2020版高中数学人教B版选修2-1课件：1.2.2“非”(否定) (2)
2020人教版高二数学选修2-1全册课件【完整版】
第一章 常用逻辑用语
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1.1 命题及其关系
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1.2 充分条件与必要条件
小结
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复习参考题
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2020人教版高二数学选修2－1全 册课件【完整版】目录
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第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件 1.4 全称量词与存在量词 复习参考题 2.1 曲线与方程 探究与发现 为什么截口曲线是椭圆 2.3 双曲线 2.4 抛物线 阅读与思考 复习参考题 3.1 空间向量及其运算 3.2 立体几何中的向量方法 复习参考题
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1.3 简单的逻辑联结词
2020人教版高二数学选修2－1全册 课件【完整版】Βιβλιοθήκη 1.4 全称量词与存在量词
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第二章 圆锥曲线与方程
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2.1 曲线与方程
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2.2 椭圆
人教B版选修1-1高中数学1.2.2《“非”否定》ppt课件
p且 q
个
一 个 非p 也或
写出下列命题的否定，并判断真假： (1)p：y＝cos x 是周期函数； (2)q：负数的平方都是正数； (3)r：5<4. 【解】 (1)綈 p：y＝cos x 不是周期函数，假命题． (2)綈 q：负数的平方不都是正数，假命题． (3)綈 r：5≥4，真命题．
全称命题和存在性命题的否定 写出下列命题的否定，并判断其真假：
p
綈p
真
假
假
真
全称命题和存在性命题的否定
【问题导思】 1．写出下列命题的否定： ①所有的矩形都是平行四边形； ②有些平行四边形是菱形． 【提示】 ①并非所有的矩形都是平行四边形． ②每一个平行四边形都不是菱形．
2．对①的否定能否写成“所有的矩形都不是平行四边 形”？
【提示】 不能． 3．对②的否定能否写成“有些平行四边形不是菱形”？ 【提示】 不能．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
(2)p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等． ∵p：梯形有一组对边平行是真命题， ∴命题 p∨q 是真命题． p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等． ∵q：梯形有一组对边相等是假命题， ∴p∧q 是假命题． 綈 p：梯形没有一组对边平行． ∵p 为真， ∴綈 p 是假命题.
课时作业（四）
1.2.2 “非”(否定)
2020最新人教版高二数学选修1-1(B版)全册完整课件
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第一章 常用逻辑用语
1.1.2 量词
1.2.2 “非”（否定）
3.3.2 利用导数研究函数的极值
本章小结
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 常用逻辑用语
2020最新人教版高二数学选修1－ 1(B版)全册完整课件
1.1 命题与量词 学选修1－ 1(B版)全册完整课件
1.3.2 命题的四种形式
阅读与欣赏
什么是数理逻辑
2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
2.3 抛物线
2.3.1 抛物线级其标准方程
本章小结
第三章 导数及其应用
3.1.2 瞬时速度与导数
3.2 导数的运算
3.2.1 常数与幂函数的导数
3.2.3 导数的四则运算法则
2020版数学人教B版选修2-1课件：第一章 1.1.2 量词 .pdf
第一章§1.1 命题与量词1.1.2 量 词学习目标XUEXIMUBIAO1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 全称量词、全称命题1.概念短语“ ”“ ”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做 量词，并用符号“ ”表示.含有全称量词的命题，叫做 .2.表示将含有变量x 的语句用p (x )，q (x )，r (x )，…表示，变量x 的取值范围用M 表示.那么，全称命题“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”可用符号简记为 ，读作“对任意x 属于M ，有p (x )成立”.3.全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立，但要判所有的任意一个全称∀全称命题∀x ∈M ，p (x )知识点二 存在量词、存在性命题1.概念短语“ ”“ ”在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中通常叫做 量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题，叫做 .2.表示存在性命题“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”可用符号简记为 ，读作“存在M 中的元素x ，使p (x )成立”.3.存在性命题的真假判定要判定一个存在性命题是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x ，使p (x )成存在一个至少有一个存在存在性命题∃x ∈M ，p (x )∃1.“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( )2.全称命题一定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词.( )3.存在性命题中的量词一定不能省略.( )4.全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√√2题型探究PART TWO题型一 全称命题与存在性命题的辨析例1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题.(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；(4)过两条平行线有且只有一个平面.解 命题(1)完整的表述应为“任意一个梯形的对角线相等”，很显然为全称命题.命题(2)为存在性命题.命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题.命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题.反思感悟 判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题.跟踪训练1 下列命题中，是全称命题的是________，是存在性命题的是_____.(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数.①②③④题型二 全称命题与存在性命题的真假判断例2 判断下列命题的真假：(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；解 真命题.(2)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；解 真命题，如函数f(x)＝0，既是偶函数又是奇函数.(3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；(4)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立；解 假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解.(5)∀x∈R，x2－3x＋2＝0；解 假命题，只有当x＝2或x＝1时，等式x2－3x＋2＝0才成立. (6)∃x∈R，x2－3x＋2＝0.解 真命题，x＝2或x＝1，都能使等式x2－3x＋2＝0成立.反思感悟 要判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题.要判断存在性命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题.跟踪训练2 判断下列命题的真假：(1)有一些奇函数的图象过原点；解 该命题中含有“有一些”，是存在性命题.如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题.(2)∃x∈R,2x2＋x＋1<0.解 该命题是存在性命题.∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0.故该命题是假命题.题型三 由含量词的命题求参数例3 对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立.求实数m的取值范围.解 令y＝sin x＋cos x，x∈R，又∵∀x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，引申探究若将本例条件改为：存在实数x，不等式sin x＋cos x>m有解，求实数m的取值范围.解 令y＝sin x＋cos x，x∈R，又∵∃x∈R，sin x＋cos x>m有解，反思感悟 (1)含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题.(2)含参数的存在性命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决.跟踪训练3 (1)已知关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；解 关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，即|sin x－cos x|＝sin x－cos x，∴sin x≥cos x.典例 f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x ∈[－1，2]，使f (x 1)＝g (x )，则a 的取值范围是核心素养之数学抽象HEXINSUYANGZHISHUXUECHOUXIANG 全称命题与存在性命题的应用√解析 由于函数f(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x)，因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，素养评析 (1)本例通过对抽象的数学符号任意与存在的理解，可转化为两函数值域之间的关系.(2)将抽象的数学符号语言具体化，是解决数学问题的基本思路，有利于提升学生的数学抽象素养.3达标检测PART THREE1.下列命题中，不是全称命题的是A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小√D.一定存在没有最大值的二次函数解析 D选项是存在性命题.2.命题p：∃x∈N，x3<x2；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log a(x－1)的图象过点(2,0)，则√A.p假q真B.p真q假C.p假q假D.p真q真解析 ∵x3<x2，∴x2(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，故命题p为假命题，易知命题q为真命题，故选A.3.下列全称命题中真命题的个数为①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A.1B.2√C.3D.4解析 ①②③为真命题，当x＝y＝0时，x2＋|y|＝0，④为假命题.4.给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.①②④其中全称命题是________.(填序号)解析 ①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”.5.若命题“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则实数m的取值范围是[2,6]______.解析 由已知“∀x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，得Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2,6].课堂小结KETANGXIAOJIE1.判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词.2.判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称命题为假.3.判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，否则命题为假.。
高中数学 人教b版选修1-1 1.2.2 “非”(否定) 课件 (共23张ppt)
A. p q
C． p
B．p q
D．以上都不对
2.“至多有三个”的 否定为（B ）
A.至少有三个 B.至少有四个
C.恰有四个
D.恰有三个
3. 对命题P："x0 R, x02 2x0 4 0" 的否定正
确的是（D ）
A．x0 R, x02 2x0 4 0 B．x R, x2 2x 4 0 C．x R, x2 2x 4 0 D．x R, x2 2x 4 0
一（句3）话方概程括：x2+x+1=0有p 实数¬ 根p ；
（真4）假方相程反
x2+x+1=0真无实数假根
假
真
填写下表 注意“非”对关键词的否定方式
词语 否定 词语
否定
等于 大于 小于
是
不等于 都是 不都是
不大于 不小于
至多有 一个
至少有两个
至少有 一个
一个都没有
不是
应用举例
例1.写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
符号： x∈{三角形}，x是直角三角形 这个命题的否定是什么？ “没有一个三角形是直角三角形”， “所有的三角形都不是直角三角形”。 可以用符号表示为：
┒p： x∈{三角形}，x不是直角三角形
概念形成
全称命题和存在性命题的否定 一般地,可以得出结论:
存在命题 p： x∈A，p(x). 它的否定 ┒p： x∈A，┒p(x). 全称命题 q： x∈A，q(x). 它的否定 ┒q ： x∈A,┒q(x).
命题(2)是命题(1)的否定，命题（4）是命题 （3）的否定.
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个 新命题，记作¬ p，读作“非p”或“p的否定”.
2019-2020人教B版数学选修2-1第1章 1.2 1.2.2 “非”(否定)课件PPT
1．2 基本逻辑联结词 1.2.2 “非”(否定)
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学习目标
核心素养
1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命 通过对逻辑联
题的“綈p”命题．(重点)
结词“非”的理 解，培养学生正
2．了解逻辑联结词“非”的初步应用．
确否定某命题的
3．掌握全称命题与存在性命题的否定．(难点、 数学抽象、逻辑
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3．存在性命题的否定
存在性命题 p
綈p
结论
∃x∈M，p(x) _∀__x_∈__M__，__綈___p_(x_)__ 存在性命题的否定是 全称 命 题
思考 3：对省略量词的命题怎样否定？
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[提示] 对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称命题或 存在性命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所 有的”或“对任意”，它的否定是存在性命题．反之，亦然．
A．“p或q”为假，“非q”为假 B．“p或q”为真，“非q”为假 C．“p且q”为假，“非p”为假 D．“p且q”为真，“p或q”为假
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B [显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真， “非q”为假，故选B.]
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3．已知p：∅⊆{0}，q：{1}∈{1,2}．由他们构成的新命题 “p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题有( )
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2．全称命题的否定
全称命题 p
綈p
结论
∀x∈M，p(x) _∃__x_∈__M__，__綈___p_(x_)__ 全称命题的否定是存在性命题 思考 2：用自然语言描述的全称命题的否定形式唯一吗？
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[提示] 不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否 定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形 不是平行四边形”．
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：2.3.1 双曲线的标准方程
它的标准方程是怎样的呢？ 看x2、y2的系数正负
������2 ������2
−
������2 ������2
=
1(������
>
0,
������
>
0).
知识探究三：椭圆与双曲线
椭圆
双曲线
定义
方 程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 y2 1(a b 0)
a2 b2
y2 a2
x2 b2
即所求轨迹方程为������2
2
−
���6���2＝1(x>
2).
跟踪训练
3.已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，
动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：圆F1：圆心F1(－5，0)，半径r1＝1；
寻找M满足的 几何条件
圆F2：圆心F2(5，0)，半径r2＝4.
9
−
������2 16
=
1.
(1)若M为双曲线上一点，且到一个焦点的距离为16，
求M到另外一个焦点的距离；
(2)若P为双曲线左支上一点，且|PF1|·|PF2|=32，
求△F1PF2的面积S.
y
焦点三角形 ||PF1|-|PF2||=2a |F1F2|=2c
O
x
典例分析
解：
由已知a＝3，b＝4，c＝5. (1)由双曲线的定义得 ||MF1|－|MF2||＝2a＝6， 假设点M到另一个焦点的距离等于x， 则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22. 故点M到另一个焦点的距离为6 或22.
知识探究一:双曲线的形成
①如图(A)，
2020版数学人教B版选修2-1课件：第一章 章末复习
第一章常用逻辑用语章末复习学习目标XUEXIMUBIAO1.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.2.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.3.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.4.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究达标检测1知识梳理PART ONE1.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任合”“ ”等.(2)常见的存在量词有：“存在一个”“ 有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等.(3)全称量词用符号“ ”表示；存在量词用符号“ ”表示.2.简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“ ”叫做逻辑联结词.所有的至少∀∃非(2)简单复合命题的真值表p q p∧q p∨q綈p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假___真3.全称命题与存在性命题(1)含有 量词的命题叫全称命题.(2)含有 量词的命题叫存在性命题.4.命题的否定(1)全称命题的否定是命题；存在性命题的否定是 命题.(2)p 或q 的否定为：非p 且非q ；p 且q 的否定为： .5.充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的 ，q 是p 的 ；(2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的 .全称存在存在性全称非p 或非q 充分条件必要条件充要条件(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有 的真假性；6.四种命题及其关系(1)四种命题①原命题：如果p ，则q ；②逆命题：；③否命题： ；④逆否命题： .(2)四种命题间的关系如果q ，则p 如果綈p ，则綈q 逆命题如果綈q ，则綈p 逆否命题否命题相同1.命题“若x >0且y >0，则x ＋y >0”的否命题是假命题.( )2.“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题.( )3.命题“若p ，则q ”与命题“若綈p ，则綈q ”的真假性一致.( )4.已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>0，命题q ：∀x ∈R ，x 2>x ，则命题p ∨(綈q )是假命题.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√××2题型探究PART TWO题型一 命题及其关系例1 (1)有下列命题：①“若x＋y>0，则x>0且y>0”的否命题；②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”.其中是真命题的是A.①②③B.②③④√C.①③④D.①③(2)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是√A.p∨qB.p∧qC.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q)解析 由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题.故p∨q为真命题.反思感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同.(2)“p与綈p”一真一假，“p∨q”一真即真，“p∧q”一假就假.跟踪训练1 (1)命题“若x2>1，则x<－1或x>1”的逆否命题是A.若x2>1，则－1≤x≤1√B.若－1≤x≤1，则x2≤1C.若－1<x<1，则x2>1D.若x<－1或x>1，则x2>1(2)已知命题p：4＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断中错误的是A.p或q为真，非q为假B.p或q为真，非p为真√C.p且q为假，非p为假D.p且q为假，p或q为真解析 由p：4＋2＝5，可得p是假命题，由q：3>2，可得命题q是真命题，所以p或q为真，p且q为假，非p为真，非q为假，故选C.题型二 充分条件与必要条件、充要条件的探究例2 “m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的A.充要条件√B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件反之，若两条直线相互垂直，需分三种情况：①当m＝－2时，两条直线的方程分别为－6y＋1＝0，－4x－3＝0，显然两直线相互垂直；③当m＝0时，两条直线的方程分别为2x＋1＝0，－2x＋2y－3＝0，两直线不垂直.反思感悟 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q.如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p 的必然结果.则p⇏q易表述为以下几种说法：p是q的不充分条件，q的不充分条件是p；q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.解析 p ：∀x ∈R,2x >0为真命题；q ：∵x >1⇏x >2，∴“x >1”不是“x >2”的充分条件，又x >2⇒x >1，∴“x >1”是“x >2”的必要条件，∴q 是假命题，∴綈q 是真命题.跟踪训练2 (1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是A.p ∧qB.(綈p )∧(綈q )C.(綈p )∧qD.p ∧(綈q )√解析 ①∵a ＝－1⇒Δ＝22－4a ×(－1)＝0⇒f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点，∴“a ＝－1”是“函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的充分条件.②f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点⇒a ＝－1或a ＝0⇏a ＝－1，∴“a ＝－1”不是“函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的必要条件.(2)“a ＝－1”是“函数f (x )＝ax 2＋2x －1只有一个零点”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件√解析 因为p ∨q 为假命题，所以p 和q 都是假命题.由p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0为假，得∀x ∈R ，mx 2＋2>0，所以m ≥0. ①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假，得∃x ∈R ，x 2－2mx ＋1≤0，所以Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1.题型三 逻辑联结词与量词的综合应用例3 已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0.q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是A.[1，＋∞)B.(－∞，－1]C.(－∞，－2]D.[－1,1]√反思感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义，掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系.其次要善于利用等价关系，如：p真与綈p假等价，p假与綈p真等价，将问题转化，从而谋得最佳解决途径.跟踪训练3 已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立.(1)若p为真命题，求m的取值范围；解 对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，令f(x)＝2x－2(x∈[0,1])，则f(x)min≥m2－3m，当x∈[0,1]时，f(x)min＝f(0)＝－2，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2.因此，当p为真命题时，m的取值范围是[1,2].(2)当a＝1时，p且q为假命题，p或q为真命题，求m的取值范围.解 当a＝1时，若q为真命题，则存在x∈[－1,1]，使得m≤x成立，所以m≤1.因此，当命题q为真时，m≤1.因为p且q为假命题，p或q为真命题，所以p，q中一个是真命题，一个是假命题.3达标检测PART THREE1.设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是A.对任意m∈R，y＝f(x)都是奇函数B.存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数C.对任意m∈R，y＝f(x)都是偶函数√D.存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数解析 存在m＝0∈R，使y＝f(x)是偶函数，故选D.√3.已知α，β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：a与b无公共点，q：α∥β，则p是q的√A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若α与β相交，设交线为c，若a∥c，b∥c，则a∥b，此时a与b无公共点，所以p⇏q；若α∥β，则a与b的位置关系是平行或异面，a与b无公共点，所以q⇒p.由此可知p是q的必要不充分条件，故选B.4.已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②③②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________.(填序号)解析 当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题.当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题.由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题.5.分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“綈p”形式的复合命题，并判断它们的真假.(1)p：平行四边形的对角线相等，q：平行四边形的对角线互相平分；解 p或q：平行四边形的对角线相等或平行四边形的对角线互相平分.p且q：平行四边形的对角线相等且平行四边形的对角线互相平分.綈p：有的平行四边形的对角线不相等.因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“綈p”为真.(2)p：方程x2－16＝0的两个根的符号不同，q：方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等.解 p或q：方程x2－16＝0的两个根的符号不同或方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等.p且q：方程x2－16＝0的两个根的符号不同且方程x2－16＝0的两个根的绝对值相等.綈p：方程x2－16＝0的两个根的符号相同.因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“綈p”为假.课堂小结KETANGXIAOJIE1.判断复合命题真假的步骤2.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断，如下表：p q綈p p∨q p∧q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假3.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)。
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第一章§1.2 基本逻辑联结词1.2.2 “非” (否定)学习目标XUEXIMUBIAO1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.会对全称命题与存在性命题进行否定.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 逻辑联结词“非”1.命题的否定：对命题p 加以否定，就得到一个新命题，记作綈p ，读作“非p ”或“ ”.2.命题綈p 的真假：若p 是真命题，则綈p 必是 命题；若p 是假命题，则綈p 必是命题.知识点二 全称命题的否定写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定.对于含一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )，它的否定綈p ： .全称命题的否定是命题. p 的否定假真∃x ∈M ，綈p (x )存在性知识点三 存在性命题的否定写存在性命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词；(2)将结论否定.对于含一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：存在性命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x).存在性命题的否定是全称命题.1.写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词.( )2.∃x ∈M ，p (x )与∀x ∈M ，綈p (x )的真假性相反.( )3.命题“若a 2>b 2，则|a |>|b |”的否定为“若a 2>b 2，则|a |<|b |”.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√×2题型探究PART TWO解 面积相等的三角形不都是全等三角形，为真命题.解 若m 2＋n 2＝0，则实数m ，n 不全为零，为假命题.解 若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0，为假命题.题型一 “綈p ”命题的构成与真假判断例1 写出下列命题的否定形式，并判断其否定的真假.(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m 2＋n 2＝0，则实数m ，n 全为零；(3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.反思感悟 綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等.跟踪训练1 写出下列命题的否定形式.(1)p：y＝ sin x是周期函数；解 綈p：y＝ sin x不是周期函数. (2)p：3<2；解 綈p：3≥2.(3)p：空集是集合A的子集；解 綈p：空集不是集合A的子集. (4)p：5不是75的约数.解 綈p：5是75的约数.命题角度1 全称命题的否定例2 写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＝b 都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解 其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行.解 其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数.解 其否定：∃a ，b ∈R ，使方程ax ＝b 的解不唯一或不存在.题型二 全称命题和存在性命题的否定多维探究反思感悟 全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后再进行否定.跟踪训练2 写出下列全称命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；解 綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.(2)p：所有自然数的平方都是正数；解 綈p：有些自然数的平方不是正数.(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；解 綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根. (4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.解 綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.命题角度2 存在性命题的否定例3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假.(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；解 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0(假).(2)p：有些素数是奇数；解 綈p：所有的素数都不是奇数(假).(3)p：有些平行四边形不是矩形.解 綈p：所有的平行四边形都是矩形(假).反思感悟 存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p：∃x∈M，p(x)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立.跟踪训练3 写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假.(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；解 命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”.因此命题的否定是假命题.解 命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.题型三 存在性命题、全称命题的综合应用例4 已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；解 不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可.故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4.(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围.解 不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)，若存在一个实数x，使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).反思感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存在一个实数x，使a>f(x)成立，只需a>f(x)min.跟踪训练4 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R).(1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0；证明 当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1，∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.(2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围.解 ∵f(x)≤4x恒成立，∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，3达标检测PART THREE1.命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“綈p”形式的命题是A.存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B.不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根√C.对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D.至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根解析 命题p是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根.2.对下列命题的否定说法错误的是A.p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B.p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形√C.p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D.p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误.3.已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是A.(綈p)∨qB.p∧q√C.(綈p)∧(綈q)D.(綈p)∨(綈q)解析 由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)是真命题.4.已知a>0且a≠1，命题“∃x>1，log a x>0”的否定是A.∃x≤1，log a x>0B.∃x>1，log a x≤0√C.∀x≤1，log a x>0D.∀x>1，log a x≤0解析 a>0且a≠1，命题“∃x>1，log a x>0”的否定是“∀x>1，log a x≤0”.5.由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是(a，1＋∞)，则实数a＝____.解析 由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.1.带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”.2.(1)对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词；第二步，将结论加以否定.(2)对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定. 课堂小结KETANGXIAOJIE。
人教B版数学选修2-1课件全集
3.存在量词与存在性命题 (1)存在量词:短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中 表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号 “∃”表示. (2)存在性命题:含有存在量词的命题,叫做存在性命题. (3)存在性命题的形式:一般地,设q(x)是某集合M的有些元素x具 有的某种性质,那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素 x,q(x)”的命题,用符号简记为∃x∈M,q(x). 【做一做3】 判断命题“有一个整数x,x2+1=0”是不是存在性命 题,若是,用符号表示出来. 分析:因为该命题含有存在量词,所以该命题是存在性命题. 解:是,用符号表示为∃x∈Z,x2+1=0.
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1.下列语句不是命题的是( ) A.两点之间线段最短 B.互补的两个角相等 C.不是对顶角的两个角不相等 D.延长线段AB 解析:只有选项D不能判断其真假,故选项D不是命题. 答案:D
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2.下列命题是存在性命题的是( ) A.偶函数的图象关于y轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线是平行线 D.存在实数大于等于3 解析:只有选项D中含有存在量词,故选项D是存在性命题. 答案:D
1.判断一个全称命题是真(假)命题的方法 剖析:要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每一 个元素x验证p(x)成立,一般用代数推理给出证明.要判断一个全称 命题是假命题,只需举出一个反例(满足命题的条件,但不满足命题 结论的例子).例如,命题p:∀x∈R,x2-4x≥0,当x=1时,x2-4x=-3,故命题 p为假命题. 2.判断一个存在性命题是真(假)命题的方法 剖析:只要在限定集合M中,找到一个x=x0使p(x0)成立即可,否则, 这个存在性命题就是假命题.
2020版数学人教B版选修2-1学案：第一章 1.2.2 “非” (否定) Word版含解析
1.2.2“非” (否定)学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.会对全称命题与存在性命题进行否定．知识点一逻辑联结词“非”1．命题的否定：对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．2．命题綈p的真假：若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．知识点二全称命题的否定写全称命题的否定的方法：(1)更换量词，将全称量词换为存在量词；(2)将结论否定．对于含一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)．全称命题的否定是存在性命题．知识点三存在性命题的否定写存在性命题的否定的方法：(1)将存在量词改写为全称量词；(2)将结论否定．对于含一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：存在性命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．存在性命题的否定是全称命题．1．写存在性命题的否定时，存在量词变为全称量词．(√)2．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(√)3．命题“若a2>b2，则|a|>|b|”的否定为“若a2>b2，则|a|<|b|”．(×)题型一“綈p”命题的构成与真假判断例1写出下列命题的否定形式，并判断其否定的真假．(1)面积相等的三角形都是全等三角形；(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n全为零；(3)若xy＝0，则x＝0或y＝0.解(1)面积相等的三角形不都是全等三角形，为真命题．(2)若m2＋n2＝0，则实数m，n不全为零，为假命题．(3)若xy＝0，则x≠0且y≠0，为假命题．反思感悟綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”，“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等．跟踪训练1写出下列命题的否定形式．(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：3<2；(3)p：空集是集合A的子集；(4)p：5不是75的约数．解(1) 綈p：y＝sin x不是周期函数．(2) 綈p：3≥2.(3) 綈p：空集不是集合A的子集．(4) 綈p：5是75的约数．题型二全称命题和存在性命题的否定命题角度1全称命题的否定例2写出下列全称命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解(1)其否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)其否定：数列：1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数．(3)其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.反思感悟全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后再进行否定．跟踪训练2写出下列全称命题的否定：(1)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(2)p：所有自然数的平方都是正数；(3)p：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(4)p：对任意实数x，x2＋1≥0.解(1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．(2)綈p：有些自然数的平方不是正数．(3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．(4)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.命题角度2存在性命题的否定例3写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0；(2)p：有些素数是奇数；(3)p：有些平行四边形不是矩形．解(1) 綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0(假)．(2) 綈p：所有的素数都不是奇数(假)．(3) 綈p：所有的平行四边形都是矩形(假)．反思感悟存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立．跟踪训练3写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．因此命题的否定是假命题．(2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．题型三 存在性命题、全称命题的综合应用例4 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x ，使不等式m －f (x )>0成立，求实数m 的取值范围．解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x )>0可化为m >f (x )，若存在一个实数x ，使不等式m >f (x )成立，只需m >f (x )min . 又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．反思感悟 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素．一般地，对任意的实数x ，a >f (x )恒成立，只要a >f (x )max ；若存在一个实数x ，使a >f (x )成立，只需a >f (x )min .跟踪训练4 已知f (x )＝3ax 2＋6x －1(a ∈R )．(1)当a ＝－3时，求证：对任意x ∈R ，都有f (x )≤0；(2)如果对任意x ∈R ，不等式f (x )≤4x 恒成立，求实数a 的取值范围．(1)证明 当a ＝－3时，f (x )＝－9x 2＋6x －1，∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，∴对任意x ∈R ，都有f (x )≤0.(2)解 ∵f (x )≤4x 恒成立，∴3ax 2＋2x －1≤0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4＋12a ≤0， 解得a ≤－13， 即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－13.1．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根”，则“綈p ”形式的命题是( )A ．存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根答案 C解析命题p是存在性命题，其否定形式为全称命题，即綈p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根．2．对下列命题的否定说法错误的是()A．p：能被2整除的数是偶数；綈p：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃n∈N,2n≤100；綈p：∀n∈N,2n>100.答案 C解析“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误．3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)答案 D解析由于命题p为真命题，命题q为假命题，因此，命题綈p是假命题，命题綈q是真命题，从而(綈p)∨q，p∧q，(綈p)∧(綈q)都是假命题，(綈p)∨(綈q)是真命题．4．已知a>0且a≠1，命题“∃x>1，log a x>0”的否定是()A．∃x≤1，log a x>0 B．∃x>1，log a x≤0C．∀x≤1，log a x>0 D．∀x>1，log a x≤0答案 D解析a>0且a≠1，命题“∃x>1，log a x>0”的否定是“∀x>1，log a x≤0”．5．由命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a＝________.答案 1解析由题意得命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，所以Δ＝4－4m<0，即m>1，故实数m的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a的值为1.1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．2．(1)对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将全称量词改写成存在量词；第二步，将结论加以否定．(2)对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：第一步，将存在量词改写成全称量词；第二步，将结论加以否定．一、选择题1．下列存在性命题是假命题的是( )A ．存在实数a ，b ，使ab ＝0B ．有些实数x ，使得|x ＋1|<1C ．存在一个函数，既是偶函数又是奇函数D ．有些实数x ，使得⎝⎛⎭⎫12x <0答案 D解析 A 是真命题；B 是真命题；C 是真命题；D 是假命题．2．下列命题既是存在性命题，又是真命题的是( )A ．两个无理数的和必是无理数B ．存在一个实数x ，使1x＝0 C ．至少有一个实数x ，使x 2<0D ．有些实数的倒数等于它本身答案 D解析 A 项为全称命题；B 项，1x是不能为零的，故B 假；C 项，x 2≥0，故不存在实数x 使x 2<0，故C 假；D 项，当实数为1或－1时可满足题意，故D 正确．3．已知命题p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，则綈p 是( )A ．∃x ∈R ，sin x ≥1B ．∃x ∈R ，sin x >1C ．∀x ∈R ，sin x ≥1D ．∀x ∈R ，sin x >1 答案 B解析 所给命题为全称命题，故其否定为存在性命题，故綈p ：∃x ∈R ，sin x >1，故选B.4．下列命题中，假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N ＋，(x －1)2>0C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2 答案 B解析 对于∀x ∈R ，y ＝2x >0恒成立，而y ＝2x－1的图象是将y ＝2x 的图象沿x 轴向右平移1个单位长度，函数的值域不变，故2x －1>0恒成立，故A 为真命题；当x ＝1时，(x －1)2＝0，故B 为假命题；当0<x <10时，lg x <1，故∃x ∈R ，lg x <1，故C 为真命题；y ＝tan x 的值域为R ，故∃x 使得tan x ＝2，故D 为真命题．5．命题“p ∧q ”与“p ∨q ”都是假命题，则下列判断正确的是( )A ．命题“綈p ”与“綈q ”真假不同B ．命题“綈p ”与“綈q ”至少有一个是假命题C ．命题“綈p ”与“q ”真假相同D ．命题“(綈p )∧(綈q )”是真命题答案 D解析 “p ∧q ”为假，则p 与q 中至少有一个为假，而“p ∨q ”为假，则p ，q 都为假，故綈p ，綈q 均为真．6．若命题p ：∀x >0，log 2x >0，命题q ：∃x ∈R,2x <0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧qD ．p ∨(綈q )答案 D解析 当x ∈(0,1]时，log 2x ≤0，∴命题p 为假命题．又当x ∈R 时，2x >0，∴命题q 为假命题，∴p ∨(綈q )为真命题．7．已知命题p ：存在x ∈R ，有sin x ＋cos x ＝2；命题q ：任意x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，有x >sin x ．则下列命题是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或(綈q )C ．p 且(綈q )D ．(綈p )且q答案 D解析 由题意知命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以(綈p )且q 为真命题．8．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项中的命题为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)答案 C解析 当a >0时，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象为开口向上的抛物线，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则x 0＝－b 2a为抛物线顶点的横坐标，f (x )min ＝f (x 0)，故对于∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)成立，从而选项A ，B ，D 为真命题，选项C 为假命题．二、填空题9．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为________．(填序号)①对任意x ∈R ，都有x 2＜0；②不存在x ∈R ，使得x 2＜0；③存在x ∈R ，使得x 2≥0；④存在x ∈R ，使得x 2＜0.答案 ④解析 全称命题的否定是存在性命题．10．若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是________． 答案 [1,2)解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于该命题是假命题，所以1≤x <2，即x ∈[1,2)．11．已知p (x )：x 2＋2x －m >0，如果p (1)是假命题，p (2)是真命题，则实数m 的取值范围是________．答案 [3,8)解析 因为p (1)是假命题，所以1＋2－m ≤0，解得m ≥3.又因为p (2)是真命题，所以4＋4－m >0，解得m <8，故实数m 的取值范围是3≤m <8.三、解答题12．已知p ：∀a ∈(0，b ](b ∈R 且b ＞0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a ＋π3的周期不大于4π.(1)写出綈p ；(2)当綈p 是假命题时，求实数b 的最大值．解 (1)綈p ：∃a ∈(0，b ](b ∈R 且b ＞0)，函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x a ＋π3的周期大于4π.(2)由于綈p 是假命题，所以p 是真命题，所以∀a ∈(0，b ]，2π1a≤4π恒成立， 解得a ≤2，所以0＜b ≤2，所以实数b 的最大值是2.13．已知命题p ：“至少存在一个实数x ∈[1,2]，使不等式x 2＋2ax ＋2－a >0成立”为真，试求参数a 的取值范围．解 由已知得綈p ：∀x ∈[1,2]，x 2＋2ax ＋2－a ≤0.∴设f (x )＝x 2＋2ax ＋2－a ，若綈p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2a ＋2－a ≤0，4＋4a ＋2－a ≤0，解得a ≤－3， ∵綈p 为假，∴a >－3，即a 的取值范围是(－3，＋∞)．14．已知命题p ：若平面α⊥平面β，平面γ⊥平面β，则有平面α∥平面γ.命题q ：在空间中，对于三条不同的直线a ，b ，c ，若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .对以上两个命题，下列结论中： ①p ∧q 为真；②p ∨q 为假；③p ∨q 为真；④(綈p )∨(綈q )为假．其中正确的命题是________．(填序号)答案 ②解析 命题p 是假命题，因为平面α与平面γ也可能相交；命题q 也是假命题，这两条直线也可能异面，相交．故①③④错误，②正确．15．已知命题p ：∀m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8；命题q ：∃x ∈R ，使不等式x 2＋ax ＋2<0.若p 或q 是真命题，綈q 是真命题，求a 的取值范围．解 根据p 或q 是真命题，綈q 是真命题，得p 是真命题，q 是假命题．∵m ∈[－1,1]，∴m 2＋8∈[22，3]．∵∀m ∈[－1,1]，不等式a 2－5a －3≥m 2＋8，∴a 2－5a －3≥3，∴a ≥6或a ≤－1.故命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.又命题q ：∃x ∈R ，使不等式x 2＋ax ＋2<0，∴Δ＝a 2－8>0，∴a >22或a <－22，从而命题q 为假命题时，－22≤a ≤22，∴命题p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值范围为[－22，－1]。
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第二章圆锥曲线与方程章末复习学习目标XUEXIMUBIAO1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.5.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法.NEIRONGSUOYIN内容索引知识梳理题型探究达标检测1知识梳理PART ONE1.三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹或集合平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹标准方程y2＝2px(p>0)关系式a2－b2＝c2a2＋b2＝c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率0<e<1e>1e＝1准线方程决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小2.求圆锥曲线的标准方程(1)椭圆、双曲线的标准方程(2)抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小.当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)，然后建立方程求出参数p的值.3.直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点.4.方法、规律归纳(1)直接法求动点的轨迹方程的一般步骤①建系——建立适当的坐标系；②设点——设轨迹上的任一点P(x，y)；③列式——列出动点P所满足的关系式；④代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y 的方程式，并化简；⑤证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．(2)代入(相关点、转移)法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的．当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求轨迹方程：①一个动点P(x，y)在已知方程的曲线上移动；②另一个动点随P(x，y)的变化而变化；③变化过程中P(x，y)满足一定的规律．(3)参数法：求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点(含参数)的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法要注意以下问题：参数的选取要具有代表性，参数方程是动点的轨迹方程，在化简参数方程为普通方程的时候不能改变方程的解集．1.设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，|PA |－|PB |＝k ，则动点P 的轨迹为双曲线.( )2.方程2x 2－5x ＋2＝0的两根x 1，x 2(x 1＜x 2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率.( )3.已知方程mx 2＋ny 2＝1，则当m ＞n 时，该方程表示焦点在x 轴上的椭圆.( )4.抛物线y ＝4ax 2(a ≠0)的焦点坐标是 .( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√×√2题型探究PART TWO题型一 圆锥曲线定义的应用例1 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 .过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为___________.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4，∴b2＝8，反思感悟 (1)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义来解决；(2)涉及焦点、准线、离心率，圆锥曲线上的点中的三者，常用定义解决问题；(3)求轨迹问题，最值问题，曲线方程也常常结合定义求解.解析 如图，设点B为椭圆的左焦点，点M(2,1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，而a＝4，题型二 圆锥曲线的性质√解析 设M(－c，y0)，√解析 若已知方程表示双曲线，则(m2＋n)·(3m2－n)＞0，解得－m2＜n＜3m2.又4＝4m2，所以m2＝1，所以－1＜n＜3.反思感悟 常见具体类型(1)已知基本量求离心率e或求离心率e的取值范围；(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围；(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质.又∠BFC＝90°，化简可得2a2＝3c2，题型三 直线与圆锥曲线例3 已知椭圆的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，右焦点到直线x－y＋＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；解得a2＝3，(2)设椭圆与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点M，N，当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围.解 设点P为弦MN的中点，得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m2<3k2＋1，①又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，即2m＝3k2＋1，②把②代入①得2m>m2，解得0<m<2，反思感悟 直线与圆锥曲线的综合问题，主要包括直线与圆锥曲线位置关系的判断问题、弦长问题、面积问题等，求解这类问题时，通常采用代数方法，将直线方程与圆锥曲线的方程联立，消去其中一个未知量，通过讨论所得方程的根的情况来确定位置关系，同时，还经常利用根与系数的关系，采取“设而不求”的办法求解弦长问题、面积问题.解 由椭圆定义得2a＝4，a＝2，解得k ＝－1，则(*)式变为3x 2－4mx ＋2m 2－4＝0，解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0.(*)例4 (1)已知P 为抛物线y ＝ x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|P A |＋|PM |的最小值是_______.(2)若抛物线x 2＝2y 上距离点A (0，a )的最近点恰好是抛物线的顶点，则a 的取值范围是A.a >0B.0<a ≤1C.a ≤1D.a ≤0题型四 圆锥曲线中参数范围和最值问题√反思感悟 圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何图形特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值与范围，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.跟踪训练4 (1)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于______.①求满足上述条件的点M(x，y)的轨迹C的方程；∴a2－3b2＝0，∴x2＋3y2＝3，②设曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0，－1)，当|AP|＝|AQ|时，求实数m的取值范围.得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.∵曲线C与直线y＝kx＋m(k≠0)相交于不同的两点，∴Δ＝(6km)2－12(1＋3k2)(m2－1)＝12(3k2－m2＋1)>0，即3k2－m2＋1>0.①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点N(x0，y0)，∵|AP|＝|AQ|，∴PQ⊥AN.设k AN表示直线AN的斜率，又k≠0，∴k AN·k＝－1.得3k2＝2m－1.②将②代入①得2m－1－m2＋1>0，即m2－2m<0，解得0<m<2，3达标检测PART THREE解析 ∵两焦点恰好将长轴三等分，2a ＝18，1.中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是 √√2.直线y ＝x ＋1被椭圆x 2＋2y 2＝4所截得的弦的中点坐标是即3x 2＋4x －2＝0，∵c 2＝m 2－n 2＝4，∴n 2＝12.解析 ∵y 2＝8x 的焦点为(2,0)，√4.点P(8,1)平分双曲线x2－4y2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是2x－y－15＝0______________.两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.因为线段AB的中点为P(8,1)，所以x1＋x2＝16，y1＋y2＝2.所以直线AB的方程为y－1＝2(x－8)，代入x2－4y2＝4满足Δ>0.即直线方程为2x－y－15＝0.5.已知双曲线－y2＝1，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，过F的直线与3双曲线的两渐近线交点分别为M，N，若△OMN为直角三角形，则|MN|＝___.∴∠FOM＝30°，直线MN的倾斜角为60°或120°.由双曲线的对称性，设倾斜角为60°，∴|MN|＝3.1.离心率的几种求法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是在y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法.(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要的方法.(3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几何性质和定义，建立参数之间的关系.课堂小结KETANGXIAOJIE2.圆锥曲线中的有关最值问题在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略(1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理.(2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解.如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用均值不等式等求解.。
2020版高中数学人教B版选修2-1课件：1.1.1 命题 (2)
第一章常用逻辑用语1.1.1命题高中数学选修2-1·精品课件自主学习1.命题的定义是什么？在定义中有哪些关键字？2.命题是如何分类的？3.研究了命题的哪种结构形式？要点初探符号判断真假真假条件结论对命题概念的两点认识(1)命题是对一个结论的判断:所谓判断,就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含糊不清.命题的实质是对某一前提条件下相应结论的一个判断,这个判断可能正确,也可能错误,所以不能认为只有真命题才是命题而假命题不是命题.(2)命题都由条件和结论构成:任何命题都有条件和结论,数学中,一些命题表面上看不具有“若p,则q”的形式,如“对顶角相等”,但是适当改变叙述方式,就可以写成“若p,则q”的形式,即“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,这样,命题的条件和结论就十分清楚了.一般地,在命题中,已知的事项为“条件”,由已知推出的事项为“结论”.核心归纳：类型一例1 指出下列语句中哪些是命题,哪些不是命题.(1)若a=b,则ac=bc. (2)若ac=bc,则a=b.(3)x2-3x+2>0. (4)素数都不是偶数吗?(5)两条平行直线的斜率相等. (6)平行的两个向量方向相同.核心归纳：类型一根据命题的概念(1)(2)(5)(6)是命题,而(3)是一个含有变量解：的不等式,故不能判断真假,(4)是疑问句不是命题.【拓展提升】判断命题的依据及注意点(1)依据:命题的概念是判断一个语句是否为命题的依据.(2)注意点:①一般地,能判断真假的陈述句是命题,而疑问句、祈使句、感叹句不是命题.②一个命题不是真命题就是假命题,不能无法判断真假.核心归纳：类型一变式训练判断下列语句哪些是命题:(1)若a>b,则ac>bc.(2)x2+1>2x.(3)空集是任何集合的真子集.(4)一个整数不是偶数就是奇数.(5)正弦函数的图象关于原点对称.核心归纳：类型一解：(2)是含有变量的不等式,当x=1时,不等式不成立,当x≠1时,不等式成立,由于不能判断真假,所以不是命题；其余4个都是陈述句,且分别能判断真假,所以(1)(3)(4)(5)是命题.核心归纳：类型二例2 把下列命题改写为“若p,则q”的形式,指出条件和结论:(1)直角三角形的两个锐角互余.(2)正弦值相等的两个角的终边相同.解：(1)“若一个三角形是直角三角形,则它的两个锐角互余”,条件是“一个三角形是直角三角形”,结论是“两个锐角互余”.(2)“若两个角的正弦值相等,则它们的终边相同”,条件是“两个角的正弦值相等”,结论是“它们的终边相同”.拓展提升将命题改写为“若p,则q”形式的方法及原则变式训练命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为,结论为.【答案】“等腰三角形”“两个底角相等”例3 “正数的倒数仍是正数”是命题(填真、假).【解析】非零实数与其倒数的符号相同,所以“正数的倒数仍是正数”是真命题.【答案】真【拓展提升】命题真假判断的四种常用方法方法一:对于常见命题直接判断.方法二:根据已学过的定义、公理、定理证明.方法三:根据已知的正确结论推证.方法四:要说明一个命题是假命题,只要举出在条件具备的情况下,结论不成立的例子即可.变式训练“常数列是等差数列”是命题,“常数列是等比数列”是命题.(填真、假)【解析】“常数列是等差数列”是真命题,“常数列是等比数列”是假命题.【答案】特例：各项均为0的常数列真假1.下列为真命题的是()BA.-2014不是偶数B.0和负数没有对数C.正比例函数是增函数D.无理数的平方是有理数2.命题“不等式<0与(x +1)(x -2)<0同解”是命题(填真、假).真12x x ++归纳小结定义：陈述句、真假结构：若p，则q命题真假：p是否能推出q再见。
2020版数学人教B版选修2-1课件：第一章 1.3.2 命题的四种形式
第一章§1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.2 命题的四种形式学习目标XUEXIMUBIAO1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.NEIRONGSUOYIN内容索引自主学习题型探究达标检测1自主学习PART ONE知识点一 四种命题的概念命题“如果p ，则(那么)q ”是由条件p 和结论q 组成的，对p ，q 进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题.(1)原命题：如果p ，则q ；(2)条件和结论“”：如果q ，则p ，这称为原命题的 ；(3)条件和结论“ ”(分别否定)：如果綈p ，则綈q ，这称为原命题的 .(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q ，则綈p ，这称为原命题的 .换位逆命题换质否命题逆否命题知识点二 四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 关系，即两个命题不等价.原命题逆命题否命题逆否命题真真______真假______假真______假假______(2)四种命题间的真假关系真真假真真假假假相同没有1.有的命题没有逆命题.( )2.两个互逆命题的真假性相同.()3.对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有.( )4.一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数.( )思考辨析 判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√√2题型探究PART TWO题型一 四种命题的结构形式例1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)正数的平方根不等于0；解 原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数.否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数.(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；解 原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)对顶角相等.解 原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.反思感悟 由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)实数的平方是非负数；解 逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数. (2)等底等高的两个三角形是全等三角形.解 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.题型二 四种命题的真假判断例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若a>b，则ac2>bc2；解 逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题.否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题.逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题.(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.解 逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.真命题.否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.真命题.逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.真命题.反思感悟 若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题.原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4.跟踪训练2 下列命题中为真命题的是①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－是有理数，则x是无理数”的逆否命题.√A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④解析 ①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”.故为真命题.②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”.故为假命题.③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”.∵x不是无理数，∴x是有理数.故正确的命题为①③④，故选B.题型三 等价命题的应用例3 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”.若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b).即原命题的逆否命题为真命题.反思感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键.跟踪训练3 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假.解 先判断原命题的真假.因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，所以原命题为真，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真.典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.请你用逻辑学原理解释二人离去的原因.核心素养之逻辑推理HEXINSUYANGZHILUOJITUILI 命题的等价性解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的.李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的.素养评析 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释.3达标检测PART THREE1.命题“如果a∉A，则b∈B”的否命题是√A.如果a∉A，则b∉BB.如果a∈A，则b∉BC.如果b∈B，则a∉AD.如果b∉B，则a∉A解析 命题“如果p，则q”的否命题是“如果綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式.2.命题“若綈p，则q”的逆否命题为A.若p，则綈qB.若綈q，则綈p√C.若綈q，则pD.若q，则p3.下列命题为真命题的是√A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B.命题“若x＝1，则x2>1”的否命题C.命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D.命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题解析 对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题.4.在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，4真命题的个数为_____.解析 逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题.5.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”.(1)写出命题p的否命题；解 命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”. (2)判断命题p的否命题的真假.解 命题p的否命题是真命题.判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题.课堂小结KETANGXIAOJIE写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误.若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可.。
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知识点二：复合命题的否定
如何对“p∧q”、“p∨q”形式的 复合命题进行否定？ 即￢(p∧q)、 ￢(p ∨ q)如何表示？
￢(p∧q)
p∧q
p∨q
￢(p∨q)
￢(p∧q)= ￢p∨￢q
￢(p∨q)= ￢p∧￢q
典例分析
例2 写出下列语句或命题的否定形式. (1)a=±1; (2)x>0且x≠1. 解： (1)p: a=±1⇔a=1或a=－1，
1．写出下列命题的否定： ①所有的矩形都是平行四边形； ②有些平行四边形是菱形． 【提示】①并非所有的矩形都是平行四边形． ②每一个平行四边形都不是菱形． 2．对①的否定能否写成： 所有的矩形都不是平行四边形？ 【提示】不能．
3．对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？ 【提示】不能． 【结论】
命题(2)是对 命题(1)的否定
(2)35不能被5整除.
一般地, 对一个命题p全盘否定, 就得到一个新命题, 记作￢p. 读作“非p”或“p的否定”
知识探究一： ￢p的真假
若p是真命题，则￢p必是假命题； 若p是假命题，则￢p必是真命题.
p与￢p 一真一假
典例分析
例1 写出下列命题的否定，并判断它们的真假：
第一章 常用逻辑用语 1.2.2 “非”（否定）
高中数学选修2-1？
由简单命题与逻辑联结词“且”“或” 构成的命题是 复合命题. 2.复合命题的真假如何判断？
真值表
p
q
p∧q
p∨q
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
假
真
假
假
假
假
知识点一：非
下列两个命题间有什么关系？
(1)35能被5整除；
跟踪训练
解：(1)¬p：a，b为实数，a2＋b2<2ab. ∵p真，∴¬p为假． (2)¬p：a，b为整数，若a＋b为偶数，则a，b不都是偶数． ∵p假，∴¬p为真． (3)¬p：a，b，c是实数， 当a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0时，a，b，c不全相等． ∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac， ＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2]＝0， ∴a＝b＝c，∴p真，∴¬p为假．
当堂训练
1.已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：a∈(A∪B)，
那么命题“￢p”是( D )
A．a∈A B．a∈∁ UB
C．a∉ (A∩B)
D．a∈(∁ UA∩∁ UB)
2.命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( D ) A．对任意x∈R，都有x2<0 B．不存在x∈R，使得x2<0 C．存在x∈R，使得x2≥0 D．存在x∈R，使得x2<0
1．存在性命题p：∃x∈A，p(x)． 它的否定是￢p：∀x∈A，￢p(x)． 2．全称命题q：∀x∈A，q(x)． 它的否定是￢q：∃x∈A，￢q(x)．
典例分析
【思路分析】判断命题形式→ 写出￢p→判断真假
跟踪训练
4.将本例中(3)“∃”改为“∀”，(4)中“至少” 改为“至多”，结果又将如何？
知识点三：命题的否定与否命题
命题的否定与否命题是同一概念吗？ 命题“若p，则q”的否定： 形式为“若p，则￢q” ， 是对命题的结论进行全盘否定； 命题“若p，则q”的否命题： 形式为“若￢p，则￢q”， 是对命题的条件和结论同时进行否定.
典例分析
例3 写出下列命题的否定与否命题： (1)若abc＝0，则a，b，c中至少有一个为零； (2)若x2＋y2＝0，则x，y全为零； (3)等腰三角形有两个内角相等．
￢p：a≠1且a≠－1. (2)￢p：x≤0或x=1.
跟踪训练
2.写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)p：a，b为实数，a2＋b2≥2ab； (2)p：a，b为整数，若a＋b为偶数，则a，b都是偶数； (3)p：a，b，c是实数，当a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0时， a＝b＝c.
(1)p: y=sinx是周期函数； (2)p: 3＜2；
全盘否定
(3)p: 空集是集合A的子集.
解： (1)￢p：y=sinx不是周期函数， ∵p为真命题，∴ ￢p为假命题； (2)￢p：3≥2， ∵ p为假命题，∴ ￢p为真命题； (3)￢p：空集不是集合A的子集， ∵p为真命题，∴ ￢p为假命题.
典例分析
解： (1)否定形式：若abc＝0，则a，b，c都不为零； 否命题：若abc≠0，则a，b，c都不为零． (2)否定形式：若x2＋y2＝0，则x，y中至少有一个不为零； 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y中至少有一个不为零． (3)否定形式：等腰三角形的任意两个内角都不相等； 否命题：不是等腰三角形的任意两个内角都不相等．
跟踪训练
3.写出下列命题的否定
且
(1)p:100既能被4整除，又能被5整除；
(2)r:一元二次方程至多有两个解； (3)s:2＜x≤3. 且
解：(1)￢p:100不能被4整除，或不能被5整除； (2)￢r:一元二次方程至少有三个解； (3)￢s:x≤2或x＞3.
知识点四：全称命题和存在性命题的否定
跟踪训练
1.写出下列命题的否定，并判断它们的真假： (1)p: π是无理数 ; (2)p: 等腰三角形的两个底角相等; (3)p: 等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合.
解：(1) ￢p: π不是无理数，为假命题； (2) ￢p: 等腰三角形的两个底角不相等，假命题； (3) ￢p: 等腰三角形底边上的高和底边上的中线不重合， 假命题.
解： (3)￢r：∃x∈R，x2＋2x＋2＞0(真)． (4)￢s：至少有两个实数x使x3＋1≠0(真)．
归纳小结
1.命题“p∧q”与“p∨q”的否定 “p∧q”的否定为“(￢p)∨(￢q)”， “p∨q”的否定为“(￢p)∧(￢q)”． 2.正确认识命题的否定与否命题的关系
命题的否定形式与否命题是两个不同的概念， 只有弄清它们之间的区别与联系才不会出错． 3.在对含有量词的命题进行否定时，要注意量词的改变．
【解析】因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，￢ p(x)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在 x∈R，使得x2<0”．
3.已知p：x2－x≥6，q：x∈Z，若p∧q和￢q都是假命 题，求x的取值集合. 解：∵￢q是假命题，∴q为真命题． 又p∧q为假命题．∴p为假命题． 因此x2－x＜6且x∈Z. 解之得－2＜x＜3且x∈Z. 故x＝－1,0,1,2.所以x取值的集合是{－1,0,1,2}.