关于n阶极点处留数计算的一个公式
留数计算规则
cos z 1 dz 2i Re s[ f ( z ),0] 2i ( ) i 3 z 1 z 2
例4
计算
z n
tanzdz ( n N )
si nz 解 tanz cosz 解 得z k
令 cosz 0 1 即, z k ( k 0,1,2, ) 2
0
当m=1时，式(5)即为式(4). p( z ) p( z ), Q( z )在z0处解析, 规则III 设f ( z ) Q( z ) p( z0 ) 0, Q( z0 ) 0, Q' ( z0 ) 0
p( z0 ) z0是f ( z )的一级极点 , 且 Re s[ f ( z ), z0 ] ( 6) Q' ( z 0 ) 事实上， Q( z 0 ) 0及Q' ( z 0 ) 0
z z0
( 4)
规则II 若z0是f ( z )的m级极点
1 d m 1 Re s[ f ( z ), z0 ] lim m 1 {( z z0 )m f ( z )} (5) ( m 1)! z z0 dz
事实上，由条件 f ( z ) c m ( z z0 ) m c 2 ( z z0 )2 c1 ( z z0 )1
z z0
p( z 0 ) p( z ) lim (Q' ( z 0 ) 0 ) 得 证 ！ z z0 Q ( z ) Q ( z ) Q' ( z 0 ) 0 z z0
5z 2 dz 例1 计 算 : z 2 2 z( z 1)
5z 2 在 z 2的 内 部 有 一 个 一 级 极 点 解 f (z) 2 z( z 1) z 0和 一 个 二 级 极 点 z 1
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
留数计算规则
例3： 计算积分
c
z4
z
1
dz
，
C
为正向圆周
z
3
。
解：
f
(z)
z z4 1
四个一级极点 z1,2 1, z3,4 i 都在C 内，
由规则Ⅲ，
P zk Q zk
zk 4 zk 3
1 4zk 2
故由留数定理
c
z4
z
1
dz
2
i
1 4
1 4
解：
f
(z)
ez
z z 12
的一级极点z 0 二级极点 z 1 都在C 内
由规则Ⅰ，
Res
f
z,0
lim z z0
ez
z z 12
lim
z0
z
ez
12
1
由规则Ⅱ ，
Res
f
z,1
(2
1 lim 1)! z1
d dz
Res f
z, z0
1
m 1
lim ! zz0
d m1 dz m1
z z0 m
f
z
规则Ⅲ
设
f
z
=
P Q
z z
，其中 P(z，) Q(z)
在
z0
处解析， 且 P(z0 ) 0
，
Q(z0 ) 0, Q(z0 ) 0 即 z0 为 f (z)的一级极点， 那么
即 z0 为 f (z)的一级极点， 那么
信号与系统 (9)
s)
推广：
[ ] f ' (0+ ) = lim s sF (s) − f (0− ) s →∞
[ ] 或： f '(0+ ) = lim s sF (s) − f (0+ ) s →∞
或： f '(0+ ) = lim s2F (s)
s→∞
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在单边 LT 中，我们只考虑 t>0 的情况，所以积分曲线应
该在增加 ABC。所以，这时候只要考虑积分线左半平面中
的所有极点的留数。即：
∫ ∑ f
(t)=
L−1{F ( s)}=
1
2π j
c
F (s)estds
=
Re si
积分线左边平面所有极点
F(s)est 的极点就是 F(s) 的极点。
留数计算：
如果 L{f (t)}= F (s) ，收敛区间 σ1 < Re(s) < σ 2 ，
则：
L{tf
(t)}=
−
d ds
F
(
s)
，
∫ L⎨⎧ ⎩
f
(t t
)
⎫ ⎬ ⎭
=
+∞
F ( p)dp
s
收敛区：复频域微分：可能增加；
复频域积分：可能减小。
与 FT 比较：
F.T.{tf
(t)}=
−
d
d( jω)
F(
十、 终值定理
如果 f (t) 和 f '(t) 存在， f (t) 的 LT 也存在，且 F(s)
的极点位于 s 平面的左半平面，在 s=0 上至多存在单极点，
05第五章 留数理论
证明：设圆盘 |z|<ρ包含 b1, b2, …, bn
n
∫ ∑ 留数定理
è
|z|= ρ
f (z)dz
=
2π i
Res f (bk )
k =1
| z |= ρ
∞处留数的定义 è
∫ f (z )dz = − 2π i Res f (∞ ) |z|= ρ
n
∑ Res f (bk ) + Res f (∞) = 0
f ( z )dz
C
k =1 |z−bk |=δ
bn
n
= ∑ 2πi Res f (bk ) (留数定义)
k=1
L
b2 δ
4
2. 孤立奇点 ∞ 处的留数
∞
∑ 洛朗展开 f (z) = Ck zk , r <| z | k = −∞
定义 f(z) 在 z=∞ 处的留数 = z−1 的系数×(–1)
等价定义：
∫ def
Res f (∞) =
−1
f (z)dz (r < ρ)
2π i |z|=ρ
ρ r×0
• 若 f(z) 是偶函数，则 Res f (∞), Res f (0) 有定义时必为零
5
Ø全平面留数之和为零
设函数 f (z) 在整个复平面上只有奇点 b1, b2, …, bn，则 f (z) 在这些点及 ∞ 的留数之和为零
i
−
(b0 + 4a 4
b1 )
=
2π 2a 3
∫ +∞ 0
x
4
1 +
a4
dx
=Q= 2
2π 4a3
ΓR
b1
b0
-R b2
留数定理计算围道积分
例１ 计算积分，＝上
．
解
＝÷
＝
÷ ｍ
．
构造如 图所示 的围道积分 ：
ｙ
一 Ｒ ｆ 一。 ０ ；
一
Hale Waihona Puke ｉ 其 中 ，Ｉ’ｌ：｛ ＝ ：一Ｒ ≤ ≤ 一ｓ｝，１’２：｛ｚ ＝ ｅ“：Ｏ≤
ｔ≤叮ｒ｝，Ｆ３：｛ｚ＝ ：ｓ≤ ≤ Ｒ｝，Ｆ４：｛。＝Ｒｅ ：０≤ ≤ １Ｔ｝．
它在上半平面仅有 一个 一阶极点 ｚ＝ｉ，由留数定理得
．
．
＋ｒ２＋ｒ３＋
出 ＝２，ｒｒｉＲｅｓ（，，ｉ），
ｆ盘 Ｒｅｓ ，ｉ卜去， ｚ － ｉ
＋
＋
＋ Ｌ 出
＝２￣ｒｉＲｅｓ ，ｉ）＝一詈，
ｆ ； ｉ－ ＝一ｒ ：
＝一盯ｉ，
Ｌ 出＝ｌ ｆ高嚣 Ｉ
≤ ＪＤ Ｉ。 Ｉ ｄ０
【关键词 】解析 函数 ；奇 点；留数 ；留数定理
定理 １ （留数定 理 ）设 Ｄ是复平面上 的一个有界 区 域 ，其 边 界 ＯＤ 是 有 限 条 简 单 闭 曲线 （如 图 所 示 ，其 中 ＯＤ ＝Ｃｏ＋ｃ ＋ ）．设 函数 ）在 Ｄ内除去有 限个孤立 奇 点 ｚ。， ，… ， 外 ，在 闭 区域 Ｄ 内其 余 的每 一点 解析 ，则有
： 两点 ，在 ￡上截下一段 ，在域 Ｄ内截得一段 ，取 ｒ。到 ｒ：的方向为正 向．由于 ｔ。是 ，（ｚ）的 ｎ阶极 点 ，得
屯 ，ｆ＝０ｉＲｅｓ ，ｔ０）．
儿 ｐ
又 由柯 西 定 理 得 ， ｆ ＝０，得 证 ．
定 理 ３ （推广的留数定理 ）设 Ｄ是 由复合 闭路 Ｌ＝ ＋ ＋… ＋ 所围成的有界多连通域 ， ，Ｚ２，… ， ∈Ｄ， ｔ，，ｔ ，… ，ｔⅣ∈Ｌ．设函数，（ ）在 Ｄ 一 ， ２，…， ｝解 析 ，Ｄ一 ， ２，… ， ； ｌ，ｔ２，… ，ｔⅣ｝连续 ｚ）在 ｔｌ，‘２，… ，ｔ 分别有 关 于 Ｄ 的 ｎ ，ｎ：，… ， 阶 的极 点 ，则
复变函数 留数和留数定理
3
z2 2! 1
3! z 2
z3 3!
1 4! z
z4 4! 1
5!
z5 5! z
6!
z6 6!
,
1
其中 n 的4项的系数为 c,从1 而1 也4! 有 Res[ f1(.z),0] c1 1 4!
15
(2) f2 (z) , sin(1; z) z0 0
解： 数为
f2 (在z)点 的z0 去 0心邻域
解 因为 z 0 是 f (z)的n阶极点，
所以
Res
ez zn
,0
(n
1
lim 1)! z0
dn1 dz n1
zn
ez zn
1. (n 1)!
10
例2
求
f
(z)
P(z) Q(z)
z
sin z6
z
在
z
0
的留数.
分析 P(0) P(0) P(0) 0, P(0) 0.
z 0 是 z sin z 的三级零点
求其留数,由3规则 得
1
Res[
f3
(z),
0]
lim( z 2
z0
sin2 z)
lim(2 z 2sin z cos z) (L'Hospital法则) z0
1
lim
1
z0 cos 2z
17
二、留数定理
• 留数概念的重要性在于下面的留数定理. 它使 得一些积分的计算变得十分容易.
定理1 若函数f(z)在正向简单闭曲线C上处处解析， 在C的内部除有限个孤立奇点z1,z2,…,zn外解析，
所以 z 0是 f (z)的三级极点， 由规则2得
复分析中的留数定理与积分公式
复分析中的留数定理与积分公式复分析是数学中的一个重要分支，它将实数域扩展到复数域，研究复变函数的性质与行为。
复分析中的留数定理与积分公式是该领域中的两个重要概念，本文将详细介绍这两个概念的定义、性质和应用。
一、留数定理留数定理是复分析中的重要成果，用于计算复数域中的积分。
现在，我们首先来介绍留数定理的定义。
定义：设 f(z) 是一个在复平面上除有限个孤立奇点外解析的函数，z_0 是其中一个孤立奇点。
如果 f(z) 在 z_0 处有洛朗展开式：f(z) = ∑(n=-∞)^(∞) a_n(z-z_0)^n那么 f(z) 在 z_0 处的留数(residue) 定义为 a_{-1}，即：res(f,z_0) = a_{-1}留数定理主要有洛朗展开定理和留数定理两种形式。
其中，洛朗展开定理表示当函数 f(z) 在复平面上只有一部分是解析函数时的情况，而留数定理则适用于函数 f(z) 在整个复平面上都是解析的情况。
留数定理的一个重要应用是计算复积分。
具体而言，留数定理告诉我们如果一个函数在复平面上只有有限个孤立奇点，那么它的围道积分可以通过这些孤立奇点的留数来计算。
二、积分公式在复分析中，积分公式是留数定理的重要应用之一。
下面，我们将介绍两个常见的积分公式——柯西定理和柯西积分公式。
1. 柯西定理柯西定理是复分析中的基本定理之一，它描述了闭曲线内解析函数的积分值为零的性质。
定理：设 D 是一个在复平面上有界的闭区域，它的边界为 C，f(z) 是 D 内连续且在 C 上解析的函数。
那么有：∮(C) f(z) dz = 0其中∮(C) 表示沿着曲线 C 的围道积分。
柯西定理的重要性在于它揭示了解析函数的积分值在闭曲线内总是为零的特性。
2. 柯西积分公式柯西积分公式是柯西定理的一个推论，它将解析函数与其在边界上的值联系起来。
定理：设 D 是一个包围在闭曲线 C 内的连通开集，f(z) 是 D 内的解析函数，z_0 是 D 内的点。
留数计算规则
故
由留数定理得：
tanzdz 2i
k 1 n 2
z n
Re s(tanz ) 2i(
2n
) 4ni
如
(1)要灵活运用规则及洛朗级数展开来求留 数，不要死套规则。
P ( z ) z sinz f (z) Q( z ) z6
由 于p(0) 0
2
(cotz )' z k 1 csc2 z 0 1 zk 2 2 1 z k 为一级极点 ,由 法 则 III得 2 1 sinz 1 Re s[tanz , k ] ( k 0,1,) 2 (cosz )' z k
c0 c1 ( z z0 ) , (c m 0)
以( z z0 )m 乘上式两边 ,得
( z z 0 ) f ( z ) c m c m 1 ( z z 0 ) c 1 ( z z 0 )
m m 1
c0 ( z z 0 ) m
cos z dz 例3 计 算 3 z 1 z cos z 解 f (z) 3 有 一 个 z 0的 三 级 奇 点 z 由规则
1 d2 3 Re s[ f ( z ),0] l i m [ z f ( z )] 2 z 0 ( 3 1)! dz 1 1 lim (cosz )'' 2 z 0 2
1 d5 1 1 ( z sinz ) lim( cos z ) 5 5! dz 5! z 0 5!
两边求 m 1阶 导 数 得 d m 1 m {( z z ) f ( z )} ( m 1)!c1 m! ( z z0 ) 0 m 1 dz m 1 d lim m 1 {( z z0 )m f ( z )} ( m 1)!c1 , 移 项 得 (5)式. z z dz
留数及留数定理
由于f(z)=(z(zz)0)n，由高阶导数定理可得
Res[f(z),z0]=21πiC(zφ -(zz0))n
dz=φ(n-1)(z0 ) (n-1)!
8
规则3
设 为 f (z) 的一个孤立奇点;
的某去心邻域 r z
内的任一条正向简单闭曲线C: | z |= ρ > r
定义
若 f ( z ) 在 的 去 心 邻 域 r < | z | < + 内 解 析
则 称 1
记
2 π i f ( z ) d z Res[f (z),].= -C -1
分析 P ( 0 ) P ( 0 ) P ( 0 ) 0 , P(0)0. z0是 zsizn的三级零点
所以 z0是f(z)的三级极 由规点则， 2得 Rfe (z)s 0 ] , [(3 1 1 )lz !i0d d m z 2 2 z3z z s 6iz n . 计算较麻烦.
其中n=4的项的系数为c-1=1/4!, 从而也有
R [f1 e (z)s 0 ] , c 1 14 !
16
(2) f4(z)s, i1 nz;() z0 0
解： f4(在z)点 数为
的z0 去 0心邻域
内0的 zLaurent级
1 (1)nz2n1
sin z n0 (2n1)!
即
1
2i
Cf(z)dzc1
因此，我们可以根据求出系数c-1 的值来计算积分。 步骤：1.分析f(z)的解析性，确定解析环域；
2.在包含积分路径C的解析环域里将函数 展成Laurent级数
复变函数中的留数定理
复变函数中的留数定理
复变函数是指既定义在复数域上又取复数值的函数。
复变函数具有许多特殊的性质和定理，其中留数定理是其中一个重要的定理。
本文将介绍复变函数中的留数定理以及其应用。
一、留数的定义和计算方法
在复变函数中，留数(residue)是指当函数在某个点存在奇点时，即函数在该点不解析的情况下，奇点点内仍然具有一定的数值。
留数的计算方法可以通过洛朗级数展开或者柯西积分公式来实现。
对于一个圆心在奇点上的积分路径，留数的计算公式可以表示为：Res[f;z_0] = (1 / (2πi)) ∮ f(z)dz
二、留数定理的表述
留数定理是指当一个函数在一个环形区域上解析且没有奇点时，该函数的积分沿该闭合曲线的环形轮廓，等于沿环形区域内部孤立奇点的留数之和。
数学表述如下：
∮ f(z)dz = 2πi ∑Res[f;z_i]
三、留数定理的应用
1. 计算积分：留数定理是计算复变函数的积分的重要工具。
通过计算函数在奇点处的留数，可以将积分转化为留数之和的形式，从而简化计算过程。
2. 求解无穷级数：通过留数定理，可以将一个函数展开为洛朗级数，从而求解一些复杂的无穷级数。
3. 解析函数的奇点：留数定理可以帮助我们分析函数在复平面上的
奇点，并研究奇点的类型和性质。
总结：
复变函数中的留数定理是一个重要的工具，可以在计算积分、求解
无穷级数和分析奇点等方面发挥关键作用。
留数定理的应用不仅仅局
限于数学领域，而且在物理学、工程学和经济学等学科中也具有重要
的意义。
通过掌握留数定理的原理和计算方法，我们可以更好地理解
和应用复变函数的知识。
留数定理的计算及应用
留数及其应用摘 要 留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用．关键词 留数定理；留数计算；应用引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．一. 预备知识 孤立奇点1．设()f z 在点a 的某去心邻域内解析，但在点a 不解析，则称a 为f 的孤立奇点.例如sin zz，1z e 以0=z 为孤立奇点.z 以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.11sinz 以0=z 为奇点（又由1sin0=z ，得1(1, 2...,)π==±±z k k 故0=z 不是孤立奇点） 2．设a 为()f z 的孤立奇点，则()f z 在a 的某去心邻域内，有1()()()，∞∞-===+-∑∑-nnnnn n f z c z a c z a 称()n=1∞-∑-nnc z a 为()f z 在点a 的主要部分，称()∞=-∑nnn z a c 为()f z 在点a 的正则部分，当主要部分为0时，称a 为()f z 的可去奇点；当主要部分为有限项时，设为(1)11(0)()()------+++≠---m mm m m c c c c z a z a z a称a 为()f z 的m 级极点；当主要部分为无限项时，称a 为本性奇点.二. 留数的概念及留数定理 1. 留数的定义设函数()f z 以有限点a 为孤立点，即()f z 在点a 的某个去心邻域0z a R <⋅<内解析，则积分()()1:,02f z dz z a R i ρρπΓΓ⋅=<<⎰为()f z 在点a 的留数，记为：()Re z as f z =．2. 留数定理介绍留数定理之前，我们先来介绍复周线的柯西积分定理：设D 是由复周线012C C C C --=+++…nC -所围成的有界连通区域，函数()f z 在D 内解析，在_D D C =+上连续，则()0Cf z dz =⎰．定理1[]1（留数定理） 设()f z 在周线或复周线C 所范围的区域D 内，除12,,a a …,n a 外解析，在闭域_D D C =+上除12,,a a …,n a 外连续，则（ “大范围”积分） ()()12Re k nz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰． （1）证明 以k a 为心，充分小的正数k ρ为半径画圆周:k k z a ρΓ⋅=（1,2,k =…,n ）使这些圆周及内部均含于D ，并且彼此相互隔离，应用复周线的柯西定理得()()1knk Cf z dz f z dz =Γ=∑⎰⎰，由留数的定义，有()()2Re kkz a f z dz i s f z π=Γ=⎰．特别地，由定义得 ()2Re kkz a f z dz i s π=Γ=⎰，代入（1）式得 ()()12Re knz a k Cf z dz i s f z π===∑⎰．定理2 设a 为()f z 的n 阶极点，()()()nz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，()0a ϕ≠，则()()()()11!n z aa Res f z n ϕ-==-．这里符号()()0a ϕ代表()a ϕ，且有()()()()11lim n n z aa z ϕϕ--→=． 推论3 设a 为()f z 的一阶极点，()()()z z a f z ϕ=-， 则 ()()z aRes f z a ϕ==．推论4 设a 为()f z 的二阶极点，()()()2z z a f z ϕ=-， 则 ()()'z aRes f z a ϕ==．3. 留数的引理引理1 设()f z 沿圆弧:i R S z Re θ= (12θθθ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim R zf z λ→+∞=于R S 上一致成立(即与12θθθ≤≤中的θ无关)，则()()21limRS R f z dz i θθλ→+∞=-⎰．引理2(若尔当引理) 设函数()g z 沿半圆周:i R z Re θΓ= (0θπ≤≤，R 充分大)上连续，且()lim 0R g z →+∞=在R Γ上一致成立，则()()lim00Rimz R g z e dz m Γ→+∞=>⎰．引理3 (1)设a 为()f z 的n 阶零点，则a 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且 ()()'z a f z Res n f z =⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； (2)设b 为()f z 的m 阶极点，则b 必为函数()()'f z f z 的一阶极点，并且()()'z bf z Res m f z =⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．三. 留数的计算1. 函数在极点的留数法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则)()(lim ]),([Re 000z f z z z z f s z z -=-法则2：设)()()(z Q z P z f =，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的一阶零点，则0z 为)(z f 的一阶极点，且)()(]),([Re 0z Q z P z z f s '=. 法则3：如果0z 为)(z f 的m 阶极点，则)]()[(lim !11]),([Re 01100z f z z dzd m z z f s m m m z z --=---）（. 2. 函数在无穷远点的留数定理 1 如果)(z f 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内）为∞,,,21n z z z ，则)(z f 在各点的留数总和为零.关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则.法则 4： 211Re [,]Re [(),0]s f z s f z z∞=-⋅（）. 例 1 求函数2()1ize f z z=+在奇点处的留数． 解 ()f z 有两个一阶极点z i =±，于是根据（6.5）得2()Re (,)()22i P i e is f i Q i i e===-'2()Re (,)()22i P i e is f i e Q i i ---==='--例 2 求函数3cos ()zf z z=在奇点处的留数． 解 ()f z 有一个三阶极点0z =，故由（6.7）得33001cos 11Re (,0)lim()lim(cos )222z z z s f z z z →→''=⋅=-=-四. 留数定理在定积分中的应用利用留数计算定积分活反常积分没有普遍的实用通法，我们只考虑几种特殊类型的积分．1. 形如()20cos ,sin f x x dx π⎰型的积分这里()cos ,sin f x x 表示cos ,sin x x 的有理函数，并且在[]0,2π上连续，把握此类积分要注意，第一：积分上下限之差为2π，这样当作定积分时x 从0经历变到2π，对应的复变函数积分正好沿闭曲线绕行一周．第二：被积函数是以正弦和余弦函数为自变量。
复变函数中的留数定理及其推导
复变函数中的留数定理及其推导复变函数中的留数定理是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们求解一些非常复杂的积分问题。
在本文中，我们将深入探讨留数定理的本质及其具体推导方法。
一、留数定理的基本概念留数定理是由法国数学家留数（Cauchy）于19世纪初发现的。
它是一种重要的数学工具用于计算复平面上的奇异积分。
在这里，我们先来了解一下什么是“奇异点”。
奇异点是指函数在该点没有定义或不连续的点，如可以取无穷大的点、极点和孤立奇点等。
我们以一个简单的例子来说明：$I=\int_{C}\frac{1}{z-1}dz$其中，C为包围点z=1的任意一条简单闭合曲线。
当C逆时针绕点z=1一周时，积分的值趋近于无穷大，而当C顺时针绕点z=1一周时，积分的值趋近于负无穷大。
由此可见，积分$I$的值与曲线C的方向有关，这意味着函数$\frac{1}{z-1}$在点z=1处存在奇异性。
点z=1称为函数$\frac{1}{z-1}$的极点。
对于复系数函数$f(z)$，其在点z0处的留数（Residue）可表示为：$Res[f(z),z0]=\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{z-z0}dz$其中，C为包围点z0的任意一条简单闭合曲线，而留数的定义正是以上积分的结果。
二、留数定理的述现在我们来到了本文的重点：留数定理。
若$\Omega$是以平面上一条简单闭曲线为界的区域，则对于任意在$\Omega$上除点z1,z2，... ,zk外解析的函数$f(z)$，有：$\int_{C}f(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^{n}Res[f(z),zk]$其中，C是一条位于$\Omega$内的任意简单闭曲线，zk是$\Omega$内的孤立奇点（即除极点、可去奇点外的奇异点）。
这就是留数定理的本质。
简单来说，留数定理告诉我们：如果一个复变函数在某些点处存在奇异性，则通过沿着包围这些点的任意简单闭曲线进行积分，积分结果正比于这些奇点处的留数之和。
4-1留数定理
4 z / 4 cos2z
z / 4 2 sin 2z
/ 4
zdz |z|2 1/ 2 sin 2
z
2i[Re sf
(
/ 4) Re sf
(
/ 4)]
2i
例5：计算
I
z15dz |z|4 ( z 2 1)2 ( z 4 2)3
z1
z n1
1 zn2 ...
z
1
1 n
另解：
Re
sf
(1)
lim
z 1
1 (zn 1)
lim
z 1
1 nz n 1
1 n
例2：确定函数 f (z) ez 的奇点，求在奇点的留数。
1 z
解：∵ lim ez ∴ z=-1是f(z)的极点
z11 z
1 z
1 2
1 z2
...1 3
2 z4
...
则： a-1=1
Re sf () 1 I 2i[ Re sf ()] 2i
作业：P55-56：1－－（2）、（4）、（5） 2－－（2）、（3）
，l的方程是x2+y2-2x-2y=0
1)2
解：方程化为(x-1)2+(y-1)2=2
f (z)
(z2
1 1)( z 1)2
有两个单极点z0=±i和一
个二阶极点z0=1，其中z0=-i不在l内。
Re
sf
(i)
lim[(z
zi
i)
(z2
1 1)(z
1) 2
]
找不到极点 留数定理
找不到极点留数定理
极点和留数定理是复变函数理论中的重要概念，让我们先从极
点开始解释。
在复变函数中，如果函数在某个点处的取值趋向于无
穷大或者趋向于无穷小，那么这个点就被称为极点。
换句话说，极
点是函数在某点处的奇点，它使得函数在该点附近发散或者趋于无
穷小。
在复平面上，极点通常被表示为一个点，它是函数在该点处
的一个特殊性质。
现在让我们来谈谈留数定理。
留数定理是计算复变函数在极点
处的积分的重要工具。
该定理指出，如果函数在某个点有一个孤立
的极点，那么可以通过计算函数在该点的留数来求解该点处的积分。
留数是一个复变函数在极点处的特殊值，它可以用来计算函数在该
点处的积分值。
当我们无法找到函数的极点或者确定函数在某个点的留数时，
可能是因为函数比较复杂或者我们的计算方法不够有效。
在这种情
况下，我们可以尝试使用其他方法来分析函数的性质，比如利用级
数展开、洛朗级数等方法来近似计算函数在极点处的行为。
总之，极点和留数定理是复变函数理论中的重要概念，它们帮
助我们理解函数在复平面上的性质，并且在计算复变函数的积分时起着关键作用。
当我们无法找到函数的极点或者确定函数在某个点的留数时，可以尝试使用其他方法来进行分析和计算。
希望这个回答能够帮助你更好地理解极点和留数定理。
第四章留数定理
, 这里P
= 1,Q
=
sin
z。
亦可得 Res f (nπ ) = 1 = (−1)n
cos nπ
20
3/31/2012
留数计算的例子
p.54例3 确定函数f(z)=(z+2i)/(z5+4z3)的极 点，并求函数在这些点的留数。
这个例子中，分母可以因式分解，从而易于
求出分母的零点，也就是函数的极点。
从而可以知道z = 1是函数的单极点。
利用单极点留数计算公式，有
Res
f
(1)
=
lim( z
z →1
−1)
1 zn −1
=
lim
z →1
z z
−1⋅ −1
z n−1
+
1 z n−2
+
... +1
=
1 n
因此，留数为1/ n。
17
这个问题中，能 否由此推断
Res f(∞)=-1/n?
不行。因为z=1 只是f(z)的极点 之一。实际上 f(z)有n个极点
∫ 由此即得留数定理：f (z0 ) =
1 2πi
l
f (z) z − z0
dz
10
留数之和的守恒关系
如果f(z)只有有限个孤立奇点，则f(z)在复平面 上所有奇点(含∞点)的留数之和等于零。
复数球
3/31/2012
只需注意包围∞点的路径从另一个角度来 看，其中包含其他所有的有限远奇点。
n
Res f (∞) + ∑ Res f (bn ) = 0 n=1
f
(z)
=
z + 2i z5 + 4z3