晶体学基础8-晶体内部结构的微观对称和空间群
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材料分析方法3 微观对称性-空间群-实际晶体结构
I坐标：2d: (1/3,2/3,z );(2/3,1/3,-z).
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29
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30
密堆积填隙示意图
• CdCl2: 堆积顺序：
整理课件
31
从填隙模型角度讨论CdCl2,CdI2,TiO2的关系
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32
可以归结为密堆积结构的复杂化合物
（1）可以归结为ccp简单结构的复杂化合物：
• 高温下NH4+,CN-,BF4-等离子基团，自由转动；NaCl结构：
• [ZnS4]; [SZn4]
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23
8. 萤石CaF2和反萤石Na2O：面心立方点阵，空间群：Fm3m(225号)， 萤石结构是由Ca构成的面心立方构架，F填充了其中所有四面体间
隙，构成简单立方结构。反萤石构是以简单立方Na为骨架， O部
分填充简单立方的体心间隙，[CaF8]; [FCa4]
（2）空间群序号，完整国际符号
（3）空间群图示，包括几个方向 的对称要素正投影图和一个一般等 效点系分布图
（4）原点的位置对称性
（5）空间群的基本对称操作，包 括对称操作序号，对称要素符号及 其轨迹，由初始的一般点出发，在 这些对称操作作用下可以找到一般 等效点系中的所有点。
（6）晶胞中一般点和特殊点的位
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43
两个都是体心正交
整理课件
44
整理课件
40
2. 画出四种平面点阵（它是无限大的）除平移外的所有对称 元素及其所在位置（在有限个阵点画出就可以了）。
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41
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42
3. 某正交晶系单胞中，在如下位置有单原子存在：①(0, 1/2, 0)，(1/2, 0, 1/2)两种位置都是同类原子；②([1/2, 0,0])， (0, 1/2, 1/2)上是A 原子，(0, 0, 1/2)，(1/2, 1/2, 0)是B 原子。 问上两种晶胞各属于哪一种布喇菲点阵？
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29
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30
密堆积填隙示意图
• CdCl2: 堆积顺序：
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31
从填隙模型角度讨论CdCl2,CdI2,TiO2的关系
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32
可以归结为密堆积结构的复杂化合物
（1）可以归结为ccp简单结构的复杂化合物：
• 高温下NH4+,CN-,BF4-等离子基团，自由转动；NaCl结构：
• [ZnS4]; [SZn4]
整理课件
23
8. 萤石CaF2和反萤石Na2O：面心立方点阵，空间群：Fm3m(225号)， 萤石结构是由Ca构成的面心立方构架，F填充了其中所有四面体间
隙，构成简单立方结构。反萤石构是以简单立方Na为骨架， O部
分填充简单立方的体心间隙，[CaF8]; [FCa4]
（2）空间群序号，完整国际符号
（3）空间群图示，包括几个方向 的对称要素正投影图和一个一般等 效点系分布图
（4）原点的位置对称性
（5）空间群的基本对称操作，包 括对称操作序号，对称要素符号及 其轨迹，由初始的一般点出发，在 这些对称操作作用下可以找到一般 等效点系中的所有点。
（6）晶胞中一般点和特殊点的位
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43
两个都是体心正交
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44
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40
2. 画出四种平面点阵（它是无限大的）除平移外的所有对称 元素及其所在位置（在有限个阵点画出就可以了）。
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41
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42
3. 某正交晶系单胞中，在如下位置有单原子存在：①(0, 1/2, 0)，(1/2, 0, 1/2)两种位置都是同类原子；②([1/2, 0,0])， (0, 1/2, 1/2)上是A 原子，(0, 0, 1/2)，(1/2, 1/2, 0)是B 原子。 问上两种晶胞各属于哪一种布喇菲点阵？
晶体结构的对称性
晶体的对称性1. 晶体的宏观和微观对称性晶体的对称性最直观地表现在其几何外形上，由于晶体外形为有限的几何图形，故晶体外形上所体现的对称性与分子一样为点对称性，称为宏观对称性。
有四种类型的对称操作和对称元素旋转旋转轴反映反映面(镜面)反演对称中心旋转反演反轴由于晶体内部结构为点阵结构，点阵结构是一种无限的几何对称图形。
故晶体结构具有这种基本的空间对称性(通过平移对称操作能使点阵结构复原)，常称为晶体的微观对称性。
有三种类型的对称操作和对称元素平移点阵螺旋螺旋轴滑移滑移面2. 晶体和晶体结构对称性的有关定理晶体和晶体结构的对称元素及相应的对称操作有上述七种。
晶体中点阵与对称元素的制约关系为：对称面和对称轴的取向定理在晶体结构的空间点阵图形中，对称轴必与一组直线点阵平行，并与一组平面点阵垂直；对称面则必与一组直线点阵垂直，并与一组平面点阵平行。
(对称轴包括旋转轴、反轴和螺旋轴；对称面包括反映面、滑移面)∙对称轴的轴次定理在晶体结构中存在的对称轴，其轴次只能为1、2、3、4、6这五种。
3. 7个晶系和32个晶体点群∙根据晶体的对称性，可将晶体分为7个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。
晶体特征对称元素立方晶系四个按立方体的对角线取向的3重轴六方晶系唯一的6重轴四方晶系唯一的4重轴三方晶系唯一的3重轴正交晶系三个互相垂直的2重轴或二个互相垂直的对称面单斜晶系一个2重轴或对称面三斜晶系无∙由于晶体的对称性定理，限制了对称轴的轴次只能为1、2、3、4、6；又由于反轴中只有4重反轴是独立的对称元素，所以在晶体的宏观对称性中，只能找到8个独立的对称元素：1、2、3、4、6、m、i、。
∙与分子所含的对称元素相比，晶体中所含的对称元素有限，这八个对称元素按一定的组合规则组合后只能产生32个对称类型(对称元素系)，每个对称类型所具有的对称元素所对应的对称操作构成一个群。
由于晶体的宏观外形为有限图形，故各种对称元素至少要相交于一点，故称为32个晶体点群。
晶体的对称性
7. 三斜–点阵符号后是1或(- 1)。
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号： 4, `4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 （化学成分）
2、名称
Chem Name Min Name
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号： 4, `4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 （化学成分）
2、名称
Chem Name Min Name
结晶学讲7-晶体内部结构的微观对称
• s：小于n的自然数
• 旋转的方向：左旋：左手系，顺时针 右旋：右手系，逆时针
• 移距
t= (s/n)T
• t为螺距(滑移距离），T为沿螺旋轴方向的 结点间距 • 当s=n 时，即为对称轴 • 举例： •
31 43
基转角为120°， 平移距离为t=1/3T 基转角为90 ° 平移距离t =3/4T
• 为什么只有14种空间格子的原因； • 会读懂内部对称要素的各种符号： 如：31，42，65，n, d, • 空间群及其国际符号：如：Pn3m, Cmcm,
2、空间群的国际符号
• 国际符号的优点：能直观地看出空间格子的型式和 什么方向上有什么对称要素； 缺点：同一种空间群由于不同的定向以及其它原因 可以写成不同的符号。 • 空间群国际符号的组成： ①格子类型(大写英文字母) + ② 内部结构对称型的国 际符号(与宏观对称型的国符书写方式基本相同) 如:金刚石的空间群为Fd3m,属m3m对称型 • 如何看懂空间群？
3c
43m
等 立方 轴 面心
c
滑移
空间群
点群
晶 格子 对称要素方向 系 类型 及名称
1、平行Z轴有 63 螺旋轴， 垂直Z有对称面 m
2、垂直于xyu有c 滑移面 3、垂直于相邻两水平晶 轴（y u）角平分线有对称 面
P63/mc m
6/mmm 六 六方 方 原始
Abm2
mm 2
斜 斜方 1、垂直于X轴有滑移 方 底心 面 b 格子 2、垂直于y 轴有对称 面m 3、平行于 Z 轴有L2
四、 等效点系
• 等效点系（equivalent point-system）： 是 指晶体结构中由一原始点经空间群中所有 对称要素操作所推导出来的规则点系。 • 晶体结构中的空间群，对应于晶体几何外 形的对称型 ；而等效点系的概念则类似于 单形的概念。
大学化学《结构化学-晶体结构》课件
3、各种晶体生长中会自发形成确定的多面体外形。 晶体在生长过程中自发形成晶面，晶面相交成
为晶棱，晶棱聚成顶点，使晶体具有某种多面体外 形的特点。
熔融的玻璃体冷却时，随着温度降低，粘度变 大，流动性变小，逐渐固化成表面光滑的无定形物， 工匠因此可将玻璃体制成各种形状的物品，它与晶 体有棱、有角、有晶面的情况完全不同。 4、晶体有确定的熔点而非晶态没有。
1．平移—点阵：
平移是晶体结构中最基本的对称操作， 可用T来表示
Tmnp＝ma＋nb＋pc
m，n，p为任意整数 即一个平移矢量Tmnp作用在晶体三维点 阵上，使点阵点在a方向平移m单位，b方向 平移n单位，c方向平移p单位后，点阵结构 仍能复原。
⑵ 晶体的对称操作和对称元素受到点阵的制约： 其中旋转轴、螺旋轴和反轴的轴次只能为1、2、3、 4、6等几种；螺旋轴和滑移面中的滑移量也只能符 合点阵结构中平移量的几种数值。
晶体结构中可能存在的对称元素有：对称中心 ()；镜面(m)；轴次为1、2、3、4、6的旋转轴(1,2， 3,4,6)、螺旋轴(21,31,32,41,42,43,61,62,63,64,65)、反轴
学习要点
⑴晶体结构周期性与点阵。 ⑵ 7 个 晶 系 和 14 种 Bravias 空 间 格 子 。 ⑶晶胞、晶面间距。 ⑷ 晶体(X射线)衍射方向―Laue方程和Bragg方程。 ⑸ 晶体衍射强度与立方晶系的系统消光。
学时安排 学时----- 6学时
第八章.晶体的点阵结构和晶体的性质
晶体
远古时期,人类从宝石开始认识晶体。红 宝石、蓝宝石、祖母绿等晶体以其晶莹剔透 的外观，棱角分明的形状和艳丽的色彩，震 憾人们的感官。名贵的宝石镶嵌在帝王的王 冠上，成为权力与财富的象征，而现代人类 合成出来晶体，如超导晶体YBaCuO、光学 晶体BaB2O4、LiNbO3、磁学晶体NdFeB等 高科技产品，则推动着人类的现代化进程。
晶体内部结构的微观对称
催化剂设计
利用晶体对称性，可以设计具有特定催化性能的 催化剂，提高化学反应的效率和选择性。
3
药物合成与筛选
通过研究药物分子与晶体之间的相互作用，可以 优化药物分子的设计和合成，提高药物的疗效和 降低副作用。
06
晶体内部结构对称性的研 究方法
X射线晶体学
总结词
X射线晶体学是研究晶体内部结构的主要方法之一，通过分析X射线在晶体中的衍射现象，可以获得晶体中原子的 排列方式和晶格结构等信息。
晶体内部结构的微观对 称
目录 CONTENT
• 晶体微观对称的概念 • 晶体微观对称的几何基础 • 晶体内部结构的对称元素 • 晶体内部结构的对称操作 • 晶体内部结构对称性的应用 • 晶体内部结构对称性的研究方法
01
晶体微观对称的概念
定义与特性
定义
晶体内部结构的微观对称是指晶体内 部原子或分子的排列方式具有的对称 性。
空间群对称
晶体内部原子或分子的排列具 有空间群对称性，如立方晶系
的点群对称。
02
晶体微观对称的几何基础
点群
定义
点群是指晶体中由一个或多个对 称元素组成的集合，这些对称元 素在晶体中所有可能的取向中保
持不变。
分类
点群可以分为一维、二维和三维点 群，分别对应于一维、二维和三维 晶体结构。
应用
点群是晶体结构分类的基础，通过 点群可以确定晶体的对称性，进而 确定晶体的物理和化学性质。
总结词
旋转轴是晶体内部结构中的一种对称元素，能够使晶体内部结构在旋转一定角度后恢复到原始状态。
详细描述
旋转轴在晶体内部结构中起着重要的作用，不同的旋转轴会导致晶体具有不同的对称性，从而影响晶体 的物理性质和化学性质。例如，在矿物学中，许多矿物具有特定的对称性，可以通过观察其晶体形态和 内部结构来确定其对称元素。
利用晶体对称性，可以设计具有特定催化性能的 催化剂，提高化学反应的效率和选择性。
3
药物合成与筛选
通过研究药物分子与晶体之间的相互作用，可以 优化药物分子的设计和合成，提高药物的疗效和 降低副作用。
06
晶体内部结构对称性的研 究方法
X射线晶体学
总结词
X射线晶体学是研究晶体内部结构的主要方法之一，通过分析X射线在晶体中的衍射现象，可以获得晶体中原子的 排列方式和晶格结构等信息。
晶体内部结构的微观对 称
目录 CONTENT
• 晶体微观对称的概念 • 晶体微观对称的几何基础 • 晶体内部结构的对称元素 • 晶体内部结构的对称操作 • 晶体内部结构对称性的应用 • 晶体内部结构对称性的研究方法
01
晶体微观对称的概念
定义与特性
定义
晶体内部结构的微观对称是指晶体内 部原子或分子的排列方式具有的对称 性。
空间群对称
晶体内部原子或分子的排列具 有空间群对称性，如立方晶系
的点群对称。
02
晶体微观对称的几何基础
点群
定义
点群是指晶体中由一个或多个对 称元素组成的集合，这些对称元 素在晶体中所有可能的取向中保
持不变。
分类
点群可以分为一维、二维和三维点 群，分别对应于一维、二维和三维 晶体结构。
应用
点群是晶体结构分类的基础，通过 点群可以确定晶体的对称性，进而 确定晶体的物理和化学性质。
总结词
旋转轴是晶体内部结构中的一种对称元素，能够使晶体内部结构在旋转一定角度后恢复到原始状态。
详细描述
旋转轴在晶体内部结构中起着重要的作用，不同的旋转轴会导致晶体具有不同的对称性，从而影响晶体 的物理性质和化学性质。例如，在矿物学中，许多矿物具有特定的对称性，可以通过观察其晶体形态和 内部结构来确定其对称元素。
晶体几何学理论基础
周期平移是晶体学中最基本的对称操作。它通过平移操作使 晶体中的某个点或图形在某些晶体学方向上做有规律的周期 重复。晶体结构正是周期性平移操作的结果。
图3.1表示了周期平移对称性。将图中的一个星形的中心作为 原点A，则图中的其他星形图案均可通过对位于A的星形图案 的平移来获得。可以将图案从A平移到B和G，也可将图案从A 平移到C然后再平移至F。
4.4.2 等效点系
等效点系是利用一个空间群中所有对称要素的操作由一个原始点推导出来的规则点 系，由于原始点与空间群中对称要素的相对位置有区别，可用推导出数种等效点系。 一半等效点系：从原始点在一般位置上（也包括原始点在螺旋轴及滑移面上）推导 出来的等效点系称为一般等效点系。特殊等效点系：从与对称要所有特殊的位置关 系（如位于对称面、对称轴、对称要素的交点、对称中心或旋转反伸中心上）的点 所得到的等效点系称为特殊等效点系。由于各等效点系的对称要素的位置有别。其 本身的对称程度也有区别。一般等效点系的对称程度最低。一套等效点系在一个晶 胞中所具有的等效点系数称为该等效点系的重复点数。在一个空间群中等效点系可 在X射线结晶学国际表上查到。
晶体几何学理论基础
对称性是一种规律的重复，具有变化中的不变性，是自 然科学中一个重要的基本概念。晶体就是指原子或分子 在空间按一定规律重复排列构成的固体物质。晶体结构 的基本特征是其中的质点在三维空间作规律的重复排列。 晶体结构研究的就是揭示晶体内部原子和分子在空间排 列上的对称规律，这种规律只有在晶体结构中每个原子 在空间相对位置揭示出来时才能得到完整证明。
1.4 反伸
在反伸对称操作中，一个点或基本图案通过一个点做等距离投影来进行 重复。这个操作可以想象为通过一个点的反映。
1.5 复合对称操作
复合对称操作是基本对称操作的组合。当两个操作结合时，只有两个操作 都完成时基本图案才能被重复。对称操作的可能组合很多，但其中只有3 种组合产生的对称图样是独特的，它们不能用一组基本操作的一次作用而 复制出来。
图3.1表示了周期平移对称性。将图中的一个星形的中心作为 原点A，则图中的其他星形图案均可通过对位于A的星形图案 的平移来获得。可以将图案从A平移到B和G，也可将图案从A 平移到C然后再平移至F。
4.4.2 等效点系
等效点系是利用一个空间群中所有对称要素的操作由一个原始点推导出来的规则点 系，由于原始点与空间群中对称要素的相对位置有区别，可用推导出数种等效点系。 一半等效点系：从原始点在一般位置上（也包括原始点在螺旋轴及滑移面上）推导 出来的等效点系称为一般等效点系。特殊等效点系：从与对称要所有特殊的位置关 系（如位于对称面、对称轴、对称要素的交点、对称中心或旋转反伸中心上）的点 所得到的等效点系称为特殊等效点系。由于各等效点系的对称要素的位置有别。其 本身的对称程度也有区别。一般等效点系的对称程度最低。一套等效点系在一个晶 胞中所具有的等效点系数称为该等效点系的重复点数。在一个空间群中等效点系可 在X射线结晶学国际表上查到。
晶体几何学理论基础
对称性是一种规律的重复，具有变化中的不变性，是自 然科学中一个重要的基本概念。晶体就是指原子或分子 在空间按一定规律重复排列构成的固体物质。晶体结构 的基本特征是其中的质点在三维空间作规律的重复排列。 晶体结构研究的就是揭示晶体内部原子和分子在空间排 列上的对称规律，这种规律只有在晶体结构中每个原子 在空间相对位置揭示出来时才能得到完整证明。
1.4 反伸
在反伸对称操作中，一个点或基本图案通过一个点做等距离投影来进行 重复。这个操作可以想象为通过一个点的反映。
1.5 复合对称操作
复合对称操作是基本对称操作的组合。当两个操作结合时，只有两个操作 都完成时基本图案才能被重复。对称操作的可能组合很多，但其中只有3 种组合产生的对称图样是独特的，它们不能用一组基本操作的一次作用而 复制出来。
晶体学第二章-6
平移轴（translation axis ）：一条直线，沿此直线平移一定距离可使晶体的等同部分重合，即整个晶体复原。
¾平移轴：布拉菲点阵中的任意行列¾平移轴的移距：使晶体复原的最小平移距离，即行列上相邻两点间距对称操作：平移t晶格平移矢量——原胞基矢的线性组合平移群{}332211a l a l a l v v v ++螺旋轴n s2131、3241、42、436l 、62、63、64、65•0＜s ＜n/2；采用右手系（右螺旋轴），螺距为τ=(s /n )t 。
•若n/2＜s ＜n ；采用左手系（左螺旋轴），螺距为τ=(1-s /n )t 。
•若s =n/2；中性螺旋轴，左右手系等效。
螺旋轴21，31，3241意为按左旋方向旋转90度后移距1/4 t 。
43意为按右旋方向旋转90度后移距1/4 t；6462螺旋轴61，62，63，64，65滑移面（glide plane）：一假想平面，对此平面反映后平行于该平面平移一定距离可使晶体中每一个质点与其等同的质点重合，即整个晶体复原。
国际符号a，b，c，n，d¾滑移面（像移面）：一种复合的对称要素¾辅助几何要素有两个：一个假想的平面和平行此平面的某一直线方向¾平移的距离（移距）：该方向行列结点间距的一半对称操作：反映+ 平移（联合操作）¾沿晶轴方向移距为轴单位的1/2¾滑移矢量为a/2，b/2，c/2d ——金刚石型滑移面¾沿面对角线或体对角线滑移¾滑移矢量：(a+b)/4, (b+c)/4, (a+c)/4,(a+b+c)/4nn ——对角线滑移面¾沿面对角线或体对角线滑移¾滑移矢量：(a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2,(a+b+c)/2滑移面a，b，c，n，dA：各种滑移面在3个轴方向上滑移矢量分布B：滑移面平行于投影面的投影C：滑移面垂直于投影面的投影晶体中可能存在的对称元素类型及符号：二、二维空间群1. 二维晶体的宏观对称元素：6个对称轴（1,2,3,4,6）、对称面（m）2. 二维晶系、布拉菲点阵与点群：¾晶轴只能取a和b，只剩下一个角度。
高中化学竞赛【晶体的对称性】
同理, 可以求出晶 面2的晶面指标是: (001); 晶面3的晶面指 标是: (201)。可以看出 1个晶面指标代表一组 平行的晶面。
晶面3
c
晶面2
晶面1
b a
晶面指标示例
例题: 1. 某一立方晶系晶体,晶胞的顶点位置全为
A占据,棱心为B占据, 体心为C占据。①写
出此晶体的化学组成; ②写出A、B、C的
(4)十四种空间点阵形式 立方晶系有立方简单点阵P (立方P ) 、立方
体心点阵I (立方I ) 、立方面心点阵F (立方F );四 方晶系只有四方简单点阵P (四方P ) 、四方体心 点阵I (四方I ); 正交晶系有正交P 、正交I 、正交 F 、正交C (或侧心A和B); 单斜晶系有单斜P 、 单斜C ; 三方、六方、三斜都只有素格子。可见， 晶体只有14种空间点阵型式。见下图。
晶体的对称性
1.晶体的宏观对称性 晶体的宏观对称性就是晶体外型的对称性。
也就是有限物体的对称性。
方铅矿
金绿宝石
(1)晶体的宏观对称元素: 由于习惯原因, 晶体宏观对称元素与分
子对称性中的对称元素名称、符号都不完全 相同。
对称元素 旋转轴n 反映面或镜面m 对称中心i
反轴 n
对应对称操作 旋转L(α) 反映M 倒反I 旋转倒反L(α) I
3.晶面和晶面指标 晶面:晶体中平面点阵所在的平面。 晶面指标: 晶面在三个晶轴上的倒易
截数的互质整数之比。记为: (h*k*l*) 晶面与晶面的交线称为晶棱, 晶棱与
直线点阵对应。
例如, 右图中晶面 1在3个晶轴上的截数 分别:1/2,∞,∞, 因此倒 易截数:2,0,0, 划成互质 整数比后成为: 1:0:0, 因此晶面1的晶面指标 是: (100)。
晶面3
c
晶面2
晶面1
b a
晶面指标示例
例题: 1. 某一立方晶系晶体,晶胞的顶点位置全为
A占据,棱心为B占据, 体心为C占据。①写
出此晶体的化学组成; ②写出A、B、C的
(4)十四种空间点阵形式 立方晶系有立方简单点阵P (立方P ) 、立方
体心点阵I (立方I ) 、立方面心点阵F (立方F );四 方晶系只有四方简单点阵P (四方P ) 、四方体心 点阵I (四方I ); 正交晶系有正交P 、正交I 、正交 F 、正交C (或侧心A和B); 单斜晶系有单斜P 、 单斜C ; 三方、六方、三斜都只有素格子。可见， 晶体只有14种空间点阵型式。见下图。
晶体的对称性
1.晶体的宏观对称性 晶体的宏观对称性就是晶体外型的对称性。
也就是有限物体的对称性。
方铅矿
金绿宝石
(1)晶体的宏观对称元素: 由于习惯原因, 晶体宏观对称元素与分
子对称性中的对称元素名称、符号都不完全 相同。
对称元素 旋转轴n 反映面或镜面m 对称中心i
反轴 n
对应对称操作 旋转L(α) 反映M 倒反I 旋转倒反L(α) I
3.晶面和晶面指标 晶面:晶体中平面点阵所在的平面。 晶面指标: 晶面在三个晶轴上的倒易
截数的互质整数之比。记为: (h*k*l*) 晶面与晶面的交线称为晶棱, 晶棱与
直线点阵对应。
例如, 右图中晶面 1在3个晶轴上的截数 分别:1/2,∞,∞, 因此倒 易截数:2,0,0, 划成互质 整数比后成为: 1:0:0, 因此晶面1的晶面指标 是: (100)。
晶体的微观对称性
对称元素必须交于一点
对称动作只有点动作
无限的晶体结构中的对称性
实际存在的、本质的
不仅考虑方向，还考虑对称元 素的相互位置关系 对称元素不须交于一点，在三 维空间无限分布 包括点动作与空间动作
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。
点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体 结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R 可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移对称操作，并 且该平移对称操作垂直于滑移面的分量也是一个平移对称操作。
NaCl结构沿c方向的投影
定理二：平移T及垂直于平移的反映面的连续操作相 当于与该反映面相距T /2处的一个反映面的反映操作。
推论：平移T及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该 反映面相距T /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固
有对称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜格子：P 点阵点群：Ci 晶格参数：abc, 90o
• 点阵格子的对称性（点阵点群）
三斜格子：Ci / C 单斜格子：C2h / L2 PC 正交格子：D2h / 3L2 3PC 四方格子：D4h / L4 4L2 5PC 三方格子：D3d / L3 3L2 3PC 六方格子：D6h / L6 6L2 7PC 立方格子：Oh / 3L4 4L3 6L2 9PC 属于某一晶系的晶体，其点阵格子具有该晶系全对称 类型的对称性。
对称动作只有点动作
无限的晶体结构中的对称性
实际存在的、本质的
不仅考虑方向，还考虑对称元 素的相互位置关系 对称元素不须交于一点，在三 维空间无限分布 包括点动作与空间动作
点阵（平移轴）：对应的对称操作为平移。
点阵反映了晶体结构的周期性，这种周期性也就是点阵的平 移复原的特性。对于点阵，连接任意两个阵点的位置矢量： R = ma + nb + pc，进行平移可以使点阵复原，表现在晶体 结构上就是使在三维空间无限伸展的相同部分得以重复。R 可以定义为晶体微观结构平移的方向矢量。
推论：两个平行滑移面的连续操作相当于一个平移对称操作，并 且该平移对称操作垂直于滑移面的分量也是一个平移对称操作。
NaCl结构沿c方向的投影
定理二：平移T及垂直于平移的反映面的连续操作相 当于与该反映面相距T /2处的一个反映面的反映操作。
推论：平移T及垂直于平移的滑移面的连续操作相当于与该 反映面相距T /2处的一个滑移面的反映平移复合操作。
• 布拉威法则： 1、划分出来的平行六面体单位必须充分地反映晶体的固
有对称性。
2、在不违背晶体固有对称性的条件下，平行六面体单位 的棱间直角数尽量多。
3、在满足条件1和2的前提下，平行六面体单位的体积 应为最小。
• 十四种空间格子 1）三斜格子：P 点阵点群：Ci 晶格参数：abc, 90o
• 点阵格子的对称性（点阵点群）
三斜格子：Ci / C 单斜格子：C2h / L2 PC 正交格子：D2h / 3L2 3PC 四方格子：D4h / L4 4L2 5PC 三方格子：D3d / L3 3L2 3PC 六方格子：D6h / L6 6L2 7PC 立方格子：Oh / 3L4 4L3 6L2 9PC 属于某一晶系的晶体，其点阵格子具有该晶系全对称 类型的对称性。
空间群与晶体
本书系统地介绍了晶体 学中、平移群 点群 空 间群和色群及其在晶体 学中的应用。内容深刻 易懂，虽然出版于 1991年但仍不失为一 本经典的教材。
以晶体的一个三次对称轴或 者三次倒转轴为c轴，三个水 平轴正端120°且与c轴正交 。通常采用四轴定向。 α=β=90°；γ=120°； a≠b≠c。但是也有部分三方 晶系的宝玉石采用三轴定向 。在这种情况下c轴不是三次 对称轴。三个结晶轴和三次对称轴均呈斜交状态 并且角度相同。彼此绕三次对称轴分布 α′=β′=γ′≠90°，a′=b′=c′
旋转对称操 对称轴 作
总的来说，对称操作分为两大类:点式对称操作和 非点式对对称操作. 在进行操作时，至少有一个点保持不动的称为点式 对称操作，如前述的反映对称和旋转对称. 没有不动点的对称操作称为非点式对称操作，如平 移对称。
顾名思义点对称操作组成的群 点对称操作分为两类： 1、第一类点对称操作 旋转对称操作 2、第二类点对称操作 象转操作（反演操作与旋转操作相结合的操作）
晶体在微观上的空间点阵结构是其平移对称性的表现 由此导出了14种平移群（即我们所熟知的14种布 拉菲点阵：简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单 正交、底心正交、体心正交、面心正交、三角、简 单四方、体心四方、六角、简单立方、体心立方、 面心立方）
对称操作
对称元素
平移对称操 空间点阵 作 反映对称操 反映面 作
沿着立方轴转π/2,π，3π/2，有 3个立方轴，共9种 沿着面对角线转π，有6条面对角线，共6种 沿着体对角线转2π/3，4π/3，有4条体对角线， 共8种 不动算1种，共9+6+8+1=24种。 这24种转动加上中心反演也有24种，故共48种， 记为Oh，其中24 种纯转动记为O。
结构化学晶体结构的对称性和基本定理
点击按钮观察动画.注意：反映滑移操作中
的“反映”是虚操作，可想象而难以实际表现, 故动画 中用幻影逗号的移动来模拟反映，请勿误解！
8.2.2 晶胞
设想把点阵放回晶体中去， 将把晶体切分成并置的平行六面 体小晶块，每个空间格子对应一 个小晶块. 这种小晶块就是晶胞, 是代表晶体结构的最小单元.
晶胞参数
NaCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0
0 1/2 1/2 1/2 0 1/2 1/2 1/2 0 B: 1/2 0 0
0 1/2 0 0 0 1/2 1/2 1/2 1/2 结构基元: A-B （每个晶胞中有4个结构基元）
CsCl型晶体
原子的分数坐标： A: 0 0 0 B: 1/2 1/2 1/2
为什么要考虑带心格子?
立方面心格子，若按左图取素格子只能表现三方对称性；若取右图 所示的复格子就表现出立方对称性(格子选取方式不能改变点阵结构的对 称性,但点阵固有的较高对称性在素格子上可能被掩盖)：
14种布拉维格子之一：立方简单（cP）
14种布拉维格子二：立方体心（cI）
14种布拉维格子三：立方面心（cF）
晶胞参数:
a、b、c α、β、γ
晶
胞
两
要
（1）晶胞的大小、型式
素
晶胞的大小可由晶胞参数确定，晶胞的型式是
指素晶胞或复晶胞.
（2）晶胞的内容
晶胞中原子的种类和位置. 表示原子位置要用 分数坐标.
分数坐标
晶胞中原子P 的位置用向量OP=xa+yb+zc代表. x、y、z
就是分数坐标，它们永远不会大于1.
14种布拉维格子之八：正交简单（oP)
14种布拉维格子之九：正交体心（oI)
晶体学基础-晶体对称性
旋转反映轴的图解
L4s＝L4i L6s＝L3＋C＝L31i 6
对称元素--两种符号：
国际符号（International Notation）， 圣弗里斯符号（Schoenflies Notation）。
对称元素
对 称 中 心
对称 面
一次 对称 轴
二次 对称 轴
三次 对称 轴
四次 对称 轴
六次 对称 轴
2、对称要素（symmetry element）
在进行对称变换时所凭借的几何要素 ——点、线、面等。
17:14
6
3、宏观晶体中的对称要素及相应对称变换
（1）对称中心（center of symmetry, 符号C）：
一假想的几何点; 对称变换：对于这个点的反伸（反演）。
(a)
(b)
(c)
具有对称中心的图形
17:14
18
七种晶系的对称性及点阵常数间的关系
晶族(3) 低级晶族 无高次轴
中级晶族: 只有1个 高次轴
晶系(7) 三斜 单斜
正交
四方 （正方）
六方
对称性
1 (E) 2 (C2) 2个 2(C2) 4 (C4)
6 (C6)
菱方
高级晶族 立方
高次轴＞1
3 (C3) 4个3 (C3)
17:14
棱边 /夹角
a = b = c α=β=γ=90°
6L2， 3L4，4L3， 9P，C
? 本质上，决定立方系的主要对称元素? ? 一定有几次轴？
17:14
23
属于立方系，只有三次轴而 没有四次轴的形。
二个三次轴就可以导出立方晶系。
17:14
24
☺立方系主对称元素：4个体对角线方向的
晶体学基础(第七章)讲解
首先，在晶体结构中平行于任何一个对称元素 有无穷多和它相同的对称元素；
其次，在晶体结构中出现了一种在晶体外形上 不可能有的对称操作——平移操作，从而使得 晶体内部结构除具有外形上可能出现的那些对 称元素之外，还出现了一些特有的对称元素： 平移轴、螺旋轴和滑移面。
7.1 晶体内部的微观对称元素
平移轴（translation axis）为一直线，图形沿 此直线移动一定距离，可使等同部分重合，二维空间群国际符号中，第一个英文小写字母p 或c代表格子类型，
接着的第一个记号表示垂直纸面方向投影的对 称点，
第二位记号表示纸面上从左至右（b方向或y轴
方向）的对称元素，
第三位记号则表示的是由上到下（a方向或x轴
方向）的对称元素。
7.2 二维空间群
图中实线代表对称面，虚线代表滑移线g。这里说的 等效点系是指通过二维空间群中所有对称元素联系起 来的一组点的位置。此例中，一般等效点的坐标为： x，y；-x，-y；1/2-x，y；1/2+x，-y (x，y为小于1 的正数)。
（5）最后，由已知对称要素的相互作用，找出其它 所应有的4次轴和2次轴。
7.2 二维空间群
几点说明：
（1）每个格点周围有4个点，这是点群4（C4） 的等效点系，它所代表的是一个具有点群4（C4） 对称性的物理实体，也是对于于一个格点的基 元。因此，这里讨论的是晶体结构，而不是单 纯的平面点阵。
（2）在晶胞内有4个点，这是平面群P4的一般 等效点系，是对应于晶胞的物理实体。平面群 一般等效点数g和点群一般等效点数h之间的关 系是g=nh，此处n是晶胞的格点数。
晶体结构沿着空间格子中的任意一条行列移动一 个或若干个结点间距，可使每一质点与其相同的 质点重合。因此，空间格子中的任一行列就是代 表平移对称的平移轴。
其次，在晶体结构中出现了一种在晶体外形上 不可能有的对称操作——平移操作，从而使得 晶体内部结构除具有外形上可能出现的那些对 称元素之外，还出现了一些特有的对称元素： 平移轴、螺旋轴和滑移面。
7.1 晶体内部的微观对称元素
平移轴（translation axis）为一直线，图形沿 此直线移动一定距离，可使等同部分重合，二维空间群国际符号中，第一个英文小写字母p 或c代表格子类型，
接着的第一个记号表示垂直纸面方向投影的对 称点，
第二位记号表示纸面上从左至右（b方向或y轴
方向）的对称元素，
第三位记号则表示的是由上到下（a方向或x轴
方向）的对称元素。
7.2 二维空间群
图中实线代表对称面，虚线代表滑移线g。这里说的 等效点系是指通过二维空间群中所有对称元素联系起 来的一组点的位置。此例中，一般等效点的坐标为： x，y；-x，-y；1/2-x，y；1/2+x，-y (x，y为小于1 的正数)。
（5）最后，由已知对称要素的相互作用，找出其它 所应有的4次轴和2次轴。
7.2 二维空间群
几点说明：
（1）每个格点周围有4个点，这是点群4（C4） 的等效点系，它所代表的是一个具有点群4（C4） 对称性的物理实体，也是对于于一个格点的基 元。因此，这里讨论的是晶体结构，而不是单 纯的平面点阵。
（2）在晶胞内有4个点，这是平面群P4的一般 等效点系，是对应于晶胞的物理实体。平面群 一般等效点数g和点群一般等效点数h之间的关 系是g=nh，此处n是晶胞的格点数。
晶体结构沿着空间格子中的任意一条行列移动一 个或若干个结点间距，可使每一质点与其相同的 质点重合。因此，空间格子中的任一行列就是代 表平移对称的平移轴。
晶体内部结构的微观对称和空间群讲解
面网符号
面网符号与晶面符号的表示方法及形式基本相同。 但晶面符号是表示某一个晶面的位置（空间方 位），而面网符号是表示一组相互平行且面网间 距相等的面网。
对（hkl）一组面网，面网间距用dhkl表示，hkl绝 对值越小（每一项指数的绝对值相加），dhkl愈大， 面网密度也大；hkl绝对值越大，dhkl愈小，面网 密度也小。
第八章 晶体内部结构的微观对称和空间群
十四种空间格子 空间点阵中结点、行列和面网的指标 晶体内部结构的对称要素 空间群 等效点系
一、十四种空间格子
1．平行六面体的选择
对于每一种晶体结构而言，其结点的分布是客 观存在的，但平行六面体的选择是人为的。
十四种空间格子
平行六面体的选择原则：
c
a
b
P
Triclinic
abc
c
c
c
b
b
aP
aC
Monoclinic
= = 90o
abc
b
aP
C
F
I
Orthorhombic
= = = 90o a b c
c
c
a1
P
a2
I
Tetragonal
= = = 90o a1 = a2 c
空间格子中，结点、行列和面网可进行指 标。即通过一定的符号形式把它们的位置 或方法表示出来。
点的坐标 行列符号 面网符号
点的坐标 coordinates of point
点的坐标的表示方法与空间解析几何中确 定空间某点的坐标位置的标记方法完全相 同，表达形式为u、v、w。
可以全为正值：1，1，1 也可以有负值：-x，–x， 0 分数：1/2，1/2，1/2 小数：0.5，0.5，0.5 例：金红石中x＝0.33
晶体与空间群概述
其它晶族 中只有一 个晶系!
空间点阵的类型用皮尔逊(Pearson)符号 表示，该符号中第一个为小写字母，代 表所属晶系(用该晶系英文名的第一个字 母表示)，三斜(Triclinic)用另一个英文 “三斜”字(Anorthic)的字母a，菱方点 阵仍用六方的h；第二个为大写字母， 代表点阵类型；第三个数字表示单胞中
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
不对称单元
在空间群的对称操作作用下，可以
产出晶胞中全部原子的最少数目的原子 或原子团，就叫不对称单元（asymmetric unit）或不对称单位，也叫晶体学独立单 元（crystallographic independent unit）。 在《国际表》A卷[2]中每个空间群都列 出晶胞中各种元素的情况。
p2c21m和c21由于21螺旋轴可以由c格子和2次旋转对称操作组合产生c21m与c2也是等价的因此属于2m点群的空间群只有6c2m和c2旋转反射反演平移螺旋轴滑移面32个点群14种yhv格230个空间群按照晶胞的特征对称元素分类不对称单元在空间群的对称操作作用下可以产出晶胞中全部原子的最少数目的原子或原子团就叫不对称单元asymmet或不对称单位也叫晶体学独立单元crystalographindependentuni中每个空间群都列出晶胞中各种元素的情况
从宏观对称元素衍生 出来的微观对称元素：
m：a、b、c、n、d 2：21 3：31、32 4：41、42、43 6：61、62、63、64、65
如四方晶系四次对称轴 (4、41、42、43)，有P、I两种 格子，进行排列组合可得6种 空间群：
晶体结构和对称性
晶态结构示意图
非晶态结构示意图
2 晶体的共性
(1) 晶体的均匀性与各向异性
均匀性：晶体的一些与方向无关的量（如密度、化学 组成等）在各个方向上是相同的；
各向异性：晶体的一些与方向有关的量（如电导、热 导等）在各个方向上并不相同.例如, 云母的传热速率, 石 墨的导电性能等
非晶体的各种性质均具有均匀性, 但与晶体的均匀性的 起源并不相同, 前者是等同晶胞在空间按同一方式重复排列 的结果, 而后者则是质点的杂乱无章排列所致.
平移：所有点阵点在同一方向移动同一距离且使图形复原 的操作。
(3) 常见点阵形式
A 直线点阵 以直线连接各个阵点形成的点阵。
一维周期排列的结构及其点阵
直线点阵中连接任意两相邻阵点的向量称素向量（基本向量）。 相邻两阵点的矢量a, a是这直线点阵的单位矢量, 长度称 为点阵参数, 因是平移时阵点复原的最小距离, 故a 为平移 素向量.
晶体结构和对称性
第三章：晶体结构和对称性
基本要求：
1、理解晶体结构的周期性和点阵; 2、掌握晶体结构的宏观对称性和微观对称 性，理解它们的区别和联系; 3、了解空间群的推导及表达。
§2.1 晶体结构的周期性和点阵
岩石(CaCO3)
水晶（SiO2）
黄铁矿 (FeS2)
钻石（C）
绿宝石 (Be3Al2(SiO3)6)
按照以上程序及限制进行组合，我们可以得到的对称元 素系共32种，即32个晶体学点群（晶体的对称性只有32种， 尽管自然界中晶体的外形多样）。
点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。 Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。 Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。 Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。 Sn:具有一个n次反轴的点群。 T:具有4个3次轴和3个2次轴的正四面体点群。 O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。
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3/4
41
43
规定： 41为右旋，43则为左旋。但43右旋时 移距应为3/4T。
即螺旋轴的国际符号ns是以右旋为准的。
凡0<s<n/2者，为右旋螺旋轴（包括31、 41、61、62）；凡n/2<s<n者，为左旋螺 旋轴（包括32、43、64、65）；而s=n/2 者，为中性螺旋轴（包括21、42、63）。
平移轴
为一直线，图形沿此直线移动一定距离，可使相 等部分重合，晶体结构中任一行列都是平移轴。 NaCl晶体结构
能够使图形复原的最小平移距离，称为平移轴的移距。
螺旋轴
为一条假想直线，当结构围绕此直线旋转一定 角度，并平行此直线移动一定距离后，结构中 的每一质点都与其相同的质点重合。
螺旋轴的国际符号一般写成ns。n为轴次，s为 小于n的自然数。 若沿螺旋轴方向的结点间距标记为T，则质点平 移的距离t应为（s/n）· T，其中t称为螺距。 螺旋轴据其轴次和螺距可分为21；31、32；41、 42、43；61、62、63、64、65共11种。
阵点平面投影的符号表示 阵点
+
，
在纸面上方
在纸面下方 手性的变换 对称面相关的阵点
- ， +
对称面平行纸面
二维空间群
10种二维点群
1 2 3 4 6 / m 2mm 3m 4mm 6mm
4种二维晶系
晶系 晶胞参数 点群符号
单斜
正交 四方 六方
ab，90
ab，=90 a=b，=90 a=b，=120
43在旋转2个90度后移距2×3/4 T=1T+1/2T，旋 转3个90度后移距3×3/4 T=2T+1/4T。T的整数倍 移距相当于平移轴，可以剔除，所以， 43相当于旋转 270度移距1/4T，也即反向旋转90度移距1/4T 。 所以，41和43是旋向相反的关系。
1/2
3/4
1/4
1/2
1/4 0 0
滑移面
是一假想的平面，当结构对此平面反映，并平行此平面移 动一定距离后，结构中的每一个点与其相同的点重合。 滑移面按其滑移的方向和距离可分为a、b、c、n、d五种。 其中a、b、c为轴向滑移，移距分别为 1/2a， 1/2b，1/2c。 n为对角线滑移，移距为1/2（a+b）or 1/2（b+c）等。 d为金刚石型滑移，移距为 1/4（a+b）等。
1，2
1m, 2mm 4，4mm 3,3m,6,6mm
晶体学基础
第七章 晶体内部的微观对称和空间 群
平移轴
螺旋轴
滑移面
二维空间群
石墨烯
强度高、轻、透明 单层铁强度的100倍
1平方米的石墨烯 （0.77mg）可承重4KG
透光率97%以上
Geim和Novoselov 2010 诺贝尔物理学奖
学习要求
掌握晶体内部的微观对称元素的对称特点和规 律，掌握平移轴、螺旋轴和滑移面的具体含义。 了解晶体二维空间群的对称元素、点群类型、 点阵类型。
螺旋轴 (1)
二次对称轴（a） 和二次螺旋轴21（b）
螺旋轴 (2)
三次对称轴（a），右旋三次螺旋轴 31（b）和左旋三次螺旋轴（c）32.
螺旋轴 (3)
四次对称轴4（a）、右旋四次螺旋轴41 （b）、中性四次螺旋轴42（c）和左旋 四次螺旋轴43（d）
螺旋轴 (4)
六次对称轴6（a）、右旋六次螺旋轴61（b）、 62（c）、中性六次螺旋轴63（d）和左旋六次 螺旋轴64（e）、65（f）