sin 903090tan()cos30cos902++==+，000000sin15sin 7515751tan cos15cos 752++==+，000000sin 20sin 402040tan cos 20cos 402++==+，所以s i n s i n t a n ()c o s c o s 2αβαβαβ++=+.考点：归纳推理.16．函数()f x =的最大值为 . 【答案】32【解析】试题分析：函数()f x 的定义域为[0,2]，设t =t ∈222t -=，所以222121111[(2)4]224242t y t t t t -=-⨯+=-++=---+， 当2t =时，max 32y =. 考点：函数最值.17．如图，正三角形ABC 的边长为2，D ，E ，F 分别在三边AB ，BC 和CA 上，且D 为AB 的中点，090EDF ∠=，BDE θ∠=，00(090)θ<<.（1）当tan 2DEF ∠=时，求θ的大小； （2）求DEF ∆的面积S 的最小值及使得S 取最小值时θ的值.【答案】（1）θ＝60︒；（2）当θ＝45︒时，S . 【解析】试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在EDF ∆中，tan DF DEF DE ∠==DBE ∆中，利用正弦定理，用θ表示DE ，在ADF ∆中，利用正弦定理，用θ表示DF ，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出tan θ，利用特殊角的三角函数值求角θ；第二问，将第一问得到的DF 和DE 代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S 的最小值.在△BDE 中，由正弦定理得00sin 60sin(120)BD DE θ==-在△ADF 中，由正弦定理得00sin 60sin(30)AD DF θ==+． 4分由tan ∠DEF ＝2，得00sin(60)sin(30)2θθ+=+，整理得tan θ= 所以θ＝60︒． 6分 （2）S ＝12DE ·DF ＝0038sin(60)sin(30)θθ=++==10分当θ＝45︒时，S=． 12分 考点：正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式.18．在斜三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，11A B C C ⊥，AC BC =.（1）求证：11A A AC ⊥；（2）若11A A AC =，求二面角11B AC B --的余弦值.【答案】（1）证明过程详见解析；（2 【解析】试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、二面角的余弦等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用面面垂直的性质得BC ⊥平面A 1ACC 1，则利用线面垂直的性质得A 1A ⊥BC ，由A 1B ⊥C 1C ，利用平行线A 1A ∥C 1C ，则A 1A ⊥A 1B ，利用线面垂直的判定得A 1A ⊥平面A 1BC ，则利用线面垂直的性质得A 1A ⊥A 1C ；第二问，建立空间直角坐标系，得到面上的点的坐标，计算出向量坐标，求出平面1BAC 和平面11ACB 的法向量，利用夹角公式计算出二面角的余弦值. （1）因为平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1， 所以A 1A ⊥BC ．因为A 1B ⊥C 1C ，A 1A ∥C 1C ，所以A 1A ⊥A 1B ，所以A 1A ⊥平面A 1BC ，所以A 1A ⊥A 1C ． 5分1（2）建立如图所示的坐标系C-xyz ． 设AC ＝BC ＝2，因为A 1A ＝A 1C ，则A (2，0，0)，B (0，2，0)，A 1(1，0，1)，C (0，0，0)．CB ＝(0，2，0)，1CA ＝(1，0，1)，11A B AB =＝(－2，2，0)．设n 1＝(a ，b ，c)为面BA 1C 的一个法向量，则n 1·CB ＝n 1·1CA ＝0，则200b a c =⎧⎨+=⎩，取n 1＝(1，0，－1)．同理，面A 1CB 1的一个法向量为n 2＝(1，1，－1)． 9分 所以cos 〈n 1，n 2〉＝1212||||n n n n ⋅＝故二面角B-A 1C-B 1 12分 考点：线线垂直、线面垂直、面面垂直、线线平行、二面角的余弦.19．商场销售的某种饮品每件售价为36元，成本为20元.对该饮品进行促销：顾客每购买一件，当即连续转动三次如图所示转盘，每次停止后指针向一个数字，若三次指向同一个数字，获一等奖；若三次指向的数字是连号（不考虑顺序），获二等奖；其他情况无奖. （1）求一顾客一次购买两件该饮品，至少有一件获得奖励的概率；（2）若奖励为返还现金，一等奖奖金数是二等奖的2倍，统计表明：每天的销售y （件）与一等奖的奖金额x （元）的关系式为244xy ≈+，问x 设定为多少最佳？并说明理由.【答案】（1）3351296；（2）x 设定为48（元）为最佳. 【解析】试题分析：本题主要考查随机事件的概率、离散型随机变量的数学期望、配方法求函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力、转化能力.第一问，先利用活动法则分2种情况分别求出一顾客购买一件饮品获得一等奖和二等奖的概率，2个结果相加得到一顾客购买一件饮品获奖的概率，用间接法在所有概率中去掉2件都没有获奖的概率即可；第二问，先求顾客购买一件饮品所得的奖金额的数学期望，用每件售价-每件的成本-发放的奖金额=每件所得利润，再用这个结果乘以一天卖出的总件数得一天的总利润，再用配方法求函数最值. （1）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i 等奖”为A i ，i ＝1，2，则P (A 1) 361636==，P (A 2)＝33344636A =，则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为 P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝536． 4分 故一顾客一次购买两件饮品，至少有一件获得奖励的概率p ＝1－(1－536)2＝3351296． 6分（2）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X 元，则X 的可能取值为x ，2x，0． 由（1）得P (X ＝x)＝136，P (X ＝2x )＝436，E (x)＝36x ＋236x ＝12x ． 9分该商场每天销售这种饮品所得平均利润 Y ＝y[(36－20)－E (x)]＝(4x ＋24)(16－12x )＝－148(x －48)2＋432． 当x ＝48时，Y 最大．故x 设定为48（元）为最佳． 12分考点：随机事件的概率、离散型随机变量的数学期望、配方法求函数最值.20．过抛物线C ：22(0)y px p =>上的点M 分别向C 的准线和x 轴作垂线，两条垂线及C 的准线和x 轴围成边长为4的正方形，点M 在第一象限. （1）求抛物线C 的方程及点M 的坐标；（2）过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C 交于A ，B 两点，如果点M 在直线AB 的上方，求MAB ∆面积的最大值. 【答案】（1）y 2＝8x ，(2，4)；（2. 【解析】试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，由题意结合抛物线图象得到M 点坐标，代入抛物线方程中，解出P 的值，从而得到抛物线的标准方程及M 点坐标；第二问，设出A ，B 点坐标，利用M 点，分别得到直线MA 和直线MB 的斜率，因为两直线倾斜角互补，所以两直线的斜率相加为0，整理得到y 1＋y 2＝－8，代入到AB k 中得到直线AB 的斜率，设出直线AB 的方程，利用M 点在直线AB 上方得到b 的范围，令直线与抛物线方程联立，图形有2个交点，所以方程的0∆>进一步缩小b 的范围，1||2S AB d ∆=，而||AB 用两点间距离公式转化，d 是M 到直线AB 的距离，再利用导数求面积的最大值. （1）抛物线C 的准线x ＝－2p ，依题意M (4－2p，4)， 则42＝2p (4－2p)，解得p ＝4． 故抛物线C 的方程为y 2＝8x ，点M 的坐标为(2，4)， 3分（2）设221212(,),(,)88y y A y B y ．直线MA 的斜率1212118428y y k y y -==+-，同理直线MB 的斜率2284k y =+． 由题设有1288044y y +=++，整理得y 1＋y 2＝－8． 直线AB 的斜率122212128188y y k y y y y -===-+-． 6分 设直线AB 的方程为y ＝－x ＋b ．由点M 在直线AB 的上方得4＞－2＋b ，则b ＜6．由28y x y x b⎧=⎨=-+⎩得y 2＋8y －8b ＝0． 由Δ＝64＋32b ＞0，得b ＞－2．于是－2＜b ＜6． 9分12||y y -==于是12|||AB y y -=． 点M 到直线AB 的距离d =，则△MAB 的面积1||2S AB d =⋅= 设f (b)＝(b ＋2)(6－b)2，则f '(b)＝(6－b)(2－3b)． 当2(2,)3b ∈-时，f '(x)＞0；当2(,6)3b ∈时，f '(x)＜0．当23b =时，f (b)最大，从而S 取得最大值9． 12分 考点：抛物线的标准方程及其几何性质、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式、利用导数求函数的最值.21．已知函数()x f x e =，()1g x x =+. （1）求函数()()()h x f x g x =-的最小值；（2）若1k >，证明：当||x k <时，2[()()]1k x x x f g k k k->-.【答案】（1）h (0)＝0；（2）证明过程详见解析.【解析】 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力，考查学生的函数思想.第一问，先得到()h x 表达式，对()h x 求导，利用“'()0()h x h x >⇒单调递增；'()0()h x h x <⇒单调递减”解不等式求函数()h x 的单调区间，利用函数的单调性确定最小值所在的位置；第二问，先将()x f k 和()x g k-代入到所求的式子中，得到①式，再利用第一问的结论()()0f x g x -≥，即()()0x xf g k k -≥，即得到1xk x e k≥+，通过1k >且||x k <得10x k ->，在上式中两边同乘1xk -得到②式，若222(1)1k x x k k->-成立则所求证的表达式成立，所以构造函数φ(t)＝(1－t)k－1＋kt ，证明()0t ϕ>即可.（1）h (x)＝f (x)－g (x)＝e x －1－x ，h '(x)＝e x－1．当x ∈(－∞，0)时，h '(x)＜0，h (x)单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，h '(x)＞0，h (x)单调递增． 当x ＝0时，h (x)取最小值h (0)＝0． 4分（2）2[()()]1k x x x f g k k k ->-即2[(1)]1x kk x x e k k ->-． ①由（1）知，()()0x xf g k k -≥，即1xk x e k ≥+，又10xk ->，则22(1)(1)(1)10x k x x x x e k k k k->+-=->．所以22[(1)](1)x k kkx x e k k->-． ② 7分设φ(t)＝(1－t)k－1＋kt ，t ∈[0，1]．由k ＞1知，当t ∈(0，1)时，φ'(t)＝－k(1－t)k －1＋k ＝k[1－(1－t)k]＞0， φ(t)在[0，1]单调递增，当t ∈(0，1)时，φ(t)＞φ(0)＝0．因为22(0,1)x k ∈，所以222222()(1)10k x x x k k k kϕ=--+⋅>，因此不等式②成立，从而不等式①成立． 12分考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、不等式的基本性质. 22．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，BD 是圆O 的直径，AE CD ⊥于点E ，DA 平分BDE ∠. （1）证明：AE 是圆O 的切线；（2）如果4AB =，2AE =，求CD.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）CD =. 【解析】试题分析：本题主要考查三角形相似、内错角相等、弦切角相等、切割线定理等基础知识，考查学生的逻辑推理能力、转化能力.第一问，连结OA ，利用OA ，OD 都是半径，得∠OAD ＝∠ODA ，利用传递性∠ODA ＝∠ADE ，得∠ADE ＝∠OAD ，利用内错角相等，得OA ∥CE ，所以090OAE ∠=，所以AE 为圆O 的切线；第二问，利用第一问的分析得△ADE ∽△BDA ，所以AE ABAD BD=，即BD ＝2AD ，所以在ABD ∆中，得030ABD ∠=，利用弦切角相等得030DAE ∠=，在ADE ∆中，求出DE 的长，再利用切割线定理得CD 的长.（1）连结OA ，则OA ＝OD ，所以∠OAD ＝∠ODA ，又∠ODA ＝∠ADE ，所以∠ADE ＝∠OAD ，所以OA ∥CE ． 因为AE ⊥CE ，所以OA ⊥AE ．所以AE 是⊙O 的切线． 5分（2）由（1）可得△ADE ∽△BDA ， 所以AE AB AD BD =，即24AD BD=，则BD ＝2AD ， 所以∠ABD ＝30︒，从而∠DAE ＝30︒， 所以DE ＝AEtan 30︒ 由切割线定理，得AE 2＝ED·EC ，所以4)CD =+，所以CD =． 10分 考点：三角形相似、内错角相等、弦切角相等、切割线定理.23．已知曲线1C 的直角坐标方程为2214x y +=. 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. P 是曲线1C 上一点，xOP α∠=，(0)απ≤≤，将点P 绕点O 逆时针旋转角α后得到点Q ，2OM OQ =，点M 的轨迹是曲线2C . （1）求曲线2C 的极坐标方程； （2）求||OM 的取值范围.【答案】（1）222cos sin 122164θθρ+=；（2）[2，4]. 【解析】试题分析：本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、三角函数最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用直角坐标方程和极坐标方程的转化公式“cos x ρθ=，sin y ρθ=”转化得到曲线1C 的极坐标方程，设出M ，P 点的极坐标，利用已知条件得P 点坐标代入到1C 中即可；第二问，由曲线2C 的极坐标方程得||OM 的表达式，利用三角函数的有界性求||OM 的最值.（1）曲线C 1的极坐标方程为2222cos sin 14ρθρθ+=，即222cos 1sin 4θθρ+=．在极坐标系中，设M (ρ，θ)，P (ρ1，α)，则 题设可知，1,22ρθρα==． ①因为点P 在曲线C 1上，所以2221cos 1sin 4ααρ+=． ②由①②得曲线C 2的极坐标方程为222cos sin 122164θθρ+=． 6分（2）由（1）得2211(13sin )||162OM θ=+． 因为21||OM 的取值范围是11[,]164，所以|OM|的取值范围是[2，4]． 10分 考点：直角坐标方程与极坐标方程的互化、三角函数最值. 24．设不等式2|1||2|0x x -<--+<的解集为M ，,a b M ∈. （1）证明：111||364a b +<； （2）比较|14|ab -与2||a b -的大小，并说明理由.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）|1－4ab|＞2|a －b|.【解析】试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用零点分段法将()f x 化为分段函数，解不等式求出M ，再利用绝对值的运算性质化简得1111||||||3636a b a b +≤+，由于1||2a <，1||2b <代入得111||364a b +<；第二问，利用第一问的结论1||2a <，1||2b <作差比较大小，由于|14|ab -和2||a b -均为正数，所以都平方，作差比较大小.（1）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝3,1 21,113,1xx xx≤-⎧⎪---<<⎨⎪-≥⎩由－2＜－2x－1＜0解得1122x-<<，则11(,)22M=-． 3分所以111111111||||||363632624a b a b+≤+<⨯+⨯=． 6分（2）由（1）得21 4a<，21 4b<．因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|． 10分考点：绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小.。
2014届高三理科数学综合测试题(2)
图1高三理科数学综合训练题（2014.2）一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,0,1,4}A =，{04,R}=<≤∈B x x x ，C A B = ．则集合C 可表示为A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i 22- B ．11i 22+ C ．11i 22-+ D ．11i 22--3．下列函数中，为奇函数的是A ．122x x y =+B ．{},0,1y x x =∈C ．sin y x x =⋅D ．1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4．“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．执行如图1所示的程序框图，则输出的a 的值为 （注：“2a =”，即为“2a ←”或为“:2a =”．） A ．2 B ．13C ．12- D ．3-6．412x x -(的展开式中常数项为A ．12B ．12-C ．32D ．32-7．如图2，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+与直线1y x =+ 围成的区域为M （图中阴影部分）．随机往矩形OABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是 A ．118 B ．112C ．16 D ．1311+8.在平面直角坐标系中，定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．给出下列命题：（1）若(1,2)P ，(sin ,2cos )()Q R ααα∈，则(,)d P Q的最大值为3 （2）若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点，则(,)d P Q的最大值为 (3) 若(1,3)P ，点Q 为直线2y x =上的动点，则(,)d P Q 的最小值为12． 其中为真命题的是 A ．（1）（2）（3） B ．（1）（2） C ．（1）(3) D ． (2)(3)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．函数f x ()的定义域为 ．10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是 ．11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y +=有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为 ．12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为 ．13.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． （二）选做题：第14、15题为选做题，只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线1C 的参数方程为,x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=-．则曲线1C 与曲线2C 的交点个数为________个．图415．（几何证明选讲选做题）如图4，已知AB 是⊙O 的直径，TA是⊙O 的切线，过A 作弦//AC BT ，若4AC =，AT =，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π()2122A f +=．求sin B ． 17.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定 义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．（1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购 达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．图5(1) (2)18．（本小题满分14分）如图6所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ， BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ； （2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈． （1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n nn b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．AD BC FE图620.（本小题满分14分）如图7，直线:(0)l y x b b =+>，抛物线2:2(0)C y px p =>，已知点(2,2)P 在抛物线C 上，且抛物线C 上的点到直线l 的距离的最小（1）求直线l 及抛物线C 的方程；（2）过点(2,1)Q 的任一直线（不经过点P ）与抛物线C 交于A 、B 两点，直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ， 3k ．问：是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数2901xf x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．图7yM PBQxAOl参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBDADCBA二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．{2}x x ≥；10．83；11．2214y x -=；12．6；13．123n n -⋅-；14．1；15．．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分12分） （1）由题意可得π()112f =，即πsin()16ϕ+=．……………………………2分 0πϕ<< ，ππ7π666ϕ∴<+<， ππ62ϕ∴+=， π3ϕ∴=．……………5分 （2）222a b c ab +-= ， 2221cos 22a b c C ab +-∴==，………………………7分sin C ∴==．………………………………8分 由（1）知π()sin(2)3f x x =+，π(+)sin()cos 2122A f A A π∴=+==()0,A π∈ ，sin 2A ∴==，……………………10分 又sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+ ，1sin sin cos cos sin 22224B AC A C ∴=+=+=．…………12分 17．（本小题满分12分）（1）根据题意，有39151860,182.39153x y y x +++++=⎧⎪⎨=⎪+++⎩+解得9,6.x y =⎧⎨=⎩………………2分0.15p ∴=，0.10q =．补全频率分布直方图如图所示．………………4分（2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有210=45⨯人，“非网购达人”有310=65⨯人．……………6分 故ξ的可能取值为0，1，2，3；03463101(0)6C C P C ξ=== ， 12463101(1)2C C P C ξ===，21463103(2)10C C P C ξ===，30463101(3)30C C P C ξ===．……………10分所以ξ的分布列为：01236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………………12分18．（本小题满分14分）（解法一）（1）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ， //BF CG 且BF CG =，∴四边形BFGC 为平行四边形，则//BC FG 且BC FG =． ……………2分 四边形ABCD 为矩形， //BC AD ∴且BC AD =，//FG AD ∴且FG AD =，∴四边形AFGD 为平行四边形，则//AF DG ．DG ⊂ 平面CDE ，AF ⊄平面CDE ， //AF ∴平面CDE ．…………………………4分（2）过点E 作CB 的平行线交BF 的延长线于P ，连接FP ，EP ，AP ，////EP BC AD ， ∴A ，P ，E ，D 四点共面．四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴EP CD ⊥，EP CE ⊥，又 CD CE C = ，EP ∴⊥平面CDE ，∴EP DE ⊥， 又 平面ADE 平面BCEF EP =，∴DEC ∠为平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的平面角．……………7分4DC CE ==，∴cos CE DEC DE ∠==．即平面ADE 与平面BCEF 9分 （3）过点F 作FH AP ⊥于H ，连接EH ，根据（2）知A ，P ，E ，D 四点共面，////EP BC AD ，∴BC BF ⊥，BC AB ⊥， 又 AB BF B = ， BC ∴⊥平面ABP ，∴BC FH ⊥，则FH EP ⊥． 又 FH AP ⊥， FH ∴⊥平面ADE ．∴直线EF 与平面ADE 所成角为HEF ∠．……11分4DC CE ==，2BC BF ==，∴0sin 45FH FP ==EF =HE ，∴cos HE HEF EF ∠===．即直线EF 与平面ADE 14分 （解法二）（1） 四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，又 平面ABCD ⊥平面BCEF ，且平面ABCD 平面BCEF BC =，DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y 轴，CD 所在直线为z 轴建立坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(2,0,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,4)D ，(0,4,0)E ，(2,2,0)F ， 则(0,2,4)AF =- ，(2,0,0)CB =．………………………2分BC CD ⊥ ，BC CE ⊥， CB ∴为平面CDE 的一个法向量．又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，//AF ∴平面CDE ． ……………4分（2）设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，则110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(2,0,0)AD =- ，(0,4,4)DE =- ，∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩，取11z =，得1(0,1,1)n =． ……6分DC ⊥ 平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则11cos CD n CD n α⋅===⋅ ． 因此，平面ADE 与平面BCEF……………9分 （3）根据（2）知平面ADE 一个法向量为1(0,1,1)n =，(2,2,0)EF =-，1111cos ,2EF n EF n EF n ⋅∴<>===-⋅， ……………………12分 设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则1cos sin ,EF n θ=<>=因此，直线EF 与平面ADE． ……………14分 19．（本小题满分14分）（1）当=1n 时，有2114(11)(+1=1+2a a ⨯+）（），解得1=8a ．当=2n 时，有21224(21)(1)(22)a a a ⨯+++=+，解得2=27a ．………………2分（2）（法一）当2n ≥时，有2(2)4(1)1nn n a S n ++=+, ……………①211(1)4(1)n n n a S n--++=． …………………② ①—②得：221(2)(1)41n n n n a n a a n n -++=-+，即：331(1)=n n a n a n-+．……………5分 ∴1223333===1(1)(1)3n n n a a a a n n n --==+-…．∴ 3=(1)n a n +(2)n ≥． ……………8分 另解：33333121333121(1)42(1)(1)3n n n n n a a a n n a a n a a a n n ---+=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+- ． 又 当=1n 时，有1=8a ， ∴3=(1)n a n +．………………………8分（法二）根据1=8a ，2=27a ，猜想：3=(1)n a n +． ……………………………3分用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时，有318(11)a ==+，猜想成立． （Ⅱ）假设当n k =时，猜想也成立，即：3=(1)k a k +．那么当1n k =+时，有2114(11)(1)(12)k k k S k a +++++=++，即：211(12)4(1)11k k k a S k +++++=++，………………………①又 2(2)4(1)1kk k a S k ++=+， …………………………②①-②得：22223111(3)(2)(3)(2)(1)4=2121k k k k k a k a k a k k a k k k k ++++++++=--++++，解得33+1(2)(11)k a k k =+=++．∴当1n k =+时，猜想也成立．因此，由数学归纳法证得3=(1)n a n +成立．………………………………8分 （3） 211111=(1(11n n n b a n n n n n +=<=-+++))， …………………………10分 ∴1231=n n n T b b b b b -+++++…2222211111=234(1)n n ++++++…211111<22323(1)(1)n n n n +++++⨯⨯-+ (11111)1111=()()()()4233411n n n n +-+-++-+--+ (1113)=4214n +-<+．…………14分 20．（本小题满分14分）（1）（法一） 点(2,2)P 在抛物线C 上， 1p ∴=． …………………2分设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线l '方程为y x m =+，由2,2,y x m y x =+⎧⎨=⎩ 得22(22)0x m x m +-+=， 22(22)448m m m ∆=--=- ， ∴由0∆=，得12m =，则直线l '方程为12y x =+．两直线l 、l '间的距离即为抛物线C 上的点到直线l 的最短距离，∴4=，解得2b =或1b =-（舍去）．∴直线l 的方程为2y x =+，抛物线C 的方程为22y x =． ………………6分（法二） 点(2,2)P 在抛物线C 上， 1p ∴=，抛物线C 的方程为22y x =．…2分设2(,))2t M t t R ∈（为抛物线C 上的任意一点，点M 到直线l 的距离为d =根据图象，有202t t b -+>，21)21]d t b ∴=-+-，t R ∈ ，d ∴4=，解得2b =． 因此，直线l 的方程为2y x =+，抛物线C 的方程为22y x =．……………6分 （2） 直线AB 的斜率存在，∴设直线AB 的方程为1(2)y k x -=-，即21y kx k =-+，由221,2,y kx k y x =-+⎧⎨=⎩ 得22420ky y k --+=， 设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则122y y k +=，1224k y y k-=， 11121112222222y y k y x y --===-+- ，2222k y =+， ……………………9分 121212121222+82()82242242222()4324y y k k k k k y y y y y y k k⋅+++∴+=+===-++++++⋅+.……10分 由21,2,y kx k y x =-+⎧⎨=+⎩ 得211M k x k +=-，411M k y k -=-，∴341221121321k k k k k k --+-==+--， ………13分 1232k k k ∴+=．因此，存在实数λ，使得123k k k λ+=成立，且2λ=．……14分21．（本小题满分14分）（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++，………………………………2分 令()0f x '=，解得x =（负值舍去），由122<<，解得144a <<．（ⅰ）当104a <≤时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+．………………………3分（ⅱ）当4a ≥时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为118()24f a =+．…………………4分（ⅲ）当144a <<时， 在12x a <<时，()0f x '>，在2x a<<时，()0f x '<，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为=2f a a（）5分 （2）设切点为(,())t f t ，则()1,()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩…………………………………6分由()1f t '=-，有2229[1]1(1)at at -=-+，化简得2427100a t at -+=， 即22at =或25at =， ……………………………① 由()2f t t a =-+，有2921ta t at=-+，……………②由①、②解得2a =或4a =． ………………………9分（3）当2a =时，29()12xf x x =+，由（2）的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线，(2)2f = ，∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上，根据图像分析，曲线()y f x =在直线4y x =-下方． ……………10分 下面给出证明：当1[,2]2x ∈时，()4f x x ≤-．3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++ 2221(2)12x x x --=+（），∴当1[,2]2x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．………………12分∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++ ，121414x x x +++= ， 1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-= ．∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ+++≤ 恒成立，必须42λ≥．…………13分又 当12141x x x ==== 时，满足条件121414x x x +++= ，且1214()()()42f x f x f x +++= ，因此，λ的最小值为42．………………14分。
惠州市2014届高三第二次调研考试试题(理科数学)
惠州市2014届高三第二次调研考试数 学 (理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
参考公式： 球的体积公式：343V R π=一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．复数2(1)(1i z i i-=+为虚数单位）的虚部为（ ）.A 1.B 1- .C 1± .D 02．设集合{3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B = （ ） .A (1,2) .B [1,2].C [1,2).D (1,2]3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1532,3,a a a ==,则9S =（ ）.A 72- .B 54- .C 54 .D 724. 按右面的程序框图运行后,输出的S 应为（ ） .A 26 .B 35 .C 40 .D 575.“1a =”是“直线1l :210ax y +-=与2l :(1)40x a y +++=平行”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件6． 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是 （ ）正视图 左视图.A 16π .B 14π .C 12π .D 8π7．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为 （ ） .A 7 .B 9 .C 10 .D 158．已知函数2342013()12342013x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+且函数()f x 的零点均在区间[],a b (,,)a b a b Z <∈内，圆22x y b a +=-的面积的最小值是（ ） .A π .B 2π .C 3π .D 4π二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．若向量(2,3),(4,7),BA CA ==uu r uu r则BC =uu u r .10. 若tan()2πα-=，则sin 2α= .11. 已知变量,x y 满足约束条件21110x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为 .12.若6(x 展开式的常数项是60，则常数a 的值为 .13．已知奇函数3(0)()()(0)x a x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩则(2)g -的值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
四川省绵阳市2014届高三第一次诊断性考试理科数学压轴题总结
2014年四川省高考模拟试题9(关于2014届绵阳一诊10向量压轴讨论版)2013.11.9 理科数学第I 卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B =14AB ，且对于AB 上任一点P ，恒有→PB ∙→PC ≥→P 0B ∙→P 0C ，则 A ．∠ABC =90︒ B ．∠BAC =90︒ C ．AB =AC D ．AC =BC2. 已知△ABC 为等边三角形，=2AB ，设点P ，Q 满足=AP AB λ ，=(1)AQ AC λ-，R λ∈，若3=2BQ CP ⋅- ，则=λA.12B.122±C.1102±D.3222-±3. 在平面直角坐标系中，o 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集,1,,|P OP OA OB R λμλμλμ==++≤∈所表示的区域的面积是A.22B.23C. 42D.43 4.对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβαβββ⋅=⋅ 。
若平面向量,a b 满足||||0a b ≥>，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2∈nn Z 中，则a b = A ．12 B. 1 C. 32 D. 525.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC→| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形6.在平面上，12AB AB ⊥ ，121OB OB == ，12AP AB AB =+ ．若12OP < ，则OA 的取值范围是A.5(0,]2 B.57(,]22 C.5(,2]2 D.7(,2]27. 如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，则实数对（x ,y ）可以是A ．)43,41( B. )32,32(- C. )43,41(- D. )57,51(-第七题 第八题8.如题八图，在直角梯形ABCD 中，,1,3,AB AD AD DC AB ⊥===动点P 在以点C 为圆心且与直线BD 相切的圆内运动，设(,)AP AD AB R αβαβ=+∈，则αβ+的取值范围是（ ）A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．4(1,)3D ．5(1,)39.已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 为△ABC 的外心，动点P 满足3])21()1(1[(OC OB OA OP λλλ++-+-=）（λ∈R ）， 则P 的轨迹一定过△ABC 的A 、内心B 、垂心C 、重心D 、AC 边的中点10．【2014届绵阳一诊10题】已知O 为△ABC 的外心，1cos 3A =，若AO AB AC αβ=+ ，则αβ+的最大值为 A ．13B ．21 C ．32 D ．43 第II 卷二．填空题（共5个小题，每小题5分，共25分．将答案直接填写在各题中的横线上） 11．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ． 12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD上的点，且满足||||||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是13．如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB y AC =+，则x = ，y =A B O M 图1图1314、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中,x y R ∈,则x y +的最大值是________.15.已知O 是ABC ∆的外心，2=AB ，1=AC ，︒=∠120BAC ，若AC AB AO 21λλ+=，则21λλ+的值为三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知数列{}n a 中，13a =，25a =，其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥.令11n n n b a a +=⋅.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()12x f x -=，求证：()()()121126n n T b f b f b f n =+++< （1n ≥）； （3）令()2312312n n n T b a b a b a b a =++++ （0a >），求同时满足下列两个条件的所有a 的值：①对于任意正整数n ，都有16n T <；②对于任意的10,6m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在0n N *∈，使得0n n ≥时，n T m >2014年四川省高考模拟试题9(关于2014届绵阳一诊10向量压轴讨论版：参考答案)【1解析】D 由题意，设|→AB |=4，则|→P 0B |=1，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设HP 0=a ，则由数量积的几何意义可得，→PB ∙→PC =|→PH ||→PB |=(|→PB | −(a +1))|→PB |，→P 0B ∙→P 0C =−|→P 0H ||→P 0B |=−a ，于是→PB ∙→PC≥→P 0B ∙→P 0C 恒成立，相当于(|→PB |−(a +1))|→PB |≥−a 恒成立，整理得|→PB |2−(a +1)|→PB |+a ≥0恒成立，只需∆=(a +1)2−4a =(a −1)2≤0即可，于是a =1，因此我们得到HB =2，即H 是AB 的中点，故△ABC 是等腰三角形，所以AC =BC【2解析】A.∵=BQ AQ AB - =(1)AC AB λ-- ，=CP AP AC -=AB AC λ- ，又∵3=2BQ CP ⋅- ，且||=||A B A C ，0<,>=60AB AC ，0=||||cos 60=2AB AC AB AC ⋅⋅ ，∴3[(1)]()=2AC AB AB AC λλ---- ，2223||+(1)+(1)||=2AB AB AC AC λλλλ--⋅- ，所以234+2(1)+4(1)=2λλλλ---，解得1=2λ. CBAPQ第1题图【3解析】D 1,,,,=++=μλμλ其中是线外一点则三点共线若PC PB PA P C B A .在本题中，32cos 4cos ||||πθθθ=⇒==⋅⋅=⋅OB OA OB OA .建立直角坐标系，设A(2,0),).(10,0).31(含边界内在三角形时，，则当OAB P B ≤+≥≥μλμλ344=⨯=的面积三角形的面积根据对称性，所求区域OAB S 所以选D【4解析】B ：因为||2cos cos ||2θθ⋅==≥>⋅ a b a a b b b b ，||cos cos 1||θθ⋅==≤<⋅ b a b b a a a a 且a b 和b a 都在集合{|}2∈nn Z 中所以，||1c o s ||2θ== b b a a ，||1||2cos θ=b a ，所以2||cos 2cos 2||θθ==< a a b b 所以222≤< a b ，故有1= a b 【答案】B【5解析】D 已知非零向量AB →与AC →满足(||||AB AC AB AC +)·BC →=0，即角A 的平分线垂直于BC ，∴ AB =AC ，CABHP 0P又cos A =||||AB AC AB AC ⋅=12，∠A =3π，所以△ABC 为等边三角形，选D ． 【6解析】D 因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )，则AP ＝1AB ＋2AB＝(a ，b )，即P (a ，b )．由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1.所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14，即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2≤2，即22722x y <+≤. 所以|OA |的取值范围是7,22⎛⎤⎥ ⎝⎦，故选D ． 【7解析】C 如图，OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且OB y OA x OP +=，由图知，x<0，当x=－41时，即OC =－41OA，P 点在线段DE 上，CD =41OB ，CE =45OB ，而41<43<45，∴ 选C.【9解析】根据向量的加法的平行四边形法则向量的运算法则，对3])21()1(1[(OC OB OA OP λλλ++-+-=）进行化简，得到根据三点共线的充要条件知道P 、C 、D 三点共线，从而得到点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心．【11解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+= AC AB AC AB 213261λλ+=+-=所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 ．【13解析】作DF AB ⊥,设12AB AC BC DE ==⇒==，60DEB ∠= ,6,2BD ∴=由45DBF ∠=解得623,222DF BF ==⨯=故31,2x =+3.2y = 【14解析】设AOC α∠= ,,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB ⎧∙=∙+∙⎪⎨∙=∙+∙⎪⎩，即01cos 21cos(120)2x y x y αα⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩∴02[cos cos(120)]cos 3sin 2sin()26x y πααααα+=+-=+=+≤【15解析思路】更简单了变得！建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O 为△ABC 的外心，把AB 的中垂线 m 方程和AC 的中垂线 n 的方程，联立方程组，求出O 的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ1和λ2 的值．答案为：13616．【解】（Ⅰ）由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥即()1123n n n a a n --=+≥……1′∴()()()112322n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()1221222225222212213n n n n n n ----=++++=++++++=+ ≥……2′检验知1n =、2时，结论也成立，故21n n a =+.…………3′（Ⅱ）由于()()()()()()()11111212111111222212121212121n nn n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭ 故()()()1222311111111122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭.…………6′ （Ⅲ）（ⅰ）当2a =时，由（Ⅱ）知：16n T <，即条件①满足；又106m <<，∴1211113321110212211616n n n T m m n log m m ++⎛⎫⎛⎫>⇔->⇔>-⇔>--> ⎪ ⎪++--⎝⎭⎝⎭.取0n 等于不超过23116log m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭的最大整数，则当0n n ≥时，n T m >.…9′（ⅱ）当2a >时，∵1n ≥，222nn n a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，∴22n n a a ⋅≥，∴2222n n n n n n a ab a b b ⋅⋅⋅=⋅⋅≥.∴()11111111222221221nni i n i i n i i a a T b a b -+==⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑≥.由（ⅰ）知存在0n N *∈，当0n n ≥时，11111212213n a +⎛⎫->⎪++⎝⎭， 故存在0n N *∈，当0n n ≥时，111111221221236n n a a T a +⎛⎫=⋅->⋅= ⎪++⎝⎭，不满足条件. …12′ （ⅲ）当02a <<时，∵1n ≥，222n n n a a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤，∴22n n a a ⋅≤，∴2222n n n n n n a ab a b b ⋅⋅⋅=⋅⋅≤.∴()()11111111222221221n nii n i i n i i a a T b a b -+==⎛⎫==⋅- ⎪++⎝⎭∑∑≤.取10,126a m ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，若存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >，则111122122112n a a+⎛⎫⋅->⎪++⎝⎭. ∴111112213n +->++矛盾. 故不存在0n N *∈，当0n n ≥时，n T m >.不满足条件. 综上所述：只有2a =时满足条件，故2a =.…………14′ 。
专题12 概率和统计-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第02期) Word版含解析[ 高考]
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一．基础题组1. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】已知2~(3,)N ξσ，若(2)0.2P ξ≤=，则ξ≤P(4)等于( )A ．2.0B ．3.0C ．7.0D ．8.02. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学理科】已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，若(8)0.4P ξ>=，则(0)P ξ<=( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.73. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5)，[5，10)，…，[30，35)，[35，40]时，所作的频率分布直方图是 ( )4.【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】某小学对学生的身高进行抽样调查，如图，是将他们的身高（单位：厘米）数据绘制的频率分布直方图．若要从身高在［120，130），［130，140），［140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人，则从身高在［140，150］内的学生中选取的人数应为________.5.【江苏省阜宁中学2014届高三年级第一次调研考试】下图茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为.二．能力题组1.【中原名校联盟2013-2014学年高三上期第一次摸底考试理】在圆22＋＝--(2)(2)4x y内任取一点，则该点恰好在区域50303x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩＋2y －≥－2＋≥≤内的概率为（ ）A ．18π B ．14π C ．12π D ．1π考点：二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型等知识, 考查学生的基本运算能力．2. .【山西省山大附中2014届高三9月月考数学理】抛一枚均匀硬币，正反每面出现的概率都是12，反复这样投掷，数列{}a n 定义如下：a n n n =-⎧⎨⎪⎩⎪11，第次投掷出现正面，第次投掷出现反面，若S a a a n N n n =+++∈12 ()*，则事件“280,2S S ≠=”的概率是（ ）A ．1256 B.13128 C.12 D.732三．拔高题组1. 【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学（理）】现有A ，B 两球队进行友谊比赛，设A 队在每局比赛中获胜的概率都是23．（Ⅰ）若比赛6局，求A 队至多获胜4局的概率；（Ⅱ）若采用“五局三胜”制，求比赛局数ξ的分布列和数学期望．（Ⅱ）由题意可知，ξ的可能取值为3，4，5．考点：排列组合，分布列，期望.2.【浙江省温州八校2014届高三10月期初联考数学(理)】一个袋子里装有7个球, 其中有红球4个, 编号分别为1，2，3，4；白球3个, 编号分别为2，3，4. 从袋子中任取4个球(假设取到任何一个球的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4个球中, 含有编号为3的球的概率；(Ⅱ) 在取出的4个球中, 红球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望.(Ⅱ)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4. ……6分考点：概率，分布列，期望.3. 【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学(理)】一个口袋中有红球3个，白球4个．（Ⅰ）从中不放回地摸球，每次摸2个，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，求摸2次恰好第2次中奖的概率；（Ⅱ）每次同时摸2个，并放回，摸到的2个球中至少有1个红球则中奖，连续摸4次，求中奖次数X 的数学期望E(X)．(Ⅱ) 设“每次同时摸2个,恰好中奖”为事件B ，则75C C )(27141323=+=C C B P随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. ……6分4314716075175)1(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅==C X P ， 42224760075175)2(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 43347100075175)3(=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ， 4444762575)4(=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C X P ，……10分所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望240168607625471000376002716014444=⨯+⨯+⨯+⨯=EX . ……14分 考点：组合公式、概率，分布列，期望4. 【广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三10月三校联考(理）】(本题满分12分)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是:每场投6个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖;否则不获奖.已知教师甲投进每个球的概率都是23. (Ⅰ)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X,求X 的分布列及数学期望；(Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率.【答案】(Ⅰ)X 的分布列数学期望4EX =；(Ⅱ)81. 【解析】试题分析：(Ⅰ)先定出X 的所有可能取值，易知本题是6个独立重复试验中成功的次数的离散概率分布，即为二项分布.由二项分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根据比赛获胜的规定，教师甲前四次投球中至少有两次投中，后两次必须投中，即可能的情况有1.前四次投中2次（六投四中）；考点：1.二项分布；2.离散型随机变量的分布列与期望；3.随机事件的概率.5.【2014届广东高三六校第一次联考理】甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。
2014届湖北省武昌区高三元月调研考试理科数学试题(含答案详解)WORD精校版
湖北武昌区2014届高三上学期期末学业质量调研数学（理）试题本试题卷共4页，共21题。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设m ∈R ，222(1)m m m i +-+-是纯虚数,其中i 是虚数单位，则m= A ．1 B ．一1 C ．一2 D ．2 2．已知全集为R ，集合A=协I 岫≤1），集合B={xlx2-．4x 一5<o ），则（驰）n 船 A ．（0，2] B ．（一1，0] （2，5）C ．[2，5）D ．（一l ，0） [2，5） 3．某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的p 为24，则输出的乃，S 的值分别为 A ．n=4，S=30 B ．n=5，S=30 C ．n=4，S=45 D ．n=5，S=454． 函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ-=+><<的部分图象 如图所示，则,ωϕ的值分别是 A ．2,3π- B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π 5．已知指数函数()y f x =、对数函数()y g x =和幂函数()y h x =的图象都经过点P（1,22），如果123123()()()4,f x g x h x x x x ===++=那么]A ．76B ．66C ．54D ．326．已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是7．过双曲线M ：2221y x b-=的左顶点A 作斜率为l 的直线l ，若l 与双曲线舾的两条渐近线分别相交于j5}、C ，且|AB|=|BC|，则双曲线M 的离心率是ABC D 8．给出以下结论： ①在四边形ABCD 中，若,AC AB AD ABCD =+则是平行四边形；②在三角形ABC 中，若a=5，b=8，C=60°，则20;BC CA ⋅=③已知正方形ABCD 的边长为l ，则||AB BC AC ++=④已知5,28,3(),,,AB a b BC a b CD a b A B C =+=+=-则三点共线．其中正确结论的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．物体A 以速度v=3f 2+l （t 的单位：s ，v 的单位：m ／s ）在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体j5}在物体A 的正前方5 m 处以速度v=l0t （t 的单位：s ，v 的单位：m ／s ）的速度与A 同向运动，当两物体相遇时，相遇地与物体A 的出发地的距离是A ．1 20 mB ．1 30 mC ．140 mD 。
安徽省淮南市2014届高三第二次模拟考试理科数学试题(扫描版)
2014届高三第二次检测数学参考答案 (理科)一、选择题1. 复数概念、运算的简单考查B2. 集合、简易逻辑的概念考查A3. 三角函数图象 A4.算法，循环/选择结构C 5．古典概型B6. 函数与方程，数形结合,切线问题 D7. 线性规划，点到直线的距离，转化的思想B8. 双曲线几何量C9. 可以裂项求和。
B 10.均值定理 审题 C 二、填空题11． 二项式，赋值法，通项 答案4012. 扇形与圆锥322π13. 极坐标，直线的参数方程。
(3，1) 14. 等差数列的考查，数表的观察能力 121)1(1+=-++=ij i j i a ij ，233272⨯==ij15.空间向量的坐标运算（1）（3）（5） 三、解答题16. 解：（1）在△ABC 中，A B C π++=．所以coscos 22A C B π+-=1sin 22B ==． 26B π=，所以3B π=． ………………3分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得2320c c -+=．解得1c =或2c =． ………………6分（2）()sin sin )f A A A A =-1cos 222AA -=-1sin 262A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. ………………9分由（1）得3B π=，所以23A C π+=，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则32,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.∴sin 2(1,1]6A π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.∴()31,22f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.∴()f A 的取值范围是31,22⎛⎤- ⎥⎝⎦. ………………12分17.解： (1) E 分别为PC 的中点，DE=EC=PEPDC Δ∴ 为直角三角形 · ················ 2分 PD CD ⊥∴又,⊥AD CD PAD CD 面⊥∴PA CD ⊥∴ 又,⊥AD PA∴平面PA ⊥平面ABCD ····················· 5分(2) 因,//CD AB AB CD ⊥ 并由（1）知 法一：建系AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴,)0,2,0(),0,0,1(D B ),0,0(a P ，)0,2,2(C ,)2,1,1(aE·······.7分平面BCD 法向量1(0,0,1)n =，平面EBD 法向量)2,,2(2-=a a n ··········9分)22,21(452cos 2∈+=a θ，可得)5152,552(∈a . ·············12分 法二：取CD 中点为F,连AC 交BF 于点K ,四边形ABCF 为平行四边形，所以K 为AC 的中点，连EK ,则PA EK //,⊥EK 面ABCD ,EK BD ⊥, 作BD KH ⊥于H 点，所以⊥BD 面EKH ,连EH ,则EH BD ⊥,EHK ∠即为所求 ············· 9分在EHK Rt ∆中，515221=⨯=HK ,)3,1(25512tan ∈==a aθ解得)5152,552(∈a ·······12 分 18.解：(1)设B 试卷选m 道试题，52262=c c m ，4,5230)1(=∴=-∴m m m ，即A 试卷选2道试题，B 试卷选4道试题，(2) 由题意知随机变量X 取0，1，2)0(=x p =1562624=c c ， )1(=x p =158261412=c c c )2(=x p =1512622=c c带入公式得32=Ex 19. 解(1)412)0(1-)0(a 111=+=f f ,21-2)0(1-)0(4)0(2)0(-12)0(1-)0(21)0(21-1)0(22)0(1-)0(2)0(1-)0(a a 11n 1n =++=++++=++=+++n n n n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f1n n 21-a +=∴）（ (2) nn 2b =,n 2131211)b (++++= n g 只要证222131211n +≥++++n 下面用数学归纳证明，结论成立时221211,1n +=+= 假设n=k,(1≥k )成立,222131211k +>++++k 那么n=k+1,1k k 1k k k 2112122211212131211+++++++>++++++++k1k 1k 1k 21212122+++++++>k 2322122k 1k +=++>+k k , 所以结论成立N,n ∈20.解（1）若直线AB 无斜率，直线方程x=0，A （0，1）满足要求若直线AB 有斜率，设直线方程y=kx-1，联立方程得 02-2x 222=+kx x k ，22222211-21-214y 214x ∴k k k k k k A A +=+=+=，中点坐标为），（22211-212k k k ++ 21-k ∴= ∴直线方程 1-21-y ∴x = （2）），31-34-(A ，），1-0(B ，设点），00y x (P 为曲线上任一点 直线 AP 的方程是)34(3431y 31y 00+++=+x x 与直线y=x 联立得 )1-(3-4x ∴0000+=y x x y M 同理得：直线 BP 的方程是x x 001y 1y +=+与直线y=x 联立得 1-x ∴000++=y x x N=+=•N M N M y y x x O ∴×+×)1-(3-420000y x x y 341-000=++y x x 21. 解：（1）当1a =时，()12ln (0)f x x x x =-->则'2()1f x x=-. 令'()0f x >得2x >；令'()0f x <得02x <<故()f x 的单调递减区间为(]0,2，单调递增区间为[)2,+∞ ……………3分 （2）∵函数()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上不可能恒成立，故要使函数()f x 在区间10,2⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，只要对1(0,)2x ∀∈，()0f x >恒成立。
2014届四川省成都七中高三二诊模拟考试理科数学试题(含答案解析)
C. - 220
ì x ³ 1, y -1 ï 则z= 的取值范围是(▲) 6. 实数 x 、 y 满足 í y ³ 0, x ï x - y ³ 0, î
A. [－1,0] B. ( －∞,0] C. [－1,+∞ ) D. [－1,1 )
7．已知 m, n 是不重合的直线， a , b 是不重合的平面，有下列命题： ①若 m Í a ， n ∥ a ，则 m ∥ n ； ②若 m ∥ a ， m ∥ b ，则 a ∥ b ； ④若 m ^ a , m ^ b ，则 a ∥ b 其中真命题的个数是 ③若 a I b = n ， m ∥ n ，则 m ∥ a 且 m ∥ b ；
*
的每一项都是集合 M 的元素，则符合这些条件的不同数列 {an }一共有 33 个。 ④已知直线 am x + an y + ak = 0 ，其中 am , an , ak Î M ，而且 am < an < ak ，则一共可以得到 不同的直线 196 条。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，把答案填在答题卡的相应位置，解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤． 16．(本题满分 12 分）等比数列 {an } 中，已知 a1 = 2, a4 = 16 （I）求数列 {an } 的通项公式； （Ⅱ） 若 a3 , a5 分别为等差数列 {bn } 的第 3 项和第 5 项， 试求数列 {bn } 的通项公式及前 n 项和 Sn 。
17．解： （Ⅰ） f ( x) = 1 + cos w x + a + 3 sin w x = 2sin(w x +
p ) + a + 1 …………………（3 6
分） 因为函数 f ( x) 在 R 上的最大值为 2 ，所以 3 + a = 2 故 a = -1 …………………（4 分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知： f ( x) = 2sin(w x + 把函数 f ( x) = 2sin(w x +
江西省名校联盟2014届高三12月调研考试 理科数学试题答案
2014·稳派名校学术联盟高三调研考试数学理科答案1.C =M }1|{<x x ，=N }0|{>y y ，故N M ⋂＝}10|{<<x x .2. A 由等比数列的性质，得325354321==a a a a a a ，故32a =，又811=a ,∴11327a a a ⋅=,解得47=a (负值舍去，因为753,,a a a 同号) .3. C 由题意可知，该几何体为一个四棱锥，底面面积为32，高为x ，体积为131322V x =⋅⋅=,得1x =,故选C.4.B 当b a ln ln >时，0>>b a ，则22a b >；当22a b >时，b a >，此时无法得当[,]22x ∈-时，(cos )22x -≤，故1si n (c o s )22x x -≤<-≤，而函数sin y x =在[1,]2π-为增函数，故sin(sin )sin(cos )cos(cos )2x xx π<-=.7.A 在平面直角坐标系中画出不等式组,24,2y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域D ，由于圆222(1)(1)x y r ++-=经过平面区域D ，因此其半径r 的最小值为圆心(-1,1)到直线y=x 的距离，即r mi n =8.D 观察图像，可知随着时间的增加，刚开始角度为0并且在增加，排除选项A; 在曲线段B 中间一段变化不大，然后角度减少到达曲线段C ，接着角度增加，故排除选项C ，后面又略减少到曲线段D ，之后一直增加到点E ，并且角度要大于前面几段，排除选项B ，故选D. 9.D 圆C 的标准方程为(x+1)2+y 2=b 2，由两直线平行可得a(a+1)-6=0，解得a=2或a=-3，又当a=2时，直线l 1与l 2重合，舍去，此时两平行线方程分别为x-y-2=0和x-y+3=0；由直线x-y-2=0与圆(x+1)2+y 2=b 2相切，得2b ==，由直线x-y+3=0与圆相切，得b ==，当两直线与圆都相离时，b <b满足2b b b ⎧≥⎪⎨≠≠⎪⎩，故b的取值范围是)⋃+∞. 10.B 设()(32)h m a m a b =--+，则依题意0(0)1,0(1)1h h ≤≤≤≤，代入可得：01,0221b a a b ≤-≤≤+-≤，画出可行域，构造点(,)a b 与原点连线的斜率可得14b t a≤=≤；而221a b a b t ab b a t -+=-+=-+，易知函数1()u t t t =-+为区间[1,4]上的增函数，故15()4u t ≤. 11.53 由题意可知，tan 2θ=，则222222221s i n c o s t a n 15s i n c o s s i n c o s t a n 13θθθθθθθθ++===---．12. y 2=2x －1 设P (x ,y )，则),(y x OP =，又因为|OP -|＝|OP ⋅|， 所以(x -1)2+y 2=x 2，整理得y 2=2x －1.13. 1(,1)[,1)4-∞- 若f (x )=4x －15,则g (x )=f (4－x )=4(4－x ) －15=1－4x ,故不等式 2()01g x x ≥-等价于21401xx -≥-，即(1)(1)(41)0(11)x x x x x -+-≤≠≠-且，解得x<－1,或114x ≤<.14. 2 ∵f(-x)-f(x)=０，∴f(x)为偶函数，∵g(x)=e x f(x)，∴()[()()]0x g x e f x f x ''=+>，∴g(x)在[0,a]上为单调增函数，又∵g(0)•g(a)<0，∴函数g(x)=e x f(x)在[0,a]上只有一个零点，又∵e x≠0，∴f(x)在[0,a]上有且仅有一个零点，∵f(x)是偶函数，且f(0) ≠0，∴f(x)在[-a,a]上有且仅有两个零点．15.15422018- 由于2014=4×503+2，故20142位于表格的第504行第3列，所以n=504,m=3.所以[].154221)2(122018450442-=--=n S17. 解：（1） 紧急刹车后列车的速度)(')(t S t v = 15143)(+++-=t t t v ，（2分） 当电动车完全停止时0)(=t v sm,令15143)(+++-=t t t v =0, 得02432=--t t ，解得3t =或83t =-（舍去)， 即从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为3s . （6分） （2）由（1）知，从开始紧急刹车至车完全停止所经过的时间为3s , 又由车的速度15143)(+++-=t t t v ，（4分） ∴车子正常行驶的速度当0t =时，6)0(=v s m h km h km /24/6.21<=， 故在限速范围内.（12分）18.解：(1)当1n =时，=++2111844a a a 解得=12a ； 当2n ≥时，（3分）整理得11(4)()0n n n n a a a a ----+=,又{}n a 为正项数列,故14n n a a --= (2n ≥),因此数列{}n a 是首项为2,公差为4的等差数列,=+-⨯=-2(1)442n a n n .(6分) （2===>=2424--+n n （8分）+>+++=224-+n .（12分）19．解法一：（1）由于平面1A AC ⊥平面ABC ，BC AC ⊥ 所以BC ⊥面1A AC ，所以1BC AC ⊥.(2分 而11A ACC 是菱形，因此11AC AC ⊥， 所以1AC ⊥平面1A BC .（4分） （2）设11AC AC O = ，作1OE A B ⊥于E ，连AE ， 由（1）知1AC ⊥平面1A BC ，即AO ⊥平面1A BC ，所以1AO A B ⊥ 又1OE A B ⊥于E ，因此1A B AE ⊥，所以AEO ∠为二面角的平面角α，（8分）在1Rt A EO ∆中，11A O =，145OA E ∠=，故直角边OE =又因为Rt AEO ∆中斜边AO = 因此Rt AEO ∆中斜边AE =，所以cos OE AE α=.（12分）解法二：如图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，（2分） 以1,,DE DCDA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ，(10,C ，（1） (1AC =，(12,BA =-- ，()2,0,0CB = ，(10,1,A C =由,01=⋅CB AC 知CB AC ⊥1， （5分）又11AC AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ；（6分） （2）由（1）知平面平1A BC 的一个法向量为(1n AC ==，再设平面1A BA 的法向量为(),,m x y z =，()2,2,0AB =，(1AA = ，所以1220m AB x y m AA y⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，设1z =，则)m = ，故.7732732,cos -=⋅-==〉〈n m.(12分） 20．解：（1）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，则由题意知b =1.c e a ==∴c =2a =，所以椭圆的方程为2214x y +=． （2分）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩，即,2100⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 又220014x y +=，代入得221()142x y +=，即224x y +=． 即动点C 的轨迹E 的方程为224x y +=．（6分） （2）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ， ∵,,A C R 三点共线，∴ AC ∥AR ，而(2,)AC m n =+ ，(4,)AR t = ，则4(2)n t m =+，∴42n t m =+，∴点R 的坐标为4(2,)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2n m +， ∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n n mn m k m m m -+-+===---，（9分） 而224m n +=，∴224m n -=-，∴2mn mk n n==--， ∴直线CD 的方程为()my n x m n-=--，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD的距离2d r ====， 所以直线CD 与圆O 相切．（13分）21．解：（1）/()1ln(1)f x a x a =-+-（1分） ①0a =时，/()0f x >，∴()f x 在（—1，+∞）上是增函数，函数既无极大值点，也无极小值点。
广东省广州增城市2014届高三上学期调研测试理科数学试卷(解析版)
广东省广州增城市2014届高三上学期调研测试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．设集合U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={2，4，5}，集合B={1，3，5，7}，则()U AC B =( )A.{5}B.{2,4}C.{2,4,5}D.{2,4,6} 【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，{}2,4,6U C B =，所以(){}2,4U A C B =.考点：集合间的基本运算2．下列函数中与函数f(x )=x 相同的是( )A.()2f x =B.()f x =C.()f x =D.()2x f x x=【答案】C 【解析】试题分析：选项A ，()2(0)f x x x ==≥；选项B ，()()f x x x R =∈；选项C ，()()f x x x R ==∈；选项D ，()()20x f x x x x==≠.所以只有选项C 的函数与函数()f x x =是相同的. 考点：函数的定义域及其求法 3．复平面内复数11i-对应的点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 试题分析：()()11111111222i i i i i i ++===+--+，所以复数11i -对应的点是11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限.考点：复数代数形式的混合运算4( )A. 6B.【答案】D 【解析】3====.考点：指数与指数幂的运算5．已知两个平面垂直，下列命题中：(1)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； (2)一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线； (3)一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；(4)过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数有( )A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】A 【解析】试题分析：(1)根据平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的性质定理可知，只有当这个平面的已知直线垂直于交线时，这条直线才垂直于此平面内的任意一条直线，所以(1)的说法错误；(2)根据平面与平面垂直的性质定理可知，另一个平面内与交线垂直的直线有无数条，这些直线都与已知直线垂直，所以(2)的说法正确；(3)根据平面与平面垂直的性质定理可知，只有这个平面的直线垂直于交线时，它才垂直于另一个平面，所以(3)的说法错误；(4) 如果这一点在交线上，那么过这点的交线的垂线有无数条，其中有的可能在另一个平面内，所以(4)的说法错误.所以正确的命题是(2)，1个.考点：1.平面与平面垂直的性质定理；2.直线与平面垂直的性质定理 6．与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都相外切的圆的圆心在( )A. 一个椭圆上B. 一支双曲线上C. 一条抛物线上D. 一个圆上【答案】B 【解析】试题分析：圆221x y +=221x y +=的圆心是()0,0，半径1r =；圆228120x y x +-+=的圆心是()4,0，半径是2R =.根据题意可知，所求的圆的圆心到定点()4,0与()0,0的距离之差是1，由双曲线的定义可知，所求圆的圆心的轨迹是双曲线的一支，即圆心在一支双曲线上.考点：双曲线的定义及性质7．已知函数()()22log 1f x x ax =++的定义域是R ，则实数a 的取值范围是( )A. （0,2）B. （-2,2）C. [-2,2]D.()()22,-∞-+∞【答案】B 【解析】试题分析：由已知得，210x ax ++>恒成立，所以240a ∆=-<，解得22a -<<.考点：二次函数的图像与性质8．已知3177cos ,45124x x πππ⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则2sin 22sin 1tan x x x +=- ( ) A. 2875-B. 2875C. 21100-D. 21100 【答案】A 【解析】试题分析：由3cos 45πx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据三角函数的和角公式可知，cos sin x x -=①.因为177124ππx <<，所以5234πππx <+<，所以4sin 45πx ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，由三角函数的和角公式得，sin cos 5x x +=-②.由①②解得sin 10cos 10x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2sin 22sin 2sin cos 2sin sin sin 1tan 1cos x x x x x xx x x++==--()2sin cos cos sin cos sin x x x x x x +=-，22875⎛⎛⎛⨯⨯⨯ ==-.考点：1.三角函数的和角公式；2.同角三角函数的基本关系二、填空题9．已知()()4,2,6,a b y ==，且a 与b 共线，则y= . 【答案】3 【解析】试题分析：因为a 与b 共线，所以642y=，解得3y =. 考点：平面向量共线的坐标运算10．如图，是一问题的程序框图，则输出的结果是 .【答案】1717 【解析】 试题分析：根据流程图可知它的作用是求147......97100+++++的值，由等差数列的前n 项和公式可知，()34110017172S ⨯+==.考点：1.程序框图及其应用；2.等差数列的前n 项和11．二项式81x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 .【答案】70【解析】试题分析：根据二项式定理可知所求的常数项为：4448170C x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.考点：二项式定理 12．设函数()f x =12,x x R ∈，恒有()()1212f x f x M x x -<-，其中M 是常数，则M 的最小值是 . 【答案】1 【解析】试题分析：根据导数的定义，对已知函数求导得，()1f x '==<，所以M 的最小值是1.考点：导数的定义及其应用 13．要将两种大小不同的钢板截成A,B,C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A,B,C 三种规格的成品分别是15,18,27块，至少需要这两种钢板共是 张. 【答案】12 【解析】试题分析：设需要第一种钢板x 块，第二种钢板y 块，根据题意知x ，y 满足不等式组215218327x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪+≥⎩， 求z x y =+的最小值，不等式组表示的可行域如图所示，红线表示x y +取不同值时的直线，可知z x y =+在直线327x y +=与直线215x y +=的交点1839,55⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值，因为x ，y 都是正整数，所以3x =时，y 最小值是9y =；4x =时，y 最小值是8y =.所以z的最小值是12.考点：简单的线性规划14．如图，在△ABC 中，DE//BC,DF//AC,AE=4，EC=2，BC=8，则BF= .【答案】83【解析】试题分析：设BF x =，则8CF x =-，由//DF AC 得，8BD BF xAD CF x==-，又因为//DE BC ，所以24BD CE AD AE ==，则有284x x =-，解得83x =.考点：平行线分线段成比例15．（坐标系与参数方程选做题）圆的极坐标方程为2cos ρθθ=-，则圆的圆心的极坐标是 ()02θπ≤<. 【答案】52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：圆的圆心为()(),0βa a >，半径为a 的圆的极坐标方程为()2cos ρθβa =-.因为52cos 4cos 4cos 24cos 333πππρθθθθπθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以此圆的圆心坐标为52,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 考点：圆的极坐标方程三、解答题16．已知函数()()2sin cos sin .f x x x x =-(1)当0x π<<时，求()f x 的最大值及相应的x 值；(2)利用函数y=sin x 的图象经过怎样的变换得到f(x)的图象.【答案】(1) max 1f ，8x π=； (2)见解析.【解析】试题分析：(1)先根据二倍角公式和三角函数的和角公式化简()f x 得到()s i n 214πfx x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据三角函数的图像和性质求解函数()f x 的最大值以及取得最大值时对应的x 的值；(2)根据三角函数图像的平移变换的法则，先把函数sin y x =的图象向左平移4π个单位，再把图象上的点横坐标变为原的12倍，然后把图象上的点纵坐1个单位即可.试题解析：(1)()()22sin cos sin 2sin cos 2sin f x x x x x x x =-=- 1分sin 2cos 21x x =+- .. 3分214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ..5分∵0x π<<，∴92444x πππ<+<， 6分 所以当242x ππ+=时，即8x π=时 7分()f x 1所以()f x 1，相应的x 的值8x π=. 8分(2)函数sin y x =的图象向左平移4π个单位， 9分 再把图象上的点横坐标变为原的12倍， 10分11分最后把图象向下平移1个单位得到214πy x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象. 12分.考点：1.三角函数的和角公式；2.三角函数的图像与性质；3.二倍角公式；4.三角函数图像的平移变换17．在一个盒子里装有6枝圆珠笔，其中3枝一等品，2枝二等品，1枝三等品. (1)从盒子里任取3枝恰有1枝三等品的概率多大？；(2)从盒子里任取3枝，设ξ为取出的3枝里一等品的枝数，求ξ的分布列及数学期望. 【答案】(1)12；(2)分布列见解析，()32ξE =. 【解析】试题分析：(1)先求出从6枝圆珠笔中任取3支的事件的总数A ，再求出恰有1枝是三等品的事件的总数B ，用B 除以A 即是所求的概率；(2)先判断ξ的所有可能的取值，再求出ξ取每个值时对应的概率，根据分布列的列法将所求的概率与对应的ξ的值分别填入表格，列出分布列，根据分布列中的ξ的值及其对应的概率以及公式()()3ξξξiii E P ==∑求数学期望.试题解析：(1)2536C P C = ..2分541212321⨯⨯==⨯⨯ 4分 (2) 0,1,2,3ξ= 5分()33361020ξC P C ===， ()1ξP =123336920C C C ⨯==，()3ξP =213336920C C C ⨯==， ()4ξP =3336120C C ==. .9分所以ξ的分布列是：10分()199130123202020202ξE =⨯+⨯+⨯+⨯=. 12分 考点：1.随机事件的概率；2.离散型随机变量及其应用；3.离散型随机变量的分布列与数学期望 18．如图，边长为2的正方形ABCD ，E,F 分别是AB,BC 的中点，将△AED ，△DCF 分别沿DE,DF 折起，使A,C 两点重合于A '.(1)求证：DA '⊥EF;(2)求二面角A EF D '--的平面角的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2)13. 【解析】试题分析：(1)先根据正方形的特征得到DA AE ⊥，DC CF ⊥ ，再根据点的重合得到DA A E ''⊥，DA A F ''⊥ ，由直线与平面垂直的判定定理可知，DA A EF ''⊥平面 ，再由直线与平面垂直的性质定理得到DA EF '⊥ ；(2)先取EF 的中点M ，连A M '，DM ，由等腰三角形底边上的三线合一以及勾股定理证明A M EF '⊥，DM EF ⊥，所以A MD'∠是二面角A EF D '--的平面角，再根据已知的边的长度 试题解析：(1)证明：∵ABCD 是正方形， ∴DA AE ⊥，DC CF ⊥， ..2分 ∴DA A E ''⊥，DA A F ''⊥， .3分 又A E A F A '''=， . 4分 ∴DA A EF ''⊥平面， 5分 又A EF '⊂EF 平面， .6分∴DA EF '⊥. 7分(2)取EF 的中点M ，连A M '，DM ，如图所示：则在AEF 中，∵1A E AE '==，1A F CF '==， ∴A M EF '⊥， .8分∴DE DF ===，∴DM EF ⊥， .. 9分所以A MD '∠是二面角A EF D '--的平面角， 10分 在BEF 中，1BE BF ==，BE BF ⊥，∴EF =2A M '=， ..11分 ∵DA A EF ''⊥平面，∴A D A ''⊥，又2A D '=，∴/2D A D =2= .12分∴/1cos 3A M A MD DM '∠==， .13分 所以二面角A EF D '--的平面角的余弦值是13. 14分 考点：1.直线与平面垂直的判定定理；2.直线与平面垂直的性质定理；3.解三角形；4.二面角及求法；5.勾股定理 19．已知数列{}n a 满足111,2 1.2n n a a a +=-= (1)求{}n a 的通项公式； (2)证明：12...1na a a n+++<.【答案】(1) 112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)见解析.【解析】试题分析：(1)根据所给的121n n a a +-=将1拆为21-，化简得到关系11112n n a a +-=-，构造数列{}1n a -，证明此数列是以12-为首项，12为公比的等比数列，求得111122n n a -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，即得112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)根据所求的通项公式以及等比数列的前n项和公式求得12...n a a a +++112n n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，那么就有12...n a a a n +++1121nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，由n 是整数以及指数函数的性质可知1120nn⎛⎫- ⎪⎝⎭>，所以12...1n a a a n +++<得证.试题解析：(1)由12121n n a a +-==-可得，1221n n a a +-=-，即()1211n n a a +-=- 2分 ∴11112n n a a +-=- ， 4分由112a =得，1111122a -=-=- ， . 5分 ∴数列{}1n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列， 6分∴111122n n a -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，∴112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. .7分（2）证明：∵212111......222nn a a a n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.9分111222112nn ⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭=-- ..10分112nn ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 11分∴1211 (2)1nn a a a n n⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=-， .12分 ∵n 是正整数，∴1012n ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，1112011,02nn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<-<> ⎪⎝⎭， ..13分 ∴12...1na a a n+++<. . 14分考点：1.等比数列的定义；2.等比数列的前n 项和公式；3.指数函数的性质 20．已知点()()1,0,1,0,A B -直线AM,BM 相交于点M ，且2MA MB k k ⨯=-. (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)过定点（0,1）作直线PQ 与曲线C 交于P,Q两点，且2PQ =，求直线PQ 的方程. 【答案】(1) 2212y x +=()1x ≠±；(2) 1y =+. 【解析】试题分析：(1)先设出点M 的坐标，根据两点间的斜率公式求出1MA y k x =+和1Mb y k x =-，代入已知条件2MA MB k k ⨯=-中，化简整理得2212y x +=()1x ≠±，限制条件一定要有；(2)分直线PQ 的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，当斜率存在时，设出直线方程及与曲线的交点坐标，联立方程由方程的根与系数的关系求得12222kx x k +=-+，12212x x k =-+，代入P 、Q两点间的距离公式并化简，结合已知条件2PQ =求得k 的值，代入所设的直线方程即可.试题解析：(1)解：设(),M x y ， ..1分则1MA y k x =+，()11Mb yk x x =≠±-， .3分 ∴211y y x x ⨯=-+-， .4分 ∴2212y x +=()1x ≠±. .6分 (条件1分) (2)当直线PQ 的斜率不存在时，即PQ是椭圆的长轴，其长为 所以直线PQ 的斜率存在， 7分 设直线PQ 的方程是1y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ， 则1212()y y k x x -=-， .8分联立22121y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()222210k x kx ++-=， 9分 ∵()()()222442810k k k ∆=++=+>，∴k R ∈， ..10分∴12222k x x k +=-+，12212x x k =-+， .11分 ∴PQ ===， ..12分∴PQ ==，∴22k =，即k = .13分所以直线PQ 的方程是1y =+. ..14分考点：1.直线的斜率；2.方程的根与系数的关系；3.分类讨论思想；4.两点间的距离公式；5.直线方程；6.轨迹方程 21．设()2ln .a f x x x=+(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)的零点个数.【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】试题分析：(1)先由对数函数的定义求得函数的定义域，然后对函数求导，对a 的取值进行分类讨论，根据函数的单调性与导数的关系求得每种情况下的函数的单调区间；(2) 对a 的取值进行分类讨论，当0a ≤时分0a =和0a <两种情况，由()0af e <， ()0a f e ->，结合零点存在性定理可知()f x 在()0,+∞上有一个零点；当0a >时，根据函数的单调性求得函数的极小值()1ln 12fa =+，对极小值与0的关系分三种情况进行分类讨论，结合零点存在性定理求得每种情况下的函数的零点个数. 试题解析：(1) ()f x 的定义域是()0,+∞， 1分∵()2331a x af x x x x -'=-= ， 2分当0a ≤时，()0f x '>，()0,+∞是()f x 的增区间， 3分当0a >时，令()0f x '=，x =（负值舍去）当0x <<()0f x '<；当x >()0f x '> 5分所以(是()f x 的减区间，)+∞是()f x 的增区间. 6分综合：当0a ≤时，()f x 的增区间是()0,+∞；当0a >时，()f x 的减区间是(，()f x 的增区间是)+∞. 7分(2)由(1)知道当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上是增函数，当0a =时有零点1x =， 8分当0a <时，()()210a a f e a e =+<， ()()210aa f ea e --=->， .9分 (或当0x →+时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞)， 所以()f x 在()0,+∞上有一个零点， 10分当0a >时，由(1)知，()f x 在(上是减函数，()f x 在)+∞上是增函数，所以当x =()f x 有极小值，其最小值为()1ln 12fa =+. 11分 当()1ln 102a +>，即1a e>时，()f x 无零点，当()1ln 102a +=，即1a e =时，()f x 有一个零点， 当()1ln 102a +<，即10a e<<时，()f x 有2个零点. 13分 综合：当1a e >时，()f x 无零点；当1a e =时，()f x 有一个零点；当10a e<<时，()f x 有2个零. 14分考点：1.函数求导；2.函数的单调性与导数的关系；3.分类讨论思想；4.对数函数的定义；5.解不等式；6.利用导数研究函数的极值；7.零点存在性定理。
广州市2014届高三调研测试数学理科试题参考答案及评分标准
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…………7 分
= 1 ．…………………………………………………………………………… 3
பைடு நூலகம்（2）因为 a = 3 ， b = 2 2 ， cos B = 1 ， 3
由
余
弦
定
理
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B ，………………………………………………………………9 分
建立如图的空间直角坐标系 C − xyz ．………………………7 分
平
面
z
E
F
因为 ABCD 是等腰梯形，且 AB = 2BC ， ∠ABC = 60°
所以 CB = CD = CF ．
D
( ) 不妨设 BC = 1，则 B (0,1, 0) ， F (0, 0,1) ， A 3,0, 0 ， xA
即
1 − a = b + 2b −1
,
且
3
1 − a = 2b , ………………………………………………………………2 分
解
得
a = 1 , b = 1 .……………………………………………………………………………………3 33
分
（2）当 a = 1 − 2b 时， h ( x) = 1 x3 + 1− a x2 − ax − a (a > 0) ，
=
0,
即
3 2
x+
y 2
= 0,
n ⋅ DE = 0. z = 0.
( ) 取 x = 1 ， 得 n = 1, − 3, 0 是 平 面 ADE 的 一 个 法 向
量．………………………………………11 分
设直线 BF 与平面 ADE 所成的角为θ ，
黄冈市2014年高三年级9月份质量检测数学试题(理科)答案
黄冈市2014年高三年级9月份质量检测数学试题（理科）答案一选择题 二填空题11. 3． 12 . 539 13. 10071008 14. 13k ≤15 （1）17 （2）13 操作五次可得新数1)1()1(85-++p q ，故m+n= 13 三．解答题16. 解：由x －5x －3≥2，得x －1x －3≤0， ∴1≤x ＜3． -----------2分由x 2－ax ≤x －a ，得(x －a )(x －1)≤0． ----------3分 (1)当a ＜1时，解得a ≤x ≤1； (2)当a ＝1时，解得x ＝1；(3)当a ＞1时，解得1≤x ≤a ． ---------6分 ∵⌝p 是⌝q 的充分条件， ∴q 是p 的充分条件．设p 对应集合A ，q 对应集合B ，则A ＝{x |1≤x ＜3}且B ⊆A ．-----8分 当a ＜1时，B ＝{x |a ≤x ≤1}，B A ，不符合题意； 当a ＝1时，B ＝{x |x ＝1}，B ⊆A ，符合题意；当a ＞1时，B ＝{x |1≤x ≤a }，若B ⊆A ，需1＜a ＜3． 综上，得1≤a ＜3．∴实数a 的取值范围是[1,3)． ------------12分17.解（Ⅰ）31cos 21()sin 2sin(2)12226x f x x x π+=--=--…….............3分 令,62π-=x t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,4ππt ()1sin -=∴t t f 。
∴当2π=t 即3π=x 时，()0max =x f当34π=t 即43π=x 时，()123min --=x f ； ……6分 （Ⅱ）()sin(2)106f C C π=--=，则sin(2)106C π--=， ……............7分0C π<<,022C π<<,所以112666C πππ-<-<， 所以262C ππ-=，3C π=…….....................................................................9分因为sin 2sin B A =，所以由正弦定理得2b a = ……..................................10分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B BCCCCAAAC由余弦定理得2222cos3c a b ab π=+-，即2223c a b ab =+-= ……...........11分由①②解得：1a =，2b = ……..........................................................12分18. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则161560a d +=． 由15a =，解得2d =．∴23n a n =+．……………………5分(523)2n n n S ++=(4)n n =+．……………………………………………………6分（Ⅱ）∵1n n n b b a +-=，∴11n n n b b a ---=*(2,)n n N ≥∈．当2n ≥时，112211()()()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+ 1211n n a a a b --=++++ (1)(14)3n n =--++(2)n n =+． 对13b =也适合，∴n b (2)n n =+*()n N ∈．…………………8分 ∴)211(21)2(11+-=+=n n n n b n ． n T =)2)(1(453)211123(21)2114121311(212+++=+-+-=+-++-+-n n nn n n n n ． ……12分19【解】解：（１）由0,1,2m x k ===得 231x m ∴=-+ ………… 2分 每件产品的销售价格为 1.5×816xx +（元）， ∴2014年的利润y=x•(1.5×816xx+)－（8+16x+m ） …… 4分=4+8x-m=4+8(3−21m +)-m=-[161m ++(m+1)]+29（≥4m≥0）．)40(116)1(29≤≤+-+-=m m m y 5分（2）161629[+1)()]29-2(1)2111y m m m m =-+≤+=++由（，当且仅当16+1=,1m m +]4,0[3∈=m ，即年促销费用投入为3万元，该厂家的年利润最大，最大利润为21万元。
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2014届高三调研考试数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟． 注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为( ) A ．{}2 B ．{}4,6C ．{}1,3,5D ．{}4,6,7,82．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若301272=++a a a ，则13S 的值是( ) A ．130 B ．65 C ．70 D ．753．“22ab >”是 “22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．直线2(1)10x a y +++=的倾斜角的取值范围是（ ） A ．[0,]4πB ．3,4ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．[0,](,)42πππD ．3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ 6．有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的编号互不相同的概率为（ ）A ．521B ．27C ．13D ．8217．若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ） A ．n ≤5B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤88．如图，在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水，将容器底面一边BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH 的面积不改变； ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行； ④当1AA E ∈时，BF AE +是定值. 其中所有正确的命题的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9．在二项式()62+x 的展开式中，含3x 的项的系数是__________10．曲线2:x y C =、直线2:=x l 与x 轴所围成的图形面积为_________11．已知函数()x f 的导数()()()()1,f x a x x a f x x a '=+-=若在处取得极大值，则a 的取值范围为____ 12．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积．．．等于 13．已知直线0=++c by ax 与圆1:22=+y x O 相交于,A B 两点，且,3=AB 则⋅的值是14．如下图，对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，26的“分裂”中最大的数是 ；32013 的“分裂”中最大的数是 ；C1BA 241357341315171944616365672213323542792313533791143252729三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（本小题满分12分）函数()2sin()ωϕ=+f x x (0,0)2ωϕπ><<的部分图象如下图所示，该图象与y 轴交于点(0,1)F ，与x 轴交于点,B C ，M 为最高点，且三角形MBC 的面积为π． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若()(0,)62f ααππ-=∈，求cos(2)4απ+的值．16．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根,数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且n n b S 211-= (*n N ∈).（1） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2） 记n n n b a c ⋅=,求证：n n c c ≤+1.17．（本小题满分14分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ,D 、E分别为11A B 、1AA 的中点，点F 在棱AB 上，且14AF AB =. （Ⅰ）求证：//EF 平面1BDC ;（Ⅱ）在棱AC 上是否存在一个点G ，使得平面EFG 将三棱柱分割成的 两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G 的位置；若不存在，说明理由.18．（本小题满分14分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+，根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b =，试求出ˆa的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； （Ⅱ）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．A 1x19．(本小题满分14分) 已知函数()b ax x x f +-=331，其中实数b a ,是常数． （Ⅰ）已知{}2,1,0∈a ，{}2,1,0∈b ，求事件A ：“()01≥f ”发生的概率；（Ⅱ）若()x f 是R 上的奇函数，()a g 是()x f 在区间[]1,1-上的最小值，求当1≥a 时()a g 的解析式； （Ⅲ）记()x f y =的导函数为()x f '，则当1=a 时，对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使得12()()f x f x '=，求实数b 的取值范围．20．(本小题满分14分) 已知函数()2ln bf x ax x x=--，(1)0f =. （Ⅰ）若函数()f x 在其定义域内为单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 的图象在1x =处的切线的斜率为0，且211()11n n a f n a n +'=-+-+，已知14a =，求证：22n a n ≥+；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较1231111...1111n a a a a ++++++++与25的大小，并说明你的理由.2014届高三调研考试数学试卷（理科）答案一、选择题二、填空题9．160； 10．83； 11．01<<-a ； 12．326+； 13．12-；14．11（本空2分）；3m （m 为奇数）的“分拆”的最大数是21m m +-，所以2201320124054181+=（本空3分，写成“220132012+”或“4054181”都给3分） 三、解答题15．（本小题满分12分）解：（I ）∵122MBC S BC BC ∆=⨯⨯==π， ∴周期2,1T ωω2π=π== ……….2分由(0)2sin 1f ϕ==，得1sin 2ϕ=， ……………………………………3分∵02ϕπ<<，∴6ϕπ=， ∴()2sin()6f x x π=+． ………….6分（Ⅱ）由()2sin 6f ααπ-==sin α，∵(0,)2απ∈，∴cos α==，∴234cos22cos 1,sin 22sin cos 55ααααα=-===， ∴cos(2)cos 2cos sin 2sin 444αααπππ+=-3455==………….12分16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵53,a a 是方程045142=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差0d >，∴355,9a a ==，公差.23535=--=a a d∴.12)5(5-=-+=n d n a a n ( *n N ∈)………………4分又当n=1时，有b 1=S 1=1－.32,2111=∴b b 当).2(31),(21,2111≥=∴-=-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时 ∴数列{b n }是等比数列，.31,321==q b ∴.3211n n n q b b ==- ( *n N ∈) …………8分A 11A（Ⅱ）由（Ⅰ）知,3)12(2,3)12(211+++=-==n n n n n n n c n b a c …………10分 ∴.03)1(83)12(23)12(2111≤-=--+=-+++n n n n n n n n c c∴.1n n c c ≤+ …………12分 17．（本小题满分14分） （I ）证明：取AB 的中点M ，14AF AB =F ∴为AM 的中点， 又E 为1AA 的中点，1//EF A M ∴在三棱柱111ABC A B C -中，,D M 分别为11,A B AB 的中点， 11//,A D BM A D BM ∴=,1A DBM ∴为平行四边形，1//A M BD ∴ //,EF BD ∴BD ⊆平面1BC D ，EF ⊄平面1BC D//EF ∴平面1BC D …………………….7分（II ）设AC 上存在一点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为1︰15，则111:1:16E AFG ABC A B C V V --=111111sin 321sin 2E AFG ABC A B C AF AG GAF AEV V AB AC CAB A A --⨯⋅∠⋅=⋅⋅∠⋅ 111134224AG AG AC AC =⨯⨯⨯=⋅112416AG AC ∴⋅=， 32AG AC ∴=， 32AG AC AC ∴=>所以符合要求的点G 不存在 ……………………….14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）11(12345)3,(44566)555x y =++++==++++=，因线性回归方程ˆ=+ybx a 过点(,)x y ，∴50.66 3.2a y bx =-=-⨯=， ∴6月份的生产甲胶囊的产量数：ˆ0.66 3.2 6.8y=⨯+=…………….6分（Ⅱ）0,1,2,3,ξ=31254533991054010(0),(1),84428421C C C P P C C ξξ======== 213454339930541(2),(3).84148421C C C P P C C ξξ======== …………………….10分5105140123 422114213E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= …………………….14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当{}{}0,1,2,0,1,2a b ∈∈时，等可能发生的基本事件(,)a b 共有9个： (00)(01)(02),(10)(11)(12)(20)(21)(22).，，，，，，，，，，，，，，，， 其中事件A ： “1(1)03f a b =-+≥”，包含6个基本事件：(00)(01)(02)(11)(12)(22).，，，，，，，，，，， 故62()93P A ==． 即事件“(1)0f ≥”发生的概率23 …….4分（Ⅱ）31(),3f x x ax b =-+是R 上的奇函数，得(0)0,0.f b ==（5分）∴31(),3f x x ax =- 2()f x x a '=-,① 当1a ≥时，因为11x -≤≤，所以()0f x '≤，()f x 在区间[]1,1-上单调递减，从而1()(1)3g a f a ==-；② 当1a ≤-时，因为11x -≤≤，所以()0f x '>，()f x 在区间[]1,1-上单调递增，从而1()(1)3g a f a =-=-+, 综上，知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩…….9分（Ⅲ）当1=a 时，()()1,3123-='∴+-=x x f b x x x f ，当()()()()02,1,01,0>'∈<'∈x f x x f x 时当时 ()()()上递增上递减，在在2,11,0x f ∴，即()()b f x f +-==321min 又()()()0322,0f b f b f >+== ，[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈∈∴b b x f x 32,3220时，，当 而()[]210,2f x x x '=-∈在上递增，()[1,3]f x '∈-对任意[]2,01∈x ，总存在[]2,02∈x 使得)()(21x f x f '=()()f x f x '∴⊆的值域的值域，[]22-,1,333b b ⎡⎤++⊆-⎢⎥⎣⎦即 ∴ 2-13b +≥-且233b +≤，解得13-73b ≤≤ …………….14分20．(本小题满分14分)解（Ⅰ）(1)0f a b a b =-=⇒=， ()2ln af x ax x x∴=--，22()a f x a x x'∴=+-.要使函数()f x 在其定义域内为单调函数，则在定义域(0,)+∞内， ① 当0a =时，2()0f x x'=-<在定义域(0,)+∞内恒成立， 此时函数()f x 在其定义内为单调递减函数，满足题意； ②当0a >时，要使222111 ()()0a f x a a a x x x a a '=+-=-+-≥恒成立，则10a a-≥，解得1a ≥；此时函数()f x 在其定义内为单调递增函数，满足题意；③ 当0a <时，22()0a f x a x x'=+-<恒成立；此时函数()f x 在其定义内为单调递减函数，满足题意；综上所述，实数a 的取值范围是(,0][1,)-∞⋃+∞；…………………….4分（注: 本问也可采用“分离变量”的方法，酌情给分）（Ⅱ）由题意知(1)0f '=，可得20a a +-=，解得1a =，所以21()(1)f x x'=-于是/2211()1211n n n n a f n a na a n +=-+=-+-+，下面用数学归纳法证明22n a n ≥+成立，数学归纳法证明如下：（i ）当1n =时，14212a =≥⨯+，不等式成立；（ii ）假设当n k =时，不等式22k a k ≥+成立，即22k a k -≥成立，则当1n k =+时，1(2)1(22)21452(1)2k k k a a a k k k k +=-+≥+⨯+=+>++，所以当1n k =+时，不等式也成立，由（i ）（ii ）知*n N ∀∈时都有22n a n ≥+成立 …….8分（Ⅲ） 由（Ⅱ）得1111(22)1[2(1)222]121n n n n n a a a n a n n a ----=-++≥-+-++=+，（*,2n N n ∀∈≥）于是112(1)n n a a -+≥+， （*,2n N n ∀∈≥）成立，所以2112(1)a a +≥+，3212(1),...a a +≥+，112(1)n n a a -+≥+成立累乘可得：1112(1)n n a a -+≥+，则1111112(1)n n a a -≤++成立，（*,2n N n ∀∈≥） 所以1231111...1111n a a a a ++++++++2111111212(1...)(1)1222525n n a -≤++++=-<+.。