【初中数学精品资料】勾股定理1

年级初二学科数学内容标题勾股定理1编稿老师何莹娟一、学习目标：1.掌握勾股定理的内容，会用面积法加以证明.2.会用勾股定理进行简单的计算.3.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形，能够树立数形结合的思想及分类讨论思想.二、重点、难点：1.勾股定理与勾股定理逆定理的证明.2.勾股定理与勾股定理逆定理的灵活运用.三、考点分析：中考中对勾股定理的考查，单独命题的情况并不多见，多与三角形、四边形、函数等知识相结合.勾股定理在中考中的要求为：正确使用勾股定理及其逆定理.注意掌握：1.对直角三角形能够知两边求第三边；2.能根据给出的三边确定三角形的形状；3.能运用勾股定理构造图形.一、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用于：1.已知直角三角形的两边求第三边；2.已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边；3.利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题.二、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长为a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：1.首先确定最长边，不妨设最长边长为：c；2.验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）.三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，但都与直角三角形有关.四、勾股定理的证明：勾股定理又叫毕氏定理，即在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和.据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过4000 年！又据记载，现时世上一共有超过300 个对这一定理的证明！勾股定理是几何学中的明珠，它充满了魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中既有著名的数学家，也有业余数学爱好者，既有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总统.也许是因为勾股定理既重要又简单，因此更容易吸引人，才使它成百次地反复被人论证.1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法.实际上还不止于此，有资料表明，目前关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了20多种精彩的证法.这是任何定理都无法比拟的.1.直接在直角三角形三边上画正方形，如图这个证明方法之所以精彩，是由于它所用到的定理少，且都只用到面积的两个基本概念：（1）全等形的面积相等；（2）将一个图形分割成几部分，各部分面积之和等于原图形的面积.这是人们完全可以接受的朴素观念，任何人都能理解.2.古人的方法：如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间的小正方形涂上白色.以弦为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，“令出入相补，各从其类”，赵爽肯定了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的.即“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之，即弦也”.他对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较为简明、直观.3. 美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证明. 如图，b ccaa bDCAEBS 梯形ABCD =21(a+b) 2 =21(a 2+2ab+b 2)， ① 又S 梯形ABCD =S △AED +S △EBC +S △ABE =21ab+21 ba+ 21c 2 = ab+21c 2. ②比较以上二式，便可得 a 2+b 2=c 2.这一证明方式由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明过程相当简洁.知识点一：勾股定理例1：（1）在直角△ABC 中，∠C=︒90，a=3，b=4，则c 的值是 . （2）在直角△ABC 中，∠B=︒90，a=3，b=4，则c 的值是 . （3）在直角△ABC 中，a=3，b=4，则c 的值是 . （4）在△ABC 中，a=3，b=4，则c 的值是 . 思路分析：题意分析：本题考查勾股定理的应用.解题思路：直角三角形三边满足勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方.注意：应用勾股定理时应特别注意哪个角是直角.解答过程：（1）5；（2）7；（3）5和7；（4）71<<c解题后的思考：勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理，其应用非常广泛.我们在应用这两个定理解题时，常会出现错解，现将易错处归纳剖析如下，以引起同学们的重视.一、忽视题目中的隐含条件在Rt △ABC 中，a 、b 、c 分别为三条边，∠B=90°，如果a=3cm ，b=4cm ，求边c 的长.误解：∵△ABC 是直角三角形，∴a 2+b 2=c 2，即32+42=c 2，解得c=5(cm).剖析：上面的解法，忽视了题目中∠B=90°，b 是斜边的隐含条件.正解：∵∠B=90°，∴a 2+c 2=b 2，c 2=b 2-a 2=42-32=7，c=7cm .二、忽视定理成立的条件在边长都是正数的ABC ∆中，AB>AC ，如果AC=4cm ，BC=3cm ，求AB 的长.误解：由“勾3股4弦5”知AC=4cm ，BC=3cm ，AB>AC ，∴AB=5cm .剖析：这种解法受“勾3股4弦5”思维定势的影响，见题中有BC=3cm ，AC=4，就认为AB=5，而忘记了“勾3股4弦5”是在直角三角形的条件下才成立，而本题中没有指明是直角三角形，因此，只能用三角形三条边之间的关系来解.例2：已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，∠A=60°，CD=3，求线段AB 的长.B A CD思路分析：题意分析：本题是考查勾股定理的常见题型解题思路：欲求AB ，可由AB=BD+AD ，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1.或欲求AB ，可由22BC AC AB +=，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC=2和BC=23. 解答过程：解：∵∠A=60°，CD ⊥AB 于D ，∠C=90°，∴∠B=30°，∠ACD=30°， ∵CD=3，设AD=x ，AC=2x 在Rt △ADC 中22D D C C A A +=∴AD=1，AC=2，同理在Rt BDC ∆中，可求出BC=3，BD=3，4=∴AB .解题后的思考：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考中的重要考点，所以要求同学们对图形及性质的掌握要非常熟练，并能够灵活应用.目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC 2-BD 2=AC 2-AD 2，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等.例3：已知：如图，在△ABC 中，AC=4，∠B=45°，∠A=60°，求：线段AB 的长.思路分析：题意分析：本题考查勾股定理的应用解题思路：由于本题中的△ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°.但可以添加AB 边上的高这条辅助线，构造直角三角形解决问题. 解答过程：解：过C 作CD ⊥AB 于D ，4,30,60,90=︒=∠∴︒=∠︒=∠∴AC ACD A ADC2=∴AD ，在Rt ACD ∆中由勾股定理可得222CD AD AC +=，3222=+=∴AD AC CD ， 又.322,32,45+=+=∴=∴︒=∠BD AD AB BD B解题后的思考：由此题可见，解一般三角形的问题常可通过作高转化为直角三角形的问题.在三角形中作高是解题时常添加的一种辅助线.例4：已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积.ABCDE思路分析：题意分析：本题考查勾股定理的计算与应用解题思路：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC ，或延长AB 、DC 交于F ，或延长AD 、BC 交于E ，根据本题给定的角应选后两种方法，进一步分析可知，根据本题给定的条件选第三种方法较为简单. 解答过程：解：延长AD 、BC 交于E .∵∠A=60°，∠B=90°，∴∠E=30°. ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，∴BE 2=AE 2-AB 2=82-42=48，BE=48=34. ∵DE 2= CE 2-CD 2=42-22=12，∴DE=12=32. ∴S 四边形ABCD =S △ABE -S △CDE =21AB ·BE-21CD ·DE=36 解题后的思考： 对于求不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将不规则图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为两个三角形面积之差.知识点二：勾股定理的逆定理例5：已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出哪一个角是直角？（1）a=3，b=22，c=5； （2）a=5，b=7，c=9； （3）a=2，b=3，c=7； （4）a=5，b=62，c=1. 思路分析：题意分析：本题考查勾股定理的逆定理的应用解题思路：如果三角形的三边长为a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形.解答过程：解：（1）a=3，b=22，c=5；5,8,3222===c b a222b c a =+∴ABC ∆∴是直角三角形，︒=∠90B（2）a=5，b=7，c=9；81,49,25222===c b a222c b a ≠+∴ABC ∆∴不是直角三角形（3）a=2，b=3，c=7；7,3,4222===c b a222c b a =+∴ABC ∆∴是直角三角形，︒=∠90C（4）a=5，b=62，c=1.1,24,25222===c b a222a c b =+∴ABC ∆∴是直角三角形，︒=∠90A解题后的思考：注意大边对大角，即在直角三角形中边长最大的边所对的角是直角.例6：已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+338= 10a+24b+26c .试判断△ABC 的形状. 思路分析：题意分析：本题考查勾股定理的逆定理的运用解题思路：（1）移项，配成三个完全平方；（2）若三个非负数的和为0，则三个非负数都为0；（3）已知a 、b 、c ，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形. 解答过程：解：a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c .()()()013125222=-+-+-c b a13,12,5===∴c b a 222c b a =+ABC ∆∴是直角三角形.解题后的思考：注意完全平方公式的灵活应用.例7：已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四边形ABCD 的面积.ABCDE思路分析：题意分析：本题考查勾股定理的逆定理的运用解题思路：（1）作DE ∥AB ，连结BD ，则可以证明△ABD ≌△EDB （ASA ）；（2）DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC 中，由于勾股数为“勾3股4弦5”，故△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积公式求解.解答过程：作DE ∥AB ，连结BD ，ABD=BDE∴∠∠AD ∥BC ，ADB=DBE∴∠∠又BD=BDAB=4，AD=3，BC=6∴DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3 又CD=5在△DEC 中，222DE EC DC +=， 故△DEC 为直角三角形，DE ⊥BC ； 设四边形ABCD 的面积为S则()1846321=⨯+=S 解题后的思考：把多边形分割成几个三角形的面积的方法叫割补法，这是解答此类问题的常用方法. 小结：1. 可以通过拼接三角形，得到正方形，再根据面积相等的性质列出等式，从而验证勾股定理；2. 运用勾股定理可以解决许多实际问题；3. 解一般三角形的问题常可通过作高转化为直角三角形的问题；4. 求不规则图形的面积时，可转化为特殊图形求解.1. 勾股定理反映的是直角三角形三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形三边关系的题目.2. 在应用勾股定理时一定要注意弄清谁是斜边，谁是直角边，这是这一知识在应用过程中易犯的主要错误.3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出了判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.4. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”思想的理解.（答题时间：60分钟）一、填空题1. （1）在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=8，b=15，则c= . （2）在Rt △ABC 中，∠B=90°，a=3，b=4，则c= .（3）在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= . （4）一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 . （5）已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，则第三边长为 . （6）已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 . 2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°， （1）如果a=7，c=25，则b= . （2）如果∠A=30°，a=4，则b= .（3）如果∠A=45°，a=3，则c= . （4）如果c=10，a-b=2，则b= .（5）如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= . （6）如果b=8，a ：c=3：5，则c= .3. △ABC 中，AB=AC=25cm ，高AD=20cm ，则BC= ，S △ABC = .4. △ABC 中，若∠A=23∠B=3∠C ，AC=32cm ，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，BC= cm ，S △ABC = cm 2.5. △ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC= ，CD= ，BD= ，AD= ，S △ABC = .6. 若△ABC 的三边a 、b 、c 满足（a －b ）（a 2＋b 2－c 2）=0，则△ABC 是 . 二、解答题7. 若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a ：b ：c=1：1：2，试判断△ABC 的形状. 8. 已知：如图，四边形ABCD ，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且AB ⊥BC .求：四边形ABCD 的面积.AB CD9. 已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长.AC BD10. 已知等腰三角形的腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.11. 已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长.BCDA12. 已知：如图，在△ABC 中，AB=25，BC=26，AC=17，求S △ABC .AC第11页 版权所有 不得复制一、填空题1. （1）17； （2）7； （3）6，8； （4）6，8，10； （5）4 cm 或34 cm ；（6）3cm ，3cm ；2. （1）24； （2）43； （3）32； （4）6； （5）12； （6）10；3. 30 cm ，300 cm 2；4. 90，60，30，4，325. 2，3，3，1，326. 等腰三角形或直角三角形二、解答题7. △ABC 是等腰直角三角形；8. 49 9. ∵AD 是BC 边上的高 ∴在Rt △ADC 中，∠ADC=90°又∵AC=4，∠C=60°∴CD=2，AD=3222=-CD AC在Rt △ADB 中，∠ADB=90°，AB=34∴BD=6A B 22=-D A ，∴BC=BD+CD=8（切记此题不能直接使用勾股定理，因为在△ABC 中并未给出直角) 10. 作高，高=681022=-，三角形面积=21×16×6=48. 11. ∵在四边形ABCD 中AB ⊥AC ，∠B=60°，∴∠BCA=30°，∵AD ∥BC ，∴∠CAD=∠BCA=30°∵AD ⊥DC ，CD=1cm ，∴AC=2cm在Rt △ABC 中，设AB=x ，BC=2x .222AC AB BC +=，即4422+=x x ，解得332=x ，即AB=332，∴BC=334 12. 作BD ⊥AC 于D ，设AD=x ，则CD=17-x ，25-x =26-（17-x ），x=7，BD=24， S △ABC =21AC ·BD=204；。